课件42张PPT。教师用书独具演示演示结束 命题的概念 判断真假 真 假 命题的结构 若p，则q p q 命题的判断 命题真假的判断 命题的构成 课时作业（一） 教师用书独具课件52张PPT。教师用书独具演示演示结束 四种命题 结论 条件 逆命题 若q，则p 条件的否定 结论的否定 否命题 结论的否定 条件的否定 逆否命题 四种命题的相互关系 若p,则q若q,则 p四种命题的真假性关系 没有关系 相同 四种命题的概念 四种命题真假的判断 等价命题的应用 课时作业（二） 教师用书独具课件53张PPT。教师用书独具演示演示结束 充分条件、必要条件与充要条件 充分 必要 必要 充分 ? 充分必要 充要 互为充要 充分条件、必要条件、充要条件的判断 充分条件、必要条件、充要条件的应用 充要条件的证明 课时作业（三） 教师用书独具课件52张PPT。教师用书独具演示演示结束 “且” p且q 真命题 假命题 “或” p或q 真命题 假命题 “非” 非p p的否定 假命题 真命题 含有逻辑联结词的命题构成 含逻辑联结词的命题真假的判断 逻辑联结词的应用 课时作业（四） 教师用书独具课件52张PPT。教师用书独具演示演示结束 全称量词与全称命题 全称量词 全称量词 存在量词与特称命题 存在量词 存在量词 含有一个量词的命题的否定 全称命题和特称命题的概念及真假判断含有一个量词的命题的否定 全称命题与特称命题的应用 课时作业（五） 教师用书独具1．1命题及其关系
1．1.1 命 题
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式．
2．过程与方法
通过学生举命题的例子，培养他们的辨析能力及分析问题和解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣．
●重点难点
重点：命题的概念、命题的构成．
难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假．
(教师用书独具)
●教学建议
命题的概念在初中已经学习过，可以通过回顾初中知识引入，讲清命题概念中的两个问题，判断是否为陈述句，能否判断真假，重点放在命题的形式和判断命题真假的教学中，基于教材内容简单且以前曾经接触过，可以采用提问式、讨论式的教学方法，让学生在讨论、回答问题的过程中学习知识，增长技能，进而突破本节的难点．
●教学流程
????通过例2及其变式训练，使学生掌握命题真假的判断方法，并对相关知识进行复习．???
课标解读
1.了解命题的概念．(难点)
2.理解命题的构成，并能指出此类命题的条件和结论．(重点)
3.能判断一些简单命题的真假．(难点)
命题的概念
【问题导思】
给出下列语句：
(1)2＋4＝7；
(2)垂直于同一条直线的两个平面平行；
(3)6能被2整除；
(4)全等三角形面积相等．
1．这些语句的表述形式有什么特点？
【提示】 都是陈述句．
2．你能判断这些语句的真假吗？
【提示】 能，(2)、(3)、(4)为真；(1)为假．
1．定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．
2．分类：(1)真命题：判断为真的语句；
(2)假命题：判断为假的语句.
命题的结构
【问题导思】
观察命题：
(1)若整数a是素数，则a是奇数；
(2)若两个三角形全等，则它们的面积相等．
上述命题的形式是怎样的？
【提示】 “若……，则……”的形式．
命题的结构形式是“若p，则q”，其中p是命题的条件，q是命题的结论.
命题的判断
下列语句中是命题的有________．
①一个数不是正数就是负数；
②0是自然数吗？
③22013是一个很大的数；
④4是集合{2,3,4}的元素；
⑤作△ABC≌△A′B′C′.
【思路探究】 以上语句都是陈述句吗？你能判断它们的真假吗？
【自主解答】 ②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“很大”无法说明到底多大，不能判断真假，不是命题；⑤是祈使句，不是命题．①是命题，为假命题，因为0既不是正数，也不是负数，④是命题，为真命题．
【答案】 ①④
判断一个语句是不是命题，关键是把握好以下两点：
(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．
(2)该语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．
判断下列语句是不是命题，并说明理由．
(1)函数f(x)＝3x(x∈R)是指数函数；
(2)x2－3x＋2＝0；
(3)函数y＝cos x是周期函数吗？
(4)集合{a，b，c}有3个子集．
【解】 (1)是命题，满足指数函数的定义，为真．
(2)不是命题，不能判定真假．
(3)不是命题，是疑问句，不能判断真假．
(4)是命题．因为{a，b，c}有23＝8个子集，所以集合{a，b，c}有3个子集，为假．
因此(1)与(4)是命题；(2)与(3)不是命题.
命题真假的判断
给出下列几个命题：
(1)若x，y互为相反数，则x＋y＝0；
(2)若a＞b，则a2＞b2；
(3)若x＞－3，则x2＋x－6≤0；
(4)若a，b是无理数，则a＋b是无理数．
其中的真命题有________个．
【思路探究】
【自主解答】 根据两数互为相反数的性质，(1)正确，为真命题；(2)中若a、b均为负数时不正确，为假命题；(3)中若取x＝3＞－3，而x2＋x－6＝6＞0，故为假命题；(4)中取a＝，b＝－，则a、b均为无理数，而a＋b＝0为有理数，故为假命题．
【答案】 1
1．由命题的概念可知，一个命题要么是真的，要么是假的，不存在模棱两可的情况．
2．如果要判断一个命题为真命题，需要依据条件进行严格的推理论证，而要判断一个命题为假命题，只要举出一个反例即可．
已知a，b为两条不同的直线，α，β为两不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是( )
A．若a∥b，则α∥β
B．若α⊥β，则a⊥b
C．若a，b相交，则α，β相交
D．若α，β相交，则a，b相交
【解析】 如图所示，因为α，β为两个不同的平面，所以α∩β＝c，但平面α，β不会重合，因为a⊥α，b⊥β，所以a与b不一定相交．故“α，β相交，则a，b相交”是假命题．
【答案】 D
命题的构成
把下列命题改写成“若p，则q”的形式．
(1)各位数字之和能被9整除的整数，可以被9整除．
(2)斜率相等的两直线平行．
(3)钝角的余弦值是负值．
【思路探究】 (1)上述命题的条件与结论分别是什么？
(2)怎样用“若p则q”的形式改写命题？
【自主解答】 (1)若一个整数的各位数字之和能被9整除，则这个整数可以被9整除．
(2)若两条直线斜率相等，则这两条直线平行．
(3)若一个角为钝角，则这个角的余弦值是负值．
要把一个命题写成“若p，则q”的形式，关键是要分清命题的条件和结论，然后写成“若条件，则结论”的形式，有一些命题虽然不是“若p，则q”的形式，但是把它们的表述作适当的改变，也能写成“若p，则q”的形式，但要注意语言的流畅性．
把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断它们的真假．
(1)面积相等的两个三角形全等；
(2)当abc＝0时，a＝0，或b＝0，或c＝0；
(3)对顶角相等．
【解】 (1)若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等．它是假命题．
(2)若abc＝0，则a＝0，或b＝0，或c＝0.它是真命题．
(3)若两个角为对顶角，则这两个角相等．它是真命题．
改写命题时，写错大前提致误
已知c＞0，当a＞b时，ac＞bc.
把该命题改写成“若p则q”的形式．
【错解】 若c＞0，a＞b，则ac＞bc.
【错因分析】 “已知c＞0”是大前提，条件应是“a＞b”，不能把它们全认为是条件．
【防范措施】 若已知命题中有大前提，在改写命题时，不能把大前提写在条件中，应仍作为命题的大前提．
【正解】 已知c＞0，若a＞b，则ac＞bc.
1．判断一个语句是否为命题应紧抓两点：①是不是陈述句，②能否判断真假．
2．判断命题真假的难点是对已有知识的掌握，尤其是真命题的判断．
3．准确判断命题的条件与结论是把命题改写为“若p则q”形式的关键．
1．(2013·湛江高二检测)下列语句为命题的是( )
A．x－1＝0 B．2＋3＝8
C．你会说英语吗？ D．这是一棵大树
【解析】 C不是陈述句，A、D无法判断其真假，只有B是命题，且为假命题．
【答案】 B
2．下列命题是真命题的为( )
A．若＝，则x＝y
B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝
D．若x＜y，则x2＜y2
【解析】 只有A正确，B、C、D可以举反例验证．
【答案】 A
3．把命题“偶函数的图象关于y轴对称”改写成“若p，则q”的形式为________．
【答案】 若一个函数为偶函数，则它的图象关于y轴对称
4．把下列命题改写成“若p，则q”的形式并判断其真假：
(1)菱形的四条边相等；
(2)当x＝2时，x2－3x＋2＝0；
(3)空集是任何集合的真子集．
【解】 (1)若一个四边形是菱形，则它的四条边相等．真命题．
(2)若x＝2，则x2－3x＋2＝0.真命题．
(3)若一个集合是空集，则这个集合是任何集合的真子集．假命题.
一、选择题
1．下列语句是命题的是( )
①三角形的内角和等于180°；②2>3；
③偶数是自然数；④x＞2；
⑤这座山真险啊！
A．①②③ B．①③④
C．①②⑤ D．②③⑤
【解析】 ①②③是命题，④中x>2无法判断真假，⑤是感叹句，∴④⑤不是命题．
【答案】 A
2．(2013·郑州高二检测)在空间，下列命题正确的是( )
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
【解析】 A中平行投影可能平行，A为假命题．B、C中的两个平面可以平行或相交，为假命题．由线面垂直的性质，D为真命题．
【答案】 D
3．下列说法正确的是( )
A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题
C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题
【解析】 将命题“直角相等”写成“若p，则q”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A是错误的；语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根．”是陈述句而且可以判断真假，并且是假的，所以选项B是错误的；选项D是正确的；选项C是错误的，应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”．
【答案】 D
4．(2013·黔东南州高二检测)下列四个命题中，真命题是( )
A．a＞b，c＞d?ac＞bd
B．a＜b?a2＜b2
C.＜?a＞b
D．a＞b，c＜d?a－c＞b－d
【解析】 可以通过举反例的方法说明A、B、C为假命题．
【答案】 D
5．设有不同的直线m，n和不同的平面α，β.下列四个命题中，正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m?α，则m⊥β
D．若α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α
【解析】 若α∥β，m?β，n?β可知m∥α，n∥α，但m与n可以相交，所以A不正确；B不正确；若α⊥β，则α中仍有不与β垂直的直线，C不正确；若α⊥β，则在α中可作与β垂直的直线n，又m⊥β，则m∥n，又m?α，所以m∥α，D正确．
【答案】 D
二、填空题
6．指出下列命题的条件和结论．
(1)当x＝2时，x2－3x＋2≠0.条件是：________，结论是：________.
(2)平行四边形的对角线互相平分．条件是：________，结论是：________.
【解析】 (1)条件是“x＝2”，结论是“x2－3x＋2≠0”．
(2)命题可改写为：
若一个四边形为平行四边形，则它的对角线互相平分．
条件是“四边形为平行四边形”，结论“对角线互相平分”．
【答案】 (1)x＝2 x2－3x＋2≠0
(2)四边形为平行四边形 对角线互相平分
7．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2＞bc2，则a＞b.其中真命题的序号是________．
【解析】 ②中四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，③中平行四边形不是梯形，①、④正确．
【答案】 ①④
8．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A—BD—C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成45°的角．其中真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号)
【解析】 如图所示，取BD的中点E，连AE、EC，取AC、AD的中点F、G，连结EF、FG、EG.
∵AE⊥BD，EC⊥BD，
∴∠AEC就是二面角A—BD—C的平面角．
∴∠AEC＝90°.
由BD⊥平面AEC，可知BD⊥AC，①正确；
由△AEC≌△AED，可知AD＝AC＝CD，②正确；
由AE⊥平面BCD知，∠ABE＝45°是AB与平面BCD所成的角，③正确．故①②③为真命题．
【答案】 ①②③
三、解答题
9．判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．
①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；
②若x＝4，则2x＋1<0 ；
③一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；
④求证：x∈R时，则方程x2－x＋2＝0无实根．
【解】 ①②③是命题，④不是命题．
命题①中，y＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，
显然其最小正周期为π，是真命题．
命题②中，当x＝4时，2x＋1>0，∴②是假命题．
命题③中，若等比数列的首项a1＜0，公比q＞1时，该数列为递减数列，是假命题．
④是一个祈使句，没有作出判断，不是命题．
10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)当m>时，方程mx2－x＋1＝0无实根；
(2)平行于同一平面的两条直线平行．
【解】 (1)命题可改写为：若m>，则mx2－x＋1＝0无实根．
∵当m>时，Δ＝1－4m<0，所以是真命题．
(2)命题可改写为：若两直线平行于同一平面，则它们互相平行．
∵平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，所以是假命题．
11．命题“ax2－2ax－3≤0恒成立”是真命题，求实数a的取值范围．
【解】 由于ax2－2ax－3≤0恒成立是真命题，
(1)当a＝0时，－3≤0成立．
(2)当a≠0时，应满足，解之得－3≤a＜0.
由(1)(2)得a的取值范围为[－3,0].
(教师用书独具)
设有两个命题：p：函数y＝lg(x2－2x＋m)的值域为R；q：函数f(x)＝－(7－3m)x是减函数．若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围．
【自主解答】 若命题p为真命题，则x2－2x＋m的值可取到一切正数，故Δ＝4－4m≥0，即m≤1；若命题q为真命题，则7－3m＞1，即m＜2.所以命题p和q中有且只有一个是真命题时，有p真q假或p假q真，即或故m的取值范围是1＜m＜2.
已知命题p：|x2－x|≥6，q：x∈Z，且p假q真，求x的值．
【解】 ∵p假q真
∴∴
∴
故x的取值为：－1,0,1,2.
1.1.2 四种命题
1．1.3 四种命题间的相互关系
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
初步理解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式；初步理解四种命题间的相互关系并能判断命题的真假．
2．过程与方法
培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．
3．情感、态度与价值观
激发学生学习数学的兴趣和积极性，优化学生的思维品质，培养学生勤于思考、勇于探索的创新意识，感受探索的乐趣．
●重点难点
重点：四种命题之间相互的关系．
难点：互为逆否关系的应用及命题真假的判断．
通过一个生活中的场景引出逻辑在生活中必不可少的重要地位，从而引发学生学习四种命题的兴趣，然后主要通过对概念的讲解和分析，并配以适量的课堂练习，让学生掌握四种命题的概念，会写四种命题，并掌握四种命题之间的关系以及通过逆否命题来判断命题的真假；最后运用所学命题知识解决实际生活中的问题，让学生学会用理性的逻辑推理能力思考问题，从而突破重难点．
(教师用书独具)
●教学建议
这节内容是以概念的理解和关系的思辨为主的，因此以讲解和练习强化为主要方法，并在讲解过程中引导和启发学生的思维，让学生充分地思考和动手演练．宜采取的教学方法：(1)启发式教学．这能充分调动学生的主动性和积极性，有利于学生对知识进行主动建构，从而发现数学规律．(2)讲练结合法．这样更能突出重点、解决难点，让学生的分析问题和解决问题的能力得到进一步的提高．学习方法：(1)由特殊到一般的化归方法：学习中学生在教师的引导下，通过具体的实例，让学生去观察、讨论、探索、分析、发现、归纳、概括．(2)讲练结合法：让学生知道数学重在运用，从而检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其差距并及时加以补救．
通过本节的学习，了解命题的四种形式及其关系，利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题之间的等价性解决有关问题，渗透由特殊到一般的化归数学思想．
●教学流程
?????探究四种命题的真假关系，完成例3及其变式训练，从而解决等价命题相互转化在判断命题真假时的应用.??
课标解读
1.理解“若p ，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题的概念．(重点)
2.能熟练地写出一个“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题和逆否命题．(重点)
3.掌握四种命题的相互关系并能判断命题的真假．(难点)
四种命题
【问题导思】
观察下面四个命题：
(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．
(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．
(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．
(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．
命题(1)与其他三个命题条件与结论之间有什么关系？
【提示】 命题(1)(2)的条件与结论互换；
命题(1)(3)，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题条件的否定和结论的否定．
命题(1)(4)，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题结论的否定和条件的否定．
1．逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题．也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为“若q，则p”．
2．否命题：如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题．也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若綈p，则綈q”．
3．逆否命题：如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题．也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆否命题为“若綈q，则綈p”.
四种命题的相互关系
【问题导思】
1．根据以上定义，如果把命题(2)称为原命题，那么其他三个命题分别是命题(2)的什么命题？
【提示】 命题(1)是原命题的逆命题；命题(3)是原命题的逆否命题；命题(4)是原命题的否命题．
2．如果把命题(3)称为原命题呢？
【提示】 命题(1)是原命题的否命题；命题(2)是原命题的逆否命题；命题(4)是原命题的逆命题．
四种命题的真假性关系
【问题导思】
1．你能判断知识1中四个命题的真假吗？
【提示】 (1)真命题，(2)假命题，(3)假命题，(4)真命题．
2．互为逆否命题的真假性有无联系？
【提示】 有(可以再举一些实例验证)．
1．两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
2．两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.
四种命题的概念
写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；
(2)如果x＞10，那么x＞0；
(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.
【思路探究】 ―→
【自主解答】 (1)逆命题：如果直线垂直于平面，那么直线垂直于平面内的两条相交直线；否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么直线不垂直于平面；逆否命题：如果直线不垂直于平面，那么直线不垂直于平面内的两条相交直线．
(2)逆命题：如果x＞0，那么x＞10；否命题：如果x≤10，那么x≤0；逆否命题：如果x≤0，那么x≤10.
(3)逆命题：如果x2＋x－6＝0，那么x＝2；否命题：如果x≠2，那么x2＋x－6≠0；逆否命题：如果x2＋x－6≠0，那么x≠2.
1．写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论，若原命题不是“若p，则q”的形式，应改写成“若p，则q”的形式，并写出条件和结论的否定：
①“换位”得到“若q，则p”为逆命题；
②“换质”(分别否定)得到“若綈p，则綈q”为否命题；
③“换位”又“换质”得到“若綈q，则綈p”为逆否命题．
2．命题的四种形式中，哪个是原命题是相对的，不是绝对的．
把本例中的命题改为以下命题后，请写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)全等三角形的对应边相等．
(2)负数的平方是正数．
【解】 (1)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等．
逆命题：若两个三角形三边对应相等，则两个三角形全等．
否命题：若两个三角形不全等，则两个三角形三边对应不相等．
逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等．
(2)原命题可以改写成：若一个数是负数，则它的平方是正数；
逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数；
否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数；
逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数.
四种命题真假的判断
下列命题中正确的是( )
①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；
②“正三角形都相似”的逆命题；
③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．
A．①②③ B．①③
C．②③ D．①
【思路探究】 (1)你能直接改写命题并判断真假吗？
(2)四种命题的真假关系有何特点？能否利用这一关系判断？
【自主解答】 ①原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”．真命题
②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．假命题．
③原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．
∵方程x2＋x－m＝0无实根，
∴判别式Δ＝1＋4m<0，m<－，
故m≤0，为真命题．
所以正确的命题是①③.
【答案】 B
1．一般地，这四种命题的真假性有且只有下面几种情况：
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
2.四种命题的真假性之间的关系：①两个命题是互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题是互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系；③四种命题为真命题的个数只能为0,2,4个．
(2013·汕头高二检测)命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 原命题与逆否命题为真命题；逆命题与否命题为假．
【答案】 B
等价命题的应用
判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a＜2”的逆否命题的真假．
【思路探究】 (1)你能写出此命题的逆否命题并判断其真假吗？(2)直接判断此命题的真假可以吗？
【自主解答】 法一 原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”．
判断真假如下：
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，
∵a≥2，∴4a－7＞0，
即抛物线与x轴有交点，∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真．
法二 先判断原命题的真假如下：
∵a，x为实数，关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，
∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7＜0.
∴a＜＜2.
∴原命题是真命题．
∵互为逆否命题的两个命题同真同假，∴原命题的逆否命题为真命题．
由于原命题与其逆否命题是等价的，因此当直接证明一个命题是真命题不容易证明时，则按“正难则反”的思想去思考，分析题目，证原命题的逆否命题成立．
判断命题“若x2＋x－2m＝0无实根，则m≤0”的真假，并证明你的结论．
【解】 真命题．证明如下：
该命题的逆否命题为“若m＞0，则x2＋x－2m＝0有实根”．
∵m＞0，∴Δ＝1＋8m＞0.
∴方程x2＋x－2m＝0有实根．
∴“若m＞0，则x2＋x－2m＝0有实根”为真命题．
又∵原命题和它的逆否命题同真同假．
∴“若x2＋x－2m＝0无实根，则m≤0”为真命题.
不能正确否定命题的条件或结论致误
写出命题“若x2＋y2＝0，则x、y全为0”的否命题．
【错解】 若x2＋y2≠0，则x，y全不为0.
【错因分析】 对原命题结论否定是错误的，“x，y全为0”的否定应为“x，y不全为0”，而不是“x，y全不为0.”
【防范措施】 要写出一个命题的否命题，需要既否定条件，又否定结论，有时只否定结论，得到的是原命题的否定，对条件和结论要进行正确的否定，如：“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”，避免出现因不能正确否定条件和结论而出现错误．
【正解】 若x2＋y2≠0，则x，y不全为0.
1．四种命题：首先找清命题的条件和结论，然后
(1)交换原命题的条件和结论，得到逆命题；
(2)同时否定原命题的条件和结论，得到否命题；
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，得到逆否命题．
2．四种命题的真假判断
原命题与它的逆否命题同真假，原命题的逆命题和否命题互为逆否命题也具有相同的真假性．所以对于一些命题的真假判断(或证明)，我们可以借助与它同真假的(具有逆否关系的)命题来判断(或证明).
1．(2013·西安高二检测)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( )
A．若a≠－b，则|a|≠|b|
B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b
D．若|a|＝|b|，则a＝－b
【解析】 命题“若p，则q”的逆命题为“若q，则p”．
【答案】 D
2．命题“若a＞b，则a－8＞b－8”的逆否命题是( )
A．若a＜b，则a－8＜b－8
B．若a－8＞b－8，则a＞b
C．若a≤b，则a－8≤b－8
D．若a－8≤b－8，则a≤b
【解析】 命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”．
【答案】 D
3．(2013·临沂高二检测)命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题是________．
【解析】 否定条件与结论，得否命题“若a≤b，则2a≤2b－1”．
【答案】 若a≤b，则2a≤2b－1
4．写出下列命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题．
(1)对顶角相等；
(2)两个有理数的积是有理数．
【解】 (1)原命题：若两个角是对顶角，则这两个角相等；
逆命题：若两个角相等，则这两个角是对顶角；
否命题：若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
逆否命题：若两个角不相等，则这两个角不是对顶角．
(2)原命题，若a，b都是有理数，则ab是有理数；
逆命题：若ab是有理数，则a，b都是有理数；
否命题：若a，b不都是有理数，则ab不是有理数；
逆否命题：若ab不是有理数，则a，b不都是有理数.
一、选择题
1．(2013·长沙高二期末)命题“若函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2＜0”的逆否命题是( )
A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数
D．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数
【解析】 命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”“f(x)在其定义域内是减函数”的否定是“f(x)在其定义域内不是减函数”，不能误认为是“f(x)在其定义域内是增函数．”
【答案】 A
2．设原命题：若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1.则原命题与其逆命题的真假情况是( )
A．原命题真，逆命题假
B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题
【解析】 原命题显然为真，逆命题中，假设a＝2，b＝－1，则逆命题为假命题．
【答案】 A
3．有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；
④若“A∪B＝B，则A?B”的逆否命题．
其中的真命题是( )
A．①② B．②③
C．①③ D．③④
【解析】 ①③是真命题，②④是假命题．
【答案】 C
4．互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性．我们用“?”表示同真或同假，把它叫做“连连看”．下面让我们领略“连连看”的风采：已知命题p的否命题是r，命题r的逆命题为s，命题p的逆命题是t，则下列同真同假的“连连看”中，正确的一组是( )
A．p?r，s?t B．p?t，s?r
C．p?s，r?t D．p?r，s?r
【解析】 因为命题p的否命题是r，命题r的逆命题为s，所以命题p与s互为逆否命题，故有p?s；又由于命题p的否命题为r，命题p的逆命题为t，故t、r也是互为逆否命题，即r?t.
【答案】 C
5．与命题“若a·b＝0，则a⊥b”等价的命题是( )
A．若a·b≠0，则a不垂直于b
B．若a⊥b，则a·b＝0
C．若a不垂直于b，则a·b≠0
D．若a·b≠0，则a⊥b
【解析】 原命题与其逆否命题为等价命题．
【答案】 C
二、填空题
6．下列命题中：
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②正方形的四条边相等；
③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．
【解析】 ②③互为逆命题，①③互为否命题，①②互为逆否命题．
【答案】 ②③ ①③ ①②
7．(2013·济南高二检测)在空间中，给出下列两个命题：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．其中逆命题为真命题的是________．
【解析】 ①的逆命题：若空间四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，是假命题；②的逆命题：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，是真命题．
【答案】 ②
8．小强同学参加了市数学奥林匹克竞赛，班内有三位同学对他的成绩作了如下猜测：
甲：小强非第一名，也非第二名；
乙：小强非第一名，而是第三名；
丙：小强非第三名，而是第一名．
竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则小强得了第________名．
【解析】 (1)假设小强得了第三名，则甲全猜对，乙也全猜对，显然与已知条件矛盾，故假设不成立；(2)假设小强得了第二名，则甲猜对了一半，乙猜对一半，也与已知条件矛盾，故假设不成立；(3)假设小强得了第一名，则甲猜对了一半，乙全猜错，丙全猜对．综上分析，可知小强得了第一名．
【答案】 一
三、解答题
9．判断下列命题的真假，写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．
(1)若a＞b，则ac2＞bc2；
(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；
(3)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac＜0，则该二次函数的图象与x轴有公共点．
【解】 (1)该命题为假命题．因为当c＝0时，有ac2＝bc2.
逆命题：若ac2＞bc2，则a＞b.(真)
否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.(真)
逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.(假)
(2)该命题为真命题．
逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．(真)
否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．(真)
逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．(真)
(3)该命题为假命题．
当b2－4ac＜0时，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，因此二次函数的图象与x轴无公共点．
逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有公共点，则b2－4ac＜0.(假)
否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac≥0，则该二次函数图象与x轴没有公共点．(假)
逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴没有公共点，则b2－4ac≥0.(假)
10．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．
(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论．
(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
【解】 (1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.它为真，可证明原命题的否命题为真来证明它．
否命题为：若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．如果a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.因为f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，所以f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，故原命题的否命题为真，所以逆命题为真．
(2)逆否命题是：f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0.它为真，可证明原命题为真来证明它．
因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a.因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，故原命题为真．所以逆否命题为真．
11．已知下列三个方程：
x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．
【解】 假设三个方程都无实根，
则有
即
解得－＜a＜－1.
故三个方程中至少有一个方程有实根，则a的取值范围是a≥－1或a≤－
(教师用书独具)
若a，b，c都是实数，a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，求证：a，b，c中至少有一个大于0.
【自主解答】 用反证法：
假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0.
而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.
∵π－3＞0，且无论x，y，z为何实数，(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，
∴a＋b＋c＞0.
这与a＋b＋c≤0矛盾，
∴a，b，c中至少有一个大于0.
用反证法证明：
若a2＋b2＝c2，则a，b，c不可能都是奇数．
【证明】 法一 假设a、b、c都是奇数，设a＝2m－1，b＝2n－1，c＝2p－1(m，n，p∈Z)，则a2＋b2＝(2m－1)2＋(2n－1)2＝2(2m2＋2n2－2m－2n＋1)为偶数，而c2＝(2p－1)2＝4(p2－p)＋1为奇数，
∴a2＋b2≠c2，这与已知a2＋b2＝c2矛盾，
∴a、b、c不可能都是奇数．
法二 假设a、b、c都是奇数，则a2、b2、c2也是奇数．
∴a2＋b2为偶数，则a2＋b2≠c2.
这与已知a2＋b2＝c2矛盾，故a、b、c不可能都是奇数.
1.2充分条件与必要条件
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
(1)正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念；
(2)能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系；
(3)在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系．
2．过程与方法
(1)培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性；
(2)培养学生的归纳能力：“敢归纳”，敢于对一些事例，观察后进行归纳，总结出一般规律；
(3)培养学生的建构能力：“善建构”，通过反复的观察分析和类比，对归纳出的结论，建构于自己的知识体系中．
3．情感、态度与价值观
(1)通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受；
(2)通过对命题的四种形式及充分条件、必要条件的相对性，培养同学们的辩证唯物主义观点；
(3)通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神．
●重点难点
重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义．
难点：必要条件的定义、充要条件的充分必要性．
重难点突破的关键：找出题目中的p、q，判断p?q是否成立，同时还需判断q?p是否成立，再弄清是问“p是q的什么条件”，还是问“q是p的什么条件”．
(教师用书独具)
●教学建议
基于教材内容和学生的年龄特征，根据“开放式”、“启发式”教学模式和新课程改革的理论认识，结合学生实际，主要突出以下几个方面：(1)创设与生活实践相结合的问题情景，在加强数学教学的实践性的同时充分调动学生求知欲，并以此来激发学生的探究心理．(2)教学方法上采用了“合作——探索”的教学模式，使课堂教学体现“参与式”、“生活化”、“探索性”，保证学生对数学知识的主动获取，以求获得最佳效果．(3)注重渗透数学思考方法(联想法、类比法、归纳总结等一般科学方法)，让学生在探索学习知识的过程中，领会常见数学思想方法，培养学生的探索能力和创造性素质．(4)注意在探究问题时留给学生充分的时间，以利于开放学生的思维．
指导学生掌握“观察——猜想——归纳——应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对命题结构的探究．让学生在问题情景中学习，观察，类比，思考，探究，概括，动手尝试相结合，体现学生的主体地位，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，形成实事求是的科学态度，增强锲而不舍的求学精神．
●教学流程
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课标解读
1.理解充分、必要、充要条件的意义．(重点)
2.能熟练判断条件与结论之间的充分(必要、充要)性．(重点、难点)
充分条件、必要条件与充要条件
【问题导思】
观察下面四个电路图，开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q.
1．在上面四个电路中，你能说出p，q之间的推出关系吗？
【提示】 ①开关A闭合，灯泡B一定亮，灯泡B亮，开
关A不一定闭合，即p?q，qDp；②开关A闭合，灯泡B不一定亮，灯泡B亮，开关A必须闭合，即pDq，q?p；③开关A闭合，灯泡B亮，反之灯泡B亮，开关A一定闭合，即p?q；④开关A闭合与否，不影响灯泡B，反之，灯泡B亮与否，与开关A无关，即pDq，且qDp.
2．电路图③中开关A闭合，灯泡B亮；反之灯泡B亮，开关A一定闭合，两者的关系应如何表述？
【提示】 p?q.
1．充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p?q
p q
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
2.充要条件的概念
一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q.此时，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件．
概括地说，如果p?q，那么p与q互为充要条件.
充分条件、必要条件、充要条件的判断
(1)已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的是( )
①Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；
②Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件；
③Δ＝b2－4ac＞0是这个方程有实根的必要条件；
④Δ＝b2－4ac＜0是这个方程没有实根的充要条件．
A．③④ B．②③
C．①②③ D．①②④
(2)若p：(x－1)(x＋2)≤0，q：x＜2，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【思路探究】 (1)Δ＝b2－4ac与方程有何关系？当Δ＝0，Δ＞0或Δ＜0时，一元二次方程的根的情况如何？
(2)不等式(x－1)(x＋2)≤0的解集是什么？p、q有怎样的关系？
【自主解答】 (1)①对，Δ≥0?方程ax2＋bx＋c＝0有实根；
②对，Δ＝0?方程ax2＋bx＋c＝0有实根；
③错，Δ＞0?方程ax2＋bx＋c＝0有实根，但ax2＋bx＋c＝0有实根DΔ＞0；
④对，Δ＜0?方程ax2＋bx＋c＝0无实根．故选D.
(2)p：－2≤x≤1，q：x＜2，显然p?q，但qDp，即p是q的充分不必要条件．
【答案】 (1)D (2)A
1．判断p是q的什么条件，主要判断p?q，及q?p两命题的正确性，若p?q真，则p是q成立的充分条件；若q?p真，则p是q成立的必要条件．要否定p与q不能相互推出时，可以举出一个反例进行否定．
2．判定方法常用以下几种：
(1)定义法：借助“?”号，可记为：箭头所指为必要，箭尾跟着充分．
(2)集合法：将命题p、q分别看做集合A，B，当A?B时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，即p?q，可以用“小范围推出大范围”来记忆；当A＝B时，p、q互为充要条件．
已知如下三个命题中：
①(2013·福州高二检测)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件；
②(2013·临沂高二检测)对于实数a，b，c，“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件；
③直线l1：ax＋y＝3，l2：x＋by－c＝0.
则“ab＝1”是“l1∥l2”的必要不充分条件；
④“m＜－2或m＞6”是“y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点”的充要条件．
正确的结论是________．
【解析】 ①中，当a＝2时，有(a－1)(a－2)＝0；但当(a－1)(a－2)＝0时，a＝1或a＝2，不一定有a＝2.
∴“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件，①正确．
②∵a>bDac2>bc2(c＝0)，但ac2>bc2?a>b.
∴“a>b”是“ac2>bc2”必要不充分条件，②错．
③中，ab＝1且ac＝3时，l1与l2重合，但l1∥l2?＝，即ab＝1，
∴“ab＝1”是“l1∥l2”的必要不充分条件，③正确．
④中，y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点?Δ＝m2－4(m＋3)＞0?m＜－2或m＞6.
∴是充要条件，④正确．
【答案】 ①③④
充分条件、必要条件、充要条件的应用
(2013·大连高二期末)设集合A＝{x|－x2＋x＋6≤0}，关于x的不等式x2－ax－2a2＞0的解集为B(其中a＜0)．
(1)求集合B；
(2)设p：x∈A，q：x∈B，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【思路探究】 (1)不等式x2－ax－2a2＞0的解集是什么？
(2)由“綈p是綈q的必要不充分条件”可得怎样的推出关系？这种推出关系的等价关系是什么？表现在集合上又是怎样的？
【自主解答】 (1)x2－ax－2a2＞0?(x－2a)(x＋a)＞0，
解得x＞－a或x＜2a.
故集合B＝{x|x＞－a或x＜2a}．
(2)法一 若綈p是綈q的必要不充分条件，
则綈q?綈p，
由此可得p?q，
则A＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|(x－3)(x＋2)≥0}
＝{x|x≥3或x≤－2}
由p?q，
可得A?B，
∴，?a＞－1.
法二 A＝{x|x≥3或x≤－2}，?UA＝{x|－2＜x＜3}，而?UB＝{x|2a≤x≤－a}，
由綈p是綈q的必要不充分条件，
可得綈q?綈p，
也即?UB??UA，
∴，?a＞－1.
1．利用充分、必要条件求参数的取值范围问题，常利用集合法求解，即先化简集合A＝{x|p(x)}和B＝{x|q(x)}，然后根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)，得出集合A与B的包含关系，进而得到相关不等式组(也可借助数轴)，求出参数的取值范围．
2．判断p是q的什么条件，若直接判断困难，还可以用等价命题来判断，有时也可通过举反例否定充分性或必要性．
已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)．若綈p是綈q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．
【解】 法一 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
由x2－2x＋1－m2≤0，得1－m≤x≤1＋m(m＞0)．
∴綈p：A＝{x|x＞10或x＜－2}，
綈q：B＝{x|x＞1＋m或x＜1－m}．
∵綈p是綈q的充分而不必要条件，∴AB.
∴解得0＜m≤3.
∴m的取值范围是{m|0＜m≤3}．
法二 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
由x2－2x＋1－m2≤0得1－m≤x≤1＋m(m＞0)，
∴p：A＝{x|－2≤x≤10}，
q：B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
∵綈p是綈q的充分不必要条件，
∴q也是p的充分不必要条件，∴BA.
∴解得0＜m≤3.
∴m的取值范围是{m|0＜m≤3}.
充要条件的证明
求证：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不等的实根的充要条件是：0＜m＜.
【思路探究】 先找出条件和结论，然后证明充分性和必要性都成立．
【自主解答】 充分性(由条件推结论)：
∵0＜m＜，
∴方程mx2－2x＋3＝0的判别式Δ＝4－12m＞0，
∴方程有两个不等的实根．
设方程的两根为x1、x2，当0＜m＜时，x1＋x2＝＞0且x1x2＝＞0，故方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根，即0＜m＜?方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根．
必要性(由结论推条件)：
若方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根，
则有，
∴0＜m＜，即方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根?0＜m＜.
综上，方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m＜.
1．证明p是q的充要条件，既要证明命题“p?q”为真，又要证明“q?p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．
2．证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．
求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
【证明】 假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，
q：a＋b＋c＝0.
(1)证明p?q，即证明必要性．
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·12＋b·1＋c＝0，
即a＋b＋c＝0.
(2)证明q?p，即证明充分性．
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.
∵ax2＋bx＋c＝0，
∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
∴x＝1是方程的一个根．
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
因考虑不周到致误
一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是( )
A．m＞0，n＞0 B．mn＜0
C．m＜0，n＜0 D．mn＞0
【错解】 由题意可得，一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、二、四象限，即解得m＞0，n＞0，所以选A.
【答案】 A
【错因分析】 p的必要不充分条件是q，即q是p的必要不充分条件，则qDp且p?q，故本题应是题干?选项，而选项D题干，选项A为充要条件．
【防范措施】 要说明p是q的充分不必要条件，须满足p?q，但qDp；要说明p是q的必要不充分条件，须满足pDq，但q?p；要说明p是q的充要条件，须满足p?q且q?p，解题时一定要考虑周到，切莫顾此失彼．
【正解】 一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、二、四象限，即得m＞0，n＞0.
故由函数y＝－x＋的图象同时经过第一、二、四象限可以推出mn＞0，而由mn＞0不一定推出函数y＝－x＋的图象过一、二、四象限，所以选D.
【答案】 D
充分条件与必要条件的判断方法
(1)定义法
用定义法判断直观、简捷，且一般情况下，错误率低，在解题中应用极为广泛．
(2)集合法
从集合角度看，设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|满足条件q}．
①若A?B，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的充分不必要条件．
②若A?B，则p是q的必要条件；若A?B，则p是q的必要不充分条件．
③若A＝B，则p是q的充要条件．
④若A?B，且A?B，则p是q的既不充分也不必要条件．
(3)等价转化法
当某一命题不易直接判断条件和结论的关系(特别是对于否定形式或“≠”形式的命题)时，可利用原命题与逆否命题等价来解决．
(4)传递法
充分条件与必要条件具有传递性，即由p1?p2?p3?…?pn，则可得p1?pn，充要条件也有传递性．
1．(2013·成都高二检测)“x＝3”是“x2＝9”的( )
A．充分而不必要的条件
B．必要而不充分的条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要的条件
【解析】 当x＝3时，x2＝9；
但x2＝9，有x＝±3.
∴“x＝3”是“x2＝9”的充分不必要条件．
【答案】 A
2．设p：x2＋3x－4＞0，q：x＝2，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 当x2＋3x－4＞0时，不一定有x＝2；但当x＝2时，必有x2＋3x－4＞0，故p是q的必要不充分条件．
【答案】 B
3．在“x2＋(y－2)2＝0是x(y－2)＝0的充分不必要条件”这句话中，已知条件是________，结论是________．
【答案】 x2＋(y－2)2＝0 x(y－2)＝0
4．若p：x＝1或x＝2；q：x－1＝，则p是q的什么条件？
【解】 因为x＝1或x＝2?x－1＝；x－1＝?x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件.
一、选择题
1．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则m＝2是A∩B＝{4}的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 当m＝2时，m2＝4，A∩B＝{4}，
但m2＝4时，m＝±2，
∴A∩B＝{4}得m＝±2.
【答案】 A
2．(2013·济南高二检测)设α，β∈(－，)，那么“α＜β”是“tan α＜tan β”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 在(－，)中，函数y＝tan x为增函数，所以设α、β∈(－，)，那么“α＜β”是tan α＜tan β的充要条件．
【答案】 C
3．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是( )
A．p：a＋c>b＋d，q：a>b且c>d
B．p：AB，q：x∈A?x∈B
C．p：x＝1，q：x2＝x
D．p：a>1，q：f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数
【解析】 易知由a＋c>b＋dDa>b且c>d.
但a>b且c>d，
可得a＋c>b＋d
∴“p：a＋c>b＋d”是“q：a>b且c>d”的必要不充分条件．故选A.
【答案】 A
4．“α＞β”是“sin α＞sin β”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
【解析】 由“α＞β”D“sin α＞sin β”；由“sin α＞sin β”D“α＞β”，应选C.(也可以举反例)．
【答案】 C
5．(2013·青岛高二检测)下列各小题中，p是q的充分必要条件的是( )
①p：m＜－2或m＞6，q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点；
②p：＝1，q：y＝f(x)是偶函数；
③p：cos α＝cos β；tan α＝tan β；
④p：A∩B＝A，q：?UB??UA.
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【解析】 ①y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点，则Δ＝m2－4(m＋3)＞0，得m＞6或m＜－2，所以p是q的充要条件．
②若y＝f(x)中存在x0，使得f(x0)＝0，则p是q的充分不必要条件．
③当α＝β＝kπ＋时，tan α，tan β无意义，所以p是q的必要不充分条件．
④p是q的充要条件．
【答案】 D
二、填空题
6．下列不等式：①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜0；④－1＜x＜1.其中，可以是x2＜1的一个充分条件的所有序号为________．
【答案】 ②③④
7．(2013·武汉高二检测)“b2＝ac”是“a、b、c”成等比数列的________条件．
【解析】 “b2＝acD”a，b，c成等比数列，如b2＝ac＝0；而“a，b，c”成等比数列“?”“b2＝ac”．
【答案】 必要不充分
8．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直的充要条件是m＝______.
【解析】 直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直?1·m＋(m＋1)·2＝0?m＝－.
【答案】 －
三、解答题
9．指出下列命题中，p是q的什么条件．
(1)p：≤，q：x2＋x－3≥0；
(2)p：ax2＋ax＋1＞0的解集是R，q：0＜a＜4；
(3)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B.
【解】 (1)化简得p：，
q：.如图
由图可知，，
所以p是q的充分不必要条件．
(2)因为ax2＋ax＋1＞0的解集是R，所以①当a＝0时成立；
②当a≠0时，ax2＋ax＋1＞0的解集是R，
有
解得0＜a＜4，所以0≤a＜4.
所以pD?/q，q?p，所以p是q的必要不充分条件．
(3)对于p：A∪B＝A?B?A，对于q：A∩B＝B?B?A，
即p?q，所以p是q的充要条件．
10．若A＝{x|a＜x＜a＋2}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，且A是B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解】 ∵A是B的充分不必要条件，
∴AB.
又A＝{x|a
3}．
因此a＋2≤－1或a≥3，
∴实数a的取值范围是a≥3或a≤－3.
11．设a，b，c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，证明：“a2＝b(b＋c)”是“A＝2B”的充要条件．
【证明】 充分性：由a2＝b(b＋c)＝b2＋c2－2bccos A可得1＋2cos A＝＝.
即sin B＋2sin Bcos A＝sin(A＋B)．
化简，得sin B＝sin(A－B)．
由于sin B＞0且在三角形中，
故B＝A－B，
即A＝2B.
必要性：若A＝2B，
则A－B＝B，sin(A＋B)＝sin B，
即sin(A＋B)＝2sin Bcos A＝sin A.
∴sin(A＋B)＝sin B(1＋2cos A)．
∵A、B、C为△ABC的内角，
∴sin(A＋B)＝sin C，
即sin C＝sin B(1＋2cos A)．
∴＝1＋2cos A＝1＋＝，
即＝.
化简得a2＝b(b＋c)．
∴a2＝b(b＋c)是“A＝2B”的充要条件.
(教师用书独具)
试求关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件．
【自主解答】 如果方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根，
设两负根为x1，x2，则x1x2＝1，
∴解之得m≥2.
因此m≥2是方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的必要条件．
下面证明充分性．
因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，
所以方程x2＋mx＋1＝0有实根，设两根为x1，x2，
由根与系数的关系知，x1x2＝1＞0，所以x1，x2同号．
又x1＋x2＝－m≤－2＜0，
所以x1，x2同为负数．
故m≥2是方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件．
求关于x的不等式kx2＋x＋k＞0(k≠0)恒成立的充要条件．
【解】 kx2＋x＋k＞0(k≠0)恒成立．
??k＞.
1．3简单的逻辑联结词
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
了解命题的概念，理解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义，掌握含有“或”，“且”，“非”的命题的构成．
2．过程与方法
(1)经历抽象的逻辑联结词的过程，培养学生观察，抽象，推理的思维能力．
(2)通过发现式的引导，培养学生发现问题，解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
培养学生积极参与，合作交流的主体意识，并在这过程中，培养学生对数学的兴趣和爱好．
●重点难点
重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“或”、“且”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容．
难点：(1)正确理解命题“p∧q”“p∨q”“綈p”真假的规定和判定．
(2)简洁、准确地表述命题“p∧q”“p∨q”“綈p”．
为了突出重点，突破难点，在教学上宜采取了以下的措施：
(1)从学生已有的知识出发，精心设置一组例子，逐步引导学生观察，探讨，联想，归纳出逻辑联结词的含义，从中体会逻辑的思想．
(2)通过简单命题与含逻辑联结词的命题的对比，明确它们存在的区别和联系，加深对含逻辑联结词的命题构成的理解，抓住其本质特点．
(教师用书独具)
●教学建议
教法分析：依据现有学生的年龄特点和心理特征，结合他们的认识水平，在遵循启发式教学原则的基础上，在本节采用发现法为主，以谈话法，讲解法，练习法为辅的教学方法，意在通过老师的引导，调动学生学习知识的积极性，从而培养学生观察问题，发现问题和解决问题的能力．为此，依据新课程的改革要求，本节课采用师生互动的方式，即是以教师为主导，学生为主体的讨论式学习，真正实现新课标下的“以学生为主”的教学模式．
学法分析：现代教学理论认为，教师的“教”不仅要让学生“学会知识”，更重要的是让学生“会学知识”，而正确的学法指导是培养学生这种能力的关键，因此在本节的教学中，教师指导学生运用观察，分析讨论，模拟归纳等手段来进行本节课的学习，实现对知识的理解和应用．
●教学流程
?引导学生通过观察、比较、分析，揭示给出命题的特点，得出逻辑联结词“或”、“且”、“非”的概念.???? 熟练掌握真值表，完成例3及其变式训练，从而解决由含有逻辑联结词的命题的真假求参数的问题.??
课标解读
1.了解“或”、“且”、“非”的含义．(难点)
2.掌握含逻辑联结词的命题真假的判断．(重点)
3.能正确区分命题的否定与否命题．(易混点)
“且”
【问题导思】
1．观察下列三个命题：
①2是6的约数；②2是8的约数；③2是6的约数且是8的约数．它们之间有什么关系？
【提示】 命题③是将命题①、②用“且”联结得到的新命题．
2．以上三个命题的真假情况是怎样的？
【提示】 均为真命题．
1．定义
一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来就得到一个新命题，记作p∧q.读作“p且q”．
2．真假判断
当p、q都是真命题时，p∧q是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题.
“或”
【问题导思】
1．观察下列三个命题：
①27是7的倍数；②27是3的倍数；③27是7的倍数或是3的倍数．它们之间有什么关系？
【提示】 命题③是将命题①②用“或”联结得到的新命题．
2．以上三个命题的真假情况是怎样的？
【提示】 ①是假命题，②③是真命题．
1．定义
一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q.读作“p或q”．
2．真假判断
当p、q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题.
“非”
【问题导思】
1．观察下列两个命题
①4是16的算术平方根；②4不是16的算术平方根．它们之间有什么关系？
【提示】 命题②是对命题①的全盘否定．
2．以上两个命题的真假情况是怎样的？
【提示】 命题①为真命题，命题②为假命题．
1．定义
一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．
2．真假判断
若p是真命题，则綈p必是假命题；若p是假命题，则綈p必是真命题.
含有逻辑联结词的命题构成
指出下列命题的形式及构成它的简单命题：
(1)方程x2－3＝0没有有理根；
(2)有两个内角是45°的三角形是等腰直角三角形；
(3)±1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．
【思路探究】 ―→―→
【自主解答】 (1)这个命题是“非p”形式的命题，其中p：方程x2－3＝0有有理根．
(2)这个命题是“p且q”形式的命题，其中p：有两个内角是45°的三角形是等腰三角形，q：有两个内角是45°的三角形是直角三角形．
(3)这个命题是“p或q”形式的命题，其中p：1是方程x3＋x2－x－1＝0的根，q：－1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．
1．判断一个命题的结构，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”“非”等逻辑联结词，而应从命题的结构上看是否用逻辑联结词联结两个命题．
2．用逻辑联结词“且”“或”联结两个命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，选择合适的联结词，有时为了语法的要求及语句的通顺也可进行适当的省略和变形．
指出下列命题的构成形式：
(1)菱形的对角线垂直且平分；
(2)9的算术平方根不是－3；
(3)不等式x2－x－2>0的解集是{x|x>2或x<－1}．
【解】 (1)是“p∧q”形式，其中p：菱形的对角形互相垂直，q：菱形的对角线互相平分；
(2)是“綈p”形式，其中p：9的算术平方根是－3；
(3)是“p∨q”的形式，其中p：不等式x2－x－2>0的解集是{x|x>2}，q：不等式x2－x－2>0的解集是{x|x<－1}．
含逻辑联结词的命题真假的判断
分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题，并判断其真假．
(1)p：6是自然数，q：6是偶数；
(2)p：等腰梯形的对角线相等，q：等腰梯形的对角线互相平分；
(3)p：函数y＝x2－2x＋2没有零点，q：不等式x2－2x＋1＞0恒成立．
【思路探究】 ―→―→
【自主解答】 (1)p∨q：6是自然数或是偶数，真命题．
p∧q：6是自然数且是偶数，真命题．
綈p：6不是自然数，假命题．
(2)p∨q：等腰梯形的对角线相等或互相平分，真命题．
p∧q：等腰梯形的对角线相等且互相平分，假命题．
綈p：等腰梯形的对角线不相等，假命题．
(3)p∨q：函数y＝x2－2x＋2没有零点或不等式x2－2x＋1＞0恒成立，真命题．
p∧q：函数y＝x2－2x＋2没有零点且不等式x2－2x＋1＞0恒成立，假命题．
綈p：函数y＝x2－2x＋2有零点，假命题．
1．判断含有逻辑联结词的命题的真假的步骤：
(1)确定含逻辑联结词的命题的构成形式；
(2)判断其中简单命题p、q的真假；
(3)由真值表判断命题的真假．
2．真值表
p
q
p∨q
p∧q
綈p
真
真
真
真
假
真
假
真
假
假
假
真
真
假
真
假
假
假
假
真
解读真值表
命题形式
规律总结
结论解释
“p∨q”
一真必真
p，q中只要有一个是真命题，则“p∨q”一定是真命题
“p∧q”
一假必假
p，q中只要有一个是假命题，则“p∧q”一定是假命题
“綈p”
真假相反
p真，则綈p假；p假，则綈p真
分别指出下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的真假；
(1)p：是无理数，q：是实数；
(2)p：4＞6，p：4＋6≠10.
【解】 (1)∵p为真命题，q也为真命题．
∴p∨q为真命题，p∧q为真命题，綈p为假命题．
(2)∵p为假命题，q也为假命题．
∴p∨q为假命题，p∧q为假命题，綈p为真命题.
逻辑联结词的应用
已知a＞0且a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)上单调递减，q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．若p或q为真，p且q为假，求a的取值范围．
【思路探究】 (1)由题意，p、q中实数a的取值范围是怎样的？(2)“p或q为真，p且q为假”的含义是什么？如何由此确定a的取值范围？
【自主解答】 y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减，故0＜a＜1.
曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于两点等价于
(2a－3)2－4＞0，即a＜或a＞.
又a＞0，∴0＜a＜或a＞.
∵p或q为真，∴p，q中至少有一个为真．
又∵p且q为假，∴p，q中至少有一个为假，
∴p，q中必定是一个为真一个为假．
①若p真，q假．
则
∴≤a＜1.
②若p假，q真．
则∴a＞.
综上可知，实数a的取值范围为[，1)∪(，＋∞)．
1．含有逻辑联结词的命题p∧q、p∨q的真假可以用真值表来判断，反之根据命题p∧q、p∨q的真假也可以判断命题p、q的真假．
2．解答这类问题的一般步骤：
(1)先求出命题p∧q、p∨q在命题p，q成立时的参数范围；
(2)其次根据命题p∧q、p∨q的真假判断命题p、q的真假；
(3)根据p、q的真假求出参数的取值范围．
命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，命题q：函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
【解】 设g(x)＝x2＋2ax＋4，由于关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，故Δ＝4a2－16＜0，
∴－2＜a＜2，
∴命题p中a应满足－2＜a＜2.
函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数，
则有5－2a＞1，即a＜2.∴命题q中a应满足a＜2.
又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．
(1)若p真q假，则此不等式组无解．
(2)若p假q真，则
∴a≤－2.
综上，实数a的取值范围是a≤－2.
混淆命题的否定与否命题致误
写出下列命题的否定：
若x2－x－2≠0，则x＝－1且x＝2.
【错解】 若x2－x－2＝0，则x≠－1或x≠2.
【错因分析】 本题错误在于将命题的否定写成了命题的否命题．
【防范措施】 命题p的否定，就是命题“非p”，记作綈p.若命题p为“若A，则B”的形式，则綈p为“若A，则綈B”的形式．
命题p为“若A，则B”，其否命题为“若綈A，则綈B”．显然与命题的否定不同，它是既要否定条件，又要否定结论，且其真假无规律，要视具体命题而定．
【正解】 若x2－x－2≠0，则x≠－1或x≠2.
1．利用逻辑联结词“且”“或”可以联结两个命题，得到新命题；命题的真假可以通过真值表进行判断．
2．命题綈p是对命题p的全盘否定，p和綈p的真假性相反，要区别于命题p的否命题．
逻辑联结词的意义又可结合集合的运算理解，利用p∧q，p∨q，綈p形式命题的真假可以得到一些集合的关系，确定其中参数的范围.
1．命题“矩形的对角线相等且互相平分”是( )
A．“p∧q”形式的命题 B．“p∨q”形式的命题
C．“綈p”形式的命题 D．以上说法都不对
【答案】 A
2．(2013·石家庄高二检测)若p是真命题，q是假命题，则( )
A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题
C．綈p是真命题 D．綈q是真命题
【解析】 根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D正确．
【答案】 D
3．命题“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否定为________．
【答案】 在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B不都是锐角
4．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z，若p∧q和綈q都是假命题，求x的取值集合．
【解】 ∵綈q是假命题，∴q为真命题．
又p∧q为假命题，
∴p为假命题．
因此x2－x<6且x∈Z，
解之得－2故x＝－1,0,1,2，
所以x取值的集合是{－1,0,1,2}.
一、选择题
1．(2013·蒙阴高二期末)命题“ab≠0”是指( )
A．a≠0且b≠0
B．a≠0或b≠0
C．a、b中至少有一个不为0
D．a、b不都为0
【解析】 只有a≠0且b≠0，才有ab≠0.
【答案】 A
2．(2013·许昌高二检测)已知命题p：3≥3，q：3＞4，则下列判断正确的是( )
A．p∨q为真，p∧q为真，綈p为假
B．p∨q为真，p∧q为假，綈p为真
C．p∨q为假，p∧q为假，綈p为假
D．p∨q为真，p∧q为假，綈p为假
【解析】 ∵p为真命题，q为假命题，∴p∨q为真，p∧q为假，綈p为假，应选D.
【答案】 D
3．下列各组命题中，满足“‘p或q’为真，‘p且q’为假，‘非p’为真”的是( )
A．p：0＝?；q：0∈?
B．p：在△ABC中，若cos 2A＝cos 2B，则A＝B；
q：y＝sin x在第一象限是增函数
C．p：a＋b≥2(a，b∈R)；
q：不等式|x|＞x的解集是(－∞，0)
D．p：圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的面积被直线x＝1平分；
q：直线y＝2x＋1的倾斜角为30°
【解析】 由已知“綈p”为真命题，故p为假命题，又因为“p或q”为真，“p且q”为假，故q为真命题，应选C.
【答案】 C
4．(2013·东北师大附中质检)已知p，q为两个命题，则“p∨q是假命题”是“綈p为真命题”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 “p∨q”为假，则p与q均是假命题，綈p为真命题，又綈p为真命题，则p为假命题．
但若q为真命题，则推不出p∨q是假命题．
【答案】 A
5．(2013·连云港高二检测)已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2，q4：p1∧(綈p2)中，真命题是( )
A．q1，q3 B．q2，q3
C．q1，q4 D．q2，q4
【解析】 ∵y＝2x在R上增函数，y＝2－x在R上是减函数，
∴y＝2x－2－x在R上是增函数为真命题，y＝2x＋2－x在R上为减函数是假命题．
因此p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题；
∴q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，
∴q3：(綈p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(綈p2)为真命题．
∴真命题是q1，q4，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．分别用“p∨q”、“p∧q”、“綈p”填空．
(1)命题“15能被3和5整除”是________形式；
(2)命题“16的平方根是4或16的平方根是－4”是________形式．
(3)命题“π不是有理数”是________形式．
【答案】 (1)“p∧q” (2)“p∨q” (3)“綈p”
7．若x∈{x|x＜4或x≥10}是假命题，则x的取值范围是________．
【解析】 由题意其否定为真，即4≤x＜10成立．
【答案】 [4,10)
8．(2013·泰安高二检测)命题p：若mx2－mx－1＜0恒成立，则－4＜m＜0.命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|a【解析】 若mx2－mx－1＜0恒成立，
则m＝0或
解之得－4＜m≤0.
∴命题p是假命题．
又(x－a)(x－b)<0的解集与a，b大小有关，
∴q假．
因此“綈p”为真，“p∨q”与“綈p∧q”为假．
【答案】 綈p
三、解答题
9．用“且”、“或”改写下列命题并判断真假：
(1)1不是质数也不是合数；
(2)2既是偶数又是质数；
(3)5和7都是质数；
(4)2≤3.
【解】 (1)p：1不是质数；q：1不是合数，p∧q：1不是质数且1不是合数．(真)
(2)p：2是偶数；q：2是质数；p∧q：2是偶数且2是质数．(真)
(3)p：5是质数；q：7是质数；p∧q：5是质数且7是质数．(真)
(4)2≤3?2＜3或2＝3.(真)
10．写出下列各命题的否定形式及否命题：
(1)若xy＝0，则x＝0或y＝0；
(2)菱形的对角线相等且互相垂直；
(3)若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m，n，a，b全为零．
【解】 (1)否定形式：若xy＝0，则x≠0且y≠0；
否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0.
(2)否定形式：菱形的对角线不相等或不互相垂直；
否命题：如果一个四边形不是菱形，则它的对角线不相等或不互相垂直．
(3)否定形式：若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m，n，a，b不全为零；
否命题：若m2＋n2＋a2＋b2≠0，则实数m，n，a，b不全为零．
11．(2013·扬州高二检测)已知m＞0，p：(x＋2)(x－6)≤0，q：2－m≤x≤2＋m.
(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
(2)若m＝5，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围．
【解】 p：－2≤x≤6，q：2－m≤x≤2＋m(m>0)．
(1)∵p是q的充分条件，
∴解之得m≥4.
故实数m的取值范围是[4，＋∞)．
(2)当m＝5时，q：－3≤x≤7.
∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，
∴p、q一真一假，
当p真q假时，无解；
当p假q真时，
解得－3≤x<－2或6综上，实数x的取值范围是[－3，－2)∪(6,7].
(教师用书独具)
设p：关于x的不等式ax＞1的解集是{x|x＜0}，q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数a的取值范围．
【自主解答】 若p为真，则0＜a＜1.
若q为真，则ax2－x＋a＞0的解集为R.
当a＝0时，原不等式为x＜0，不成立，
当a≠0时，则有解得a＞.
∵p∧q为假，p∨q为真，∴p真q假或p假q真．
∴或
∴0＜a≤或a≥1.
设命题p：方程2x2＋x＋a＝0的两根x1，x2满足x1＜1＜x2，命题q：函数y＝log2(ax－1)在区间[1,2]内单调递增．
(1)若p为真命题，求实数a的取值范围；
(2)试问：p∧q是否有可能为真命题？若有可能，求出a的取值范围；若不可能，请说明理由．
【解】 (1)令f(x)＝2x2＋x＋a，则f(1)＜0，
∴3＋a＜0.∴a＜－3.
(2)若q为真命题，则a＞0且a－1＞0，∴a＞1.
∵a＜－3与a＞1不可能同时成立，∴p∧q不可能为真命题.
1.4全称量词与存在量词
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
(1)通过教学实例，理解全称量词和存在量词的含义；能够用全称量词符号表示全称命题，能用存在量词符号表述特称命题；会判断全称命题和特称命题的真假；
(2)通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．
2．过程与方法
通过观察命题、科学猜想以及通过参与过程的归纳和问题的演绎，培养学生的观察能力和概括能力；通过问题的辨析和探究，培养学生良好的学习习惯和反思意识．
3．情感、态度与价值观
通过引导学生观察、发现、合作与交流，让学生经历知识的形成过程，增加直接经验基础，增强学生学习的成功感，激发学生学习数学的兴趣．
●重点难点
重点：理解全称量词与存在量词的意义，正确地对含有一个量词的命题进行否定．
难点：判断全称命题和特称命题的真假，正确地对含有一个量词的命题进行否定．
重、难点突破方法：通过设置大量丰富的例子，引导学生观察、发现、合作与交流，认识全称命题与存在性命题之间有可能转化，它们之间并不是对立的关系；对实例分析要恰当到位，务必理清各类型命题形式结构、性质关系，才能真正准确地完整地表达出命题的否定．
(教师用书独具)
●教学建议
结合本节课的特点，应通过实例层层深入、逐步推进，讲解时切忌急躁，真正做到让学生在观察、发现、合作与交流中感受知识，在教师的引导释疑下学得知识，并在训练中得以熟练．
●教学流程
?引导学生分析、解决问题，得出全称量词与全称命题的概念，并用同样的方法产生存在量词与特称命题的概念.???? 通过例3及其变式训练，学会对含有一个量词的命题的否定，弄清全称命题、特称命题否定的特点.??
课标解读
1.理解全称量词、存在量词的含义．(重点)
2.掌握全称命题与特称命题的真假判断．(重点)
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(难点)
全称量词与全称命题
【问题导思】
下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？
(1)2x＞5；
(2)2x＋1是奇数；
(3)对所有的x∈R,2x＞5；
(4)对任意一个x∈Z,2x＋1是奇数．
【提示】 由命题的定义知(1)(2)不是命题，(3)(4)是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“对任意一个”对变量x进行限定．
1．短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示．
2．含有全称量词的命题叫做全称命题，用符号表示为：“对M中任意一个x，有p(x)成立”，记为?x∈M，p(x).
存在量词与特称命题
【问题导思】
下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？
(1)2x＋1＝5；
(2)x能被2和5整除；
(3)存在一个x0∈R，使2x0＋1＝3；
(4)至少有一个x0∈Z，x0能被2和5整除．
【提示】 (1)(2)不是命题，(3)(4)是命题．
语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定，语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定．
1．短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中叫做存在量词，用符号“?”表示．
2．含有存在量词的命题，叫做特称命题，用符号表示：“存在M中的元素x0，使p(x0)成立，记为：?x0∈M，p(x0)”.
含有一个量词的命题的否定
【问题导思】
1．命题“所有的四边形都是平行四边形”的否定是“所有的四边形都不是平行四边形”吗？若不是，应怎样写出？其含义是什么？
【提示】 不是，应写成“所有的四边形不都是平行四边形”，其含义是：有的四边形不是平行四边形．
2．命题“某些平行四边形是菱形”的否定呢？
【提示】 所有的平行四边形都不是一菱形．
全称命题和特称命题的概念及真假判断
指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假．
(1)?x∈N,2x＋1是奇数；
(2)存在一个x0∈R，使＝0；
(3)对任意向量a，|a|＞0；
(4)有一个角α，使sin α＞1.
【思路探究】 (1)上述各命题中分别含有什么量词？(2)如何判断它们的真假情况？
【自主解答】 (1)是全称命题，因为?x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．
(2)是特称命题．因为不存在x0∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．
(3)是全称命题．因为|0|＝0，∴|a|＞0不都成立，因此，该命题是假命题．
(4)是特称命题，因为?α∈R，sin α∈[－1,1]，所以该命题是假命题．
1．判定一个命题是全称命题还是特称命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词．当然有些全称命题中并不含全称量词，这时要根据命题所涉及的意义去判断．
2．全称命题与特称命题真假的判断方法：
(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题．
判断下列命题的真假：
(1)?x∈R，x2＋2x＋1＞0；
(2)?x∈(0，)，cos x＜1；
(3)?x0∈Z，使3x0＋4＝0；
(4)至少有一组正整数a，b，c满足a2＋b2＋c2≤3.
【解】 (1)∵当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，
∴原命题是假命题．
(2)由y＝cos x在(0，)的单调性．
∴?x∈(0，)，cos x＜1为真命题．
(3)由于3x＋4＝5成立时，x＝?Z，因而不存在x∈Z，使3x＋4＝5.
所以特称命题“?x0∈Z，使3x0＋4＝5”是假命题．
(4)由于取a＝1，b＝1，c＝1时，a2＋b2＋c2≤3是成立的，所以特称命题“至少有一组正整数a，b，c满足a2＋b2＋c2≤3”是真命题.
含有一个量词的命题的否定
写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)q: 存在一个实数x0使得x＋x0＋1≤0；
(3)r：等圆的面积相等，周长相等；
(4)s：对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.
【思路探究】 (1)以上命题是全称命题还是特称命题？(2)怎样对这些命题进行否定？
【自主解答】 (1)这一命题可以表述为p“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是綈p“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”．
注意到当Δ＝1＋4m＜0时，即m＜－时，一元二次方程没有实数根，所以綈p是真命题．
(2)这一命题的否定形式是綈q：对所有实数x，都有x2＋x＋1＞0，利用配方法可以证得綈q是一个真命题．
(3)这一命题的否定形式是綈r：“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”，由平面几何知识知綈r是一个假命题．
(4)这一命题的否定形式是綈s：存在α∈R，不都有sin2α＋cos2α＝1”，由于命题s是真命题，所以綈s是假命题．
对全称命题和特称命题进行否定的步骤与方法：
(1)确定类型：是特称命题还是全称命题．
(2)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词．
(3)否定性质：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．
注意：无量词的全称命题要先补回量词再否定．
写出下列命题的否定并判断其真假：
(1)p：?x∈R，x2－x＋≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：?x0∈R，x＋2x0＋3≤0；
(4)s：至少有一个实数x0，使x＋1＝0.
【解】 (1)綈p：?x0∈R，x－x0＋＜0，假命题．
因为?x∈R，x2－x＋＝(x－)2≥0恒成立，所以綈p是假命题．
(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．
(3)綈r：?x∈R，x2＋2x＋3＞0，真命题．
因为?x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2＞0恒成立，所以綈r是真命题．
(4)綈s：?x∈R，x3＋1≠0，假命题．
因为x＝－1时，x3＋1＝0，所以綈s是假命题.
全称命题与特称命题的应用
已知命题“?x∈R，x2－5x＋a＞0”的否定为假命题，求实数a的取值范围．
【思路探究】 (1)已知命题的否定为假命题，原命题的真假如何？(2)能否将其转化为一元二次不等式恒成立问题加以解决？
【自主解答】 由“?x∈R，x2－5x＋a＞0”的否定为假命题，可知命题“?x∈R，x2－5x＋a＞0”必为真命题．
即不等式x2－5x＋a＞0对任意x∈R恒成立．
∴Δ＝25－4×a＜0，解得a＞，
即实数a的取值范围为(，＋∞)．
应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型
(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．
(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．
已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；
(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)＞0成立，求实数m的取值范围．
【自主解答】 (1)不等式m＋f(x)＞0可化为m＞－f(x)，
即m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m＞－4.
故存在实数m，当m>－4时，不等式m＋f(x)>0对?x∈R恒成立．
(2)原式化为m＞f(x0)，
若存在一个实数x0使不等式m＞f(x0)成立，只需m＞f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m＞4.
所以所求实数m的取值范围是(4，＋∞).
对含有一个量词的命题进行否定时未
改变量词致误
写出命题“?x∈R，若y＞0，则x2＋y＞0”的否定．
【错解】 命题的否定：?x∈R，若y＞0，则x2＋y≤0.
【错因分析】 错解中只否定了命题的结论，忘记了转换量词．
【防范措施】 对于全称命题与特称命题的否定除了否定命题的结论外，还必须对量词进行转换，尤其对省略了量词的全称命题进行否定时更要谨慎，以防出错．
【正解】 命题的否定：?x0∈R，若y＞0，则x＋y≤0.
1．判定一个命题是全称命题还是特称命题的主要方法是看命题中含有哪种量词，判定时要特别注意省略量词的全称命题．
2．要判定一个全称命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判
定其为假命题，只要举出一个反例即可；对特称命题真假的判定方法正好与之相反．
3．全称命题与特称命题的否定，其模式是固定的，即把相应的全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词 ，并把命题的结论加以否定．
1．下列命题中含有全称量词的是( )
A．至少有一个自然数是2的倍数
B．存在小于零的整数
C．方程ax＝2(a＞0，a≠1)有实数根
D．若a⊥α，则直线a垂直于平面α内的任一直线
【答案】 D
2．下列语句是特称命题的是( )
A．整数n是2和7的倍数
B．存在整数n，使n能被11整除
C．x＞7
D．?x∈M，p(x)成立
【答案】 B
3．已知命题p：?x∈R，cos x≤1，则綈p是________．
【解析】 p为全称命题，綈p应为特称命题．
【答案】 ?x0∈R，cos x0＞1
4．用符号“?”与“?”表示下列命题：
(1)实数的绝对值大于等于0；
(2)存在实数对，使两数的平方和小于1；
(3)任意的实数a，b，c满足a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.
【解】 (1)?x∈R，|x|≥0.
(2)?x，y∈R，x2＋y2＜1.
(3)?a，b，c∈R，a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.
一、选择题
1．下列命题：①至少有一个x0，使x＋2x0＋1＝0成立；②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x0使x＋2x0＋1＝0成立．其中，全称命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．0
【解析】 ②③含有全称量词，是全称命题．
【答案】 B
2．下列命题不是“?x∈R，x2＞3”的表述方法的是( )
A．有一个x∈R，使x2＞3
B．对有些x∈R，使x2＞3
C．任选一个x∈R，使x2＞3
D．至少有一个x∈R，使x2＞3
【解析】 选项C中“任选一个”是全称量词，没有“?”的含义．
【答案】 C
3．命题“某些平行四边形是矩形”的否定是( )
A．某些平行四边形不是矩形
B．所有平行四边形都是矩形
C．每一个平行四边形都不是矩形
D．以上都不对
【解析】 特称命题的否定先把存在量词变成全称量词，再否定结论．
【答案】 C
4．(2013·沈阳高二检测)已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )
A．?x∈R，f(x)≤f(x0)
B．?x∈R，f(x)≥f(x0)
C．?x∈R，f(x)≤f(x0)
D．?x∈R，f(x)≥f(x0)
【解析】 f(x)＝ax2＋bx＋c＝a(x＋)2＋(a>0)，∵2ax0＋b＝0，∴x0＝－.
当x＝x0时，函数f(x)取得最小值，
∴?x∈R，f(x)≥f(x0)．
从而A，B，D为真命题，C为假命题．
【答案】 C
5．(2013·东莞高二检测)已知命题p：?x0∈(－∞，0)，2x0＜3x0，命题q：?x∈(0，)，cos x＜1，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)
【解析】 当x0＜0时，2x0＞3x0，
∴不存在x0∈(－∞，0)使得2x0＜3x0成立，即p为假命题，显然?x∈(0，)，恒有cos x＜1，∴命题q为真，∴(綈p)∧q是真命题．
【答案】 C
二、填空题
6．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定是________．
【答案】 过平面外一点与已知平面平行的直线中，有些直线是不在同一平面内的
7．(2013·费县高二期末)已知命题：“?x0∈[1,2]，使x＋2x0＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是______．
【解析】 当x∈[1,2]时，x2＋2x＝(x＋1)2－1是增函数，所 以3≤x2＋2x≤8，由题意有a＋8≥0，∴a≥－8.
【答案】 [－8，＋∞)
8．下列4个命题：
p1：?x0∈(0，＋∞)，()x0＜()x0；
p2：?x0∈(0,1)，logx0＞logx0；
p3：?x∈(0，＋∞)，()x＞logx；
p4：?x∈(0，)，()x＜logx.
其中的真命题是________．
【解析】 当x∈(0，＋∞)时，()x＞()x，故p1错误；取x0＝，则logx0＝1，logx0＝log32＜1，故p2正确；取x0＝，则0＜()x0＜1，logx0＝log＝3，即()x0＜logx0，故p3错误；当x∈(0，)时，()x＜1，而logx＞1，所以()x＜logx，故p4正确．
【答案】 p2、p4
三、解答题
9．写出下列命题的否定
(1)p：一切分数都是有理数；
(2)q：有些三角形是锐角三角形；
(3)r：?x0∈R，x＋x0＝x0＋2；
(4)s：?x∈R,2x＋4≥0.
【解】 (1)綈p：有些分数不是有理数；
(2)綈q：所有的三角形都不是锐角三角形；
(3)綈r：?x∈R，x2＋x≠x＋2；
(4)綈s：?x0∈R,2x0＋4＜0.
10．判断下列命题的真假：
(1)若a＞0且a≠1，则?x0∈R，ax0＞0；
(2)?x∈R，都有x2－x＋1>；
(3)?x0，y0∈N，使x0＋y0＝3.
【解】 (1)∵a>0，∴当x＝1时，ax＝a>0，成立，
∴(1)为真命题．
(2)∵x2－x＋1＝(x－)2＋≥>，
∴x2－x＋1>恒成立，(2)是真命题．
(3)当x0＝0，y0＝3时，x0＋y0＝3满足题意，
∴(3)是真命题．
11．关于x的函数y＝x2－(a＋1)x＋2a对于任意a∈[－1,1]的值都有y＞0，求实数x的取值范围．
【解】 设f(a)＝x2－(a＋1)x＋2a，则有f(a)＝(2－x)a＋x2－x，a∈[－1,1]，∵a∈[－1,1]时，y＝f(a)＞0恒成立，则
(1)当x＝2时，f(a)＝2＞0显然成立；
(2)当x≠2时，由f(a)＞0在a∈[－1,1]上恒成立，得
即解之得x＞或x＜－.
综上可得：x＞或x＜－.
(教师用书独具)
已知命题p：“?x∈R，?m∈R，使4x－2x＋1＋m＝0，”若命题綈p是假命题，求实数m的取值范围．
【自主解答】 命题綈p是假命题，亦即命题p是真命题，也就是关于x的方程4x－2x＋1＋m＝0有实数解，
即m＝－(4x＋2x＋1)，令f(x)＝－(4x＋2x＋1)．
由于f(x)＝－(2x＋1)2＋1，所以当x∈R时，f(x)≤1，因此实数m的取值范围是m≤1.
已知命题p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．
【解】 由“p且q”是真命题，知p为真命题，q也为真命题．
若p为真命题，则a≤x2对于x∈[1,2]恒成立．∴a≤1.
若q为真命题，
则关于x的方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，
∴Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2.
综上，实数a的取值范围为a≤－2或a＝1.
命题的关系及其真假的判定
1.四种命题的形一、选择题
1．下列语句是命题的是( )
①三角形的内角和等于180°；②2>3；
③偶数是自然数；④x＞2；
⑤这座山真险啊！
A．①②③ B．①③④
C．①②⑤ D．②③⑤
【解析】 ①②③是命题，④中x>2无法判断真假，⑤是感叹句，∴④⑤不是命题．
【答案】 A
2．(2013·郑州高二检测)在空间，下列命题正确的是( )
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
【解析】 A中平行投影可能平行，A为假命题．B、C中的两个平面可以平行或相交，为假命题．由线面垂直的性质，D为真命题．
【答案】 D
3．下列说法正确的是( )
A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题
C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题
【解析】 将命题“直角相等”写成“若p，则q”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A是错误的；语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根．”是陈述句而且可以判断真假，并且是假的，所以选项B是错误的；选项D是正确的；选项C是错误的，应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”．
【答案】 D
4．(2013·黔东南州高二检测)下列四个命题中，真命题是( )
A．a＞b，c＞d?ac＞bd
B．a＜b?a2＜b2
C.＜?a＞b
D．a＞b，c＜d?a－c＞b－d
【解析】 可以通过举反例的方法说明A、B、C为假命题．
【答案】 D
5．设有不同的直线m，n和不同的平面α，β.下列四个命题中，正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m?α，则m⊥β
D．若α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α
【解析】 若α∥β，m?β，n?β可知m∥α，n∥α，但m与n可以相交，所以A不正确；B不正确；若α⊥β，则α中仍有不与β垂直的直线，C不正确；若α⊥β，则在α中可作与β垂直的直线n，又m⊥β，则m∥n，又m?α，所以m∥α，D正确．
【答案】 D
二、填空题
6．指出下列命题的条件和结论．
(1)当x＝2时，x2－3x＋2≠0.条件是：________，结论是：________.
(2)平行四边形的对角线互相平分．条件是：________，结论是：________.
【解析】 (1)条件是“x＝2”，结论是“x2－3x＋2≠0”．
(2)命题可改写为：
若一个四边形为平行四边形，则它的对角线互相平分．
条件是“四边形为平行四边形”，结论“对角线互相平分”．
【答案】 (1)x＝2 x2－3x＋2≠0
(2)四边形为平行四边形 对角线互相平分
7．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2＞bc2，则a＞b.其中真命题的序号是________．
【解析】 ②中四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，③中平行四边形不是梯形，①、④正确．
【答案】 ①④
8．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A—BD—C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成45°的角．其中真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号)
【解析】 如图所示，取BD的中点E，连AE、EC，取AC、AD的中点F、G，连结EF、FG、EG.
∵AE⊥BD，EC⊥BD，
∴∠AEC就是二面角A—BD—C的平面角．
∴∠AEC＝90°.
由BD⊥平面AEC，可知BD⊥AC，①正确；
由△AEC≌△AED，可知AD＝AC＝CD，②正确；
由AE⊥平面BCD知，∠ABE＝45°是AB与平面BCD所成的角，③正确．故①②③为真命题．
【答案】 ①②③
三、解答题
9．判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．
①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；
②若x＝4，则2x＋1<0 ；
③一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；
④求证：x∈R时，则方程x2－x＋2＝0无实根．
【解】 ①②③是命题，④不是命题．
命题①中，y＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，
显然其最小正周期为π，是真命题．
命题②中，当x＝4时，2x＋1>0，∴②是假命题．
命题③中，若等比数列的首项a1＜0，公比q＞1时，该数列为递减数列，是假命题．
④是一个祈使句，没有作出判断，不是命题．
10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)当m>时，方程mx2－x＋1＝0无实根；
(2)平行于同一平面的两条直线平行．
【解】 (1)命题可改写为：若m>，则mx2－x＋1＝0无实根．
∵当m>时，Δ＝1－4m<0，所以是真命题．
(2)命题可改写为：若两直线平行于同一平面，则它们互相平行．
∵平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，所以是假命题．
11．命题“ax2－2ax－3≤0恒成立”是真命题，求实数a的取值范围．
【解】 由于ax2－2ax－3≤0恒成立是真命题，
(1)当a＝0时，－3≤0成立．
(2)当a≠0时，应满足，解之得－3≤a＜0.
由(1)(2)得a的取值范围为[－3,0].
一、选择题
1．(2013·长沙高二期末)命题“若函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2＜0”的逆否命题是( )
A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数
D．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数
【解析】 命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”“f(x)在其定义域内是减函数”的否定是“f(x)在其定义域内不是减函数”，不能误认为是“f(x)在其定义域内是增函数．”
【答案】 A
2．设原命题：若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1.则原命题与其逆命题的真假情况是( )
A．原命题真，逆命题假
B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题
【解析】 原命题显然为真，逆命题中，假设a＝2，b＝－1，则逆命题为假命题．
【答案】 A
3．有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；
④若“A∪B＝B，则A?B”的逆否命题．
其中的真命题是( )
A．①② B．②③
C．①③ D．③④
【解析】 ①③是真命题，②④是假命题．
【答案】 C
4．互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性．我们用“?”表示同真或同假，把它叫做“连连看”．下面让我们领略“连连看”的风采：已知命题p的否命题是r，命题r的逆命题为s，命题p的逆命题是t，则下列同真同假的“连连看”中，正确的一组是( )
A．p?r，s?t B．p?t，s?r
C．p?s，r?t D．p?r，s?r
【解析】 因为命题p的否命题是r，命题r的逆命题为s，所以命题p与s互为逆否命题，故有p?s；又由于命题p的否命题为r，命题p的逆命题为t，故t、r也是互为逆否命题，即r?t.
【答案】 C
5．与命题“若a·b＝0，则a⊥b”等价的命题是( )
A．若a·b≠0，则a不垂直于b
B．若a⊥b，则a·b＝0
C．若a不垂直于b，则a·b≠0
D．若a·b≠0，则a⊥b
【解析】 原命题与其逆否命题为等价命题．
【答案】 C
二、填空题
6．下列命题中：
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②正方形的四条边相等；
③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．
【解析】 ②③互为逆命题，①③互为否命题，①②互为逆否命题．
【答案】 ②③ ①③ ①②
7．(2013·济南高二检测)在空间中，给出下列两个命题：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．其中逆命题为真命题的是________．
【解析】 ①的逆命题：若空间四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，是假命题；②的逆命题：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，是真命题．
【答案】 ②
8．小强同学参加了市数学奥林匹克竞赛，班内有三位同学对他的成绩作了如下猜测：
甲：小强非第一名，也非第二名；
乙：小强非第一名，而是第三名；
丙：小强非第三名，而是第一名．
竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则小强得了第________名．
【解析】 (1)假设小强得了第三名，则甲全猜对，乙也全猜对，显然与已知条件矛盾，故假设不成立；(2)假设小强得了第二名，则甲猜对了一半，乙猜对一半，也与已知条件矛盾，故假设不成立；(3)假设小强得了第一名，则甲猜对了一半，乙全猜错，丙全猜对．综上分析，可知小强得了第一名．
【答案】 一
三、解答题
9．判断下列命题的真假，写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．
(1)若a＞b，则ac2＞bc2；
(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；
(3)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac＜0，则该二次函数的图象与x轴有公共点．
【解】 (1)该命题为假命题．因为当c＝0时，有ac2＝bc2.
逆命题：若ac2＞bc2，则a＞b.(真)
否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.(真)
逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.(假)
(2)该命题为真命题．
逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．(真)
否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．(真)
逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．(真)
(3)该命题为假命题．
当b2－4ac＜0时，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，因此二次函数的图象与x轴无公共点．
逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有公共点，则b2－4ac＜0.(假)
否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac≥0，则该二次函数图象与x轴没有公共点．(假)
逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴没有公共点，则b2－4ac≥0.(假)
10．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．
(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论．
(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
【解】 (1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.它为真，可证明原命题的否命题为真来证明它．
否命题为：若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．如果a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.因为f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，所以f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，故原命题的否命题为真，所以逆命题为真．
(2)逆否命题是：f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0.它为真，可证明原命题为真来证明它．
因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a.因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，故原命题为真．所以逆否命题为真．
11．已知下列三个方程：
x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．
【解】 假设三个方程都无实根，
则有
即
解得－＜a＜－1.
故三个方程中至少有一个方程有实根，则a的取值范围是a≥－1或a≤－
一、选择题
1．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则m＝2是A∩B＝{4}的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 当m＝2时，m2＝4，A∩B＝{4}，
但m2＝4时，m＝±2，
∴A∩B＝{4}得m＝±2.
【答案】 A
2．(2013·济南高二检测)设α，β∈(－，)，那么“α＜β”是“tan α＜tan β”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 在(－，)中，函数y＝tan x为增函数，所以设α、β∈(－，)，那么“α＜β”是tan α＜tan β的充要条件．
【答案】 C
3．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是( )
A．p：a＋c>b＋d，q：a>b且c>d
B．p：AB，q：x∈A?x∈B
C．p：x＝1，q：x2＝x
D．p：a>1，q：f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数
【解析】 易知由a＋c>b＋dDa>b且c>d.
但a>b且c>d，
可得a＋c>b＋d
∴“p：a＋c>b＋d”是“q：a>b且c>d”的必要不充分条件．故选A.
【答案】 A
4．“α＞β”是“sin α＞sin β”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
【解析】 由“α＞β”D“sin α＞sin β”；由“sin α＞sin β”D“α＞β”，应选C.(也可以举反例)．
【答案】 C
5．(2013·青岛高二检测)下列各小题中，p是q的充分必要条件的是( )
①p：m＜－2或m＞6，q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点；
②p：＝1，q：y＝f(x)是偶函数；
③p：cos α＝cos β；tan α＝tan β；
④p：A∩B＝A，q：?UB??UA.
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【解析】 ①y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点，则Δ＝m2－4(m＋3)＞0，得m＞6或m＜－2，所以p是q的充要条件．
②若y＝f(x)中存在x0，使得f(x0)＝0，则p是q的充分不必要条件．
③当α＝β＝kπ＋时，tan α，tan β无意义，所以p是q的必要不充分条件．
④p是q的充要条件．
【答案】 D
二、填空题
6．下列不等式：①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜0；④－1＜x＜1.其中，可以是x2＜1的一个充分条件的所有序号为________．
【答案】 ②③④
7．(2013·武汉高二检测)“b2＝ac”是“a、b、c”成等比数列的________条件．
【解析】 “b2＝acD”a，b，c成等比数列，如b2＝ac＝0；而“a，b，c”成等比数列“?”“b2＝ac”．
【答案】 必要不充分
8．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直的充要条件是m＝______.
【解析】 直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直?1·m＋(m＋1)·2＝0?m＝－.
【答案】 －
三、解答题
9．指出下列命题中，p是q的什么条件．
(1)p：≤，q：x2＋x－3≥0；
(2)p：ax2＋ax＋1＞0的解集是R，q：0＜a＜4；
(3)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B.
【解】 (1)化简得p：，
q：.如图
由图可知，，
所以p是q的充分不必要条件．
(2)因为ax2＋ax＋1＞0的解集是R，所以①当a＝0时成立；
②当a≠0时，ax2＋ax＋1＞0的解集是R，
有
解得0＜a＜4，所以0≤a＜4.
所以pD?/q，q?p，所以p是q的必要不充分条件．
(3)对于p：A∪B＝A?B?A，对于q：A∩B＝B?B?A，
即p?q，所以p是q的充要条件．
10．若A＝{x|a＜x＜a＋2}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，且A是B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解】 ∵A是B的充分不必要条件，
∴AB.
又A＝{x|a3}．
因此a＋2≤－1或a≥3，
∴实数a的取值范围是a≥3或a≤－3.
11．设a，b，c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，证明：“a2＝b(b＋c)”是“A＝2B”的充要条件．
【证明】 充分性：由a2＝b(b＋c)＝b2＋c2－2bccos A可得1＋2cos A＝＝.
即sin B＋2sin Bcos A＝sin(A＋B)．
化简，得sin B＝sin(A－B)．
由于sin B＞0且在三角形中，
故B＝A－B，
即A＝2B.
必要性：若A＝2B，
则A－B＝B，sin(A＋B)＝sin B，
即sin(A＋B)＝2sin Bcos A＝sin A.
∴sin(A＋B)＝sin B(1＋2cos A)．
∵A、B、C为△ABC的内角，
∴sin(A＋B)＝sin C，
即sin C＝sin B(1＋2cos A)．
∴＝1＋2cos A＝1＋＝，
即＝.
化简得a2＝b(b＋c)．
∴a2＝b(b＋c)是“A＝2B”的充要条件.
一、选择题
1．(2013·蒙阴高二期末)命题“ab≠0”是指( )
A．a≠0且b≠0
B．a≠0或b≠0
C．a、b中至少有一个不为0
D．a、b不都为0
【解析】 只有a≠0且b≠0，才有ab≠0.
【答案】 A
2．(2013·许昌高二检测)已知命题p：3≥3，q：3＞4，则下列判断正确的是( )
A．p∨q为真，p∧q为真，綈p为假
B．p∨q为真，p∧q为假，綈p为真
C．p∨q为假，p∧q为假，綈p为假
D．p∨q为真，p∧q为假，綈p为假
【解析】 ∵p为真命题，q为假命题，∴p∨q为真，p∧q为假，綈p为假，应选D.
【答案】 D
3．下列各组命题中，满足“‘p或q’为真，‘p且q’为假，‘非p’为真”的是( )
A．p：0＝?；q：0∈?
B．p：在△ABC中，若cos 2A＝cos 2B，则A＝B；
q：y＝sin x在第一象限是增函数
C．p：a＋b≥2(a，b∈R)；
q：不等式|x|＞x的解集是(－∞，0)
D．p：圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的面积被直线x＝1平分；
q：直线y＝2x＋1的倾斜角为30°
【解析】 由已知“綈p”为真命题，故p为假命题，又因为“p或q”为真，“p且q”为假，故q为真命题，应选C.
【答案】 C
4．(2013·东北师大附中质检)已知p，q为两个命题，则“p∨q是假命题”是“綈p为真命题”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 “p∨q”为假，则p与q均是假命题，綈p为真命题，又綈p为真命题，则p为假命题．
但若q为真命题，则推不出p∨q是假命题．
【答案】 A
5．(2013·连云港高二检测)已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2，q4：p1∧(綈p2)中，真命题是( )
A．q1，q3 B．q2，q3
C．q1，q4 D．q2，q4
【解析】 ∵y＝2x在R上增函数，y＝2－x在R上是减函数，
∴y＝2x－2－x在R上是增函数为真命题，y＝2x＋2－x在R上为减函数是假命题．
因此p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题；
∴q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，
∴q3：(綈p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(綈p2)为真命题．
∴真命题是q1，q4，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．分别用“p∨q”、“p∧q”、“綈p”填空．
(1)命题“15能被3和5整除”是________形式；
(2)命题“16的平方根是4或16的平方根是－4”是________形式．
(3)命题“π不是有理数”是________形式．
【答案】 (1)“p∧q” (2)“p∨q” (3)“綈p”
7．若x∈{x|x＜4或x≥10}是假命题，则x的取值范围是________．
【解析】 由题意其否定为真，即4≤x＜10成立．
【答案】 [4,10)
8．(2013·泰安高二检测)命题p：若mx2－mx－1＜0恒成立，则－4＜m＜0.命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|a【解析】 若mx2－mx－1＜0恒成立，
则m＝0或
解之得－4＜m≤0.
∴命题p是假命题．
又(x－a)(x－b)<0的解集与a，b大小有关，
∴q假．
因此“綈p”为真，“p∨q”与“綈p∧q”为假．
【答案】 綈p
三、解答题
9．用“且”、“或”改写下列命题并判断真假：
(1)1不是质数也不是合数；
(2)2既是偶数又是质数；
(3)5和7都是质数；
(4)2≤3.
【解】 (1)p：1不是质数；q：1不是合数，p∧q：1不是质数且1不是合数．(真)
(2)p：2是偶数；q：2是质数；p∧q：2是偶数且2是质数．(真)
(3)p：5是质数；q：7是质数；p∧q：5是质数且7是质数．(真)
(4)2≤3?2＜3或2＝3.(真)
10．写出下列各命题的否定形式及否命题：
(1)若xy＝0，则x＝0或y＝0；
(2)菱形的对角线相等且互相垂直；
(3)若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m，n，a，b全为零．
【解】 (1)否定形式：若xy＝0，则x≠0且y≠0；
否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0.
(2)否定形式：菱形的对角线不相等或不互相垂直；
否命题：如果一个四边形不是菱形，则它的对角线不相等或不互相垂直．
(3)否定形式：若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m，n，a，b不全为零；
否命题：若m2＋n2＋a2＋b2≠0，则实数m，n，a，b不全为零．
11．(2013·扬州高二检测)已知m＞0，p：(x＋2)(x－6)≤0，q：2－m≤x≤2＋m.
(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
(2)若m＝5，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围．
【解】 p：－2≤x≤6，q：2－m≤x≤2＋m(m>0)．
(1)∵p是q的充分条件，
∴解之得m≥4.
故实数m的取值范围是[4，＋∞)．
(2)当m＝5时，q：－3≤x≤7.
∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，
∴p、q一真一假，
当p真q假时，无解；
当p假q真时，
解得－3≤x<－2或6综上，实数x的取值范围是[－3，－2)∪(6,7].
一、选择题
1．下列命题：①至少有一个x0，使x＋2x0＋1＝0成立；②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x0使x＋2x0＋1＝0成立．其中，全称命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．0
【解析】 ②③含有全称量词，是全称命题．
【答案】 B
2．下列命题不是“?x∈R，x2＞3”的表述方法的是( )
A．有一个x∈R，使x2＞3
B．对有些x∈R，使x2＞3
C．任选一个x∈R，使x2＞3
D．至少有一个x∈R，使x2＞3
【解析】 选项C中“任选一个”是全称量词，没有“?”的含义．
【答案】 C
3．命题“某些平行四边形是矩形”的否定是( )
A．某些平行四边形不是矩形
B．所有平行四边形都是矩形
C．每一个平行四边形都不是矩形
D．以上都不对
【解析】 特称命题的否定先把存在量词变成全称量词，再否定结论．
【答案】 C
4．(2013·沈阳高二检测)已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )
A．?x∈R，f(x)≤f(x0)
B．?x∈R，f(x)≥f(x0)
C．?x∈R，f(x)≤f(x0)
D．?x∈R，f(x)≥f(x0)
【解析】 f(x)＝ax2＋bx＋c＝a(x＋)2＋(a>0)，∵2ax0＋b＝0，∴x0＝－.
当x＝x0时，函数f(x)取得最小值，
∴?x∈R，f(x)≥f(x0)．
从而A，B，D为真命题，C为假命题．
【答案】 C
5．(2013·东莞高二检测)已知命题p：?x0∈(－∞，0)，2x0＜3x0，命题q：?x∈(0，)，cos x＜1，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)
【解析】 当x0＜0时，2x0＞3x0，
∴不存在x0∈(－∞，0)使得2x0＜3x0成立，即p为假命题，显然?x∈(0，)，恒有cos x＜1，∴命题q为真，∴(綈p)∧q是真命题．
【答案】 C
二、填空题
6．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定是________．
【答案】 过平面外一点与已知平面平行的直线中，有些直线是不在同一平面内的
7．(2013·费县高二期末)已知命题：“?x0∈[1,2]，使x＋2x0＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是______．
【解析】 当x∈[1,2]时，x2＋2x＝(x＋1)2－1是增函数，所 以3≤x2＋2x≤8，由题意有a＋8≥0，∴a≥－8.
【答案】 [－8，＋∞)
8．下列4个命题：
p1：?x0∈(0，＋∞)，()x0＜()x0；
p2：?x0∈(0,1)，logx0＞logx0；
p3：?x∈(0，＋∞)，()x＞logx；
p4：?x∈(0，)，()x＜logx.
其中的真命题是________．
【解析】 当x∈(0，＋∞)时，()x＞()x，故p1错误；取x0＝，则logx0＝1，logx0＝log32＜1，故p2正确；取x0＝，则0＜()x0＜1，logx0＝log＝3，即()x0＜logx0，故p3错误；当x∈(0，)时，()x＜1，而logx＞1，所以()x＜logx，故p4正确．
【答案】 p2、p4
三、解答题
9．写出下列命题的否定
(1)p：一切分数都是有理数；
(2)q：有些三角形是锐角三角形；
(3)r：?x0∈R，x＋x0＝x0＋2；
(4)s：?x∈R,2x＋4≥0.
【解】 (1)綈p：有些分数不是有理数；
(2)綈q：所有的三角形都不是锐角三角形；
(3)綈r：?x∈R，x2＋x≠x＋2；
(4)綈s：?x0∈R,2x0＋4＜0.
10．判断下列命题的真假：
(1)若a＞0且a≠1，则?x0∈R，ax0＞0；
(2)?x∈R，都有x2－x＋1>；
(3)?x0，y0∈N，使x0＋y0＝3.
【解】 (1)∵a>0，∴当x＝1时，ax＝a>0，成立，
∴(1)为真命题．
(2)∵x2－x＋1＝(x－)2＋≥>，
∴x2－x＋1>恒成立，(2)是真命题．
(3)当x0＝0，y0＝3时，x0＋y0＝3满足题意，
∴(3)是真命题．
11．关于x的函数y＝x2－(a＋1)x＋2a对于任意a∈[－1,1]的值都有y＞0，求实数x的取值范围．
【解】 设f(a)＝x2－(a＋1)x＋2a，则有f(a)＝(2－x)a＋x2－x，a∈[－1,1]，∵a∈[－1,1]时，y＝f(a)＞0恒成立，则
(1)当x＝2时，f(a)＝2＞0显然成立；
(2)当x≠2时，由f(a)＞0在a∈[－1,1]上恒成立，得
即解之得x＞或x＜－.
综上可得：x＞或x＜－.
