课件56张PPT。教师用书独具演示演示结束 曲线的方程与方程的曲线 这个方程的解 曲线上的点 曲线的方程 求曲线方程的步骤 有序实数对（x,y）条件p(M)f(x,y）=0f(x,y）=0方程的解对曲线的方程和方程的曲线的定义的理解 由方程研究曲线 求曲线方程 课时作业（六） 教师用书独具课件60张PPT。教师用书独具演示演示结束 椭圆的定义 常数(大于|F1F2|) 两个定点 两焦点间的距离 椭圆的标准方程 (0，－c) (0，c) a2－b2 求椭圆的标准方程 椭圆的定义及其应用 与椭圆有关的轨迹问题 课时作业（七） 教师用书独具课件53张PPT。教师用书独具演示演示结束 椭圆的简单几何性质 －a≤x≤a且
－b≤y≤b －b≤x≤b且
－a≤y≤a 2b 2a 2c 坐标轴 原点 椭圆的离心率离心率 (0,1) 越扁 0 根据椭圆的方程研究其几何性质 由几何性质求椭圆的标准方程 求椭圆的离心率 课时作业（八） 教师用书独具课件58张PPT。教师用书独具演示演示结束 点与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系 > 两解 一 ＝ 无 < 直线与椭圆的位置关系的判断 弦长问题 中点弦问题 课时作业（九） 教师用书独具课件54张PPT。教师用书独具演示演示结束 双曲线的定义两个定点 两焦点间的距离 差的绝对值 双曲线的标准方程 (－c,0) (c,0) (0，－c) (0，c) a2＋b2 双曲线定义的应用 求双曲线的标准方程 双曲线的定义与标准方程的实际应用 课时作业（十） 教师用书独具课件58张PPT。教师用书独具演示演示结束 双曲线的几何性质 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 坐标轴 原点 2a 2b 双曲线的相关概念 中心 等轴 等轴 根据双曲线方程研究几何性质 求双曲线的标准方程 求双曲线的离心率 直线与双曲线的位置关系问题 课时作业（十一） 教师用书独具课件53张PPT。教师用书独具演示演示结束 抛物线的定义抛物线 焦点 准线 抛物线的标准方程 求抛物线的标准方程 抛物线定义的应用 抛物线的实际应用 课时作业（十二） 教师用书独具课件56张PPT。教师用书独具演示演示结束 抛物线的几何性质 直线与抛物线的位置关系 相离 相切 相交 抛物线几何性质的应用 直线与抛物线的位置关系的判断 直线与抛物线的相交弦问题 课时作业（十三） 教师用书独具2．1曲线与方程
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
(1)理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；
(2)初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；
(3)学会根据已有的资料找规律，进而分析、判断、归纳结论；
(4)强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法．
2．过程与方法
(1)通过直线方程的引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的认识；
(2)在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理的阐述自己的观点；
(3)在构建曲线和方程概念的过程中，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力、知识迁移能力、合情推理能力，同时强化“形”与“数”结合并相互转化的思想方法．
3．情感、态度与价值观
(1)通过概念的引入，让学生感受从特殊到一般的认知规律；
(2)通过反例辨析和问题解决，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质．
●重点难点
重点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．
难点： 曲线与方程的对应关系．
(教师用书独具)
●教学建议
“曲线和方程”这节教材揭示了几何中的形与代数中的数相统一的关系，体现了解析几何的基本思想，对解析几何教学有着深远的影响．从知识上说，曲线与方程的概念对后面所学的求出曲线的方程的准确性来说是很关键的，它在下节课中起到基础性的作用，不仅是本节的重点概念，也是高中学生较难以理解的一个概念．从能力上说，通过本节的学习，提高学生对概念的理解能力，对培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力有重要作用，是培养高二学生的观察分析能力和逻辑思维能力的重要训练内容．
“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念是本节的重点，本节课是由几个实例上升到抽象概念的过程，学生容易对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延，也就是曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系的理解透彻问题．因此可用举反例的方法来解决困惑，通过反例揭示“两者缺一”与直觉的矛盾，从而促使学生对概念表述的严密性进行探索，加强认识曲线与方程的对应关系，从而突破难点．
●教学流程
???????
课标解读
1.理解曲线的方程与方程曲线的概念，会求一些简单的曲线方程．(重点)
2．理解曲线上点的坐标与方程的解的一一对应关系．(难点)
曲线的方程与方程的曲线
【问题导思】
1．在平面直角坐标系中，平分一、三象限的直线与方程x－y＝0有什么关系？
【提示】 直线上任一点M(x0，y0)，则x0＝y0，即点M(x0，y0)是方程x－y＝0的解；如果(x0，y0)是x－y＝0的解，那么以(x0，y0)为坐标的点都在直线上．
2．以(a，b)为圆心，r为半径的圆和方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2有什么关系？
【提示】 圆上的任一点M(x0，y0)的坐标是方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的解；反之，若(x0，y0)是方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的解，则以(x0，y0)为坐标的点在圆上．
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
求曲线方程的步骤
对曲线的方程和方程的曲线的定义的理解
分析下列曲线上的点与相应方程的关系：
(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；
(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；
(3)第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．
【思路探究】 曲线上点的坐标都是方程的解吗？以方程的解为坐标的点是否都在曲线上？
【自主解答】 (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．
(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.
(3)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0，反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上，因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.
1．分析此类问题要严格按照曲线的方程与方程的曲线的定义．
2．定义中有两个条件，这两个条件必须同时满足，缺一不可．条件(1)保证了曲线上所有的点都适合条件f(x，y)＝0；条件(2)保证了适合条件的所有点都在曲线上，前者是说这样的轨迹具有纯粹性，后者是说轨迹具有完备性．两个条件同时成立说明曲线上符合条件的点既不多也不少，才能保证曲线与方程间的相互转化．
判断下列命题是否正确，并说明原因．
(1)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为y＝x；
(2)已知A、B两点的坐标分别为(－1,0)和(1,0)，则满足∠ACB＝90°的动点C的轨迹方程为x2＋y2＝1.
【解】 (1)不正确．
因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹是两条直线，
即l1：y＝x和l2：y＝－x.
直线l1上的点的坐标都是方程y＝x的解，
而直线l2上的点(除原点外)的坐标都不是方程y＝x的解．
这显然与曲线和方程关系中的条件(1)，即“曲线上点的坐标都是方程的解”不相符．
(2)不正确．
根据题意可知，动点C的轨迹是以线段AB为直径的圆(但要除去A，B两点)，
因此，尽管动点C的坐标都满足方程x2＋y2＝1，但以方程x2＋y2＝1的解为坐标的点不都在动点C的轨迹上．
由方程研究曲线
下列方程分别表示什么曲线：
(1)(x＋y－1)＝0；
(2)2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0.
【思路探究】 (1)方程(x＋y－1)＝0中“x＋y－1”与“”两式相乘为0可作怎样的等价变形？
(2)我们在研究形如Ax2＋By2＋Cx＋Dy＋E＝0的方程时常采用什么方法？
【自主解答】 (1)由方程(x＋y－1)＝0可得
或
即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1.
故方程表示一条射线x＋y－1＝0(x≥1)和一条直线x＝1.
(2)对方程左边配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0.
∵2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，
∴解得
从而方程表示的图形是一个点(1，－1)．
1．判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有：配方法、因式分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式，然后根据方程、等式的性质作出准确判定．
2．方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常借助分类讨论的思想．
下列方程分别表示什么曲线，为什么？
(1)x2＋xy－x－y＝0；(2)(x－2)2＋＝0.
【解】 (1)原方程化为(x＋y)(x－1)＝0，
∴x＋y＝0或x＝1.
因此，原方程表示x＋y＝0和x＝1两条直线．
(2)由(x－2)2＋＝0，得
∴或
因此，原方程表示两个点(2,2)和(2，－2)．
求曲线方程
设△ABC的周长为18，|AB|＝8，求顶点C的轨迹方程．
【思路探究】 (1)如何建立坐标系？(2)根据题意列出怎样的等量关系？(3)化简出的方程是否为所求轨迹方程？
【自主解答】 以线段AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－4,0)，B(4,0)，设C(x，y)．
曲线的几何特征是|AC|＋|BC|＝18－|AB|＝10.
用两点间的距离公式，列出方程
＋＝10.
化简上式，得9x2＋25y2＝225.
由于点C不能在x轴上，所以y≠0.
故所求顶点C的方程为9x2＋25y2＝225(y≠0)．
1．求曲线方程的一般步骤为：
(1)建系设点；
(2)写几何点集；
(3)翻译列式；
(4)化简方程；
(5)查漏排杂：即证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
2．一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程．
3．没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立适当的坐标系，由于建立的坐标系不同，同一曲线在坐标系的位置不同，其对应的方程也不同，因此要建立适当的坐标系．
已知一曲线在x轴上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．
【解】 设曲线上任一点的坐标为M(x，y)，作MB⊥x轴，B为垂足，
则点M属于集合P＝{M||MA|－|MB|＝2}．
由距离公式，点M适合的条件可表示为
－y＝2.化简得x2＝8y.
∵曲线在x轴上方，∴y>0.
显然(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线．
∴所求曲线的方程为x2＝8y(y≠0)．
忽略题设条件对变量的限制致误
直线l：y＝k(x－5)(k≠0)与圆O：x2＋y2＝16相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程．
【错解】 设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5,0)，再由OM⊥MP，得|OP|2＝|OM|2＋|MP|2，∴x2＋y2＋(x－5)2＋y2＝25，整理得(x－)2＋y2＝.
【错因分析】 错解中未注意到点M应在圆内，故所求的轨迹应为圆内部分，应对其加以条件限制．
【防范措施】 由曲线求方程时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出方程后要考虑相应的限制条件，避免因考虑不全面致误．
【正解】 设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5,0)，再由OM⊥MP，得|OP|2＝|OM|2＋|MP|2，∴x2＋y2＋(x－5)2＋y2＝25，整理得(x－)2＋y2＝.∵点M应在圆内，故所求的轨迹为圆内的部分．解方程组得两曲线交点的横坐标为x＝，故所求轨迹方程为(x－)2＋y2＝(0≤x＜)．
1．曲线与方程的定义的实质是平面曲线的点集{M|p(M)}和方程f(x，y)＝0的解集为{(x，y)|f(x，y)＝0}之间的一一对应关系．由曲线与方程的这一对应关系，既可以求出曲线的方程，又可以通过方程研究曲线的性质．
2．求曲线方程的一般步骤为：(1)建系设点，(2)写集合(找条件)，(3)列方程，(4)化简，(5)证明(查缺补漏)．
3．求曲线的方程与求轨迹是有不同要求和区别的．若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，在何处等，即图形的形状、位置、大小都要加以说明、讨论等.
1．已知圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝4及直线l：x＋2y－2＝0，则点M(4，－1)( )
A．不在圆C上，但在直线l上
B．在圆C上，但不在直线l上
C．既在圆C上，也在直线l上
D．既不在圆C上，也不在直线l上
【解析】 把M(4，－1)代入圆、直线方程时，均使方程成立，故点M既在圆C上，也在直线l上．
【答案】 C
2．方程(x－2)2＋(y＋2)2＝0表示的图形是( )
A．圆 B．两条直线
C．一个点 D．两个点
【解析】 由(x－2)2＋(y＋2)2＝0得x＝2，y＝－2，故方程表示点(2，－2)．
【答案】 C
3．动点P到点(1，－2)的距离为3，则动点P的轨迹方程为________．
【解析】 由题意P的轨迹是以(1，－2)为圆心，以3的长为半径的圆，其方程应为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.
【答案】 (x－1)2＋(y＋2)2＝9
4．观察下表中的方程与曲线，判断它们有怎样的关系：
序号
方程
曲线
①
y＝x
②
x＝
③
x2＋y2＝1
【解】 ①已知曲线只是方程所表示曲线的一部分；②方程所表示的曲线是已知曲线的一部分；③方程与曲线相对应.
一、选择题
1．曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0与x轴的交点坐标是( )
A．(4,0)和(－1,0) B．(4,0)和(－2,0)
C．(4,0)和(1,0) D．(4,0)和(2,0)
【解析】 在曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0中，令y＝0，则x2－3x－4＝0，∴x＝－1或x＝4.
∴交点坐标为(－1,0)和(4,0)．
【答案】 A
2．(2013·蒙阴高二期末)方程(x2－4)(y2－4)＝0表示的图形是( )
A．两条直线 B．四条直线
C．两个点 D．四个点
【解析】 由(x2－4)(y2－4)＝0得(x＋2)(x－2)(y＋2)(y－2)＝0，所以x＋2＝0或x－2＝0或y＋2＝0或y－2＝0，表示四条直线．
【答案】 B
3．(2013·吉林高二检测)方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是( )
【解析】 ∵x＋|y－1|＝0，∴x≤0，应选B.
【答案】 B
4．到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是( )
A．x－y－1＝0 B．x－y＋1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
【解析】 与A、B两点距离相等的点在AB的垂直平分线上，即： k＝－＝－1且过AB的中点(3，－2)，
∴轨迹方程为y＋2＝－(x－3)，即x＋y－1＝0.
【答案】 C
5．如图所示，图形与方程对应正确的是( )
【解析】 A项不正确，因为x2＋y2＝1表示以原点为圆心，半径为1的圆，以方程x2＋y2＝1的解为坐标的点不都是曲线上的点，如(，－)适合方程x2＋y2＝1，但不在所给的曲线上；B项不正确，理由同上，如点(－1,1)适合x2－y2＝0，但不在所给的曲线上；C项不正确，因为曲线上的点的坐标不都是方程lg x＋lg y＝1的解；D项正确．
【答案】 D
二、填空题
6．“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是“方程f(x，y)＝0是曲线C的方程”的________条件．
【解析】 “方程f(x，y)＝0是曲线C的方程”?“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，反之不成立．
【答案】 必要不充分
7．方程·(x＋y＋1)＝0表示的几何图形是________．
【解析】 由方程得或x－3＝0，
即x＋y＋1＝0(x≥3)或x＝3.
【答案】 一条射线和一条直线
8．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________．
【解析】 设动点P(x，y)，
依题意|PA|＝2|PB|，
∴＝2，
化简得(x－2)2＋y2＝4，
方程表示半径为2的圆，
因此图形的面积S＝π· 22＝4π.
【答案】 4π
三、解答题
9．(2013·福州高二检测)已知方程x2＋(y－1)2＝10.
(1)判断点P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；
(2)若点M(，－m)在此方程表示的曲线上，求m的值．
【解】 (1)∵12＋(－2－1)2＝10，()2＋(3－1)2≠10，
∴点P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，而点Q(，3)不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上．
(2)若点M(，－m)在方程x2＋(y－1)2＝10所表示的曲线上，
则()2＋(－m－1)2＝10，
解之得m＝2或m＝－.
10．在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PM⊥y轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称，且·＝4，求动点P的轨迹方程．
【解】 由已知得M(0，y)，N(x，－y)，∴＝(x，－2y)，
∴·＝(x，y)·(x，－2y)＝x2－2y2，
依题意知，x2－2y2＝4，
因此动点P的轨迹方程为x2－2y2＝4.
11．过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
【解】 法一 设点M的坐标为(x，y)，
∵M为线段AB的中点，
∴A点的坐标为(2x,0)，B点的坐标为(0,2y)．
∵l1⊥l2，且l1、l2过点
P(2,4)，
∴PA⊥PB，即kPA·kPB＝－1，
而kPA＝＝(x≠1)，
kPB＝＝，
∴·＝－1(x≠1)，
整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)．
∵当x＝1时，A、B的坐标分别为(2,0)、(0,4)，
∴线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x＋2y－5＝0.
综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.
法二 设点M的坐标为(x，y)，则A、B两点的坐标分别是(2x,0)、(0,2y)，连结PM.
∵l1⊥l2，∴2|PM|＝|AB|.
而|PM|＝，
|AB|＝，
∴2＝，
化简，得x＋2y－5＝0，即为所求的点M的轨迹方程.
(教师用书独具)
当k为何值时，曲线xy＋y＋(k－5)x＋2＝0和直线x－y－k＝0的交点在第一象限？
【自主解答】 由
得x2－4x＋2－k＝0.
若曲线的交点落在第一象限，则应满足
解得－2≤k＜.
∴当－2≤k＜时，两曲线的交点在第一象限．
已知曲线C：y＝－x2＋mx－1，点A(3,0)，B(0,3)，求曲线C与线段AB有两个不同交点时m的取值范围．
【解】 线段AB所在的直线方程为x＋y－3＝0(0≤x≤3)．
联立
消去y，得x2－(m＋1)x＋4＝0.
令f(x)＝x2－(m＋1)x＋4，则f(x)＝0在[0,3]内有两个不同实数根的充要条件是
解得3＜m≤.
故所求m的取值范围是3＜m≤.
2．2椭 圆
2．2.1 椭圆及其标准方程
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
(1)了解椭圆的实际背景，经历从具体情景中抽象出椭圆模型的过程；
(2)理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导过程．
2．过程与方法
(1)让学生亲身经历椭圆定义和标准方程的获取过程，掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想；
(2)学会用运动变化的观点研究问题，提高运用坐标法解决几何问题的能力．
3．情感、态度与价值观
(1)通过主动探究、合作学习，感受探索的乐趣与成功的喜悦；培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索创新的科学精神．
(2)通过椭圆知识的学习，进一步体会到数学知识的和谐美，几何图形的对称美，提高学生的审美情趣．
●重点难点
重点：椭圆定义和标准方程．
难点：椭圆标准方程的推导过程．
椭圆定义是通过它的形成过程进行定义的，揭示了椭圆的本质属性，也是椭圆方程建立的基石，因此给学生提供动手操作、合作学习的机会，通过实验使学生去探究椭圆的形成过程，进而顺理成章的可以推导出椭圆标准方程，以实现重、难点的化解与突破．
(教师用书独具)
●教学建议
本节课宜采取的教学方法是“问题诱导—启发讨论—探索结果”以及“直观观察—归纳抽象—总结规律”的一种探究式教学方法，注重“引、思、探、练”的结合．引导学生改变学习方式，采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的学习，形成师生互动的教学氛围．学法方面，通过利用圆的定义及圆的方程的推导过程，从而启发椭圆的定义及椭圆的标准方程的推导，让学生体会到类比思想的应用；通过利用椭圆定义探索椭圆方程的过程，指导学生进一步理解数形结合思想，产生主动运用的意识；通过揭示由于椭圆位置的不确定所引起的分类讨论，进行分类讨论思想运用的指导．
●教学流程
???????
课标解读
1.了解椭圆标准方程的推导．
2.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)
3.掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点、难点)
椭圆的定义
【问题导思】
1．取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个什么图形？
【提示】 圆．
2．如果把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1、F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？
【提示】 椭圆．
3．在问题2中，移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？
【提示】 笔尖到两定点F1、F2的距离和等于常数(绳长)．
把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
椭圆的标准方程
【问题导思】
1．观察椭圆形状，你认为怎样建系才能使椭圆的方程简单？
【提示】 以经过椭圆两焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．
2．在椭圆的标准方程中，a2和b2能相等吗？你能否根据椭圆的标准方程判定椭圆的焦点位置？
【提示】 不能相等．否则就表示圆而不是椭圆了．可以根据x2与y2的分母的大小判定椭圆的焦点位置．若x2项的分母大，则焦点在x轴上；若y2项的分母较大，则焦点在y轴上．
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
焦点
(－c,0)与(c,0)
(0，－c)与(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
求椭圆的标准方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
(3)经过点A(，－2)和点B(－2，1)．
【思路探究】 (1)焦点在x轴上的椭圆的标准方程是怎样的？(2)焦点在y轴上的椭圆的标准方程是怎样的？(3)若焦点位置不确定该怎么办？
【自主解答】 (1)由于椭圆的焦点在x轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵2a＝＋＝10，∴a＝5.
又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由于椭圆的焦点在y轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
∴，?.
故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
(3)法一 ①当焦点在x轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
依题意有，解得.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
②当焦点在y轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
依题意有，解得，
因为a＞b＞0，所以无解．
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二 设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，依题意有，解得.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
1．利用待定系数法求椭圆的标准方程：
(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程．
2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．因为它包括焦点在x轴上(m＜n)或焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算．
求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在x轴上，且a＝4，c＝2；
(2)经过点A(0,2)和B(，)．
【解】 (1)a2＝16，c2＝4，∴b2＝16－4＝12
且焦点在x轴上，故椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设所求椭圆的标准方程为
Mx2＋Ny2＝1(M＞0，N＞0，M≠N)．
∵椭圆经过A(0,2)和B(，)两点，
∴，解得
∴所求椭圆方程为x2＋＝1.
椭圆的定义及其应用
设P是椭圆＋＝1上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
【思路探究】 (1)由椭圆方程，你能写出|PF1|＋|PF2|与|F1F2|的大小吗？(2)在△F1PF2中，根据余弦定理可以得到|F1F2|、|PF1|、|PF2|之间的关系式吗？(3)怎样求△F1PF2的面积？
【自主解答】 由椭圆方程知，a2＝25，b2＝，∴c2＝，∴c＝，2c＝5.
在△PF1F2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
即25＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.①
由椭圆的定义得10＝|PF1|＋|PF2|，
即100＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.②
②－①，得3|PF1|·|PF2|＝75，
所以|PF1|·|PF2|＝25，
所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝.
1．椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.
(2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．
2．椭圆中的焦点三角形
椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解．
在本例中，若把椭圆方程改为“＋＝1”，把∠F1PF2＝60°，改为“∠PF1F2＝90°”，其余条件不变，试求△PF1F2的面积．
【解】 椭圆方程＋＝1，知a＝2，c＝1，由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，且|F1F2|＝2，在△PF1F2中，∠PF1F2＝90°.
∴|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2.
从而(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4，则|PF1|＝，
因此S△PF1F2＝·|F1F2|·|PF1|＝.
故所求△PF1F2的面积为.
与椭圆有关的轨迹问题
图2－2－1
如图2－2－1所示，圆x2＋y2＝1上任意一点P，过点P作x轴的垂线段PP′，P′为垂足．M为直线PP′上一点，且|P′M|＝λ|PP′|(λ为大于零的常数)．当点P在圆上运动时，点M的轨迹是什么？为什么？
【思路探究】 (1)本例适用什么方法求动点的轨迹方程？(2)所求轨迹一定是椭圆吗？
【自主解答】 设M(x，y)，P(x0，y0)，
∵PP′⊥x轴，且|P′M|＝λ|PP′|，
∴x＝x0，y＝λy0，即x0＝x，y0＝y.
∵点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，∴x＋y＝1.
把x0＝x，y0＝y代入上式得x2＋＝1.
当0＜λ＜1时，点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆；
当λ＝1时，点M的轨迹是圆；
当λ＞1时，点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆．
1．与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例所用方法为代入法．
2．代入法(相关点法)
若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程 F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．
代入法的主要步骤：
①设所求轨迹上任意一点P(x，y)，相对应的已知曲线上的点设为Q(x1，y1)；
②建立关系式(※)
③将(※)代入已知曲线方程化简就得所求轨迹方程．
动点P在y＝2x2＋1上移动，则P点与Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是什么？
【解】 设P(x0，y0)，PQ的中点M(x，y)
则
∴
∵P(x0，y0)在y＝2x2＋1上，
∴ 2(2x)2＋1＝2y＋1，
∴y＝4x2.
即PQ中点的轨迹方程为：y＝4x2.
忽略椭圆标准方程的隐含条件致误
若方程＋＝1表示椭圆，求k的取值范围．
【错解】 由得3＜k＜5.
【错因分析】 错误的原因是没有注意椭圆的标准方程中a＞b这个条件，当a＝b时，方程并不表示椭圆．
【防范措施】 椭圆标准方程中，分母都大于零且不相等，在解题时，不仅要注意分母都大于零，还要注意分母相等时该方程就变成了圆的方程．
【正解】 由题意可知解得3＜k＜5且k≠4.
1．求椭圆的标准方程常用待定系数法．首先，要恰当地选择方程的形式，如果不能确定焦点的位置，可用两种方法来解决问题．
2．求轨迹方程的常用方法：
(1)直接法
当动点直接与已知条件发生联系时，在设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件转换成x，y间的关系式，从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为直接法．
(2)定义法
若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹方程的方法称为定义法．
(3)相关点法
有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．
1．到两定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为4的点的轨迹是( )
A．椭圆 B．线段
C．圆 D．以上都不对
【解析】 |MF1|＋|MF2|＝|F1F2|＝4，
∴点M的轨迹为线段F1F2.
【答案】 B
2．设P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．10 B．8 C．5 D．4
【解析】 由标准方程得a2＝25，∴2a＝10，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.
【答案】 A
3．椭圆4x2＋9y2＝1的焦点坐标是( )
A．(±，0) B．(0，±)
C．(±，0) D．(±，0)
【解析】 椭圆化为标准形式为＋＝1，∴a2＝，b2＝，∴c2＝a2－b2＝－＝，且焦点在x轴上，故为(±，0)．
【答案】 C
4．已知一椭圆的标准方程中b＝3，c＝4，求此椭圆的标准方程．
【解】 ∵b＝3，c＝4，∴b2＝9，a2＝b2＋c2＝9＋16＝25.
(1)当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为
＋＝1.
(2)当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为
＋＝1.
一、选择题
1．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是( )
A．m＞3 B．m＜－2
C．m＞3或m＜－2 D．m＞3或－6＜m＜－2
【解析】 ∵椭圆的焦点在x轴上，∴，
∴m＞3或－6＜m＜－2.
【答案】 D
2．(2013·菏泽高二测试)已知椭圆过点P(，－4)和点Q(－，3)，则此椭圆的标准方程是( )
A.＋x2＝1
B.＋y2＝1或x2＋＝1
C.＋y2＝1
D．以上都不对
【解析】 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
则∴
∴椭圆方程为x2＋＝1.
【答案】 A
3．(2013·西安高二检测)椭圆＋＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为( )
A．4 B．2
C．8 D.
【解析】 由＋＝1，知a＝5，
根据椭圆定义，|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，
∴|MF2|＝10－2＝8.
又O为F1F2中点，N为F1M中点，
∴ON为△MF1F2的中位线，所以|ON|＝|MF2|＝4.
【答案】 A
4．已知A(0，－1)、B(0,1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是( )
A.＋＝1(x≠±2) B.＋＝1(y≠±2)
C.＋＝1(x≠0) D.＋＝1(y≠0)
【解析】 ∵2c＝|AB|＝2，∴c＝1，∴|CA|＋|CB|＝6－2＝4＝2a，
∴顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆(A、B、C不共线)．因此，顶点C的轨迹方程＋＝1(y≠±2)．
【答案】 B
5．(2013·吉林松原高二期末)已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1、F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到x轴的距离为( )
A. B.
C. D.
【解析】 由·＝0，得MF1⊥MF2，可设||＝m，||＝n，在△F1MF2中，由m2＋n2＝4c2得(m＋n)2－2mn＝4c2，根据椭圆的定义有m＋n＝2a，所以2mn＝4a2－4c2，∴mn＝2b2，即mn＝2，∴S△F1MF2＝mn＝1.设点M到x轴的距离为h，则：
×|F1F2|×h＝1，又|F1F2|＝2，∴h＝.
【答案】 C
二、填空题
6．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
【解析】 由椭圆的定义知：|F2A|＋|F1A|＋|F2B|＋|F1B|＝4a＝20，∴|F1A|＋|F1B|＝|AB|＝20－12＝8.
【答案】 8
7．椭圆＋＝1的焦距是2，则m＝________.
【解析】 当焦点在x轴时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4，又2c＝2，∴c＝1，∴m－4＝1，∴m＝5；当焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，∴c2＝4－m＝1，∴m＝3.
【答案】 3或5
8．过点(－3,2)且与＋＝1有相同焦点的椭圆的方程是________．
【解析】 ∵c2＝9－4＝5，
∴设椭圆的方程为＋＝1.
∵点(－3,2)在椭圆上，
∴＋＝1，a2＝15.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
三、解答题
9．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点．设椭圆C上一点(，)到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．
【解】 ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4.
∴2a＝4，a2＝4
∵点(，)是椭圆上一点，
∴＋＝1，∴b2＝3，∴c2＝1，
∴椭圆C的方程为：＋＝1.
焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．
10．已知圆B：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1,0)，C为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹方程．
【解】 如图所示，连结AP，
∵l垂直平分AC，
∴|AP|＝|CP|，
∴|PB|＋|PA|＝|BP|＋|PC|＝4，
∴P点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．
∵2a＝4,2c＝|AB|＝2，
∴a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3.
∴点P的轨迹方程为＋＝1.
11．已知椭圆的焦点在x轴上，且焦距为4，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项．
(1)求椭圆的方程；
(2)若△PF1F2的面积为2，求P点坐标．
【解】 (1)由题意知，2c＝4，c＝2.
且|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝8，
即2a＝8，∴a＝4.
∴b2＝a2－c2＝16－4＝12.
又椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)设P点坐标为(x0，y0)，
依题意知，|F1F2||y0|＝2，
∴|y0|＝，y0＝±，
代入椭圆方程＋＝1，得x0＝±2，
∴P点坐标为(2，)或(2，－)或(－2，)或(－2，－)．
(教师用书独具)
一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．
【自主解答】 两定圆的圆心和半径分别为O1(－3,0)，r1＝1；O2(3,0)，r2＝9.设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，则由题设条件可得|MO1|＝1＋R，|MO2|＝9－R，
∴|MO1|＋|MO2|＝10.
而|O1O2|＝6＜10，
故由椭圆的定义知：
M在以O1、O2为焦点的椭圆上，
且a＝5，c＝3，
∴b2＝a2－c2＝25－9＝16，
故动圆圆心的轨迹方程为＋＝1.
已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过点B且与圆A内切，如图，求圆心P的轨迹方程．
【解】 设|PB|＝r.∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，
∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，即|PA|＋|PB|＝10，而|AB|＝6，
∴|PA|＋|PB|＞|AB|，
∴圆心P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．
∴2a＝10,2c＝|AB|＝6.∴a＝5，c＝3.
∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.
∴圆心P的轨迹方程为＋＝1.
2.2.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
掌握椭圆的几何性质，理解椭圆方程与椭圆曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数形结合解决实际问题．
2．过程与方法
通过椭圆的方程研究其几何性质及其应用过程，培养学生观察、分析问题的能力，利用数形结合思想解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
通过数与形的辨证统一，对学生进行辨证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学生对美好事物的追求．
●重点难点
重点：由标准方程分析出椭圆的几何性质．
难点：椭圆离心率几何意义的导入和理解及求法．
对重难点的处理：为了突出重点，突破难点，应做好：①让学生自主探索新知；②重难点之处进行反复分析；③及时巩固．
(教师用书独具)
●教学建议
根据教学内容并结合学生所具备的逻辑思维能力，为了体现学生的主体地位，遵循学生的认知规律，宜采用这样的教学方法：启发式讲解，互动式讨论，研究式探索，反馈式评价．
●教学流程
?????探究离心率对椭圆形状的影响及求解方法，完成例3及其变式训练，从而解决如何求离心率问题.??
课标解读
1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a、b、c的几何意义．(重点)
2．会用椭圆的几何意义解决相关问题．(难点)
椭圆的简单几何性质
【问题导思】
1．观察椭圆＋＝1(a＞b＞0)的形状，
图2－2－2
你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？
【提示】 椭圆上的点都在如题图中的矩形框内部，椭圆关于坐标轴对称．椭圆与坐标轴的四个交点比较特殊．
2．如何由椭圆＋＝1(a＞b＞0)求出椭圆与x、y轴的交点坐标？
【提示】 只要令x＝0或y＝0求解即可．
焦点的
位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准
方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
范围
－a≤x_≤a且
－b_≤y_≤b
－b_≤x_≤b且
－a_≤y_≤a
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
对称性
对称轴为坐标轴，对称中心为原点
椭圆的离心率
【问题导思】
1．观察不同的椭圆，我们会发现，椭圆的扁平程度不一．对于椭圆＋＝1(a＞b＞0)，若令a不变，b怎样变化时椭圆形状越圆(扁)？此时c的情况如何？
【提示】 当a值不变，b越大，即c越小时，椭圆形状越圆；b越小即c越大时，椭圆形状越扁．
2．若用来描述椭圆的扁平情况会是怎样的？
【提示】 越小椭圆形状越圆；越大椭圆形状越扁．(注意：0＜＜1)
1．定义：椭圆的焦距与长轴长的比e＝，叫做椭圆的离心率．
2．性质：离心率e的范围是(0,1)．当e越接近1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆．
根据椭圆的方程研究其几何性质
已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率e＝，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点．
【思路探究】 根据已知条件，如何求出a、b、c的值？
【自主解答】 方程化为＋＝1(m＞0)，
∴a＝，b＝，c2＝.
又e＝，则＝，∴m＝1，
从而a＝1，b＝，c＝.
∴椭圆的长轴长2a＝2，短轴长2b＝1，
焦点坐标F1(－，0)，F2(，0)．
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．
2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．
本例中若把椭圆方程改为“9x2＋16y2＝144”求其长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．
【解】 已知方程化成标准方程为＋＝1.
∴a＝4，b＝3，c＝＝.
∴椭圆的长轴长与短轴长分别为8和6，离心率e＝＝.
焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)；四个顶点的坐标为：A1(－4,0)，A2(4,0)，B1(0，－3)，B2(0,3)．
由几何性质求椭圆的标准方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)椭圆过(3,0)，离心率e＝；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8.
【思路探究】 (1)椭圆的焦点位置确定吗？(2)基本量a、b、c分别为多少？怎样求出？
【自主解答】 (1)若焦点在x轴上，则a＝3，
∵e＝＝，∴c＝，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.
∴椭圆的方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，则b＝3，
∵e＝＝＝＝，
解得a2＝27.
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，
OF为斜边A1A2的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，
故所求椭圆的方程为＋＝1.
1．用几何性质求椭圆的标准方程通常采用的方法是待定系数法．
2．根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论．一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程．
3．在求解a2、b2时常用方程(组)思想，通常由已知条件与关系式a2＝b2＋c2，e＝等构造方程(组)加以求解．
(1)(2013·台州高二检测)椭圆的长轴长为10，一焦点坐标为(4,0)，则它的标准方程为________．
(2)椭圆的长轴长为6，F为一个焦点，A是一个顶点，O为原点，cos∠OFA＝，则它的标准方程为________．
【解析】 (1)2a＝10，c＝4，∴a2＝25，b2＝a2－c2＝9.
焦点在x轴上，故标准方程为＋＝1.
(2)∵F是焦点且cos∠OFA＝，∴A为短轴端点，
∴|OF|＝c，|AF|＝a＝3，∴＝.
∴c＝2，b2＝a2－c2＝5.
故方程为＋＝1或＋＝1.
【答案】 (1)＋＝1 (2)＋＝1或＋＝1
求椭圆的离心率
(1)已知椭圆的焦距与短轴长相等，求椭圆的离心率．
(2)若椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率．
【思路探究】 (1)能否推导出a与c的关系进而求出的值？(2)能否由已知条件构造关于的方程求解？
【自主解答】 (1)由题意得：b＝c，∴e2＝＝＝＝，∴e＝.
(2)由题意得：2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2
又∵a2＝b2＋c2，∴4(a2－c2)＝a2＋2ac＋c2
即3a2－2ac－5c2＝0，∴3－2·－5·()2＝0
即5·()2＋2·－3＝0，∴e＝＝.
求e的值或范围问题就是寻求它们的方程或不等式，具体如下：
(1)若已知a，c可直接代入e＝求得；
(2)若已知a，b，则使用e＝求解；
(3)若已知b，c，则求a，再利用(1)或(2)求解；
(4)若已知a，b，c的关系，可转化为关于离心率e的方程(不等式)求值(范围)．
(1)椭圆＋＝1的离心率为________．
(2)已知椭圆的两焦点为F1、F2，A为椭圆上一点，且·＝0，∠AF2F1＝60°，则该椭圆的离心率为________．
【解析】 (1)∵a2＝16，b2＝8，∴e＝＝.
(2)∵·＝0，∴AF1⊥AF2，且∠AF2F1＝60°.
设|F1F2|＝2c，∴|AF1|＝c，|AF2|＝c.
由椭圆定义知：c＋c＝2a即(＋1)c＝2a.
∴e＝＝＝－1.
【答案】 (1) (2)－1
利用椭圆的几何性质求最值问题
(12分)(2013·淄博高二检测)中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆上有M(1，)，N(－，)两点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)在椭圆上是否存在点P(x，y)到定点A(a,0)(其中0＜a＜3)的距离的最小值为1？若存在，求P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】 (1)由于焦点位置不明确，需分情况讨论或用椭圆的一般方程形式，代入已知点求解；(2)表示出椭圆上的点P与定点A(a,0)的距离，研究其最小值，根据最小值求出a的值，进而求出点p的坐标．
【规范解答】 (1)设椭圆的方程为
mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n).1分
∵椭圆过M，N两点，
∴?3分
∴椭圆方程为＋＝1.5分
(2)假设存在点P(x，y)满足题设条件，
∴|AP|2＝(x－a)2＋y2.
又∵＋＝1，∴y2＝4(1－)，
∴|AP|2＝(x－a)2＋4(1－)
＝(x－a)2＋4－a2.7分
∵|x|≤3,0＜a＜3，若|a|≤3，
即当0＜a≤时，|AP|2的最小值为4－a2，
由题意得4－a2＝1?a＝±?(0，]；
若a＞3，即＜a＜3，当x＝3时，|AP|2取得最小值为(3－a)2，依题意(3－a)2＝1，解得a＝4或a＝2，
∵4?(，3)，2∈(，3)，∴a＝2.
此时P点的坐标是(3,0)，故当a＝2时，存在这样的点P满足条件，P点坐标为(3,0).12分
【思维启迪】 1.求椭圆的标准方程时，要先定位，再定量；当焦点位置不能确定时，需分类讨论或者用椭圆的一般方程形式解决．
2．在解与椭圆上点有关的最值问题时，一定不能忽略椭圆的范围．
1．椭圆的几何性质分为两类：一是与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；另一类是与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等．在解题中要特别注意第二类性质，应根据椭圆方程的形式首先判断出椭圆的焦点在哪条坐标轴上再进行求解．
2．通过椭圆方程可讨论椭圆的简单几何性质；反之，由椭圆的性质也可以通过待定系数法求椭圆的方程．
3．椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，离心率从关于a、b、c的一个方程即可求得.
1．椭圆＋＝1的长轴长为( )
A．81 B．9 C．18 D．45
【解析】 由标准方程知a＝9，故长轴长2a＝18.
【答案】 C
2．椭圆6x2＋y2＝6的离心率为( )
A. B. C. D.
【解析】 椭圆方程可化为x2＋＝1，∴a2＝6，b2＝1，∴c2＝5，∴e＝＝＝.
【答案】 B
3．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为( )
A. B．2 C. D．4
【解析】 方程化为x2＋＝1，长轴长为，短轴长为2，由题意，＝2×2，∴m＝.
【答案】 C
4．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0)，焦点在x轴上；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.
【解】 (1)椭圆的焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)，
∵椭圆过点A(3,0)，
∴＝1，a＝3，
∵2a＝3·2b，
∴b＝1，
∴方程为＋y2＝1.
(2)由已知
∴从而b2＝9，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
一、选择题
1．已知点(3,2)在椭圆＋＝1上，则( )
A．点(－3，－2)不在椭圆上
B．点(3，－2)不在椭圆上
C．点(－3,2)在椭圆上
D．无法判断点(－3，－2)，(3，－2)，(－3,2)是否在椭圆上
【解析】 因为椭圆＋＝1关于x轴、y轴，原点对称，而点(3,2)在椭圆上，故点(3，－2)、(－3,2)、(－3，－2)都在椭圆上．
【答案】 C
2．曲线＋＝1与＋＝1(0A．有相等的焦距，相同的焦点
B．有相等的焦距，不同的焦点
C．有不等的焦距，不同的焦点
D．以上都不对
【解析】 曲线＋＝1的焦距为2c＝8，而曲线＋＝1(0＜k＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B.
【答案】 B
3．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
【解析】 ∵c＝2，a2＝b2＋c2，
∴a2＝20＋b2.①
又a＋b＝10，②
由①②知，a＝6，b＝4，
∴焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1.
【答案】 A
4．(2013·天水高二检测)椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( )
A. B. C. D.
【解析】 由题意知a＝2c，∴e＝＝＝.
【答案】 A
5．我国于2007年10月24日成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球．嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆．若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为m，远地点到地心的距离为n，第二次变轨后两距离分别为2m,2n(近地点是指卫星距离地面最近的点，远地点是距离地面最远的点)，则第一次变轨前的椭圆的离心率与第二次变轨后的椭圆的离心率相比较( )
A．没变 B．变小 C．变大 D．无法确定
【解析】 由题意，第一次变轨前，
∴，
第二次变轨后，
∴∴＝.
【答案】 A
二、填空题
6．椭圆9x2＋y2＝36的短轴长为________．
【解析】 把椭圆化为标准方程得：＋＝1，∴b2＝4，b＝2，∴2b＝4.
【答案】 4
7．(2013·吉林高二检测)已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C、D的椭圆的离心率为________．
【解析】 如图，AB＝2c＝4，∵点C在椭圆上，∴CB＋CA＝2a＝3＋5＝8，∴e＝＝＝.
【答案】
8．(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．
【解析】 设椭圆方程为＋＝1，由e＝知＝，故＝.
由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，故a＝4.∴b2＝8.
∴椭圆C的方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
三、解答题
9．(1)求与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程；
(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程．
【解】 (1)∵c＝＝，
∴所求椭圆的焦点为(－，0)，(，0)．
设所求椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵e＝＝，c＝，∴a＝5，b2＝a2－c2＝20，
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)因椭圆的焦点在x轴上，
设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∵2c＝8，∴c＝4，
又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20.
∴椭圆的方程为＋＝1.
10．椭圆以直线3x＋4y－12＝0和两坐标轴的交点分别作顶点和焦点，求椭圆的标准方程．
【解】 直线3x＋4y－12＝0与两坐标轴的交点为(0,3)，(4,0)．
①若以(4,0)为焦点，即焦点在x轴上，
则c＝4，b＝3，a＝5.
∴椭圆的标准方程为＋＝1；
②若以(0,3)为焦点，即焦点在y轴上．
则c＝3，b＝4，a＝5，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
综上，椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
图2－2－3
11．如图2－2－3，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程．
【解】 (1)由∠F1AB＝90°及椭圆的对称性知b＝c，则e＝＝＝＝.
(2)由已知a2－b2＝1，设B(x，y)，A(0，b)，则＝(1，－b)，＝(x－1，y)，由＝2，即(1，－b)＝2(x－1，y)，解得x＝，y＝－，则＋＝1，得a2＝3，因此b2＝2，方程为＋＝1.
(教师用书独具)
以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点与两焦点，恰好组成一个正六边形，求这个椭圆的离心率．
【自主解答】 如图，设椭圆两焦点为F1，F2，与正六边形
其中两个交点为A，B，并设正六边形边长为m，则根据正六边形的性质有：
∠FAB＝120°，|OF1|＝m，根据余弦定理F1B2＝m2＋m2－2m·m·cos 120°＝3m2，
∴F1B＝m，又2a＝F1B＋BF2＝m＋m，
∴a＝m，又c＝m，∴＝＝－1，
即椭圆的离心率为－1.
已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0,1) B．(0，]
C．(0，) D．[，1)
【解析】 设M(x，y)，∵·＝0，∴M的轨迹方程为x2＋y2＝c2，其中F1F2为圆直径．由题意知椭圆上的点在圆x2＋y2＝c2外部，设P为椭圆上任一点，则|OP|＞c恒成立，而|OP|≥b，∴b＞c，∴c2＜b2＝a2－c2，∴a2＞2c2，∴()2＜，∴0＜e＜.
【答案】 C
第2课时 椭圆标准方程及性质的应用
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
掌握利用根的判别式判断直线与椭圆位置关系的方法，初步探寻弦长公式有关知识．
2．过程与方法
通过研究直线与椭圆的位置关系培养学生探索问题、解决问题的能力，领悟数形结合和化归等思想．
3．情感、态度与价值观
培养学生自主参与意识，激发学生探索数学的兴趣．
●重点难点
重点：掌握直线与椭圆位置关系的判断方法，注意数形结合思想的渗透．
难点：应用直线与椭圆位置关系的知识解决一些简单几何问题和实际问题．
本节内容是在熟练椭圆方程与性质的基础上的习题课，涉及直线与椭圆的位置关系、椭圆的实际应用问题，掌握好椭圆方程与性质，类比直线与圆的位置关系的研究方法是突破重点与难点的关键．
(教师用书独具)
●教学建议
由于学生已经学习了直线与圆位置关系及相关知识的推导及运用过程，但大部分还停留在经验基础上，主动迁移能力、整合能力较弱，所以本节课宜采用启发引导式教学，同时借助多媒体，充分发挥其形象、生动的作用．
●教学流程
???????
课标解读
1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(重点)
2．能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(难点)
点与椭圆的位置关系
【问题导思】
1．点与圆的位置关系有几种？
【提示】 点在圆外，点在圆上，点在圆内三种．
2．如何判断点与椭圆的位置关系？
【提示】 类比点与圆的判断方法．
点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上?＋＝1；
点P在椭圆内部?＋<1；
点P在椭圆外部?＋>1.
直线与椭圆的位置关系
【问题导思】
1．直线与圆的位置关系有哪几种？
【提示】 相离、相切、相交．
2．我们可以比较圆心到直线的距离与圆半径的大小关系来判断直线与圆的位置关系，能否比较椭圆中心到直线的距离与长轴或短轴长来判断直线与椭圆的位置关系？为什么？
【提示】 不能．中心到椭圆上点的距离不完全相等．
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
联立消y得一个关于x的一元二次方程
位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
两解
Δ>0
相切
一解
Δ＝0
相离
无解
Δ<0
直线与椭圆的位置关系的判断
对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系．
【思路探究】 ―→
―→―→
【自主解答】 联立方程组得：
将①代入②得：＋(x＋m)2＝1
整理得：5x2＋8mx＋4m2－4＝0③
Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)
当Δ＞0，即－＜m＜时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；
当Δ＝0，即m＝±时，方程③有两个相等的实数根，代入①得一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；
Δ＜0时，即m＜－或m＞，方程③无实根，直线与椭圆相离．
1．直线与椭圆有相交、相切和相离三种情况，其位置关系的几何特征分别是直线与椭圆有两个交点、有且只有一个交点、无公共点，并且二者互为充要条件．
2．判断直线与椭圆的位置关系可使用代数法，即通过方程研究，先将直线方程与椭圆的方程联立，消去一个未知数y(或x)，得到关于x(或y)的一个一元二次方程．由于该一元二次方程有无实数解、有几个实数解与方程组的解的个数相对应，故利用一元二次方程根的判别式Δ，根据Δ＞0，Δ＜0还是Δ＝0即可判断方程组解的个数，从而得出直线与椭圆的交点情况．
若把本例中直线方程改为“y＝2x＋m”，椭圆方程改为＋＝1，试讨论直线与椭圆的位置关系．
【解】 由直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
将①代入②，并整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③
方程③的判别式为Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)由Δ＞0，得－3＜m＜3，也就是当－3＜m＜3时，方程③有两个不相等的实数根，可知原方程组有两个不同的实数解，这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点，即直线l与椭圆C相交．
(2)由Δ＝0，得m＝±3，也就是当m＝±3时，方程③有两个相等的实数根，可知原方程组有两个相同的实数解，这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点，即直线l与椭圆C相切．
(3)由Δ＜0，得m＜－3或m＞3，也就是当m＜－3或m＞3时，方程③没有实数根，可知方程组没有实数根，这时直线l与椭圆C没有公共点，即直线l和椭圆C相离．
弦长问题
过点P(－1,1)的直线与椭圆＋＝1交于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，求AB所在的直线方程及弦长|AB|.
【思路探究】 →→
→→
【自主解答】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B两点在椭圆上得两式相减得
(x1－x2)(x1＋x2)＋2(y1－y2)(y1＋y2)＝0 ①
显然x1≠x2，故由①得：kAB＝＝－.
因为点P(－1,1)是AB的中点，所以有：
x1＋x2＝－2，y1＋y2＝2， ②
把②代入①得：kAB＝，
∴直线AB的方程为y－1＝(x＋1)，即x－2y＋3＝0，
由消去y，得3x2＋6x＋1＝0.
∴x1＋x2＝－2，x1x2＝，
|AB|＝·
＝ ·＝.
求弦长的两种方法：
(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点距离公式求弦长．
(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|＝＝ ，其中x1、x2(y1、y2)是上述一元二次方程的两根，由韦达定理求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长．
已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点F，交椭圆于A、B两点，求弦AB的长．
【解】 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
由椭圆方程知a2＝4，b2＝1，∴c＝＝，
∴F(，0)，∴直线l的方程为y＝x－，
将其代入椭圆方程，并化简、整理得5x2－8x＋8＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝|x1－x2|＝·
＝·＝.
中点弦问题
过椭圆＋＝1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求此弦所在的直线方程．
【思路探究】 可以联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解；也可以考虑利用点差法求解．
【自主解答】 法一 设所求直线方程为y－1＝k(x－2)．
代入椭圆方程并整理，得
(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，
则x1、x2是方程的两个根，
于是x1＋x2＝.
又M为AB的中点，
∴＝＝2，
解之得k＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
法二 设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)．
又M(2,1)为AB的中点，
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又A、B两点在椭圆上，
则x＋4y＝16，x＋4y＝16.
两式相减得(x－x)＋4(y－y)＝0.
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∴＝－＝－，
即kAB＝－.
又直线AB过M(2,1)点，
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
本题的这两种解法，是解中点弦问题的常用方法，解中点弦问题关键在于充分利用“中点”这一条件，灵活运用中点坐标公式及根与系数的关系，解法一是设出方程，根据中点坐标求出k；解法二是设出交点坐标，代入方程，整体作差求直线方程(也叫点差法)，是“设而不求”．
若一直线与椭圆4x2＋9y2＝36相交于A、B两点，且弦AB中点的坐标为M(1,1)，则直线AB的方程为________．
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)是弦A、B的两个端点，代入椭圆方程有，
两式相减得4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
∵M(1,1)为弦AB的中点，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
∴4(x1－x2)＋9(y1－y2)＝0，∴kAB＝＝－.
故AB的直线方程为y－1＝－(x－1)，即4x＋9y－13＝0.
【答案】 4x＋9y－13＝0
运用“设而不求”法研究直线和椭圆位置关系问题
(12分)(2013·本溪高二检测)已知椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，过点A(－a,0)，B(0，b)的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率大于零的直线过D(－1,0)与椭圆分别交于点E，F，若＝2，求直线EF的方程；
(3)对于D(－1,0)，是否存在实数k，使得直线y＝kx＋2分别交椭圆于点P，Q，且|DP|＝|DQ|，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
【思路点拨】 (1)根据椭圆上两点A、B连线的倾斜角和原点到该直线的距离可以求出椭圆方程中的待定系数，从而求得椭圆方程．(2)利用直线EF过D且斜率大于0设出直线方程，与椭圆方程联立，再根据向量关系得出坐标间关系，进而求出直线方程．(3)利用定点D与弦端点的几何关系，由设而不求的思想方法，转换成坐标关系，构造出关于k的方程 ，再求出k值．
【规范解答】 (1)由＝，ab＝××，得a＝，b＝1，所以椭圆的方程是＋y2＝1.2分
(2)设EF：x＝my－1(m＞0)代入＋y2＝1，得(m2＋3)y2－2my－2＝0.
设E(x1，y1)，F(x2，y2)．由＝2，得y1＝－2y2，4分
由y1＋y2＝－y2＝，y1y2＝－2y＝得
(－)2＝，∴m＝1，m＝－1(舍去)，
直线EF的方程为x＝y－1，即x－y＋1＝0.7分
(3)记P(x′1，y′1)，Q(x′2，y′2)．将y＝kx＋2代入＋y2＝1，得(3k2＋1)x2＋12kx＋9＝0(*)，x′1，x′2是此方程的两个相异实根．
设PQ的中点为M，则xM＝＝－，yM＝kxM＋2＝.
由|DP|＝|DQ|，得DM⊥PQ，∴kDM＝＝＝－，∴3k2－4k＋1＝0，得k＝1或k＝.10分
但k＝1，k＝均使方程(*)没有两相异实根．
∴满足条件的k不存在.12分
【思维启迪】 1.直线和椭圆位置关系问题中设而不求、整体代换是常用的运算技巧，在解题中要注意运用，避免求解浪费时间或造成不必要的失分．
2．直线和椭圆相交时切记Δ＞0是求参数范围(值)的前提条件．
1．直线与椭圆的位置关系，可考虑由直线方程和椭圆方程得到的一元二次方程，利用“Δ”进行判定．求弦长时可利用韦达定理，中点弦问题考虑，使用“点差法”．
2．最值问题转化为函数最值或利用数形结合思想.
1．点A(2,1)与椭圆2x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．点在椭圆上 B．点在椭圆外
C．点在椭圆内 D．无法确定
【解析】 把A(2,1)代入2x2＋y2中，得2×4＋1＝9＞1，故点A在椭圆外部．
【答案】 B
2．直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．无法确定
【解析】 联立消去y得3x2＋2x－1＝0，Δ＝22＋12＝16＞0，∴直线与椭圆相交．
【答案】 C
3．(2013·青岛高二期末)直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是( )
A．(，) B．(，)
C．(－，) D．(－，－)
【解析】 联立消y得，3x2＋4x－2＝0，设直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，故AB的中点横坐标x0＝＝－.纵坐标y0＝x0＋1＝－＋1＝.
【答案】 C
4．求过点(3,0)且斜率为的直线被椭圆＋＝1所截得线段的长度．
【解】 过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．
设直线与椭圆交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，将直线方程代入椭圆方程得＋＝1，即x2－3x－8＝0.
∴x1＋x2＝3，x1x2＝－8.
∴|AB|＝·＝＝
一、选择题
1．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是( )
A．－＜a＜ B．a＜－或a＞
C．－2＜a＜2 D．－1＜a＜1
【解析】 ∵点A(a,1)在椭圆＋＝1内部，
∴＋＜1.
∴＜.
则a2＜2，∴－＜a＜.
【答案】 A
2．(2013·潍坊高二检测)直线y＝k(x－2)＋1与椭圆＋＝1的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．相切 D．无法判断
【解析】 直线y＝k(x－2)＋1过定点P(2,1)，将P(2,1)代入椭圆方程，得＋＜1，∴P(2,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．
【答案】 B
3．已知椭圆＋＝1有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则此椭圆的焦点坐标是( )
A．(±，0) B．(0，±)
C．(±，0) D．(0，±)
【解析】 ∵直线x＋2y＝2过(2,0)和(0,1)点，
∴a＝2，b＝1，∴c＝，
椭圆焦点坐标为(±，0)．
【答案】 A
4．(2013·大庆高二检测)椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是( )
A. B.
C. D.
【解析】 联立方程组可得
?(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，
则x0＝＝，
y0＝1－x0＝1－＝.
∴kOP＝＝＝.故选A.
【答案】 A
5．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A．m≥1
B．m≥1或0＜m＜1
C．0＜m＜5且m≠1
D．m≥1且m≠5
【解】 由得(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0，
又直线与椭圆有公共点，
∴上述方程的Δ≥0对一切k都成立，
即(10k)2－4(m＋5k2)×5(1－m)≥0，
亦即5k2≥1－m对一切k都成立，
∴1－m≤0，即m≥1，而m≠5.
【答案】 D
二、填空题
6．已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A、B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________．
【解析】 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)，
由消去y，得3x2－4x＝0.
∴A(0，－1)，B(，)．
又由＋y2＝1知左焦点F1(－1,0)，
则|F1A|＋|F1B|＝＋＝.
【答案】
7．直线l交椭圆＋＝1于A、B两点，AB的中点为M(2,1)，则l的方程为________．
【解析】 由点差法求出kAB＝－，∴l的方程为y－1＝－(x－2)．
化简得：3x＋2y－8＝0.
【答案】 3x＋2y－8＝0
8．过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
【解析】 由已知可得直线方程为y＝2x－2，联立方程得
解得A(0，－2)，B(，)，
∴S△AOB＝·|OF|·|yA－yB|＝.
【答案】
三、解答题
图2－2－4
9．如图2－2－4所示，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
【解】 如图建立直角坐标系，则点P(11,4.5)，椭圆方程为＋＝1.
∵P(11,4.5)在椭圆上，
∴＋＝1.①
又b＝h＝6，代入①式，得a＝.
此时l＝2a＝≈33.3(米)，
因此隧道的拱宽约为33.3米．
10．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
【解】 (1)由题意得消y整理得：
5x2＋2mx＋m2－1＝0.
∵直线与椭圆有公共点，
∴Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2≥0，
∴－≤m≤.
(2)设直线与椭圆交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由(1)得
∴|AB|＝|x1－x2|＝·
＝·＝.
∵－≤m≤，∴0≤m2≤，
∴当m＝0时，|AB|取得最大值，此时直线方程为y＝x，即x－y＝0.
11．已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2＋3y2＝4上，C在直线l：y＝x＋2上，且AB∥l.
(1)当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
(2)当∠ABC＝90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．
【解】 (1)∵AB∥l，且AB边通过点(0,0)，
∴AB所在直线的方程为y＝x.
设A，B两点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
由得x＝±1，
∴|AB|＝|x1－x2|＝2，
又∵AB边上的高h等于原点到直线l的距离，
∴h＝，∴S△ABC＝|AB|·h＝2.
(2)设AB所在直线方程为y＝x＋m.
由得4x2＋6mx＋3m2－4＝0.
∵A，B在椭圆上，
∴Δ＝－12m2＋64＞0.
设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1·x2＝，
∴|AB|＝|x1－x2|＝.
又∵BC的长等于点(0，m)到直线l的距离，即|BC|＝.
∴|AC|2＝|AB|2＋|BC|2＝－m2－2m＋10＝－(m＋1)2＋11.
∴当m＝－1时，AC边最长．(这时Δ＝－12＋64＞0)
此时AB所在直线方程为y＝x－1.
(教师用书独具)
已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，离心率e＝，椭圆C上的点到F的距离的最大值为＋1，求椭圆C的方程．
【自主解答】 椭圆的右焦点F(c,0)，
设椭圆上一点P(x，y)，
则有：＋＝1，
即y2＝b2(1－)．
|PF|2＝(x－c)2＋(y－0)2
＝(x－c)2＋b2(1－)
＝x2－2cx＋b2＋c2
＝x2－2cx＋a2
＝(x－a)2，
∴|PF|＝|x－a|＝a－x
＝a－ex.
∵－a≤x≤a，
∴|PF|max＝a－e·(－a)
＝a＋c.
根据题意得a＋c＝＋1，e＝＝，
结合a2＝b2＋c2，
联立这三个关于a、b、c的方程组，
消去c得：.
解得：.
∴所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2013·莱芜高二检测)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点，则·的最小值为( )
A. B．3 C．8 D．15
【解析】 a2＝9，b2＝5，∴c2＝a2－b2＝4.
∴c＝2.∴焦点F(－2,0)．
设P(x0，y0)，则＋＝1.①
＝(x0，y0)，＝(x0＋2，y0)，∴·＝x0(x0＋2)＋y.②
由①得：y＝5－x代入②得：
·＝x＋2x0＋5＝(x0＋)2＋.
∵点P(x0，y0)在椭圆上，∴－3≤x0≤3，
∴当x0＝－时，·的最小值是.故选A.
【答案】 A
2.3双曲线
2．3.1 双曲线及其标准方程
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决问题；了解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用方法．
2．过程与方法
通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力．
3．情感、态度与价值观
通过教师指导下学生的交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题．
●重点难点
重点：理解和掌握双曲线的定义及其标准方程．
难点：双曲线标准方程的推导．
由于双曲线的定义和标准方程与椭圆很类似，学生已经有了一些学习椭圆的经验，所以本节课用“启发探究”式的教学方式，重点突出以下两点：①以类比思维作为教学的主线；②以自主探究作为学生的学习方式，并结合多媒体辅助教学，进而实现重点、难点的突破．
(教师用书独具)
●教学建议
在教法上，宜采用探究性教学法和启发式教学法．
让学生根据教学目标的要求和题目中的已知条件，自觉主动地创造性地去分析问题、讨论问题、解决问题．
以启发、引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习．通过创设情境，充分调动学生已有的学习经验，让学生经历“观察——猜想——证明——应用”的过程，发现新的知识，把学生的潜意识状态的好奇心变为自觉求知的创新意识．又通过实际操作，使刚产生的数学知识得到完善，提高了学生动手动脑的能力和增强了研究探索的综合素质．
●教学流程
???????
课标解读
1.了解双曲线的定义及焦距的概念．
2．了解双曲线的几何图形、标准方程．(重点)3.能利用双曲线的定义和待定系数法去求双曲线的标准方程．(重点)
双曲线的定义
【问题导思】
1．我们知道，与两个定点距离的和为非零常数(大于两定点间的距离)的点的轨迹是椭圆，那么与两定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？
【提示】 双曲线的一支．
2．若定义中的常数大于或等于|F1F2|时，轨迹是什么？【提示】 当常数等于|F1F2|时，轨迹为以F1，F2为端点，在直线F1F2上反向的两条射线F1A，F2B(包括端点)，如图所示．
当常数大于|F1F2|时，轨迹不存在．
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
双曲线的标准方程
【问题导思】
类比椭圆标准方程的建立过程，你能说说怎样选择坐标系，建立双曲线的标准方程吗？
【提示】 以经过两焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建坐标系．
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准
方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c，c2＝a2＋b2
双曲线定义的应用
已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
【思路探究】 (1)在△PF1F2中，由余弦定理能得到|F1F2|、|PF1|、|PF2|三者满足怎样的关系式？(2)结合双曲线的定义，能否求出|PF1|·|PF2|的值进而求出△F1PF2的面积？
【自主解答】 由－＝1，
得a＝3，b＝4，c＝5.
由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2
＝×64×＝16.
求双曲线中焦点三角形面积的方法：
法一：(1)根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；(2)利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；(3)通过配方，整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；(4)利用公式S△PF1F2＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．法二：利用公式S△PF1F2＝×|F1F2|×|yP|求得面积．
本例中若∠F1PF2＝90°，其他条件不变，求△F1PF2的面积．
【解】 由双曲线方程知a＝3，b＝4，c＝5
由双曲线的定义，||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36①
在Rt△F1PF2中，由勾股定理|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝100②
将②代入①得：|PF1|·|PF2|＝32，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝16.
求双曲线的标准方程
求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)a＝4，且经过点A(1，)；
(2)经过点P1(－2，)和P2(，4)两点．
【思路探究】 (1)所求曲线的焦点位置确定吗？(2)如何求出a2、b2的值？
【自主解答】 (1)①若所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则将a＝4代入，得－＝1.
又∵点A(1，)在双曲线上，
∴－＝1.由此得b2＜0，
∴不合题意，舍去．
②若所求双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则将a＝4代入得－＝1，
代入点A(1，)，得b2＝9，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(2)法一 当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
∵P1、P2在双曲线上，
∴，
解得(不合题意舍去)．
当双曲线的焦点在y轴上时，
设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
∵P1、P2在双曲线上，
∴，
解得，即a2＝9，b2＝16.
故所求双曲线方程为－＝1.
法二 因为双曲线的焦点位置不确定，所以设曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，因为P1、P2在双曲线上，
所以有，
解得.
所求双曲线方程为－＋＝1，即－＝1.
1．求双曲线标准方程的两个关注点：
(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．
(2)定量：是指确定a2、b2的数值，常由条件列方程求解．
2．若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，为简单起见，常标明条件mn＜0.
求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)一个焦点是(0，－6)，经过点A(－5,6)；
(2)a＝5，c＝7.
【解】 (1)由已知c＝6，且焦点在y轴上，另一焦点为(0,6)．
由双曲线定义
2a＝|－|＝8.
∴a＝4，∴b2＝c2－a2＝20.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由已知a＝5，c＝7，∴b2＝c2－a2＝24，焦点不确定
∴所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
双曲线的定义与标准方程
的实际应用
“神舟”九号飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排了三个救援中心(记为A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P为航天员着陆点．某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒．求在A处发现P的方位角．
【思路探究】 由“A接收到P的求救信号的时间比其他两个救援中心早4 s”能否得到|PB|与|PA|的差为定值？是否说明点P在以A、B为焦点的双曲线的一支上？
【自主解答】 因为|PC|＝|PB|，所以P在线段BC的垂直平分线上．又因为|PB|－|PA|＝4，
所以P在以A，B为焦点的双曲线的右支上．
以线段AB的中点为坐标原点，AB的垂直平分线所在直线为y轴，正东方向为x轴正方向建立直角坐标系，如图所示．
则A(3,0)，B(－3,0)，
C(－5，2)．
所以双曲线方程为－＝1(x＞0)，
BC的垂直平分线方程为x－y＋7＝0.
联立两方程解得 x＝8，y＝5，
所以P(8,5)，
kPA＝tan∠PAx＝，所以∠PAx＝60°.
所以P点在A点的北偏东30°方向．
解答此类题首先应建立平面直角坐标系，取两定点所在的直线为x轴，以两定点为端点的线段的中点为坐标原点；然后根据双曲线的定义求出标准方程，再由标准方程解有关问题．本题的解法主要运用了数形结合思想和函数与方程思想．
某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处(如图2－3－1所示)，|PA|＝100 m，|PB|＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工．
图2－3－1
【解】 设M是分界线上的任意一点，则有：
|MA|＋|PA|＝|MB|＋|PB|，
于是|MA|－|MB|
＝|PB|－|PA|＝150－100＝50.
在△PAB中，由余弦定理得，
|AB|2＝|PA|2＋|PB|2－2|PA|·|PB|· cos 60°
＝1002＋1502－2×100×150×＝17 500.
∴以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立平面直角坐标系，则分界线是双曲线，即－＝1(x≥25)．
故运土时，将此双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工.
混淆a、b、c的关系致误
双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0,3)，求k的值．
【错解】 将双曲线的方程化成标准形式为
－＝1.
因为双曲线的焦点在y轴上，所以a2＝，b2＝.
所以c＝＝＝3，即＝9，所以k＝.
【错因分析】 上述解法有两处错误：一是a2，b2值确定错误，应该是a2＝－，b2＝－；二是基本量a、b、c的关系错误，在双曲线中基本量a、b、c的关系应该是c2＝a2＋b2.
【防范措施】 在椭圆中，a、b、c的关系是c2＝a2－b2；而在双曲线中，a、b、c的关系是c2＝a2＋b2，二者极易混淆，要注意区分，以防错误．
【正解】 将双曲线的方程化成kx2－y2＝1.
因为双曲线的一个焦点坐标是(0,3)，所以焦点在y轴上，且c＝3.
所以a2＝－，b2＝－.所以－－＝9，解得k＝－1.
1．理解双曲线定义应注意以下三点：①定义中的动点与定点在同一平面内；②距离的差要加绝对值，否则只表示双曲线的一支；③距离差的绝对值必须小于焦距，否则不是双曲线，而是两条射线或无轨迹．
2．利用待定系数法可以求双曲线的标准方程，求解步骤包括“定位”与“定量 ”两步.
1．动点P到点M(1,0)，N(－1,0)的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．两条射线 D．一条射线
【解析】 ∵||PM|－|PN||＝2＝|MN|，∴点P的轨迹是两条射线．
【答案】 C
2．(2013·徐州高二检测)双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A．(，0) B．(，0)
C．(，0) D．(，0)
【解析】 将双曲线方程化为标准形式x2－＝1，
所以a2＝1，b2＝，∴c＝＝，
∴右焦点坐标为(，0)．
【答案】 C
3．满足条件a＝2，一个焦点为(4,0)的双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【解析】 由a＝2，c＝4，得b2＝c2－a2＝12，又一焦点(4,0)在x轴上，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
【答案】 A
4．已知双曲线－＝1的左支上一点M到其左焦点F1的距离为10，求点M到该曲线左焦点F2的距离．
【解】 由－＝1得a＝4，∵点M在双曲线的左支上
∴|MF2|＞|MF1|，∴|MF2|－|MF1|＝2a＝8，
又∵|MF1|＝10，∴|MF2|＝18.
一、选择题
1．(2013·东营高二检测)方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围( )
A．－2＜m＜2 B．m＞0
C．m≥0 D．|m|≥2
【解析】 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m)(2－m)＞0.
∴－2＜m＜2.
【答案】 A
2．设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1(x≤－3) D.－＝1(x≥3)
【解析】 由题意，应为以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支．
由c＝5，a＝3，知b2＝16，
∴P点的轨迹方程为－＝1(x≥3)．
【答案】 D
3．(2013·泉州高二检测)已知定点A、B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值是( )
A. B. C. D．5
【解析】 由题意知，动点P的轨迹是以定点A、B为焦点的双曲线的一支(如图)从图上不难发现，|PA|的最小值是图中AP′的长度，即a＋c＝.
【答案】 C
4．若椭圆＋＝1(m＞n＞0)和双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是( )
A．m－a B.(m－a)
C．m2－a2 D.－
【解析】 由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2.①
由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2.②
①2－②2得4|PF1|·|PF2|＝4(m－a)，
∴|PF1|·|PF2|＝m－a.
【答案】 A
5．已知双曲线的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D.－y2＝1
【解析】 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在Rt△PF1F2中，
m2＋n2＝(2c)2＝20，m·n＝2，
由双曲线定义，知|m－n|2＝m2＋n2－2mn＝16.
∴4a2＝16.∴a2＝4，b2＝c2－a2＝1.
∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
【答案】 D
二、填空题
6．双曲线－＝1的焦距为________．
【解析】 c2＝m2＋12＋4－m2＝16，∴c＝4,2c＝8.
【答案】 8
7．(2013·郑州高二检测)设点P是双曲线－＝1上任意一点，F1，F2分别是其左、右焦点，若|PF1|＝10，则|PF2|＝________.
【解析】 由双曲线的标准方程得，a＝3，b＝4.
于是c＝＝5.
(1)若点P在双曲线的左支上，
则|PF2|－|PF1|＝2a＝6，∴|PF2|＝6＋|PF1|＝16；
(2)若点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝6，
∴|PF2|＝|PF1|－6＝10－6＝4.
综上，|PF2|＝16或4.
【答案】 16或4
8．(2013·泰安高二检测)方程＋＝1表示的曲线为C，给出下列四个命题：
①曲线C不可能是圆；
②若1＜k＜4，则曲线C为椭圆；
③若曲线C为双曲线，则k＜1或k＞4；
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜.
其中正确命题的序号是________(写出所有正确的命题的序号)
【解析】 当4－k＝k－1＞0时，即k＝时，曲线C是圆，∴命题①是假命题．对于②，当1＜k＜4且k≠时，曲线C是椭圆，则②是假命题．
根据双曲线定义与标准方程，③④是真命题．
【答案】 ③④
三、解答题
9．求与双曲线－＝1有相同焦点且过点P(2,1)的双曲线的方程．
【解】 ∵双曲线－＝1的焦点在x轴上．
依题意，设所求双曲线为－＝1(a>0，b>0)．
又两曲线有相同的焦点，
∴a2＋b2＝c2＝4＋2＝6.①
又点P(2,1)在双曲线－＝1上，
∴－＝1.②
由①、②联立，得a2＝b2＝3，
故所求双曲线方程为－＝1.
10．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．
【解】 (1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；
(2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；
(3)当k＜0时，方程为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；
(4)当0＜k＜1时，方程为＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；
(5)当k＞1时，方程为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．
11．某部队进行军事演习，一方指挥中心接到其正西、正东、正北方向三个观测点A，B，C的报告：正西、正北两个观测点同时听到了炮弹的爆炸声，正东观测点听到爆炸声的时间比其他两观测点晚4 s，已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m，试确定该枚炮弹的袭击位置．(声音的传播速度为340 m/s，相关各点均在同一平面内)．
【解】 如图，以指挥中心为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(－1 020,0)，B(1 020,0)，C(0,1 020)．
设P(x，y)为袭击位置，
则|PB|－|PA|＝340×4＜|AB|.
由双曲线定义，知点P在以A，B为焦点的双曲线的左支上，且a＝680，c＝1 020，
所以b2＝1 0202－6802＝5×3402.
所以双曲线方程为－＝1(x≤－680)．①
又|PA|＝|PC|，因此P在直线y＝－x上，
把y＝－x代入①式，得x＝－680.
所以P(－680，680)，|OP|＝680(m)．
故该枚炮弹的袭击位置在北偏西45°，距指挥中心680 m处.
(教师用书独具)
如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
【自主解答】 圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，
∴圆心F1(－5,0)，半径r1＝1.
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，
∴圆心F2(5,0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，
∴|MF2|－|MF1|＝3＜|F1F2|.
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线(左支)，
且a＝，c＝5，b2＝c2－a2＝.
∴双曲线方程为x2－y2＝1(x≤－)．
已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
【解】 设动圆M的半径为r，则由已知|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－(如图所示)．
∴|MC1|－|MC2|＝2.
又C1(－4,0)，C2(4,0)，
∴|C1C2|＝8，∴2＜|C1C2|.
根据双曲线的定义知，点M的轨迹是以C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点的双曲线的右支．
∵a＝，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14.
故点M的轨迹方程为－＝1(x＞).
2.3.2 双曲线的简单几何性质
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
掌握双曲线的范围、对称性、顶点等性质；
理解渐近线的证明方法；
理解离心率和双曲线形状间的变化关系．
2．过程与方法
通过对双曲线几何性质的探究及应用过程培养学生的观察能力、想象能力、数形结合能力、逻辑推理能力以及类比的学习方法．
3．情感、态度与价值观
培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的、变化的观点分析理解事物．
●重点难点
重点：方程导出性质及其应用．
难点：渐近线的理解．
从学生的认知水平来看，对渐近线分析方法的理解和掌握有一定的困难，同时渐进线概念如何顺应学生思维的自然呈现，是教法中的一个困惑．因此，将渐近线的呈现与分析设置为本课时的难点．为突破该难点，应从“如何画双曲线草图”入手，分析作草图必须的条件，以“双曲线的走向”为切入口，通过复习反比例函数图象，以旧引新，使双曲线的概念自然呈现，并通过学生讨论与交流，充分暴露思维过程，完成分析和证明过程．
(教师用书独具)
●教学建议
本节课宜采用的教学方法和手段：类比、启发、探索式相结合的教学方法，体现学生的主体作用．
●教学流程
?????在熟练掌握离心率与渐近线概念的基础上，完成例3及其变式训练，从而解决双曲线中离心率、渐近线的求法.???
课标解读
1.掌握双曲线的简单几何性质．(重点)
2．理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(难点)
双曲线的几何性质
【问题导思】
类比椭圆的几何性质，结合双曲线的图象，你能得到双曲线的哪些几何性质？
【提示】 范围、对称性、顶点、渐近线、离心率．
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形
性
质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
(－a,0)，(a,0)
(0，－a)，(0，a)
轴长
实轴长＝2a，虚轴长＝2b
离心率
e＝且e＞1
渐近线
y＝±x
y＝±x
双曲线的相关概念
1.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．
2．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e＝.
根据双曲线方程研究几何性质
求双曲线nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
【思路探究】 →→
【自主解答】 把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，
化为标准方程－＝1(m＞0，n＞0)，
由此可知，实半轴长a＝，
虚半轴长b＝，c＝，
焦点坐标(，0)，(－，0)，
离心率e＝＝＝.
顶点坐标为(－，0)，(，0)．
∴渐近线的方程为y＝±x＝±x.
由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤：
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键．
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a、b的值．
(3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质．
将本例双曲线方程改为“4x2－y2＝－4”，试求解之．
【解】 将方程4x2－y2＝－4变形为－＝1.
∴a＝2，b＝1，c＝.
∴实半轴长为2，虚半轴长为1，焦点坐标为(0，－)，(0，)．
离心率e＝＝，顶点坐标为(0，－2)，(0,2)．
渐近线方程为y＝±2x.
求双曲线的标准方程
求适合下列条件的双曲线标准方程．
(1)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x.
(2)经过点M(－3,2)，且与双曲线－＝1有共同的渐近线．
【思路探究】 →→→
【自主解答】 (1)当焦点在x轴上时，由＝且a＝3，∴b＝，
∴所求双曲线方程为－＝1；
当焦点在y轴上时，由＝且a＝3，∴b＝2.
∴所求双曲线方程为一、选择题
1．(2013·东营高二检测)方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围( )
A．－2＜m＜2 B．m＞0
C．m≥0 D．|m|≥2
【解析】 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m)(2－m)＞0.
∴－2＜m＜2.
【答案】 A
2．设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1(x≤－3) D.－＝1(x≥3)
【解析】 由题意，应为以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支．
由c＝5，a＝3，知b2＝16，
∴P点的轨迹方程为－＝1(x≥3)．
【答案】 D
3．(2013·泉州高二检测)已知定点A、B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值是( )
A. B. C. D．5
【解析】 由题意知，动点P的轨迹是以定点A、B为焦点的双曲线的一支(如图)从图上不难发现，|PA|的最小值是图中AP′的长度，即a＋c＝.
【答案】 C
4．若椭圆＋＝1(m＞n＞0)和双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是( )
A．m－a B.(m－a)
C．m2－a2 D.－
【解析】 由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2.①
由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2.②
①2－②2得4|PF1|·|PF2|＝4(m－a)，
∴|PF1|·|PF2|＝m－a.
【答案】 A
5．已知双曲线的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D.－y2＝1
【解析】 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在Rt△PF1F2中，
m2＋n2＝(2c)2＝20，m·n＝2，
由双曲线定义，知|m－n|2＝m2＋n2－2mn＝16.
∴4a2＝16.∴a2＝4，b2＝c2－a2＝1.
∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
【答案】 D
二、填空题
6．双曲线－＝1的焦距为________．
【解析】 c2＝m2＋12＋4－m2＝16，∴c＝4,2c＝8.
【答案】 8
7．(2013·郑州高二检测)设点P是双曲线－＝1上任意一点，F1，F2分别是其左、右焦点，若|PF1|＝10，则|PF2|＝________.
【解析】 由双曲线的标准方程得，a＝3，b＝4.
于是c＝＝5.
(1)若点P在双曲线的左支上，
则|PF2|－|PF1|＝2a＝6，∴|PF2|＝6＋|PF1|＝16；
(2)若点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝6，
∴|PF2|＝|PF1|－6＝10－6＝4.
综上，|PF2|＝16或4.
【答案】 16或4
8．(2013·泰安高二检测)方程＋＝1表示的曲线为C，给出下列四个命题：
①曲线C不可能是圆；
②若1＜k＜4，则曲线C为椭圆；
③若曲线C为双曲线，则k＜1或k＞4；
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜.
其中正确命题的序号是________(写出所有正确的命题的序号)
【解析】 当4－k＝k－1＞0时，即k＝时，曲线C是圆，∴命题①是假命题．对于②，当1＜k＜4且k≠时，曲线C是椭圆，则②是假命题．
根据双曲线定义与标准方程，③④是真命题．
【答案】 ③④
三、解答题
9．求与双曲线－＝1有相同焦点且过点P(2,1)的双曲线的方程．
【解】 ∵双曲线－＝1的焦点在x轴上．
依题意，设所求双曲线为－＝1(a>0，b>0)．
又两曲线有相同的焦点，
∴a2＋b2＝c2＝4＋2＝6.①
又点P(2,1)在双曲线－＝1上，
∴－＝1.②
由①、②联立，得a2＝b2＝3，
故所求双曲线方程为－＝1.
10．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．
【解】 (1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；
(2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；
(3)当k＜0时，方程为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；
(4)当0＜k＜1时，方程为＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；
(5)当k＞1时，方程为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．
11．某部队进行军事演习，一方指挥中心接到其正西、正东、正北方向三个观测点A，B，C的报告：正西、正北两个观测点同时听到了炮弹的爆炸声，正东观测点听到爆炸声的时间比其他两观测点晚4 s，已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m，试确定该枚炮弹的袭击位置．(声音的传播速度为340 m/s，相关各点均在同一平面内)．
【解】 如图，以指挥中心为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(－1 020,0)，B(1 020,0)，C(0,1 020)．
设P(x，y)为袭击位置，
则|PB|－|PA|＝340×4＜|AB|.
由双曲线定义，知点P在以A，B为焦点的双曲线的左支上，且a＝680，c＝1 020，
所以b2＝1 0202－6802＝5×3402.
所以双曲线方程为－＝1(x≤－680)．①
又|PA|＝|PC|，因此P在直线y＝－x上，
把y＝－x代入①式，得x＝－680.
所以P(－680，680)，|OP|＝680(m)．
故该枚炮弹的袭击位置在北偏西45°，距指挥中心680 m处.
一、选择题
1．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6,0)，则它的标准方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【解析】 设等轴双曲线方程为－＝1(a＞0)，
∴a2＋a2＝62，∴a2＝18，
故双曲线方程为－＝1.
【答案】 B
2．(2013·济南高二检测)对于方程－y2＝1和－y2＝λ(λ＞0且λ≠1)所表示的双曲线有如下结论：
(1)有相同的顶点；
(2)有相同的焦点；
(3)有相同的离心率；
(4)有相同的渐近线．
其中正确的是( )
A．(1)(4) B．(2)(4)
C．(3)(4) D．(4)
【解析】 对于方程－y2＝1，a＝2，b＝1，c＝；对于方程－y2＝λ，a′＝2，b′＝，c′＝，显然a′、b′、c′分别是a、b、c的倍，因此有相同的离心率和渐近线．
【答案】 C
3．双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r等于( )
A. B．2 C．3 D．6
【解析】 双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆心坐标为(3,0)，由题意知圆心到渐近线的距离等于圆的半径r，即r＝＝＝.
【答案】 A
4．已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是( )
A．4＋2 B.－1
C. D.＋1
【解析】 如图，设MF1的中点为P，由题意知MF1⊥PF2.
在Rt△PF1F2中，|PF2|＝|F1F2|·sin 60°＝2c·＝c.
|PF1|＝|F1F2|·cos 60°＝2c·＝c，
∵|PF2|－|PF1|＝2a，∴a＝c.
∴e＝＝＝＋1.
【答案】 D
5．已知m，n为两个不相等的非零实数，则方程mx－y＋n＝0与nx2＋my2＝mn所表示的曲线可能是( )
【解析】 方程可化为y＝mx＋n和＋＝1，从B、D中的两椭圆看，m、n∈(0，＋∞)，但B、D中m＜0，矛盾；A中双曲线m＜0，n＞0，但直线m＞0，矛盾，只有C吻合．
【答案】 C
二、填空题
6．(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为________．
【解析】 ∵c2＝m＋m2＋4，
∴e2＝＝＝5，
∴m2－4m＋4＝0，∴m＝2.
【答案】 2
7．(2013·玉溪高二检测)双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为________．
【解析】 由双曲线－＝1，
知a＝2，b＝2，c＝4，
∴焦点F1(－4,0)，F2(4,0)，
渐近线方程y＝±x.
由双曲线对称性，任一焦点到任一渐近线的距离都相等．
∴d＝＝2.
【答案】 2
8．过双曲线x2－＝1的左焦点F1，作倾斜角为的直线AB，其中A、B分别为直线与双曲线的交点，则|AB|的长为________．
【解析】 双曲线的左焦点为F1(－2,0)，
将直线AB方程：y＝(x＋2)代入双曲线方程，
得8x2－4x－13＝0.显然Δ＞0，
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴|AB|＝·
＝× ＝3.
【答案】 3
三、解答题
9．求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
【解】 将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，
即－＝1，
∴a＝3，b＝2，c＝，
因此顶点为A1(－3,0)，A2(3,0)，
焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，
离心率e＝＝，
渐近线方程：y＝±x＝±x.
10．双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝x，求双曲线的标准方程和离心率．
【解】 由椭圆＋＝1，知c2＝64－16＝48，且焦点在y轴上，
∵双曲线的一条渐近线为y＝x，
∴设双曲线方程为－＝1.
又c2＝2a2＝48，∴a2＝24.
∴所求双曲线的方程为－＝1.
由a2＝24，c2＝48，
得e2＝＝2，
又e>0，∴e＝.
11．已知双曲线C：－y2＝1，P是C上的任意一点．
(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
(2)设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值．
【解】 (1)证明 设P(x1，y1)是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是x－2y＝0和x＋2y＝0.
点P(x1，y1)到两条渐近线的距离分别是和，
它们的乘积是·＝＝.
∴点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数．
(2)设P的坐标为(x，y)，则|PA|2＝(x－3)2＋y2
＝(x－3)2＋－1＝(x－)2＋.
∵|x|≥2，∴当x＝时，|PA|2的最小值为，
即|PA|的最小值为
.
一、选择题
1．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【解】 抛物线准线y＝－1，由抛物线定义知，点A到焦点的距离等于到准线的距离为5.
【答案】 D
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A. B．1 C．2 D．4
【解析】 由抛物线的标准方程得准线方程为x＝－.
∵准线与圆相切，圆的方程为(x－3)2＋y2＝16，
∴3＋＝4，∴p＝2.
【答案】 C
3．(2013·海口高二检测)焦点在y轴上，且抛物线上一点A(m,3)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为( )
A．y2＝8x B．x2＝8y
C．y2＝－8x D．x2＝－8y
【解析】 设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，∵A(m,3)到焦点的距离为5，∴＋3＝5，∴p＝4，∴抛物线为x2＝8y.
【答案】 B
4．(2013·济南高二期末)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝( )
A．4 B．8 C．8 D．16
【解析】 由抛物线定义得|PF|＝|PA|，又由直线AF的斜率为－可知，∠PAF＝60°，
所以△PAF是等边三角形，
即|PF|＝|AF|＝＝8.
【答案】 B
5．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A. B．1 C. D.
【解析】 如图，设AB中点为P，分别为A，B，P向准线x＝－作垂线，垂足分别为A′，B′，P′.
则|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，
于是|PP′|＝＝＝.
故P到y轴的距离为|PP′|－＝－＝.
【答案】 C
二、填空题
6．(2013·金乡高二检测)抛物线y＝x2(a≠0)的焦点坐标为________．
【解析】 抛物线y＝x2的标准形式为x2＝ay，故焦点在y轴上，坐标为(0，)．
【答案】 (0，)
7．(2013·三明高二检测)以双曲线－＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程为________．
【解析】 由－＝1知a2＝4，b2＝5，
∴c2＝a2＋b2＝9，双曲线右焦点为(3,0)，
依题意，抛物线的焦点F(3,0)，＝3，∴p＝6，
∴抛物线方程为y2＝12x.
【答案】 y2＝12x
8．对标准形式的抛物线，给出下列条件；
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)
【解析】 抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为(，0)，过该焦点的直线方程为y＝k(x－)，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．
【答案】 ②④
三、解答题
9．求焦点在x轴上，且焦点在双曲线－＝1上的抛物线的标准方程．
【解】 由题意可设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，
则焦点为(，0)．
∵焦点在双曲线－＝1上，
∴＝1，求得m＝±4，
∴所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.
10．某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成，尺寸如图2－4－3所示，某卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3米，车与箱共高4.5米，问此车能否通过此隧道？说明理由．
图2－4－3
【解】 建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(－3，－3)，A(3，－3)．
设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，
将B点的坐标代入，得9＝－2p·(－3)，
∴p＝，∴抛物线方程为x2＝－3y(－3≤y≤0)．
∵车与箱共高4.5 m，
∴集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5 m.
设抛物线上点D的坐标为(x0，－0.5)，D′的坐标为(－x0，－0.5)，
则x＝－3×(－0.5)，解得x0＝±＝±.
∴|DD′|＝2|x0|＝＜3，故此时车不能通过隧道．
11．在抛物线y＝－x2上求一点M，使M点到焦点F的距离与到点A(1，－2)的距离之和最小．
【解】 由题意知A在抛物线内部，如图，设M是抛物线上任意一点，l是抛物线的准线，过M作MM1⊥l，垂足为M1，过A作AA1⊥l，垂足为A1，且交抛物线于点P，|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|≥|AA1|＝|PA|＋|PA1|＝|PF|＋|PA|.
即P点为所求，把x＝1代入得：y＝－1，故P(1，－1)．
一、选择题
1．顶点在原点，焦点是F(0,5)的抛物线方程是( )
A．y2＝20x B．x2＝20y
C．y2＝x D．x2＝y
【解析】 由题意＝5，∴p＝10，且焦点在y轴的正半轴上，顶点为原点，故抛物线的方程x2＝20y.
【答案】 B
2．(2013·佛山高二检测)P为抛物线y2＝2px的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|，|BB1|，|PP1|，则有( )
A．|PP1|＝|AA1|＋|BB1|
B．|PP1|＝|AB|
C．|PP1|＞|AB|
D．|PP1|＜|AB|
【解析】 如图所示，根据题意，PP′恰巧是梯形AA′B′B的中位线，故|PP1|＝|AB|.
【答案】 B
3．抛物线y＝ax2＋1与直线y＝x相切，则a等于( )
A. B. C. D．1
【解析】 由
消y得ax2－x＋1＝0.
∵直线y＝x与抛物线y＝ax2＋1相切，
∴方程ax2－x＋1＝0有两相等实根．
∴判别式Δ＝(－1)2－4a＝0，∴a＝.
【答案】 B
4．(2013·莆田高二检测)已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线方程得：，①－②得
(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2)
又∵y1＋y2＝4，∴＝＝＝k＝1，∴p＝2
∴所求抛物线的准线方程为x＝－1.
【答案】 B
5．(2011·课标全国卷)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上的一点，则△ABP的面积为( )
A．18 B．24 C．36 D．48
【解析】 不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，依题意，l⊥x轴，且焦点F(，0)，∵当x＝时，|y|＝p，
∴|AB|＝2p＝12，∴p＝6，
又点P到直线AB的距离为＋＝p＝6，
故S△ABP＝|AB|·p＝×12×6＝36.
【答案】 C
二、填空题
6．抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．
【解析】 设抛物线上点的坐标为(x，±)，此点到准线的距离为：x＋，到顶点的距离为，由题意有x＋＝，∴x＝，∴此点坐标为(，±)．
【答案】 (，±)
7．(2013·蒙阴高二检测)直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.
【解析】 当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k≠0时，联立方程消y得：k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1.
【答案】 0或1
8．线段AB是抛物线y2＝x的一条焦点弦，且|AB|＝4，则线段AB的中点C到直线x＋＝0的距离为________．
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由于|AB|＝x1＋x2＋p＝4，∴x1＋x2＝4－＝，
∴中点C(x0，y0)到直线x＋＝0的距离为x0＋＝＋＝＋＝.
【答案】
三、解答题
9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．
【解】 设所求抛物线的标准方程为
x2＝2py(p＞0)，设A(x0，y0)，由题知
M(0，－)．
∵|AF|＝3，∴y0＋＝3，
∵|AM|＝，
∴x＋(y0＋)2＝17，
∴x＝8，代入方程x＝2py0得，
8＝2p(3－)，解得p＝2或p＝4.
∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
10．已知点A(0，－2)，B(0,4)，动点P(x，y)满足·＝y2－8.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设(1)中所求轨迹与直线y＝x＋2交于C，D两点，求证：OC⊥OD(O为坐标原点)．
【解】 (1)由题意可得
·＝(－x，－2－y)·(－x,4－y)＝y2－8.
化简得x2＝2y.
(2)证明 将y＝x＋2代入x2＝2y中，得x2＝2(x＋2)，整理得x2－2x－4＝0，可知Δ＝4＋16＝20＞0.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝2，x1x2＝－4.因为y1＝x1＋2，y2＝x2＋2，所以y1y2＝(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝4.因为·＝x1x2＋y1y2＝0，所以OC⊥OD.
11．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
【解】 (1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝.又F(，0)，所以直线l的方程为y＝(x－)．
联立
消去y得x2－5x＋＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝5，
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，
所以|AB|＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知
|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3.
又准线方程是x＝－，所以M到准线的距离为3＋＝.
一、选择题
1．曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0与x轴的交点坐标是( )
A．(4,0)和(－1,0) B．(4,0)和(－2,0)
C．(4,0)和(1,0) D．(4,0)和(2,0)
【解析】 在曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0中，令y＝0，则x2－3x－4＝0，∴x＝－1或x＝4.
∴交点坐标为(－1,0)和(4,0)．
【答案】 A
2．(2013·蒙阴高二期末)方程(x2－4)(y2－4)＝0表示的图形是( )
A．两条直线 B．四条直线
C．两个点 D．四个点
【解析】 由(x2－4)(y2－4)＝0得(x＋2)(x－2)(y＋2)(y－2)＝0，所以x＋2＝0或x－2＝0或y＋2＝0或y－2＝0，表示四条直线．
【答案】 B
3．(2013·吉林高二检测)方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是( )
【解析】 ∵x＋|y－1|＝0，∴x≤0，应选B.
【答案】 B
4．到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是( )
A．x－y－1＝0 B．x－y＋1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
【解析】 与A、B两点距离相等的点在AB的垂直平分线上，即： k＝－＝－1且过AB的中点(3，－2)，
∴轨迹方程为y＋2＝－(x－3)，即x＋y－1＝0.
【答案】 C
5．如图所示，图形与方程对应正确的是( )
【解析】 A项不正确，因为x2＋y2＝1表示以原点为圆心，半径为1的圆，以方程x2＋y2＝1的解为坐标的点不都是曲线上的点，如(，－)适合方程x2＋y2＝1，但不在所给的曲线上；B项不正确，理由同上，如点(－1,1)适合x2－y2＝0，但不在所给的曲线上；C项不正确，因为曲线上的点的坐标不都是方程lg x＋lg y＝1的解；D项正确．
【答案】 D
二、填空题
6．“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是“方程f(x，y)＝0是曲线C的方程”的________条件．
【解析】 “方程f(x，y)＝0是曲线C的方程”?“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，反之不成立．
【答案】 必要不充分
7．方程·(x＋y＋1)＝0表示的几何图形是________．
【解析】 由方程得或x－3＝0，
即x＋y＋1＝0(x≥3)或x＝3.
【答案】 一条射线和一条直线
8．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________．
【解析】 设动点P(x，y)，
依题意|PA|＝2|PB|，
∴＝2，
化简得(x－2)2＋y2＝4，
方程表示半径为2的圆，
因此图形的面积S＝π· 22＝4π.
【答案】 4π
三、解答题
9．(2013·福州高二检测)已知方程x2＋(y－1)2＝10.
(1)判断点P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；
(2)若点M(，－m)在此方程表示的曲线上，求m的值．
【解】 (1)∵12＋(－2－1)2＝10，()2＋(3－1)2≠10，
∴点P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，而点Q(，3)不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上．
(2)若点M(，－m)在方程x2＋(y－1)2＝10所表示的曲线上，
则()2＋(－m－1)2＝10，
解之得m＝2或m＝－.
10．在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PM⊥y轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称，且·＝4，求动点P的轨迹方程．
【解】 由已知得M(0，y)，N(x，－y)，∴＝(x，－2y)，
∴·＝(x，y)·(x，－2y)＝x2－2y2，
依题意知，x2－2y2＝4，
因此动点P的轨迹方程为x2－2y2＝4.
11．过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
【解】 法一 设点M的坐标为(x，y)，
∵M为线段AB的中点，
∴A点的坐标为(2x,0)，B点的坐标为(0,2y)．
∵l1⊥l2，且l1、l2过点
P(2,4)，
∴PA⊥PB，即kPA·kPB＝－1，
而kPA＝＝(x≠1)，
kPB＝＝，
∴·＝－1(x≠1)，
整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)．
∵当x＝1时，A、B的坐标分别为(2,0)、(0,4)，
∴线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x＋2y－5＝0.
综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.
法二 设点M的坐标为(x，y)，则A、B两点的坐标分别是(2x,0)、(0,2y)，连结PM.
∵l1⊥l2，∴2|PM|＝|AB|.
而|PM|＝，
|AB|＝，
∴2＝，
化简，得x＋2y－5＝0，即为所求的点M的轨迹方程.
一、选择题
1．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是( )
A．m＞3 B．m＜－2
C．m＞3或m＜－2 D．m＞3或－6＜m＜－2
【解析】 ∵椭圆的焦点在x轴上，∴，
∴m＞3或－6＜m＜－2.
【答案】 D
2．(2013·菏泽高二测试)已知椭圆过点P(，－4)和点Q(－，3)，则此椭圆的标准方程是( )
A.＋x2＝1
B.＋y2＝1或x2＋＝1
C.＋y2＝1
D．以上都不对
【解析】 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
则∴
∴椭圆方程为x2＋＝1.
【答案】 A
3．(2013·西安高二检测)椭圆＋＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为( )
A．4 B．2
C．8 D.
【解析】 由＋＝1，知a＝5，
根据椭圆定义，|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，
∴|MF2|＝10－2＝8.
又O为F1F2中点，N为F1M中点，
∴ON为△MF1F2的中位线，所以|ON|＝|MF2|＝4.
【答案】 A
4．已知A(0，－1)、B(0,1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是( )
A.＋＝1(x≠±2) B.＋＝1(y≠±2)
C.＋＝1(x≠0) D.＋＝1(y≠0)
【解析】 ∵2c＝|AB|＝2，∴c＝1，∴|CA|＋|CB|＝6－2＝4＝2a，
∴顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆(A、B、C不共线)．因此，顶点C的轨迹方程＋＝1(y≠±2)．
【答案】 B
5．(2013·吉林松原高二期末)已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1、F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到x轴的距离为( )
A. B.
C. D.
【解析】 由·＝0，得MF1⊥MF2，可设||＝m，||＝n，在△F1MF2中，由m2＋n2＝4c2得(m＋n)2－2mn＝4c2，根据椭圆的定义有m＋n＝2a，所以2mn＝4a2－4c2，∴mn＝2b2，即mn＝2，∴S△F1MF2＝mn＝1.设点M到x轴的距离为h，则：
×|F1F2|×h＝1，又|F1F2|＝2，∴h＝.
【答案】 C
二、填空题
6．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
【解析】 由椭圆的定义知：|F2A|＋|F1A|＋|F2B|＋|F1B|＝4a＝20，∴|F1A|＋|F1B|＝|AB|＝20－12＝8.
【答案】 8
7．椭圆＋＝1的焦距是2，则m＝________.
【解析】 当焦点在x轴时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4，又2c＝2，∴c＝1，∴m－4＝1，∴m＝5；当焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，∴c2＝4－m＝1，∴m＝3.
【答案】 3或5
8．过点(－3,2)且与＋＝1有相同焦点的椭圆的方程是________．
【解析】 ∵c2＝9－4＝5，
∴设椭圆的方程为＋＝1.
∵点(－3,2)在椭圆上，
∴＋＝1，a2＝15.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
三、解答题
9．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点．设椭圆C上一点(，)到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．
【解】 ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4.
∴2a＝4，a2＝4
∵点(，)是椭圆上一点，
∴＋＝1，∴b2＝3，∴c2＝1，
∴椭圆C的方程为：＋＝1.
焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．
10．已知圆B：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1,0)，C为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹方程．
【解】 如图所示，连结AP，
∵l垂直平分AC，
∴|AP|＝|CP|，
∴|PB|＋|PA|＝|BP|＋|PC|＝4，
∴P点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．
∵2a＝4,2c＝|AB|＝2，
∴a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3.
∴点P的轨迹方程为＋＝1.
11．已知椭圆的焦点在x轴上，且焦距为4，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项．
(1)求椭圆的方程；
(2)若△PF1F2的面积为2，求P点坐标．
【解】 (1)由题意知，2c＝4，c＝2.
且|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝8，
即2a＝8，∴a＝4.
∴b2＝a2－c2＝16－4＝12.
又椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)设P点坐标为(x0，y0)，
依题意知，|F1F2||y0|＝2，
∴|y0|＝，y0＝±，
代入椭圆方程＋＝1，得x0＝±2，
∴P点坐标为(2，)或(2，－)或(－2，)或(－2，－)．
一、选择题
1．已知点(3,2)在椭圆＋＝1上，则( )
A．点(－3，－2)不在椭圆上
B．点(3，－2)不在椭圆上
C．点(－3,2)在椭圆上
D．无法判断点(－3，－2)，(3，－2)，(－3,2)是否在椭圆上
【解析】 因为椭圆＋＝1关于x轴、y轴，原点对称，而点(3,2)在椭圆上，故点(3，－2)、(－3,2)、(－3，－2)都在椭圆上．
【答案】 C
2．曲线＋＝1与＋＝1(0A．有相等的焦距，相同的焦点
B．有相等的焦距，不同的焦点
C．有不等的焦距，不同的焦点
D．以上都不对
【解析】 曲线＋＝1的焦距为2c＝8，而曲线＋＝1(0＜k＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B.
【答案】 B
3．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
【解析】 ∵c＝2，a2＝b2＋c2，
∴a2＝20＋b2.①
又a＋b＝10，②
由①②知，a＝6，b＝4，
∴焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1.
【答案】 A
4．(2013·天水高二检测)椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( )
A. B. C. D.
【解析】 由题意知a＝2c，∴e＝＝＝.
【答案】 A
5．我国于2007年10月24日成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球．嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆．若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为m，远地点到地心的距离为n，第二次变轨后两距离分别为2m,2n(近地点是指卫星距离地面最近的点，远地点是距离地面最远的点)，则第一次变轨前的椭圆的离心率与第二次变轨后的椭圆的离心率相比较( )
A．没变 B．变小 C．变大 D．无法确定
【解析】 由题意，第一次变轨前，
∴，
第二次变轨后，
∴∴＝.
【答案】 A
二、填空题
6．椭圆9x2＋y2＝36的短轴长为________．
【解析】 把椭圆化为标准方程得：＋＝1，∴b2＝4，b＝2，∴2b＝4.
【答案】 4
7．(2013·吉林高二检测)已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C、D的椭圆的离心率为________．
【解析】 如图，AB＝2c＝4，∵点C在椭圆上，∴CB＋CA＝2a＝3＋5＝8，∴e＝＝＝.
【答案】
8．(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．
【解析】 设椭圆方程为＋＝1，由e＝知＝，故＝.
由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，故a＝4.∴b2＝8.
∴椭圆C的方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
三、解答题
9．(1)求与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程；
(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程．
【解】 (1)∵c＝＝，
∴所求椭圆的焦点为(－，0)，(，0)．
设所求椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵e＝＝，c＝，∴a＝5，b2＝a2－c2＝20，
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)因椭圆的焦点在x轴上，
设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∵2c＝8，∴c＝4，
又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20.
∴椭圆的方程为＋＝1.
10．椭圆以直线3x＋4y－12＝0和两坐标轴的交点分别作顶点和焦点，求椭圆的标准方程．
【解】 直线3x＋4y－12＝0与两坐标轴的交点为(0,3)，(4,0)．
①若以(4,0)为焦点，即焦点在x轴上，
则c＝4，b＝3，a＝5.
∴椭圆的标准方程为＋＝1；
②若以(0,3)为焦点，即焦点在y轴上．
则c＝3，b＝4，a＝5，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
综上，椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
图2－2－3
11．如图2－2－3，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程．
【解】 (1)由∠F1AB＝90°及椭圆的对称性知b＝c，则e＝＝＝＝.
(2)由已知a2－b2＝1，设B(x，y)，A(0，b)，则＝(1，－b)，＝(x－1，y)，由＝2，即(1，－b)＝2(x－1，y)，解得x＝，y＝－，则＋＝1，得a2＝3，因此b2＝2，方程为＋＝1.
一、选择题
1．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是( )
A．－＜a＜ B．a＜－或a＞
C．－2＜a＜2 D．－1＜a＜1
【解析】 ∵点A(a,1)在椭圆＋＝1内部，
∴＋＜1.
∴＜.
则a2＜2，∴－＜a＜.
【答案】 A
2．(2013·潍坊高二检测)直线y＝k(x－2)＋1与椭圆＋＝1的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．相切 D．无法判断
【解析】 直线y＝k(x－2)＋1过定点P(2,1)，将P(2,1)代入椭圆方程，得＋＜1，∴P(2,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．
【答案】 B
3．已知椭圆＋＝1有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则此椭圆的焦点坐标是( )
A．(±，0) B．(0，±)
C．(±，0) D．(0，±)
【解析】 ∵直线x＋2y＝2过(2,0)和(0,1)点，
∴a＝2，b＝1，∴c＝，
椭圆焦点坐标为(±，0)．
【答案】 A
4．(2013·大庆高二检测)椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是( )
A. B.
C. D.
【解析】 联立方程组可得
?(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，
则x0＝＝，
y0＝1－x0＝1－＝.
∴kOP＝＝＝.故选A.
【答案】 A
5．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A．m≥1
B．m≥1或0＜m＜1
C．0＜m＜5且m≠1
D．m≥1且m≠5
【解】 由得(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0，
又直线与椭圆有公共点，
∴上述方程的Δ≥0对一切k都成立，
即(10k)2－4(m＋5k2)×5(1－m)≥0，
亦即5k2≥1－m对一切k都成立，
∴1－m≤0，即m≥1，而m≠5.
【答案】 D
二、填空题
6．已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A、B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________．
【解析】 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)，
由消去y，得3x2－4x＝0.
∴A(0，－1)，B(，)．
又由＋y2＝1知左焦点F1(－1,0)，
则|F1A|＋|F1B|＝＋＝.
【答案】
7．直线l交椭圆＋＝1于A、B两点，AB的中点为M(2,1)，则l的方程为________．
【解析】 由点差法求出kAB＝－，∴l的方程为y－1＝－(x－2)．
化简得：3x＋2y－8＝0.
【答案】 3x＋2y－8＝0
8．过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
【解析】 由已知可得直线方程为y＝2x－2，联立方程得
解得A(0，－2)，B(，)，
∴S△AOB＝·|OF|·|yA－yB|＝.
【答案】
三、解答题
图2－2－4
9．如图2－2－4所示，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
【解】 如图建立直角坐标系，则点P(11,4.5)，椭圆方程为＋＝1.
∵P(11,4.5)在椭圆上，
∴＋＝1.①
又b＝h＝6，代入①式，得a＝.
此时l＝2a＝≈33.3(米)，
因此隧道的拱宽约为33.3米．
10．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
【解】 (1)由题意得消y整理得：
5x2＋2mx＋m2－1＝0.
∵直线与椭圆有公共点，
∴Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2≥0，
∴－≤m≤.
(2)设直线与椭圆交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由(1)得
∴|AB|＝|x1－x2|＝·
＝·＝.
∵－≤m≤，∴0≤m2≤，
∴当m＝0时，|AB|取得最大值，此时直线方程为y＝x，即x－y＝0.
11．已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2＋3y2＝4上，C在直线l：y＝x＋2上，且AB∥l.
(1)当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
(2)当∠ABC＝90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．
【解】 (1)∵AB∥l，且AB边通过点(0,0)，
∴AB所在直线的方程为y＝x.
设A，B两点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
由得x＝±1，
∴|AB|＝|x1－x2|＝2，
又∵AB边上的高h等于原点到直线l的距离，
∴h＝，∴S△ABC＝|AB|·h＝2.
(2)设AB所在直线方程为y＝x＋m.
由得4x2＋6mx＋3m2－4＝0.
∵A，B在椭圆上，
∴Δ＝－12m2＋64＞0.
设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1·x2＝，
∴|AB|＝|x1－x2|＝.
又∵BC的长等于点(0，m)到直线l的距离，即|BC|＝.
∴|AC|2＝|AB|2＋|BC|2＝－m2－2m＋10＝－(m＋1)2＋11.
∴当m＝－1时，AC边最长．(这时Δ＝－12＋64＞0)
此时AB所在直线方程为y＝x－1.
