课件47张PPT。教师用书独具演示演示结束正整数指数函数的概念 自变量 点 正整数指数函数的定义 正整数指数函数的图像与性质 正整数指数函数的应用 课时作业（十二）课件48张PPT。教师用书独具演示演示结束分数指数幂 指数幂的运算性质 am＋n amn am·bm 根式与分数指数幂的互化 分数指数幂的运算 课时作业（十三）课件50张PPT。教师用书独具演示演示结束指数函数的定义 y＝ax 大于0 不等1 指数函数的图像与性质 R (0，＋∞) (0,1) 0 1 y>1 0
1 增函数 减函数 指数函数的概念 指数函数的图像 指数函数性质的简单应用 课时作业（十四）课件60张PPT。教师用书独具演示演示结束函数图像的变换 f(x)＋k －f(x) f(－x) －f(－x) f(|x|) |f(x)| 函数图像的作法 与指数函数有关的复合函数 指数函数的综合问题 课时作业（十五）课件49张PPT。教师用书独具演示演示结束对数的定义 b＝logaN 底数 真数 e 10 对数的性质及恒等式 N 1 1 0 0 对数的概念 指数式与对数式的互化 求值 课时作业（十六）课件44张PPT。教师用书独具演示演示结束对数的运算性质 logaM＋logaN nlogaM logaM－logaN 对数运算性质的应用 带有附加条件的对数式求值 课时作业（十七）课件46张PPT。教师用书独具演示演示结束对数换底公式 1 利用换底公式化简求值 用已知对数表示其他对数 对数的实际应用 课时作业（十八）课件49张PPT。教师用书独具演示演示结束对数函数的概念 底数 真数 (0，＋∞) R 10 e 反函数 对数函数y＝logax (a＞0，a≠1) 指数函数y＝ax(a＞0，a≠1) 函数y＝log2x的图像和性质 描点法 (1,0) y＝0 (0，＋∞) R y＞0 y＜0 增 对数函数的定义域 求反函数 函数y＝log2x的图像与性质 课时作业（十九）课件53张PPT。教师用书独具演示演示结束对数函数的图像和性质 (0，＋∞) (1,0) ＞ ＜ ＜ ＞ 非奇非偶函数 比较大小 解对数不等式 对数函数性质的综合应用 课时作业（二十）课件51张PPT。教师用书独具演示演示结束指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 增函数 越快 增函数 越快 增函数 越快 慢 ax>xn>logax 指数函数、对数函数、幂函数的图像 指数函数、对数函数、幂函数增长比较 指数、对数、幂函数增长比较的应用 课时作业（二十一）第三章 指数函数和对数函数
§1正整数指数函数
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)了解正整数指数函数模型的实际背景．
(2)了解正整数指数函数的概念．
(3)理解具体的正整数指数函数的图像特征及函数的单调性．
2．过程与方法
让学生结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程与方法．
3．情感、态度与价值观
通过本节的学习，进一步认识到数学的应用价值，用数学的眼光观察世界．
●重点难点
重点：正整数指数函数的概念及图像特征．
难点：正整数指数函数概念的理解．
通过实例，利用计算器画出两个正整数指数函数图像，加深对概念的理解，突破难点．
(教师用书独具)
●教学建议
1．对于问题1和问题2的学习，必须通过列表、描点、作图、计算器操作等步骤让学生体验数学研究的过程，体验数学实验、数学实践．
2．通过问题1的学习，还要让学生体会指数增长，初步感受“指数爆炸”的含义．
3．计算器的应用是新课标的一个特色，教材中出现“使用科学计算器可算得……”，学习中应适当地加以整合．
4．通过本节课的学习，让学生感受数学的应用以及对正整数指数函数背景的理解，归纳概括出正整数指数函数的定义．从具体问题中归纳出一种重要的数学模型，这种模型化的处理也是学生研究的一个特色．
●教学流程
创设情景，导入新课，通过生活实例激发学生的学习动机?启发诱导探求新知，让学生动手作简单的图像对深刻理解本节课的内容有着一定的促进作用，并完成例1及变式训练?巩固新知，反馈回授，引导学生在同一坐标系下画出指数函数的图像?归纳正整数指数函数的性质，完成例2及其变式训练
?进一步深化学习目标，完成例3及其变式训练?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正
(见学生用书第35页)
课标解读
1.了解正整数指数函数模型的实际背景．
2．了解正整数指数函数的概念．(重点)
3．理解具体的指数函数的图像特征．(重点)
4．会用正整数指数函数解决某些实际问题．(难点)
正整数指数函数的概念
【问题导思】
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一直分裂下去．
1．你能用列表法表示1个细胞分裂次数分别为1,2,3,4,5,6,7,8时，得到的细胞个数吗？
【提示】
分裂次数
1
2
3
4
5
6
7
8
细胞个数
2
4
8
16
32
64
128
256
2．你能用图像表示1个细胞分裂的次数n(n∈N＋)与得到的细胞个数y之间的关系吗？
【提示】
3．请你写出得到的细胞个数y与分裂次数n之间的关系式．
1．正整数指数函数
一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N＋.
2．正整数指数函数的图像特点
前面我们学习过的一次函数与二次函数，它们的图像是连续不间断的，而正整数指数函数的图像是在第一象限内的一群孤立的点．
3．指数型函数
把形如y＝kax(k∈R，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数.
(见学生用书第35页)
正整数指数函数的定义
下列函数中一定是正整数指数函数的是( )
A．y＝(－4)x(x∈N＋) B．y＝()x(x∈N＋)
C．y＝2×3x(x∈N＋) D．y＝x3(x∈N＋)
【思路探究】 熟练掌握定义中的三个特征是解决本题的关键．
【自主解答】 y＝(－4)x的底数－4<0，不是正整数指数函数；y＝2×3x中3x的系数等于2，不是正整数指数函数；y＝x3中自变量x在底数的位置上，是幂函数，不是正整数指数函数；由正整数指数函数的定义知，只有y＝()x是正整数指数函数．
【答案】 B
1．正整数指数函数解析式的基本特征：ax前的系数必须是1，自变量x∈N＋，且x在指数的位置上，底数a是大于零且不等于1的常数．
2．要注意正整数指数函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)与幂函数y＝xa的区别．
若函数y＝(a2－3a＋3)·ax为正整数指数函数，则实数a的值为________．
【解析】 若函数y＝(a2－3a＋3)·ax为正整数指数函数，则ax的系数a2－3a＋3＝1，且底数a>0，a≠1.由此可知，实数a的值为2.
【答案】 2
正整数指数函数的图像与性质
(1)画出函数y＝()x(x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性；
(2)画出函数y＝3x(x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性．
【思路探究】 使用描点法画图像，但因为函数的定义域是N＋，所以图像应是一些孤立的点，画图像时就没有“连线”步骤了．
【自主解答】 (1)函数y＝()x(x∈N＋)的图像如图(1)所示，从图像可知，函数y＝()x(x∈N＋)是单调递减的；
(2)函数y＝3x(x∈N＋)的图像如图(2)所示，从图像可知，函数y＝3x(x∈N＋)是单调递增的．
(1) (2)
1．正整数指数函数是函数的一个特例，它的定义域是由一些正整数组成的集合，它的图像是由一些孤立的点组成的．
2．当01时，y＝ax(x∈N＋)是增函数．
(1)函数y＝()x，x∈N＋的图像是( )
A．一条上升的曲线 B．一条下降的曲线
C．一系列上升的点 D．一系列下降的点
(2)函数y＝7x，x∈N＋的单调递增区间是( )
A．R B．N＋
C．[0，＋∞) D．不存在
【解析】 (1)因为正整数指数函数y＝()x，x∈N＋的底数大于零且小于1，所以它的图像从左向右是一系列下降的点．
(2)虽然正整数指数函数y＝7x，x∈N＋在定义域N＋上单调递增，但是N＋不是区间，所以该函数不存在单调区间．
【答案】 (1)D (2)D
正整数指数函数的应用
某种储蓄按复利计算利息，已知本金为a元，每期利率为r.
(1)写出本利和y(单位：元)关于存期x的函数关系式；
(2)如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和．
【思路探究】 列出本利和随存期逐期变化的情况，总结变化过程便可得到函数关系式，再根据函数关系式求解第(2)小题．
【自主解答】 (1)已知本金为a元，每期利率为r，则
1期后的本利和为a＋a×r＝a(1＋r)元，
2期后的本利和为a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2元，
3期后的本利和为a(1＋r)3元，
……
x期后的本利和为a(1＋r)x元，
所以本利和y关于存期x的函数关系式为
y＝a(1＋r)x，x∈N＋.
(2)已知a＝1 000，r＝2.25%，x＝5，
所以y＝1 000×(1＋2.25%)5＝1 000×1.022 55≈1 117.68(元)．
所以5期后的本利和约为1 117.68元．
1．由特殊到一般的归纳方法是探究增长型函数问题常用的手段．
2．在实际问题中，对于平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值或总产量y，可以用公式y＝N(1＋p)x表示．
已知镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为20克的镭经过x百年后剩留量为y克(其中x∈N＋)，求y与x之间的函数关系式，并求出经过1 000年后镭的质量．(可以用计算器)
【解】 由题意知，镭原来质量为20克，如果把100年看成一个基数，那么每经过100年镭的质量变化如下：
100年后镭的质量为20×95.76%克；
200年后镭的质量为20×(95.76%)2克；
300年后镭的质量为20×(95.76%)3克；
……
x百年后镭的质量为20×(95.76%)x克．
∴y与x之间的函数关系式为
y＝20×(95.76%)x(x∈N＋)．
∴经过1 000年(即x＝10)后镭的质量为y＝20×(95.76%)10＝12.967 95(克)．
(见学生用书第36页)
忽略实际问题中函数的定义域致误
一种机器的年产量原为1万台，在今后10年内，计划使年产量平均比上一年增加10%.
(1)试写出年产量y(万台)随年数x(年)变化的关系式，并写出其定义域；
(2)画出其函数图像．
【错解】 (1)y＝(1＋10%)x＝1.1x，∴y与x的关系式是y＝1.1x，其定义域是[0，＋∞)．
(2)
【错因分析】 本题错误的原因是没有注意自变量x的实际意义，错误地将定义域写成[0，＋∞)．
【防范措施】 解决此类问题首先应认真阅读题意，弄清自变量x的实际意义，再根据实际意义确定函数的定义域．
【正解】 (1)y＝(1＋10%)x＝1.1x，∴y与x的关系式是y＝1.1x，其定义域是{x|x≤10，x∈N＋}．
(2)
1．一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫正整数指数函数，其中x是自变量，定义域为正整数集，图像是一些孤立的点，当a>1时，函数是递增的，当02．形如y＝N(1＋P)x的函数叫做指数型函数．在实际问题中，常常遇到有关增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，增长率为P，则对于时间x的总产值y＝N(1＋P)x.
3．正整数指数函数y＝ax(x∈N＋)从形式上与幂函数形式上的对比：
x
a(α)
形式
指数函数y＝ax
指数
底数
幂
幂函数y＝xα
底数
指数
幂
(见学生用书第37页)
1．函数y＝5x，x∈N＋的值域是( )
A．R B．N＋
C．N D．{5,52,53,54，…}
【解析】 因为函数y＝5x，x∈N＋的定义域为正整数集N＋，所以当自变量x取1,2,3,4，…时，其相应的函数值y依次是5,52,53,54，….因此，函数y＝5x，x∈N＋的值域是{5,52,53,54，…}．
【答案】 D
2．函数y＝()x，x∈N＋是( )
A．增函数 B．减函数
C．奇函数 D．偶函数
【解析】 由正整数指数函数不具有奇偶性，可排除C、D；因为函数y＝()x，x∈N＋的底数大于1，所以此函数是增函数．
【答案】 A
3．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积平均每年比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图像大致为( )
【解析】 y＝f(x)的解析式为y＝(1＋10.4%)x(x≥)．可知函数的图像大致为D选项．
【答案】 D
4．据国务院发展研究中心2 000年发表的《未来20年我国发展前景思路》判断，未来20年，我国GDP(国内生产总值)年平均增长率可望达到7.3%.那么，到2 020年，我国的GDP可望为2 000年的________倍．
【解析】 如果把我国2 000年的GDP看成是1个单位，2 001年为第1年，那么1年后，即2001年的GDP为2 000年的(1＋7.3%)1倍．
同理，2 002年的GDP为2 000年的(1＋7.3%)2倍，依此类推，2 020年的GDP为2 000年的(1＋7.3%)20倍．
【答案】 (1＋7.3%)20
(见学生用书第101页)
一、选择题
1．下列函数：①y＝3x2(x∈N＋)；②y＝5x(x∈N＋)；③y＝3x＋1(x∈N＋)；④y＝3×2x(x∈N＋)，其中正整数指数函数的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】 由正整数指数函数的定义知，只有②中的函数是正整数指数函数．
【答案】 B
2．函数f(x)＝()x，x∈N＋，则f(2)等于( )
A．2 B．8 C．16 D.
【解析】 ∵f(x)＝(x)x∈N＋，
∴f(2)＝()2＝.
【答案】 D
3．(2013·阜阳检测)若正整数指数函数过点(2,4)，则它的解析式为( )
A．y＝(－2)x B．y＝2x
C．y＝()x D．y＝(－)x
【解析】 设y＝ax(a＞0且a≠1)，
由4＝a2得a＝2.
【答案】 B
4．正整数指数函数f(x)＝(a＋1)x是N＋上的减函数，则a的取值范围是( )
A．a<0 B．－1C．0【解析】 ∵函数f(x)＝(a＋1)x是正整数指数函数，且f(x)为减函数，
∴0∴－1【答案】 B
5．由于生产电脑的成本不断降低，若每年电脑价格降低，设现在的电脑价格为8 100元，则3年后的价格可降为( )
A．2 400元 B．2 700元
C．3 000元 D．3 600元
【解析】 1年后价格为
8 100×(1－)＝8 100×＝5 400(元)，
2年后价格为
5 400×(1－)＝5 400×＝3 600(元)，
3年后价格为
3 600×(1－)＝3 600×＝2 400(元)．
【答案】 A
二、填空题
6．已知正整数指数函数y＝(m2＋m＋1)()x(x∈N＋)，则m＝______.
【解析】 由题意得m2＋m＋1＝1，
解得m＝0或m＝－1，
所以m的值是0或－1.
【答案】 0或－1
7．比较下列数值的大小：
(1)()3________()5；
(2)()2________()4.
【解析】 由正整数指数函数的单调性知，
()3<()5，()2>()4.
【答案】 (1)< (2)>
8．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2012年产生的垃圾量为a吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为________吨，2020年的垃圾量为________吨．
【解析】 由题意知，下一年的垃圾量为a×(1＋b)，从2012年到2020年共经过了8年，故2020年的垃圾量为a×(1＋b)8.
【答案】 a×(1＋b) a×(1＋b)8
三、解答题
9．已知正整数指数函数f(x)＝(3m2－7m＋3)mx，x∈N＋是减函数，求实数m的值．
【解】 由题意，得3m2－7m＋3＝1，解得m＝或m＝2，又f(x)是减函数，则010．已知正整数指数函数f(x)的图像经过点(3,27)，
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求f(5)；
(3)函数f(x)有最值吗？若有，试求出；若无，说明原因．
【解】 (1)设正整数指数函数为f(x)＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)，因为函数f(x)的图像经过点(3,27)，所以f(3)＝27，即a3＝27，解得a＝3，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3x(x∈N＋)．
(2)f(5)＝35＝243.
(3)∵f(x)的定义域为N＋，且在定义域上单调递增，
∴f(x)有最小值，最小值是f(1)＝3；f(x)无最大值．
11．某种细菌每隔两小时分裂一次(每一个细菌分裂成两个，分裂所需时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y是研究时间t的函数，记作y＝f(t)．
(1)写出函数y＝f(t)的定义域和值域；
(2)在坐标系中画出y＝f(t)(0≤t<6)的图像；
(3)写出研究进行到n小时(n≥0，n∈Z)时，细菌的总个数(用关于n的式子表示)．
【解】 (1)y＝f(t)的定义域为{t|t≥0}，值域为{y|y＝2m，m∈N＋)}；
(2)0≤t<6时，f(t)为一分段函数，
y＝
图像如图所示．
(3)n为偶数且n≥0时，y＝2＋1；
n为奇数且n≥0时，y＝2＋1.
∴y＝
(教师用书独具)
已知正整数指数函数y＝(1－m)x，x∈N＋是增函数，则实数m的取值范围是________．
【思路探究】 正整数指数函数的单调性由底数1－m来确定．
【自主解答】 根据函数的单调性可得到底数1－m大于1，即1－m>1，所以实数m的取值范围是(－∞，0)．
【答案】 (－∞，0)
若正整数指数函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)是增函数，则必有a>1；若是减函数，则必有0(1)若正整数指数函数f(x)＝(a－1)x在定义域N＋上是减函数，则a的取值范围是________．
(2)比较下列各组幂值的大小(用“>”或“<”填空)．
①1.5819________1.5820；②0.52 009________0.52 010.
【解析】 (1)因为正整数指数函数f(x)＝(a－1)x在定义域N＋上是减函数，所以其底数满足0即1(2)由于每组中两个幂的底数相同，且指数都是正整数，所以，可构造正整数指数函数，利用正整数指数函数的单调性来比较大小．
①考虑正整数指数函数y＝1.58x，x∈N＋.
∵1.58>1，∴y＝1.58x在N＋上是增函数．
又∵19<20，∴1.5819<1.5820.
②考虑正整数指数函数y＝0.5x，x∈N＋.
∵0<0.5<1，∴y＝0.5x在N＋上是减函数．
又∵2 009<2 010，∴0.52 009>0.52 010.
【答案】 (1)(1,2) (2)①< ②>§2指数扩充及其运算性质
2．1 指数概念的扩充
2．2 指数运算的性质
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)在前面学习整数指数幂的运算的基础上引入了分数指数的概念及运算．
(2)能够利用分数指数幂的运算性质进行运算化简．
2．过程与方法
(1)让学生了解分数指数幂的扩展，进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义．
(2)随着数的扩展，相应的运算性质也要判断能否延用和拓展．
3．情感、态度与价值观
使学生通过学习分数指数幂的运算体会学习指数扩展的重要意义，增强学习数学的积极性和自信心．
●重点难点
重点：分数指数幂的运算性质．
难点：难点是根式概念及分数指数的运算与化简．
在教学中突破重点、难点的方法是在给出定义前，让学生类比平方根、立方根举些例子，给出定义后再为学生提供一些实例，比较、巩固概念并获得根式的性质．在具体教学过程中可以让学生多从具体实例中自己探究、归纳根式的性质结论．
(教师用书独具)
●教学建议
本节安排的内容蕴含了推广的思想(指数幂运算律的推广)，逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)．同时，教材充分关注与实际问题的联系，体现数学的应用价值．建议教学时通过具体、实际的问题来体现数学思想及价值，教学过程中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算机或计算器创设教学情景，为学生的数学探究与数学思维提供支持．
●教学流程
新课导入，把正整数指数幂进一步扩充到分数指数幂?新知探究，导出分数指数幂的定义，完成课本例1，能写成分数指数幂的形式?能将根式和分数指数幂进行互化，完成例1及其变式训练?将分数指数幂进一步扩充到有理指数幂
?类比正整数指数幂的运算性质，得出有理指数幂的运算性质?根据运算性质完成例2、例3及其变式训练，强化对运算性质的掌握?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正
(见学生用书第37页)
课标解读
1.理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点)
2．了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用实数指数幂逼近的思想方法．(易混点)
3．掌握指数的运算性质，能熟练地进行指数的运算．(重点、难点)
分数指数幂
【问题导思】
1．判断下列运算是否正确．
(1)＝＝34＝3；
(2)＝＝23＝2.
【提示】 正确．
2．试想当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式能否用分数指数幂表示？
【答案】 能．
1．定义
给定正实数a，对于任意给定的正整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，把b叫作a的次幂，记作b＝a，它就是分数指数幂．
2．几个结论
(1)正分数指数幂的根式形式：a＝(a>0)．
(2)负分数指数幂的意义：a－＝(a>0，m，n∈N＋，且n>1)．
(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．
指数幂的运算性质
【问题导思】
1．整数指数幂的运算性质有哪些？
【提示】 (1)am·an＝am＋n；(2)(am)n＝amn；
(3)(a·b)m＝am·bm；(4)＝am－n.
2．计算(22)和22×，它们之间有什么关系？
【提示】 (22)＝4＝2,22×＝21＝2，相等．
若a>0，b>0，对任意实数m，n，指数运算有以下性质
(1)am·an＝am＋n；
(2)(am)n＝amn；
(3)(ab)m＝am·bm.
(见学生用书第38页)
根式与分数指数幂的互化
(1)3可化为( )
A. B. C. D.
(2)可化为( )
A．a－ B．a C．a D．－a
【思路探究】 熟练应用＝a是解决该类问题的关键．
【自主解答】 (1)3＝(33)＝.
(2) ＝(a－2)＝a－.
【答案】 (1)D (2)A
根式与分数指数幂的互化规律
1．关于式子＝a的两点说明；
(1)根指数n?分数指数的分母；
(2)被开方数(式)的指数m?分数指数的分子；
2．通常规定分数指数幂的底数a>0，但像(－a)＝中的a则需要a≤0.
将下列各根式化为分数指数幂的形式：
(1)；(2).
【解】 (1)＝＝a－.
(2)＝(a－b).
求指数幂a的值
求下列各式的值：
(1)64；(2)81－.
【思路探究】 结合分数指数幂的定义，即满足bn＝am时，a＝b(m，n∈N＋，a，b>0)求解．
【自主解答】 (1)设64＝x，则x3＝642＝4 096，
又∵163＝4 096，∴64＝16.
(2)设81－＝x, 则x4＝81－1＝，
又∵()4＝，∴81－＝.
解决此类问题时，根据分数指数幂的定义将分数指数幂转化为熟悉的整数指数幂，进而转化为正整数指数幂．
求下列各式的值：
(1)125；(2)128－.
【解】 (1)设125＝x，则x3＝125，
又∵53＝125，∴x＝5.
(2)设128－＝x，则x7＝128－1＝，
又∵()7＝，∴128－＝.
分数指数幂的运算
计算下列各式：
(1)(0.064)－－(－)0＋[(－2)3]－＋16－0.75＋|－0.01|；
(2)÷ (a>0)．
【思路探究】 (1)将负分数指数化为正分数指数，将小数指数化为分数指数．
(2)将根式化为分数指数幂．
【自主解答】 (1)原式＝[(0.4)3]－－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋[(0.1)2]＝(0.4)－1－1＋＋＋0.1＝.
(2)原式＝[a··a·(－)]÷[a·(－)·a·]＝a－＋－＝a0＝1.
1．化简的顺序与要求：
(1)四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的；
(2)运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数．
2．化简的方法与技巧：一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数、化根式为分数指数幂、化小数为分数、化底数为质数等，便于进行幂的运算．
计算：
(1)(0.0081)－÷(3)－－10×0.027；
(2)(2)0＋2－2×(2.25)－－()0.5.
【解】 (1)原式＝(0.34)－÷()－－10×(0.33)
＝0.3－1÷－3＝×－3＝2.
(2)原式＝1＋×()－－()
＝1＋×[()2]－－[()2]
＝1＋－＝.
(见学生用书第39页)
忽略a成立的条件致误
化简(1－a)[(a－1)－2(－a)].
【错解】 原式＝(1－a)(a－1)－2×(－a)×
＝(1－a)(a－1)－1(－a)
＝－(－a).
【错因分析】 错解中忽略了条件(－a)成立的条件，若(－a)成立，则－a≥0，故a≤0，这样[(a－1)－2]＝(1－a)－1.
【防范措施】 1.化简指数式时，应该先讨论其中字母的取值范围，通常根据指数幂的指数来讨论，也可以化为根式，利用偶次方根的被开方数为非负数，奇次方根的被开方数是任意实数来求出其中字母的取值范围．
2．(am)n＝anm只有在a>0时一定成立，若a<0，且m为偶数，则需转化为(am)n＝[(－a)m]n＝(－a)mn.
【正解】 由式子(－a)知，－a≥0，即a≤0，所以a－1<0，所以
(1－a)[(a－1)－2(－a)]
＝(1－a)(1－a)－1(－a)
＝(－a).
1．在根式的化简与运算中，一般是先将根式化成分数指数幂，再进行运算．
2．幂的运算中，结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能同时含有分母和负分数指数幂，若无特殊说明，结果一般用分数指数幂的形式表示．
3．对条件求值问题，要弄清已知与未知的联系，采用“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值.
(见学生用书第39页)
1．计算243等于( )
A．9 B．3 C．±3 D．－3
【解析】 由35＝243，得243＝3.
【答案】 B
2．下列各式运算错误的是( )
A．(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8
B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3
C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6
D．[(a3)2·(－b2)3]3＝－a18b18
【解析】 对C，(－a3)2·(－b2)3＝a6·(－b6)＝－a6b6≠a6b6.
【答案】 C
3.(a>0)的值是( )
A．1 B．a C．a D．a
【解析】 原式＝＝＝＝a3－＝a.
【答案】 D
4．计算0.064－－(－)0＋160.75＋0.25的值．
【解】 原式＝(0.43)－－1＋(24)＋(0.52)
＝0.4－1－1＋8＋
＝＋7＋＝10.
(见学生用书第103页)
一、选择题
1．若b－3n＝5m(m，n∈N＋)，则b＝( )
A．5－ B．5－ C．5 D．5
【解析】 若bn＝am(m，n∈N＋，a>0，b>0)，则b＝a.所以b＝5－.
【答案】 B
2．2×5＝( )
A．103 B．10 C．310 D．7
【解析】 由实数指数幂的运算性质(ab)n＝anbn知，2×5＝(2×5)＝10.
【答案】 B
3．将化为分数指数幂为( )
A．2 B．－2 C．2－ D．－2－
【解析】 ＝(－2×2)＝(－2)＝－2.
【答案】 B
4．设a>0，将表示成分数指数幂，其结果是( )
A．a B．a C．a D．a
【解析】 ＝＝＝＝＝a2－＝a.
【答案】 C
5．(2013·大连高一检测)计算(2a－3b－)·(－3a－1b)÷(4a－4b－)，得( )
A．－b2 B.b2 C．－b D.b
【解析】 原式＝[2×(－3)÷4]×a－3－1＋4·b－＋1＋＝－a0b2＝－b2.
【答案】 A
二、填空题
6．用分数指数幂表示下列各式(式中a>0)，
(1)＝________；(2)＝________.
【解析】 (1)＝a.
(2)＝＝a－.
【答案】 (1)a (2)a－
7．0.25×(－)－4－4÷20－()－＝________.
【解析】 原式＝×16－4－4＝－4.
【答案】 －4
8．已知10α＝2,100β＝3，则1 0002α－β＝________.
【解析】 ∵100β＝3，即102β＝3，
∴10β＝3.
∴1 0002α－β＝106α－β＝
＝＝.
【答案】
三、解答题
9．计算：
(1)32－－(2)－＋0.5－2；
(2)1.5－×(－)0＋80.25×＋(×)6－.
【解】 (1)原式＝(25)－－()－＋()－2＝2－3－[()3]＋22＝－＋4＝.
(2)原式＝()×1＋(23)×2＋(2)6×(3)6－[()]＝()＋(23×2)＋22×33－()＝2＋4×27＝110.
10．化简(式中各字母均为正数)：
(1)(2x＋3y－)(2x－3y－)；
(2)(2ab)(－6ab)÷(－3ab)．
【解】 (1)原式＝(2x)2－(3y－)2＝4x－9y－
＝4x－.
(2)原式＝[2×(－6)÷(－3)]a＋－b＋－
＝4a1·b0＝4a.
11．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值．
【解】 ∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，
∴∵a>b>0，∴>>0.
∴>0.
()2＝＝＝＝，
∴＝＝.
(教师用书独具)
已知a＋a－＝3，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3).
【思路探究】 (1)已知条件两边平方即可．(2)利用(1)的结果再平方即可．(3)先运用平方差公式化简，再整体代入．
【自主解答】 (1)∵a＋a－＝3，
∴(a＋a－)2＝9，
即a＋2＋a－1＝9，∴a＋a－1＝7.
(2)由(1)知，a＋a－1＝7，
∴(a＋a－1)2＝49，
即a2＋2＋a－2＝49，
∴a2＋a－2＝47.
(3)由于a－a－1＝(a＋a－)(a－a－)
所以原式＝a＋a－＝3.
1．对于条件求值问题，需要充分利用已知条件和分数指数幂的运算性质进行化简、求值．
2．此类问题通常不直接代入求值，而应整体上把握已知式和所求式的特点，用整体代入法求解．
(1)已知2m＋2－m＝5，则4m＋4－m的值为________．
(2)已知x＋x－＝5，则的值为( )
A．5 B．23 C．25 D．27
【解析】 (1)∵2m＋2－m＝5，
∴(2m＋2－m)2＝25，
即4m＋2＋4－m＝25，
∴4m＋4－m＝23.
(2)∵x＋x－＝5，∴x＋2＋x－1＝25，
∴x＋x－1＝23.
∴＝x＋＝x＋x－1＝23.
【答案】 (1)23 (2)B
指数的历史
n个相同的因数a相乘，即，记作an，叫做a的n次幂，这时n叫做指数．本来幂的指数总是正整数，后来随着数的扩充，指数概念也不断发展．
正整数指数幂，特别是与面积、体积的计算紧密相联系的平方和立方的概念，在一些文明古国很早就有了．我国汉代曾有人提出过负整数指数的概念，可惜的是未曾流传开.15世纪末，法国数学家休凯引入了零指数的概念.17世纪英国瓦利士在他的《无穷小算术》中提出了负指数，他写道：“平方指数倒数的数列，，，…的指数是－2，立方指数倒数的数列，，，…的指数是－3，两者逐项相乘，就得到‘五次幂倒数’的数列，，，…的指数显然是(－2)＋(－3)＝－5.同样，‘平方根倒数’的数列，，，…的指数是－，…”．这是一个巨大的进步，不过瓦利士没有真正使用2－2,2－3,2－的指数符号，只是说，，，…的指数是－2，－3和－.
分数指数幂最早在奥力森的《比例算法》中出现，他使用的符号并不简洁．现行的分数指数和负指数符号是牛顿创设的．他在1676年6月13日写信给莱布尼茨，里面说到“因为代数学家将aa，aaa，aaaa等写成a2，a3，a4等，所以我将Va，Va3写成a，a；又将，，，…写成a－1，a－2，a－3，…”．他信中的“Va”与“Va3”就是现在的与.牛顿还首先使用任意实数指数的概念．§3指数函数
3．1 指数函数的概念
3．2 指数函数y＝2x和y＝()x的图像和性质
3．3 指数函数的图像和性质
第1课时 指数函数的图像与性质
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像、性质及其简单应用．
2．过程与方法
培养学生数形结合的意识，提高学生观察、分析、归纳的思维能力．
3．情感、态度与价值观
通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问、善于探索的思维品质．
●重点难点
重点：指数函数的概念、图像和性质及其应用．
难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用．
教学时，要让学生体会其中隐含的函数关系，引导学生通过y＝2x和y＝()x两个函数，感受到这两个函数中的指数幂具有的共性：可以写为y＝ax的形式．在学习指数函数的性质时，建议尽可能地引导学生通过观察图像，自己归纳概括出指数函数的性质．为了使学生能够主动研究指数函数的图像和性质，教师可以充分利用信息技术提供互动环境，先引导学生随意地取a的值，并在同一个平面直角坐标系内画出它们的图像，然后再通过底数a的连续动态变化展示函数图像的分布情况，这样就会使学生比较容易地概括出指数函数的性质．
(教师用书独具)
●教学建议
为充分贯彻新课程理念，使教学过程真正成为学生学习过程，让学生体验数学发现和创造的历程，本节课拟采用直观教学法、启发发现法、课堂讨论法等教学方法．以多媒体演示为载体，启发学生观察思考，分析讨论为主，教师适当引导点拨，让学生始终处在教学活动的中心．
●教学流程
从指数概念的扩充过程引出指数函数的概念，并完成例1及变式训练?通过描点法做出函数y＝2x和y＝()x的图像，观察两个函数图像的特征?通过例2及其变式训练，加深对指数函数的认识?通过多媒体课件展示当底数a取不同的值时函数图像，让学生直观感知底数对图像的影响
?通过例3及其变式训练，让学生初步掌握函数的图像和性质?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正
(见学生用书第40页)
课标解读
1.理解指数函数的概念．
2．通过具体指数函数的图像，体会指数函数图像与底数a的关系．(重点易混点)
3．掌握指数函数的图像与性质及其简单应用．(难点)
指数函数的定义
【问题导思】
已知函数y＝2x，y＝()x.
1．上面两个关系式是函数式吗？
【提示】 是．
2．这两个函数形式上有什么共同点？
【提示】 底数为常数，指数为自变量．
函数y＝ax叫作指数函数，自变量x在指数位置上，底数a是一个大于0且不等1的常量．
指数函数的图像与性质
【问题导思】
1．试作出函数y＝2x(x∈R)和y＝()x(x∈R)的图像
【提示】
2．两函数图像有无交点？
【提示】 有交点，其坐标为(0,1)．
3．两函数图像与x轴有交点吗？
【提示】 没有交点，图像在x轴上方．
4．两函数的定义域是什么，值域是什么？
【提示】 定义域是R，值域是(0，＋∞)．
5．两函数的单调性如何？
【提示】 y＝2x是增函数，y＝()x是减函数．
a>1
0图
象
性质
定义域：R
值域：(0，＋∞)
过点(0,1)，即x＝0时，y＝1
x>0时，y>1；
x<0时，0x>0时，0x<0时，y>1
是R上的增函数
是R上的减函数
(见学生用书第40页)
指数函数的概念
指出下列函数哪些是指数函数．
(1)y＝4x；(2)y＝x4；(3)y＝－4x；(4)y＝(－4)x；(5)y＝πx；(6)y＝4x2；(7)y＝xx；(8)y＝(2a－1)x(a>，且a≠1)．
【思路探究】 紧扣指数函数的定义，能否转化为y＝ax(a>0且a≠1)的形式．
【自主解答】 (1)(5)(8)为指数函数，(2)是幂函数；(3)是－1与指数函数y＝4x的乘积；(4)中底数－4<0，所以它不是指数函数，(6)中指数不是x，(7)中底数x不是常数．
一般地，函数y＝ax叫作指数函数，其中a是一个大于零且不等于1的常数，x是自变量，正确完成例1需要准确理解指数函数的定义．严格对比指数函数的定义是解决好本题的关键．
已知指数函数f(x)＝(a2－8)ax的图像过点(－1，)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求f(－)的值．
【解】 (1)∵f(x)＝(a2－8)ax为指数函数，
∴a2－8＝1.①
又∵图像过点(－1，)，∴f(－1)＝.②
联立①②得a＝3，
∴f(x)＝3x.
(2)f(－)＝3－＝＝.
指数函数的图像
设f(x)＝3x，g(x)＝()x.
(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图像；
(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？
【思路探究】 建系→列表→描点→连线
【自主解答】 (1)函数f(x)与g(x)的图像如图所示：
(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝()－1＝3；
f(π)＝3π，g(－π)＝()－π＝3π；
f(m)＝3m，g(－m)＝()－m＝3m.
从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图像关于y轴对称．
1．指数函数的图像根据底数不同分为两类：
(1)当0(2)当a>1时，指数函数y＝ax是定义域R上的增函数．
2．不论底数取何值，指数函数的图像恒过点(0,1)．即要求指数型函数过定点，只需让指数位置等于0即可．
(1)指数函数y＝ax与y＝bx的图像如图3－3－1所示，则( )
图3－3－1
A．a<0，b<0 B．a<0，b>0
C．01 D．0(2)函数y＝15x的图像是( )
【解析】 (1)结合图像易知01.
(2)因为指数函数y＝15x的底数15>1，所以函数y＝15x是R上的增函数，排除A、C；又因为当x＝0时，y＝1，即图像过点(0,1)，故选B.
【答案】 (1)C (2)B
指数函数性质的简单应用
比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.72.5,1.73；
(2)2.3－0.28,0.67－3.1.
【思路探究】 (1)构造指数函数，利用其单调性比较大小；(2)利用中间量1比较大小．
【自主解答】 (1)(单调性法)由于1.72.5与1.73的底数是1.7，
故构造函数y＝1.7x，
则函数y＝1.7x在R上是增函数．
又2.5<3，所以1.72.5<1.73.
(2)(中间量法)由指数函数的性质，知
2．3－0.28<2.30＝1,0.67－3.1>0.670＝1，
所以2.3－0.28<0.67－3.1.
比较指数式大小的方法
1．单调性法：比较同底数幂的大小，可构造指数函数，利用指数函数的单调性比较大小．
2．中间量法：比较不同底且不同指数幂的大小，常借助于中间值1进行比较．利用口诀“同大异小”，判断指数幂和1的大小．
(1)下列不等关系中，正确的是( )
A．()<1<() B．()<()<1
C．1<()<() D．()<()<1
(2)(2013·长沙高一检测)设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝()－1.5，则( )
A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3
C．y1>y3>y2 D．y1>y2>y3
【解析】 (1)∵函数y＝()x在R上是减函数，而0<<，
∴()<()<()0，即()<()<1.
(2)从形式上看，三个幂式的底数和指数各不相同，但根据指数的运算性质可得，y1＝40.9＝(22)0.9＝21.8，y2＝80.48＝(23)0.48＝21.44，y3＝()－1.5＝(2－1)－1.5＝21.5.
因为指数函数y＝2x(x∈R)是增函数，所以21.8>21.5>21.44，即y1>y3>y2.
【答案】 (1)D (2)C
(见学生用书第42页)
忽略对指数函数底数a的讨论致误
求函数y＝(a>0且a≠1)的定义域．
【错解】 要使函数式有意义，则ax－1≥0，即ax≥1，解得x≥0，故函数y＝(a>0且a≠1)的定义域为[0，＋∞)．
【错因分析】 解不等式ax≥1时需用到指数函数的单调性，故需对底数a分类讨论，错解默认了a>1.
【防范措施】 对涉及到含参数的不等式问题，需注意是否对参数进行讨论．
【正解】 要使函数式有意义，则ax－1≥0，即ax≥1.
易得：当a>1时，有x≥0；当0故当a>1时，函数的定义域为[0，＋∞)；
当01．指数函数定义中y＝ax具备的特点：
指数函数a是一个常数，不含自变量，a>0
且a≠1ax的系数为1指数位置是x且它的系数为1
2．指数函数中，底数a决定了函数的部分性质，当a>1时函数是增加的，当03．比较幂的大小的常用方法：
(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；
(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断；
(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．
(见学生用书第42页)
1．函数y＝(a2－a－5)ax是指数函数，则有( )
A. a＝－2或a＝3 B．a＝－2
C．a＝3 D．a>0且a≠1
【解析】 因为“一般地，函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数”，所以函数y＝(a2－a－5)ax是指数函数的条件是解得a＝3，故选C.
【答案】 C
2．函数y＝的定义域是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，0]
C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)
【解析】 由题意得1－2x≥0，即2x≤1，所以x≤0.
【答案】 B
3．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________．
【解析】 由题意知，0＜2－a＜1，即1＜a＜2.
【答案】 (1,2)
4．已知指数函数的图像过点M(3,8)，求f(4)，f(－4)的值．
【解】 设指数函数是y＝ax(a>0，a≠1)，则有
8＝a3，∴a＝2，∴y＝2x.
从而f(4)＝24＝16，f(－4)＝2－4＝.
(见学生用书第105页)
一、选择题
1．下列函数一定是指数函数的是( )
A．y＝5x＋1 B．y＝x4
C．y＝3－x D．y＝2·3x
【解析】 y＝5x＋1＝5·5x与y＝2·3x都不符合指数函数的定义，y＝x4是幂函数．
【答案】 C
2．函数y＝()的值域是( )
A．(－∞，0) B．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
【解析】 由≥0且y＝()x是减函数，知0【答案】 B
3．已知a＝30.2，b＝53，c＝3－0.2，则a，b，c三者的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
【解析】 因为b＝53>a＝30.2>1，而0所以b>a>c.
【答案】 B
4．(2013·贵阳高一检测)已知函数f(x)＝则f(f(－1))＝( )
A．2 B. C．0 D.
【解析】 f(－1)＝2－1＝，f(f(－1)＝f()＝3＝.
【答案】 B
5．不等式2x>()x－x2的解集为( )
A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(－∞，0)∪(0，＋∞)
C．(0,2) D．[0,2]
【解析】 ∵()x－x2＝2x2－x且y＝2x在R上单调递增，
∴原不等式转化为x>x2－x即x2－2x<0，
∴解集为(0,2)．
【答案】 C
二、填空题
6．已知指数函数的图像过点(－1,2)，则f(－2)＝____.
【解析】 设指数函数的解析式为y＝ax(a>0且a≠1)，将(－1,2)代入得2＝a－1，
∴a＝，∴y＝()x，∴f(－2)＝()－2＝4.
【答案】 4
7．当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝2x－2的值域为________．
【解析】 ∵－1≤x≤1，∴＝2－1≤2x≤21＝2，
∴－≤2x－2≤0.
【答案】 [－，0]
8．函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值为________．
【解析】 若a>1，则f(x)在[1,2]上递增，f(x)max＝f(2)＝a2，f(x)min＝f(1)＝a，
由题意a2－a＝，∴a＝或a＝0(舍去)．
若0∴a－a2＝，∴a＝或a＝0(舍去)．
【答案】 或
三、解答题
9．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图像经过点(2，)，其中a>0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
【解】 (1)函数图像过点(2，)，
所以a2－1＝，则a＝.
(2)f(x)＝()x－1(x≥0)，
由x≥0，得x－1≥－1，
于是0<()x－1≤()－1＝2.
所以，所求的函数值域为(0,2]．
10．如果2×22x>()1－x，求x的取值范围．
【解】 ∵2×22x>()1－x，
∴22x＋1>2x－1，
∴2x＋1>x－1，
∴x>－2.即x∈(－2，＋∞)．
11．求函数y＝()x＋()x＋1的值域．
【解】 令t＝()x，t∈(0，＋∞)，则原函数可化为y＝t2＋t＋1＝(t＋)2＋.因为函数y＝(t＋)2＋在t∈(0，＋∞)上是增函数，所以y>1，即原函数的值域是(1，＋∞).
(教师用书独具)
右图是指数函数(1)y＝ax；(2)y＝bx；(3)y＝cx；(4)y＝dx的图像，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．aB．bC．1D．a【思路探究】 利用指数增长的快慢进行比较，取特殊值验证．
【自主解答】 根据图像的直观性可先分两类，(1)(2)的底数小于1，(3)(4)的底数大于1，即a<1，b<1，c>1，d>1，由此可排除C.因为指数函数y＝mx(m>1)的底数越大，当x>0时，其函数值增长的就越快，所以，由图像(3)(4)可知c>d；因为指数函数y＝mx(0【答案】 B
1．不同底数的指数函数的图像在同一平面直角坐标系中的相对位置关系是：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小到大；在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大到小．
2．熟记指数函数的大致图像，了解底数的变化对指数函数图像的影响，从图像的变化情况指出函数的某些特征是识图、用图的基础．
函数y1＝0.13x和y2＝0.31x的大致图像是( )
【解析】 因为函数y＝0.13x和y＝0.31x在R上都是减函数，所以可排除选项A和D；又根据底数对指数函数图像的影响规律知，“在第一象限内，指数函数的底数从下向上依次增大”，故选C.
【答案】 C
第2课时 指数函数的图像与性质的应用
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)掌握和指数函数有关的简单图像变换．
(2)能根据指数函数的性质解决有关函数单调性、奇偶性的讨论问题．
(3)注意指数函数的底数的讨论．
2．过程与方法
(1)通过师生之间、学生与学生之间的互相交流，使学生成为一个会与别人共同学习的人．
(2)通过探索、比较复杂函数与简单初等函数的关系，培养学生利用化归思想解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
(1)通过讨论比较复杂的函数的单调性、奇偶性，使学生感知知识之间的有机联系，感受数学的整体性，感受并体会数学中的化归思想的巨大作用及其在生活中对处理生活琐事的指导作用，激发学生的学习兴趣．
(2)在教学过程中，通过学生的相互交流，增强学生数学交流能力，合作学习的能力，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质．
●重点难点
重点：讨论含有指数式的比较复杂的函数的单调性和奇偶性．
难点：将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比较简单的函数的有关问题．
讨论含有指数式的比较复杂的函数的单调性和奇偶性是本课的教学重点．将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比较简单的函数的有关问题以及在解决具体实际问题中目标函数模型的确立、目标函数的定义域的确立是本课的教学难点．
(教师用书独具)
●教学建议
判断复合函数的单调性时常按照定义进行，并且首先要判断定义域是否关于原点对称．有时也可将所给函数转化为两个或多个基本初等函数的复合函数，进而通过讨论每个基本初等函数的单调性确定所求复合函数的单调性．判断复合函数的奇偶性时，往往要进行通分，这样可以得到比较对称的形式，同时在证明函数的单调性或求函数的值域时往往要进行常数分离．另外，结合图形往往使得解题更加的简单，特别是在分析题目时，图形有助于我们的思考，找到解题思路．解决具体实际问题时，为了更快、更准确地确定目标函数模型，可以先由特殊的情况开始，多列举几种情形，分析、观察、寻找其中的规律，确立目标函数模型，同时也应根据具体问题的实际意义确定函数的定义域．
●教学流程
复习指数函数的图像与性质和复合函数的相关知识?通过指数函数的图像，利用图像的变换得到和指数函数相关的函数图像?完成例1及其变式训练，掌握函数的三种常见变换?师生合作交流，得出和指数函数相关的复合函数的单调性问题
?通过例2及其变式训练，使学生加深对复合函数单调性的认识?合作探究和指数函数相关的函数奇偶性问题，完成例3及其变式训练，深化对知识的理解?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正
(见学生用书第42页)
课标解读
1.理解并掌握指数函数的图像和性质．(重点)
2．掌握函数图像的简单变换．(易混点)
3．能运用指数函数的有关性质去研究指数型函数的性质．(难点)
函数图像的变换
【问题导思】
若已知函数f(x)＝2x的图像．
1．如何得到f(x)＝2x－1的图像？
【提示】 向右平移1个单位．
2．如何得到f(x)＝2x－2的图像？
【提示】 向下平移2个单位．
3．如何得到f(x)＝()x的图像？
【提示】 作f(x)＝2x关于y轴的对称图像．
4．如何得到f(x)＝－2x的图像？
【提示】 将f(x)＝2x的图像以x轴为对称轴翻折到x轴下方．
1．平移变换
(1)左右平移：y＝f(x)y＝f(x＋a)
特征：左加右减：
(2)上下平移：y＝f(x)y＝f(x)＋k
特征：上加下减．
2．对称变换
(1)y＝f(x)y＝－f(x)；
(2)y＝f(x)y＝f(－x)；
(3)y＝f(x)y＝－f(－x)．
3．翻折变换
(1)y＝f(x)
y＝f(|x|)．
(2)y＝f(x)
y＝|f(x)|.
(见学生用书第43页)
函数图像的作法
利用函数f(x)＝()x的图像，作出下列函数的图像：
(1)f(x＋1)；(2)－f(x)；(3)f(－x)．
【思路探究】 作出y＝()x
的图像→明确f(x)与f(x＋1)，
－f(x)，f(－x)图像间
的关系
分别得出图像
【自主解答】 作出f(x)＝()x的图像，如图所示：
(1)f(x＋1)的图像：需将f(x)的图像向左平移1个单位得f(x＋1)的图像，如图(1)．
(2)－f(x)的图像：作f(x)的图像关于x轴对称的图像得－f(x)的图像，如图(2)．
(3)f(－x)的图像：作f(x)的图像关于y轴对称的图像得f(－x)的图像，如图(3)．
1．利用已知的函数图像作图，主要运用图像的平移、对称等变换，平移变换需分清楚向何方向移，要移多少个单位，如(1)；对称变换需分清对称轴是什么，如(2)(3)．
2．利用变换作图，一般步骤是：
选基函数→写出变换过程→画图像
函数y＝2|x|的图像是( )
【解析】 法一 由于y＝2|x|＝所以A正确．
法二 y＝2|x|对称变换
y＝2|x|，知选A.
【答案】 A
与指数函数有关的复合函数
求下列函数的单调区间：
(1)y＝3x2－2x＋7；(2)y＝4x－2·2x＋5.
【思路探究】 将复合函数写成y＝f(u)，u＝φ(x)的形式，然后利用复合函数的单调性求解．
【自主解答】 (1)函数的定义域为R，对u＝x2－2x＋7＝(x－1)2＋6，当x≥1时，u为增函数，x≤1时，u为减函数，又3>1，
∴函数y＝3x2－2x＋7的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]．
(2)令2x＝t，则t是x的增函数，
y＝t2－2t＋5＝(t－1)2＋4，
当t≥1，即2x≥1，即x≥0时，y是t的增函数；
当t≤1，即2x≤1，即x≤0时，y是t的减函数；
又函数的定义域为R，
∴函数y＝4x－2·2x＋5的单调增区间是[0，＋∞)，减区间是(－∞，0]．
1．求函数的单调区间，首先求函数的定义域，对复合函数的单调性，应注意y＝f(u)与u＝g(x)单调性的一致性和相反性．
2．在复合函数中，一般情况下，如果两个函数都是增函数或都是减函数，则复合函数是增函数；如果两个函数一增一减，则复合函数为减函数，简称“同增异减”．
(1)(2013·荆州检测)函数y＝()x2－3x＋2的单调增区间是________．
(2)y＝(－1)－x2＋2x＋3的单调增区间是( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，1]
C．(1,3) D．(－1,1)
【解析】 令u＝x2－3x＋2＝(x－)2－，令y＝()u在定义域内是减函数，而求y＝()x2－3x＋2的增区间，只需求u的减区间，∴x∈(－∞，]．
(2)函数y的定义域为R，u＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；x≥1时，u是减函数，又0<－1<1，
∴y的增区间为(1，＋∞)．
【答案】 (1)(－∞，] (2)A
指数函数的综合问题
已知函数f(x)＝2x＋2ax＋b，且f(1)＝，f(2)＝.
(1)求a，b的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明；
(3)判断并证明函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性，并求f(x)的值域．
【思路探究】 (1)将两个已知条件代入解析式即可求a，b；(2)求出函数的定义域，再依据奇偶性的判断方法求解；(3)依据单调性的证明步骤给出过程，再依据单调性求值域．
【自主解答】 (1)∵∴根据题意得解得
故a，b的值分别为－1,0.
(2)由(1)知f(x)＝2x＋2－x，f(x)的定义域为R，关于原点对称．
因为f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
(3)设任意x1因为x11，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)当x＝0时，函数取得最小值，为f(0)＝1＋1＝2，
所以f(x)的值域为[2，＋∞)．
1．指数函数的单调性与底数有关，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系．与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关，其解决方法一般是利用函数单调性的定义．
2．指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质．
设a为实数，f(x)＝a－(x∈R)．
(1)证明f(x)在R上为增函数；
(2)试确定a的值，使f(x)为奇函数．
【解】 (1)证明：设x1，x2∈R，x1f(x1)－f(x2)＝(a－)－(a－)
＝.
由于指数函数y＝2x在R上为增函数，且x1所以2x1<2x2，即2x1－2x2<0.
又由2x>0，得2x1＋1>0,2x2＋1>0.
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故f(x)在R上为增函数．
(2)若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
即a－＝－(a－)．
变形得2a＝＋
＝＋＝＝2.
解得a＝1.所以当a＝1时，f(x)为奇函数.
指数函数问题中的数形结合思想
(12分)关于x的方程|ax－1|＋1－2a＝0有两个相等的实数根，求实数a的取值范围．
【思路点拨】 将条件转化为直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a>0且a≠1)的图像有两个交点，利用数形结合法求解．
【规范解答】 当a>1时，函数y＝|ax－1|＋1通过平移变换和翻折变换可得如图所示的图像(实线)，4分
由图可知1<2a<2，
即1矛盾.6分
当0由图可知1<2a<2，即∴当直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1的图像有两个交点时a的取值范围是{a|1．解答此题要注意底数的不确定性，因此作图时要注意分类讨论．
2．根据条件确定直线y＝2a与函数图像的位置关系，然后由位置关系建立不等式，进而求得结果，其求解过程体现了数形结合思想在处理函数图像的交点时的应用．
1．能根据图像的平移、翻折、对称解决与指数函数相关的问题．
2．对于形如f(x)＝ag(x)(a>0，且a≠1)的函数，可以利用复合函数的单调性，转化为指数函数y＝ax及函数g(x)的单调性来处理，具体是：
当a>1时，函数f(x)的单调性与函数g(x)的单调性一致；
当03．在一些较复杂的函数问题中，基本函数的性质可以直接在解题过程中应用．同时注意将复杂函数问题转化为基本函数问题.
(见学生用书第45页)
1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝x3 B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|
【解析】 ∵y＝x3在定义域R上是奇函数，∴A不对．
y＝－x2＋1在定义域R上是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，故C不对．
D中y＝2－|x|＝()|x|虽是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，只有B对．
【答案】 B
2．函数y＝()1－x的单调增区间为( )
A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
【解析】 设t＝1－x，则y＝()t，则函数t＝1－x的递减区间为(－∞，＋∞)，即为y＝()1－x的递增区间．
【答案】 A
3．函数y＝ax－3＋3(a>0且a≠1)的图像过定点________．
【解析】 法一 因为指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图像过定点(0,1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x＝3，得y＝1＋3＝4，即函数的图像过定点(3,4)．
法二 将原函数变形，得y－3＝ax－3，然后把y－3看作是(x－3)的指数函数，所以当x－3＝0时，y－3＝1，即x＝3，y＝4，所以原函数的图像过定点(3,4)．
【答案】 (3,4)
4．已知函数f(x)＝＋.
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的奇偶性．
【解】 (1)由2x－1≠0，得2x≠1，即x≠0，
所以函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)因为函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，
且f(－x)＝＋＝＋
＝－＋
＝－＋＋＝－1＋－
＝－(＋)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数.
(见学生用书第107页)
一、选择题
1．为了得到函数y＝2x－3＋1的图像，只需把函数y＝2x上的所有点( )
A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
【解析】 y＝2xy＝2x－3y＝2x－3＋1.
【答案】 C
2．函数y＝()|x|的值域为( )
A．{y|y>0} B．{y|y≤1}
C．{y|y≥1} D．{y|0【解析】 由于|x|≥0，且y＝()|x|为偶函数，结合其图像知0【答案】 D
3．若函数y＝ax＋b－1(a>0且a≠1)的图像经过第二、三、四象限，则一定有( )
A．00 B．a>1，且b>0
C．00
【解析】 根据题意，画出函数y＝ax＋b－1(a>0且a≠1)的大致图像，如图所示．所以0【答案】 C
4．若不等式2－x＋a＋1>0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．a<－1 B．a≤－1
C．a>－1 D．a≥－1
【解析】 原不等式可化为()x>－a－1，由于()x>0，
所以要使原不等式对x∈R恒成立，只需－a－1≤0，
即a≥－1.
【答案】 D
5．(2013·商丘高一检测)若函数f(x)＝
是R上的增函数，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．(1,8)
C．(4,8) D．[4,8)
【解析】 因为f(x)在R上是增函数，故结合图像(图略)知解得4≤a<8.
【答案】 D
二、填空题
6．若f(x)＝π－(x－u)2的最大值为m，且f(x)是偶函数，则m＋n＝________.
【解析】 因为f(－x)＝f(x)，
所以π－(x＋u)2＝π－(x－u)2
所以(x＋u)2＝(x－u)2.
所以u＝0，f(x)＝π－x2，
因为x2≥0，所以－x2≤0.
所以0<π－x2≤1.
所以m＝1，故m＋n＝1.
7．若函数f(x)＝则不等式f(x)≥的解集为________．
【解析】 (1)当x≥0时，由f(x)≥得()x≥，
∴0≤x≤1.
(2)当x<0时，不等式≥明显不成立．
综上可知不等式f(x)≥的解集是{x|0≤x≤1}．
【答案】 {x|0≤x≤1}
8．(2013·大连高一检测)若关于x的方程()|x|＋m＝0有实数解，则实数m的取值范围是________．
【解析】 法一 ∵0<()|x|≤1，
∴m<()|x|＋m≤m＋1.
要使方程()|x|＋m＝0有解，只要m<0≤m＋1，
解得－1≤m<0，故实数m的取值范围是[－1,0)．
法二 令y＝()|x|＋m，作函数图像，如图：
依题意，函数y＝()|x|＋m的图像与x轴有交点，
∴解得－1≤m<0，即m∈[－1,0)．
【答案】 [－1,0)
三、解答题
9．画出函数y＝2|x＋1|的图像，并根据图像指出它的单调区间．
【解】 变换作图，y＝2xy＝2|x|y＝2|x＋1|，如图．
由图可知函数y＝2|x＋1|在(－∞，－1)]上单调递减，
在(－1，＋∞)上单调递增．
10．求函数y＝()x2－2x＋2(0≤x≤3)的值域．
【解】 令t＝x2－2x＋2，则y＝()t，
又t＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1,0≤x≤3，
∴当x＝1时，tmin＝1；当x＝3时，tmax＝5.
故1≤t≤5，∴()5≤y≤()1，
故所求函数的值域为[，]．
11．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)若对于任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
【解】 (1)∵f(x)为奇函数且在x＝0处有意义，
∴f(0)＝0，即＝0，
∴b＝1，
∴f(x)＝.
又∵f(－1)＝－f(1)，
∴＝－，
∴a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝，
先研究f(x)＝的单调性．
∵f(x)＝＝－＋，
∴f(x)＝在R上为减函数．
∵f(x)为奇函数，
∴f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0，
即f(t2－2t)<－f(2t2－k)
＝f(－2t2＋k)．
又∵f(x)在R为减函数，
∴t2－2t>－2t2＋k，
即对一切t∈R，有3t2－2t－k>0，
∴Δ<0，即4＋12k<0，
∴k<－.
故k的取值范围是(－∞，).
(教师用书独具)
若函数y＝为奇函数．
(1)确定a的值；
(2)求函数的定义域；
(3)求函数的值域；
(4)讨论函数的单调性．
【思路探究】 先由f(－x)＋f(x)＝0求得a值，然后求定义域和值域，再由单调性的定义判断函数的单调性．
【自主解答】 先将函数y＝化简为y＝a－.
(1)由奇函数的定义，可得f(－x)＋f(x)＝0，
即a－＋a－＝0，
∴2a＋＝0.∴a＝－.
(2)∵y＝－－，∴2x－1≠0.
∴函数y＝－－的定义域为{x|x≠0}．
(3)∵x≠0，∴2x－1>－1.
又∵2x－1≠0，
∴0>2x－1>－1或2x－1>0.
∴－－>或－－<－，
即函数的值域为{y|y>或y<－}．
(4)当x>0时，设0则y1－y2＝－
＝.
∵0∴2x1－2x2<0,2x1－1>0,2x2－1>0.
∴y1－y2<0.
因此y＝－－在(0，＋∞)上是单调递增的．
由于y＝f(x)是奇函数，从而y＝－－在(－∞，0)上也是单调递增的．
函数的性质主要包括定义域、值域、单调性、奇偶性等，在这些性质中，定义域应优先求出，它们的求法分别如下：
1．定义域：即要求表达式有意义时相应的x的取值范围(集合)．
2．求函数的单调性有以下三种思路：
(1)可借助于已知函数，如y＝－2x在R上单调递减；
(2)可利用定义法；
(3)若是复合函数，应利用复合函数的性质．
3．求值域的方法较多，到目前为止可以使用的方法有：借助于已知函数、利用单调性．
4．对于奇偶性，应理解掌握它们的定义及式子的变形，如f(－x)±f(x)＝0.特别对于奇函数在原点处有定义时，有f(0)＝0.
已知方程9x－2·3x＋(3k－1)＝0有两个实根，求实数k的取值范围．
【解】 令3x＝t(t>0)，则方程化为
t2－2t＋(3k－1)＝0.①
要使原方程有两个实根，方程①必须有两个正根，设两个根为t1，t2，
则
解得故实数k的取值范围是(，]．§4对 数
4．1 对数及其运算
第1课时 对 数
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)理解对数的概念，了解对数与指数的关系．
(2)理解和掌握对数的性质．
(3)掌握对数式与指数式的关系．
2．过程与方法
通过与指数式的比较，引出对数定义与性质．
3．情感、态度与价值观
(1)学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力．
(2)通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质．
(3)在学习过程中培养学生探究的意识．
●重点难点
重点：对数的概念和对数式与指数式的互化．
难点：对数基本性质的理解．
本节用一课时完成，重点研究对数的概念、性质，难点是对数性质及其推导过程．教材以2000年国民经济生产总值增幅为背景，引入对数概念，在使学生认识引进对数必要性的同时，强化学生的数学应用意识．“思考交流”旨在引导学生进一步理清指数式与对数式之间的关系，明确1和底数对数的特点，深化真数取值范围的理解，为对数函数学习打下伏笔．常用对数及自然对数是对数的特例，由此进一步体现数学与现实生活的紧密联系，进一步加强学生学习数学的决心．
(教师用书独具)
●教学建议
根据教材及学情特点，本课以探究式教学法为主，辅之以讨论法和自学辅导法．以问题为主线，力求创设有效的教学情境，引导学生在观察中思考，在思考中探索，在探索中发现，在发现中收获，在收获中创新，在创新中升华．通过具有一定层次梯度的问题序列，多角度、全方位训练学生思维的聚敛性和发散性．同时注重信息技术与数学课程的整合，借助多媒体设备进行辅助教学．
●教学流程
创设情境，导入新课，引导学生按照解决数学问题的常规步骤建构方程?引导观察，探索本质，建构对数概念，完成例1及变式训练?加深概念理解，让学生学会指数与对数的互化，完成例2及其变式训练?适时分化，揭示概念本质，探索对数性质alogaN＝N
?结合例3及其变式训练，巩固对数的性质?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正
(见学生用书第45页)
课标解读
1.理解对数的概念．(重点)
2．掌握指数式与对数式的互化．(重点)
3．理解并掌握对数的基本性质．(难点、易混点)
对数的定义
【问题导思】
1．若2x＝16，()x＝9，x的值分别为多少？
【提示】 4，－2.
2．若2x＝3，()x＝2，你现在还能求得x吗？
【提示】 不能．
3．若2x＝0，()x＝－1，则这样的x存在吗？
【提示】 不存在．
1．一般地，如果ab＝N(a>0且a≠1)，那么数b叫作以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．
2．几种常见对数
对数形式
特点
记法
一般对数
以a(a>0且a≠1)为底的对数
logaN
自然对数
以__e__为底的对数
ln N
常用对数
以__10__为底的对数
lg N
对数的性质及恒等式
【问题导思】
1．当a>0且a≠1时，loga(－2)，loga0存在吗？为什么？由此能得到什么结论？
【提示】 不存在，因为loga(－2)，loga0对应的指数式分别为ax＝－2，ax＝0，而ax>0，所以ax＝－2，ax＝0中的x值不存在，由此能得到的结论是：0和负数没有对数．
2．若ab＝N，则b＝logaN，二者组合可得什么等式？
【提示】 对数恒等式：alogaN＝N.
对数恒等式
alogaN＝__N__
对数的性质
底的对数等于__1__，即logaa＝__1__
1的对数等于__0__，即loga1＝__0__
零和负数没有对数
(见学生用书第46页)
对数的概念
已知对数log(1－a)(a＋2)有意义，求实数a的取值范围．
【思路探究】 根据对数的概念列出实数a满足的不等式组，再解不等式组即可 .
【自主解答】 由于对数log(1－a)(a＋2)有意义，则有解得－21．正确理解对数的概念：
(1)底数大于0且不等于1，真数大于0.
(2)明确指数式和对数式的区别和联系，以及二者之间的相互转化．
2．求对数式中有关参数的范围时，根据对数中对底数和真数的要求列出不等式组解出即可．
若对数log3a(－2a＋1)有意义，则a的取值范围是________．
【解析】 根据题意可得解得0【答案】 (0，)∪(，)
指数式与对数式的互化
求下列各式中x的值：
(1)log16x＝－2； (2)logx27＝；
(3)log4(log3x)＝0.
【思路探究】 利用对数的定义，把各个对数式化为指数式，即可解得x的值．
【自主解答】 (1)由log16x＝－2，得x＝16－2＝()2＝，故x＝.
(2)由logx27＝，得 x＝27，
即x＝33，∴x＝3，∴x＝34＝81.
(3)由log4(log3x)＝0，得log3x＝1，故x＝3.
1．首先掌握指数式与对数式的关系，即ab＝N?b＝logaN.
2．对数的定义是对数式和指数式互化的依据，在互化过程中应注意各自的位置及表示方式．另外，解形如loga[logb(logcx)]＝m的方程时，一般是按由外往里去掉对数符号的顺序解决．
将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)2－7＝；(2)33＝27；(3)10－1＝0.1；
(4)log32＝－5；(5)lg 0.001＝－3.
【解】 (1)log2＝－7；
(2)log327＝3；
(3)lg0.1＝－1；(4)()－5＝32；
(5)10－3＝0.001.
求值
求下列对数的值：
(1)log327；(2)81－log85；(3)22＋log25＋loga1.
【思路探究】 对于(1)可设log327＝x，利用对数式与指数式的互化，求x；(2)(3)可利用对数的基本性质及对数恒等式求其值．
【自主解答】 (1)设log327＝x，则3x＝27＝33，
所以x＝3，即log327＝3.
(2)法一 81－log85＝8log88－log85＝8log88÷8log85＝8÷5＝.
法二 81－log85＝＝.
(3)∵22＋log25＝22×2log25＝4×5＝20.
∴原式＝20＋0＝20.
1．求单个对数的值，可先把对数式化为指数式，再利用指数的有关运算转化为同底数的幂的形式求值．
2．利用对数恒等式化简求值时，必须使幂底数和对数的底数保持一致．
求下列各对数式的值：
(1)log416；(2)log5(lg 10)；(3)log22log21.
【解】 (1)设log416＝x，则4x＝16＝42，
∴x＝2，即log416＝2.
(2)log5(lg 10)＝log51＝0.
(3)log22log21＝log21＝0.
(见学生用书第47页)
解对数方程时忽略真数的范围致误
解方程log3(x2－10)＝log3(3x)．
【错解】 原方程可化为x2－10＝3x，
即x2－3x－10＝0，
解得x＝－2或x＝5.
故原方程的解为x＝－2或x＝5.
【错因分析】 错解中忽略了检验真数是否为正．
【防范措施】 解关于对数的方程或不等式时，一定要等价转化，注意对真数的检验．
【正解】 原方程可化为
由①得x＝－2或x＝5.
代入②中检验，可知x＝5是原方程的解．
1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a>0且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：
(1)logaab＝b；(2)alogaN＝N.
2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．
3．指数式与对数式的互化
(见学生用书第47页)
1．在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，x的取值范围为( )
A．(－∞，3] B．(3,4)∪(4，＋∞)
C．(4，＋∞) D．(3,4)
【解析】 ∵∴
∴x>3且x≠4.即34.
【答案】 B
2．log2的值为( )
A．－ B. C．－ D.
【解析】 设log2＝x，则2x＝＝2，∴x＝.
【答案】 D
3．若lg(ln x)＝0，则x＝________.
【解析】 ln x＝1，x＝e.
【答案】 e
4．求下列对数的值：
(1)log28；
(2)log9；
(3)ln e；
(4)lg 1.
【解】 (1)设log28＝x，则2x＝8＝23，
∴x＝3.∴log28＝3.
(2)设log9＝x，则9x＝＝9－1，∴x＝－1.
∴log9＝－1.
(3)ln e＝1.
(4)lg 1＝0.
(见学生用书第109页)
一、选择题
1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A．e0＝1与ln 1＝0
B．8－＝与log8＝－
C．log39＝2与9＝3
D．log77＝1与71＝7
【解析】 根据ab＝N?b＝logaN可知，A，B，D均正确，C不正确．
【答案】 C
2．已知logx8＝3，则x的值为( )
A. B．2 C．3 D．4
【解析】 由定义知x3＝8，所以x＝2.
【答案】 B
3．已知loga3＝2log230，则a的值为( )
A．2 B．3 C．8 D．9
【解析】 2log230＝30＝1，∴loga3＝1，∴a＝3.
【答案】 B
4．设f(x)＝则f(f(2))的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】 ∵f(2)＝log3(22－1)＝log33＝1，
∴f(f(2))＝f(1)＝2e1－1＝2e0＝2.
【答案】 C
5．方程2log3x＝的解是( )
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝9
【解析】 ∵2log3x＝＝2－2，
∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝.
【答案】 A
二、填空题
6．方程log3(2x－1)＝1的解为x＝________.
【解析】 原方程同解于log3(2x－1)＝log33，所以2x－1＝3，x＝2.
【答案】 2
7．log6[log4(log381)]＝________.
【解析】 原式＝log6[log4(log334)]＝log6(log44)＝log61＝0.
【答案】 0
8．若loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝________.
【解析】 ∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3.
∴a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12.
【答案】 12
三、解答题
9．求下列各式中的x.
(1)log2(log5x)＝0；(2)logx 27＝.
【解】(1)由log2(log5x)＝0得log5x＝1，∴x＝5.
(2)由logx 27＝得x＝27，
∴x＝27，
即x＝(33)，
∴x＝34＝81.
10．计算：23＋log23＋35－log39.
【解】 原式＝23×2log23＋＝8×3＋＝24＋27＝51.
11．已知loga b＝logb a(a>0且a≠1；b>0且b≠1)，求证：a＝b或a＝.
【证明】 设loga b＝logb a＝k，
则b＝ak，a＝bk，
∴b＝(bk)k＝bk2.
∵b>0且b≠1，
∴k2＝1，即k＝±1.
当k＝－1时，a＝；
当k＝1时，a＝b.
∴a＝b或a＝.
(教师用书独具)
求下列各式中x的值．
(1)log2(log4x)＝0；
(2)log3(lg x)＝1；
(3)log(－1)＝x.
【思路探究】 运用对数的定义，把对数式转化为指数式求解．
【自主解答】 (1)∵log2(log4x)＝0，
∴log4x＝20＝1，
∴x＝41＝4.
(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，
∴x＝103＝1 000.
(3)∵log(－1)＝x，
∴(－1)x＝
＝＝＝－1，∴x＝1.
利用对数的基本性质解题，要把握好以下三点：
1．在对数式中要特别注意N>0，即零和负数没有对数．
2．设a>0且a≠1则有a0＝1，所以loga1＝0，即1的对数等于零．
3．设a>0且a≠1则有a1＝a，所以logaa＝1，即底数的对数为1.
改变本例(1)、(2)中的底数，即(1)log4(log2x)＝0，
(2)lg(log3x)＝1，又该如何求x的值？
【解】 (1)∵log4(log2x)＝0，∴log2x＝1.∴x＝21＝2.
(2)∵lg(log3x)＝1，∴log3x＝101＝10，∴x＝310.
数学史话
对数的创立
对数产生于17世纪的前25年．那时，航海人员为了确定船舶在大海中的航程与位置，天文工作者为了处理观察行星运动所得的数据，都必须对具有很多数位的数作繁琐的计算．对数就是适应这种需要而产生的．
那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是16世纪末到17世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔(Napier,1550～1617年)男爵．
在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科．可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间．纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数．
当然，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样．在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现在的数学教材中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的．
那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢？在那个时代 ，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．让我们来看看下面这个例子：
0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、…
1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1 024、2 048、4 096、8 192、16 384、…
这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂．如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的加法来实现．
比如，计算64×256的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6,256对应8；然后再把第一行中的对应数字加起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16 384，所以有64×256＝16 384.
经过多年的探索，纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》，向世人公布了他的这项发明，并且解释了这项发明的特点．
所以，纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣．伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡儿的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼茨的微积分共同称为17世纪的三大数学发明．法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯(PierreSimonLaplace,1749～1827)曾说：“对数，可以缩短计算时间，在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．
第2课时 对数的运算性质
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算、求值、化简，并掌握化简求值的技能．
(2)运用对数运算性质解决有关问题．
2．过程与方法
(1)让学生经历并推理出对数的运算性质．
(2)让学生归纳整理本节所学的知识．
3．情感、态度与价值观
让学生感受对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性．
●重点难点
重点：对数运算的性质与对数知识的应用．
难点：能灵活的使用对数的运算性质进行化简和求值．
对数运算是指数运算的逆运算，由平方根的乘方法则过渡到对数的运算法则，通过类比推导深入理解对数运算性质的公式结构．
(教师用书独具)
●教学建议
遵循教师的主导作用和学生的主体地位相统一的教学规律，采用引导发现式的教学方法，通过在教学过程中铺垫、提问，启发学生通过类比主动思考、合作探究来达到对对数运算性质及应用技巧的发现和接受．
●教学流程
复习对数的概念，对数式和指数式的互化及对数恒等式，引入新课?联系已知，形成台阶，借助指数的运算性质得出对数的运算性质?根据对数的运算性质，完成例1及其变式训练?在运算过程中，列举反例，强化对运算性质的记忆
?灵活运用性质和法则，解决带有附加条件的对数式求值问题，完成例2及其变式训练?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正
(见学生用书第47页)
课标解读
1.掌握对数的运算性质．(重点)
2．能灵活使用对数的运算性质进行化简求值．(难点)
对数的运算性质
【问题导思】
1．我们知道am＋n＝am·an，那么logaM·N＝logaM·logaN正确吗？举例说明．
【提示】 不正确，例如log24＝log22×2＝log22·log22＝1×1＝1，而log24＝2.
2．你能推出loga(MN)(M>0，N>0)表达式吗？
【提示】 能．
令am＝M，an＝N，
∴MN＝am＋n
由对数的定义知
logaM＝m，logaN＝n，loga(MN)＝m＋n，
∴loga(MN)＝logaM＋logaN.
如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，则
1．loga(MN)＝logaM＋logaN.
2．logaMn＝nlogaM(n∈R)．
3．loga＝logaM－logaN.
(见学生用书第48页)
对数运算性质的应用
计算下列各式的值：
(1)log2＋log212－log242＋()log23；
(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
【思路探究】 解答本题的关键是活用对数的运算性质．
【自主解答】 (1)原式＝log2＋2－log23
＝log2＋＝－＋＝－.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(1＋lg 2)＋(lg 2)2
＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝2＋lg 5＋lg 2＝2＋1＝3.
对数式的化简求值常用的方法与技巧：
1．对于同
底对数的
化简方法)
2．对于常用对数的化简要充分利用“lg 2＋lg 5＝1”、“lg 2＝1－lg 5”、“lg 5＝1－lg 2”来解题．
计算：
(1)log3＋lg 25＋lg 4＋7log72＋(－9.8)0；
(2)(lg 5)2＋(lg 2)(lg 50)．
【解】 (1)原式＝log33＋lg 52＋lg 22＋2＋1
＝＋2(lg 5＋lg 2)＋3
＝＋2lg 10＋3＝＋2＋3＝.
(2)原式＝(lg 5)2＋(lg 2)(lg 52＋lg 2)
＝(lg 5)2＋2lg 2lg 5＋(lg 2)2
＝(lg 5＋lg 2)2＝(lg 10)2＝1.
带有附加条件的对数式求值
(1)已知log567＝a，计算log568和log5698的值；
(2)已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，求lg的值．
【思路探究】 利用条件分解待求对
数的真数结果
【自主解答】 (1)∵log567＝a，
∴log568＝log56＝log5656－log567＝1－a.
log5698＝log56(49×2)
＝log56(72×2)＝log5672＋log562
＝2log567＋log568＝2log567＋log568
＝2a＋(1－a)＝.
(2)法一 lg＝lg 45＝lg
＝(lg 9＋lg 10－lg 2)
＝(2lg 3＋1－lg 2)＝lg 3＋－lg 2
＝0.477 1＋0.5－0.150 5＝0.826 6.
法二 lg＝lg 45＝lg(5×9)
＝(lg 5＋2lg 3)＝(1－lg 2＋2lg 3)
＝－lg 2＋lg 3＝0.826 6.
将待求式子用已知式子中的对数表示，关键是建立对数式底数与真数的联系，在运算过程中应注意运算性质和法则的灵活运用．
(1)设a＝lg(1＋)，b＝lg(1＋)，用a，b表示lg 2，lg 7.
(2)已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，lg x＝－2＋0.778 1，求x.
【解】 (1)∵a＝lg(1＋)＝lg＝3lg 2－lg 7，
b＝lg(1＋)＝lg＝lg＝2－lg 2－2lg 7，
∴lg 2＝(2a－b＋2)，lg 7＝(－a－3b＋6)．
(2)∵lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，
∴lg x＝－2＋0.778 1＝－2＋0.301 0＋0.477 1
＝－2＋lg 2＋lg 3＝－2＋lg 6＝lg(6×10－2)，
∴x＝6×10－2.
(见学生用书第48页)
对数运算时忽略真数大于0致误
已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则log的值的集合为( )
A．{2} B．{0,2} C．{4} D．{0,4}
【错解】 由已知，可得lg(xy)＝lg(x－2y)2，从而有xy＝(x－2y)2，
整理，得x2－5xy＋4y2＝0，
即(x－y)(x－4y)＝0.
所以x＝y或x＝4y，得＝1或4，
所以log＝0或4.
【答案】 D
【错因分析】 运算中忽略了对数的真数必须大于0的限制，直接运用对数性质求解，未加以检验．
【防范措施】 1.熟练掌握对数的运算法则是解答该类问题的关键所在．
2．解答与对数有关的题目时，务必注意对数式本身的限定条件．
【正解】 由已知，可得lg(xy)＝lg(x－2y)2，
从而有xy＝(x－2y)2，整理，得
x2－5xy＋4y2＝0，
即(x－y)(x－4y)＝0.
所以x＝y或x＝4y.
由x>0，y>0，x－2y>0，可得
x>2y>0，所以x＝y舍去，
故x＝4y，即＝4.
所以log＝log4＝log()4＝4.
【答案】 C
利用对数的运算性质解决问题的一般思路：
1．把复杂的真数化简；
2．正用公式：将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商再化简；
3．逆用公式：将式中对数的和、差、积、商运用对数的运算法则，将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值.
(见学生用书第49页)
1．log242＋log243＋log244等于( )
A．1 B．2 C．24 D.
【解析】 log242＋log243＋lg244
＝log246＋log244＝log2424＝1.
【答案】 A
2．2log525＋3log264－8log71等于( )
A．14 B．20 C．8 D．22
【解析】 原式＝2log552＋3log226－0
＝2×2＋3×6＝22.
【答案】 D
3．已知loga2＝m，loga3＝n，则loga18＝________.(用m，n表示)
【解析】 loga18＝loga(2×32)＝loga2＋loga32＝loga2＋2loga3＝m＋2n.
【答案】 m＋2n
4．求值：lg 500＋lg －lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2.
【解】 原式＝lg 5＋lg 102＋lg 23－lg 5－lg 26＋50＝2＋3lg 2－3lg 2＋50＝52.
(见学生用书第111页)
一、选择题
1．(2013·高一大同检测)2log510＋log50.25＝( )
A．0 B．1 C．2 D．4
【解析】 原式＝log5102＋log50.25＝log5(100×0.25)＝log552＝2.
【答案】 C
2．化简log612－2log6的结果为( )
A．6 B．12 C．log6 D.
【解析】 法一 原式＝log6(6×2)－2log62
＝(1＋log62)－log62＝(1－log62)＝log63
＝log6.
法二 原式＝log6－log62＝log6＝log6.
【答案】 C
3．已知2x＝9,2y＝，则x＋2y的值为( )
A．6 B．8 C．1 D．log48
【解析】 由2x＝9，得x＝log29，
由2y＝，得y＝log2，
∴x＋2y＝log29＋2log2＝2log23＋2log2
＝2(log23＋log2)＝2log2(3×)＝2log28＝2×3＝6.
【答案】 A
4．计算log(2)－log(－1)(3－2)＋eln 2的值为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
【解析】 原式＝log()3－log(－1)(－1)2＋2＝3－2＋2＝3.
【答案】 A
5．lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则lg (ab)·(lg )2＝( )
A．2 B．4 C．6 D．8
【解析】 由已知得，lg a＋lg b＝2，即lg (ab)＝2，lg a·lg b＝.
所以lg (ab)·(lg )2＝2(lg a－lg b)2＝2[(lg a＋lg b)2－4lg alg b]＝2(22－4×)＝2×2＝4，故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．计算(lg－lg 25)÷100－＝__________.
【解析】 (lg－lg 25)÷100－＝(lg)÷10－1＝－2×10＝－20.
【答案】 －20
7．已知log32＝a，则2log36＋log30.5＝________.
【解析】 原式＝2log3(2×3)＋log3
＝2(log32＋log33)－log32
＝log32＋2＝a＋2.
【答案】 a＋2
8．方程lg x＋lg(x－1)＝1－lg 5的根是________．
【解析】 方程变形为lg x(x－1)＝lg2，∴x(x－1)＝2.
解得x＝2或x＝－1.经检验x＝－1不合题意，舍去，
∴原方程的根为x＝2.
【答案】 x＝2
三、解答题
9．计算下列各式的值：
(1)lg 5＋log36＋lg 20－log32；
(2)log213＋lg 1 000－log21.
【解】 (1)原式＝lg 5＋log33＋log32＋lg 2＋lg 10－log32＝(lg 5＋lg 2)＋2＝3.
(2)原式＝(log213＋log217)＋lg 103＝log2121＋3＝4.
10．求下列各式的值：
(1)log535＋2log5－log5－log514；
(2)[(1－log63)2＋log6 2·log618]÷log64；
(3)lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(lg 2)2＋lg 0.06＋lg.
【解】 (1)原式＝log535＋log52－log5－log514
＝log5＝log5＝log525＝2.
(2)原式＝[(log6)2＋log62·log6]÷log64
＝[(log62)2＋log62(log636－log62)]÷log64
＝[(log62)2＋2log62－(log62)2]÷log64
＝2log62÷log64＝log64÷log64＝1.
(3)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2＋lg－lg 6
＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2＋lg 6－2－lg 6
＝3·lg 5·lg 2＋3lg 5＋3·(lg 2)2－2
＝3lg 2(lg 2＋lg 5)＋3lg 5－2＝3lg 2＋3lg 5－2
＝3(lg 2＋lg 5)－2＝3－2＝1.
11．解方程(lg x)2＋lg x5－6＝0.
【解】 原方程可化为(lg x)2＋5lg x－6＝0，
即(lg x＋6)(lg x－1)＝0，.
等价于lg x＝－6或lg x＝1.
解得x＝10－6或x＝10.
经检验x＝10－6和x＝10都是原方程的解．
所以原方程的解为x＝10－6或x＝10.
(教师用书独具)
计算下列各式的值：
(1)lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18；
(2)；
(3)log3＋lg 25＋lg 4＋7log72＋(－9.8)0；
(4)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
【思路探究】 利用对数的运算性质及运算法则求值，本着化异为同的原则，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数之间的联系，对于较复杂的真数，可以先化简再计算．
【自主解答】 (1)法一 lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18
＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)
＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.
法二 lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18
＝lg 14－lg()2＋lg 7－lg 18＝lg
＝lg 1＝0.
(2)
＝
＝
＝
＝.
(3)原式＝log33＋lg(25×4)＋2＋1＝＋lg 102＋3＝＋2＋3＝.
(4)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：
1．“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．
2．“拆”：将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
3．对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
计算：
(1)log2(47×22)－lg 25－2lg 2＋log；
(2)log3·log5[4log210－(3)－7log72]．
【解】 (1)原式＝log2216－lg 100＋log()－6
＝16－2－6＝8.
(2)原式＝(log33－log33)·log5[2log210－(3)－2]
＝(－1)·log5(10－3－2)＝－.4.2 换底公式
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)通过实例推导换底公式．
(2)会用换底公式进行化简与求值．
2．过程与方法
通过设置问题串的方式，让学生通过在问题的引导下自主学习、合作学习经历推导对数的换底公式的过程，培养学生分析、综合解决问题的能力．在换底公式的应用的过程中，引导学生自己思考发现规律，提高学生的探索发现并总结问题的能力．
3．情感、态度与价值观
让学生探索研究对数的换底公式，培养学生的探究意识，培养学生的严谨的思维品质，感受对数的广泛应用，增强学习的积极性．培养学生数学应用意识和科学分析问题的精神和态度．
●重点难点
重点：对数的运算性质及换底公式及其应用．
难点：正确使用对数的运算性质和换底公式．
教材注重从实际问题中开始探讨，有利于培养学生的思维素质，激发学生学习数学的兴趣与欲望．教材中从特殊到一般，推导、证明、应用对数的换底公式，培养学生分析、综合解决问题的能力．教学中要充分发挥课本这些材料的作用．
(教师用书独具)
●教学建议
本课主要学习对数换底公式，它在以后的学习中有着非常重要的应用，由于对数的运算法则是在同底的基础上，因此利用对数换底公式把不同底数的对数转化为同底显得非常重要，有时也可以逆用对数的换底公式达到我们的目的，特别是实际问题的应用更为广泛，因此要反复训练，授课时要激发学生的学习兴趣，多应用多媒体的教学手段．
●教学流程
复习对数的定义及运算性质并引入新课题?根据教材中的问题，探究出解决的方法，得到换底公式?完成换底公式的证明，加深对换底公式的理解?利用换底公式化简求值，完成例1及其变式训练
?运用换底公式，用已知对数表示其他对数，完成例2及其
一、选择题
1．下列函数：①y＝3x2(x∈N＋)；②y＝5x(x∈N＋)；③y＝3x＋1(x∈N＋)；④y＝3×2x(x∈N＋)，其中正整数指数函数的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】 由正整数指数函数的定义知，只有②中的函数是正整数指数函数．
【答案】 B
2．函数f(x)＝()x，x∈N＋，则f(2)等于( )
A．2 B．8
C．16 D.
【解析】 ∵f(x)＝(x)x∈N＋，
∴f(2)＝()2＝.
【答案】 D
3．(2013·阜阳检测)若正整数指数函数过点(2,4)，则它的解析式为( )
A．y＝(－2)x B．y＝2x
C．y＝()x D．y＝(－)x
【解析】 设y＝ax(a＞0且a≠1)，
由4＝a2得a＝2.
【答案】 B
4．正整数指数函数f(x)＝(a＋1)x是N＋上的减函数，则a的取值范围是( )
A．a<0 B．－1C．0【解析】 ∵函数f(x)＝(a＋1)x是正整数指数函数，且f(x)为减函数，
∴0∴－1【答案】 B
5．由于生产电脑的成本不断降低，若每年电脑价格降低，设现在的电脑价格为8 100元，则3年后的价格可降为( )
A．2 400元 B．2 700元
C．3 000元 D．3 600元
【解析】 1年后价格为
8 100×(1－)＝8 100×＝5 400(元)，
2年后价格为
5 400×(1－)＝5 400×＝3 600(元)，
3年后价格为
3 600×(1－)＝3 600×＝2 400(元)．
【答案】 A
二、填空题
6．已知正整数指数函数y＝(m2＋m＋1)()x(x∈N＋)，则m＝______.
【解析】 由题意得m2＋m＋1＝1，
解得m＝0或m＝－1，
所以m的值是0或－1.
【答案】 0或－1
7．比较下列数值的大小：
(1)()3________()5；
(2)()2________()4.
【解析】 由正整数指数函数的单调性知，
()3<()5，()2>()4.
【答案】 (1)< (2)>
8．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2012年产生的垃圾量为a吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为________吨，2020年的垃圾量为________吨．
【解析】 由题意知，下一年的垃圾量为a×(1＋b)，从2012年到2020年共经过了8年，故2020年的垃圾量为a×(1＋b)8.
【答案】 a×(1＋b) a×(1＋b)8
三、解答题
9．已知正整数指数函数f(x)＝(3m2－7m＋3)mx，x∈N＋是减函数，求实数m的值．
【解】 由题意，得3m2－7m＋3＝1，解得m＝或m＝2，又f(x)是减函数，则010．已知正整数指数函数f(x)的图像经过点(3,27)，
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求f(5)；
(3)函数f(x)有最值吗？若有，试求出；若无，说明原因．
【解】 (1)设正整数指数函数为f(x)＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)，因为函数f(x)的图像经过点(3,27)，所以f(3)＝27，即a3＝27，解得a＝3，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3x(x∈N＋)．
(2)f(5)＝35＝243.
(3)∵f(x)的定义域为N＋，且在定义域上单调递增，
∴f(x)有最小值，最小值是f(1)＝3；f(x)无最大值．
11．某种细菌每隔两小时分裂一次(每一个细菌分裂成两个，分裂所需时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y是研究时间t的函数，记作y＝f(t)．
(1)写出函数y＝f(t)的定义域和值域；
(2)在坐标系中画出y＝f(t)(0≤t<6)的图像；
(3)写出研究进行到n小时(n≥0，n∈Z)时，细菌的总个数(用关于n的式子表示)．
【解】 (1)y＝f(t)的定义域为{t|t≥0}，值域为{y|y＝2m，m∈N＋)}；
(2)0≤t<6时，f(t)为一分段函数，
y＝
图像如图所示．
(3)n为偶数且n≥0时，y＝2＋1；
n为奇数且n≥0时，y＝2＋1.
一、选择题
1．若b－3n＝5m(m，n∈N＋)，则b＝( )
【解析】 若bn＝am(m，n∈N＋，a>0，b>0)，则b＝所以b＝.
【答案】 B
2．2×5＝( )
A．103 B．10
C．310 D．7
【解析】 由实数指数幂的运算性质(ab)n＝anbn知，2×5＝(2×5)＝10.
【答案】 B
3．将化为分数指数幂为( )
【解析】
【答案】 B
4．设a>0，将表示成分数指数幂，其结果是( )
【解析】
【答案】 C
【解析】
【答案】 A
二、填空题
6．用分数指数幂表示下列各式(式中a>0)，
(1)＝________；(2)＝________.
【解析】
【答案】
【解析】 原式＝×16－4－4＝－4.
【答案】 －4
8．已知10α＝2,100β＝3，则＝________.
【解析】 ∵100β＝3，即102β＝3，
∴10β＝.
∴＝106α－β＝
【答案】
三、解答题
9．计算：
【解】
10．化简(式中各字母均为正数)：
【解】
11．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值．
【解】 ∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，
∴∵a>b>0，∴>>0.
∴>0.
()2＝＝＝＝，
∴＝＝.
一、选择题
1．下列函数一定是指数函数的是( )
A．y＝5x＋1 B．y＝x4
C．y＝3－x D．y＝2·3x
【解析】 y＝5x＋1＝5·5x与y＝2·3x都不符合指数函数的定义，y＝x4是幂函数．
【答案】 C
2．函数y＝()的值域是( )
A．(－∞，0) B．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
【解析】 由≥0且y＝()x是减函数，知0【答案】 B
3．已知a＝30.2，b＝53，c＝3－0.2，则a，b，c三者的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
【解析】 因为b＝53>a＝30.2>1，而0所以b>a>c.
【答案】 B
4．(2013·贵阳高一检测)已知函数f(x)＝则f(f(－1))＝( )
A．2 B.
C．0 D.
【解析】 f(－1)＝2－1＝，f(f(－1)＝f()＝＝.
【答案】 B
5．不等式2x>()x－x2的解集为( )
A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(－∞，0)∪(0，＋∞)
C．(0,2) D．[0,2]
【解析】 且y＝2x在R上单调递增，
∴原不等式转化为x>x2－x即x2－2x<0，
∴解集为(0,2)．
【答案】 C
二、填空题
6．已知指数函数的图像过点(－1,2)，则f(－2)＝____.
【解析】 设指数函数的解析式为y＝ax(a>0且a≠1)，将(－1,2)代入得2＝a－1，
∴a＝，∴y＝()x，∴f(－2)＝()－2＝4.
【答案】 4
7．当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝2x－2的值域为________．
【解析】 ∵－1≤x≤1，∴＝2－1≤2x≤21＝2，
∴－≤2x－2≤0.
【答案】 [－，0]
8．函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值为________．
【解析】 若a>1，则f(x)在[1,2]上递增，f(x)max＝f(2)＝a2，f(x)min＝f(1)＝a，
由题意a2－a＝，∴a＝或a＝0(舍去)．
若0∴a－a2＝，∴a＝或a＝0(舍去)．
【答案】 或
三、解答题
9．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图像经过点(2，)，其中a>0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
【解】 (1)函数图像过点(2，)，
所以a2－1＝，则a＝.
(2)f(x)＝()x－1(x≥0)，
由x≥0，得x－1≥－1，
于是0<()x－1≤()－1＝2.
所以，所求的函数值域为(0,2]．
10．如果2×22x>()1－x，求x的取值范围．
【解】 ∵2×22x>()1－x，
∴22x＋1>2x－1，
∴2x＋1>x－1，
∴x>－2.即x∈(－2，＋∞)．
11．求函数y＝()x＋()x＋1的值域．
【解】 令t＝()x，t∈(0，＋∞)，则原函数可化为y＝t2＋t＋1＝(t＋)2＋.因为函数y＝(t＋)2＋在t∈(0，＋∞)上是增函数，所以y>1，即原函数的值域是(1，＋∞).
一、选择题
1．为了得到函数y＝2x－3＋1的图像，只需把函数y＝2x上的所有点( )
A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
【解析】 y＝2xy＝2x－3y＝2x－3＋1.
【答案】 C
2．函数y＝()|x|的值域为( )
A．{y|y>0} B．{y|y≤1}
C．{y|y≥1} D．{y|0【解析】 由于|x|≥0，且y＝()|x|为偶函数，结合其图像知0【答案】 D
3．若函数y＝ax＋b－1(a>0且a≠1)的图像经过第二、三、四象限，则一定有( )
A．00 B．a>1，且b>0
C．00
【解析】 根据题意，画出函数y＝ax＋b－1(a>0且a≠1)的大致图像，如图所示．所以0【答案】 C
4．若不等式2－x＋a＋1>0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．a<－1 B．a≤－1
C．a>－1 D．a≥－1
【解析】 原不等式可化为()x>－a－1，由于()x>0，
所以要使原不等式对x∈R恒成立，只需－a－1≤0，
即a≥－1.
【答案】 D
5．(2013·商丘高一检测)若函数f(x)＝
是R上的增函数，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．(1,8)
C．(4,8) D．[4,8)
【解析】 因为f(x)在R上是增函数，故结合图像(图略)知解得4≤a<8.
【答案】 D
二、填空题
6．若f(x)＝π－(x－u)2的最大值为m，且f(x)是偶函数，则m＋n＝________.
【解析】 因为f(－x)＝f(x)，
所以π－(x＋u)2＝π－(x－u)2
所以(x＋u)2＝(x－u)2.
所以u＝0，f(x)＝，
因为x2≥0，所以－x2≤0.
所以0<≤1.
所以m＝1，故m＋n＝1.
7．若函数f(x)＝则不等式f(x)≥的解集为________．
【解析】 (1)当x≥0时，由f(x)≥得()x≥，
∴0≤x≤1.
(2)当x<0时，不等式≥明显不成立．
综上可知不等式f(x)≥的解集是{x|0≤x≤1}．
【答案】 {x|0≤x≤1}
8．(2013·大连高一检测)若关于x的方程()|x|＋m＝0有实数解，则实数m的取值范围是________．
【解析】 法一 ∵0<()|x|≤1，
∴m<()|x|＋m≤m＋1.
要使方程()|x|＋m＝0有解，只要m<0≤m＋1，
解得－1≤m<0，故实数m的取值范围是[－1,0)．
法二 令y＝()|x|＋m，作函数图像，如图：
依题意，函数y＝()|x|＋m的图像与x轴有交点，
∴解得－1≤m<0，即m∈[－1,0)．
【答案】 [－1,0)
三、解答题
9．画出函数y＝2|x＋1|的图像，并根据图像指出它的单调区间．
【解】 变换作图，y＝2xy＝2|x|y＝2|x＋1|，如图．
由图可知函数y＝2|x＋1|在(－∞，－1)]上单调递减，
在(－1，＋∞)上单调递增．
10．求函数y＝()x2－2x＋2(0≤x≤3)的值域．
【解】 令t＝x2－2x＋2，则y＝()t，
又t＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1,0≤x≤3，
∴当x＝1时，tmin＝1；当x＝3时，tmax＝5.
故1≤t≤5，∴()5≤y≤()1，
故所求函数的值域为[，]．
11．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)若对于任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
【解】 (1)∵f(x)为奇函数且在x＝0处有意义，
∴f(0)＝0，即＝0，
∴b＝1，
∴f(x)＝.
又∵f(－1)＝－f(1)，
∴＝－，
∴a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝，
先研究f(x)＝的单调性．
∵f(x)＝＝－＋，
∴f(x)＝在R上为减函数．
∵f(x)为奇函数，
∴f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0，
即f(t2－2t)<－f(2t2－k)
＝f(－2t2＋k)．
又∵f(x)在R为减函数，
∴t2－2t>－2t2＋k，
即对一切t∈R，有3t2－2t－k>0，
∴Δ<0，即4＋12k<0，
∴k<－.
故k的取值范围是(－∞，).
一、选择题
1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
【解析】 根据ab＝N?b＝logaN可知，A，B，D均正确，C不正确．
【答案】 C
2．已知logx8＝3，则x的值为( )
A. B．2
C．3 D．4
【解析】 由定义知x3＝8，所以x＝2.
【答案】 B
3．已知loga3＝，则a的值为( )
A．2 B．3
C．8 D．9
【解析】 2log230＝30＝1，∴loga3＝1，∴a＝3.
【答案】 B
4．设f(x)＝则f(f(2))的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 ∵f(2)＝log3(22－1)＝log33＝1，
∴f(f(2))＝f(1)＝2e1－1＝2e0＝2.
【答案】 C
5．方程2log3x＝的解是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝9
【解析】 ∵2log3x＝＝2－2，
∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝.
【答案】 A
二、填空题
6．方程log3(2x－1)＝1的解为x＝________.
【解析】 原方程同解于log3(2x－1)＝log33，所以2x－1＝3，x＝2.
【答案】 2
7．log6[log4(log381)]＝________.
【解析】 原式＝log6[log4(log334)]＝log6(log44)＝log61＝0.
【答案】 0
8．若loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝________.
【解析】 ∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3.
∴a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12.
【答案】 12
三、解答题
9．求下列各式中的x.
(1)log2(log5x)＝0；(2)logx 27＝.
【解】(1)由log2(log5x)＝0得log5x＝1，∴x＝5.
【解】
11．已知loga b＝logb a(a>0且a≠1；b>0且b≠1)，求证：a＝b或a＝.
【证明】 设loga b＝logb a＝k，
则b＝ak，a＝bk，
∴b＝(bk)k＝bk2.
∵b>0且b≠1，
∴k2＝1，即k＝±1.
当k＝－1时，a＝；
当k＝1时，a＝b.
∴a＝b或a＝.
一、选择题
1．(2013·高一大同检测)2log510＋log50.25＝( )
A．0 B．1
C．2 D．4
【解析】 原式＝log5102＋log50.25＝log5(100×0.25)＝log552＝2.
【答案】 C
2．化简log612－2log6的结果为( )
A．6 B．12
C．log6 D.
【解析】 法一 原式＝log6(6×2)－
＝(1＋log62)－log62＝(1－log62)＝log63
＝log6.
法二 原式＝log6－log62＝log6＝log6.
【答案】 C
3．已知2x＝9,2y＝，则x＋2y的值为( )
A．6 B．8
C．1 D．log48
【解析】 由2x＝9，得x＝log29，
由2y＝，得y＝log2，
∴x＋2y＝log29＋2log2＝2log23＋2log2
＝2(log23＋log2)＝2log2(3×)＝2log28＝2×3＝6.
【答案】 A
【解析】
【答案】 A
5．lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则lg (ab)·(lg )2＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
【解析】 由已知得，lg a＋lg b＝2，即lg (ab)＝2，lg a·lg b＝.
所以lg (ab)·(lg )2＝2(lg a－lg b)2＝2[(lg a＋lg b)2－4lg alg b]＝2(22－4×)＝2×2＝4，故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．计算(lg－lg 25)÷＝__________.
【解析】 (lg－lg 25)÷＝(lg)÷10－1＝－2×10＝－20.
【答案】 －20
7．已知log32＝a，则2log36＋log30.5＝________.
【解析】 原式＝2log3(2×3)＋log3
＝2(log32＋log33)－log32
＝log32＋2＝a＋2.
【答案】 a＋2
8．方程lg x＋lg(x－1)＝1－lg 5的根是________．
【解析】 方程变形为lg x(x－1)＝lg2，∴x(x－1)＝2.
解得x＝2或x＝－1.经检验x＝－1不合题意，舍去，
∴原方程的根为x＝2.
【答案】 x＝2
三、解答题
9．计算下列各式的值：
(1)lg 5＋log36＋lg 20－log32；
(2)log213＋lg 1 000－log21.
【解】 (1)原式＝lg 5＋log33＋log32＋lg 2＋lg 10－log32＝(lg 5＋lg 2)＋2＝3.
(2)原式＝(log213＋log217)＋lg 103＝log2121＋3＝4.
10．求下列各式的值：
(1)log535＋2log5－log5－log514；
(2)[(1－log63)2＋log6 2·log618]÷log64；
(3)lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋()2＋lg 0.06＋lg.
【解】 (1)原式＝log535＋log52－log5－log514
＝log5＝log5＝log525＝2.
(2)原式＝[(log6)2＋log62·log6]÷log64
＝[(log62)2＋log62(log636－log62)]÷log64
＝[(log62)2＋2log62－(log62)2]÷log64
＝2log62÷log64＝log64÷log64＝1.
(3)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2＋lg－lg 6
＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2＋lg 6－2－lg 6
＝3·lg 5·lg 2＋3lg 5＋3·(lg 2)2－2
＝3lg 2(lg 2＋lg 5)＋3lg 5－2＝3lg 2＋3lg 5－2
＝3(lg 2＋lg 5)－2＝3－2＝1.
11．解方程(lg x)2＋lg x5－6＝0.
【解】 原方程可化为(lg x)2＋5lg x－6＝0，
即(lg x＋6)(lg x－1)＝0，.
等价于lg x＝－6或lg x＝1.
解得x＝10－6或x＝10.
经检验x＝10－6和x＝10都是原方程的解．
所以原方程的解为x＝10－6或x＝10.
一、选择题
1．下列等式不成立的是( )
A．log54＝ B．log54＝
C．log54＝ D．log54＝
【解析】 由换底公式的定义知，D不成立．
【答案】 D
2．式子log916·log881的值为( )
A．18 B.
C. D.
【解析】 原式＝·
＝·＝.
【答案】 C
A．lg 3 B．－lg 3
C. D．－
【解析】
【答案】 C
4．若logab·log3a＝5，则b＝( )
A．a3 B．a5
C．35 D．53
【解析】 由换底公式得，
·＝5，
化简得lg b＝5lg 3＝lg 35，
∴b＝35.
【答案】 C
5．(2013·晋城高一检测)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝( )
A. B．10
C．20 D．100
【解析】 ∵2a＝5b＝m，
∴a＝log2m，b＝log5m.
∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.
∴m2＝10，∴m＝.
【答案】 A
二、填空题
6．已知log23＝a，log37＝b，则log27＝________.(用a，b表示)
【解析】 由于log37＝＝b，又log23＝a，所以log27＝ab.
【答案】 ab
7．若mlog35＝1，n＝5m＋5－m，则n的值为________．
【解析】 ∵mlog35＝1，∴m＝＝log53，
【答案】
8.＋log2(－)＝________.
【解析】 原式＝＋log4(－)2
＝(－log32)·3log23＋log42
＝－＋
＝－1.
【答案】 －1
三、解答题
9．计算：(1)(log43＋log83)(log32＋log92)－；
(2)(log25＋log40.2)(log52＋log250.5)．
【解】
(2)原式＝(log25＋log2)(log52＋log5)
＝(log25＋log25－1)(log52＋log52－1)
＝(log25－log25)(log52－log52)
＝·log25·log52＝.
10．已知一个驾驶员喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒以后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液中的酒精含量不得大于0.08 mg/mL.问若喝了少量酒的驾驶员至少过几个小时后才能驾驶？
【解】 设喝酒x小时后才能驾驶，在x小时后，血液中的酒精含量达0.3×(1－50%)x＝0.3×0.5x mg/mL.
依题意得0.3×0.5x≤0.08，
∴0.5x≤0.266 7，
∴x≥≈2(小时)．
即大约2小时后，驾驶员才能驾车．
11．已知x，y，z为正数，且3x＝4y＝6z.
(1)求使2x＝py的p的值；
(2)求证：＝－.
【解】 (1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k≠1)，
则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，
由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·，
∵log3k≠0，∴p＝2log34.
(2)证明 －＝－
＝logk6－logk3
＝logk2＝logk4＝＝.
一、选择题
1．函数y＝log2x的图像大致是( )
【解析】 结合各选项可知，C正确．
【答案】 C
2．函数y＝log2x，且f(m)>0，则m的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(0,1)
C．(1，＋∞) D．R
【解析】 结合y＝log2x的图像可知，f(m)>0时，m>1.
【答案】 C
3．函数y＝log2x的定义域是M，值域是N，则M∩N等于( )
A．M B．N
C．? D．R
【解析】 M＝(0，＋∞)，N＝R，则M∩N＝(0，＋∞)＝M.
【答案】 A
4．函数y＝9x的反函数是( )
A．y＝9x B．y＝x9
C．y＝logx9 D．y＝log9x
【解析】 由反函数的定义知y＝9x的反函数是y＝log9x.
【答案】 D
5．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且f(4)＝2，则f(x)＝
( )
A．log2x B.
C． D．2x－2
【解析】 依题意知，f(x)＝logax，又f(4)＝2，所以loga4＝2，即a2＝4，所以a＝2，故f(x)＝log2x.
【答案】 A
二、填空题
6．函数f(x)＝的定义域是________．
【解析】 由2－log2x≥0?log2x≤2，
∴0【答案】 (0,4]
7．已知函数f(x)＝则f(f())＝________.
【解析】 f[f()]＝f(log2)＝f(－2)＝3－2＝.
【答案】
8．函数f(x)＝log2x在区间[a,2a](a>0)上最大值与最小值之差为________．
【解析】 ∵f(x)＝log2x在区间[a,2a]上是增函数，
∴f(x)max－f(x)min＝f(2a)－f(a)＝log2(2a)－log2a＝1.
【答案】 1
三、解答题
9．求下列函数的定义域：
(1)y＝log3(1－x)；
(2)y＝；
(3)y＝log7.
【解】 (1)∵当1－x>0，即x<1时，函数y＝log3(1－x)有意义，
∴函数y＝log3(1－x)的定义域为(－∞，1)．
(2)由log2x≠0，得x>0且x≠1.
∴函数y＝的定义域为{x|x>0且x≠1}．
(3)由>0，得x<.
∴函数y＝log7的定义域为(－∞，)．
10．已知f(x)＝log3x.
(1)作出这个函数的图像；
(2)若f(a)【解】 (1)作出函数y＝log3x的图像如图所示．
(2)由图像知：当0∴所求a的取值范围为(0,2)．
11．已知函数y＝log2x的图像，如何得到y＝log2(x＋1)的图像，y＝log2(x＋1)的定义域与值域是多少？与x轴的交点是什么？
【解】 y＝log2xy＝log2(x＋1)，如图．
定义域为(－1，＋∞)，值域为R，
与x轴的交点是(0,0).
一、选择题
1．已知集合A＝{y|y＝log2x，x>1}，B＝{y|y＝()x，x>1}，则A∩B＝( )
A．{y|0C．{y|【解析】 ∵A＝{y|y>0}，B＝{y|0∴A∩B＝{y|0【答案】 A
2．(2013·咸阳高一检测)函数f(x)＝的定义域是( )
A．(1，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(1,2]
【解析】 由题意有解得1【答案】 D
3．若log3a<0，()b>1，则( )
A．a>1，b>0 B．00
C．a>1，b<0 D．0【解析】 由函数y＝log3x，y＝()x的图像知，0【答案】 D
4．已知a>0，且a≠1，则函数y＝a－x与y＝loga(－x)的图像可能是( )
【解析】 a>1时，y＝a－x＝()x是减函数，y＝loga(－x)是减函数，且其图像位于y轴左侧；
当0【答案】 C
5．(2013·兰州高一检测)已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是( )
A．(0,1) B．(0，)
C．[，) D．[，1)
【解析】 ∵f(x)＝logax(x≥1)是减函数，
∴0＜a＜1且f(1)＝0.
∵f(x)＝(3a－1)x＋4a(x＜1)为减函数，
∴3a－1＜0.∴a＜.
又∵f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，
∴(3a－1)×1＋4a≥0.∴a≥.
∴a∈[，)．
【答案】 C
二、填空题
6．设0【解析】 由于y＝logax(0∴2ax－2>1，即ax>.
由于0【答案】 (－∞，loga)
7．函数y＝log (1－2x)的单调递增区间为________．
【解析】 令u＝1－2x，函数u＝1－2x在区间(－∞，)内递减，而y＝logu是减函数，
故函数y＝log (1－2x)在(－∞，)内递增．
【答案】 (－∞，)
8．已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f()＝0，则不等式f(log4x)<0的解集是________．
【解析】 由题意可知，f(log4x)<0?－【答案】 {x|三、解答题
9．解不等式：loga(x－4)＞loga(x－2)．
【解】 (1)当a＞1时，原不等式等价于无解；
(2)当0＜a＜1时，原不等式等价于
解得x＞4.
∴当a＞1时，原不等式的解集为空集；当0＜a＜1时，原不等式的解集为(4，＋∞)．
10．求函数y＝(logx)2－logx＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．
【解】 由y＝logx在区间[2,4]上为减函数知，
log2≥logx≥log4，即－2≤logx≤－1.
若设t＝logx，则－2≤t≤－1，且y＝t2－t＋5.
而y＝t2－t＋5的图像的对称轴为t＝.
且在区间(－∞，]上为减函数，
而[－2，－1]?(－∞，]，
所以当t＝－2，即x＝4时，
此函数取得最大值，最大值为10；
当t＝－1，即x＝2时，
此函数取得最小值，最小值为.
11．已知a>0且a≠1，f(logax)＝(x－)．
(1)求f(x)；
(2)判断f(x)的单调性和奇偶性；
(3)对于f(x)，当x∈(－1,1)时，有f(1－m)＋f(1－2m)<0，求m的取值范围．
【解】 (1)令t＝logax(t∈R)，
则x＝at，且f(t)＝(at－)，
所以f(x)＝(ax－a－x)(x∈R)．
(2)因为f(－x)＝(a－x－ax)＝－f(x)，
且x∈R，所以f(x)为奇函数．
当a>1时，ax－a－x为增函数，并且注意到>0，所以这时f(x)为增函数．
当0所以f(x)在R上为增函数．
(3)因为f(1－m)＋f(1－2m)<0，且f(x)为奇函数，
所以f(1－m)因为f(x)在(－1,1)上为增函数．
所以
解之，得即m的取值范围是(，1).
一、选择题
1．以下四种说法中，正确的是( )
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的x＞0，xa＞logax
C．对任意的x＞0，ax＞logax
D．一定存在x0，使x＞x0，总有ax＞xn＞logax
【解析】 对于A，幂函数的增长速度受幂指数影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，而B、C都受a的影响．
【答案】 D
2．当0＜x＜1时，x2，log2x,2x的大小关系是( )
A．2x＞x2＞log2x B．2x＞log2x＞x2
C．x2＞2x＞log2x D．x2＞log2x＞2x
【解析】 当0＜x＜1时，0＜x2＜1,1＜2x＜2，log2x＜0，所以大小关系为2x＞x2＞log2x.
【答案】 A
3．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，根据三个函数增长速度比较，下列选项中正确的是( )
A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)
【解析】 可用特殊值法，取x＝8，知g(8)>f(8)>h(8)．
【答案】 B
4．今有一组实验数据如下：
t
2
3
4
5
6
v
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据所满足的规律，其中最接近的一个是( )
A．v＝log2t B．v＝logt
C．v＝ D．v＝2t－2
【解析】 由表中数据可知，当t增大时，v也随着增大，所以B不正确．又当t＝2时，v＝1.5，所以A、D不正确，C符合要求．
【答案】 C
5．下面对函数f(x)＝logx，g(x)＝()x与h(x)＝在区间(0，＋∞)上的衰减情况说法正确的是( )
A．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢
B．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快
C．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢
D．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快
【解析】 函数f(x)＝logx，g(x)＝()x与h(x)＝在区间(0，＋∞)上的图像如图所示．
观察图像可知，函数f(x)的图像在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢．
同样，函数g(x)的图像在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢．函数h(x)的图像在区间(0,1)上递减较快，但递减速度变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．池塘浮萍每天生长原来的一倍，15天刚好长满池塘，则________天长满半池塘．
【解析】 设第一天生长a，则第二天有浮萍2a，第三天4a，…第14天213a，第15天214a.
因214a＝2×213a，
∴14天长满半池塘．
【答案】 14
7．已知元素“碳14”每经过5 730年，其质量就变成原来的一半．现有一文物，测得其中“碳14”的残存量为原来的41%，此文物距现在约有________年．(注：精确到百位数，lg 2＝0.301 0，lg 4.1＝0.613)
【解析】 设距现在为x年，则有＝41%，两边取对数，利用计算器可得x≈7 400.
【答案】 7 400
8．已知函数f(x)＝若它与直线y＝m有两个不同的交点，则实数m的取值范围是__________(用区间形式表示)．
【解析】 在同一直角坐标系中作出函数y＝f(x)和y＝m的图像如图所示，易知当m>1时，y＝f(x)与y＝m有两个不同的交点．
【答案】 (1，＋∞)
三、解答题
9．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图3－6－4所示．
图3－6－4
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
【解】 (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，
C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当xf(x)；
当x1g(x)；
当x>x2时，g(x)>f(x)．
10．现有某种细胞100个，其中占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)
【解】 现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数：
1小时后，细胞总数为
×100＋×100×2＝×100；
2小时后，细胞总数为
××100＋××100×2＝×100；
3小时后，细胞总数为
××100＋××100×2＝×100；
4小时后，细胞总数为
××100＋××100×2＝×100.
可见，细胞总数y(个)与时间x(小时)之间的函数关系为
y＝100×()x，x∈N＋.
由100×()x>1010，得()x>108，
两边同时取以10为底的对数，
得xlg>8，
∴x>.
∵＝≈45.45，
∴x>45.45.
故经过46小时，细胞总数超过1010个．
11．某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图3－6－5所示，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图(2)．(注：利润与投资的单位：万元)
图3－6－5
(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产．
问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元．(精确到1万元)
【解】 (1)设投资为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元，
则f(x)＝k1x，g(x)＝k2，由题图形知f(1)＝，
g(4)＝，
∴k1＝，k2＝，
∴f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝ (x≥0)．
(2)设投入A产品x万元，则投入B产品(10－x)万元，设企业利润为y万元，则有
y＝f(x)＋g(10－x)
＝＋ (0≤x≤10)．
令＝t，
则y＝＋t
＝－(t－)2＋(0≤t≤)，
当t＝时，ymax＝≈4，此时x＝10－＝3.75，
故当投入A产品3.75万元，投入B产品6.25万元时，企业获得利润最大且最大利润约为4万元．
