课件48张PPT。教师用书独具演示演示结束 不等式中的数学符号 ><≥≤≤≥≥≤作差法比较两实数大小 a－b＞0 a－b＜0 a－b＝0 差a－b 0 用不等式(组)表示不等关系 比较两个数(式)的大小 实际应用课时作业（十五）课件53张PPT。教师用书独具演示演示结束 算法的概念 ax2＋bx＋c＞0(≥0) ax2＋bx＋c＜0(≤0) ≠ x的值 所有解组成的集合 一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系 {x|x
x2} R {x|x10)的变化规律增大 减小 求线性目标函数的最值 求非线性目标函数的最值 含参数的线性规划问题 课时作业（二十一）课件60张PPT。教师用书独具演示演示结束 求最大值的实际应用 求最小值的实际应用 整数最优解问题 课时作业（十四）第三章 不等式
§1不等关系
1．1 不等关系
1．2 不等关系与不等式
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
了解现实世界和日常生活中的不等关系．了解不等式(组)的实际背景，能用作差法比较大小．
2．过程与方法
通过一系列具体问题情境，使学生感受到现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系．
3．情感、态度与价值观
让学生体会数学源于生活，唤起学生的学习热情．
●重点难点
重点：用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值．
难点：用不等式(组)正确表示出不等关系．
(教师用书独具)
●教学建议
课本例1～例4让学生感受到不等关系反映在日常生活的方方面面．这几个例题分别把不等关系体现在常量与常量之间、变量与常量之间、函数与函数之间、一组变量之间．从中体会不等式是研究不等关系的数学工具，从而理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值．
●教学流程
??????
(对应学生用书第47页)
课标解读
1.了解现实世界和日常生活中的不等关系.
2.了解不等式(组)的实际背景(难点).
3.能用作差法比较大小(重点).
不等式中的数学符号
【问题导思】
某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.如何用不等式表示对脂肪含量的规定？如何用不等式表示酸奶质量的规定？
【提示】 f≥2.5%，
文字语言
数学符号
文字语言
数学符号
大于
>
至多
≤
小于
<
至少
≥
大于等于
≥
不少于
≥
小于等于
≤
不多于
≤
作差法比较两实数大小
依据
如果a－b＞0，那么a＞b.
如果a－b＜0，那么a＜b.
如果a－b＝0，那么a＝b.
结论
确定任意两个实数a，b的大小关系，只需确定它们的差a－b与0的大小关系.
不等式的性质
【问题导思】
1．如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d，ac>bd成立吗？
【提示】 a＋c>b＋d成立，ac>bd不一定成立．
2．如果a>b，那么a2>b2成立吗？
【提示】 不一定成立．
(1)如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d；
(2)如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd；
(3)如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N＋)；
(4)如果a＞b＞0，那么＞(n∈N＋)．
(对应学生用书第41页)
用不等式(组)表示不等关系
某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，则销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后杂志的单价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入不低于20万元呢？
【思路探究】 解答本题需首先分析题中的不等关系，利用销售收入＝销售量×单价表示出销售总收入，最后列出不等式．
【自主解答】 ∵提价后杂志的定价为x元，
∴销量减少×0.2＝2x－5(万本)，
∴销售总收入为[8－(2x－5)]·x＝(13－2x)·x(万元)．
则销售总收入不低于20万元，用不等式表示为：
(13－2x)·x≥20.
1．解决本题的关键是由“若单价每提高0.1元，则销售量就可能相应减少2 000本．”得到单价为x元时的销售总收入的表达式．
2．用不等式表示不等关系时，要注意以下两点：一是要恰当地进行语言转换，即自然语言、符号语言、图形语言之间的转换；二是要准确地使用不等号，同时要注意实际情境对表示各量的字母取值范围的限制．
b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再加入m克糖(m>0)，则糖水更甜了，试根据这个事实写出一个不等式．
【答案】 >.
比较两个数(式)的大小
已知x∈R，比较x3－1与2x2－2x的大小．
【思路探究】 利用作差法比较两个数的大小．
【自主解答】 (x3－1)－(2x2－2x)＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)
＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)，
∵x2－x＋1＝(x－)2＋≥>0，
∴当x>1时，(x－1)(x2－x＋1)>0，
即x3－1>2x2－2x；
当x＝1时，(x－1)(x2－x＋1)＝0，
即x3－1＝2x2－2x；
当x<1时，(x－1)(x2－x＋1)<0，
即x3－1<2x2－2x.
1．本题解答的关键是对x的讨论．
2．数(式)大小的比较问题常用“作差法”，其过程可分三步：①作差；②变形；③判断差的符号．其中关键一步是变形，手段可以有通分、因式分解、配方等，变形的目的是有利于判断符号．
已知a、b为正实数，试比较＋与＋的大小．
【解】 (＋)－(＋)＝(－)＋(－)
＝＋＝
＝.
∵a、b为正实数，
∴＋>0，>0，(－)2≥0.
于是有≥0，当且仅当a＝b时等号成立，
∴＋≥＋，当且仅当a＝b时取等号．
实际应用
某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
【思路探究】 解答本题可先建立函数模型，然后用作差法加以比较即可．
【自主解答】 设该单位职工有n人(n∈N＋)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，
则y1＝x＋x·(n－1)
＝x＋xn，
y2＝nx，
因为y1－y2＝x＋xn－nx
＝x－nx＝x(1－)，
当n＝5时，y1＝y2；
当n＞5时，y1＜y2；
当n＜5时，y1＞y2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．
1．解决实际问题的关键是理解好每一个名词的含义，留意每个数字出现的意义，注意实际意义对变量取值范围的限制．
2．解决决策优化型的应用问题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪一个，然后确定在各种决策下该量分别是多少，再用作差法(或作商法)比较它们的大小即可．
将若干只鸡放入若干个笼，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放．设现有笼x个，试列出x满足的不等关系，并说明至少有多少只鸡多少个笼，至多有多少只鸡多少个笼．
【解】
解得6≤x≤10，x∈N＋.
所以，至少6个笼，25只鸡；至多10个笼， 41只鸡．
(对应学生用书第49页)
错用不等式的性质致误
已知1【错解】 ∵1两式相减－2两式相除<<.
【错因分析】 错用了不等式的性质，同向不等式不能相减或相除，应将其转化成不等式相加和相乘运算．
【防范措施】 熟记不等式的性质可避免出现类似的错误．
【正解】 ∵3∴1－4又<<，∴<<.即<<2.
∴a－b，的取值范围分别是(－3，3)，(，2)．
1．用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤
(1)审题．通读题目，分清楚已知量和未知量，设出未知量；
(2)找关系．寻找已知量与未知量之间有哪些不等关系(即满足什么条件，同时注意隐含条件)；
(3)列不等式(组)．建立已知量和未知量之间的关系式．
2．比较两个数(式)的大小可以用作差法，也可用作商法．
3．不等式的性质是不等式的基础，也是解不等式和证明不等式的主要依据，只有正确理解每条性质的条件和结论，注意条件的变化，才能正确地进行运用．
(对应学生用书第49页)
1．限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是( )
A．v<40 B．v≤40
C．v>40 D．v≥40
【解析】 不超过即小于或等于．
【答案】 B
2．设xA．x2ax>a2
C．x2a2>ax
【解析】 ∵xax，ax>a2.
∴x2>ax>a2.
【答案】 B
3．已知a，b，m是正实数，则不等式>成立的条件是________．
【解析】 －＝，
∵a>0，m>0且>0，
∴a－b>0即a>b.
【答案】 a>b
4．某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种．按照生产的要求600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍，写出满足所有上述不等关系的不等式．
【解】 设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根．
根据题意得：
(对应学生用书第105页)
一、选择题
1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货的总重量T满足关系为( )
A．T<40 B．T>40
C．T≤40 D．T≥40
【解析】 “限重40吨”即为T≤40.
【答案】 C
2．(2013·临沂高二检测)设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是( )
A．b－a>0 B．a3＋b3<0
C．b＋a<0 D．a2－b2>0
【解析】 利用赋值法，令a＝1，b＝0，排除A、B、C.
【答案】 D
3．(2013·芜湖高二检测)对下面的推理过程，判断正确的是( )
)③,?)ac>bd④,?)>.
A．仅③正确 B．仅③④正确
C．仅①②正确 D．①②③④均错
【解析】 ①②④均不满足不等式的乘法法则；根据不等式的传递性知③正确，故选A.
【答案】 A
4．若aA．正数 B．负数
C．非正数 D．非负数
【解析】 ＋＝＝.
∵a0，a－c<0，a－b<0，
∴>0.
【答案】 A
5．(2013·驻马店高二检测)若m≠2且n≠－1，则M＝m2＋n2－4m＋2n的值与－5的大小关系为( )
A．M＞－5 B．M＜－5
C．M＝－5 D．不确定
【解析】 ∵m≠2，n≠－1，
∴M－(－5)＝(m－2)2＋(n＋1)2＞0，
∴M＞－5.
【答案】 A
二、填空题
6．已知a，b∈R，且ab≠0，则ab－a2________b2(填“<”、“>”、“＝”)．
【解析】 ∵ab－a2－b2＝－(a－)2－b2<0，
∴ab－a2【答案】 <
7．如图3－1－1，在一个面积为350 m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长L大于宽W的4倍，上述不等关系可用W表示为________．
图3－1－1
【解析】 仓库的长L＝－10，
∴－10＞4W.
【答案】 －10＞4W
8．(2013·威海高二检测)对于任意实数a、b、c、d，有以下说法：
①若a＞b，c≠0，则ac＞bc；②若a＞b，则ac2＞bc2；③若ac2＞bc2，则a＞b；④若a＞b，则＜；⑤若a＞b＞0，c＞d，则ac＞bd.其中正确的序号为________．
【解析】 ①中当c＜0时不成立，①错；②中c＝0时不成立，②错；③正确；④中a＞0，b＜0时不成立，④错；⑤中若a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac＝bd，⑤错．
【答案】 ③
三、解答题
9．一房地产公司有50套公寓出租，当月租金定为1 000元时，公寓会全部租出去，欲增加月租金，但每增加50元，就会有一套租不出去，已知租出去的公寓每月需花100元的维修费．若将房租定为x元，怎样用不等式表示所获得的月收入不低于50 000元？
【解】 若房租定为x(x≥1 000)元，
则租出公寓的套数为，
月收入为元，
则月收入不低于50 000元可表示为不等式
x－100≥50 000.
10．若x【解】 (x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]
＝－2xy(x－y)．
∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0，
∴－2xy(x－y)＞0，
∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．
11．某粮食收购站分两个等级收购小麦，一级小麦每千克a元，二级小麦每千克b元(b【解】 分级收购时，粮站支出(ma＋nb)元，
按平均价格收购时，粮站支出元．
因为(ma＋nb)－
＝(a－b)(m－n)，
且b所以当m>n时，粮站占便宜；
当m＝n时，一样；
当m(教师用书独具)
设f(x)＝ax2＋bx，1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围．
【思路探究】 用f(－1)，f(1)表示f(－2)，再利用f(－1)，f(1)的范围求f(－2)的范围．
【自主解答】 法一 由f(x)＝ax2＋bx得
f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，f(－2)＝4a－2b，
设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，
则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
于是有解得
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10.
即5≤f(－2)≤10.
∴f(－2)的取值范围为[5，10]．
法二 由得
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10.
即5≤f(－2)≤10.
∴f(－2)的取值范围是[5，10]．
1．本例中如果由1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4得到a、b的范围，再求f(－2)的范围，那么得到的结果不是正确答案．这是因为求得的a、b的范围与已知条件不是等价关系．
2．不等式的性质是不等式变形的基础．是证明不等式的主要依据，应熟练掌握．
已知12【解】 ∵15∴－36<－b<－15，
∴12－36∴－24又<<，
∴<<，
∴<<4.
§2一元二次不等式
2．1 一元二次不等式的解法
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式的关系；会解一元二次不等式．
2．过程与方法
从二次函数、一元二次方程着手，让学生探索三者的联系，教师启发引导找到解一元二次不等式的方法．
3．情感、态度与价值观
创设问题，激发学生观察、分析、探索的学习激情，强化学生参与意识及主体作用．
●重点难点
重点：一元二次不等式的解法．
难点：三个“二次”关系的理解．
(教师用书独具)
●教学建议
教学时不妨从考察二次函数y＝x2－2x－3与一元二次方程x2－2x－3＝0的关系出发，借助二次函数y＝x2－2x－3图像的直观性，引导学生观察二次函数y＝x2－2x－3图像上任意一点P(x，y)在图像上移动时，由点P横坐标x的变化引起点P的纵坐标y的变化情况，获得对一元二次不等式x2－2x－3<0及x2－2x－3>0的解集的感性认识．进一步让学生体会二次函数、一元二次方程及一元二次不等式这三者的联系．
●教学流程
??????
(对应学生用书第50页)
课标解读
1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型(难点).
2.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系，会解一元二次不等式(重点、难点).
一元二次不等式的有关概念
【问题导思】
对于两个不等式2x2＋11x－6>0和10x2＋9x－2≤0这两个不等式有哪些共同特点？x＝是它们的一个公共解吗？
【提示】 共同特点：(1)含有一个未知数x.(2)未知数x的最高次数为2.x＝不是2x2＋11x－6>0的解，是10x2＋9x－2≤0的解．
一元二次
不等式
形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的不等式(其中a≠0)，叫作一元二次不等式.
一元二次不
等式的解
使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的解.
一元二次不
等式的解集
一元二次不等式的所有解组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集.
一元二次函数、一元二次方程、一元
二次不等式之间的关系
【问题导思】
图3－2－1
观察二次函数y＝x2－2x－3的图像，当x取何值时y＝0？y>0？y<0?
【提示】 当x＝－1或x＝3时，y＝0；
当x>3或x<－1时，y>0；
当－1判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图像
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
有两个不等的实根
x1、2＝
(x1有两相等实根
x1＝x2＝－
没有实根
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集
a>0
{x|xx2}
{x|x≠－}
R
a<0
{x|x1?
?
(对应学生用书第51页)
解一元二次不等式
解下列不等式：
(1)3x2＋5x－2≤0；
(2)－x2＋2x－3＞0；
(3)2x＞2－3x－3x2.
【思路探究】 解一元二次不等式应先化为标准形式，再求对应方程的根，并根据根的情况画出草图，观察图像写出解集．
【自主解答】 (1)方程3x2＋5x－2＝0的两解是
x1＝－2，x2＝.
函数y＝3x2＋5x－2的图像是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(－2，0)和(，0)(如图所示)．
观察图像可知，不等式的解集为
{x|－2≤x≤}．
(2)∵－x2＋2x－3＞0，∴x2－2x＋3＜0.
∵Δ＝4－12＝－8＜0，
∴方程x2－2x＋3＝0无实数根．
∴函数y＝x2－2x＋3的图像是开口向上的抛物线，与x轴无交点(如图)，
∴原不等式的解集为空集．
(3)原不等式移项整理，得3x2＋5x－2＞0.
∵Δ＝49＞0，∴方程3x2＋5x－2＝0的两解为x1＝－2，x2＝.
然后，利用(1)中的函数图像可得不等式的解集为{x|x＜－2，或x＞}．
1．解一元二次不等式时，当二次项系数为负时，通常化为二次项系数为正的情形．
2．在具体求解一个标准形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图像，这种方法体现了“化归”的数学思想方法的运用，要注意体会．
解下列不等式：
(1)x2－5x＞14；
(2)－7x2＋7x＞6.
【解】 (1)方程x2－5x－14＝0的两解是x1＝－2，x2＝7，
函数y＝x2－5x－14的图像是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(－2，0)和(7，0)，如图所示，由图像知x2－5x＞14的解集为：
{x|x＜－2或x＞7}．
(2)原不等式可化为－7x2＋7x－6＞0，
即7x2－7x＋6＜0.
∵方程7x2－7x＋6＝0的判别式，
Δ＝(－7)2－7×4×6＜0，
∴函数y＝7x2－7x＋6的图像与x轴无交点，如图所示，
由图知原不等式的解集为?.
含参数的一元二次不等式的解法
解关于x的不等式ax2＋2x＋1<0.
【思路探究】 对二次项系数a分a>0，a＝0，a<0三种情况讨论，并且对a>0这种情况还需分Δ>0，Δ≤0讨论．
【自主解答】 (1)当a＝1时，(x＋1)2<0，解集为?；
(2)当a＝0时，不等式的解集为{x|x<－}；
(3)当a>0时，Δ＝4－4a，
①Δ>0即0不等式的解集为{x|②Δ≤0即a≥ 1时，不等式的解集为?.
(4)当a<0时，Δ＝4－4a>0，
不等式的解集为{x|x<或x>}．
1．熟练掌握一元二次不等式的解法是解决不等式问题的基础，所以应当能够熟练记住形如ax2＋bx＋c>0(<0)(a>0)的不等式在各种情况下解集的形式．
2．含参数的一元二次不等式的解题步骤为：①将二次项系数转化为正数．②判断相应方程是否有根．③根据根的情况写出相应的解集，若方程有两个相异根，为了正确写出解集还要确定两根的大小．
解关于x的不等式x2－ax－2a2<0.
【解】 原不等式变形为(x－2a)(x＋a)<0.
(1)若a>0，则－a{x|－a(2)若a<0，则2a{x|2a(3)若a＝0，则原不等式即为x2<0，此时解集为?.
三个二次关系的应用
已知ax2＋2x＋c>0的解集为{x|－0.
【思路探究】 先根据二次不等式与二次方程的关系求出a，c的值，再求解对应的一元二次不等式．
【自主解答】 由ax2＋2x＋c>0的解集为{x|－知a<0且方程ax2＋2x＋c＝0的两根为－，，
∴∴a＝－12，c＝2.
此时－cx2＋2x－a>0可化为x2－x－6<0，
解得－2∴所求不等式的解集为{x|－2
1．一元二次不等式的解集的区间端点，是一元二次不等式对应的二次函数的零点，是一元二次方程的根．借助三个二次的关系可实现问题的相互转化．
2．这种题型是已知一元二次不等式的解集，根据三个“二次”之间的关系，由解集得到方程的根，巧妙运用根与系数的关系，将所解不等式的“多个参数”化为“一个参数”，从而求解．
已知方程ax2＋bx＋c＝0的两根为2，－1，求不等式ax2＋bx＋c＞0的解集．
【解】 由已知得2，－1为方程ax2＋bx＋c＝0的两根．
∴∴
由ax2＋bx＋c＞0可得ax2－ax－2a＞0.
当a＞0时，x2－x－2＞0，解得x＞2，或x＜－1.
当a＜0时，x2－x－2＜0，解得－1＜x＜2.
因此，当a＞0时，不等式的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，
当a＜0时，不等式的解集为(－1，2)．
(对应学生用书第52页)
解不等式x2>x.
【错解】 由x2>x两边同时约去x，得x>1，所以原不等式的解集为{x|x>1}．
【错因分析】 本题因不等式两边同时约去x时，未考虑x的取值(正负性)，机械应用不等式性质而出现失解现象，因此导致求解错误．
【防范措施】 1.不等式两边同除以数(式)时一定考虑正负号情况．
2．解一元二次不等式时，应将一元二次不等式化成标准形式，再由方程的根得出解集．
【正解】 法一 原不等式可化为x2－x>0，
即x(x－1)>0.
∵方程x(x－1)＝0的两根为x1＝0，x2＝1，
∴不等式x2－x>0的解集为{x|x<0，或x>1}．
法二 原不等式可化为x(x－1)>0，
即或
解得x>1或x<0，
∴原不等式的解集为{x|x<0，或x>1}．
1．解一元二次不等式要密切联系其所对应的一元二次方程以及二次函数的图像．一元二次方程的根就是二次函数图像与x轴交点的横坐标，对应不等式的解集，就是使函数图像在x轴上方或下方的部分所对应的x的集合，而方程的根就是不等式解集区间的端点．
2．解含参数不等式时，一般需对参数进行讨论，参数讨论有三个方面：①二次项系数；②“Δ的符号”；③根的大小，但未必在这三个方面都进行讨论，是否讨论要根据运算需要而定．
(对应学生用书第53页)
1．不等式x2＞0；②－x2－x＜5；③ax2＜2(a是常数)；④x2＋2x－y2＜0.其中是一元二次不等式的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】 由一元二次不等式的定义知①、②是．
【答案】 C
2．不等式2x2－x－1>0的解集是( )
A．(－，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－)∪(1，＋∞)
【解析】 ∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，∴由2x2－x－1＞0得(2x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－，∴不等式的解集为∪(1，＋∞)．
【答案】 D
3．若关于x的不等式mx2＋8mx＋21＜0的解集为{x|－7＜x＜－1}，则实数m的值为________．
【解析】 由题意知，x1＝－7，x2＝－1是方程mx2＋8mx＋21＝0的两根，
则(－7)×(－1)＝，∴m＝3.
【答案】 3
4．不等式(a＋1)x2＋ax＋a>0对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．
【解】 当a＋1＝0，即a＝－1时，原不等式化为－x－1>0，得x<－1，不合题意；
当a＋1≠0时，由题意，必须??a>0.
故实数a的取值范围为(0，＋∞)．
(对应学生用书第107页)
一、选择题
1．不等式5－x2＞4x的解集为( )
A．(－5，1)
B．(－1，5)
C．(－∞，－5)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(5，＋∞)
【解析】 不等式可化为x2＋4x－5＜0，
y＝x2＋4x－5的开口方向向上，
又x2＋4x－5＝0的两根为－5，1.
由图像知原不等式的解集为(－5，1)．
【答案】 A
2．设集合S＝{x||x|<5}，T＝{x|x2＋4x－21<0}，则S∩T＝( )
A．{x|－7C．{x|－5【解析】 S＝{x|－5∴S∩T＝{x|－5【答案】 C
3．(2013·西安高二检测)若全集U＝R，集合A＝{x|x2＋3x－4<0}，B＝{x|y＝log3(x＋2)}，则?U(A∩B)＝( )
A．{x|x≤－4或x≥1} B．{x|x<－4或x>1}
C．{x|x<－2或x>1} D．{x|x≤－2或x≥1}
【解析】 由题意可得A＝{x|－4－2}，
所以A∩B＝{x|－2所以?U(A∩B)＝{x|x≤－2或x≥1}．
【答案】 D
4．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围是( )
A．(0，2) B．(－2，1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1，2)
【解析】 由题意知x⊙(x－2)＝x2＋x－2，
∴x2＋x－2<0解得－2【答案】 B
5．(2013·临沂高二检测)f(x)＝ax2＋ax－1在R上满足f(x)＜0，则a的取值范围是( )
A．a≤0 B．a＜－4
C．－4＜a＜0 D．－4＜a≤0
【解析】 当a＝0时，f(x)＝－1＜0成立．
当a≠0时，则即解得－4＜a＜0，
综上可知：－4＜a≤0时，在R上f(x)＜0.
【答案】 D
二、填空题
6．{x|－x2－x＋2>0}∩Z＝________．
【解析】 {x|－x2－x＋2>0}∩Z＝{x|－2【答案】 {－1，0}
7．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表；
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是________．
【解析】 法一 二次函数的两个零点是x1＝－2，x2＝3，又根据所给数值，函数值随着x的增大，先减后增，故开口向上，如图所示，故不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|x>3或x<－2}．
法二 由表中数据可求得a＝1，b＝－1，c＝－6，代入原不等式得x2－x－6>0，所以可解得解集为{x|x>3或x<－2}．
【答案】 {x|>3或x<－2}
8．(2013·福州高二检测)若2x2＋1≤()x－2，则函数y＝2x的值域是________．
【解析】 ∵2x2＋1≤()x－2＝2－2x＋4，
∴x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0.
解得－3≤x≤1，∴≤y≤2，∴函数y＝2x的值域是[，2]．
【答案】 [，2]
三、解答题
9．解下列不等式：
(1)2x2－3x－2>0；
(2)－6x2－x＋2≥0.
【解】 (1)∵Δ＝(－3)2－4×2×(－2)＝25>0，
∴方程2x2－3x－2＝0有两个不同实根，分别是－，2，
∴原不等式的解集为{x|x>2，或x<－}．
(2)原不等式可化为6x2＋x－2≤0，
∵Δ＝12－4×6×(－2)＝49>0，
∴方程6x2＋x－2＝0有两个不同实根，分别是－，，
∴原不等式的解集为{x|－≤x≤}．
10．解关于x的不等式x2－2mx＋m＋1>0.
【解】 不等式对应方程的判别式Δ＝(－2m)2－4(m＋1)＝4(m2－m－1)．
(1)当Δ>0，即m>或m<时，
由于方程x2－2mx＋m＋1＝0的根是x＝m±，
所以不等式的解集是{x|xm＋}；
(2)当Δ＝0，即m＝时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠m}；
(3)当Δ<0，即11．已知不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}．
(1)求a、b的值；
(2)解关于x的不等式x2－b(a＋c)x＋4c>0.
【解】 (1)由题意知，a>0且1，b是方程ax2－3x＋2＝0的根，
∴a＝1.又1·b＝，∴b＝2.
(2)不等式可化为x2－2(c＋1)x＋4c>0，
即(x－2c)(x－2)>0，
当2c>2，即c>1时，
不等式的解集为{x|x<2或x>2c}；
当2c＝2，即c＝1时，
不等式的解集为{x|x≠2}；
当2c<2，即c<1时，
不等式的解集为{x|x>2或x<2c}．
综上：
当c>1时，不等式的解集为{x|x<2或x>2c}；
当c＝1时，不等式的解集为{x|x≠2}；
当c<1时，不等式的解集为{x|x>2或x<2c}．
(教师用书独具)
(2013·聊城高二检测)关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R，求实数a的取值范围．
【思路探究】 按a2－1是否为零分类讨论，必要时结合图像解决．
【自主解答】 (1)若a2－1＝0，即a＝±1，
当a＝1时，不等式变为－1<0，解集为R，
当a＝－1时，不等式变为2x－1<0，
解集为{x|x<}，不符合条件，舍去．
∴a＝1时满足条件．
(2)若a2－1≠0，即a≠±1时，原不等式解集为R的条件是
解得－综上所述，当－1．本题易忽视对“a2－1＝0”的讨论．
2．不等式的恒成立问题需注意：
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立?一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R?二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像恒在x轴上方?f(x)min>0?
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)在R上恒成立?一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R?二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像恒在x轴下方?f(x)max<0?
关于x的不等式(1＋m)x2＋mx＋m【解】 原不等式等价于mx2＋mx＋m－1<0对x∈R恒成立，
当m＝0时，0·x2＋0·x－1<0对x∈R恒成立．
当m≠0时，由题意，得
可化为
即?m<0.
综上，m的取值范围为m≤0.
2．2 一元二次不等式的应用
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
会求解方程的存在性问题，会解简单的分式不等式和简单的高次不等式．
2．过程与方法
培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力．
3．情感、态度与价值观
激发学习数学的热情，培养勇于探索、创新的精神，同时体会从不同侧面观察同一立场的思想．
●重点难点
重点：熟练掌握一元二次不等式的解法，初步掌握分式不等式及简单高次不等式的解法．
难点：分式不等式及简单高次不等式的解法的理解．
(教师用书独具)
●教学建议
解分式不等式的关键是转化，根据实数运算的符号法则，分式不等式的同解变形有如下几种：
(1)>0?f(x)g(x)>0；(2)<0?f(x)g(x)<0；
(3)≥0?f(x)g(x)≥0且g(x)≠0；(4)≤0?f(x)g(x)≤0且g(x)≠0.
一元高次不等式f(x)>0用穿针引线法(或数轴穿根法，或根轴法，或区间法)求解，其步骤是：
①将f(x)最高次项的系数化为正数；
②将f(x)分解为若干个一次因式的积或一次因式与二次不可分解的因式的积；
③将每一个使一次因式等于0的根标在数轴上，从最大根的右上方依次穿过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；
④根据曲线显现的f(x)的值的符号，写出不等式的解集．
●教学流程
??????
(对应学生用书第53页)
课标解读
1.会求解方程根的存在性问题和不等式恒成立问题(重点、难点).
2.会解简单的分式不等式和简单的高次不等式(重点).
分式不等式的解法
【问题导思】
不等式>0①，≥0②.
不等式①与(x＋2)(x－3)>0同解吗？不等式②与(x＋2)(x－3)≥0同解吗？
【提示】 同解，不同解．
1.＞0与f(x)·g(x)＞0同解．
2.＜0与f(x)·g(x)＜0同解．
3.≥0与f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0同解．
4.≤0与f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0同解．
高次不等式的解法
【问题导思】
对于函数f(x)＝x(x－1)(x－2)有几个零点？分别是什么？若x分别属于下列区间，f(x)的符号怎样？
①(－∞，0)；②(0，1)；③(1，2)；④(2，＋∞)．
【提示】 三个，0，1，2.
①f(x)<0 ②f(x)>0 ③f(x)<0 ④f(x)>0
如果把函数f(x)图像与x轴的交点形象地看成“针眼”，函数f(x)的图像看成“线”，那么这种求解不等式的方法，我们形象地把它称为穿针引线法．
(对应学生用书第54页)
分式不等式的解法
解不等式：(1)<0；(2)≤1.
【思路探究】 (1)<0等价于哪个整式不等式？
(2)≤1应如何变形？
【自主解答】 (1)由<0，得>0，
此不等式等价于(x＋)(x－1)>0，
解得x<－或x>1，
∴原不等式的解集为{x|x<－，或x>1}．
(2)∵≤1，
∴－1≤0.
∴≤0.即≥0.
此不等式等价于(x－4)(x－)≥0，
且x－≠0，解得x<或x≥4，
∴原不等式的解集为{x|x<，或x≥4}．
1．本例(2)易出现把≤1直接变形为x＋1≤2x－3这样的错误．
2．解分式不等式一般先移项，使不等式的一端为零，再利用不等式的性质将其转化整式不等式(组)来解．
将本例(1)变为“>”，(2)改为≤2.
【解】 (1)由>0得<0等价于(x＋)(x－1)<0，解得－∴原不等式的解集为{x|－(2)－2≤0即≥0等价于(x－5)(x－2)≥0且x≠2，
解得x<2或x≥5，
∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}．
简单高次不等式的解法
解不等式－x>0.
【思路探究】 先把不等式通分化简，再用穿针引线法求解．
【自主解答】 原不等式可改写为＞0.
即＞0，
此不等式可转化成x(x＋1)(2x－1)＞0，
函数f(x)＝x(x＋1)(2x－1)的函数值的符号如图所示．
由图可知，不等式x(x＋1)(2x－1)＞0，即原不等式的解集为{x|－1＜x＜0，或x＞}．
高次不等式的解法
化成标准型p(x)＝(x－x1)(x－x2)…(x－xn)>0(或<0)．再利用穿针引线法写出解集，穿根的步骤：
(1)分解因式；(2)确定零点；(3)在数轴上按照从小到大的顺序标根；(4)当最高次项的系数为正时，右起为正(其中奇过偶不过)进行穿根．
解不等式x－<2.
【解】 先化简不等式得x(x2－2x－8)<0，
分解因式得x(x＋2)(x－4)<0.
如图所示，由穿针引线法可知原不等式的解集为(－∞，－2)∪(0，4)．
一元二次不等式的实际应用
某物流公司购买了一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块，计划如图3－2－2中矩形ABCD建设为仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B、D分别在边AM、AN上，假设AB的长度为x米．
图3－2－2
(1)求矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式；
(2)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，则AB的长度应在什么范围内？
【思路探究】 (1)利用三角形相似表示出AD，写出面积S关于x的函数解析式．
(2)将实际问题表示为不等式，解不等式可求．
【自主解答】 (1)根据题意，得△NDC与△NAM相似，
∴＝，即＝，
解得AD＝20－x，
∴矩形ABCD的面积S关于x的函数为
S＝x(0＜x＜30)，即S＝20x－x2(0＜x＜30)．
(2)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，即
20x－x2≥144，化简得x2－30x＋216≤0.
解得12≤x≤18.
∴AB的长度取值范围为[12，18]．
1．解答本题的关键在于求出用x表示AD的长度，还要注意x的取值范围．
2．解不等式应用题，一般可按以下四步进行：
(1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系；(3)解不等式；(4)回答实际问题．
一服装厂生产某种风衣，月产量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P＝160－2x，生产x件的成本总数R＝500＋30x(元)，假设生产的风衣当月全部售出．试问该厂的月产量为多少时，月获得的利润不少于1 300 元？
【解】 设该厂月获得的利润为y元，则
y＝(160－2x)x－(500＋30x)
＝－2x2＋130x－500(0＜x＜80)．
由题意知y≥1 300，
所以－2x2＋130x－500≥1 300，
解得20≤x≤45.
所以当月产量在20至45件(包括20和45)之间时，月获得的利润不少于1 300元．
(对应学生用书第55页)
等价转化思想在解分式不等式中的应用
(12分)解不等式≤3.
【思路点拨】 先通分再转化整式不等式．
【规范解答】 原不等式可化为－3≤0，
即≤0，∴≥0，4分
∴8分
解得x≥或x<0.10分
故原不等式的解集为{x|x≥或x<0}.12分
解分式不等式就是把分式不等式转化为整式不等式求解．要注意转化时看一下是否等价．这体现了等价转化思想．
1．解分式不等式和高次不等式一般的方法是穿针引线法，先将不等式化为标准型，即右边为零，左边分解成几个因式的积或商，使每个因式的x系数全为1，再把各根依次从小到大排在数轴上后，要从右上方开始往左穿，若有重根，则奇次重根一次穿过，偶次重根要穿而不过，然后根据x轴上方为正，下方为负的原则，由不等式的类型写出解集．注意分式不等式分母不为零．对分式不等式一般不去分母，若要去分母，需对分母的正负进行讨论．
2．应用一元二次不等式解决实际问题的关键是把实际问题转化为数学模型，解不等式时，要注意变量的实际意义．
(对应学生用书第56页)
1．(2013·潍坊高二检测)不等式≥0的解集是( )
A．[2，＋∞) B．(－∞，1]∪(2，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1)∪[2，＋∞)
【解析】 原不等式可化为
∴x≥2或x＜1，
故原不等式的解集为(－∞，1)∪[2，＋∞)．
【答案】 D
2．对于x∈R，式子恒有意义，则常数k的取值范围是( )
A．0＜k＜4 B．0≤k≤4
C．0≤k＜4 D．0＜k≤4
【解析】 式子恒有意义，即kx2＋kx＋1＞0恒成立，当k≠0时，需k＞0且Δ＝k2－4k＜0，
∴k＜4，即0＜k＜4.
而k＝0时，kx2＋kx＋1＞0恒成立．
故所求k的取值范围为0≤k＜4.
【答案】 C
3．不等式(x＋2)(x－1)(x－2)>0的解集是________．
【解析】 用穿针引线法得
－22.
【答案】 {x|－22}
4．解关于x的不等式＞0(a≠ 0)．
【解】 ∵x2－x＋3＞0对x∈R恒成立，
∴原不等式等价于x2＋ax＞0，即x(x＋a)＞0.
又a≠0，∴当a＜0时，解得x＜0或x＞－a.
当a＞0时，解得x＜－a或x＞0.
综上，当a＜0时，原不等式的解集为{x|x＜0或x＞－a}；
当a＞0时，原不等式的解集为{x|x＜－a或x＞0}．
(对应学生用书第109页)
一、选择题
1．不等式(x2－7x＋12)(x2＋x＋1)＞0的解集为( )
A．(－∞，－4)∪(－3，＋∞)
B．(－∞，3)∪(4，＋∞)
C．(－4，－3)
D．(3，4)
【解析】 x2＋x＋1＝(x＋)2＋＞0恒成立．
∴原不等式等价于x2－7x＋12＞0，
∴不等式的解集为{x|x＜3或x＞4}．
【答案】 B
2．不等式＞0的解集为( )
A．{x|x＜－2，或x＞3}
B．{x|x＜－2，或1＜x＜3}
C．{x|－2＜x＜1，或x＞3}
D．{x|－2＜x＜1，或1＜x＜3}
【解析】 由＞0，得(x－3)(x＋2)(x－1)＞0.
函数f(x)＝(x－3)(x＋2)(x－1)的函数值的符号如图所示．
由图可知，不等式(x－3)(x＋2)(x－1)＞0，即原不等式的解集为{x|－2＜x＜1，或x＞3}．
【答案】 C
3．不等式≥2的解集是( )
A. B.
C.∪(1，3] D.∪(1，3]
【解析】 原不等式等价于，即
，∴－≤x≤3且x≠1，
故原不等式的解集为∪(1，3]．
【答案】 D
4．要使关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是( )
A．(－1，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－2，1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
【解析】 设f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2，由题意知，f(1)＝1＋a2－1＋a－2＝a2＋a－2＝(a－1)(a＋2)<0.
∴－2【答案】 C
5．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，售价所在的范围应是( )
A．(90，100) B．(90，110)
C．(100，110) D．(80，100)
【解析】 设每个涨价x元，则y表示涨价后的利润与原利润之差，则y＝(10＋x)(400－20x)－10×400＝－20x2＋200x.
要使商家利润有所增加，则必须使y>0，即x2－10x<0，
得0【答案】 A
二、填空题
6．不等式≤1的解集为________．
【解析】 ≤1?－1≤0?≤0??－2≤x<1.所以原不等式的解集是{x|－2≤x<1}．
【答案】 {x|－2≤x<1}
7．不等式(3x＋2)(1－3x)(x－2)≥0的解集是________．
【解析】 原不等式可化为(3x＋2)(3x－1)(x－2)≤0.设f(x)＝(3x＋2)(3x－1)(x－2)，则y＝f(x)的函数值的符号如图所示．故不等式(3x＋2)(1－3x)(x－2)≥0的解集为(－∞，－]∪[，2]．
【答案】 (－∞，－]∪[，2]
8．(2013·武汉高二检测)若不等式＜0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围为________．
【解析】 ∵x2－8x＋20＝(x－4)2＋4＞0，∴只需mx2－mx－1＜0恒成立，故m＝0或，
∴－4＜m≤0.
【答案】 (－4，0]
三、解答题
9．已知集合A＝{x|≤1}，集合B＝{x|x2－(2m＋1)x＋m2＋m＜0}，
(1)求集合A、B；
(2)若B?A，求m的取值范围．
【解】 (1)≤1?≤0?－2≤x＜2，
即A＝{x|－2≤x＜2}，
x2－(2m＋1)x＋m2＋m＜0
?(x－m)[x－(m＋1)]＜0?m＜x＜m＋1，
即B＝{x|m＜x＜m＋1}．
(2)B?A??－2≤m≤1.
10．某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1 000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本．若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0＜x＜1)，则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x，为使日利润有所增加，求x的取值范围．
【解】 设增加成本后的日利润为y元．
y＝[60×(1＋0.5x)－40×(1＋x)]×1 000×(1＋0.8x)
＝2 000(－4x2＋3x＋10)(0＜x＜1)．
要保证日利润有所增加，则y＞(60－40)×1 000，且0＜x＜1，
即
解得0＜x＜.所以，为保证日利润有所增加，x的取值范围是(0，)．
11．(2013·唐山高二检测)不等式≥m对任意实数x都成立，求自然数m的值．
【解】 因为x2＋x＋1>0对于任意实数x恒成立，
所以原不等式可化为3x2＋2x＋2≥m(x2＋x＋1)，即(3－m)x2＋(2－m)x＋2－m≥0.
当m＝3时，不等式化为x＋1≤0，不合题意．
当m≠3时，依题意，
得
整理得
解得即m≤2.
又∵m∈N，
∴m＝0，1，2.
(教师用书独具)
已知不等式x2＋mx＞4x＋m－4对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
【思路探究】 解答本题应根据条件的不同，构造恰当的函数，将不等式问题转化为函数问题来处理．
【自主解答】 不等式变形为x2＋(m－4)x＋4－m＞0，
设f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－m，对一切实数x不等式恒成立，等价于函数f(x)的函数值恒为正值，或者说函数f(x)的图像在x轴的上方．
∴Δ＝(m－4)2－4(4－m)＝m2－4m＜0，
解得0＜m＜4.
1．本题实际上是结合函数图像，得到m的关系式，进而求出了m的取值范围．
2．数形结合法解恒成立问题，
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)
①f(x)＞0在x∈R上恒成立?②f(x)＜0在x∈R上恒成立?
③a＞0时，f(x)＜0在区间[α，β]上恒成立?
④a＜0时，f(x)＞0在区间[α，β]上恒成立?
当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，试求m的取值范围．
【解】 令f(x)＝x2＋mx＋4.
当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则
即
解得m≤－5.
§3基本不等式
3．1 基本不等式
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
了解基本不等式的证明过程及其几何解释，会用基本不等式推出与其有关的简单不等式．
2．过程与方法
让学生观察几何图形，进一步理解基本不等式的几何解释．
3．情感、态度与价值观
从生活中实际问题还原出数学本质，培养学生的学习热情．
●重点难点
重点：基本不等式的理解与应用．
难点：基本不等式的发现与推导．
(教师用书独具)
●教学建议
对于任意实数a，b，a2＋b2≥2ab总成立的基础上，从两种不同角度引导学生认识基本不等式≤(a，b≥0)．
(1)当a≥0，b≥0时，在不等式a2＋b2≥2ab中，以，分别代替a，b得到≤(a，b≥0)．
(2)借助初中阶段学生已熟知的几何图形(课本P88图3－21)，引导学生探究不等式≤(a，b>0)的几何解释，通过数与形的结合，赋予不等式≤几何直观．
●教学流程
?通过引导学生回答所提问题，了解基本不等式的证明过程及其几何解释，会应用基本不等式证明不等关系?????
(对应学生用书第56页)
课标解读
1.了解基本不等式的证明过程及其几何解释(难点).
2.了解算术平均数，几何平均数的定义(重点).
3.会用基本不等式推出与基本不等式有关的简单不等式(重点).
基本不等式
【问题导思】
如图3－3－1是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标．将其抽象成如图3－3－2形式．设直角三角形的长为a、b(a≠b)，那么正方形的边长为.
图3－3－1
根据抽象的图形，你能从中得到一个什么样的不等关系？
图3－3－2
当a>0，b>0时，用，分别代替a，b，可以得到什么结论？
【提示】 正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和，即a2＋b2>2ab，>.
1．如果a，b都是非负数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立，称上述不等式为基本不等式，其中称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数，该不等式又被称为均值不等式．
2．基本不等式的文字语言叙述：(1)两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
(2)两个正数的等差中项不小于它们的正的等比中项．
(对应学生用书第57页)
对基本不等式的理解
给出下面四个推导过程：
①∵a、b为正实数，∴＋≥2＝2；
②∵x、y为正实数，∴lg x＋lg y≥2；
③∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；
④∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－[(－)＋(－)]≤－2＝－2.
其中正确的推导为( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【思路探究】 依据基本不等式成立的条件逐个检验作出判断．
【自主解答】 ①∵a、b为正实数，∴、为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确．
②虽然x、y为正实数，但当x∈(0，1)或y∈(0，1)时，lg x或lg y是负数，
∴②的推导过程是错误的．
③∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，
∴＋a≥2＝4是错误的．
④由xy＜0，得、均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，(－)、(－)均变为正数，符合均值不等式的条件，故④正确．
【答案】
1．基本不等式≥(a≥0，b≥0)反映了两个非负数的和与积之间的关系．
2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a、b都是非负数．(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≥的等号成立，即a＝b?＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝?a＝b.
下列不等式的推导过程正确的是________．
①若x＞0，则cos x＋≥2＝2.
②若x＜0，则x＋＝－[(－x)＋(－)]≤
－2＝－4.
③若a，b∈R，则＋≥2＝2.
【解析】 ①③中忽视了利用基本不等式时每一项必须非负这一条件．
【答案】 ②
利用基本不等式比较大小
如果0＜a＜b＜1，P＝log，Q＝(loga＋logb)，M＝log(a＋b)，那么P，Q，M的大小顺序是( )
A．P＞Q＞M B．Q＞P＞M
C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P
【思路探究】 →
→
【自主解答】 因为P＝log，
Q＝(loga＋logb)＝log，
M＝log(a＋b)＝log，
所以只需比较，，的大小．
显然＞，又因为＜，(由a＋b＞也就是＜1可得)，所以＞＞.而y＝logx为减函数，故Q＞P＞M.
【答案】 B
1．比较各真数的大小是解决此题的关键，可借助基本不等式和比较法来完成．
2．在应用基本不等式时，一定要注意是否满足条件，即a＞0，b＞0，若条件不满足时，则应拼凑出条件，即问题一端出现“和式”，另一端出现“积式”便于运用基本不等式．
已知m＝a＋ (a>2)，n＝()x2－2(x<2)，则m、n之间的大小关系是( )
A．m>n B．mC．m＝n D．m≤n
【解析】 ∵m＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4，n＝()x2－2<()－2＝4.
∴m>n.
【答案】 A
利用基本不等式证明不等式
已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋>9.
【思路探究】 将“1”换成“a＋b＋c”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明．
【自主解答】 ∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋＋＋＋
＝3＋(＋)＋(＋)＋(＋)
≥3＋2＋2＋2
＝3＋2＋2＋2
＝9.
当且仅当a＝b＝c时取等号，
∴＋＋>9.
1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．
2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．
本例条件不变，求证：(－1)(－1)(－1)>8.
【证明】 ∵a，b，c∈R＋，
且a＋b＋c＝1，
∴－1＝>0，－1＝>0，－1＝>0，
∴(－1)(－1)(－1)
＝··
≥＝8，
当且仅当a＝b＝c时取等号，
∴不等式成立．
(对应学生用书第58页)
忽视基本不等式的条件致误
下面四个命题：
①若a，b∈R，则＋≥2；②若x∈(0，π)，则sin x＋≥2；③若a>0，b>0，则lg a＋lg b≥2；④若x∈R，则|x＋|≥4.
其中正确命题的序号是________．
【错解】 ①②③
【错因分析】 ①只有在ab>0时成立；②∵x∈(0，π)，∴sin x∈(0，1]，sin x＝1时等号成立，∴②成立．
③只有在lg a>0，lg b>0，即a>1，b>1时才成立．
④|x＋|＝|x|＋||≥2＝4，成立．①③均忽视了“两数均为正数”这个条件．
【防范措施】 熟练掌握基本不等式的应用条件及变形．
【正解】 ②④
基本不等式是证明不等式的重要工具，公式揭示了若干变量之间的本质联系，利用基本不等式解决问题时要注意其应用条件及它的几种变形公式．
(对应学生用书第58页)
1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是( )
A．a＝±1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a＝0
【解析】 当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0即a＝1时，“＝”成立．
【答案】 B
2．已知a，b∈(0，1)，且a≠b，下列各式中最大的是( )
A．a2＋b2 B．2
C．2ab D．a＋b
【解析】 ∵a，b∈(0，1)，∴a2＜a，b2＜b，
∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞2ab(∵a≠b)，
∴2ab＜a2＋b2＜a＋b.
又∵a＋b＞2(∵a≠b)，∴a＋b最大．
【答案】 D
3．当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________．
①≥ ②a－b≥2
③a2＋b2≥2ab ④a2－b2≥2ab
【解析】 根据≥xy，≥成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．
【答案】 ③
4．试比较与2的大小．
【解】 ∵2a＞0，2b＞0，
∴2a＋2b≥2，即≥2.
当且仅当2a＝2b，
即a＝b时，等号成立．
(对应学生用书第111页)
一、选择题
1．不等式＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是( )
A．x＝3 B．x＝－3
C．x＝5 D．x＝－5
【解析】 由基本不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．
【答案】 C
2．已知a>0，b>0，则下列不等式中错误的是( )
A．ab≤()2 B．ab≤
C.≥ D.≤()2
【解析】 由基本不等式知A、C正确，由重要不等式知B正确，由≥ab得，ab≤()2，∴≥()2，故选D.
【答案】 D
3．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是( )
A．s≥t B．s>t
C．s≤t D．s【解析】 ∵b2＋1≥2b，
∴a＋2b≤a＋b2＋1.
【答案】 A
4．已知f(x)＝()x，a、b为正实数，A＝f()，G＝f()，H＝f()，则A、G、H的大小关系是( )
A．A≤G≤H B．A≤H≤G
C．G≤H≤A D．H≤G≤A
【解析】 ∵a>0，b>0，
∴≥≥＝.当且仅当a＝b时等号成立．
又∵函数f(x)＝()x是减函数，
∴A≤G≤H.
【答案】 A
5．(2013·衡水高二检测)若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )
A.＞ B.＋≤1
C.≥2 D.≤
【解析】 由a＋b＝4，得≤＝＝2，故C错；
由≤2得ab≤4，
∴≥，故A错；
B中，＋＝＝≥1，故B错；
由≥得a2＋b2≥2×＝8，
∴≤，D正确．
【答案】 D
二、填空题
6．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．
【解析】 ∵a＞b＞c，
∴a－b＞0，b－c＞0，
∴≤＝.
【答案】 ≤
7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________．
【解析】 用两种方法求出第三年的产量分别为
A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．
∴1＋x＝≤＝1＋，
∴x≤.当且仅当a＝b时等号成立．
【答案】 x≤
8．(2013·阜阳高二检测)设a，b为非零实数，给出不等式：
①≥ab；②≥；③≥；④＋≥2.
其中恒成立的不等式的个数是________．
【解析】 由重要不等式a2＋b2≥2ab可知①正确；
②＝＝≥＝＝，故②正确；对于③，当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知③不正确；令a＝1，b＝－1可知④不正确．
【答案】 ①②
三、解答题
9．已知x<0，求证：x＋≤－4.
【证明】 由x<0，得－x>0，
∴(－x)＋≥2＝4，
∴x＋＝－[(－x)＋]≤－4.
10．已知a，b，c为正实数，且a＋b＝1.求证：＋≥4.
【证明】 ＋＝＋
＝1＋＋＋1
＝2＋＋≥2＋2＝4.
当且仅当a＝b时“＝”成立．
11．设a、b、c为正数，求证＋＋≥a＋b＋c.
【证明】 ∵a、b、c均是正数，
∴，，均是正数，
∴＋≥2c，
＋≥2a，
＋≥2b，
三式相加得2(＋＋)≥2(a＋b＋c)，
∴＋＋≥a＋b＋c.
(教师用书独具)
已知a、b、c为不全相等的正实数，
求证：a＋b＋c＞＋＋.
【思路探究】 ―→
―→
―→
【自主解答】 ∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴≥，≥，≥，∴＋＋≥＋＋，
即a＋b＋c≥＋＋.由于a、b、c不全相等，∴等号不成立，
∴a＋b＋c＞＋＋.
1．本题累加法是不等式性质的应用，也是证明不等式的一种常用方法．
2．对不能直接运用基本不等式的证明问题，要重新组合，构造运用基本不等式的条件．
本例中，把“a、b、c为不全相等的正实数”改为“a、b、c均为正数，且abc＝2”，求证：(1＋a)(1＋b)(1＋c)＞8.
【证明】 ∵a、b、c均为正数，∴1＋a≥2，1＋b≥2，1＋c≥2，
∴(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8＝8.
当且仅当a＝b＝c＝1时取“＝”，而这时abc＝1≠2与已知矛盾，
∴(1＋a)(1＋b)(1＋c)＞8.
3．2 基本不等式与最大(小)值
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题，会用基本不等式解决实际问题．
2．过程与方法
通过探究实例过程，领悟利用不等式求简单的最大(小)值问题所满足的条件．
3．情感、态度与价值观
通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题反思的习惯，培养学生的探索精神．
●重点难点
重点：用基本不等式解决简单的最值问题．
难点：用基本不等式求最值的使用条件．
(教师用书独具)
●教学建议
在用基本不等式求最值时，要讲清楚使用条件：“一正、二定、三相等”．课本P91例2就是对这三个应用条件的很好的阐释．有些问题看似不符合前面的三个条件，但经过适当的变形又可以转化成运用基本不等式解决如例3中若x<0则需要变形方可利用基本不等式求最值．
●教学流程
创设问题情境，提出问题：如何通过基本不等式求f(x)＝x(1－x)(0
(对应学生用书第59页)
课标解读
1.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题(重点).
2.会用基本不等式解决实际问题(重点、难点).
基本不等式与最值
【问题导思】
已知函数f(x)＝x(1－x)(0【提示】 最大值；能．
∵00，
又∵≥，∴ab≤()2，
∴x(1－x)≤()2＝，
当且仅当x＝1－x，即x＝时，f(x)有最大值.
已知x、y都是正数
和定积
最大
若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值
积定和
最小
若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，x＋y取得最小值2
(对应学生用书第59页)
利用基本不等式求最值
(1)已知x>0，求函数y＝的最小值；
(2)已知0【思路探究】 (1)利用分式的性质拆开，构造ax＋形式，再利用基本不等式；(2)转化为括号内外x的系数互为相反数即保证和为定值时，再使用基本不等式．
【自主解答】 (1)∵y＝＝x＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当x＝即x＝2时等号成立．
故y＝(x>0)的最小值为9.
(2)法一 ∵00.
∴y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x)≤
[]2＝.
当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立．
∴当x＝时，函数取得最大值.
法二 ∵00.
∴y＝x(1－3x)＝3·x(－x)≤3·()2
＝，
当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成立．
∴当x＝时，函数取得最大值.
1．应用基本不等式的条件：“一正、二定、三相等”，在求最值时必须同时具备，解答本题易漏掉等号成立的条件．
2．此类题目在命题时常常把获得“定值”条件设计为一个难点，它需要一定的灵活性和技巧性．常用技巧有“拆项”、“添项”、“凑系数”、“常值代换”等．
已知x＜，求函数y＝4x－2＋ 的最大值．
【解】 ∵x＜，∴5－4x＞0，
∴y＝4x－2＋＝4x－5＋＋3
＝－[(5－4x)＋]＋3≤－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝即x＝1时等号成立，
∴当x＝1时，ymax＝1.
求有约束条件的最值
已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求＋的最小值．
【思路探究】 思路一：利用“1”的整体代换求解：即把＋看作×1＝×(a＋2b)，化简后利用基本不等式求解．
思路二：将式子＋中的1用a＋2b代换后，利用基本不等式求解．
【自主解答】 法一 ＋＝·1
＝·(a＋2b)
＝1＋＋＋2＝3＋＋≥3＋2
＝3＋2，
当且仅当，即时等号成立．
∴＋的最小值为3＋2.
法二 ＋＝＋＝1＋＋＋2
＝3＋＋≥3＋2，
当且仅当，即时，等号成立，
∴＋的最小值为3＋2.
1．本题在解答中要注意使＋取最小值所对应a、b的值也要一并解出来．
2．解含有条件的最值问题，常结合要求最值的式子，采用“配”、“凑”的方法，构选成基本不等式的形式，从而得出最值．
本例中，如何求ab的最大值？
【解】 法一 ab＝a·(2b)≤·＝，
当且仅当，即时，ab取得最大值.
法二 ∵a＋2b＝1，∴1＝a＋2b≥2，
即≤，∴ab≤，
当且仅当，即时，ab取得最大值.
利用基本不等式解决实际问题
(2013·临沂高二检测)桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图3－3－3，设池塘所占总面积为S平方米．
图3－3－3
(1)试用x表示S；
(2)当x取何值时，才能使得S最大？并求出S的最大值．
【思路探究】 根据题中变量，认真分析图形，构建函数关系式，利用基本不等式求最值．
【自主解答】 (1)由图形知，3a＋6＝x，
∴a＝.
S＝(－4)·a＋2a(－6)
＝a(－16)
＝(－16)
＝1 832－(＋)．
即S＝1 832－(＋)(x>0)．
(2)由S＝1 832－(＋)，
得S≤1 832－2
＝1 832－2×240＝1 352，
当且仅当＝时等号成立，此时，x＝45，
即当x为45米时，S最大，且S最大值为1 352平方米．
1．根据已知，列出关系式是解答本题的关键．
2．利用基本不等式解决实际问题要遵循以下几点：①在理解题意的基础上设变量，确定问题中量与量之间的关系，初步确定用怎样的函数模型；②建立相应的函数解析式，将实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；③在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内，求出函数的最大值或最小值；④回到实际问题中，检验并写出正确答案．
北京市有关部门经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系为y＝(v＞0)．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/小时)
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
【解】 (1)由题意
y＝＝
≤＝，
当且仅当v＝，即v＝40时取等号．
∴ymax＝≈11.1(千辆/小时)，
∴当车速v＝40千米/小时时，
车流量最大为11.1千辆/小时．
(2)由题意：＞10，
整理得v2－89v＋1 600＜0，
即(v－25)(v－64)＜0，解得25＜v＜64.
∴当车辆平均速度大于25千米/小时且小于64千米/小时时，车流量超过10千辆/小时．
(对应学生用书第61页)
忽视基本不等式的条件致误
求函数y＝1－2x－的值域．
【错解】 函数可化为y＝1－(2x＋)．
∵2x＋≥2＝2.当且仅当2x＝，
即x＝±时取等号．
∴y＝1－(2x＋)≤1－2.
∴函数的值域为(－∞，1－2]．
【错因分析】 利用基本不等式求最值时，忽视了各项为正的条件．
【防范措施】 利用基本不等式求最值时一定注意应用条件“一正、二定、三相等”．
【正解】 函数可化为y＝1－(2x＋)．
①当x>0时，2x＋≥2＝2.
当且仅当2x＝，即x＝或x＝－(舍)时等号成立．
∴y＝1－(2x＋)≤1－2.
②当x<0时，y＝1＋(－2x)＋(－)．
∵－2x＋(－)≥2＝2，y≥1＋2.
当且仅当－2x＝－时，即x＝(舍)．若x＝－时等号成立．
∴函数的值域为(－∞，1－2]∪[1＋2，＋∞)．
1．利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正二定三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用基本不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用基本不等式的情境．
2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，基本不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到，若取不到，必须利用函数的单调性去求函数的最值．
(对应学生用书第61页)
1．下列函数中最小值为4的是( )
A．y＝x＋
B．y＝sin x＋(0＜x＜π)
C．y＝3x＋4·3－x
D．y＝lg x＋4logx10
【解析】 A不满足正数，B取不到等号成立，D不满足正数，C正确．
【答案】 C
2．若实数a、b满足a＋b＝2，则2a＋2b的最小值为( )
A. B．2 C．2 D．4
【解析】 由基本不等式得，2a＋2b≥2＝2＝4.
【答案】 D
3．设x，y∈N＋满足x＋y＝20，则lg x＋lg y的最大值为________．
【解析】 ∵x，y∈N＋，∴20＝x＋y≥2，
∴xy≤100，
∴lg x＋lg y＝lg xy≤lg 100＝2，当x＝y＝10时取“＝”．
【答案】 2
4．已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值．
【解】 x＞0，y＞0，＋＝1，
∴x＋2y＝(＋)(x＋2y)＝10＋＋
≥10＋2 ＝18，
当且仅当
即时，等号成立，
故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.
(对应学生用书第113页)
一、选择题
1．若a＞1，则a＋的最小值是( )
A．2 B．a C. D．3
【解析】 a＞1，∴a－1＞0，∴a＋＝a－1＋＋1≥2 ＋1＝3.
【答案】 D
2．设x＞0，则y＝3－3x－的最大值是( )
A．3 B．－3
C．3－2 D．－1
【解析】 ∵x＞0，∴y＝3－(3x＋)≤3－2＝3－2.当且仅当3x＝，且x＞0，即x＝时，等号成立．
【答案】 C
3．(2013·鹤岗高二检测)若x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值是( )
A．3 B．6
C．9 D．12
【解析】 x＋y＝(x＋y)·＝1＋＋＋4
＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9.
当且仅当，即时等号成立，故x＋y的最小值为9.
【答案】 C
4．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为( )
A．50 B．25
C．50 D．100
【解析】 设矩形的长和宽分别为x、y，则x2＋y2＝100.
于是S＝xy≤＝50，当且仅当x＝y时等号成立．
【答案】 A
5．(2013·宿州高二检测)若a>0，b>0，且ln(a＋b)＝0，则＋的最小值是( )
A. B．1
C．4 D．8
【解析】 由a>0，b>0，ln(a＋b)＝0，得
∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时，取等号．
【答案】 C
二、填空题
6．(2013·广州高二检测)若x>0，则x＋的最小值是________．
【解析】 x＋≥2＝2，当且仅当x＝时，等号成立．
【答案】 2
7．(2013·南京高二检测)若logmn＝－1，则3n＋m的最小值是________．
【解析】 ∵logmn＝－1，
∴mn＝1且m>0，n>0，m≠1.
∴3n＋m≥2＝2.
当且仅当3n＝m即n＝，m＝时等号成立．
【答案】 2
8．函数y＝log2x＋logx(2x)的值域是________．
【解析】 y＝log2x＋logx2＋1.
由|log2x＋logx2|＝|log2x|＋|logx2|≥2＝2，
得log2x＋logx2≥ 2或log2x＋logx2≤ －2，
∴y≥ 3或y≤ －1.
【答案】 (－∞ ，－1]∪ [3，＋∞ )
三、解答题
9．当x<时，求函数y＝x＋的最大值．
【解】 y＝(2x－3)＋＋
＝－(＋)＋，
∵当x<时，3－2x>0，
∴＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝－时取等号．于是y≤－4＋＝－，故函数有最大值－.
10．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是多少？
【解】 法一 ∵x＋2y＋2xy＝8，
∴y＝＞0，
∴0＜x＜8.
∴x＋2y＝x＋2·
＝(x＋1)＋－2≥2－2＝4.当且仅当x＋1＝时“＝”成立，此时x＝2，y＝1.
法二 ∵x＞0，y＞0，
∴8＝x＋2y＋2xy＝x＋2y＋x·2y≤x＋2y＋()2，
即(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，
∴[(x＋2y)＋8][(x＋2y)－4]≥0，
∴x＋2y≥4，当且仅当x＝2y时取等号．
由x＝2y且x＋2y＋2xy＝8，得x＝2，y＝1，此时x＋2y有最小值4.
11．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了旧城拆建工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x＋－118(千元)，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)
【解】 设城建公司获得的附加效益为y千元，由题意得
y＝2x－(6x＋－118)＝118－(4x＋)
＝118－[4(x＋3)＋－12]
＝130－[4(x＋3)＋]
≤130－2 ＝130－112＝18(千元)，
当且仅当4(x＋3)＝，即x＝11时取等号．
所以提前11天，能使公司获得最大附加效益．
(教师用书独具)
某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．
【思路探究】 ―→
―→
―→
【自主解答】 设该厂x(x∈N＋)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y1元．
∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，∴x天饲料的保管与其他费用共是
6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x2－3x(元)．
从而有y1＝(3x2－3x＋300)＋200×1.8
＝＋3x＋357≥417.
当且仅当＝3x，即x＝10时，y1有最小值．
即10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．
利用基本不等式解决实际问题的一般思路如下：
(1)在理解题意的基础上设变量，确定问题中量与量间的关系，初步确立用怎样的函数模型．
(2)建立相应的函数解析式，将实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．
(3)在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内，求出函数的最大值或最小值．
(4)回到实际问题中，检验并写出正确答案．
从等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC＝2，∠A＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________．
【解析】 设两个正方形边长分别为a，b，则由题可得a＋b＝1，且≤a，b≤，S＝a2＋b2≥2×()2＝，当且仅当a＝b＝时取等号．
【答案】
§4简单线性规划
4．1 二元一次不等式(组)与平面区域
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式(组)表示平面区域．
2．过程与方法
经历从实际情境中抽象出二元一次不等式(组)的过程，提高数学建模能力．
3．情感、态度与价值观
通过本节课学习，体会数学来源于生活，提高数学学习兴趣．
●重点难点
重点：用二元一次不等式(组)表示平面区域．
难点：理解二元一次不等式(组)表示平面区域并能把不等式(组)所表示的平面区域画出来．
(教师用书独具)
●教学建议
本节课力求做好下列两点：
(1)注意探究过程：能正确的画出给定的二元一次不等式(组)表示的平面区域，是学习简单线性规划问题图解法的重要基础，由于二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，决定了问题研究应从二元一次不等式所表示的平面区域入手．
(2)注意探究方法：在直角坐标系中，直线y＝x将直角坐标平面分成三部分，依据直线x－y＝0上点的坐标适合方程x－y＝0，及以方程x－y＝0的解为坐标的点都在直线x－y＝0上的思想，进而研究以不等式x－y>0或x－y<0的解为坐标的点与直线x－y＝0的位置关系，最后推广到一般二元一次不等式Ax＋By＋C<0的解集所表示的平面区域．
●教学流程
??????
(对应学生用书第62页)
课标解读
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式(组)(难点)．
2．了解二元一次不等式的几何意义(重点)．
3．能用平面区域表示二元一次不等式(组)．(重点)
二元一次不等式(组)表示的平面
区域
【问题导思】
在平面直角坐标系中，作直线x＋y－1＝0(如图)．
图3－4－1
(1)直线x＋y－1＝0将直角坐标平面分成几部分？
(2)在直线上任取点P(x0，y0)，它与方程x＋y－1＝0的关系怎样？
(3)在直线l的右上方取若干点(0，2)，(1，3)，(0，5)，(2，2)把它们分别代入式子x＋y－1中，其符号怎样？
(4)在直线l的左下方取若干点(－1，0)，(0，0)，(0，－2)，(1，－1)把它们分别代入式子x＋y－1中，其符号怎样？
【提示】 (1)三部分即直线的两侧及直线上．
(2)P的坐标满足方程，即x0＋y0－1＝0.
(3)都满足x＋y－1>0.
(4)都满足x＋y－1<0.
(1)在平面直角坐标系中，直线ax＋by＋c＝0将平面内的所有点分成三类：一类在直线ax＋by＋c＝0上，另两类分居直线ax＋by＋c＝0的两侧，其中一侧点的坐标满足ax＋by＋c>0，另一侧点的坐标满足ax＋by＋c<0．
(2)二元一次不等式ax＋by＋c>0在平面直角坐标系中表示直线ax＋by＋c＝0某一侧不含边界的平面区域，作图时边界直线画成虚线，当我们在坐标系中画不等式ax＋by＋c≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，此时边界直线画成实线．
(3)由于对直线ax＋by＋c＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入ax＋by＋c，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，从ax0＋by0＋c的符号即可判断ax＋by＋c>0(<0)表示直线哪一侧的平面区域．当c≠0时，常取坐标原点作为特殊点．
(4)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平面点集的交集，因而是各个不等式所表示平面区域的公共部分．
(对应学生用书第62页)
二元一次不等式表示的平面区域
(1)画出不等式3x－4y－12≥0表示的平面区域；
(2)画出不等式3x＋2y<0表示的平面区域．
【思路探究】 (1)把直线3x－4y－12＝0画成实线，再取原点(0，0)分析；
(2)把直线3x＋2y＝0画成虚线，再取点(1，0)或(0，1)分析．
【自主解答】 (1)先画直线3x－4y－12＝0，取原点(0，0)，代入3x－4y－12，得－12<0，
所以原点在3x－4y－12<0表示的平面区域内．
所以不等式3x－4y－12≥0表示的平面区域如图①阴影部分所示．
(2)先画直线3x＋2y＝0(画成虚线)．
因为点(1，0)在3x＋2y>0表示的平面区域内，
所以不等式3x＋2y<0表示的平面区域如图②阴影部分所示．
图① 图②
1．本题的易错点是虚、实线不分．
2．二元一次不等式表示平面区域的判定方法
第一步：直线定界．画出直线ax＋by＋c＝0，不等式为ax＋by＋c>0(<0)时直线画虚线，不等式为ax＋by＋c≥0(≤0)时画成实线；
第二步：特殊点定域．在平面内取一个特殊点，当c≠0时，常取原点(0，0)．若原点(0，0)满足不等式，则原点所在的一侧即为不等式表示的平面区域；若原点不满足不等式，则原点不在的一侧即为不等式表示的平面区域．当c＝0时，可取(1，0)或(0，1)作为测试点．
简记为：直线定界，特殊点定域．
画出不等式x－2y＋4≥0表示的平面区域．
【解】 画直线x－2y＋4＝0(画成实线)，取原点(0，0)，代入x－2y＋4，∵0－2×0＋4>0，
∴原点在x－2y＋4≥0表示的平面区域内．不等式x－2y＋4≥0表示的平面区域如图所示：
二元一次不等式组表示的平面区域
画出不等式组表示的平面区域．
【思路探究】 先画出各不等式表示的平面区域，再找它们的公共部分．
【自主解答】 不等式x－y＋1≥0表示直线x－y＋1＝0及其右下方的平面区域；不等式3x＋2y－6≥0表示直线3x＋2y－6＝0及其右上方的平面区域；不等式x－3≤0表示直线x－3＝0及其左方的平面区域．所以原不等式组表示上述平面区域的公共部分，如下图阴影部分所示．
1．判定二元一次不等式(组)表示的平面区域常用方法是以线定界，以点(原点)定域(以Ax＋By＋C＞0为例)．(1)“以线定界”，即画二元一次方程Ax＋By＋C＝0表示的直线定边界，其中要注意实线或虚线．
(2)“以点定域”，由于对在直线Ax＋By＋C＝0同侧的点，实数Ax＋By＋C的值的符号都相同，故为了确定Ax＋By＋C的符号，可采用取特殊点法，如取原点、坐标轴上的点等．
2．画图时通常要在边界直线的旁边标注直线方程以便于区分．
图3－4－2
本例中的三条直线交点设为A，B，C.三条直线将平面分成7个区域，试用不等式组表示如图3－4－2阴影部分所示的平面区域(直线AC，BC为实线，AB为虚线)．
【解】 结合直线方程知阴影部分所表示的二元一次不等式组为
二元一次不等式(组)的实际应用
某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1 t需耗A种矿石10 t，B种矿石5 t，煤4 t；生产乙种产品1 t需耗A种矿石4 t，B种矿石4 t，煤9 t．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300 t，B种矿石不超过200 t，煤不超过360 t．那么甲、乙两种产品的生产数量应满足什么条件？用平面区域表示出来．
【思路探究】 先根据题意列出不等式组，再画出平面区域．
【自主解答】 设生产甲、乙两种产品分别为x t，y t.
则由题意得
作出上面不等式组表示的平面区域，如图所示．
1．用不等式组表示题中已知条件是本题的关键．
2．用平面区域来表示实际问题相关量的取值范围的基本方法：
(1)根据问题的需要选取两个起关键作用的关联较多的量，用字母表示．
(2)把问题中有关的量用这两个字母表示．
(3)由实际问题中有关的限制条件写出所有不等式．
(4)由这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来．
某工厂生产甲、乙两种产品，需要经过加工和装配两个车间加工，有关数据如下表：
加工时间
(小时/件)
产品
甲
乙
总有效工时
(小时)
车间
加工
4
3
480
装配
2
5
500
列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．
【解】 设共生产甲、乙两种产品各x件和y件，于是满足以下条件：
在直角坐标系中作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分的整数点所表示的部分即为所求．
(对应学生用书第64页)
平面区域问题中的数形结合思想
(12分)在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，求a的值．
【思路点拨】 画出满足x＋y－1≥0和x－1≤0的平面区域，分析直线ax－y＋1＝0的特征，画出不等式组表示的平面区域，根据平面区域的形状特点，求出a的值．
【规范解答】 如图所示阴影区域为不等式组表示的平面区域.5分
而直线ax－y＋1＝0恒过定点A(0，1)，斜率为a.
因为不等式组所表示的平面区域的面积等于2.
所以此平面区域为“封闭”图形，7分
所以可判断直线ax－y＋1＝0与直线x－1＝0的交点C在点B(1，0)的上方，
所以不等式组所表示的平面区域为△ABC及其内部．
由，得C(1，a＋1)，
又点C在点B上方，
∴a>－1，
所以|BC|＝a＋1－0＝a＋1，10分
∴S＝×|BC|×1＝＝2，
解得a＝3.12分
画出二元一次不等式组表示的平面区域，根据区域形状求出图形面积，这就是数形结合的思想．
1．画二元一次不等式(组)的平面区域基本方法是“直线定界，特殊点定域”，不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，边界是实线还是虚线要注意区分．
2．二元一次不等式组所表示的平面区域是各不等式所表示平面区域的公共部分，这个平面区域有“开放式”的，即不能求面积，也有“封密式”的，这时可以求出平面区域的面积，要注意其形状，再选择合适的方法求面积．
3．用平面区域来表示实际问题相关量的取值范围的基本方法是：先根据问题的需要设出有关量，再根据有关量的限制条件和实际意义写出不等式，组成不等式组，最后画出平面区域．注意：在实际问题中写不等式组时，必须把所有的限制条件都表示出来，而不能遗漏任何一个．
(对应学生用书第64页)
1．不在4x－6y<3表示的平面区域内的点是( )
A．(0，0) B．(1，2)
C．(2，1) D．(3，1)
【解析】 因为4×3－6×1＝6>3，所以点D(3，1)不在4x－6y<3表示的平面区域内．
【答案】 D
2．不等式x＋3y－1<0表示的平面区域在直线x＋3y－1＝0的( )
A．右上方 B．右下方
C．左下方 D．左上方
【解析】 取点(0，0)，把它的坐标代入x＋3y－1得－1<0,
∴不等式表示的平面区域在直线x＋3y－1＝0的左下方．
【答案】 C
3．不等式x－2y≥0表示的平面区域是( )
【解析】 取测试点(1，0)，因为1－2×0＞0知(1，0)在区域内，排除A、C，由边界线x－2y＝0的斜率为，排除B，故选D.
【答案】 D
4．画出不等式组表示的平面区域．
【解】 分别画出直线x－y＋5＝0，x＋y＝0及x＝3(均用实线表示)，
取原点(0，0)代入x－y＋5中，因为0－0＋5＝5>0，所以原点在x－y＋5≥0表示的平面区域内，
取点(1，0)代入x＋y与x中，可知点(1，0)分别在x＋y≥0及x≤3表示的平面区域内，
所以原不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．
(对应学生用书第115页)
一、选择题
1．下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是( )
A．(0，2) B．(－2，0)
C．(0，－2) D．(2，0)
【解析】 将四个点的坐标分别代入不等式组，满足条件的是(0，－2)．
【答案】 C
2．原点和点(1，1)在直线x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(－∞，0]∪[2，＋∞)
C．(0，2) D．[0，2]
【解析】 由题意知(－a)(1＋1－a)<0，
即a(a－2)<0，∴0【答案】 C
3．下列二元一次不等式组中，能表示图3－4－3中阴影部分的是( )
图3－4－3
A. B.
C. D.
【解析】 根据二元一次不等式组表示平面区域的方法判断可知C正确．
【答案】 C
4．(2013·唐山高二检测)不等式组表示的平面区域的面积为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
【解析】 不等式组表示的平面区域如图，点A的坐标为(3，6)，其平面区域是直角三角形，所以其面积为S＝×3×6＝9.
【答案】 C
5．(2013·湛江高二检测)向量＝(1，0)，＝(1，1)，O为坐标原点，动点P(x，y)满足条件则点P的变化范围用阴影表示为( )
【解析】 ∵·＝x，·＝x＋y，
∴点P满足条件表示区域为A.
【答案】 A
二、填空题
6．点P(1，a)到直线x－2y＋2＝0的距离为，且P在3x＋y－3＞0表示的区域内，则a＝________．
【解析】 ＝，∴a＝0或3.
又点P在3x＋y－3＞0表示区域内，
∴3＋a－3＞0，∴a＞0，∴a＝3.
【答案】 3
7．观察如图3－4－4区域，它对应的不等式组是________．
图3－4－4
【解析】 由图可求三边对应的直线方程分别为x＋y－3＝0；x－2y＝0；x－y＋1＝0，
由图知不等式组为
【答案】
8．在平面直角坐标系中，不等式组(a为常数)表示的平面区域的面积是9，则实数a的值为________________________________________________________________________．
【解析】 如图，阴影部分可行域可得交点A(a，4＋a)，B(－2，2)，C(a，－a)，
∴S△ABC＝·(a＋2)[(4＋a)－(－a)]＝(a＋2)2＝9.
∴a＝1或a＝－5(舍去)．
【答案】 1
三、解答题
9．画出下列二元一次不等式表示的平面区域．
(1)x－2y＋4≥0；
(2)y>2x.
【解】 (1)先画直线x－2y＋4＝0，取原点(0，0)，代入x－2y＋4，得4>0.
所以原点在x－2y＋4>0表示的平面区域内．
所以不等式x－2y＋4≥0表示的平面区域如图①阴影部分所示．
(2)先画直线y－2x＝0虚线，因为点(1，0)不在y－2x>0表示的平面区域内，所以不等式y>2x表示的平面区域如图②阴影部分所示．
① ②
10．画出不等式组表示的平面区域．
【解】 不等式y<－3x＋12表示直线y＝－3x＋12下方的区域；
不等式x<2y表示直线y＝x上方的区域．
取两区域重叠的部分就是不等式组所表示的区域．图中的阴影部分就是(不包括直线)．
11．(2013·禹州高二检测)一个小型家具厂计划生产两种类型的桌子A和B.每类桌子都要经过打磨、着色、上漆三道工序．桌子A需要10 min打磨，6 min着色，6 min上漆；桌子B需要5 min打磨，12 min着色，9 min上漆．如果一个工人每天打磨和上漆分别至多工作450 min，着色每天至多工作480 min，请列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出每天生产两类桌子数量的允许范围．
【解】 设家具厂每天生产A类桌子x张，B类桌子y张．对于A类x张桌子需要打磨10x min，着色6x min，上漆6x min；对于B类y张桌子需要打磨5y min，着色12y min，上漆9y min.而打磨工人每天最长工作时间是450 min，
所以题目中包含的限制条件为
上述条件表示的平面区域如下图的阴影部分所示，每天生产两类桌子数量的允许范围为阴影内的整数点．
(教师用书独具)
求不等式组表示的平面区域的面积．
【思路探究】 要求不等式组所表示的平面区域的面积，首先应画出不等式组表示的平面区域并弄清其图形形状，然后针对图形特点求面积．
【自主解答】 不等式组
所表示的平面区域如图所示．
其中两直线x＋2y＝20与2x＋y＝16交于点A.
解方程组，得：
平面区域的面积为：
S＝×4×10＋×8×8＝20＋32＝52.
1．求平面区域面积的关键是正确地画出不等式组表示的平面区域，再依据区域的几何形状求其面积．
2．求面积时，有些区域的形状可能不规则，需要分割图形后再求．
求不等式组表示的平面区域的面积．
【解】 不等式组表示的平面区域如下图所示．因此其区域面积也就是△ABC的面积．
显然，△ABC为等腰直角三角形，A＝90°，AB＝AC，B点坐标为(3，－3)．
由点到直线的距离公式得：|AB|＝＝，∴S△ABC＝××＝36.
故不等式组表示的平面区域的面积等于36.
4．2 简单线性规划
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
使学生了解二元一次不等式(组)表示平面区域、了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行域、最优解等概念，了解线性规划问题的图解法，并能应用解决实际问题．
2．过程与方法
经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题，提高数学建模能力．
3．情感、态度与价值观
培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透化归、数形结合的数学思想，提高解决实际问题的能力．
●重点难点
重点：求解简单的线性规划问题．
难点：准确求得线性规划问题的最优解．
(教师用书独具)
●教学建议
教材通过求z＝2x＋y的最值来讲解了线性规划问题．在处理z＝2x＋y的最值时可以通过以下两种途径：
(1)把直线2x＋y＝0向上或向下平移，观察对应z的量值随之增大或减小来确定最大、最小值．
(2)把z＝2x＋y变形为y＝－2x＋z即化成直线的斜截式形式．这样变形的目的是赋予目标函数z以几何直观及几何含义，来观察截距z的最大值、最小值即可．
●教学流程
??????
(对应学生用书第65页)
课标解读
1.了解目标函数、约束条件、二元线性规划问题、可行解、可行域、最优解等基本概念(重点)．
2．掌握二元线性规划问题的求解过程，特别是确定最优解的方法(重点、难点).
线性规划的基本概念
【问题导思】
图3－4－5
已知不等式组表示的平面区域如图3－4－5所示．
1．在平面区域中，点A、B、C的坐标分别是什么？
【提示】 由
得B(－3，2)；由得A(3，8)；
由得C(3，－4)．
2．对于函数z＝2x－y，当直线2x－y－z＝0经过A、B、C三点时，z的值分别为多少？
【提示】 直线经过A(3，8)时，z的值为2×3－8＝－2；直线经过B(－3，2)时，z的值为2×(－3)－2＝－8；直线经过C(3，－4)时，z的值为2×3－(－4)＝10.
3．当直线2x－y－z＝0经过平面区域时，z的取值范围是什么？
【提示】 z∈[－8，10].
名称
定义
约束条件
变量x，y满足的一次不等式组.
目标函数
欲求最大或最小值所涉及的变量x，y的函数.
可行解
满足约束条件的解(x，y)称为可行解.
可行域
所有可行解组成的集合称为可行域.
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
二元线性规划
问题
在约束条件下，求目标函数的最大值或最小值问题.
目标函数z＝ax＋by＋c(b>0)的
变化规律
把直线l0：ax＋by＝0向上平移时，所对应的z随之增大；把直线l0：ax＋by＝0向下平移时，所对应的z随之减小．
(对应学生用书第65页)
求线性目标函数的最值
设z＝2x＋y，式中变量x，y满足条件求z的最大值和最小值．
【思路探究】 ―→
―→―→
【自主解答】 画出可行域如图所示．
令z＝0，作直线l0：2x＋y＝0，把直线l0向上平移时，所对应的z＝2x＋y的函数值随之增大；把直线l0向下平移时，所对应的z＝2x＋y的函数值随之减小．
解方程组得A点坐标为(5，2)，
解方程组得B点坐标为(1，1)，
所以zmax＝2×5＋2＝12，zmin＝2×1＋1＝3.
1．将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．
2．当线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，最优解可能有无数个．
在本例的线性约束条件下，求z＝2x－3y的最大值和最小值．
【解】 作出可行域，如图
由图可知，当直线经过可行域上点A时，z最大；当直线经过可行域上点C时，z最小．
解方程组得C点坐标为(1，)．
所以zmax＝2×5－3×2＝4，
zmin＝2×1－3×＝－.
求非线性目标函数的最值
已知求：
(1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；
(2)z＝的范围．
【思路探究】 (1)z＝x2＋y2－10y＋25的课时作业(十四)
一、选择题
1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货的总重量T满足关系为( )
A．T<40 B．T>40
C．T≤40 D．T≥40
【解析】 “限重40吨”即为T≤40.
【答案】 C
2．(2013·临沂高二检测)设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是( )
A．b－a>0 B．a3＋b3<0
C．b＋a<0 D．a2－b2>0
【解析】 利用赋值法，令a＝1，b＝0，排除A、B、C.
【答案】 D
3．(2013·芜湖高二检测)对下面的推理过程，判断正确的是( )
A．仅③正确 B．仅③④正确
C．仅①②正确 D．①②③④均错
【解析】 ①②④均不满足不等式的乘法法则；根据不等式的传递性知③正确，故选A.
【答案】 A
4．若aA．正数 B．负数
C．非正数 D．非负数
【解析】 ＋＝＝.
∵a0，a－c<0，a－b<0，
∴>0.
【答案】 A
5．(2013·驻马店高二检测)若m≠2且n≠－1，则M＝m2＋n2－4m＋2n的值与－5的大小关系为( )
A．M＞－5 B．M＜－5
C．M＝－5 D．不确定
【解析】 ∵m≠2，n≠－1，
∴M－(－5)＝(m－2)2＋(n＋1)2＞0，
∴M＞－5.
【答案】 A
二、填空题
6．已知a，b∈R，且ab≠0，则ab－a2________b2(填“<”、“>”、“＝”)．
【解析】 ∵ab－a2－b2＝－(a－)2－b2<0，
∴ab－a2【答案】 <
7．如图3－1－1，在一个面积为350 m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长L大于宽W的4倍，上述不等关系可用W表示为________．
图3－1－1
【解析】 仓库的长L＝－10，
∴－10＞4W.
【答案】 －10＞4W
8．(2013·威海高二检测)对于任意实数a、b、c、d，有以下说法：
①若a＞b，c≠0，则ac＞bc；②若a＞b，则ac2＞bc2；③若ac2＞bc2，则a＞b；④若a＞b，则＜；⑤若a＞b＞0，c＞d，则ac＞bd.其中正确的序号为________．
【解析】 ①中当c＜0时不成立，①错；②中c＝0时不成立，②错；③正确；④中a＞0，b＜0时不成立，④错；⑤中若a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac＝bd，⑤错．
【答案】 ③
三、解答题
9．一房地产公司有50套公寓出租，当月租金定为1 000元时，公寓会全部租出去，欲增加月租金，但每增加50元，就会有一套租不出去，已知租出去的公寓每月需花100元的维修费．若将房租定为x元，怎样用不等式表示所获得的月收入不低于50 000元？
【解】 若房租定为x(x≥1 000)元，
则租出公寓的套数为，
月收入为元，
则月收入不低于50 000元可表示为不等式
x－100≥50 000.
10．若x【解】 (x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]
＝－2xy(x－y)．
∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0，
∴－2xy(x－y)＞0，
∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．
11．某粮食收购站分两个等级收购小麦，一级小麦每千克a元，二级小麦每千克b元(b【解】 分级收购时，粮站支出(ma＋nb)元，
按平均价格收购时，粮站支出元．
因为(ma＋nb)－
＝(a－b)(m－n)，
且b所以当m>n时，粮站占便宜；
当m＝n时，一样；
当m课时作业(十五)
一、选择题
1．不等式5－x2＞4x的解集为( )
A．(－5，1)
B．(－1，5)
C．(－∞，－5)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(5，＋∞)
【解析】 不等式可化为x2＋4x－5＜0，
y＝x2＋4x－5的开口方向向上，
又x2＋4x－5＝0的两根为－5，1.
由图像知原不等式的解集为(－5，1)．
【答案】 A
2．设集合S＝{x||x|<5}，T＝{x|x2＋4x－21<0}，则S∩T＝( )
A．{x|－7C．{x|－5【解析】 S＝{x|－5∴S∩T＝{x|－5【答案】 C
3．(2013·西安高二检测)若全集U＝R，集合A＝{x|x2＋3x－4<0}，B＝{x|y＝log3(x＋2)}，则?U(A∩B)＝( )
A．{x|x≤－4或x≥1} B．{x|x<－4或x>1}
C．{x|x<－2或x>1} D．{x|x≤－2或x≥1}
【解析】 由题意可得A＝{x|－4－2}，
所以A∩B＝{x|－2所以?U(A∩B)＝{x|x≤－2或x≥1}．
【答案】 D
4．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围是( )
A．(0，2) B．(－2，1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1，2)
【解析】 由题意知x⊙(x－2)＝x2＋x－2，
∴x2＋x－2<0解得－2【答案】 B
5．(2013·临沂高二检测)f(x)＝ax2＋ax－1在R上满足f(x)＜0，则a的取值范围是( )
A．a≤0 B．a＜－4
C．－4＜a＜0 D．－4＜a≤0
【解析】 当a＝0时，f(x)＝－1＜0成立．
当a≠0时，则即解得－4＜a＜0，
综上可知：－4＜a≤0时，在R上f(x)＜0.
【答案】 D
二、填空题
6．{x|－x2－x＋2>0}∩Z＝________．
【解析】 {x|－x2－x＋2>0}∩Z＝{x|－2【答案】 {－1，0}
7．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表；
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是________．
【解析】 法一 二次函数的两个零点是x1＝－2，x2＝3，又根据所给数值，函数值随着x的增大，先减后增，故开口向上，如图所示，故不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|x>3或x<－2}．
法二 由表中数据可求得a＝1，b＝－1，c＝－6，代入原不等式得x2－x－6>0，所以可解得解集为{x|x>3或x<－2}．
【答案】 {x|>3或x<－2}
8．(2013·福州高二检测)若2x2＋1≤()x－2，则函数y＝2x的值域是________．
【解析】 ∵2x2＋1≤()x－2＝2－2x＋4，
∴x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0.
解得－3≤x≤1，∴≤y≤2，∴函数y＝2x的值域是[，2]．
【答案】 [，2]
三、解答题
9．解下列不等式：
(1)2x2－3x－2>0；
(2)－6x2－x＋2≥0.
【解】 (1)∵Δ＝(－3)2－4×2×(－2)＝25>0，
∴方程2x2－3x－2＝0有两个不同实根，分别是－，2，
∴原不等式的解集为{x|x>2，或x<－}．
(2)原不等式可化为6x2＋x－2≤0，
∵Δ＝12－4×6×(－2)＝49>0，
∴方程6x2＋x－2＝0有两个不同实根，分别是－，，
∴原不等式的解集为{x|－≤x≤}．
10．解关于x的不等式x2－2mx＋m＋1>0.
【解】 不等式对应方程的判别式Δ＝(－2m)2－4(m＋1)＝4(m2－m－1)．
(1)当Δ>0，即m>或m<时，
由于方程x2－2mx＋m＋1＝0的根是x＝m±，
所以不等式的解集是{x|xm＋}；
(2)当Δ＝0，即m＝时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠m}；
(3)当Δ<0，即11．已知不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}．
(1)求a、b的值；
(2)解关于x的不等式x2－b(a＋c)x＋4c>0.
【解】 (1)由题意知，a>0且1，b是方程ax2－3x＋2＝0的根，
∴a＝1.又1·b＝，∴b＝2.
(2)不等式可化为x2－2(c＋1)x＋4c>0，
即(x－2c)(x－2)>0，
当2c>2，即c>1时，
不等式的解集为{x|x<2或x>2c}；
当2c＝2，即c＝1时，
不等式的解集为{x|x≠2}；
当2c<2，即c<1时，
不等式的解集为{x|x>2或x<2c}．
综上：
当c>1时，不等式的解集为{x|x<2或x>2c}；
当c＝1时，不等式的解集为{x|x≠2}；
当c<1时，不等式的解集为{x|x>2或x<2c}．
课时作业(十六)
一、选择题
1．不等式(x2－7x＋12)(x2＋x＋1)＞0的解集为( )
A．(－∞，－4)∪(－3，＋∞)
B．(－∞，3)∪(4，＋∞)
C．(－4，－3)
D．(3，4)
【解析】 x2＋x＋1＝(x＋)2＋＞0恒成立．
∴原不等式等价于x2－7x＋12＞0，
∴不等式的解集为{x|x＜3或x＞4}．
【答案】 B
2．不等式＞0的解集为( )
A．{x|x＜－2，或x＞3}
B．{x|x＜－2，或1＜x＜3}
C．{x|－2＜x＜1，或x＞3}
D．{x|－2＜x＜1，或1＜x＜3}
【解析】 由＞0，得(x－3)(x＋2)(x－1)＞0.
函数f(x)＝(x－3)(x＋2)(x－1)的函数值的符号如图所示．
由图可知，不等式(x－3)(x＋2)(x－1)＞0，即原不等式的解集为{x|－2＜x＜1，或x＞3}．
【答案】 C
3．不等式≥2的解集是( )
A. B.
C.∪(1，3] D.∪(1，3]
【解析】 原不等式等价于，即
，∴－≤x≤3且x≠1，
故原不等式的解集为∪(1，3]．
【答案】 D
4．要使关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是( )
A．(－1，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－2，1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
【解析】 设f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2，由题意知，f(1)＝1＋a2－1＋a－2＝a2＋a－2＝(a－1)(a＋2)<0.
∴－2【答案】 C
5．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，售价所在的范围应是
( )
A．(90，100) B．(90，110)
C．(100，110) D．(80，100)
【解析】 设每个涨价x元，则y表示涨价后的利润与原利润之差，则y＝(10＋x)(400－20x)－10×400＝－20x2＋200x.
要使商家利润有所增加，则必须使y>0，即x2－10x<0，
得0【答案】 A
二、填空题
6．不等式≤1的解集为________．
【解析】 ≤1?－1≤0?≤0??－2≤x<1.所以原不等式的解集是{x|－2≤x<1}．
【答案】 {x|－2≤x<1}
7．不等式(3x＋2)(1－3x)(x－2)≥0的解集是________．
【解析】 原不等式可化为(3x＋2)(3x－1)(x－2)≤0.设f(x)＝(3x＋2)(3x－1)(x－2)，则y＝f(x)的函数值的符号如图所示．故不等式(3x＋2)(1－3x)(x－2)≥0的解集为(－∞，－]∪[，2]．
【答案】 (－∞，－]∪[，2]
8．(2013·武汉高二检测)若不等式＜0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围为________．
【解析】 ∵x2－8x＋20＝(x－4)2＋4＞0，∴只需mx2－mx－1＜0恒成立，故m＝0或，
∴－4＜m≤0.
【答案】 (－4，0]
三、解答题
9．已知集合A＝{x|≤1}，集合B＝{x|x2－(2m＋1)x＋m2＋m＜0}，
(1)求集合A、B；
(2)若B?A，求m的取值范围．
【解】 (1)≤1?≤0?－2≤x＜2，
即A＝{x|－2≤x＜2}，
x2－(2m＋1)x＋m2＋m＜0
?(x－m)[x－(m＋1)]＜0?m＜x＜m＋1，
即B＝{x|m＜x＜m＋1}．
(2)B?A??－2≤m≤1.
10．某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1 000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本．若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0＜x＜1)，则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x，为使日利润有所增加，求x的取值范围．
【解】 设增加成本后的日利润为y元．
y＝[60×(1＋0.5x)－40×(1＋x)]×1 000×(1＋0.8x)
＝2 000(－4x2＋3x＋10)(0＜x＜1)．
要保证日利润有所增加，则y＞(60－40)×1 000，且0＜x＜1，
即
解得0＜x＜.所以，为保证日利润有所增加，x的取值范围是(0，)．
11．(2013·唐山高二检测)不等式≥m对任意实数x都成立，求自然数m的值．
【解】 因为x2＋x＋1>0对于任意实数x恒成立，
所以原不等式可化为3x2＋2x＋2≥m(x2＋x＋1)，即(3－m)x2＋(2－m)x＋2－m≥0.
当m＝3时，不等式化为x＋1≤0，不合题意．
当m≠3时，依题意，
得
整理得
解得即m≤2.
又∵m∈N，
∴m＝0，1，2.
课时作业(十七)
一、选择题
1．不等式＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是( )
A．x＝3 B．x＝－3
C．x＝5 D．x＝－5
【解析】 由基本不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．
【答案】 C
2．已知a>0，b>0，则下列不等式中错误的是( )
A．ab≤()2 B．ab≤
C.≥ D.≤()2
【解析】 由基本不等式知A、C正确，由重要不等式知B正确，由≥ab得，ab≤()2，∴≥()2，故选D.
【答案】 D
3．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是( )
A．s≥t B．s>t
C．s≤t D．s【解析】 ∵b2＋1≥2b，
∴a＋2b≤a＋b2＋1.
【答案】 A
4．已知f(x)＝()x，a、b为正实数，A＝f()，G＝f()，H＝f()，则A、G、H的大小关系是( )
A．A≤G≤H B．A≤H≤G
C．G≤H≤A D．H≤G≤A
【解析】 ∵a>0，b>0，
∴≥≥＝.当且仅当a＝b时等号成立．
又∵函数f(x)＝()x是减函数，
∴A≤G≤H.
【答案】 A
5．(2013·衡水高二检测)若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )
A.＞ B.＋≤1
C.≥2 D.≤
【解析】 由a＋b＝4，得≤＝＝2，故C错；
由≤2得ab≤4，
∴≥，故A错；
B中，＋＝＝≥1，故B错；
由≥得a2＋b2≥2×＝8，
∴≤，D正确．
【答案】 D
二、填空题
6．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．
【解析】 ∵a＞b＞c，
∴a－b＞0，b－c＞0，
∴≤＝.
【答案】 ≤
7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________．
【解析】 用两种方法求出第三年的产量分别为
A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．
∴1＋x＝≤＝1＋，
∴x≤.当且仅当a＝b时等号成立．
【答案】 x≤
8．(2013·阜阳高二检测)设a，b为非零实数，给出不等式：
①≥ab；②≥；③≥；④＋≥2.
其中恒成立的不等式的个数是________．
【解析】 由重要不等式a2＋b2≥2ab可知①正确；
②＝＝≥＝＝，故②正确；对于③，当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知③不正确；令a＝1，b＝－1可知④不正确．
【答案】 ①②
三、解答题
9．已知x<0，求证：x＋≤－4.
【证明】 由x<0，得－x>0，
∴(－x)＋≥2＝4，
∴x＋＝－[(－x)＋]≤－4.
10．已知a，b，c为正实数，且a＋b＝1.求证：＋≥4.
【证明】 ＋＝＋
＝1＋＋＋1
＝2＋＋≥2＋2＝4.
当且仅当a＝b时“＝”成立．
11．设a、b、c为正数，求证＋＋≥a＋b＋c.
【证明】 ∵a、b、c均是正数，
∴，，均是正数，
∴＋≥2c，
＋≥2a，
＋≥2b，
三式相加得2(＋＋)≥2(a＋b＋c)，
∴＋＋≥a＋b＋c.
课时作业(十八)
一、选择题
1．若a＞1，则a＋的最小值是( )
A．2 B．a C. D．3
【解析】 a＞1，∴a－1＞0，∴a＋＝a－1＋＋1≥2 ＋1＝3.
【答案】 D
2．设x＞0，则y＝3－3x－的最大值是( )
A．3 B．－3
C．3－2 D．－1
【解析】 ∵x＞0，∴y＝3－(3x＋)≤3－2＝3－2.当且仅当3x＝，且x＞0，即x＝时，等号成立．
【答案】 C
3．(2013·鹤岗高二检测)若x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值是( )
A．3 B．6
C．9 D．12
【解析】 x＋y＝(x＋y)·＝1＋＋＋4
＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9.
当且仅当，即时等号成立，故x＋y的最小值为9.
【答案】 C
4．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为( )
A．50 B．25
C．50 D．100
【解析】 设矩形的长和宽分别为x、y，则x2＋y2＝100.
于是S＝xy≤＝50，当且仅当x＝y时等号成立．
【答案】 A
5．(2013·宿州高二检测)若a>0，b>0，且ln(a＋b)＝0，则＋的最小值是( )
A. B．1
C．4 D．8
【解析】 由a>0，b>0，ln(a＋b)＝0，得
∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时，取等号．
【答案】 C
二、填空题
6．(2013·广州高二检测)若x>0，则x＋的最小值是________．
【解析】 x＋≥2＝2，当且仅当x＝时，等号成立．
【答案】 2
7．(2013·南京高二检测)若logmn＝－1，则3n＋m的最小值是________．
【解析】 ∵logmn＝－1，
∴mn＝1且m>0，n>0，m≠1.
∴3n＋m≥2＝2.
当且仅当3n＝m即n＝，m＝时等号成立．
【答案】 2
8．函数y＝log2x＋logx(2x)的值域是________．
【解析】 y＝log2x＋logx2＋1.
由|log2x＋logx2|＝|log2x|＋|logx2|≥2＝2，
得log2x＋logx2≥ 2或log2x＋logx2≤ －2，
∴y≥ 3或y≤ －1.
【答案】 (－∞ ，－1]∪ [3，＋∞ )
三、解答题
9．当x<时，求函数y＝x＋的最大值．
【解】 y＝(2x－3)＋＋
＝－(＋)＋，
∵当x<时，3－2x>0，
∴＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝－时取等号．于是y≤－4＋＝－，故函数有最大值－.
10．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是多少？
【解】 法一 ∵x＋2y＋2xy＝8，
∴y＝＞0，
∴0＜x＜8.
∴x＋2y＝x＋2·
＝(x＋1)＋－2≥2－2＝4.当且仅当x＋1＝时“＝”成立，此时x＝2，y＝1.
法二 ∵x＞0，y＞0，
∴8＝x＋2y＋2xy＝x＋2y＋x·2y≤x＋2y＋()2，
即(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，
∴[(x＋2y)＋8][(x＋2y)－4]≥0，
∴x＋2y≥4，当且仅当x＝2y时取等号．
由x＝2y且x＋2y＋2xy＝8，得x＝2，y＝1，此时x＋2y有最小值4.
11．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了旧城拆建工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x＋－118(千元)，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)
【解】 设城建公司获得的附加效益为y千元，由题意得
y＝2x－(6x＋－118)＝118－(4x＋)
＝118－[4(x＋3)＋－12]
＝130－[4(x＋3)＋]
≤130－2 ＝130－112＝18(千元)，
当且仅当4(x＋3)＝，即x＝11时取等号．
所以提前11天，能使公司获得最大附加效益．
课时作业(十九)
一、选择题
1．下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是( )
A．(0，2) B．(－2，0)
C．(0，－2) D．(2，0)
【解析】 将四个点的坐标分别代入不等式组，满足条件的是(0，－2)．
【答案】 C
2．原点和点(1，1)在直线x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(－∞，0]∪[2，＋∞)
C．(0，2) D．[0，2]
【解析】 由题意知(－a)(1＋1－a)<0，
即a(a－2)<0，∴0【答案】 C
3．下列二元一次不等式组中，能表示图3－4－3中阴影部分的是( )
图3－4－3
A. B.
C. D.
【解析】 根据二元一次不等式组表示平面区域的方法判断可知C正确．
【答案】 C
4．(2013·唐山高二检测)不等式组表示的平面区域的面积为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
【解析】 不等式组表示的平面区域如图，点A的坐标为(3，6)，其平面区域是直角三角形，所以其面积为S＝×3×6＝9.
【答案】 C
5．(2013·湛江高二检测)向量＝(1，0)，＝(1，1)，O为坐标原点，动点P(x，y)满足条件则点P的变化范围用阴影表示为( )
【解析】 ∵·＝x，·＝x＋y，
∴点P满足条件表示区域为A.
【答案】 A
二、填空题
6．点P(1，a)到直线x－2y＋2＝0的距离为，且P在3x＋y－3＞0表示的区域内，则a＝________．
【解析】 ＝，∴a＝0或3.
又点P在3x＋y－3＞0表示区域内，
∴3＋a－3＞0，∴a＞0，∴a＝3.
【答案】 3
7．观察如图3－4－4区域，它对应的不等式组是________．
图3－4－4
【解析】 由图可求三边对应的直线方程分别为x＋y－3＝0；x－2y＝0；x－y＋1＝0，
由图知不等式组为
【答案】
8．在平面直角坐标系中，不等式组(a为常数)表示的平面区域的面积是9，则实数a的值为________________________________________________________________________．
【解析】 如图，阴影部分可行域可得交点A(a，4＋a)，B(－2，2)，C(a，－a)，
∴S△ABC＝·(a＋2)[(4＋a)－(－a)]＝(a＋2)2＝9.
∴a＝1或a＝－5(舍去)．
【答案】 1
三、解答题
9．画出下列二元一次不等式表示的平面区域．
(1)x－2y＋4≥0；
(2)y>2x.
【解】 (1)先画直线x－2y＋4＝0，取原点(0，0)，代入x－2y＋4，得4>0.
所以原点在x－2y＋4>0表示的平面区域内．
所以不等式x－2y＋4≥0表示的平面区域如图①阴影部分所示．
(2)先画直线y－2x＝0虚线，因为点(1，0)不在y－2x>0表示的平面区域内，所以不等式y>2x表示的平面区域如图②阴影部分所示．
① ②
10．画出不等式组表示的平面区域．
【解】 不等式y<－3x＋12表示直线y＝－3x＋12下方的区域；
不等式x<2y表示直线y＝x上方的区域．
取两区域重叠的部分就是不等式组所表示的区域．图中的阴影部分就是(不包括直线)．
11．(2013·禹州高二检测)一个小型家具厂计划生产两种类型的桌子A和B.每类桌子都要经过打磨、着色、上漆三道工序．桌子A需要10 min打磨，6 min着色，6 min上漆；桌子B需要5 min打磨，12 min着色，9 min上漆．如果一个工人每天打磨和上漆分别至多工作450 min，着色每天至多工作480 min，请列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出每天生产两类桌子数量的允许范围．
【解】 设家具厂每天生产A类桌子x张，B类桌子y张．对于A类x张桌子需要打磨10x min，着色6x min，上漆6x min；对于B类y张桌子需要打磨5y min，着色12y min，上漆9y min.而打磨工人每天最长工作时间是450 min，
所以题目中包含的限制条件为
上述条件表示的平面区域如下图的阴影部分所示，每天生产两类桌子数量的允许范围为阴影内的整数点．
课时作业(二十)
一、选择题
1．z＝x－y在的线性约束条件下，取得最大值的可行解为
( )
A．(0，1) B．(－1，－1)
C．(1，0) D．(，)
【解析】 可以验证这四个点均是可行解．
当x＝0，y＝1时，z＝－1；当x＝－1，y＝－1时，z＝0；当x＝1，y＝0时，z＝1；当x＝，y＝时，z＝0.排除A、B、D.
【答案】 C
2．(2012·广东高考)已知变量x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最大值为( )
A．12 B．11
C．3 D．－1
【解析】 利用线性规划求最值．
可行域如图中阴影部分所示．先画出直线l0：y＝－3x，平移直线l0，当直线过A点时z＝3x＋y的值最大，由得
∴A点坐标为(3，2)．
∴z最大＝3×3＋2＝11.
【答案】 B
3．(2013·福州高二检测)已知O是坐标原点，点A(－1，1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是( )
A．[－1，0] B．[0，1]
C．[0，2] D．[－1，2]
【解析】 作出可行域，如图所示，
·＝－x＋y.
设z＝－x＋y，作l0：x－y＝0，易知，过点(1，1)时z有最小值，zmin＝－1＋1＝0；过点(0，2)时z有最大值，zmax＝0＋2＝2，
∴·的取值范围是[0，2]．
【答案】 C
4．已知x、y满足约束条件则(x＋3)2＋y2的最小值为( )
A. B．2
C．8 D．10
【解析】 画出可行域(如图所示)．
(x＋3)2＋y2即点A(－3，0)与可行域上点(x，y)间距离的平方．显然|AC|长度最小，
∴|AC|2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10.
【答案】 D
5．(2012·山东高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的取值范围是( )
A．[－，6] B．[－，－1]
C．[－1，6] D．[－6，]
【解析】 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x－y＝0，并向上、下平移，
由图可得，当直线过点A时，z＝3x－y取最大值；当直线过点B时，z＝3x－y取最小值．由解得A(2，0)；由解得B(，3)．
∴zmax＝3×2－0＝6，zmin＝3×－3＝－.
∴z＝3x－y的取值范围是[－，6]．
【答案】 A
二、填空题
6．(2012·课标全国卷)设x，y满足约束条件则z＝x－2y的取值范围为________．
【解析】 利用线性规划知识求解．
作出不等式组的可行域，如图阴影部分所示，
作直线x－2y＝0，并向左上，右下平移，当直线过点A时，z＝x－2y取最大值；当直线过点B时，z＝x－2y取最小值．
由得B(1，2)，
由得A(3，0)．
∴zmax＝3－2×0＝3，zmin＝1－2×2＝－3，
∴z∈[－3，3]．
【答案】 [－3，3]
7．(2013·乌鲁木齐高二检测)设实数x，y满足不等式组，则的取值范围是________．
【解析】 可看作(－2，0)与可行域(如图阴影部分)内点(x，y)连线的斜率k，≤k≤，
即0≤k≤，
所以的取值范围为[0，]．
【答案】 [0，]
8．已知－1＜x＋y＜4且2＜x－y＜3，则z＝2x－3y的取值范围是________．(答案用区间表示)
【解析】 由得平面区域如图阴影部分所示．
解得C(1，－2)，∴zmax＝2×1－3×(－2)＝8(取不到)
解得A(3，1)，
∴zmin＝2×3－3×1＝3(取不到)
【答案】 (3，8)
三、解答题
9．设x，y满足约束条件求目标函数z＝2y－2x＋4的最大值和最小值．
【解】 作出满足不等式组的可行域(如图)．
作直线l0：2x－2y＝0，
即x－y＝0，
把直线l0向上平移，函数z＝2y－2x＋4的值随之增大．
当l经过点A(0，2)时，zmax＝2×2－2×0＋4＝8.
当l经过点B(1，1)时，
zmin＝2×1－2×1＋4＝4.
10．当x，y满足约束条件(k为负常数)时，能使z＝x＋3y的最大值为12，试求k的值．
【解】 在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示)．
当直线y＝－x＋z经过区域中的点A(－，－)时，z取到最大值，等于－.
令－＝12，得k＝－9.
∴所求实数k的值为－9.
11．设x，y满足条件
(1)求u＝x2＋y2的最大值与最小值；
(2)求v＝的最大值与最小值．
【解】 画出满足条件的可行域．
(1)令t＝x2＋y2，则对t的每个值，x2＋y2＝t表示一族同心圆(圆心为原点O)，且对同一圆上的点，x2＋y2的值都相等．由下图可知：
当(x，y)在可行域内取值时，当且仅当圆过C点时，u最大，过(0，0)时u最小．又C(3，8)，∴umax＝73，umin＝0.
(2)v＝表示可行域内的点P(x，y)到定点D(5，0)的连线的斜率．由图可知，kBD最大，kCD最小．又C(3，8)，B(3，－3)，
∴vmax＝＝，vmin＝＝－4.
课时作业(二十一)
一、选择题
1．有5辆6吨的汽车，4辆4吨的汽车，要运送最多的货物完成这项运输任务的线性目标函数为( )
A．z＝6x＋4y B．z＝5x＋4y
C．z＝x＋y D．z＝4x＋5y
【解析】 设6吨的车辆为x辆，4吨的车辆为y辆，则运送货物的吨数为z＝6x＋4y.
【答案】 A
2．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的运输费用最少为( )
A．2 000元 B．2 200元
C．2 400元 D．2 800元
【解析】 设需用甲型货车x辆，乙型货车y辆，由题目条件可得约束条件为目标函数z＝400x＋300y，画图可知，当平移直线400x＋300y＝0至过点(4，2)时，z取得最小值2 200.
【答案】 B
3．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )
A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
【解析】 设甲车间加工x箱原料，乙车间加工y箱原料(x，y∈N)，甲、乙两车间每天总获利为z元．
依题意得
z＝7×40x＋4×50y＝280x＋200y，
画出可行域如图阴影部分，
联立?
知z在A点取得最大值．
【答案】 B
4．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )
A．36万元 B．31.2万元
C．30.4万元 D．24万元
【解析】 设投资甲为x万元，投资乙为y万元，获得利润为z万元，则
z＝0.4x＋0.6y，且
作出不等式组表示的区域，如图所示，作直线l0：0.4x＋0.6y＝0并将l0向上平移到过A点时z取得最大值，即zmax＝0.4× 24＋0.6×36＝31.2(万元)，故选B.
【答案】 B
5．(2013·衡阳高二检测)甲、乙、丙三种食物维生素A、维生素D的含量及成本如下表：
甲
乙
丙
维生素A(单位/千克)
60
70
40
维生素D(单位/千克)
80
40
50
成本(元/千克)
11
9
4
某食物营养研究所想把甲种食物、乙种食物、丙种食物配成10千克的混合食物，并使混合食物中至少含有560单位维生素A和630单位维生素D，则成本最低为( )
A．84元 B．85元 C．86元 D．88元
【解析】 设配成10千克的混合食物分别用甲、乙、丙三种食物x千克、y千克、z千克，混合食物的成本为p元，则z＝10－x－y，p＝11x＋9y＋4z＝11x＋9y＋4×(10－x－y)＝7x＋5y＋40，由题意可得；
即
作出可行域(如图)，
当直线p＝7x＋5y＋40经过点A时，它在y轴上的截距最小，即p最小，解方程组得x＝5，y＝2，故点A的坐标为(5，2)，所以pmin＝7×5＋5×2＋40＝85.
【答案】 B
二、填空题
6．蔬菜价格随着季节的变化而有所变化，根据对农贸市场蔬菜价格的调查得知，购买2千克甲种蔬菜与1千克乙种蔬菜所需费用之和大于8元，而购买4千克甲种蔬菜与5千克乙种蔬菜所需费用之和小于22元．设购买2千克甲种蔬菜所需费用为A元，购买3千克乙种蔬菜所需费用为B元，则A________B.
【解析】 设甲、乙两种蔬菜的价格分别为x，y元，则，两式分别乘22、8，相加得12x－18y>0，即2x－3y>0，故A>B.
【答案】 >
7．(2013·广元高二检测)毕业庆典活动中，某班团支部决定组织班里48名同学去水上公园坐船观赏风景，支部先派一人去了解船只的租金情况，看到的租金价格如下表，那么他们合理设计租船方案后，所付租金最少为________元．
船型
每只船限载人数
租金(元/只)
大船
5
12
小船
3
8
【解析】
设租大船x只，小船y只(x，y∈N)，
则租金z＝12x＋8y，
作出可行域如图：
由图可知，当直线z＝12x＋8y经过点(9.6，0)时，z取最小值，但x，y∈N，∴当x＝9，y＝1时，zmin＝116.
【答案】 116
8．4枝玫瑰花与5枝茶花的价格之和不小于22元，而6枝玫瑰花与3枝茶花的价格之和不大于24元，那么2枝玫瑰花和3枝茶花价格之差绝对值的最大值是________元．
【解析】 设每枝玫瑰花的价格为x元，每枝茶花的价格为y元，2枝玫瑰花和3枝茶花的价格之差为z.
则约束条件为
目标函数为z＝2x－3y.
作出可行域，如图所示．
当直线过B(0，8)时，zmin＝－8×3＝－24，
∴|z|的最大值为24.
【答案】 24
三、解答题
9．某工厂制造A种仪器45台，B种仪器55台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳．已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积2 m2，每张可做A种仪器外壳3个和B种仪器外壳5个，乙种钢板每张面积3 m2，每张可做A种仪器外壳6个和B种仪器外壳6个．问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省(“用料最省”是指所用钢板的总面积最小)．
【解】 设用甲种钢板x张，乙种钢板y张，由题意
钢板总面积S＝2x＋3y，适合不等式组的点(x，y)的集合如下图阴影所示，
直线l1：3x＋6y＝45与直线l2：5x＋6y＝55的交点P(5，5)，当直线l：2x＋3y＝S经过P点时S最小．
∴甲种钢板、乙种钢板各用5张时用料最省．
10．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
【解】 设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，
由题意知
目标函数z＝x＋0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．
作直线l0：x＋0.5y＝0，并作平行于l0的一组直线x＋0.5y＝z，z∈R，
与可行域相交，其中一条直线经过可行域上的M点，且与直线l0：x＋0.5y＝0的距离最大，这里的M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．
解方程组得
此时z＝1×4＋0.5×6＝7(万元)，
∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值．
投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．
11．某研究所计划利用“神九”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：
产品
A(件)
产品
B(件)
研制成本与搭载费用之和(万元/件)
20
30
计划最大资金额300万元
产品重量(千克/件)
10
5
最大搭载重量110千克
预计收益(万元/件)
80
60
试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？
【解】 设搭载产品A有x件，产品B有y件，预计收益z＝80x＋60y.
则作出可行域，如图：
作出直线l0：4x＋3y＝0并平移，由图像得，当直线经过M点时z能取得最大值，
解得即M(9，4)．
所以zmax＝80×9＋60×4
＝960(万元)．
答：搭载产品A 9件，产品B 4件，可使得总预计收益最大，为960万元．
