简谐运动图象的应用
1.从振动图象中可得到的信息
(1)可直接读取振子在某一时刻相对于平衡位置的位移大小．
(2)从振动图象上可直接读出振幅：正(负)位移的最大值．
(3)从振动图象上可直接读出周期．
(4)可判断某一时刻振动物体的速度方向和加速度方向，以及它们的大小变化趋势．
2．简谐运动图象与力学知识结合可以解决运动和力的问题．
(多选)如图1－1所示为甲、乙两等质量的质点做简谐运动的图象，以下说法正确的是( )
图1－1
A．甲、乙的振幅分别为2 m和1 m
B．甲振动的频率比乙的高
C．2～3 s内，甲、乙的加速度方向均沿负方向
D．t＝2 s时，甲的速度和乙的加速度都达到各自的最大值
【解析】 通过图象可得T甲＝4 s，A甲＝2 cm，T乙＝8 s，A乙＝1 cm，故A选项错误，B选项正确；在2～3 s内甲的位移为负，加速度与位移反向沿正方向，C错；t＝2 s时，甲处在平衡位置，速度最大，而乙在正向最大位移处，加速度达到最大，D正确．
【答案】 BD
1．(2013·潍坊检测)公路上匀速行驶的货车受一扰动，车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板．一段时间内货物在竖直方向的振动可视为简谐运动，周期为T.取竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，即t＝0，其振动图象如图1－2所示，则( )
图1－2
A．t＝T时，货物对车厢底板的压力最大
B．t＝T时，货物对车厢底板的压力最小
C．t＝T时，货物对车厢底板的压力最大
D．t＝T时，货物对车厢底板的压力最小
【解析】 要使货物对车厢底板的压力最大，即车厢底板对货物的支持力最大，则要求货物向上的加速度最大，由振动图象可知在T时，货物向上的加速度最大，故C选项正确；货物对车厢底板的压力最小，即车厢底板对货物的支持力最小，则要求货物向下的加速度最大，由振动图象可知在T时，货物向下的加速度最大，所以A、B、D选项错误．
【答案】 C
单摆的周期及利用单摆测重力加速度
1.单摆周期的影响因素
(1)单摆的周期与单摆的振幅无关，与摆球的质量无关．
(2)单摆的周期与摆长有关，摆长越长，周期越大．
2．单摆的周期公式：T＝2π.
3．因为单摆周期T＝2π，从中可推导出g＝，只要测出摆长与单摆周期即可求重力加速度，这是测重力加速度的一个重要方法．
某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中，用刻度尺量得悬点到小球的距离为96.60 cm，用卡尺量得小球直径是5.260 cm，测量周期3次，每次是在摆球通过最低点时，按下秒表开始计时的同时将此次通过最低点作为第1次，接着一直数到计时终止，结果如下表：
1
2
3
数的次数
61
81
71
时间/s
60.40
79.80
70.60
这个单摆振动周期的测定值是________s，当地重力加速度的值是________m/s2.(取三位有效数字)
【解析】 由题可知单摆的周期
T1＝ s＝2.013 s
T2＝ s＝1.995 s
T3＝ s＝2.017 s
则周期T＝＝2.01 s
摆长l＝l′＋
＝(0.966＋×0.052 6) m＝0.992 3 m
故重力加速度
g＝
＝ m/s2＝9.69 m/s2.
【答案】 2.01 9.69
2．一位同学用单摆做测量重力加速度的实验，他将摆挂起后，进行了如下步骤：
A．测摆长l：用米尺量出摆线长度；
B．测周期T：将摆球拉起，然后放开，在摆球通过最低点时，按下秒表开始计时，同时将此次通过最低点作为第1次，接着一直数到第60次通过最低点时，按秒表停止计时，读出这段时间，算出单摆周期T＝；
C．将所测得的l和T值代入单摆的周期公式T＝2π中，算出g，将它作为实验结果写入报告中．
请指出上述步骤中遗漏或错误的地方，并加以改正．
【解析】 单摆的摆长定义是悬点到摆球重心的距离，摆线长并不是摆长，摆长等于摆线长加上摆球半径，摆球直径可用游标卡尺来测量．
摆球在某次通过最低点时，按下秒表开始计时，同时将此次作为第1次通过最低点，到第60次时按秒表停止计时，实际是29.5个周期，周期T应为.另外，实验中应多测几次，取平均值以减小误差．
【答案】 见解析
课件17张PPT。简谐运动图象的应用 单摆的周期及利用单摆测重力加速度 课件72张PPT。教师用书独具演示演示结束 什么是机械振动 平衡位置 振动 回复力 平衡位置 平衡位置 作用效果 弹簧振子的振动 质量可以忽略不计 水平 正比 平衡位置 －kx 相反 平衡位置 正比 相反 重力 劲度系数 劲度系数 平衡位置 平衡位置 相反 相反 对弹簧振子的理解及过程分析 小球的简谐运动
图1－1－1如何判断物体是否做简谐运动 综合解题方略——对简谐运动
对称性的理解 课时作业（一） 课件65张PPT。教师用书独具演示演示结束 振动特征的描述 平衡位置 幅度大小 振动强弱 全振动 全振动 固有周期(或固有频率) 快慢 大 快 简谐运动的图象描述 时间 位移 周期 振幅 位移 平衡位置 振动时间． 振幅 角速度(或圆频率) 对描述简谐运动物理量的理解 对简谐运动图象(x－t图象)的理解 综合解题方略——简谐运动的
对称性和周期性 课时作业（二） 课件74张PPT。教师用书独具演示演示结束 单摆的运动 质量 大小 分力． 5° 简谐 单摆的周期及应用 控制变量 无关 越大 越小 摆长 周期 摆球球心 单摆做简谐运动的条件 影响单摆周期的因素 实验：利用单摆测重力加速度 课时作业（三） 课件51张PPT。教师用书独具演示演示结束 阻尼振动 阻力 减小 减小逐渐减小 受迫振动与共振 周期性 周期性 驱动力 等于 振幅 固有频率 频率 几种机械振动的比较 综合解题方略——共振问题 课时作业（四）
第1节简谐运动
(教师用书独具)
●课标要求
知识与技能
1.了解什么是机械运动.
2.掌握简谐运动回复力的特征.
3.掌握在一次全振动过程中回复力、加速度、速度随偏离平衡位置的位移变化的规律．
过程与方法
1.通过对实验的观察，培养学生的观察和发现问题的能力.
2.分析简谐运动过程中有关物理量的变化规律，培养逻辑思维能力．
情感态度与价值观
1.通过对简单实验的操作及参与对简谐运动规律的分析，培养学生参与科学研究的兴趣
2.通过对简谐运动的研究，使学生发现其中所严格遵循的简谐美、对称美..
●课标解读
1．知道什么是机械振动，并了解生活中的实例．
2．知道什么是简谐运动，知道简谐运动的受力特点．
3．知道弹簧振子是一种理想化的物理模型．
4．理解简谐运动在一次全振动过程中位移、回复力、加速度、速度的变化情况．
●教学地位
机械运动是学生学习了运动学、动力学及功和能的知识后，是力学的一个特例．机械运动是一种比较复杂的机械运动形式．对它的研究为以后学习电磁振荡，电磁波和光的本性奠定了知识基础，与人们的日常生活，生产技术和科学研究有密切的联系，是本章后面各节内容的基础，也是本章的重点和难点之一．因此这部分内容在教材中起承前启后作用．
(教师用书独具)
●新课导入建议
为了发现简谐运动的特征，演示弹簧振子的来回运动，单摆摆球来回摆动，小木块在水槽中上下运动，引导学生观察、分析、思考这些运动的特征，进而引出机械运动的概念．指导学生阅读课本上介绍的做机械振动的物体，然后请学生列举生活中看到的其他机械振动的例子(如荡秋千，钟摆，喇叭的振动等)，并让学生做使刻度尺振动的小实验，来加深对机械振动的理解．
●教学流程设计
???步骤3：师生互动完成“探究1”(除例1外可再变换命题角度，补充一个例题以拓展学生思路)
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???
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?步骤9：先由学生自己总结本节的主要知识，教师点评，安排学生课下完成【课后知能检测】
课 标 解 读
重 点 难 点
1.了解什么是机械振动.
2.理解平衡位置、回复力、位移、简谐运动的概念.
3.掌握简谐运动、回复力的特征以及回复力、加速度、速度随位移变化的规律.
1.简谐运动、回复力、平衡位置、位移的概念．(重点)
2.简谐运动中回复力、加速度、速度、动能随位移变化的规律．(难点)
什么是机械振动
1.基本知识
(1)定义
物体在平衡位置附近做往复运动，叫做机械振动，简称为振动．
(2)平衡位置：振动物体所受回复力为零的位置．
(3)回复力
①方向：总是指向平衡位置．
②作用效果：总是要把振动物体拉回到平衡位置．
③来源：回复力是根据力的作用效果命名的力．可能是几个力的合力，也可能是由某一个力或某一个力的分力来提供．
2．思考判断
(1)机械振动是匀变速直线运动．(×)
(2)机械振动是非匀变速直线运动．(×)
(3)机械振动是物体在平衡位置附近所做的往复运动．(√)
3．探究交流
回复力与向心力有什么异同？
【提示】 做圆周运动的物体需要向心力，向心力是根据力的作用效果命名的，它是由物体所受到的在径向的合力提供的；回复力也是根据力的作用效果命名的，由物体所受到的振动方向上的合力提供．
弹簧振子的振动
1.基本知识
(1)弹簧振子
弹簧振子是一种理想模型，其主要组成部分是一个质量可以忽略不计的弹簧和一个质量为m的物体构成．可分为水平方向的弹簧振子和竖直方向的弹簧振子两种类型．
(2)简谐运动
①定义：物体所受回复力的大小跟位移大小成正比，并且总是指向平衡位置，则物体的运动叫做简谐运动．
②特征
a．受力特征：回复力满足F＝－kx，其中k为比例系数，负号表示力与位移的方向相反，x为物体偏离平衡位置的位移．
b．运动特征：加速度满足a＝－x，即做简谐运动的物体加速度的大小与位移的大小成正比，方向与位移方向相反．
(3)两种弹簧振子
分类
项目
水平方向的
弹簧振子
竖直方向的
弹簧振子
装置图
回复力
的来源
弹簧弹力
弹簧弹力与重力的合力
回复力F回
表达式
F回＝－kx
F回＝－kl
加速度a
表达式
a＝＝－x
a＝＝－l
表达式中
k的意义
k是弹簧的劲度系数
k是弹簧的劲度系数
表达式中x
或l的意义
x是振子偏离平衡位置的位移
l是振子偏离平衡位置的位移
负号的意义
表示力与位移的方向相反
表示力与位移的方向相反
2.思考判断
(1)F＝－kx反映做简谐运动的物体受到的回复力与位移的关系．所以式中的F指的是回复力，同时也一定是弹簧的弹力．(×)
(2)在(1)中x是偏离平衡位置的位移，同时也一定是弹簧的形变量．(×)
(3)回复力的方向总是与位移的方向是相反的．(√)
3．探究交流
做简谐运动的物体经过平衡位置时，回复力为零吗？合外力为零吗？
【提示】 回复力的方向总是指向平衡位置，回复力为零的位置就是平衡位置(沿圆弧振动时，物体经平衡位置时回复力为零，但合力不为零)．
对弹簧振子的理解及过程分析
【问题导思】
1．弹簧振子其理想模型特点是什么？
2．简谐运动中相关物理量的变化规律怎样？
1．弹簧振子的理解
对弹簧振子是一种理想模型，应满足以下条件：
(1)质量：弹簧质量比小球质量小得多，可以认为质量只集中于振子(小球)上．
(2)体积：弹簧振子中与弹簧相连的小球的体积要足够小，可以认为小球是一个质点．
(3)阻力：在振子振动过程中，忽略弹簧与小球受到的各种阻力．
(4)振子从平衡位置拉开的最大位移在弹簧的弹性限度内．
判定一个实际系统能否看成弹簧振子，应从以上四个方面去权衡，缺一不可．
小球的简谐运动
图1－1－1
2．对简谐运动的运动过程进行分析
如图1－1－1所示，主要从以下几个方面入手：
(1)振动中的位移x都是以平衡位置为起点的，因此位移方向就是从平衡位置指向小球运动的末位置，大小就是这两位置间的距离，两个“端点”位移最大，在平衡位置位移为零．所谓平衡位置就是振动物体所受回复力为零的位置．
(2)加速度a的变化与F回的变化是一致的，在两个“端点”最大，在平衡位置为零，方向总指向平衡位置．
(3)速度大小v与加速度a的变化恰好相反，在两个“端点”为零，在平衡位置最大，除两个“端点”外任何一个位置的速度方向都有两种可能．
(4)动能大小与速度大小对应，在两“端点”为零，在平衡位置最大．
(5)势能大小与动能恰好相反，在两“端点”最大，在平衡位置为零．
3．简谐运动中相关量的变化规律
(1)变化规律：当物体做简谐运动时，它偏离平衡位置的位移x、回复力F、加速度a、速度v、动能Ek、势能Ep及振动能量E，遵循一定的变化规律，可列表如下：
物理量
过程
x
F
a
v
Ek
Ep
E
远离平衡位置运动
增大
增大
增大
减小
减小
增大
不变
最大位移处
最大
最大
最大
零
零
最大
不变
靠近平衡位置运动
减小
减小
减小
增大
增大
减小
不变
平衡位置
零
零
零
最大
最大
最小
不变
(2)两个转折点
①平衡位置是速度大小、位移方向、回复力方向和加速度方向变化的转折点；
②最大位移处是速度方向变化的转折点．
(3)一个守恒：简谐运动过程中动能和势能之间相互转化，但总的能量守恒．
1．简谐运动的位移都是相对于平衡位置的位移．这与一般运动中的位移不同，一般运动中的位移都是由初位置指向末位置．
2．简谐运动中的位移、速度和加速度是彼此独立的物理量，在同一位置，位移和加速度的方向是一定的，而速度方向却有两种可能(两个“端点”除外)．
(2013·龙岩高二检测)关于简谐运动的位移、速度和加速度，下列说法中正确的是( )
A．物体的位移减小时，速度减小，加速度变小
B．物体离开平衡位置的位移方向总是与加速度方向相反，与速度方向相同
C．物体向平衡位置运动时，速度方向与位移方向相同
D．物体离开平衡位置运动时，速度方向与位移方向相同
【审题指导】 解答此类问题可以结合最简单的水平弹簧振子的振动示意图，按照下列顺序判断：
???
【解析】 对于简谐运动的位移、回复力、加速度、速度这四个物理量来说，回复力、加速度的大小与位移大小成正比，方向相反，速度大小的变化与这三者变化的步调相反，即速度增大时，位移、回复力、加速度减小，速度方向可以与位移、回复力、加速度方向相同，也可相反，故D正确．
【答案】 D
本节最容易忽略的地方在于对位移的判断，由于前面运动学中的位移总是以物体出发点作为参考点，而本章中物体的位移参考点为平衡位置，可巧记为“平衡位置就是家，位移总是相对它．”
1．(多选)关于振动物体的平衡位置，下列说法正确的是( )
A．是加速度改变方向的位置
B．回复力为零的位置
C．速度最大的位置
D．加速度最大的位置
【解析】 振动物体在平衡位置回复力为零，而合外力不一定为零，在该位置加速度改变方向，速度达最大值．
【答案】 ABC
如何判断物体是否做简谐运动
【问题导思】
1．如何确定平衡位置？
2．判断物体做简谐运动的主要步骤有哪些？
找出回复力与位移的关系，若满足F＝－kx的规律，就可判定此振动为简谐运动，判断步骤如下：
1．物体静止时的位置即为平衡位置，找出平衡位置，并规定正方向．
2．在振动过程中任选一位置(平衡位置除外)，对物体进行受力分析．
3．对力沿振动方向进行分解，并求出振动方向上的合外力．
4．判定振动方向上的合外力与位移的关系是否符合F＝－kx即可．
两根质量均可不计的弹簧，劲度系数均为k0.它们与一个质量为m的小球组成的弹簧振子，两弹簧处于自由状态，如图1－1－2所示．试证明弹簧振子做的运动是简谐运动．
图1－1－2
【审题指导】 根据简谐运动回复力与位移的关系可证明其运动是否为简谐运动．
【解析】 如图所示，以平衡位置O为原点建立坐标轴，当振子离开平衡位置时，两根弹簧发生形变而使振子受到指向平衡位置的合力．设振子沿x正方向发生位移x，则物体受到合力为F＝F1＋F2＝－k0x－k0x＝－2k0x＝－kx，所以振子做的运动是简谐运动．
【答案】 见解析
做简谐运动的物体，其回复力特点为：F＝－kx，这是判断物体是否做简谐运动的依据．但k不一定等于弹簧的劲度系数．
2．关于简谐运动下列说法正确的是( )
A．简谐运动一定是水平方向的运动
B．所有的振动都可以看做是简谐运动
C．物体做简谐运动时一定可以得到正弦曲线形的轨迹线
D．只要满足a＝－，物体一定做简谐运动
【解析】 物体做简谐运动并不一定只在水平方向发生，各个方向都有可能发生，A错．简谐运动是最简单的振动，B错．简谐运动的轨迹线并不是正弦曲线，C错．
【答案】 D
综合解题方略——对简谐运动对
称性的理解
弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v(v≠0)相同，那么，下列说法正确的是( )
A．振子在M、N两点受力相同
B．振子在M、N两点相对平衡位置的位移相同
C．振子在M、N两点加速度大小相等
D．从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动
【审题指导】 解答此类问题时应掌握以下两点：
(1)位移、速度、加速度和回复力都是矢量，它们要相同，必须大小相等、方向相同．
(2)回复力是变力，大小、方向发生变化，加速度也随之发生变化．
【规范解答】 建立弹簧振子模型如图所示．
因位移、速度、加速度和回复力都是矢量，它们要相同，必须大小相等、方向相同．M、N两点关于O点对称，振子受力应大小相等、方向相反，振子位移也是大小相等、方向相反．由此可知，A、B选项错误．振子在M、N两点的加速度虽然方向相反，但大小相等，故C选项正确．振子由M到O速度越来越大，但加速度越来越小，振子做加速运动，但不是匀加速运动．振子由O到N速度越来越小，但加速度越来越大，振子做减速运动，但不是匀减速运动，故D选项错误．
【答案】 C
各物理量的对称性
简谐运动是物体在平衡位置附近所做的往复性运动．因此它具有往复性的特点(也可认为，做简谐运动的物体每隔一定时间将重复原先的运动，具有周期性的特点)．它又是以平衡位置为中心的振动，因此又具有对称性的特点．如图所示，物体在A与B之间运动，O点为平衡位置，任取关于O点对称的C、D两点，则有：
1．时间的对称
tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tCO＝tOC，tDB＝tBD＝tAC＝tCA.
2．速率的对称
(1)物体连续两次经过同一点(非最大位移的点)(如图中的D点)的速度大小相等，方向相反．
(2)物体经过关于O点对称的两点(非最大位移的点)(如图中的C与D两点)的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反．
3．动能的对称
(1)物体连续两次经过同一点(如图中的D点)的动能相等．
(2)物体经过关于O点对称的两点(如图中的C与D两点)的动能相等．
4．位移、回复力、加速度的对称
(1)物体连续两次经过同一点(如图中的D点)的位移、回复力、加速度大小相等，方向相同．
(2)物体经过关于O点对称的两点(如图中的C与D两点)的位移、回复力、加速度大小相等，方向相反．
【注意】 关于平衡位置对称的两点，弹性势能或重力势能并不一定相等，即某种形式的势能并不一定具有对称性．
【备课资源】(教师用书独具)
有益的振动
生活中，一切物体都会受到振动的影响，人体本身也不例外，振动是环境污染的因素之一．很多事例表明，在持续振动的环境如颠簸的机床、汽车或试验台上工作时间过久，人的机体会受到许多损害——体质下降、四肢酸痛并出现睡眠障碍、头疼甚至痉挛，这些都是振动带来的症状．
但是有的时候，振动不仅对人体没有害处，而且还有益处．科学家们研究“人—振动声场—技术对象”这个系统的过程中，发现人体自身不但能够吸收振动和噪声，而且具有把振动聚集并反射出去的能力．借助记录和分析肌肉组织的振动声学性质的系统装置发现，肌肉组织的振动声学性质会随机体的状况而改变．研究人员用这种灵敏的仪器，在病人和健康人身上测到的肌肉紧张度是不同的．例如，当末梢神经受到损伤时，四肢的固有频率降低；腿的固有频率从32 Hz下降到16 Hz，手臂从72 Hz减少到52 Hz.
通过测量肌肉组织固有振动频率和噪声特征来判定其病症的方法，有可能成为一种新的医疗诊断手段．将来可以借助它来判定整个机体及某些部位的健康状况，例如研究心肌和声带的功能或神经过程的动态特征等．
振动还能帮助人们消除疲劳．立陶宛的工程师和医务人员制造了一个振动台：用一个宽大沉重的大板，固定在几个特制的弹簧减震器上．它能按照医生的指令进行振动．振动台振动的频率一般控制在100～150 Hz.人只要在这个台子上站几分钟，就会感到精神振奋，浑身有劲．由于过度疲劳而增高的血压会很快趋向正常．利用振动帮助人们消除疲劳，关键是准确地选择振动频率并正确地规定振动作用的强度和持续的时间．
还有一种结构巧妙的装置，叫做振动床．可以减轻支气管哮喘等病人的痛苦．病人躺在振动床上，胸廓接受10～12 min、频率30～45 Hz的振动作用，只需要几个疗程，一般就能使肺部净化，并使病情得到显著的改善．
如果由于烫伤、肿瘤或者其他原因造成食管狭窄，往往采用机械方法来扩张，叫做探条扩张术．用振动的原理可以使这种方法得到改进．应用振动探条扩张技术，把机械的作用力同振动相结合，能够有效地改善食道的畅通性，即使医生便于操作，又使病人减少痛苦．
压电陶瓷振动电动机也在生物学和医学上得到了应用．它能够特别精确地调节旋转频率和速度．这种电动机没有一般电动机那样的传动环节，因此结构很紧凑．以高频振动驱动装置为基础，研制出的一些高度精确的控制器，能够在显微镜下移动研究，每次100 nm.这种控制器能够对一个活的细胞进行操作，把它转向各个方向．若把这种振动控制器同电子计算机相连接，还能够把研究的准确性提高好多倍，完全能满足分子生物学和其他学科研究对精度的要求．
科学家还应用振动的原理研究了一种精确的计量喷液器．它能够准确而均匀地调节细散物质的数量．这种装置可用于调节小气候，保持一定的环境湿度；可用于试验性的气栽法(在空气介质中培育植物的无土栽培法)培育植物；还可以在医学上用于严格控制投药量．
1．(多选)关于机械振动的位移和平衡位置，以下说法中正确的是( )
A．平衡位置是指物体受回复力为零的位置
B．机械振动的位移总是以平衡位置为起点的位移
C．机械振动的物体运动的路程越大，发生的位移也越大
D．机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移
【解析】 平衡位置是物体静止时的位置，也即物体在振动过程中所受回复力为零的位置，所以A正确；位移是以平衡位置为初始点，到质点所在位置的有向线段，位移随时间而变，振子偏离平衡位置最远时，振动物体振动位移最大．所以选项B正确．
【答案】 AB
2．(多选)关于回复力，下列说法正确的是( )
A．回复力是指物体离开平衡位置时受到的指向平衡位置的力
B．回复力是按力的作用效果命名的，它可能由弹力提供的，也可能由摩擦力提供
C．回复力可能是某几个力的合力，也可能是某一个力的分力
D．振动物体在平衡位置时，其所受合力为零
【解析】 由回复力定义可知选项A正确．由图甲知，物体A和B整体的回复力由弹簧弹力提供，物体A的回复力由摩擦力提供．由图乙知，物体在最低点时，所受合力不为零，合力提供向心力，但回复力为零，所以选项A、B、C正确．
甲 乙
【答案】 ABC
3．简谐运动是下列哪种运动( )
A．匀速运动
B．匀加速运动
C．匀减速运动
D．加速度做周期性变化的运动
【解析】 由简谐运动的特征可知D项正确．
【答案】 D
图1－1－3
4．(2013·昌江检测)如图1－1－3所示，对做简谐运动的弹簧振子m的受力分析，下列正确的是( )
A．重力、支持力、弹簧的弹力
B．重力、支持力、弹簧的弹力、回复力
C．重力、支持力、回复力、摩擦力
D．重力、支持力、摩擦力
【解析】 回复力是振子沿振动方向的合力，是效果力而
不是物体实际受到的力，B、C错误；弹簧振子做简谐运动，不受摩擦力，D错误．
【答案】 A
5．当简谐运动的位移减小时( )
A．加速度减小，速度也减小
B．加速度减小，速度却增大
C．加速度增大，速度也增大
D．加速度增大，速度却减小
【解析】 由a＝－x知x减小，a减小，a与v同向，速度增加，B项正确．
【答案】 B
1．简谐运动是( )
A．匀变速运动 B．匀速直线运动
C．非匀变速运动 D．匀加速直线运动
【解析】 做简谐运动的物体所受回复力为F＝－kx，加速度为a＝－x，a随x的变化而变化，故是非匀变速运动，C正确，A、B、D错误．
【答案】 C
2．下列说法中正确的是( )
A．弹簧振子的运动是简谐运动
B．简谐运动就是指弹簧振子的运动
C．简谐运动是匀变速运动
D．简谐运动是机械运动中最简单、最基本的一种
【解析】 弹簧振子的运动是简谐运动，但简谐运动有许多种，故A对，B错；简谐运动中物体受到的回复力是变力，所以简谐运动是非匀变速运动，故C错；简谐运动是机械振动中最基本、最简单的一种，故D错．
【答案】 A
3．(多选)(2013·西安检测)有一弹簧振子做简谐运动，则( )
A．加速度最大时，速度最大
B．速度最大时，位移最大
C．位移最大时，回复力最大
D．回复力最大时，加速度最大
【解析】 振子加速度最大时，在最大位移处，此时振子的速度为零，由F＝－kx知道，此时振子所受回复力最大，所以A错，C、D正确；振子速度最大时，是经过平衡位置时，此时位移为零，所以B错．
【答案】 CD
4．下列振动是简谐运动的有( )
A．手拍乒乓球的运动
B．弹簧的下端悬挂一个钢球，上端固定组成的振动系统
C．摇摆的树枝
D．从高处下落到光滑水泥地面上的小钢球的运动
【解析】 手拍乒乓球，球原来静止的位置为平衡位置，球向上和向下运动过程中受重力，球在到达地面时发生形变，球下移，故乒乓球的运动为机械振动，但不满足F＝－kx，不是简谐运动，A错；B为弹簧振子，为简谐运动，B对；C中树枝摇摆，受树的弹力，但弹力的变化不满足F＝－kx，C错；D既不是机械振动，也不是简谐运动，D错．
【答案】 B
5．(2013·文昌检测)弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置移动的过程中( )
A．振子所受的回复力逐渐增大
B．振子的位移逐渐增大
C．振子的速度逐渐减小
D．振子的加速度逐渐减小
【解析】 振子的位移指由平衡位置指向振动物体所在位置的位移，因而向平衡位置运动时位移逐渐减小．而回复力与位移成正比，故回复力也减小．由牛顿第二定律a＝F/m得，加速度也减小．物体向平衡位置运动时，回复力与速度方向一致，故物体的速度逐渐增大．
【答案】 D
图1－1－4
6．(多选)如图1－1－4所示为一弹簧振子，O为平衡位置，设向右为正方向，振子在B、C之间振动时( )
A．B→O位移为负，速度为正
B．O→C位移为正，加速度为负
C．C→O位移为负，加速度为正
D．O→B位移为负，速度为负
【解析】 B→O时，振子在O点的左侧向右运动，其位移是负值，速度是正值，故A对．O→C时，振子在O点的右侧向右运动，其位移和速度都是正值，而加速度指向左侧，是负值，故B对．C→O时，振子在O点的右侧向左运动，其位移是正值，加速度指向左侧，是负值，故C错．O→B时，振子在O点的左侧向左运动，其位移是负值，速度是负值，故D对．
【答案】 ABD
7．做简谐运动的质点，先后连续经过同一点时，下列哪些物理量是不同的( )
A．速度 B．加速度
C．回复力 D．动能
【解析】 简谐运动的质点先后连续经过同一点时，其速度大小相等、方向相反，故速度不同，动能相同，故A正确，D错误．同一点对平衡位置的位移相同，因而回复力相同，加速度相同．故B、C错误．
【答案】 A
8．如图所示，能正确地反映简谐运动的物体所受回复力与位移关系的图象是( )
【解析】 简谐运动的物体所受回复力与位移的关系满足F＝－kx，所以图B正确．
【答案】 B
图1－1－5
9．如图1－1－5所示，一个做简谐运动的质点，先后以同样的速度通过相距10 cm的A、B两点，历时0.5 s，过B点后再经过t＝0.5 s，质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点，则质点从离开O点到再次回到O点历时(O点为AB的中点)( )
A．0.5 s B．1.0 s
C．2.0 s D．4.0 s
【解析】 由简谐运动的对称性可知B项正确．
【答案】 B
图1－1－6
10．(2013·福州师大附中检测)如图1－1－6所示，在光滑的水平桌面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k.开始时，振子被拉到平衡位置O的右侧A处，此时拉力大小为F，然后轻轻释放振子，振子从初速度为零的状态开始向左运动，经过时间t后第一次到达平衡位置O处，此时振子的速度为v，则在这个过程中振子的平均速度为( )
A．0 B.
C. D．Fkt
【解析】 振子在由A到O的运动过程中做加速度越来越小的加速运动，并非匀变速运动，设A到O的位移大小为x，由胡克定律可得x＝，又由平均速度v＝得v＝.故正确答案为C.
【答案】 C
11．如图1－1－7，小球套在光滑的水平杆上，与弹簧组成弹簧振子，O为平衡位置，小球在O附近的AB间做简谐运动，设向右为正方向，则：
图1－1－7
(1)速度由正变负的位置在________点．
(2)位移为负向最大的位置在________点．
【解析】 (1)最大位移处是小球改变运动方向的位置，因此速度由正变负的位置在A点．
(2)位移最大的位置在B点和A点，由于题干中设向右为正方向，故位移为负向最大的位置在B点．
【答案】 (1)A (2)B
图1－1－8
12．如图1－1－8所示，小球从竖直在地面上的轻弹簧的正上方某处自由下落，接触弹簧后与弹簧连为一体，并将弹簧压缩，全过程中弹簧为弹性形变．试比较弹簧压缩时最大加速度am和重力加速度g的大小关系．
【解析】 小球和弹簧接触后做简谐运动．如图所示，点C为弹簧处于原长状态时的端点的位置；小球的重力与弹簧的弹力的大小相等的位置B为平衡位置；点A为弹簧被压缩至最低点的位置(也就是小球振动的最大位移处)；点A′是与A对称的位置(也是最大位移处)．由对称性可知，小球在点A与在点A′的加速度的大小相等，设为am；小球在点C的加速度为g.由图可看出点C在点A′和点B之间，故am＞g.
【答案】 am＞g
第2节振动的描述
(教师用书独具)
●课标要求
知识与技能
1.知道什么是振幅、周期和频率．知道周期和频率的关系.
2.知道什么是振动物体的固有周期和固有频率.
3.知道简谐运动图象的物理含义．知道简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线.
4.知道简谐运动的公式表示x＝Asinωt.了解相位的概念．
过程与方法
在利用函数描述简谐运动x＝Asinωt时体会掌握数理结合的思想方法．
情感态度与价值观
提高学生观察、分析，实验能力和动手能力，感悟实验是研究物理科学的重要基础.
●课标解读
1．知道什么是振动的振幅、周期和频率．
2．理解周期与频率的关系．
3．理解固有周期、固有频率的意义，知道固有周期与固有频率是物体本身的属性．
4．知道简谐运动的图象是一条正弦(或余弦)曲线，理解图象的物理意义及图象信息．
5．能用公式描述简谐运动的特征．
●教学地位
本节内容是进一步认识简谐运动的基础课，为后面电磁振荡等知识的学习打下基础．运用图象描述物体的振动的思想方法是本书的重点．为波动图象的学习起到了很好的借鉴作用．
(教师用书独具)
●新课导入建议
观察弹簧振子的运动，可知振子在一定范围内运动，说明振子离开平衡位置的距离在一定范围内，进而引出振幅的概念．观察两个劲度系数相差较大的弹簧振子，比较两个振子的周期和频率，引出本节课的教学内容．
●教学流程设计
???步骤3：师生互动完成“探究1”(除例1外可再变换命题角度，补充一个例题以拓展学生思路)
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?步骤9：先由学生自己总结本节的主要知识，教师点评，安排学生课下完成【课后知能检测】
课 标 解 读
重 点 难 点
1.知道什么是振幅、周期、频率，理解固有周期和固有频率，知道周期和频率的关系.
2.掌握简谐运动的位移－时间图象，了解图象在实际生活中的应用.
3.知道简谐运动的公式表示x＝Asinωt，知道其中各符号的含义及相关关系.
4.了解相位、初相和相位差的概念．
1.振幅、周期和频率的物理意义．(重点)
2.振动的图象．(重点)
3.对简谐运动表达式的理解．(难点)
振动特征的描述
1.基本知识
(1)振幅(A)
①定义：振动物体离开平衡位置的最大距离．
②物理意义：表示振动幅度大小或振动强弱的物理量，是标量．
(2)周期(T)和频率(f)
①全振动：振子以相同的速度相继两次通过同一位置所经历的过程．
②周期：做简谐运动的物体，完成一次全振动所经历的时间．
③频率：振动物体在1 s内完成全振动的次数．
④固有周期(或固有频率)：物体在自由状态下的振动周期(或频率)，叫做固有周期(或固有频率)．
⑤物理意义：周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示物体振动越快，周期与频率的关系是T＝．
2．思考判断
(1)物体离开平衡位置的最大距离叫振幅．(√)
(2)振幅随时间做周期性变化．(×)
(3)物体两次通过平衡位置的时间叫做周期．(×)
3．探究交流
连续两次通过同一位置的过程一定是一个全振动吗？
【提示】 连续两次通过同一位置的过程，不一定为一个全振动，必须是连续两次以相同的速度经过同一位置的过程．
简谐运动的图象描述
1.基本知识
(1)坐标系的建立
以横轴表示做简谐运动的物体运动的时间，纵轴表示做简谐运动的物体运动过程中相对平衡位置的位移．
(2)图象的特点
一条正弦(或余弦)曲线．
(3)图象意义
表示做简谐运动的物体在任意时刻相对于平衡位置的位移．
(4)图象信息
如图1－2－1所示，从图象上可知周期和振幅．还可知道任一时刻的位移大小和方向，借助图象信息，还可以判断不同时刻的加速度和速度的方向和大小关系．
图1－2－1
(5)简谐运动的公式表达
简谐运动的一般表达式为x＝Asint＝Asin ωt.
①x表示振动质点相对于平衡位置的位移，t表示振动时间．
②A表示简谐运动的振幅．
③ω叫做简谐运动的角速度(或圆频率)，表示简谐运动的快慢，ω＝＝2πf.
2．思考判断
(1)简谐运动图象反映了物体在不同时刻相对平衡位置的位移．(√)
(2)振动位移的方向总是背离平衡位置．(√)
(3)x＝Asinωt中的A为振幅是矢量．(×)
3．探究交流
简谐运动的图象是振动物体的运动轨迹吗？
【提示】 图象描述的是振动质点的位移随时间的变化规律，并不是质点运动的轨迹．
对描述简谐运动物理量的理解
【问题导思】
1．如何理解一次全振动？
2．振幅与能量、位移、路程、周期有何关系？
1．对全振动的理解
(1)振动特征：一个完整的振动过程．
(2)物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)等各物理量第一次同时与初始状态相同．
(3)时间特征：历时一个周期．
(4)路程特征：振幅的4倍．
(5)相位特征：增加2π.
2．振幅和振动系统的能量关系
对一个确定的振动系统来说，系统能量仅由振幅决定，振幅越大，振动系统能量越大．
3．振幅与位移的关系
振动中的位移是矢量，振幅是标量，在数值上，振幅与某一时刻位移的大小可能相等，但同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化．
4．振幅与路程的关系
振动中的路程是标量，是随时间不断增大的，其中常用的定量关系是
(1)一个周期内的路程为4倍的振幅；
(2)半个周期内的路程为2倍的振幅；
(3)若从特殊位置开始计时，如平衡位置、最大位移处，周期内的路程等于1倍的振幅；
(4)若从一般位置开始计时，周期内路程与振幅之间没有确定关系，路程可能大于、等于或小于振幅．
5．振幅与周期的关系
在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关．
弹簧振子从距平衡位置5 cm处由静止释放，4 s内完成5次全振动，则这个弹簧振子的振幅为________cm，振动周期为________s，频率为________Hz，4 s末振子的位移大小为________cm，4 s内振子运动的路程为________cm；若其他条件都不变，只是使振子改为在距平衡位置2.5 cm处由静止释放，则振子的周期为________s.
【审题指导】 本题是考查对周期、振幅和位移的理解，要注意周期与振幅无关，位移与振幅的区别，路程与振幅的关系．
【解析】 根据题意，振子从距平衡位置5 cm处由静止开始释放，说明弹簧振子在振动过程中离开平衡位置的最大距离是5 cm，即振幅为5 cm，由题设条件可知，振子在4 s内完成5次全振动，则完成一次全振动的时间为0.8 s，即T＝0.8 s；又因为f＝，可得频率为1.25 Hz.4 s内完成5次全振动，也就是说振子又回到原来的初始点，因而振子的位移大小为5 cm，振子一次全振动的路程为20 cm，所以5次全振动的路程为100 cm.周期与振幅大小无关，所以从距平衡位置2.5 cm处由静止释放，不会改变周期的大小，仍为0.8 s.
【答案】 5 0.8 1.25 5 100 0.8
求振动物体在一段时间内通过路程的依据是：
1．振动物体在一个周期内的路程一定为四个振幅，则在n个周期内路程必为n·4A.
2．振动物体在半个周期内的路程一定为两个振幅．
3．振动物体在T/4内的路程可能等于一个振幅，可能小于一个振幅，还可能大于一个振幅．只有当T/4的初始时刻振动物体在平衡位置或最大位移处时，T/4内的路程才等于一个振幅．
1．下列说法正确的是( )
A．物体完成一次全振动，通过的位移是4个振幅
B．物体在个周期内通过的路程是个振幅
C．物体在1个周期内通过的路程是4个振幅
D．物体在个周期内通过的路程是3个振幅
【解析】 物体完成一次全振动，回到初始位置，故一次全振动位移为零，而振幅为4A，而半个周期内通过的路程为2A，但周期内通过的路程可能等于一个振幅，也可能小于一个振幅，还可能大于一个振幅，故只有C正确．
【答案】 C
对简谐运动图象(x－t图象)的理解
【问题导思】
1．如何在x－t图象上确定A、T(f)?
2．如何比较振动质点任意时刻的位移、加速度(回复力)、速度？
1．理解好图象与振动质点的实际振动过程的对应关系
简谐运动的图象不是振动质点的轨迹．做简谐运动质点的轨迹是质点(如弹簧振子)往复运动的那一段线段．这种往复运动的位移图象就是以x轴上纵坐标的数值表示质点相对平衡位置的位移，以t轴上横坐标的数值表示各个时刻，这样在x-t坐标系内，可以找到各个时刻对应质点位移坐标的点，即位移随时间分布的情况——振动图象．
2．图象的识别(如图1－2－2所示)
图1－2－2
(1)由图象可以直接读取振幅A和周期T，可以求出频率f.
(2)比较质点任意时刻的位移大小和方向
比较质点任意时刻位移的大小只比较质点离开平衡位置距离的大小即可，也可比较图象中纵坐标值的大小，方向由坐标值的正负判断或质点相对平衡位置的方向．图中，t1时刻质点的位移比t2时刻质点的位移大，t1时刻位移方向为正，t2时刻位移方向为负．
(3)比较质点任意时刻加速度(回复力)的大小和方向
由于加速度(回复力)的大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反．所以，图中t1时刻质点的加速度(回复力)比t2时刻质点的加速度(回复力)大，t1时刻加速度(回复力)方向为负，t2时刻加速度(回复力)方向为正．
(4)比较质点任意时刻的速度大小和方向
x-t图象的斜率表示该时刻的速度，斜率的绝对值为速度的大小 ，斜率的正负为速度的方向．所以，图中t1时刻质点的速度比t2时刻质点的速度小，t1时刻速度方向为负，t2时刻速度方向也为负．
(5)判断任意时间内质点的位移、加速度(回复力)、速度的变化情况
从(2)～(4)中各量的判断技巧可知，图中t1～t2时间内，位移开始为正且减小，后为负且增加；加速度(回复力)开始为负且减小，后为正且增加；速度一直为负且先增加后减小．也可以根据位移变化即是靠近还是远离平衡位置来判断：图中t1～t2时间内位移减小时，则靠近平衡位置．加速度(回复力)减小，速度增加；位移增加时，则远离平衡位置，加速度(回复力)增加，速度减小．
(多选)(2013·济南高二检测)弹簧振子做简谐运动的振动图象如图1－2－3所示，则( )
图1－2－3
A．t＝0时，质点位移为零，速度为零，加速度为零
B．t＝1 s时，质点位移最大，速度为零，加速度最大
C．t1和t2时刻振子具有相同的速度
D．t3和t4时刻振子具有相同的加速度
【审题指导】 由图象可以直接读取振幅A和周期T，根据某时刻质点所处的位置判定哪个物理量最大或最小．
【解析】 t＝0时刻，振子位于平衡位置O，位移为零，加速度为零，但速度为最大值，选项A错误；t＝1 s时，振子位于正向最大位移处，位移最大，加速度最大，而速度为零，选项B正确；t1和t2时刻振子位于正向同一位置，t1时刻是经此点向正方向运动，t2时刻回到此点向负方向运动，两时刻速度大小相等，但方向相反，所以速度不相同，选项C错误；t3和t4时刻振子位移相同，即处在同一位置，因此有大小相等、方向相同的加速度，选项D正确．
【答案】 BD
简谐运动图象问题的分析方法
解此类题时，首先要理解x-t图象的意义，其次要把x-t图象与质点的实际振动过程联系起来．再充分利用图象的直观性，把图象与振动过程联系起来，图象上的一个点表示振动中的一个状态(位置、振动方向等)，图象上的一段对应振动的一个过程，关键是判断好平衡位置、最大位移及振动方向．
2．如图1－2－4所示是某质点做简谐运动的振动图象，根据图象中的信息，回答下列问题：
图1－2－4
(1)质点离开平衡位置的最大距离有多大？
(2)在1.5 s和2.5 s两个时刻，质点分别向哪个方向运动？
(3)质点在第2秒末的位移是多少？在前4秒内的路程是多少？
【解析】 由图象提供的信息，结合质点的振动过程可知：
(1)质点离开平衡位置的最大距离就是振幅的大小，为10 cm.
(2)t＝1.5 s时和t＝2.5 s时，质点都向负方向运动.1.5 s时向着O点运动，2.5 s时远离O点运动．
(3)质点在2秒末处在平衡位置，因此位移为零，质点在前4秒内完成一个周期性运动．其路程为10×4 cm＝40 cm.
【答案】 (1)10 cm (2)都向负方向运动 (3)0 40 cm
综合解题方略——简谐运动的对
称性和周期性
一弹簧振子做简谐运动，周期为T，则正确的说法是( )
A．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍
B．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动速度大小相等、方向相同，则Δt一定等于的整数倍
C．若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动的加速度一定相等
D．若Δt＝，则在t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度一定相等
【审题指导】 解答此类问题应注意以下三点：
(1)做简谐运动的物体，经过一个周期，其速度、位移、加速度、回复力等都恢复原来的数值和方向．
(2)经过半个周期，一些物理量大小恢复原来的数值，但方向可能相反．
(3)如果不从平衡位置或端点处开始，则一些物理量恢复原值未必需要半个或一个周期．
【规范解答】 做简谐运动时，振子由平衡位置到最大位移，再由最大位移回到平衡位置，两次经过同一点时，它们的位移大小相等、方向相同，其时间间隔并不等于周期的整数倍，所以A选项错误．当振子沿同一方向经过关于平衡位置对称的两位置时，其速度的大小、方向均一样，所以B选项错误．根据简谐运动的对称性知，C选项正确．当振子先后出现在两个端点时，恰相隔半个周期，而弹簧的长度不等，所以D选项错误．
【答案】 C
简谐运动的对称性和周期性
1．对称性
(1)空间的对称性
经过平衡位置两侧的对称点时位移的大小相等，方向相反；速度的大小相等，方向有时相同，有时相反．
(2)时间的对称性
不论是从对称点回到平衡位置，还是从平衡位置运动到对称点，所用时间都相等．
2．周期性
做简谐运动的物体，每隔一段时间总重复前面的运动，也就是说其运动具有周期性．不同的简谐运动，其周期一般是不同的．根据简谐运动的周期性可作出判断：
(1)若t2－t1＝nT，则t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同．
(2)若t2－t1＝nT＋T，则t1、t2两时刻振动物体所处的位置关于平衡位置对称，描述运动的物理量(x、F、a)大小相等，方向相反．
(3)若t2－t1＝nT＋T或t2－t1＝nT＋T，则当t1时刻物体到达最大位移处时，t2时刻物体到达平衡位置；当t1时刻物体在平衡位置时，t2时刻物体到达最大位移处；若t1时刻物体在其他位置，t2时刻物体到达何处就要视具体情况而定．
【备课资源】(教师用书独具)
相位的实际应用
在物理学中，相位的概念是反映交流信号任何时刻状态的物理量．交流信号的大小和方向是随时间变化的．
音响系统中常遇到关于相位的问题．通常，音响中的相位是对声场中量感变化相对而言的，于是便有了同相与反相对音响系统的影响问题．例如：两个频率相同的音频信号从功放输出，如果一条音箱线反相，那么这个相位的差叫做相位差，或者叫做相差．在物理学中，这两者的相位差正好等于180°，这种情况叫做反相位，或者叫做反相．
在工程中，我们也会常遇到关于相位的问题：
(1)首先是音响系统的电源相位．如果设备电源不同相，虽然不会影响音箱单元的相位，但相位的差异，会对整个系统的效果带来一些干扰；也有可能会因为相位差异过大引起设备的损坏．
(2)扩声音箱相位．同频率的音频信号从功放输出，假若一对音箱中有一只接反相，那么这对音箱因为相位差，扩声后的低频信号明显偏弱，影响整个扩音系统的调试与整体效果．
(3)音源拾音部分，话筒同样存在相位，如果有多枝话筒同时使用，有一枝话筒反相，会导致整个拾音产生拾音不平衡感，拾音话筒接近者，会相互抵消信号．可以做个试验，同相位的两枝动圈话筒，将其成180°相对进行拾音，会明显感受到音压偏低，甚至无信号输出．
(4)功放同样存在相位的问题，好在其输出端子使用四芯插口，比较容易理解正负极；香蕉型输出插口也有明显的红黑两个端口供辨认．但当功放使用桥接以后，注意信号输入控制(通常为A通道)的红端为正极，另一输入控制(通常为B通道)的红端为负极．
(5)档次高点的调音台，一般设有相位转换开关．假若在使用同相位的拾音话筒时，不小心将其中一个通道的转换开关按下，导致的后果不言而喻．
图1－2－5
1．(多选)如图1－2－5所示，弹簧振子以O为平衡位置，在BC间做简谐运动，则( )
A．从B→O→C→O→B为一次全振动
B．从O→B→O→C→B为一次全振动
C．从C→O→B→O→C为一次全振动
D．OB的大小不一定等于OC
【解析】 O为平衡位置，B、C为两侧最远点，则从B起始经O→C→O→B的路程为振幅的4倍，即A对；若从O起始经B→O→C→B路程为振幅的5倍，则B错；若从C起始经O→B→O→C路程为振幅的4倍，即C对；因弹簧振子的系统摩擦不计，所以D错．
【答案】 AC
2．(多选)(2013·海口检测)下列关于简谐运动周期、频率、振幅的说法正确的是( )
A．振幅是矢量，方向是从平衡位置指向最大位移处
B．周期和频率的乘积是一个常数
C．振幅增大，周期也增大，而频率减小
D．做简谐运动的物体的频率是固定的，与振幅无关
【解析】 振幅是个标量，故A错；周期和频率互为倒数，其乘积是1，故B对；简谐运动的周期与振幅无关，故C错，D对．
【答案】 BD
3．(2012·北京高考)一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点．从某时刻开始计时，经过四分之一的周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度．能正确反映振子位移x与时间t关系的图象是( )
【解析】 根据F＝－kx及牛顿第二定律得a＝＝－x，当振子具有沿x轴正方向的最大加速度时，具有沿x轴负方向的最大位移，故选项A正确，选项B、C、D错误．
【答案】 A
4．如图1－2－6表示某质点简谐运动的图象，则振动的振幅是________ cm，0～4 s内质点通过的路程是________cm，t＝6 s时质点的位移是________cm.
图1－2－6
【解析】 由题图可知，振幅为4 cm，它的周期为8 s，故在4 s内通过了两个振幅的路程为8 cm.在t＝6 s时，质点正处于负向的最大位移处，故其位移是－4 cm.
【答案】 4 8 －4
1．有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为( )
A．1∶1 1∶1 B．1∶1 1∶2
C．1∶4 1∶4 D．1∶2 1∶2
【解析】 弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1∶2.而对同一振动系统，其周期与振幅无关，则周期之比为1∶1.
【答案】 B
2．(2013·海口高二检测)如图1－2－7所示，弹簧振子在BC间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm，若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法正确的是( )
图1－2－7
A．振子从B经O到C完成一次全振动
B．振动周期是1 s，振幅是10 cm
C．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm
D．从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm
【解析】 振子从B到C经历半个周期，故T＝2 s，而A＝5 cm，故选项D正确．
【答案】 D
图1－2－8
3．(2012·重庆高考)装有砂粒的试管竖直静浮于水面，如图1－2－8所示，将试管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动．若取竖直向上为正方向，则以下描述试管振动的图象中可能正确的是( )
【解析】 试管在竖直方向上做简谐运动，平衡位置是在重力与浮力相等的位置，开始时向上提起的距离，就是其偏离平衡位置的位移，为正向最大位移，因此应选D.
【答案】 D
4．(多选)一质点做简谐运动，其振动图象如图1－2－9所示，在0.2 ～0.3 s这段时间内质点的运动情况是( )
图1－2－9
A．沿x负方向运动，速度不断增大
B．沿x负方向运动，位移不断增大
C．沿x正方向运动，速度不断增大
D．沿x正方向运动，位移不断减小
【解析】 由图知质点正从负的最大位移向平衡位置运动，位移不断减小，速度正逐渐增加．
【答案】 CD
5．一弹簧振子的周期为2 s，从振子通过平衡位置向右运动起，经过1.85 s时，其运动情况是( )
A．向右减速 B．向右加速
C．向左减速 D．向左加速
【解析】 经过1.85 s，振子处于T至T内，它正在平衡位置的左侧向平衡位置处运动，所以振子是向右加速．
【答案】 B
6．在水平方向上做简谐运动的质点，其振动图象如图1－2－10所示．假设向右的方向为正方向，则物体加速度向右且速度向右的时间段是( )
图1－2－10
A．0 s至1 s内 B．1 s至2 s内
C．2 s至3 s内 D．3 s至4 s内
【解析】 质点从负的最大位移向平衡位置运动时物体加速度和速度都向右．
【答案】 D
7．(2013·福州一中检测)一质点做简谐运动的图象如图1－2－11所示，下列说法正确的是( )
图1－2－11
A．质点振动的频率是4 Hz
B．在10 s内质点经过的路程是20 cm
C．第4 s末质点的速度为零
D．在t＝1 s和t＝3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相同
【解析】 根据振动图象可知：该简谐运动周期T＝4 s，所以频率f＝＝0.25 Hz，A错；10 s内质点通过路程s＝×4A＝10A＝10×2 cm＝20 cm，B正确；第4 s末质点经过平衡位置，速度最大，C错；在t＝1 s和t＝3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相反，D错．
【答案】 B
8．(多选)已知物体A、B做简谐运动．物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sin(100t＋) m，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sin(100t＋) m．比较A、B的运动( )
A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m
B．周期是标量，A、B周期相等为100 s
C．A振动的频率fA等于B振动的频率fB
D．A的相位始终超前B的相位
【解析】 振幅是标量，A、B的振动范围分别是6 m、10 m，但振幅分别为3 m、5 m，A错；A、B振动的周期T＝＝ s＝6.28×10－2 s，B错；因为TA＝TB，故fA＝fB，C对；Δφ＝φAO－φBO＝，D对．
【答案】 CD
9．(多选)如图1－2－12所示为质点P在0～4 s内的振动图象，下列叙述正确的是( )
图1－2－12
A．再过1 s，该质点的位移是正的最大
B．再过1 s，该质点的速度沿正方向
C．再过1 s，该质点的加速度沿正方向
D．再过1 s，该质点加速度最大
【解析】 将图象顺延续画增加1 s，质点应在正最大位移处，故A、D正确．
【答案】 AD
10．(2013·武汉高二检测)如图1－2－13所示，图(甲)为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图(乙)为该弹簧振子的振动图象，由图可知下列说法中正确的是( )
图1－2－13
A．在t＝0.2 s时，弹簧振子可能运动到B位置
B．在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子的速度相同
C．从t＝0到t＝0.2 s的时间内，弹簧振子的动能持续的增加
D．在t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，弹簧振子的加速度相同
【解析】 t＝0.2 s时，振子的位移为正向最大位移，但由于没有规定正方向，所以此时振子的位置可能在A点也可能在B点，A正确．t＝0.1 s时速度为正，t＝0.3 s时速度为负，两者方向相反，B错．从t＝0到t＝0.2 s的时间内，弹簧振子远离平衡位置，速度减小，动能减小，C错．t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，位移大小相等，方向相反，故加速度大小相等，方向相反，D错．
【答案】 A
11．质点沿x轴做简谐运动，平衡位置为坐标原点O.质点经过a点和b点时速度相同，由a点运动到b点需0.2 s；质点由b点再次回到a点最短需要0.4 s．则该点做简谐运动的频率为( )
A．1 Hz B．1.25 Hz
C．2 Hz D．2.5 Hz
【解析】 由题意知a、b两点关于O点对称．由tab＝0.2 s，tba＝0.4 s知质点经过b点后还要继续向最大位移处运动，直到最大位移处，然后再回来经b到a.则质点由b到最大位移处再回到b所用时间为0.2 s，则＝tab＋(tba－tab)，解得质点做简谐运动的周期T＝0.8 s，频率f＝1/T＝1.25 Hz.
【答案】 B
12．某物体做简谐运动，其位移与时间的变化关系式为x＝10sin 5πt cm，由此可知：
(1)物体的振幅为多少？
(2)物体振动的频率为多少？
(3)在t＝0.1 s时，物体的位移是多少？
【解析】 将本题中表达式x＝10sin 5πt cm与简谐运动的表达式x＝Asin(ωt＋φ)对应项比较，可得：
(1)振幅A＝10 cm.
(2)振动频率f＝＝ Hz＝2.5 Hz.
(3)t＝0.1 s时位移
x＝10sin(5π×0.1)cm＝10 cm.
【答案】 (1)10 cm (2)2.5 Hz (3)10 cm
第3节单 摆
(教师用书独具)
●课标要求
知识与技能
1.能使学生从理想化的角度去理解单摆的结构.
2.从力的作用效果的观点去分析回复力，并能用近似法来表达回复力F＝－x
3.通过猜想和实验，培养探究物理问题的能力．能利用T＝2π解释常见的涉及单摆的现象．学会用g＝l测重力加速度．
过程与方法
1.通过单摆的学习，学会用理想化的方法建立物理模型.
2.通过单摆做简谐运动的条件，学会用近似法处理物理问题.
情感态度与价值观
通过介绍科学家的情况，激发学生钻研知识，探索科学的兴趣，鼓励学生勇于创新.
●课标解读
1．知道什么是单摆，知道单摆是一种理想化的模型，学会用理想化的方法建立物理模型．
2．理解单摆振动的回复力来源，理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动．
3．知道单摆的周期与什么有关，掌握单摆振动的周期公式，并能进行有关的计算．
4．知道研究单摆的振动周期时采用的科学探究方法．
5．能够利用单摆来测定重力加速度．
●教学地位
单摆作为一个机械振动的具体实例，为巩固理解简谐运动的规律及其特点起了重要的作用．单摆作为生活中抽象出的物理模型，与日常生活、生产实践、科学研究有密切联系．是高中物理振动的核心内容．既是本章教学重点．又是高考的热点．
(教师用书独具)
●新课导入建议
播放一个摆钟的视频引入新课．学生看后并列举生活中与之类似的运动(秋千)．学生总结其运动规律．教师在实验桌上摆出铁架台、细线和钢球组成的一个简单的单摆装置，引导学生认识什么是单摆．
●教学流程设计
???步骤3：师生互动完成“探究1”(除例1外可再变换命题角度，补充一个例题以拓展学生思路)
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?步骤9：先由学生自己总结本节的主要知识，教师点评，安排学生课下完成【课后知能检测】
课 标 解 读
重 点 难 点
1.理解单摆振动的特点和单摆做简谐运动的条件.
2.了解影响单摆周期的因素，掌握单摆周期的公式.
3.能利用T＝2π解释常见的涉及单摆的现象．学会用g＝测重力加速度．
1.单摆的周期公式及其应用．(重点)
2.单摆回复力的分析．(重点)
3.用近似法证明在偏角很小的条件下单摆的振动是简谐运动．(难点)
单摆的运动
1.基本知识
(1)单摆模型
把一根细线上端固定，下端拴一个小球，线的质量和球的大小可以忽略不计，这种装置叫做单摆．
(2)单摆的回复力
①回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力．
②回复力的特点：在偏角很小时(通常θ<5°)，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x.
(3)运动规律
单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图象遵循正弦函数规律．
2．思考判断
(1)单摆模型中对细线的要求是细线的伸缩可忽略，质量可忽略．(√)
(2)单摆模型中对小球的要求是密度较大，其直径与线的长度相比可忽略．(√)
(3)单摆模型中对摆角的要求是小于5°.(√)
3．探究交流
单摆做简谐运动的回复力是摆球所受重力与悬线对摆球的拉力的合力提供的吗？
【提示】 单摆做简谐运动的回复力是摆球所受重力在圆弧切线方向上的分力．
单摆的周期及应用
1.基本知识
(1)实验探究
①探究方法：控制变量法．
②实验结论：
a．单摆振动的周期与摆球质量无关．
b．摆长越长，周期越大；摆长越短，周期越小．
(2)周期公式
①公式：T＝2π．
②单摆的等时性：单摆的周期与振幅无关．
(3)利用单摆测定重力加速度
①由T＝2π得g＝．可见，只要测出单摆的摆长和周期，就可测出当地的重力加速度．
②单摆的摆长是从悬点到摆球球心的距离．
③单摆的周期要用秒表测量多次全振动的总时间、求平均值．
2．思考判断
(1)摆长越长，摆球质量越大，周期越长(×)
(2)摆动幅度越大，周期越长．(×)
(3)根据T＝2π得g＝故要测当地的重力加速度，只需测摆长和周期．(√)
图1－3－1
3．探究交流
如图1－3－1所示，某同学家的摆钟走慢了，他认为是摆锤过轻造成的，因此，他在摆锤下方紧挨摆锤绑了一金属块．你认为他做的正确吗？
【提示】 这样做只能使摆钟走得更慢．其实摆钟走得快慢与摆锤的轻重无关，因为单摆的周期公式是：T＝2π.他绑了金属块之后，反而使摆锤的重心下移，增大了摆长，使周期进一步增加，而走得更慢．
单摆做简谐运动的条件
【问题导思】
1．如何确定单摆运动的回复力？
2．如何证明单摆的运动是简谐运动？
图1－3－2
判断单摆是否做简谐运动，可分析摆球的受力情况，看回复力是否符合F＝－kx的特点，如图1－3－2所示．
1．在任意位置P，有向线段为此时的位移x，重力G沿圆弧切线方向的分力G1＝Gsin θ提供摆球以O点为中心做往复运动的回复力．
2．在摆角很小时，sin θ≈θ＝，G1＝Gsin θ＝x，G1方向与摆球位移方向相反，所以回复力表示为F回＝－G1＝－，令k＝，则F回＝－kx.因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动．(摆角一般不超过5°)
3．单摆做简谐运动的规律
单摆做简谐运动的位移随时间变化的图象是一条正弦(或余弦)曲线．
回复力、加速度、速度、动能、势能都随时间做周期性变化，其变化规律与弹簧振子相同．例如，当摆球到达最低点(平衡位置)时，位移、回复力、水平加速度都等于零，而速度、动能都最大，而到达最高点(最大位移处)时，位移、回复力都最大，速度、动能都等于零．
1．单摆振动的回复力为摆球重力沿圆弧切线方向的分力，回复力不是摆球所受的合外力．
2．摆球经过平衡位置时，回复力为零，沿圆弧切线方向的加速度为零，但合外力和向心加速度都不等于零．
3．单摆的摆动不一定都是简谐运动，只有单摆做小角度(摆角小于5°)摆动时才认为是简谐运动．
关于单摆，下列说法中正确的是( )
A．摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置
B．摆球受到的回复力是它的合力
C．摆球经过平衡位置时，所受的合力为零
D．摆角很小时，摆球受的合力的大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比
【审题指导】
―→―→
【解析】 单摆的回复力不是它的合力，而是重力沿圆弧切线方向的分力；当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球还有向心力，方向指向悬点(即指向圆心)；另外摆球所受的合力与位移大小不成正比．
【答案】 A
单摆中的“回复力”
1．单摆振动中的回复力不是它受到的合外力，而是重力沿圆弧切线方向的一个分力．单摆振动过程中，有向心力，这是与弹簧振子不同之处．
2．在最大位移处时，因速度为零，所以向心力为零，故此时合外力也就是回复力．
3．在平衡位置处时，由于速度不为零，故向心力也不为零，即此时回复力为零，但合外力不为零．
1．关于单摆摆球在运动过程中的受力情况，下列结论正确的是( )
A．摆球受重力、摆线的张力、回复力、向心力作用
B．摆球受的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大
C．摆球受的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大
D．摆球受的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向
【解析】 单摆在运动过程中，摆球受重力和绳的拉力，故A错；重力垂直于绳的分力提供回复力．当回复力最大时，摆球在最大位移处，速度为零，向心力为零，则拉力小于重力，在平衡位置处，回复力为零，速度最大，向心力最大，摆球的加速度方向沿绳指向悬点，故C、D错，B对．
【答案】 B
影响单摆周期的因素
【问题导思】
1．如何确定单摆的摆长？
2．如何确定单摆系统中的等效重力加速度？
1．摆长
(1)实际单摆的摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度，即L＝l＋，其中，l为细线长，d为摆球直径．
(2)等效摆长：摆长是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离．
例如图1－3－3中，甲、乙做垂直于纸面的小角度摆动．
甲 乙
图1－3－3
甲的等效摆长：L甲＝lsin α＋
乙的等效摆长：L乙＝lsin α＋l＋
2．重力加速度
周期与重力加速度有关，重力加速度越大，周期越短．
说明：影响g的主要因素
(1)单摆所处的空间位置
地球表面附近的物体一般有＝mg，即g＝，可见，g随单摆高度的变化而变化．在越高的地方，离地心越远，g越小，周期越长．在不同星球上，M和R一般不同，g也不同．因此公式中的g不一定等于9.8 m/s2.
(2)系统的运动状态
如果单摆处在向上加速的系统中，摆球将处于超重状态，设向上的加速度为a，则系统中的等效重力加速度g′＝g＋a，但单摆如果在轨道上正常运行的航天舱内，摆球将完全失重，等效重力加速度g′＝0，单摆的周期无穷大，即单摆不摆动．
(3)单摆所处的场景
如图1－3－4所示，单摆的周期T＝ 2π .即此场景中的等效重力加速度g′＝gsin θ.
图1－3－4
等效重力加速度g′由单摆系统的运动状态和单摆所在的物理环境决定，一般情况下等效重力加速度g′等于摆球静止在平衡位置时摆线的张力(视重)与摆球质量的比值．
图1－3－5
一个单摆的长为l，在其悬点O的正下方0.19l处有一钉子P(如图1－3－5所示)，现将摆球向左拉开到A，使摆线偏角θ＜5°，放手后使其摆动，求出单摆的振动周期．
【审题指导】 解答本题时可以按以下思路分析：
【解析】 释放后摆球到达右边最高点B处，由机械能守恒可知B和A等高，则摆球始终做简谐运动．摆球做简谐运动的摆长有所变化，它的周期为两个不同单摆的半周期的和．
小球在左边的周期为T1＝2π
小球在右边的周期为T2＝2π
则整个单摆的周期为
T＝＋＝π＋π ＝1.9π.
【答案】 1.9π
求单摆周期的方法
1．明确单摆的运动过程，看是否符合简谐运动的条件．
2．在运用T＝2π时，要注意l和g是否发生变化，
如果发生变化，则分别求出不同l和g时的运动时间．
3．改变单摆振动周期的途径是：
(1)改变单摆的摆长．
(2)改变单摆的重力加速度(如改变单摆的位置或让单摆失重或超重)．
4．明确单摆振动周期与单摆的质量和振幅没有任何关系．
2．如图1－3－6所示，MN为半径较大的光滑圆弧轨道的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一小球B放在MN上离最低点C很近的B处，今使两球同时自由释放，则在不计空气阻力时有( )
图1－3－6
A．A球先到达C点
B．B球先到达C点
C．两球同时到达C点
D．无法确定哪一个球先到达C点
【解析】 A做自由落体运动，到C所需时间tA＝，R为圆弧轨道的半径．
因为圆弧轨道的半径R很大，B球离最低点C又很近，所以B球在轨道给它的支持力和重力的作用下沿圆弧作简谐运动(等同于摆长为R的单摆)，则运动到最低点C所用的时间是单摆振动周期的，即tB＝＝ ＞tA，所以A球先到达C点．
【答案】 A
实验：利用单摆测重力加速度
1.实验原理
由单摆周期公式T＝2π，得g＝，只要测出单摆的摆长l和振动周期T，就可以计算出当地的重力加速度．
2．实验步骤
(1)做单摆：将线的一端穿过小球的小孔，并打一比孔大的结．然后把线的上端用铁夹固定于铁架台上，在平衡位置处做上标记．如图1－3－7所示．
图1－3－7
(2)测摆长：用毫米刻度尺测出摆线长度l线，用游标卡尺测量出摆球的直径d，则单摆的摆长l＝l线＋.
(3)测周期：将单摆从平衡位置拉开一个小于5°的角，然后释放摆球，当单摆振动稳定后，过平衡位置时开始用秒表计时，测量N次(一般取30～50次)全振动的时间t，则周期T＝.
(4)改变摆长，重复实验多次．
3．数据处理
(1)公式法：将每次实验得到的l、T代入g＝计算重力加速度，然后求平均值．
(2)图象法：作出T2－l图象，由函数T2＝l，可知T2－l图象为一条过原点的倾斜直线，其斜率k＝，即重力加速度g＝.
4．注意事项
(1)实验时，摆线长度要远大于摆球直径，且摆线无明显伸缩性，另外摆球要选取密度大且质量分布均匀的钢球．
(2)单摆摆球应在竖直平面内摆动，且摆角应小于5°.
(3)测摆长l时，应为悬点到球重心的距离，球质量分布均匀时等于摆线长加上小球半径．
(4)应从摆球经过平衡位置时开始计时，以摆球从同一方向通过平衡位置时计数．
(5)适当增加测量的全振动次数，以减小测量周期的误差，一般30～50次即可．
5．误差分析
(1)系统误差：如悬点不固定、摆线不符合要求、振动不在竖直平面内、振幅过大等．
(2)偶然误差：如周期测量不是从平衡位置开始计时的、测量全振动次数过少、测量摆长时漏记摆球半径等．
根据单摆周期公式T＝2π，可以通过实验测量当地的重力加速度．如图1－3－8所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆．
图1－3－8 图1－3－9
(1)用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图1－3－9所示，读数为________mm.
(2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有________．
a．摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些
b．摆球尽量选择质量大些、体积小些的
c．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度
d．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔Δt即为单摆周期T
e．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝
【解析】 (1)按照游标卡尺的读数原则得小钢球直径为18 mm＋6×0.1 mm＝18.6 mm.
(2)单摆的构成条件：细线质量要小，弹性要小；球要选体积小，密度大的；偏角不超过5°.故a、b正确，c错误．为了减小测量误差，要从摆球摆过平衡位置时计时，且需测量多次全振动所用时间，然后计算出一次全振动所用的时间．故d错误，e正确．
【答案】 (1)18.6 (2)abe
3．用单摆测定重力加速度，以下正确的是( )
A．由g＝看出，T一定时，g与l成正比
B．由g＝看出，l一定时，g与T2成反比
C．由于单摆的振动周期T和摆长l可用实验测定，利用g＝可算出当地的重力加速度
D．同一地区单摆的周期不变，不同地区的重力加速度与周期的平方成反比
【解析】 用单摆测重力加速度的原理是用公式T＝2π，变形得g＝，测出T、L即可求得g.故C项正确．
【答案】 C
【备课资源】(教师用书独具)
伽利略
伽利略1564年2月15日生于比萨，1574年全家迁往佛罗伦萨．父亲芬琴齐奥·伽利莱精通音乐理论和声学，著有《音乐对话》一书．伽利略自幼受父亲的影响，对音乐、诗歌、绘画以及机械兴趣极浓；也像他父亲一样，不迷信权威.17岁时遵从父命入比萨大学学医，可是对医学他感到枯燥无味，而在课外听世交、著名学者O·里奇讲欧几里得几何学和阿基米德静力学，激发出了浓厚兴趣.1583年，伽利略在比萨教堂里注意到一盏悬灯的摆动，随后用线悬铜球做模拟(单摆)实验，确证了微小摆动的等时性以及摆长对周期的影响，由此创制出脉搏计，用来测量短时间间隔．“单摆的周期与摆长的平方根成正比，而与振幅大小和摆锤重量无关．”这个规律的发现为此后的振动理论和机械计时器件的设计方案建立了基础．
惠更斯
惠更斯从实践和理论上研究了钟摆及其理论.1656年他首先将摆引入时钟，制成摆钟，以取代过去的重力齿轮式钟．对摆的研究是惠更斯所完成的最出色的物理学工作．多少世纪以来，时间测量始终是摆在人类面前的一个难题，当时的计时装置诸如日晷、沙漏等均不能在原理上保持精确，直到伽利略发现了摆的等时性，惠更斯将摆运用于计时器，人类才进入一个全新的计时时代．
当时，惠更斯的兴趣集中在对天体的观察上．在实验中，他深刻体会到了精确计时的重要性，因而便致力于精确计时器的研究．当年伽利略曾经证明了单摆运动与物体在光滑斜面上的下滑运动相似，运动的状态与位置有关．惠更斯进一步确定了单摆振动的等时性并把它用于计时器上，制成了世界上第一架计时摆钟．这架摆钟由一些大小、形状不同的齿轮组成，利用重锤做单摆的摆锤，由于摆锤可以调节，计时比较准确．
1．(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是( )
A．摆线质量不计
B．摆线长度不伸缩
C．摆球的直径比摆线长度小得多
D．只要是单摆的运动就是一种简谐运动
【解析】 单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，且摆线不伸缩，A、B、C正确．但把单摆作为简谐运动来处理是有条件的，只有在摆角很小(θ<5°)的情况下才能视单摆运动为简谐运动．
【答案】 ABC
2．下述哪些情况下，单摆的周期会增大( )
A．增大摆球质量
B．缩短摆长
C．减小单摆振幅
D．将单摆由山下移到山顶
【解析】 由单摆的周期公式T＝2π可知，g减小时周期会变大，正确答案为D.
【答案】 D
图1－3－10
3．(2013·贵阳检测)如图1－3－10所示，在两根等长的细线下悬挂一个小球组成了所谓的双线摆，若摆线长为l，两线与竖直方向的夹角均为α，当小球垂直纸面做简谐运动时，周期为( )
A．2π B．2π
C．2π D．2π
【答案】 D
4．(2013·西安检测)一单摆做小角度摆动，其振动图象如图1－3－11所示，以下说法正确的是( )
图1－3－11
A．t1时刻摆球的速度最大，悬线对它的拉力最小
B．t2时刻摆球的速度为零，悬线对它的拉力最小
C．t3时刻摆球的速度为零，悬线对它的拉力最大
D．t4时刻摆球的速度最大，悬线对它的拉力最大
【解析】 在t1时刻，摆球处于最大位移处，速度为零，在t2时刻，摆球处于平衡位置，速度最大，所以A、B选项错误，在t3时刻摆球处于最大位移处，速度为零、拉力最小，在t4时刻，摆球处于平衡位置，速度最大、拉力最大，所以D选项正确．
【答案】 D
1．关于单摆，下列说法正确的是( )
A．摆球运动的回复力是摆线张力和重力的合力
B．摆球经过轨迹上的同一点速度是相同的
C．摆球经过轨迹上的同一点加速度是相同的
D．摆球经过平衡位置时受力是平衡的
【解析】 摆球运动的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，A错．根据简谐运动的对称性可知摆球经过轨迹上的同一点时速度大小相等，方向可能相同，也可能不同．加速度的大小、方向都相同，故B错，C对．摆球经过平衡位置时，回复力为零，合外力不为零，并不平衡，所以D错．
【答案】 C
2．(2011·上海高考)两个相同的单摆静止于平衡位置，使摆球分别以水平初速v1、v2(v1>v2)在竖直平面内做小角度摆动，它们的频率与振幅分别为f1、f2和A1、A2，则( )
A．f1>f2，A1＝A2 B．f1
C．f1＝f2，A1>A2 D．f1＝f2，A1【解析】 单摆的频率由摆长决定，摆长相等，频率相等，所以A、B错误；由机械能守恒，小球在平衡位置的速度越大，其振幅越大，所以C正确，D错误．
【答案】 C
3．两个单摆在相同的时间内，甲摆动45次，乙摆动60次，则( )
A．甲、乙两摆的周期之比为3∶4
B．甲、乙两摆的频率之比为9∶16
C．甲、乙两摆的摆长之比为4∶3
D．甲、乙两摆的摆长之比为16∶9
【解析】 设摆动时间为t，则T甲＝，T乙＝可得＝＝.
＝.又由T＝2π可得＝＝，故选D.
【答案】 D
4．(多选)在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，有人提出以下几点建议，其中对提高测量结果精度有利的是( )
A．适当加长摆线
B．质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较大的
C．单摆偏离平衡位置的角度不能太大
D．当单摆经过平衡位置时开始计时，经过一次全振动后停止计时，用此时间间隔作为单摆振动的周期
【解析】 单摆实验的精确度取决于实验装置的理想化程度及相关物理量的测量精度．适当加长摆线长度有利于把摆球看成质点，在摆角小于5°的条件下，摆球的空间位置变化较大，便于观察，选项A对．摆球体积越大，所受空气阻力越大，对质量相同的摆球其影响越大，选项B错．只有在小角度的情形下，单摆的周期才满足T＝2π，选项C对．本实验采用累积法测量周期，若仅测量一次全振动，由于摆球过平衡位置时速度较大，难以准确记录，且一次全振动的时间太短，偶然误差较大，选项D错．
【答案】 AC
5．(2013·青岛高二检测)一物体在某行星表面受到的万有引力是它在地球表面受到的万有引力的1/4.在地球走得很准的摆钟搬到此行星后，此钟的分针走一整圈所经历的时间是( )
A．1/4 h B．1/2 h
C．2 h D．4 h
【解析】 由题知g星＝g地，由T＝2π知，摆钟搬到行星上后其周期变为地面上周期的2倍，因而此钟的分针走一圈所经历的时间为2 h，故C项正确．
【答案】 C
图1－3－12
6．如图1－3－12所示，光滑槽的半径R远大于小球运动的弧长，今有两个小球(视为质点)同时由静止释放．其中甲球开始离圆槽最低点O较远些，则它们第一次相遇的地点是在( )
A．O点
B．O点偏左
C．O点偏右
D．无法确定，因为两小球的质量关系未知
【解析】 因为槽半径R远大于小球运动的弧长，所以小球的运动可看成单摆模型，由T＝2π知，两球经T在最低点O相遇，选项A正确．
【答案】 A
7．如图1－3－13所示为两个单摆的振动图象，从图象中可以知道它们的( )
图1－3－13
A．摆球质量相等 B．振幅相等
C．摆长相等 D．摆球同时改变速度方向
【解析】 由图象可知，两单摆的周期相等，则摆长相等，无法确定质量关系，故A错，C对．由题图可知振幅不同，且两个摆球不能同时到达最大位移处，即速度方向不能同时改变，故B、D错．
【答案】 C
8．(多选)如图1－3－14所示为甲、乙两单摆的振动图象，则( )
图1－3－14
A．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比为l甲∶l乙＝2∶1
B．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比为l甲∶l乙＝4∶1
C．若甲、乙两单摆的摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两单摆所在星球的重力加速度之比为g甲∶g乙＝4∶1
D．若甲、乙两单摆的摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两单摆所在星球的重力加速度之比为g甲∶g乙＝1∶4
【解析】 由题图可知T甲∶T乙＝2∶1，若两单摆在同一地点，则两摆长之比为l甲∶l乙＝4∶1，故B对，A错；若两单摆的摆长相等，则所在星球的重力加速度之比为g甲∶g乙＝1∶4，故C错，D对．
【答案】 BD
图1－3－15
9．如图1－3－15所示，三根细线于O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为L的两点上，使AOB成直角三角形，∠BAO＝30°，已知线OC长是L，下端C点系着一个小球．下面说法中正确的是( )
A．让小球在纸面内摆动，周期为T＝2π
B．让小球在垂直纸面方向摆动，其周期为T＝2π
C．让小球在纸面内摆动，周期为T＝2π
D．让小球在垂直纸面内摆动，周期为T＝2π
【解析】 让小球在纸面内摆动，在摆角很小时，单摆以O点为悬点，摆长为L，周期为T＝2π.让小球在垂直纸面内摆动，则摆球以OC的延长线与AB交点为中心摆，摆长为L＋cos 30°＝L＋L，周期为T′＝
2π，选项A正确．
【答案】 A
10．(2013·长清高二检测)我国探月的“嫦娥工程”已启动，在不久的将来，我国航天员将登上月球．假如航天员在月球上测得摆长为l的单摆做小振幅振动的周期为T，将月球视为密度均匀、半径为r的球体，则月球的密度为( )
A. B.
C. D.
【解析】 由T＝2π得，g＝，由G＝mg得，
M＝＝·＝，
密度ρ＝＝＝，故B正确．
【答案】 B
11．(2013·莆田高二检测)如图1－3－16甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置．设摆球向右方向运动为正方向．图乙是这个单摆的振动图象．根据图象回答：
图1－3－16
(1)单摆振动的频率是多大？
(2)开始时刻摆球在何位置？
(3)若当地的重力加速度为10 m/s2，试求这个摆的摆长是多少？
【解析】 (1)由乙图知周期T＝0.8 s，
则频率f＝＝1.25 Hz.
(2)由乙图知，0时刻摆球在负向最大位移处，因向右为正方向，所以在B点．
(3)由T＝2π得l＝＝0.16 m.
【答案】 (1)1.25 Hz (2)B点 (3)0.16 m
12．在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g＝________．如果已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图1－3－17(a)所示，那么单摆摆长是________．如果测定了40次全振动的时间如图(b)中秒表所示，那么秒表读数是________s，单摆的摆动周期是________s.
图1－3－17
【解析】 由实验原理和单摆的周期公式T＝2π知g＝.摆球的直径d＝2.00 cm.故摆长l＝88.40 cm－ cm＝87.40 cm.
秒表的读数t＝75.2 s．故单摆的振动周期T＝＝ s＝1.88 s.
【答案】 87.4 0 cm 75.2 s 1.88 s
第4节生活中的振动
(教师用书独具)
●课标要求
知识与技能
1.知道什么是阻尼振动，知道实际的振动过程是阻尼振动，了解阻尼振动的图象.
2.知道什么是受迫振动．理解受迫振动的周期取决于驱动力的周期，而与系统的固有周期无关.
3.知道什么是共振．理解共振产生的条件．知道如何应用有利的共振和如何防止有害的共振．
过程与方法
1.通过实验训练学生的观察能力，归纳总结能力.
2.通过学生列举或解释自然现象中的生活实例．培养学生用物理原理和研究方法解决实际问题的能力.
情感态度与价值观
让学生领略物理现象的奇妙与和谐，发展学生的好奇心与求知欲．体验探究的艰辛与乐趣.
●课标解读
1．知道什么是阻尼振动，理解阻尼振动中能量转化的情况．
2．知道什么是受迫振动，知道受迫振动的振动频率跟固有频率无关，等于其驱动力的频率．
3．知道共振及其发生的条件，了解防止或应用共振的实例．
●教学地位
本节是简谐运动相关知识的拓展和延伸．简谐运动是一个理想化的物理模型．通过此理想化的模型可以研究机械振动，相比之下受迫振动与共振则是常见的振动现象．更为贴近生活．故本节学习的过程对培养学生善于观察与思考的学习习惯有重要的作用．
(教师用书独具)
●新课导入建议
情景引入：介绍桥梁因大风引起的振动而坍塌的视频；声音震碎玻璃杯的视频；船只因海浪引起的振动而侧翻的视频，引导学生初步的猜测和思考引入本节内容．
●教学流程设计
???步骤3：师生互动完成“探究1”(除例1外可再变换命题角度，补充一个例题以拓展学生思路)
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???
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步骤8：先由学生自己总结本节的主要知识，教师点评，安排学生课下完成【课后知能检测】
课 标 解 读
重 点 难 点
1.知道什么是阻尼振动，知道实际的振动过程是阻尼振动，了解阻尼振动的图象.
2.掌握受迫振动的概念，理解受迫振动的振幅与驱动力的频率之间的关系.
3.理解共振的原因，掌握产生共振的条件．知道生活中共振的应用与防止．
1.受迫振动与共振的概念以及产生共振的条件．(重点)
2.受迫振动的周期与哪些因素有关．(难点)
阻尼振动
1.基本知识
(1)阻尼振动
阻尼振动是指振幅逐渐减小的振动．振动系统受到的阻力越大，振幅减小得越快．
(2)阻尼振动产生的原因
振动系统克服摩擦力和其他阻力做了功，系统的机械能不断减小，振幅也不断减小．
(3)阻尼振动的图象
如图1－4－1所示，振幅逐渐减小，最后停止振动．
图1－4－1
(4)实际振动的理想化
当阻力很小时，在不太长的时间内看不出振幅明显减小，可以把它当做简谐运动来处理．
2．思考判断
(1)做阻尼振动的物体因克服摩擦或其他阻力做功，它的机械能逐渐减小．(√)
(2)做阻尼振动的物体其振动频率不变．(√)
图1－4－2
3．探究交流
如图1－4－2所示，将弹簧振子浸在泥浆中，把小球拉开后，再放开，我们发现它只能缓慢地回到平衡位置而不能振动，试说明其原因．
【提示】 在泥浆中，弹簧振子受到阻力大机械能迅速减小，故回到平衡位置而不能振动．
受迫振动与共振
1.基本知识
(1)受迫振动
①驱动力：给振动物体施加的一个周期性的外力．
②受迫振动：在周期性外力作用下的振动．
③受迫振动的周期或频率
物体做受迫振动时，振动稳定后的周期或频率总等于驱动力的周期或频率，与物体的固有周期或固有频率无关．
(2)共振
①条件：驱动力的频率等于物体的固有频率．
②特征：共振时，物体振动的振幅最大．
③共振曲线：如图1－4－3所示．
图1－4－3
(3)共振的应用与防止
①共振的应用
在应用共振时，应使驱动力频率接近或等于振动系统的固有频率，振动将更剧烈．
②共振的防止
在防止共振时，驱动力频率与系统的固有频率相差越大越好．
2．思考判断
(1)做受迫振动的物体其频率由自身决定．(×)
(2)驱动力的频率越大振动物体振幅越大．(×)
(3)共振的条件是驱动力的频率等于物体的固有频率．(√)
3．探究交流
用扁担挑水时，有时桶里的水会荡得厉害，甚至从桶中溅出来，这是为什么？如何避免这一现象的发生？
【提示】 挑水时，由于行走时肩膀的起伏，人通过扁担对水桶作用，使水受到驱动力而做受迫振动，当驱动力的频率接近(或等于)桶里水的固有频率时，水桶里的水就发生共振，所以水会荡得厉害，以至于飞溅出来．为了避免发生这种现象，就要使驱动力的频率尽量远离桶里水的固有频率，解决的办法有改变步频或停止走动片刻，也可以在桶里放些漂浮物，增大阻力，使振动系统克服阻力做功，消耗部分机械能，以减小水的振幅．
几种机械振动的比较
【问题导思】
1．阻尼振动与简谐运动有何区别？
2．自由振动与受迫振动有何区别？
1．阻尼振动与简谐运动的比较
振动类型
比较项目
阻尼振动
简谐运动
产生原因
受到阻力作用
不受阻力作用
振幅
如果没有能量补充，物体的振幅会越来越小
振幅不变
振动能量
有损失
保持不变
振动频率
不变
不变
振动图象
实例
用锤敲锣，由于锣的振动，发出响亮的锣声，但锣声越来越弱，振幅越来越小，属阻尼振动
弹簧振子的振动
2.自由振动、受迫振动和共振的关系
振动类型
项目
自由振动
受迫振动
共振
振动周期或频率
由系统本身性质决定，即固有周期或固有频率
由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱
T驱＝T固或f驱＝f固
振动能量
振动物体的机械能不变
由产生驱动力的物体提供
振动物体取得L的能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆(θ<5°)
机械工作时底座发生的振动
共振筛、声音L的共鸣等
图1－4－4
(2013·南川检测)如图1－4－4所示，在曲轴A上悬挂一个弹簧振子，如果转动把手，曲轴可以带动弹簧振子上下振动．问：
(1)开始时不转动把手，而用手往下拉振子，然后放手让振子上下振动，测得振子在10 s内完成20次全振动，振子做什么振动？其固有周期和固有频率各是多少？若考虑摩擦和空气阻力，振子做什么振动？
(2)在振子正常振动过程中，以转速4 r/s匀速转动把手，振子的振动稳定后，振子做什么运动？其周期是多少？
(3)若要振子振动的振幅最大，把手的转速应多大？
【审题指导】 解决本题应注意以下三点：
(1)理解简谐运动、阻尼振动、受迫振动的概念．
(2)系统做受迫振动的频率等于驱动力的频率．
(3)共振的条件是驱动力的频率等于固有频率．
【解析】 (1)根据题意振子做自由振动
T固＝＝ s＝0.5 s，f固＝＝ Hz＝2 Hz.
由于摩擦力和空气阻力的存在，振子克服摩擦力和阻力做功消耗能量，使其振幅越来越小，故振动为阻尼振动．
(2)振子做受迫振动．由于把手转动的转速为4 r/s，即驱动力频率为f驱＝4 Hz，周期T驱＝0.25 s．弹簧振子振动达稳定状态后，其周期等于驱动力的周期，T＝T驱＝0.25 s.
(3)处于共振状态时，若要弹簧振子的振幅最大，必须使驱动力的频率f驱等于它的固有频率f固，即f驱＝f固＝2 Hz，故把手的转速应为n＝2 r/s.
【答案】 见解析
分析、解决有关共振问题的方法
1．在分析解答有关共振问题时，要抓住产生共振的条件：驱动力的频率等于固有频率时产生共振，此时振动的振幅最大．
2．在解决有关共振的实际问题时，要抽象出受迫振动这一物理模型，弄清驱动力频率和固有频率，然后利用共振的条件进行求解．
(多选)下列说法中正确的是( )
A．某物体做自由振动时，其振动频率与振幅无关
B．某物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关
C．某物体发生共振时的频率就是其自由振动的频率
D．某物体发生共振时的振动就是无阻尼振动
【解析】 物体做自由振动时的频率与振幅无关，而做受迫振动时的频率等于驱动力的频率，发生共振时驱动力的频率等于物体的固有频率．
【答案】 ABC
综合解题方略——共振问题
(多选)如图1－4－5所示是一个单摆做受迫振动时的共振曲线，表示振幅A与驱动力的频率f的关系，下列说法正确的是( )
图1－4－5
A．摆长约为10 cm
B．摆长约为1 m
C．若增大摆长，共振曲线的“峰”将向右移动
D．若增大摆长，共振曲线的“峰”将向左移动
【审题指导】 解决共振问题的关键是抓住共振的条件，即驱动力的频率等于固有频率．
【规范解答】 由单摆做受迫振动时的共振曲线可知，当单摆发生共振时，固有频率等于驱动力的频率，即固有频率为0.5 Hz，因而固有周期为2 s，由单摆的周期公式可知，此单摆的摆长约为1 m，B正确；若增大摆长，周期变长，频率变小，共振曲线的“峰”将向左移动，D正确．
【答案】 BD
1.
理解共振的几个要点
共振曲线：如图所示，以驱动力频率为横坐标，以受迫振动的振幅为纵坐标．它直观地反映了驱动力频率对受迫振动振幅的影响，由图可知，f驱与f固相差越大，振幅A越小；当f驱＝f固时，振幅A最大．
2．只有当受迫振动达到稳定时．其频率才等于驱动力的频率．
3．共振是一种特殊的受迫振动，发生共振时，驱动力方向在整个周期内都与物体运动方向一致．从而任何时间内都做正功，使物体的振幅达到最大值．
【备课资源】(教师用书独具)
频谱治疗仪的作用原理
现在，市面上出现了许多种类的频谱治疗仪产品，大多数是采用远红外波谱作用于人体皮下深层组织，活化组织细胞，增强细胞代谢能力，从而达到防病治病的目的．
近代科学证明，健康的人体组织细胞和非正常的组织细胞具有截然不同的波谱，这为诊断疾病带来了方便．如何进一步利用频谱治疗疾病是摆在科学工作者面前的重大课题．
我们从共振的现象得到了有益的启示，我们可不可以利用现代电子仪器来模仿健康的组织细胞的固有频率，并使其作用在不正常的组织细胞上，通过外界的频率诱导，使其逐步向正常频率靠近？经过不断的实践探索和改进，利用频谱治疗疾病的曙光渐渐明亮起来了．到目前为止，人类已经可以利用频谱治疗很多种疾病了．
利用频谱治疗疾病的关键是首先必须掌握人体各种组织细胞的固有频率．人体组织细胞的种类繁多，频谱范围非常宽，因此有些频谱治疗仪是宽频设计，它的频谱几乎涵盖了所有的人体组织细胞的频率范围，所以这种治疗仪是一种保健型治疗仪，无法精确治疗某种特定的疾病．为了治疗特定的疾病，我们必须做到频率、作用范围、作用时间准确．因此频谱治疗仪的选定是有科学依据的，并不是像有些厂家宣传的那样：频谱治疗仪是包治百病的神机．
到目前为止，频谱治疗的机理还在不断探索中，但我们有理由相信，频谱治疗必将在人类战胜疾病方面占有一定的地位．
1．(多选)(2013·济南检测)如图1－4－6所示是单摆做阻尼振动的振动图线，下列说法中正确的是( )
图1－4－6
A．摆球A时刻的动能等于B时刻的动能
B．摆球A时刻的势能等于B时刻的势能
C．摆球A时刻的机械能等于B时刻的机械能
D．摆球A时刻的机械能大于B时刻的机械能
【解析】 单摆做阻尼振动，因此其机械能不断减小，选项D正确，C错误；由图又看出A、B两时刻单摆的位移相同，即在同一位置，故势能相同，选项B正确；因机械能越来越小，所以动能B处比A处小，选项A错误．
【答案】 BD
2．(多选)下列说法中正确的是( )
A．实际的自由振动必然是阻尼振动
B．在外力作用下的振动?综合检测(一)
第1章 机械振动
(分值：100分 时间：60分钟)
一、选择题(本题包括7小题，每小题6分，共42分，第1－4小题只有一项符合题目要求，第5－7小题有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不选的得0分)
1．做简谐运动的物体，当相对于平衡位置的位移为负值时( )
A．速度一定为正值，加速度一定为负值
B．速度一定为负值，加速度一定为正值
C．速度不一定为正值，加速度一定为正值
D．速度不一定为负值，加速度一定为负值
【解析】 由a＝－x知，位移为负值时，加速度为正值，速度可正可负，C项正确．
【答案】 C
2．甲、乙两单摆在同一地点做简谐运动的图象如图1所示，由图可知( )
图1
A．甲和乙的摆长一定相同
B．甲的摆球质量较小
C．甲和乙偏角一定相同
D．摆到平衡位置时，甲和乙的摆线所受拉力一定相同
【解析】 由单摆的周期公式T＝2π 及图象中T甲＝T乙知，甲和乙的摆长一定相同，A正确；由图象可知甲的振幅大于乙的振幅，但甲、乙两球质量未知，故无法判定两摆的机械能及平衡位置的摆线拉力．
【答案】 A
3．下表记录了某受迫振动的振幅随驱动力频率变化的关系，若该振动系统的固有频率为f固，则( )
驱动力频率/Hz
30
40
50
60
70
80
受迫振动的振幅/cm
10.2
16.8
27.12
28.1
16.5
8.3
A.f固＝60 Hz
B．60 Hz＜f固＜70 Hz
C．50 Hz＜f固＜70 Hz
D．以上三个选项都不对
【解析】 由表中数据可知，当驱动力的频率由50 Hz增大到70 Hz的过程中，受迫振动的振幅先增大后减小，说明振动系统的固有频率f固应为50 Hz＜f固＜70 Hz，C正确．在60 Hz时振幅最大，但是并不一定是受迫振动的最大振幅，从表中不能得到这一结论，所以A不对．
【答案】 C
4．一个做简谐运动的质点，它的振幅是4 cm，频率是2.5 Hz，该质点从平衡位置开始经过2.5 s后，位移的大小和经过的路程分别为( )
A．4 cm，10 cm B．4 cm，100 cm
C．0，24 cm D．0，100 cm
【解析】 频率f＝2.5 Hz，则周期T＝＝0.4 s，Δt＝2.5 s＝(6＋)T，从质点经过平衡位置开始计时，经Δt后位移大小为4 cm，经过的路程为6×4×4 cm＋4 cm＝100 cm.
【答案】 B
5．某质点的简谐运动公式为x＝20 sin(100πt＋) cm，则下列说法正确的是( )
A．该简谐运动的振幅为10 cm
B．该简谐运动的周期为0.02 s
C．该简谐运动的质点从回复力最大处开始运动
D．t＝ s时质点离平衡位置最远
【解析】 由x＝20 sin(100πt＋) cm可知振幅A＝20 cm，ω＝＝100π rad/s.周期T＝ s＝0.02 s，t＝0时，x＝20 sin cm＝20 cm，位移最大，回复力最大，t＝ s时，x＝20 sin(＋) cm＝0质点处在平衡位置，所以B、C对，A、D错．
【答案】 BC
6．(2013·西安高二检测)一弹簧振子做简谐运动，它所受的回复力F随时间t变化的图线为正弦曲线，如图2所示，下列说法错误的是( )
图2
A．在t从0到2 s的时间内，弹簧振子做加速运动
B．在t1＝3 s和t2＝5 s时，弹簧振子的速度大小相等，方向相反
C．在t1＝5 s和t2＝7 s时，弹簧振子的位移大小相等，方向相同
D．在t从0到4 s时间内，t＝2 s时弹簧振子受回复力做功功率最大
【解析】 由于F＝－kx，由F-t图象知，在t从0到2 s时间内，弹簧振子位移变大，离开平衡位置做减速运动，A错；在t1＝3 s和t2＝5 s时，速度大小相等，方向相同，B错；在t1＝5 s和t2＝7 s时位移大小、方向都相同，C对；在t从0到4 s时间内，t＝2 s时弹簧振子回复力最大，速度为零，功率为零，D错．
【答案】 ABD
7．(2013·济宁高二检测)一个质点做简谐运动的图象如图3所示，下列叙述正确的是( )
图3
A．质点振动频率为4 Hz
B．在前10 s内质点经过的路程是20 cm
C．在5 s末，质点速度为零，加速度最大
D．t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点的速度相同，加速度相同
【解析】 质点的振动周期为4 s，频率为0.25 Hz，A错；前10 s为2.5 T，所以路程为10A＝20 cm，B正确；5 s末，质点位移最大，加速度最大，速度为零，C正确；t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻，质点的加速度相同，而速度大小相等、方向相反，D错．
【答案】 BC
二、非选择题(本题共5小题，共58分．按题目要求作答．解答题应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤，只写出最后答案的不能得分．有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位．)
8．(8分)(2013·咸阳高二检测)如图4所示，振子在A、B间运动，A、B间的距离为20 cm.振子振动的振幅为__________ cm，振子的速度最大时的位置是___________，振子加速度最大时的位置是_____．如果振子向右运动从O到B所用时间为0.2s，振子的振动周期是________，振子在B处开始计时，从B→______所经历的运动叫一次全振动，经过的时间叫_______．
图4
【答案】 10 O点 A点和B点 0.8 s O→A→O→B 周期
9．(14分)(1)物理课外小组研究“用单摆测重力加速度”实验，他们依照教材实验直接测量的物理量应为：________、________、________、________，其公式为________．
(2)他们测出不同的摆长(l)所对应的周期(T)，在进行数据处理时：①如果甲同学以摆长(l)为横坐标、周期(T)的平方为纵坐标作出了T2-l图象，若他测得的图象的斜率为k，则测得的重力加速度g＝________．若甲同学测摆长时，忘记测摆球的半径，则他用图象法求得的重力加速度________(选填“偏小”“偏大”或“准确”)．②乙同学根据公式T＝2π得：g＝，并计算重力加速度，若乙同学测摆长时，也忘记了测摆球的半径，则他测得的重力加速度________(选填“偏小”“偏大”或“准确”)．
(3)甲同学测量5种不同摆长下单摆的振动周期，记录结果见下表：
l/m
0.5
0.8
0.9
1.0
1.2
T/s
1.42
1.79
1.90
2.00
2.20
T2/s2
2.02
3.20
3.61
4.00
4.84
以摆长(l)为横坐标、周期(T)的平方为纵坐标，作出了T2-L图象，请你替他在下面的虚线框中作出T2-L图象，利用此图象求出的重力加速度为________．
【答案】 (1)摆线长l 摆球直径d 完成全振动的次数n 完成n次全振动所用时间t g＝
(2) 准确 偏小
(3)9.79 m/s2
10．(12分)如图5表示一质点做简谐运动的图象．
图5
(1)求振幅、周期和频率；
(2)何时速度最大？
(3)t＝2.2 s时，速度方向如何？
【解析】 (1)由题图知，A＝2 cm，T＝2 s，f＝1/T＝0.5 Hz.
(2)质点位移为零时，速度最大，即t＝0，1 s，2 s，3 s，…时，速度值最大．
(3)由图知，t＝2.2 s<2.5 s时，质点速度方向沿＋x方向．
【答案】 见解析
11．(12分)(2013·福建师大附中检测)一水平弹簧振子做简谐运动，其位移和时间关系如图6所示．
图6
(1)在t＝1.5×10－2 s到t′＝2×10－2 s的时间内，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化？
(2)从t＝0到t＝8.5×10－2 s的时间内，质点的路程、位移各为多大？
【解析】 (1)在t＝1.5×10－2 s到2×10－2 s 的时间内，位移、回复力(振动加速度)、势能都增大，速度、动能都减小(机械能不变)．
(2)因振动是变速运动，因此只能利用其周期性求解．即一个周期内通过的路程为4个振幅，本题中Δt＝8.5×10－2 s＝T，所以通过的路程为×4A＝17A＝17×2 cm＝34 cm，经个周期振子回到平衡位置，位移为零．
【答案】 见解析
12．(12分)弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.20 s时，振子速度第一次变为-v；在t＝0.50 s时，振子速度第二次变为-v.
(1)求弹簧振子振动的周期T；
(2)若B、C之间的距离为25 cm，求振子在4.0 s内通过的路程．
【解析】 (1)作示意图如图所示，根据题意，振子从P点出发，沿路径①到达B，再沿路径②回到出发点P，历时0.20 s，由对称性可知tPB＝tBP＝0.10 s；同理，tPO＝tOP′＝×(0.50－0.20) s＝0.15 s，故tBO＝tBP＋tPO＝T/4.所以T＝4×(0.10＋0.15) s＝1.00 s．即周期为1.00 s.
(2)BC＝2A＝25 cm，振幅A＝12.5 cm；因振子1个周期内通过4A的路程，故在4.0 s＝4T内通过的路程s＝4×4A＝200 cm.
【答案】 (1)1.00 s (2)200 cm
