§7.4 一元一次不等式
教学目标
1.知道什么是一元一次不等式？
2.会解一元一次不等式.
教学重点
解一元一次不等式.
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
在前面我们学习了不等式的基本性质，不等式的解，不等式的解集，解不等式的内容.并且知道根据不等式的基本性质，可以把一些不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式.那么，什么样的不等式才可以运用不等式的基本性质而被化成“x＞a”或“x＜a”的形式呢？又需要哪些步骤呢？本节课我们将进行这方面的研究.
二、讲授新课
1、一元一次不等式的定义.
大家已经学习过一元一次方程的定义，你们还记得吗？
只含有一个未知数，未知数的指数是一次，这样的方程叫做一元一次方程.
一元指的是一个未知数，一次指的是未知数的指数是一次，由此大家可以类推出一元一次不等式的定义吗？
只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫一元一次不等式.
思考：以下不等式是不是一元一次不等式？
（1）2x-2.5≥15 （2）5+3x＞8 （3）x＜－4 （4）＞1.
通过上面的讨论，我们可以得出判断一元一次不等式的条件有三个，
（1）未知数的个数1个，（2）未知数的次数1次，（3）不等式的两边都是整式.
总结出一元一次不等式的定义.
不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0，这样的不等式，叫做一元一次不等式（linear inequality with one unknown）.
2、一元一次不等式的解法.
在前面我们接触过的不等式中，如2x－2.5≥15, 5+3x＞240都可以通过不等式的基本性质化成“x＞a”或“x＜a”的形式，请大家来试一试.
例1、解不等式3－x＜2x+6，并把它的解集表示在数轴上.
［分析］要化成“x＞a”或“x＜a”的形式，首先要把不等式两边的x或常数项转移到同一侧，变成“ax＞b”或“ax＜b”的形式，再根据不等式的基本性质求得.
［解］两边都加上x，得
合并同类项，得
两边都加上－6,得
合并同类项，得
两边都除以3，得－1＜x
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
图1－9
观察上面的步骤，大家可以看出，两边都加上x，就相当于把左边的－x改变符号后移到了右边，这种变形叫什么呢？
由此可知，移项法则在解不等式中同样适用，同理可知两边都加上－6，可以看作把6改变符号后从右边移到了左边.因此，可以把这两步合起来，通过移项求得.两边都除以3，就是把x的系数化成1.
现在请大家按刚才分析的过程重新写一次步骤.
移项，得
合并同类项，得
两边都除以3，得
即
从刚才的步骤中，我们可以感觉到解一元一次不等式的过程和解一元一次方程的过程有什么关系？大家还记得解一元一次方程的步骤吗？
下面大家仿照上面的步骤练习一下解一元一次不等式.
例2、解不等式≥，并把它的解集在数轴上表示出来.
［生］解：去分母，得
去括号，得
移项，合并同类项， 得
两边都除以5，得 .
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
图1－10
例3、请大家判断以下解法是否正确.若不正确，请改正.
解不等式：≥5
解：去分母，得－2x+1≥－15
移项、合并同类项，得－2x≥－16
两边同时除以－2，得x≥8
我们在解一元一次不等式时应避免犯上述错误，希望大家引起注意.
3、解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系.
联系：两种解法的步骤相似.
区别：（1）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向改变；而方程两边乘以（或除以）同一个负数时，等号不变.
（2）一元一次不等式有无限多个解，而一元一次方程只有一个解.
三、课堂练习
1、课本第16页练习1~2题
2、课本第18页练习1~2题
四、课时小结
本节课学习了如下内容：
1.一元一次不等式的定义.
2.一元一次不等式的解法.
3.解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系.
五、课后作业
课本第18页习题7.4第1~5题§7.2 不等式的解集
教学目标
1.能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义.
2.理解不等式的解、不等式的解集、解不等式这些概念的含义.
3.会在数轴上表示不等式的解集.
教学重点
1.理解不等式中的有关概念.
2.探索不等式的解集并能在数轴上表示出来.
教学难点
探索不等式的解集并能在数轴上表示出来.
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
1、当x的值分别取-1、0、、2、3、3.5、5时，不等式x-3＞0和x-4＜0能分别成立吗？
2、现实生活中的不等式.
燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10 m以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度为以0.02 m/s，人离开的速度为4 m/s，那么导火线的长度应为多少厘米？
分析：人转移到安全区域需要的时间最少为秒，导火线燃烧的时间为秒，要使人转移到安全地带，必须有：＞.
想一想
（1）x=5,6,8能使不等式x＞5成立吗？
（2）你还能找出一些使不等式x＞5成立的x的值吗？
由此看来，6，7，8，9，10…都能使不等式成立，那么大家能否根据方程的解来类推出不等式的解呢？不等式的解唯一吗？
二、新课讲解
1、能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
如x=3.5、5都是不等式x-3＞0的解.x=-1、0、、2、3、3.5都是不等式x-4＜0的解不等式的解不唯一，有无数个解.
2、正因为不等式的解不唯一，因此一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解集（solution set）.
求不等式解集的过程叫解不等式.
3、议一议.
如何借助数轴将不等式的解集表示 出来？
请你用自己的方式将不等式x-5＞0的解集表示在数轴上，并与同伴交流.
不等式x＞5的解集可以用数轴上表示5的点的右边部分来表示（图1－3），在数轴上表示5的点的位置上画空心圆圈，表示5不在这个解集内.
图1－3
若一个不等式的解集是x≤4，如何在表示？
可以用数轴上表示4的点及其左边部分来表示（图1－4），在数轴上表示4的点的位置上画实心圆点，表示4在这个解集内.
图1－4
请大家讨论一下，如何把不等式的解集在数轴上表示出来呢？请举例说明.
如x＞3, 即为数轴上表示3的点的右边部分，在数轴上表示3的点的位置上画空心圆圈，表示不包括这一点.
x＜3，可以用数轴上表示3的点的左边部分来表示，在这一点上画空心圆圈.
x≥3，可以用数轴上表示3的点和它的右边部分来表示，在表示3的点的位置上画实心圆点，表示包括这一点.
x≤3，可以用数轴上表示3的点和它的左边部分来表示，在表示3的点的位置上画实心圆点.
三、课堂练习
1、判断正误：
（1）不等式x－1＞0有无数个解；
（2）不等式2x－3≤0的解集为x≥.
2、课本第10页1~3题
四、课时小结
本节课学习了以下内容
1.理解不等式的解，不等式的解集，解不等式的概念.
2.会把不等式解集在数轴上表示出来.
五、课后作业
（一）课本第11页1~3题
（二）补充作业
1.用不等式表示：
（1）x的3倍大于或等于1；
（2）x与5的和不小于0；
（3）y与1的差不大于6；
（4）x的小于或等于2.
2、小于2的每一个数都是不等式x+3＜6的解，所以这个不等式的解集是x＜2.这种解答正确吗？第七章、一元一次不等式
§1.1 生活中的不等式
学习目标：
1.理解不等式的意义.
2.能根据条件列出不等式.
能力训练要求：
通过列不等式，训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力.
教学重点：
用不等关系解决实际问题.
教学难点：
正确理解题意列出不等式.
教学过程：
一、创设问题情境，引入新课
我们学过等式，知道利用等式可以解决许多问题.同时，我们也知道在现实生活中还存在许多不等关系，利用不等关系同样可以解决实际问题.本节课我们就来了解不等关系，以及不等关系的应用.
二、新课讲授
既然不等关系在现实生活中并不少见，大家肯定接触过不少，能举出例子吗？如何用式子表示不等关系呢？请看例题.
例1、一辆48座的旅游车载有游客x人，到一个站上有上来2个人，车上仍有空位，有数学式子表示上述数量关系
例2、如图1－1，用两根长度均为l cm的绳子，分别围成一个正方形和圆.
图1－1
（1）如果要使正方形的面积不大于25 cm2， 那么绳长l应满足怎样的关系式？
（2）如果要使圆的面积不小于100 cm2,那么绳长l应满足怎样的关系式？
（3）当l=8时，正方形和圆的面积哪个大？l=12呢？
（4）你能得到什么猜想？改变l的取值，再试一试.
分析：本题中大家首先要弄明白两个问题，一个是正方形和圆的面积计算公式，另一个是了解“不大于”“大于”等词的含意.
⑴正方形的面积等于边长的平方.
⑵圆的面积是πR2，其中R是圆的半径.
⑶两数比较有大于、等于、小于三种情况，“不大于”就是等于或小于.
做一做
通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5 m的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为5 cm，以后树围每年增加约为 3 cm.这棵树至少生长多少年其树围才能超过2.4 m？（只列关系式）.
议一议:观察由上述问题得到的关系式，它们有什么共同特点？
一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式
例题.
1、用不等式表示
（1）a是正数； （2）a是非负数； （3）a与6的和小于5；
（4）x与2的差小于－1； （5）x的4倍大于7； （6）y的一半小于3.
2、如何表示下面气温之间的不等关系？
某城市某一天的最低气温是-2℃，最高气温 是6℃，该市这一天某一时刻的气温t℃。
三、随堂练习
1、课本第7页1~2题。
2、当x=2时，不等式x+3＞4成立吗？当x=1.5时，成立吗？当x=－1呢？
四、课时小结
能根据题意列出不等式，特别要注意“不大于”，“不小于”等词语的理解.
通过不等关系的式子归纳出不等式的概念.
五、课后作业
（一）、课本第7~8页1~3题。
（二）补充作业：
1、用不等式表示：
（1）x的与5的差小于1； （2）x与6的和大于9； （3）8与y的2倍的和是正数；
（4）a的3倍与7的差是负数； （5）x的4倍大于x的3倍与7的差；
（6）x的与1的和小于－2； （7）x与8的差的不大于0.
2、a,b两个实数在数轴上的对应点如图1－2所示：
图1－2
用“＜”或“＞”号填空：
（1）a__________b; （2）|a|__________|b|; （3）a+b__________0;
（4）a－b__________0; （5）a+b__________a－b; （6）ab__________a.§7.3 不等式的基本性质
教学目标
1.探索并掌握不等式的基本性质；
2.理解不等式与等式性质的联系与区别.
教学重点
探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用.
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？
等式基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得结果仍是等式.
基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式.
不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是否也有相似之处呢？本节课我们将加以研究.
二、新课讲授
1、不等式基本性质的推导
等式的性质我们已经掌握了，那么不等式的性质是否和等式的性质一样呢？请大家探索后发表自己的看法.
∵3＜5，∴3+2＜5+2，3－2＜5－2，3+a＜5+a，3－a＜5－a
性质一：在不等式的两边都 .
下面继续进行探究.
∵3＜4，∴3×3＜4×3, 3×＜4×, 3×（－3）＞4×（－3）
3×（－）＞4×（－） 3×（－5）＞4×（－5）
性质二：在不等式的两边同乘以一个 数时，不等号的方向 ；在不等式的两边同乘以一个 时，不等号的方向 .
在不等式的两边同时除以某一个数时（除数不为0），情况会怎样呢？请大家用类似的方法进行推导.
性质三：当不等式的两边同时除以一个 时，不等号的方向 ；当不等式的两边同时除以一个 时，不等号的方向 .
2、例题讲解
例1、将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）x－5＞－1; （2）－2x＞3; （3）3x＜－9.
3、议一议
讨论下列式子的正确与错误.
（1）如果a＜b，那么a+c＜b+c;
（2）如果a＜b，那么a－c＜b－c;
（3）如果a＜b,那么ac＜bc;
（4）如果a＜b,且c≠0,那么＞.
小结：在上面的例题中，我们讨论的是具体的数字，这种题型比较简单，因为要乘以或除以某一个数时就能确定是正数还是负数，从而能决定不等号方向的改变与否.在本题中讨论的是字母，因此首先要决定的是两边同时乘以或除以的某一个数的正、负.
在利用不等式的性质2和性质3时，关键是看两边同时乘以或除以的是一个什么性质的数，从而确定不等号的改变与否.
三、课堂练习
1、将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式.
（1）x－1＞2 （2）－x＜
2、已知x＞y,下列不等式一定成立吗？
（1）x－6＜y－6; （2）3x＜3y; （3）－2x＜－2y.
3、设a＞b,用“＜”或“＞”号填空.
（1）a+1 b+1; （2）a－3 b－3; （3）3a 3b;
（4） ; （5）－ －; （6）－a －b.
四、课时小结
1、本节课主要用类推的方法探索出了不等式的基本性质.
2、利用不等式的基本性质进行简单的化简或填空.
五、课后作业
(一)课本第14页1、2。
(二)补充作业
1、设a＞b.用“＜”或“＞”号填空.
（1）a－3 b－3; （2） ;
（3）－4a －4b; （4）5a 5b;
（5）当a＞0,b 0时，ab＞0; （6）当a＞0,b 0时，ab＜0;
（7）当a＜0,b 0时，ab＞0; （8）当a＜0,b 0时，ab＜0.
2、比较a与－a的大小.
3、有一个两位数，个位上的数字是a，十位上的数是b，如果把这个两位数的个位与十位上的数对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大哪个小？
