课件59张PPT。教师用书独具演示演示结束数列的有关概念及表示 一定次序每一个数第1项第n项an{an}数列的分类 有穷数列 无穷数列 有穷数列 无穷数列 数列的通项公式 an＝f(n) 正整数集N＋(或它的有限子集) 从小到大 数列的有关概念 由数列的前n项写出数列的一个
通项公式利用通项公式确定数列的项 课时作业（一）课件52张PPT。教师用书独具演示演示结束 数列的表示法 图像 数列增减性 大于an＋1＞an上升小于an＋1＜an相等下降数列的图像及应用 数列增减性的判断 求数列的最大(小)项 课时作业（二）课件44张PPT。教师用书独具演示演示结束 等差数列的概念 差同一个常数公差dan－an－1＝d(n≥2)2等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d 等差数列的判定 求通项公式 等差数列通项公式的应用 课时作业（三）课件49张PPT。教师用书独具演示演示结束 等差数列的图像及增减性 y＝dx＋(a1－d) 等间隔的点 公差d 递增数列 递减数列 常数列 等差中项 a、A、b成等差数列 等差数列的性质 等差中项问题等差数列的实际应用 课时作业（四）课件58张PPT。教师用书独具演示演示结束 等差数列的前n项和公式 等差数列前n项和的基本运算 等差数列前n项和性
质的应用 等差数列前n项和的实际应用 课时作业（五）课件53张PPT。教师用书独具演示演示结束 等比数列的概念 2 比 同一个常数 公比 公比 等比数列的通项公式 等比数列的通项公式 等比数列的判定 等差数列与等比数列的综合问题 课时作业（六）课件49张PPT。教师用书独具演示演示结束 等比数列的增减性 递减
数列递增
数列递增
数列递减
数列等比中项的概念 等比中项 等比数列性质的应用 等比中项的应用 等比数列的实际应用 课时作业（七）课件52张PPT。教师用书独具演示演示结束 等比数列的前n项和公式 等比数列的前n项和公式的应用 错位相减法求和 等比数列的实际应用 课时作业（八）课件57张PPT。教师用书独具演示演示结束 单利与复利 三种应用模型 金额相同 等差数列的模型 等比数列模型分期付款问题课时作业（九）§1数 列
1．1 数列的概念
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系．
2．过程与方法
按照观察、猜想、发现、归纳和总结的学习过程，进行启发式教学，体会归纳思想．
3．情感、态度与价值观
通过本节课学习，体会数学源于生活，提高数学学习兴趣．
●重点难点
重点：了解数列的概念，了解数列是一种特殊函数．根据数列的前n项写出它的一个通项公式．
难点：将数列作为一种特殊函数去认识，了解数列与函数之间的关系．
(教师用书独具)
●教学建议
问题/情境 设计意图师生活动
同学们都知道大自然是美丽的，但如果我说，大自然还是懂数学的，你相信吗？下面，请看图片．
师：多媒体课件展示生动丰富的大自然场景：花菜、向日葵、菠萝等，这些事物似乎都与这列数有关：1，1，2，3，5，8，13，21……
生：观察图片，投入到教学活动中来．
如果细心观察，就会发现自然界的一些看似千差万别的事物，似乎都能在这一列数中找到联系，这是巧合，还是别的什么原因？同学们若感兴趣，想研究它，就需要先来学习我们今天的内容：数列的概念．
●教学流程
??????
(对应学生用书第1页)
课标解读
1.了解数列、通项公式的概念．
2．了解数列是自变量为正整数的一类函数(难点)．
3．能根据通项公式确定数列的某一项(重点)．
4．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式(重点、难点).
数列的有关概念及表示
【问题导思】
小山想利用电子邮箱发送一个E－mail，但是由于长时间未登录邮箱，从而他忘记了邮箱的密码，只记得密码由3～8这6个数字构成，如：(1)3 4 5 6 7 8；(2)4 6 8 7 3 5；(3)7 6 5 3 8 4.
1．这三组数字有什么异同之处？
【提示】 都是由3～8这6个数字构成，但是排列顺序不同．
2．小山把上面3组数当成密码来试验时，都没有打开邮箱，他说：“仅仅知道数字及个数还不能确定密码”．那么，找到密码还需要确定什么？
【提示】 数字的排列顺序．
1．数列的有关概念
数列
按一定次序排列的一列数叫作数列
项
数列中的每一个数叫作这个数列的项
首项
数列的第1项常称为首项
通项
数列中的第n项an，叫数列的通项
2.数列的表示
①一般形式：a1，a2，a3，…，an，…；
②字母表示：上面数列也记为{an}．
数列的分类
【问题导思】
当n分别取1，2，3，4，…时，sin 的值排成一个数列：1，0，－1，0…；当n分别取1，2，3，4，5时，sin 的值排成一个数列：1，0，－1，0，1.这两个数列是同一数列吗？若不是同一数列，这两个数列有何区别与联系？
【提示】 不是同一数列．第一个数列有无穷多项，第二个数列共有5项，这5项恰好是第一个数列的前5项．
按数列的项数，数列分为有穷数列与无穷数列．
(1)项数有限的数列叫作有穷数列；
(2)项数无限的数列叫作无穷数列．
数列的通项公式
【问题导思】
传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．如图：
图1－1－1
上图表示的数可构成数列1，4，9，16，…，这个数列的第n项an与n之间能否用一个函数式表示？怎样表示？
【提示】 可以．函数式可表示为an＝n2.
1．如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．
2．数列可以看作定义域为正整数集N＋(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．
(对应学生用书第2页)
数列的有关概念
下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由．
(1){0，1，2，3，4}是有穷数列；
(2)所有自然数能构成数列；
(3)同一个数在数列中可能重复出现；
(4)数列1，2，3，4，…，2n是无穷数列．
【思路探究】 紧扣数列的有关概念，验证每一个说法是否符合条件．
【自主解答】 (1)错误．{0，1，2，3，4}是集合，不是数列．
(2)正确．如将所有自然数按从小到大的顺序排列．
(3)正确．数列中的数可以重复出现．
(4)错误．数列1，2，3，4，…，2n，共有2n项，是有穷数列．
1．数列{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一个集合，与集合表示有本质的区别．
2．从数列的定义可以看出，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；在定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．
下列说法正确的是( )
A．数列3，5，7与数列7，5，3是相同数列
B．数列2，3，4，4可以记为{2，3，4}
C．数列1，，，…，，…可以记为
D．数列{2n＋1}的第5项是10
【解析】 数列是有序的，选项A错；数列与数集是两个不同的概念，选项B错；对于D，当n＝5时，a5＝2×5＋1＝11，选项D错，故选C.
【答案】 C
由数列的前n项写出数列的一个
通项公式
写出下列数列的一个通项公式．
(1)1，－3，5，－7，9，…；
(2)，3，，，3，…；
(3)，，，，…；
(4)0.9，0.99，0.999，0.9999，…；
(5)，1，，，….
【思路探究】 分析各项an与对应序号n之间的关系，从中发现规律，得到一个合适的函数解析式，再验证是否正确即可．
【自主解答】 (1)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…是连续的正奇数，考虑(－1)n＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)．
(2)数列可化为，，，，，…，
即， ，，，，…，
每个根号里面可分解成两个数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，故原数列的一个通项公式为an＝＝.
(3)这个数列的前4项的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，所以它的一个通项公式是：an＝.
(4)原数列可变形为：1－，1－，1－，1－，…，故所给数列的一个通项为an＝1－.
(5)将数列统一为，，，，…对于分子3，5，7，9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1；对于分母2，5，10，17，…联想到数列1，4，9，16，…即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，
∴可得原数列的一个通项公式为an＝.
1．本题通过观察各项与项数的关系，再进行比较，归纳出结论，主要从以下几个方面来考虑：(1)符号用(－1)n或(－1)n＋1来调节．(2)分式形式的数列，分子、分母分别找通项，要充分借助分子、分母的关系．(3)将数列的各项分解成若干个基本数列后再进行分析归纳．
2．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，可以用添项、还原、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．
根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式．
(1)，，，，…；(2)，2，，8，，…；
(3)2，22，222，2 222，….
【解】 (1)分子均为偶数，分母分别为1×3，3×5，5×7，7×9是相邻两个奇数的乘积，
故an＝.
(2)将分母统一成2，在数列，，，，，…中分母为2，分子为n2，故an＝.
(3)由9，99，999，9 999，…的通项公式an＝10n－1可知，2，22，222，2 222，…的通项公式为an＝(10n－1)．
利用通项公式确定数列的项
已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出数列的第4项和第6项；
(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．
【思路探究】 (1)将n＝4，6代入an即可．
(2)若某个数是数列的某一项，则在通项中必存在一个正整数n与其对应，否则就不是数列中的项．
【自主解答】 (1)∵an＝3n2－28n，
∴a4＝3×42－28×4＝－64，
a6＝3×62－28×6＝－60.
(2)令3n2－28n＝－49，即3n2－28n＋49＝0，
解得n＝7，或n＝(舍)．
∴－49是该数列的第7项，
即a7＝－49.
令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0，
解得n＝－2，或n＝.
∵－2?N＋，?N＋，∴68不是该数列的项．
1．数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．
2．判断某数值是否为该数列的项，需假定它是数列中的项去列方程．若方程的解为正整数则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．
若本例的条件不变，(1)试写出该数列的第3项和第8项；(2)问20是不是该数列的一项，若是，应是第几项？
【解】 (1)∵an＝3n2－28n，
∴a3＝3×32－28×3＝－57，
a8＝3×82－28×8＝－32.
(2)设3n2－28n＝20，解得n＝10或n＝－(舍去)．
∵n∈N＋，∴20是该数列的第10项．
(对应学生用书第3页)
归纳推理在求数列通项公式中的应用
(12分)根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和点数，并写出由图中点数依次组成的数列的通项公式．
(1) (3) (6)
图1－1－2
【思路点拨】 观察图形的构成规律，寻找点数构成的数列中a1与a2，a2与a3的关系，便可发现a4，a5，…，an的取值规律及图形的构成特征．
【规范解答】 观察前3个图形和点数，易知
(10) (15)
4分
记图形中的点数构成的数列为{an}．观察可知：
a1＝1＝＝，
a2＝3＝＝，
a3＝6＝＝，
a4＝10＝＝，
a5＝15＝＝.9分
∴数列{an}的通项公式为an＝.12分
本题先观察数列前n项的共同特点，再概括出数列的通项公式．这种推理就是归纳推理．归纳推理就是由个别事实概括出一般结论的推理，归纳推理是一种重要的推理方法，在数学领域有着广泛的应用．
1．对通项公式的理解
(1)数列的通项公式的表示形式不一定是唯一的，如数列：1，0，－1，0，1，0，－1，0，…，通项公式可以是an＝sin ，也可以是an＝cos π(n∈N＋)．
(2)并不是所有数列都能写出通项公式．如由π的精确度的数值排列：3，3.1，3.14，3.141，3.1415，…就写不出通项公式．
2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴涵着“从特殊到一般”的思想．
3．数列是一类特殊函数，因此用函数观点解决数列问题是一种常用的方法，但要注意其定义域为正整数集或其有限子集．
(对应学生用书第4页)
1．下列说法中，正确的是( )
A．数列1，3，5，7可表示为
B．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列
C．数列{}的第k项为1＋
D．数列0，2，4，6，8，…可记为{2n}
【解析】 由数列定义知A错，B中排列次序不同，D中n∈N.
【答案】 C
2．(2013·宝鸡高二检测)数列，，，，…的一个通项公式是( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
【解析】 观察前4项的特点易知an＝.
【答案】 C
3．(原创题)在数列{}中，第7项是________．
【解析】 令n＝7，则＝＝.
【答案】
4．已知数列{an}，an＝kn－5，且a8＝1，求a16.
【解】 由a8＝1，得8k－5＝1，解得k＝，
∴an＝n－5，
∴a16＝×16－5＝7.
(对应学生用书第79页)
一、选择题
1．下列解析式中不是数列1，－1，1，－1，1，…的通项公式的是( )
A．an＝(－1)n B．an＝(－1)n＋1
C．an＝(－1)n－1 D．an＝
【解析】 A中当n＝1时，a1＝－1，n＝2时，a2＝1，显然不是数列1，－1，1，－1，1，…的通项公式．
【答案】 A
2．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋2，则其第3、4项分别是( )
A．11，3 B．11，15
C．11，18 D．13，18
【解析】 a3＝32＋2＝11，a4＝42＋2＝18.
【答案】 C
3．已知数列1，，，，…，，…则3是它的( )
A．第22项 B．第23项
C．第24项 D．第28项
【解析】 令＝3，解得n＝23.
【答案】 B
4．下列四个数中，是数列{n(n＋1)}中的一项的是( )
A．380 B．39
C．32 D．23
【解析】 分别令n(n＋1)＝380，39，32，23解出n∈N＋即可，验证知n＝19时，19×20＝380.
【答案】 A
5．(2013·德州高二检测)数列－，，－，，…的通项公式an为( )
A．(－1)n＋1
B．(－1)n＋1
C．(－1)n
D．(－1)n
【解析】 观察式子的分子为1，2，3，4，…，n，…，分母为3×5，5×7，7×9，…，(2n＋1)(2n＋3)，…，而且正负间隔，故通项公式an＝(－1)n.
【答案】 D
二、填空题
6．数列，，，，，…的一个通项公式是________．
【解析】 数列，，，，，…即数列，，，，，…，故an＝.
【答案】 an＝
7．已知数列{an}的通项公式an＝－n2＋7n＋9，则其第3、4项分别是________、________．
【解析】 a3＝－32＋7×3＋9＝21，a4＝－42＋7×4＋9＝21.
【答案】 21 21
8．已知曲线y＝x2＋1，点(n，an)(n∈N＋)位于该曲线上，则a10＝________．
【解析】 ∵点(n，an)位于曲线y＝x2＋1上，∴an＝n2＋1，故a10＝102＋1＝101.
【答案】 101
三、解答题
9．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．
(1)－1，7，－13，19，…
(2)0.8，0.88，0.888，…
(3)，，－，，－，，…
【解】 (1)符号可通过(－1)n表示，后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，
故通项公式为an＝(－1)n·(6n－5)．
(2)将数列变形为(1－0.1)，(1－0.01)，(1－0.001)，…，∴an＝(1－)．
(3)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出第2，3，4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－.
原数列可化为－，，－，，…，
∴an＝(－1)n·.
10．已知数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是项数n的一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)88是否是数列{an}中的项？
【解】 (1)设an＝an＋b.∴a1＝a＋b＝2，①
a17＝17a＋b＝66.②
②－①，得16a＝64，∴a＝4，b＝－2.
∴an＝4n－2(n∈N＋)．
(2)令4n－2＝88?4n＝90，n＝?N＋，
∴88不是数列{an}中的项．
图1－1－3
11．如图1－1－3所示，有n(n≥2)行n＋1列的士兵方阵：(1)写出一个数列，用它表示当n分别为2，3，4，5，6，…时方阵中的士兵人数．
(2)说出(1)中数列的第5，6项，用a5，a6表示；
(3)若把(1)中的数列记为{an}，求该数列的通项公式an；
(4)求a10，并说明a10所表示的实际意义．
【解】 (1)当n＝2时，表示士兵的人数为2行3列，人数为6；当n＝3时，表示3行4列，人数为12，依此类推，故所求数列为6，12，20，30，42，….
(2)方阵的行数比数列的序号大1，因此第5项表示的是6行7列，第6项表示7行8列，故a5＝42，a6＝56.
(3)根据对数列的前几项的观察、归纳，猜想数列的通项公式．
前4项分别为：6＝2×3，12＝3×4，20＝4×5，30＝5×6
因此an＝(n＋1)(n＋2)．
(4)由(3)知a10＝11×12＝132，a10表示11行12列的士兵方阵中士兵的人数．
(教师用书独具)
数列{an}的通项公式是an＝(n∈N＋)．
(1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？
(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？
【思路探究】 若某个数是数列的某一项，则在通项中必存在一个正整数n与其对应，否则就不是数列中的项．
【自主解答】 (1)若0是{an}中的第n项，则＝0，
∵n∈N＋，∴n＝21.∴0是{an}中的第21项．
若1是{an}中的第n项，则＝1，
∴n2－21n＝2，即n2－21n－2＝0.
∵方程n2－21n－2＝0不存在正整数解，
∴1不是{an}中的项．
(2)假设{an}中存在第m项与第m＋1项相等，即am＝am＋1，则解得m＝10.
∴数列{an}中存在连续的两项第10项与第11项相等．
1．本题易忽视n∈N＋，导致解方程n2－21n－2＝0出错．
2．数列通项公式反映了一个项与项数的函数关系，通项公式的作用：
(1)求数列中任意一项；
(2)检验某数是否是该数列中的一项．
在上述例题中，当n为何值时，an<0?
【解】 由an<0，得0
又∵n∈N＋，
∴当n＝1，2，3，…，20时，an<0.
1．2 数列的函数特性
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
了解递增数列、递减数列、常数列的概念．掌握判断数列增减性的方法．
2．过程与方法
通过画数列图像，观察图像的升降趋势的学习过程使学生体会数列的增减性，学习过程采用启发、引导式教学．
3．情感、态度与价值观
通过本节课的学习培养学生数形结合思想，函数思想的应用．
●重点难点
判定数列的增减性．
(教师用书独具)
●教学建议
针对判断数列的增减性问题可以从以下两种方法着手解决：
(1)图像法：利用数列的图像的升、降趋势进行判断．
(2)定义法：根据相邻两项an与an＋1的大小关系来判断．判断这两项的大小可采用作差或作商的方法．
●教学流程
??????
(对应学生用书第4页)
课标解读
1.了解数列的几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)(重点)．
2．了解递增数列、递减数列、常数列的概念．
3．掌握判断数列增减性的方法(难点).
数列的表示法
表示一个数列我们可以用图像、列表、通项公式．
数列增减性
【问题导思】
观察以下几个数列：①1，2，3，4，…；②－2，－4，－6，－8，…；③1，1，1，1，….
从函数的单调性上考查，以上三个数列有何特点？
【提示】 ①是递增的数列 ②是递减的数列 ③是常数列
名称
定义
表达式
图像特点
递增数列
从第2项起，每一项都
大于它前面的一项
an＋1＞an
上升
递减数列
从第2项起，每一项都
小于它前面的一项
an＋1＜an
下降
常数列
各项都相等
an＋1＝an
不升不降
(对应学生用书第5页)
数列的图像及应用
已知数列{an}的通项公式为an＝，画出它的图像，并判断增减性．
【思路探究】 借助函数y＝的图像作出数列{an}的图像，然后根据图像的升降趋势判断单调性．
【自主解答】 图像如图所示，该数列在{1，2，3，4}上是递减的，在{5，6，…}上也是递减的．
1．解答本题的关键是借助函数y＝的图像．
2．若数列的通项公式an＝f(n)所对应的函数y＝f(x)是基本初等函数，则可利用对应函数的图像及性质，研究数列的性质．
把数列{n2－9n}用列表法表示出来，在直角坐标系中画出它的图像，并根据图像指出它的增减性．
【解】 列表法表示为：
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
…
项
－8
－14
－18
－20
－20
－18
－14
－8
…
记an＝n2－qn，数列图像如图所示：
由图像直观地看出它在{1，2，3，4}上是递减的，在{5，6，7，8，…}上是递增的．
数列增减性的判断
已知数列{an}的通项公式an＝，试判断该数列的增减性．
【思路探究】 可用作差法或作商法判断数列的增减性．
【自主解答】 an＋1－an＝－
＝.
因为n∈N＋，所以1－n2－n<0，
所以an＋1－an<0，
即an＋11．本题中1－n2－n的符号判断是关键，不要忽视n∈N＋这一条件．
2．应用函数单调性的判断方法来判断数列的单调性，常用的方法有：作差法，将an＋1－an与0进行比较；作商法，将与1进行比较(在作商时，要注意an<0还是 an>0)．
判断数列1，，，，…，，…的增减性．
【解】 设an＝.
∵an＋1－an＝－＝＜0，
∴an＋1＜an，∴{an}是递减数列．
求数列的最大(小)项
已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)()n(n∈N＋)，试问数列{an}有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由．
【思路探究】 →→→
【自主解答】 法一 假设数列{an}中存在最大项．
∵an＋1－an
＝(n＋2)()n＋1－(n＋1)()n＝()n·，
当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1故a1a11>a12…，
所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，
且a9＝a10＝.
法二 假设数列{an}中有最大项，并设第k项为最大项，则对任意的k∈N＋且k≥2都成立．
即
∴
解得9≤k≤10.
又k∈N＋，
∴数列{an}中存在的最大项是第9项和第10项，
且a9＝a10＝.
1．解答探索性题目的方法：
首先假设存在，然后在此前提下，利用已知条件进行推理，若推出合理的结论，则说明存在；若推出矛盾的结论，则说明不存在．
2．求数列的最大(小)项的两种方法：
(1)利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项．
(2)设ak是最大项，则有对任意的k∈N＋且k≥2都成立，解不等式组即可．
已知数列{an}的通项公式为an＝，求数列{an}的最大项和最小项．
【解】 ∵an＋1－an＝－
＝
＝
＝－＝－
当n≤2时，an＋1－an<0，即an＋1当n＝3时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n≥4时，an＋1－an<0，即an＋1又当n≤3时，an<2；当n≥4时，an>2.
∴a4>a5>…>an>…>2>a1>a2>a3.
故a3最小为0，a4最大为4.
(对应学生用书第6页)
忽视n的范围致误
设数列{an}的通项公式为：an＝n2＋kn(n∈N＋)，若数列{an}是单调递增数列，求实数k的取值范围 .
【错解】 ∵an＝n2＋kn，其图像对称轴方程为n＝－，
又数列{an}是单调递增数列，
∴－≤1，得k≥－2.
故实数k的取值范围为[－2，＋∞)．
【错因分析】 导致上述错解的原因是仅考虑了数列{an}为单调递增数列时的一种情形，而没考虑到n∈N＋，n的值是离散的．
【防范措施】 数列是特殊函数，一定要注意其定义域是N＋(或它的有限子集)．
【正解】 法一 ∵数列{an}是单调递增数列，
∴an＋1－an>0(n∈N＋)恒成立．
又∵an＝n2＋kn(n∈N＋)，
∴(n＋1)2＋k(n＋1)－(n2＋kn)>0恒成立．
即2n＋1＋k>0.
∴k>－(2n＋1)(n∈N＋)恒成立．
而n∈N＋时，－(2n＋1)的最大值为－3(n＝1时)，
∴k>－3.即k的取值范围为(－3，＋∞)．
法二 结合二次函数y＝x2＋kx的图像，要使{an}是递增数列，只要a1即1＋k<4＋2k，得k>－3，
所以k的取值范围为(－3，＋∞)．
1．数列的三种表示方法各有优缺点：(1)用通项公式表示数列，简洁明了，便于计算．公式法是常用的数学方法．(2)列表法的优点是不经过计算，就可以直接看出项数与项的对应关系．(3)图像能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项变化的趋势．
2．判断一个数列的增减性，可以借助于图像的升、降趋势进行判断，也可以利用递增数列、递减数列、常数列的定义进行判断，即通过判断一个数列的任意相邻两项之间的大小关系来确定数列的增减性．
(对应学生用书第7页)
1．已知数列{an}的通项公式an＝a(a＜0)，则该数列是( )
A．递减数列 B．递增数列
C．常数列 D．以上都不是
【解析】 ∵an＋1－an＝a－a＝
－a＞0，即an＋1＞an，∴该数列是递增数列．
【答案】 B
2．递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是( )
A．R B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，0]
【解析】 an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k＜0.
【答案】 C
3．若数列{an}的通项公式为an＝(k>0，且k为常数)，则该数列是________(填“递增”、“递减”)数列．
【解析】 ＝·＝<1.∵k>0，
∴an>0，∴an＋1【答案】 递减
4．写出数列1，，，，，…的通项公式，并判断其增减性．
【解】 通项公式为an＝.
∵an＋1－an＝－＝<0，
∴an＋1(对应学生用书第81页)
一、选择题
1．已知数列{an}中，an＋1＝an＋2，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．以上都不对
【解析】 ∵an＋1＝an＋2，∴an＋1－an＝2＞0，
∴an＋1＞an，故数列{an}为递增数列．
【答案】 A
2．已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝an，则数列{an}的最大项是( )
A．a1 B．a9
C．a10 D．不存在
【解析】 ∵a1>0且an＋1＝an，∴an>0，＝<1，
∴an＋1【答案】 A
3．(2013·西安高二检测)已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．常数列
【解析】 an＋1－an＝－＝＝＞0，∴{an}是递增数列．
【答案】 A
4．已知an＝－2n2＋9n＋3，则数列{an}中的最大项为( )
A．a1＝10 B．a2＝13
C．a3＝12 D．以上均不正确
【解析】 an＝－2(n－)2＋，由于n∈N＋，
∴当n＝2时，a2＝13最大．
【答案】 B
5．(2013·沈阳高二检测)函数y＝f(x)的图像在下列图中，并且对任意a1∈(0，1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}满足an＋1＞an(n∈N＋)，则该函数的图像可能是( )
【解析】 由an＋1＝f(an)及an＋1＞an可知，f(an)＞an，即图像上每一点的纵坐标大于其横坐标，∴函数y＝f(x)的图像应在直线y＝x上方，故选A.
【答案】 A
二、填空题
6．(2013·黄冈高二检测)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N＋)，则a2 012＝________．
【解析】 ∵a1＝2由an＋1＝得a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，∴{an}为周期为4的数列，
∴a2 012＝a4×503＝a4＝.
【答案】
7．已知数列{an}，an＝2n2－10n＋3，它的最小项是________．
【解析】 an＝2n2－10n＋3＝2(n－)2－.故当n＝2或3时，an最小．
【答案】 2或3项
8．已知数列{an}的通项公式为an＝4n－102，则数列从第________项开始值大于零．
【解析】 令4n－102＞0得n＞25，
∴数列{an}从第26项开始大于零．
【答案】 26
三、解答题
9．已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋10n＋11，试作出其图像，并判断数列的增减性．
【解】 列表：
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
…
an
20
27
32
35
36
35
32
27
20
11
0
…
图像如图所示：
由数列的图像知，当1≤n≤5时数列递增；当n≥5时数列递减．
10．已知函数f(x)＝，设an＝f(n)(n∈N＋),
(1)求证：an<1；
(2){an}是递增数列还是递减数列？为什么？
【解】 (1)证明 an＝f(n)＝＝1－<1.
(2)∵an＋1－an＝－＝(1－)－(1－)＝>0，
∴an＋1>an，
∴{an}是递增数列．
11．(2013·广州高二检测)已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
【解】 (1)由n2－5n＋4＜0，解得1＜n＜4.
∵n∈N＋，∴n＝2，3.
∴数列中有两项是负数．
(2)法一 ∵an＝n2－5n＋4＝－，可知对称轴方程为n＝.又因n∈N＋，故n＝2或3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝22－5×2＋4＝32－5×3＋4＝－2.
法二 设第n项最小，由，
得
解这个不等式组得2≤n≤3，
∴n＝2，3，∴a2＝a3且最小，
∴a2＝a3＝22－5×2＋4＝32－5×3＋4＝－2.
(教师用书独具)
已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明数列{an}是递减数列．
【思路探究】 首先建立关于an的一元二次方程求解，再证明an>an＋1即可证明数列{an}是递减数列．
【自主解答】 (1)∵f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n，
∴2log2an－2－log2an＝－2n，
∴an－＝－2n，
∴an2＋2nan－1＝0，解得an＝－n±.
∵an>0，∴an＝－n，n∈N＋.
(2)＝
＝<1.
∵an>0，∴an＋1∴数列{an}是递减数列．
本题是函数、方程与数列的典型结合与运用，要比较an与an＋1的大小，可以用作差法或作商法，即若an＋1－an>0，则an＋1>an，可以判断数列{an}是递增数列；当an>0时，若>1，则an＋1>an，也能判断数列{an}是递增数列．对于递减数列，同理可以给出判断．
若数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋13n(n∈N＋)，画出它在x轴上方的图像，并根据图像求出an的最大值，并在同一坐标系中画出函数f(x)＝－2x2＋13x的图像，根据图像求出f(x)的最大值．若用函数来求an＝－2n2＋13n的最大值，应如何处理？
【解】 由－2n2＋13n>0，可得0函数f(x)＝－2x2＋13x的图像如图所示(图中曲线)．
f(x)＝－2x2＋13x＝－2(x－)2＋，所以当x＝时，f(x)max＝.
用函数来求{an}的最大值时，
因为3<<4，且3离3较近，
所以最大值为a3＝21.
§2等差数列
2．1 等差数列
第1课时 等差数列
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
掌握等差数列通项公式及推导，掌握判断等差数列的方法．
2．过程与方法
通过对等差数列图像的应用进一步渗透数形结合思想，通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想．
3．情感、态度与价值观
通过对等差数列的研究，使学生明白等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辨证唯物主义观点．
●重点难点
重点：等差数列的判定．
难点：求等差数列的通项公式及其应用．
(教师用书独具)
●教学建议
问题：数列：1，3，( )，7，9，…
2，5，8，( )，14，…
－2，3，8，( )，18，…
师：先根据数列的特点填空，再思考一下这些数列的共同特点？
生：后一项减前一项都等于常数．
师：对这样的数列，如何表示相邻两项的关系(an＋1与an)?
生：an＋1－an＝d(d为常数)．
师：这样的数列就是我们这节课要讲的等差数列．(板书课题)
●教学流程
??????
(对应学生用书第7页)
课标解读
1.理解等差数列的概念(重点)．
2．掌握等差数列的判断方法(重点)．
3．掌握等差数列的通项公式及其应用(重点、难点).
等差数列的概念
【问题导思】
对于数列2，4，6，8，…该数列相邻两项的差(后项减去前项)有什么特点？怎样表示相邻两项间的关系？
【提示】 等于同一常数．an＋1－an＝2或an－an－1＝2(n≥2)．
文字语言
从第2项起，每一项与它前一项的差 等于同一个常数，这样的数列就叫做等差数列．称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示.
符号语言
若an－an－1＝d(n≥2)，则数列{an}为等差数列.
等差数列的通项公式
【问题导思】
你能观察出数列2，4，6，8，…的通项公式吗？能否给予证明？
【提示】 an＝2n，证明如下：
由an＋1－an＝2，
可知a2－a1＝2，a3－a2＝2，…，an－an－1＝2，
将它们相加，得an－a1＝2(n－1)，
∴an＝2n.
若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则这个数列的通项公式是an＝a1＋(n－1)d．
(对应学生用书第8页)
等差数列的判定
已知数列{an}的通项公式为an＝lg(n∈N＋)，判断该数列是否为等差数列？若是等差数列，公差是多少？
【思路探究】 用等差数列的定义来判断，即判断an＋1－an(n∈N＋)是否为同一个常数．
【自主解答】 ∵an＋1－an＝lg－lg＝lg(×)＝lg(常数)．
∴数列{an}是等差数列，公差是lg.
1．本题在证明an＋1－an＝d(常数)时，注意应用对数运算的性质变形化简．注意切记不可通过计算a2－a1，a3－a2，a4－a3等几个有限的式子的值后，发现它们都是同一个常数，就得出该数列为等差数列的结论．
2．等差数列的定义是判断一个数列是否为等差数列的重要依据，要证明一个数列是等差数列，可用an＋1－an＝d(常数)或an－an－1＝d(d为常数且n≥2)．
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．
本例中，若an＝pn＋q(p、q为常数)，问{an}是否为等差数列？
【解】 ∵an＝pn＋q，
∴an＋1＝p(n＋1)＋q，
∴an＋1－an＝p(常数)．
∴{an}是公差为p，首项为p＋q的等差数列．
求通项公式
已知等差数列{an}，a5＝11，a8＝5，求通项an.
【思路探究】 欲求an，只需求首项a1和公差d，故可利用a5和a8建立a1和d的方程组求解．
【自主解答】 设数列{an}的公差为d，
由a5＝11，a8＝5，得
解得a1＝19，d＝－2，
所以，数列{an}的通项公式an＝19＋(n－1)×(－2)＝21－2n.
1．在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；
2．有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解，学会运用方程的思想和方法来解决问题，注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
在等差数列{an}中，已知a3＝7，a5＝11，求an.
【解】 设数列{an}的公差为d，由题意知
解得.
∴an＝3＋(n－1)×2＝2n＋1.
等差数列通项公式的应用
(1)已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75；
(2)已知数列{an}为等差数列，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8.
【思路探究】 (1)由a15，a60建立a1，d的方程，求出a1，d再求a75.
(2)由a2＋a8得到a1和d的关系式，整体代入求解．
【自主解答】 (1)∵解得
∴a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.
(2)∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，
∴5a1＋20d＝450，a1＋4d＝90，
∴a2＋a8＝2a1＋8d＝2×90＝180.
1．利用等差数列的通项公式求出首项a1及公差d，从而可求数列的其他项，注意方程的思想．
2．利用通项公式求出首项a1和公差d的关系式，从而可求指定的几项和，注意整体代入的思想．
在等差数列{an}中，a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项．
【解】 ∵解得
∴an＝7＋2(n－1)＝2n＋5.
令2n＋5＝91，∴n＝43.
∵n为正整数，∴91是此数列中的项．
(对应学生用书第9页)
忽视n的范围致误
已知数列{an}，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)．
(1)判断数列{an}是否为等差数列，说明理由．
(2)求{an}的通项公式．
【错解】 (1)∵an＝an－1＋2，∴an－an－1＝2，
∴{an}是等差数列．
(2)由(1)知a1＝1，d＝2，∴an＝1＋(n－1)·2＝2n－1.
【错因分析】 判断{an}是否为等差数列时，未考虑等式an－an－1＝2成立的条件是n≥3，即不包括a2－a1，不符合等差数列的定义，进而得{an}的通项公式，显然不正确．
【防范措施】 注意an－an－1＝d中n的范围是n≥2.
【正解】 (1)当n≥3时，an＝an－1＋2，
即an－an－1＝2，
而a2－a1＝0不满足an－an－1＝2(n≥3)，
∴{an}不是等差数列．
(2)当n≥2时，令a2＝b1＝1，
a3＝b2＝3，a4＝b3＝5，…，则{bn}是等差数列，
an＝bn－1＝1＋2[(n－1)－1]＝2n－3(n≥2)．
又a1＝1，∴an＝
1．等差数列的通项公式：
(1)等差数列的通项公式由首项和公差确定；
(2)在等差数列中，已知a1，n，d，an这四个量中的三个，可以求得另一个量．
2．等差数列的判定方法：
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)?{an}是等差数列．
(2)通项公式法：an＝kn＋b(k、b为常数)?{an}是等差数列．
(对应学生用书第10页)
1．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列( )
A．是公差为2的等差数列
B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列
D．是公差为n的等差数列
【解析】 an＝2n＋5＝2(n－1)＋7，∴公差d＝2，故选A.
【答案】 A
2．等差数列，－，－，…的第10项为( )
A．－ B．－
C. D.
【解析】 由a1＝，d＝－－＝－2，得
an＝＋(n－1)(－2)＝－2n＋.
当n＝10时，a10＝－2×10＋＝－.
【答案】 B
3．等差数列{an}，a1＝7，a7＝1，则a5＝________．
【解析】 a1＝7，a7＝1，由an＝a1＋(n－1)d得1＝7＋6d，
∴d＝－1，
∴a5＝a1＋4d＝3.
【答案】 3
4．如果数列{an}是等差数列，数列{bn}中，bn＝3an＋2.求证：{bn}是等差数列．
【证明】 设等差数列{an}的公差为d，则an＋1－an＝d(n∈N＋)，
由bn＝3an＋2，得bn＋1＝3an＋1＋2,
∴bn＋1－bn＝3(an＋1－an)＝3d(n∈N＋)是常数.
∴数列{bn}是等差数列．
(对应学生用书第83页)
一、选择题
1．等差数列－3，－7，－11，…的通项公式为( )
A．4n－7 B．－4n－7
C．4n＋1 D．－4n＋1
【解析】 ∵a1＝－3，d＝(－7)－(－3)＝－4，
∴an＝－3－4(n－1)＝－4n＋1.
【答案】 D
2．已知等差数列{an}，a1＝4，公差d＝2，若an＝4 012，则n等于( )
A．2 004 B．2 006
C．2 005 D．2 003
【解析】 由通项公式an＝a1＋(n－1)d，得4 012＝4＋2(n－1)，∴n＝2 005.
【答案】 C
3．已知等差数列{an}的前三项分别是a－1，a＋1，2a，则a的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 由定义知，a＋1－(a－1)＝2a－(a＋1)，得a＝3.
【答案】 C
4．已知数列{an}是等差数列，若a3＋a11＝24，a4＝3，则数列{an}的公差等于( )
A．1 B．3
C．5 D．6
【解析】 设{an}的首项为a1，公差为d，
∴?d＝3.
【答案】 B
5．(2013·黄冈高二检测)已知点(n，an)(n∈N＋)都在直线3x－y－24＝0上，那么在数列{an}中有( )
A．a7＋a9>0 B．a7＋a9<0
C．a7＋a9＝0 D．a7·a9＝0
【解析】 ∵(n，an)在直线3x－y－24＝0，
∴an＝3n－24，∴a7＝3×7－24＝－3，a9＝3×9－24＝3，
∴a7＋a9＝0.
【答案】 C
二、填空题
6．已知等差数列14，16，18，…，那么数列的第1 001项为________．
【解析】 由题意知a1＝14，d＝2，
∴an＝14＋2(n－1)＝2n＋12，
∵a1 001＝2×1 001＋12＝2 014.
【答案】 2 014
7．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6＝________．
【解析】 a2＋a3＝a1＋d＋a1＋2d＝2a1＋3d＝4＋3d＝13，∴d＝3，
∴a4＋a5＋a6＝3a1＋3d＋4d＋5d＝3a1＋12d＝6＋36＝42.
【答案】 42
8．(2013·台州高二检测)在数列{an}中，a1＝3，且对任意大于1的正整数n，点(， )在直线x－y－＝0上，则数列{an}的通项公式为an＝________．
【解析】 ∵点(，)在直线x－y－＝0上，∴－－＝0，即－＝(n≥2)．则数列{}是以为首项，为公差的等差数列，
∴＝＋(n－1)＝n，∴数列{an}的通项公式为an＝3n2.
【答案】 3n2
三、解答题
9．已知数列{an}的通项公式是an＝7n＋2，求证：数列{lg an}是等差数列．
【证明】 设bn＝lg an，
则bn＋1－bn＝lg an＋1－lg an
＝(n＋3)lg 7－(n＋2)lg 7＝lg 7(常数)．
所以数列{bn}是等差数列，
即数列{lg an}是等差数列．
10．已知数列(n∈N＋)为等差数列，且a1＝3，a3＝9，求数列{an}的通项公式．
【解】 设等差数列的公差为d，则
log2(a3－1)－log2(a1－1)＝2d.代入a1＝3，a3＝9得，
log28－log22＝2d，∴d＝1.
∴log2(an－1)＝log2(a1－1)＋(n－1)×1＝n.
∴an－1＝2n，∴an＝2n＋1.
11．在等差数列{an}中，已知a4＝70，a21＝－100.
(1)求首项a1与公差d，并写出通项公式；
(2){an}中有多少项属于区间[－18，18]?
【解】 (1)由题意，得an＝a1＋(n－1)d.
∴得a1＝100，d＝－10.
∴通项公式an＝100－10(n－1)＝－10n＋110.
(2)由题意得－18≤－10n＋110≤18，
解得9.2≤n≤12.8，
∵n∈N＋，∴n＝10，11，12.
∴属于区间[－18，18]的项有3项，它们是a10，a11，a12.
(教师用书独具)
已知f(x)＝，数列{xn}满足xn＝f(xn－1)(n≥2且n∈N＋)．
(1)求证：{}是等差数列；
(2)当x1＝时，求x100.
【思路探究】 →→
→→→
【自主解答】 (1)∵xn＝f(xn－1)＝(n≥2，n∈N＋)，
∴＝＝＋，
∴－＝.
∴数列{}为等差数列，公差为.
(2)＝＋(n－1)·，
∵x1＝，∴＝2＋(100－1)·＝35.
∴x100＝.
1．本例中{xn}本身不是等差数列，要证它各项的倒数成等差数列，应通过变形得到－＝d(常数)．
2．本题属于“生成数列问题”，关键是把看成一个整体．另外，在遇到一题多问的题目时，解答后面的问题要注意应用前面的结论．
数列{an}各项的倒数组成一个等差数列，若a3＝－1，a5＝＋1，求a11.
【解】 设bn＝，则{bn}为等差数列，设公差为d.
由已知得b3＝＝＝＋1，
b5＝＝＝－1，
∴
解得
∴b11＝b1＋10d＝－7.
∴a11＝＝＝.
第2课时 等差数列的性质
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
理解和掌握等差数列的性质，能选择方便快捷的解题方法，掌握等差中项的概念及其应用．
2．过程与方法
培养学生观察、归纳能力，在学习过程中体会类比思想、数形结合思想．
3．情感、态度与价值观
通过师生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，并引导学生从不同角度看问题，解决问题．
●重点难点
重点：等差数列的性质、等差中项．
难点：等差数列性质的应用及实际应用．
(教师用书独具)
●教学建议
本学案针对本节课的重点、难点设计了例1、例2、例3.
例1主要是等差数列性质的应用，通过例1进一步了解等差数列的性质，加深性质的应用．
例2是等差中项问题，通过例2让学生会求等差中项及利用等差中项解决问题．
例3是等差数列的实际应用，通过例3让学生认识到数列在实际生活中的应用，提高学生运用所学知识分析、解决实际问题的能力．
●教学流程
??????
(对应学生用书第10页)
课标解读
1.会画等差数列的图像，掌握其性质(重点)．
2．掌握等差中项的概念，会求两数的等差中项(重点)．
3．能解决与等差数列有关的简单的应用题(难点).
等差数列的图像及增减性
【问题导思】
1．(1)首项为－1，公差为1的等差数列－1，0，1，2，3，4，5…的图像如图(1)所示．
(2)首项为3，公差为－1的等差数列3，2，1，0，－1，－2，－3…的图像如图(2)所示．
(3)首项为2，公差为0的等差数列(常数列)2，2，2，2，…的图像如图(3)所示．
(1) (2) (3)
图1－2－1
观察上述等差数列的图像，它们有什么共同特征？
【提示】 它们的图像都是呈直线状的一群孤立的点.2.观察上述等差数列的图像，它们的增减性与公差d有何关系？
【提示】 当d>0时图像上升，数列递增；
当d<0时图像下降，数列递减；
当d＝0时图像不变化，常数列．
1．等差数列的图像
由an＝dn＋(a1－d)，可知其图像是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，其中公差d是该直线的斜率．
2．等差数列的增减性
对于an＝dn＋(a1－d)，
1．当d＞0时，{an}为递增数列；
2．当d＜0时，{an}为递减数列；
3．当d＝0时，{an}为常数列．
等差中项
【问题导思】
等差数列中任意相邻三项a，b，c，试问a，b，c有何关系？
【提示】 ∵b－a＝c－b，
∴b＝.
如果在a与b中间插入一个数A，使a、A、b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项，且A＝．
(对应学生用书第11页)
等差数列的性质
在公差为d的等差数列{an}中，
(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；
(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求d.
【思路探究】 (1)如何寻找a2＋a3＋a23＋a24与a13的关系？(2)如何用d来表示已知的条件？
【自主解答】 法一 (1)化成a1和d的方程如下：
(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，
即4(a1＋12d)＝48.
∴4a13＝48.∴a13＝12.
(2)化成a1和d的方程如下：
解得，或，
∴d＝3或－3.
法二 (1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，及a2＋a24＝a3＋a23＝2a13，
得4a13＝48，∴a13＝12.
(2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，及a3＋a4＝a2＋a5得2(a2＋a5)＝34，
即a2＋a5＝17.
解得或
∴d＝＝＝3或d＝＝＝－3.
对于等差数列的基本运算问题，一般有两种方法，一是建立基本量a1和d的方程，通过解方程组求解；一是利用等差数列的基本性质求解．等差数列的常用性质有：
性质1：通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)．
性质2：若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an.
性质3：若{an}是等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为md的等差数列．
在等差数列{an}中，若a1＋a2＝3，a3＋a4＝7，求a5＋a6.
【解】 ∵a1＋a5＝2a3，a2＋a6＝2a4，
∴(a1＋a5)＋(a2＋a6)＝2(a3＋a4)，
即(a1＋a2)＋(a5＋a6)＝2(a3＋a4)，
∴3＋(a5＋a6)＝2×7，
∴a5＋a6＝11.
等差中项问题
在数列{an}中，a1＝0，当n≥2时，＝.
求证：数列{an}是等差数列．
【思路探究】 通过证明an＋2＋an＝2an＋1(n∈N＋)来证明.
【自主解答】 当n≥2时，由＝，得(n－1)an＋1＝nan，
∴nan＋2＝(n＋1)an＋1，
两式相减得，nan＋2－(n－1)an＋1＝(n＋1)an＋1－nan，
整理得，nan＋2＋nan＝2nan＋1，
∴an＋2＋an＝2an＋1，
又∵a3－a2＝2a2－a2＝a2＝a2－0＝a2－a1，
∴数列{an}是等差数列．
1．利用等差中项判断等差数列是一种重要的方法．一般地，若证明三项成等差数列，则多采用等差中项．
2．证明一个数列是等差数列的方法
(1)定义法： an－an－1＝d(常数)(n≥2)?数列{an}是等差数列；
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)?数列{an}是等差数列．
已知a、b、c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b也成等差数列．
【证明】 ∵a、b、c成等差数列，
∴2b＝a＋c，
∴(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c
＝a＋(a＋c)＋c
＝2(a＋c)，
∴b＋c，c＋a，a＋b成等差数列．
等差数列的实际应用
某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
【思路探究】 由题设知第1年获利200万，第2年获利180万元，第3年获利160万元，…每年获利构成怎样的数列？当an取何值时该公司发现亏损？
【自主解答】 设从第1年起，第n年的利润为an，则由题意知a1＝200，an－an－1＝－20(n≥2，n∈N＋)．所以每年的利润an可构成一个等差数列{an}，且公差d＝－20.从而an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，由an＝220－20n<0，得n>11，
即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．
1．抽象出等差数列模型是解答本题的关键．
2．在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决．若这组数依次成直线上升或递减，则可考虑利用等差数列方法解决．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．
一山高(山顶相对于山脚的垂直高度)1 600 m，已知此地每升高(垂直高度)100 m，气温降低0.7 °C.某时刻山脚下的气温为26 °C，求此时山顶的气温．
【解】 从山脚依次每升高100 m，对应的气温组成等差数列记为{an}，则a1＝26，d＝－0.7.
∴n＝1 600÷100＋1＝17.
∵an＝26＋(n－1)·(－0.7)，
∴a17＝26＋16×(－0.7)＝14.8(°C)，
即此时山顶的气温为14.8 °C.
(对应学生用书第12页)
等差中项的妙用
(12分)在－2和14之间顺次插入三个数a，b，c，使这5个数成等差数列，求插入的这三个数．
【思路点拨】 插入的三个数使5个数成等差数列，于是b是－2与14的等差中项，a是－2与b的等差中项，c是b与14的等差中项，利用等差中项的特点，可迅速作答．
【规范解答】 依题意，b是－2与14的等差中项．
∴b＝＝6.6分
又a是－2与b的等差中项，c是b与14的等差中项，
∴a＝＝2，c＝＝10.11分
故插入的三个数为2，6，10.12分
巧妙运用等差数列中项，能减少运算量，使问题简单化．
1．等差数列增减性的判断方法：可利用公差d的符号来判断．
2．应用等差数列的性质，可使有关等差数列问题的解答变得简捷．
3．在利用等差数列的性质解题时，注意函数与方程思想，转化与化归思想及整体代入方法的应用．
(对应学生用书第13页)
1．已知等差数列{an}中，a6＋a10＝20，a4＝2，则a12的值是( )
A．26 B．20 C．18 D．28
【解析】 由题意得a6＝a4＋2d，a10＝a4＋6d，所以2＋2d＋2＋6d＝20，得d＝2，故a12＝a4＋8d＝2＋8×2＝18.
【答案】 C
2．lg(－)与lg(＋)的等差中项为( )
A．0 B．lg
C．lg(5－2) D．1
【解析】 ＝
＝＝0，故选A.
【答案】 A
3．已知等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝________．
【解析】 ∵a3＋a8＝a5＋a6＝22.
又a6＝7，∴a5＝15.
【答案】 15
4．在等差数列{an}中，a2＋a3＋a10＋a11＝36，求a5＋a8和a6＋a7.
【解】 ∵a2＋a11＝a3＋a10＝a5＋a8＝a6＋a7，
∴a5＋a8＝a6＋a7＝＝＝18.
(对应学生用书第85页)
一、选择题
1．若等差数列{an}的公差为d，则{3an}是( )
A．公差为d的等差数列
B．公差为3d的等差数列
C．非等差数列
D．无法确定
【解析】 设bn＝3an，则bn＋1－bn＝3an＋1－3an＝3(an＋1－an)＝3d.
【答案】 B
2．(2013·德州高二检测)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝( )
A．14 B．21 C．28 D．35
【解析】 ∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4.
又a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝7×4＝28，故选C.
【答案】 C
3．(2013·哈尔滨高二检测)等差数列{an}首项a1＝1，公差d＝3，当an＝298时，序号n等于( )
A．96 B．99 C．100 D．101
【解析】 由已知a1＝1，d＝3得an＝1＋3(n－1)＝3n－2.又an＝298.∴298＝3n－2，解得n＝100，故选C.
【答案】 C
4．a＝，b＝，则a、b的等差中项为( )
A. B. C. D.
【解析】 ＝
＝＝.
【答案】 A
5．数列{an}满足3＋an＝an＋1(n∈N＋)且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是( )
A．－2 B．－ C．2 D.
【解析】 由已知可得{an}是等差数列，公差d＝3，
∴a5＋a7＋a9＝a2＋a4＋a6＋9d＝36，
∴log6(a5＋a7＋a9)＝2.
【答案】 C
二、填空题
6．在a和b(a≠b)两个数之间插入n个数，使它们与a、b组成等差数列，则该数列的公差为________．
【解析】 b＝a＋(n＋2－1)d，则d＝.
【答案】
7．在等差数列{an}中，若a3－a4＋a5－a6＋a7＝100，则a5＝________．
【解析】 a3＋a7＝a4＋a6，
则a3－a4＋a5－a6＋a7＝(a3＋a7)－(a4＋a6)＋a5
＝a5＝100.
【答案】 100
8．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．
【解析】 设所构成的等差数列为{an}，则
由a7＋a8＋a9＝4得3a8＝4，∴a8＝.
由a1＋a2＋a3＋a4＝3得2(a1＋a4)＝3，
∴a1＋a4＝.
∴(a8－7d)＋(a8－4d)＝得d＝.
∴a5＝a8－3d＝－3×＝.
【答案】
三、解答题
9．若三个数a－4，a＋2，26－2a，适当排列后构成递增等差数列，求a的值和相应的数列．
【解】 当a－4是等差中项时，2(a－4)＝(a＋2)＋(26－2a)，
解得a＝12，相应的数列为：2，8，14；
当a＋2是等差中项时，2(a＋2)＝(a－4)＋(26－2a)，
解得a＝6，相应的数列为：2，8，14；
当26－2a是等差中项时，2(26－2a)＝(a－4)＋(a＋2)，
解得a＝9，相应的数列为：5，8，11.
10．已知f(x)＝x2－2x－3，等差数列{an}中，a1＝f(x－1)，a2＝－，a3＝f(x)，求：
(1)x的值；
(2)通项an.
【解】 (1)由f(x)＝x2－2x－3，
得a1＝f(x－1)＝(x－1)2－2(x－1)－3＝x2－4x，
a3＝x2－2x－3，又因为{an}为等差数列，
所以2a2＝a1＋a3.
即－3＝x2－4x＋x2－2x－3.
解得x＝0或x＝3.
(2)当x＝0时，a1＝0，d＝a2－a1＝－，
此时an＝a1＋(n－1)d＝－(n－1)；
当x＝3时，a1＝－3，d＝a2－a1＝，
此时an＝a1＋(n－1)d＝(n－3)．
11．某产品按质量分10个档次，生产最低档产品的利润是8元/件，每提高一个档次，利润增加2元/件，但产量减少3件．在相同的时间内，最低档次(设为第一档次)的成品可生产60件，则在相同的时间内，生产第几档次的产品可获得最大利润？
【解】 设第n档次产品的产量为an，第n档次产品的利润为bn，则an＝60－3(n－1)＝63－3n，
bn＝8＋2(n－1)＝2n＋6(1≤n≤10，n∈N＋)．生产第n档次产品可获利f(n)＝anbn＝(63－3n)·(2n＋6)＝－6n2＋108n＋378＝－6(n－9)2＋864，所以当n＝9时，f(n)取得最大值864.
即生产第9档次的产品可获得最大利润．
(教师用书独具)
甲乙两人连续6年对某县农村养鸡规模进行调查，提供了两个不同的信息图，
甲调查表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只肉鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只肉鸡．
乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年的10个．
(1)第2年养鸡场个数及全县出产肉鸡的只数各是多少？
(2)到第6年这个县出产的肉鸡比第1年出产的肉鸡数增加了还是减少了？
【思路探究】 首先认真阅读题目所给的条件，提取有效信息，然后根据给出的数据和图像建立等差数列，进行求解．
【自主解答】 (1)设第n年平均每个养鸡场出肉鸡an万只，养鸡场bn个，由题意知，数列{an}，数列{bn}均为等差数列(其中n∈N＋且1≤n≤6)．
∵a1＝1，a6＝2，b1＝30，b6＝10，
∴an＝0.2n＋0.8，bn＝－4n＋34，
∴a2＝0.2×2＋0.8＝1.2，
b2＝－4×2＋34＝26，
∴a2b2＝1.2×26＝31.2，
即第2年养鸡场26个，全县出产肉鸡31.2万只．
(2)由(1)知a6＝2，b6＝10，
∴a6b6＝2×10＝20，
而a1b1＝1×30＝30，
所以a6b6即第6年出产的肉鸡数比第1年出产的肉鸡数减少了．
1．本题由图像特征得到数列{an}与{bn}分别是等差数列是求解的关键．
2．建立等差数列模型后，要确定等差数列的通项公式，并弄清楚实际问题所要求的是等差数列的什么问题．
《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给五人，使每人所得面包数成等差数列，且使最大的三份之和的是较小的两份之和，则最小1份的大小是________．
【解析】 设这五人所得面包数成递增的等差数列{an}，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝100，
∴5a3＝100，
即a3＝20，
∴a1＋2d＝20，①
由(a3＋a4＋a5)＝a1＋a2，得a1＝2d，②
①②联立，解得a1＝10.
【答案】 10
2．2 等差数列的前n项和
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
掌握等差数列前n项和公式，能熟练应用等差数列前n项和公式．
2．过程与方法
通过推导公式的过程，使学生体会从特殊到一般的研究方法，了解倒序相加求和法原理．
3．情感、态度与价值观
获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力．
●重点难点
重点：探索并掌握等差数列的前n项和公式，学会用公式解决一些实际问题．
难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得．
(教师用书独具)
●教学建议
教材从历史上比较有名的求和例子：1＋2＋3＋…＋100的高斯的算法出发，一方面引发学生对等差数列求和问题的兴趣，另一方面使学生发现等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律．高斯的算法比较巧妙，蕴涵有求等差数列前n项和的一般的规律性．教学时，应给学生提供充裕的时间和空间，让学生自己去观察、探索发现这种数列内在的规律．
●教学流程
??????
(对应学生用书第13页)
课标解读
1.理解等差数列前n项和的推导方法(重点)．
2．掌握等差数列的前n项和公式(重点)．
3．能利用等差数列的前n项和公式解决实际问题(难点).
等差数列的前n项和公式
【问题导思】
200多年前，德国著名数学家高斯的算术老师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…＋100＝？
我们都知道高斯很快便计算出来了，他是怎样算出来的呢？从这个算法中得到启发，如何计算1＋2＋3＋…＋n呢？
【提示】 S＝1＋2＋3＋…＋100＝100＋99＋…＋3＋2＋1，
2S100＝(1＋100)＋(2＋99)＋(3＋98)＋…＋(100＋1)
＝101×100，
S100＝101×50＝5 050.
Sn＝1＋2＋…＋(n－1)＋n＝n＋(n－1)＋…＋2＋1，
2Sn＝(1＋n)＋(2＋(n－1))＋…＋((n－1)＋2)＋(n＋1)＝(1＋n)·n，可知Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.
已知量
首项、末项与项数
首项、公差与项数
求和公式
Sn＝
Sn＝na1＋d
(对应学生用书第13页)
等差数列前n项和的基本运算
等差数列{an}中，a10＝30，S20＝620.
(1)求通项an；
(2)若Sn＝242，求n.
【思路探究】 (1)已知a10，S20可以得出什么量？欲求an需要哪些量？
(2)Sn中含有几个量？已知了哪些量？
【自主解答】 (1)设等差数列{an}的公差为d，
∵a10＝30，S20＝620.
∴
解得∴通项公式为an＝2n＋10.
(2)Sn＝na1＋n(n－1)·d＝n2＋11n.
∵Sn＝242，∴n2＋11n＝242，
解得n＝11或n＝－22(舍去)，∴n＝11.
1．在等差数列{an}中，a1和d是两个基本量，用它们可以表示数列中的任何一项．利用等差数列的通项公式和前n项和公式，列方程组解a1和d，是解等差数列问题的基本方法．
2．由等差数列的前n项和公式及通项公式可知，若已知a1、d、n、an、Sn中三个便可求出其余两个，即“知三求二”．
本例中，若条件改为“a2＋a5＝19，S5＝20”．如何求an?
【解】 设等差数列的公差为d，
∵a2＋a5＝19，S5＝20，
∴解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝－18＋(n－1)×11＝11n－29，
即an＝11n－29.
等差数列前n项和性质的应用
一等差数列共有偶数项，且奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差以及项数．
【思路探究】 有了等差数列的奇数项之和与偶数项之和的值及最后一项与第一项之差，要求a1，d，n应怎样应用条件求解？
【自主解答】 法一 设此数列首项为a1，公差为d，项数为2k(k∈N*)，
由已知得
∴
即
解得
因为S2k＝2ka1＋×2k(2k－1)d＝8a1＋42.
所以8a1＋42＝54，
故a1＝，
所以数列的首项是，公差是，项数是8.
法二 设此数列首项为a1，公差为d，项数为2k(k∈N*)，根据题意，得
即
即
解得
所以此数列首项为，公差为，项数为8.
1．本题解法一的解题关键是应用等差数列的性质，当n为偶数时，S偶－S奇＝.
2．对于等差数列前n项和Sn的性质应用问题，其思路灵活又多变，使用性质解题，既灵活又高效，常用性质如下：
(1)若{an}为等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，仍是等差数列．
(2)若{an}为等差数列，则{}也是等差数列．
(3)等差数列的项数为2n(偶数)，则S2n＝n(a1＋a2n)，S偶－S奇＝nd；
(4)若项数为2n－1(奇数)，则S2n－1＝(2n－1)·an，S奇－S偶＝an.
一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．
【解】 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则Sn＝na1＋d.
由已知得
①×10－②，整理得d＝－，
代入①，得a1＝.
∴S110＝110a1＋d
＝110×＋×(－)＝110×()＝－110，
∴前110项之和为－110.
等差数列前n项和的实际应用
某电站沿一条公路竖立电线杆，相邻两根电线杆的距离都是50 m，最远一根电线杆距离电站1 550 m，一汽车每次从电站运出3根电线杆供应施工，若该汽车往返运输总行程为17 500 m．共竖立多少根电线杆？第一根电线杆距离电站多少米？
【思路探究】 →→
→
【自主解答】 由题意知汽车逐趟(由近及远)往返运输行程组成一个等差数列，记为{an}．
则an＝1 550×2＝3 100，d＝50×3×2＝300，
Sn＝17 500，
由等差数列的通项公式及前n项和公式，
得
由①得a1＝3 400－300n.
代入②得n(3 400－300n)＋150n(n－1)－17 500＝0，
整理得3n2－65n＋350＝0，
解得n＝10，或n＝(舍去)，
所以a1＝3 400－300×10＝400.
故汽车拉了10趟，共拉电线杆3×10＝30(根)，最近的一趟往返行程400 m，
第一根电线杆距离电站×400－100＝100(m)．
答：共竖立了30根电线杆，第一根电线杆距离电站100 m.
1．本题关键是得到汽车由近及远逐趟往返运输行程组成一个等差数列．
2．解有关数列的应用问题时，应首先通过对实际问题的研究建立数学模型，然后求出符合实际的答案，可以分以下几步考虑：(1)问题中涉及的数列{an}有何特征？(2)是求数列{an}的通项还是求前n项和？(3)列出方程(组)；(4)怎样求解？(5)得到答案，并转化为实际问题的解．
某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元．若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？
【解】 设第n年获取利润为y万元，
n年共收入租金30n万元，付出装修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，
共n＋×2＝n2，
因此利润y＝30n－(81＋n2)，令y>0，
解得3所以从第4年开始获取纯利润．
(对应学生用书第15页)
忽视变量的实际意义致误
植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________(米)．
【错解】 设树苗集中放置在第i号坑旁边，则20名同学往返所走的路程总和为
l＝2[(i－1)＋(i－2)＋…＋2＋1＋1＋2＋…＋(19－i)＋(20－i)]×10
＝(i2－21i＋210)×20
＝[(i－)2＋]×20
∴i＝11.5时，l最小值＝1 995.
【答案】 1 995
【错因分析】 (1)不能正确建立路程总和l与第i号坑的i之间的函数关系是求解受挫的根本原因．
(2)未注意i的实际意义是出错的另一原因．
【防范措施】 (1)只有认真分析过程，才能发现路程总和l与第i号坑的i之间的函数关系，此方法可称为过程分析法，它是分析应用问题的一种有效方法．
(2)解决应用问题一定要注意变量的实际意义．
【正解】 设树苗集中放置在第i号坑旁边，则20名同学往返所走的路程总和为
l＝2[(i－1)＋(i－2)＋…＋2＋1＋1＋2＋…＋(19－i)＋(20－i)]×10
＝(i2－21i＋210)×20＝[(i－)2＋]×20，
即i＝10或11时，l最小值＝2 000.
【答案】 2 000
解决等差数列前n项和基本方法
(1)“知三求一”型：
主要指在公式an＝a1＋(n－1)d ①，Sn＝ ②，Sn＝na1＋d ③中，每一个公式都分别含有四个量，已知其中的三个，即可以求出第四个．
(2)“知三求二”型：
在a1，an，Sn，n，d五个量中，已知其中的三个量，可以由通项公式和前n项和公式建立方程组，即可以求出另外的两个．
(对应学生用书第16页)
1．在等差数列{an}中，已知a1＝3，a9＝11，则前9项和S9＝( )
A．63 B．65 C．72 D．62
【解析】 S9＝＝＝63.
【答案】 A
2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，d＝2，则S20＝( )
A．230 B．420 C．450 D．540
【解析】 S20＝20a1＋d＝20×2＋×2＝420.
【答案】 B
3．(2013·济南高二检测)已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10＝( )
A．138 B．135 C．95 D．23
【解析】 ∵数列{an}为等差数列，
∴a2＋a4＝2a3＝4，a3＋a5＝2a4＝10，
∴a3＝2，a4＝5.
∴d＝a4－a3＝3，a1＝a3－2d＝－4.
∴S10＝na1＋d＝10×(－4)＋×3＝95.
【答案】 C
4．等差数列{an}的前n项和记为Sn，已知a10＝30，a20＝50.
(1)求通项公式an；
(2)若Sn＝242，求n.
【解】 (1)由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50，
得方程组，
解得，
所以an＝2n＋10.
(2)由Sn＝na1＋d，Sn＝242，
得12n＋×2＝242.
解得n＝11或n＝－22(舍去)．所以n＝11.
(对应学生用书第87页)
一、选择题
1．已知{an}是等差数列，a10＝10，其前10项和S10＝70，则其公差d为( )
A．－ B．－ C. D.
【解析】 ∵∴
解得故选D.
【答案】 D
2．(2013·合肥高二检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(10，a10)直线的斜率为( )
A．4 B．－28 C．－4 D．－14
【解析】 ∵S5＝＝5a3＝55，∴a3＝11，
∴公差d＝a4－a3＝15－11＝4，
∴直线PQ的斜率k＝＝4.
【答案】 A
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a4＋a15的值为常数，则下列各数中也是常数的是( )
A．S7 B．S8 C．S13 D．S15
【解析】 由a2＋a4＋a15是常数，可得a1＋6d＝a7是常数，所以S13＝＝13a7是常数，故选C.
【答案】 C
4．已知无穷项等差数列{an}中，它的前n项和为Sn，且S7>S6，S7>S8，那么( )
A．{an}中a7最大 B．{an}中a3或a4最大
C．当n≥8时，an<0 D．一定有S3＝S11
【解析】 由S7>S6知a7>0，由S7>S8知a8<0故d<0，∴当n≥8时an<0.
【答案】 C
5．(2013·佛山高二检测)在项数为2n＋1的等差数列{an}中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n＝( )
A．9 B．10 C．11 D．12
【解析】 ∵等差数列有2n＋1项，
∴S奇＝，S偶＝.
又∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，
∴＝＝，∴n＝10.
【答案】 B
二、填空题
6．(2013·苏州高二检测)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a6＝100，则S11＝________．
【解析】 S11＝＝＝11a6＝1 100.
【答案】 1 100
7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝10，S6＝40，则a7＋a8＋a9＝________．
【解析】 由等差数列性质知S3，S6－S3，S9－S6成等差数列．
S3＝10，S6－S3＝40－10＝30，
∴S9－S6＝2(S6－S3)－S3＝50，
∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝50.
【答案】 50
8．设Sn为等差数{an}的前n项和，S4＝14，S10－S7＝30，则S9＝________．
【解析】 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意，得4a1＋d＝14，
[10a1＋d]－[7a1＋d]＝30，
联立解得a1＝2，d＝1，
所以S9＝9×2＋×1＝54.
【答案】 54
三、解答题
9．在等差数列{an}中，
(1)已知a2＝1，S9＝－45，求an；
(2)已知a3＋a8＝－12，求S10.
【解】 (1)由S9＝－45得9a1＋＝－45，
∴a1＋4d＝－5，①
由a2＝1得a1＋d＝1，②
由①②得a1＝3，d＝－2，
∴an＝3－2(n－1)＝－2n＋5.
(2)S10＝＝＝＝－60.
10．已知等差数列{an}，a1＝29，S10＝S20，问这个数列的前多少项的和最大？并求最大值．
【解】 法一 由S20＝S10得2a1＋29d＝0，
又a1＝29，∴d＝－2，
∴an＝29＋(－2)(n－1)＝31－2n，
∴Sn＝＝－n2＋30n
＝－(n－15)2＋225，
∴当n＝15时，Sn最大，最大值为225.
法二 由S20＝S10得a11＋a12＋…＋a20＝0，
即5(a15＋a16)＝0(*)，
∵a1＝29>0，∴a15>0，a16<0，
故当n＝15时，Sn最大，
2a1＋29d＝0，∴d＝－2，
∴a15＝29＋(－2)(15－1)＝1，
∴Sn的最大值为S15＝＝225.
11．甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1 min走2 m，以后每分钟比前1 min多走1 m，乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1 min多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
【解】 (1)设n min后第一次相遇，依题意，有
2n＋＋5n＝70.
整理得n2＋13n－140＝0，解得n＝7，n＝－20(舍去)．
第一次相遇是在开始运动后7 min.
(2)设m min后第二次相遇，依题意有2m＋＋5m＝3×70，整理得m2＋13m－6×70＝0.
解得m＝15，m＝－28(舍去)．
∴第二次相遇是在开始运动后15 min.
(教师用书独具)
在等差数列{an}中，a1＝25，S9＝S17，求Sn的最大值．
【思路探究】 解答本题可通过两条途径．一是利用Sn是n的二次函数关系来考虑；二是通过考察数列的单调性来解决．
【自主解答】 法一 由题意知：S9＝9a1＋d，
S17＝17a1＋d.
∵a1＝25，S9＝S17，即9a1＋36d＝17a1＋8×17d，
解得d＝－2，
∴Sn＝25n＋(－2)＝－n2＋26n，
即Sn＝－(n－13)2＋169，
∴当n＝13时，Sn最大，最大值为S13＝169.
法二 因为a1＝25＞0，S9＝S17，所以数列{an}是递减等差数列，若使前n项和最大，只需解即可得出n.
∵a1＝25，S9＝S17，
∴9×25＋d＝17×25＋d，解得d＝－2.
∴an＝25＋(n－1)(－2)＝－2n＋27，
∴?
又n∈N＋，∴n＝13.
即前13项和最大，由等差数列的前n项和公式可求得S13＝169.
1．法一利用Sn与n的二次函数关系，归纳为求二次函数的最值问题，不过要注意自变量n是正整数；所以不一定是在顶点处取得最值，而是在离顶点最近的横坐标取整数的点处取得最值．法二是从研究数列的单调性及项的正负进而研究前n项和Sn的最大值，法二更具有一般性．
2．等差数列前n项和的最值问题基本类型：①a1＞0，d＜0时，求Sn的最大值；②a1＜0，d＞0时，求Sn的最小值．
等差数列{an}中，a1＝－8，a10＝10，求前n项和Sn的最小值．
【解】 法一 因为{an}是等差数列，设公差为d，由通项公式得
a10＝a1＋(10－1)d＝－8＋9d＝10，解得d＝2.
所以前n项和为
Sn＝na1＋＝－8n＋＝n2－9n
＝－.
因为n为自然数，所以当n＝4或5时，Sn的最小值为42－9×4＝－20.
法二 因为{an}是等差数列，设公差为d，由通项公式得
a10＝a1＋(10－1)d＝－8＋9d＝10，解得d＝2，
所以an＝a1＋(n－1)d＝－8＋2(n－1)＝2n－10.
因为d＝2，所以数列为递增数列，且a5＝0，
所以当n＝4或5时，Sn取得最小值，S5＝×5＝－20.
所以当n＝4或5时，Sn的最小值为－20.
§3等比数列
3．1 等比数列
第1课时 等比数列
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
掌握等比数列的概念和通项公式，理解等比数列的通项公式的推导过程．
2．过程与技能
通过与等差数列的通项公式的推导过程类比，探索等比数列的通项公式，体会类比思想．
3．情感、态度与价值观
通过公式的推导与简单应用，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质．
●重点难点
重点：等比数列的概念和通项公式．
难点：等比数列的判定．
(教师用书独具)
●教学建议
问题
问题设意图
师生活动
(1)教材P21问题(1)
由拉面次数生活模型，归纳每次捏合的规律，并用数列模型加以刻画
引导学生，启发学生
发现规律：第1次是1根，第2次捏合成2×1＝2根，第3次捏合成2×2＝22根，…
记录每次捏合成的根数，从而得到数列1，2，4，8，…
(2)《庄子》中有这样的论述：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．你能用现代语言叙述这段话吗？若把“一尺之棰”看成单位“1”，那么“日取其半”会得到一个怎样的数列？
由“日取其半”发现等比数列
引导学生发现“日取其半”所蕴涵的等比关系．
发现等比关系，写出一个无穷等比数列.
(3)回忆数列的等差关系和等差数列，观察前面2个数列，说说它们有什么共同特点
发现数列中的等比关系，概括出等比数列的概念
引导学生类比等差数列的概念，概括出等比数列的定义．
分组讨论它们的共同特点，然后归纳等比数列的定义、并交流.
(4)总结学生的结论，给出等比数列的定义
●教学流程
??????
(对应学生用书第16页)
课标解读
1.掌握等比数列的概念、判定方法和通项公式(重点)．
2．理解等比数列通项公式的推导过程．
3．掌握等比数列通项公式的简单应用(重点、难点).
等比数列的概念
【问题导思】
对于下列数列：①2，4，8，16，…；②1，，，，…；③1，3，9，27，…
这几个数列，从相邻项的关系上看，有什么共同特征？
怎样用关系式表示上面数列中an＋1与an的关系？
【提示】 从第2项起，每一项与前一项的比是同一个常数．
①＝2；②＝；③＝3.
文字语言
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母q表示(q≠0).
符号语言
若＝q(n≥2，q≠0)，则数列{an}为等比数列.
等比数列的通项公式
【问题导思】
上面这3个数列的通项公式分别是什么？
【提示】 ①an＝2n；②an＝()n－1；③an＝3n－1.
首项是a1，公比是q的等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)．
(对应学生用书第17页)
等比数列的通项公式
已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，求{an}的通项公式．
【思路探究】 欲求an需要已知a1、q，如何由a3＝2与a2＋a4＝表示出a1、q呢？
【自主解答】 设等比数列{an}的公比为q，则q≠0，
a2＝＝，a4＝a3q＝2q，
∴＋2q＝，解得q＝或q＝3.
当q＝时，a1＝18，此时an＝18×()n－1＝2×33－n；
当q＝3时，a1＝，此时an＝×3n－1＝2×3n－3.
1．a1和q是等比数列的基本元素，只要求出这两个基本元素，其余的元素便可求出．
2．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q知任意三个就可以求出另外一个．
本例中若条件改为a1＋a3＝10，a4＋a6＝，如何求an.
【解】 由题意知a1(1＋q2)＝10，①
a1q3(1＋q2)＝.②
得q＝，∴a1(1＋)＝10，∴a1＝8.
∴an＝8×()n－1＝24－n.
等比数列的判定
已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N＋)．
(1)求a1、a2；
(2)求证：数列{an}是等比数列．
【思路探究】 利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求an，再利用定义证明．
【自主解答】 (1)∵Sn＝(an－1)(n∈N＋)，
∴当n＝1时，S1＝(a1－1)，
即a1＝(a1－1)，
得a1＝－，
当n＝2时，S2＝a1＋a2＝(a2－1)，
∴a2＝.
(2)证明 当n＝1时，a1＝－；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，
即2an＝－an－1，
∴＝－.
∴{an}是首项为－，公比为－的等比数列．
证明数列是等比数列常用的方法：
①定义法：＝q(常数)或＝q(常数)(n≥2)?{an}为等比数列．
②等比中项法：an＋12＝an·an＋2(an≠0，n∈N＋)?{an}为等比数列；
③通项法：an＝a1qn－1(其中a1、q为非零常数，n∈N＋)?{an}为等比数列．
已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项．
【解】 (1)证明：由an＋1＝2an＋1，
得an＋1＋1＝2(an＋1)，
∴＝2.
即{an＋1}是等比数列．
(2)由(1)知{an＋1}为等比数列．
其首项为a1＋1＝2，公比为2，
∴an＋1＝2·2n－1＝2n，
∴an＝2n－1.
等差数列与等比数列的综合问题
有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
【思路探究】 根据等差数列的特点如何设出这四个数？根据等比数列的特点又如何设出这四个数？
【自主解答】 法一 设四个数依次为a－d，a，a＋d，，由条件得解得或
所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0，4，8，16；
当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15，9，3，1.
故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
法二 设四个数依次为－a，，a，aq(a≠0，q≠0)，
由条件得
解得或
当q＝2，a＝8时，所求四个数为0，4，8，16；
当q＝，a＝3时，所求四个数为15，9，3，1.
1．解答本题的关键是合理地设出所求数中的三个，再根据题意得出另一个．
2．一般地，若三个数成等比数列，可设为，a，aq；若四个数成等比数列可设为，，aq，aq3，这样数列呈现一种“对称性”，便于计算．
已知三个数成等比数列，它们的积为27，若这三个数分别加上1，4，3又成等差数列，求这三个数．
【解】 设这三个数分别为，a，aq.
依题意得
解得或.
∴这三个数为9，3，1或1，3，9.
(对应学生用书第18页)
忽视q的符号致误
若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比q＝________．
【错解】 由题意知a1a2＝16，a2a3＝162，
∴q2＝＝16，
∴q＝±4.
【答案】 ±4
【错因分析】 本题忽视了q的正负情况导致出现错误答案．
【防范措施】 由q2＝16解得q＝±4需进一步检验方可得出正确答案．
【正解】 由题意知a1a2＝16，a2a3＝162，
∴q2＝＝16.
又∵a1a2＝a12q＝16，∴q>0，
∴q＝4.
【答案】 4
1．判断或证明等比数列的常用方法：
(1)定义法：＝q(q为不等于0的常数)?{an}为等比数列．
(2)通项公式法：an＝a1·qn－1(a1≠0，q≠0)?{an}为等比数列．
2．在解决与等差、等比有关的此类问题，合理地设项是解决问题的关键．
(1)三个数成等比，常设成a，aq，aq2或，a，aq；
(2)四个数成等比，常设成a，aq，aq2，aq3或，，a，aq；
(3)三个数成等差，常设成a－d，a，a＋d；
(4)四个数成等差，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.
3．通过类比等差数列来学习等比数列，体会类比思想．
(对应学生用书第19页)
1．已知{an}为等比数列，a1＝12，a2＝24，则a3＝( )
A．36 B．48 C．60 D．72
【解析】 a3＝a1()2＝12()2＝48.
【答案】 B
2．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a的取值范围是( )
A．a≠1 B．a≠0且a≠1
C．a≠0 D．a≠0或a≠1
【解析】 由a1≠0，q≠0，得a≠0，1－a≠0，所以a≠0且a≠1.
【答案】 B
3．各项都为正数的等比数列{an}中，a1＝2，a6＝a1a2a3，则公比q＝________．
【解析】 ∵a6＝a1a2a3，
∴a1q5＝a13·q3，
∴q2＝4，∴q＝2.
【答案】 2
4．已知等比数列{an}中，a5＝20，a15＝5，求a20.
【解】 法一
②÷①得q10＝，
∴q5＝±.
∴a20＝a1q19＝(a1q4)q10·q5＝20××(±)＝±.
法二 由a15＝a5q10，得q10＝，∴q5＝±.
因此a20＝a15q5＝5×(±)＝±.
(对应学生用书第89页)
一、选择题
1．已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则公比q的值为( )
A．1或－ B．1 C．－ D．－2
【解析】 由数列{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，得2a1q2＝a1＋a1q.
∵a1≠0，∴2q2－q－1＝0，解得q＝1或－.
【答案】 A
2．(2013·山师大附中高二检测)已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a52，a2＝1，则a1＝( )
A. B. C. D．2
【解析】 ∵a3·a9＝2a52＝a62，∴＝.
又a2＝1＝a1·，∴a1＝.
【答案】 B
3．(2013·临沂高二检测)若{an}为等比数列，且2a4＝a6－a5，则公比为( )
A．0 B．1或－2
C．－1或2 D．－1或－2
【解析】 由2a4＝a6－a5得，2a4＝a4q2－a4q，∵a4≠0，∴q2－q－2＝0，解得q＝－1或2.
【答案】 C
4．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m＝( )
A．9 B．10 C．11 D．12
【解析】 ∵am＝a1a2a3a4a5
＝a1(a1q)·(a1q2)·(a1q3)·(a1q4)，
∴a1qm－1＝a15·q10，且a1＝1，
∴qm－1＝q10，
∴m－1＝10，∴m＝11.
【答案】 C
5．(2013·吉林高二检测)各项都是正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为( )
A. B.或
C. D.
【解析】 设{an}公比为q，∵a2，a3，a1成等差数列，
∴a3＝a1＋a2，
∴a1q2＝a1＋a1q.
∴q2－q－1＝0，
解得q＝.
∵数列各项都是正数，∴q>0，∴q＝，∴＝q＝.故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．设a1＝1，数列{2an－1}是公比为－2的等比数列，则a6＝________．
【解析】 ∵2a6－1＝(2a1－1)·(－2)5＝－32，
∴a6＝－.
【答案】 －
7．一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 kB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后________分钟，该病毒占据64 MB(1 MB＝210kB)．
【解析】 由题意可得每3分钟病毒占的内存容量构成一个等比数列，设病毒占据64 MB时自身复制了n次，即2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，从而复制的时间为15×3＝45.
【答案】 45
8．(2013·连云港高二检测)三个不相等的实数a，b，c成等差数列，且a，c，b成等比数列，则a∶b∶c＝________.
【解析】 由题意得2b＝a＋c ①，
c2＝ab ②，
由①得c＝2b－a ③，
将③代入②得a＝b(舍去)或a＝4b，
∴c＝2b－a＝2b－4b＝－2b.
则a∶b∶c∶＝4∶1∶(－2)．
【答案】 4∶1∶(－2)
三、解答题
9．已知数列{an}是等比数列，且a4＋a7＝9，a5＋a8＝18，an＝64，求项数n.
【解】 法一 ∵∴
∴an＝×2n－1＝2n－4.
由an＝64，∴2n－4＝64，
∴2n－4＝26，
∴n－4＝6，n＝10.
法二 ∵a5＋a8＝q(a4＋a7)＝18，且a4＋a7＝9.
∴q＝2，
又根据9＝a4＋a7＝a4(1＋q3)＝a4(1＋23)，∴a4＝1.
故an＝a4qn－4＝1×2n－4＝2n－4.
由an＝64，故64＝2n－4，即2n－4＝26，∴n－4＝6，∴n＝10.
10．等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式．
【解】 (1)设{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，故数列{an}的通项公式为an＝2×2n－1＝2n.
(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32，
设{bn}的公差为d，则有，
解得，
从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.
11．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N＋.
(1)证明数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【解】 (1)证明 由题设an＋1＝4an－3n＋1，
得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N＋.
又a1－1＝1，
所以数列{an－n}是首项为1，且公比为4的等比数列．
(2)由(1)可知an－n＝4n－1，
于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n.
(教师用书独具)
已知关于x的二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n∈N*)的两根α，β满足6α－2αβ＋6β＝3，且a1＝1.
(1)试用an表示an＋1；
(2)求证：数列{an－}是等比数列；
(3)求数列{an}的通项公式．
【思路探究】 (1)用an表示an＋1需要什么条件？
(2)如何证明{an－}是等比数列？
(3)求an需要求出什么量？
【自主解答】 (1)∵α，β是方程anx2－an＋1x＋1＝0(n∈N*)的两根，
∴，
又∵6α－2αβ＋6β＝3，
∴6an＋1－3an－2＝0，
∴an＋1＝an＋.
(2)an＋1＝an＋?an＋1－＝an－?＝为常数，
∴{an－}为等比数列．
(3)令bn＝an－，则{bn}是等比数列，公比为，首项b1＝a1－＝，∴bn＝()n－1，
∴an＝bn＋＝()n－1＋.
∴数列{an}的通项公式为an＝·()n－1＋.
1．本题的解题关键是通过一元二次方程根与系数的关系，找出an与an＋1的关系．
2．解决这类题要弄清待证(求)结论与已知条件的关系，要注意转化与化归思想的应用．
已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N*)．
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列{an}是等比数列，并求出其通项公式．
【解】 (1)由Sn＝(an－1)，得a1＝S1＝(a1－1)，
∴a1＝－.
又S2＝a1＋a2＝(a2－1)，∴a2＝.
(2)证明 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－－1)，
得＝－，
又∵＝－，
∴{an}是以－为首项，以－为公比的等比数列，其通项公式为an＝(－)n.
第2课时 等比数列的性质
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
进一步熟练掌握等比数列的概念及通项公式 ；深刻理解等比中项，掌握等比数列的性质．
2．过程与方法
通过自主探究、合作交流获得对等比数列性质的认识．
3．情感、态度与价值观
充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学源于现实生活，并应用于现实生活，提高学习的兴趣．
●重点难点
重点：等比中项的理解与应用．
难点：灵活应用等比数列的定义通项公式、性质解决问题．
(教师用书独具)
●教学建议
本学案的例2是针对等比中项而设计，让学生通过本例的讲解加深对等比中项的应用，辨别与等差中项的差异．例1、例3是等比数列性质的考查，在教学中可以类比等差数列的性质来学习等比数列的性质，使学生感受类比思想．
●教学流程
??????
(对应学生用书第19页)
课标解读
1.理解等比数列的单调性与a1，q的关系．
2．掌握等比中项的概念，会求同号两数的等比中项(重点)．
3．掌握等比数列的有关性质(重点、难点).
等比数列的增减性
【问题导思】
对于数列：①4，2，1，，…；②2，2，2，2，…；③1，4，16，64，…；④－4，－2，－1，－，…
以上4个数列各有怎样的增减性？
【提示】 ①递减数列；②常数列；③递增数列；④递增数列．
公比q首项a1单调性
q＜0
0＜q＜1
q＝1
q＞1
a1＞0
不具有
单调性
递减
数列
不具有
单调性
递增
数列
a1＜0
不具有
单调性
递增
数列
不具有
单调性
递减
数列
等比中项的概念
如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，我们称G为a，b的等比中项，且G＝±．
(对应学生用书第19页)
等比数列性质的应用
已知{an}为等比数列．
(1)若an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5.
(2)若an＞0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
【思路探究】 运用等比数列的性质，从整体上对式子变形，找出相关量之间的关系．
【自主解答】 (1)由等比中项，化简已知条件可得，a32＋2a3a5＋a52＝25，
即(a3＋a5)2＝25，
∵an＞0，∴a3＋a5＝5.
(2)由等比数列的性质可知：a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9.
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2a3…a10)
＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]＝log395＝10.
1．在(1)中，运用等比中项性质，将a2a4转化为a32，a4a6转化为a52，简化了计算．在(2)中，运用了与首末两项等“距离”两项的乘积相等的性质．
2．等比数列的常用性质：
性质1：通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N＋)．
性质2：若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.
性质3：若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，{}，{an2}，{an·bn}，{}仍是等比数列．
性质4：在等比数列{an}中距首末两端等距离的两项的积相等，即a1an＝a2an－1＝a3an－2＝….
性质5：在等比数列{an}中，序号成等差数列的项仍成等比数列．
本例(2)中，若将条件a5a6＝9改为a4a7＋a5a6＝16，如何求log2a1＋log2a2＋…＋log2a10?
【解】 由等比数列的性质得?课时作业（一）
一、选择题
1．下列解析式中不是数列1，－1，1，－1，1，…的通项公式的是( )
【解析】 A中当n＝1时，a1＝－1，n＝2时，a2＝1，显然不是数列1，－1，1，－1，1，…的通项公式．
【答案】 A
2．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋2，则其第3、4项分别是( )
A．11，3 B．11，15
C．11，18 D．13，18
【解析】 a3＝32＋2＝11，a4＝42＋2＝18.
【答案】 C
3．已知数列1，，，，…，，…则3是它的( )
A．第22项 B．第23项
C．第24项 D．第28项
【解析】 令＝3，解得n＝23.
【答案】 B
4．下列四个数中，是数列{n(n＋1)}中的一项的是( )
A．380 B．39
C．32 D．23
【解析】 分别令n(n＋1)＝380，39，32，23解出n∈N＋即可，验证知n＝19时，19×20＝380.
【答案】 A
5．(2013·德州高二检测)数列－，，－，，…的通项公式an为( )
A．(－1)n＋1
B．(－1)n＋1
C．(－1)n
D．(－1)n
【解析】 观察式子的分子为1，2，3，4，…，n，…，分母为3×5，5×7，7×9，…，(2n＋1)(2n＋3)，…，而且正负间隔，故通项公式an＝(－1)n.
【答案】 D
二、填空题
6．数列，，，，，…的一个通项公式是________．
【解析】 数列，，，，，…即数列，，，，，…，故an＝.
【答案】 an＝
7．已知数列{an}的通项公式an＝－n2＋7n＋9，则其第3、4项分别是________、________．
【解析】 a3＝－32＋7×3＋9＝21，a4＝－42＋7×4＋9＝21.
【答案】 21 21
8．已知曲线y＝x2＋1，点(n，an)(n∈N＋)位于该曲线上，则a10＝________．
【解析】 ∵点(n，an)位于曲线y＝x2＋1上，∴an＝n2＋1，故a10＝102＋1＝101.
【答案】 101
三、解答题
9．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．
(1)－1，7，－13，19，…
(2)0.8，0.88，0.888，…
(3)，，－，，－，，…
【解】 (1)符号可通过(－1)n表示，后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，
故通项公式为an＝(－1)n·(6n－5)．
(2)将数列变形为(1－0.1)，(1－0.01)，(1－0.001)，…，∴an＝(1－)．
(3)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出第2，3，4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－.
原数列可化为－，，－，，…，
∴an＝(－1)n·.
10．已知数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是项数n的一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)88是否是数列{an}中的项？
【解】 (1)设an＝an＋b.∴a1＝a＋b＝2，①
a17＝17a＋b＝66.②
②－①，得16a＝64，∴a＝4，b＝－2.
∴an＝4n－2(n∈N＋)．
(2)令4n－2＝88?4n＝90,n＝?N＋，
∴88不是数列{an}中的项．
11．如图1－1－3所示，有n(n≥2)行n＋1列的士兵方阵：(1)写出一个数列，用它表示当n分别为2，3，4，5，6，…时方阵中的士兵人数．
图1－1－3
(2)说出(1)中数列的第5，6项，用a5，a6表示；
(3)若把(1)中的数列记为{an}，求该数列的通项公式an；
(4)求a10，并说明a10所表示的实际意义．
【解】 (1)当n＝2时，表示士兵的人数为2行3列，人数为6；当n＝3时，表示3行4列，人数为12，依此类推，故所求数列为6，12，20，30，42，….
(2)方阵的行数比数列的序号大1，因此第5项表示的是6行7列，第6项表示7行8列，故a5＝42，a6＝56.
(3)根据对数列的前几项的观察、归纳，猜想数列的通项公式．
前4项分别为：6＝2×3，12＝3×4，20＝4×5，30＝5×6
因此an＝(n＋1)(n＋2)．
(4)由(3)知a10＝11×12＝132，a10表示11行12列的士兵方阵中士兵的人数．
课时作业（三）
一、选择题
1．等差数列－3，－7，－11，…的通项公式为( )
A．4n－7 B．－4n－7
C．4n＋1 D．－4n＋1
【解析】 ∵a1＝－3，d＝(－7)－(－3)＝－4，
∴an＝－3－4(n－1)＝－4n＋1.
【答案】 D
2．已知等差数列{an}，a1＝4，公差d＝2，若an＝4 012，则n等于( )
A．2 004 B．2 006
C．2 005 D．2 003
【解析】 由通项公式an＝a1＋(n－1)d，得4 012＝4＋2(n－1)，∴n＝2 005.
【答案】 C
3．已知等差数列{an}的前三项分别是a－1，a＋1，2a，则a的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 由定义知，a＋1－(a－1)＝2a－(a＋1)，得a＝3.
【答案】 C
4．已知数列{an}是等差数列，若a3＋a11＝24，a4＝3，则数列{an}的公差等于( )
A．1 B．3
C．5 D．6
【解析】 设{an}的首项为a1，公差为d，
∴?d＝3.
【答案】 B
5．(2013·黄冈高二检测)已知点(n，an)(n∈N＋)都在直线3x－y－24＝0上，那么在数列{an}中有( )
A．a7＋a9>0 B．a7＋a9<0
C．a7＋a9＝0 D．a7·a9＝0
【解析】 ∵(n，an)在直线3x－y－24＝0，
∴an＝3n－24，∴a7＝3×7－24＝－3，a9＝3×9－24＝3，
∴a7＋a9＝0.
【答案】 C
二、填空题
6．已知等差数列14，16，18，…，那么数列的第1 001项为________．
【解析】 由题意知a1＝14，d＝2，
∴an＝14＋2(n－1)＝2n＋12，
∵a1 001＝2×1 001＋12＝2 014.
【答案】 2 014
7．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6＝________．
【解析】 a2＋a3＝a1＋d＋a1＋2d＝2a1＋3d＝4＋3d＝13，∴d＝3，
∴a4＋a5＋a6＝3a1＋3d＋4d＋5d＝3a1＋12d＝6＋36＝42.
【答案】 42
8．(2013·台州高二检测)在数列{an}中，a1＝3，且对任意大于1的正整数n，点(， )在直线x－y－＝0上，则数列{an}的通项公式为an＝________．
【解析】 ∵点(，)在直线x－y－＝0上，∴－－＝0，即－＝(n≥2)．则数列{}是以为首项，为公差的等差数列，
∴＝＋(n－1)＝n，∴数列{an}的通项公式为an＝3n2.
【答案】 3n2
三、解答题
9．已知数列{an}的通项公式是an＝7n＋2，求证：数列{lg an}是等差数列．
【证明】 设bn＝lg an，
则bn＋1－bn＝lg an＋1－lg an
＝(n＋3)lg 7－(n＋2)lg 7＝lg 7(常数)．
所以数列{bn}是等差数列，
即数列{lg an}是等差数列．
10．已知数列(n∈N＋)为等差数列，且a1＝3，a3＝9，求数列{an}的通项公式．
【解】 设等差数列的公差为d，则
log2(a3－1)－log2(a1－1)＝2d.代入a1＝3，a3＝9得，
log28－log22＝2d，∴d＝1.
∴log2(an－1)＝log2(a1－1)＋(n－1)×1＝n.
∴an－1＝2n，∴an＝2n＋1.
11．在等差数列{an}中，已知a4＝70，a21＝－100.
(1)求首项a1与公差d，并写出通项公式；
(2){an}中有多少项属于区间[－18，18]?
【解】 (1)由题意，得an＝a1＋(n－1)d.
∴得a1＝100，d＝－10.
∴通项公式an＝100－10(n－1)＝－10n＋110.
(2)由题意得－18≤－10n＋110≤18，
解得9.2≤n≤12.8，
∵n∈N＋，∴n＝10，11，12.
∴属于区间[－18，18]的项有3项，它们是a10，a11，a12.
课时作业（四）
一、选择题
1．若等差数列{an}的公差为d，则{3an}是( )
A．公差为d的等差数列
B．公差为3d的等差数列
C．非等差数列
D．无法确定
【解析】 设bn＝3an，则bn＋1－bn＝3an＋1－3an＝3(an＋1－an)＝3d.
【答案】 B
2．(2013·德州高二检测)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝( )
A．14 B．21 C．28 D．35
【解析】 ∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4.
又a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝7×4＝28，故选C.
【答案】 C
3．(2013·哈尔滨高二检测)等差数列{an}首项a1＝1，公差d＝3，当an＝298时，序号n等于( )
A．96 B．99 C．100 D．101
【解析】 由已知a1＝1，d＝3得an＝1＋3(n－1)＝3n－2.又an＝298.∴298＝3n－2，解得n＝100，故选C.
【答案】 C
4．a＝，b＝，则a、b的等差中项为( )
A. B. C. D.
【解析】 ＝
＝＝.
【答案】 A
5．数列{an}满足3＋an＝an＋1(n∈N＋)且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是( )
A．－2 B．－ C．2 D.
【解析】 由已知可得{an}是等差数列，公差d＝3，
∴a5＋a7＋a9＝a2＋a4＋a6＋9d＝36，
∴log6(a5＋a7＋a9)＝2.
【答案】 C
二、填空题
6．在a和b(a≠b)两个数之间插入n个数，使它们与a、b组成等差数列，则该数列的公差为________．
【解析】 b＝a＋(n＋2－1)d，则d＝.
【答案】
7．在等差数列{an}中，若a3－a4＋a5－a6＋a7＝100，则a5＝________．
【解析】 a3＋a7＝a4＋a6，
则a3－a4＋a5－a6＋a7＝(a3＋a7)－(a4＋a6)＋a5
＝a5＝100.
【答案】 100
8．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．
【解析】 设所构成的等差数列为{an}，则
由a7＋a8＋a9＝4得3a8＝4，∴a8＝.
由a1＋a2＋a3＋a4＝3得2(a1＋a4)＝3，
∴a1＋a4＝.
∴(a8－7d)＋(a8－4d)＝得d＝.
∴a5＝a8－3d＝－3×＝.
【答案】
三、解答题
9．若三个数a－4，a＋2，26－2a，适当排列后构成递增等差数列，求a的值和相应的数列．
【解】 当a－4是等差中项时，2(a－4)＝(a＋2)＋(26－2a)，
解得a＝12，相应的数列为：2，8，14；
当a＋2是等差中项时，2(a＋2)＝(a－4)＋(26－2a)，
解得a＝6，相应的数列为：2，8，14；
当26－2a是等差中项时，2(26－2a)＝(a－4)＋(a＋2)，
解得a＝9，相应的数列为：5，8，11.
10．已知f(x)＝x2－2x－3，等差数列{an}中，a1＝f(x－1)，a2＝－，a3＝f(x)，求：
(1)x的值；
(2)通项an.
【解】 (1)由f(x)＝x2－2x－3，
得a1＝f(x－1)＝(x－1)2－2(x－1)－3＝x2－4x，
a3＝x2－2x－3，又因为{an}为等差数列，
所以2a2＝a1＋a3.
即－3＝x2－4x＋x2－2x－3.
解得x＝0或x＝3.
(2)当x＝0时，a1＝0，d＝a2－a1＝－，
此时an＝a1＋(n－1)d＝－(n－1)；
当x＝3时，a1＝－3，d＝a2－a1＝，
此时an＝a1＋(n－1)d＝(n－3)．
11．某产品按质量分10个档次，生产最低档产品的利润是8元/件，每提高一个档次，利润增加2元/件，但产量减少3件．在相同的时间内，最低档次(设为第一档次)的成品可生产60件，则在相同的时间内，生产第几档次的产品可获得最大利润？
【解】 设第n档次产品的产量为an，第n档次产品的利润为bn，则an＝60－3(n－1)＝63－3n，
bn＝8＋2(n－1)＝2n＋6(1≤n≤10，n∈N＋)．生产第n档次产品可获利f(n)＝anbn＝(63－3n)·(2n＋6)＝－6n2＋108n＋378＝－6(n－9)2＋864，所以当n＝9时，f(n)取得最大值864.
即生产第9档次的产品可获得最大利润．
课时作业（五）
一、选择题
1．已知{an}是等差数列，a10＝10，其前10项和S10＝70，则其公差d为( )
A．－ B．－ C. D.
【解析】 ∵∴
解得故选D.
【答案】 D
2．(2013·合肥高二检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(10，a10)直线的斜率为( )
A．4 B．－28 C．－4 D．－14
【解析】 ∵S5＝＝5a3＝55，∴a3＝11，
∴公差d＝a4－a3＝15－11＝4，
∴直线PQ的斜率k＝＝4.
【答案】 A
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a4＋a15的值为常数，则下列各数中也是常数的是( )
A．S7 B．S8 C．S13 D．S15
【解析】 由a2＋a4＋a15是常数，可得a1＋6d＝a7是常数，所以S13＝＝13a7是常数，故选C.
【答案】 C
4．已知无穷项等差数列{an}中，它的前n项和为Sn，且S7>S6，S7>S8，那么( )
A．{an}中a7最大 B．{an}中a3或a4最大
C．当n≥8时，an<0 D．一定有S3＝S11
【解析】 由S7>S6知a7>0，由S7>S8知a8<0故d<0，∴当n≥8时an<0.
【答案】 C
5．(2013·佛山高二检测)在项数为2n＋1的等差数列{an}中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n＝( )
A．9 B．10 C．11 D．12
【解析】 ∵等差数列有2n＋1项，
∴S奇＝，S偶＝.
又∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，
∴＝＝，∴n＝10.
【答案】 B
二、填空题
6．(2013·苏州高二检测)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a6＝100，则S11＝________．
【解析】 S11＝＝＝11a6＝1 100.
【答案】 1 100
7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝10，S6＝40，则a7＋a8＋a9＝________．
【解析】 由等差数列性质知S3，S6－S3，S9－S6成等差数列．
S3＝10，S6－S3＝40－10＝30，
∴S9－S6＝2(S6－S3)－S3＝50，
∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝50.
【答案】 50
8．设Sn为等差数{an}的前n项和，S4＝14，S10－S7＝30，则S9＝________．
【解析】 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意，得4a1＋d＝14，
[10a1＋d]－[7a1＋d]＝30，
联立解得a1＝2，d＝1，
所以S9＝9×2＋×1＝54.
【答案】 54
三、解答题
9．在等差数列{an}中，
(1)已知a2＝1，S9＝－45，求an；
(2)已知a3＋a8＝－12，求S10.
【解】 (1)由S9＝－45得9a1＋＝－45，
∴a1＋4d＝－5，①
由a2＝1得a1＋d＝1，②
由①②得a1＝3，d＝－2，
∴an＝3－2(n－1)＝－2n＋5.
(2)S10＝＝＝＝－60.
10．已知等差数列{an}，a1＝29，S10＝S20，问这个数列的前多少项的和最大？并求最大值．
【解】 法一 由S20＝S10得2a1＋29d＝0，
又a1＝29，∴d＝－2，
∴an＝29＋(－2)(n－1)＝31－2n，
∴Sn＝＝－n2＋30n
＝－(n－15)2＋225，
∴当n＝15时，Sn最大，最大值为225.
法二 由S20＝S10得a11＋a12＋…＋a20＝0，
即5(a15＋a16)＝0(*)，
∵a1＝29>0，∴a15>0，a16<0，
故当n＝15时，Sn最大，
2a1＋29d＝0，∴d＝－2，
∴a15＝29＋(－2)(15－1)＝1，
∴Sn的最大值为S15＝＝225.
11．甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1 min走2 m，以后每分钟比前1 min多走1 m，乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1 min多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
【解】 (1)设n min后第一次相遇，依题意，有
2n＋＋5n＝70.
整理得n2＋13n－140＝0，解得n＝7，n＝－20(舍去)．
第一次相遇是在开始运动后7 min.
(2)设m min后第二次相遇，依题意有2m＋＋5m＝3×70，整理得m2＋13m－6×70＝0.
解得m＝15，m＝－28(舍去)．
∴第二次相遇是在开始运动后15 min.
课时作业（六）
一、选择题
1．已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则公比q的值为( )
A．1或－ B．1 C．－ D．－2
【解析】 由数列{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，得2a1q2＝a1＋a1q.
∵a1≠0，∴2q2－q－1＝0，解得q＝1或－.
【答案】 A
2．(2013·山师大附中高二检测)已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a52，a2＝1，则a1＝( )
A. B. C. D．2
【解析】 ∵a3·a9＝2a52＝a62，∴＝.
又a2＝1＝a1·，∴a1＝.
【答案】 B
3．(2013·临沂高二检测)若{an}为等比数列，且2a4＝a6－a5，则公比为( )
A．0 B．1或－2
C．－1或2 D．－1或－2
【解析】 由2a4＝a6－a5得，2a4＝a4q2－a4q，∵a4≠0，∴q2－q－2＝0，解得q＝－1或2.
【答案】 C
4．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m＝( )
A．9 B．10 C．11 D．12
【解析】 ∵am＝a1a2a3a4a5
＝a1(a1q)·(a1q2)·(a1q3)·(a1q4)，
∴a1qm－1＝a15·q10，且a1＝1，
∴qm－1＝q10，
∴m－1＝10，∴m＝11.
【答案】 C
5．(2013·吉林高二检测)各项都是正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为( )
A. B.或
C. D.
【解析】 设{an}公比为q，∵a2，a3，a1成等差数列，
∴a3＝a1＋a2，
∴a1q2＝a1＋a1q.
∴q2－q－1＝0，
解得q＝.
∵数列各项都是正数，∴q>0，∴q＝，∴＝q＝.故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．设a1＝1，数列{2an－1}是公比为－2的等比数列，则a6＝________．
【解析】 ∵2a6－1＝(2a1－1)·(－2)5＝－32，
∴a6＝－.
【答案】 －
7．一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 kB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后________分钟，该病毒占据64 MB(1 MB＝210kB)．
【解析】 由题意可得每3分钟病毒占的内存容量构成一个等比数列，设病毒占据64 MB时自身复制了n次，即2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，从而复制的时间为15×3＝45.
【答案】 45
8．(2013·连云港高二检测)三个不相等的实数a，b，c成等差数列，且a，c，b成等比数列，则a∶b∶c＝________.
【解析】 由题意得2b＝a＋c ①，
c2＝ab ②，
由①得c＝2b－a ③，
将③代入②得a＝b(舍去)或a＝4b，
∴c＝2b－a＝2b－4b＝－2b.
则a∶b∶c∶＝4∶1∶(－2)．
【答案】 4∶1∶(－2)
三、解答题
9．已知数列{an}是等比数列，且a4＋a7＝9，a5＋a8＝18，an＝64，求项数n.
【解】 法一 ∵∴
∴an＝×2n－1＝2n－4.
由an＝64，∴2n－4＝64，
∴2n－4＝26，
∴n－4＝6，n＝10.
法二 ∵a5＋a8＝q(a4＋a7)＝18，且a4＋a7＝9.
∴q＝2，
又根据9＝a4＋a7＝a4(1＋q3)＝a4(1＋23)，∴a4＝1.
故an＝a4qn－4＝1×2n－4＝2n－4.
由an＝64，故64＝2n－4，即2n－4＝26，∴n－4＝6，∴n＝10.
10．等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式．
【解】 (1)设{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，故数列{an}的通项公式为an＝2×2n－1＝2n.
(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32，
设{bn}的公差为d，则有，
解得，
从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.
11．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N＋.
(1)证明数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【解】 (1)证明 由题设an＋1＝4an－3n＋1，
得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N＋.
又a1－1＝1，
所以数列{an－n}是首项为1，且公比为4的等比数列．
(2)由(1)可知an－n＝4n－1，
于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n.
课时作业（七）
一、选择题
1．在等比数列{an}中，若a1，a10是方程3x2－2x－6＝0的两根，则a4·a7＝( )
A．－6 B．－2 C．2 D.
【解析】 a4a7＝a1a10＝＝－2.
【答案】 B
2．若实数a、b、c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．无法确定
【解析】 a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的判别式Δ＝b2－4ac＝－3b2<0，从而函数与x轴无交点．
【答案】 A
3．等比数列{an}的各项均为正数，且a2a9＝9，数列{bn}满足bn＝log3an，则数列{bn}前10项和为( )
A．10 B．12
C．8 D．2＋log35
【解析】 b1＋b2＋…＋b10＝log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1·a2·…·a10)＝log3(a2a9)5＝5log39＝10.
【答案】 A
4．(2013·福州高二检测)在等比数列{an}中，a5a11＝3，a3＋a13＝4，则＝( )
A．3 B.
C．3或 D．－3或－
【解析】 ∵a5a11＝a3·a13＝3，又a3＋a13＝4，
∴或，又＝q10＝，∴的值为3或.
【答案】 C
5．(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】 ∵a3·a11＝16，∴a72＝16.
又∵等比数列{an}的各项都是正数，∴a7＝4.
又∵a10＝a7q3＝4×23＝25，
∴log2a10＝5.故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．在等比数列{an}中，已知a1＝5，a8·a10＝100，那么a17＝________．
【解析】 ∵a1·a17＝a8·a10＝100，a1＝5，
∴a17＝20.
【答案】 20
7．在等比数列{an}中，若a4a6a8a10a12＝243，则的值为________．
【解析】 由等比数列性质a4·a12＝a6·a10＝a82，
∴a4·a6·a8·a10·a12＝a85＝243，∴a8＝3，
a102＝a8·a12，∴＝a8＝3.
【答案】 3
8．(2012·辽宁高考)已知等比数列{an}为递增数列，且a52＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________．
【解析】 a52＝a10>0，根据已知条件得2(＋q)＝5，解得q＝2.
所以a12q8＝a1q9，所以a1＝2，所以an＝2n.
【答案】 2n
三、解答题
9．设a，b，c是实数，3a，4b，5c成等比数列，且，，成等差数列，求＋的值．
【解】 ∵3a，4b，5c成等比数列，
∴16b2＝15ac.①
∵，，成等差数列，
∴＝＋，②
由①得·15ac＝64，③
②代入③得(＋)2×15ac＝64，
∴(＋＋)ac＝，∴＋＝.
10．某工厂2012年1月的生产总值为a万元，计划从2012年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到2013年8月底该厂的生产总值为多少万元？
【解】 设从2012年开始，第n个月该厂的生产总值是an万元，则an＋1＝an＋anm%，
∴＝1＋m%.
∴数列{an}是首项a1＝a，公比q＝1＋m%的等比数列．
∴an＝a(1＋m%)n－1.
∴2013年8月底该厂的生产总值为a20＝a(1＋m%)20－1＝a(1＋m%)19万元．
11．(2013·宿州高二检测)数列{an}是公差不为零的等差数列，且a5，a8，a13是等比数列{bn}相邻的三项，若b2＝5，求bn.
【解】 ∵{an}是等差数列，∴a5＝a1＋4d，a8＝a1＋7d，a13＝a1＋12d，∵a5，a8，a13是等比数列{bn}相邻的三项，∴a82＝a5a13，
即(a1＋7d)2＝(a1＋4d)(a1＋12d)，解得d＝2a1，
∴q＝＝，b2＝b1q＝5，b1＝5，b1＝3，
∴bn＝3·.
课时作业(八)
一、选择题
1．若等比数列{an}的前3项和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为( )
A．1 B．－2
C．2或－1 D．－2或1
【解析】 由题意知，S3＝3a1，
当q＝1时，S3＝3a1有解，
∴公比为1，符合题意．
当q≠1时，有＝3a1?q＝－2.故选D.
【答案】 D
2．(2013·郑州高二检测)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为( )
A.或5 B.或5
C. D.
【解析】 由题意易知q≠1，则＝，解得q＝2，
数列{}是以1为首项，以为公比的等比数列，
由求和公式可得S5＝.
【答案】 C
3．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝( )
A．33 B．72
C．84 D．189
【解析】 由a1＋a2＋a3＝21，得a1(1＋q＋q2)＝21，
又a1＝3，
∴q2＋q－6＝0，
解得q＝2或－3(舍去)，
∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝4×21＝84.
【答案】 C
4．(2013·吉林高二检测)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S5＝10，S10＝50，则S15等于( )
A．150 B．170
C．190 D．210
【解析】 因为S5，S10－S5，S15－S10也成等比数列，
所以(S10－S5)2＝S5·(S15－S10)，即402＝10×(S15－50)，
所以S15＝210.
【答案】 D
5．已知等比数列的前n项和Sn＝4n＋a，则a的值等于( )
A．－4 B．－1 C．0 D．1
【解析】 当n＝1时，a1＝4＋a.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－4n－1＝3·4n－1.
当n＝1时，4＋a＝3，∴a＝－1.
【答案】 B
二、填空题
6．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项和为________．
【解析】 由＝q4＝16，∴q＝±2.
又∵q>0，∴q＝2，
∴S7＝＝＝127.
【答案】 127
7．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则 ＝________．
【解析】 由8a2＋a5＝0，
∴＝－8，即q3＝－8，q＝－2.
∴＝＝＝＝－11.
【答案】 －11
8．(2012·浙江高考)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________.
【解析】 法一 S4＝S2＋a3＋a4＝3a2＋2＋a3＋a4＝3a4＋2，
将a3＝a2q，a4＝a2q2代入得，
3a2＋2＋a2q＋a2q2＝3a2q2＋2，化简得2q2－q－3＝0，
解得q＝(q＝－1不合题意，舍去)．
法二 设等比数列{an}的首项为a1，由S2＝3a2＋2，得
a1(1＋q)＝3a1q＋2.①
由S4＝3a4＋2，得a1(1＋q)(1＋q2)＝3a1q3＋2.②
由②－①得a1q2(1＋q)＝3a1q(q2－1)．
∵q>0，∴q＝.
【答案】
三、解答题
9．已知数列{an}的通项公式an＝(－a)n－1(a≠0)，求这个数列的前n项和．
【解】 ∵＝＝－a，
∴{an}是首项为1，公比为－a的等比数列，
当a＝－1时，Sn＝n；
当a≠－1时，Sn＝＝.
10．等比数列{an}的前n项和为Sn，首项为2，若S3＋S6＝S9，求S15的值．
【解】 ①当q＝1时，Sn＝na1＝2n，满足S3＋S6＝S9，
∴S15＝30.
②当q≠1时，由S3＋S6＝S9，
∴＋＝，
∴(q3－1)(q6－1)＝0，∴q＝－1，
∴S15＝＝2.
11．(2013·烟台高二检测)设数列{bn}的前n项和为Sn，且bn＝2－2Sn；数列{an}为等差数列，且a5＝14，a7＝20.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)若cn＝an·bn(n＝1，2，3…)，Tn为数列{cn}的前n项和，求Tn.
【解】 (1)由bn＝2－2Sn，令n＝1，
则b1＝2－2S1，又S1＝b1，所以b1＝.
当n≥2时，由bn＝2－2Sn，
可得bn－bn－1＝－2(Sn－Sn－1)＝－2bn，即＝.
所以{bn}是以b1＝为首项，为公比的等比数列，
于是bn＝2·.
(2)数列{an}为等差数列，公差d＝(a7－a5)＝3，
可得an＝3n－1.
从而cn＝an·bn＝2(3n－1)·，
∴Tn＝2[2·＋5·＋8·＋…(3n－1)·]，
Tn＝2[2·＋5·＋…＋(3n－4)·＋(3n－1)·]．
∴Tn＝2[2·＋3·＋3·＋…＋3·－(3n－1)·]．
Tn＝－－.
课时作业（九）
一、选择题
1．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去，找回了5个伙伴； 第2天， 6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴，……，如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂( )
A．55 986只 B．46 656只
C．216只 D．36只
【解析】 由已知得，每天蜂巢中的蜜蜂数构成首项为6，公比为6的等比数列，故第6天蜂巢中的蜜蜂数为66＝46 656.
【答案】 B
2．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为( )
A．9 B．10
C．19 D．29
【解析】 1＋2＋3＋…＋n<200，即<200.
显然n＝19时，剩余钢管最少，此时最多用去＝190根，剩余10根．
【答案】 B
3．某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，……，按照这种规律进行下去，6小时后细胞的存活数是( )
A．32 B．31 C．64 D．65
【解析】 可递推下去，4小时后分裂成18个并死去一个，5小时后分裂成34个并死去一个；6小时后分裂成66个并死去一个，得65个存活．
【答案】 D
4．有一座七层塔，每层所点灯的盏数都是其上面一层的两倍，这座塔一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )
A．190 B．191
C．192 D．193
【解析】 设最上面一层有x盏，则第二层有2x盏，第三层有4x盏，第四层有8x盏，…，第七层有26x盏(层数从上面数)．
由题意知x＋2x＋4x＋8x＋…＋26x
＝x(1＋2＋22＋23＋…＋26)
＝＝127x＝381，
∴x＝3.
故底层的盏数为26×3＝192.
【答案】 C
5．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计5年还清，则每年应偿还( )
A.万元 B.万元
C.万元 D.万元
【解析】 根据已知条件知本题属于分期付款问题，设每年应偿还x万元，则
x[(1＋γ)4＋(1＋γ)3＋…＋1]＝a(1＋γ)5，
∴x·＝a(1＋γ)5
故x＝(万元)．
【答案】 B
二、填空题
6．现存入银行8万元，年利率为2.50%，若采用1年期自动转存业务，则5年末的本利和是________万元．
【解析】 定期自动转存属于复利问题，5年末的本利和是8×(1＋2.50%)5＝8×1.0255.
【答案】 8×1.0255
7．某露天剧场有28排座位，每相邻两排的座位数相同，第一排有24个座位，以后每隔一排增加两个座位，则全剧场共有座位________个．
【解析】 第1，2排座位总数记为a1＝48，第3，4排座位总数为a2＝48＋4＝52，…，依次成公差为4的等差数列{an}，其中n＝14，Sn＝14×48＋×4＝14×74＝1 036.
【答案】 1 036
8．银行一年定期储蓄存款年息为r，按复利计算利息，三年定期储蓄存款年息为q，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应大于________．
【解析】 设储户开始存入的款数为a，由题意得，
a(1＋3q)>a(1＋r)3，∴q>[(1＋r)3－1]．
【答案】 [(1＋r)3－1]
三、解答题
9．用分期付款的方式购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止，商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？
【解】 购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列{an}，则a1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)；a2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)；a3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)，…，an＝2＋[25－5－(n－1)·2]·10%＝(4－)(万元)(n＝1，2，…，10)．因而数列{an}是首项为4，公差为－的等差数列．
a5＝4－＝3.2(万元)．
S10＝10×4＋＝31(万元)．
因此第5年该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元．
10．在一次人才招聘会上，A、B两家公司分别开出了工资标准，
A公司
B公司
第一年月工资为1 500元，以后每一年月工资比上一年月工资增加230元
第一年月工资为2 000元，以后每一年月工资比上一年月工资增加5%
大学生王明被A、B两家公司同时录取，而王明只想选择一家连续工作10年，经过一番思考，他选择了A公司，你知道为什么吗？
【解】
A公司
B公司
第一年月工资为1 500元，以后每一年月工资比上一年月工资增加230元
第一年月工资为2 000元，以后每一年月工资比上一年月工资增加5%
王明的选择过程
第n年月工资为an
第n年月工资为bn
首项为1 500，公差为230的等差数列
首项为2 000，公比为(1＋5%)的等比数列
an＝230n＋1 270
bn＝2 000(1＋5%)n－1
S10＝12(a1＋a2＋…＋a10)＝12×[10×1 500＋×230]＝304 200(元)
T10＝12(b1＋b2＋…＋b10) ＝12×
≈301 869(元)
结论
显然S10>T10，故王明选择了A公司
11.某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.
(1)求第n年初M的价值an的表达式；
(2)设An＝，若An大于80万元，则M继续使用，否则需在第n年初对M更新，证明：需在第9年初对M更新．
【解】 (1)当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列．
an＝120－10(n－1)＝130－10n；
当n≥6时，数列{an}是以a6为首项，公比为为等比数列，又a6＝70，所以an＝70×()n－6.
因此，第n年初，M的价值an的表达式为
an＝
(2)设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得
当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)，
An＝120－5(n－1)＝125－5n；
当n≥7时，
Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋70××4×[1－()n－6]＝780－210×()n－6，
An＝.
因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列，
又A8＝＝82>80，
A9＝＝76<80，
所以需在第9年初对M更新．
