课件59张PPT。教师用书独具演示演示结束 空间向量的概念 大小 方向 长度(模) 1 长度为0 相同 相等 方向 长度 空间向量的线性运算 向量 共线向量与共面向量 互相平行或重合 共线向量 同一个平面 p＝x a＋y b 空间向量的有关概念 空间向量的线性运算 向量的共线及判定 向量共面问题 课时作业（十四） 教师用书独具课件57张PPT。教师用书独具演示演示结束 空间向量的夹角 垂直 空间向量的数量积及其性质 0 0 a·b a·b＋a·c 空间向量数量积的运算 利用数量积证明空间的垂直关系 利用数量积求两异面直线的夹角 利用数量积求距离(或线段长) 课时作业（十五） 教师用书独具课件56张PPT。教师用书独具演示演示结束 空间向量基本定理 p＝xa＋yb＋zc. 基底 空间向量的正交分解及其坐标表示 两两垂直的单位向量 e1，e2，e3 p＝x e1＋y e2＋z e3 p＝(x，y，z) 基底的概念与判断空间向量基本定理的应用 空间向量的坐标表示 课时作业（十六） 教师用书独具课件51张PPT。教师用书独具演示演示结束 空间向量线性运算的坐标表示 (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) 空间向量数量积的坐标表示及夹角公式 空间中两点间的距离公式 空间向量的坐标运算 利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题 利用向量的坐标运算求夹角与距离 课时作业（十七） 教师用书独具课件57张PPT。教师用书独具演示演示结束 直线的方向向量与平面的法向量 平行或共线的非零 方向向量无数空间中平行关系的向量表示 (a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2) a∥b a·u a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 u∥v (a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2) 求平面的法向量 利用空间向量证明线线平行 利用空间向量证明线面平行 课时作业（十八） 教师用书独具课件58张PPT。教师用书独具演示演示结束 线线垂直 a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 线面垂直 a∥u a＝ku (a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2) 面面垂直 u⊥v u·v＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 利用向量证明线线垂直 利用向量证明线面垂直 利用向量证明面面垂直 课时作业（十九） 教师用书独具课件61张PPT。教师用书独具演示演示结束 空间角的向量求法 |cos
| |cos| |cos| 求异面直线所成的角 求线面角 求二面角 课时作业（二十） 教师用书独具3．1空间向量及其运算
3．1.1 空间向量及其加减运算
3．1.2 空间向量的数乘运算
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
理解空间向量的概念，会用图形说明空间向量的线性运算及其运算律，初步应用空间向量的线性运算解决简单的立体几何问题．
2．过程与方法
学生通过类比平面向量的学习过程了解空间向量的研究内容和方法，经历向量及其运算由平面向空间的推广，体验数学概念的形成过程．
3．情感、态度与价值观
培养学生的空间观念和系统学习概念的意识．
●重点难点
重点：空间向量的概念及线性运算．
难点：共线向量、共面向量定理及推论的应用．
(教师用书独具)
●教学建议
由平面向量向空间向量的推广过程中，学生对于其相同点与不同点的理解有一定的困难，本节可采用的教学方式是通过问题启发引导学生自主完成概念的探究过程，紧紧围绕空间向量的概念及线性运算这一教学重点展开教学，并从教学过程的每个环节入手，多举实例，努力突破教学难点．
●教学流程
创设问题情境：观察正方体过同一顶点的三条棱所表示的向量与以前学习的向量有什么不同.????? 巩固向量共线、共面的条件，完成例3、例4及其变式训练，从而解决向量的共线、共面判断方法.??
课标解读
1.理解空间向量的概念．(难点)
2.掌握空间向量的线性运算．(重点)
3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点)
空间向量的概念
【问题导思】
观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的向量，，，它们和以前所学的向量有何不同？
【提示】 ，，是不同在一个平面内的向量，而我们以前所学的向量都在同一平面内.
名称
定义
空间向量
在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度(模)
单位向量
长度或模为1的向量
零向量
长度为0的向量
相等向量
方向相同且模相等的向量
相反向量
方向相反且长度相等的向量
空间向量的线性运算
【问题导思】
1．平面向量的加、减法满足怎样的运算法则？
【提示】 平面向量的加法满足三角形法则与平行四边形法则，减法满足三角形法则．
2．平面向量中，数乘向量怎样定义的？
【提示】 平面中，实数λ与向量a的乘积λa仍是一个向量，称为向量的数乘；当λ＞0时， λa与a方向相同，当λ＜0时，λa与a方向相反，λa的长度是a的长度的|λ|倍．
1．(1)空间向量的加、减法运算(如图3－1－1)
图3－1－1
＝＋＝a＋b；＝－＝a－b.
(2)运算律：①a＋b＝b＋a；
②(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
2．空间向量的数乘运算
(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
(2)运算律：①λ(a＋b)＝λa＋λb；②λ(μa)＝(λμ)a.
共线向量与共面向量
1.共线向量
(1)定义：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量；
(2)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.
2．共面向量
(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．
(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b.
推论 空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y；或对空间任一定点O，有＝＋x＋y.
空间向量的有关概念
给出下列命题：
①零向量没有确定的方向；
②在正方体ABCD—A1B1C1D1中，＝；
③若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反；
④在四边形ABCD中，必有＋＝.
其中正确命题的序号是________．
【思路探究】 (1)空间向量中，零向量是怎样定义的？(2)怎样判断两个向量相等？(3)四边形ABCD满足什么条件时，才有＋＝？
【自主解答】 ①正确；②正确，因为与的大小和方向均相同；③|a|＝|b|，不能确定其方向，所以a与b的方向不能确定；④中只有当四边形ABCD是平行四边形时，才有＋＝.
综上可知，正确命题为①②.
【答案】 ①②
1．在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同．
2．由于向量是由其模和方向确定的，因此解答空间向量有关概念问题时，通常抓住这两点来解决．
3．零向量是一个特殊向量，其方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．
下列命题是假命题的为________．
(1)空间向量中的两个单位向量必相等；
(2)若空间向量满足a∥b，b∥c，则a∥c；
(3)空间向量a、b满足a＝b，则|a|＝|b|；
(4)若空间向量a，b，c满足a＝b，b＝c，则a＝c.
【解析】 (1)单位向量模相等，方向不一定相同，故两单位向量不一定相等；(2)若b＝0，则结论不成立；(3)正确；(4)正确，相等向量满足传递性．
【答案】 (1)(2)
空间向量的线性运算
如图3－1－2所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC的三等分点(靠近A点)，N是A1D的三等分点(靠近D点)．设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.
图3－1－2
【思路探究】 →→
【自主解答】 ＝＋＋
＝－＋＋
＝－(＋)＋＋(－)
＝－(a＋b)＋c＋(b－c)
＝－a＋b＋c.
用已知向量表示未知向量，是向量线性运算的基础类型，解决这类问题，要注意两个方面：
(1)熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律．
(2)要注意数形结合思想的运用．
图3－1－3
如图3－1－3所示，已知空间四边形OABC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量.
【解】 ＝＋＝＋
＝＋(＋＋)＝＋(＋－＋)
＝＋[－＋(－)]
＝＋＋＝a＋b＋c.
向量的共线及判定
图3－1－4
如图3－1－4所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形．21教育网
【思路探究】 (1)与共线吗？怎样证明？
(2)||与||相等吗？
【自主解答】 ∵E，H分别是AB、AD的中点，
∴＝，＝，
则＝－
＝－＝
＝(－)＝(－)
＝(－)＝，
∴∥且||＝||≠||.
又F不在直线EH上，
∴四边形EFGH是梯形．
1．本题利用向量的共线证明了线线平行，解题时应注意向量共线与两直线平行的区别．
2．判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．
图3－1－5
如图3－1－5，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是C1D1、AB的中点，E在AA1上且AE＝2EA1，F在CC1上且CF＝FC1，判断与是否共线？
【解】 由题意：＝＋＋＝＋＋＝－＋＋＝＋＝＝－，即＝－，∴与共线.
向量共面问题
已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝＋＋.(1)判断，，三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内．
【思路探究】 (1)是否存在实数x、y，使＝x＋y？
(2)如何证明四点共面？
【自主解答】 如图：
(1)由已知，得＋＋＝3，
∴－＝(－)＋(－)．
∴＝＋＝－－.
∴向量，，共面．
(2)由(1)知，向量，，共面，表面三个向量的有向线段又过同一点M，
∴M，A，B，C四点共面．∴点M在平面ABC内．
1．证明空间三个向量共面，常用如下方法：
①设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若a＝xb＋yc，则向量a、b、c共面；
②寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．
2．对空间四点P、M、A、B可通过证明下列结论成立来证明四点共面：
①＝x＋y；
②对空间任一点O，＝＋x＋y；
③对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；
④∥(或∥，或∥)．
如图3－1－6，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分
图3－1－6
别为BB1和A1D1的中点，证明：向量、、共面．
【证明】 ＝＋＋＝－＋
＝(＋)－
＝－，
由向量共面的充要条件知，、、是共面向量.
混淆向量共线与直线平行致误
图3－1－7
如图3－1－7所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，且它们所在的平面不共面，M、N分别是AC、BF的中点，求证CE∥MN.
【错解】 ∵M，N分别是AC，BF的中点，又四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，
∴＝＋＋＝＋＋，
又∵＝＋＋＋
＝－＋－－，
∴＋＋＝－＋－－，
∴＝＋2＋＝2(＋＋)，
∴＝2，∴∥，即CE∥MN.
【错因分析】 证明空间图形中两直线平行，可以先用向量法证明两直线的方向向量平行，然后说明一条直线上有一点不在另一条直线上，推得直线平行；不能由向量平行直接得出直线平行．
【防范措施】 若两个非零向量共线，则这两个向量所在的直线可能平行，也可能重合，空间中任意两个向量都是共面的，这些概念，一定要准确理解，以免出错．
【正解】 证明∥的方法同上．
∵C不在MN上，∴CE∥MN.
1．空间向量的线性运算法则与平面向量相同，在空间向量的加法运算中，如下事实常帮助我们简化运算：
(1)首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和；
(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.
2．利用向量的数乘运算可以判定两个向量共线、三个向量共面问题，进而解决几何中的点共线、点共面、线面平行等问题.
1．下列说法正确的是( )
A．若|a|＜|b|，则a＜b
B．若a、b为相反向量，则a＋b＝0
C．空间内两平行向量相等
D．四边形ABCD中，－＝
【解析】 向量的模有大小，但向量不能比较大小，A错；相反向量的和为0，不是0，B错；相等向量满足模相等，方向相同两个条件，平行向量不一定具备，C错；D正确．
【答案】 D
2．对于空间中任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是( )
A．共面向量
B．共线向量
C．不共面向量
D．既不共线也不共面向量
【解析】 由共面向量定理易得答案A.
【答案】 A
3．(a＋2b)－3(a－b)＝________.
【解析】 原式＝a＋2b－3a＋3b＝－2a＋5b.
【答案】 －2a＋5b
4．如图3－1－8，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，M为AC′的中点．化简下列各式．
图3－1－8
(1)－；
(2)＋＋；
(3)＋－.
【解】 (1)－＝＋＝＋＝；
(2)＋＋＝；
(3)＋－＝＋＋＝(＋＋)＝＝.
一、选择题
1．如图3－1－9所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则等于( )
图3－1－9
A．a＋b－c B．a－b＋c
C．－a＋b＋c D．－a＋b－c
【解析】 如题图＝－＝－(＋)＝b－(a＋c)＝－a＋b－c.
【答案】 D
2．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A、B、D B．A、B、C
C．B、C、D D．A、C、D
【解析】 ＝＋＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b，＝－＝－a－2b，
∴＝－2，
∴与共线，又它们经过同一点B，
∴A、B、D三点共线．
【答案】 A
3．(2013·厦门高二检测)A、B、C不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P、A、B、C四点( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．不共面 B．共面
C．不一定共面 D．无法判断
【解析】 ∵＋＋＝1，
∴点P、A、B、C四点共面．
【答案】 B
4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为的是( )
①(－)－；②(＋)－；
③(－)－2；④(－)＋.
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
【解析】 对于①(－)－＝－＝；
对于②(＋)－＝－＝＋＝；
③④化简结果不为.
【答案】 A
5．(2013·佛山高二检测)如图3－1－10，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则( )
图3－1－10
A.＋＋＝0
B.－－＝0
C.＋－＝0
D.－＋＝0
【解析】 由图观察，、、平移后可以首尾相接，故有：＋＋＝0.
【答案】 A
二、填空题
6．平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，用、、表示＝________.
【解析】 ＝－＝－(＋＋)＝－－＝－－.
【答案】 －－
7．(2013·临沂高二期末)设e1、e2是空间两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A、B、D三点共线，则k＝________.
【解析】 ∵＝＋＝(－e1－3e2)＋(2e1－e2)＝e1－4e2
又∵A、B、D三点共线，∴＝λ，
即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)
∴∴k＝－8.
【答案】 －8
8．已知两非零向量e1、e2，且e1与e2不共线，若a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________．
①a与e1共线；②a与e2共线；③a与e1，e2共面．
【解析】 当λ＝0时，a＝μe2，故a与e2共线，同理当μ＝0时，a与e1共线，由a＝λe1＋μe2知，a与e1、e2共面．
【答案】 ①②③
三、解答题
9．已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点．求下列各式中x、y的值．
(1)＝＋x＋y；
(2)＝x＋y＋.
【解】
如图所示，
(1)∵＝－
＝－(＋)
＝－－，
∴x＝y＝－.
(2)∵＋＝2，∴＝2－.
又∵＋＝2，∴＝2－.
从而有＝2－(2－)＝2－2＋.
∴x＝2，y＝－2.
10．如图3－1－11所示，在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，请判断与＋是否共线？21·cn·jy·com
图3－1－11
【解】 与＋共线，连结AC，取AC中点G，连结EG、FG，∴＝，＝.
又∵、、共面，
∴＝＋＝＋＝(＋)．
即与＋共线．
11．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知BE＝BB1，DF＝DD1，CG＝CC1，那么A，E，G，F四点是否共面？www-2-1-cnjy-com
【解】 由题意知＝＋，
＝＝＋＝＋.
∴＝＋＝＋＋＋＝＋.
又，不共线，
∴A，E，G，F四点共面．
(教师用书独具)
求证：平行六面体的对角线相交于一点，并且在交点处互相平分．
已知：六面体ABCD—A′B′C′D′为平行六面体．
求证：对角线A′C，D′B，B′D和AC′相交于一点O，且点O为A′C，D′B，B′D和AC′的中点．
【自主解答】 如图所示，在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，
设点O是AC′的中点，
则＝＝(＋＋)，
设P，M，N分别是BD′，CA′，DB′的中点，
则＝＋＝＋
＝＋(＋＋)
＝＋(－＋＋)
＝(＋＋)．
同理可证＝(＋＋)，
＝(＋＋)．
由此可知O，P，M，N四点重合．
故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分．
求证：四面体中连结对棱中点的三条直线交于一点且互相平分．
已知：如图所示，在四面体ABCD中，E、F、G、H、P、Q分别是所在棱的中点．求证：EF、GH、PQ相交于一点O，且O为它们的中点．
【证明】 ∵E、G分别为AB、AC的中点，∴EG綊BC.
同理，HF綊BC，∴EG綊HF.
从而四边形EGFH为平行四边形，故其对角线EF、GH相交于一点O，且O为它们的中点．连结OP、OQ，只要能证明向量＝－，就可以说明P、O、Q三点共线且O为PQ的中点．
事实上，＝＋，＝＋.
∵O为GH的中点，∴＋＝0.
又∵GP綊CD，QH綊CD，
∴＝，＝.
∴＋＝＋＋＋＝0.
∴＝－.
故PQ经过O点，且O为PQ的中点．
∴EF、GH、PQ相交于一点O，且O为它们的中点．
3．1.3 空间向量的数量积运算
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；掌握空间向量的数量积及其运算律．
2．过程与方法
通过利用两个向量的数量积公式解决立体几何中的一些简单问题、体会类比和归纳的数学思想．
3．情感、态度与价值观
激发学生的学习热情和求知欲，培养严谨的学习态度以及空间想象的能力．
●重点难点
重点：空间向量的夹角，数量积的概念、计算方法及其应用．
难点：空间向量数量积的几何意义以及立体几何问题的转化．
(教师用书独具)
●教学建议
为了突破重点、化解难点，使学生能达到本节课设定的教学目标，教学时应注意以下几点：
(1)本节属于概念教学，可采用以语言传递信息、分析概念的讲授法．
(2)本节涉及到一些比较抽象的概念，可以借助多媒体，利用三维动态演示，来提高学生对概念的理解．
(3)在重点和难点上，采用举例的方法来提高学生的实际解题能力．
(4)通过知识对比来加强学生的知识迁移能力，顺便加强对已学过知识的复习．
●教学流程
?????探究异面直线的夹角与向量夹角的关系，完成例3及其变式训练，从而掌握利用数量积求夹角问题.??
课标解读
1.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法．
2.掌握空间向量数量积及运算律．(重点)
3.能用空间向量的数量积解决立体几何问题．(难点)
空间向量的夹角
【问题导思】
图3－1－12
如图3－1－12等边三角形ABC中，、的夹角是60°吗？
【提示】 不是．根据平面向量夹角的定义，、的夹角应为120 °.
图3－1－13
1．夹角的定义
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．【出处：21教育名师】
2．夹角的范围
空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量垂直，记作a⊥b.
空间向量的数量积及其性质
【问题导思】
1．平面向量的数量积a·b的结果怎样？这一结果是向量还是数量？
【提示】 a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉，结果为一数量．
2．平面向量的数量积满足怎样的运算律？
【提示】 交换律与分配律．
1．已知空间中两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.规定：零向量与任何向量的数量积为0，即0·a＝0. 21*cnjy*com
2．空间向量数量积满足下列运算律：
(1)(λa)·b＝λ(a·b)；
(2)交换律：a·b＝b·a；
(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
3．空间向量数量积的性质：
若a、b是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则
(1)e·a＝a·e＝|a| cos θ；
(2)a⊥b?a·b＝0；
(3)a·a＝|a|2或|a|＝；
(4)若θ为a、b的夹角，则cos θ＝；
(5)|a·b|≤|a|·|b|.
空间向量数量积的运算
图3－1－14
如图3－1－14，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点．求下列向量的数量积：
(1)·；(2)·；
(3)·；(4)·.
【思路探究】 题中所涉及到的向量的模是多少？每小题中两个向量的夹角怎么求？
【自主解答】 (1)在空间四边形ABCD中，||＝||＝a，且〈，〉＝60°，
∴·＝a·acos 60 °＝a2；
(2)||＝a，||＝a，〈，〉＝60°，
∴·＝a2cos 60°＝a2；
(3)||＝a，||＝a，
又∵∥，〈，〉＝π，
∴·＝a2cos π＝－a2；
(4)∵||＝a，||＝a，∥，
∴〈，〉＝〈，〉＝60°，
∴·＝a2cos 60°＝a2.
1．求两向量数量积的解题思路：
(1)解出两向量的模．
(2)根据向量的方向求出两向量的夹角．
(3)使用公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉得结果．
2．数量积的运算结果是一个数量，正、负、零皆有可能．
已知空间向量a，b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角为150°，求下列各式的值．
(1)a·b；(2)(a＋2b)·(2a－3b)．
【解】 (1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝4×8×cos 150°＝4×8×(－)＝－16.
(2)(a＋2b)·(2a－3b)＝2a2＋a·b－6b2
＝2|a|2＋|a||b|cos 150°－6|b|2＝2×42－16－6×82＝－352－16.
利用数量积证明空间的垂直关系
已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点，求证，OG⊥BC.2·1·c·n·j·y
【思路探究】 (1)你能用、、分别表示向量与吗？
(2)如何用向量证明⊥？
【自主解答】
连结ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|.
又＝(＋)
＝[＋(＋)]
＝(a＋b＋c)，
＝c－b.
∴·＝(a＋b＋c)·(c－b)
＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)
＝(|a|2·cos θ－|a|2·cos θ－|a|2＋|a|2)＝0.
∴⊥，即OG⊥BC.
用向量法证明垂直关系的步骤是：
(1)把几何问题转化为向量问题；
(2)用已知向量表示所证向量；
(3)结合数量积公式和运算律证数量积为0；
(4)将向量问题回归到几何问题．
图3－1－15
如图3－1－15，空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC.
求证：OA⊥BC.
【证明】 ∵OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，
∴△OAC≌△OAB.
∴∠AOC＝∠AOB.
∵·＝·(－)＝·－·＝||||cos ∠AOC－||||cos ∠AOB＝0，
∴⊥.
∴OA⊥BC.
利用数量积求两异面直线的夹角
图3－1－16
如图3－1－16，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求1与夹角的大小．
【思路探究】 (1)怎样用向量、、1表示向量1与？
(2)求两向量的夹角公式是怎样的？
【自主解答】 不妨设正方体的棱长为1，
1·＝(＋1)·(＋)
＝(＋1)·(＋)
＝·＋2＋1·＋1·
＝0＋2＋0＋0＝2＝1，
又∵|1|＝，||＝，
∴cos 〈，〉＝＝＝.
∵〈1，〉∈ [0°，180°]，
∴〈1，〉＝60°.
∴1与夹角的大小为60 °.
1．由于向量的夹角的取值范围为[0，π]，而异面直线所成的角的取值范围为(0，]，因此利用向量数量积求异面直线所成的角时，要注意角度之间的关系．当〈a·b〉∈ (0，]时，它们相等；而当〈a，b〉∈ (，π]时，它们互补．
2．利用数量积求异面直线所成角θ的余弦值的步骤：
①取向量；②求向量夹角余弦cos 〈a，b〉；③定结果cos θ＝|cos〈a，b〉|.
图3－1－17
如图3－1－17所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．
【解】 由题意知＝－，
∴·＝·－·
＝||||cos 〈，〉－||||cos 〈，〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16，
∴cos 〈，〉＝＝
＝，
∴OA与BC所成角的余弦值为.
利用数量积求距离(或线段长)
图3－1－18
如图3－1－18所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α于A，线段BD⊥AB于B，线段DD′⊥α于D′，如果∠DBD′＝30°，AB＝a，AC＝BD＝b，求C，D间的距离．
【思路探究】 (1)可以用图上哪些向量表示？这些向量的模，夹角分别是多少？(2)用什么方法求得||?
【自主解答】 ∵AC⊥α，∴AC⊥AB，∵∠DBD′＝30°，∴〈，〉＝60°，
∴||2＝(＋＋)2＝||2＋|AB|2＋||2＋2(·＋·＋·)＝b2＋a2＋b2＋2(0＋b2cos 60°＋0)＝a2＋3b2.
∴||＝，
即C、D间的距离为.
1．利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算．
2．用数量积求两点间距离的步骤：
(1)用向量表示此距离；
(2)用其他向量表示此向量；
(3)用公式a·a＝|a|2，通过向量运算求|a|；
(4)|a|即为所求距离．
图3－1－19
如图3－1－19所示，在?ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求线段PC的长．
【解】 ∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AD，PA⊥DC，
因此·＝0，·＝0，
又∵＝＋＋.
∴||2＝(＋＋)2
＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·
＝62＋42＋32＋2||||cos 120°
＝61－12＝49.
∴||＝7，即线段PC＝7.
混淆向量与实数的运算性质致误
已知a、b都是非零向量，且向量a＋3b与7a－5b垂直，向量a－4b与7a－2b垂直，求向量a、b的夹角．
【错解】 由题意得
即
两式相减得46a·b－23b2＝0，即b·(2a－b)＝0，
∴b＝0(不合题意，舍去)，或2a－b＝0，
由2a－b＝0知a与b共线，且a与b方向相同，
∴a与b的夹角为0°.
【错因分析】 向量的运算性质与实数不同，若b·(2a－b)＝0不一定有a＝0或2a－b＝0，本题在此处误当作实数运算而导致了错误。
【防范措施】 在实数运算中，若ab＝0，则a＝0或b＝0，如果a、b换为向量a、b，这一性质不成立，解题时要格外注意，以防错误．
【正解】 由题意得
即
两式相减得46a·b－23b2＝0，
∴b2＝2a·b，代入7a2＋16a·b－15b2＝0，
得a2＝2a·b，
∴a2＝b2＝2a·b，
设a与b的夹角为θ，
∴cos θ＝＝＝，
∴向量a与b的夹角为60°.
1．因为空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角定义、数量积的意义与性质都与平面向量相同．
2．求空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角，证明两向量垂直可转化为两个向量的数量积为零；求线段的长度可转化为用数量积的求模公式|a|＝；求异面直线的夹角的关键是在两直线上构造向量，使用夹角公式解决.
1．下列运算错误的是( )
A．(μ a)·a＝μ a2
B．a·b＝b·a
C．a·(b＋c)＝a·b＋a·c
D．(a·b)·c＝a·(b·c)
【解析】 由空间向量数量积的运算性质可知，A、B、C正确，D错误．
【答案】 D
2．已知边长为2的正三角形ABC中，·＝( )
A．2 B．－2 C．4 D．－4
【解析】 ∵||＝||＝2，〈，〉＝60°，∴·＝||·||·cos 60°＝2×2×＝2.
【答案】 A
3．已知向量a＝－3b，则〈a，b〉＝________.
【解析】 ∵a＝－3b，∴a、b共线且反向，故〈a，b〉＝180°.
【答案】 180°
4．已知|a|＝2，|b|＝3，且a、b夹角为，c＝3a＋2b，d＝λa－b，若c⊥d，求λ的值．
【解】 ∵|a|＝2，|b|＝3且〈a，b〉＝.
∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9，a·b＝0.
又∵c⊥d即(3a＋2b)·(λa－b)＝0.
∴3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0.
∴12λ－18＝0，∴λ＝.
一、选择题
1．设a、b、c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：
①(a·b)c－(c·a)b＝0；
②|a|＝；
③a2b＝b2a；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中正确的有( )
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【解析】 由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中|a|2·b＝|b|2·a不一定成立，④运算正确．
【答案】 D
2．(2013·西安高二检测)已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，由a与b的夹角〈a，b〉＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不对
【解析】 ∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|c|2，∴a·b＝，∴cos〈a，b〉＝＝.
【答案】 D
3．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
【解析】
如图所示，设＝a，＝b，＝c，
∵·＝(a－b)·(c－b)
＝a·c－b·c－a·b＋b2
＝b2>0.
同理·>0，·>0.
∴∠CBD，∠BCD，∠BDC均为锐角．
【答案】 B
4．正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为2，E、F分别是AB、A1C1的中点，则EF的长是( )
A．2 B.
C. D.
【解析】 如图，＝＋＋，且||＝||＝1，|AA1|＝2，·＝0，·A1F＝0，〈，〉＝120°，∴2＝||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝1＋4＋1－1＝5，∴||＝5，即EF的长为.
【答案】 C
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题：
①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③与的夹角为60°；④正方体的体积为|··|.
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 如图所示，
(＋＋)2＝(＋＋)2
＝2＝32；·(－)＝·＝0；与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60°，故与的夹角为120°；正方体的体积为||||||.综上可知，①②正确，故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．已知空间四边形ABCD，则·＋·＋·＝________.
【解析】 ·＋·＋·
＝·(－)＋(－)·＋(－)·(－)＝0.
【答案】 0
7．(2013·吉林高二检测)已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|＝________.
【解析】 |2a－3b|2＝(2a－3b)2＝4a2－12a·b＋9b2
＝4×|a|2＋9×|b|2－12×|a|·|b|·cos 60°＝61，
∴|2a－3b|＝.
【答案】
8．(2013·蒙阴高二期末)已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则使向量a＋λb与λa－2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．
【解析】 由题意知
即?λ2＋2λ－2<0
∴－1－<λ<－1＋.
【答案】 (－1－，－1＋)
三、解答题
图3－1－20
9．在空间四边形OABC中(如图3－1－20)，OA⊥BC，OB⊥AC.求证：OC⊥AB.
【证明】 由已知得⊥，⊥，
∴·＝0，
·＝0，
·(－)＝0，
·(－)＝0.
∴·＝·，·＝·，
∴·－·＝0，(－)·＝0，·＝0.
∴OC⊥AB.
图3－1－21
10．如图3－1－21所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E1，F1分别在A1B1，C1D1上，且E1B1＝A1B1，D1F1＝D1C1，求BE1与DF1所成角的余弦值．
【解】 设＝4a，＝b，
则|a|＝|b|，且a⊥b，
由题意知||2＝||2＝(4a)2＋b2＝17a2，
·＝(4a＋b)·(4a－b)＝15a2，
∴cos〈，〉＝＝.
∴BE1与DF1所成角的余弦值为.
11．如图3－1－22所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D间的距离．
图3－1－22
【解】 ∵∠ACD＝90°，∴·＝0.
同理·＝0.∵AB与CD成60°角，
∴〈，〉＝60°或120°.
又∵＝＋＋，
∴||2＝·＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·
＝3＋2×1×1×cos〈，〉
＝
∴||＝2或，即B，D间的距离为2或.
(教师用书独具)
如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD.
【自主解答】 设＝a，A1D1＝b，＝c.
则a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0.
而＝＋＝＋(＋)＝c＋(a＋b)，
＝－＝b－a，
＝＋＝(＋)＋＝(a＋b)－c.
∴·＝(c＋a＋b)·(b－a)
＝c·(b－a)＋(a＋b)·(b－a)
＝c·b－c·a＋(b2－a2)
＝(|b|2－|a|2)＝0.
∴⊥.
∴A1O⊥BD.
同理可证⊥.
∴A1O⊥OG.
又OG∩BD＝O且A1O?面BDG，
∴A1O⊥面GBD.
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心．求证：B1O⊥平面PAC.www.21-cn-jy.com
【证明】 连结DB，令＝a，＝b，＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，
则＝＋＝a＋b，＝－＝a－b，
＝＋＝a－b＋c.
·＝(a＋b)·(a－b＋c)＝0，
∴⊥，即AC⊥OB1.
又＝＋＝b＋c，
∴·＝(a－b＋c)·(b＋c)＝0.
∴⊥，即OB1⊥AP.
∵AP∩AC＝A，
∴OB1⊥平面ACP.
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量．
2．过程与方法
通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。
3．情感、态度与价值观
通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质．
●重点难点
重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握用基底表示已知空间向量．
难点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．
(教师用书独具)
●教学建议
本节内容从空间向量的正交分解出发，学习空间最重要的基础定理——空间向量分解定理，这个定理是立体几何数量化的基础，有了这个定理，空间结构变得简单明了，整个空间被三个不共面的向量所确定，空间一个点或一个向量和实数组(x，y，z)建立起一一对应的关系．为了突出重点、突破难点，在教学中宜采取了以下策略：
为了充分调动学生学习的积极性，采用“学、研、导、练”模式，培养学生的创新精神，使学生在解决问题的同时，形成方法．另外恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设情境激发学生的学习兴趣．
本节课通过类比平面向量基本定理及坐标表示，推广到空间向量，让学生体会类比、推广思想，加深对向量的理解；让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力．
●教学流程
创设情景，提出问题能否用已知基向量表示平行六面体中向量？???????
课标解读
1.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．(重点)
2.理解空间向量基本定理的意义．(难点)
空间向量基本定理
【问题导思】
图3－1－23
1．如图3－1－23所示平行六面体中，若＝a，＝b，＝c，能否用a，b，c表示向量？
【提示】 ＝a＋b＋c.
2．在图中任找一向量p，是否都能用a，b，c来表示？
【提示】 是．
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.
其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.
空间向量的正交分解及其坐标表示
【问题导思】
图3－1－24
1．如图3－1－24正方体的棱长为3，向量如何用向量e1、e2、e3(e1、e2、e3为棱AB、AD、AD1上的单位向量)表示？
【提示】 ＝＋＋＝3e1＋3e2＋3e3.
2．基底{e1，e2，e3}与图3－1－23中的基底{a，b，c}有何不同？
【提示】 e1、e2、e3为单位向量且相互垂直．
1．有公共起点O的三个两两垂直的单位向量e1、e2、e3称为单位正交基底．
2．以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.
3．空间向量的坐标表示
对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝x e1＋y e2＋z e3.把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z).
基底的概念与判断
设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一个基底的向量组有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路探究】 (1)能作为空间一基底的向量组应满足什么条件？(2)能否构造图形，利用平行四面体中棱与面上的对角线所对应向量的关系来直观判断？
【自主解答】 如图所示，令a＝，b＝，c＝，
则x＝，y＝，z＝，
a＋b＋c＝AC1.由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，故选C.
【答案】 C
1．判断一组向量能否作为空间向量的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．
2．判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．
已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是( )
A．2a B．2b
C．2a＋3b D．2a＋5c
【解析】 ∵2a＝p＋q,2b＝p－q,2a＋3b＝p－q，∴2a与p、q,2b与p，q,2a＋3b与p、q都共面不能构成空间一基底，只有D可以．
【答案】 D
空间向量基本定理的应用
四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示：，，，.
【思路探究】 (1)所求向量分别在哪个三角形中？(2)怎样用向量的线性运算表达所求向量？
【自主解答】 连结BO，则＝＝(＋)＝(＋＋)＝(c－b－a)＝－a－b＋c.
＝＋＝－a＋＝－a＋(＋)＝－a－b＋c.
＝＋＝＋＋(＋)＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c.
＝＝＝a.
1．本题考查空间向量基本定理的应用，注意结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，再对照目标及基底{a，b，c}，将所求向量反复分拆，直到全部可以用基底表示为止．
2．空间中任意一向量均可用一组不共面的向量来表示，只要基底确定，这一向量用基底表达的形式是唯一的．
图3－1－25
如图3－1－25所示，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，设＝a，＝b，AA1＝c，P是CA1的中点，M是CD1的中点．用基底{a，b，c}表示如下向量：
(1)；(2).
【解】 连结AC，AD1
(1)＝(＋)＝(＋＋)＝(a＋b＋c)．
(2)＝(＋)＝(＋2＋)＝a＋b＋c.
空间向量的坐标表示
图3－1－26
如图3－1－26，在直三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标．
【思路探究】 根据图形，建立怎样的坐标系？如何表示向量，，的坐标？
【自主解答】 ∵CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，且CA＝CB＝1，CC1＝2，∴以{，，}为单位正交基底建立空间坐标系Cxyz，如图所示
∴＝－＝＋－＝－＋，
∴的坐标为(1，－1,1)，
而＝－＝－＋，
∴的坐标为(1，－1,2)．
又∵A1B＝－，∴A1B的坐标为(－1,1，－2)．
1．建立空间直角坐标系，必须牢牢抓住相交于同一点的两两垂直的三条直线，要在题目中找出或构造出这样
的三条直线，因此要充分利用题目中所给的垂直关系，即线线垂直、线面垂直、面面垂直，要使尽可能多的点落在坐标轴上，尽可能多的线段平行于坐标轴，有直角的把直角边放在坐标轴上．
2．求空间向量的坐标一般步骤：
(1)建系：根据图形特征建立空间直角坐标系；
(2)运算：综合利用向量的加减及数乘运算；
(3)定结果：将所求向量用已知的基底向量表示出来确定坐标．
图3－1－27
在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，在如图3－1－27所示的空间直角坐标系中，求、的坐标．
【解】 ∵＝－＝－(＋)
＝－[＋(＋)]＝－－－.
又||＝||＝4，||＝4，||＝2，
∴＝(－2，－1，－4)．
∵＝－＝－(＋)
＝－－.
又||＝2，||＝4，||＝4，∴＝(－4,2，－4).
用错线段的关系式致误
(2013·烟台高二检测)已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，设＝a，＝b，＝c，则用基底{a，b，c}表示为＝________.
【错解】 ∵N为BC的中点，∴＝(＋)．又∵＝2，∴＝，∴＝－＝(＋)－＝b＋c－a.
【答案】 b＋c－a
【错因分析】 由OM＝2MA，误以为M为线段OA的中点，得＝，导致本题错误．
【防范措施】 用基底表示已知向量时，不但要熟练向量的线性运算法则，还要充分借助几何直观，尤其注意线段长度的关系、向量的方向，以防失误．
【正解】 ∵N为BC的中点，∴＝(＋)．又OM＝2MA，则＝，∴＝－＝(＋)－＝b＋c－a.
【答案】 b＋c－a
1．空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，任一向量可由基底唯一表示．
2．向量的坐标是在单位正交基底下向量的表示，表示时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算.
1．下列结论错误的是( )
A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面
B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底则这两个向量共面
C．若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底
D．若，，不能构成空间的一个基底，则O、A、B、C四点共面
【解析】 由基底的概念可知A、B、D正确，对于C，因为满足c＝λa＋μb，所以a、b、c共面，不能构成基底，故错误．
【答案】 C
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CDD1C1的中心，且＝＋m－n，则( )
A．m＝，n＝－
B．m＝－，n＝－
C．m＝－，n＝
D．m＝，n＝
【解析】 根据空间向量基本定理，有＝＋＋
∴m＝，n＝－.
【答案】 A
3．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k，则向量a，b的坐标分别是________．
【答案】 (3,2，－1)，(－2,4,2)
图3－1－28
4．已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F分别为BB1和DC的中点，建立如图3－1－28的空间直角坐标系，试写出E、F点的坐标．
【解】 E(2,2,1)，F(0,1,0).
一、选择题
1．(2013·莆田高二检测)设命题p：a，b，c是三个非零向量；命题q：{a，b，c}为空间的一个基底，则命题p是命题q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 由空间基底的概念知，pq，但q?p，故p是q的必要不充分条件．
【答案】 B
2．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是( )
A．向量的坐标与点B的坐标相同
B．向量的坐标与点A的坐标相同
C．向量与向量的坐标相同
D．向量与向量－的坐标相同
【解析】 因为A点不一定为坐标原点，所以A不对，B、C都不对，由于＝－，故D正确．
【答案】 D
3．点A(－1,2,1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为( )
A．(－1,0,1)，(－1,2,0)
B．(－1,0,0)，(－1,2,0)
C．(－1,0,0)，(－1,0,0)
D．(－1,2,0)，(－1,2,0)
【解析】 点A在x轴上的投影点的横坐标不变，纵、竖坐标都为0，在xOy面上的投影点横、纵坐标不变，竖坐标为0，故应选B.
【答案】 B
图3－1－29
4．在空间四边形OABC中，G是△ABC的重心，若＝a，＝b，OC＝c，则等于( )
A.a＋b＋c
B.a＋b＋c
C．a＋b＋c
D．3a＋3b＋3c
【解析】 ∵G是△ABC的重心，∴＝＝·(＋)＝(＋－2)，
∴＝＋＝(＋＋)＝a＋b＋c.
【答案】 A
5．正方体ABCD—A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{1，2，3}为基底，＝x1＋y＋z3，则x，y，z的值是( )
A．x＝y＝z＝1 B．x＝y＝z＝
C．x＝y＝z＝ D．x＝y＝z＝2
【解析】 ＝＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝＋＋＝＋＋，
由空间向量的基本定理，x＝y＝z＝1.
【答案】 A
二、填空题
6．(2013·东营高二检测)设{i，j，k}是空间向量的单位正交基底，a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k，则向量a与b的位置关系是________．
【解析】 ∵a·b＝－6i2＋8j2－2k2＝－6＋8－2＝0.
∴a⊥b.
【答案】 a⊥b
图3－1－30
7．(2013·北京高二检测)如图3－1－30, 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则＝________.
【解析】 ＝－
＝(＋)－(＋)＝－＋－＝－a＋b－c.
【答案】 －a＋b－c
8．(2013·金华高二检测)已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1,3)，其中a＝4i＋2j，b＝2j＋3k，c＝3k－j，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为________．
【解析】 由题意知点A对应向量为2a＋b＋3c＝2(4i＋2j)＋(2j＋3k)＋3(3k－j)＝8i＋3j＋12k，21·世纪*教育网
∴点A在基底{i，j，k}下的坐标为(8,3,12)．
【答案】 (8,3,12)
三、解答题
9．已知{e1，e2，e3}为空间一基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，能否以，，作为空间的一个基底？
【解】 假设，，共面，
根据向量共面的充要条件有：＝x＋y，
即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)
＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.
∴此方程组无解．
∴，，不共面．
∴{，，}可作为空间的一个基底．
图3－1－31
10．如图3－1－31，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＝－，＝，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.
【解】 连结AN，则＝＋.
由已知可得ABCD是平行四边形，从而可得
＝＋＝a＋b，
＝－＝－(a＋b)，
又＝－＝b－c，
故＝＋＝－＝－＝b－(b－c)，
＝＋＝－(a＋b)＋b－(b－c)＝(－a＋b＋c)．
11．已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，M，N分别是AB、PC的中点，并且PA＝AD＝1，求向量、的坐标．
【解】 如图所示，因为PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，所以可设＝e1，＝e2，＝e3.
以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系Axyz.
因为＝＋＋＝＋＋
＝＋＋(＋＋)
＝－e2＋e3＋(－e3－e1＋e2)＝－e1＋e3，
∴＝(－，0，)，＝(0,1,0)．
(教师用书独具)
(2013·广州高二检测)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点E，F分别在线段A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图所示)．
(1)试求向量的坐标；
(2)求证：EF∥BD1.
【自主解答】 (1)∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，根据题意知{，，}为单位正交基底，设＝i，＝j，＝k，∴向量可用单位正交基底{i，j，k}表示，∵＝＋＋，与共线，与共线，∴设＝λ，＝μ，则＝λ＋＋μ＝λ(＋)＋＋μ(－)
＝(λ＋μ)＋(1－μ)＋λ
＝(λ＋μ)i＋(1－μ)j＋λk，
∵EF⊥A1D，EF⊥AC，即⊥，⊥，
∴·＝0，·＝0，
又＝－i－k，＝－i＋j，
∴
整理得
即解得
∴＝i＋j－k，
∴的坐标是(，，－)．
(2)∵＝＋＝－i－j＋k，
∴＝－，即与共线，
又EF与BD1无公共点，∴EF∥BD1.
如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰当的基底向量证明：
(1)EG∥AC；
(2)平面EFG∥平面AB′C.
【证明】 取基底{，，}，
(1)因为＝＋
＝＋，＝＋＝2，
所以EG∥AC.
(2)因为＝＋＝＋，
＝＋＝2，
所以FG∥，由(1)知EG∥AC，
所以平面EFG∥平面AB′C.
3.1.5 空间向量运算的坐标表示
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
掌握空间向量的坐标运算规律、平行向量坐标表示．
2．过程与方法
通过空间坐标系的建立和空间向量坐标运算规律的探索，发展学生的空间想象能力、探究能力，进一步熟悉类比、由一般到特殊、由直觉猜想到推理论证等思维方法，提高学生的科学思维素养．
3．情感、态度与价值观
通过教师的引导、学生探究，激发学生求知欲望和学习兴趣，使学生经历数学思维全过程，品尝到成功的喜悦．
●重点难点
重点：体会空间直角坐标系，空间点的坐标，学会空间向量的坐标表示与运算．
难点：空间向量坐标的确定，掌握空间向量模、夹角等的计算．
(教师用书独具)
●教学建议
本节课学习之前，学生已掌握了平面向量坐标运算及规律，并学会了空间向量的几何形式及其运算，数学基础较为扎实，学习上具备了一定观察、分析、解决问题的能力，但在探究问题的内部联系和内在发展上还有所欠缺，所以要通过教师的引导，学生的自主探索，不断地完善自我的认知结构．
本节课可通过降维、由特殊到一般、多媒体动态演示、现实模型辅助理解等手段多角度确定向量坐标；通过例题的探究和变式训练突破知识应用的难点；强化合作探究，适当运用多媒体教学设备．
●教学流程
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课标解读
1.掌握空间向量的坐标运算，会判定两向量共线或垂直．(重点)
2.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，能运用这些知识解决相关问题．(难点、易错点)
空间向量线性运算的坐标表示
【问题导思】
1．已知向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，如何表示a＋b，a－b，λa?
【提示】 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)，a－b＝(a1－b1，a2－b2)，λa＝(λa1，λa2)．
2．如果a∥b(b≠0)，则a、b坐标满足什么关系？
【提示】 a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2.
空间向量线性运算的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
(1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；
(2)a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；
(3)λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)；
(4)b≠0，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3.
空间向量数量积的坐标表示及夹角公式
【问题导思】
1．已知向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，如何用坐标表示a·b?
【提示】 a·b＝a1b1＋a2b2.
2．用向量的数量积运算还能解决向量中的哪些方面的问题？
【提示】 求向量的模、夹角等．
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
(1)a·b＝_a1b1＋a2b2＋a3b3；
(2)|a|＝＝；
(3)a≠0，b≠0，
cos?a，b?＝＝；
(4)a≠0，b≠0，a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
空间中两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则
(1)＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；
(2)dAB＝||＝.
空间向量的坐标运算
已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1,2,1)，(1,3,4)，(0，－1,4)，(2，－1，－2)．若p＝，q＝，求下列各式的值：
(1)p＋2q；(2)3p－q；(3)(p－q)·(p＋q)；(4)cos〈p，q〉．
【思路探究】 (1)已知两点的坐标，怎样表示由这两点构成的向量的坐标？(2)向量的加、减、数乘、数量积的坐标运算的法则是怎样的？
【自主解答】 由于A(－1,2,1)，B(1,3,4)，C(0，－1,4)，D(2，－1，－2)，所以p＝＝(2,1,3)，q＝＝(2,0，－6)．
(1)p＋2q＝(2,1,3)＋2(2,0，－6)
＝(2,1,3)＋(4,0，－12)＝(6,1，－9)．
(2)3p－q＝3(2,1,3)－(2,0，－6)
＝(6,3,9)－(2,0，－6)＝(4,3,15)．
(3)(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝|p|2－|q|2
＝(22＋12＋32)－(22＋02＋62)＝－26.
(4)cos〈p，q〉＝
＝
＝＝－.
1．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
2．在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)．求：
(1)a＋b；(2)a－b；(3)a·b；
(4)2a·(－b)；(5)(a＋b)·(a－b)．
【解】 (1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)
＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)；
(2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)
＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2,0，－6)；
(3)a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)
＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7；
(4)∵2a＝(4，－2，－4)，
∴(2a)·(－b)＝(4，－2，－4)·(0,1，－4)
＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14；
(5)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8.
利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题
已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.
(1)若|c|＝3，且c∥，求向量c；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值；
(3)若λ(a＋b)＋μ(a－b)与z轴垂直，求λ，μ所满足的关系式．
【思路探究】 ―→―→
【自主解答】 (1)∵c∥，∴c＝m＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)，
∴|c|＝＝3|m|＝3，
∴m＝±1，
∴c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)．
(2)由题意知ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，
∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，
∴k＝2或k＝－，即ka＋b与ka－2b互相垂直时，实数k的值为2或－.
(3)由题意知a＋b＝(0,1,2)，a－b＝(2,1，－2)，
∴λ(a＋b)＋μ(a－b)＝(2μ，λ＋μ，2λ－2μ)．
由题意知(2μ，λ＋μ，2λ－2μ)·(0,0,1)＝2λ－2μ＝0，
即当λ，μ满足λ－μ＝0时，可使λ(a＋b)＋μ(a－b)与z轴垂直．
向量平行与垂直问题主要有两种题型，(1)平行与垂直的判断；(2)利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用．解题时要注意：①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的．
(2013·厦门高二检测)已知a＝(λ＋1,1,2λ)，b＝(6,2m－1,2)．
(1)若a∥b，分别求λ与m的值；
(2)若|a|＝，且与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a.
【解】 (1)由a∥b，得
(λ＋1,1,2λ)＝k(6,2m－1,2)，
∴解之得
∴实数λ＝，m＝3.
(2)∵|a|＝，且a⊥c，
∴
化简，得解之得λ＝－1.
因此，a＝(0,1，－2).
利用向量的坐标运算求夹角与距离
在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的中点，建立空间直角坐标系，用向量方法解下列问题．
(1)求直线AO1与B1E所成角的余弦值；
(2)作O1D⊥AC于D，求点O1到点D的距离．
【思路探究】 →→
→→
【自主解答】 建立如图所示空间直角坐标系Oxyz.
(1)由题意得A(2,0,0)，O1(0,0,2)，B1(2,3,2)，
E(1,3,0)．
∴＝(－2,0,2)，＝(－1,0，－2)．
∴cos〈，〉＝＝－.
∴AO1与B1E所成角的余弦值为.
(2)由题意得⊥，∥.
∵C(0,3,0)，设D(x，y,0)，
∴＝(x，y，－2)，＝(x－2，y,0)，＝(－2,3,0)．
∴解得
∴D(，，0)．
∴|O1D|＝||＝＝.
1．解答本题时不要误认为直线AO1与B1E所成角的余弦值是－.
2．空间向量的数量积应用很广泛，其主要用途有：
(1)求向量的模|a|＝；
(2)求角，利用公式cos〈a·b〉＝；
(3)证明垂直a·b＝0?a⊥b.
棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别是DD1、BD、BB1的中点．
(1)求证：EF⊥CF；
(2)求EF与GC所成角的余弦值；
(3)求CE的长．
【解】 以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则D(0,0,0)，E(0,0，)，C(0,1,0)，F(，，0)，G(1,1，)，
∴＝(，，－)，＝(，－，0)，
＝(1,0，)，＝(0，－1，)，
(1)·＝×＋×(－)＋(－×0)＝0，
∴⊥，即EF⊥CF.
(2)·＝×1＋×0＋(－)×()＝，
||＝＝，
||＝＝，
∴cos〈，〉＝＝＝.
(3)||＝＝.
忽略向量的方向致误
在△ABC中，已知＝(2,4,0)，＝(－1，3,0)，则∠ABC＝________.
【错解】 ∵＝(2,4,0)，＝(－1,3,0)
∴cos〈，〉＝＝＝.
∴∠ABC＝45°.
【答案】 45°
【错因分析】 以上解答的错误是忽视向量的方向，事实上，∠ABC的大小不是向量、的夹角，而是向量、的夹角．
【防范措施】 在利用向量求角时一定要注意向量的方向，若与的夹角为θ，则与的夹角为π－θ.
【正解】 ∵＝(－2，－4,0)，＝(－1,3,0)，
∴cos〈，〉＝＝＝－.
∴∠ABC＝135°.
【答案】 135°
1．空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似，只是多了对竖坐标的运算．
2．利用空间向量的坐标运算可以判断两个向量的平行、垂直；可以求向量的模以及两个向量的夹角．
3．几何中的平行和垂直可以利用向量进行判断，利用直线的方向向量的关系可以证明直线的平行和垂直；距离、夹角问题可以借助于空间直角坐标系利用数量积解决．
1．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则下列结论正确的是( )
A．a＋b＝(10，－5，－6) B．a－b＝(2，－1，－6)
C．a·b＝10 D．|a|＝6
【解析】 易验证A、B、C均不正确．
|a|＝＝6，可知D正确．
【答案】 D
2．与向量a＝(1,2,3)，b＝(3,1,2)都垂直的向量为( )
A．(1,7,5) B．(1，－7,5)
C．(－1，－7,5) D．(1，－7，－5)
【解析】 只有C答案中向量与a，b的数量积为0.
【答案】 C
3．已知a＝(－2，－1,3)，b＝(－1,3，－2)，a，b的夹角为θ，则θ＝________.
【解析】 cos θ＝＝＝－，∴θ＝120°.
【答案】 120°
4．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，且p＝a－b，q＝a＋2b－c，求p，q，p·q.
【解】 p＝(1,1,0)－(0,1,1)＝(1,0，－1)，
q＝(1,1,0)＋2(0,1,1)－(1,0,1)＝(0,3,1)，
p·q＝(1,0，－1)·(0,3,1)＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.
一、选择题
1．(2013·济宁高二检测)已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b＝( )
A．(2，－4,2) B．(－2,4，－2)
C．(－2,0，－2) D．(2,1，－3)
【解析】 b＝a－(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．
【答案】 A
2．(2013·荆州高二检测)设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|的值为( )
A. B. C. D.
【解析】 AB的中点M(2，，3)，∴＝(2，，3)，故|CM|＝||＝ ＝.
【答案】 C
3．已知向量a＝(－2，x,2)，b＝(2,1,2)，c＝(4，－2,1)，若a⊥(b－c)，则x的值为( )
A．－2 B．2
C．3 D．－3
【解析】 ∵b－c＝(－2,3,1)，a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，∴x＝－2.
【答案】 A
4．点A(n，n－1,2n)，B(1，－n，n)，则||的最小值是( )
A. B.
C．2 D．不存在
【解析】 ∵＝(1－n,1－2n，－n)，
∴||2＝(1－n)2＋(1－2n)2＋n2＝6(n－)2＋，
当n＝时，||的最小值为.
【答案】 B
5．(2013·临沂高二检测)已知a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)，则向量a＋b与a－b的夹角是( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
【解析】 a＋b＝(cos α＋sin α，2，sin α＋cos α)，a－b＝(cos α－sin α，0，sin α－cos α)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
【答案】 A
二、填空题
6．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为________．
【解析】 ∵＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)，
∴||＝3，||＝，
·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，
∴cos?，?＝＝，
∴?，?＝60°.
【答案】 60°
7．已知a＝(λ＋1,0,2λ)，b＝(b,2μ－1,2)，且a∥b，则λ＋μ＝________.
【解析】 ∵a∥b，a＝tb.
于是解之可得
故λ＋μ＝＋＝.
【答案】
8．(2013·济南高二检测)若＝(－4,6，－1)，＝(4,3，－2)，|a|＝1，且a⊥，a⊥，则a＝________.
【解析】 设a＝(x，y，z)，由题意有，代入坐标可解得：或
【答案】 (，，)或(－，－，－)
三、解答题
9．已知3a－2b＝(－2,0,4)，c＝(－2,1,2)，a·c＝2，|b|＝4，求cos〈b，c〉．
【解】 (3a－2b)·c＝3a·c－2b·c＝(－2,0,4)·(－2,1,2)＝12，
又a·c＝2，∴b·c＝－3，由c＝(－2,1,2)知|c|＝3.
∴cos〈b，c〉＝＝＝－.
10．已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2,2)．
(1)求|2a＋b|；
(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点)
【解】 (1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，
故|2a＋b|＝＝5.
(2)＝＋＝＋t＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，
若⊥b，则·b＝0，
所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，
解得t＝，
因此存在点E，使得⊥b，E点坐标为(－，－，)．
图3－1－32
11．已知正方体ABCD－A1B1C1D1用向量法解：
(1)求A1B和B1C的夹角；
(2)证明：A1B⊥AC1；
(3)求AC1的长度．
【解】 (1)以D为原点，，，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Dxyz.
设棱长为1，则A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，
∴＝(0,1，－1)，＝(－1,0，－1)，
∴·＝(0,1，－1)·(－1,0，－1)
＝0＋0＋1＝1.
||＝＝，
||＝＝.
∴cos〈，〉＝＝.
∵〈，〉∈[0°，180°]，
∴A1B与B1C夹角为60°.
(2)由(1)知＝(0,1，－1)，＝(－1,1,1)，
∴·＝0＋1－1＝0，
∴A1B⊥AC1.
(3)∵＝(－1,1,1)，
∴||＝＝.
即AC1的长度为.
(教师用书独具)
(1)已知向量x与向量a＝(2，－1,2)共线，且a·x＝－18，求向量x；
(2)已知空间A、B、C三点的坐标分别为(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求一点P，使＝(－)．
【自主解答】 (1)∵向量x与a共线，∴x＝ka.
∵a·x＝－18，
∴a·ka＝－18，即k|a|2＝－18.
∴9k＝－18，k＝－2.
故x＝(－4,2，－4)．
(2)设点P(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)．
又(－)＝＝(3，，－2)．
∴x－2＝3，y＋1＝，z－2＝－2.
∴x＝5，y＝，z＝0.
故点P的坐标为(5，，0)．
设a＝(1，－2,4)，求同时满足下列条件的向量x：①x⊥a；②|x|＝10；③x在yOz平面上．
【解】 由条件③，可设x＝(0，y，z)，再由条件①②得
解得或
∴x＝(0,4，2)或x＝(0，－4，－2).3.2立体几何中的向量方法
第1课时 空间向量与平行关系
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，能用向量方法判断有关直线和平面平行关系的立体几何问题．
2．过程与方法
通过用向量方法解决立体几何中的平行问题的过程，体会向量运算的几何意义．
3．情感、态度与价值观
引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣．
●重点难点
重点：用向量方法判断有关直线和平面平行关系问题．
难点：空间直角坐标系的正确建立，空间向量的运算及其坐标表示；用向量语言证明立体几何中有关平行关系的问题．
(教师用书独具)
●教学建议
在“以生为本”理念的指导下，充分体现课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，构建学生主动的学习活动过程．在教学策略上宜采用“复习引入——推进新课——归纳与总结——反思”组成的探究式教学策略，并使用计算机多媒体作为辅助教具，提高课堂效率．本节课难点在于用向量证明平行关系，所以利用多媒体帮助分散难点，更符合学生的认知规律．同时在教学中注意关注整个过程和全体学生，“以学生发展为核心”，充分调动学生积极参与教学过程的每个环节．
●教学流程
创设问题情境，在两条平行线上取两向量，它们的位置关系如何？???????
课标解读
1.掌握直线的方向向量、平面的法向量的概念及求法．(重点)
2.熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．(重点、难点)
直线的方向向量与平面的法向量
【问题导思】
图3－2－1
1．如图3－2－1，直线l∥m，在直线l上取两点A、B，在直线m上取两点C、D，向量与有怎样的关系？
【提示】 ∥.
2．如图直线l⊥平面α，直线l∥m，在直线m上取向量n，则向量n与平面α有怎样的关系？
【提示】 n⊥α.
直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．
直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.
空间中平行关系的向量表示
线线平行
设两条不重合的直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m?a∥b?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)
线面平行
设l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α?a·u＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
面面平行
设α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β?u∥v?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)
求平面的法向量
图3－2－2
已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系．
(1)求平面ABCD与平面SAB的一个法向量．
(2)求平面SCD的一个法向量．
【思路探究】 (1)根据图形特点，如何建立坐标系更方便？(2)怎样求平面的法向量？题中所要求的三个平面的法向量在求解时方法是否相同？
【自主解答】 以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的坐标系，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D(，0,0)，S(0,0,1)．
(1)∵SA⊥平面ABCD，∴＝(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量．
∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB，
∴＝(，0,0)是平面SAB的一个法向量．
(2)在平面SCD中，＝(，1,0)，＝(1,1，－1)．
设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥.
所以得方程组∴
令y＝－1得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1)．
1．若一个几何体中存在线面垂直关系，则平面的垂线的方向向量即为平面的法向量．
2．一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下：
(1)设出平面的法向量为n＝(x，y，z)．
(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量
a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．
(3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组
(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量．
3．在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组有无数多个解，只需给x，y，z中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量．
正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图3－2－3所示的空间直角坐标系中，求：
图3－2－3
(1)平面BDD1B1的一个法向量．
(2)平面BDEF的一个法向量．
【解】 设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)
(1)连AC，因为AC⊥平面BDD1B1，所以＝(－2,2,0)为平面BDD1B1的一个法向量．
(2)＝(2,2,0)，＝(1,0,2)．
设平面BDEF的一个法向量为n＝(x，y，z)．
∴ ∴ ∴
令x＝2得y＝－2，z＝－1.
∴n＝(2，－2,1)即为平面BDEF的一个法向量.
利用空间向量证明线线平行
长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求证：EF∥AC1.
【思路探究】 (1)你能写出EF、AC1的方向向量吗？(2)两直线的方向向量满足什么条件则说明它们平行？
【自主解答】 如图所示，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则得下列各点的坐标：A(a,0,0)，C1(0，b，c)，E(a，b，c)，F(a，，c)．
∴＝(－，，)，＝(－a，b，c)，
∴＝.
又FE与AC1不共线，
∴直线EF∥AC1.
利用向量法证明线线平行的方法与步骤：
图3－2－4
如图3－2－4所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．
【证明】 以点D为坐标原点，分别以，，为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，E(0,0，)，C1(0,1,1)，F(1,1，)，
∴＝(－1,0，)，＝(－1，0，)，＝(0,1，)，＝(0,1，)，∴＝，＝，
∴∥，∥，
又∵F?AE，F?EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF，
∴四边形AEC1F是平行四边形.
利用空间向量证明线面平行
图3－2－5
如图3－2－5，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，求证：AB1∥平面DBC1.
【思路探究】 →→
【自主解答】 以A为坐标原点建立空间直角坐标系．
设正三棱柱的底面边长为a(a>0)，侧棱长为b(b>0)，
则A(0,0,0)，B(a，，0)，B1(a，，b)，C1(0，a，b)，D(0，，0)，
∴＝(a，，b)，＝(－a,0,0)，
＝(0，，b)．
设平面DBC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则∴
不妨令y＝2b，则n＝(0,2b，－a)．
由于·n＝ab－ab＝0，因此⊥n.
又AB1?平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1.
利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：
方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示．
方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．
方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明方向向量与平面的法向量垂直．
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点．
求证：CE∥平面C1E1F.
【证明】 以D为原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图．
设BC＝1，则C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E1(1，，2)．
设平面C1E1F的法向量为n＝(x，y，z)，
∵＝(1，－，0)，＝(－1,0,1)，
∴
即取n＝(1,2,1)．
∵＝(1，－1,1)，n·＝1－2＋1＝0，
∴⊥n，且?平面C1E1F.
∴CE∥平面C1E1F.
向量法证明空间平行关系
图3－2－6
(12分)如图3－2－6，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．
求证：FH∥平面EDB.
【思路点拨】 先通过推理证明FH⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系，再设证明、、共面．
【规范解答】 ∵四边形ABCD是正方形，
∴AB⊥BC，又EF∥AB，
∴EF⊥BC.
又EF⊥FB，
∴EF⊥平面BFC.
∴EF⊥FH，∴AB⊥FH.2分
又BF＝FC，H为BC的中点，
∴FH⊥BC.
∴FH⊥平面ABC.4分
以H为坐标原点，为x轴正方向，为z轴正方向．
建立如图所示的空间直角坐标系．
设BH＝1，
则B(1,0,0)，D(－1，－2,0)，E(0，－1,1)，F(0,0,1).6分
∴＝(0,0,1)，＝(－1，－1,1)，＝(－2，－2，0)，
设＝λ·＋μ·＝λ·(－1，－1,1)＋μ(－2，－2,0)＝(－λ－2μ，－λ－2μ，λ)8分
∴(0,0,1)＝(－λ－2μ，－λ－2μ，λ)，
∴，解得
∴＝－10分
∴向量，，共面．
又HF不在平面EDB内，
∴HF∥平面EDB.12分
【思维启迪】 1.建立空间直角坐标系，通常需要找出三线两两垂直或至少找到线面垂直的条件．
2．证明时，要注意空间线面关系与向量关系的联系与区别，注意所运用定理的条件要找全．
1．利用向量解决立体几何问题的“三步曲”：
(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)；
(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．
2．证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系；也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明．
1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A．(1,2,3) B．(1,3,2)
C．(2,1,3) D．(3,2,1)
【解析】 ＝(2,4,6)＝2(1,2,3)．
【答案】 A
2．下列各组向量中不平行的是( )
A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)
B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)
C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)
D．g＝(－2,3,5)，h＝(16,24,40)
【解析】 ∵b＝(－2，－4,4)＝－2(1,2，－2)＝－2a，∴a∥b，同理：c∥d，e∥f.
【答案】 D
3．设平面α内两向量a＝(1,2,1)，b＝(－1,1,2)，则下列向量中是平面α的法向量的是( )
A．(－1，－2,5) B．(－1,1，－1)
C．(1,1,1) D．(1，－1，－1)
【解析】 平面α的法向量应当与a、b都垂直，可以检验知B选项适合．
【答案】 B
4．根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系：
(1)直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)；
(2)平面α，β的法向量分别是u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9，0)；
(3)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(1，－4，－3)，u＝(2,0,3)．
【解】 (1)∵a·b＝1×8＋(－3)×2＋(－1)×2＝0，∴l1⊥l2.
(2)∵v＝(－3，－9,0)＝－3(1,3,0)＝－3μ，∴α∥β.
(3)∵a、u不共线，∴l不与α平行，也不在α内．
又∵a·u＝－7≠0，∴l与α不垂直．
故l与α斜交.
一、选择题
1．(2013·吉林高二检测)l1的方向向量为v1＝(1,2,3)，l2的方向向量v2＝(λ，4,6)，若l1∥l2，则λ＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 ∵l1∥l2，∴v1∥v2，则＝，∴λ＝2.
【答案】 B
2．(2013·青岛高二检测)若＝λ＋μ，则直线AB与平面CDE的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．在平面内 D．平行或在平面内
【解析】 ∵＝λ＋μ，∴、、共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内．
【答案】 D
3．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是( )2-1-c-n-j-y
A．(1，－1,1) B．(1,3，)
C．(1，－3，) D．(－1,3，－)
【解析】 对于B，＝(－1,4，－)，
则n·＝(3,1,2)·(－1,4，－)＝0，
∴n⊥，则点P(1,3，)在平面α内．
【答案】 B
4．已知A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的一个法向量的单位向量是( )
A．(1,1,1)
B．(，，)
C．(，，)
D．(，，－)
【解析】 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，＝(0，－1,1)，＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，则∴x＝y＝z，
又∵单位向量的模为1，故只有B正确．
【答案】 B
图3－2－7
5．如图3－2－7，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则( )
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥平面DCC1D1；
④A1M∥平面D1PQB1.
以上正确说法的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 ＝＋＝＋，＝＋＝＋，∴∥，所以A1M∥D1P，由线面平行的判定定理可知，A1M∥面DCC1D1，A1M∥面D1PQB1.①③④正确．
【答案】 C
二、填空题
6．(2013·泰安高二检测)已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，，2)，且l∥α，则m＝________.
【解析】 ∵l∥α，∴l的方向向量与α的法向量垂直，
∴(2，m,1)·(1，，2)＝2＋m＋2＝0，∴m＝－8.
【答案】 －8
7．已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，点P(x，－1,3)在平面ABC内，则x＝________.
【解析】 ＝(－2,2，－2)，＝(－1,6，－8)，＝(x－4，－2,0)，由题意知A、B、C、P共点共面，∴＝λ＋μ＝(－2λ，2λ，－2λ)＋(－μ，6μ，－8μ)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)．
∴∴而x－4＝－2λ－μ，∴x＝11.
【答案】 11
8．下列命题中，正确的是________．(填序号)
①若n1，n2分别是平面α，β的一个法向量，则n1∥n2?α∥β；
②若n1，n2分别是平面α，β的一个法向量，则α⊥β ?n1·n2＝0；
③若n是平面α的一个法向量，a与平面α共面，则n·a＝0；
④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．
【解析】 ②③④一定正确，①中两平面有可能重合．
【答案】 ②③④
三、解答题
图3－2－8
9．已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点(如图3－2－8所示)，并且＝k，＝k，＝k，＝＋m，＝＋m.
求证：(1)A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；
(2)∥；
(3)＝k.
【解】 (1)由＝＋m，＝＋m，知A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面．
(2)∵＝＋m＝－＋m(－)
＝k(－)＋km(－)＝k＋km
＝k(＋m)＝k，
∴∥.
(3)由(2)知＝－＝k－k
＝k(－)＝k.
∴＝k.
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：是平面A1D1F的法向量．
【证明】 设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，E(1,1，)，D1(0,0,1)，F(0，，0)，A1(1,0,1)，＝(0,1，)，
＝(0，，－1)，＝(－1,0,0)．
∵·＝(0,1，)·(0，，－1)
＝－＝0，
又·＝0，
∴⊥，⊥.
又A1D1∩D1F＝D1，
∴AE⊥平面A1D1F，
∴是平面A1D1F的法向量．
图3－2－9
11．如图3－2－9，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点，证明：直线MN∥平面OCD.
【证明】 作AP⊥CD于点P.如题图分别以AB、AP、AO所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
A(0,0,0)，B(1,0,0)，P(0，，0)，D(－，，0)，O(0,0,2)，M(0,0,1)，N(1－，，0).＝(1－，，－1)，
＝(0，，－2)，＝(－，，－2)．
设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0，n·＝0.
即，取z＝，则y＝4，x＝0，
得n＝(0,4，)．
∵·n＝(1－，，－1)·(0,4)＝0，
∴MN∥平面OCD.
(教师用书独具)
如图所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP＝2，D是AP的中点，E、F、G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD.试用向量方法证明AP∥平面EFG.
【自主解答】 如图，以D为原点，
以、、为方向向量建立空间直角坐标系Dxyz，则有关点及向量的坐标为：
P(0,0,2)，C(0,2,0)，G(1,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，A(2,0,0)．
＝(－2,0,2)，＝(0，－1,0)，＝(1,1，－1)．
设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)．
∴??
取n＝(1,0,1)．
∵n·＝1×(－2)＋0×0＋1×2＝0，
∴n⊥.又AP?平面EFG，∴AP∥平面EFG.
如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1.问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置，若不存在，请说明理由．
【解】 分别以AB、AD、AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图．
则P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0), 设E(0，y，z)，则
＝(0，y，z－1)，
＝(0,2，－1)，
∵∥，
∴y(－1)－2(z－1)＝0，①
∵＝(0,2,0)是平面PAB的法向量，
＝(－1，y－1，z)，
∴由CE∥平面PAB, 可得⊥.
∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝2(y－1)＝0.
∴y＝1，代入①式得z＝.
∴E是PD的中点，
即存在点E为PD中点时，CE∥平面PAB.
第2课时 空间向量与垂直关系
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，能用向量方法判断有关直线和平面垂直关系的立体几何问题．
2．过程与方法
通过本节教学使学生理解体会用向量方法解决立体几何问题的思想及过程．
3．情感、态度与价值观
引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神．
●重点难点
重点：用向量方法判断有关直线和平面垂直关系的立体几何问题．
难点：用向量语言证明立体几何中有关垂直关系的问题．
本节课重点和难点在于用向量证明垂直关系，应利用探究式教学以及多媒体帮助分散难点，强化重点．
(教师用书独具)
●教学建议
根据教学目标，应有一个让学生参与实践——探索发现——总结归纳的探索认知过程．因此本节课给学生提供以下4种学习的机会：(1)提供观察、思考的机会：用亲切的语言鼓励学生观察并用学生自己的语言进行归纳；(2)提供操作、尝试、合作的机会：鼓励学生大胆利用资源，发现问题，讨论问题，解决问题；(3)提供表达、交流的机会：鼓励学生敢想敢说，设置问题促使学生愿想愿说；(4)提供成功的机会：赞赏学生提出的问题，让学生在课堂中能更多地体验成功的乐趣．
●教学流程
???????
课标解读
1.掌握直线的方向向量和平面的法向量的求法．(重点)
2.能利用方向向量和法向量处理线线、线面、面面间的垂直问题．(重点、难点)
线线垂直
【问题导思】
立体几何中怎样证明两条直线互相垂直？
【提示】 (1)证明两直线所成的角为90°.(2)证明两直线的方向向量垂直．(3)转化为先证直线与平面垂直，再用线面垂直的性质．
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
线面垂直
【问题导思】
1．如果已知直线的方向向量与平面的法向量，怎样证明直线与平面垂直？
【提示】 证明直线的方向向量与平面的法向量共线．
2．除上述方法外，还有其他证明方法吗？
【提示】 可以证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量都垂直．
设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?a∥u?a＝ku?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．
面面垂直
若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?u⊥v?u·v＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
利用向量证明线线垂直
图3－2－10
已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.
求证：AB1⊥MN.
【思路探究】 (1)若选、、为基向量，你能用基向量表示与吗？怎样证明与垂直？
(2)若要建立空间直角坐标系，本题该怎样建立？你能用坐标表示向量与并证明它们平行吗？
【自主解答】 法一 设＝a，＝b，＝c，
则由已知条件和正三棱柱的性质，得
|a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0，
＝a＋c，＝(a＋b)，
＝b＋c，＝－＝－a＋b＋c，
∴·＝(a＋c)·(－a＋b＋c)
＝－＋cos 60°＋0－0＋0＋＝0.
∴⊥，
∴AB1⊥MN.
法二 设AB中点为O，作OO1∥AA1.
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得
A(－，0,0)，B(，0,0)，C(0，，0)，N(0，，)，B1(，0,1)，
∵M为BC中点，
∴M(，，0)．
∴＝(－，，)，＝(1,0,1)，
∴·＝－＋0＋＝0.
∴⊥，
∴AB1⊥MN.
利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤：
(1)基向量法：①选取三个不共线的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；
②把两直线的方向向量用基底表示；
③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；
④由方向向量垂直得到两直线垂直．
(2)坐标法：①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；
②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；
③计算两直线方向向量的数量积为0；
④由方向向量垂直得到两直线垂直．
在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E、F分别是AB、BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.
【证明】 以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．
设AE＝BF＝x，
∴E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．
∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)．
∵·＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)＝－ax＋ax－a2＋a2＝0，
∴⊥，即A1F⊥C1E.
利用向量证明线面垂直
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点，求证：EF⊥平面B1AC.
【思路探究】 (1)本题证明能用基向量法吗？
(2)用坐标法可以吗？怎样证明较为简单？
【自主解答】 法一 设＝a，＝c，＝b，
则＝＋＝(＋)
＝(＋)＝(－a＋b＋c)
∵＝＋＝a＋b，
∴·＝(－a＋b＋c)·(a＋b)
＝(b2－a2＋c·a＋c·b)
＝(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0，
∴⊥，即EF⊥AB1，同理，EF⊥B1C.
又AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面B1AC.
法二 设正方体的棱长为2，建系如图
则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)．
∴＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1，－1,1)，
＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，
＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)．
而·＝(－1，－1,1)·(0,2,2)
＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0，
·＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0，
∴EF⊥AB1，EF⊥AC.又AB1∩AC＝A，
∴EF⊥平面B1AC.
1．坐标法证明线面垂直有两种思路：
方法一：(1)建立空间直角坐标系；
(2)将直线的方向向量用坐标表示；
(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；
(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.
方法二：(1)建立空间直角坐标系；
(2)将直线的方向向量用坐标表示；
(3)求出平面的法向量；
(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．
2．使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用方法二，否则常常选用方法一解决．
图3－2－11
(2013·北京高二检测)如图3－2－11，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点，求证：直线PB1⊥平面PAC.
【证明】 依题设，以D为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则C(1,0,0)，P(0,0,1)，A(0,1,0)，B1(1,1,2)，
于是＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，＝(1,1,1)，
∴·＝(－1,1,0)·(1,1,1)＝0，
·＝(－1,0,1)·(1,1,1)＝0，
故⊥，⊥，即PB1⊥CP，PB1⊥CA，
又CP∩CA＝C，且CP?平面PAC，CA?平面PAC.
故直线PB1⊥平面PAC.
利用向量证明面面垂直
图3－2－12
如图3－2－12，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.
【思路探究】
→→→
【自主解答】 由题意得AB，BC，B1B两两垂直，以B为原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E(0,0，)，
则＝(0,0,1)，＝(－2,2,0)，＝(－2一、选择题
1．如图3－1－9所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则等于( )
图3－1－9
A．a＋b－c B．a－b＋c
C．－a＋b＋c D．－a＋b－c
【解析】 如题图＝－＝－(＋)＝b－(a＋c)＝－a＋b－c.
【答案】 D
2．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A、B、D B．A、B、C
C．B、C、D D．A、C、D
【解析】 ＝＋＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b，＝－＝－a－2b，
∴＝－2，
∴与共线，又它们经过同一点B，
∴A、B、D三点共线．
【答案】 A
3．(2013·厦门高二检测)A、B、C不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P、A、B、C四点( )
A．不共面 B．共面
C．不一定共面 D．无法判断
【解析】 ∵＋＋＝1，
∴点P、A、B、C四点共面．
【答案】 B
4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为的是( )
①(－)－；②(＋)－；
③(－)－2；④(－)＋.
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
【解析】 对于①(－)－＝－＝；
对于②(＋)－＝－＝＋＝；
③④化简结果不为.
【答案】 A
5．(2013·佛山高二检测)如图3－1－10，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则( )21教育网
图3－1－10
A.＋＋＝0
B.－－＝0
C.＋－＝0
D.－＋＝0
【解析】 由图观察，、、平移后可以首尾相接，故有：＋＋＝0.
【答案】 A
二、填空题
6．平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，用、、表示＝________.
【解析】 ＝－＝－(＋＋)＝－－＝－－.
【答案】 －－
7．(2013·临沂高二期末)设e1、e2是空间两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A、B、D三点共线，则k＝________.21cnjy.com
【解析】 ∵＝＋＝(－e1－3e2)＋(2e1－e2)＝e1－4e2
又∵A、B、D三点共线，∴＝λ，
即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)
∴∴k＝－8.
【答案】 －8
8．已知两非零向量e1、e2，且e1与e2不共线，若a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________．
①a与e1共线；②a与e2共线；③a与e1，e2共面．
【解析】 当λ＝0时，a＝μe2，故a与e2共线，同理当μ＝0时，a与e1共线，由a＝λe1＋μe2知，a与e1、e2共面．21世纪教育网版权所有
【答案】 ①②③
三、解答题
9．已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点．求下列各式中x、y的值．21·cn·jy·com
(1)＝＋x＋y；
(2)＝x＋y＋.
【解】
如图所示，
(1)∵＝－
＝－(＋)
＝－－，
∴x＝y＝－.
(2)∵＋＝2，∴＝2－.
又∵＋＝2，∴＝2－.
从而有＝2－(2－)＝2－2＋.
∴x＝2，y＝－2.
10．如图3－1－11所示，在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，请判断与＋是否共线？www.21-cn-jy.com
图3－1－11
【解】 与＋共线，连结AC，取AC中点G，连结EG、FG，∴＝，＝.
又∵、、共面，
∴＝＋＝＋＝(＋)．
即与＋共线．
11．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知BE＝BB1，DF＝DD1，CG＝CC1，那么A，E，G，F四点是否共面？2·1·c·n·j·y
【解】 由题意知＝＋，
＝＝＋＝＋.
∴＝＋＝＋＋＋＝＋.
又，不共线，
∴A，E，G，F四点共面．
一、选择题
1．设a、b、c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：
①(a·b)c－(c·a)b＝0；
②|a|＝；
③a2b＝b2a；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中正确的有( )
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【解析】 由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中|a|2·b＝|b|2·a不一定成立，④运算正确．
【答案】 D
2．(2013·西安高二检测)已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，由a与b的夹角〈a，b〉＝( )21cnjy.com
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不对
【解析】 ∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|c|2，∴a·b＝，∴cos〈a，b〉＝＝.21·cn·jy·com
【答案】 D
3．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是( )www.21-cn-jy.com
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
【解析】
如图所示，设＝a，＝b，＝c，
∵·＝(a－b)·(c－b)
＝a·c－b·c－a·b＋b2
＝b2>0.
同理·>0，·>0.
∴∠CBD，∠BCD，∠BDC均为锐角．
【答案】 B
4．正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为2，E、F分别是AB、A1C1的中点，则EF的长是( )2·1·c·n·j·y
A．2 B.
C. D.
【解析】 如图，＝＋＋，且||＝||＝1，|AA1|＝2，·＝0，·A1F＝0，〈，〉＝120°，∴2＝||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝1＋4＋1－1＝5，∴||＝5，即EF的长为.
【答案】 C
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题：
①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③与的夹角为60°；④正方体的体积为|··|.【来源：21·世纪·教育·网】
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 如图所示，
(＋＋)2＝(＋＋)2
＝2＝32；·(－)＝·＝0；与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60°，故与的夹角为120°；正方体的体积为||||||.综上可知，①②正确，故选B.21·世纪*教育网
【答案】 B
二、填空题
6．已知空间四边形ABCD，则·＋·＋·＝________.
【解析】 ·＋·＋·
＝·(－)＋(－)·＋(－)·(－)＝0.
【答案】 0
7．(2013·吉林高二检测)已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|＝________.www-2-1-cnjy-com
【解析】 |2a－3b|2＝(2a－3b)2＝4a2－12a·b＋9b2
＝4×|a|2＋9×|b|2－12×|a|·|b|·cos 60°＝61，
∴|2a－3b|＝.
【答案】
8．(2013·蒙阴高二期末)已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则使向量a＋λb与λa－2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．2-1-c-n-j-y
【解析】 由题意知
即?λ2＋2λ－2<0
∴－1－<λ<－1＋.
【答案】 (－1－，－1＋)
三、解答题
图3－1－20
9．在空间四边形OABC中(如图3－1－20)，OA⊥BC，OB⊥AC.求证：OC⊥AB.
【证明】 由已知得⊥，⊥，
∴·＝0，
·＝0，
·(－)＝0，
·(－)＝0.
∴·＝·，·＝·，
∴·－·＝0，(－)·＝0，·＝0.
∴OC⊥AB.
图3－1－21
10．如图3－1－21所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E1，F1分别在A1B1，C1D1上，且E1B1＝A1B1，D1F1＝D1C1，求BE1与DF1所成角的余弦值．21世纪教育网版权所有
【解】 设＝4a，＝b，
则|a|＝|b|，且a⊥b，
由题意知||2＝||2＝(4a)2＋b2＝17a2，
·＝(4a＋b)·(4a－b)＝15a2，
∴cos〈，〉＝＝.
∴BE1与DF1所成角的余弦值为.
11．如图3－1－22所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D间的距离．21教育网
图3－1－22
【解】 ∵∠ACD＝90°，∴·＝0.
同理·＝0.∵AB与CD成60°角，
∴〈，〉＝60°或120°.
又∵＝＋＋，
∴||2＝·＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·
＝3＋2×1×1×cos〈，〉
＝
∴||＝2或，即B，D间的距离为2或.
一、选择题
1．(2013·莆田高二检测)设命题p：a，b，c是三个非零向量；命题q：{a，b，c}为空间的一个基底，则命题p是命题q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 由空间基底的概念知，pq，但q?p，故p是q的必要不充分条件．
【答案】 B
2．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是( )
A．向量的坐标与点B的坐标相同
B．向量的坐标与点A的坐标相同
C．向量与向量的坐标相同
D．向量与向量－的坐标相同
【解析】 因为A点不一定为坐标原点，所以A不对，B、C都不对，由于＝－，故D正确．
【答案】 D
3．点A(－1,2,1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为( )
A．(－1,0,1)，(－1,2,0)
B．(－1,0,0)，(－1,2,0)
C．(－1,0,0)，(－1,0,0)
D．(－1,2,0)，(－1,2,0)
【解析】 点A在x轴上的投影点的横坐标不变，纵、竖坐标都为0，在xOy面上的投影点横、纵坐标不变，竖坐标为0，故应选B.
【答案】 B
图3－1－29
4．在空间四边形OABC中，G是△ABC的重心，若＝a，＝b，OC＝c，则等于( )
A.a＋b＋c
B.a＋b＋c
C．a＋b＋c
D．3a＋3b＋3c
【解析】 ∵G是△ABC的重心，∴＝＝·(＋)＝(＋－2)，
∴＝＋＝(＋＋)＝a＋b＋c.
【答案】 A
5．正方体ABCD—A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{1，2，3}为基底，＝x1＋y＋z3，则x，y，z的值是( )2·1·c·n·j·y
A．x＝y＝z＝1 B．x＝y＝z＝
C．x＝y＝z＝ D．x＝y＝z＝2
【解析】 ＝＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝＋＋＝＋＋，
由空间向量的基本定理，x＝y＝z＝1.
【答案】 A
二、填空题
6．(2013·东营高二检测)设{i，j，k}是空间向量的单位正交基底，a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k，则向量a与b的位置关系是________．
【解析】 ∵a·b＝－6i2＋8j2－2k2＝－6＋8－2＝0.
∴a⊥b.
【答案】 a⊥b
图3－1－30
7．(2013·北京高二检测)如图3－1－30, 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则＝________.21教育网
【解析】 ＝－
＝(＋)－(＋)＝－＋－＝－a＋b－c.
【答案】 －a＋b－c
8．(2013·金华高二检测)已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1,3)，其中a＝4i＋2j，b＝2j＋3k，c＝3k－j，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为________．21·cn·jy·com
【解析】 由题意知点A对应向量为2a＋b＋3c＝2(4i＋2j)＋(2j＋3k)＋3(3k－j)＝8i＋3j＋12k，www.21-cn-jy.com
∴点A在基底{i，j，k}下的坐标为(8,3,12)．
【答案】 (8,3,12)
三、解答题
9．已知{e1，e2，e3}为空间一基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，能否以，，作为空间的一个基底？【来源：21·世纪·教育·网】
【解】 假设，，共面，
根据向量共面的充要条件有：＝x＋y，
即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)
＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.
∴此方程组无解．
∴，，不共面．
∴{，，}可作为空间的一个基底．
图3－1－31
10．如图3－1－31，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＝－，＝，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.21世纪教育网版权所有
【解】 连结AN，则＝＋.
由已知可得ABCD是平行四边形，从而可得
＝＋＝a＋b，
＝－＝－(a＋b)，
又＝－＝b－c，
故＝＋＝－＝－＝b－(b－c)，
＝＋＝－(a＋b)＋b－(b－c)＝(－a＋b＋c)．
11．已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，M，N分别是AB、PC的中点，并且PA＝AD＝1，求向量、的坐标．
【解】 如图所示，因为PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，所以可设＝e1，＝e2，＝e3.21cnjy.com
以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系Axyz.
因为＝＋＋＝＋＋
＝＋＋(＋＋)
＝－e2＋e3＋(－e3－e1＋e2)＝－e1＋e3，
∴＝(－，0，)，＝(0,1,0)．
一、选择题
1．(2013·济宁高二检测)已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b＝( )
A．(2，－4,2) B．(－2,4，－2)
C．(－2,0，－2) D．(2,1，－3)
【解析】 b＝a－(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．
【答案】 A
2．(2013·荆州高二检测)设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|的值为( )21教育网
A. B. C. D.
【解析】 AB的中点M(2，，3)，∴＝(2，，3)，故|CM|＝||＝ ＝.
【答案】 C
3．已知向量a＝(－2，x,2)，b＝(2,1,2)，c＝(4，－2,1)，若a⊥(b－c)，则x的值为( )21cnjy.com
A．－2 B．2
C．3 D．－3
【解析】 ∵b－c＝(－2,3,1)，a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，∴x＝－2.
【答案】 A
4．点A(n，n－1,2n)，B(1，－n，n)，则||的最小值是( )
A. B.
C．2 D．不存在
【解析】 ∵＝(1－n,1－2n，－n)，
∴||2＝(1－n)2＋(1－2n)2＋n2＝6(n－)2＋，
当n＝时，||的最小值为.
【答案】 B
5．(2013·临沂高二检测)已知a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)，则向量a＋b与a－b的夹角是( )www.21-cn-jy.com
A．90° B．60° C．45° D．30°
【解析】 a＋b＝(cos α＋sin α，2，sin α＋cos α)，a－b＝(cos α－sin α，0，sin α－cos α)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，【来源：21·世纪·教育·网】
∴(a＋b)⊥(a－b)．
【答案】 A
二、填空题
6．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为________．21·世纪*教育网
【解析】 ∵＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)，
∴||＝3，||＝，
·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，
∴cos?，?＝＝，
∴?，?＝60°.
【答案】 60°
7．已知a＝(λ＋1,0,2λ)，b＝(b,2μ－1,2)，且a∥b，则λ＋μ＝________.
【解析】 ∵a∥b，a＝tb.
于是解之可得
故λ＋μ＝＋＝.
【答案】
8．(2013·济南高二检测)若＝(－4,6，－1)，＝(4,3，－2)，|a|＝1，且a⊥，a⊥，则a＝________.www-2-1-cnjy-com
【解析】 设a＝(x，y，z)，由题意有，代入坐标可解得：或
【答案】 (，，)或(－，－，－)
三、解答题
9．已知3a－2b＝(－2,0,4)，c＝(－2,1,2)，a·c＝2，|b|＝4，求cos〈b，c〉．2·1·c·n·j·y
【解】 (3a－2b)·c＝3a·c－2b·c＝(－2,0,4)·(－2,1,2)＝12，
又a·c＝2，∴b·c＝－3，由c＝(－2,1,2)知|c|＝3.
∴cos〈b，c〉＝＝＝－.
10．已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2,2)．2-1-c-n-j-y
(1)求|2a＋b|；
(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点)
【解】 (1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，
故|2a＋b|＝＝5.
(2)＝＋＝＋t＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，21世纪教育网版权所有
若⊥b，则·b＝0，
所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，
解得t＝，
因此存在点E，使得⊥b，E点坐标为(－，－，)．
图3－1－32
11．已知正方体ABCD－A1B1C1D1用向量法解：
(1)求A1B和B1C的夹角；
(2)证明：A1B⊥AC1；
(3)求AC1的长度．
【解】 (1)以D为原点，，，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Dxyz.
设棱长为1，则A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，21·cn·jy·com
∴＝(0,1，－1)，＝(－1,0，－1)，
∴·＝(0,1，－1)·(－1,0，－1)
＝0＋0＋1＝1.
||＝＝，
||＝＝.
∴cos〈，〉＝＝.
∵〈，〉∈[0°，180°]，
∴A1B与B1C夹角为60°.
(2)由(1)知＝(0,1，－1)，＝(－1,1,1)，
∴·＝0＋1－1＝0，
∴A1B⊥AC1.
(3)∵＝(－1,1,1)，
∴||＝＝.
即AC1的长度为.
一、选择题
1．(2013·吉林高二检测)l1的方向向量为v1＝(1,2,3)，l2的方向向量v2＝(λ，4,6)，若l1∥l2，则λ＝( )21世纪教育网版权所有
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 ∵l1∥l2，∴v1∥v2，则＝，∴λ＝2.
【答案】 B
2．(2013·青岛高二检测)若＝λ＋μ，则直线AB与平面CDE的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．在平面内 D．平行或在平面内
【解析】 ∵＝λ＋μ，∴、、共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内．
【答案】 D
3．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．(1，－1,1) B．(1,3，)
C．(1，－3，) D．(－1,3，－)
【解析】 对于B，＝(－1,4，－)，
则n·＝(3,1,2)·(－1,4，－)＝0，
∴n⊥，则点P(1,3，)在平面α内．
【答案】 B
4．已知A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的一个法向量的单位向量是( )21·世纪*教育网
A．(1,1,1)
B．(，，)
C．(，，)
D．(，，－)
【解析】 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，＝(0，－1,1)，＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，则∴x＝y＝z，
又∵单位向量的模为1，故只有B正确．
【答案】 B
图3－2－7
5．如图3－2－7，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则( )www.21-cn-jy.com
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥平面DCC1D1；
④A1M∥平面D1PQB1.
以上正确说法的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 ＝＋＝＋，＝＋＝＋，∴∥，所以A1M∥D1P，由线面平行的判定定理可知，A1M∥面DCC1D1，A1M∥面D1PQB1.①③④正确．2-1-c-n-j-y
【答案】 C
二、填空题
6．(2013·泰安高二检测)已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，，2)，且l∥α，则m＝________.
【解析】 ∵l∥α，∴l的方向向量与α的法向量垂直，
∴(2，m,1)·(1，，2)＝2＋m＋2＝0，∴m＝－8.
【答案】 －8
7．已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，点P(x，－1,3)在平面ABC内，则x＝________.www-2-1-cnjy-com
【解析】 ＝(－2,2，－2)，＝(－1,6，－8)，＝(x－4，－2,0)，由题意知A、B、C、P共点共面，∴＝λ＋μ＝(－2λ，2λ，－2λ)＋(－μ，6μ，－8μ)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)．
∴∴而x－4＝－2λ－μ，∴x＝11.
【答案】 11
8．下列命题中，正确的是________．(填序号)
①若n1，n2分别是平面α，β的一个法向量，则n1∥n2?α∥β；
②若n1，n2分别是平面α，β的一个法向量，则α⊥β ?n1·n2＝0；
③若n是平面α的一个法向量，a与平面α共面，则n·a＝0；
④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．
【解析】 ②③④一定正确，①中两平面有可能重合．
【答案】 ②③④
三、解答题
图3－2－8
9．已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点(如图3－2－8所示)，并且＝k，＝k，＝k，＝＋m，＝＋m.21cnjy.com
求证：(1)A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；
(2)∥；
(3)＝k.
【解】 (1)由＝＋m，＝＋m，知A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面．
(2)∵＝＋m＝－＋m(－)
＝k(－)＋km(－)＝k＋km
＝k(＋m)＝k，
∴∥.
(3)由(2)知＝－＝k－k
＝k(－)＝k.
∴＝k.
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：是平面A1D1F的法向量．2·1·c·n·j·y
【证明】 设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，E(1,1，)，D1(0,0,1)，F(0，，0)，A1(1,0,1)，＝(0,1，)， 21*cnjy*com
＝(0，，－1)，＝(－1,0,0)．
∵·＝(0,1，)·(0，，－1)
＝－＝0，
又·＝0，
∴⊥，⊥.
又A1D1∩D1F＝D1，
∴AE⊥平面A1D1F，
∴是平面A1D1F的法向量．
图3－2－9
11．如图3－2－9，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点，证明：直线MN∥平面OCD.21教育网
【证明】 作AP⊥CD于点P.如题图分别以AB、AP、AO所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．21·cn·jy·com
A(0,0,0)，B(1,0,0)，P(0，，0)，D(－，，0)，O(0,0,2)，M(0,0,1)，N(1－，，0).＝(1－，，－1)，
＝(0，，－2)，＝(－，，－2)．
设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0，n·＝0.
即，取z＝，则y＝4，x＝0，
得n＝(0,4，)．
∵·n＝(1－，，－1)·(0,4)＝0，
∴MN∥平面OCD.
一、选择题
1．(2013·东营高二检测)已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)．平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝( )
A．4 B．－4 C．5 D．－5
【解析】 ∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0
∴k＝－5.
【答案】 D
2．(2012·青岛高二检测)在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是( )21世纪教育网版权所有
A.⊥ B.⊥
C.⊥ D.⊥
【解析】 由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面上的线AB、CD都垂直，A、B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C选项正确．www.21-cn-jy.com
【答案】 D
3．已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则( )
A．α∥β B．α⊥β
C．α与β相交不垂直 D．以上都不对
【解析】 ＝(0,1，－1)，＝(1,0，－1)，∴n·＝0，n·＝0，∴n⊥，n⊥，故n也是α的一个法向量，又∵α与β不重合，∴α∥β.2·1·c·n·j·y
【答案】 A
4．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为( )
A.，－，4 B.，－，4
C.，－2,4 D．4，，－15
【解析】 ∵⊥，∴·＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，
又BP⊥平面ABC，∴⊥，⊥，
则解得
【答案】 B
5．平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状是( )www-2-1-cnjy-com
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【解析】 (＋－2)·(－)＝(－＋－)·＝(＋)·＝0，故△ABC为等腰三角形．
【答案】 B
二、填空题
6．直线l1与l2的方向向量分别为a1，a2，若a1⊥a2，则l1与l2的位置关系为________．【来源：21·世纪·教育·网】
【解析】 两直线的方向向量垂直，这两条直线也垂直．
【答案】 垂直
7．(2013·吉林高二检测)已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝________.2-1-c-n-j-y
【解析】 由题意知u⊥v，∴u·v＝3＋6＋z＝0，∴z＝－9.
【答案】 －9
8．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________． 21*cnjy*com
【解析】 ∵·＝0，·＝0，
∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确．
又与不平行，
∴是平面ABCD的法向量，则③正确．
由于＝－＝(2,3,4)，＝(－1,2，－1)，
∴与不平行，故④错误．
【答案】 ①②③
三、解答题
图3－2－15
9．如图3－2－15，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．
求证：AM⊥平面BDF.
【证明】 以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，，0)，B(0，，0)，D(，0,0)，F(，，1)，M(，，1)．21·cn·jy·com
所以＝(－，－，1)，＝(0，，1)，＝(，－，0)．
设n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量，
则n⊥，n⊥，
所以?
取y＝1，得x＝1，z＝－.
则n＝(1,1，－)．
因为＝(－，－，1)．
所以n＝－ ，得n与共线．
所以AM⊥平面BDF.
图3－2－16
10．在四面体ABCD中，AB⊥面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.21·世纪*教育网
【证明】 建立如图所示空间直角坐标系，取A(0,0，a)，由∠ADB＝30°，
可得D(0，a,0)，C(a，a,0)，B(0,0,0)，
E(a，a，)，F(0，a，)，
∴＝(－a，a,0)，＝(0,0，a)，
＝(a，a,0)，
∴·＝0，·＝0，
∴EF⊥AB，EF⊥BC，∴EF⊥面ABC，
又EF?面BEF，∴面BEF⊥面ABC.
11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点，
(1)求证：A1E⊥BD；
(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．
【解】 (1)证明 分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a.21教育网
依题意可得，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．21cnjy.com
设E(0，a，e)．
＝(－a，a，e－a)，又＝(－a，－a,0)，
∴·＝a2－a2＝0.
∴⊥，即A1E⊥BD.
(2)E为CC1的中点，证明如下：
设BD的中点为O，连结A1O，OE.
则O(，，0)，＝(－，，e)，＝(，－，a)．
∵A1B＝A1D，O为BD中点，
∴A1O⊥BD.
又平面A1BD⊥平面EBD，
∴A1O⊥平面EBD.∴A1O⊥OE.
又＝(－a，－a,0)，则·＝0，·＝0，
即，∴e＝.
∴当E为CC1的中点时，能使平面A1BD⊥平面EBD.
一、选择题
1．(2013·济南高二检测)已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为( )
A. B．－ C. D．－
【解析】 ＝(2，－2，－1)，＝(－2，－3，－3)，
∴cos〈，〉＝＝＝，
∴直线AB、CD所成角的余弦值为.
【答案】 A
2．已知A∈α，P?α，＝(－，，)，平面α的一个法向量n＝(0，－，－)，则直线PA与平面α所成的角为( )
A．30° B．45° C．60° D．150°
【解析】 设直线PA与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉|
＝
＝.∴θ＝60°.
【答案】 C
3．正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为( )21世纪教育网版权所有
A．30° B．45° C．60° D．90°
【解】 如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1.则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．于是＝(0,1,0)．21教育网
取PD中点为E，
则E(0，，)，
∴＝(0，，)，
易知是平面PAB的法向量，是平面PCD的法向量，
∴cos?，?＝，
∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°.
【答案】 B
4．(2013·西安高二检测)一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角( )www.21-cn-jy.com
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．无法确定
【解析】 举例说明，如图所示两个二面角的半平面分别垂直，则半平面γ绕轴l旋转时，总有γ⊥β，故两个二面角大小无法确定关系．2·1·c·n·j·y
【答案】 D
5．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为( )
A．60° B．90°
C．45° D．以上都不对
【解析】 以点D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图．21·cn·jy·com
由题意知，A1(1,0,2)，E(1,1,1)，D1(0,0,2)，A(1,0,0)，所以＝(0,1，－1)，＝(1,1，－1)，＝(0，－1，－1)．
设平面A1ED1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则?
令z＝1，得y＝1，x＝0，所以n＝(0,1,1)，
cos〈n，〉＝＝＝－1.
所以〈n，〉＝180°.
所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90°.
【答案】 B
二、填空题
6．(2013·荆州高二检测)棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1、BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值是________．21cnjy.com
【解析】 依题意，建立如图所示的坐标系，则A(1,0,0)，M(1，，1)，C(0,1,0)，N(1,1，)，【来源：21·世纪·教育·网】
∴＝(0，，1)，＝(1,0，)，
∴cos〈，〉＝＝，
故异面直线AM与CN所成角的余弦值为.
【答案】
图3－2－23
7．如图3－2－23，在三棱锥O－ABC中，OA＝OB＝OC＝1，∠AOB＝90°，OC⊥平面AOB，D为AB的中点，则OD与平面OBC的夹角为________．21·世纪*教育网
【解析】 ∵OA⊥平面OBC，
∴是平面OBC的一个法向量．
而D为AB的中点，OA＝OB，
∴∠AOD＝〈，〉＝45°.
∴OD与平面OBC所成的角θ＝90°－45°＝45°.
【答案】 45°
8．在空间中，已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0，a)(a＞0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________.
【解析】 平面xOy的法向量为n＝(0,0,1)，设平面α的法向量为u＝(x，y，z)，则
即3x＝4y＝az，取z＝1，则u＝(，，1)．
而cos〈n，u〉＝＝，
又∵a＞0，∴a＝.
【答案】
三、解答题
图3－2－24
9．如图3－2－24所示，在四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.
(1)求证AO⊥平面BCD；
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值．
【解】 (1)证明 连结OC，
由题意知BO＝DO，AB＝AD，∴AO⊥BD.
又BO＝DO，BC＝CD，∴CO⊥BD.
在△AOC中，由已知可得AO＝1，CO＝，
又AC＝2，∴AO2＋CO2＝AC2，
∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC.
∵BD∩OC＝O，∴AO⊥平面BCD.
(2)以O为坐标原点建立空间直角坐标系，
则B(1,0,0)，D(－1,0,0)，C(0，，0)，A(0,0,1)，
E(，，0)，
∴＝(－1,0,1)，＝(－1，－，0)，
∴cos〈，〉＝＝.
∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为.
10．四棱锥P—ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；
(2)当PD＝AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．
【解】 如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，设AB＝a，PD＝h，则
A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)，
(1)∵＝(－a，a,0)，＝(0,0，h)，＝(a，a,0)，
∴·＝0，·＝0，
∴AC⊥DP，AC⊥DB，又DP∩DB＝D，∴AC⊥平面PDB，
又AC?平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.
(2)当PD＝AB且E为PB的中点时，P(0,0，a)，E(a，a，a)，
设AC∩BD＝O，O(，，0)连结OE，由(1)知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角，
∵＝(a，－a，－a)，＝(0,0，－a)，
∴cos∠AEO＝＝，
∴∠AEO＝45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°.
图3－2－25
11．如图3－2－25，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.
(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；
(2)证明：AF⊥平面A1ED；
(3)求二面角A1－ED－F的正弦值．
【解】 如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB＝1，依题意得D(0,2,0)，F(1,2,1，)A1(0,0,4)，E(1，，0)．
(1)易得＝(0，，1)，＝(0,2，－4)．
于是cos〈，〉＝＝－.
所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为.
(2)已知＝(1,2,1)，＝(－1，－，4)，＝(－1，，0)．
于是·＝0，·＝0，因此，AF⊥EA1，AF⊥ED，又EA1∩ED＝E.
所以AF⊥平面A1ED.
(3)设平面EFD的法向量u＝(x，y，z)，
则，即.
不妨令x＝1，可得u＝(1,2，－1)．
由(2)可知，为平面A1ED的一个法向量．
于是cos〈u，〉＝＝，
从而sin〈u，〉＝.
所以二面角A1－ED－F的正弦值为.
