课件54张PPT。教师用书独具演示演示结束函数的零点及判定定理 一个 连续 相反 f(a)·f(b) 横坐标 f(x)＝0 求函数的零点 判断零点所在区间 函数零点的应用 课时作业（二十二）课件60张PPT。教师用书独具演示演示结束二分法 中点 中点 零 反 中点 精度 二分法的理解 用二分法求方程的近似解 二分法的实际应用 课时作业（二十三）课件68张PPT。教师用书独具演示演示结束常见的函数模型 函数建模 一次、二次函数模型 分段函数模型 指数、对数函数模型 课时作业（二十四）第四章 函数应用
§1函数与方程
1．1 利用函数性质判定方程解的存在
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系．
(2)掌握函数零点存在的方法．
(3)能结合图像求解函数零点问题．
2．过程与方法
通过观察二次函数图像，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．
3．情感、态度与价值观
在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．进一步拓展了学生的视野，使他们体会到数学当中不同内容之间的内在联系．
●重点难点
重点：连续函数在某区间上存在零点的判定方法．
难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系．
通过对二次函数的图像的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数．建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展．之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．渗透“方程与函数” 思想．
(教师用书独具)
●教学建议
教材选取“探究具体的一元二次方程根与其对应二次函数的图像与x轴的交点的横坐标之间的关系”作为内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原知识形成联系．教学时尽量多给学生提供探究情景，让学生自己发现并归纳结论：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是相应的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴交点的横坐标．值得注意的问题是：对于教材中给出了函数零点的判定定理，只要求学生理解并会用，而不要求学生证明．
●教学流程
通过实例分析：判断方程x2－x－6＝0解的存在性，引出本节课课题?抽象概括出函数的零点的定义，根据定义完成例1及其变式训练?函数图像从x轴上方到下方或从x轴下方到上方都会穿过 x 轴，即图像连续且有使函数值为零的点的横坐标，那么对应方程一定有解?导出函数零点的存在定理，并由此完成例2及其变式训练
?根据零点存在定理，解决二次函数根的分布问题，完成例3及其变式训练?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正
(见学生用书第63页)
课标解读
1.了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系．(易混点)
2．掌握函数零点存在的判定方法．(重点)
3．能结合图像求解零点问题．(难点)
函数的零点及判定定理
【问题导思】
给定的二次函数y＝x2＋2x－3，其图像如下：
1．方程x2＋2x－3＝0的根是什么？
【提示】 方程的根为－3,1.
2．函数的图像与x轴的交点是什么？
【提示】 交点为(－3,0)，(1,0)．
3．方程的根与交点的横坐标有什么关系？
【提示】 相等．
4．通过观察图像，在每一个与x轴的交点附近，两侧函数值符号有什么特点？
【提示】 在每一点两侧函数值符号异号．
1．函数的零点
(1)定义：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．
(2)意义：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的解．
2．函数零点的判定定理
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解.
(见学生用书第63页)
求函数的零点
判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出零点：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2＋2x＋4；
(3)f(x)＝3x－9；(4)f(x)＝1－log3x.
【思路探究】 求函数y＝f(x)的零点，即求方程f(x)＝0的根．因此令f(x)＝0转化为相应的方程，根据方程是否有实数解来确定函数是否有零点．
【自主解答】 (1)因为方程＝0无实数解，所以函数f(x)＝无零点．(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12＜0，所以方程x2＋2x＋4＝0无实数解，所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．(3)令3x－9＝0，则3x＝9即3x＝32，则x＝2，所以函数f(x)＝3x－9的零点是2.(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3.
1．求函数y＝f(x)的零点，通常转化为解方程f(x)＝0，若方程f(x)＝0有实数解，则函数f(x)存在零点，该方程的实数解就是函数f(x)的零点，否则函数f(x)不存在零点．
2．求函数y＝f(x)的零点通常有两种办法：其一是令f(x)＝0，根据解方程f(x)＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝f(x)的图像，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
(1)函数f(x)＝4x－16的零点为________．
(2)函数f(x)＝x－的零点的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】 (1)令4x－16＝0，则4x＝42，解得
x＝2，所以函数的零点为x＝2.
(2)令f(x)＝0，即x－＝0，
∴x＝±2，故有两个．
【答案】 (1)x＝2 (2)C
判断零点所在区间
在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( )
A．(－，0) B．(0，)
C．(，) D．(，)
【思路探究】 依据“函数零点两侧函数值的符号相反”求解．
【自主解答】 ∵f()＝－2<0，
f()＝－1>0，
∴零点在(，)上．
【答案】 C
1．确定函数零点、方程解所在的区间，通常利用函数零点的存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反．
2．有时，需要考察函数在区间上是否连续，若要判断零点(或根)的个数，还需结合函数的单调性．
函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(e,3)
【解析】 ∵f(2)＝ln 2－1<0，
f(3)＝ln 3－>0，
∴f(2)·f(3)<0.
∴f(x)在(2,3)内有零点．
【答案】 B
函数零点的应用
当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上．
【思路探究】 分a＝0，a>0，a<0三种情况讨论列出关于a的不等式，最后求得结果．
【自主解答】 (1)当a＝0时，方程即为－2x＋1＝0，只有一根，不符合题意．
(2)当a>0时，设f(x)＝ax2－2x＋1，
∵方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上，
∴即
解得
(3)当a<0时，设方程的两根为x1，x2，
则x1·x2＝<0，
x1，x2一正一负不符合题意．
综上，a的取值范围为(，1)．
解决二次方程根的分布问题应注意以下几点：
1．首先画出符合题意的草图，转化为函数问题．
2．结合草图考虑三个方面：
(1)Δ与0的大小；
(2)对称轴与所给端点值的关系；
(3)端点的函数值与零的关系．
3．写出由题意得到的不等式．
4．由得到的不等式去验证图像是否符合题意，这类问题充分体现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点．在写不等式时，就以上三个方面，要注意条件的完备性．
设函数f(x)＝ax＋3a＋1(a≠0)在[－2,1]上存在一个零点，求实数a的取值范围．
【解】 ∵f(x)＝ax＋3a＋1(a≠0)在[－2,1]上为单调函数，且存在一个零点，
∴f(－2)·f(1)≤0，
即(a＋1)(4a＋1)≤0，即或
∴－1≤a≤－.
因此，实数a的取值范围是[－1，－].
函数与方程的思想在图像交点问题中的应用
设函数y＝x3与y＝()x－2图像的交点为(x0，y0)，则x0所在区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
【思路点拨】 首先构造函数f(x)＝x3－()x－2，然后可转化为判断函数的零点所在的区间．
【规范解答】 令f(x)＝x3－()x－2，由基本初等函数单调性知f(x)在R上是增函数．
∵f(0)＝－4，f(1)＝1－()1－2＝－1，f(2)＝8－1＝7，
∴f(1)·f(2)<0，故函数f(x)的零点在区间(1,2)内，即函数y＝x3与y＝()x－2图像的交点在区间(1,2)内．
【答案】 B
判断两函数h(x)，g(x)图像的交点所在的区间，常通过构造函数将问题转化为求函数f(x)＝h(x)－g(x)的零点所在的区间．
1．判断函数零点个数的方法有以下几种：
(1)转化为求方程的根，能直接解出，如一次、二次函数零点问题；
(2)画出函数的图像，由与x轴交点的个数判断出有几个零点；
(3)利用零点存在性定理，但要注意条件，而结论是至少存在一个零点，个数有可能不确定；
(4)利用函数与方程的思想，转化为两个简单函数的图像的交点．
2．函数的零点的作用：
(1)解决根的分布问题；
(2)已知零点的存在，求字母参数的范围．
(见学生用书第65页)
1．函数y＝x2＋2x－3的零点和顶点的坐标为( )
A．3,1；(－1，－4) B．－3，－1；(－1,4)
C．－3,1；(1，－4) D．－3,1；(－1，－4)
【解析】 令x2＋2x－3＝0，得x＝－3或1，将y＝x2＋2x－3配方可知顶点坐标为(－1，－4)．
【答案】 D
2．若x0是函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点，则x0属于区间( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(4,5)
【解析】 由于f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0.且函数f(x)在[2,3]上连续，所以f(x)的零点x0所属区间是(2,3)．
【答案】 B
3．函数y＝2x2－4x－3的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．不能确定
【解析】 由于方程2x2－4x－3＝0的Δ＝16＋24＝40>0，所以函数有两个零点．
【答案】 C
4．若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，求实数a的值．
【解】 (1)当a＝0时，函数为y＝－x－1，显然该函数的图像与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点．
(2)当a≠0时，函数y＝ax2－x－1是二次函数．
因为y＝ax2－x－1只有一个零点，
所以关于x的方程ax2－x－1＝0有两个相等的实数根，
所以Δ＝0，即1＋4a＝0，
解得a＝－.
综上所述，a的值为0或－.
(见学生用书第121页)
一、选择题
1．y＝x－1的图像与x轴的交点坐标及其零点分别是( )
A．1，(1,0) B．(1,0)，0
C．(1,0)，1 D．1,1
【解析】 由y＝x－1＝0，得x＝1，
故交点坐标为(1,0)，零点是1.
【答案】 C
2．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是( )
A．a<1 B．a>1
C．a≤1 D．a≥1
【解析】 由题意知，Δ＝4－4a<0，∴a>1.
【答案】 B
3．(2013·延安高一检测)函数f(x)＝ex－的零点所在的区间是( )
A．(0，) B．(，1)
C．(1，) D．(，2)
【解析】 ∵f()＝e－2<0，f(1)＝e－1>0，
∴f()·f(1)<0，
∴f(x)＝ex－的零点所在的区间是(，1)．
【答案】 B
4．设f(x)在区间[a，b]上是连续的单调函数，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在闭区间[a，b]内( )
A．至少有一实根 B．至多有一实根
C．没有实根 D．必有唯一实根
【解析】 由题意知，函数f(x)在[a，b]内与x轴只有一个交点，即方程f(x)＝0在[a，b]内只有一个实根．
【答案】 D
5．已知函数y＝f(x)的图像是连续的，有如下的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
y
123.56
21.45
－7.82
11.45
－53.76
－128.88
则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解析】 ∵f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，
∴f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内至少各有一个零点，故f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个．
【答案】 B
二、填空题
6．(原创题)函数f(x)＝kx－2x在(0,1)上有零点，则实数k的取值范围是________．
【解析】 f(0)＝－1，f(1)＝k－2，由于f(0)·f(1)<0，
则－(k－2)<0.∴k>2.
【答案】 (2，＋∞)
7．若函数f(x)＝ax＋b只有一个零点2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．
【解析】 由题意知2a＋b＝0，
∴b＝－2a，∴g(x)＝－2ax2－ax
＝－ax(2x＋1)，
令g(x)＝0得x＝0或x＝－.
【答案】 0，－
8．方程log2x＋2＝x2的实数解的个数为________．
【解析】 方程log2x＋2＝x2可变形为log2x＝x2－2，构造函数f(x)＝log2x，g(x)＝x2－2，画这两个函数的图像，由交点个数可知方程解的个数为2.
【答案】 2
三、解答题
9．求函数y＝ax2－(2a＋1)x＋2(a∈R)的零点．
【解】 令y＝0并化为：(ax－1)(x－2)＝0.
当a＝0时，函数为y＝－x＋2，则其零点为x＝2.
当a＝时，则由(x－1)(x－2)＝0，
解得x1,2＝2，则其零点为x＝2.
当a≠0且a≠时，则由(ax－1)(x－2)＝0，
解得x＝或x＝2，则其零点为x＝或x＝2.
10．函数f(x)＝ln x＋x2－a有一个零点在(1,2)内，求a的取值范围．
【解】 函数f(x)＝ln x＋x2－a在区间(1,2)上是单调递增的，由题意知f(1)·f(2)＜0，
即(ln 1＋1－a)·(ln 2＋4－a)＜0，
解得1＜a＜4＋ln 2.
故a的取值范围为(1,4＋ln 2)．
11．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m的取值范围．
【解】 令g(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14.
依题意得或
即或
解得－故实数m的取值范围为(－，0).
(教师用书独具)
若函数f(x)＝x2－2ax＋2在区间[0,4]上至少有一个零点，求实数a的取值范围．
【思路探究】 至少有一点零点包含有一个或有两个零点．
【自主解答】 因为函数f(x)＝x2－2ax＋2在区间[0,4]上至少有一个零点，
①当函数在该区间内只有一个零点时，由右图知，f(0)·f(4)<0或Δ＝4a2－8＝0，
即2(18－8a)<0或a2＝2，解得a>或a＝；
②当函数在该区间内有两个不同零点时，
必须满足
即
解得综上所述，a的取值范围是{a|a≥}．
1．本题易直接利用f(0)·f(4)<0，错解得a>.
2．连续函数f(x)在闭区间[a，b]上，若满足f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内至少有一个零点，反之不一定成立．
已知二次函数f(x)满足：f(0)＝3；f(x＋1)＝f(x)＋2x.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)令g(x)＝f(|x|)＋m(m∈R)，若函数g(x)有4个零点，求实数m的范围．
【解】 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵f(0)＝3，
∴c＝3，∴f(x)＝ax2＋bx＋3.
f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋3＝ax2＋(2a＋b)x＋(a＋b＋3)，
f(x)＋2x＝ax2＋(b＋2)x＋3，
∵f(x＋1)＝f(x)＋2x，
∴
解得a＝1，b＝－1，
∴f(x)＝x2－x＋3.
(2)由(1)，得g(x)＝x2－|x|＋3＋m，
在平面直角坐标系中，画出函数g(x)的图像，如图所示，
由于函数g(x)有4个零点，则函数g(x)的图像与x轴有4个交点．
由图像得
解得－3即实数m的范围是(－3，－)．
人物介绍
阿贝尔
阿贝尔1802年8月5日出生在挪威芬德的一个小村庄里．阿贝尔的父亲是村子里的穷牧师，是一个有文化的人．阿贝尔的小学教育基本上是由父亲来完成的，因为他们没有钱，请不起家庭教师．
霍姆伯厄是一个称职但决不是很有才气的数学家．阿贝尔很喜欢这个教师，他发现数学并不像以前那样枯燥无味．在短期内他学了大部分的初级数学，过了不久他自己读法国数学家泊松的作品，念德国数学家高斯的书，特别是拉格朗日的书．他已经开始研究几门数学分支，包括高斯的(算术研究)．在中学的最后一年，阿贝尔开始了他第一个抱负不凡的冒险——试图解决一般的五次方程．我们知道一元一次方程ax＋b＝0(a≠0)的根是x＝－，一元二次方程的两个根可以用公式表示，一元三次方程的根也可以用公式表示．求一元四次方程的根的公式是十六世纪的热门话题，后来被意大利的数学家Ferro.Tartaglia.Cardeno和Ferrari解决了．在以后的几百年里，数学家们摸索找寻一元五次或者更高次方程的根的一般方式．
阿贝尔考虑后不久，他觉得得到了答案，可是教师霍姆伯厄看不懂，便去大学找他的汉斯丁教授看，在挪威没有人能了解他的东西．于是汉斯丁教授把他的手稿寄给丹麦最著名的数学家达根．达根教授也看不出阿贝尔的论证有什么错误的地方，他要求阿贝尔用一些实际的例子来说明他的方法．
对阿贝尔来说，幸运的是这位数学家要求进一步的详细说明，而没有就解答是否正确提出自己的意见．阿贝尔这时发现了他的推理中的缺陷．这个想象的解答当然根本不是正确的解答．这次失败给了他一个非常有益的打击，把他推上了正确的途径，使他怀疑一个代数解是否是可能的．后来他证明了一元五次方程不可解．那时他大约十九岁．
1．2 利用二分法求方程的近似解
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)理解二分法求方程近似解的算法原理，进一步理解函数与方程的关系．
(2)掌握二分法求方程近似解的一般方法，能借助计算器求方程的近似解．
(3)培养学生探究问题的能力、合作交流的态度以及辩证思维的能力．
2．过程与方法
(1)通过对生产、生活实例的介绍使学生体验逼近的思想和二分法的思想．
(2)通过具体实例和具体的操作步骤体验算法的程序化思想．
3．情感、态度与价值观
(1)通过二分法的生活实例使学生体会到数学的应用价值，激发学生学习数学的兴趣．
(2)体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．
●重点难点
重点：用“二分法”求方程的近似解．
难点：对二分法概念的理解，对精确度的理解求方程近似解一般步骤的概括和理解．
本课教学重点和难点都是结合函数的图像特征、借助计算器用二分法求方程的近似实数解，这是由本课教学的首要任务决定的．突破难点的关键：明确要求，分散难点．具体做法是：对计算器的使用要求仔细、认真；对用框图表示二分法处理问题的过程要强调清晰、可执行，准确把握终止条件.
(教师用书独具)
●教学建议
教材以求具体方程的近似解为例介绍二分法并总结其实施步骤等，体现了从具体到一般的认知过程．教学时，要注意让学生通过具体的实例来探究、归纳、概括所发现的结论和规律，并用准确的数学语言表述出来．值得注意的是在利用二分法求方程近似解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，要解决这一困难，需要恰当地使用信息技术工具．
●教学流程
以实际问题为背景，以学生感觉较简单的问题入手，激活学生的思维?利用计算机演示用二分法思想解决实际问题，通过演示让学生初步体会二分法的算法思想与方法．?通过实例归纳出二分法的概念并完成例1及其变式训练?师生互动，归纳总结用二分法求函数的零点近似值的步骤
?用二分法求方程的近似解，完成例2及其变式训练?利用二分法解决实际问题中的应用，完成例3及其变式训练?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正
(见学生用书第65页)
课标解读
1.根据具体函数的图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解．(重点)
2．学习利用二分法求方程近似解的过程和方法．(难点)
二分法
【问题导思】
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子(如图)：
1．维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
【提示】 首先从AB的中点C查，随带话机向两端测试，若发现AC正常，断定故障在BC段，再取BC中点D，再测CD和BD.
2．在有限次重复相同的步骤下，能否最快地查出故障．
【提示】 能．
1．二分法
对于图像在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．
2．用二分法求方程的近似解的过程
在图中：
“初始区间”是一个两端函数值反号的区间；
“M”的含义是：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；
“N”的含义是：方程解满足要求的精度；
“P”的含义是：选取区间内的任意一个数作为方程的近似解.
(见学生用书第66页)
二分法的理解
下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
【思路探究】 解答本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分法的条件．
【自主解答】 利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)<0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．故选B.
【答案】 B
若函数y＝f(x)同时满足下列三个条件：
1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的图像是一条连续曲线；
2．函数f(x)在区间(a，b)上有唯一的零点；
3．f(a)·f(b)<0.
则用二分法一定能够求出函数y＝f(x)的零点．
下列函数中能用二分法求零点的是( )
【解析】 选项A中，函数无零点，选项B、D不符合用二分法求函数的零点的条件，不能用二分法求零点，选项C可用二分法求函数的零点．
【答案】 C
用二分法求方程的近似解
求方程lg x－2－x＋1＝0的一个实数解(精度为0.1)．
【思路探究】 先构造函数f(x)＝lg x－2－x＋1，确定一个恰当的区间作为计算的初始区间，再利用二分法求出方程的一个实数解．
【自主解答】 令f(x)＝lg x－2－x＋1，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
因为函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数(证明略)，所以f(x)至多有一个零点．
又因为f(1)＝0.5＞0，f(0.1)≈－0.933 032 991＜0，所以方程在[0.1,1]内有唯一的一个实数解．
使用二分法求解，如下表：
次数
左端点
左端点函数值
右端点
右端点函数值
区间长度
第1次
0.1
－0.933 032 991
1
0.5
0.9
第2次
0.1
－0.933 032 991
0.55
0.057 342 561
0.45
第3次
0.325
－0.286 415 025
0.55
0.057 342 561
0.225
第4次
0.437 5
－0.097 435 015
0.55
0.057 342 561
0.1125
第5次
0.493 75
－0.016 669 324
0.55
0.057 342 561
0.056 25
至此，区间[0.493 75,0.55]的区间长度为0.056 25，它小于0.1，因此，我们可以选取这一区间的任意一个数作为方程lg x－2－x＋1＝0的近似解．例如选取0.5作为方程lg x－2－x＋1＝0的近似解．
用二分法求函数零点(方程实数解)的近似值，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使长度尽量小；其次，要依据题目给定的精度，及时检验计算所得到的区间是否满足这一精度，以决定是否停止计算．
求方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内的一个实数解．(精度为0.1)
【解】 记f(x)＝x3－x－1，因为f(1)＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0，所以方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内有实数解．
利用二分法得到方程x3－x－1＝0有解区间的表：
次数
左端点
左端点
函数值
右端点
右端点
函数值
区间
长度
第1次
1
－1
1.5
0.875
0.5
第2次
1.25
－0.296 875
1.5
0.875
0.25
第3次
1.25
－0.296 875
1.375
0.224 609 375
0.125
第4次
1.312 5
－0.051 513 671
1.375
0.224 609 375
0.062 5
至此，我们得到，区间[1.312 5,1.375]的区间长度为0.062 5，它小于0.1.因此，我们可以选取这一区间内的任意一个数作为方程x3－x－1＝0的一个近似解．例如，选取1.33作为方程x3－x－1＝0的一个近似解．
二分法的实际应用
如图4－1－1，有一块边长为15 cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．
图4－1－1
(1)求出盒子的体积y以x为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；
(2)如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少？(精确度为0.1)
【思路探究】 先求出体积y关于x的函数，再用二分法求近似解．
【自主解答】 (1)盒子的体积y以x为自变量的函数解析式为y＝(15－2x)2x，其定义域为{x|0(2)如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么有方程(15－2x)2x＝150.
令f(x)＝(15－2x)2x－150，函数图像如图所示．
由图像可以看到，函数f(x)分别在区间[0,1]和[4,5]内各有一个零点，即方程(15－2x)2x＝150分别在区间[0,1]和[4,5]内各有一个解．下面用二分法求方程在[0,1]上的近似解．
如下表：
次数
左端点
左端点
函数值
右端点
右端点
函数值
区间长度
第1次
0
－150
1
19
1
第2次
0.5
－52
1
19
0.5
第3次
0.75
－13.31
1
19
0.25
第4次
0.75
－13.31
0.875
3.62
0.125
第5次
0.812 5
－4.65
0.875
3.62
0.062 5
至此，我们得到区间[0.812 5,0.875]的区间长度为0.062 5，它小于0.1，因此我们可以选取这一区间内的任意一个数作为方程的一个近似解，例如选取x0＝0.82作为方程的近似解．
同理可得方程在区间(4,5)内精确度为0.1的近似解为4.72.
答：如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，截去的小正方形的边长大约是0.82 cm或4.72 cm.
二分法在实际生活中经常用到．如在平时的线路故障、气管故障等检查中，可以利用二分法较快地得到结果．还可用于实验设计、资料查询等方面．在用二分法解决实际问题时，应考虑两个方面：一是转化为方程的根或函数的零点；二是逐步缩小范围，逼近问题的解．
电视台有一档节目是这样的：主持人让选手在限定时间内猜某一物品的售价，如果猜中，就把物品奖给选手．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1 000元之间，选手开始报价：1 000元，主持人说：高了．紧接着报价900元，高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了．表面上看猜价格具有很大的碰运气的感觉，实际上，游戏报价过程体现了“逐步逼近”的思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
【解】 取价格区间[500,1 000]的中间值750，如果主持人说低了，就再取[750,1 000]的中间值875，否则取另一个区间[500,750]的中间值；若遇到中间值为小数，则取整数部分，按照这种方案，游戏过程猜价如下：750,875,812,843,859,851，大约经过6次可以猜中价格.
函数与方程的思想在二分法中的应用
(12分)用二分法求的近似值．(精确度0.1)
【思路点拨】 本题要求的近似值，可首先把确定为某方程的解，再用二分法求方程的解的近似值．
【规范解答】 设x＝，则x2＝5，
即x2－5＝0，
令f(x)＝x2－5.
因为f(2.2)＝－0.16<0，2分
f(2.4)＝0.76>0，
所以f(2.2)·f(2.4)<0，
说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0.4分
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，则f(2.3)＝0.29.6分
因为f(2.2)·f(2.3)<0，
∴x0∈(2.2,2.3)8分
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，
f(2.25)＝0.062 5.
因为f(2.2)·f(2.25)<0，
所以x0∈(2.2,2.25).10分
由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1，
所以的近似值可取为2.25.12分
1．对精确度的理解要正确，精确度ε满足的关系为|a－b|<ε，而不是|a－b|≤ε或|f(a)－f(b)|<ε.
2．解此类问题时，要看清题目要求的精确度，它决定着二分法步骤的结束．
1．二分就是平均分成两部分，二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
3．求函数零点的近似值时，所要求的精度不同，得到的结果也不相同.
(见学生用书第67页)
1．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是( )
A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点
B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0近似值
C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点
D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解
【解析】 使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件B不正确；函数f(x)的零点?f(x)＝0的根，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．
【答案】 A
2．函数f(x)的图像是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解所在区间为( )
A．(1.25,1.5) B．(1,1.25)
C．(1.5,2) D．不能确定
【解析】 由于f(1.25)·f(1.5)<0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5)．
【答案】 A
3．求方程x3－2x－5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．
【解析】 令f(x)＝x3－2x－5，
由于f(2)＝8－4－5＝－1＜0，f(3)＝27－6－5＝16，
f(2.5)＝＞0，
故下一个有根区间是(2,2.5)．
【答案】 (2,2.5)
4．求方程ln x＋x－3＝0在(2,3)内的近似解．(精度为0.1)
【解】 令f(x)＝ln x＋x－3，即求函数f(x)在(2,3)内的零点．
因为f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3>0，即(2,3)作为初始区间，用二分法列表如下：
次数
左端点
左端点
函数值
右端点
右端点
函数值
第1次
2
－0.306 85
3
1.098 61
第2次
2
－0.306 85
2.5
0.416 29
第3次
2
－0.306 85
2.25
0.060 93
第4次
2.125
－0.121 23
2.25
0.060 93
第5次
2.187 5
－0.029 74
2.25
0.060 93
至此，我们得到区间[2.1875,2.25]的区间长度为0.062 5，它小于0.1.因此，我们可以选取这一区间内的任意一个数作为方程ln x＋x－3＝0的一个近似解，例如，选取2.2作为方程ln x＋x－3＝0的一个近似解．
(见学生用书第123页)
一、选择题
1．下列函数图像与x轴均有交点，但不宜用二分法求函数的零点的是( )
【解析】 由二分法的定义可知，B项符合题意．
【答案】 B
2．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.438)＝0.165
f(1.406 5)＝－0.052
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)为( )
A．1.21 B．1.31 C．1.41 D．1.51
【解析】 由表知f(1.438)>0，f(1.406 5)<0，且区间[1.4065,1.438]的区间长度为0.031 5，它小于0.1，因此我们可以选取这个区间的任意一个数为方程的近似根．
【答案】 C
3．在用二分法求函数f(x)在区间(a，b)上的唯一零点x0的过程中，取区间(a，b)上的中点c＝，若f(c)＝0，则函数f(x)在区间(a，b)上的唯一零点x0( )
A．在区间(a，c)内 B．在区间(c，b)内
C．在区间(a，c)或(c，b)内 D．等于
【解析】 因为f(x)在区间(a，b)上的零点唯一，又f(c)＝0，故零点为c.
【答案】 D
4．用二分法可以求得方程x3＋5＝0的近似解(精度为0.1)为( )
A．－1.5 B．－1.8 C．－1.6 D．－1.7
【解析】 令f(x)＝x3＋5，易知f(－2)＝－3<0，f(－1)＝4>0，所以可取[－2，－1]为初始区间，用二分法逐次计算即得方程的近似解为－1.7.
【答案】 D
5．函数y＝()x与函数y＝lg x的图像的交点的横坐标(精确度0.1)约是( )
A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8
【解析】 设f(x)＝lg x－()x，经计算f(1)＝－<0，f(2)＝lg 2－>0，所以方程lg x－()x＝0在[1,2]内有解．应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知选项D符合要求．
【答案】 D
二、填空题
6．(2013·包头高一检测)求方程x3－2x－5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．
【解析】 f(x)＝x3－2x－5，f(2)<0，f(3)>0，f(2.5)>0，则f(2)·f(2.5)<0，即下一个有根区间是(2,2.5)．
【答案】 (2,2.5)
7．已知图像连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________．
【解析】 设等分的最少次数为n，则由<0.01，得2n>10，∴n的最小值为4.
【答案】 4
8．若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)或(1,4)或(1,5)内，则
①函数f(x)的零点在(1,2)或(2,3)内；
②函数f(x)在(3,5)内无零点；
③函数f(x)在(2,5)内有零点；
④函数f(x)在(2,4)内不一定有零点；
⑤函数f(x)的零点必在(1,5)内．
以上说法错误的是________(将标号填在横线上)．
【解析】 由于三个区间是包含关系，而(1,5)范围最大，零点位置可能在区间(1,5)的任何一个子区间内，①②③错误．
【答案】 ①②③
三、解答题
9．求出函数F(x)＝x5－x－1的零点所在的大致区间．
【解】 函数F(x)＝x5－x－1的零点即方程x5－x－1＝0的根．由方程x5－x－1＝0，
得x5＝x＋1，
令f(x)＝x5，g(x)＝x＋1.
在同一平面直角坐标系中，函数f(x)与g(x)的图像如图所示，显然它们只有1个交点．两函数图像交点的横坐标就是方程的解．
又F(1)＝－1<0，F(2)＝29>0，
∴函数的零点在区间(1,2)内．
10．求方程log3x＝x－5的一个实数解(精度为0.1)．
【解】 构造函数f(x)＝log3x－x＋5，经计算，f(5)＝log35－5＋5＝1.464 973 521>0，f(9)＝log39－9＋5＝－2<0，所以方程log3x＝x－5在区间[5,9]内有解．
如此下去，得到方程log3x＝x－5有解区间的表：
次数
左端点
左端点函数值
右端点
右端点函数值
区间长度
第1次
5
1.464 973 521
9
－2
4
第2次
5
1.464 973 521
7
－0.228 756 25
2
第3次
6
0.630 929 753
7
－0.228 756 25
1
第4次
6.5
0.203 787 765
7
－0.228 756 25
0.5
第5次
6.5
0.203 787 765
6.75
－0.011 859 507
0.25
第6次
6.625
0.096 126 18
6.75
－0.011 859 507
0.125
第7次
6.687 5
0.042 173 09
6.75
－0.011 859 507
0.062 5
至此，我们得到区间[6.687 5,6.75]的区间长度为0.062 5，它小于0.1.因此，我们可以选取这一区间内的任意一个数作为方程log3x＝x－5的一个近似解．例如，选取6.7作为方程log3x＝x－5的一个近似解．
11．求函数f(x)＝2x3－3x＋1零点的个数．
【解】 用计算器或计算机作出x，f(x)的对应值表(如下表)和图像(如下图).
x
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
f(x)
－1.25
2
2.25
1
－0.25
0
3.25
由上表和上图可知，f(－1.5)<0，f(－1)>0，
即f(－1.5)·f(－1)<0，说明这个函数在区间(－1.5，－1)内有零点．
同理，它在区间(0,0.5)内也有零点．另外，f(1)＝0，所以1也是它的零点，由于函数f(x)在定义域(－∞，－1.5)和(1，＋∞)内是增函数，在[－1.5,1]内是减函数．所以它共有3个零点.
(教师用书独具)
已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0.
(1)求证：a>0；
(2)利用二分法证明函数f(x)在[0,1]内有两个零点．
【思路探究】 (1)利用已知a＋b＋c＝0，且f(0)>0，f(1)>0可得a>0；
(2)只需在[0,1]内找到一个点的函数值小于零即可．
【自主解答】 (1)∵f(1)>0，∴3a＋2b＋c>0，
即3(a＋b＋c)－b－2c>0.
∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c>0，则－b－c>c，即a>c.
∵f(0)>0，∴c>0，则a>0.
(2)在[0,1]内选取二等分点，
则f()＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a<0.
∵f(0)>0，f(1)>0，
∴f(x)在区间[0，]和[，1]内分别存在一个零点，又二次方程f(x)＝0最多有两个实根，
∴f(x)在[0,1]内有两个零点．
1．本题中，若f()<0不成立，可计算f()是否为负，若还不成立，再计算f()是否为负，总之，在区间[0,1]内找到一个分点，使相应函数值小于零即可．
2．二分法采用“逐步逼近”的思想，是一种重要的计算方法，在求方程的根、函数的零点以及现实生活中都有十分重要的应用．
已知关于x的方程ax2＋bx＋c＝0，其中2a＋3b＋6c＝0.
(1)当a＝0时，求方程的根；
(2)当a>0时，求证：方程有一根在0和1之间．
【解】 (1)当a＝0时，3b＋6c＝0，
所以b＝－2c，方程为bx＋c＝0，
∴x＝－，从而可得x＝.
(2)证明 当a>0时，Δ＝b2－4ac＝(－a－2c)2－4ac
＝a2－ac＋4c2＝(a－c)2＋3c2>0，
方程ax2＋bx＋c＝0有两个根．
令f(x)＝ax2＋bx＋c，
①当c<0时，f(0)＝c<0，f(1)＝a＋b＋c，
由2a＋3b＋6c＝0，得b＝－a－2c.
∴f(1)＝a－a－2c＋c＝a－c>0.
∴f(0)·f(1)<0，
故f(x)＝0有一根在(0,1)内；
②当c>0时，f()＝a＋b＋c，
∵b＝－a－2c，
∴f()＝a＋(－a－2c)＋c，
即f()＝a－a－c＋c＝－a.
由a>0知，f()<0，
由c>0知f(0)＝c>0.
∴f(0)·f()<0.
故f(x)＝0有一根在(0，)内；
③当c＝0时，其根∈(0,1)．
由①②③知，当a>0时，方程ax2＋bx＋c＝0有一根在(0,1)内．
探求新知
迭代法求方程的近似解
若函数y＝f(x)在区间[a，b]内的图像是一条连续的曲线，且在区间端点的函数值满足f(a)f(b)<0，则由零点存在定理可知在区间(a，b)内存在x0使f(x0)＝0，并且可用二分法求出x0的近似值．
另外，在求方程f(x)＝0在区间[a，b]内的解时，可将方程f(x)＝0转变为x＝φ(x)，在区间(a，b)内任取一值x1，由递推关系xn＋1＝φ(xn)可得一数列{xn}．若所得数列随着n的增大 xn＋1逐渐地趋向于一定值x0，则数列{φ(xn)}随着n的增大φ(xn)逐渐地趋向于一定值φ(x0)，所以有x0＝φ(x0)，即x0为方程f(x)＝0的解．则当n很大时可用xn近似地代替方程的解，像这种不断地通过递推关系式进行迭代求方程的近似解的方法称为迭代法．
例如：用迭代法求方程x3－x－1＝0在区间[1,2]内的近似解．(精确度为0.01)
【解析】 由方程x3－x－1＝0，可得x＝，在区间[1,2]内取x1＝1，由迭代公式xn＋1＝可得下表：
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
1
1.259 92
1.312 29
1.322 35
1.324 27
1.324 63
1.324 70
1.324 71
从表可看出第五项起后几项前四位均一样，所以方程的解的近似值为x0＝1.32.§2实际问题的函数建模
2．1 实际问题的函数刻画
2．2 用函数模型解决实际问题
2．3 函数建模案例
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)了解函数模型的应用，体会函数模型在解决实际问题中的应用．
(2)掌握求解函数应用题的基本步骤．
2．过程与方法
(1)对于理想状态下的数据特点，引导学生根据它的实际意义抽象出函数模型，并注意变量的变化范围．
(2)针对实际测量得到的数据利用计算器，画出散点图，比较抽象出函数模型，这里将学生分成几组，分别从不同的数据来计算出函数模型的参变量，通过比较以获得更精确的函数模型．
3．情感、态度与价值观
通过对函数模型在实际问题中的应用举例，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新思维和实践能力．
●重点难点
重点：建立函数模型，解决实际问题的基本方法．
难点：对抽象出的函数模型与根据实际数据画出的散点图进行比较，并加以修改．
用数学刻画实际问题是数学应用的第一步，这里要突出两个方面，一是读懂问题，二是根据实际问题特征和掌握的数学特征，建立实际问题与数学问题的联系．读题是解决问题的起点，读题就像语文阅读一样，弄清楚整个题目有几层意思，每层意思是什么，要解决什么问题，与其相关的因素有哪些，等等．长期以来，学生习惯于完全是已知、求解(证)式样的数学语言表述的数学问题，而实际问题是在讲一件事，读者从字里行间收集有用的信息，捕捉关键词语，从文字语言叙述中理解题意．理解了题意还需要用数学去刻画它，换句话说，是用数学的眼光看实际问题，用数学的语言表达实际问题，也就是数学建模．这时显露出的是数学功夫，能看出是不是真懂数学．建模的过程，一方面将实际问题抽象化，揭露出数学本质，使实际问题归入到数学科学中；另一方面，使学习过的数学知识表现出应用价值．从学习者角度来说，这都是很重要的．
(教师用书独具)
●教学建议
实际问题的函数建模主要包含三个方面：利用给定的函数模型解决实际问题、建立确定性函数模型解决问题和建立拟合函数模型解决实际问题. 这几种模型各有特点，在例题教学结束后，建议引导学生回顾例题特点、解决问题的过程和方法．值得注意的是，尽量给学生提供更多的机会和创设更多的情景，从实际问题中发现或建立函数模型，并体会数学在实际问题中的应用价值．
●教学流程
创设情景，用函数刻画实际问题?将实际问题抽象概括为常见的数学模型?一次、二次函数模型的最值问题，完成例1及其变式训练?分段函数模型在实际问题中的应用，完成例2及其变式训练
?指数、对数函数模型，完成例3及其变式训练?形成建立函数模型的一般步骤?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正
(见学生用书第68页)
课标解读
1.了解函数模型的应用，体会函数模型在解决实际问题中的应用．(重点)
2．掌握求解函数应用题的基本步骤．(难点)
常见的函数模型
【问题导思】
在现实世界中，存在着许许多多的函数关系，建立合适的函数模型是解决这种关系的关键．怎样选择恰当的函数模型呢？
1．在人口增长，复利计算中，选择什么样的函数模型呢？
【提示】 指数函数模型．
2．在加速直线运动中，物体运动的路程与时间的关系是什么样的函数模型？
【提示】 二次函数模型．
3．在使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这里常要说的里氏震级M，使用的是什么样的函数模型？
【提示】 对数函数模型．
名称
解析式
条件
一次函数
模型
y＝kx＋b
k≠0
反比例函数
模型
y＝＋b
k≠0
二次函数
模型
一般式：y＝ax2＋bx＋c
顶点式：y＝a(x＋)2
＋
a≠0
指数函数
模型
y＝b·ax＋c
a＞0且a≠1，b≠0
对数函数
模型
y＝mlogax＋n
m≠0，a＞0且a≠1
幂函数
模型
y＝axn＋b
a≠0
函数建模
【问题导思】
某公司拟投资100万元获利，打算5年后收回本金和利息，有两种获利方式可供选择：一种是年利率10%按单利计算；另一种是年利率9%按每年复利一次计算．
1．按单利(每年的本金不变，均为最初的投资)计算，5年后收回的本金和利息是多少？
【提示】 100×(1＋10%×5)＝150(万元)．
2．按复利(今年的本金和利息全作为明年的本金)计算，5年后收回的本金和利息是多少？
【提示】 100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．
1．定义
用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模．
2．过程
(见学生用书第69页)
一次、二次函数模型
在经济学中，函数f(x)的边际函数mf(x)定义为mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台(x∈N*)的收入函数为R(x)＝3 000x－20x2(单位：元)，生产x台的成本函数为c(x)＝500x＋4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差．
(1)求利润函数p(x)及边际函数mp(x)的解析式，并指出它们的定义域；
(2)利润函数p(x)与边际函数mp(x)是否具有相同的最大值？说明理由．
【思路探究】 本题应抓住边际函数的定义形式，用收入与成本函数的形式表示出利润函数，并求出最大值．
【自主解答】 (1)p(x)＝－20x2＋2 500x－4 000，
其定义域为x∈[1,100]且x∈N*，
mp(x)＝2 480－40x，
其定义域为x∈[1,99]且x∈N*.
(2)利润函数p(x)与边际函数mp(x)不具有相同的最大值．(理由略)
1．当已知函数模型(解析式)时，可直接代入有关数据解决问题．
2．在函数模型中，二次函数模型占有重要地位，通常利用配方法，单调性法求函数最值，如实际问题中的利润最大、用料最省等．
某桶装水经营部每天房租、工作人员工资等固定成本为200元，每桶水进价为5元，销售单价与销售量的关系如下表：
销售单价(元)
6
7
8
9
10
11
12
日销售量(桶)
480
440
400
360
320
280
240
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能够获得最大利润？最大利润是多少？
【解】 设每桶水的销售价格为x元，利润为y元，由表格中的数据可以得到，价格每上涨1元，销售量就减少40桶，所以涨价(x－6)元后，销售的桶数为：
480－40(x－6)＝720－40x>0，所以5则利润y＝(720－40x)x－(720－40x)·5－200
＝－40x2＋920x－3 800＝－40(x－)2＋1 490，
其中5分段函数模型
某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x,3x(吨)．
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
【思路探究】 由于用水量不同，收费标准不同，又甲、乙两用户用水量分别为5x,3x，故对用水量作分段讨论，以确定的收费标准，建立函数关系式．当甲、乙两户共交水费26.4元时，可依据关系式求出用水量．
【自主解答】 (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，此时乙的用水量也不超过4吨，y＝(5x＋3x)×1.8＝14.4x；
当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，即3x≤4且5x＞4，y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8；
当乙的用水量超过4吨时，即3x＞4，显然甲的用水量也超过4吨，y＝24x－9.6.
所以y＝
(2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增，
当x∈[0，]时，y≤f()＜26.4；
当x∈(，]时，y≤f()＜26.4；
当x∈(，＋∞)时，令24x－9.6＝26.4，
解得x＝1.5.
所以甲户用水量为5x＝7.5，付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；乙户用水量为3x＝4.5(吨)，付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．
答：甲户用水量7.5吨，付费17.70元；乙户用水量4.5吨，付费8.70元．
1．本题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型．
2．在解决实际问题的过程中，函数图像能够化抽象为直观，因此我们应当注意提高作图、读图和用图的能力．
图4－2－1
为了预防甲型H1N1流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝()t－a(a为常数)，如图4－2－1所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
【解析】 (1)由题意知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，则设函数关系式为y＝kt(k≠0)，将点(，1)代入，可得k＝10，则y＝10t,0≤t≤.
又药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝()t－a(a为常数)，将点(，1)代入，得a＝，则y＝()t－，t＞.
综上，所求函数关系式为y＝
(2)根据题意，令()t－＝0.25＝()，
解得t＝，
即至少需要经过小时后，学生才能回到教室．
【答案】 (1)y＝
(2)
指数、对数函数模型
大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝log3，单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．
(1)当一条鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？
(2)某条鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数将如何变化？
【思路探究】 本题的关键条件是v＝log3中，θ，v的意义及在(2)中提高1 m/s的含义．
【自主解答】 (1)当θ＝900时，v＝log3＝1(m/s)．
(2)若v增加1，耗氧量变为θ1, 则
v＋1＝log3，
所以＝32v＋2＝9·32v，
又v＝log3，
＝32v，
∴θ1＝9θ，
即当鱼的游速提高1 m/s时，那么它的耗氧量的单位数将变为原来的9倍．
1．本题给出了对数函数模型，只需根据题意计算得到相关数值即可．
2．解应用题的一般步骤；
(1)阅读并理解题意，理顺数量关系；
(2)将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；
(3)求解函数模型，得出所需结论．
我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．声音的强度I用瓦/米2(W/m2)表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平LI表示，它们满足以下公式：LI＝10·lg (单位：分贝，LI≥0，其中I0＝1×10－12)．
某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝及以下，试求声音强度I的范围为多少？
【解】 由题意知，0≤LI≤50，即0≤10lg ≤50，
所以0≤lg ≤5.
由lg ≥0＝lg 1知，
I≥I0＝1×10－12，
由lg ≤5＝lg 105得
I≤I0×105＝1×10－7，
所以1×10－12≤I≤1×10－7.
所以声音强度工的范围为[1×10－12,1×10－7](单位：瓦/米2).
(见学生用书第70页)
函数的应用问题中因题意理解错误致误
WAP手机上网每月使用量在500 min以下(包括500 min)，按30元计费；超过500 min的部分按0.15元/min计费．假如上网时间过短(小于60 min)使用量在1 min以下不计费，在1 min以上(包括1 min)按0.5元/min计费．WAP手机上网不收通话费和漫游费．
(1)写出上网时间x min与所付费用y元之间的函数关系式；
(2)12月份小王WAP上网使用量为20 h，要付多少钱？
(3)小王10月份付了90元的WAP上网费，那么他上网的时间是多少？
【错解】 (1)设上网时间为x min，由已知条件所付费用y关于x的函数关系式为y＝
(2)当x＝20×60＝1 200(min)时，x>500，应付y＝0.15×1 200＝180(元)．
(3)90元已超过30元，所以上网时间超过500 min，由解析式可得上网时间为600 min.
【错因分析】 此题错解主要是对“超过500 min的部分按0.15元/min计费”中的“超过部分”理解出错，产生了与事实相违的结论，如第(2)小题上了1 200 min的网，要180元，是30元包月用500 min的6倍，而时间上才2倍多，与事实不符；又如第(3)小题，用了90元，几乎是30元的3倍，而上网时间才多了100 min，与事实不符．
【防范措施】 函数应用问题，就是利用函数思想解决生产生活实践中的实际问题．此类题考查了同学们多方面的数学能力，要求较高，有一定的难度，出错较多．
【正解】 (1)设上网时间为x min，由已知条件所付费用y关于x的函数关系式为
y＝
(2)当x＝20×60＝1 200(min)时，x>500，
应付y＝30＋0.15×(1 200－500)＝135(元)．
(3)90元已超过30元，所以上网时间超过500 min，由解析式可得上网时间为900 min.
1．选择函数模型时，要让函数的性质、图像与所解决的问题基本吻合．根据散点图猜想函数模型，通过待定系数法求模拟函数的解析式，再通过数据验证．
2．解函数应用问题的一般步骤：
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
(2)建模：将文字语言转化为数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；
(3)求解数学模型，得到数学结论；
(4)将用数学方法得到的结论还原为实际问题．
3．函数拟合问题：
对于此类实际应用问题，首先是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题.
(见学生用书第71页)
1．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图像如图4－2－2所示，那么图像所对应的函数模型是( )
图4－2－2
A．分段函数 B．二次函数
C．指数函数 D．对数函数
【解析】 根据图像知，在不同的时间段内，行驶路程关于时间变化的图像不同，故对应函数模型应为分段函数．
【答案】 A
2．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2000年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2000年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是( )
A．y＝0.95·m B．y＝(1－0.05)·m
C．y＝0.9550－x·m D．y＝(1－0.0550－x)·m
【解析】 根据已知得：y＝m(1－5%).
【答案】 A
3．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为________．
【解析】 设解析式为y＝kx＋b，
由解得k＝－，b＝50，
∴y＝－x＋50(0【答案】 y＝－x＋50(04．某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3 000元，每台计算机的售价为5 000元．分别写出总成本C(万元)、单位成本P(万元)、销售收入R(万元)以及利润L(万元)关于总产量x台的函数关系式．
【解】 总成本与总产量的关系为C＝200＋0.3x，x∈N＋.
单位成本与总产量的关系为P＝＋0.3，x∈N＋.
销售收入与总产量的关系为R＝0.5x，x∈N＋.
利润与总产量的关系为L＝R－C＝0.2x－200，x∈N＋.
(见学生用书第125页)
一、选择题
1．图是某种豆类生长枝数y(枝)与时间t(月)的图像，那么此种豆类生长枝数与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的是( )
图
A．y＝2t2 B．y＝log2t
C．y＝t3 D．y＝2t
【解析】 由图像特征知，y＝2t近似刻画最好．
【答案】 D
2．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )
A．200副 B．400副
C．600副 D．800副
【解析】 由题意知，10x－y＝10x－(5x＋4 000)≥0，解得x≥800.
【答案】 D
3．今有一组实验数据如下表：
t
1.99
3.01
4.02
5.1
6.12
v
1.5
4.04
7.51
12
18.01
现准备用下面函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )
A．v＝log2t B．v＝logt
C．v＝ D．v＝2t
【解析】 将表中数据代入各函数解析式中验证即可．知选C.
【答案】 C
4．我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元(叫做税率x%)，则每年销售量将减少10x万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为( )
A．2 B．6 C．8 D．10
【解析】 依题意有(100－10x)×70×≥112.
∴2≤x≤8.
【答案】 A
5．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A．15 B．40 C．25 D．130
【解析】 令y＝60，
若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；
若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；
若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．
故拟录用人数为25人．
【答案】 C
二、填空题
6．经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数．日销售量为f(t)＝2t＋100，价格为g(t)＝t＋4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数关系式为S(t)＝________.
【解析】 日销售额S＝f(t)·g(t)＝(2t＋100)(t＋4)．
【答案】 (2t＋100)(t＋4)
7．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为________．
【解析】 设正方形的周长为x，则圆的周长为1－x，则
正方形与圆的面积和为S＝()2＋π·()2
＝x2－x＋(0＜x＜1)，
∴x＝－＝时，S有最小值．
【答案】
8．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超出800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11.2%纳税．某人出版了一书共纳税420元，这个人的稿费为________元．
【解析】 设稿费为x元，纳税为y元，由题意可知
y＝
∵此人纳税为420元，∴(x－800)×14%＝420，
∴x＝3 800.
【答案】 3 800
三、解答题
图4－2－3
9．某单位用木料制作如图4－2－3所示的框架，框架的下部是一组邻边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架的总面积为8 m2.
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)写出用料l与x的函数关系式．
【解】 (1)由题意，得x2＋xy＝8，
所以y＝－(0(2)由题意，得l＝2x＋2y＋2(x)
＝2x＋x＋2y＝(＋)x＋，
所以l＝(＋)x＋ (010．为应对国际金融危机对企业带来的不利影响，2011年底某企业实行裁员增效，已知现有员工200人，每人每年可创纯利润1万元，据评估，在生产条件不变的情况下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给下岗工人(被裁员的员工)0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的.设该企业裁员x人后纯收益为y万元．
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；
(2)问该企业裁员多少人，才能获得最大的经济效益？
【解】 (1)裁员x人后，企业员工数为(200－x)人，每人每年创纯利润(1＋0.01x)万元，企业每年需付给下岗工人0.4x万元，
则y＝(200－x)(1＋0.01x)－0.4x＝－0.01x2＋0.6x＋200.
∵200－x≥×200?x≤50，
∴x的取值范围为0(2)y＝－0.01(x－30)2＋209，
∵0∴当x＝30时，y取得最大值209.
∴该企业应裁员30人，可获得年最大纯收益209万元．
11．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
身高/cm
60
70
80
90
100
110
体重/kg
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
身高/cm
120
130
140
150
160
170
体重/kg
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
(1)根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反应这个地区未成年男性体重y(kg)与身高x(cm)的函数关系？若能，试写出这个函数模型的解析式；
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的未成年男性的体重是否正常？
【解】 (1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图，如图．根据点的分布特征，可考虑以y＝a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型．
不妨取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，
代入y＝a·bx，得用计算器算得a≈2，b≈1.02.
这样，我们就得到一个函数模型：y＝2×1.02x.
将已知数据代入上述函数解析式或作出上述函数的图像，可以发现这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性的体重与身高的关系．
(2)将x＝175代入y＝2×1.02x，得y＝2×1.02175，由计算器可得y≈63.98.
由于78÷63.98≈1.22>1.2，所以该未成年男性偏胖.
(教师用书独具)
20世纪90年代，政府间气候变化专门委员会(IPCC)发布的一项报告指出：使全球气候逐步变暖的一个重要原因是人类在能源利用与森林砍伐中使二氧化碳浓度增加．如图所示是根据南极萨布尔基地冰穴测定的大气中二氧化碳浓度的历史数据，请依此推测2030年地球大气中二氧化碳的浓度．
图
【思路探究】 根据本题图中各个点的分布情况，可以考虑用指数函数模型来近似刻画地球大气中二氧化碳的浓度y与年份x的函数关系．
【自主解答】 把图中的散点看成是在一条指数曲线上，设过点(1980,335)的指数曲线方程为y＝335×kx－1980，而点(1990,354)适合这个方程，即有354＝335×k1990－1980，解得k≈1.006.
故当x＝2030时，y＝335×1.0062030－1980≈452，所以推测2030年地球大气中二氧化碳的浓度为452 ppmv.
1．建立实际情境函数的模型时，可采用以下步骤：
2．在解决实际问题的过程中，要合理地分析、处理数据，选用恰当的模型进行拟合．求出函数的关系式后，对题目中所给问题进行预测或控制，为决策和管理提供依据．
为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如下表所示.
年序
最大积雪深度x(cm)
灌溉面积y(公顷)
1
15.2
28.6
2
10.4
21.1
3
21.2
40.5
4
18.6
36.6
5
26.4
49.8
6
23.4
45.0
7
13.5
29.2
8
16.7
34.1
9
24.0
45.8
10
19.1
36.9
(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图像；
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图像；
(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？
【解】 (1)描点、作图如(甲)所示：
(2)从图(甲)中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y与最大积雪深度x满足一次函数模型y＝a＋bx(a，b为常数且b≠0)．
取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝a＋bx，得用计算器可得a≈2.2，b≈1.8.
这样，我们得到一个函数模型：y＝2.2＋1.8x.作出函数图像如图(乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映积雪深度与灌溉面积的关系．
(3)由y＝2.2＋1.8×25，求得y＝47.2，即当积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.2公顷．
数学史话
富兰克林的遗嘱
富兰克林利用放风筝而感受到电击，从而发明了避雷针．这位美国著名的科学家死后留下了一份有趣的遗嘱：
“……一千英镑赠给波士顿的居民，如果他们接受了这一千英镑，那么这笔钱应该托付给一些挑选出来的公民，他们必须把这些钱按每年5%的利率借给一些年轻的手工业者去生息．这些款过了100年增加到131 000英镑，我希望那时候用100 000英镑来建立一所公共建筑物，剩下的31 000英镑拿去继续生息100年．在第二个100年末了，这笔款增加到4 061 000英镑，其中1 061 000英镑还是由波士顿的居民来支配，而其余的3 000 000英镑让马萨诸塞州的公众来管理．过此之后，我可不敢多作主张了！”
你可曾想过：区区的1 000英镑遗产，竟立下几百万英镑财产分配的遗嘱，是“信口开河”，还是“言而有据”呢？事实上，只要借助于复利公式，完全可以通过计算而作出判断．
yn＝m(1＋a)n就是复利公式，其中m为本金，a为年利率，yn为n年后本金与利息的总和．在第一个100年末富兰克林的财产应增加到1 000(1＋5%)100＝131 501英镑，比遗嘱中写的还多出501英镑．在第二个100年末，遗产就更多了，为31 501(1＋5%)100＝4 142 421英镑．可见富兰克林的遗嘱是有科学根据的．
遗嘱故事启示我们：在指数效应下，微薄的财产，低廉的利率，可以变得令人瞠目结舌．
(见学生用书第71页)
函数的零点及应用
由于函数的零点、方程的根、函数的图像与x轴的交点之间有着内在的本质的联系，所以，函数问题可转化为方程的问题，方程的问题可转化为函数问题解决，根据函数的性质和方程根的存在条件我们常借助不等式来求解相关的问题，其间，要善于结合函数图像，从中体会数形结合的作用．
已知函数f(x)＝x－1＋x2－2，试利用基本初等函数的图像判断f(x)有几个零点，并利用判断区间内是否有零点的方法确定各零点所在的范围(各区间长度不超过1)．
【思路点拨】 函数f(x)＝x－1＋x2－2的图像不易作出，而将方程x－1＋x2－2＝0变形为x－1＝－x2＋2后，函数y＝x－1与y＝－x2＋2的图像较容易作出，它们交点的横坐标就是方程x－1＋x2－2＝0的实数解，即函数f(x)＝x－1＋x2－2的零点．
【解】 由f(x)＝0，得x－1＝－x2＋2.
令y1＝x－1，y2＝－x2＋2，在同一直角坐标系中画出它们的图像，如图所示．它们有3个交点，因此，函数f(x)＝x－1＋x2－2有3个零点．
由f(x)知x≠0，f(x)图像在(－∞，0)，(0，＋∞)上分别是连续曲线．
∵f(－3)＝(－3)－1＋×(－3)2－2＝>0，
f(－2)＝(－2)－1＋×(－2)2－2＝－<0，
f()＝()－1＋×()2－2＝>0，
f(1)＝1－1＋×12－2＝－<0，
f(2)＝2－1＋×22－2＝>0，
即f(－3)·f(－2)<0，f()·f(1)<0，f(1)·f(2)<0，
∴函数f(x)＝x－1＋x2－2的3个零点分别在区间(－3，－2)，(，1)，(1,2)内．
已知f(x)＝log2x－()x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0A．恒为负 B．等于零
C．恒为正 D．不小于零
【解析】 设y1＝log2x，y2＝()x，
其图像为：
由图像知，
当0log2x1，
∴f(x1)<0.
【答案】 A
函数建模
1.解函数应用题可归纳为四步：
(1)读题；(2)建模；(3)求解；(4)还原．
其中“建模”是关键的一步，建模就是将实际问题数学化，准确建模的前提是了解常见的函数模型．
2．函数是重要的数学模型，对于函数模型的应用，一方面是利用已知的函数模型解决问题；另一方面是根据实际问题建立恰当的函数模型，并利用所得的函数模型解释有关现象，或对发展趋势进行预测．
某市用水收费的方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗费．若每月用水量不超过最高限量a立方米，只付基本费8元和每户每月的定额损耗费c元；若用水量超过a立方米，除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每立方米付b元超额费，已知每户每月的定额损耗费不超过5元．
该市一家庭2009年第一季度的用水量和支付的费用如下表所示：
月份
用水量(立方米)
水费(元)
一
9
9
二
15
19
三
22
33
根据上表中的数据求a，b，c的值．
【思路点拨】 抓住“超过与不超过最高限量的付费方式不同”这一特点，想到用分段函数表示用水量与水费之间的函数关系．
【解析】 设用水量为x立方米，支付费用为y元，则
y＝
由0因此，第二、三月份的用水量超过最高限量．
由得b＝2且2a＝c＋19.
再分析限量a，若a<9，由8＋2(9－a)＋c＝9，得
2a＝c＋17与2a＝c＋19矛盾．
因此a≥9，此时，由8＋c＝9，得c＝1，所以a＝10.
故a＝10，b＝2，c＝1.
某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加1辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？
(2)每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
【解】 (1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为＝12，所以这时租出了88辆车．
(2)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为f(x)＝(100－)(x－150)－×50
＝－x2＋162x－21 000
＝－(x－4 050)2＋307 050.
∵－＜0，∴抛物线开口向下，且对称轴为x＝4 050，
∴当x＝4 050时，f(x)最大，最大值为f(4 050)＝307 050.
即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元.
思想方法
函数与方程思想
在数学上，解方程是很重要的内容，但是能够将精确解求出来的方程不是很多，对于五次以上的一般代数方程，一般的超越方程，以及实际生活和物理研究中的方程，我们只能求它的有理近似解．而将解方程的问题转化为函数的零点的问题，利用函数的整体性质来认识局部性质是求方程近似解的一般方法．解方程实际是求函数的零点，这样指数方程、对数方程等超越方程和五次以上的高次代数方程就可转化为函数零点的求解问题．
若方程|ax－1|＝2a(a>0，且a≠1)有两个不同的实根，利用函数图像求实数a的取值范围．
【思路点拨】 先转化成两个函数，再讨论a与1的关系，画出它们的图像，结合图像可知．
【规范解答】 记y1＝|ax－1|，y2＝2a，
(1)当a>1时，y1的图像如图：
由于y2＝2a>2，
所以y1与y2只有一个公共点，即方程|ax－1|＝2a有一个实数解．
(2)当0由于0所以0<2a<2，
由图像知，若y1与y2有两个不同交点，则0<2a<1，
所以0即当方程|ax－1|＝2a有两个实数解时，a的取值范围为(0，)．
已知函数f(x)＝ax2－3x＋3(a>0，a≠1)在区间[0,2]上有最大值为8，求a的值．
【解】 设g(x)＝x2－3x＋3＝(x－)2＋.
当x∈[0,2]时，g(x)max＝g(0)＝3，g(x)min＝g()＝.
当0则f()＝8，
即a＝8，
解得a＝16，与0当a>1时，函数f(x)＝ag(x)在[0,2]上是增函数，
则f(0)＝8，
即a3＝8，解得a＝2.
综上所述，a的值为2.综合检测(四)
第四章 函数应用
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)＝2x－1的零点为( )
A．(0,0) B．0
C．(1,0) D．1
【解析】 令2x－1＝0，得x＝0.
【答案】 B
2．下列函数中，增长速度最快的是( )
A．y＝20x B．y＝x20
C．y＝log20x D．y＝20x
【解析】 在四种函数模型中，指数函数模型增长最快．
【答案】 D
3．已知函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]内( )
A．至少有一实根 B．至多有一实根
C．没有实根 D．必有唯一实根
【解析】 由于f(a)f(b)<0，
则f(a)<0又函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，
则至多有一个实数x0∈[a，b]，使f(x0)＝0，
即方程f(x)＝0在区间[a，b]内至多有一实根．
【答案】 B
4．在一次教学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：
x
－2.0
－1.0
0
1.00
2.00
3.00
y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)( )
A．y＝a＋ B．y＝a＋bx
C．y＝a＋logbx D．y＝a·bx
【解析】 根据题中数据画出散点图，依据点的趋势可知x，y的函数关系与指数型函数的图像接近，故选D.
【答案】 D
5．函数y＝lg x－的零点所在的区间是( )
A．(6,7) B．(7,8)
C．(8,9) D．(9,10)
【解析】 令f(x)＝lg x－，f(9)＝lg 9－1＜0，f(10)＝1－＞0.
∵f(9)·f(10)＜0，
故f(x)在(9,10)内至少有一个零点．
【答案】 D
6．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于( )
A．0 B．1
C．－1 D．不能确定
【解析】 奇函数的图像关于原点对称，若有三个零点，则三个零点之和为0.
【答案】 A
7．某种生物的繁殖数量y(只)与时间x(年)之间的关系式为y＝alog2(x＋1)，设这种生物第一年有100只，则第7年它们发展到( )
A．300只 B．400只
C．500只 D．600只
【解析】 由题意得alog22＝100，
∴a＝100，
∴y＝100log2(x＋1)，
∴当x＝7时，y＝100log28＝300.
【答案】 A
8．若函数f(x)＝3ax＋1－3a在(－1,1)上存在零点，则a的取值范围是( )
A．{a|－1＜a＜} B．{a|a＞}
C．{a|a＜－1} D．{a|a＜－1或a＞}
【解析】 当a＝0时，f(x)＝1，无零点；
当a≠0时，f(x)＝3ax＋1－3a为一次函数，
在(－1,1)上存在零点，
即f(－1)·f(1)＜0，
即(－3a＋1－3a)(3a＋1－3a)＜0，
解得a＞.
【答案】 B
9．某商店将进价为40元的商品按50元一件销售，一个月恰好卖500件，而价格每提高1元，就会少卖10个，商店为使该商品利润最大，应将每件商品定价为( )
A．45元 B．55元
C．65元 D．70元
【解析】 设每件商品定价为x元，利润为y元，则y＝(x－40)·[500－10(x－50)]＝－10x2＋1 400x－40 000＝－10(x－70)2＋9 000,50≤x≤100，
则当每件商品定价为70元时，利润最大．
【答案】 D
10．函数y＝|log2x|在区间(k－1，k＋1)内有意义且不单调，则k的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(0,1)
C．[1,2) D．(0,2)
【解析】 如图：
∴
∴故1≤k<2.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)
11．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是________．
【解析】 设f(x)＝x3－2x－5，
则f(2)<0，f(3)>0，f(4)>0，有f(2)f(3)<0，
则下一个有根区间是(2,3)．
【答案】 (2,3)
12．某产品的利润y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝－2x2＋40x＋300，则利润y取最大值时，产量x等于________．
【解析】 y＝－2(x－10)2＋500，当x＝10时，y取最大值．
【答案】 10
13．某方程有一无理根在区间D＝(1,3)内，若用二分法求此根的近似值，将D等分__________次后，所得近似值的精度为0.1.
【解析】 由<0.1得2n－1>10，
∴n－1≥4，即n≥5.
【答案】 5
14．函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N*)内，则n＝________.
【解析】 设g(x)＝ln x，h(x)＝－3x＋7，则函数g(x)和函数h(x)的图像交点的横坐标是函数f(x)的零点．
在同一坐标系中画出函数g(x)和函数h(x)的图像，如图所示．
由图像知函数f(x)的零点属于区间(1，)，又f(1)＝－4<0，f(2)＝－1＋ln 2＝ln <0，f(3)＝2＋ln 3>0，
所以函数f(x)的零点属于区间(2,3)．
所以n＝2.
【答案】 2
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)用二分法求方程2x＋x－8＝0在区间(2,3)内的一个实数解．(精确度为0.1)
【解】 设函数f(x)＝2x＋x－8，
∵f(2)＝22＋2－8＝－2<0，f(3)＝23＋3－8＝3>0，
用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数近似值
(2,3)
2.5
0.156 85
(2,2.5)
2.25
－0.993 2
(2.25,2.5)
2.375
－0.437 6
(2.375,2.5)
2.437 5
－0.145 5
∵|2.437 5－2.5|＝0.062 5<0.1，
∴方程2x＋x－8＝0的一个实数解近似值为2.437 5.
16．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2.
(1)求f(x)；
(2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时，求函数f(x)的值域．
【解】 (1)∵f(x)的两个零点分别是－3和2，
∴函数图像过点(－3,0)，(2,0)，
∴有9a－3(b－8)－a－ab＝0，①
4a＋2(b－8)－a－ab＝0，②
①－②得b＝a＋8，③
③代入②得4a＋2a－a－a(a＋8)＝0，即a2＋3a＝0.
∵a≠0，∴a＝－3，∴b＝a＋8＝5.
∴f(x)＝－3x2－3x＋18.
(2)由(1)得f(x)＝－3x2－3x＋18
＝－3(x＋)2＋＋18，
图像的对称轴方程是x＝－，且0≤x≤1，
∴f(x)min＝f(1)＝12，
f(x)max＝f(0)＝18，
∴函数f(x)的值域是[12,18]．
17．(本小题满分12分)是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴恒有一个交点，且只有一个交点？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．
【解】 (1)若函数f(x)在(－1,3)上有一个零点，则只需有f(－1)·f(3)<0，
即(1－3a＋2＋a－1)(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)<0，
所以a<－或a>1.
(2)若f(－1)＝0，则a＝1，
此时f(x)＝x2＋x.
令f(x)＝0，即x2＋x＝0，
得x＝0或x＝－1.
方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.
(3)若f(3)＝0，则a＝－，
此时f(x)＝x2－x－.
令f(x)＝0，
即x2－x－＝0，
解得x＝－或x＝3，
方程在[－1,3]上有两根，不合题意，
故a≠－.
综上所述，a的取值范围为(－∞，－)∪(1，＋∞)．
18．(本小题满分14分)房屋造价(元/m2)与建筑层数有关，可表示为一般造价(元/m2)乘以层数系数λ，根据经验数据，绘出其关系如图1所示，其中2层到5层建筑，由于共用地基和层顶等原因，λ随层数增加沿抛物线下降，而5层到8层及以上则由于防震、防风等因素需增加成本，λ随层数增加而增加．
图1
(1)请根据所给图与下表建立λ随层数n增加而改变的函数关系式：λ＝f(n)(2≤n≤8，n∈N＋)，并将表中数据填完整：
n
1
2
3
4
5
6
7
8
λ
1.08
1.03
1
1.08
1.17
1.26
(2)某单位为建造楼房筹集资金100万元，用于支付房屋造价和土地使用权购置费．若一般造价为800元/m2，土地价为300元/亩(1亩＝ m2)，试利用(1)中条件求出最多能建房多少m2.(精确到1 m2)
【解】 (1)由题设知，当2≤n≤5时，
λ＝f(n)的图像为抛物线的一段，
∴设λ＝an2＋bn＋c，
将(2,1.08)，(3,1.03)，(4,1)代入，得
解得
∴λ＝0.01n2－0.1n＋1.24.
当5
解得
∴λ＝0.09n＋0.54，
验证(7,1.17)正好在直线上，
故所求函数为
λ＝
把n＝5代入①式，有λ＝0.99.
又由图可得n＝1时，λ＝1.25.
将1.25,0.99填入表中即可．
(2)设所建楼房占地x m2，
当n＝5时，造价最低，λ＝0.99，
则总建筑面积为5x m2，其总造价为
0．99×800×5x＋×300，
依题意，得1 000 000＝0.99×800×5x＋x，
解得5x≈1 262(m2)，
即最多可建房1 262 m2.
必修1
模块高考热点透视
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第一章 集 合
【命题趋势】 集合的有关概念、集合间的关系及集合的并、交、补运算是高考中的常考内容，常与函数、不等式相结合，主要以选择题、填空题的形式出现.
集合的概念、集合间的关系
【求源】 (教材第9页练习第2题)
设A＝{正方形}，B＝{矩形}，C＝{平行四边形}，D＝{梯形}，则下列包含关系中不正确的是( )
A．A?B B．B?C
C．C?D D．A?C
1．(2012·大纲全国卷)已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则( )
A．A?B B．C?B
C．D?C D．A?D
【命题立意】 本题主要考查集合间的包含关系．
【解析】 ∵正方形均为矩形，∴C?B.
【答案】 B
2．(2012·课标全国卷)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )
A．3 B．6
C．8 D．10
【命题立意】 本题主要考查集合的概念．
【解析】 ∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，
∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.
∴B＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，
∴B中所含元素的个数为10.
【答案】 D
1．(2011·浙江高考)若P＝{x|x<1}，Q＝{x|x>－1}，则( )
A．P?Q B．Q?P
C．?RP?Q D．Q??RP
【解析】 ∵P＝{x|x<1}，
∴?RP＝{x|x≥1}，
又Q＝{x|x>－1}，
∴?RP?Q.
【答案】 C
2．(2012·湖北高考)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，
∴A＝{1,2}．
由题意知B＝{1,2,3,4}，
∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
【答案】 D
集合的运算
【求源】 (教材第20页复习题—C组第1(1)题)
已知全集U＝R，A＝{x|－4A．A∩B B．A∪B
C．?U(A∩B) D．?U(A∪B)
1．(2012·辽宁高考)已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则(?UA)∩(?UB)＝( )
A．{5,8} B．{7,9}
C．{0,1,3} D．{2,4,6}
【命题立意】 本题主要考查集合的并、交、补运算．
【解析】 因为?UA＝{2,4,6,7,9}，?UB＝{0,1,3,7,9}，
所以(?UA)∩(?UB)＝{7,9}．
【答案】 B
2．(2012·北京高考)已知集合A＝{x∈R|3x＋2>0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x－3)>0}，则A∩B＝( )
A．(－∞，－1) B．(－1，－)
C．(－，3) D．(3，＋∞)
【命题立意】 本题以不等式为载体，考查集合的运算．
【解析】 ∵3x＋2>0，
∴x>－.
∴A＝{x|x>－}．
又∵(x＋1)(x－3)>0，
∴x>3或x<－1.
∴B＝{x|x<－1或x>3}．
∴A∩B＝{x|x>－}∩{x|x<－1或x>3}＝{x|x>3}．
【答案】 D
1．(2012·山东高考)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(?UA)∪B为( )
A．{1,2,4} B．{2,3,4}
C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}
【解析】 ∵?UA＝{0,4}，B＝{2,4}，
∴(?UA)∪B＝{0,2,4}．
【答案】 C
2．(2012·江西高考)若全集U＝{x∈R|x2≤4}，则集合A＝{x∈R||x＋1|≤1}的补集?UA为( )
A．{x∈R|0C．{x∈R|0【解析】 由题意知全集U＝{x|－2≤x≤2}，A＝{x|－2≤x≤0}，
则?UA＝{x|0【答案】 C
第二章 函 数
【命题趋势】 函数是高考考查的一个热点，不仅适合单独命题，而且可以与其他内容结合综合命题．函数及其基本性质是主要内容，其定义域、单调性、奇偶性几乎是每年必考，这些知识与集合、不等式、函数图像等常常交汇出题，既可以是选择、填空，也可以是解答题.
函数的定义域与值域
【求源】 (教材第34页习题2－2A组第1题)
求下列函数的定义域：
(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝.
1．(2012·广东高考)函数y＝的定义域为________．
【命题立意】 本题主要考查函数的定义域．
【解析】 要使函数有意义，需解得
∴原函数的定义域为{x|x≥－1且x≠0}．
【答案】 {x|x≥－1且x≠0}
2．(2012·四川高考)函数f(x)＝的定义域是________．(用区间表示)
【命题立意】 本题主要考查函数定义域的求法．
【解析】 要使函数有意义，需
解得x<.
∴定义域为(－∞，)．
【答案】 (－∞，)
1．函数y＝的定义域是( )
A．R B．[0，＋∞)
C．[4，＋∞) D．(－∞，4]
【解析】 由题意知，x－4≥0，即x≥4.
【答案】 C
2．函数f(x)＝的定义域为________．
【解析】 由题意知2－x≠0，即x≠2，所以定义域为{x|x≠2}．
【答案】 {x|x≠2}
函数的性质
【求源】 (教材第58页复习题—C组第1题)
二次函数y＝kx2－4x－8在区间[5,20]上是减少的，求实数k的取值范围．
1．(2012·福建高考)已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．
【命题立意】 本题主要考查“三个二次”之间的关系．
【解析】 ∵x2－ax＋2a>0在R上恒成立，
∴Δ＝a2－4×2a<0，
∴0【答案】 (0,8)
2．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )
A．y＝x＋1 B．y＝－x3
C．y＝ D．y＝x|x|
【命题立意】 本题主要考查函数的单调性与奇偶性．
【解析】 A选项中的函数为非奇非偶函数．B、C、D选项中的函数均为奇函数，但B、C选项中的函数不为增函数，故选D.
【答案】 D
1．(2012·上海高考)已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.
【解析】 ∵y＝f(x)＋x2是奇函数，
∴f(－x)＋(－x)2＝－[f(x)＋x2]，
∴f(x)＋f(－x)＋2x2＝0.
∴f(1)＋f(－1)＋2＝0.
∵f(1)＝1，
∴f(－1)＝－3.
∵g(x)＝f(x)＋2，
∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－3＋2＝－1.
【答案】 －1
2．(2012·安徽高考)若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.
【解析】 f(x)＝|2x＋a|＝
作出函数图像(图略)，由图像知：
函数的单调递增区间为[－，＋∞)，∴－＝3，
∴a＝－6.
【答案】 －6
第三章 指数函数和对数函数
【命题趋势】 指数函数、对数函数是每年高考的必考内容，主要考查函数的图像与性质，同时还经常与其他知识综合考查，题型为选择、填空、解答题.
求与指数、对数有关的定义域或值
【求源】 (教材第108页复习题三A组第8题部分)
求下列函数的定义域：
(5)y＝；(6)y＝log2.
1．(2012·山东高考)函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2] D．(－1,2]
【命题立意】 本题以对数函数为载体，主要考查函数的定义域．
【解析】 由
【答案】 B
2．(2012·陕西高考)设函数f(x)＝则f(f(－4))＝________.
【命题立意】 本题以指数函数、幂函数为载体，主要考查分段函数求值．
【解析】 f(f(－4))＝f(()－4)＝f(16)＝4.
【答案】 4
1．(2011·广东高考)函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是( )
A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
【解析】 若函数f(x)有意义，
需满足解得x>－1且x≠1.
【答案】 C
2．(2012·江西高考)若函数f(x)＝则f(f(10))＝( )
A．lg 101 B．2
C．1 D．0
【解析】 由题意知f(10)＝lg 10＝1，f(1)＝1＋1＝2，
故f(f(10))＝f(1)＝2.
【答案】 B
指数函数、对数函数的图像
【求源】 (教材第109页复习题三A组第11(2)题)
当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图像是( )
1．(2012·四川高考)函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图像可能是( )
【命题意图】 本题主要考查指数函数的图像．
【解析】 当a>1时，y＝ax－为增函数，且在y轴上的截距为0<1－<1，排除A，B.
当0【答案】 D
2．(2011·四川高考)函数y＝()x＋1的图像关于直线y＝x对称的图像大致是( )
【命题意图】 本题主要考查指数函数与对数函数的图像．
【解析】 函数y＝()x＋1的图像过点(0,2)，且呈下降趋势，故它关于直线y＝x对称的图像过点(2,0)，且呈下降趋势．
【答案】 A
已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图像只能是( )
【解析】 法一 若0若a>1，则函数y＝ax的图像上升且过点(0,1)，而函数y＝loga(－x)的图像下降且过点(－1,0)，只有B中图像符合．
法二 首先指数函数y＝ax的图像只可能在上半平面，函数y＝loga(－x)的图像只可能在左半平面，从而排除A，C；再?
一、选择题
1．y＝x－1的图像与x轴的交点坐标及其零点分别是( )
A．1，(1,0) B．(1,0)，0
C．(1,0)，1 D．1,1
【解析】 由y＝x－1＝0，得x＝1，
故交点坐标为(1,0)，零点是1.
【答案】 C
2．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是( )
A．a<1 B．a>1
C．a≤1 D．a≥1
【解析】 由题意知，Δ＝4－4a<0，∴a>1.
【答案】 B
3．(2013·延安高一检测)函数f(x)＝ex－的零点所在的区间是( )
A．(0，) B．(，1)
C．(1，) D．(，2)
【解析】 ∵f()＝－2<0，f(1)＝e－1>0，
∴f()·f(1)<0，
∴f(x)＝ex－的零点所在的区间是(，1)．
【答案】 B
4．设f(x)在区间[a，b]上是连续的单调函数，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在闭区间[a，b]内( )
A．至少有一实根 B．至多有一实根
C．没有实根 D．必有唯一实根
【解析】 由题意知，函数f(x)在[a，b]内与x轴只有一个交点，即方程f(x)＝0在[a，b]内只有一个实根．
【答案】 D
5．已知函数y＝f(x)的图像是连续的，有如下的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
y
123.56
21.45
－7.82
11.45
－53.76
－128.88
则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
【解析】 ∵f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，
∴f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内至少各有一个零点，故f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个．
【答案】 B
二、填空题
6．(原创题)函数f(x)＝kx－2x在(0,1)上有零点，则实数k的取值范围是________．
【解析】 f(0)＝－1，f(1)＝k－2，由于f(0)·f(1)<0，
则－(k－2)<0.∴k>2.
【答案】 (2，＋∞)
7．若函数f(x)＝ax＋b只有一个零点2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．
【解析】 由题意知2a＋b＝0，
∴b＝－2a，∴g(x)＝－2ax2－ax
＝－ax(2x＋1)，
令g(x)＝0得x＝0或x＝－.
【答案】 0，－
8．方程log2x＋2＝x2的实数解的个数为________．
【解析】 方程log2x＋2＝x2可变形为log2x＝x2－2，构造函数f(x)＝log2x，g(x)＝x2－2，画这两个函数的图像，由交点个数可知方程解的个数为2.
【答案】 2
三、解答题
9．求函数y＝ax2－(2a＋1)x＋2(a∈R)的零点．
【解】 令y＝0并化为：(ax－1)(x－2)＝0.
当a＝0时，函数为y＝－x＋2，则其零点为x＝2.
当a＝时，则由(x－1)(x－2)＝0，
解得x1,2＝2，则其零点为x＝2.
当a≠0且a≠时，则由(ax－1)(x－2)＝0，
解得x＝或x＝2，则其零点为x＝或x＝2.
10．函数f(x)＝ln x＋x2－a有一个零点在(1,2)内，求a的取值范围．
【解】 函数f(x)＝ln x＋x2－a在区间(1,2)上是单调递增的，由题意知f(1)·f(2)＜0，
即(ln 1＋1－a)·(ln 2＋4－a)＜0，
解得1＜a＜4＋ln 2.
故a的取值范围为(1,4＋ln 2)．
11．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m的取值范围．
【解】 令g(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14.
依题意得或
即或
解得－故实数m的取值范围为(－，0).
一、选择题
1．下列函数图像与x轴均有交点，但不宜用二分法求函数的零点的是( )
【解析】 由二分法的定义可知，B项符合题意．
【答案】 B
2．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.438)＝0.165
f(1.406 5)＝－0.052
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)为( )
A．1.21 B．1.31
C．1.41 D．1.51
【解析】 由表知f(1.438)>0，f(1.406 5)<0，且区间[1.4065,1.438]的区间长度为0.031 5，它小于0.1，因此我们可以选取这个区间的任意一个数为方程的近似根．
【答案】 C
3．在用二分法求函数f(x)在区间(a，b)上的唯一零点x0的过程中，取区间(a，b)上的中点c＝，若f(c)＝0，则函数f(x)在区间(a，b)上的唯一零点x0( )
A．在区间(a，c)内 B．在区间(c，b)内
C．在区间(a，c)或(c，b)内 D．等于
【解析】 因为f(x)在区间(a，b)上的零点唯一，又f(c)＝0，故零点为c.
【答案】 D
4．用二分法可以求得方程x3＋5＝0的近似解(精度为0.1)为( )
A．－1.5 B．－1.8
C．－1.6 D．－1.7
【解析】 令f(x)＝x3＋5，易知f(－2)＝－3<0，f(－1)＝4>0，所以可取[－2，－1]为初始区间，用二分法逐次计算即得方程的近似解为－1.7.
【答案】 D
5．函数y＝()x与函数y＝lg x的图像的交点的横坐标(精确度0.1)约是( )
A．1.5 B．1.6
C．1.7 D．1.8
【解析】 设f(x)＝lg x－()x，经计算f(1)＝－<0，f(2)＝lg 2－>0，所以方程lg x－()x＝0在[1,2]内有解．应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知选项D符合要求．
【答案】 D
二、填空题
6．(2013·包头高一检测)求方程x3－2x－5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．
【解析】 f(x)＝x3－2x－5，f(2)<0，f(3)>0，f(2.5)>0，则f(2)·f(2.5)<0，即下一个有根区间是(2,2.5)．
【答案】 (2,2.5)
7．已知图像连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________．
【解析】 设等分的最少次数为n，则由<0.01，得2n>10，∴n的最小值为4.
【答案】 4
8．若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)或(1,4)或(1,5)内，则
①函数f(x)的零点在(1,2)或(2,3)内；
②函数f(x)在(3,5)内无零点；
③函数f(x)在(2,5)内有零点；
④函数f(x)在(2,4)内不一定有零点；
⑤函数f(x)的零点必在(1,5)内．
以上说法错误的是________(将标号填在横线上)．
【解析】 由于三个区间是包含关系，而(1,5)范围最大，零点位置可能在区间(1,5)的任何一个子区间内，①②③错误．
【答案】 ①②③
三、解答题
9．求出函数F(x)＝x5－x－1的零点所在的大致区间．
【解】 函数F(x)＝x5－x－1的零点即方程x5－x－1＝0的根．由方程x5－x－1＝0，
得x5＝x＋1，
令f(x)＝x5，g(x)＝x＋1.
在同一平面直角坐标系中，函数f(x)与g(x)的图像如图所示，显然它们只有1个交点．两函数图像交点的横坐标就是方程的解．
又F(1)＝－1<0，F(2)＝29>0，
∴函数的零点在区间(1,2)内．
10．求方程log3x＝x－5的一个实数解(精度为0.1)．
【解】 构造函数f(x)＝log3x－x＋5，经计算，f(5)＝log35－5＋5＝1.464 973 521>0，f(9)＝log39－9＋5＝－2<0，所以方程log3x＝x－5在区间[5,9]内有解．
如此下去，得到方程log3x＝x－5有解区间的表：
次数
左端点
左端点函数值
右端点
右端点函数值
区间长度
第1次
5
1.464 973 521
9
－2
4
第2次
5
1.464 973 521
7
－0.228 756 25
2
第3次
6
0.630 929 753
7
－0.228 756 25
1
第4次
6.5
0.203 787 765
7
－0.228 756 25
0.5
第5次
6.5
0.203 787 765
6.75
－0.011 859 507
0.25
第6次
6.625
0.096 126 18
6.75
－0.011 859 507
0.125
第7次
6.687 5
0.042 173 09
6.75
－0.011 859 507
0.062 5
至此，我们得到区间[6.687 5,6.75]的区间长度为0.062 5，它小于0.1.因此，我们可以选取这一区间内的任意一个数作为方程log3x＝x－5的一个近似解．例如，选取6.7作为方程log3x＝x－5的一个近似解．
11．求函数f(x)＝2x3－3x＋1零点的个数．
【解】 用计算器或计算机作出x，f(x)的对应值表(如下表)和图像(如下图).
x
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
f(x)
－1.25
2
2.25
1
－0.25
0
3.25
由上表和上图可知，f(－1.5)<0，f(－1)>0，
即f(－1.5)·f(－1)<0，说明这个函数在区间(－1.5，－1)内有零点．
同理，它在区间(0,0.5)内也有零点．另外，f(1)＝0，所以1也是它的零点，由于函数f(x)在定义域(－∞，－1.5)和(1，＋∞)内是增函数，在[－1.5,1]内是减函数．所以它共有3个零点.
一、选择题
1．图是某种豆类生长枝数y(枝)与时间t(月)的图像，那么此种豆类生长枝数与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的是( )
图
A．y＝2t2 B．y＝log2t
C．y＝t3 D．y＝2t
【解析】 由图像特征知，y＝2t近似刻画最好．
【答案】 D
2．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )
A．200副 B．400副
C．600副 D．800副
【解析】 由题意知，10x－y＝10x－(5x＋4 000)≥0，解得x≥800.
【答案】 D
3．今有一组实验数据如下表：
t
1.99
3.01
4.02
5.1
6.12
v
1.5
4.04
7.51
12
18.01
现准备用下面函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )
A．v＝log2t B．v＝logt
C．v＝ D．v＝2t
【解析】 将表中数据代入各函数解析式中验证即可．知选C.
【答案】 C
4．我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元(叫做税率x%)，则每年销售量将减少10x万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为( )
A．2 B．6
C．8 D．10
【解析】 依题意有(100－10x)×70×≥112.
∴2≤x≤8.
【答案】 A
5．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A．15 B．40
C．25 D．130
【解析】 令y＝60，
若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；
若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；
若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．
故拟录用人数为25人．
【答案】 C
二、填空题
6．经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数．日销售量为f(t)＝2t＋100，价格为g(t)＝t＋4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数关系式为S(t)＝________.
【解析】 日销售额S＝f(t)·g(t)＝(2t＋100)(t＋4)．
【答案】 (2t＋100)(t＋4)
7．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为________．
【解析】 设正方形的周长为x，则圆的周长为1－x，则
正方形与圆的面积和为S＝()2＋π·()2
＝x2－x＋(0＜x＜1)，
∴x＝－＝时，S有最小值．
【答案】
8．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超出800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11.2%纳税．某人出版了一书共纳税420元，这个人的稿费为________元．
【解析】 设稿费为x元，纳税为y元，由题意可知
y＝
∵此人纳税为420元，∴(x－800)×14%＝420，
∴x＝3 800.
【答案】 3 800
三、解答题
图4－2－3
9．某单位用木料制作如图4－2－3所示的框架，框架的下部是一组邻边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架的总面积为8 m2.
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)写出用料l与x的函数关系式．
【解】 (1)由题意，得x2＋xy＝8，
所以y＝－(0(2)由题意，得l＝2x＋2y＋2(x)
＝2x＋x＋2y＝(＋)x＋，
所以l＝(＋)x＋ (010．为应对国际金融危机对企业带来的不利影响，2011年底某企业实行裁员增效，已知现有员工200人，每人每年可创纯利润1万元，据评估，在生产条件不变的情况下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给下岗工人(被裁员的员工)0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的.设该企业裁员x人后纯收益为y万元．
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；
(2)问该企业裁员多少人，才能获得最大的经济效益？
【解】 (1)裁员x人后，企业员工数为(200－x)人，每人每年创纯利润(1＋0.01x)万元，企业每年需付给下岗工人0.4x万元，
则y＝(200－x)(1＋0.01x)－0.4x＝－0.01x2＋0.6x＋200.
∵200－x≥×200?x≤50，
∴x的取值范围为0(2)y＝－0.01(x－30)2＋209，
∵0∴当x＝30时，y取得最大值209.
∴该企业应裁员30人，可获得年最大纯收益209万元．
11．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
身高/cm
60
70
80
90
100
110
体重/kg
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
身高/cm
120
130
140
150
160
170
体重/kg
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
(1)根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反应这个地区未成年男性体重y(kg)与身高x(cm)的函数关系？若能，试写出这个函数模型的解析式；
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的未成年男性的体重是否正常？
【解】 (1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图，如图．根据点的分布特征，可考虑以y＝a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型．
不妨取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，
代入y＝a·bx，得用计算器算得a≈2，b≈1.02.
这样，我们就得到一个函数模型：y＝2×1.02x.
将已知数据代入上述函数解析式或作出上述函数的图像，可以发现这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性的体重与身高的关系．
(2)将x＝175代入y＝2×1.02x，得y＝2×1.02175，由计算器可得y≈63.98.
由于78÷63.98≈1.22>1.2，所以该未成年男性偏胖.
