2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市香坊区七年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市香坊区七年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程是一元一次方程的是( )
A. B. C. D.
2. 的算术平方根是( )
A. B. C. D.
3. 下列图中与是对顶角的是( )
A. B.
C. D.
4. 的相反数是( )
A. B. C. D.
5. 等式变形一定正确的是( )
A. 如果那么 B. 如果，那么
C. 如果，那么 D. 如果，那么
6. 在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是( )
A. B. C. D.
7. 点到轴的距离为( )
A. B. C. D.
8. 下列各数：，，，，，，，其中无理数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
9. 如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是( )
A. B. C. D.
10. 如图，，，平分，则的度数等于( )
A.
B.
C.
D.
11. 算法统宗是中国古代数学名著，其中记载有这样的数学问题：“用绳子测水井深度，绳长的三分之一比井深多尺；绳长的四分之一比井深多尺，问绳长、井深各是多少尺？”若设这个问题中的井深为尺，根据题意列方程，正确的是( )
A. B.
C. D.
12. 下列命题：
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；
图形平移时，连接各对应点的线段平行且相等；
点到直线的距离是指从直线外一点到这条直线的垂线段；
实数与数轴上的点一一对应．
其中正确的命题有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
13. 计算：______．
14. 把命题“对顶角相等”改写成“如果那么”的形式：______．
15. 在体育课上某同学跳远的情况如图所示，直线表示起跳线，经测量，米，米，米，则该同学的实际立定跳远成绩是______米．
16. 如图，小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线、上，已知，则的度数为______ ．
17. 如图，沿所在直线向右平移得到，若，，则______．
18. 足球比赛的记分为：胜一场得分，平一场得分，负一场得分，一队打了场比赛，负场，共得分，那么这个队胜了______场．
19. 已知点和点，若轴，且，则的值为______．
20. 如图，直线与直线相交于点，，且平分，若，则的度数为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. 本小题分
解方程：
；
．
22. 本小题分
在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，点、点、点分别在格点上，请按要求完成下列问题：
在图中，将向上平移个单位，再向左平移个单位长度，得到，在图中画出；
在图中，将平移，使点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，在图中画出，并直接写出的面积．
23. 本小题分
推理填空：
如图，在中，点、点分别是边、上的点，点、点是边上的点，连接、和，是的角平分线，，若，，求的度数．
解：______ ，
______ ______ ，
，
______ ，
______ ，
______ ，
是的平分线，
______ ______ ，
．
24. 本小题分
已知，为有理数，且，若关于的一元一次方程的解恰为，则此方程称为“合并式方程”．
例如：，且是方程的解此方程为“合并式方程”，
请根据上述定义解答下列问题：
一元一次方程是否是“合并式方程”？并说明理由；
关于的一元一次方程是“合并式方程”，求的值．
25. 本小题分
平价商场恰好用元购进甲，乙两种商品共件，若甲种商品每件进价元，乙种商品每件进价元，且统一标价元出售．
求购进甲、乙两种商品各多少件？
该商场售出这批商品的一部分后，恰逢“元旦”对剩余商品进行促销，以标价的折售完所有剩余商品，共获利元，且促销商品中乙的件数是甲件数的倍，求促销商品中甲商品有多少件？
26. 本小题分
已知，平分交射线于点，．
如图，求证：；
如图，点是射线上一点，过点作交射线于点，点是上一点，连接，来证：；
如图，在的条件下，连接，点为延长线上一点，平分交于点，若平分，，，求的度数．
27. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点、点在轴上，点在轴上，若点，点，点，且．
求，的值；
动点从点出发沿着轴的正半轴以每秒个单位长度的速度运动，连接，设的面积为，点运动的时间为秒，求与的关系式；
在的条件下，点是直线上一点，点的横坐标为，连接，，若的面积为，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：方程是分式方程，不是整式方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B.方程是二元一次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C.方程是一元一次方程，故本选项符合题意；
D.方程是一元二次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：．
根据一元一次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元一次方程．
2.【答案】
【解析】解：因为的平方是，
所以的算术平方根是．
故选：．
此题主要考查了算术平方根的定义，此题要注意平方根、算术平方根的联系和区别．
3.【答案】
【解析】解：由对顶角的定义可知，，，选项不符合题意，选项符合题意，
故选：．
根据对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，进行判断即可．
本题考查了对顶角，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：的相反数是．
故选：．
根据相反数的定义解答即可．
本题考查的是实数的性质，熟知相反数的定义是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：：当时不成立，
：当时不成立，
：当时不成立，
：根据等式的性质，再等式的两边都减去，结果仍相等，成立，
故选：．
根据等式的性质判定．
本题考查了等式的性质，理解等式的性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：点在第二象限的符号特点是横纵坐标均为负，
符合题意的只有选项C故选C．
根据点在第二象限的符号特点横坐标是负数，纵坐标是正数作答．
本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
7.【答案】
【解析】解：点到轴的距离是此点纵坐标的绝对值，，
故选：．
根据点的坐标的特点选出．
主要考查了点的坐标，掌握点的坐标的特点是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：，，，是有理数，
，，是无理数，
故选：．
运用无理数的概念进行辨别、求解．
此题考查了无理数的辨别能力，关键是能准确理解并运用无理数的概念．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，本题需注意：知道数轴上两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．
先根据勾股定理求出正方形的对角线长，再根据两点间的距离公式为：两点间的距离较大的数较小的数，便可求出和之间的距离，进而可求出点表示的数．
【解答】
解：数轴上正方形的对角线长为：，由图中可知和之间的距离为．
点表示的数是．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：，，
，
平分，
，
，
故选：．
由，知，再由角平分线性质知，继而根据两直线平行同旁内角互补可得答案．
本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等和两直线平行同旁内角互补的性质．
11.【答案】
【解析】解：用绳子测水井深度，绳长的三分之一比井深多尺，且井深为尺，
绳子长为尺；
用绳子测水井深度，绳长的四分之一比井深多尺，且井深为尺，
绳子长为尺．
根据题意得：．
故选：．
根据“用绳子测水井深度，绳长的三分之一比井深多尺；绳长的四分之一比井深多尺”，可用含的代数式表示出绳子的长度，结合绳子长度不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题说法不正确；
在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，本小题说法正确；
图形平移时，连接各对应点的线段平行且相等，本小题说法正确；
点到直线的距离是指从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，故本小题说法不正确；
实数与数轴上的点一一对应，本小题说法正确；
故选：．
根据平行公理、平行线的判定、平移的性质、点到直线的距离的概念、实数与数轴判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
13.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接利用算术平方根以及立方根的性质计算得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
14.【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【解析】
【分析】
命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．
本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
【解答】
解：命题“对顶角相等”的题设为：对顶角，结论为：相等．
故写成“如果那么”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
15.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了垂线段的性质，垂线段最短指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
根据垂线段的性质：垂线段最短，进行解答即可．
【解答】
解：，
该同学的实际立定跳远成绩应测量图中线段的长，
该同学的实际立定跳远成绩为米
16.【答案】
【解析】解：，
，
，
．
故答案为：．
根据邻补角的定义求出，根据平行线的性质得出，即可求出答案．
本题主要考查对平行线的性质，三角形内角和等知识点的理解和掌握，能根据平行线的性质求出是解此题的关键．
17.【答案】
【解析】解：由平移的性质可知，，
，，
，
，
故答案为：．
利用平移的性质解决问题即可．
本题考查平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
18.【答案】
【解析】解：设共胜了场，则平了场，
由题意得：，
解得：，即这个队胜了场．
故答案是：．
设共胜了场，本题的等量关系为：胜的场数平的场数负的场数总得分，解方程即可得出答案．
此题考查了一元一次方程的应用，属于基础题，解答本题的关键是要掌握胜的场数平的场数负的场数总得分，难度一般．
19.【答案】或
【解析】解：轴，
点，的横坐标相等，
，
，
，，
当点在点上方时，，，；
当点在点下方时，，，；
故答案为：或．
根据轴，得到点，的横坐标相等，求出的值，根据分两种情况求出点的坐标，得到的值，代入代数式求值即可．
本题考查了坐标与图形性质，体现了分类讨论的思想，根据轴，得到点，的横坐标相等是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：，
．
平分，
．
．
，
．
．
．
故答案为：．
根据邻补角的定义，由，得根据角平分线的定义，由平分，得再根据对顶角相等，得根据垂直的定义，由，得，那么，进而推断出．
本题主要考查垂直、角平分线的定义、对顶角与邻补角，熟练掌握垂直的定义、角平分线的定义、对顶角与邻补角的定义是解决本题的关键．
21.【答案】解：去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：；
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：．
【解析】方程去括号，移项，合并同类项，把系数化为，即可求出解；
方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为，即可求出解．
此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．
22.【答案】解：如图，即为所求．
如图，即为所求．
的面积为．

【解析】根据平移的性质作图即可．
根据平移的性质作图即可；利用割补法求三角形的面积即可．
本题考查作图平移变换、三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
23.【答案】已知 两直线平行，内错角相等 等量替换 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，同位角相等 角平分线的定义
【解析】解：已知，
两直线平行，内错角相等，
，
等量替换，
同旁内角互补，两直线平行，
两直线平行，同位角相等，
，
．
是的平分线，
角平分线的定义，
．
故答案为：已知；；两直线平行，内错角相等；等量替换；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；角平分线的定义．
由，利用“两直线平行，内错角相等”可得出，结合可得出，利用“同旁内角互补，两直线平行”可得出，利用“两直线平行，同位角相等”可得出，由及可求出的度数，再利用角平分线的定义可求出的度数．
本题考查了平行线的判定与性质以及角平分线的定义，根据各角之间的关系，求出的度数是解题的关键．
24.【答案】解：一元一次方程不是“合并式方程”，理由如下：
，且不是一元一次方程的解，
一元一次方程不是“合并式方程”；
关于的一元一次方程是“合并式方程”，
，且是方程的解，
，
解得．
【解析】根据“合并式方程”的定义进行判断即可；
根据“合并式方程”的定义可知，将代入方程求解即可．
本题考查了一元一次方程的解，新定义，理解新定义是解题的关键．
25.【答案】解：设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，
根据题意得：，
解得：，
．
答：购进甲种商品件，乙种商品件；
设促销商品中甲商品有件，则乙商品有件，
根据题意得：，
解得：．
答：促销商品中甲商品有件．
【解析】设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，利用总价单价数量，可得出关于的一元一次方程，解之可得出购进甲种商品的数量，再将其代入中，即可求出购进乙种商品的数量；
设促销商品中甲商品有件，则乙商品有件，利用总利润销售单价销售数量进货总价，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
26.【答案】证明：平分，
，
，
，
；
证明：过点作，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：设，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
由得：，
，
平分，
，
，
，，
，
，
解得：，
，
的度数为．
【解析】利用角平分线的定义可得，然后再利用等量代换可得，从而利用平行线的判定，即可解答；
过点作，利用猪脚模型，进行推理，即可解答；
设，利用角平分线的定义可得，从而可得，进而可得，然后利用平行线的性质可得，再根据垂直定义可得，最后利用的结论可得，再利用角平分线的定义可得，从而可得，进而可得，，再根据已知，列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握猪脚模型是解题的关键．
27.【答案】解：，
，
，
，，
，，
，；
当时，．
当时，．
综上所述，；
，，
直线的解析式为，
点是直线上一点，点的横坐标为，
，
的面积，
由题意或
解得或，
此时或．
【解析】判断出，求出，可得结论；
分两种情形：当时，当时，分别求解即可；
求出的面积，分两种情形构建方程求解即可．
本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，坐标与图形的性质等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
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