(共21张PPT)
3 公式法
第1课时 用平方差公式因式分解
众
3
把乘法公式(a+b)(a一b)=a一b2反过来，就得
到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).运用
这个公式可将两个项的平方差分解因式.
自测
因式分解x2一4的结果是
A.x(x-4)
B.x(x-2)
C.(x-2)(x十2)
D.x(x十2)2
知识点①
用平方差公式因式分解
1.下列各多项式中，能用平方差公式进行因式
分解的是
(C)
A.a2十b2
B.y2+9
C.-25+a2
D.-x2-y2
2.分解因式16一x2的结果是
(A)
A.(4-x)(4十x)
B.(x-4)(x十4)
C.(8+x)(8-x)
D.(4-x)2
2.分解因式16一x2的结果是
(A)
A.(4-x)(4+x)
B.(x-4)(x十4)
C.(8+x)(8-x)
D.（4-x)2
3.分解因式：a2-4b=
:(a+2b)(a-2b)
4.把下列各式分解因式：
(1)(2a+b)2-(a+2b);
解：(2a+b)2-(a+2b)2
=(2a+b+a+2b)(2a+b-a-2b)
=(3a+3b)(a-b)
=3(a+b)(a-b);
(3)9(m+n)2-(m-n)2.
解：9(m+n)2-(m-n)2
=
[3(m+n)]2-(m-n)2
=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]
=(4m+2n)(2m+4n)
=4(2m+n)(m+2n).
知识点2
用平方差公式因式分解的应用
5.若a十b=3,a一b=7,则b2一a2的值为(A)
A.-21
B.21
C.-10
D.10
6.已知长方形的面积是49a2一4b2,一边长是7a
一2b,则另一边长是
7a+2b
解：13.22-4×3.42
=13.22-(2×3.4)2
=13.22-6.82
=(13.2+6.8)(13.2-6.8)
=20×6.4
128(m2).
故需要谁备
128m2的草皮
[易错提醒：对公式特点掌握不准确而导致因式
分解不彻底]
8.因式分解：x4一y=(×2+y2)(×+y)(×-y)
A基础过关
9.下列各式中，能用平方差公式进行因式分解
的是
(D)
A.x2十x
B.x2-8x-16
C.x2+4
D.x2-1
10.分解因式(2x+3)2一x2的结果是
(D)
A.3(x2-4x-3)
B.3(x2-2x-3)
C.3(x-1)(x-3)
D.3(x+1)(x+3)(共17张PPT)
专题训练（四） 因式分解及其应用
众
3
因式分解是整式由“和”向“积”的变形，体
现了数学中的转化思想.有时分解的条件不一
定具备，需要经过恰当的转化.常用方法有提公
因式法和公式法.因式分解的一般步骤：
(1)若多项式的各项含有公因式，首先应提
取公因式；
(2)若不含公因式，则测尝试运用公式法因式
分解；
(3)若上述方法不能因式分解，则尝试整理
多项式，运用整体思想进行分解因式；
(4)检查每一个因式是否都不能再分解.
类型1因式分解的常用方法
1.下列多项式能因式分解的是
(C)
A.m2+1
B.m2+n2
C.m2-1
D.m-n
2.下列等式从左到右的变形，因式分解正确的
是
(C)
A.a(x-y)=ax-ay
B.x2十4=(x十2)(x-2)
C.x2-4xy+4y2=(x-2y)
D.(x十1)(x十3)=x2+4x十3
3.下列各式中，可以使用平方差公式分解因式
的是
(B
A.-a2-b2
B.-(a+2)2十9
C.p2-(-q)
D.a2-6
4.分獬因式：3ay2-6ay十3a=
3a(y-1)2
5.x2+mx+5分解得(x十5)(x+n),则m=
6
6.因式分解：
(1)4x3y-36xy3;
解：原式=4×y(×2-9y2)
=4×y(×-3y)(×+3y);
(2)9x2+6x+1;
解：原式=(3×+1)2；
(3)x4-2x2十1；
解：原式=(×2一1)2
=(×+1)2(×-1)2;
(4)9a(x-y)+4b(y-x).
解：原式=(×-y)(9a2-4b2)
=(×-y)(3a-2b)(3a+2b).
类型2因式分解的应用
7.对任意整数n,多项式(n十7)2一n2能够
被
(B)
A.2整除
B.7整除
C.n整除
D.(n十7)整除
8.计算：13.32-11.72=
40
9.若实数x满足：x2一x一1=0，则x3一2x2十
2023=2022
10.已知-6一a十1h+1-0,求Q6的俏。
解：a2+b2-a+4b+4-
=0,
4
a2-a+1+b2+4b+4=0,
4
(a-2)”+(b+2)2=0,
7
.a
,6=-2.
2
11.利用因式分解计算：
(1)9002-894×906;
解：9002-
894×906
=9002-(900-6)(900+6)
=9002-(9002-62)
=9002-9002+62
=36;(共25张PPT)
第四章 章末复习
众
3
考点1)
因式分解的定义
1.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解
的是
(D)
A.xy2(x-1)=.x2y2-xy2
B.2十x-5=(x-2)(x十3)-1
C.(a+3)(a-3)=a2-9
D.2a2+4a=2a(a+2)
2.己知x2十px十q=(x十5)(x一1)，则p,q的
值分别为
(B)
A.4,5
B.4,—5
C.-4,5
D.-4,-5
考点2)提公因式法
3.把多项式(1十x)(1一x)一(x一1)提取公因式
(x一1)后，余下的因式是
(B)
A.(x+1)
B.-(x+2)
C.-(x-1)
D.x
4.多项式4ab(a一b)一6ab(b一a)中，各项的公
因式是
(D)
A.4ab
B.2ab
C.ab(a-b)
D.2ab(a-b)
5.△ABC的三边长为a,b,c,且a+2ab=c+
2bc,则△ABC是
(B
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
6.分解因式：2ax-6ay=2a(×-3y)
考点3)
公式法
7.下列多项式中，能用公式法分解因式的是
(A)
A.-m2+n2
B.a2-2ab-b
C.m2+n2
D.-a2-b2
8.因式分解4十a2一4a正确的是
(B)
A.4(1-a)+a2
B.(2-a)
C.(2+a)(2-a)
D.(2十a)2
9.计算105一952的结果为
(C)
A.1000
B.1980
C.2000
D.4000
10.若81一x”=(3+x)(3一x)(9+x2),则n
的值为
(C)
A.2
B.3
C.4
D.6
11.已知a=2023x+2024,b=2023x+2025,c
=2023x+2026,则多项式a2+b2+c2一ab
一bc一ac的值为
D
A.0
B.1
C.2
D.3
12.因式分解：
(1)9x2-16y2;
解：9×2-16y1
=(3×)2-(4y)3
=(3×+4y)(3×-4y);
(2)-a2-b2-2ab;
解：-a2-b2-
2a6
-(a2+b2+2ab)
(a+b)2;
+1+2》+号
解：(y+1)(y+2)-
4
=y2+3y+2+
4
9
=y2+3y+
4
y
考点4》
提公因式法和公式法的综合
13.因式分解m一ma2的结果是
(A)
A.m(1+a)(1-a)
B.m(1+a)2
C.m(1-a)2
D.(1-a)(1+a)(共20张PPT)
1 因式分解
众
3
1.把一个多项式化成几个整式的
积
的形
式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因
式.其结构特征为左边是一个多项式，右边是
几个整式的积的形式.
自测1下列从左到右的变形中，是因式分解的
是
(C)
A.2(a+b)=2a+2b
B.x(x-1)=x2-x
C.x2-y2=(x-y)(x+y)
D.2ab=2·a·b
2.因式分解与
整式乘法
是互逆的.
自测2
已知x2一3x十m可以分解为(x十
2)(x一5)，则m=
-10
知识点①
因式分解的概念
1.下列从左到右的变形是因式分解的是(D)
A.a+b-6a
B.4xy-8xy-1=4xy(x-y)+1
C.a(a-b)=a-ab
D.2a-2b=2(a-b）
2.下列等式：①8(x十y)=8x十8y;②8x+8y=
8(x十y),其中属于因式分解的是
②，属
于整式乘法的是
知识点②
因式分解与整式乘法的关系
3.因式分解结果为(x一1)2的多项式是
(A】
A.x2-2x+1
B.x2十2x十1
C.x2-1
D.x2+1
4.已知关于x的二次三项式2x2+mx+n分解
因式的结果为(2x-1)(x十).则m,n值分
别为
(D)
1
1
1
2
4
2’4
c.2
1
D.-
1
4
2
4
5.如图，各块图形之和为a十3ab十2b,则因式
分解a2+3ab十2b2=
(a+b)(a+2b).
b
b
a
b
6.把x2+3x十c因式分獬，得x2+3x十c=(x十
1)(x十2)，则c的值为2
[易错提醒：对因式分解的概念理解不清而致错】
7.下列从左到右的变形是因式分解的是(C)
A.(x+1)(x-1)=x2-1
B.-4ab=(-2b)·(2a)
C.ab-a-b+1=(a-1)(b-1)
D.m2-2m-3=m(m-2-3
772
A基础过关
8.-(3a2)3a)是下列一个多项式因
式分解的结果，这个多项式是
C
B.6+9a
c.1-9a
D.-9a2-
9.下列变形：①(x一1)(x一1)=x2一1；②9a2一
12a+4=(3a-2);③3abc3=3c·abc2;④3a2
6a=3a(a一2)，其中是因式分解的有
②
(④
(填序号).
10.已知x2+b+c可以分解成(x十2)(x一5)，
则b=
-3
C=
-10(共21张PPT)
2 提公因式
第2课时 公因式为多项式的因式分解
众
3
公因式可以是单项式，也可以是多项式.当为
偶数时，(a一b)”=(b-a)”;当n为奇数
时，(a-b)”=-(b-a)”.
自测因式分獬：(2a十b)(2a-b)十2(2a+b)=
(2a+b)(2a-b+2)
知识点
公因式为多项式的因式分解
1.下面给出的四组整式中，有公因式的一组是
(B
A.a十b和a2十b
B.a一b和a2b一ab2
C.a2b2和a2十b
D.a一b和a2b2
2.把多项式3m(x一y)一2(y一x)2分解因式的
结果是
(B)
A.(x-y)(3m-2.x-2y)
B.(x-y)(3m-2x+2y)
C.(x-y)(3m+2x-2y)
D.(y-x)(3m+2x-2y)
(2)x(x+y)(x-y)-x(x-+y)2
解：×(×+y)(×-y)-×(×+y)2
=×(×+y)[(×-y)-(×+y)]
=×(×+y)(-2y)
=-2×y(×+y);
(3)3x"(1-x)+2(x+1-x")
解：3×”(1-×)+2(×n+1-×)
=3×”(1-×)+2×”(×-1)
=×”[3(1-×)+2(×-1)]
=×”(1一×)
6.先因式分解2x(a一2)十y(a一2)，再求值，其
中a=0.5,x=1.5,y=-2.
解：2×(a-2)-y(2-a)=(a-2)(2×+y),
.·a=0.5,×=1.5,y=-2,
.原式=(0.5-2)×(2×1.5-2)=-1.5.
[易错提醒：忽略公因式中的数字因数而导致因
式分解不彻底]
7.因式分解：(x+5y)(x一xy)一x(1一y)(y
x)=
2×(1-y)(×+2y)
9.因式分解b(x一3)十b(3一x)的正确结果是
(D
A.(x-3)(b-b)
B.(x-3)(b-1)
C.(x-3)(b2+b)
D.b(x-3)(b-1)
10.分解因式：(3a-b)(a-b)-ab十b=(a
b)(3a-2b)
11.将下列各式进行因式分解：
(1)6(p+q)-4q(p十9)；
解：原式=(p+q)(6p-4q)
=2(p+a)(3p-2a)
(2)(y-x)(a-b-c)+(x-y)(b-a-c);
解：原式=(y-×)(a-b-c)-(y-×)(b
a -c)
=(y-×)[(a-b-c)-(6-a-c)]
=(y-×)(2a-2b〉
=2(y-×)(a-b);(共18张PPT)
3 公式法
第2课时 用完全平方公式因式分解
众
3
1.(1)完全平方公式：把乘法公式(a十b)=
a 2
+2ab+b2,(a-b)2=
a2-2ab +b2
反
过来，就得到a十2ab+b2=
(a+b)2
c
-2ab+b2=
(a-b)2.运用这两个公式可
将一个完全平方式分解因式；(2)完全平方
式：形如
a2±2ab+b2
的式子称为完全平
方式.
2.公式法：根据因式分解与整式乘法的关系，我
们可以利用乘法公式把某些多项式因式分
解，这种因式分解的方法叫做公式法
自测
把多项式x2一6x十9分解因式，结果
正确的是
(A
A.(x—3)2
B.(x-9)2
C.(x+3)(x一3)
D.(x+9)(x-9)
知识点①
用完全平方公式分解因式
1.下面各整式能直接运用完全平方公式分解
因式的是
(
A.x2-x-1
B.x2-2x-1
C.-2x+x2+1
D.2x-x2+1
2.已知x2一12x+b是完全平方式，则常数b的
值为36
3.若a6=2,则g2+ab-2B=
2
4.分解因式：
(1)x3+2x2y+xy2;
解：×3+2×2y+×y
=×(×2+2×y+y)
=×(×+y)2;
(2)4(x+y)2+25-20(x+y).
解：4(×+y)2+25-20(×+y)
=(2×+2y)2-2·(2×+2y)·5+5
=(2×+2y-5)2.
知识点2
用公式法分解因式的应用
5.下列因式分解错误的是
(B)
A.x2-y2=(x+y)(x-y)
B.x2+y2=(x-y)2
C.x2-xy=x(x一y)
D.x2十6x十9=(x十3)
6.已知代数式一a十2a一1，无论a取任何值，它
的值一定是
(B
A.正数
B.非正数C.负数
D.非负数
解：.a2+b2-4a-
86+20=0,
:.a2-4a+4+b2-8b+16=0,
即(a-2)2+(b-4)2=0,
∴.a=2,b=4..4-2∴.2c<<6.
.·C为最大边长，.4≤
6.
[易错提醒：忽略完全平方式中第二项系数为负
的情况导致漏解]
8.多项式9x2十1加上一个单项式(x的一次式)
后成为一个整式的完全平方式，那么加上的
单项式可以是
6×或-6×(共20张PPT)
2 提公因式
第1课时 公因式为单项式的因式分解
众
3
1.多项式的各项都含有的
相同因式，叫做
这个多项式各项的公因式.
自测1
多项式3x2一3x中各项的公因式为
(C)
A.3
B.x
C.3.x
D.3x2
2.如果一个多项式的各项含有公因式，那么就
可以把这个公因式提出来，从而将多项式化
成两个因式的乘积
的形式.这种因式分
解的方法叫做提公因式法.
自测2把多项式a2一4a分解因式，结果正确的
是
(A
A.a(a-4)
B.(a+2)(a-2)
C.a(a+2)(a-2)
D.(a-2)2-4
2.因式分解与
整式乘法
是互逆的.
自测2
已知x2一3x十m可以分解为(x十
2)(x一5)，则m=
-10
知识点①
公因式
1.6ab与8ab2的公因式是
(C)
A.a2b2
B.6ab
C.2ab
D.24a2b2
2.多项式3ab3十9ab中各项的公因式是
3a262
知识点2
用提公因式法分解因式
3.把多项式x2一x提取公因式x后，余下的部
分是
(B
A.x
B.x-1
C.x+1
D.
4.将-2a26a6提公因式后，另一个因式是
(A)
A.a26
B.-a十2b
C.-a-b
D.a-26
7.用提公因式法因式分解：
(1)a2x2-axy;
解：a2×2-aXy
=dX·dX-CX·y
=ax(a×-y);
(2)-2x2-12xy2;
解：-2×2-12×y
(-2×)·×+(-2×)·6y
三
-2×(×+6y);
(3)6m2n+30m2n2.
解：6mn+30m2n2
=6m2n·1+6m2n·5n
=6m2n(5n+1).
8.已知xy=一3，且x一y=2,求多项式x2y一
xy2的值.
解：×2y-×y2=×y(×-y),
又.×y=-3,×-y=2,
.∴.×2y-Xy2=-3×2=-6.
A基础过关
10.下列多项式中，能用提公因式法分解因式的
是
(B)
A.x-y
B.x2+2x
C.x2y2
D.x2-x-y
11.多项式18a2b-12a3bc-6ab2中各项的公
因式是
(A)
A.-6a6
B.-6ab-c
C.-ab2
D.-6a362c
12.下列分解因式正确的是
(D)
A.2x2-4xy=x(2x-4y）
B.a3+2a2+a=a(a2十2a)
C.-2a-2b=2(a十b)
D.-a2十a=-a(a-1)
13.将a3+2a2分解因式的结果是a2(a+2).
