课件60张PPT。教师用书独具演示演示结束生活中的变量关系 【问题导思】
世界是千变万化的，变量与变量之间有的有依赖关系，而具有依赖关系的两个变量并不一定具有函数关系．
1．某十字路口，通过汽车的数量与时间的关系是否具有依赖关系？是函数关系吗？
【提示】 没有依赖关系．不是函数关系．
2．储油罐的储油量Q与油面宽度W的关系是否具有依赖关系？是函数关系吗？
【提示】 具有依赖关系，但不是函数关系．唯一确定 函数的概念 【问题导思】
1．初中我们学习过哪些函数？你能说出函数描述了几个变量之间的关系？它们分别是什么变量？
【提示】 初中学过正比例函数，一次函数、反比例函数和二次函数；函数描述了两个变量之间的关系，一个是自变量，另一个是因变量．
2．因变量y与自变量x之间是怎样的依赖关系？
【提示】 因变量y随自变量x的变化而变化．数集 任何一个 唯一 f(x) {f(x)|x∈A} 区间 端点 生活中的变量关系及判断 函数概念的理解 函数的定义域 课时作业（五）课件61张PPT。教师用书独具演示演示结束函数的表示法 【问题导思】
某同学计划买x(x∈{1,2,3,4,5})支2B铅笔．每支铅笔的价格为0.5元，共需y元．于是y与x间建立起了一个函数关系．
1．函数的定义域是什么？
【提示】 {1,2,3,4,5}．
2．y与x的关系是什么？
【提示】 y＝0.5x，x∈{1,2,3,4,5}．表格的形式 图像 解析表达式(简称解析式) 分段函数 取值范围 对应关系 函数图像的作法 求函数解析式 分段函数 课时作业（六）课件48张PPT。教师用书独具演示演示结束映 射 【问题导思】
某校高一·八班有60名同学，同学们的姓名构成集合A.
1．若同学们的姓构成集合B.对于A中的任意一个同学，在B中是否会存在唯一的姓与之对应？
【提示】 是．
2．若在集合B中任取一个姓，在A中是否存在唯一的姓名与之对应？
【提示】 不一定．3．若同学们的身份证号构成集合C，对于集合A中任意一个同学，在C中是否存在唯一的身份证号与之对应？对于集合C中的任意一个身份证号在集合A中是否存在唯一的同学与之对应？
【提示】 是，是
非空 每一个 唯一 f：A→B A中的元素x B中的对应元素y f：x→y 唯一的像 不同 原像 映射 f：A→B 非空数集 非空数集 映射的判断 像与原像 2．设f：A→B是从集合A到集合B的映射，则下面说法正确的是( )
A．A中每一个元素在B中必有唯一像
B．B中每一个元素在A中必有原像
C．B中每一个元素在A中必有唯一原像
D．A中不同元素的像必不同
【解析】 根据映射的概念知，A正确．
【答案】 A3．已知集合A＝{正实数}，集合B＝R，f：A→B是从A到B的一个映射，若f：x→2x－1，则B中元素3的原像为____．
【解析】 依映射的定义，令2x－1＝3，解得x＝2.
【答案】 2课时作业（七）课件54张PPT。教师用书独具演示演示结束函数在区间上增加(减少)的定义 任意 两数 f(x1)
∪(0，＋
∞) (－∞，0] [0，＋∞) 增 增 (－∞，0) (0，＋∞) (1,1) 函数的奇偶性 原点 f(－x)＝－f(x) y轴 奇偶性 幂函数的概念 判断函数的奇偶性 函数奇偶性的应用 课时作业（十一）第二章 函 数
§1生活中的变量关系
§2对函数的进一步认识
2．1 函数概念
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．
2．过程与方法
(1)通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．
(2)了解构成函数的要素．
(3)会求一些简单函数的定义域和值域．
(4)能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域．
3．情感、态度与价值观
使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学习的积极性．
●重点难点
重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数．
难点：符号“y＝f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示．
本节的重点的突破方法是通过教材中的实例让学生自己尝试用集合与对应的语言进行描述．对难点来说，学生不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成对应关系，甚至认为函数就是函数值，其突破方法是可以列举一些对应关系相同但定义域不同的函数，或定义域、值域相同但对应关系不同的函数，让学生在比较、判断中体会．在函数教学中，应强调对函数概念本质的理解，避免求函数的定义域时出现过于烦琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域的偏题，以便学生有时间重点理解函数的概念及符号“y＝f(x)”的含义．
(教师用书独具)
●教学建议
函数是中学数学中最重要的基本概念之一．在中学，函数的学习大致可分为三个阶段．第一阶段是在义务教育阶段，学习了函数的描述性概念，接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数，了解了它们的图像、性质等．本节学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是函数学习的第二阶段，这是对函数概念的再认识阶段．第三阶段是选修系列的导数及其应用的学习，这是函数学习的进一步深化和提高．
在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间的依赖关系；同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围．因此，教材采用了从实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数的概念．
●教学流程
复习引入初中学过的函数有哪些，它们分别有哪些变量?新课讲解，给出函数的概念及其表示方法?完成例1、例2及其变式训练，加深学生对函数概念的理解?给出区间的概念，并注意表示过程中区间的开闭
?质疑答辨，排难解惑，发展思维，完成例3及变式训练，强化对定义域的理解?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正
课标解读
1.通过实例，了解生活中的变量关系．(易混点)
2．理解函数的概念及函数的三要素．(重点)
3．会求一些简单函数的定义域和值域．(重点、难点)
4．能够正确使用区间表示某些函数的定义域和值域.
生活中的变量关系
【问题导思】
世界是千变万化的，变量与变量之间有的有依赖关系，而具有依赖关系的两个变量并不一定具有函数关系．
1．某十字路口，通过汽车的数量与时间的关系是否具有依赖关系？是函数关系吗？
【提示】 没有依赖关系．不是函数关系．
2．储油罐的储油量Q与油面宽度W的关系是否具有依赖关系？是函数关系吗？
【提示】 具有依赖关系，但不是函数关系．
3．在公路上匀速行驶的汽车，它行驶的里程s与时间t具有依赖关系吗？是函数关系吗？
【提示】 具有依赖关系，也是函数关系．
并非有依赖关系的两个变量都有函数关系．只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值时，才称它们之间具有函数关系．
函数的概念
【问题导思】
1．初中我们学习过哪些函数？你能说出函数描述了几个变量之间的关系？它们分别是什么变量？
【提示】 初中学过正比例函数，一次函数、反比例函数和二次函数；函数描述了两个变量之间的关系，一个是自变量，另一个是因变量．
2．因变量y与自变量x之间是怎样的依赖关系？
【提示】 因变量y随自变量x的变化而变化．
给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B或y＝f(x)，x∈A.此时，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．习惯上我们称y是x的函数．
区间
1.区间：
设a，b是两个实数，而且a定义
名称
符号
几何表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a开区间
(a，b)
{x|a≤x左闭右开区间
[a，b)
{x|a左开右闭区间
(a，b]
这里实数a，b都叫作相应区间的端点．
2．无穷大的概念及无穷区间：
定义
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤b}
{x|x符号
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，b]
(－∞，b)
生活中的变量关系及判断
下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？
(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化．冷却时间与温度计示数的关系；
(2)做自由落体运动的物体下落的距离与时间的关系；
(3)商品的销售额与广告费之间的关系；
(4)家庭的食品支出与电视价格之间的关系；
(5)在高速公路上匀速行驶的汽车所走的路程与时间的关系．
【思路探究】 两个变量中的一个变量发生变化时，根据另一个变量是否发生变化来确定依赖关系；根据另一个变量发生变化且取值唯一来确定函数关系．
【自主解答】 (1)温度计示数随冷却时间的变化而变化，所以冷却时间与温度计示数存在着依赖关系．又因为对于冷却时间的每一个取值，都有唯一的温度计示数与之对应，所以，温度计示数是冷却时间的函数；
(2)科学家通过实验发现，做自由落体运动的物体下落的距离(h)与时间(t)具有关系h＝gt2，其中g是常量，很显然，对于时间t在其变化范围内的每一个取值，都有唯一的下落距离h与之对应，故这两个变量存在依赖关系，且距离是时间的函数；
(3)商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存在依赖关系，但商品的销售额还受其他因素的影响，比如产品的质量、价格、售后服务等，所以商品的销售额与广告费之间不是函数关系；
(4)家庭的食品支出与电视价格之间不存在依赖关系；
(5)在高速公路上匀速行驶的汽车所走路程(因变量)随时间(自变量)的变化而变化，所以它们之间存在着依赖关系，且路程是时间的函数．
综上可知，(1)(2)(5)中的变量间存在依赖关系，且是函数关系；(3)中变量间存在依赖关系，不是函数关系；(4)中两个变量间不存在依赖关系．
1．判断两个变量之间是否存在依赖关系，只需看一个变量发生变化时，另一个变量是否会随之变化．
2．判断两个具有依赖关系的变量是否是函数关系，关键是看二者之间的关系是否具有确定性，即验证对于一个变量的每一个值，另一个变量是否都有唯一确定的值与之对应．
(1)下列说法不正确的是( )
A．依赖关系不一定是函数关系
B．函数关系是依赖关系
C．如果变量m是变量n的函数，那么变量n也是变量m的函数
D．如果变量m是变量n的函数，那么变量n不一定是变量m的函数
(2)张大明种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量y千克，则( )
A．x，y之间有依赖关系 B．x，y之间有函数关系
C．y是x的函数 D．x是y的函数
【解析】 (1)根据依赖关系与函数关系的区别可知A、B正确．若变量m是变量n的函数．因为满足函数关系的自变量n对因变量m可以是多对一，此时若把m换成自变量，n换成因变量，显然对于m的每一个取值，会有多个n与之对应，所以变量n不是变量m的函数．
(2)虽然小麦总产量y与每亩施肥量x之间存在依赖关系，但小麦总产量y还受气候、管理等其他因素的影响，所以x，y之间无函数关系．
【答案】 (1)C (2)A
函数概念的理解
下列对应关系是否为A到B的函数．
(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；
(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；
(3)A＝R，B＝Z，f：x→y＝.
【思路探究】 解答本题可从函数的定义入手，即对于A中的任何一个元素在确定的对应关系之下，是否有唯一的y值与之对应．
【自主解答】 (1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；
(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数；
(3)A中元素负数没有平方根，故在B中没有对应的元素且不一定为整数，故此对应关系不是A到B的函数．
1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A、B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．
2．函数的定义中“任一x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．
下列说法正确的是( )
A．f(x)＝＋是函数
B．A＝N，B＝Z，f：x→y＝±，则f是从集合A到集合B的一个函数
C．A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，f：x→y＝x2，则f是从A到B的一个函数
D．y2＝x是函数
【解析】 对于A，由于，则无解，所以f(x)不是函数．
对于B，对集合A中的元素4，在B中有2个元素与之对应，不是函数．
对于D，当x＝4时，y＝±2两个值与之对应，不满足函数定义．
对于C，A中每一个元素在B中都有唯一元素与之对应，符合函数的概念．
【答案】 C
函数的定义域
求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝2x＋3；(2)f(x)＝·＋2；
(3)y＝.
【思路探究】 对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量取值的集合．
【自主解答】 (1)函数f(x)＝2x＋3的定义域为R.
(2)要使函数有意义，需满足
解得1≤x≤4.所以函数f(x)＝·＋2的定义域为{x|1≤x≤4}．
(3)要使函数有意义，需满足1＋x≠0，解得x≠－1.
所以函数y＝的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．
1．求函数的定义域，其实质就是以使函数的解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．其准则一般有：
(1)分式中，分母不为零；
(2)偶次根式中，被开方数非负；
(3)对于y＝x0要求x≠0；
(4)由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束．
2．如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．
求下列函数的定义域
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝＋.
【解】 (1)当x－2≠0，即x≠2时，有意义，
∴这个函数的定义域是{x|x≠2}．
(2)当3x＋2≥0，即x≥－时，有意义，
∴函数f(x)＝的定义域是[－，＋∞)．
(3)由题意解得
∴这个函数的定义域是{x|x≥－1}∩{x|x≠2}＝[－1,2)∪(2，＋∞).
求定义域时盲目化简函数解析式致误
求函数f(x)＝－的定义域．
【错解】 f(x)＝－＝x＋1－.
要使函数有意义，需满足．
1－x≥0，即x≤1.
故f(x)的定义域为(－∞，1]．
【错因分析】 本题错误的原因是化简了函数的解析式而使定义域发生变化．
【防范措施】 讨论函数问题时要保持定义域优先考虑的原则，求函数的定义域之前，不要化简解析式．
【正解】 要使函数f(x)有意义，需满足：
解得x≤1且x≠－1.
所以函数的定义域为：(－∞，－1)∪(－1,1]．
1．函数符号“y＝f(x)”是数学中抽象符号之一，“y＝f(x)”仅为y是x的函数的数学表示，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图表或图像．
2．函数的三要素包括：定义域、对应法则和值域．因为值域由定义域和对应法则完全确定，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.
1．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{ y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到N的函数关系的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】 由函数的定义，M中任意一个x，N中都有唯一y对应，故(1)(2)(4)正确．
【答案】 C
2．下列函数完全相同的是( )
A．f(x)＝|x|，g(x)＝()2
B．f(x)＝|x|，g(x)＝
C．f(x)＝|x|，g(x)＝
D．f(x)＝，g(x)＝x＋3.
【解析】 A、C、D的定义域均不同．
【答案】 B
3．(2012·四川高考)函数f(x)＝的定义域是________．(用区间表示)
【解析】 由题意，需1－2x>0，解得x<.
故f(x)的定义域为(－∞，)．
【答案】 (－∞，)
4．已知函数f(x)＝－，
(1)求函数f(x)的定义域；(用区间表示)
(2)求f(－1)，f(12)的值．
【解】 (1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，
∴x≥－4且x≠1，
即函数f(x)的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞)．
(2)f(－1)＝－＝－3－.
f(12)＝－＝－4＝－.
一、选择题
1．已知f(x)＝，则f(2)＝( )
A．1 B. C. D.
【解析】 f(2)＝＝.
【答案】 C
2．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝x－1和y＝
B．y＝x0和y＝1
C．y＝x2和y＝(x＋1)2
D．f(x)＝和g(x)＝
【解析】 A中y＝x－1定义域为R，而y＝定义域为{x|x≠1}；
B中函数y＝x0定义域{x|x≠0}，而y＝1定义域为R；
C中两函数的解析式不同；
D中f(x)与g(x)定义域都为(0，＋∞)，化简后f(x)＝1，g(x)＝1，所以是同一个函数．
【答案】 D
3．用固定的速度向如图2－2－1所示形状的瓶子中注水，则水面的高度h和时间t之间的关系是( )
图2－2－1
【解析】 水面的高度h随时间t的增加而增加，而且增加的速度越来越快．
【答案】 B
4．函数f(x)＝的定义域为( )
A．[1,2)∪(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1,2] D．[1，＋∞)
【解析】 要使函数有意义，需
解得x≥1且x≠2，
所以函数的定义域是{x|x≥1且x≠2}．
【答案】 A
5．函数f(x)＝(x∈R)的值域是( )
A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1]
【解析】 由于x∈R，所以x2＋1≥1,0<≤1，
即0【答案】 B
二、填空题
6．集合{x|－1≤x<0或1【解析】 结合区间的定义知，
用区间表示为[－1,0)∪(1,2]．
【答案】 [－1,0)∪(1,2]
7．函数y＝的定义域为________．
【解析】 要使函数有意义，自变量x须满足
解得：x≥1且x≠2.
∴函数的定义域为[1,2)∪(2，＋∞)．
【答案】 [1,2)∪(2，＋∞)
8．设函数f(x)＝，若f(a)＝2，则实数a＝________.
【解析】 由f(a)＝2，得＝2，解得a＝－1.
【答案】 －1
三、解答题
9．已知函数f(x)＝＋，
求：(1)函数f(x)的定义域；
(2)f(4)的值．
【解】 (1)由得x>0，所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)f(4)＝＋＝2＋＝.
10．求下列函数的定义域：
(1)y＝；(2)y＝.
【解】 (1)要使y＝有意义，则必须解得x≤0且x≠－，
故所求函数的定义域为{x|x≤0，且x≠－}．
(2)要使y＝有意义，
则必须3x－2>0，即x>，
故所求函数的定义域为{x|x>}．
11．已知f(x)＝，x∈R，
(1)计算f(a)＋f()的值；
(2)计算f(1)＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋f(4)＋f()的值．
【解】 (1)由于f(a)＝，f()＝，
所以f(a)＋f()＝1.
(2)法一 因为f(1)＝＝，f(2)＝＝，f()＝＝，f(3)＝＝，f()＝＝，f(4)＝＝，f()＝＝，
所以f(1)＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋f(4)＋f()＝＋＋＋＋＋＋＝.
法二 由(1)知，f(a)＋f()＝1，则f(2)＋f()＝f(3)＋f()＝f(4)＋f()＝1，即[f(2)＋f()]＋[f(3)＋f()]＋[f(4)＋f()]＝3，
而f(1)＝，所以f(1)＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋f(4)＋f()＝.
(教师用书独具)
求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4}；
(2)y＝1－x2；
(3)y＝1＋(x>0)．
【思路探究】 求函数的值域就是求函数值的取值集合．
【自主解答】 (1)x＝1时，y＝3；x＝2时，y＝5；x＝3时，y＝7；x＝4时，y＝9.
所以函数y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4}的值域为{3,5,7,9}．
(2)因为1－x2≤1，
所以y＝1－x2的值域为(－∞，1]．
(3)∵x＋1>1，∴0<<1，
∴1<1＋<2，∴y＝1＋的值域为(1,2)．
求函数值域的常用方法
1．观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到．
2．配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．
3．分离常数法：分子、分母是一次函数的有理式函数，即形如y＝(c≠0)的函数可用分离常数法，即将有理分式转化为“反比例函数”类的形式，便于求值域．
4．换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法．
(1)函数y＝x2－4x＋1，x∈[2,5]的值域是( )
A．[1,6] B．[－3,1]
C．[－3,6] D．[－3，＋∞)
【解析】 函数y＝x2－4x＋1是二次函数形式，配方得y＝(x－2)2－3，画出函数y＝(x－2)2－3，x∈[2,5]的图像(如图)，由图像可知，函数的值域为{y|－3≤y≤6}，用区间可表示为[－3,6]．
【答案】 C
(2)函数y＝的值域为________．
【解析】 ∵y＝＝＝2－，
又∵≠0，∴y≠2.
∴函数y＝的值域为{y|y≠2}．
【答案】 {y|y≠2}
知识拓展
函数值域的求法
函数的值域是函数值的集合，它是由函数的定义域与对应关系确定的．函数的最值是函数值域的端点值，求最值与求值域的思路是基本相同的．
求函数值域的常用方法有：
(1)观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出所求函数的值域；如求函数y＝的值域时，由x2≥0及4－x2≥0知∈[0,2]，故所求的函数值域为[0,2]．
(2)数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于图像的直观性来求函数的值域，是一种常见的方法．如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键．
如求函数y＝的值域时，若令u＝x2＋2，则y＝(u≥2)，可借助反比例函数的图像，易得0(3)配方法：若函数是二次函数形式，即可化为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型的函数，则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，这里要特别注意给定区间求二次函数的值域问题．如求函数y＝x－2＋3的值域，因为y＝x－2＋3＝(－1)2＋2≥2，故所求的值域为[2，＋∞)．
(4)换元法：对于形如y＝ax＋b±(a，b，c，d∈R，ac≠0)的函数，往往通过换元，将其转化为二次函数的形式求值域．
如求函数y＝x－2＋3的值域，我们可以令＝t(t≥0)，得y＝t2－2t＋3，即y＝(t－1)2＋2(t≥0)，结合二次函数的图像可知，所求函数的值域为[2，＋∞)．
(5)判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F(x，y)＝0，通过方程有实数根，判别式Δ≥0，从而求得原函数的值域，形如y＝(a1，a2不同时为零)的函数的值域，常用此方法求解．
(6)分离常数法：对于形如y＝的函数，可将其变形为y＝k＋的形式，结合反比例函数的图像和图像平移的有关知识求出值域．
例如：求函数y＝的值域．
由于y＝＝＝－＋，因为≠0，所以y≠－.
所以函数y＝的值域为{y|y∈R，且y≠－}．
2．2 函数的表示法
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)明确函数的三种表示方法．
(2)会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数．
(3)通过具体实例，了解简单的分段函数及应用．
2．过程与方法
学习函数的表示形式，其目的不仅是为研究函数的性质和应用，而且是为加深理解函数概念的形成过程．
3．情感、态度与价值观
让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法
●重点难点
重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．
难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图像．
本节课重点的突破方法是充分利用信息技术，为学生创设丰富的数形结合环境，帮助学生更深刻地理解函数表示法．例如，可以补充部分函数，让学生用计算机或计算器画出它们的图像．对于难点，其突破方法是教学中不必要求学生一次完成认识，可以根据学生的具体情况，采取不同的要求，要遵循循序渐进的原则．
(教师用书独具)
●教学建议
教材从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法、图像法、列表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图像的直观作用．在研究图像时，又要注意代数刻画，以求思考和表述的精确性．
●教学流程
创设情景，揭示课题，通过已学过的函数的概念引出其表示方法?研究新知，明确三种表示方法的优缺点?完成例1及其变式训练，掌握函数图像的作法?通过例2及其变式训练，掌握待定系数法、换元法、配凑法等方法求函数的解析式
?学习分段函数及其表示，明确分段函数也是一个函数，只是自变量范围不同表达式不一样?完成例3及变式训练，注意根据函数值求自变量时所求得的值是否在相应的自变量的取值范围内?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正
课标解读
1.掌握函数的常用的三种表示法．(重点)
2．能根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，了解函数不同表示法的优缺点．
3．理解分段函数及其表示法，会处理某些简单的分段函数问题．(难点)
函数的表示法
【问题导思】
某同学计划买x(x∈{1,2,3,4,5})支2B铅笔．每支铅笔的价格为0.5元，共需y元．于是y与x间建立起了一个函数关系．
1．函数的定义域是什么？
【提示】 {1,2,3,4,5}．
2．y与x的关系是什么？
【提示】 y＝0.5x，x∈{1,2,3,4,5}．
3．试用表格表示铅笔数x与钱数y之间的关系．
【提示】
铅笔数x/支
1
2
3
4
5
钱数y/元
0.5
1
1.5
2
2.5
4.试用图像表示x与y之间的关系．
【提示】
表示法
定义
列表法
用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法，称为列表法
图像法
用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法，称为图像法
解析法
一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式(简称解析式)表示出来，这种方法称为解析法
分段函数
【问题导思】
如果笔记本数不超过5本时，每本按5元，如果笔记本数超过5本时，超出的部分按每本4.5元(买的笔记本数不超过10本)．
1．该函数能用解析法表示吗？怎样表示？
【提示】 能．
y＝
2．上面解析法表示的两段函数能说成是两个函数吗？
【提示】 不能．
在函数的定义域内，如果对于自变量x的不同取值范围有着不同的对应关系，那么这样的函数通常叫做分段函数.
函数图像的作法
作出下列函数的图像．
(1)y＝1＋x(x∈Z)；
(2)y＝x2－2x(x∈[0,3))；
(3)y＝，x∈[2，＋∞)．
【思路探究】 用描点法作图，但要注意定义域对图像的影响．
【自主解答】 (1)这个函数的图像由一些点组成，这些点都在直线y＝1＋x上，如图(1)所示．
(1) (2) (3)
(2)因为0≤x<3，所以这个函数的图像是抛物线y＝x2－x介于0≤x<3之间的一部分，如图(2)所示．
(3)当x＝2时，y＝1，其图像如图(3)所示．
1．描点法作函数图像的“三步曲”：
一列二描三连线用平滑的曲线将描出的点连接起来，得到函数图像在平面直角坐标系中描出表中相应的点取自变量的若干个值，求出相应函数值，列表
2．作函数图像的注意事项：
(1)应先确定函数的定义域，在定义域内作图；
(2)图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像；
(3)要标出某些关键点．例如，图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等，注意分清这些关键的点是实心点还是空心点．
求作y＝|x2＋3x－4|的图像．
【解】 作出二次函数y＝x2＋3x－4的图像如图(1)，将x轴下方的部分翻折到x轴上方即得所求函数图像如图(2)．
(1) (2)
求函数解析式
(1)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x－1，求函数f(x)的解析式．
(2)若f(＋1)＝x＋2，求f(x)．
【思路探究】 (1)由于f(x)是一次函数，所以可设f(x)＝kx＋b(k≠0)，然后用待定系数法恒等求解；
(2)可用换元法(或配凑法)求解．
【自主解答】 (1)由于f(x)是一次函数，可设f(x)＝kx＋b(k≠0)，依题意知，f[f(x)]＝4x－1，
所以k(kx＋b)＋b＝4x－1，
即k2x＋kb＋b＝4x－1，
所以
解得或
所以f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.
(2)法一 (换元法)
设＋1＝t，则x＝(t－1)2(t≥1)，
则f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1.
故f(x)＝x2－1(x≥1)．
法二 (配凑法)
f(＋1)＝(＋1)2－1，
又＋1≥1，
所以f(x)＝x2－1，x≥1.
1．已知函数模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等)求函数的解析式，常用待定系数法，其步骤为：
(1)根据函数模型设出函数解析式；
(2)根据题设求待定系数．
2．已知f[g(x)]的解析式，求f(x)的解析式，常用方法如下：
(1)换元法：令t＝g(x)，然后求出f(t)的解析式，最后用x代替t即可．
(2)配凑法：可通过配凑把f[g(x)]的解析式用g(x)来表示，再将解析式两边的g(x)用x代替即可．
(1)已知f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式为________．
(2)已知2f(x)＋f()＝x，求f(x)．
【解】 (1)令x＋1＝t，
则x＝t－1，由题意得f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，
∴f(x)＝3x－1.
(2)∵2f(x)＋f()＝x，
以代替x得2f()＋f(x)＝，
于是可得
解得f(x)＝x－，
∴f(x)＝x－.
【答案】 (1)f(x)＝3x－1 (2)f(x)＝x－
分段函数
已知f(x)＝求f(－1)，f(f(－1))，f(f(f(－1)))．
【思路探究】 由f(x)的解析式令x＝－1求出f(－1)及f(f(－1))的值，进而求出f(f(f(－1)))的值．
【自主解答】 x＝－1<0，∴f(－1)＝0，
f(f－1))＝f(0)＝π，
f(f(f(－1)))＝f(π)＝π＋1.
1．给定自变量求函数值时，应根据自变量所在的范围，利用相应的解析式直接求值；
2．若给函数值求自变量，则应根据每一段的解析式分别求解，但应注意要检验求得的值是否在相应的自变量取值范围内．
(1)(2012·江西高考)设函数f(x)＝则f(f(3))＝( )
A. B．3 C. D.
(2)已知函数f(x)＝若f(x)＝10，则x＝________.
【解析】 (1)f(3)＝，f(f(3))＝f()＝.
(2)当x≥0时，f(x)＝x2＋1＝10，解得x＝3或x＝－3(舍去)；
当x<0时，f(x)＝－2x＝10，解得x＝－5.综上得x＝－5或3.
【答案】 (1) (2)－5或3
忽略变量的实际意义而致误
如图2－2－2所示，在矩形ABCD中，BA＝3，CB＝4，点P在AD上移动，CQ⊥BP，Q为垂足．设BP＝x，CQ＝y，试求y关于x的函数表达式，并画出函数的图像．
图2－2－2
【错解】 由题意得△CQB∽△BAP，
所以＝，即＝，所以y＝.
故所求的函数表达式为y＝，其图像如图所示．
【错因分析】 没有考虑x的实际意义，扩大了x的取值范围导致出错．
【防范措施】 从实际问题中得到的函数，求其定义域时，不仅要使函数有意义，而且还要使实际问题有意义．
【正解】 由题意得△CQB∽△BAP，
所以＝，即＝.所以y＝.因为BA≤BP≤BD，而BA＝3，BD＝＝5，所以3≤x≤5，
故所求的函数表达式为y＝(3≤x≤5)．
如图所示，曲线MN就是所求的图像．
1．一般地，作函数图像主要有三步：列表、描点、连线．作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图像，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等．
2．求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．
3．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集.
1．某汽车司机看见前方约50米处有行人穿过马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车过程中，汽车速度v是关于刹车时间t的函数，其图像可能是( )
【解析】 刹车过程中，汽车速度呈下降趋势，排除选项C，D；由于是紧急刹车，则汽车速度下降非常快，则图像较陡，排除选项B，故选A.
【答案】 A
2．若f[g(x)]＝6x＋3，且g(x)＝2x＋1，则f(x)等于( )
A．3 B．3x C．3x＋6 D．6x＋3
【解析】 由已知，得f[g(x)]＝6x＋3
＝3(2x＋1)＝3g(x)，
所以f(x)＝3x.
【答案】 B
3．已知f(x)＝则f[f()]＝________.
【解析】 f()＝()2－1＝－，
故f[f()]＝f(－)＝＝－.
【答案】 －
4．2013赛季中国足球超级联赛拉开了大幕．某同学购买x(x∈{1,2,3,4,5})张价格为20元的首场比赛的门票，需要y元．试用函数的三种表示方法将y表示成x的函数．
【解】 (1)列表法：
x/张
1
2
3
4
5
y/元
20
40
60
80
100
(2)图像法：如图所示．
(3)解析法：y＝20x，x∈{1,2,3,4,5}.
一、选择题
1．函数y＝|x|的图像是( )
【解析】 ∵y＝|x|＝∴B选项正确．
【答案】 B
2．已知函数f(x)由下表给出，则f(2)＝( )
x
1
2
3
4
f(x)
2
3
4
1
A.1 B．2 C．3 D．4
【解析】 由表中数据可知，f(2)＝3.
【答案】 C
3．设函数f(x)＝则f()的值为( )
A. B．－ C. D．18
【解析】 f(2)＝22＋2－2＝4，∴＝，
∴f()＝f()＝1－()2＝.
【答案】 A
4．设函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a＝( )
A．－4或－2 B．－4或2
C．－2或4 D．－2或2
【解析】 ①当a>0时，f(a)＝a2＝4，
∴a＝2.
②当a≤0时，f(a)＝－a＝4，
∴a＝－4.
【答案】 B
5．已知f(x－1)＝x2，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x2＋2x＋1 B．f(x)＝x2－2x＋1
C．f(x)＝x2＋2x－1 D．f(x)＝x2－2x－1
【解析】 令x－1＝t，则x＝t＋1，
∴f(t)＝f(x－1)＝(t＋1)2＝t2＋2t＋1，
∴f(x)＝x2＋2x＋1.
【答案】 A
二、填空题
6．已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，则f(x)＝________.
【解析】 设f(x)＝(k≠0)，则＝－6，k＝－18.
∴f(x)＝－.
【答案】 －
7．某客运公司确定车票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0.5元；如果超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y(元)与行程数x(千米)之间的函数关系式是________．
【解析】 当0≤x≤100时，y＝0.5x；
当x>100时，y＝100×0.5＋(x－100)×0.4＝10＋0.4x.
所以y＝
【答案】 y＝
8．已知f(x)＝，则f(3)＝________.
【解析】 f(3)＝f(3＋2)＝f(5)，f(5)＝f(5＋2)＝f(7)，f(7)＝7－5＝2.
【答案】 2
三、解答题
9．已知函数f(x)＝
(1)求f[f()]的值；
(2)若f(a)＝3，求a的值．
【解】 (1)∵－1<<2，∴f()＝()2＝3.
而3≥2，∴f[f()]＝f(3)＝2×3＝6.
(2)当a≤－1时，f(a)＝a＋2，
又f(a)＝3，∴a＝1(舍去)；
当－1又f(a)＝3，∴a＝±，其中－舍去，∴a＝；
当a≥2时，f(a)＝2a，又f(a)＝3，
∴a＝(舍去)．综上所述，a＝.
10．已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
【解】 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵f(0)＝1，∴c＝1.
又∵f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.
整理得2ax＋(a＋b)＝2x，
由恒等式性质知上式中对应项系数相等，
∴解得
∴f(x)＝x2－x＋1.
11．“水”这个曾经被人认为取之不尽，用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度．因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2 000亿元，给我国农业造成的损失达1 500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过的部分的水费按原价的200%收费，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费按原价的400%收费，如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应交的水费y(单位：元)．
【解】 由题意知，当0＜x≤5时，y＝1.2x，
当5＜x≤6时，
y＝1.2×5＋(x－5)×1.2×2＝2.4x－6.
当6＜x≤7时，
y＝1.2×5＋(6－5)×1.2×2＋(x－6)×1.2×4＝4.8x－20.4.
所以y＝.
(教师用书独具)
讨论关于x的方程|x2－4x＋3|＝a(a∈R)的实数解的个数．
【思路探究】 可构造两个函数y＝|x2－4x＋3|及y＝a，并作出它们的图像，图像交点的横坐标x的值就是方程的实数解．
【自主解答】 构造两个函数y＝|x2－4x＋3|和y＝a并作图．
由图可知：
①当a∈(－∞，0)时，原方程没有实数解；
②当a＝0或a∈(1，＋∞)时，原方程有两个实数解；
③当a＝1时，原方程有三个实数解；
④当01．求关于x的方程f(x)＝g(x)的实数解或判断其解的个数时，可以构造两个函数y＝f(x)与y＝g(x)，并作出它们的图像，由图像可知原方程实数解即为两个函数图像交点的横坐标，方程的解的个数等于两个函数图像交点的个数．
2．函数图像可以形象地反映函数的性质，通过观察图像可以确定图像的变化趋势、对称性、分布情况等．应用函数图像解题体现了数形结合的思想方法．
若x∈R，f(x)是y＝2－x2与y＝x这两个函数的较小者，则f(x)的最大值为( )
A．2 B．1 C．－1 D．无最大值
【解析】 两个函数一个是二次函数，一个是一次函数，f(x)是两个函数的较小者，可先画出两个函数的图像，然后找出f(x)的图像再求其最大值．
在同一坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图像，如图所示，根据题意，坐标系中实线部分即为函数f(x)的图像．∴x＝1时，f(x)max＝1.选B.
【答案】 B
知识拓展
变换法画函数的图像
变换法画函数的图象有三类：
1．平移变换
(1)将函数y＝f(x)的图像向左平移a(a>0)个单位得函数y＝f(x＋a)的图像；
(2)将函数y＝f(x)的图像向右平移a(a>0)个单位得函数y＝f(x－a)的图像；
(3)将函数y＝f(x)的图像向上平移b(b>0)个单位得函数y＝f(x)＋b的图像；
(4)将函数y＝f(x)的图像向下平移b(b>0)个单位得函数y＝f(x)－b的图像，
简称为“左加(＋)右减(－)，上加(＋)下减(－)”．
2．对称变换
(1)函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图像关于直线x＝0即y轴对称；
(2)函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图像关于直线y＝0即x轴对称；
(3)函数y＝f(x)与函数y＝－f(－x)的图像关于原点对称．
3．翻折变换
(1)函数y＝|f(x)|的图像可以将函数y＝f(x)的图像位于x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留y＝f(x)的x轴上方部分即可得到；
(2)函数y＝f(|x|)的图像可以将函数y＝f(x)的图像y轴右边部分翻折到y轴左边替代原y轴左边部分，并保留y＝f(x)在y轴右边部分图像即可得到．
函数的图像是对函数关系的一种直观、形象的表示，可以直观地显示出函数的变化状况及其特性，它是研究函数性质时的重要参考，也是运用数形结合思想研究和运用函数性质的基础，另一方面，函数的一些特性又能指导作图，函数与图像是同一事物的两个方面，是函数的不同表现形式．函数的图像可以比喻成人的相片，观察函数的图像可以研究其性质，当然，也可以由函数的性质确定函数图像的特点，借助函数的图像来解决函数问题，函数的图像问题是高考的热点之一，应引起足够的重视．
下面举例说明其应用：
已知函数f(x)＝.
(1)画出函数f(x)的图像；
(2)观察图像写出函数的定义域和值域．
【解】 (1)y＝＝＝3＋.
将y＝的图像向左平移两个单位得y＝的图像，再向上平移三个单位得y＝＋3的图像．
图像如图所示．
(2)观察函数的图像，可知图像上所有点的横坐标的取值范围是(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，图像上所有点的纵坐标的取值范围是(－∞，3)∪(3，＋∞)．故函数的定义域是(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，值域是(－∞，3)∪(3，＋∞)．
画不熟悉的函数的图像，可以变形成基本函数，利用变换法画出图像，但要注意变形过程是否等价，注意x，y的变化范围．因此必须熟记基本初等函数的图像，如：正、反比例函数，一次、二次函数的图像，在变换函数的解析式中运用了转化和分类讨论的思想.
2.3 映 射
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)了解映射的概念及表示方法．
(2)结合简单的对应图表，理解一一映射的概念．
2．过程与方法
(1)函数推广为映射，只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合．
(2)通过实例进一步理解映射的概念．
(3)会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射、一一映射．
3．情感、态度与价值观
映射在近代数学中是一个极其重要的概念，是进一步学习各类映射的基础．
●重点难点
重点：映射的概念．
难点：映射的概念．
映射的概念是比较抽象的，它是在初中所学对应的基础上发展而来，教学中应特别强调对应集合中的“唯一”这点要求的理解； 映射是学生在初中所学的对应的基础上学习的，对应本身就是由三部分构成的整体，包括集合A和集合B及对应法则f，由于法则的不同，对应可分为一对一、多对一、一对多和多对多．其中只有一对一和多对一的能构成映射，由此可以看到映射必是“对B中之唯一”，而只要是对应就必须保证让“A中之任意”与B中元素相对应，所以满足一对一和多对一的对应就能体现出“任意对唯一”.
(教师用书独具)
●教学建议
1．在刚开始学习映射时，为了能让学生看清映射的构成，可以选择用图形表示映射，在集合的选择上可选择能用列举法表示的有限集，法则尽量用语言描述，这样的表示方法让学生可以比较直观的认识映射，而后再选择用抽象的数学符号表示映射．在映射概念引入时，可先从学生熟悉的对应入手， 选择一些具体的生活例子，然后再举一些数学例子，分为一对多、多对一、一对一三种情况，让学生认真观察、比较，再引导学生发现其中一对一和多对一的对应是映射，逐步归纳概括出映射的基本特征，让学生的认识从感性认识上升到理性认识．
2．对于学生层次较高的学校可以在给出定义后让学生根据自己的理解举出映射的例子，教师也给出一些映射的例子，让学生从中发现映射的特点，并用自己的语言描述出来，最后教师加以概括，再从中引出一一映射概念；对于学生层次较低的学校，则可以由教师给出一些例子让学生观察，教师引导学生发现映射的特点，一起概括，最后再让学生举例，并逐步增加要求向一一映射靠拢，引出一一映射概念．
3．关于求像和原像的问题，应在计算的过程中总结方法，特别是求原像的方法是解方程或方程组，还可以通过方程组解的不同情况(有唯一解，无解或有无数解)加深对映射的认识．
4．在教学方法上可以采用启发、讨论的形式，让学生在实例中去观察、比较，启发学生寻找共性，共同讨论映射的特点，共同举例、计算，最后进行小结，教师要起到点拨和深化的作用．
●教学流程
在现实生活中我们经常遇到两集合间的对应关系，今天我们学习一种特殊的对应——映射，为学习函数作准备?课件展示按照某种对应法则建立的两个集合元素之间的一种联系就是对应．出示这个课件的目的是让学生对对应有感性认识?学生分小组讨论几个例子得出映射的概念?通过例1及其变式训练，加深对映射概念的理解?给出像与原像的定义，完成例2及其变式训练?理解特殊的映射——映射，掌握其特点?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正
课标解读
1.了解映射、一一映射的概念．(重点)
2．初步了解映射与函数间的联系与区别．(易混点)
3．感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用．(难点)
映 射
【问题导思】
某校高一·八班有60名同学，同学们的姓名构成集合A.
1．若同学们的姓构成集合B.对于A中的任意一个同学，在B中是否会存在唯一的姓与之对应？
【提示】 是．
2．若在集合B中任取一个姓，在A中是否存在唯一的姓名与之对应？
【提示】 不一定．
3．若同学们的身份证号构成集合C，对于集合A中任意一个同学，在C中是否存在唯一的身份证号与之对应？对于集合C中的任意一个身份证号在集合A中是否存在唯一的同学与之对应？
【提示】 是，是
1．映射
(1)映射的概念
两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B.
(2)像与原像的概念
在映射f：A→B中，A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像．记作f：x→y.
2．一一映射
一一映射是一种特殊的映射，它满足：
(1)A中每一个元素在B中都有唯一的像与之对应；
(2)A中的不同元素的像也不同；
(3)B中的每一个元素都有原像．
3．函数与映射
设A、B是两个非空数集，f是A到B的一个映射，那么映射f：A→B就叫作A到B的函数．即函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射.
映射的判断
在下列各题中，判断下列对应是否为集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数，为什么？
(1)A＝N，B＝N＋，对应关系f：“y＝|x－1|，x∈A，y∈B”；
(2)A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤2}，对应关系f：“y＝，x∈A，y∈B”；
(3)A＝{1,2,3,4}，B＝{4,5,6,7}，对应关系f：“y＝x＋3，x∈A，y∈B”．
【思路探究】 先判断A中每一个元素，在集合B中均有对应关系，若有，看对应关系是否唯一．
【自主解答】 (1)集合A＝N中元素1在对应关系f作用下为0，而0?N＋，即A中元素1在B中没有元素与之对应，故对应关系f不是从A到B的映射．
(2)集合A中元素6在对应关系f作用下为3，而3?B，故对应关系f不是从A到B的映射．
(3)集合A中的每一个元素在对应关系f作用下，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，所以，对应关系f是从A到B的映射，又B中每一个元素在A中都有唯一的原像与之对应，故对应关系f：A→B又是一一映射．又A，B是非空数集，因此对应关系f也是从集合A到集合B的函数．
1．映射应满足存在性：集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素；唯一性：集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应．
2．一一映射，在对应是映射的基础上，若B中没有剩余元素，且对应关系是“一对一”，则为一一映射．
3．判断一个映射是否是函数的关键是确定集合A、B是否是非空数集．
下列集合A到集合B的对应中是一一映射的个数为( )
①A＝N，B＝Z，f：x→y＝－x.
②A＝R＋，B＝R＋，f：x→y＝.
③A＝N＋，B＝{0,1}，f：除以2所得的余数．
④A＝{－4，－1,1,4}，B＝{－2，－1,1,2}，f：x→y＝±.
⑤A＝{平面内边长不同的等边三角形}，B＝{平面内半径不同的圆}，f：作等边三角形的内切圆．
A．3 B．4 C．5 D．2
【解析】 ①是映射，但不是一一映射，如集合B中4没有原像，③中所有正偶数在对应法则f下只有零一个值，所以不是一一映射，④中的每个值，有两个B中值对应，不是映射，只有②⑤是一一映射．
【答案】 D
像与原像
已知(x，y)在映射f作用下的像是(x＋y，xy)．
(1)(－2,3)在f作用下的像是________；
(2)若在f作用下的像是(2，－3)，则它的原像是________．
【思路探究】 (1)根据对应关系f：(x，y)→(x＋y，xy)得出像；
(2)设出原像，列方程组，求原像．
【自主解答】 (1)(－2,3)在映射f作用下的像是(－2＋3，－2×3)，即(1，－6)．
(2)设原像(x，y)在映射f作用下的像是(2，－3)，
由题意得，解得或 ，
所以原像是(3，－1)或(－1,3)．
【答案】 (1，－6) (3，－1)或(－1,3)
1．解答此类问题的关键是：
(1)分清原像和像；
(2)弄清由原像到像的对应关系．
2．当给出原像求像时，只需要将原像代入对应关系中即可得出像；当给出像要求原像时，可先假设原像，再代入对应关系中求解，也可根据对应关系，由像逆推出原像．
已知映射f：A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}．f：(x，y)→(x＋2y＋2,4x＋y)．
(1)求A中元素(5,5)的像；
(2)求B中元素(5,5)的原像．
【解】 (1)当x＝5，y＝5时，
x＋2y＋2＝17,4x＋y＝25.
故A中元素(5,5)的像是(17,25)；
(2)令得
故B中元素(5,5)的原像是(1,1).
因函数与映射的概念理解不清致误
下列对应f是从集合A到集合B的函数的是___．
(1)A＝{1,2,3}，B＝{7,8,9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；
(2)A＝Z，B＝{－1,1}，n为奇数时，f(n)＝－1；n为偶数时，f(n)＝1；
(3)A＝B＝{1,2,3}，f(x)＝2x－1.
【错解】 (1)(2)(3)均为集合A到B的函数．
【错因分析】 未弄清函数与映射两概念的区别与联系．
【防范措施】 1.对映射与函数的概念理解不透，误认为只要给出解析式，对应便是函数．
2．函数是定义在非空数集上的映射，它也要满足映射的定义．
【正解】 对于(1)，集合A中的元素没有剩余，即A中的任何一个元素在B中都有唯一确定的像，同时集合A和B都是数集，可知对应f是集合A到集合B的函数．
同理，对于(2)，对应f也是集合A到集合B的函数．
对于(3)，由于f(3)＝2×3－1＝5?B，即集合A中的元素3在集合B中没有像．
∴对应f不是集合A到集合B的函数．
【答案】 (1)(2)
1．判断对应是否是集合A到集合B的映射，首先应看A的每一个元素是否都在B中有且有唯一的像，对于映射f：A→B，A中元素与B中元素的对应关系，可以是：一对一，多对一，但不能一对多．
2．函数、映射与对应的关系可用下面的图形表示．
1．给出下列四个对应，其中构成映射的是( )
A．(1)(2) B．(1)(4)
C．(1)(3)(4) D．(3)(4)
【解析】 判断一个对应是否为映射，必须严格根据定义，观察A中每一个元素是否在B中都有唯一的元素与之对应．说明一种对应关系不是映射，只需找到一个反例即可．在(2)中，集合A中的元素3在集合B中没有元素与它对应；在(3)中，集合A中的元素2在集合B中有两个元素4和5与它对应．故选B.
【答案】 B
2．设f：A→B是从集合A到集合B的映射，则下面说法正确的是( )
A．A中每一个元素在B中必有唯一像
B．B中每一个元素在A中必有原像
C．B中每一个元素在A中必有唯一原像
D．A中不同元素的像必不同
【解析】 根据映射的概念知，A正确．
【答案】 A
3．已知集合A＝{正实数}，集合B＝R，f：A→B是从A到B的一个映射，若f：x→2x－1，则B中元素3的原像为____．
【解析】 依映射的定义，令2x－1＝3，解得x＝2.
【答案】 2
4．已知集合A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B是从A到B的映射，f：x→(x＋1，x2＋1)，求A中元素的像和B中元素(，)的原像．
【解】 把x＝代入对应关系，得其像为(＋1,3)．
又，得x＝.
所以的像为(＋1,3)，(，)的原像为.
一、选择题
1．下列各图中表示的对应，其中能构成映射的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【解析】 所谓映射，是指“多对一”或“一对一”的对应，且A中每一个元素都必须参与对应．
只有图(3)所表示的对应符合映射的定义，即A中的每一个元素在对应法则下，B中都有唯一的元素与之对应．
【答案】 D
2．下列对应关系f中，不是从集合A到集合B的映射的是( )
A．A＝{x|1＜x＜4}，B＝[1,3)，f：求算术平方根
B．A＝R，B＝R，f：取绝对值
C．A＝{正实数}，B＝R，f：求平方
D．A＝R，B＝R，f：取倒数
【解析】 A、B、C均符合映射的定义，而对于D，集合A中的元素0在集合B无元素与之对应，故D不是A到B的映射．
【答案】 D
3．已知集合A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b，若4和10的原像分别对应6和9，则19在f作用下的像为( )
A．18 B．30 C. D．28
【解析】 由题意，可知解得a＝2，b＝－8，
∴对应关系为y＝2x－8.
故19在f作用下的像是y＝2×19－8＝30.
【答案】 B
4．集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，从A到B的映射f满足f(3)＝3，则这样的映射共有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【解析】 ∵f(3)＝3，∴共有如下4个映射
【答案】 B
5．(2013·太原高一检测)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收文由密文→ 明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4d.例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收文收到密文14,9,23,28时，解密得到的明文为( )
A．4,6,1,7 B．7,6,1,4
C．6,4,1,7 D．1,6,4,7
【解析】 由题意得a＋2b＝14,2b＋c＝9,2c＋3d＝23,4d＝28，解得d＝7，c＝1，b＝4，a＝6.
【答案】 C
二、填空题
6．设集合A和B都是坐标平面上的点集{(x，y)|x∈R，y∈R}，映射f：A→B把集合A中的元素(x，y)，映射成集合B中的元素(x＋y，x－y)，则在映射f下，像(2,1)的原像是________．
【解析】 解方程组得
【答案】 (，)
7．a，b为实数，集合M＝{，1}，N＝{a,0}，f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b的值等于________．
【解析】 ∵f：x→x，∴M＝N，
∴＝0，b＝0，a＝1，故a＋b＝1.
【答案】 1
8．设f：x→x2是从集合A到集合B的映射，如果A＝{1,2}，则满足条件且元素最少的集合B＝________.
【解析】 由已知，12＝1,22＝4，故B＝{1,4}．
【答案】 {1,4}
三、解答题
9．判断下列对应是否是从集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？
(1)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系f：“作圆的内接矩形”；
(2)A＝B＝{0,1,2}，对应关系f：x→y，y＝x＋1；
(3)A＝B＝N，对应关系f：x→y，y＝(x－2)2.
【解】 (1)不是映射，更不是函数或一一映射．因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射．
(2)不是映射，更不是函数或一一映射，因为x＝2时，y＝3，但3?B，即集合A中元素2在B中没有元素和它对应，所以这个对应不是集合A到集合B的映射．
(3)是映射，也是函数，但不是一一映射．因为数集A中的元素x按照对应关系f和数集B中的唯一一个元素对应，这个对应是集合A到集合B的映射和函数．显然原像0,4在对应关系下的像都是4，故映射不是一一映射．
10．已知映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：A中的元素(x，y)对应到B中的元素(3x－2y＋1,4x＋3y－1)．
(1)是否存在这样的元素(a，b)使它的像仍是自己？若存在，求出这个元素；若不存在，说明理由；
(2)判断这个映射是不是一一映射？
【解】 (1)假设存在元素(a，b)使它的像仍是(a，b)．
由得a＝0，b＝.
∴存在元素(0，)使它的像仍是自己；
(2)对任意的(a，b)(a∈R，b∈R)，
方程组有唯一解，
这说明对B中任意元素(a，b)在A中有唯一的原像，
所以映射f：A→B是A到B上的一一映射．
11．设集合A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，f是A到B的一个映射，并满足f：(x，y)→(－xy，x－y)．
(1)求B中元素(3，－4)在A中的原像；
(2)试探索B中哪些元素在A中存在原像；
(3) 求B中元素(a，b)在A中有且只有一个原像时，a，b所满足的关系式．
【解】 (1)设(x，y)是B中元素(3，－4)在A中的原像，于是解得或
∴(3，－4)在A中的原像有两个，(－1,3)和(－3,1)．
(2)设任意(a，b)∈B，则它在A中的原像(x，y)应满足， 由②式得，y＝x－b，将它代入①式，并化简得x2－bx＋a＝0. ③
当且仅当Δ＝b2－4a≥0时，方程③有实数根，因此只有当B中元素(a，b)满足b2－4a≥0时，在A中才有原像．
(3)由以上(2)的解题过程可知，当B中元素(a，b)满足b2＝4a时，它在A中有且只有一个原像.
(教师用书独具)
已知集合A＝{a，b}，集合B＝{c，d，e}．
(1)试建立一个从A到B的映射；
(2)从A到B的映射共有多少个？
【思路探究】 根据映射的定义，建立从A到B的映射，只要使A中的每一个元素在B中有唯一确定的元素与之对应即可．用列举的方法，不难得出答案．
【自主解答】 (1)如上图所示．(答案不唯一)
(2)由于映射的对应形式只有“一对一”“多对一”两种情况，故从A到B的映射有9种情况，如下图所示．
对于两个集合间映射个数的问题，常见的题目有两类，一类是给定两个集合A，B，问由A→B可建立的映射的个数．这类问题与A，B中元素的个数有关系．一般地，若A中有m个元素，B中有n个元素，则从A→B共有nm个不同的映射．另一类是含条件的映射个数的确定如本例．解决这类问题一定要注意对应关系所满足的条件，要采用分类讨论的思想方法来解决．
(1)已知：A＝{a，b，c，}，B＝{1,2}，从A到B建立映射f，使f(a)＋f(b)＋f(c)＝4，则满足条件的映射共有________个．
【解析】 要确定映射f，则只需确定A中的每个元素对应的像即可，即确定f(a)，f(b)，f(c)的值，而f(a)，f(b)，f(c)∈{1,2}，还满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝4，所以f(a)，f(b)，f(c)中有一个是2，另两个是1，其只有三种对应方法，故满足条件的映射有3个．
f(a)
f(b)
f(c)
2
1
1
1
2
1
1
1
2
【答案】 3
(2)设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{a，b，c}，那么从集合A到集合B的映射的个数为________，从集合A到集合B的一一映射的个数为________．
【解析】 因为集合A中有3个元素，集合B中有3个元素，所以从集合A到集合B的映射有33＝27个．其中A到B的一一映射有下面6种情形．
【答案】 27 6
§3函数的单调性
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)建立增(减)函数的概念，通过观察一些函数图像的特征，形成增(减)函数的直观认识. 再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大(减小)的规律，由此得出增(减)函数单调性的定义 . 掌握用定义证明函数单调性的步骤．
(2)函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程．
2．过程与方法
(1)通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义．
(2)学会运用函数图像理解和研究函数的性质．
(3)能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．
3．情感、态度与价值观
使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习函数的积极性．
●重点难点
重点：函数的单调性的证明．
难点：增函数、减函数形式化定义的形成及单调性的证明．
本节课的难点主要是发生在概念形成过程中由特殊到一般的过渡，也就是定义中“任意”的理解，建议教学时多给学生操作与思考的空间；另一个难点是定义法判断或证明函数的单调性，其主要原因是学生比较大小的能力不够，因此，对于函数的复杂程度要加以限制，同时要帮助学生建立判断函数单调性的基本步骤．
(教师用书独具)
●教学建议
在研究函数的性质时，单调性是一个重要内容，实际上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图像得出，而本小节内容，正是初中有关内容的深化和提高：给出函数在某个区间上增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图像上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法，最后根据图像观察得出猜想，用推理证明猜想，将图像法和定义法统一起来．
由于函数图像是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情景，以利于学生画函数图像，以便有更多的时间用于思考、探究函数的单调性、最值等性质．还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性的理解．
●教学流程
创设情景，揭示课题，观察函数的图像，说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律?研探新知，通过观察、思考、讨论，归纳得出增函数、减函数的定义?利用定义，借助例1及变式训练，加深对单调性定义的理解?完成例2及变式训练，通过图像得出函数的单调区间
?发展思维，强化函数单调性的应用，完成例3及变式训练?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正
课标解读
1.理解函数的单调性的概念及其几何意义．(难点)
2．掌握用定义证明函数单调性的步骤．(重点)
3．会求函数的单调区间，理解函数单调性的简单应用．(易混点)
函数在区间上增加(减少)的定义
【问题导思】
观察下列函数的图像．
当自变量x的值增大时，函数值f(x)是如何变化的？
【提示】 函数y＝x的值逐渐增大，函数y＝－x的值逐渐减少，而函数y＝x2在(－∞，0]上逐渐减小，在[0，＋∞)上逐渐增大．
函数在区间上的增加(递增)或减少(递减)性
1．在函数f(x)定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x12．在函数f(x)定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1f(x2)，那么就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，或称函数y＝f(x)在区间A上是递减的．
单调区间、单调性和单调函数
【问题导思】
1．函数y＝f(x)在[－3,3]上的图像如下：
该函数的图像在哪些区间上是上升的？在哪些区间上是下降的？
【提示】 在区间[－3，－2]，[2,3]上是上升的，在区间[－2,2]上是下降的．
2．对于问题1中区间[－2,2]上的任意x1，x2，当x1f(x2)?
【提示】 图像在区间[－2,2]上是下降的，所以有f(x1)>f(x2)．
1．单调区间
如果函数y＝f(x)在区间A上是增加的或减少的，那么称A为单调区间．在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是上升的；如果函数是减少的，那么它的图像是下降的．
2．单调性
如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．
3．单调函数
如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，那么分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数.
函数单调性的判断或证明
证明函数f(x)＝x＋在(0,1)上为减函数．
【思路探究】 在(0,1)内任取x1f(x2)．
【自主解答】 设0f(x1)－f(x2)＝(x1＋)－(x2＋)
＝(x1－x2)＋
＝(x1－x2)(1－)＝.
已知0则x1x2－1<0，x1－x2<0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)＝x＋在(0,1)上为减函数．
1．证明过程中要注意x1，x2在所给区间上的任意性，切忌以特殊值代替一般．
2．证明函数单调性的步骤：
证明：f(x)＝－－1在区间(－∞，0)上是单调增函数．
【证明】 设x1，x2∈(－∞，0)，且x10，所以<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)求函数的单调区间
画出函数f(x)＝－x2＋2|x|＋3的图像，说出函数的单调区间，并指明在该区间上的单调性．
【思路探究】 含有绝对值符号的函数解析式，可根据绝对值的意义，将其转化为分段函数，画出函数图像后，观察曲线在哪些区间上是上升的，在哪些区间上是下降的，即可确定函数的单调区间及单调性．
【自主解答】 f(x)＝
当x≥0时，f(x)＝－(x－1)2＋4，其开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为(1,4)，且f(3)＝0，f(0)＝3；
当x<0时，f(x)＝－(x＋1)2＋4，其开口向下，对称轴为x＝－1，顶点坐标为(－1,4)，且f(－3)＝0.
作出函数的图像(如图)，由图看出，函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增加的，在[－1,0]，[1，＋∞)上是减少的．
1．本题中f(x)是含有绝对值的函数，通常去掉绝对值号转化为分段函数，然后分段画出图像．
2．写单调区间时，不连续的单调区间必须分开写，不能“∪”符号连接．
3．求函数的单调区间不能忽略函数的定义域，单调区间应是定义域的子集．
已知f(x)＝|x2－x－12|，求f(x)的单调区间．
【解】 f(x)＝|x2－x－12|＝|(x－)2－|.
如图，作出函数的简图观察其图像，知函数f(x)的单调递增区间为[－3，]和[4，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－3]和[，4]．
函数单调性的应用
(2013·青岛高一检测)已知函数y＝x2－2ax＋a2－1在(－∞，1)上是减少的，求a的取值范围．
【思路探究】 (1)二次函数的图像怎样？开口向上的抛物线．
(2)二次函数的单调区间取决于什么量？对称轴．
【自主解答】 因为y＝x2－2ax＋a2－1＝(x－a)2－1，其图像的对称轴为x＝a，若函数在(－∞，1)上是减少的，则对称轴x＝a应在区间(－∞，1)的右侧，所以a≥1.即a的取值范围是(1，＋∞)．
1．结合图像确定对称轴的位置是解答本题的关键．
2．函数f(x)在区间(a，b)内单调，说明该区间是函数单调区间的一个子区间，利用子集的关系可以列出相应的不等式，进而求有关参数的取值范围．
(1)已知函数f(x)＝x2－4ax＋1在[－1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a≥－} B．{a|a>－}
C．{a|a≤－} D．{a|a＝－}
(2)已知f(x)＝(3a＋1)x＋b在R上是减函数，则a的取值范围是________．
【解析】 (1)f(x)＝x2－4ax＋1抛物线开口向上，
对称轴x＝2a.
∵f(x)在[－1，＋∞)上是增函数，
∴2a≤－1，∴a≤－.
∴a的取值范围为{a|a≤－}．
(2)要使f(x)＝(3a＋1)x＋b在R上是减函数，
只需满足3a＋1<0，即a<－.
故a的取值范围为(－∞，－)．
【答案】 (1)C (2)(－∞，－)
应用函数的单调性解题时忽略函数定义域致误
已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，且f(x)在区间[－2,2]上是增函数，f(1－m)【错解】 因为函数f(x)是增函数，且f(1－m)所以有1－m.
【错因分析】 函数的定义域为[－2,2]，因此1－m，m都必须在此范围内．
【防范措施】 1.利用单调性解抽象不等式时，应将相应的自变量转化到同一单调区间上，然后“脱去”函数记号f，构建具体的不等式．
2．研究函数问题时不能忽略定义域对函数的限制．
【正解】 因为f(x)在区间[－2,2]上单调递增，且f(1－m)所以解得故实数m的取值范围是(，2]．
1．函数的单调性是函数在定义域的某个子集上的性质，这个子集可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集．
2．判断函数单调性的方法：定义法；图像法．
3．已知函数的单调性求参数的取值范围，要注意数形结合思想，采用逆向思维．利用已知函数研究函数单调性问题，像一次函数、二次函数、正、反比例函数的单调性不必用定义研究，直接判断即可.
1．函数y＝－x2＋1的单调减区间是( )
A．(－∞，0] B．[1，＋∞)
C．(－∞，1] D．[0，＋∞)
【解析】 结合函数y＝－x2＋1的图像，其单调减区间为[0，＋∞)．
【答案】 D
2．若函数f(x)是[－2,2]上的减函数，则f(－1)________f(2)．(填“＞”，“＜”，“＝”)
【解析】 ∵f(x)在[－2,2]上是减函数，且－1＜2，
∴f(－1)＞f(2)．
【答案】 ＞
3．已知定义在[－1,1]上的函数f(x)是增函数，且f(a－2)【解析】 由题意知
解得1≤a≤2，又函数在[－1,1]上单调递增，且f(a－2)【答案】 [1，)
4．证明函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．
【证明】 任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2)＋
＝(x1－x2).
∵2＜x1＜x2，
∴x1－x2＜0，x1x2＞4，x1x2－4＞0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)．
∴函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数.
一、选择题
1．下列说法中，正确的有( )
①若任意x1，x2∈A，当x10，则y＝f(x)在A上是增函数；
②函数y＝x2在R上是增函数；
③函数y＝－在定义域上是增函数；
④函数y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解析】 当x10知f(x1)－f(x2)<0，
∴f(x1)【答案】 B
2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( )
A．y＝|x| B．y＝3－x
C．y＝ D．y＝－x2＋4
【解析】 (排除法)函数y＝3－x在R上为减函数，函数y＝在(0，＋∞)上是减函数，函数y＝－x2＋4在[0，＋∞)上是减函数．
【答案】 A
3．已知四个函数的图像如下图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是( )
【解析】 已知函数的图像判断其在定义域内的单调性，应从它的图像是上升的还是下降的来考虑．根据函数单调性的定义可知函数B在定义域内为增函数．
【答案】 B
4．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)＞f(－m＋9)，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
【解析】 因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)＞f(－m＋9)，所以2m＞－m＋9，即m＞3.
【答案】 C
5．(2013·洛阳高一检测)函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则有( )
A．f(1)≥25 B．f(1)＝25
C．f(1)≤25 D．f(1)>25
【解析】 因为函数f(x)的对称轴为x＝，
所以f(x)在[，＋∞)上是增加的．
所以≤－2，∴m≤－16.
则f(1)＝4－m＋5＝9－m≥25.
【答案】 A
二、填空题
6．已知f(x)＝则f(x)的单调增区间是________．
【解析】 画出分段函数f(x)的图像，如图所示：
由图像知，f(x)在(－∞，0]和[1，＋∞)上单调递增．
【答案】 (－∞，0]和[1，＋∞)
7．若函数f(x)＝2x2－mx＋3在(－∞，－2]上为减函数，在[－2，＋∞)上为增函数，则f(1)＝________.
【解析】 f(x)的图像的对称轴为x＝＝－2，
∴m＝－8.∴f(x)＝2x2＋8x＋3.
∴f(1)＝2＋8＋3＝13.
【答案】 13
8．函数y＝|x2－2x－3|的单调增区间是________．
【解析】 y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|，
作出该函数的图像(如图)．
由图像可知，其增区间为[－1,1]和[3，＋∞)．
【答案】 [－1,1]和[3，＋∞)
三、解答题
9．求证：函数f(x)＝－－1在区间(0，＋∞)上是单调增函数．
【证明】 设x1，x2为区间(0，＋∞)上的任意两个值，
且x10.
因为f(x1)－f(x2)＝(－－1)－(－－1)
＝－＝<0，
即f(x1)故f(x)＝－－1在区间(0，＋∞)上是单调增函数．
10．(2013·宁德检测)定义在(－1,1)上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，且f(1－a)＋f(1－2a)<0.若f(x)是(－1,1)上的减函数，求实数a的取值范围．
【解】 由f(1－a)＋f(1－2a)<0，
得f(1－a)<－f(1－2a)，
∵f(－x)＝－f(x)，x∈(－1,1)，
∴f(1－a)又∵f(x)是(－1,1)上的减函数，
∴
故实数a的取值范围是(0，)．
11．(2013·福州检测)已知函数y＝f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，并且当x>0时，f(x)>1.
求证：f(x)在 R上是增加的．
【证明】 设x1，x2∈R，且x1∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，
∴f(x＋y)－f(x)＝f(y)－1.
令x1＝x，x2＝x1＋y(y>0)，
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1，
又∵x10，
∴f(x2－x1)>1，∴f(x2－x1)－1>0，
∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x1)所以函数f(x)在R上是增加的.
(教师用书独具)
已知函数f(x)＝，x∈[2,5]．
(1)判断该函数在区间[2,5]上的单调性，并给予证明；
(2)求该函数在区间[2,5]上的最大值与最小值．
【思路探究】 由草图判断单调性→利用定义证明→计算端点值→得出最值
【自主解答】 (1)f(x)＝在区间[2,5]上是减函数．
证明 任意取x1，x2∈[2,5]且x1则f(x1)＝，f(x2)＝.
f(x2)－f(x1)＝－＝.
∵2≤x1∴x1－x2<0，x2－1>0，x1－1>0.
∴f(x2)－f(x1)<0，∴f(x2)∴f(x)＝在区间[2,5]上是减函数．
(2)由(1)可知f(x)＝在区间[2,5]上是递减的，故对任意的x∈[2,5]均有f(5)≤f(x)≤f(2)，
∴f(x)max＝f(2)＝＝2，
f(x)min＝f(5)＝＝.
1．运用函数单调性求最值是求解函数最值问题的重要方法，特别是当函数图像不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法．
2．函数的最值与单调性的关系：
(1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
(2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
已知函数y＝(x∈[2,6])，求函数的最大值和最小值．
【解】 设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝＝.
由2≤x10，(x1－1)(x2－1)>0，于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以，函数y＝在区间[2,6]上是减函数．因此，函数y＝在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即x＝2时函数的值最大，最大值是2，当x＝6时函数的值最小，最小值是0.4.
知识拓展
如果要求作出函数y＝x＋的图像，也许我们一时会感到无从下手，当然就很难取值列表，也不知道应该如何连线，但利用解析式，对函数的性质进行充分研究，则函数y＝x＋的图像的轮廓就会逐步清晰：
(1)函数的定义域为{x|x≠0，x∈R}，说明图像与y轴没有公共点．
(2)函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，即当x>0时，y≥2；x<0时，y≤－2，说明图像在第一象限(最低点坐标为(1,2))或第三象限(最高点坐标为(－1，－2))．
(3)可以证明函数y＝x＋的图像关于原点对称即知函数的奇偶性．
(4)可以证明函数y＝x＋在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递增；在(－1,0)，(0,1)上递减．
到此我们已经可以大致想象出函数y＝x＋图像的形状．还可进一步通过极限和导数解决函数图像的渐近线是y轴(x＝0)和直线y＝x，解决函数的连续性(图像无间断点)、可导(图像平滑)以及凸凹性等等．虽然函数的图像没有一目了然，但毕竟已成竹在胸．
通过作函数图像我们可进一步加深对函数性质的理解和记忆，为研究函数图像和性质既提供了方法，又给出了对具体问题的研究模式，可进一步探讨y＝x＋(a>0)，y＝bx＋(a>0，b>0)的图像和性质问题等等．
§4二次函数性质的再研究
4．1 二次函数的图像
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)能够作出函数y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图像，并能理解它与y＝ax2的图像的关系．
(2)掌握二次函数y＝a(x－h)2＋k图像的开口方向、对称轴和顶点坐标及a，h，k对二次函数图像的影响．
2．过程与方法
经历二次函数y＝a(x－h)2＋k图像的形成过程，提高作图能力，学会观察比较，体验数形结合的数学思想．
3．情感、态度与价值观
(1)经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．
(2)让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．
●重点难点
重点：二次函数图像的变换．
难点：二次函数图像的上下左右移动．
结合几何画板动态的演示函数图像的各种变换，让学生直观的感受到a，h，k对二次函数图像的影响．
(教师用书独具)
●教学建议
二次函数是中学数学一个非常重要的函数，是初中和高中数学的一个知识的交汇点，是研究一般函数图像、性质的一个很典型的函数模板．从具体的二次函数的图像和性质方面去研究一些函数图像之间的变换特点和规律，进而引导学生对一般函数图像间的变换特点和规律的了解和掌握．从特殊到一般，再由普遍的一般规律去指导具体的函数问题．
●教学流程
导入新课，进一步研究二次函数?新知探究，回顾二次函数的定义及不同的表示方式?如何作出二次函数的图像，从感性理解三点一线一开口在二次函数中的作用?完成例1及其变式训练，强化三点一线一开口在作图中的作用
?作出y＝a(x－h)2＋k的图像，探究它和y＝ax2的关系?完成例2、例3及其变式训练，熟练掌握a，h，k对二次函数图像的影响?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正
课标解读
1.理解y＝x2与y＝ax2(a≠0)，y＝ax2与y＝a(x＋h)2＋k及y＝ax2＋bx＋c的图像之间的关系．(重点)
2．掌握a，h，k对二次函数图像的影响．(难点、易混点)
函数y＝x2与函数y＝ax2(a≠0)的图像间的关系
【问题导思】
1．在初中已学习过二次函数，那么二次函数是如何定义的？它的定义域是什么？
【提示】 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数，它的定义域为R.
2．由y＝x2的图像如何得到y＝2x2和y＝－x2的图像？
【提示】 把y＝x2图像上各点的纵坐标变为原来的2倍即可得到y＝2x2的图像；把y＝x2图像上各点的纵坐标变为原来的相反数，即可得到y＝－x2的图像．
二次函数y＝ax2(a≠0)的图像可由y＝x2的图像各点的纵坐标变为原来的a倍得到．
此时，a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．
函数y＝ax2(a≠0)与函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的变换
【问题导思】
1．函数y＝x2的图像与函数y＝(x－1)2的图像有怎样的关系？如何由y＝x2的图像得到y＝(x－1)2的图像？
【提示】 它们的形状相同，位置不同．把y＝x2的图像向右平移1个单位就可得到y＝(x－1)2的图像．
2．如何由y＝x2的图像得到y＝x2－1的图像？
【提示】 把y＝x2的图像向下平移1个单位．
3．如何由y＝x2的图像得到y＝x2－2x－1的图像？
【提示】 y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，故只需把y＝x2的图像先向右平移1个单位，再向下平移2个单位．
1．二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图像可由y＝ax2向左平移h个单位长度(h>0)，再向上平移k个单位长度(k>0)得到．
2．二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图像可由y＝ax2向右平移|h|个单位长度(h<0)，再向下平移|k|个单位长度(k<0)得到．
在二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图像的开口大小及方向．
3．将二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方化为y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的形式，然后通过函数y＝ax2(a≠0)的图像左右、上下平移得到函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像.
二次函数图像的画法
画出函数y＝2x2－4x－6的草图．
【思路探究】 选取二次函数上的特殊点及特殊的直线确定函数的草图．
【自主解答】 y＝2x2－4x－6
＝2(x2－2x)－6
＝2(x2－2x＋1－1)－6
＝2[(x－1)2－1]－6
＝2(x－1)2－8.
函数图像的开口向上，顶点坐标为(1，－8)，对称轴为直线x＝1.
令y＝0得2x2－4x－6＝0，即x2－2x－3＝0，∴x＝－1或x＝3，故函数图像与x轴的交点坐标为(－1,0)，(3,0)．
画法步骤：
(1)描点画线：在平面直角坐标系中，描出点(1，－8)，(－1,0)，(3,0)，画出直线x＝1；
(2)连线：用光滑的曲线连点(1，－8)，(－1,0)，(3,0)，在连线的过程中，要保持关于直线x＝1对称，即得函数y＝2x2－4x－6的草图，如图所示．
画二次函数的图像重点体现图像的特征“三点一线一开口”：
1．“三点”中有一个点是顶点，另两个点是关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；
2．“一线”是指对称轴这条直线；
3．“一开口”是指抛物线的开口方向．
画出函数y＝x2－4x－12的图像．
【解】 y＝x2－4x－12＝(x－2)2－16.
函数图像开口向上，对称轴为x＝2，顶点坐标为(2，－16)．
令y＝0，即x2－4x－12＝0得x＝－2或x＝6.
故图像与x轴的交点坐标为(－2,0)，(6,0)．图像如图所示：
二次函数图像的变换
在同一坐标系中作出下列函数的图像，并分析如何把y＝x2的图像变换成y＝2x2－4x的图像．
(1)y＝x2；(2)y＝x2－2；(3)y＝2x2－4x.
【思路探究】 解答本题可就每个函数列表、描点、连线，作出相应图像，然后利用图像以及二次函数的平移变换规律分析y＝x2与y＝2x2－4x的图像之间的关系．
【自主解答】 (1)列表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
y＝x2
9
4
1
0
1
4
9
y＝x2－2
7
2
－1
－2
－1
2
7
y＝2x2－4x
30
16
6
0
－2
0
6
描点、连线即得相应函数的图像，如图所示．
(2)y＝2x2－4x
＝2(x2－2x)
＝2(x2－2x＋1－1)
＝2(x－1)2－2.
由y＝x2到y＝2x2－4x的变化过程如下：
法一 先把y＝x2的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y＝2x2的图像，然后把y＝2x2的图像向下平移2个单位长度得到y＝2x2－2的图像，最后把y＝2x2－2的图像向右平移1个单位长度得到y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图像．
法二 先把y＝x2的图像向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2的图像，然后把y＝(x－1)2的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y＝2(x－1)2的图像，最后把y＝2(x－1)2的图像向下平移2个单位长度便可得到y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图像．
所有二次函数的图像均可以由函数y＝x2的图像经过变换得到，变换前，先将二次函数的解析式化为顶点式，再确定变换的步骤．常用的变换步骤如下：
y＝x2y＝ax2y＝ax2＋ky＝a(x＋h)2＋k，其中a决定开口方向及开口大小(或纵坐标的拉伸)；h决定左、右平移，k决定上、下平移．
(1)由y＝－2x2的图像，如何得到y＝－2(x＋1)2－3的图像？
(2)把y＝2x2的图像，向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，能得到哪个函数的图像？
(3)将函数y＝4x2＋2x＋1写成y＝a(x＋h)2＋k的形式，并说明它的图像是由y＝4x2的图像经过怎样的变换得到的？
【解】 (1)把y＝－2x2的图像向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度就得到y＝－2(x＋1)2－3的图像．
(2)把y＝2x2的图像，向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，就得到函数y＝2(x－3)2＋4，即y＝2x2－12x＋22的图像．
(3)y＝4x2＋2x＋1
＝4(x2＋x)＋1
＝4(x2＋x＋－)＋1
＝4[(x＋)2－]＋1
＝4(x＋)2＋.
把y＝4x2的图像向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，就可得到函数y＝4x2＋2x＋1的图像．
求二次函数的解析式
根据下列条件，求二次函数y＝f(x)的解析式．
(1)图像过点(2,0)，(4,0)，(0,3)；
(2)图像顶点为(1,2)并且过点(0,4)；
(3)过点(1,1)，(0,2)，(3,5)．
【思路探究】 设二次函数
的解析式→列出含参数
的方程(组)→解方程(组)→写出解析式
【自主解答】 (1)设二次函数解析式为y＝a(x－2)·(x－4)．
整理得y＝ax2－6ax＋8a，
∴8a＝3，∴a＝.
∴解析式为y＝(x－2)(x－4)；
(2)设二次函数解析式为y＝a(x－1)2＋2.
整理得y＝ax2－2ax＋a＋2，
∴a＋2＝4，∴a＝2.
∴解析式为y＝2(x－1)2＋2；
(3)设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，
由题设知?
∴函数解析式为y＝x2－2x＋2.
求二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，选择解析式的形式，利用待定系数法求解．
1．若已知条件是图像上的三个点，则设所求二次函数为一般式y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的形式．
2．若已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式y＝a(x－h)2＋k(其中顶点为(h，k)，a为常数，a≠0)．
3．若已知二次函数图像与x轴的两个交点的坐标为(x1,0)，(x2,0)，则设所求二次函数为两根式y＝a(x－x1)(x－x2)(a为常数，且a≠0)．
二次函数的顶点坐标是(2,3)，且经过点(3,1)，求这个二次函数的解析式．
【解】 法一 设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c.
由已知函数图像经过点(2,3)和点(3,1)，函数图像的对称轴是－＝2.
得方程组
解这个方程组，得a＝－2，b＝8，c＝－5.
∴二次函数解析式为y＝－2x2＋8x－5.
法二 二次函数的顶点式是y＝a(x－h)2＋k，而顶点坐标是(2,3)，
故有y＝a(x－2)2＋3，这样只需确定a的值．
因为图像经过点(3,1)，所以x＝3，y＝1满足关系式y＝a(x－2)2＋3，
从而有1＝a(3－2)2＋3，解得a＝－2.
∴函数解析式为y＝－2(x－2)2＋3，
即y＝－2x2＋8x－5.
数形结合思想在二次函数问题中的应用
(12分)若方程x2－2x－3＝a有两个不相等的实数解，求实数a的取值范围．
【思路点拨】 令f(x)＝x2－2x－3，g(x)＝a，将方程有两个不相等的实数解转化为两个函数的图像有两个不同的交点．
【规范解答】 令f(x)＝x2－2x－3，g(x)＝a.2分
作出f(x)的图像如图所示．
∵f(x)与g(x)图像的交点个数即为方程x2－2x－3＝a解的个数．
由图可知①当a<－4时，f(x)与g(x)无交点，即方程x2－2x－3＝a无实根；6分
②当a＝－4时，f(x)与g(x)有一个公共点，即方程x2－2x－3＝a有一个实根；8分
③当a>－4时，f(x)与g(x)有两个公共点，即方程x2－2x－3＝a有两个实根.10分
综上所述，当方程x2－2x－3＝a有两个实数解时，实数a的取值范围是(－4，＋∞).12分
1．所谓数形结合就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．
2．巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可以起到事半功倍的效果，数形结合的重点是“以形助数”．
1．y＝ax2(a≠0)的图像与y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像之间进行变换时应先将y＝ax2＋bx＋c进行配方，平移时应注意平移的方向及单位长度．
2．求二次函数的解析式一般采用待定系数法，当抛物线过三点时，可选用一般式；当已知条件与顶点坐标和对称轴有关时，可选用顶点式；当已知条件与x轴的交点坐标有关时，可选用两根式．
3．在利用数形结合的思想解决与二次函数的图像有关的问题时，只需要画出二次函数的大致图像(画出开口方向、对称轴、与坐标轴的交点、特殊点)即可．
1．下列关于二次函数y＝x2＋x＋1的开口方向和顶点的说法，正确的是( )
A．开口向下，顶点(1,1)
B．开口向上，顶点(1,1)
C．开口向下，顶点(－，)
D．开口向上，顶点(－，)
【解析】 ∵y＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋，
∴抛物线开口向上，顶点为(－，)．
【答案】 D
2．将函数y＝x2－2x的图像向右平移2个单位，再向下平移1个单位后所得图像的解析式为( )
A．y＝x2＋6x＋7 B．y＝x2－6x＋7
C．y＝x2＋2x－1 D．y＝x2－2x＋1
【解析】 ∵y＝x2－2x＝(x－1)2－1，
∴平移后y＝(x－3)2－2＝x2－6x＋7.
【答案】 B
3．已知二次函数y＝f(x)的图像如图2－4－1所示，则此函数的解析式为____．
图2－4－1
【解析】 由图像设f(x)＝ax2＋3(a≠0)．
把(2,0)代入得4a＋3＝0，
∴a＝－.
∴f(x)＝－x2＋3.
【答案】 y＝－x2＋3
4．如何由函数y＝2x2－4x＋3的图像得到函数y＝2x2＋4x－1的图像？
【解】 y＝2x2－4x＋3＝2(x－1)2＋1，
y＝2x2＋4x－1＝2(x＋1)2－3.
将函数y＝2(x－1)2＋1的图像向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，就得函数y＝2[(x＋2)－1]2＋1－4＝2(x＋1)2－3＝2x2＋4x－1的图像.
一、选择题
1．二次函数y＝x2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的二次函数是( )
A．y＝x2＋2 B．y＝2x2
C．y＝x2 D．y＝x2－2
【解析】 将二次函数y＝x2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像对应的解析式为y＝2x2.
【答案】 B
2．将二次函数的图像向下、向右各平移2个单位得到图像的解析式为y＝－x2，则原二次函数的解析式是( )
A．y＝－(x－2)2＋2 B．y＝－(x＋2)2＋2
C．y＝－(x＋2)2－2 D．y＝－(x－2)2－2
【解析】 将函数y＝－x2的图像进行逆变换，即将y＝－x2的图像向左平移2个单位，可得y＝－(x＋2)2的图像，然后再将其向上平移2个单位可得y＝－(x＋2)2＋2的图像，即原函数的图像．
【答案】 B
3．已知抛物线与x轴交于点(－1,0)，(1,0)，并且与y轴交于点(0,1)，则抛物线的解析式为( )
A．y＝－x2＋1 B．y＝x2＋1
C．y＝－x2－1 D．y＝x2－1
【解析】 由题意知抛物线的对称轴是y轴且开口向下，顶点为(0,1)，故抛物线方程为y＝－x2＋1.
【答案】 A
4．如果二次函数y＝ax2＋bx＋1图像的对称轴是x＝1，并且通过点A(－1,7)，则a，b的值分别是( )
A．2,4 B．2，－4
C．－2,4 D．－2，－4
【解析】 ∵对称轴为x＝1，∴－＝1①
∵通过点A(－1,7)，∴a－b＋1＝7②
联立①②解得a＝2，b＝－4.
【答案】 B
5．(2013·东城区高一检测)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像可能是( )
【解析】 若a>0，b<0，c<0，则对称轴x＝－>0，函数f(x)的图像与y轴的交点(0，c)在x轴下方．
【答案】 D
二、填空题
6．?
一、选择题
1．抛物线y＝x2－mx＋m－2与x轴交点的情况是( )
A．无交点 B．有一个交点
C．有两个交点 D．无法确定
【解析】 因x2－mx＋m－2＝0的判别式
Δ＝(－m)2－4(m－2)
＝m2－4m＋8
＝(m－2)2＋4>0，
故方程有不相等的两个根．
【答案】 C
2．函数f(x)＝ax2＋2(a－3)x＋1在区间(－2，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是( )
A．[－3,0] B．(－∞，－3]
C．[－3,0) D．[－2,0]
【解析】 当a＝0时，f(x)＝－6x＋1显然成立；
当a≠0时，要使f(x)在(－2，＋∞)上是减函数，需满足解得－3≤a<0.
综上可知，a的取值范围是[－3,0]．
【答案】 A
3．函数f(x)＝x2－mx＋4(m>0)在(－∞，0]上的最小值是( )
A．4 B．－4
C．与m的取值有关 D．不存在
【解析】 由于f(x)的对称轴为x＝>0，f(x)在(－∞，0]上单调减少，因此，f(x)的最小值是f(0)＝4.
【答案】 A
4．已知二次函数f(x)＝ax2－6ax＋1，其中a>0，则下列关系中正确的是( )
A．f()f(π)
C．f()【解析】 函数f(x)＝ax2－6ax＋1的对称轴为x＝3，其图像开口方向向上，离对称轴越近，对应的函数值越小．
∵2π－3>π－3，∴f(2π)>f(π)．故选B.
【答案】 B
5．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )
A．45.606万元 B．45.56万元
C．45.6万元 D．45.51万元
【解析】 设该公司在甲地销售了x辆车，在乙地销售了(15－x)辆车，
获得的总利润为y，由题意得
y＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)
＝－0.15x2＋3.06x＋30(0≤x≤15，x∈N)．
此函数的图像开口向下，对称轴为直线x＝10.2，
∴当x＝10时，y取得最大值45.6，即获得的最大利润为45.6万元．
【答案】 C
二、填空题
6．若f(x)＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图像关于x＝1对称，则b＝________.
【解析】 由题意知a＋2＝－2，即a＝－4，
又1－a＝b－1得b＝6.
【答案】 6
7．(2013·四平高一检测)若f(x)＝－x2＋4x＋k，x∈[0,1]的最大值为2，则f(x)的最小值为________．
【解析】 由于f(x)＝－x2＋4x＋k＝－(x－2)2＋k＋4，显然f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)max＝f(1)＝k＋3＝2，∴k＝－1，f(x)min＝f(0)＝k＝－1.
【答案】 －1
8．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图像与x轴的交点为(1,0)和(3,0)，则下列关于函数f(x)单调性的说法正确的是________(填序号)．
①在(－∞，2]上是减少的；
②在[2，＋∞)上是增加的；
③在(－∞，3)上是增加的；
④在[1,3]上是增加的．
【解析】 由题意知，f(x)＝x2＋ax＋b＝0的两根分别x＝1和x＝3.
所以1＋3＝－a,1×3＝b，即a＝－4，b＝3.
所以f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，在(－∞，2]上单调减少，在[2，＋∞)上单调增加，故选①②正确．
【答案】 ①②
三、解答题
9．已知：二次函数f(x)与g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同，且g(x)＝－2x2－x－2，f(x)图像的对称轴为x＝－1，且过点(0,6)．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)在[－2,3]上的最大值和最小值．
【解】 (1)设f(x)＝－2x2＋bx＋c，由题意得
∴
∴f(x)＝－2x2－4x＋6.
(2)∵f(x)＝－2(x＋1)2＋8，x∈[－2,3]，
∴x＝－1时，f(x)max＝8，
x＝3时，f(x)min＝－24.
10．某企业生产的一种电器的固定成本(即固定投资)为0.5万元，每生产一台这种电器还需可变成本(即另增加投资)25元，市场对这种电器的年需求量为5百台．已知这种电器的销售收入(R)与销售量(t)的关系可用抛物线表示如图2－4－2.
图2－4－2
(注：年产量与销售量的单位：百台，纯收益的单位：万元，生产成本＝固定成本＋可变成本，精确到1台和0.01万元)
(1)写出销售收入(R)与销售量(t)之间的函数关系R＝f(t)；
(2)认定销售收入减去生产成本为纯收益，写出纯收益与年产量的函数关系式，并求年产量是多少时，纯收益最大．
【解】 (1)由图可知：R＝a(t－5)2＋，
由t＝0时，R＝0，得a＝－.
∴R＝－(t－5)2＋(0≤t≤5)；
(2)年纯收益y＝－t2＋5t－0.5－t
＝－t2＋t－0.5，
当t＝＝4.75时，y取得最大值10.78万元．
故年产量为475台，纯收益取得最大值10.78万元．
11．求二次函数f(x)＝x2－2x＋2在[t，t＋1]上的最小值．
【解】 ∵函数图像的对称轴是x＝1，
∴当t＋1<1，即t<0时，
f(x)在[t，t＋1]上是减函数，
∴f(x)min＝f(t＋1)
＝(t＋1)2－2(t＋1)＋2＝t2＋1.
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，
f(x)min＝f(1)＝1.
当t>1时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，
∴f(x)min＝f(t)＝t2－2t＋2.
∴f(x)min＝
一、选择题
1．下列函数在(－∞，0)上为减函数的是( )
A．y＝x B．y＝x2
C．y＝x3 D．y＝x－2
【解析】 对于函数y＝x和y＝x－2的单调性我们不太熟悉，但对于y＝x2的图像和性质我们记忆深刻，知道y＝x2在(－∞，0)上为减函数．故选B.
【答案】 B
2．(2013·郑州高一检测)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
【解析】 ∵f(x)是奇函数，
∴f(1)＝－f(－1)＝－3.
【答案】 A
3．已知偶函数y＝f(x)在[0,4]上是增函数，则f(－3)与f(π)的大小关系是
( )
A．f(－3)>f(π) B．f(－3)C．f(－3)≥f(π) D．f(－3)≤f(π)
【解析】 ∵函数为偶函数，∴f(－3)＝f(3)．
又∵f(x)在[0,4]上为增函数，
∴f(3)【答案】 B
4．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝( )
A. B.
C. D．1
【解析】 由已知得f(x)＝定义域关于原点对称，其定义域为：{x|x≠－且x≠a}，知a＝，故选A.
【答案】 A
5．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减少的，且f(－2)＝0，如图2－5－2所示，则使得f(x)<0的x的取值范围是( )
图2－5－2
A．(－∞，2)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2,2)
【解析】 由图可得在(－∞，0)上，f(x)<0的解集为(－2,0]．因为f(x)为偶函数，所以x的取值范围为(－2,2)．
【答案】 D
二、填空题
6．幂函数f(x)的图像过点(2,4)，则f(x)＝________.
【解析】 将点(2,4)代入y＝xα得，4＝2α，即22＝2α，
∴α＝2.
因此，f(x)＝x2.
【答案】 f(x)＝x2
7．(2012·重庆高考)若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
【解析】 由f(x)＝(x＋a)(x－4)得f(x)＝x2＋(a－4)x－4a，
若f(x)为偶函数，则a－4＝0，即a＝4.
【答案】 4
8．已知定义在R上的偶函数f(x)，当x>0时，f(x)＝－x3＋1，则f(－2)·f(3)的值为________．
【解析】 ∵x>0，f(x)＝－x3＋1，
∴f(3)＝－33＋1＝－26，
f(－2)＝f(2)＝－23＋1＝－7，
∴f(－2)·f(3)＝(－26)×(－7)＝182.
【答案】 182
三、解答题
9．已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x (1－4t－t2)(t∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上为增函数，求函数的解析式．
【解】 ∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1，
解得t＝－1或t＝0或t＝1.
∴当t＝0时，f(x)＝x是非奇非偶函数，不满足条件；
当t＝1时，f(x)＝x－2是偶函数，但在(0，＋∞)上为减函数，不满足条件；
当t＝－1时，f(x)＝x2，满足题设．
综上所述，实数t的值为－1，所求解析式为f(x)＝x2.
10．已知f(x)是奇函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，试证明f(x)在(－∞，0)上也是增函数．
【证明】 设x1－x2>0.
∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(－x1)>f(－x2)，
又∵f(x)是奇函数，
∴f(－x1)＝－f(x1)，f(－x2)＝－f(x2)．
∴－f(x1)>－f(x2)，∴f(x1)所以函数f(x)在区间(－∞，0)上是增函数．
11．(2013·黄石高一检测)已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋2.
(1)求f(x)的解析式．
(2)画出f(x)的图像，并指出f(x)的单调区间．
【解】 (1)设x<0，则－x>0，所以
f(－x)＝－(－x)2－2x＋2＝－x2－2x＋2，
又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝x2＋2x－2，
又f(0)＝0，∴f(x)＝
(2)先画出y＝f(x)(x>0)的图像，利用奇函数的对称性可得到相应y＝f(x)(x<0)的图像，其图像如图所示．
由图可知，其增区间为[－1,0)和(0,1]，
减区间为(－∞，－1]和[1，＋∞).
一、选择题
1．已知f(x)＝，则f(2)＝( )
A．1 B. C. D.
【解析】 f(2)＝＝.
【答案】 C
2．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝x－1和y＝
B．y＝x0和y＝1
C．y＝x2和y＝(x＋1)2
D．f(x)＝和g(x)＝
【解析】 A中y＝x－1定义域为R，而y＝定义域为{x|x≠1}；
B中函数y＝x0定义域{x|x≠0}，而y＝1定义域为R；
C中两函数的解析式不同；
D中f(x)与g(x)定义域都为(0，＋∞)，化简后f(x)＝1，g(x)＝1，所以是同一个函数．
【答案】 D
3．用固定的速度向如图2－2－1所示形状的瓶子中注水，则水面的高度h和时间t之间的关系是( )
图2－2－1
【解析】 水面的高度h随时间t的增加而增加，而且增加的速度越来越快．
【答案】 B
4．函数f(x)＝的定义域为( )
A．[1,2)∪(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1,2] D．[1，＋∞)
【解析】 要使函数有意义，需
解得x≥1且x≠2，
所以函数的定义域是{x|x≥1且x≠2}．
【答案】 A
5．函数f(x)＝(x∈R)的值域是( )
A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1]
【解析】 由于x∈R，所以x2＋1≥1,0<≤1，
即0【答案】 B
二、填空题
6．集合{x|－1≤x<0或1【解析】 结合区间的定义知，
用区间表示为[－1,0)∪(1,2]．
【答案】 [－1,0)∪(1,2]
7．函数y＝的定义域为________．
【解析】 要使函数有意义，自变量x须满足
解得：x≥1且x≠2.
∴函数的定义域为[1,2)∪(2，＋∞)．
【答案】 [1,2)∪(2，＋∞)
8．设函数f(x)＝，若f(a)＝2，则实数a＝________.
【解析】 由f(a)＝2，得＝2，解得a＝－1.
【答案】 －1
三、解答题
9．已知函数f(x)＝＋，
求：(1)函数f(x)的定义域；
(2)f(4)的值．
【解】 (1)由得x>0，所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)f(4)＝＋＝2＋＝.
10．求下列函数的定义域：
(1)y＝；(2)y＝.
【解】 (1)要使y＝有意义，则必须解得x≤0且x≠－，
故所求函数的定义域为{x|x≤0，且x≠－}．
(2)要使y＝有意义，
则必须3x－2>0，即x>，
故所求函数的定义域为{x|x>}．
11．已知f(x)＝，x∈R，
(1)计算f(a)＋f()的值；
(2)计算f(1)＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋f(4)＋f()的值．
【解】 (1)由于f(a)＝，f()＝，
所以f(a)＋f()＝1.
(2)法一 因为f(1)＝＝，f(2)＝＝，f()＝＝，f(3)＝＝，f()＝＝，f(4)＝＝，f()＝＝，
所以f(1)＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋f(4)＋f()＝＋＋＋＋＋＋＝.
法二 由(1)知，f(a)＋f()＝1，则f(2)＋f()＝f(3)＋f()＝f(4)＋f()＝1，即[f(2)＋f()]＋[f(3)＋f()]＋[f(4)＋f()]＝3，
而f(1)＝，所以f(1)＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋f(4)＋f()＝.
一、选择题
1．函数y＝|x|的图像是( )
【解析】 ∵y＝|x|＝∴B选项正确．
【答案】 B
2．已知函数f(x)由下表给出，则f(2)＝( )
x
1
2
3
4
f(x)
2
3
4
1
A.1 B．2 C．3 D．4
【解析】 由表中数据可知，f(2)＝3.
【答案】 C
3．设函数f(x)＝则f()的值为( )
A. B．－ C. D．18
【解析】 f(2)＝22＋2－2＝4，∴＝，
∴f()＝f()＝1－()2＝.
【答案】 A
4．设函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a＝( )
A．－4或－2 B．－4或2
C．－2或4 D．－2或2
【解析】 ①当a>0时，f(a)＝a2＝4，
∴a＝2.
②当a≤0时，f(a)＝－a＝4，
∴a＝－4.
【答案】 B
5．已知f(x－1)＝x2，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x2＋2x＋1 B．f(x)＝x2－2x＋1
C．f(x)＝x2＋2x－1 D．f(x)＝x2－2x－1
【解析】 令x－1＝t，则x＝t＋1，
∴f(t)＝f(x－1)＝(t＋1)2＝t2＋2t＋1，
∴f(x)＝x2＋2x＋1.
【答案】 A
二、填空题
6．已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，则f(x)＝________.
【解析】 设f(x)＝(k≠0)，则＝－6，k＝－18.
∴f(x)＝－.
【答案】 －
7．某客运公司确定车票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0.5元；如果超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y(元)与行程数x(千米)之间的函数关系式是________．
【解析】 当0≤x≤100时，y＝0.5x；
当x>100时，y＝100×0.5＋(x－100)×0.4＝10＋0.4x.
所以y＝
【答案】 y＝
8．已知f(x)＝，则f(3)＝________.
【解析】 f(3)＝f(3＋2)＝f(5)，f(5)＝f(5＋2)＝f(7)，f(7)＝7－5＝2.
【答案】 2
三、解答题
9．已知函数f(x)＝
(1)求f[f()]的值；
(2)若f(a)＝3，求a的值．
【解】 (1)∵－1<<2，∴f()＝()2＝3.
而3≥2，∴f[f()]＝f(3)＝2×3＝6.
(2)当a≤－1时，f(a)＝a＋2，
又f(a)＝3，∴a＝1(舍去)；
当－1又f(a)＝3，∴a＝±，其中－舍去，∴a＝；
当a≥2时，f(a)＝2a，又f(a)＝3，
∴a＝(舍去)．综上所述，a＝.
10．已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
【解】 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵f(0)＝1，∴c＝1.
又∵f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.
整理得2ax＋(a＋b)＝2x，
由恒等式性质知上式中对应项系数相等，
∴解得
∴f(x)＝x2－x＋1.
11．“水”这个曾经被人认为取之不尽，用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度．因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2 000亿元，给我国农业造成的损失达1 500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过的部分的水费按原价的200%收费，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费按原价的400%收费，如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应交的水费y(单位：元)．
【解】 由题意知，当0＜x≤5时，y＝1.2x，
当5＜x≤6时，
y＝1.2×5＋(x－5)×1.2×2＝2.4x－6.
当6＜x≤7时，
y＝1.2×5＋(6－5)×1.2×2＋(x－6)×1.2×4＝4.8x－20.4.
所以y＝.
一、选择题
1．下列各图中表示的对应，其中能构成映射的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【解析】 所谓映射，是指“多对一”或“一对一”的对应，且A中每一个元素都必须参与对应．
只有图(3)所表示的对应符合映射的定义，即A中的每一个元素在对应法则下，B中都有唯一的元素与之对应．
【答案】 D
2．下列对应关系f中，不是从集合A到集合B的映射的是( )
A．A＝{x|1＜x＜4}，B＝[1,3)，f：求算术平方根
B．A＝R，B＝R，f：取绝对值
C．A＝{正实数}，B＝R，f：求平方
D．A＝R，B＝R，f：取倒数
【解析】 A、B、C均符合映射的定义，而对于D，集合A中的元素0在集合B无元素与之对应，故D不是A到B的映射．
【答案】 D
3．已知集合A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b，若4和10的原像分别对应6和9，则19在f作用下的像为( )
A．18 B．30
C. D．28
【解析】 由题意，可知解得a＝2，b＝－8，
∴对应关系为y＝2x－8.
故19在f作用下的像是y＝2×19－8＝30.
【答案】 B
4．集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，从A到B的映射f满足f(3)＝3，则这样的映射共有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【解析】 ∵f(3)＝3，∴共有如下4个映射
【答案】 B
5．(2013·太原高一检测)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收文由密文→ 明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4d.例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收文收到密文14,9,23,28时，解密得到的明文为( )
A．4,6,1,7 B．7,6,1,4
C．6,4,1,7 D．1,6,4,7
【解析】 由题意得a＋2b＝14,2b＋c＝9,2c＋3d＝23,4d＝28，解得d＝7，c＝1，b＝4，a＝6.
【答案】 C
二、填空题
6．设集合A和B都是坐标平面上的点集{(x，y)|x∈R，y∈R}，映射f：A→B把集合A中的元素(x，y)，映射成集合B中的元素(x＋y，x－y)，则在映射f下，像(2,1)的原像是________．
【解析】 解方程组得
【答案】 (，)
7．a，b为实数，集合M＝{，1}，N＝{a,0}，f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b的值等于________．
【解析】 ∵f：x→x，∴M＝N，
∴＝0，b＝0，a＝1，故a＋b＝1.
【答案】 1
8．设f：x→x2是从集合A到集合B的映射，如果A＝{1,2}，则满足条件且元素最少的集合B＝________.
【解析】 由已知，12＝1,22＝4，故B＝{1,4}．
【答案】 {1,4}
三、解答题
9．判断下列对应是否是从集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？
(1)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系f：“作圆的内接矩形”；
(2)A＝B＝{0,1,2}，对应关系f：x→y，y＝x＋1；
(3)A＝B＝N，对应关系f：x→y，y＝(x－2)2.
【解】 (1)不是映射，更不是函数或一一映射．因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射．
(2)不是映射，更不是函数或一一映射，因为x＝2时，y＝3，但3?B，即集合A中元素2在B中没有元素和它对应，所以这个对应不是集合A到集合B的映射．
(3)是映射，也是函数，但不是一一映射．因为数集A中的元素x按照对应关系f和数集B中的唯一一个元素对应，这个对应是集合A到集合B的映射和函数．显然原像0,4在对应关系下的像都是4，故映射不是一一映射．
10．已知映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：A中的元素(x，y)对应到B中的元素(3x－2y＋1,4x＋3y－1)．
(1)是否存在这样的元素(a，b)使它的像仍是自己？若存在，求出这个元素；若不存在，说明理由；
(2)判断这个映射是不是一一映射？
【解】 (1)假设存在元素(a，b)使它的像仍是(a，b)．
由得a＝0，b＝.
∴存在元素(0，)使它的像仍是自己；
(2)对任意的(a，b)(a∈R，b∈R)，
方程组有唯一解，
这说明对B中任意元素(a，b)在A中有唯一的原像，
所以映射f：A→B是A到B上的一一映射．
11．设集合A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，f是A到B的一个映射，并满足f：(x，y)→(－xy，x－y)．
(1)求B中元素(3，－4)在A中的原像；
(2)试探索B中哪些元素在A中存在原像；
(3) 求B中元素(a，b)在A中有且只有一个原像时，a，b所满足的关系式．
【解】 (1)设(x，y)是B中元素(3，－4)在A中的原像，于是解得或
∴(3，－4)在A中的原像有两个，(－1,3)和(－3,1)．
(2)设任意(a，b)∈B，则它在A中的原像(x，y)应满足， 由②式得，y＝x－b，将它代入①式，并化简得x2－bx＋a＝0. ③
当且仅当Δ＝b2－4a≥0时，方程③有实数根，因此只有当B中元素(a，b)满足b2－4a≥0时，在A中才有原像．
(3)由以上(2)的解题过程可知，当B中元素(a，b)满足b2＝4a时，它在A中有且只有一个原像.
一、选择题
1．下列说法中，正确的有( )
①若任意x1，x2∈A，当x10，则y＝f(x)在A上是增函数；
②函数y＝x2在R上是增函数；
③函数y＝－在定义域上是增函数；
④函数y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解析】 当x10知f(x1)－f(x2)<0，
∴f(x1)【答案】 B
2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( )
A．y＝|x| B．y＝3－x
C．y＝ D．y＝－x2＋4
【解析】 (排除法)函数y＝3－x在R上为减函数，函数y＝在(0，＋∞)上是减函数，函数y＝－x2＋4在[0，＋∞)上是减函数．
【答案】 A
3．已知四个函数的图像如下图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是( )
【解析】 已知函数的图像判断其在定义域内的单调性，应从它的图像是上升的还是下降的来考虑．根据函数单调性的定义可知函数B在定义域内为增函数．
【答案】 B
4．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)＞f(－m＋9)，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
【解析】 因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)＞f(－m＋9)，所以2m＞－m＋9，即m＞3.
【答案】 C
5．(2013·洛阳高一检测)函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则有( )
A．f(1)≥25 B．f(1)＝25
C．f(1)≤25 D．f(1)>25
【解析】 因为函数f(x)的对称轴为x＝，
所以f(x)在[，＋∞)上是增加的．
所以≤－2，∴m≤－16.
则f(1)＝4－m＋5＝9－m≥25.
【答案】 A
二、填空题
6．已知f(x)＝则f(x)的单调增区间是________．
【解析】 画出分段函数f(x)的图像，如图所示：
由图像知，f(x)在(－∞，0]和[1，＋∞)上单调递增．
【答案】 (－∞，0]和[1，＋∞)
7．若函数f(x)＝2x2－mx＋3在(－∞，－2]上为减函数，在[－2，＋∞)上为增函数，则f(1)＝________.
【解析】 f(x)的图像的对称轴为x＝＝－2，
∴m＝－8.∴f(x)＝2x2＋8x＋3.
∴f(1)＝2＋8＋3＝13.
【答案】 13
8．函数y＝|x2－2x－3|的单调增区间是________．
【解析】 y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|，
作出该函数的图像(如图)．
由图像可知，其增区间为[－1,1]和[3，＋∞)．
【答案】 [－1,1]和[3，＋∞)
三、解答题
9．求证：函数f(x)＝－－1在区间(0，＋∞)上是单调增函数．
【证明】 设x1，x2为区间(0，＋∞)上的任意两个值，
且x10.
因为f(x1)－f(x2)＝(－－1)－(－－1)
＝－＝<0，
即f(x1)故f(x)＝－－1在区间(0，＋∞)上是单调增函数．
10．(2013·宁德检测)定义在(－1,1)上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，且f(1－a)＋f(1－2a)<0.若f(x)是(－1,1)上的减函数，求实数a的取值范围．
【解】 由f(1－a)＋f(1－2a)<0，
得f(1－a)<－f(1－2a)，
∵f(－x)＝－f(x)，x∈(－1,1)，
∴f(1－a)又∵f(x)是(－1,1)上的减函数，
∴
故实数a的取值范围是(0，)．
11．(2013·福州检测)已知函数y＝f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，并且当x>0时，f(x)>1.
求证：f(x)在 R上是增加的．
【证明】 设x1，x2∈R，且x1∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，
∴f(x＋y)－f(x)＝f(y)－1.
令x1＝x，x2＝x1＋y(y>0)，
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1，
又∵x10，
∴f(x2－x1)>1，∴f(x2－x1)－1>0，
∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x1)所以函数f(x)在R上是增加的.
一、选择题
1．二次函数y＝x2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的二次函数是( )
A．y＝x2＋2 B．y＝2x2
C．y＝x2 D．y＝x2－2
【解析】 将二次函数y＝x2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像对应的解析式为y＝2x2.
【答案】 B
2．将二次函数的图像向下、向右各平移2个单位得到图像的解析式为y＝－x2，则原二次函数的解析式是( )
A．y＝－(x－2)2＋2 B．y＝－(x＋2)2＋2
C．y＝－(x＋2)2－2 D．y＝－(x－2)2－2
【解析】 将函数y＝－x2的图像进行逆变换，即将y＝－x2的图像向左平移2个单位，可得y＝－(x＋2)2的图像，然后再将其向上平移2个单位可得y＝－(x＋2)2＋2的图像，即原函数的图像．
【答案】 B
3．已知抛物线与x轴交于点(－1,0)，(1,0)，并且与y轴交于点(0,1)，则抛物线的解析式为( )
A．y＝－x2＋1 B．y＝x2＋1
C．y＝－x2－1 D．y＝x2－1
【解析】 由题意知抛物线的对称轴是y轴且开口向下，顶点为(0,1)，故抛物线方程为y＝－x2＋1.
【答案】 A
4．如果二次函数y＝ax2＋bx＋1图像的对称轴是x＝1，并且通过点A(－1,7)，则a，b的值分别是( )
A．2,4 B．2，－4
C．－2,4 D．－2，－4
【解析】 ∵对称轴为x＝1，∴－＝1①
∵通过点A(－1,7)，∴a－b＋1＝7②
联立①②解得a＝2，b＝－4.
【答案】 B
5．(2013·东城区高一检测)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像可能是( )
【解析】 若a>0，b<0，c<0，则对称轴x＝－>0，函数f(x)的图像与y轴的交点(0，c)在x轴下方．
【答案】 D
二、填空题
6．将函数y＝2(x＋1)2－2向________平移________个单位，再向________平移________个单位可得到函数y＝2x2的图像．
【解析】 通过y＝2x2→y＝2(x＋1)2－2反向分析，也可借助顶点分析．
【答案】 右 1 上 2
7．把函数y＝－x2上各点的纵坐标变为原来的3倍，再向右平移1个单位，然后再向上平移k(k>0)个单位，所得函数仍过原点，则k＝__________.
【解析】 依题意y＝－3(x－1)2＋k，
∵该函数仍过原点，∴－3×(0－1)2＋k＝0，∴k＝3.
【答案】 3
8．设函数f(x)＝x2＋bx＋c，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则f(x)＝________.
【解析】 ∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
∴解得b＝4，c＝2.
∴f(x)＝x2＋4x＋2.
【答案】 x2＋4x＋2
三、解答题
9．对于二次函数y＝－x2＋4x＋3，
(1)指出图像的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(2)说明其图像是由y＝－x2的图像经过怎样的平移得来．
【解】 (1)∵y＝－(x－2)2＋7，
∴开口向下；对称轴为x＝2；顶点坐标为(2,7)；
(2)先将y＝－x2的图像向右平移2个单位，然后再向上平移7个单位，即可得到y＝－x2＋4x＋3的图像．
10．将二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，便得到函数y＝x2－2x＋1的图像，求a，b与c.
【解】 ∵函数y＝x2－2x＋1可变形为y＝(x－1)2，
∴抛物线y＝x2－2x＋1的顶点坐标为(1,0)．
根据题意把此抛物线反向平移，得到抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像，即把抛物线y＝x2－2x＋1向下平移3个单位，再向右平移2个单位就可得到抛物线y＝ax2＋bx＋c，此时顶点(1,0)平移至(3，－3)处．
∴抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是(3，－3)．
即y＝(x－3)2－3＝x2－6x＋6，对照y＝ax2＋bx＋c，得a＝1，b＝－6，c＝6.
11．已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图像与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式．
【解】 法一 设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由已知条件，可得抛物线的顶点为(4，－3)，且过(1,0)与(7,0)两点，将三个点的坐标代入，得解得
∴所求二次函数解析式为y＝x2－x＋.
法二 ∵抛物线与x轴的两个交点坐标是(1,0)与(7,0)，
∴设二次函数的解析式为y＝a(x－1)·(x－7)，把顶点(4，－3)代入，得－3＝a(4－1)(4－7)，解得a＝.
∴二次函数解析式为y＝(x－1)(x－7)，
即y＝x2－x＋.
法三 ∵抛物线的顶点为(4，－3)，且过点(1,0)，
∴设二次函数解析式为y＝a(x－4)2－3.
将(1,0)代入，得0＝a(1－4)2－3，
解得a＝.
∴二次函数的解析式为y＝(x－4)2－3，
即y＝x2－x＋.
