模块学习评价
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若a＞b＞c，则一定成立的不等式是( )
A．a|c|＞b|c| B．ab＞ac
C．a－|c|＞b－|c| D.＜＜
【解析】 ∵a＞b，∴a－|c|＞b－|c|.
【答案】 C
2．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，则cos C的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
【解析】 由正弦定理知，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，
设a＝3k，b＝2k，c＝4k，(k＞0)，由余弦定理得
cos C＝＝＝－.
【答案】 A
3．(2013·洋浦高二检测)在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，则B为( )
A．60° B．60°或120°
C．30° D．30°或150°
【解析】 根据正弦定理得sin B＝＝＝，
∴B＝60°或120°，∵b>a，故两解都符合题意．
【答案】 B
4．不等式ax2＋2x＋c>0的解集是(－2，3)，则a＋c的值是( )
A．10 B．－10
C．14 D．－14
【解析】 不等式ax2＋2x＋c>0的解集是(－2，3)，即方程ax2＋2x＋c＝0的解为x＝－2或x＝3.
∴∴∴a＋c＝10.
【答案】 A
5．设{an}是等差数列，且a2＝－6，a8＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则( )
A．S4＜S5 B．S4＝S5
C．S6＜S5 D．S6＝S5
【解析】 设公差为d，则解得d＝2，a1＝－8.则a4＝－2，a5＝0，a6＝2，
∴S4＝S5.
【答案】 B
6．(2013·乌鲁木齐高二检测)已知U为实数集，M＝{x|x2－2x<0}，N＝{x|y＝}，则M∩(?UN)等于( )
A．{x|0
C．{x|x<1} D．?
【解析】 不等式x2－2x<0可化为x(x－2)<0，
所以M＝{x|0又因为N＝{x|x≥1}，
所以?UN＝{x|x<1}，
M∩(?UN)＝{x|0【答案】 A
7．不等式组表示的平面区域是( )
A．矩形 B．三角形
C．直角梯形 D．等腰梯形
【解析】 画出图形可知：不等式组表示的平面区域是等腰梯形．
【答案】 D
8．(2013·惠州高二检测)若·＋2＝0，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【解析】 由·＋2＝0，得c2＝－ac·cos(π－B)，
∴cos B＝，根据余弦定理得＝，整理得a2＝c2＋b2，所以该三角形为直角三角形．
【答案】 A
9．等比数列{an}是递增数列，若a5－a1＝60，a4－a2＝24，则公比q为( )
A. B．2
C.或－2 D．2或
【解析】 由已知得a1q4－a1＝60，a1q3－a1q＝24，两式相除得q＝2或，经检验q＝2或均满足{an}是递增数列，故选D.
【答案】 D
10．(2013·丰台高二检测)已知数列{an}中，a1＝，an＝1－(n≥2)，则a2 012＝( )
A．－ B．－
C. D.
【解析】 由an＝1－及a1＝得a2＝－，a3＝，a4＝，a5＝－，…，所以数列中的项呈周期出现，周期为3，于是a2 012＝a670×3＋2＝a2＝－.
【答案】 B
11．(2012·辽宁高考)设变量x，y满足则2x＋3y的最大值为( )
A．20 B．35 C．45 D．55
【解析】 不等式组表示的区域如图所示，所以过点A(5，15)时2x＋3y的值最大，此时2x＋3y＝55.
【答案】 D
图1
12．如图1，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N)为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运( )
A．3年 B．4年
C．5年 D．6年
【解析】 由图像知，函数过点(6，11)，可设y＝a(x－6)2＋11，把点(4，7)代入得7＝a(4－6)2＋11，解得a＝－1，
∴y＝－(x－6)2＋11＝－x2＋12x－25.
∴平均利润＝＝－(x＋)＋12≤－2＋12＝2.这时x＝即x＝5.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．若关于x的不等式＞0的解集为(－∞，－1)∪(，＋∞)，则实数a＝________．
【解析】 由题意知 x＝－1和x＝是方程(x－a)·(x＋1)＝0的两个根，∴a＝.
【答案】
14．等比数列{an}的前n项和为2n－1，则数列{an2}的前n项和为________．
【解析】 设{an}的前n项和为Sn，则Sn＝2n－1，
∴n≥2时Sn－1＝2n－1－1，
∴an＝Sn－Sn－1＝2n－1，n＝1时也适合上式，
∴an＝2n－1(n∈N＋)，故an2＝4n－1.
易知{an2}为以1为首项，以4为公比的等比数列，
∴其前n项和为＝.
【答案】 (4n－1)
15．设x，y为正实数，且x＋y＝2，则＋的最小值为________．
【解析】 ＋＝(＋)×1＝(＋)·()＝＋＋≥＋2 ＝，
当且仅当
即时等号成立．
【答案】
16．(2013·哈师大附中高二检测)如图2，在某灾区的搜救现场，一条搜救犬从A点出发沿正北方向行进x m到达B处发现生命迹象，然后向右转105°，行进10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°回到出发点，那么x＝________．
图2
【解析】 ∠ABC＝180°－105°＝75°，
∠BCA＝180°－135°＝45°，∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，
又AB＝x，BC＝10，
∴＝.
得x＝＝.
【答案】
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知a、b、c分别是△ABC的三个内角所对的边，若△ABC面积S△ABC＝，c＝2，A＝60°，求a、b的值．
【解】 ∵＝b×2×sin 60°，
∴b＝1，又a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴a2＝3，即a＝.
18．(本小题满分12分)(2013·福州高二检测)已知不等式mx2＋nx－<0的解集为{x|x<－，或x>2}．
(1)求m，n的值；
(2)解关于x的不等式：(2a－1－x)(x＋m)>0，其中a是实数．
【解】 (1)依题意得m＝－1，n＝.
(2)原不等式为(2a－1－x)(x－1)>0即[x－(2a－1)](x－1)<0.
①当2a－1<1，即a<1时，原不等式的解集为{x|2a－1②当2a－1＝1即a＝1时，原不等式的解集为?.
③当2a－1>1即a>1时，原不等式的解集为{x|119．(本小题满分12分)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12 n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：
(1)A处与D处之间的距离；
(2)灯塔C与D处之间的距离．
【解】 (1)在△ABD中，由已知得∠ADB＝60°，B＝45°.
由正弦定理得
AD＝＝
＝24(n mile)．
(2)在△ADC中，AC＝8，AD＝24，
∠CAD＝30°，由余弦定理得
CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos 30°
＝242＋(8)2－2×24×8cos 30°
＝3×64，
∴CD＝8(n mile)．
所以A处与D处之间的距离为24n mile，灯塔C与D处之间的距离为8 n mile.
20．(本小题满分12分)某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时，又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？
【解】 设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张，则
目标函数为：z＝2x＋3y.
作出可行域：
把直线l：2x＋3y＝0向右上方平移至l′的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z＝2x＋3y取最大值，
解方程，得M的坐标为(2，3)．
故每天应生产A型桌子2张，B型桌子3张才能获得最大利润．
21．(本小题满分12分)(2013·黄冈高二检测)已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝(n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Tn.
【解】 (1)设等差数列{an}的公差为d，因为a3＝7，a5＋a7＝26，所以有
解得a1＝3，d＝2，
所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1；Sn＝3n＋×2＝n2＋2n.
(2)由(1)知an＝2n＋1，
所以bn＝＝＝·
＝·(－)，
所以Tn＝·(1－＋－＋…＋－)＝·(1－)＝，即数列{bn}的前n项和Tn＝.
22．(本小题满分12分)某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f(n)表示前n年的纯利润总和f(n)＝(前n年的总收入－前n年的总支出－投资额)．
(1)该厂从第几年开始盈利？
(2)若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方案：①年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以10万元出售该厂，问哪种方案更合算？
【解】 由题意知，
f(n)＝50n－－72
＝－2n2＋40n－72.
(1)由f(n)＞0，即－2n2＋40n－72＞0，解得2＜n＜18.
由n∈N＋知，从第三年开始盈利．
(2)方案①：年平均纯利润＝40－2≤16当且仅当n＝6时等号成立．
故方案①共获利6×16＋48＝144(万元)，此时n＝6.
方案②：f(n)＝－2(n－10)2＋128.当n＝10，f(n)max＝128.
故方案②共获利128＋10＝138(万元)．
比较两种方案，选择第①种方案更合算．
课件15张PPT。等差数列 等比数列 课件34张PPT。一元二次不等式的解解 简单线性规划 基本不等式的应用 课件10张PPT。正、余弦定理 课件27张PPT。数列通项公式的求法 裂项法、错位相减法求和等差与等比数列的综合应用 转化思想在数列中的应用 课件31张PPT。利用正、余弦定理解三角形 三角形中的几何计算 判断三角形的形状解三角形的实际应用 转化思想 课件35张PPT。不等式的恒成立问题 利用基本不等式求最值 线性规划问题 分类讨论思想 综合检测(三)综合检测(一)
第一章 数 列
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．数列1，－3，5，－7，…的一个通项公式为( )
A．an＝2n－1 B．an＝(－1)n＋1(2n－1)
C．an＝(－1)n(2n－1) D．an＝(－1)n(2n＋1)
【解析】 1，3，5，7，…是奇数列，通项公式an＝2n－1，又因为偶数项为负，奇数项为正，故所求通项公式an＝(－1)n＋1(2n－1)．
【答案】 B
2．(2013·大连高二检测)设{an}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则数列{an}前8项的和为( )
A．128 B．80
C．64 D．56
【解析】 ∵{an}是等差数列，∴S8＝×8＝×8＝64.
【答案】 C
3．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝( )
A．－ B．－2
C．2 D.
【解析】 由a5＝＝a2·q3＝2·q3，解得q＝.
【答案】 D
4．(2013·海淀高二检测)已知数列{an}为等差数列，Sn是它的前n项和．若a1＝2，S3＝12，则S4＝( )
A．10 B．16
C．20 D．24
【解析】 ∵S3＝3a1＋d＝6＋3d＝12，∴d＝2，
∴S4＝4a1＋d＝20.
【答案】 C
5．等差数列{an}前m项和为30，前2m项和为100，则前3m项的和为( )
A．130 B．170
C．210 D．260
【解析】 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
∴2×(100－30)＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
【答案】 C
6．(2012·福建高考)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 法一 设等差数列{an}的公差为d，由题意得
解得∴d＝2.
法二 ∵在等差数列{an}中，a1＋a5＝2a3＝10，
∴a3＝5.
又a4＝7，∴公差d＝7－5＝2.
【答案】 B
7．在等比数列中，已知a1a83a15＝243，则的值为( )
A．3 B．9
C．27 D．81
【解析】 ∵a1a15＝a82，
∴a85＝243＝35，∴a8＝3，
∴＝＝a9·a7＝a82＝9.
【答案】 B
8．如果数列{an}的前n项和Sn＝an－3，那么这个数列的通项公式是( )
A．an＝2(n2＋n＋1) B．an＝3·2n
C．an＝3n＋1 D．an＝2·3n
【解析】 由an＝Sn－Sn－1＝(an－3)－(an－1－3)(n≥2)，
得＝3，又a1＝6，∴{an}是以a1＝6，q＝3的等比数列，∴an＝2·3n.
【答案】 D
9．数列1，1＋2，1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n项和为( )
A．2n＋1－n B．2n＋1－n－2
C．2n－n D．2n
【解析】 ∵an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，
∴Sn＝(2＋22＋…＋2n)－n＝2n＋1－n－2.
【答案】 B
10．(2013·宜昌高二检测)设Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝－2 010，－＝2，则a2＝( )
A．－2 008 B．－2 012
C．2 008 D．2 012
【解析】 ∵Sn为等差数列{an}的前n项和，
∴为等差数列，且首项为－2 010.
又∵－＝2，
∴公差为1，∴＝－2 010＋1＝－2 009.
∴S2＝a1＋a2＝－2 009×2.
即a2＝－2 008.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
11.＋1与－1的等比中项是________．
【解析】 ＋1与－1的等比中项是±＝±1.
【答案】 ±1
12．(2012·广东高考)已知递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a22－4，则an＝________．
【解析】 设公差为d，则a2＝1＋d，a3＝1＋2d，
代入a3＝a22－4得1＋2d＝(1＋d)2－4，
解得d＝2或d＝－2(舍去)，∴an＝2n－1.
【答案】 2n－1
13．在等差数列{an}中，a3＝－12，a3，a7，a10成等比数列，则公差d等于________．
【解析】 由{an}为等差数列，得a7＝a3＋4d，a10＝a3＋7d，又a3，a7，a10成等比数列，
所以a72＝a3a10，
即(a3＋4d)2＝a3(a3＋7d)，
整理后，得12d＝16d2，
解得d＝0或d＝.
【答案】 0或
14．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，且每过滤一次可使杂质含量减少，则要使产品达到市场要求，至少应过滤________次．(取lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)
【解析】 设原有溶液a，含杂质2%a，经过n次过滤，含杂质2%a×(1－)n.
要使n次过滤后杂质含量不超过0.1%，
则×100%≤0.1%，
即()n≤，n≥＝
≈7.387 8，
∴至少应过滤8次．
【答案】 8
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72，bn＝an－30，
(1)求通项公式an；
(2)求数列{bn}的前n项和Tn的最小值．
【解】 (1)由a3＝10，S6＝72，得
∴an＝4n－2.
(2)由(1)知bn＝an－30＝2n－31.
由题意知
得≤n≤.
∵n∈N＋，∴n＝15.
∴{bn}前15项为负值时，Tn最小．
可知b1＝－29，d＝2，T15＝－225.
16．(本小题满分12分)购买一件售价为5 000元的商品，采用分期付款的办法，每期付款数相同，购买后1个月付款一次，过1个月再付款一次，如此下去，到第12次付款后全部付清．如果月利率为0.8%，每月利息按复利计算(上月利息计入下月本金)，那么每期应付款多少元？(精确到1元)
【解】 设每期应付款x元，则第一期付款与到最后一期付款所生利息之和为x·(1＋0.008)11元；
第二期付款与到最后一期付款所生利息之和为x·(1＋0.008)10元；
…
第十一期付款与到最后一期付款所生利息之和为x·(1＋0.008)元；
第十二期付款已没有利息问题，即为x元．
所以各期付款连同利息之和为
x(1＋1.008＋1.0082＋…＋1.00811)
＝x.
又所购商品的售价及其利息之和为
5 000×1.00812，
于是有x＝5 000×1.00812，
∴x≈439元．
答：每期应付款约439元．
17．(本小题满分12分)(2013·青岛高二检测)已知数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足4Sn＝(an＋1)2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn.
【解】 ∵4Sn＝(an＋1)2，
所以Sn＝，Sn＋1＝.
所以Sn＋1－Sn＝an＋1＝，
即4an＋1＝an＋12－an2＋2an＋1－2an，
∴2(an＋1＋an)＝(an＋1＋an)·(an＋1－an)．
因为an＋1＋an≠0，所以an＋1－an＝2，即{an}为公差等于2的等差数列．
由(a1＋1)2＝4a1，解得a1＝1，所以an＝2n－1.
(2)由(1)知bn＝＝(－)，
∵Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)＝－.
18．(本小题满分14分)(2012·山东高考)在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间(9m，92m)内的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm.
【解】 (1)因为{an}是一个等差数列，
所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，
所以a4＝28.
设数列{an}的公差为d，
则5d＝a9－a4＝73－28＝45，故d＝9.
由a4＝a1＋3d得28＝a1＋3×9，即a1＝1，
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)．
(2)对m∈N*，若9m则9m＋8<9n<92m＋8，
因此9m－1＋1≤n≤92m－1，
故得bm＝92m－1－9m－1.
于是Sm＝b1＋b2＋b3＋…＋bm
＝(9＋93＋…＋92m－1)－(1＋9＋…＋9m－1)
＝－
＝.
综合检测(三)
第三章 不等式
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中正确的是( )
A．a＞b?ac2＞bc2 B．a＞b?a2＞b2
C．a＞b?a3＞b3 D．a2＞b2?a＞b
【解析】 A中，当c＝0时，ac2＝bc2，所以A不正确；B中，当a＝0＞b＝－1时，a2＝0＜b2＝1，所以B不正确；D中，当(－2)2＞(－1)2时，－2＜－1，所以D不正确，很明显C正确．
【答案】 C
2．不等式x2≥3x的解集是( )
A．{x|x≥3} B．{x|x≤3}
C．{x|0≤x≤3} D．{x|x≤0或x≥3}
【解析】 原不等式化为x2－3x≥0，则x≤0或x≥3.
【答案】 D
3．下列结论正确的是( )
A．当x>0且x≠1时，lg x＋≥2
B．当x>0时，＋≥2
C．当x≥2时，x＋的最小值为2
D．当0【解析】 当x>0时，＋≥2＝2.
【答案】 B
4．关于x的不等式ax＋b>0的解集为(－∞，1)，则关于x的不等式(bx－a)(x＋2)>0的解集为( )
A．(－2，1) B．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)
C．(－2，－1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
【解析】 由已知得a＋b＝0且a<0，∴(bx－a)(x＋2)>0，即(x＋1)(x＋2)>0，解得x>－1或x<－2.
【答案】 B
5．已知两个正数a，b的等差中项为4，则a，b的正的等比中项的最大值为( )
A．2 B．4 C．8 D．16
【解析】 ≤＝4，当且仅当a＝b时，等号成立．
【答案】 B
6．不等式＞1的解集是( )
A．{x|x＜－2} B．{x|－2＜x＜1}
C．{x|x＜1} D．R
【解析】 不等式可化为－1＞0，即＞0，
∴x＋2＜0，∴x＜－2.
【答案】 A
7．已知x＞0，y＞0，lg 2x＋lg 8y＝lg2，则＋的最小值是( )
A．2 B．2 C．4 D．2
【解析】 由lg 2x＋lg 8y＝lg 2，得lg 2x＋3y＝lg 2，
∴x＋3y＝1，＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥4.
当且仅当即时，等号成立．
故＋的最小值是4.
【答案】 C
8．(2013·皖南八校高二检测)若变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x－2y的最大值为( )
A．－9 B．0
C．9 D．15
【解析】 约束条件的可行域如图阴影部分，作出直线l0：x－2y＝0，平移知，在点B(3，－6)处z有最大值且zmax＝3－2×(－6)＝15.故选D.
【答案】 D
9．若a，b∈(0，＋∞)且ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是( )
A．(0，3) B．(0，9)
C．(3，＋∞) D．[9，＋∞)
【解析】 ∵a>0，b>0，
∴a＋b≥2，
所以ab≥2＋3，即ab－2－3≥0，
∴≥3，或≤－1(舍去)，
∴ab≥9.故选D.
【答案】 D
10．我市某公司，第一年产值增长率为p，第二年产值增长率为q，这二年的平均增长率为x，那x与大小关系(p≠q)是( )
A．x< B．x＝
C．x> D．与p，q取值有关
【解析】 由已知得(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，
又因为(1＋p)(1＋q)<[]2
＝(1＋)2，
所以(1＋)2>(1＋x)2，
所以x<.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
11．不等式组所表示的平面区域的面积是________．
【解析】 如图满足条件的平面区域为一直角梯形，其面积为S＝×(2＋8)×3＝15.
【答案】 15
12．设a>b>0，集合M＝{x|b【解析】 由a>b>0，得b<又∵>，
∴M∩N＝{x|【答案】 {x|13．某公司一年购买某种货物400 t，每次都购买x t，运费为每次4万元，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________．
【解析】 设一年的总费用为y万元，
则y＝4×＋4x＝＋4x≥2＝160.
当且仅当＝4x，即x＝20时等号成立．
【答案】 20
14．(2013·济南高二检测)下列命题：
①设a，b是非零实数，若a；③函数y＝的最小值是2；④若x，y是正数，且＋＝1，则xy的最小值16.其中正确命题的序号是________．
【解析】 ①中ab2－a2b＝ab(b－a)，∵a，b符号不定，
∴上式符号不定．故①错；②中在a，故②正确；③中y＝＝＋≥2，但由＝得x2＋2＝1无解，故③错误；④中∵＋＝1≥2，
∴xy≥16.即④正确．
【答案】 ②④
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知x，y均为正数，且＋＝1，求x＋y的最小值．
【解】 ∵x＞0，y＞0，
∴x＋y＝(x＋y)(＋)＝＋＋10≥
2＋10＝16.
当且仅当＝时取等号．
由及x＞0，y＞0，得x＝4，y＝12.
∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.
16．(本小题满分12分)已知a>0，b>0，且a≠b比较＋与a＋b的大小．
【解】 ∵(＋)－(a＋b)＝－b＋－a
＝＋＝(a2－b2)(－)
＝(a2－b2)
＝，
又∵a>0，b>0，a≠b，
∴(a－b)2>0，a＋b>0，ab>0.
∴(＋)－(a＋b)>0.
∴＋>a＋b.
17．(本小题满分12分)如图1，互相垂直的两条公路AP、AQ旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园AMN，要求点M在射线AP上，点N在射线AQ上，且直线MN过点C，其中AB＝36米，AD＝20米．记三角形花园AMN的面积为S.
图1
(1)问：DN取何值时，S取得最小值，并求出最小值；
(2)若S不超过1 764平方米，求DN长的取值范围．
【解】 (1)设DN＝x(x>0)米，则AN＝(x＋20)米．
因为＝，所以＝，
即AM＝.
所以S＝×AM×AN＝
＝18(x＋＋40)≥1 440，
当且仅当x＝20时取等号．
所以，S的最小值等于1 440平方米．
(2)由S＝≤1 764，
得x2－58x＋400≤0，
解得8≤x≤50.所以，DN长的取值范围是[8，50]．
18．(本小题满分14分)某糖果厂生产A、B两种糖果，A种糖果每箱可获利润40元，B种糖果每箱可获利润50元．其生产过程分混合、烹调、包装三道工序．下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间(单位：min).
混合
烹调
包装
A
1
5
3
B
2
4
1
每种糖果的生产过程中，混合的设备至多用机器12 h，烹调的设备最多只能用机器30 h，包装的设备最多只能用机器15 h，每种糖果各生产多少箱可获得最大利润？
【解】 设生产A种糖果x箱，生产B种糖果y箱，可获利润z元，即求z＝40x＋50y在约束条件下的最大值．
作出可行域，如图．
作直线l0：40x＋50y＝0，平移l0，直线经过点P时，z＝40x＋50y取最大值．
解方程组得点P坐标为(120，300)．
∴zmax＝40×120＋50×300＝19 800.
所以生产A种糖果120箱，生产B种糖果300箱时，可以获得最大利润19 800元．
综合检测(二)
第二章 解三角形
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，则b等于( )
A．76 B．2 C．27 D．2
【解析】 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝76，所以b＝2.
【答案】 B
2．在△ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4，则B等于( )
A．45°或135° B．135°
C．45° D．以上答案都不对
【解析】 由＝，得sin B＝sin A＝.
∵b＜a，∴B＜A＜60°.
∴B＝45°.
【答案】 C
3．在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
【解析】 由2cos Bsin A＝sin C得×a＝c，∴a＝b.
【答案】 C
4．在△ABC中，角A、B的对边分别为a、b，且A＝2B，则的取值范围是
( )
A．(0，) B．(1，2)
C．(，1) D．(0，2)
【解析】 ∵A＋B<π，∴3B<π，
∴B<，
∴＝＝＝2cos B∈(1，2)．
【答案】 B
5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则acos C＋ccos A的值为( )
A．b B.
C．2cos B D．2sin B
【解析】 acos C＋ccos A＝a×＋c×＝＝b.
【答案】 A
6．(2013·曲师大附中高二检测)已知△ABC中，AB＝，AC＝1，C＝120°，则△ABC的面积等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 设BC＝x，由余弦定理得，
()2＝x2＋1－2x·cos 120°，
∴x2＋x－2＝0，得x＝1或x＝－2(舍去)．
∴BC＝1，∴S△ABC＝AC·BC·sin 120°＝×1×1×＝.
【答案】 B
7．如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．由增加的长度决定
【解析】 设直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，三边都增加m，∴[(a＋m)2＋(b＋m)2]－(c＋m)2＝m2＋2m(a＋b－c)＞0.∵a＋b＞c，∴cos C＞0，C＜90°，而由“大边对大角”，C是最大角，∴新三角形为锐角三角形．
【答案】 A
8．(2013·大冶高二检测)已知△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且tan B＝，·＝，则tan B等于( )
A. B.－1
C．2 D．2－
【解析】 由·＝得accos B＝，
∴2accos B＝1.又由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－1，∴a2－b2＋c2＝1.∴tan B＝2－.
【答案】 D
9．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为( )
A. B.
C.或 D.或
【解析】 由(a2＋c2－b2)tan B＝ac得＝，即cos B＝，
∴sin B＝，又B为△ABC的内角，所以B为或.
【答案】 D
图1
10．如图1所示，某海上缉私小分队驾驶缉私船以40 km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向航行进行海面巡逻，当航行半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若船C位于A处的北偏东30°方向上，则缉私船在B处与船C的距离是( )
A．5(＋)km B．5(－)km
C．10(＋)km D．10(－)km
【解析】 由题意可知△ABC是等腰三角形，即AB＝AC＝20，∠ABC＝∠ACB＝75°，∠BAC＝30°，由正弦定理得
＝，
∴BC＝＝10(－)(km)．
【答案】 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
11．在△ABC中，若a＝7，b＝8，cos C＝，则最大角的余弦是________．
【解析】 c2＝a2＋b2－2abcos C＝9，c＝3，B为最大角，cos B＝－.
【答案】 －
12．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，B＝120°，则a＝________．
【解析】 由正弦定理＝得，＝，
sin C＝，C＝30°，A＝C＝30°，a＝c＝.
【答案】
13．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sin A＝________．
【解析】 在△ABC中，A＋B＋C＝π，又A＋C＝2B，
∴3B＝π，B＝，
由正弦定理＝，
∴sin A＝＝＝.
【答案】
14．(2013·商丘高二检测)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a2－c2＝b2－bc，b＝2，△ABC的面积为2，则c＝________．
【解析】 由a2－c2＝b2－bc得，
b2＋c2－a2＝bc.
∴cos A＝＝.
∴A＝60°.∵S△ABC＝bcsin A＝×2c·sin 60°＝2.
∴c＝4.
【答案】 4
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)在△ABC中，cos A＝－，cos B＝.
(1)sin C的值；
(2)设BC＝5，求△ABC的面积．
【解】 (1)由cos A＝－，得sin A＝，
由cos B＝，得sin B＝.
所以sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝.
(2)由正弦定理得AC＝＝＝.
所以△ABC的面积S＝×BC×AC×sin C＝×5××＝.
16．(本小题满分12分)锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2bsin A.
(1)求B的大小；
(2)若a＝3，c＝5，求b.
【解】 (1)根据正弦定理，由a＝2bsin A得sin A＝2sin Bsin A，
又sin A≠0，∴sin B＝，又B∈，∴B＝.
(2)在△ABC中，根据余弦定理得，
b2＝a2＋c2－2accos B＝27＋25－2×5×3×＝7.
∴b＝.
17．(本小题满分12分)在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断△ABC的形状．
【解】 法一 由正弦定理和已知条件得：
sin2Bsin2C＋sin2Csin2B＝2sin Bsin Ccos Bcos C，
∵sin Bsin C≠0，
∴sin Bsin C＝cos Bcos C，即cos(B＋C)＝0，
∵B、C为△ABC的内角，∴B＋C＝90°，A＝90°
故△ABC为直角三角形．
法二 原等式变形为：b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccos Bcos C，
即：b2＋c2－b2cos2C－c2cos2B＝2bccos Bcos C，
由余弦定理得：
b2＋c2－b2()2－c2()2＝2bc··
?b2＋c2＝?b2＋c2＝a2.
故△ABC为直角三角形．
图2
18．(本小题满分14分)如图2，某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C处，12时20分时测得该轮船在海岛北偏西60°的B处，12时40分该轮船到达位于海岛正西方且距离海岛5千米的E港口，如果轮船始终匀速直线航行，则船速是多少？(结果保留根号)
【解】 轮船从点C到点B用时80分钟，从点B到点E用时20分钟，而船始终匀速航行，由此可见，BC＝4EB.
设EB＝x，则BC＝4x，由已知得∠BAE＝30°，
在△AEC中，由正弦定理得＝，
即sin C＝＝＝，
在△ABC中，由正弦定理得＝，
即AB＝＝＝＝.
在△ABE中，由余弦定理得BE2＝AE2＋AB2－2AE·ABcos 30°＝25＋－2×5××＝，
所以BE＝(千米)．
故轮船的速度为v＝÷＝(千米/小时)．
