课件58张PPT。教师用书独具演示演示结束元素与集合的相关概念及表示某些对象的全体 每个对象 大写字母A，B，C 小写字母a，b，c 元素与集合的关系a属于集合A a不属于集合A a∈A a?A 常用数集及表示符号RQZN＋或N*N符号实数集有理数集整数集正整数集自然数集名称1．你能将集合A中的元素一一列举出来吗？
【提示】 能.2,4,6,8
2．集合B中的元素满足的条件是什么？
【提示】 x2＋x＋1＝0.
3．如何表示集合C?
【提示】 C＝{奇数}或{x|x＝2n＋1，n∈Z}．元素 属于 有限个 无限个 不含有任何 元素与集合的关系 集合中元素的特性 集合的表示方法 4．已知集合A中只有1，x，x2＋3x三个元素，且－2∈A，求实数x的值．
【解】 ∵－2∈A，
(1)当x＝－2时，x2＋3x＝－2，不满足集合中元素的互异性．
(2)当x2＋3x＝－2时，可解得x＝－1或x＝－2(舍)．
综上可知，实数x的值为－1.课时作业（一）课件44张PPT。教师用书独具演示演示结束子集与Venn图任何一个元素 a∈A则a∈B 包含于 包含 A?B B?A 子集 A?A 内部 加入文本 任何一个 任何一个 A＝B 真子集 【问题导思】
对于集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．
1．集合A是集合B的子集吗？
【提示】 是．
2．集合B是集合A的子集吗？
【提示】 不是．
3．集合A与集合B相等吗？
【提示】 不相等．A?B A≠B 子集 ??A A?C 子集、真子集的概念 集合相等 已知集合间的关系求参数的取值范围 2．(2013·聊城高一检测)若M＝{x|x＞－1}，N＝{x|x＞0}，则( )
A．M?N B．N?M C．M＝N D．M∈N
【解析】 结合数轴可知N?M.
【答案】 B3．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B?A，则实数m＝________.
【解析】 ∵B?A，
∴元素3,4必为A中元素，
∴m＝4.
【答案】 4课时作业（二）课件51张PPT。教师用书独具演示演示结束交集 既属于集合A又属于集合B A∩B x∈A且x∈B B∩A ? ? A ? 并集属于集合A或属于集合B A∪B A∪B B∪A ? ? A A 集合的交集、并集运算 已知两集合的交集、并集求参数 交集、并集性质的应用 课时作业（三）课件48张PPT。教师用书独具演示演示结束所有不属于A的元素 ?UA {x|x∈U，且x?A} ? U A U ? 补集运算 交、并、补的综合运算 根据补集运算求参数 课时作业（四）第一章 集 合
§1集合的含义与表示
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．
(2)知道常用数集及其专用记号．
(3)了解集合中元素的确定性、互异性、无序性．
(4)会用集合语言表示有关数学对象．
(5)培养学生抽象概括的能力．
2．过程与方法
(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义．
(2)让学生归纳整理本节所学知识．
3．情感、态度与价值观
使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性．
●重点难点
重点：集合的含义与表示方法．
难点：表示法的恰当选择．
针对教材的内容，编排一系列问题，让学生亲历知识发生、发展的过程，积极投入到思维活动中来；通过与学生的互动交流，关注学生的思维发展，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展，收到一定的预期效果；尤其是练习的处理，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，感受“观察——归纳——概括——应用”等环节．在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力，充分发挥了学生的主体作用，也提高了学生主体的合作意识，达到设计中所预想的目标．
(教师用书独具)
●教学建议
集合是学生进入高中学习的第一节课，是学生学好数学所必须掌握好的一个知识点，同时集合是一个不加定义的原始概念，对于学生而言既熟悉又模糊，熟悉是因为学生在初中的数学学习和生活体验中掌握了大量集合的实例，模糊是由于对于集合含义的描述以及集合的数学表示、元素与集合的关系等理解的并不十分到位、准确．同时虽然本节课对于学生而言难度不大，但是其概念多、符号多，容易混淆，需要学生理解记忆．对于一些较简单的内容，应放手让学生多一些探究与合作．随着教育改革的深化，教学理念、教学模式、教学内容等教学因素都在不断更新，作为数学教师要更新教学观念，从学生的全面发展来设计课堂教学，关注学生个性和潜能的发展，使教学过程更加切合《课程标准》的要求．用全新的理论来武装自己，让自己的课堂更有效率．
●教学流程
创设情景，揭示课题，通过接触过的集合，举出部分例子?研探新知，给出集合的概念及集合的表示?质疑答辨，排难解惑，发展思维．思考：集合中元素有什么特点？?完成例1及其变式训练，巩固元素与集合的关系
?通过例2及其变式训练，使学生掌握集合中元素的特性?集合的表示方法各有什么特点？完成例3及变式训练?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识?巩固深化反馈矫正，完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正
课标解读
1.了解集合的含义，体会元素与集合的从属关系．(重点)
2．理解并掌握集合中元素的三个特征．(重点、难点)
3．掌握集合的表示方法及几个常见的数集表示符号．(重点、易混点)
元素与集合的相关概念及表示
【问题导思】
观察下列实例：
(1)2013年1月1日之前，在腾讯微博注册的会员；
(2)平面内到两定点的距离相等的点；
(3)不等式组的整数解；
(4)方程x2－4x＋4＝0的实数根；
(5)我们班经常参加体育锻炼的同学．
上述实例中的研究对象哪些是确定的？
【提示】 (1)(2)(3)(4)的研究对象是确定的．
集
合
元素与集合的关系
【问题导思】
对于本班内所有女同学组成的集合，张三(男)、李四(女)分别与集合存在什么关系？
【提示】 张三不在该集合内，李四在该集合内．
关系
概念
记作
读作
属于
若a在集合A中，就说a属于集合A
a∈A
“a属于A”
不属于
若a不在集合A中，就说a不属于集合A
a?A
“a不属于A”
常用数集及表示符号
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N＋或N*
Z
Q
R
集合的表示方法
【问题导思】
给出下列集合：
(1)小于10的所有正偶数组成的集合A；
(2)方程x2＋2x＋1＝0的根组成的集合为B；
(3)所有奇数组成的集合为C.
1．你能将集合A中的元素一一列举出来吗？
【提示】 能.2,4,6,8
2．集合B中的元素满足的条件是什么？
【提示】 x2＋x＋1＝0.
3．如何表示集合C?
【提示】 C＝{奇数}或{x|x＝2n＋1，n∈Z}．
1．列举法
把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法．
2．描述法
用确定的条件表示某些对象属于一个集合并写在大括号内的方法叫描述法.
集合的分类
1.有限集
含有限个元素的集合．
2．无限集
含无限个元素的集合．
3．空集
不含有任何元素的集合.
元素与集合的关系
下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R；②?Q；③0∈N*；④|－4|?N.
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路探究】 解答本题要先弄清“∈”和“?”的区别与联系及特定的数集符号的含义，再进行判断．
【自主解答】 ∵π是实数，是无理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数，∴①②正确，③④不正确，正确的个数为2.
【答案】 B
1．判断一个元素是否属于某个集合，关键看其是否具有该集合的特征．
2．N＋(N*)与N不同，前者表示正整数集，而后者表示非负整数集．
给出下列关系，其中正确的有____．
①∈Z ②0∈N ③∈N＋ ④3.14∈Q
【解析】 ∵不是整数，∴?Z，故①错；∵0是自然数，∴0∈N，故②正确；∵不是正整数，∴?N＋，故③错，∵3.14是有理数，∴3.14∈Q，故④正确．
【答案】 ②④
集合中元素的特性
已知集合A＝{1,3，a2＋a，a＋1}，若a∈A，求实数a的值．
【思路探究】 根据题中的条件a∈A，可分别列出关于a的方程，然后求出a的值即可，但要注意集合中元素的互异性．
【自主解答】 ∵a∈A，A＝{1,3，a2＋a，a＋1}，
∴a＝1或a＝3或a＝a2＋a.
当a＝1时，a2＋a＝2，a＋1＝2，这与集合中元素互异性矛盾，故舍去，
当a＝3时，a2＋a＝12，a＋1＝4，适合题意；
当a＝a2＋a即a＝0时，a＋1＝1，与集合中元素互异性矛盾，故舍去，
综上所述，所求实数a的值是3.
1．本题中，a是集合A的元素，但不能确定是哪一个元素，故有三种情况．
2．根据集合中元素的确定性可以解出字母的所有可能的值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验．另外，在利用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的运用．
(2013·济南高一检测)已知集合A是由三个元素m，m2＋1,1组成的，且2是A中的一个元素，求m的值．
【解】 ∵2是A中的一个元素，∴m＝2或m2＋1＝2，
即m＝2或m＝±1.
当m＝2时，集合A中的元素为：2,5,1，符合题意．
当m＝1时，集合A中的元素为：1,2,1不满足互异性，舍去．
当m＝－1时，集合A中的元素为：－1,2,1符合题意．
综上知m＝2或m＝－1.
集合的表示方法
用适当的方法表示下列集合．
(1)化简式子＋(x，y为非零实数)所得结果构成的集合；
(2)所有偶数组成的集合；
(3)直角坐标系内第二象限的点组成的集合；
(4)方程(x－1)(x2－5)＝0的根组成的集合．
【思路探究】 根据题目的特点，结合列举法、描述法的适用范围解答本题．
【自主解答】 (1)根据x，y值的符号，两项分别可得1或－1，化简的结果有3种情形，用列举法表示为{0,2，－2}；
(2)偶数的表达式为2k(k∈Z)．由于有无数个元素，用描述法表示为{x|x＝2k，k∈Z}；
(3)代表元素是有序数对(x，y)，用描述法表示为{(x，y)|x<0且y>0}；
(4)方程有3个根，用列举法表示为{－，1，}．
1．当集合中的元素个数较少时往往采用列举法表示．用列举法表示集合时，必须注意以下几点：
(1)元素之间必须用“，”隔开；
(2)集合的元素必须是明确的；
(3)不必考虑元素出现的先后顺序；
(4)集合中的元素不能重复；
(5)集合中的元素可以是任何事物．
2．用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．
给出下列说法：
①在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{(x，y)|xy>0}；
②方程＋|y＋2|＝0的解集为{－2,2}；
③集合{(x，y)|y＝1－x}与{x|y＝1－x}是同一集合．
其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【解析】 在直角坐标平面内，第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的，且集合中的代表元素为点(x，y)，故①正确；
方程＋|y＋2|＝0等价于
即
解为有序实数对(2，－2)，
即解集为{(2，－2)}或{(x，y)|，故②不正确；
集合{(x，y)|y＝1－x}的代表元素是(x，y)，集合{x|y＝1－x}的代表元素是x，一个是实数对，一个是实数，故这两个集合不相同．③不正确．
【答案】 A
忽视元素的特性致误
已知－1∈{m－1,3m，m2－1}，求实数m的值．
【错解】 ∵－1∈{m－1,3m，m2－1}，
∴m－1＝－1或3m＝－1或m2－1＝－1，
即m＝0或m＝－.
【错因分析】 代入后，未对元素进行检验，忽视了元素的互异性．
【防范措施】 1.解答含有字母的元素与集合之间的关系时，要有分类讨论的意识．
2．求解与集合有关的字母参数时，需利用集合元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．
【正解】 ∵－1是集合{m－1,3m，m2－1}中的元素，
∴当m－1＝－1时，m＝0,3m＝0，m2－1＝－1.
此时集合为{－1,0，－1}，不满足集合中元素的互异性．
当3m＝－1时，m＝－，m－1＝－，m2－1＝－.
此时集合为{－，－1，－}，符合题意．
当m2－1＝－1时，m＝0，m－1＝－1,3m＝0.
此时集合为{－1,0，－1}，不满足集合中元素的互异性．
综上可知实数m的值为－.
1．集合在数学中是不加定义的，我们只对它进行描述性说明．集合中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素．
2．在理解集合概念的同时，必须掌握集合元素的确定性、互异性、无序性．
3．集合元素的互异性，是集合的重要属性，实践证明，集合中元素的互异性常常被同学们在解题中忽略，从而导致解题的失误，因此在集合中的元素含有未知数时，求解完后一定要检验．
4．表示集合可以用列举法或描述法，它们各有优点，一般有限集用列举法，无限集用描述法.
1．下面说法错误的是( )
A．所有著名的作家可以组成一个集合
B．方程x2＋2x＋1＝0的解集中只有一个元素
C．已知a≠b，“a、b构成的集合”与“b、a构成的集合”是同一集合
D．如果x与－x是集合中的两个元素，那么x≠0
【解析】 “著名的作家”没有统一的标准，不确定，因而不能构成集合．
【答案】 A
2．下列说法正确的是( )
A．由1,2,2,4构成集合时，该集合共有4个元素
B．由1,2,3和3,2,1分别构成的两个集合不是相等集合
C．若x∈Q，则x∈R
D．对于任给一个元素a，则无法判断a是否是集合A中的元素
【解析】 结合集合中元素的互异性可知A不正确；结合集合中元素的确定性知D不正确；结合集合相等的概念可知B不正确；又∵x∈Q，则x是有理数，∴x是实数，即x∈R，故C正确．
【答案】 C
3．用符号∈或?填空：
(1)－2________N；(2)3.141 59________Q；(3)________Z.
【解析】 －2不是自然数；3.141 59是有理数；是无理数，它不是整数．
【答案】 (1)? (2)∈ (3)?
4．已知集合A中只有1，x，x2＋3x三个元素，且－2∈A，求实数x的值．
【解】 ∵－2∈A，
(1)当x＝－2时，x2＋3x＝－2，不满足集合中元素的互异性．
(2)当x2＋3x＝－2时，可解得x＝－1或x＝－2(舍)．
综上可知，实数x的值为－1.
一、选择题
1．下列各组对象能构成集合的有( )
①美丽的小鸟；②不超过10的非负整数；③立方接近零的正数；④高一年级视力比较好的同学
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】 ①③中“美丽”“接近零”的范畴太广，标准不明确，因此不能构成集合；②中不超过10的非负整数有：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10共十一个数，是确定的，故能够构成集合；④中“比较好”，没有明确的界限，不满足元素的确定性，故不能构成集合．
【答案】 A
2．小于2的自然数集用列举法可以表示为( )
A．{0,1,2} B．{1} C．{0,1} D．{1,2}
【解析】 小于2的自然数为0,1，应选C.
【答案】 C
3．下列各组集合，表示相等集合的是( )
①M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}；②M＝{3,2}，N＝{2,3}；③M＝{(1,2)}，N＝{1,2}．
A．① B．② C．③ D．以上都不对
【解析】 ①中M中表示点(3,2)，N中表示点(2,3)，②中由元素的无序性知是相等集合，③中M表示一个元素：点(1,2)，N中表示两个元素分别为1,2.
【答案】 B
4．集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，则6－a∈A，那么a为( )
A．2 B．2或4 C．4 D．0
【解析】 若a＝2，则6－a＝6－2＝4∈A，符合要求；
若a＝4，则6－a＝6－4＝2∈A，符合要求；
若a＝6，则6－a＝6－6＝0?A，不符合要求．
∴a＝2或a＝4.
【答案】 B
5．(2013·曲靖高一检测)已知集合M中含有3个元素；0，x2，－x，则x满足的条件是( )
A．x≠0 B．x≠－1
C．x≠0且x≠－1 D．x≠0且x≠1
【解析】 由解得x≠0且x≠－1.
【答案】 C
二、填空题
6．用符号“∈”或“?”填空
(1)2________R,2________{x|x＜}；
(2)3________{x|x＝n2＋1，n∈N＋}；
(3)(1,1)________{y|y＝x2}；
(1,1)________{(x，y)|y＝x2}．
【解析】 (1)2∈R，而2＝＞，
∴2?{x|x＜}．
(2)∵n2＋1＝3，
∴n＝±?N＋，
∴3?{x|x＝n2＋1，n∈N＋}．
(3)(1,1)是一个有序实数对，在坐标平面上表示一个点，而{y|y＝x2}表示二次函数函数值构成的集合，
故(1,1)?{y|y＝x2}．
集合{(x，y)|y＝x2}表示抛物线y＝x2上的点构成的集合(点集)，且满足y＝x2，
∴(1,1)∈{(x，y)|y＝x2}．
【答案】 (1)∈ ? (2)? (3)? ∈
7．已知集合C＝{x|∈Z，x∈N*}，用列举法表示C＝________.
【解析】 由题意知3－x＝±1，±2，±3，±6，
∴x＝0，－3,1,2,4,5,6,9.
又∵x∈N*，
∴C＝{1,2,4,5,6,9}．
【答案】 {1,2,4,5,6,9}
8．已知集合A＝{－2,4，x2－x}，若6∈A，则x＝________.
【解析】 由于6∈A，所以x2－x＝6，即x2－x－6＝0，解得x＝－2或x＝3.
【答案】 －2或3
三、解答题
9．选择适当的方法表示下列集合：
(1)绝对值不大于3的整数组成的集合；
(2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解组成的集合；
(3)一次函数y＝x＋6图像上所有点组成的集合．
【解】 (1)绝对值不大于3的整数是－3，－2，－1,0,1,2,3，共有7个元素，用列举法表示为{－3，－2，－1,0,1,2,3}；
(2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解仅有两个，分别是，－2，用列举法表示为{，－2}；
(3)一次函数y＝x＋6图像上有无数个点，用描述法表示为{(x，y)|y＝x＋6}．
10．已知集合A中含有a－2,2a2＋5a,3三个元素，且－3∈A，求a的值．
【解】 由－3∈A，得a－2＝－3或2a2＋5a＝－3.
(1)若a－2＝－3，则a＝－1，
当a＝－1时，2a2＋5a＝－3，
∴a＝－1不符合题意．
(2)若2a2＋5a＝－3，则a＝－1或－.
当a＝－时，a－2＝－，符合题意；
当a＝－1时，由(1)知，不符合题意．
综上可知，实数a的值为－.
11．已知数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)，如果a＝2，试求出A中的所有元素．
【解】 ∵2∈A，由题意可知，＝－1∈A；
由－1∈A可知，＝∈A；
由∈A可知，＝2∈A.
故集合A中共有3个元素，它们分别是－1，，2.
(教师用书独具)
集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
【思路探究】 明确集合A的含义→对k加以讨论→求出k值→写出集合A
【自主解答】 (1)当k＝0时，
原方程变为－8x＋16＝0，
x＝2，此时集合A＝{2}．
(2)当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根．
只需Δ＝64－64k＝0，
即k＝1.
此时方程的解为x1＝x2＝4，
集合A＝{4}，满足题意．
综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．
1．本题在求解过程中，常因忽略讨论k是否为0而漏解．
2．本题因kx2－8x＋16＝0是否为一元二次方程而分k＝0和k≠0而展开讨论，从而做到不重不漏．
3．解答与描述法有关的问题时，明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点．
把本例中条件“有一个元素”改为“有两个元素”，求k的范围．
【解】 由题意可知方程kx2－8x＋16＝0有两个实根．∴
解得k＜1且k≠0.
所以k的范围为{k|k＜1且k≠0}．
人物介绍
为科学而疯的人——康托尔
康托尔(Contor，Georg)(1845～1918)，德国数学家，集合论的创立人，康托尔自幼对数学有浓厚兴趣，23岁获博士学位，以后一直从事数学教学与研究．他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础．
1874年，康托尔的有关无穷的概念震撼了数学界．康托尔凭借古代与中世纪哲学著作中关于无限的思想而导出了关于数的本质的新思想模式，建立了处理数学中无限的基本技巧，从而极大地推动了分析与逻辑的发展．他发现了惊人的结果：有理数是可列的，而全体实数是不可列的．
由于在研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又很荒谬的结果(称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度．在1874～1876年期间，30岁的康托尔向神秘的无穷宣战．他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应．这样看起来，1厘米长线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”．后几年，康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论．
康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂．有人说，康托尔的集合论是一种“疾病”，康托尔的概念是“雾中之雾”，甚至说康托尔是“疯子”．
来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医病．他在集合论方面许多非常出色的成果，都是在精神病发作的间歇时期获得的．
真金不怕火炼，康托尔的思想终于大放光彩.1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家，数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”，可是这时康托尔仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦．
§2集合的基本关系
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
(2)理解子集、真子集的概念．
(3)能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
2．过程与方法
让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义．
3．情感、态度与价值观
(1)树立数形结合的思想．
(2)体会类比对发现新结论的作用．
●重点难点
重点：集合间的包含与相等关系，子集与真子集的概念．
难点：属于关系与包含关系的区别．
本节的重点是理解集合间包含与相等的含义，其突破方法是让学生多结合实例，类比实数间的大小关系来学习集合间的包含关系．
(教师用书独具)
●教学建议
教材从学生熟悉的实例出发，通过类比引入集合间的关系，同时，结合相关内容介绍子集、Venn图、真子集、空集等概念．在安排这部分内容时，教材注重体现逻辑思考的方法，如类比等．值得注意的问题：在讲解集合间的关系时，建议重视使用Venn图，这有助于学生体会直观图示对理解抽象概念的作用．随着学习的深入，集合符号越来越多，建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号，例如∈与?的区别．
●教学流程
创设情境提出问题，思考：实数有相等关系，大小关系，类比实数之间的关系，联想集合之间是否具备类似的关系?概念形成．分析示例：给出集合的包含关系的相关定义，完成例1及变式训练?师生合作得出集合相等的概念. 通过实例的共性探究、理解相等概念，完成例2及互动探究
?巩固深化，发展思维，加深对集合间关系的理解，完成例3及变式训练?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正
课标解读
1.了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(重点)
2.理解子集、真子集的概念．(易混点)
3.能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图对理解抽象概念的作用．(难点)
子集与Venn图
【问题导思】
给出下列集合：
(1)A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}．
(2)设集合A为衡水中学高一·三班全体男生组成的集合，集合B为高一·三班全体学生组成的集合．
集合A中的元素与集合B有什么关系？
【提示】 集合A中的每一个元素都属于集合B.
1．子集
含义
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即若a∈A则a∈B，我们就说集合A包含于集合B或集合B包含集合A，记作A?B(或B?A)，就说集合A是集合B的子集．
图形
语言性质
任何一个集合都是它本身的子集，即A?A.
2.Venn图
为了直观地表示集合间的关系，常用封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图.
集合相等
【问题导思】
给定两个集合A＝{0,1}，B＝{x|x2＝x}．
1．集合B能否用列举法表示出来？
【提示】 能．B＝{0,1}．
2．集合A中的元素与集合B中的元素，有什么关系？
【提示】 元素完全一样．
对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，这时，我们就说集合A与集合B相等，记作A＝B.
真子集
【问题导思】
对于集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．
1．集合A是集合B的子集吗？
【提示】 是．
2．集合B是集合A的子集吗？
【提示】 不是．
3．集合A与集合B相等吗？
【提示】 不相等．
1．真子集
(1)含义：对于两个集合A与B，如果A?B，并且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集，记作A?B或B?A.
(2)当集合A不包含于集合B或集合B不包含集合A时，记作A?B或B?A.
2．性质
(1)空集是任何集合的子集，对于任何一个集合A，都有??A.
(2)对于集合A、B、C，若A?B，B?C，则A?C.
子集、真子集的概念
已知集合M＝{x|x＜2且x∈N}，N＝{x|－2＜x＜2且x∈Z}．
(1)试判断集合M、N间的关系．
(2)写出集合M的子集、集合N的真子集．
【思路探究】 把用描述法表示的集合用列举法表示出来，以便于观察集合的关系写出子集与真子集．
【自主解答】 M＝{x|x＜2且x∈N}＝{0,1}，
N＝{x|－2＜x＜2且x∈Z}＝{－1,0,1}．
(1)M?N.
(2)M的子集为：?，{0}，{1}，{0,1}，N的真子集为：?，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}．
1．写有限集合的所有子集，首先要注意两个特殊的子集：?和自身；其次按含一个元素的子集，含两个元素的子集…依次写出，以免重复或遗漏．
2．若集合A含n个元素，那么它的子集个数为2n；真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.
若{1,2,3}?A?{1,2,3,4,5}，则集合A的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】 集合{1,2,3}是集合A的真子集，同时集合A又是集合{1,2,3,4,5}的子集，所以集合A只能取集合{1,2,3,4}，{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5}．
【答案】 B
集合相等
若{0，a2，a＋b}＝{1，a，}，求a2 013＋b2 013的值．
【思路探究】 由0∈{1，a，}先求出b，再根据集合相等求a.
【自主解答】 因为{0，a2，a＋b}＝{1，a，}，
所以0∈{1，a，}．
所以b＝0，此时有{1，a,0}＝{0，a2，a}．
所以a2＝1，a＝±1.
当a＝1时，不满足互异性，所以a＝－1.
∴a2 013＋b2 013＝－1.
1．计算出a＝±1后，易忽视集合中元素的互异性致误．
2．解决此类问题的步骤：
(1)利用集合相等的条件，建立方程或方程组，求得参数；
(2)把所得数值依次代入集合验证，若满足元素的三个特性，则所求是可行的，否则应舍去．
若本例改为“{0，a，}＝{1，－a2，a＋b}”，则a2 013＋b2 013的值为多少？
【解】 ∵0∈{1，－a2，a＋b}
∴－a2＝0或a＋b＝0
当－a2＝0，即a＝0时，{0，a，}中矛盾．
当a＋b＝0，即a＝－b时，{0，a，}＝{0，a，－1}，
{1，－a2，a＋b}＝{1，－a2,0}，即{0，a，－1}＝{1，－a2,0}，
∴a＝1，b＝－1.
∴a2 013＋b2 013＝0.
已知集合间的关系求参数的取值范围
设集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，已知B?A.求实数m的取值范围
【思路探究】 由B?A可得集合B＝?或B中的任何一个元素都在集合A中，可借助数轴解决．
【自主解答】 当m－1>2m＋1，即m<－2时，B＝?，符合题意．
当m－1≤2m＋1，即m≥－2时，B≠?.
由B?A，借助数轴表示如图所示．
则解得0≤m≤.
综上所述，实数m的取值范围是{m|m<－2或0≤m≤}．
1．当已知一个集合是另一个集合的子集时，首先要考虑这个集合是否为空集．
2．已知集合间的关系，求参数范围的步骤：
(1)化简所给集合；
(2)用数轴表示所给集合；
(3)根据集合间的关系，列出关于参数的不等式(组)；
(4)求解．
设集合A＝{x|1
A．{a|a≥ 2} B．{a|a<1}
C．{a|a>2} D．{a|a≤1}
【解析】 在数 轴 上表示 两个集合A、B，要使A?B，则a >2.
【答案】 C
忽略空集的情况而致误
(2013·济南高一检测)已知集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|mx－3＝0}，且B?A，求实数m的值．
【错解】 据题意知A＝{1,3}，B＝{}，
∵B?A，
∴＝1或＝3.
即m＝3或m＝1.
【错因分析】 忽略B＝?时的情况，直接认为m≠0.
【防范措施】 解答集合中有包含关系的题目时，一定要警惕“?”这一陷阱，往往造成不必要的失分．
【正解】 据题意知集合A＝{1,3}，
当B＝?，即m＝0时，满足B?A.
当B≠?，即m≠0时，B＝{x|mx－3＝0}＝{}．
∵B?A，
∴＝1或＝3，
即m＝3或m＝1.
综上所述，所求m的集合为{0,1,3}．
1．集合与集合之间的关系有包含关系，相等关系，其中包含关系有：包含于(?)、包含(?)，真包含于(?)、真包含(?)等，用这些符号时要注意方向，如A?B与B?A是相同的，但A?B，B?A是不同的．
2．不能把“A?B”、“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A＝?时，A?B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A?B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有A?B.
3．由于空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以在遇到“A?B”或“A?B且B≠?”时，一定要讨论A＝?和A≠?两种情况，A＝?的情形易被忽视，应引起足够的重视．
1．下列表述正确的有( )
①空集没有子集；
②任何集合都有至少两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若??A，则A≠?.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解析】 ???，故①错；?只有一个子集，即它本身．所以②错；空集是任何集合的子集， 是任何非空集合的真子集，所以③错；而④正确，故选B.
【答案】 B
2．(2013·聊城高一检测)若M＝{x|x＞－1}，N＝{x|x＞0}，则( )
A．M?N B．N?M C．M＝N D．M∈N
【解析】 结合数轴可知N?M.
【答案】 B
3．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B?A，则实数m＝________.
【解析】 ∵B?A，
∴元素3,4必为A中元素，
∴m＝4.
【答案】 4
4．已知集合A＝{x|a【解】 ∵B＝{x|2∴，解得2≤a≤8，
∴实数a的取值集合为{a|2≤a≤8}.
(见学生用书第81页)
一、选择题
1．下列五个关系式：
①0?{0}；②0∈{0}；③?＝{0}；④?∈{0}；⑤??{0}，其中正确的是( )
A．①③ B．①⑤ C．②④ D．②⑤
【解析】 本题考查元素与集合、空集与非空集合的关系，其中0∈{0}，??{0}．
【答案】 D
2．已知M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}，其中能表示集合M、N关系的Venn图是( )
【解析】 由于N＝{0，－1}，显然，N?M.
【答案】 B
3．(2013·深圳检测)满足M?{1,2,3}的集合M的个数是( )
A．8 B．7 C．6 D．5
【解析】 ∵M?{1,2,3}，∴M可能为?，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}共7个．
【答案】 B
4．(2013·桂林检测)设A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，且A?B，则实数a的取值范围为( )
A．a<1 B．a≤1 C．a>1 D．a≥1
【解析】 如图，结合数轴可知a≤1时，有A?B.
【答案】 B
5．若集合A＝{1,3，x}，B＝{x2,1}，且B?A，则满足条件的实数x的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 因为B?A，则x2＝3或x2＝x.
当x2＝3时，x＝±，此时，A＝{1,3，±}，B＝{3,1}，符合题意．
当x2＝x时，x＝0或x＝1(舍去)，此时，A＝{0,1,3}，B＝{0,1}，符合题意，故x＝0，±.
【答案】 C
二、填空题
6．已知 ??{x|x2＋x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．
【解析】 ∵??{x|x2＋x＋a＝0}，
∴方程x2＋x＋a＝0有实根，
∴Δ＝12－4a≥0，∴a≤.
故实数a的取值范围是{a|a≤}．
【答案】 {a|a≤}
7．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且A?B，则a的值为________．
【解析】 因为A?B，则a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a，解得a＝2或a＝－1或a＝1，结合集合元素的互异性，可确定a＝－1或a＝2.
【答案】 －1或2
8．设a，b∈R，集合{0，，b}＝{1，a＋b，a}，则b－a＝________.
【解析】 由于{0，，b}＝{1，a＋b，a}，所以a＋b＝0，即a＝－b，所以＝－1，则a＝－1，b＝1.因此，b－a＝2.
【答案】 2
三、解答题
9．设集合A＝{1，a，b}，集合B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求实数a，b的值．
【解】 由集合相等的定义得①或②
解①得或解②得
由集合中元素的互异性，得a＝－1，b＝0.
10．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．
(1)若A?B，求a的取值范围；
(2)若B?A，求a的取值范围．
【解】 (1)若A?B，由图可知，a>2.
故实数a的取值范围为{a|a>2}．
(2)若B?A，由图可知，1≤a≤2.
故实数a的取值范围为{a|1≤a≤2}．
11．已知非空集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，B＝{x|x2－8x＋15＝0}，且A?B.
(1)写出集合B所有的子集；
(2)求a＋b的值．
【解】 (1)∵B＝{3,5}，
∴集合B的所有子集为?，{3}，{5}，{3,5}．
(2)∵A≠?且A?B，
∴A＝{3}或A＝{5}或A＝{3,5}．
①当A＝{3}时，有∴
∴a＋b＝15.
②当A＝{5}时，有∴
∴a＋b＝35.
③当A＝{3,5}时，有
∴a＋b＝23.
综上知a＋b＝15或a＋b＝23或a＋b＝35.
(教师用书独具)
已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且B?A.求实数m的取值范围．
【思路探究】 借助数轴分析，注意B是否为空集．
【自主解答】 ∵B?A，
(1)当B＝?时，m＋1≤2m－1，
解得m≥2.
(2)当B≠?时，有
解得－1≤m＜2，
综上得实数m的取值范围为{m|m≥－1}．
1．解决此类问题通常先化简所给集合，再用数轴表示所给集合，根据端点间的大小关系，列出不等式求解，得到参数的取值范围．
2．对集合B分类讨论是解决此类题目的关键，注意不要忽视对B＝?的讨论．
若本例把“B?A”改为“B?A”，其余条件不变，试求实数m的取值范围．
【解】 (1)当B＝?时，2m－1>m＋1，解得m>2.
(2)当B≠?时，有
解得－1综上得实数m的取值范围为{m|m>－1}．
§3集合的基本运算
3．1 交集与并集
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1) 理解两个集合的交集与并集的运算的含义，会利用定义求简单集合的交集与并集．
(2)能够用集合语言和图形语言(Venn图和数轴)表示交集和并集．
(3)让学生体会到图形(数形结合思想)对理解抽象概念的作用．
(4)会利用数轴求无限集的交集、并集的运算，体会数形结合在解决问题中的作用．
2．过程与方法
(1) 经历通过实例导入分析，然后再进行抽象概括得出结论的过程，让学生学会分析问题、解决问题的方法 .
(2) 给学生渗透数形结合的数学思想．
3．情感、态度与价值观
(1)在参与学习的过程中，提高学生的自学能力，培养学生自己主动学习的意识．
(2)通过对问题的讨论与合作交流，培养学生积极主动参与的意识.
(3)通过数学语言的描述，让学生感受数学语言的简洁美．通过各种语言的相互转化，让学生感受各种形式之间的和谐美．
●重点难点
重点：集合的交集与并集概念的理解及数形结合思想的运用．
难点：并集概念的理解及数形结合思想的运用．
本节课的概念比较抽象，学生在学习和理解的过程当中会感觉比较困难，教材中通过学生所熟悉的两个事例进行了导入，使抽象的问题具体化、形象化、直观化，符合高一新生的认知特点，这样处理教材就容易让学生理解．因为高一的新生刚从初中的学习中过渡过来，他们对知识的理解还停留在直观化、具体化的层面．另外教材中通过图形(即Venn图)和数轴把概念进行了直观的描述，体现了数形结合的思想，也培养了学生学习数学时注重文字(自然)语言和数学语言相互转化的意识．本节课的学习方法也为下节课学习补集打下了基础，如果这节课学好了，下节课学习补集的运算就比较简单易懂了．
(教师用书独具)
●教学建议
本节课从学生所熟悉的问题进行导入，这样学生在接受新知识时有所准备，不会感觉到很陌生，注重了学生的最近发展区．课堂教学中注重三种语言即文字语言、集合语言、图形语言的相互转化，体现转化思想，注重数形结合和分类讨论思想的应用．为了突破难点，本节课可以利用多媒体手段进行教学，可以弥补传统教学的不足，设计好相应的课件，这样既符合高一学生的认知特点又能够提高学生学习数学的兴趣和积极性．另外还注重培养学生从特殊到一般的分析问题的方法．教学过程当中注重对学生学习方法、解题方法的教学和培养，做到“授之以渔”而非“授之以鱼”.
●教学流程
创设情境，提出问题，根据学生所熟悉的问题导入课题，使学生更容易接受和理解新的知识?共同探究，导入课题，让学生参与到问题的探究过程中来?对交集和并集的概念进行归纳总结，通过运用多媒体课件展示其概念?完成例1及变式训练，加深对交集和并集运算概念的理解
?依据数形结合的数学思想，利用数轴分析法解决和交集、并集有关的参数问题，完成例2及互动探究?根据交集、并集的性质完成例3及变式训练，特别注意B为空集时的情况?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正
课标解读
1.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．(重点)
2.能用Venn图表达集合之间的关系和运算．(难点)
3.掌握有关术语和符号，并会用它们进行集合的运算．(易混点)
交集
【问题导思】
给出下列集合：
(1)已知集合A＝{6,8,10,12}，B＝{3,6,9,12}，C＝{6,12}．
(2)A＝{x|高一·四班语文测验优秀者}，B＝{x|高一·四班数学测验优秀者}，C＝{x|高一·四班语文、数学测验都优秀者}．
集合C与A、B之间有什么关系？
【提示】 集合C是由集合A与集合B的所有公共元素组成的．
1．交集的定义
一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫作A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)，即A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．
2．图形表示
3．运算性质
A∩B＝B∩A，A∩B?A，A∩B?B；
A∩A＝A，A∩?＝?.
并集
【问题导思】
已知A＝{x|x是希望中学2013年9月入学的高一的男同学}，
B＝{x|x是希望中学2013年9月入学的高一的女同学}，
C＝{x|x是希望中学2013年9月入学的高一的学生}．
你能判断出集合A、B、C中的元素之间有什么关系吗？
【提示】 集合C是由集合A或B中的元素组合而成的．
1．并集的定义
一般地，由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，叫作A与B的并集．记作A∪B(读作“A并B”)．即A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
2．图形表示
3．运算性质
A∪B＝B∪A，A?A∪B，B?A∪B；
A∪A＝A，A∪?＝A.
集合的交集、并集运算
(1)(2012·四川高考)设集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则A∪B＝( )
A．{b} B．{b，c，d}
C．{a，c，d} D．{a，b，c，d}
(2)(2012·北京高考)已知集合A＝{x∈R|3x＋2>0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x－3)>0}，则A∩B＝( )
A．(－∞，－1) B．{－1，－}
C．(－，3) D．(3，＋∞)
【思路探究】 (1)利用并集的定义直接求解；(2)解不等式求出集合A、B，再求A∩B.
【自主解答】 (1)A∪B＝{a，b}∪{b，c，d}＝{a，b，c，d}．
(2)∵3x＋2>0，∴x>－.∴A＝{x|x>－}．
又∵(x＋1)(x－3)>0，∴x>3或x<－1.
∴B＝{x|x<－1或x>3}．
∴A∩B＝{x|x>－}∩{x|x<－1或x>3}＝{x|x>3}．
【答案】 (1)D (2)D
1．先确定已知集合中的元素是解决交集、并集基本运算的关键．
2．先简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．
(1)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{－1,0,2}，则A∩B＝________.
(2)(2013·保定高一检测)设集合A＝{x|－A．{x|－1≤x<2} B．{x|－C．{x|x<2} D．{x|1≤x<2}
【解析】 (1)A∩B＝{－1,1,2,4}∩{－1,0,2}＝{－1,2}．
(2)在数轴上表示出集合A、B，
根据并集的定义知A∪B＝{x|－1≤x<2}，故选A.
【答案】 (1){－1,2} (2)A
已知两集合的交集、并集求参数
(2013·长春高一检测)已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是______．
【思路探究】 先在数轴上表示出集合A，然后由A∪B＝R确定a.
【自主解答】 如图所示．
∵A∪B＝R，
∴实数a必须在点1上或在1的左边．∴a≤1.
故实数a的取值范围为{a|a≤1}．
【答案】 {a|a≤1}
1．依据数形结合的数学思想，利用数轴分析法是解决有关交集、并集问题，特别是一些字母范围问题的常用方法．
2．若A∩B＝?，则集合A、B可能的情况为：
(1)A、B均为空集；
(2)A与B中只有一个是空集；
(3)A、B虽然非空但无公共元素．
本例中，若将“A∪B＝R”改为“A∩B＝?”，则实数a的取值范围又是什么？
【解】 如图，
∵A∩B＝?，
∴a>1.
故实数a的取值为{a|a>1}.
交集、并集性质的应用
设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．
【思路探究】 A∩B＝B→B?A→讨论集合B→列方程→求a
【自主解答】 ∵A∩B＝B，
∴B?A.
∵A＝{－2}≠?，
∴B＝?或B≠?.
当B＝?时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0.
当B≠?时，此时a≠0，则B＝{－}，∴－∈A，
即有－＝－2，得a＝.
综上，得a＝0或a＝.
1．当集合B?A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时要考虑B＝?的情况，切不可漏掉．
2．在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A?A?B，A∪B＝B?A?B等，解答时应灵活处理．
(2013·青岛高一检测)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
【解】 ∵A∪B＝A，
∴B?A.
若B＝?时，2a＞a＋3，即a＞3，
若B≠?时，
解得：－1≤a≤2，
综上所述，a的取值范围是{a|－1≤a≤2或a＞3}.
忽视集合元素互异性的检验致误
(2013·洛阳检测)已知集合P＝{x|－1≤x≤1}，M＝{－a，a}，若P∪M＝P，则a的取值范围是( )
A．{x|－1≤x≤1}
B．{a|－1C．{x|－1D．{x|－1≤x≤1且x≠0}
【错解】 由P∪M＝P，得M?P，
所以有
即－1≤a≤1，故选A.
【答案】 A
【错因分析】 忽视了集合中－a≠a这一要求，扩大了a的取值范围．
【防范措施】 1.对描述法表示集合不能只看表面，即不能看“代表元素”是什么字母，要对其含义深刻理解．
2．列举法表示的集合，元素的互异性是其隐含条件，解题时要时刻注意．
【正解】 由P∪M＝P，得M?P，
所以
即－1≤a≤1.
又由集合元素的互异性知－a≠a，即a≠0，
所以a的取值范围是{a|－1≤a≤1且a≠0}，
即{x|－1≤x≤1且x≠0}．
【答案】 D
1．求集合的并、交是集合间的基本运算，区分的关键是“且”与“或”，在处理有关问题时，常从字眼去挖掘题设条件．
2．A?B?A∪B＝B，A?B?A∩B＝A，这种转化在做题时体现了化归与转化的思想方法．
1．(2012·湖南高考)设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＝x}，则M∩N＝( )
A．{－1,0,1} B．{0,1}
C．{1} D．{0}
【解析】 ∵x2＝x，∴x＝0或x＝1，∴N＝{0,1}，
∴M∩N＝{－1,0,1}∩{0,1}＝{0,1}．
【答案】 B
2．A∩B＝A，B∪C＝C，则A，C之间的关系必有
( )
A．A?C B．C?A
C．A＝C D．以上都不对
【解析】 A∩B＝A?A?B，B∪C＝C?B?C.
【答案】 A
3．若集合M＝{x|－35}，则M∪N＝________.
【解析】 将－35在数轴上表示出来，
∴M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．
【答案】 {x|x<－5或x>－3}
4．已知集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞4}，求A∪B.
【解】 将－2≤x≤3与x＜－1或x＞4在数轴上表示出来
由图可得：
A∪B＝{x|x≤3或x＞4}.
一、选择题
1．A、B是两个集合，则集合{x|x∈A，且x∈B}可用阴影表示为( )
【解析】 集合{x|x∈A，且x∈B}＝A∩B，故D正确．
【答案】 D
2．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|－1＜x＜2}，则A∩B＝( )
A．{x|－1＜x＜2} B．{x|x＞－1}
C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}
【解析】 由图知A∩B＝{x|1＜x＜2}，故选D.
【答案】 D
3．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有( )
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【解析】 ∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，
∴M∩N＝{1,3}．∴M∩N的子集共有22＝4个．
【答案】 B
4．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝( )
A．{1,2} B．{1,5}
C．{2,5} D．{1,2,5}
【解析】 ∵A∩B＝{2}，∴2∈A,2∈B，
∴a＋1＝2，即a＝1，∴A＝{1，b}，从而b＝2.
∴A＝{1,2}，B＝{2,5}，∴A∪B＝{1,2,5}．
【答案】 D
5．(2012·大纲全国卷)已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝( )
A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或3
【解析】 法一 ∵A∪B＝A，∴B?A.
又A＝{1,3，}，B＝{1，m}，
∴m＝3或m＝.由m＝得m＝0或m＝1.
但m＝1不符合集合中元素的互异性，故舍去，故m＝0或m＝3.
法二 ∵B＝{1，m}，∴m≠1，∴可排除选项C、D.
又当m＝3时，A＝{1,3，}，B＝{1,3}，
∴A∪B＝{1,3，}＝A，
故m＝3适合题意，故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2－2x＝0}，则A∩B＝________，A∪B＝________.
【解析】 由x2＋x－6＝0，得x＝－3或x＝2，
所以A＝{－3,2}．
由x2－2x＝0，得x＝0或x＝2，
所以B＝{0,2}．
所以A∩B＝{－3,2}∩{0,2}＝{2}，
A∪B＝{－3,2}∪{0,2}＝{－3,0,2}．
【答案】 {2} {－3,0,2}
7．已知集合A满足{1,3}∪A＝{1,3,5}，则满足条件的所有集合A的个数是________．
【解析】 由题意5∈A，且A?{1,3,5}，
所以满足条件的集合A有{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}，共4个．
【答案】 4
8．(2013·苏州检测)设集合A＝{x|－1【解析】 由已知{x|－1【答案】 {a|1三、解答题
9．已知集合A＝{1,3,5}，B＝{1,2，x2－1}，若A∪B＝{1,2,3,5}，求x及A∩B.
【解】 ∵B?(A∪B)，∴x2－1∈A∪B.
∴x2－1＝3或x2－1＝5.
解得x＝±2或x＝±.
若x2－1＝3，则A∩B＝{1,3}
若x2－1＝5，则A∩B＝{1,5}
综上可知x＝±2时，A∩B＝{1,3}；x＝±时，A∩B＝{1,5}．
10．(2013·西安高一检测)已知A＝{x|a＜x≤a＋8}，B＝{x|x＜－1或x＞5}．若A∪B＝R，求a的取值范围．
【解】 由a＜a＋8，又B＝{x|x＜－1或x＞5}，
在数轴上标出集合A、B的解集，如图．
要使A∪B＝R，
则，解得－3≤a＜－1.
综上可知a的取值范围为－3≤a＜－1.
11．若集合A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|x－m＜0}．
(1)若A∩B＝?，求实数m的取值范围；
(2)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．
【解】 (1)∵A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|x＜m}，
又A∩B＝?，∴m≤－2.
故实数m的取值范围为{m|m≤－2}．
(2)∵A＝{x|－2＜x＜4}，
B＝{x|x＜m}，
由A∩B＝A，得A?B，∴m≥4.
故实数m的取值范围为{m|m≥4}.
(教师用书独具)
某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为49%，电视机拥有率为85%，洗衣机拥有率为44%，至少拥有上述三种电器中两种的占63%，三种电器齐全的占25%，求一种电器也没有的相对贫困户所占的比例．
【思路探究】 解答本题可先把拥有各种电器的人群看作集合，然后借助Venn图去求解．
【自主解答】 不妨设调查了100户农户，如图所示：
A＝{100户中拥有电冰箱的农户}，
B＝{100户中拥有电视机的农户}，
C＝{100户中拥有洗衣机的农户}，
由图知，A∪B∪C的元素个数为49＋85＋44－63－25＝90，
因此一种电器也没有的相对贫困户数为100－90＝10.
所以一种电器也没有的相对贫困户所占的比例为10%.
在解决有关集合交集、并集的实际应用问题时， 常借助Venn图来求解．利用Venn图可使集合中元素的个数以及集合间的关系更直观地显示，进而根据Venn图逐一把文字陈述的语句“翻译”成数学符号语言，通过解方程和限制条件的运用解决问题．
在2013年春季召开的校运会上，某班共有28名运动员参加比赛，有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛．同时参加田赛和径赛的有3人，同时参加径赛和球类比赛的有3人，没有同时参加三项比赛的运动员．则同时参加田赛和球类比赛的有多少人？只参加径赛的运动员有多少人？
【解】 设参加径赛的运动员组成集合A，参加田赛的运动员组成集合B，参加球类比赛的运动员组成集合C.根据题意画出Venn图，如图所示．设同时参加田赛和球类比赛的人数为x.由题意，得
9＋3＋3＋(8－3－x)＋x＋(14－3－x)＝28，解得x＝3.
所以，同时参加田赛和球类比赛的有3人，只参加径赛的有9人.
3.2 全集与补集
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)使学生参与并深刻体会全集的必要性，理解集合的子集、补集的含义，会求补集．
(2)能够应用Venn图和数轴表述集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
2．过程与方法
通过对全集补集概念、性质、规律的探究，不断提高学生抽象概括能力，培养数形结合能力，掌握归纳类比的方法．
3．情感、态度与价值观
(1)在参与数学学习的过程中，培养学生主动学习的意识．
(2)在将所学知识系统化、条理化的基础上通过合作学习的形式，培养学生积极参与的主体意识.
(3)在感受生活中集合实例的同时，让学生认识到数学的科学价值、应用价值．
●重点难点
重点：补集概念的理解及初步应用．
难点：全集的理解，补集应用中方法规律的探究．
全集、补集的理解是本节课的难点，难在概念的理解和认识．为此，从学生熟悉的“补角”引入．当同学们回答出“规定”“定义”时，就有了对全集的初步感知．我们必须给学生充分的时间让他们思考交流．全集与补集相辅相成，理解了全集概念，补集概念的形成水到渠成．然后把重点放在语言转换与性质归纳上．在学生概括出补集定义之后，引导学生类比交、并集得出符号语言、图示语言两种表示形式．通过类比，学生的知识迁移能力得到提高，同时学生从中体会到数学的符号美、图形美，也即数学的简约美．
(教师用书独具)
●教学建议
新课标强调丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法，使学生学会自主学习，为终身学习和发展打下良好的基础．根据本节课内容和学生的实际，采用分组研究、小组展示、过程评价的授课方式，把知识探究、变式深入与必要的讲述相结合的教法进行教学. 学生借助多媒体和导学案积极思考，通过师生、生生的多方交流，经历“探究→展示→应用→反思→总结”的数学学习的模式，进一步培养自主探究、合作学习的能力．
●教学流程
旧知新问，以旧探新，通过补角、方程在不同范围内的解等问题的引入，使学生逐渐发现全集的内涵．?通过自然语言、符号语言、图形语言，加深对补集的理解?完成例1、例2及其变式训练，加深对全集、补集的理解和应用
?通过例3及其变式训练，强化补集运算的应用?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正
课标解读
1.了解全集、补集的含义及符号表示．(易混点) 2.会求给定集合的补集．(重点) 3.熟练掌握集合的交、并、补运算．(难点)
全集与补集
【问题导思】
1．观察下列集合之间有怎样的关系？
(1)U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{4,5}．
(2)U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}．
【提示】 集合A和集合B的元素合起来就是集合U的全部元素．
2．在问题1中，A∩B是什么？在U中去掉A中所含有的元素后剩余的是集合B的所有元素吗？
【提示】 A∩B＝?.是．
1．全集的概念
在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U表示．全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素．
2．补集的概念
文字语言
设U是全集，A是U的一个子集，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集(或余集)，记作?UA
符号语言
若A?U，则?UA＝{x|x∈U，且x?A}
图形语言
3.补集的性质
设全集为U，集合A是全集U的一个子集，根据补集的概念可得：
(1)?UU＝?； (2)?U?＝U；
(3)?U(?UA)＝A； (4)A∪(?UA)＝U；
(5)A∩(?UA)＝?.
补集运算
已知全集U，A＝{x|23}，B＝{x|4≤x＜6}，求?UB.
【思路探究】 利用A∪(?UA)＝U和已知先求出全集U，然后求?UB，可借助于数轴进行．
【自主解答】 因为A＝{x|23}，如数轴：
所以U＝A∪(?UA)＝{x|x>2}．
所以?UB＝{x|21．解答本题，依据A∪(?UA)＝U求全集U是关键环节．
2．求补集运算， 一是利用补集定义或性质；二是借助于Venn图或数轴来求解．
已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜1或x＞2}，集合B＝{x|x＜－3或x≥1}，求?RA，?RB.
【解】 借助数轴，由图可知：
?RA＝{x|1≤x≤2}，?RB＝{x|－3≤x＜1}．
交、并、补的综合运算
设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，
B＝{x|2【思路探究】 先计算括号内的部分，再进行其它运算．
【自主解答】 把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：
由图知，A∪B＝{x|2∴?R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，
∵?RA＝{x|x<3或x≥7}，
∴(?RA)∩B＝{x|21．解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到．
2．解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求(?UA)∩B时，可先求出?UA，再求交集；求?U(A∪B)时，可先求出A∪B，再求补集．
(1)已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，则?U(A∪B)＝( )
A．{6,8} B．{5,7}
C．{4,6,7} D．{1,3,5,6,8}
(2)(2012·浙江高考)设集合A＝{x|1A．(1,4) B．(3,4)
C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)
【解析】 (1)∵A∪B＝{1,2,3,4,5,7}，∴?U(A∪B)＝{6,8}．
(2)解x2－2x－3≤0得－1≤x≤3，
∴B＝[－1,3]，则?RB＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，
∴A∩(?RB)＝(3,4)．
【答案】 (1)A (2)B
根据补集运算求参数
(2013·太原高一检测)设全集U＝R，M＝{x|3a【思路探究】 先求出?UP，再分类讨论求出a的取值范围．
【自主解答】 ?UP＝{x|x<－2或x>1}，
∵M??UP，∴分M＝?，M≠?两种情况讨论．
(1)M＝?时，应有3a≥2a＋5，∴a≥5，
(2)M≠?时，如图可得：
，或，
∴a≤－或≤a<5，
综上可知，实数a的取值范围为{a|a≥或a≤－}．
1．解答本题的关键是利用M??UP，对M＝?与M≠?进行分类讨论，转化为与之等价的不等式(组)求解．
2．补集的性质(?UA)∪A＝U，?UA?U，A?U在解题中经常用到．
已知全集U＝R，集合A＝{x|x－1<0}，B＝{x|x>a}，且?UA?B，求实数a的取值范围．
【解】 ∵A＝{x|x<1}，U＝R，
∴?UA＝{x|x≥1}，
∵?UA?B，如图所示，
∴a<1.
∴实数a的取值范围为{a|a<1}.
(对应学生用书第10页)
补集思想在求参数范围问题中的应用
(12分)已知集合A＝{x|x2－4ax＋2a＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠?，求实数a的取值范围．
【思路点拨】 先求出方程有实数根时实数a的取值范围作为全集，然后考虑方程的两根都非负时a的取值范围，最后利用补集求得符合条件的实数a的取值范围．
【规范解答】 设全集U＝{a|(－4a)2－4(2a＋6)≥0}＝{a|a≤－1或a≥}. 2分
若方程x2－4ax＋2a＋6＝0的两根都非负，则a∈U，且 6分
解得a≥，即方程两根都非负时，实数a的值组成的集合为{a|a≥}. 8分
其在全集U＝{a|a≤－1或a≥}中的补集为{a|a≤－1}.10分
∴满足题意的实数a的取值范围是{a|a≤－1}. 12分
1．对于一些比较复杂、抽象、条件和结论之间关系不明朗、难于从正面入手的数学问题，在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能化难为易，化隐为显，从而将问题解决．这就是“正难则反”的解题策略，它是处理问题的间接化原则的体现．
2．这种“正难则反”策略运用的是补集思想，如已知全集U，求子集A，若直接求A困难，则可先求?UA，再由?U(?UA)＝A求A.
3．补集作为一种思想方法，对于我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用，在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的又一体现．
1．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．
2．?UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备A?U；其次是定义?UA＝{x|x∈U，且x?A}，补集是集合间的运算关系．
1．(2012·广东高考)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则?UM＝( )
A．U B．{1,3,5}
C．{3,5,6} D．{2,4,6}
【解析】 ∵U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，
∴?UM＝{3,5,6}．
【答案】 C
2．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,2}，N＝{2,5}，则如图1－3－1所示，阴影部分表示的集合是( )
图1－3－1
A．{3,4,5} B．{1,3,4}
C．{1,2,5} D．{3,4}
【解析】 由图可知，阴影部分表示的集合是?U(M∪N)．
∵M∪N＝{1,2,5}，又U＝{1,2,3,4,5}，
∴?U(M∪N)＝{3,4}．
【答案】 D
3．(2013·深圳高一检测)若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则?UA＝________.
【解析】 ∵A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，
∴?UA＝{x|0＜x＜1}．
【答案】 {x|0＜x＜1}
4．设全集U＝R，A＝{x|x<－1或x>1}，B＝{x|x－2≥0}，判断?UA与?UB之间的关系．
【解】 因为A＝{x|x<－1或x>1}，
所以?UA＝{x|－1≤x≤1}．
因为B＝{x|x－2≥0}，
所以?UB＝{x|x<2}，
所以?UA??UB.
一、选择题
1．已知集合A＝{x|x＜1}，则?RA＝( )
A．{x|x＞1} B．x≥1
C．{x|x≥1} D．?
【解析】 结合补集的定义，借助数轴知?RA＝{x|x≥1}．
【答案】 C
2．(2013·福州高一检测)设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(?UB)＝( )
A．{x|0≤x<1} B．{x|0C．{x|x<0} D．{x|x>1}
【解析】 ?UB＝{x|x≤1}，∴A∩(?UB)＝{x|0【答案】 B
3．图1－3－2中的阴影表示的集合是( )
图1－3－2
A．A∩(?UB) B．B∩(?UA)
C．?U(A∩B) D．?U(A∪B)
【解析】 阴影部分表示A以外的部分与B的交集，故阴影部分表示的集合为B∩(?UA)．故选B.
【答案】 B
4．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )
A．M∪N B．M∩N
C．(?UM)∪(?UN) D．(?UM)∩(?UN)
【解析】 ∵?UM＝{1,4,5,6}，?UN＝{2,3,5,6}，
∴(?UM)∩(?UN)＝{5,6}，故选D.
【答案】 D
5．已知集合A＝{x|xA．{a|a≤1} B．{a|a<1}
C．{a|a≥2} D．{a|a>2}
【解析】 ?RB＝{x|x≤1或x≥2}，如图所示．
∵A∪(?RB)＝R，∴a≥2.
【答案】 C
二、填空题
6．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|2≤x<5}，则?AB＝________.
【解析】 把集合A看作全集，故?AB＝{x|0≤x<2或x＝5}．
【答案】 {x|0≤x<2或x＝5}
7．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x【解析】 ∵A∪(?UA)＝U，
∴A＝{x|1≤x<2}．∴a＝2.
【答案】 2
8．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1,2}，则实数m＝________.
【解析】 ∵?UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，
∴9＋3m＝0，∴m＝－3.
【答案】 －3
三、解答题
9．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2【解】 把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：
由图可知?UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
A∩B＝{x|－2?U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
(?UA)∩B＝{x|－310．(2013·沈阳高一检测)已知A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|m≤x＜1＋3m}．
(1)当m＝1时，求A∪B；
(2)若B??RA，求实数m的取值范围．
【解】 (1)m＝1，B＝{x|1≤x＜4}，A∪B＝{x|－1＜x＜4}，
(2)?RA＝{x|x≤－1或x＞3}，当B＝?时，即m≥1＋3m得m≤－满足B??RA，
当B≠?时使B??RA即或解得m＞3，综上所述，m的取值范围是{m|m≤－或m>3}．
11．已知集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x|m－2≤x≤m＋2，x∈R}．
(1)若A∩B＝{x|0≤x≤3}，求实数m的值；
(2)若A∩(?RB)＝A，求实数m的取值范围．
【解】 (1)因为A∩B＝{x|0≤x≤3}，
所以
所以所以m＝2；
(2)?RB＝{x|xm＋2}，由已知可得A??RB，所以 m－2>3或m＋2<－1，所以m>5或m<－3.
故实数m的取值范围为{m|m>5或m<－3}.
(教师用书独具)
设集合U＝{x∈N＋|x≤10}，A?U，B?U，且A∩B＝{4,5}，(?UB)∩A＝{1,2,3}，(?UA)∩(?UB)＝{6,7,8}，求集合A和B.
【思路探究】 此题条件较多，可采用数形结合的方法用Venn图将已知条件在图中标出，从图中找出所求．这样就可以将抽象问题直观化，从而使问题得到快速解答．
【自主解答】 根据题意，画出Venn图如下：
∵A∩B＝{4,5}，∴将4、5写在A∩B中．
∵(?UB)∩A＝{1,2,3}，
∴1、2、3写在A中，且不在A∩B内．
∵(?UA)∩(?UB)＝{6,7,8}，即?U(A∪B)＝{6,7,8}，
∴将6、7、8写在U中A、B之外．
∵(?UB)∩A与(?UA)∩(?UB)中均无9、10，
∴9、10在B中且不在A∩B中，故A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,9,10}．
在运用Venn图解题时，必须熟悉图形中各部分是如何用集合的交、并、补集表示的，一般地，全集U的子集A与B把全集分为四个区域：A∩(?UB)，(?UA)∩B，A∩B，?U(A∪B)(如图所示)，在已知全集U和其中三个区域内的元素的情况下，就可以确定第四个区域内的元素．解题时为了直观，可将集合U中的元素依次填入相应的区域内．
设U为全集，M，P，N是U的三个子集，则图中阴影部分表示的集合是( )
A．(M∩P)∩N B．(M∩P)∪N
C．(M∩P)∩(?UN) D．(M∩P)∪(?UN)
【解析】 如图，阴影部分为M∩P，而题目要求的是在M∩P的基础上去掉被集合N覆盖的部分，换句话说即是与?UN做交运算．从而题图中阴影部分表示的集合为(M∩P)∩(?UN)，故选C.
【答案】 C
开阔视野
若A为有限集，作集合A中元素的个数为cardA，那么两个有限集合A、B并集的元素个数(即cardA∪B)，应如何求？
由图示可以清楚地看到
card(A∪B)＝cardA＋cardB－card(A∩B)，类似地我们可以考虑三个有限集、四个有限集并集中元素的个数应该如何求？是否还可进一步推广呢？
这种用图示来解决集合与集合之间关系的方法，简便易行，明确直观，也从一个侧面体现了数形结合的思想．用这种方法，可以轻松地验证如下结论：
(1)若A?B，则?UB??UA
(2)?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)
(3)?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)
(4)A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)
(5)A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)等等.
集合中元素的互异性
集合中元素的互异性是集合中元素的重要特征，这一特征在解题过程中常被忽略而造成错解．因此，在涉及集合中元素的有关性质时，要有做后检验这一意识．
若A＝{2,4，a3－2a2－a＋7}，B＝{1，a＋1，a2－2a＋2，－(a2－3a－8)，a3＋a2＋3a＋7}，且A∩B＝{2,5}，试求实数a的值．
【思路点拨】 由A∩B＝{2,5}知5∈A，由a3－2a2－a＋7＝5解出a，代入B检验．
【规范解答】 ∵A∩B＝{2,5}，∴a3－2a2－a＋7＝5，由此求得a＝2或a＝±1.
当a＝1时，a2－2a＋2＝1，与元素的互异性相违背，故应舍去a＝1；
当a＝－1时，B＝{1,0,5,2,4}，与A∩B＝{2,5}相矛盾，故又舍去a＝－1；
当a＝2时，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,2,5,25}，
此时，A∩B＝{2,5}，满足题设．
故a＝2即为所求．
设集合A＝{x2,2x－1，－4}，B＝{x－5，1－x，9}，若A∩B＝{9}，求满足条件的x的值．
【解】 由A∩B＝{9}，得9∈A，所以x2＝9或2x－1＝9.
故x＝±3或x＝5.
当x＝3时，B＝{－2，－2,9}，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去．
当x＝－3时，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8,4,9}，满足题意．
当x＝5时，A＝{25,9，－4}，B＝{0，－4,9}，A∩B＝{9，－4}与已知矛盾，应舍去，
综上所述，满足条件的x值为－3.
空集的意义及其作用
空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合．当题设中隐含有空集参与的集合关系时，往往容易被忽略，从而引起所得结论不全而致错．
已知集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|x2－ax－1＋a＝0}，C＝{x|x2－mx＋1＝0}，且A∪B＝A，A∩C＝C，求a、m的取值范围．
【思路点拨】 先化简集合A、B，再把集合的运算关系转化成包含关系求解．
【规范解答】 A＝{1,3}，B＝{x|(x－1)(x＋1－a)＝0}．
∵A∪B＝A，
∴B?A.
∴a－1＝3或a－1＝1.
∴a＝4或a＝2.
又A∩C＝C，
∴C?A.
若C＝?，则Δ＝m2－4<0，
∴－2若1∈C，则12－m＋1＝0，
∴m＝2.此时C＝{1}，A∩C＝C.
若3∈C，则9－3m＋1＝0，
∴m＝，此时C＝?A，
∴m≠.
综上所述，a＝2或a＝4，－2故实数a的取值范围为{a|a＝2或a＝4}，实数m的取值范围为{m|－2(2013·三亚检测)已知集合A＝{x|x2＋(m＋2)x＋1＝0，x∈R}，若A∩{x|x>0，x∈R}＝?，求实数m的取值范围．
【解】 由A∩{x|x>0，x∈R}＝?及方程x2＋(m＋2)x＋1＝0无零根，得该方程只有两个负根或无实数根．
即或Δ＝(m＋2)2－4<0，
解得m≥0或－4∴m的取值范围是{m|m>－4}.
集合的运算
集合的交、并、补运算是本章核心内容之一．在进行集合的交、并、补运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而极易出错，此时，数轴分析法(或Venn图)是个好帮手，能将复杂问题直观化，是数形结合思想的具体应用之一．
(2013·黄冈检测)已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．
(1)若A∩B＝A，求a的取值范围；
(2)若(?RA)∪B＝R，求a的取值范围；
(3)是否存在a，使(?RA)∪B＝R，且A∩B＝?？
【思路点拨】 在弄清集合中元素的属性的基础上将集合化简，然后进行求解．
【规范解答】 (1)∵A∩B＝A.
∴A?B.结合数轴可知，
即－1≤a≤0.
(2)∵A＝{x|0≤x≤2}，
∴?RA＝{x|x<0或x>2}．
∵(?RA)∪B＝R，
∴
∴－1≤a≤0.
(3)∵(?RA)∪B＝R，
∴－1≤a≤0，故2≤a＋3<3，
∴A?B，这与A∩B＝?矛盾，故a不存在．
已知集合A＝{x|－20}，B＝{x|a≤x≤b}满足A∩B＝{x|0－2}．求a，b的值．
【解】 将集合A，A∩B，A∪B分别在数轴上表示．
由A∩B＝{x|0且－1≤a≤0，
由A∪B＝{x|x>－2}，知－2综上可知a＝－1，b＝2.
集合中的新定义题
与集合有关的新概念问题除了考查基本概念外，还会考查一些新定义的集合问题．以集合概念为背景给出新的定义，使问题变得新颖巧妙，这类问题的特点是信息“新”，意义深刻，往往具有一定的实际应用价值．解决这类问题的关键是理解透彻集合的概念、表示方法、集合中元素的性质以及所给的新定义．求解时，应紧扣题目中给出的新定义，将新、旧知识联系起来，并用已有的解题方法来分析、解决问题．有时可将集合中的元素一一列举出来，然后得出正确的答案．
设P、Q是两个非空集合，定义P×Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}．若P＝{3,4,5}，Q＝{4,5,6,7}，则P×Q中元素的个数为( )
A．3 B．4 C．7 D．12
【思路点拨】 依据新定义，集合P×Q是一个由有序数对组成的集合，其中第一个数a从集合P＝{3,4,5}中选取，第二个数b从集合Q＝{4,5,6,7}中选取，所以可用列举法写出P×Q中元素的个数．
【解析】 由P×Q的定义知，P中每个元素与Q中的四个元素分别组成不同的四个有序数对，则P×Q中元素的个数为3×4＝12(个)，即(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(5,7)．
【答案】 D
(1)设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数为( )
A．9 B．8 C．7 D．6
(2)(2013·洛阳检测)定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为( )
A．0 B．2 C．3 D．6
【解析】 (1)由P＋Q的含义可知，当P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}时，元素和有：0＋1＝1,0＋2＝2,0＋6＝6,2＋1＝3,2＋2＝4,2＋6＝8,5＋1＝6,5＋2＝7,5＋6＝11，而0＋6＝5＋1，重复，只计一次．
所以P＋Q中共有8个不同的元素1,2,3,4,6,7,8,11.
(2)根据A*B的定义知，z＝xy有如下可能结果：
1×0＝0,1×2＝2,2×0＝0,2×2＝4，
所以集合A*B中有3个元素，即0,2,4，因此，所有元素之和为0＋2＋4＝6.
【答案】 (1)B (2)D
思想方法
分类讨论思想是数学思想中比较重要的一种思想，利用分类讨论思想解决分类讨论问题，已成为高考考查学生知识和能力的热点问题．首先，分类讨论问题一般都覆盖较多知识点，有利于对知识面的考查；其次，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类思想和技巧，有利于对能力的考查，运用分类讨论思想解决问题的关键是分类标准要明确，做到“不重不漏”．
已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0，a∈R}，若集合A中至多有一个元素，则实数a的取值范围是．
【思路点拨】 方程ax2－3x＋2＝0的二次项系数是否为0是解决本题的关键．
【规范解答】 由题意知可以分为有一个实根和没有实根两种情况讨论．
(1)当a＝0时，原方程可化为－3x＋2＝0，解得x＝，符合题意；
(2)当a≠0时，由一元二次方程ax2－3x＋2＝0有一个实根或没有实根可得Δ＝9－8a≤0，即a≥.
综上可知，实数a的取值范围是{a|a＝0或a≥}．
已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A，求实数a组成的集合C.
【解】 由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2.
当B≠?时，即a≠0时，B＝，令＝1或＝2，解得a＝1或a＝2；
当B＝?时，即a＝0时，满足A∪B＝A.
综上知，C＝{0,1,2}．
综合检测(一)
第一章 集合
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法正确的是( )
A．0∈? B.∈Q
C．??? B．A∪?＝?
【解析】 空集?中不含任何元素，A错误.是无理数，B错误．A∪?＝A，D错误，应选C.
【答案】 C
2．(2013·烟台检测)集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩B＝( )
A．{x|x<1} B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|－1≤x≤1} D．{x|－1≤x<1}
【解析】 借助于数轴可知，A∩B＝{x|－1≤x<1}．
【答案】 D
3．已知集合M＝{a，a2}，则实数a满足的条件是( )
A．a∈R B．a≠0
C．a≠1 D．a≠0且a≠1
【解析】 由集合元素的互异性，得a≠a2，所以a≠0且a≠1.
【答案】 D
4．(2012·浙江高考)设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩(?UQ)＝( )
A．{1,2,3,4,6} B．{1,2,3,4,5}
C．{1,2,5} D．{1,2}
【解析】 由题意知?UQ＝{1,2,6}，∴P∩(?UQ)＝{1,2}．
【答案】 D
5．设U＝Z，A＝{1,3,5,7,9}，B＝{1,2,3,4,5}，则图1中阴影部分表示的集合是( )
图1
A．{1,3,5} B．{1,2,3,4,5}
C．{7,9} D．{2,4}
【解析】 ∵A∩B＝{1,3,5}，所以阴影部分表示{2,4}．
【答案】 D
6．(2012·课标全国卷)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1A．A?B B．B?A
C．A＝B D．A∩B＝?
【解析】 ∵A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1∴B?A.
【答案】 B
7．(2013·天津检测)设集合M＝{x|－1≤x<2}，N＝{x|x－k≤0}，若M∩N≠?，则k的取值范围( )
A．{k|k≤2} B．{k|k≥－1}
C．{k|k>－1} D．{k|－1≤k≤2}
【解析】 由数轴：M∩N≠?，
k≥－1.
【答案】 B
8．(2012·江西高考)若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
【解析】 当x＝－1，y＝0时，z＝x＋y＝－1；当x＝1，y＝0时，z＝x＋y＝1；当x＝－1，y＝2时，z＝x＋y＝1；当x＝1，y＝2时，z＝x＋y＝3，由集合中元素的互异性可知集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，即元素个数为3.
【答案】 C
9．若集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|5≤x≤16}，则能使A?B成立的所有a组成的集合为( )
A．{a|2≤a≤7} B．{a|6≤a≤7}
C．{a|a≤7} D．?
【解析】 当3a－5<2a＋1，即a<6时，A＝??B；
当3a－5≥2a＋1，即a≥6时，A≠?，
要使A?B，须有解得2≤a≤7.
综上可知，a≤7.
【答案】 C
10．定义集合A与B的运算：A⊙B＝{x|x∈A或x∈B且x?(A∩B)}，已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6,7}，则(A⊙B)⊙B为( )
A．{1,2,3,4,5,6,7} B．{1,2,3,4}
C．{1,2} D．{3,4,5,6,7}
【解析】 由新定义，得A⊙B＝{1,2,5,6,7}，则
(A⊙B)⊙B＝{1,2,3,4}，故选B.
【答案】 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)
11．(2012·四川高考)设全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则(?UA)∪(?UB)＝________.
【解析】 由题意得?UA＝{c，d}，?UB＝{a}，
∴(?UA)∪?UB＝{c，d}∪{a}＝{a，c，d}．
【答案】 {a，c，d}
12．已知集合A＝{7,2m－1}，B＝{7，m2}，且A＝B，则实数m＝________.
【解析】 若A＝B，则m2＝2m－1，即m2－2m＋1＝0，∴m＝1.
【答案】 1
13．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．
【解析】 由题意知，a2＋4>3，故a＋2＝3，
即a＝1，经验证，a＝1符合题意，
∴a＝1.
【答案】 1
14．(2013·包头检测)已知集合A＝{x|－1【解析】 由数轴知：
a>3.
故实数a的取值范围是{a|a>3}．
【答案】 {a|a>3}
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，求实数a的值．
【解】 ∵－3∈A，A＝{a－3,2a－1，a2－4}，
∴a－3＝－3或2a－1＝－3或a2－4＝－3.
(1)若a－3＝－3，则a＝0，
此时集合A＝{－3，－1，－4}，符合题意．
(2)若2a－1＝－3，则a＝－1，此时集合A＝{－4，－3，－3}，不满足集合中元素的互异性．
(3)若a2－4＝－3，则a＝1或a＝－1(舍去)．
当a＝1时，集合A＝{－2,1，－3}，符合题意．
综上可知，a＝0或a＝1.
16．(本小题满分12分)已知A＝{x|－2【解】
结合数轴，由图可知?RA＝{x|x≤－2或x≥3}，
又∵A∩B＝{x|－2∴?R(A∩B)＝?RA＝{x|x≤－2或x≥3}，
∴(?RA)∩B＝{x|－317．(本小题满分12分)(2013·海淀高一检测)已知集合P＝{x|－2≤x≤5}，Q＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，求当P∩Q＝?时，实数k的取值范围．
【解】 若Q＝?时，k＋1>2k－1，
∴k<2，P∩Q＝?成立．
若Q≠?，∴k＋1≤2k－1即k≥2.
由题意知或
∴k>4.
综上所述k的取值范围是{k|k<2或k>4}．
18．(本小题满分14分)已知A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．
(1)若A∩B＝B，求a的值；
(2)A∪B＝B，求a的值．
【解】 (1)由已知A＝{x|x2＋4x＝0}＝{－4,0}．
∵A∩B＝B，∴B?A.
①若0∈B，则a2－1＝0，解得a＝±1.
当a＝1时，B＝A，B?A，当a＝－1时，B＝{0}，B?A.
②若－4∈B，则a2－8a＋7＝0，
解得a＝7或a＝1.
当a＝7时，B＝{－12，－4}，B?A.
③若B＝?，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.
④若B＝{－4,0}，则
解得a＝1.
综上知a＝1或a≤－1.
(2)∵A∪B＝B，
∴A?B，
∵A＝{－4,0}，B至多有两个元素，
∴A＝B，由(1)知a＝1.
一、选择题
1．下列各组对象能构成集合的有( )
①美丽的小鸟；②不超过10的非负整数；③立方接近零的正数；④高一年级视力比较好的同学
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】 ①③中“美丽”“接近零”的范畴太广，标准不明确，因此不能构成集合；②中不超过10的非负整数有：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10共十一个数，是确定的，故能够构成集合；④中“比较好”，没有明确的界限，不满足元素的确定性，故不能构成集合．
【答案】 A
2．小于2的自然数集用列举法可以表示为( )
A．{0,1,2} B．{1}
C．{0,1} D．{1,2}
【解析】 小于2的自然数为0,1，应选C.
【答案】 C
3．下列各组集合，表示相等集合的是( )
①M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}；②M＝{3,2}，N＝{2,3}；③M＝{(1,2)}，N＝{1,2}．
A．① B．②
C．③ D．以上都不对
【解析】 ①中M中表示点(3,2)，N中表示点(2,3)，②中由元素的无序性知是相等集合，③中M表示一个元素：点(1,2)，N中表示两个元素分别为1,2.
【答案】 B
4．集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，则6－a∈A，那么a为( )
A．2 B．2或4
C．4 D．0
【解析】 若a＝2，则6－a＝6－2＝4∈A，符合要求；
若a＝4，则6－a＝6－4＝2∈A，符合要求；
若a＝6，则6－a＝6－6＝0?A，不符合要求．
∴a＝2或a＝4.
【答案】 B
5．(2013·曲靖高一检测)已知集合M中含有3个元素；0，x2，－x，则x满足的条件是( )
A．x≠0 B．x≠－1
C．x≠0且x≠－1 D．x≠0且x≠1
【解析】 由解得x≠0且x≠－1.
【答案】 C
二、填空题
6．用符号“∈”或“?”填空
(1)2________R,2________{x|x＜}；
(2)3________{x|x＝n2＋1，n∈N＋}；
(3)(1,1)________{y|y＝x2}；
(1,1)________{(x，y)|y＝x2}．
【解析】 (1)2∈R，而2＝＞，
∴2?{x|x＜}．
(2)∵n2＋1＝3，
∴n＝±?N＋，
∴3?{x|x＝n2＋1，n∈N＋}．
(3)(1,1)是一个有序实数对，在坐标平面上表示一个点，而{y|y＝x2}表示二次函数函数值构成的集合，
故(1,1)?{y|y＝x2}．
集合{(x，y)|y＝x2}表示抛物线y＝x2上的点构成的集合(点集)，且满足y＝x2，
∴(1,1)∈{(x，y)|y＝x2}．
【答案】 (1)∈ ? (2)? (3)? ∈
7．已知集合C＝{x|∈Z，x∈N*}，用列举法表示C＝________.
【解析】 由题意知3－x＝±1，±2，±3，±6，
∴x＝0，－3,1,2,4,5,6,9.
又∵x∈N*，
∴C＝{1,2,4,5,6,9}．
【答案】 {1,2,4,5,6,9}
8．已知集合A＝{－2,4，x2－x}，若6∈A，则x＝________.
【解析】 由于6∈A，所以x2－x＝6，即x2－x－6＝0，解得x＝－2或x＝3.
【答案】 －2或3
三、解答题
9．选择适当的方法表示下列集合：
(1)绝对值不大于3的整数组成的集合；
(2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解组成的集合；
(3)一次函数y＝x＋6图像上所有点组成的集合．
【解】 (1)绝对值不大于3的整数是－3，－2，－1,0,1,2,3，共有7个元素，用列举法表示为{－3，－2，－1,0,1,2,3}；
(2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解仅有两个，分别是，－2，用列举法表示为{，－2}；
(3)一次函数y＝x＋6图像上有无数个点，用描述法表示为{(x，y)|y＝x＋6}．
10．已知集合A中含有a－2,2a2＋5a,3三个元素，且－3∈A，求a的值．
【解】 由－3∈A，得a－2＝－3或2a2＋5a＝－3.
(1)若a－2＝－3，则a＝－1，
当a＝－1时，2a2＋5a＝－3，
∴a＝－1不符合题意．
(2)若2a2＋5a＝－3，则a＝－1或－.
当a＝－时，a－2＝－，符合题意；
当a＝－1时，由(1)知，不符合题意．
综上可知，实数a的值为－.
11．已知数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)，如果a＝2，试求出A中的所有元素．
【解】 ∵2∈A，由题意可知，＝－1∈A；
由－1∈A可知，＝∈A；
由∈A可知，＝2∈A.
故集合A中共有3个元素，它们分别是－1，，2.
一、选择题
1．下列五个关系式：
①0?{0}；②0∈{0}；③?＝{0}；④?∈{0}；⑤??{0}，其中正确的是
( )
A．①③ B．①⑤
C．②④ D．②⑤
【解析】 本题考查元素与集合、空集与非空集合的关系，其中0∈{0}，??{0}．
【答案】 D
2．已知M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}，其中能表示集合M、N关系的Venn图是( )
【解析】 由于N＝{0，－1}，显然，N?M.
【答案】 B
3．(2013·深圳检测)满足M?{1,2,3}的集合M的个数是( )
A．8 B．7 C．6 D．5
【解析】 ∵M?{1,2,3}，∴M可能为?，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}共7个．
【答案】 B
4．(2013·桂林检测)设A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，且A?B，则实数a的取值范围为( )
A．a<1 B．a≤1 C．a>1 D．a≥1
【解析】 如图，结合数轴可知a≤1时，有A?B.
【答案】 B
5．若集合A＝{1,3，x}，B＝{x2,1}，且B?A，则满足条件的实数x的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 因为B?A，则x2＝3或x2＝x.
当x2＝3时，x＝±，此时，A＝{1,3，±}，B＝{3,1}，符合题意．
当x2＝x时，x＝0或x＝1(舍去)，此时，A＝{0,1,3}，B＝{0,1}，符合题意，故x＝0，±.
【答案】 C
二、填空题
6．已知 ??{x|x2＋x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．
【解析】 ∵??{x|x2＋x＋a＝0}，
∴方程x2＋x＋a＝0有实根，
∴Δ＝12－4a≥0，∴a≤.
故实数a的取值范围是{a|a≤}．
【答案】 {a|a≤}
7．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且A?B，则a的值为________．
【解析】 因为A?B，则a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a，解得a＝2或a＝－1或a＝1，结合集合元素的互异性，可确定a＝－1或a＝2.
【答案】 －1或2
8．设a，b∈R，集合{0，，b}＝{1，a＋b，a}，则b－a＝________.
【解析】 由于{0，，b}＝{1，a＋b，a}，所以a＋b＝0，即a＝－b，所以＝－1，则a＝－1，b＝1.因此，b－a＝2.
【答案】 2
三、解答题
9．设集合A＝{1，a，b}，集合B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求实数a，b的值．
【解】 由集合相等的定义得①或②
解①得或解②得
由集合中元素的互异性，得a＝－1，b＝0.
10．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．
(1)若A?B，求a的取值范围；
(2)若B?A，求a的取值范围．
【解】 (1)若A?B，由图可知，a>2.
故实数a的取值范围为{a|a>2}．
(2)若B?A，由图可知，1≤a≤2.
故实数a的取值范围为{a|1≤a≤2}．
11．已知非空集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，B＝{x|x2－8x＋15＝0}，且A?B.
(1)写出集合B所有的子集；
(2)求a＋b的值．
【解】 (1)∵B＝{3,5}，
∴集合B的所有子集为?，{3}，{5}，{3,5}．
(2)∵A≠?且A?B，
∴A＝{3}或A＝{5}或A＝{3,5}．
①当A＝{3}时，有∴
∴a＋b＝15.
②当A＝{5}时，有∴
∴a＋b＝35.
③当A＝{3,5}时，有
∴a＋b＝23.
综上知a＋b＝15或a＋b＝23或a＋b＝35.
一、选择题
1．A、B是两个集合，则集合{x|x∈A，且x∈B}可用阴影表示为( )
【解析】 集合{x|x∈A，且x∈B}＝A∩B，故D正确．
【答案】 D
2．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|－1＜x＜2}，则A∩B＝( )
A．{x|－1＜x＜2} B．{x|x＞－1}
C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}
【解析】 由图知A∩B＝{x|1＜x＜2}，故选D.
【答案】 D
3．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有
( )
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【解析】 ∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，
∴M∩N＝{1,3}．∴M∩N的子集共有22＝4个．
【答案】 B
4．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝( )
A．{1,2} B．{1,5}
C．{2,5} D．{1,2,5}
【解析】 ∵A∩B＝{2}，∴2∈A,2∈B，
∴a＋1＝2，即a＝1，∴A＝{1，b}，从而b＝2.
∴A＝{1,2}，B＝{2,5}，∴A∪B＝{1,2,5}．
【答案】 D
5．(2012·大纲全国卷)已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝( )
A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或3
【解析】 法一 ∵A∪B＝A，∴B?A.
又A＝{1,3，}，B＝{1，m}，
∴m＝3或m＝.由m＝得m＝0或m＝1.
但m＝1不符合集合中元素的互异性，故舍去，故m＝0或m＝3.
法二 ∵B＝{1，m}，∴m≠1，∴可排除选项C、D.
又当m＝3时，A＝{1,3，}，B＝{1,3}，
∴A∪B＝{1,3，}＝A，
故m＝3适合题意，故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2－2x＝0}，则A∩B＝________，A∪B＝________.
【解析】 由x2＋x－6＝0，得x＝－3或x＝2，
所以A＝{－3,2}．
由x2－2x＝0，得x＝0或x＝2，
所以B＝{0,2}．
所以A∩B＝{－3,2}∩{0,2}＝{2}，
A∪B＝{－3,2}∪{0,2}＝{－3,0,2}．
【答案】 {2} {－3,0,2}
7．已知集合A满足{1,3}∪A＝{1,3,5}，则满足条件的所有集合A的个数是________．
【解析】 由题意5∈A，且A?{1,3,5}，
所以满足条件的集合A有{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}，共4个．
【答案】 4
8．(2013·苏州检测)设集合A＝{x|－1【解析】 由已知{x|－1【答案】 {a|1三、解答题
9．已知集合A＝{1,3,5}，B＝{1,2，x2－1}，若A∪B＝{1,2,3,5}，求x及A∩B.
【解】 ∵B?(A∪B)，∴x2－1∈A∪B.
∴x2－1＝3或x2－1＝5.
解得x＝±2或x＝±.
若x2－1＝3，则A∩B＝{1,3}
若x2－1＝5，则A∩B＝{1,5}
综上可知x＝±2时，A∩B＝{1,3}；x＝±时，A∩B＝{1,5}．
10．(2013·西安高一检测)已知A＝{x|a＜x≤a＋8}，B＝{x|x＜－1或x＞5}．若A∪B＝R，求a的取值范围．
【解】 由a＜a＋8，又B＝{x|x＜－1或x＞5}，
在数轴上标出集合A、B的解集，如图．
要使A∪B＝R，
则，解得－3≤a＜－1.
综上可知a的取值范围为－3≤a＜－1.
11．若集合A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|x－m＜0}．
(1)若A∩B＝?，求实数m的取值范围；
(2)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．
【解】 (1)∵A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|x＜m}，
又A∩B＝?，∴m≤－2.
故实数m的取值范围为{m|m≤－2}．
(2)∵A＝{x|－2＜x＜4}，
B＝{x|x＜m}，
由A∩B＝A，得A?B，∴m≥4.
故实数m的取值范围为{m|m≥4}.
一、选择题
1．已知f(x)＝，则f(2)＝( )
A．1 B. C. D.
【解析】 f(2)＝＝.
【答案】 C
2．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝x－1和y＝
B．y＝x0和y＝1
C．y＝x2和y＝(x＋1)2
D．f(x)＝和g(x)＝
【解析】 A中y＝x－1定义域为R，而y＝定义域为{x|x≠1}；
B中函数y＝x0定义域{x|x≠0}，而y＝1定义域为R；
C中两函数的解析式不同；
D中f(x)与g(x)定义域都为(0，＋∞)，化简后f(x)＝1，g(x)＝1，所以是同一个函数．
【答案】 D
3．用固定的速度向如图2－2－1所示形状的瓶子中注水，则水面的高度h和时间t之间的关系是( )
图2－2－1
【解析】 水面的高度h随时间t的增加而增加，而且增加的速度越来越快．
【答案】 B
4．函数f(x)＝的定义域为( )
A．[1,2)∪(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1,2] D．[1，＋∞)
【解析】 要使函数有意义，需
解得x≥1且x≠2，
所以函数的定义域是{x|x≥1且x≠2}．
【答案】 A
5．函数f(x)＝(x∈R)的值域是( )
A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1]
【解析】 由于x∈R，所以x2＋1≥1,0<≤1，
即0【答案】 B
二、填空题
6．集合{x|－1≤x<0或1【解析】 结合区间的定义知，
用区间表示为[－1,0)∪(1,2]．
【答案】 [－1,0)∪(1,2]
7．函数y＝的定义域为________．
【解析】 要使函数有意义，自变量x须满足
解得：x≥1且x≠2.
∴函数的定义域为[1,2)∪(2，＋∞)．
【答案】 [1,2)∪(2，＋∞)
8．设函数f(x)＝，若f(a)＝2，则实数a＝________.
【解析】 由f(a)＝2，得＝2，解得a＝－1.
【答案】 －1
三、解答题
9．已知函数f(x)＝＋，
求：(1)函数f(x)的定义域；
(2)f(4)的值．
【解】 (1)由得x>0，所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)f(4)＝＋＝2＋＝.
10．求下列函数的定义域：
(1)y＝；(2)y＝.
【解】 (1)要使y＝有意义，则必须解得x≤0且x≠－，
故所求函数的定义域为{x|x≤0，且x≠－}．
(2)要使y＝有意义，
则必须3x－2>0，即x>，
故所求函数的定义域为{x|x>}．
11．已知f(x)＝，x∈R，
(1)计算f(a)＋f()的值；
(2)计算f(1)＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋f(4)＋f()的值．
【解】 (1)由于f(a)＝，f()＝，
所以f(a)＋f()＝1.
(2)法一 因为f(1)＝＝，f(2)＝＝，f()＝＝，f(3)＝＝，f()＝＝，f(4)＝＝，f()＝＝，
所以f(1)＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋f(4)＋f()＝＋＋＋＋＋＋＝.
法二 由(1)知，f(a)＋f()＝1，则f(2)＋f()＝f(3)＋f()＝f(4)＋f()＝1，即[f(2)＋f()]＋[f(3)＋f()]＋[f(4)＋f()]＝3，
而f(1)＝，所以f(1)＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋f(4)＋f()＝.
