2022-2023学年湖南省株洲市茶陵县九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省株洲市茶陵县九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3. 下列式子正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 某校名学生参加课外实践活动的时间分别为：，，，，单位：小时，这组数据的众数和中位数分别为( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
5. 如图，已知，于点，若，则的度数是( )
A. B. C. D.
6. 在，，，这四个数中选一个数，选出的这个数是无理数的概率为( )
A. B. C. D.
7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
8. 如图，切于点，，则的度数为( )
A. B. C. D.
9. 据九章算术记载：“今有山居木西，不知其高，山去五十三里，木高九丈五尺，人立木东三里，望木末适与山峰斜平，人目高七尺，问山高几何？”译文如下：如图，今有山位于树的西面，山高为未知数，山与树相距里，树高丈尺，人站在离树里的地方，观察到树梢恰好与山峰处在同一斜线上，人眼离地尺，则山的高为( )
保留整数，里丈，丈尺
A. 丈 B. 丈 C. 丈 D. 丈
10. 已知点在函数的图象上，点在直线为常数，且上．若，两点关于原点对称，则称点，为函数，图象上的一对“友好点”请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为( )
A. 有对或对 B. 只有对 C. 只有对 D. 有对或对
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 二次根式中，的取值范围是______ ．
12. 分解因式：______．
13. 已知是方程的解，则的值为______ ．
14. 某种芯片每个探针单元的面积为，用科学记数法表示为______ ．
15. 如图，是的外接圆，连接并延长交于点，若，则的度数为______ ．
16. 如图，正六边形螺帽的边长是，这个扳手的开口的值应是______ ．
17. 如图，点是反比例函数图象上的任意一点，过点作垂直轴交反比例函数的图象于点，连接，，若的面积为，则的值为______ ．
18. 如图，在直角坐标系中，四边形是正方形，，，，曲线、、叫做“正方形的渐开线”，其中弧、弧、弧、弧、的圆心依次是点、、、循环，则点的坐标是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：．
20. 本小题分
先化简，再求值，其中．
21. 本小题分
如图，正方形中，是上的一点，连接，过点作，垂足为点，延长交于点，连接．
求证：．
若正方形边长是，，求的长．
22. 本小题分
在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼，小明就本班同学“我最喜爱的体育项目”进行了一次调查统计，下面是他通过收集数据后，绘制的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，解答以下问题：
该班共有______名学生；
补全条形统计图；
在扇形统计图中，“乒乓球”部分所对应的圆心角度数为______；
学校将举办体育节，该班将推选位同学参加乒乓球活动，有位男同学和位女同学，现准备从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率．
23. 本小题分
风能作为一种清洁能源越来越受到世界各国的重视，我市结合自身地理优势架设风力发电机利用风能发电．王芳和李华假期去明月峰游玩，看见风电场的各个山头上布满了大大小小的风力发电机，好奇的想知道风力发电机塔架的高度．如图，王芳站在点测得点与塔底点的距离为，李华站在斜坡的坡顶处，已知斜坡的坡度：，坡面长，李华在坡顶处测得轮毂点的仰角，请根据测量结果帮他们计算：
斜坡顶点到所在直线的距离；
风力发电机塔架的高度．
结果精确到，参考数据，，，，
24. 本小题分
如图，在中，，是上一点，过，，三点的交于点，连接，，点是线段上的一点，连接，其中，是的直径．
求证：是的切线；
若是的中点，，，求的长．
25. 本小题分
在平面直角坐标系中，反比例函数和一次函数的图象经过点和点．
求反比例函数和一次函数的表达式；
如图，点是线段下方反比例函数图象上的一动点，过点作轴的垂线与一次函数的图象交于点，连接，．
设的面积为，求关于的函数解析式并指出的求值范围；
求的最大值．
26. 本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
求该抛物线的函数表达式；
在平面直角坐标系内是否存在一点使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出所有满足该条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；
如图，若点在该抛物线上且横坐标为，直线与抛物线交于，两点，点在轴上，当时，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】
【解析】解：此图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.此图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.此图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.此图既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形和轴对称图形的概念，即可得出正确选项．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，熟练掌握概念是本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：、，故本选项符合题意；
B、，故本选项不合题意；
C、与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D、，故本选项不合题意；
故选：．
分别根据合并同类项法则，幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及完全平方公式逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘法，合并同类项，完全平方公式以及幂的乘方，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：将数据从小到大排列：，，，，，出现次数最多的是，
因此众数为，
处在第位的是，
因此中位数为：，
故选：．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据；据此作答即可．
本题考查了中位数和众数，熟练掌握找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：在中，，，
则，
，
，
故选：．
根据直角三角形的性质求出，再根据平行线的性质解答即可．
本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：在，，，这四个数中选一个数，无理数有，两个，
四个数中选一个数，选出的这个数是无理数的概率为，
故选：．
先根据无理数的定义判断出无理数的个数，再根据概率公式进行求解即可．
本题考查了无理数的定义无限不循环小数是无理数及简单的概率公式，准确理解题意是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：
由不等式，得；
由不等式，得；
在数轴上表示为：
所以原不等式组的解集为．
故选：．
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8.【答案】
【解析】解：切于点，
，
，
，，
，
，
故选：．
先根据切线的性质得，再根据等腰三角形的性质由得到，则可根据三角形内角和计算出，然后利用，进行求解即可．
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握和运用各图形的性质是解决本题的关键．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
由题意得到里，尺，尺，里，过作于，交于，于是得到尺，里，里，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】
解：由题意得，里，
尺，尺，里，
过作于，交于，
则尺，里，里，
，
∽，
，
，
丈，丈．
答：山的高为丈．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：设，
由题意知，点关于原点的对称点在直线上，
则，
整理，得：，
即，
或，
则或，
若，则，此时方程只有个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有对；
若，则，此时方程有个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有对，
综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为对或对，
故选：．
根据“友好点”的定义知，函数图象上点关于原点的对称点一定位于直线上，即方程有解，整理方程得，据此可得答案．
本题主要考查直线和双曲线上点的坐标特征及关于原点对称的点的坐标，将“友好点”的定义，根据关于原点对称的点的坐标特征转化为方程的问题求解是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：是二次根式，
，
即，
故答案为：．
根据被开方数是非负数，建立不等式求解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数建立不等式是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：
，
故答案为：．
利用提公因式法和平方差公式进行分解，即可得出答案．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解决问题的关键．
13.【答案】
【解析】解：是方程的解，
解得：，
故答案为：．
根据分式方程的解的定义，将代入方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求解．
本题考查了分式方程的解的定义，熟练掌握分式方程的解的定义是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，
故答案是：．
根据科学记数法的要求，将一个数字写成的形式，其中，为整数．
本题考查用科学记数法表示较小数的方法，写成其中，为整数的形式是关键．
15.【答案】
【解析】解：连接，如图．
为直径，
，
与所对的弧为，
．
．
故答案为：．
连接，由圆周角定理的推论可知，因为与所对的弧为，所以所以．
本题主要考查了圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等．掌握这些性质是及作出合适的辅助线是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：过正六边形的中心作边的垂线，连接．
则，
．
．
故答案是：．
的值等于正六边形的边心距的倍，过正六边形的中心作边的垂线，连接，在直角中，利用三角函数求得边心距即可求解．
正多边形的计算基本思路是转化为解直角三角形．
17.【答案】
【解析】解：设与轴交于点，
点在反比例函数的图象上，
，
又，
，
又，
，
故答案为：．
根据反比例函数系数的几何意义求解即可．
本题考查反比例函数系数的几何意义，理解反比例函数系数的几何意义是得出正确答案的关键．
18.【答案】
【解析】解：从图中可以看出的坐标是，的坐标是，的坐标是，的坐标是；
由题意可知，，
点的坐标是的坐标循环后的点．
依次循环则的横坐标是，，，，纵坐标是可以用为自然数表示．
当时，
．
的坐标是；
故答案为：．
先分别求出的坐标是，的坐标是，的坐标是，的坐标是，从中找出规律，依规律计算即可．
本题主要考查了点的坐标的变化规律和对“正方形的渐开线”的理解，发现规律，理解“正方形的渐开线”是解答此题的关键．
19.【答案】解：原式
．
【解析】先化简各项，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
20.【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】先通分括号内的式子，然后计算括号外的除法，再将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
21.【答案】解：证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
，
由得：≌，
，
，
四边形是正方形，
，，
由勾股定理得：．
【解析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，本题证明≌是解本题的关键．
根据证明≌，可得结论；
根据得：≌，则，最后利用勾股定理可得的长．
22.【答案】
足球项目所占的人数名，所以其它项目所占人数名
补全条形统计图如图所示：

画树状图如图．
由图可知，共有种等可能的结果，两名同学恰为一男一女的有种情况，
所以恰好选出一男一女．
【解析】解：
由题意可知该班的总人数名
故答案为：；
见答案
“乒乓球”部分所对应的圆心角度数，
故答案为：；
见答案
由篮球项目的人数以及其所占的百分比即可求出该班的人数；
分别求出足球、其他项目的人数即可补全条形统计图；
由乒乓球项目的人数即可求出，“乒乓球”部分所对应的圆心角度数
利用树状图法，根据概率公式即可求出恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23.【答案】解：如图，过点作于点，
则为坡顶到所在直线的距离，
，．
在中，：，
设 ，则 ，
，，
，
解得，
即斜坡顶点到所在直线的距离为
过点作于点，
则四边形是矩形，
由知，，
，
，
在中，，
，
解得，
．
答：塔架高度约为．
【解析】过点作于点，则为坡顶到所在直线的距离，，在中，：，设，则，由勾股定理，可求出的值，即可得出答案．
过点作于点，则四边形是矩形，，在中，，即可求出，结合，即可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题及坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
24.【答案】证明：，点，在上，
是的直径，，
，，
，
即，
，
是的切线；
解：如图，，，，
，
，
是的中点，
，
是的直径，
，
，
，
在中，，
在中，，
，，
，
，
∽，
，
即，
．
【解析】可证得是的直径，，则，结论得证；
先求出长，再求长，在中求出长，在中求出长，证得∽，由比例线段可求出长．
本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解答本题的关键是正确作出辅助线，综合运用圆的性质解题．
25.【答案】解：将点代入得：，
解得，
反比例函数解析式为，
于是由，解得，则，
将点、坐标代入一次函数得，
，
解得，
一次函数解析式为；
由点及已知可得，
，
，
点是线段 下方反比例函数图象上的一动点，
的求值范围为；
由得，
，
的最大值为．
【解析】将点代入可得的值，从而得出点的坐标，再将点、坐标代入一次函数，解方程即可；
表示出点的坐标，从而得出的长，即可得出与的函数解析式，根据点是线段 下方反比例函数图象上的一动点，可得的范围；
利用配方法可得的最大值．
本题是反比例函数与一次函数图象的交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数图象上点的坐标的特征，三角形的面积，二次函数的性质等知识，准确表示出与的函数解析式是解题的关键．
26.【答案】解：把，代入得：
，
解得，
；
在平面直角坐标系内存在一点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：
在中，令得，
，
设，
若，为对角线，则，的中点重合，
，
解得，
；
若，为对角线，则，的中点重合，
，
解得，
；
若，为对角线，则，的中点重合，
，
解得，
；
综上所述，的坐标为或或；
在中，令得，
，
设，过作于，过作轴，过作于，过作于，
当在上方时，如图：
，
是等腰直角三角形，
，，
，
≌，
，，
，，，，
，
解得，
，
由，得直线解析式为，
在中，令得，
；
当在下方时，如图：
同理可得，，
，，，，
，
解得，
，
此时与重合，即；
综上所述，的坐标为或．
【解析】用待定系数法可得；
设，分三种情况：若，为对角线，，若，为对角线，，若，为对角线，，分别解方程组可得的坐标为或或；
求出，设，过作于，过作轴，过作于，过作于，分两种两种情况：当在上方时，证明≌，可得，当在下方时，同理得，即可解得的坐标为或．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
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