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第三章 三角恒等变换
3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3．1.1 两角差的余弦公式
●三维目标
1．知识与技能
掌握用向量方法建立两角差的余弦公式．通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其他和(差)公式打好基础．
2．过程与方法
经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用．
3．情感、态度与价值观
通过本节学习和应用实践，培养学生的探索精神，体会数学的科学价值、应用价值，学会用数学的思维方式解决问题．
●重点、难点
重点：通过探索得到两角差的余弦公式．
难点：探索过程的组织和适当引导．这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等．
●教学建议
两角差的余弦公式的推导是本节的重点，也是难点．尤其是要引导学生通过主动参与，独立探索，自己得出结果更是难点．
首先明确提出探索课题：如何用任意角α，β的正弦、余弦值来表示cos(α－β)呢？
凭直觉得出cos(α－β)＝cos α－cos β是学生经常出现的错误，通过讨论可以知道它不是对任意角探索目标的认识，也为以此公式为基础去推导其他和差公式作了准备．
联系已经学过的三角函数知识探索有关三角函数的问题是很自然的．鉴于学生独立地运用单位圆上的三角函数线进行探索存在一定的困难，因此这个过程比较困难、复杂，教学中应适时作出必要的引导．
在引导学生用向量数量积探索两角差的余弦公式时，可提出以下要点：
(1)在回顾求角的余弦有哪些方法时，联系向量知识，体会向量方法的作用．
(2)结合有关图形，完成运用向量方法推导公式的必要准备．
(3)探索过程不应追求一步到位，应先不去理会其中的细节，抓住主要问题及其讨论线索进行探索，然后再作反思，予以完善(这也是处理一般探索性问题应遵循的原则)．其中完善的过程既要运用分类讨论的思想，又要用到诱导公式．
●教学流程
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(见学生用书第63页)
课标解读
1.掌握两角差的余弦公式．(重点)
2.会利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．(难点)
3.两角差的余弦和两角余弦的差．(易混点)
两角差的余弦公式
【问题导思】
1．cos 60°－cos 30°＝cos(60°－30°)成立吗？
【提示】 不成立．
2．cos α－cos β＝cos(α－β)成立吗？
【提示】 不一定．
3.单位圆中(如图)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐标是什么？与的夹角是多少？
【提示】 A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)．
与的夹角是α－β.
4．你能用哪几种方法计算·的数量积？
【提示】 ①·＝||||cos(α－β)＝cos(α－β)，
②·＝cos αcos β＋sin αsin β.
5．根据上面的计算可以得出什么结论？
【提示】 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.cos(α－β)＝cos α·cos β＋sin α·sin β.
(1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角．
(2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接等号与左边角的连接符号相反．
(见学生用书第63页)
利用两角差的余弦公式求值
求值：(1)sin 460°·sin(－160°)＋cos 560°·cos(－280°)；
(2)sin 285°.
【思路探究】 解答本题可利用诱导公式转化为两角差的余弦公式来求解．
【自主解答】 (1)原式＝sin 100°·(－sin 160°)＋cos 200°·cos 280°
＝－sin 100°·sin 20°－cos 20°·cos 80°
＝－(cos 80°·cos 20°＋sin 80°·sin 20°)
＝－cos 60°
＝－.
(2)sin 285°＝sin(270°＋15°)＝－cos 15°
＝－cos(60°－45°)
＝－(cos 60°·cos 45°＋sin 60°·sin 45°)
＝－.
1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：
(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．
2．两角差的余弦公式的结构特点：
(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦．
(2)把所得的积相加．
求下列各式的值：
(1)cos(－165°)；
(2)sin 15°sin 105°＋cos 15°cos 105°.
【解】 (1)原式＝cos 165°＝－cos 15°
＝－cos(45°－30°)
＝－(cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°)
＝－.
(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)
＝cos 90°＝0.
给值(式)求值
已知sin(α＋)＝，且<α<，求cos α的值．
【思路探究】 注意到α＝(α＋)－，把求cos α转化为两角差的余弦，考虑到公式特征，只需求cos(α＋)的值，利用平方关系，问题可解．21世纪教育网版权所有
【自主解答】 ∵sin(α＋)＝，且＜α＜，
∴＜α＋＜π，
∴cos(α＋)＝－＝－.
∴cos α＝cos[(α＋)－]
＝cos(α＋)cos ＋sin(α＋)sin
＝－×＋×＝.
1．本题求解的关键在于把角α分解成两角α＋与α之差，变角是进行三角变换的常用方法技巧，如α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α＋β)－(α＋β)等．
2．利用差角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式．即把所求的角分解成某两个角的差，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式计算．
在本例中，若把α的范围改为：“π<α<π”，其他条件不变，又如何求cos α的值？
【解】 ∵sin(α＋)＝且<α<π.
∴π<α＋<2π.
∴cos(α＋)＝
＝＝.
∴cos α＝cos[(α＋)－]
＝cos(α＋)·cos＋sin(α＋)·sin
＝×＋×＝.
已知三角函数值求角
已知α、β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值．
【思路探究】 本题可先求出cos(α－β)的值，结合α－β的范围，再求出α－β的值．
【自主解答】 ∵α、β均为锐角，
∴sin α＝，sin β＝.
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×
＝.
又sin α
∴0<α<β<，
∴－<α－β<0.
故α－β＝－.
1．这类问题的求解，关键环节有两点：
(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图象，角可求解．21教育网
2．确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定．
已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值．
【解】 由cos α＝，0<α<，得
sin α＝＝＝.
由0<β<α<，得0<α－β<.
又∵cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝
＝＝.
由β＝α－(α－β)得
∴cos β＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.
∵0<β<，∴β＝.
(见学生用书第64页)
不考虑角的范围致误
已知α，β，γ是锐角，sin α＋sin β＝sin γ，cos α＋cos β＝cos γ，求α－γ的值．
【错解】 由已知得，sin α－sin γ＝－sin β，cos α－cos γ＝－cos β，两式分别平方得，
sin2 α－2sin αsin γ＋sin2γ＝sin2 β，cos2α－2cos αcos γ＋cos2 γ＝cos2 β，
两式相加得，1－2(cos αcos γ＋sin αsin γ)＋1＝1，即cos(α－γ)＝，故α－γ＝±.
【错因分析】 没有考虑角的范围，出现了不易发现的错误．
【防范措施】 对于求角的题，一定要先考虑角的范围，这样才不会出错．
【正解】 由已知得，sin α－sin γ＝－sin β，cos α－cos γ＝－cos β，两式分别平方得，
sin2α－2sin αsin γ＋sin2 γ＝sin2β，cos2 α－2cos αcos γ＋cos2 γ＝cos2 β，
两式相加得，1－2(cos αcos γ＋sin αsin γ)＋1＝1，即cos(α－γ)＝.
由于α，β，γ是锐角，所以由sin α－sin γ＝－sin β<0可知，α<γ，故α－γ＝－.
1．给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．
2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值．
确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．
(见学生用书第65页)
1．cos 17°等于( )
A．cos 20°cos 3°－sin 20°sin 3°
B．cos 20°cos 3°＋sin 20°sin 3°
C．sin 20°sin 3°－cos 20°cos 3°
D．cos 20°sin 20°＋sin 3°cos 3°
【解析】 cos 17°＝cos(20°－3°)
＝cos 20°cos 3°＋sin 20°sin 3°.
【答案】 B
2．下列关系中一定成立的是 ( )
A．cos(α－β)＝cos α－cos β
B．cos(α－β)＜cos α＋cos β
C．cos(－α)＝sin α
D．cos(＋α)＝sin α
【解析】 由两角差的余弦公式知A不正确；令α＝β＝，知B不正确；由诱导公式可知C正确，D不正确．
【答案】 C
3．cos(－40°)cos 20°－sin(－40°)sin(－20°)＝________.
【解析】 原式＝cos (－40°)cos 20°＋sin (－40°)sin 20°
＝cos(－40°－20°)＝cos(－60°)＝cos 60°＝.
【答案】
4．设α∈(0，)，若sin α＝，求cos(α－)的值．
【解】 ∵α∈(0，)，sin α＝，
∴cos α＝＝ ＝，
∴cos(α－)＝(cos αcos＋sin αsin)
＝(×＋×)＝.
一、选择题
1．(2013·宣城高一检测)cos 80°·cos 35°＋sin 80°·cos 55°的值是( )
A. B．－ C. D．－
【解析】 cos 80°·cos 35°＋sin 80°·cos 55°＝cos 80°·cos 35°＋sin 80°·sin 35°＝cos(80°－35°)＝cos 45°
＝.
【答案】 A
2．下面利用两角差的余弦公式化简，其中错误的是( )
A．cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos 60°
B．cos 75°＝cos 45°cos(－30°)＋sin 45°sin(－30°)
C．sin(α＋45°)sin α＋cos(α＋45°)cos α＝cos 45°
D．cos(α－)＝cos α＋sin α
【解析】 cos(α－)＝cos α＋sin α.
【答案】 D
3．cos 15°的值为( )
A. B.
C. D.
【解析】 cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°·sin 30°
＝＋＝.
【答案】 A
4．已知钝角α、β满足cos α＝－，cos(α＋β)＝－，则cos β等于( )
A. B．－
C. D．－
【解析】 ∵α、β为钝角∴π<α＋β<2π，
由cos α＝－得sin α＝.
又∵cos (α＋β)＝－，∴sin(α＋β)＝－，
∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝(－)×(－)＋(－)×＝－.
【答案】 B
5．已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，则cos(α－β)的值为( )
A. B.
C. D．－
【解析】 由已知得(sin α＋sin β)2＝，①
(cos α＋cos β)2＝，②
①＋②得：2＋2sin α ·sin β＋2cos α·cos β＝1，
∴cos α·cos β＋sin α·sin β＝－，
即cos(α－β)＝－.
【答案】 D
二、填空题
6．已知cos α＝，α是锐角，则cos(α－)＝________.
【解析】 cos(α－)＝cos α·＋sin α·＝·＋·＝.
【答案】
7．已知sin α＝－，α∈(π，π)，cos β＝－，β∈(，π)，则cos(α－β)＝________.
【解析】 ∵sin α＝－，α∈(π，π)，
∴cos α＝－＝－.
又cos β＝－，β∈(，π)，
∴sin β＝＝.
故cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝－×(－)＋×(－)＝.
【答案】
8．(2013·泰安高一检测)已知cos(α＋30°)＝，30°＜α＜90°，则cos α＝________.
【解析】 ∵30°＜α＜90°，∴60°＜α＋30°＜90°，
又cos(α＋30°)＝，∴sin(α＋30°)＝＝.
∴cos α＝cos[(α＋30°)－30°]
＝cos(α＋30°)cos 30°＋sin(α＋30°)sin 30°
＝×＋×＝.
【答案】
三、解答题
9．已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求cos(α－β)．
【解】 由cos α－cos β＝，两边平方得
(cos α－cos β)2＝cos2α＋cos2β－2cos αcos β ＝.①
由sin α－sin β＝－，两边平方得
(sin α－sin β)2＝sin2 α＋sin2 β－2sin αsin β＝.②
①＋②得
2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝.
∵cos αcos β＋sin αsin β＝，
∴cos(α－β)＝.
10．已知tan α＝4 ，cos(α＋β)＝－，α、β均为锐角，求cos β的值．
【解】 ∵α∈(0，)，tan α＝4 ，
∴sin α＝4 cos α①
sin2α＋cos2α＝1②
由①②得sin α＝，cos α＝.
∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－，
∴sin(α＋β)＝.
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝(－)×＋×＝.
∴cos β＝.
11．已知cos(α－β)＝－，sin(α＋β)＝－，<α－β<π，<α＋β<2π，求β的值．
【解】 ∵<α－β<π，cos(α－β)＝－，
∴sin(α－β)＝.
∵π<α＋β<2π，sin(α＋β)＝－，
∴cos(α＋β)＝.
∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×(－)＋(－)×＝－1.
∵<α－β<π，π<α＋β<2π，
∴<2β<，2β＝π，∴β＝.
【教师备课资源】
1．向量及三角形知识综合应用
【典例】 已知向量m＝(cos，)与向量n＝(，cos)共线，其中A，B，C是△ABC的内角．21教育名师原创作品
(1)求角B的大小；
(2)若cos C＝，求cos A的值．
【思路探究】 (1)根据向量共线求出cos的值，进而求角B.
(2)将cos A转化为cos(－C)进行求解．
【自主解答】 (1)∵向量m＝(cos，)与向量n＝(，cos)共线，
∴coscos＝，
∴cos＝±，又0∴＝，即B＝π.
(2)由(1)知A＋C＝，∴A＝－C，
∵cos C＝，∴sin C＝，
∴cos A＝cos(－C)＝coscos C＋sinsin C＝.
1．利用向量共线的条件得到cos的值是解决本题的关键．
2．解决此类问题除了应用向量的有关知识以外，还要注三角形中的一些常用结论，如角的范围及内角和定理等．
已知向量a＝(sin θ，－2)与b＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，)．
(1)求sin θ和cos θ的值；
(2)若5cos(θ－φ)＝3cos φ，0＜φ＜，求角φ的值．
【解】 (1)∵a⊥b，∴a·b＝sin θ－2cos θ＝0，
即sin θ＝2cos θ.
又∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1，
则cos2θ＝，sin2θ＝.
又∵θ∈(0，)，∴sin θ＝，cos θ＝.
(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ)
＝cos φ＋2sin φ＝3cos φ，
∴cos φ＝sin φ，tan φ＝1.
又0<φ<，故φ＝.
2．知识拓展
两角差的余弦公式
(1)公式的推导方法探讨
教科书中给出了两种推导公式的方法．方法一是借助于单位圆中的三角函数线和平面几何的有关知识，该法技巧性较强，学生不易想到．方法二是借助于上一章《平面向量》中的“两个向量的数量积”的有关知识，由于只是寻求角之间的关系，与向量的长度无关，故可选取单位向量，但要注意两个向量的数量积中两个向量的夹角的取值范围．
(2)两角差的余弦公式的推导
①如图所示，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角α、β，它们的终边与单位圆O的交点分别为A、B，则＝(cos α，sin α)，＝(cos β，sin β)．
由向量数量积的概念，有·＝||·||·cos(α－β)＝cos(α－β)．
综合向量数量积的坐标表示，有
·＝cos α·cos β＋sin α·sin β.
于是有：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(*)
②由以上的推导过程可知，α、β是任意角，则α－β也应为任意角，但由两个向量数量积的意义，(*)中的α－β∈[0，π]．为此，我们讨论如下：【来源：21cnj*y.co*m】
由于α－β是任意角，由诱导公式，总可以找到一个角θ∈[0,2π]，使cos θ＝cos(α－β)．
a．若θ∈[0，π)，则
·＝cos θ＝cos(α－β)．
b．若θ∈[π，2π)，则2π－θ∈(0，π]，且·＝cos(2π－θ)＝cos θ＝cos (α－β)．
由以上的讨论可知：对于任意的α、β，都有
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.[C(α－β)]
(3)公式的记忆
右端为α、β的同名三角函数积的和，左端为两角差的余弦．
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
●三维目标
1．知识与技能
(1)能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式，并灵活运用．
(2)能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．
(3)掌握两角和与差的正切公式及变形应用．
2．过程与方法
经历以两角差的余弦公式为基础导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式的过程，了解它们的内在联系；体会化归与转化的数学思想方法．
3．情感、态度与价值观
通过本节的学习和运用实践，使学生学会用联系转化的观点去处理问题，加强学生的应用意识，激发学生的学习兴趣，体会数学的科学价值与应用价值．
●重点、难点
重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用．
难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用．
●教学建议
以两角差的余弦公式为基础，推导其他十个公式的过程是一个逻辑推理的过程，也是一个认识三角函数式的特征，体会三角恒等变换特点的过程，教学中不仅要重视对推出的公式的理解、应用，而且还重视推导过程的教育功能．
具体来说，在这些公式的推导中，应把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点．
例如，比较cos(α＋β)与cos(α－β)，它们都是角的余弦，只是角的形式不同，但不同的角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，根据这种联系，探究从公式C(α－β)到C(α＋β)的推理过程．
又如，比较sin(α－β)与cos(α－β)，它们包含的角相同，但函数种类不同．角的正弦与余弦如何建立联系？教学中往往在这里产生困难，要求学生具体推导S(α－β)之前，指导学生回顾正弦函数、余弦函数互化的公式作为铺垫．一旦找到联系的途径，推导就容易多了．
在探索和(差)角正切公式时，用以思路作指导，依据要求，再把结果用tan α，tan β表示的过程中是一个难点，教学中应该在同角三角函数关系部分认真地做些准备．
●教学流程
???????
(见学生用书第65页)
课标解读
1.能利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行化简求值．(重点)
2.公式的逆用、变形用．(难点)
3.两角和与差的正弦公式、余弦公式、正切公式的结构特征与符号规律．(易混点)
两角和与差的余弦公式
【问题导思】
1．把公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的β用－β代替，结果如何？
【提示】 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.
2．在cos(α±β)的公式中，α，β的条件是什么？
【提示】 α、β为任意角.
名称
简记符号
公式
使用条件
两角差的余弦公式
C(α－β)
cos(α－β)＝
cos αcos β＋in αsin β
α，β∈R
两角和的余弦公式
C(α＋β)
cos(α＋β)＝
α，β∈R
两角和与差的正弦公式
【问题导思】
由公式C(α±β)可以得到sin(α＋β)的公式吗？
【提示】 可以，sin(α＋β)＝cos[－(α＋β)]＝cos[(－α)－β]
＝sin αcos β＋cos αsin β.
1．公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正弦
S(α＋β)
sin(α＋β)＝
α、β∈R
两角差的正弦
S(α－β)
sin(α－β)＝
α、β∈R
2.重要结论－辅助角公式
y＝asin x＋bcos x＝sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ＝，sin θ＝.
两角和与差的正切公式
【问题导思】
1．利用两角和的正、余弦公式，能把tan(α＋β)用tan α，tan β表示吗？
【提示】 能，tan(α＋β)＝＝
＝.
2．能用tan α，tan β表示tan(α－β)吗？
【提示】 能．
3．公式中α，β为任意实数吗？
【提示】 不是，α，β，α＋β≠kπ＋，k∈Z.
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正切
T(α＋β)
tan(α＋β)＝
α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 且tan α·tan β≠1
两角差的正切
T(α－β)
tan(α－β)＝
α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z) 且tan α·tan β≠－1
(见学生用书第66页)
给角求值
化简求值：
(1)sin－cos；
(2).
【思路探究】 解答本题中的(1)可先考虑如何去变换系数，才能与学习的公式相联系，可以考虑1＝2×，＝2×，引入特殊角的三角函数；(2)可先分子分母同除以cos 15°得出，然后再把该式向公式tan(α±β)转化．
【自主解答】 (1)法一 原式＝2(sin－cos)
＝2(sinsin－coscos)
＝－2cos(＋)＝－2cos
＝－.
法二 原式＝2(sin－cos)
＝2(cossin－sincos)
＝－2sin(－)
＝－2sin＝－.
(2)原式＝＝
＝tan(－30°)＝－.
1．公式T(α＋β)，T(α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan α·tan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示或求出第三个．
2．一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．
求下列各式的值：
(1)sin 14° cos 16°＋sin 76°cos 74°；
(2)tan 72°－tan 42°－tan 72°tan 42°
【解】 (1)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)·
cos(90°－16°)
＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°
＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝.
(2)原式＝tan(72°－42°)(1＋tan 72°tan 42°)－
tan 72°tan 42°
＝tan 30°(1＋tan 72°tan 42°)－tan 30°tan 72°tan 42°
＝tan 30°＝.
给值求值
已知α、β是锐角，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，求sin β的值．
【思路探究】 若将cos(α＋β)展开，再利用平方关系求sin β，运算量大，观察待求角β与条件角α＋β、α之间的关系，发现β＝(α＋β)－α，可利用两角差的正弦公式求解．
【自主解答】 ∵α是锐角，且sin α＝，
∴cos α＝
＝ ＝.
又∵0<α＋β<π，
∴sin(α＋β)＝＝ ＝，∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)．sin α＝×－(－)×＝.
∴sin β＝.
1．本题属于给值求值问题，求解时，关键是从已知角间的关系入手，分析出已知角和待求角的关系．如本题中巧用β＝(α＋β)－α这一关系．
2．常见角的变换为
(1)2α＋β＝(α＋β)＋α，2α－β＝(α－β)＋α；
(2)＝(α－)－(－β)，
＝(α＋)－(＋β)；
(3)(＋α)＋(＋β)＝＋(α＋β)；
(4)(＋α)＋(－β)＝＋(α－β)．
将本例中条件“已知α、β是锐角”改为“α、β都是钝角”．仍求sin β的值．
【解】 ∵α是钝角且sin α＝，
∴cos α＝－＝－ ＝－.
∵α、β为钝角且cos(α＋β)＜0，
∴180°＜α＋β＜270°，
∴sin(α＋β)＝－
＝－＝－，
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝－×(－)－(－)×＝.
给值求角
已知sin α＝，sin β＝，且α，β为锐角，求α＋β的值．
【思路探究】 sin α，sin β→求cos α，cos β→
求cos(α＋β)→确定α＋β的范围→求α＋β的值
【自主解答】 ∵sin α＝，α为锐角，
∴cos α＝＝.
又sin β＝，β为锐角，
∴cos β＝＝.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝.
又α、β∈(0，)，
∴0<α＋β<π，
因此α＋β＝.
1．求解该类问题常犯的错误是对角的范围讨论程度过大(小)，导致求出的角不合题意或者漏解．
2．求角的大小，要解决两点：(1)确定所求角的范围，(2)求角的某一三角函数值，特别是要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值．【来源：21·世纪·教育·网】
若把本例题的条件改为“α∈(0，)，β∈(－，0)，且cos(α－β)＝，sin β＝－”，试求角α的大小．【出处：21教育名师】
【解】 ∵α∈(0，)，β∈(－，0)，
∴α－β∈(0，π)，
由cos(α－β)＝，知sin(α－β)＝.
由sin β＝－，知cos β＝.
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝×＋×(－)＝.
又α∈(0，)，∴α＝.
辅助角公式的应用
将下列各式写成Asin(ωx＋φ)的形式：
(1)sin x－cos x；
(2)sin(－x)＋cos(－x)．
【思路探究】 利用辅助角公式asin α＋bcos α＝
sin(α＋φ)．
【自主解答】 (1)sin x－cos x＝2(sin x－cos x)
＝2(cos sin x－sin cos x)＝2sin(x－)．
(2)原式＝[sin(－x)＋cos(－x)]
＝[sin sin(－x)＋cos cos(－x)]
＝cos(－x－)
＝cos(－x)
＝sin(x＋)．
1．对于形如sin α±cos α，sin α±cos α的三角函数式均可利用特殊值与特殊角的关系，运用和差角正、余弦公式化简为含有一个三角函数的形式．21cnjy.com
2．在解法上充分体现了角的变换和整体思想，在三角函数求值化简的变换过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则．
化简：(1)(cos x－sin x)；
(2)3sin x＋3cos x.
【解】 (1)(cos x－sin x)
＝×(cos x－sin x)
＝2(cos cos x－sin sin x)
＝2cos(＋x)．
(2)3sin x＋3cos x
＝6(sin x＋cos x)
＝6(sin sin x＋cos cos x)
＝6cos(x－)．
(见学生用书第68页)
忽略讨论角的范围致误
已知在△ABC中，sin A＝，cos B＝，求cos C.
【错解】 ∵sin A＝，∴cos A＝±.∵cos B＝，∴sin B＝，于是cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sin Asin B－cos Acos B＝·－·(±)．
故cos C＝或cos C＝.
【错因分析】 这个解答看似正确，其实没有慎重讨论角的范围．
【防范措施】 若不注意三角形的内角和为180°，即不认真讨论角的范围，就会多出一个错误答案cos C＝.处理的方法是找出正弦函数值与sin A＝最接近的角30°和45°以及余弦函数值与cos B＝最接近的角60°和90°，切忌找的角范围过大或过小．
【正解】 ∵sin A＝，∴cos A＝±.∵cos B＝，∴sin B＝，于是cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sin Asin B－cos Acos B＝×－×(±)．即cos C＝或cos C＝.但1．两角和差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：sin(－α)＝sin·cos α－cossin α＝－cos α.
2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：
sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)
＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.
3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．
(见学生用书第68页)
1．sin 21°cos 39°＋cos 21°sin 39°等于( )
A. B.
C. D．1
【解析】 sin 21°cos 39°＋cos 21°sin 39°＝sin(21°＋39°)＝sin 60°＝.
【答案】 C
2．若A、B是三角形ABC的内角，并且(1＋tan A)(1＋tan B)＝2，则A＋B等于 ( )
A. B.
C. D．kπ＋(k∈Z)
【解析】 由(1＋tan A)(1＋tan B)＝2，得
tan A＋tan B＝1－tan Atan B.
∴＝1，即tan(A＋B)＝1.
又A、B是三角形的内角，则0因此A＋B＝.
【答案】 A
3.的值等于__________．
【解析】 原式＝＝tan(45°＋15°)＝.
【答案】
4．已知α为锐角，sin α＝，β是第四象限角，cos(π＋β)＝－.求sin(α＋β)的值．
【解】 ∵α∈(0，)，且sin α＝，
∴cos α＝＝.
又β是第四象限角，
且cos(π＋β)＝－，
∴cos β＝，
sin β＝－＝－，
∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×＋×(－)＝－＝0.
一、选择题
1．在△ABC中，已知sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B≥1，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
【解析】 ∵sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B＝sin[(A－B)＋B]＝sin A≥1，
∴sin A＝1，∴∠A＝90°，故△ABC是直角三角形．
【答案】 C
2．(2013·青岛高一检测)已知tan(α＋)＝3，则tan α的值为( )
A. B．－
C. D．－
【解析】 ∵＝3，∴tan α＝.
【答案】 A
3．(2012·湖南高考)函数f(x)＝sin x－cos(x＋)的值域为( )
A．[－2,2] B．[－，]
C．[－1,1] D．[－，]
【解析】 ∵f(x)＝sin x－cos(x＋)＝sin x－cos xcos ＋sin xsin
＝sin x－cos x＋sin x＝(sin x－cos x)
＝sin(x－)(x∈R)，
∴f(x)的值域为[－，]．
【答案】 B
4．若α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)等于( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
【解析】 (1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝1－tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝1－tan ·(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝2.
【答案】 C
5．(2013·南阳高一检测)已知sin α＝，α是第二象限的角，且tan(α＋β)＝－，则tan β的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
【解析】 ∵α为第二象限角，
∴cos α<0，cos α＝－，∴tan α＝－.
tan β＝tan[(α＋β)－α]＝
＝＝－.
【答案】 C
二、填空题
6．sincos－sin sin＝________
【解析】 原式＝sincos－cos(－)sin＝sincos－cossin＝sin(－)＝sin＝.
【答案】
7.的值为________．
【解析】 原式＝＝2sin 30°＝2×＝1.
【答案】 1
8．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tan αtan β＝________________________________________________________________________.
【解析】 将cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝
按两角和与差的余弦公式展开，相加减可得：
sin αsin β＝，cos αcos β＝，
所以tan αtan β＝.
【答案】
三、解答题
9．已知α、β∈(，π)，sin(α＋β)＝－，sin(β－)＝，求cos(α＋)的值．
【解】 ∵α、β∈(，π)，∴α＋β∈(，2π)．
∴cos(α＋β)＝＝.
又β－∈(，)，∴cos(β－)＝－.
∴cos(α＋)＝cos[(α＋β)－(β－)]
＝cos(α＋β)cos(β－)＋sin(α＋β)sin(β－)
＝×(－)＋(－)×＝－.
10.
图3－1－1
(2013·宁德高一检测)如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为、.
(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．
【解】 由条件得cos α＝，cos β＝.
∵α，β为锐角，
∴sin α＝＝，
sin β＝＝.
因此tan α＝7，tan β＝.
(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)∵tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
＝＝＝－1，
又∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜，
∴α＋2β＝.
11．已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x.
(1)求出f(x)的最大值、最小值；
(2)求出f(x)的单调增区间．
【解】 f(x)＝sin 2x＋ cos 2x
＝2
＝2＝2sin.
(1)当2x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z时，f(x)取得最大值2；当2x＋＝2kπ－，k∈Z，即x＝kπ－π，k∈Z时，f(x)取得最小值－2.
(2)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－π≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴函数f(x)的单调增区间为，k∈Z.
【教师备课资源】
1．知识拓展
探究和差角公式的内在联系
以公式C(α－β)为基础推导的其他公式
(1)推导cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.
在公式C(α－β)中，令－β代替β，则有cos(α＋β)＝
cos αcos(－β)＋sin αsin(－β)
＝cos αcos β－sin αsin β.
即cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.(C(α＋β))
(2)推导sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β和sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
运用C(α＋β)和诱导公式，有
sin(α＋β)＝cos
＝cos
＝cos(－α)cos β＋sin(－α)sin β
＝sin αcos β＋cos αsin β.
即sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(S(α＋β))
在公式S(α＋β)中用－β代替β，可以得到
sin(α－β)＝sin αcos(－β)＋cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
即sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.(S(α－β))
(3)推导公式tan(α＋β)＝和tan(α－β)＝.
当cos(α＋β)≠0时，将公式S(α＋β)，C(α＋β)的两边分别相除，有
tan(α＋β)＝
＝.
当cos αcos β≠0时，将上式的分子、分母分别除以cos αcos β，得
tan(α＋β)＝.(T(α＋β))
由于tan(－β)＝＝
＝－tan β.
在T(α＋β)中以－β代替β，可得
tan(α－β)＝
＝.
即tan(α－β)＝.(T(α－β))
(4)公式T(α±β)在α≠kπ＋，β≠kπ＋，α＋β≠kπ＋(T(α＋β)须满足)，α－β≠kπ＋(T(α－β)须满足)，k∈Z时成立，否则是不成立的．
当tan α，tan β或tan(α＋β)的值不存在时，不能使用T(α±β)公式，处理有关问题时应改用诱导公式或其他方法来解，比如化简tan(－β)，因为tan的值不存在，不能用T(α－β)，而应改用诱导公式tan(－β)＝cot β.
公式S(α＋β)，C(α＋β)，T(α＋β)给出了任意角α、β的三角函数值(指正弦、余弦和正切)与其和角α＋β的三角函数值之间的关系，为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式．
类似地，公式S(α－β)，C(α－β)，T(α－β)都叫做差角公式.
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
●三维目标
1．知识与技能
以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用．
2．过程与方法
经历二倍角公式的探究过程，培养学生发现数学规律的思维方法，培养学生分析问题和解决问题的能力，并体会化归与转化的思想方法．
3．情感、态度与价值观
通过对二倍角公式的探究学习，培养学生的探索精神和应用意识，体会数学的科学价值和应用价值，不断提高自身的文化修养．
●重点、难点
重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式．
难点：二倍角的理解及其灵活运用．
●教学建议
对于二倍角公式的学习，要注意引导学生从和差公式C(α＋β)，S(α＋β)，T(α＋β)出发，寻找思维的突破口，学生不难想到，教学中，要求学生对“倍”的相对性有一定的认识，事实上，灵活使用“倍”的变换、“换元”等都体现了思维的灵活性，对学生推理能力的发展能起到很好的推动作用．
●教学流程
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(见学生用书第69页)
课标解读
1.会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式．
(重点)
2.掌握二倍角公式及其变形公式应用．(难点)
3.二倍角公式与两角和与差的正弦、余弦、正切公式的区别与联系．(易混点)
二倍角的正弦、余弦、正切公式
【问题导思】
在公式C(α＋β)，S(α＋β)，T(α＋β)中，若α＝β公式还成立吗？
【提示】 成立．
二倍角的正弦、余弦、正切公式
记法
公式
S2α
sin 2α＝2sin αcos α
C2α
cos 2α＝cos2α－sin2α
T2α
tan 2α＝
正弦、余弦的二倍角公式的变形
1.余弦的二倍角公式的变形
1-2sin2α
2．正弦的二倍角公式的变形
(1)sin αcos α＝sin 2α，cos α＝.
(2)1±sin 2α＝(sin α±cos α)2.
(见学生用书第69页)
利用二倍角公式给角求值
求下列各式的值：
(1)coscos；(2)－cos2；
(3)； (4)sin 10°sin 50°sin 70°.
【思路探究】 第(1)题可根据是的2倍构造二倍角的公式求值；第(2)题需将所求式变形逆用二倍角公式化简求值；(3)逆用二倍角的正切公式求解；(4)利用互余关系把正弦变成余弦，逆用二倍角公式化简、求值．
【自主解答】 (1)原式＝
＝
＝＝＝.
(2)原式＝＝－
＝－cos＝－.
(3)原式＝tan 300°＝tan(360°－60°)
＝－tan 60°＝－.
(4)原式＝cos 20°cos 40°cos 80°＝
＝·＝.
对于给角求值问题，一般有两类：
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角．
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
求下列各式的值．
(1)cos 72°cos 36°；(2)＋ .
【解】 (1)cos 36°cos 72°＝＝＝＝.
(2)原式＝
＝＝＝＝4.
利用二倍角公式给值求值
已知sin(－x)＝，0【思路探究】 求cos(－x)的值→求cos(＋x)
→利用cos 2x＝sin(－2x)求值→代入
计算
【自主解答】 ∵0又∵sin(－x)＝，∴cos(－x)＝.
又cos 2x＝sin(－2x)＝2sin(－x)cos(－x)
＝2××＝，cos(＋x)＝sin[－(＋x)]
＝sin(－x)＝，∴原式＝＝.
1．条件求值问题常有两种解题途径：(1)对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；(2)对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．
2．当遇到±x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通．
在例题条件不变的情况下，求的值．
【解】 ∵x∈(0，)，∴－x∈(0，)．
又∵sin(－x)＝，∴cos(－x)＝.
又sin 2x＝cos(－2x)＝cos 2(－x)
＝2cos2(－x)－1＝.
∴＝＝.
二倍角公式的综合应用
(1)化简：；
(2)化简：－
【思路探究】 (1)化2θ为θ，消去1→提公因式，约分→通分整理→结论
(2)1±sin 10°＝(sin 5°±cos 5°)2.
【自主解答】
(1)法一 ＝＝
＝－，
∴原式＝－.
法二 ＝
＝
＝
＝－＝－，
∴原式＝－.
(2)－
＝－
＝－
＝(cos 5°＋sin 5°)－(cos 5°－sin 5°)
＝2sin 5°.
∴原式＝2sin 5°.
1．对于三角函数式的化简有下面的要求：(1)能求出值的应求出值．(2)使三角函数种数尽量少．(3)使三角函数式中的项数尽量少．(4)尽量使分母不含有三角函数．(5)尽量使被开方数不含三角函数．
2．化简的方法：
(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角．
(2)降幂或升幂．
(3)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin2θ.
化简下列各式．
(1)＜α＜，则＝________.
(2)α为第三象限角，则－ ＝________.
【解析】 (1)∵α∈(，)，∴sin α＞cos α，
∴＝
＝
＝＝sin α－cos α.
(2)∵α为第三象限角，∴cos α＜0，sin α＜0，
∴－ ＝－
＝－＝0.
【答案】 (1)sin α－cos α (2)0
(见学生用书第70页)
未根据角范围分类讨论致误
化简－(θ∈(0，π))．
【错解】 原式＝－
＝－
＝sin ＋cos －(sin －cos )＝2cos .
【错因分析】 利用＝|a|＝去根号时，对a的符号未加讨论而出错或sin θ－cos θ、sin θ＋cos θ的符号判断出错．
【防范措施】 化简根式问题，主要目的是把被开方数化成完全平方形式，从而进行开方，开方时要注意＝|a|＝所以一定要先判断a的正负．
【正解】 原式＝－
＝－
＝|sin ＋cos |－|sin －cos |.
∵θ∈(0，π)，
∴∈(0，)．
(1)当∈(0，]时，cos ≥sin ，
此时原式＝sin ＋cos －cos ＋sin ＝2sin .
(2)当∈(，)时，cos 此时原式＝sin ＋cos －sin ＋cos ＝2cos .
1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：
8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是α的二倍；是的二倍；是的二倍；＝(n∈N*)．
2．二倍角余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角余弦公式的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos2α，②cos2α＝，③1－cos 2α＝2sin2α，④sin2 α＝.
(见学生用书第71页)
1.sin 15°cos 15°的值等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 原式＝sin 30°＝.
【答案】 B
2．(2013·包头高一检测)下列各式中，值为的是( )
A．2sin 15°－cos 15°
B．cos215°－sin215°
C．2sin215°－1
D．cos215°＋sin215°
【解析】 A：2sin 15°－cos 15°≠，
B：cos215°－sin215°＝cos 30°＝，
C：2sin215°－1＝－cos 30°＝－，
D：cos215°＋sin215°＝1.故选B.
【答案】 B
3．已知tan α＝，则tan 2α＝__________.
【解析】 tan 2α＝＝＝.
【答案】
4．若tan(α＋)＝3＋2，求的值．
【解】 由tan(α＋)＝＝3＋2，
∴tan α＝，
∴＝＝tan α＝.
一、选择题
1.·＝( )
A．tan 2α B．tan α
C．1 D.
【解析】 原式＝·＝tan 2α.
【答案】 A
2．函数f(x)＝sin xcos x的最小值是( )
A．－1 B．－
C. D．1
【解析】 f(x)＝sin 2x，∴f(x)min＝－.
【答案】 B
3．(2013·大连高一检测)设sin(＋θ)＝，则sin 2θ＝( )
A．－ B．－
C. D.
【解析】 法一 sin(＋θ)＝，
即(sin θ＋cos θ)＝，两边平方得(1＋sin 2θ)＝，
∴sin 2θ＝－.
法二 sin 2θ＝－cos[2(＋θ)]＝2sin2(＋θ)－1＝－1＝－.
【答案】 A
4．设sin α＝(＜α＜π)，tan(π－β)＝，则tan(α－2β)＝( )
A．－ B．－
C. D.
【解析】 ∵sin α＝，α∈(，π)，
∴cos α＝－，∴tan α＝－.
又∵tan(π－β)＝，∴tan β＝－，
∴tan 2β＝＝－.
∴tan(α－2β)＝
＝＝.
【答案】 D
5.＋2的化简结果是( )
A．2cos 4－4sin 4 B．2sin 4
C．2sin 4－4cos 4 D．－2sin 4
【解析】 原式＝＋2＝×＋2
＝2|sin 4|＋2|sin 4－cos 4|，
∵sin 4<0，sin 4∴原式＝－2sin 4＋2(cos 4－sin 4)＝2cos 4－4sin 4.
【答案】 A
二、填空题
6．(2013·广州高一检测)已知sin(－x)＝，则sin 2x的值等于________．
【解析】 法一 ∵sin(－x)＝，∴cos(－2x)＝1－2sin2(－x)＝1－2×()2＝，
∴sin 2x＝cos(－2x)＝.
法二 由sin(－x)＝，得(sin x－cos x)＝－，
∴sin x－cos x＝－，两边平方得
1－sin 2x＝，∴sin 2x＝.
【答案】
7．在△ABC中，已知cos 2C＝－，则sin C的值为________．
【解析】 cos 2C＝1－2sin2C＝－且0所以sin C＝.
【答案】
8．函数f(x)＝sin(2x－)－2·sin2x的最小正周期是________．
【解析】 f(x)＝sin(2x－)－2sin2x
＝sin 2x－cos 2x－2×
＝sin 2x＋cos 2x－
＝sin(2x＋)－，
故该函数的最小周期为＝π.
【答案】 π
三、解答题
9．(1)求函数f(x)＝cos(x＋π)＋2cos2，x∈R的值域；
(2)已知tan α＝3，α∈(，)，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．
【解】 (1)f(x)＝cos xcosπ－sin xsinπ＋cos x＋1＝－cos x－sin x＋cos x＋1＝cos x－sin x＋1＝sin(x＋)＋1，因此f(x)的值域为[0,2]．
(2)∵α∈(，)，tan α＝3，∴sin α＝，cos α＝.
∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－，
∴tan 2α＝＝－.
10．已知sin(＋α)sin(－α)＝，且α∈(，π)，求sin 4α的值．
【解】 因为(＋α)＋(－α)＝.
所以sin(－α)＝cos(＋α)
因为sin(＋α)sin(－α)＝，
所以2sin(＋α)·cos(＋α)＝，
即sin(＋2α)＝.
所以cos 2α＝.
又因为α∈(，π)，所以2α∈(π，2π)，
所以sin 2α＝－＝－.
所以sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝－.
11．(2013·天津高一检测)已知函数f(x)＝tan(2x＋)．
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)设α∈(0，)，若f()＝2cos 2α，求α的大小．
【解】 (1)由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z.
所以f(x)的定义域为{x∈R|x≠＋，k∈Z}，
f(x)的最小正周期为.
(2)由f()＝2cos 2α，得tan(α＋)＝2cos 2α，
＝2(cos2α－sin2α)，
整理得＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．
因为α∈(0，)，所以sin α＋cos α≠0.因此(cos α－sin α)2＝，即sin 2α＝.由α∈(0，)，得2α∈(0，)，所以2α＝，即α＝.
【教师备课资源】
1．方程思想的应用
【典例】 已知α∈(0，)，且sin2α－sin αcos α－2cos2α＝0，求tan(－α)的值．
【思考探究】 将弦函数关系式转化为tan α的方程，先求tan α，再求tan(－α)．
【自主解答】 ∵sin2α－sin αcos α－2cos2α＝0，cos α≠0，
∴tan2α－tan α－2＝0.
∴tan α＝2或tan α＝－1.
∵α∈(0，)，
∴tan α＝2.
∴tan(－α)＝
＝＝.
1．构造关于tan α的二次方程是解决本题的关键．
2．在三角函数的求值问题中，若某一三角函数值不易直接求解时，可构造方程或方程组求解．
已知tan(α＋)＝2，求cos 2α＋3sin2α＋tan 2α的值．
【解】 ∵tan(α＋)＝＝2，∴tan α＝.
∴cos 2α＋3sin2α＋tan 2α＝cos2α－sin2α＋3sin2α＋tan 2α
＝＋tan 2α＝＋＝＋＝.
2．知识拓展
二倍角公式的再探究
(1)对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍角；6α是3α的二倍角；4α是2α的二倍角；3α是α的二倍角；是的二倍角；是的二倍角；
……
又如α＝2·，＝2·，…，＝2×.
∴sin＝2sincos(n∈N*)，
tan ＝(n∈N*)．
(2)一般情况下，sin 2α≠2sin α，例如：sin≠2sin ，只有当α＝nπ，n∈Z时，sin 2α＝2sin α才成立，同样cos 2α＝2cos α，tan 2α＝2tan α在一般情况下也不成立，请读者自己寻求“等号”成立的条件．【版权所有：21教育】
(3)当α＝kπ＋(k∈Z)时，tan α的值不存在，这时求tan 2α的值可利用诱导公式，
即tan 2α＝tan 2(kπ＋)＝tan(π＋2kπ)＝tan π＝0.
3．2简单的三角恒等变换
●三维目标
1．知识与技能
(1)利用二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式．
(2)通过三角恒等变形将形如asin x＋bcos x的函数转化为y＝Asin(x＋φ)的函数．
(3)灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最值、周期、单调性等问题．
2．过程与方法
经历半角公式、积化和差公式、和差化积公式的推导过程，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促进学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．
3．情感、态度与价值观
通过对本节内容的学习和运用实践，培养学生观察、分析和解决问题的能力；培养学生的探索精神，加强学生的应用意识，激发学生的学习兴趣．
●重点、难点
重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．
难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．
●教学建议
本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．本节的内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，教学中对半角公式、和差化积公式以及积化和差公式只要求学生掌握其推导过程，并希望学生能从它们设计变换途径和方法的途径中，找到思维过程的共性，其结果不要求记忆．
●教学流程
创设问题情境，引出问题：你能用cos α表示sin2，cos2，tan2吗？???????
(见学生用书第71页)
课标解读
1.运用三角变换公式进行简单的三角恒等变换．(重点)
2.公式的综合运用，根据三角变换特点，设计变换过程．(难点)
3.应用半角公式求值时的符号问题．(易混点)
半角公式
【问题导思】
为丰富三角变换，我们曾由和角公式引出倍角公式，且“倍角是相对的”，那么倍角公式中的2α能否化为α，结果怎样？2-1-c-n-j-y
【提示】 能，结果是sin α＝2sin cos ；cos α＝2cos2－1＝1－2sin2＝cos2－sin2；tan α＝.
sin＝± ，
cos＝± ，
tan＝± ，
tan＝＝＝，
tan＝＝＝.
辅助角公式
asin x＋bcos x＝sin(x＋θ)(其中tan θ＝)．
(见学生用书第72页)
应用半角公式求值
已知sin θ＝，且<θ<3π，求cos和tan.
【思路探究】 解答本题先求cos θ，而后确定的范围，最后应用半角公式化简．
【自主解答】 ∵sin θ＝，<θ<3π，
∴cos θ＝－＝－.
由cos θ＝2cos2－1得
cos2＝＝.
∵<<π.
∴cos＝－＝－.
tan＝＝
＝＝2.
1．若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论．
2．由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤：
(1)先化简所求的式子；
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手)．
本例中将条件改为“π<θ<π，且sin θ＝－”，如何求解？
【解】 ∵sin θ＝－，π<θ<π，
∴cos θ＝－＝－.
由cos θ＝2cos2－1得
cos2＝＝，
∵π<θ<π，∴<<π.
∴cos ＝－＝－.
∴tan＝
＝＝＝－2.
三角恒等式的证明
求证：＝－.
【思路探究】 解答本题可先将右边两个分式用升幂公式变形，再通分逐步向左边的式子变换．
【自主解答】 右边＝－＝
－
＝
＝
＝＝左边．
∴原等式成立．
1．恒等式的证明，包括无条件的恒等式和有条件的恒等式两种．
(1)无条件的恒等式证明，常用综合法(执因索果)和分析法(执果索因)，证明的形式有化繁为简、左右归一、变更论证等．
(2)有条件的恒等式证明，常常先观察条件式及欲证式中左、右两边三角函数的区别与联系，灵活使用条件，变形得证．
2．进行恒等变形时，既要注意分析角之间的差异，寻求角的变换方法，还要观察三角函数的结构特征，寻求化同名(化弦或化切)的方法，明确变形的目的．
求证：tan(α＋)＋tan(α－)＝2tan 2α.
【证明】 法一 左边＝tan[(α＋)＋(α－)]·[1－tan(α＋)tan(α－)]
＝tan 2α·(1－·)
＝2tan 2α＝右边．
故原等式成立．
法二 左边＝＋
＝＋
＝
＝＝2tan 2α＝右边．
故原等式成立.
与三角函数性质有关的综合问题
已知函数f(x)＝cos(＋x)·cos(－x)，g(x)＝sin 2x－.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合．
【思路探究】 利用两角和、差的余弦公式，二倍角公式及正、余弦的辅助角公式，化f(x)、h(x)为Acos(ωx＋φ)的形式，然后研究函数的性质．
【自主解答】 (1)f(x)＝(cos x－sin x)·
(cos x＋sin x)
＝cos2x－sin2x
＝－
＝cos 2x－，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos 2x－sin 2x
＝cos(2x＋)，
当2x＋＝2kπ(k∈Z)时，h(x)有最大值.
此时x的取值集合为{x|x＝kπ－，k∈Z}．
1．为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为余弦型(正弦型)函数，这是解决问题的前提．
2．本题充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供了保障．
已知f(x)＝cos2(x＋)＋sin xcos x．求：
(1)f(x)的最值；
(2)f(x)的单调递增区间．
【解】 f(x)＝[1＋cos(2x＋)]＋sin 2x
＝＋(cos 2xcos －sin 2x·sin )＋sin 2x
＝(sin 2x＋cos 2x)＋
＝sin(2x＋)＋.
(1)f(x)max＝1，f(x)min＝0.
(2)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
则f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z).
三角函数在实际问题中的应用
如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？
图3－2－1
【思路探究】 设∠AOB＝α→建立周长l(α)→
求l的最大值
【自主解答】 设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsin α，OB＝Rcos α，
∴l＝OA＋AB＋OB
＝R＋Rsin α＋Rcos α
＝R(sin α＋cos α)＋R
＝Rsin(α＋)＋R.
∵0<α<，∴<α＋<.
∴l的最大值为R＋R＝(＋1)R，此时，α＋＝，即α＝，
即当α＝时，△OAB的周长最大．
1．解答此类问题，关键是合理引入辅助角α，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解． 21*cnjy*com
2．在求解过程中，要注意三点：(1)充分借助平面几何性质，寻找数量关系；(2)注意实际问题中变量(角α)的范围；(3)重视三角函数有界性的影响．
有一块以O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿地，使其一边AD落在圆的直径上，另外两点B，C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？
【解】 如图所示，设∠AOB＝θ(θ∈(0，))，则AB＝asin θ，OA＝acos θ.
设矩形ABCD的面积为S，则S＝2OA·AB，
∴S＝2acos θ·asin θ＝a2·2sin θcos θ＝a2sin 2θ.
∵θ∈(0，)，∴2θ∈(0，π)．
因此，当2θ＝，即θ＝时，Smax＝a2.
这时点A、D距离O的距离为a，
矩形ABCD的面积最大值为a2.
(见学生用书第73页)
辅助角公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)的应用
(12分)已知函数y＝cos2x＋sin x·cos x＋1，x∈R.
(1)当自变量y取得最大值时，求自变量x的集合；
(2)求函数的单调递增区间．
【思路点拨】 先利用辅助角公式将函数表达式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再研究f(x)的有关性质，注意使用整体代换的思想将ωx＋φ看成一个整体去讨论最值及单调性问题．
【规范解答】 (1)y＝cos2x＋sin xcos x＋1
＝×＋×sin 2x＋1
＝(sin 2x＋cos 2x)＋＝ sin(2x＋)＋.………4分
当函数y取得最大值时，2x＋＝2kπ＋(k∈Z)即x＝kπ＋(k∈Z)．故y取得最大值时，自变量x的集合为{x|x＝＋kπ，k∈Z}.…………………………………………………8分
(2)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，故函数的单调递增区间是(k∈Z). …………………………………………………………12分
我们只研究过函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期性、奇偶性、单调性和最大值与最小值问题，因此，解答本题的关键是利用辅助角公式将题中的函数进行化简．因此，对辅助角公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)要熟练掌握，并能灵活运用．
1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．
2．辅助角公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中φ满足：①φ与点(a，b)同象限；②tan φ＝(或sin φ＝，cos φ＝)．
3．研究形如f(x)＝asin x＋bcos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a、b应熟练掌握．例如sin x±cos x＝sin(x±)；sin x±cos x＝2sin(x±)等．
(见学生用书第74页)
1．若cos α＝，α∈(0，π)，则cos的值为( )
A. B．－
C．± D．±
【解析】 由题意知∈(0，)，∴cos>0，cos＝＝.
【答案】 A
2．已知cos α＝，α∈(π，2π)，则sin等于( )
A．－ B.
C. D．－
【解析】 由题意知∈(π，π)，
∴sin>0，sin＝
＝.
【答案】 B
3.的值为( )
A．2＋ B．2－
C. D.
【解析】 原式＝
＝＝tan 15°.
＝tan(45°－30°)＝＝2－.
【答案】 B
4．设函数f(x)＝(sin ωx＋cos ωx)2＋2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为.求ω的值．
【解】 f(x)＝1＋2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx
＝1＋sin 2ωx＋(1＋cos 2ωx)＝sin(2ωx＋)＋2，
又T＝＝π，∴ω＝.
一、选择题
1．下列各式与tan α相等的是( )
A. B.
C. D.
【解析】 ＝＝＝tan α.
【答案】 D
2．若函数f(x)＝sin 2x－(x∈R)，则f(x)是( )
A．最小正周期为的奇函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为2π的偶函数
D．最小正周期为π的偶函数
【解析】 y＝sin 2x－
＝－
＝－cos 2x，
∴函数是最小正周期为π的偶函数．
【答案】 D
3．已知tan ＝3，则cos α为( )
A. B．－
C. D．－
【解析】 tan2＝＝32＝9，∴cos α＝－.
【答案】 B
4．已知sin θ＝－，3π＜θ＜π，则tan 的值为( )
A．3 B．－3
C. D．－
【解析】 ∵3π＜θ＜π，sin θ＝－，
∴cos θ＝－＝－，∴tan θ＝.
∵3π＜θ＜π，∴π＜＜π，
又tan θ＝＝，
∴tan ＝－3或(舍去)．
【答案】 B
5．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝，则有( )
A．cC．a【解析】 a＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°，
b＝2sin 13° ·cos 13°＝sin 26°，
c＝sin 25°，
y＝sin x在[0，]上是递增的．
∴a【答案】 C
二、填空题
6．若＜α＜2π，且cos α＝，则
的值是________．
【解析】 原式＝＝＝＝.
【答案】
7．(2013·常熟高一检测)函数y＝cos2(x－)＋sin2(x＋)－1的最小正周期为________．
【解析】 y＝cos2(x－)＋sin2(x＋)－1＝＋－1
＝
＝sin 2x，
∴T＝＝π.
【答案】 π
8．已知＝(＜x＜)，则sin x－cos x＝________.
【解析】 原式＝
＝＝2sin xcos x＝，
由于＜x＜， 此时sin x＞cos x，
故sin x－cos x＝＝ ＝.
【答案】
三、解答题
9．已知：＝2，求的值．
【解】 因为
＝＝
＝＝tan α＝2.
所以＝＝2tan α＝4.
10．(2012·北京高考)已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求f(x)的单调递增区间．
【解】 (1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z)，
故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．
因为f(x)＝
＝2cos x(sin x－cos x)
＝sin 2x－cos 2x－1
＝sin(2x－)－1，
所以f(x)的最小正周期为π.
(2)函数y＝sin x的单调递增区间为
[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋，x≠kπ(k∈Z)．
所以f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ)和(kπ，kπ＋](k∈Z)．
11．点P在直径AB＝1的半圆上移动，过P作圆的切线PT，且PT＝1，∠PAB＝α，问α为何值时，四边形ABTP的面积最大？
【解】 如图，连接PB，
∵AB为直径，∴∠APB＝90°，
∵∠PAB＝α，AB＝1，
∴PB＝sin α，PA＝cos α.
又PT切圆于P点，则∠TPB＝∠PAB＝α.
∴S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB
＝PA·PB＋PT·PB·sin α
＝sin α·cos α＋sin2α.
＝sin 2α＋(1－cos 2α)．
＝sin(2α－)＋，
∵0<α<，－<2α－<π，
∴当2α－＝，即α＝π时，四边形面积最大．
【教师备课资源】
1．知识拓展
三角函数的和积互化
(1)三角函数的积化和差公式及推导
sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，
cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]，
cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，
sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]．
下面对这组公式进行推导：
∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，(S(α＋β))
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，(S(α－β))
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，(C(α＋β))
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，(C(α－β))
(S(α＋β))＋(S(α－β))，(S(α＋β))－(S(α－β))，(C(α＋β))＋(C(α－β))，(C(α＋β))－(C(α－β))，得
sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β，
sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cos αsin β，
cos(α＋β)＋cos(α－β)＝2cos αcos β，
cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sin αsin β，
即sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，①
cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]，②
cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，③
sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]，④
公式①、②、③、④叫做积化和差公式．
(2)三角函数的和差化积公式
sin α＋sin β＝2sin·cos，
sin α－sin β＝2cos·sin，
cos α＋cos β＝2cos·cos，
cos α－cos β＝－2sin·sin.
下面给出这组公式的推导：
在积化和差的公式中，如果“从右往左”看，实质上就是和差化积．为了用起来方便，在积化和差的公式中，如果令α＋β＝θ，α－β＝φ，则α＝，β＝.
把这些值代入积化和差的公式①中，就有
sin·cos
＝[sin(＋)＋sin(－)]
＝(sin θ＋sin φ)．
∴sin θ＋sin φ＝2sin·cos.
同样可得：
sin θ－sin φ＝2cos·sin，
cos θ＋cos φ＝2cos·cos，
cos θ－cos φ＝－2sin·sin.
这四个公式叫做和差化积公式．
(见学生用书第75页)
三角恒等变换和角公式cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin βtan(α＋β)＝sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β差角公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin βtan(α－β)＝sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β倍角公式cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1
＝1－2sin2αtan 2α＝sin 2α＝2sin αcos α应用三角函数式的求值、化简和证明，讨论www.21-cn-jy.com
三角函数的性质
三角函数的求值
三角函数求值主要有三种类型，即：
(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式．
(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围．
(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．
试求tan 10°＋4sin 10°的值．
【思路点拨】 观察式中函数的特征及角的特征：有切有弦，且有数值以及4.为此采取化异为同，首先采取切化弦．
【规范解答】 原式＝
＝
＝
＝
＝＝＝
＝1.
∴原式＝1.
(2013·大庆高一检测)已知tan(α＋)＝－(＜α＜π)，
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
【解】 (1)由tan(α＋)＝－，得＝－，解得tan α＝－3.
(2)＝＝2cos α.
∵＜α＜π，且tan α＝－3，
∴cos α＝－.∴原式2×(－)＝－.
三角函数式的化简与证明
三角函数式的化简是三角变换应用的一个重要方面，其基本思想方法是统一角、统一三角函数的名称．在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一．通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简．
三角函数式的证明实质上也是化简，是有方向目标的化简；根本原则：由繁到简，消除两端差异，达到证明目的．
证明：－＝32sin 10°.
【思路点拨】 由繁到简，故从左边到右边证明；先把左边通分后分子因式分解，再利用辅助角公式化归到与右边相同．
【规范解答】 ∵左边＝－
＝
＝
＝
＝＝＝
＝
＝32sin 10°＝右边．
∴原等式成立．
化简：sin(α＋β)cos α－[sin(2α＋β)－sin β]．
【解】 sin(α＋β)cos α－[sin(2α＋β)－sin β]
＝sin(α＋β)cos α－[sin(α＋β＋α)－sin(α＋β－α)]
＝sin(α＋β)cos α－[sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)－sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]
＝sin(α＋β)cos α－×2sin αcos(α＋β)
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝sin(α＋β－α)＝sin β.
三角恒等变形的综合运用
与三角恒等变形有关的综合问题一般有以下两种类型：
(1)以三角恒等变形为主要的化简手段，考查三角函数的性质．当给出的三角函数关系式较为复杂，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，将函数表达式变形为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝
Acos(ωx＋φ)＋k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．
(2)以向量运算为载体，考查三角恒等变形．这类问题往往利用向量的知识和公式，通过向量的运算，将向量条件转化为三角条件，然后通过三角变换解决问题；有时还从三角与向量的关联点处设置问题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查．
(2013·邯郸高一检测)已知向量a＝(sin x,1)，b＝(cos x，－)，
(1)当a⊥b时，求|a＋b|的值；
(2)求函数f(x)＝a·(2b－a)＋cos2x的单调区间．
【思路点拨】 (1)由a·b＝0及|a＋b|＝代入坐标求解；(2)由数量积的坐标运算法则化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k形式后再求单调区间．
【规范解答】 (1)当a⊥b时，|a＋b|＝＝＝.
(2)f(x)＝2a·b－a2＋cos2x＝2sin xcos x－1－sin2x－1＋cos2x
＝sin 2x＋cos 2x－2＝sin(2x＋)－2，
当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)时，f(x)单调递增，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)；
当2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)时，f(x)单调递减，解得kπ＋≤x≤kπ＋π(k∈Z)．
∴函数f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
单调减区间为[kπ＋，kπ＋π]，k∈Z.
已知函数f(x)＝(1＋)sin2x－2sin(x＋)·sin(x－)．
(1)若tan α＝2，求f(α)；
(2)若x∈[，]，求f(x)的取值范围．
【解】 (1)f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋cos 2x
＝＋sin 2x＋cos 2x
＝(sin 2x＋cos 2x)＋，
由tan α＝2，
得sin 2α＝＝＝，
cos 2α＝＝＝－，
所以f(α)＝.
(2)由(1)得f(x)＝(sin 2x＋cos 2x)＋
＝sin(2x＋)＋，
由x∈[，]，得2x＋∈[，]，
所以sin(2x＋)∈[－，1]，
从而f(x)＝sin(2x＋)＋∈[0，].
转化与化归的思想
三角式的恒等变换是解三角函数问题的方法基础，所谓三角式的恒等变换，就是运用有关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式．转化与化归的思想是三角恒等变换应用最广泛的，也是最基本的数学思想，它贯穿于三角恒等变换的始终，要认真体会理解，在解题过程中学会灵活应用．
已知sin(α－)＝，cos(－β)＝－，且α－和－β分别为第二、第三象限角，
求tan的值．
【思路点拨】 先根据α－，－β的范围求得其正、余弦再求正切值，最后由＝(α－)－(－β)求解．
【规范解答】 ∵sin(α－)＝，且α－为第二象限角，
∴cos(α－)＝－＝－.
又cos(－β)＝－，且－β为第三象限角，
∴sin(－β)＝－＝－.
∴tan(α－)＝－，tan(－β)＝，
∴tan＝tan[α－)－(－β)]
＝＝＝－.
已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2α的值．
【解】 ∵<β<α<，
∴0<α－β<，π<α＋β<.
∴sin(α－β)＝＝.
cos(α＋β)＝－＝－.
即sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]
＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)
＝－·＋·(－)＝－.
综合检测(三)
第三章 三角恒等变换
(时间：90分钟，满分：120分)
一、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)2·1·c·n·j·y
1．(2013·新余一中高一检测)cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°的值是( )
A．－ B.
C. D．－
【解析】 原式＝cos 43°sin 13°－sin 43°cos 13°＝sin(13°－43°)＝sin(－30°)＝－.
【答案】 D
2．已知tan(π－α)＝2，则等于( )
A. B.
C．－ D．－
【解析】 由tan(π－α)＝2，得tan α＝－2，
∴＝＝＝－.
【答案】 C
3．(2013·德州高一检测)函数f(x)＝2sin(－x)cos(＋x)－1是( )
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为2π的偶函数
D．最小正周期为π的偶函数
【解析】 f(x)＝2sin(－x)cos(＋x)－1
＝2cos[－(－x)]·cos(＋x)－1
＝2cos(＋x)·cos(＋x)－1＝2cos2(＋x)－1
＝cos 2(＋x)＝cos(＋2x)＝－sin 2x.
∴T＝π，且f(x)是奇函数．故选B.
【答案】 B
4．(2013·合肥高一检测)tan(α＋β)＝，tan(α＋)＝，那么tan(β－)＝( )
A. B.
C. D.
【解析】 tan(β－)＝tan[(α＋β)－(α＋)]＝＝＝.
【答案】 C
5．函数f(x)＝sin x－cos x(x∈[－π，0])的单调递增区间是( )
A．[－π，－] B．[－，－]
C．[－，0] D．[－，0]
【解析】 f(x)＝2sin(x－)，x∈[－π，0]，
由2kπ－≤x≤2kπ＋π
∴递增区间为[－，0]．
【答案】 D
6．已知sin(－x)＝，则sin 2x的值为( )
A. B.
C. D.
【解析】 sin 2x＝cos(－2x)＝cos 2(－x)
＝1－2sin2(－x)
＝1－2×()2＝.
【答案】 D
7．(2013·洋浦高一检测)在△ABC中，若sin C＝2cos Asin B，则此三角形必是( )
A．等腰三角形 B．正三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【解析】 △ABC中，sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝2cos Asin B，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0，即sin(A－B)＝0，
∴A＝B.
【答案】 A
8．在锐角△ABC中，设x＝sin Asin B，y＝cos Acos B，则x，y的大小关系为( )
A．x≤y B．x＞y
C．x＜y D．x≥y
【解析】 x－y＝sin Asin B－cos Acos B＝－cos(A＋B)，因为△ABC是锐角三角形，故＜A＋B＜π，21*cnjy*com
∴－cos(A＋B)＞0，∴x＞y.
【答案】 B
9．已知sin(－θ)＋cos(－θ)＝，则cos 2θ的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
【解析】 将sin(－θ)＋cos(－θ)＝两边平方得，1＋2sin(－θ)cos(－θ)＝，
即1＋sin(－2θ)＝，cos 2θ＝－.
【答案】 C
10．若cos α＝－，α是第三象限的角，则＝( )
A．－ B.
C．2 D．－2
【解析】 α是第三象限的角且cos α＝－，
∴sin α＝－.
tan＝＝＝－3，
∴＝＝－.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
11．若cos α＝，α∈(0，)，则cos(α－)＝________.
【解析】 由题意知sin α＝，
cos(α－)＝cos α·cos＋sin α·sin.
＝·＋·＝
【答案】
12．tan(－θ)＋tan(＋θ)＋tan(－θ)tan(＋θ)的值是________．
【解析】 ∵tan ＝tan(－θ＋＋θ)
＝＝，
∴＝tan(－θ)＋tan(＋θ)＋tan(－θ)tan(＋θ)．
【答案】
13．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，那么log＝________.
【解析】 由题意有sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，
两式相加得sin αcos β＝，两式相减得cos αsin β＝.
则＝5，故log＝2.
【答案】 2
14．(2012·江苏高考)设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为________．
【解析】 ∵α为锐角且cos(α＋)＝，
∴sin(α＋)＝.
∴sin(2α＋)＝sin[2(α＋)－]
＝sin 2(α＋)cos －cos 2(α＋)sin
＝sin(α＋)cos(α＋)－[2cos2(α＋)－1]
＝××－[2×()2－1]＝－＝.
【答案】
三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)化简：.
【解】 原式＝
＝
＝
＝
＝＝－4.
16．(本小题满分12分)(2012·广东高考)已知函数f(x)＝Acos(＋)，x∈R，且f()＝.
(1)求A的值；
(2)设α，β∈[0，]，f(4α＋π)＝－，f(4β－π)＝，求cos(α＋β)的值．
【解】 (1)由f()＝得Acos(＋)＝，
即A·cos ＝，∴A＝2.
(2)由(1)知f(x)＝2cos(＋)．
由
得解得
∵α，β∈[0，]，∴cos α＝＝，
sin β＝＝.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.
17．(本小题满分12分)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|a－b|＝.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若0<α<，－<β<0，且sin β＝－，求sin α的值．
【解】 (1)a－b＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，
∴|a－b|2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2
＝2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝2－2cos(α－β)．
又|a－b|＝，
∴＝2－2cos(α－β)，
∴cos(α－β)＝.
(2)由0<α<，－<β<0且sin β＝－，可知
cos β＝，且0<α－β<π.
又∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝，
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝×＋×(－)＝.
18．(本小题满分14分)(2013·成都高一检测)已知函数f(x)＝2sin2(－x)－cos 2x.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)若f(x)＜m＋2在x∈[0，]上恒成立，求实数m的取值范围．
【解】 (1)∵f(x)＝1－cos(－2x)－cos 2x
＝－(sin 2x＋cos 2x)＋1
＝－2sin(2x＋)＋1，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴f(x)的单调递减区间为[kπ－π，kπ＋](k∈Z)．
(2)∵x∈[0，]，
∴≤2x＋≤π，∴≤sin(2x＋)≤1，
∴当sin(2x＋)＝时，f(x)取得最大值为1－，即f(x)max＝1－.
要使f(x)＜m＋2恒成立，需f(x)max＜m＋2，
∴1－＜m＋2，解得m＞－1－，
∴m的取值范围是(－1－，＋∞)．
必修4
模块高考热点透视
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第一章 三角函数
【命题趋势】 三角函数是中学数学的主体内容，是高考的重点，也是高考的热点.分析近五年的全国高考试题，有关三角函数的内容平均每年有25分，约占17%，试题的内容主要有两方面；其一是考查三角函数的性质和图象变换；尤其是三角函数的最大值、最小值和周期，题型多为选择题和填空题；其二是考查三角函数式的恒等变形，如利用有关公式求值，解决简单的综合问题，除了在填空题和选择题中出现外，解答题的中档题也经常出现这方面的内容，是高考命题的一个常考的基础性的题型.其命题热点是章节内部的三角函数求值问题，命题新趋势是跨章节的学科综合问题.
同角三角函数关系
(教材第21页第12题)
已知tan α＝，π<α<π，求cos α－sin α的值．
(2012·辽宁高考)已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝( )
A．－1 B．－
C. D．1
【命题意图】 本题主要考查同角三角函数关系以及运算能力．
【解析】 由sin α－cos α＝，得sin α＝cos α＋ ①，sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝2 ②.
由②得2sin αcos α＝－1，从而sin α＝－，代入①得－＝cos α＋，即(cos α＋1)2＝0，解得cos α＝－，则sin α＝，所以tan α＝－1.
【答案】 A
1．(2011·大纲全国卷)已知α∈(π，)，tan α＝2，则cos α________；
【解析】 依题意得，解得
cos2a＝，又α∈(π，)，所以cos α＝－.
【答案】 －
2．(2011·重庆高考)若cos α＝－，且，α∈(π，)，则tan α________.
【解析】 因为α∈(π，)，所以sin α<0，则sin α＝－＝－，所以tan α＝＝.
【答案】
正、余弦函数的性质
(教材第41页第6题)
求函数y＝3sin(2x＋)，x∈[0，π]的单调递减区间．
1．(2012·课标全国卷)已知ω>0，函数f(x)＝sin(ωx＋)在(，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )
A．[，] B．[，]
C．(0，] D．(0,2]
【命题意图】 本题考查三角函数单调区间的确定以及运算能力．
【解析】 取ω＝，f(x)＝sin(x＋)，其减区间为[kπ＋，kπ＋π]，k∈Z，显然(，π)?[kπ＋，kπ＋π]，k∈Z，排除B、C.
取ω＝2，f(x)＝sin(2x＋)，其减区间为[kπ＋，kπ＋π]，k∈Z，显然(，π)?[kπ＋，kπ＋π]，k∈Z，排除D.
【答案】 A
2．(2012·大纲全国卷)若函数f(x)＝sin (φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )
A. B.
C. D.
【命题意图】 本题主要考查正弦函数的图象特点以及转化与化归的能力．
【解析】 ∵f(x)为偶函数，∴＝kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝3kπ＋π(k∈Z)．又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝π.
【答案】 C
1．(2012·山东高考)函数y＝2sin(－)(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )
A．2－ B．0
C．－1 D．－1－3
【解析】 ∵0≤x≤9，∴－≤x－≤，
∴sin(x－)∈[－，1]．
∴y∈[－，2]，∴ymax＋ymin＝2－.
【答案】 A
2．(2012·福建高考)函数f(x)＝sin(x－)的图象的一条对称轴是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝－ D．x＝－
【解析】 法一 ∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，
故令x－＝kπ＋，k∈Z，∴x＝kπ＋，k∈Z.
取k＝－1，则x＝－.
法二 x＝时，y＝sin(－)＝0，不合题意，排除A；x＝时，y＝sin(－)＝，不合题意，排除B；x＝－时，y＝sin(－－)＝－1，符合题意，C项正确；而x＝－时，y＝sin(－－)＝－，不合题意，故D项也不正确．
【答案】 C
三角函数的图象变换
(教材第58页第3题)
不画图，直接写出下列函数的振幅、周期和初相，并说明这些函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变化得到(注意定义域)．
(1)y＝8sin(x－)x∈[0，＋x)；
(2)y＝sin(3x＋)，x∈[0，＋∞)．
(2012·安徽高考)要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos 2x的图象( )
A．向左平移1个单位
B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位．
【命题意图】 本题主要考查三角函数图象变换，同时考查分析问题的能力．
【解析】 ∵y＝cos(2x＋1)＝cos 2(x＋)，
∴只要将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位即可，故选C.
【答案】 C
(2012·浙江高考)把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )
【解析】 y＝cos 2x＋1
y＝cos x＋1
y＝cos(x＋1)＋1y＝cos(x＋1)．
结合选项可知应选A.
【答案】 A
第二章 平面向量
【命题趋势】 平面向量是高中数学的基础工具之一，它具有代数形式与几何形式的“双重性”，是高中数学的重要内容.高考命题主要以选择题、填空题为主，试题难度中档偏下，命题的重点主要有三个方面：一是平面向量的基础知识，即向量的有关概念、加减法的几何意义、线性表示以及坐标运算等，如2012年浙江卷第5题、重庆卷第6题等；二是平面向量数量积的基本运算及其应用，这也是历年高考命题的热点，如2012年湖南卷第7题、新课标全国卷第13题等；三是向量的工具性作用，在涉及三角函数、解析几何等类型的试题中用来描述题目中的条件和结论，如2012年山东卷第16题等.
平面向量的基本概念和运算
(教材第100页练习第2题)已知a＝(3,2)，b＝(0，－1)，求－2a＋4b,4a＋3b的坐标．
1．(2012·浙江高考)设a，b是两个非零向量( )
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
【命题意图】 本题考查向量加法、减法及模的几何意义，考查向量共线的等价条件以及数量积等相关知识；考查学生化归与转化的能力．
【解析】 由|a＋b|＝|a|－|b|知(a＋b)2＝(|a|－|b|)2，即a2＋2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2，
∴a·b＝－|a||b|.
∵a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉＝－1，
∴〈a，b〉＝π，此时a与b反向共线，因此A错误．
当a⊥b时，a与b不反向也不共线，因此B错误．
若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ＝－1，使b＝－a，满足a与b反向共线，故C正确．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a＋λa|＝|1＋λ||a|，|a|－|b|＝|a|－|λa|＝(1－|λ|)|a|，只有当－1≤λ≤0时，|a＋b|＝|a|－|b|才能成立，否则不能成立，故D错误．
【答案】 C
2．(2012·广东高考)若向量＝(2,3)，＝(4,7)，则＝( )
A．(－2，－4) B．(2,4)
C．(6,10) D．(－6，－10)
【命题意图】 本题考查相反向量的定义和向量加法的坐标运算，同时考查学生的运算求解能力，难度较小．
【解析】 ∵＝(4,7)，
∴＝(－4，－7)．
∵＝＋，
∴＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．
【答案】 A
3．(2011·北京高考)已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b与c共线，则k＝________.
【命题意图】 本题以向量的共线为平台，主要考查理解问题的能力及运算能力．
【解析】 a－2b＝(，1)－2(0，－1)
＝(，1)－(0，－2)＝(，3)，
又c＝(k，)，且a－2b与c共线．
则×＝3k，k＝1.
【答案】 1
1．(2012·辽宁高考)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是( )
A．a∥b B．a⊥b
C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b
【解析】 因为|a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2，即a·b＝0，故a⊥b.
【答案】 B
2．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则( )
A.＋＝0 B.＋＝0
C.＋＝0 D.－＋＝0
【解析】 ∵＋＝2，由向量加法的平行四边形法则知P为AC的中点．如图．∴＋＝0.
【答案】 C
3．(2011·广东高考)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝( )
A. B. C．1 D．2
【解析】 ∵a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，
∴a＋λb＝(1,2)＋(λ，0)＝(1＋λ，2)．
又∵(a＋λb)∥c，∴＝，解得λ＝.
【答案】 B
平面向量的数量积及其坐标运算
(教材第108页习题2.4A组第2题)
已知△ABC中，a＝5，b＝8，c＝60°，求·.
1．(2012·湖南高考)如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝________.
图1
【命题意图】 本题考查向量加法的几何意义、向量数量积的定义、向量数量积的运算律等基础知识，考查运算能力及观察问题、分析问题的能力，难度适中．
【解析】 ∵·＝·(＋)＝·＋·
＝·＋·(＋)＝·＋2·，
AP⊥BD，∴·＝0.
∵·＝||||cos∠BAP＝||2，
∴·＝2||2＝2×9＝18.
【答案】 18
2．(2012·安徽高考)设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.
【命题意图】 本题考查平面向量的位置关系、数量积及向量模的运算，考查基本的运算能力，难度较小．
【解析】 a＋c＝(1,2m)＋(2，m)＝(3,3m)．
∵(a＋c)⊥b，
∴(a＋c)·b＝(3,3m)·(m＋1,1)＝6m＋3＝0，
∴m＝－.
∴a＝(1，－1)，∴|a|＝.
【答案】
3．(2012·湖北高考)已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，则
(1)与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为________；
(2)向量b－3a与向量a夹角的余弦值为________．
【命题意图】 本题主要考查向量的坐标运算及夹角公式的应用，考查运算能力，难度适中．
【解析】 (1)∵2a＋b＝(3,1)，∴|2a＋b|＝＝.
∴与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为＝(，)．
(2)∵b－3a＝(－2,1)，
∴|b－3a|＝，|a|＝1，
(b－3a)·a＝(－2,1)·(1,0)＝－2，
设向量b－3a与a的夹角为θ，则有cos θ＝＝－.
【答案】 (1)(，) (2)－
1．(2012·天津高考)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若·＝－2，则λ＝( )
A. B.
C. D．2
【解析】 由题意可知＝－＝(1－λ)－，＝－＝λ－，且·＝0，故·＝－(1－λ)2－λ2
一、选择题
1．(2013·宣城高一检测)cos 80°·cos 35°＋sin 80°·cos 55°的值是( )
A. B．－
C. D．－
【解析】 cos 80°·cos 35°＋sin 80°·cos 55°＝cos 80°·cos 35°＋sin 80°·sin 35°＝cos(80°－35°)＝cos 45°21·cn·jy·com
＝.
【答案】 A
2．下面利用两角差的余弦公式化简，其中错误的是( )
A．cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos 60°
B．cos 75°＝cos 45°cos(－30°)＋sin 45°sin(－30°)
C．sin(α＋45°)sin α＋cos(α＋45°)cos α＝cos 45°
D．cos(α－)＝cos α＋sin α
【解析】 cos(α－)＝cos α＋sin α.
【答案】 D
3．cos 15°的值为( )
A. B.
C. D.
【解析】 cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°·sin 30°
＝＋＝.
【答案】 A
4．已知钝角α、β满足cos α＝－，cos(α＋β)＝－，则cos β等于( )
A. B．－
C. D．－
【解析】 ∵α、β为钝角∴π<α＋β<2π，
由cos α＝－得sin α＝.
又∵cos (α＋β)＝－，∴sin(α＋β)＝－，
∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝(－)×(－)＋(－)×＝－.21世纪教育网版权所有
【答案】 B
5．已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，则cos(α－β)的值为( )
A. B.
C. D．－
【解析】 由已知得(sin α＋sin β)2＝，①
(cos α＋cos β)2＝，②
①＋②得：2＋2sin α ·sin β＋2cos α·cos β＝1，
∴cos α·cos β＋sin α·sin β＝－，
即cos(α－β)＝－.
【答案】 D
二、填空题
6．已知cos α＝，α是锐角，则cos(α－)＝________.
【解析】 cos(α－)＝cos α·＋sin α·＝·＋·＝.
【答案】
7．已知sin α＝－，α∈(π，π)，cos β＝－，β∈(，π)，则cos(α－β)＝________.
【解析】 ∵sin α＝－，α∈(π，π)，
∴cos α＝－＝－.
又cos β＝－，β∈(，π)，
∴sin β＝＝.
故cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝－×(－)＋×(－)＝.
【答案】
8．(2013·泰安高一检测)已知cos(α＋30°)＝，30°＜α＜90°，则cos α＝________.21教育网
【解析】 ∵30°＜α＜90°，∴60°＜α＋30°＜90°，
又cos(α＋30°)＝，∴sin(α＋30°)＝＝.
∴cos α＝cos[(α＋30°)－30°]
＝cos(α＋30°)cos 30°＋sin(α＋30°)sin 30°
＝×＋×＝.
【答案】
三、解答题
9．已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求cos(α－β)．
【解】 由cos α－cos β＝，两边平方得
(cos α－cos β)2＝cos2α＋cos2β－2cos αcos β ＝.①
由sin α－sin β＝－，两边平方得
(sin α－sin β)2＝sin2 α＋sin2 β－2sin αsin β＝.②
①＋②得
2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝.
∵cos αcos β＋sin αsin β＝，
∴cos(α－β)＝.
10．已知tan α＝4 ，cos(α＋β)＝－，α、β均为锐角，求cos β的值．
【解】 ∵α∈(0，)，tan α＝4 ，
∴sin α＝4 cos α①
sin2α＋cos2α＝1②
由①②得sin α＝，cos α＝.
∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－，
∴sin(α＋β)＝.
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝(－)×＋×＝.
∴cos β＝.
11．已知cos(α－β)＝－，sin(α＋β)＝－，<α－β<π，<α＋β<2π，求β的值．21cnjy.com
【解】 ∵<α－β<π，cos(α－β)＝－，
∴sin(α－β)＝.
∵π<α＋β<2π，sin(α＋β)＝－，
∴cos(α＋β)＝.
∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×(－)＋(－)×＝－1.
∵<α－β<π，π<α＋β<2π，
∴<2β<，2β＝π，∴β＝.
【教师备课资源】
1．向量及三角形知识综合应用
【典例】 已知向量m＝(cos，)与向量n＝(，cos)共线，其中A，B，C是△ABC的内角．www.21-cn-jy.com
(1)求角B的大小；
(2)若cos C＝，求cos A的值．
【思路探究】 (1)根据向量共线求出cos的值，进而求角B.
(2)将cos A转化为cos(－C)进行求解．
【自主解答】 (1)∵向量m＝(cos，)与向量n＝(，cos)共线，
∴coscos＝，
∴cos＝±，又0∴＝，即B＝π.
(2)由(1)知A＋C＝，∴A＝－C，
∵cos C＝，∴sin C＝，
∴cos A＝cos(－C)＝coscos C＋sinsin C＝.
1．利用向量共线的条件得到cos的值是解决本题的关键．
2．解决此类问题除了应用向量的有关知识以外，还要注三角形中的一些常用结论，如角的范围及内角和定理等．2·1·c·n·j·y
已知向量a＝(sin θ，－2)与b＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，)．
(1)求sin θ和cos θ的值；
(2)若5cos(θ－φ)＝3cos φ，0＜φ＜，求角φ的值．
【解】 (1)∵a⊥b，∴a·b＝sin θ－2cos θ＝0，
即sin θ＝2cos θ.
又∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1，
则cos2θ＝，sin2θ＝.
又∵θ∈(0，)，∴sin θ＝，cos θ＝.
(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ)
＝cos φ＋2sin φ＝3cos φ，
∴cos φ＝sin φ，tan φ＝1.
又0<φ<，故φ＝.
2．知识拓展
两角差的余弦公式
(1)公式的推导方法探讨
教科书中给出了两种推导公式的方法．方法一是借助于单位圆中的三角函数线和平面几何的有关知识，该法技巧性较强，学生不易想到．方法二是借助于上一章《平面向量》中的“两个向量的数量积”的有关知识，由于只是寻求角之间的关系，与向量的长度无关，故可选取单位向量，但要注意两个向量的数量积中两个向量的夹角的取值范围．【来源：21·世纪·教育·网】
(2)两角差的余弦公式的推导
①如图所示，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角α、β，它们的终边与单位圆O的交点分别为A、B，则＝(cos α，sin α)，＝(cos β，sin β)．21·世纪*教育网
由向量数量积的概念，有·＝||·||·cos(α－β)＝cos(α－β)．
综合向量数量积的坐标表示，有
·＝cos α·cos β＋sin α·sin β.
于是有：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(*)
②由以上的推导过程可知，α、β是任意角，则α－β也应为任意角，但由两个向量数量积的意义，(*)中的α－β∈[0，π]．为此，我们讨论如下：
由于α－β是任意角，由诱导公式，总可以找到一个角θ∈[0,2π]，使cos θ＝cos(α－β)．
a．若θ∈[0，π)，则
·＝cos θ＝cos(α－β)．
b．若θ∈[π，2π)，则2π－θ∈(0，π]，且·＝cos(2π－θ)＝cos θ＝cos (α－β)．www-2-1-cnjy-com
由以上的讨论可知：对于任意的α、β，都有
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.[C(α－β)]
(3)公式的记忆
右端为α、β的同名三角函数积的和，左端为两角差的余弦．
一、选择题
1．在△ABC中，已知sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B≥1，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
【解析】 ∵sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B＝sin[(A－B)＋B]＝sin A≥1，
∴sin A＝1，∴∠A＝90°，故△ABC是直角三角形．
【答案】 C
2．(2013·青岛高一检测)已知tan(α＋)＝3，则tan α的值为( )
A. B．－
C. D．－
【解析】 ∵＝3，∴tan α＝.
【答案】 A
3．(2012·湖南高考)函数f(x)＝sin x－cos(x＋)的值域为( )
A．[－2,2] B．[－，]
C．[－1,1] D．[－，]
【解析】 ∵f(x)＝sin x－cos(x＋)＝sin x－cos xcos ＋sin xsin
＝sin x－cos x＋sin x＝(sin x－cos x)
＝sin(x－)(x∈R)，
∴f(x)的值域为[－，]．
【答案】 B
4．若α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)等于( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
【解析】 (1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝1－tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝1－tan ·(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝2.
【答案】 C
5．(2013·南阳高一检测)已知sin α＝，α是第二象限的角，且tan(α＋β)＝－，则tan β的值为( )www.21-cn-jy.com
A．－ B.
C．－ D.
【解析】 ∵α为第二象限角，
∴cos α<0，cos α＝－，∴tan α＝－.
tan β＝tan[(α＋β)－α]＝
＝＝－.
【答案】 C
二、填空题
6．sincos－sin sin＝________
【解析】 原式＝sincos－cos(－)sin＝sincos－cossin＝sin(－)＝sin＝.2·1·c·n·j·y
【答案】
7.的值为________．
【解析】 原式＝＝2sin 30°＝2×＝1.
【答案】 1
8．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tan αtan β＝_______________________.
【解析】 将cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝
按两角和与差的余弦公式展开，相加减可得：
sin αsin β＝，cos αcos β＝，
所以tan αtan β＝.
【答案】
三、解答题
9．已知α、β∈(，π)，sin(α＋β)＝－，sin(β－)＝，求cos(α＋)的值．
【解】 ∵α、β∈(，π)，∴α＋β∈(，2π)．
∴cos(α＋β)＝＝.
又β－∈(，)，∴cos(β－)＝－.
∴cos(α＋)＝cos[(α＋β)－(β－)]
＝cos(α＋β)cos(β－)＋sin(α＋β)sin(β－)
＝×(－)＋(－)×＝－.
10. (2013·宁德高一检测)如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为、.21世纪教育网版权所有
图3－1－1
(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．
【解】 由条件得cos α＝，cos β＝.
∵α，β为锐角，
∴sin α＝＝，
sin β＝＝.
因此tan α＝7，tan β＝.
(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)∵tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
＝＝＝－1，
又∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜，
∴α＋2β＝.
11．已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x.
(1)求出f(x)的最大值、最小值；
(2)求出f(x)的单调增区间．
【解】 f(x)＝sin 2x＋ cos 2x
＝2
＝2＝2sin.
(1)当2x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z时，f(x)取得最大值2；当2x＋＝2kπ－，k∈Z，即x＝kπ－π，k∈Z时，f(x)取得最小值－2.
(2)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－π≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴函数f(x)的单调增区间为，k∈Z.
【教师备课资源】
1．知识拓展
探究和差角公式的内在联系
以公式C(α－β)为基础推导的其他公式
(1)推导cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.
在公式C(α－β)中，令－β代替β，则有cos(α＋β)＝
cos αcos(－β)＋sin αsin(－β)
＝cos αcos β－sin αsin β.
即cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.(C(α＋β))
(2)推导sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β和sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
运用C(α＋β)和诱导公式，有
sin(α＋β)＝cos
＝cos
＝cos(－α)cos β＋sin(－α)sin β
＝sin αcos β＋cos αsin β.
即sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(S(α＋β))
在公式S(α＋β)中用－β代替β，可以得到
sin(α－β)＝sin αcos(－β)＋cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
即sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.(S(α－β))
(3)推导公式tan(α＋β)＝和tan(α－β)＝.
当cos(α＋β)≠0时，将公式S(α＋β)，C(α＋β)的两边分别相除，有
tan(α＋β)＝
＝.
当cos αcos β≠0时，将上式的分子、分母分别除以cos αcos β，得
tan(α＋β)＝.(T(α＋β))
由于tan(－β)＝＝
＝－tan β.
在T(α＋β)中以－β代替β，可得
tan(α－β)＝
＝.
即tan(α－β)＝.(T(α－β))
(4)公式T(α±β)在α≠kπ＋，β≠kπ＋，α＋β≠kπ＋(T(α＋β)须满足)，α－β≠kπ＋(T(α－β)须满足)，k∈Z时成立，否则是不成立的．21教育网
当tan α，tan β或tan(α＋β)的值不存在时，不能使用T(α±β)公式，处理有关问题时应改用诱导公式或其他方法来解，比如化简tan(－β)，因为tan的值不存在，不能用T(α－β)，而应改用诱导公式tan(－β)＝cot β.21cnjy.com
公式S(α＋β)，C(α＋β)，T(α＋β)给出了任意角α、β的三角函数值(指正弦、余弦和正切)与其和角α＋β的三角函数值之间的关系，为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式．21·cn·jy·com
类似地，公式S(α－β)，C(α－β)，T(α－β)都叫做差角公式.
一、选择题
1.·＝( )
A．tan 2α B．tan α
C．1 D.
【解析】 原式＝·＝tan 2α.
【答案】 A
2．函数f(x)＝sin xcos x的最小值是( )
A．－1 B．－
C. D．1
【解析】 f(x)＝sin 2x，∴f(x)min＝－.
【答案】 B
3．(2013·大连高一检测)设sin(＋θ)＝，则sin 2θ＝( )
A．－ B．－
C. D.
【解析】 法一 sin(＋θ)＝，
即(sin θ＋cos θ)＝，两边平方得(1＋sin 2θ)＝，
∴sin 2θ＝－.
法二 sin 2θ＝－cos[2(＋θ)]＝2sin2(＋θ)－1＝－1＝－.
【答案】 A
4．设sin α＝(＜α＜π)，tan(π－β)＝，则tan(α－2β)＝( )
A．－ B．－
C. D.
【解析】 ∵sin α＝，α∈(，π)，
∴cos α＝－，∴tan α＝－.
又∵tan(π－β)＝，∴tan β＝－，
∴tan 2β＝＝－.
∴tan(α－2β)＝
＝＝.
【答案】 D
5.＋2的化简结果是( )
A．2cos 4－4sin 4 B．2sin 4
C．2sin 4－4cos 4 D．－2sin 4
【解析】 原式＝＋2＝×＋2
＝2|sin 4|＋2|sin 4－cos 4|，
∵sin 4<0，sin 4∴原式＝－2sin 4＋2(cos 4－sin 4)＝2cos 4－4sin 4.
【答案】 A
二、填空题
6．(2013·广州高一检测)已知sin(－x)＝，则sin 2x的值等于________．
【解析】 法一 ∵sin(－x)＝，∴cos(－2x)＝1－2sin2(－x)＝1－2×()2＝，21·cn·jy·com
∴sin 2x＝cos(－2x)＝.
法二 由sin(－x)＝，得(sin x－cos x)＝－，
∴sin x－cos x＝－，两边平方得
1－sin 2x＝，∴sin 2x＝.
【答案】
7．在△ABC中，已知cos 2C＝－，则sin C的值为________．
【解析】 cos 2C＝1－2sin2C＝－且0所以sin C＝.
【答案】
8．函数f(x)＝sin(2x－)－2·sin2x的最小正周期是________．
【解析】 f(x)＝sin(2x－)－2sin2x
＝sin 2x－cos 2x－2×
＝sin 2x＋cos 2x－
＝sin(2x＋)－，
故该函数的最小周期为＝π.
【答案】 π
三、解答题
9．(1)求函数f(x)＝cos(x＋π)＋2cos2，x∈R的值域；
(2)已知tan α＝3，α∈(，)，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．
【解】 (1)f(x)＝cos xcosπ－sin xsinπ＋cos x＋1＝－cos x－sin x＋cos x＋1＝cos x－sin x＋1＝sin(x＋)＋1，因此f(x)的值域为[0,2]．
(2)∵α∈(，)，tan α＝3，∴sin α＝，cos α＝.
∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－，www.21-cn-jy.com
∴tan 2α＝＝－.
10．已知sin(＋α)sin(－α)＝，且α∈(，π)，求sin 4α的值．
【解】 因为(＋α)＋(－α)＝.
所以sin(－α)＝cos(＋α)
因为sin(＋α)sin(－α)＝，
所以2sin(＋α)·cos(＋α)＝，
即sin(＋2α)＝.
所以cos 2α＝.
又因为α∈(，π)，所以2α∈(π，2π)，
所以sin 2α＝－＝－.
所以sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝－.
11．(2013·天津高一检测)已知函数f(x)＝tan(2x＋)．
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)设α∈(0，)，若f()＝2cos 2α，求α的大小．
【解】 (1)由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z.
所以f(x)的定义域为{x∈R|x≠＋，k∈Z}，
f(x)的最小正周期为.
(2)由f()＝2cos 2α，得tan(α＋)＝2cos 2α，
＝2(cos2α－sin2α)，
整理得＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．
因为α∈(0，)，所以sin α＋cos α≠0.因此(cos α－sin α)2＝，即sin 2α＝.由α∈(0，)，得2α∈(0，)，所以2α＝，即α＝.21cnjy.com
【教师备课资源】
1．方程思想的应用
【典例】 已知α∈(0，)，且sin2α－sin αcos α－2cos2α＝0，求tan(－α)的值．2·1·c·n·j·y
【思考探究】 将弦函数关系式转化为tan α的方程，先求tan α，再求tan(－α)．
【自主解答】 ∵sin2α－sin αcos α－2cos2α＝0，cos α≠0，
∴tan2α－tan α－2＝0.
∴tan α＝2或tan α＝－1.
∵α∈(0，)，
∴tan α＝2.
∴tan(－α)＝
＝＝.
1．构造关于tan α的二次方程是解决本题的关键．
2．在三角函数的求值问题中，若某一三角函数值不易直接求解时，可构造方程或方程组求解．
已知tan(α＋)＝2，求cos 2α＋3sin2α＋tan 2α的值．
【解】 ∵tan(α＋)＝＝2，∴tan α＝.
∴cos 2α＋3sin2α＋tan 2α＝cos2α－sin2α＋3sin2α＋tan 2α
＝＋tan 2α＝＋＝＋＝.
2．知识拓展
二倍角公式的再探究
(1)对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍角；6α是3α的二倍角；4α是2α的二倍角；3α是α的二倍角；是的二倍角；是的二倍角；21世纪教育网版权所有
……
又如α＝2·，＝2·，…，＝2×.
∴sin＝2sincos(n∈N*)，
tan ＝(n∈N*)．
(2)一般情况下，sin 2α≠2sin α，例如：sin≠2sin ，只有当α＝nπ，n∈Z时，sin 2α＝2sin α才成立，同样cos 2α＝2cos α，tan 2α＝2tan α在一般情况下也不成立，请读者自己寻求“等号”成立的条件．21教育网
(3)当α＝kπ＋(k∈Z)时，tan α的值不存在，这时求tan 2α的值可利用诱导公式，
即tan 2α＝tan 2(kπ＋)＝tan(π＋2kπ)＝tan π＝0.
一、选择题
1．下列各式与tan α相等的是( )
A. B.
C. D.
【解析】 ＝＝＝tan α.
【答案】 D
2．若函数f(x)＝sin 2x－(x∈R)，则f(x)是( )
A．最小正周期为的奇函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为2π的偶函数
D．最小正周期为π的偶函数
【解析】 y＝sin 2x－
＝－
＝－cos 2x，
∴函数是最小正周期为π的偶函数．
【答案】 D
3．已知tan ＝3，则cos α为( )
A. B．－
C. D．－
【解析】 tan2＝＝32＝9，∴cos α＝－.
【答案】 B
4．已知sin θ＝－，3π＜θ＜π，则tan 的值为( )
A．3 B．－3
C. D．－
【解析】 ∵3π＜θ＜π，sin θ＝－，
∴cos θ＝－＝－，∴tan θ＝.
∵3π＜θ＜π，∴π＜＜π，
又tan θ＝＝，
∴tan ＝－3或(舍去)．
【答案】 B
5．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝，则有( )
A．cC．a【解析】 a＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°，
b＝2sin 13° ·cos 13°＝sin 26°，
c＝sin 25°，
y＝sin x在[0，]上是递增的．
∴a【答案】 C
二、填空题
6．若＜α＜2π，且cos α＝，则
的值是________．
【解析】 原式＝＝＝＝.
【答案】
7．(2013·常熟高一检测)函数y＝cos2(x－)＋sin2(x＋)－1的最小正周期为________．21世纪教育网版权所有
【解析】 y＝cos2(x－)＋sin2(x＋)－1＝＋－1
＝
＝sin 2x，
∴T＝＝π.
【答案】 π
8．已知＝(＜x＜)，则sin x－cos x＝________.
【解析】 原式＝
＝＝2sin xcos x＝，
由于＜x＜， 此时sin x＞cos x，
故sin x－cos x＝＝ ＝.
【答案】
三、解答题
9．已知：＝2，求的值．
【解】 因为
＝＝
＝＝tan α＝2.
所以＝＝2tan α＝4.
10．(2012·北京高考)已知函数f(x)＝eq f(?sin x－cos x?sin 2x,sin x).
(1)求f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求f(x)的单调递增区间．
【解】 (1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z)，
故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．
因为f(x)＝
＝2cos x(sin x－cos x)
＝sin 2x－cos 2x－1
＝sin(2x－)－1，
所以f(x)的最小正周期为π.
(2)函数y＝sin x的单调递增区间为
[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋，x≠kπ(k∈Z)．
所以f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ)和(kπ，kπ＋](k∈Z)．
11．点P在直径AB＝1的半圆上移动，过P作圆的切线PT，且PT＝1，∠PAB＝α，问α为何值时，四边形ABTP的面积最大？21教育网
【解】 如图，连接PB，
∵AB为直径，∴∠APB＝90°，
∵∠PAB＝α，AB＝1，
∴PB＝sin α，PA＝cos α.
又PT切圆于P点，则∠TPB＝∠PAB＝α.
∴S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB
＝PA·PB＋PT·PB·sin α
＝sin α·cos α＋sin2α.
＝sin 2α＋(1－cos 2α)．
＝sin(2α－)＋，
∵0<α<，－<2α－<π，
∴当2α－＝，即α＝π时，四边形面积最大．
【教师备课资源】
1．知识拓展
三角函数的和积互化
(1)三角函数的积化和差公式及推导
sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，
cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]，
cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，
sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]．
下面对这组公式进行推导：
∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，(S(α＋β))
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，(S(α－β))
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，(C(α＋β))
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，(C(α－β))
(S(α＋β))＋(S(α－β))，(S(α＋β))－(S(α－β))，(C(α＋β))＋(C(α－β))，(C(α＋β))－(C(α－β))，得
sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β，
sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cos αsin β，
cos(α＋β)＋cos(α－β)＝2cos αcos β，
cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sin αsin β，
即sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，①
cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]，②
cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，③
sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]，④
公式①、②、③、④叫做积化和差公式．
(2)三角函数的和差化积公式
sin α＋sin β＝2sin·cos，
sin α－sin β＝2cos·sin，
cos α＋cos β＝2cos·cos，
cos α－cos β＝－2sin·sin.
下面给出这组公式的推导：
在积化和差的公式中，如果“从右往左”看，实质上就是和差化积．为了用起来方便，在积化和差的公式中，如果令α＋β＝θ，α－β＝φ，则α＝，β＝.
把这些值代入积化和差的公式①中，就有
sin·cos
＝[sin(＋)＋sin(－)]
＝(sin θ＋sin φ)．
∴sin θ＋sin φ＝2sin·cos.
同样可得：
sin θ－sin φ＝2cos·sin，
cos θ＋cos φ＝2cos·cos，
cos θ－cos φ＝－2sin·sin.
这四个公式叫做和差化积公式．
