3.1.2 复数的几何意义
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数；了解复数模的概念及几何意义，会求复数的模．
2．过程与方法
渗透转化、数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
引导学生观察现象、发现问题、提出观点、验证结论、培养良好的学习思维品质．
●重点难点
重点：复数的几何意义及复数的模．
难点：复数的几何意义及模的综合应用．
树立复数与坐标平面内的点的一一对应、复数与向量的一一对应的意识，是将复数由代数形式引向几何形式的关键环节，通过图形展示，让学生直观、形象的探索其内在联系，可以降低理解难度．
(教师用书独具)
●教学建议
建议本课在教师的指导下作小范围的必要的教学探索活动，使整个教学更有序，更有效，激发学生兴趣，锻炼学生毅力，兴趣是学习良好的开端，毅力是学习的保证．让学生由实数的绝对值的几何意义，类比复数模的几何意义，探索复数模的几何应用．可以利用多媒体教学，展示复数与坐标平面的对应关系及复数模的几何意义，引导学生利用数形结合的思想去分析问题、解决问题．
●教学流程
创设问题情境，引出问题，引导学生认识复数几何意义．了解复数模的定义、作用、计算方法．?让学生自主完成填一填，使学生进一步了解复数与平面内的点的对应关系，复数与向量的对应关系．?引导学生分析例题1的已知条件和问题(1)(2)应满足的条件．学生自主完成求解过程，教师指导完善．完成互动探究．?学生分组探究例题2解法，总结利用复数相等条件求参数的规律方法．完成变式训练．
?
完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．?学生自主完成例题3互动探究，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导．?让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律．
课标解读
1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系．(重点)
2．理解复数模的概念，会求复数的模．(难点)
复平面
【问题导思】
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)有怎样的对应关系？
【提示】 一一对应．
2．有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系？
【提示】 一一对应．
3．复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗？
【提示】 一一对应．
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
复数的几何意义
【问题导思】
1．平面直角坐标系中的点Z与向量有怎样的对应关系？
【提示】 一一对应．
2．复数集与平面直角坐标系中以原点为起点的向量集合能一一对应吗？
【提示】 一一对应．
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点Z(a，b)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.
为方便起见，我们常把复数z＝a＋bi说成点Z或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数．
复数的模
向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，且r＝(r≥0，且r∈R).
复平面内的点同复数的对应关系
实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝2m＋(4－m2)i的点
(1)位于虚轴上；(2)位于第三象限．
【思路探究】 找出复数z的实部、虚部，结合(1)(2)的要求写出满足的条件．
【自主解答】 复数z＝2m＋(4－m2)i对应复平面内点的坐标P为(2m,4－m2)．
(1)若P在虚轴上，则即m＝0.
(2)若点P在第三象限，则解得m＜－2.
∴当点P位于第三象限时，实数m的范围是(－∞，－2)．
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)??复平面内的点(a，b)．
2．判断复数对应点的位置，关键是找出相应复数的实部和虚部．
在题设不变的情况下，求满足下列条件的实数m.
(1)在实轴上；(2)在直线y＝x上．
【解】 (1)若点在实轴上，则4－m2＝0，即m＝±2.
(2)若点在直线y＝x上，则4－m2＝2m，解得m＝－1±.
复数的模的求法
已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
【思路探究】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出a，b.
【自主解答】 法一 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝，
代入方程得a＋bi＋＝2＋8i，
∴
解得∴z＝－15＋8i.
法二 原式可化为 z＝2－|z|＋8i，
∵|z|∈R，∴2－|z|是z的实部，
于是|z|＝，
即|z|2＝68－4|z|＋|z|2，∴|z|＝17.
代入z＝2－|z|＋8i得z＝－15＋8i.
计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
求复数z1＝6＋8i及z2＝－－i的模，并比较它们的模的大小．
【解】 |z1|＝＝10，|z2|＝
＝ ＝，|z1|>|z2|.
复数的模及其几何意义
已知复数z1＝－＋i，z2＝－－i，
(1)求|z1|与|z2|的值，并比较它们的大小．
(2)设复平面内，复数z满足|z2|≤|z|≤|z1|，复数z对应的点Z的集合是什么？
【思路探究】 (1)利用复数模的定义来求解．若z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝.
(2)先确定|z|的范围，再确定点Z满足的条件，从而确定点Z的图形．
【自主解答】 (1)|z1|＝＝2.
|z2|＝＝1.
∵2＞1，∴|z1|＞|z2|.
(2)由(1)知|z2|≤|z|≤|z1|，
则1≤|z|≤2.
因为不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1上和该圆外部所有点的集合，不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2上和该圆的内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z|≤2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆及所夹的圆环．
1．两个复数不全为实数时不能比较大小；而任意两个复数的模均可比较大小．
2．复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解．
3．|z1－z2|表示点z1，z2两点间的距离，|z|＝r表示以原点为圆心，以r为半径的圆．
如果将本题中|z2|≤|z|≤|z1|，改为|z2|＜|z|＜|z1|，复数z对应的点Z的集合是什么？
【解】 |z2|＜|z|＜|z1|?1＜|z|＜2，则复数z的轨迹为以原点O为圆心，1、2为半径的圆环且不包括边界，注意区别.
因对复数的模理解不到位而导致错误
试研究方程x2－5|x|＋6＝0在复数集上解的个数．
【错解】 将方程变为|x|2－5|x|＋6＝0?|x|＝2或|x|＝3?x＝±2或x＝±3，故共有4个．
【错因分析】 这里常出现将|x|看成“绝对值”从而出现错误的解法，注意这里|x|是一个复数的模，它不等同于实数的绝对值，x2也不能写成|x|2.
【防范措施】 (1)认真审题，看清限制范围是实数还是复数．
(2)弄清复数的模与实数绝对值的区别．
(3)理解|z|的意义及|z|的计算方法．
(4)善于利用转化思想，把复数方程转化为实数方程组求解．
【正解】 设x＝a＋bi(a，b∈R)，则原方程可化为
a2－b2－5＋6＋2abi＝0
?
?或或
即x＝±2或x＝±3或x＝±i.
故方程在复数集上的解共有6个．
1．复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应．
2．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑．
1．(2013·福建高考)复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 z＝－1－2i在复平面内对应的点为(－1，－2)，它位于第三象限．
【答案】 C
2．若＝(0，－3)，则对应的复数为( )
A．0 B．－3
C．－3i D．3
【解析】 由复数的几何意义可知对应的复数为－3i.
【答案】 C
3．已知3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，则|1－5i|，|x－yi|，|y＋2i|的大小关系为________．
【解析】 由3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，
得x＝3，y＝－4，
而|1－5i|＝＝，
|x－yi|＝|3＋4i|＝＝5，
|y＋2i|＝|－4＋2i|＝＝.
∵<5<，
∴|y＋2i|<|x－yi|<|1－5i|.
【答案】 |y＋2i|<|x－yi|<|1－5i|
4．在复平面内指出与复数z1＝－1＋i，z2＝2－i，z3＝－i，z4＝＋3i对应的点Z1，Z2，Z3，Z4，然后在复平面内画出这4个复数对应的向量．
【解】 由题意知Z1(－1，)，
Z2(2，－1)，Z3(0，－1)，Z4(，3)．如图所示，在复平面内，复数z1，z2，z3，z4对应的向量分别为，，，.
一、选择题
1．过原点和－i对应点的直线的倾斜角是( )
A. B．－ C. D．
【解析】 ∵－i在复平面上的对应点是(，－1)，
∴tan α＝＝－(0≤α<π)，∴α＝π.
【答案】 D
2．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则a的值为( )
A．a＝0或a＝2 B．a＝0
C．a≠1且a≠2 D．a≠1或a≠2
【解析】 ∵复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，∴a2－2a＝0，∴a＝0或a＝2.
【答案】 A
3．已知复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＝|z2|，则实数a＝( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．±1或0
【解析】 由题意得，＝?a2＝1?a＝±1.
【答案】 C
4．复数z与它的模相等的充要条件是( )
A．z为纯虚数 B．z是实数
C．z是正实数 D．z是非负实数
【解析】 设z＝a＋bi，则|z|＝，又z＝|z|，即＝a.
∴b＝0，a≥0，即z是非负实数．
【答案】 D
5．设复数z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是( )
A．复数z对应的点在第一象限
B．复数z一定不是纯虚数
C．复数z对应的点在实轴上方
D．复数z一定是实数
【解析】 ∵2t2＋5t－3＝0的Δ＝25＋24＝49>0，
∴方程有两根，2t2＋5t－3的值可正可负，∴A、B不正确．
又t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1>0，∴D不正确，
∴C正确．
【答案】 C
二、填空题
6．复数z＝log3＋ilog3对应的点位于复平面内的第________象限．
【解析】 ∵log3<0，log3<0，
∴z对应的点在第三象限．
【答案】 三
7．若复数z1＝3－5i，z2＝1－i，z3＝－2＋ai在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a＝________.
【解析】 设复数z1，z2，z3分别对应点P1(3，－5)，P2(1，－1)，P3(－2，a)，由已知可得＝，从而可得a＝5.
【答案】 5
8．已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于，则实数x的取值范围是________．
【解析】 由题意得<，
∴5x2－6x－8<0，∴(5x＋4)(x－2)<0，
∴－【答案】 (－，2)
三、解答题
9．在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的对应点，
(1)在虚轴上；
(2)在第二象限；
(3)在直线y＝x上．
试分别求实数m的取值范围．
【解】 复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.
(1)由题意，得m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1.
(2)由题意，得
∴
∴－1＜m＜1，
即m∈(－1,1)．
(3)由已知，得m2－m－2＝m2－3m＋2，
∴m＝2.
10．已知z1＝x2＋i，z2＝(x2＋a)i对任意的x∈R均有|z1|＞|z2|成立，试求实数a的取值范围．
【解】 ∵|z1|＝，|z2|＝|x2＋a|，且|z1|＞|z2|，
∴＞|x2＋a|对x∈R恒成立，等价于(1－2a)x2＋(1－a2)＞0恒成立．
不等式等价于①：解得a＝，
∴a＝时，0·x2＋(1－)＞0恒成立．
或②：
解得－1＜a＜.
∴a∈(－1，)．
综上，可得实数a的取值范围是{a|a∈R，且－1＜a≤}．
11．如图3－1－1，平行四边形OABC，顶点O、A、C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：
图3－1－1
(1)表示的复数，表示的复数；
(2)所表示的复数；
(3)设P为复平面上一点且满足||＝||，求P点的轨迹方程．
【解】 (1)＝－，而对应的复数为3＋2i，
∴表示的复数为－3－2i；
∵＝.∴表示的复数为－3－2i.
(2)＝－，
∴所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)设P(x，y)，∵||＝|5－2i|＝＝，
||＝，由||＝||，得x2＋y2＝29，即点P的轨迹方程为x2＋y2＝29.
(教师用书独具)
已知向量与实轴正向的夹角为45°，向量对应的复数z的模为1，求z.
【思路探究】 设出z＝a＋bi(a，b∈R)，列出关于a，b的方程组．
【自主解答】 设z＝a＋bi(a，b∈R)．
∵与x轴正向的夹角为45°，|z|＝1，
∴或
∴或
∴z＝＋i或z＝－i.
解答本题易因不能正确的运用条件“向量与实轴正向的夹角为45°”，而漏掉一解．
已知复平面内的A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)．设对应的复数是z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．
【解】 (1)∵点A，B对应的复数分别是
z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，
∴点A，B的坐标分别是A(sin2θ，1)，B(－cos2θ，cos 2θ)，
∴＝(－cos2θ，cos 2θ)－(sin2θ，1)＝(－cos2θ－sin2θ，cos 2θ－1)＝(－1，－2sin2θ)，
∴对应的复数z＝－1＋(－2sin2θ)i.
(2)由(1)知点P的坐标是(－1，－2sin2θ)，代入y＝x，
得－2sin2θ＝－，即sin2θ＝，
∴sin θ＝±.
又∵θ∈(0，π)，∴sin θ＝，∴θ＝或.
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，了解共轭复数的概念．
2．过程与方法
理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化问题，通过运算过程体会这一变形本质意图．
3．情感、态度与价值观
利用多项式除法和复数除法类比，知道事物之间是普遍联系的．通过复数除法运算，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力．
●重点难点
重点：复数代数形式的乘除法运算．
难点：复数除法法则的运用．
(教师用书独具)
●教学建议
建议本节教学采用自学指导法，在学生自主学习的基础上可利用一下教学方法及手段完成本节教学：(1)类比分析法，通过对比多项式的乘法法则推出复数乘法法则．(2)归纳推理法，运用已有的多项式乘法法则和分母有理化及复数加减法的知识，通过归纳类比，推导复数除法法则．(3)合理、恰当地运用多媒体教学手段，将静态事物动态化，将抽象事物直观化，以突破教学难点．
●教学流程
创设问题情境，引出问题，引导学生思考两个复数如何进行代数形式的乘法与除法运算．?让学生自主完成填一填，使学生进一步熟悉复数代数形式的乘法、除法运算的法则，及其满足的运算律．?引导学生分析例题1的运算方法并求解，教师只需指导完善，解答疑惑并要求学生独立完成变式训练．?由学生分组探究例题2解法，引导学生去发现in运算的周期性，及其应用方法．完成互动探究．
?
完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．?学生自主完成例题3变式训练，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导．通过易错辨析纠正运算中出现的错误．?让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律．
课标解读
1.掌握复数代数形式的乘、除运算．(重点)
2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(难点)
3．理解共轭复数的概念．(易错点)
复数的乘法
【问题导思】
1．如何规定两个复数相乘？
【提示】 两个复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．
2．复数乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律吗？
【提示】 满足．
(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
(2)对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1·z2＝z2·z1
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
复数的除法与共轭复数
【问题导思】
如何规定两个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)相除？
【提示】 ＝＝＝.
(1)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d为实数，c＋di≠0)，z1，z2进行除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式再把分子与分母都乘以c－di化简后可得结果：＋i.
(2)共轭复数
如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用表示．即z＝a＋bi，则＝a－bi.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.
复数代数形式的乘除法运算
(1)(2013·课标全国卷Ⅱ)设复数z满足(1－i)·z＝2i，则z＝( )
A．－1＋i B．－1－i C．1＋i D．1－i
(2)(2013·大纲全国卷)(1＋i)3＝( )
A．－8 B．8 C．－8i D．8i
(3)计算()6＋＝________.
【思路探究】 (1)先设出复数z＝a＋bi，然后运用复数相等的充要条件求出a，b的值．
(2)直接利用复数的乘法运算法则计算．
(3)先计算再乘方，且将的分母实数化后再合并．
【自主解答】 (1)设z＝a＋bi，则(1－i)(a＋bi)＝2i，即(a＋b)＋(b－a)i＝2i.
根据复数相等的充要条件得解得
∴z＝－1＋i.故选A.
(2)原式＝(1＋i)(1＋i)2＝(1＋i)(－2＋2i)＝－2＋6i2＝－8.
(3)法一 原式＝6＋
＝i6＋＝－1＋i.
法二 原式＝6＋
＝i6＋
＝－1＋i.
【答案】 (1)A (2)A (3)－1＋i
1．复数的乘法类比多项式相乘进行运算，复数除法要先写成分式形式后，再将分母实数化，注意最后结果要写成a＋bi(a，b∈R)的形式．
2．记住以下结论可以提高运算速度
(1)(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；
(2)＝－i，＝i；
(3)＝－i.
计算：
(1)(1－i)2；
(2)(－＋i)(＋i)(1＋i)；
(3).
【解】 (1)(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i.
(2)(－＋i)(＋i)(1＋i)
＝(－－i＋i＋i2)(1＋i)
＝(－＋i－)(1＋i)
＝(－＋i)(1＋i)
＝－－i＋i－
＝－＋i.
(3)＝＝＝＋i.
虚数单位i的幂的周期性及其应用
(1)计算：＋()2 013；
(2)若复数z＝，求1＋z＋z2＋…＋z2 013的值．
【思路探究】 将式子进行适当的化简、变形，使之出现in的形式，然后再根据in的值的特点计算求解．
【自主解答】 (1)原式＝＋[()2]1 006·()
＝i＋()1 006·＝i＋i1 006·
＝－＋i
(2)1＋z＋z2＋…＋z2 013＝，
而z＝＝＝＝i，
所以1＋z＋z2＋…＋z2 013＝＝＝1＋i.
1．要熟记in的取值的周期性，要注意根据式子的特点创造条件使之与in联系起来以便计算求值．
2．如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解．
在本例(2)中若z＝i，求1＋z＋z2＋…＋z2 013的值．
【解】 由题意知
1＋z＋z2＋…＋z2 013＝1＋i＋i2＋…＋i2 013
＝＝＝＝1＋i.
∴原式＝1＋i.
共轭复数的应用
设z1，z2∈C，A＝z1·＋z2·，B＝z1·＋z2·，问A与B是否可以比较大小？为什么？
【思路探究】 设出z1，z2的代数形式→化简A，B→判断A，B是否同为实数→结论
【自主解答】 设z1＝a＋bi，
z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则＝a－bi，＝c－di，
∴A＝z1·＋z2·
＝(a＋bi)(c－di)＋(c＋di)(a－bi)
＝ac－adi＋bci－bdi2＋ac－bci＋adi－bdi2
＝2ac＋2bd∈R，
B＝z1·＋z2·
＝|z1|2＋|z2|2
＝a2＋b2＋c2＋d2∈R，
∴A与B可以比较大小．
1．z·＝|z|2＝||2是共轭复数的常用性质．
2．实数的共轭复数是它本身，即z∈R?z＝，利用此性质可以证明一个复数是实数．
3．若z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．
已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.
【解】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi(a，b∈R)，
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有，
解得或，
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
记错i2值而致误
设复数z满足＝i，则z＝( )
A．－2＋i B．－2－i
C．2－i D．2＋i
【错解】 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)满足＝i，
所以1＋2i＝ai＋b.
解得
所以z＝2＋i，故选D项．
【答案】 D
【错因分析】 将i2＝－1当成i2＝1来运算漏掉负号．
【防范措施】 在进行乘除法运算时，灵活运用i的性质，并注意一些重要结论的灵活应用．
【正解】 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)满足＝i，
所以1＋2i＝ai－b.
解得
所以z＝2－i，故选C项．
【答案】 C
1．复数代数形式的乘除运算
(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．
(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．
2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．
3．复数问题实数化思想．
复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.
1．(2012·北京高考)在复平面内，复数对应的点的坐标为( )
A．(1,3) B．(3,1)
C．(－1,3) D．(3，－1)
【解析】 ＝＝＝1＋3i，
∴其对应点的坐标为(1,3)，选A.
【答案】 A
2．(2013·安徽高考)设i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
【解析】 因为a－＝a－＝a－＝(a－3)－i，由纯虚数的定义，知a－3＝0，所以a＝3.
【答案】 D
3．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝________，y＝________.
【解析】 由题意得：
∴
【答案】 －1 1
4．计算：
(1)(1－i)(－＋i)(1＋i)；
(2)；
(3)(2－i)2.
【解】 (1)法一 (1－i)(－＋i)(1＋i)
＝(－＋i＋i－i2)(1＋i)
＝(＋i)(1＋i)
＝＋i＋i＋i2
＝－1＋i.
法二 原式＝(1－i)(1＋i)(－＋i)
＝(1－i2)(－＋i)
＝2(－＋i)
＝－1＋i.
(2)＝
＝
＝
＝＝i.
(3)(2－i)2＝(2－i)(2－i)
＝4－4i＋i2
＝3－4i.
一、选择题
1．复数(2＋i)2等于( )
A．3＋4i B．5＋4i
C．3＋2i D．5＋2i
【解析】 (2＋i)2＝4＋4i＋i2＝4＋4i－1＝3＋4i.故选A.
【答案】 A
2．i是虚数单位，复数＝( )
A．1－i B．－1＋i
C．1＋i D．－1－i
【解析】 ＝＝＝1＋i.
【答案】 C
3．(2013·课标全国卷Ⅰ)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )
A．－4 B．－
C．4 D．
【解析】 ∵(3－4i)z＝|4＋3i|，∴z＝＝＝＝＋i，∴z的虚部为.
【答案】 D
4．若z＋＝6，z·＝10，则z＝( )
A．1±3i B．3±i
C．3＋i D．3－i
【解析】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
∴，解得a＝3，b＝±1，则z＝3±i.
【答案】 B
5．(2013·湖北高考)在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 z＝＝＝1＋i，所以＝1－i，故复数z的共轭复数对应的点位于第四象限．
【答案】 D
二、填空题
6．(2013·江苏高考)设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________．
【解析】 z＝(2－i)2＝3－4i，所以|z|＝|3－4i|＝＝5.
【答案】 5
7．若＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝________.
【解析】 ＝
＝[(3－b)＋(3＋b)i]＝＋i.
∴解得∴a＋b＝3.
【答案】 3
8．当z＝－时，z2 012＋z2 014＝________.
【解析】 z＝－，∴z2＝＝－i，
∴z2 012＝(－i)2 012＝1，
z2 014＝(－i)2 014＝－1，
∴z2 012＋z2 014＝1－1＝0.
【答案】 0
三、解答题
9．计算下列各题：
(1)＋－；
(2)(＋i)5＋()4＋()7；
(3)(－－i)12＋()8.
【解】 (1)原式＝[(1＋i)2]3＋[(1－i)2]3·－
＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－
＝8＋8－16－16i＝－16i.
(2)(＋i)5＋()4＋()7
＝－i·()5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋[]2＋i7
＝16(－1＋i)－－i
＝－(16＋)＋(16－1)i.
(3)(－－i)12＋()8
＝(－i)12·(－－i)12＋()8
＝(－＋i)12＋
＝[(－＋i)3]4＋(－8＋8i)
＝1－8＋8i＝－7＋8i.
10．复数z＝，若z2＋<0，求纯虚数a.
【解】 z＝＝1－i，
∵a为纯虚数，设a＝mi(m∈R，m≠0)，
则z2＋＝(1－i)2＋＝－2i＋
＝－＋(－2)i<0，
，∴m＝4，∴a＝4i.
11．定义运算＝ad－bc，则满足＝0的复数z所对应的点在第几象限？
【解】 结合＝ad－bc可知
＝z(1＋i)－(1－i)(1＋2i)＝0，
∴z＝＝＝2－i，
∴复数z所对应的点在第四象限.
(教师用书独具)
已知z1、z2∈C，z1＋2z2∈R，且＋＝1，求证：z2－3z1为纯虚数．
【思路探究】 由题目条件推出(z2－3z1)2，再证明其小于0即可．
【自主解答】 ∵＋＝1，
∴10z＋5z＝2z1·z2，
即z＋4z＋4z1·z2＝－9z－z＋6z1·z2，
也即－(z1＋2z2)2＝(3z1－z2)2.
∵z1＋2z2∈R，z1≠0，z2≠0，
∴－(z1＋2z2)2<0，
∴(3z1－z2)2<0，
∴(3z1－z2)2为负实数，
∴z2－3z1为纯虚数．
1．证明z为纯虚数的方法：
(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，证明a＝0且b≠0；
(2)z2<0?z为纯虚数；
(3)z≠0，且z＋＝0?为纯虚数．
2．证明z∈R的方法：
(1)设z＝a＋bi(a、b∈R)，证明b＝0；
(2)z∈R?z＝；
(3)z∈R?z2≥0；
(4)z∈R?|z|2＝z2.
设z＝a＋bi(a、b∈R)，若∈R，则a、b应满足什么条件？并说明理由．
【解】 ＝
＝
＝∈R，
∴b(a2＋b2－1)＝0，∴b＝0或a2＋b2＝1.
复
数复数的
概念复数相等的充要条件复数与复数分类共轭复数复数的模复数的
运算复数的
减法法
则(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i复数减法的几何意义复平面上两点间的距离d＝|z1－z2|复数的
加法法
则(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i复数加法的几何意义复数的
乘法法
则(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i复数的
除法法
则＝＋i(c＋di≠0)
选修1－2
第三章 数系的扩充与复数的引入
3．1数系的扩充和复数的概念
3．1.1 数系的扩充和复数的概念
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)了解数系的扩充过程．(2)理解复数的基本概念．
2．过程与方法
(1)通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般性方法．
(2)类比前几次数系的扩充，让学生了解数系扩充后，实数运算律均可应用于新数系中，在此基础上，理解复数的基本概念．
3．情感、态度与价值观
(1)虚数单位的引入，产生复数集，让学生体会在这个过程中蕴含的创新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；
(2)初步学会运用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和处理问题．
●重点难点
重点：理解虚数单位i的引进的必要性及复数的有关概念．
难点：复数的有关概念及应用．
(教师用书独具)
●教学建议
建议本节课采用自主学习，运用自学指导法，通过创设问题情境，引导学生自学探究数系的扩充历程，体会数系扩充的必要性及现实意义，思考数系扩充后需考虑的因素，譬如运算法则、运算律、符号表示等问题，为本节学习奠定知识基础．本节内容比较简单，通过学生自学加讨论的方式，基本上可以解决基础内容的理解，教师可以启发引导学生辨析实数、虚数、纯虚数及复数相等的概念，达到透彻理解、触类旁通、学以致用的熟练程度．高考对该部分知识要求不高，练习要控制难度，以低中档题目为主．
●教学流程
创设问题情境，引出问题，引导学生认识虚数单位i，了解复数的概念、分类及复数相等的条件．?让学生自主完成填一填，使学生进一步熟悉复数的有关概念，提炼出其中的关键因素、重点、难点．?由学生自主分析例题1的各个选项，对应有关概念，确定出正确答案．教师只需指导完善解、答疑惑，并要求学生独立完成变式训练．?学生分组探究例题2解法，找出实数、虚数、纯虚数的特征，总结求相关参数的方程、不等式的确定方法．完成互动探究．
?
完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．?学生自主完成例题3变式训练，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导．?让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律．
课标解读
1.了解数系的扩充过程．
2．理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．(重点)
3．掌握复数的代数形式、分类等有关概念．(难点、易混点)
复数的有关概念
【问题导思】
1．为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题？
【提示】 引入新数i，规定i2＝－1，这样i就是方程x2＋1＝0的根．
2．设想新数i和实数b相乘后再与a相加，且满足加法和乘法的运算律，则运算的结果可以写成什么形式？
【提示】 a＋bi(a，b∈R)的形式．
(1)复数的定义：把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数．
(2)虚数单位：i，其满足i2＝－1.
(3)复数集：全体复数构成的集合C.
(4)复数的代数形式：z＝a＋bi(a，b∈R)．
(5)实部、虚部：对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．
复数相等
若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
复数分类
(1)对于复数a＋bi，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．
这样，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以分类如下：
复数a＋bi(a，b∈R)
(2)集合表示．
复数的基本概念
下列命题中，正确命题的个数是( )
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；
④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；
⑤－1没有平方根；
⑥若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数．
A．0 B．1 C．2 D．3
【思路探究】 根据复数的有关概念判断．
【自主解答】 ①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①是假命题．
②由于两个虚数不能比较大小，∴②是假命题．
③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0也成立，∴③是假命题．
④当一个复数实部等于零，虚部也等于零时，复数为0，∴④错．
⑤－1的平方根为±i，∴⑤错．
⑥当a＝－1时，(a＋1)i＝0是实数，∴⑥错．故选A.
【答案】 A
正确理解复数的有关概念是解答复数概念题的关键，另外在判断命题的正确性时，需通过逻辑推理加以证明，但否定一个命题的正确性时，只需举一个反例即可，所以在解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般”、“先否定，后肯定”的方法进行解答．
已知下列命题：
①复数a＋bi不是实数；
②当z∈C时，z2≥0；
③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；
④若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数；
⑤若a，b，c，d∈C时，有a＋bi＝c＋di，则a＝c，且b＝d.其中真命题的个数是________．
【解析】 根据复数的有关概念判断命题的真假．①是假命题，因为当a∈R且b＝0时，a＋bi是实数．②假命题，如当z＝i时，则z2＝－1<0.③是假命题，因为由纯虚数的条件得解得x＝2，当x＝－2时，对应复数为实数．④是假命题，因为没有强调a，b∈R.⑤是假命题，只有当a、b、c、d∈R时，结论才成立．
【答案】 0
复数的分类
当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i是
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
【思路探究】 根据复数的分类标准→
列出方程(不等式)组→解出m→结论
【自主解答】 (1)当
即m＝2时，复数z是实数．
(2)当m2－2m≠0，且m≠0，
即m≠0且m≠2时，
复数z是虚数．
(3)当
即m＝－3时，复数z是纯虚数．
1．本例中，极易忽略对m≠0的限制，从而产生增解，应注意严谨性．
2．利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式)，求解参数时，注意考虑问题要全面．
把题中的“z”换成“z＝lg m＋(m－1)i”，分别求相应问题．
【解】 (1)当即m＝1时，复数z是实数．
(2)当m－1≠0且m＞0，即m＞0且m≠1时，复数z是虚数．
(3)当lg m＝0且m－1≠0时，此时无解，即无论实数m取何值均不能表示纯虚数．
复数相等
已知＝(x2－2x－3)i(x∈R)，求x的值．
【思路探究】 根据复数相等的充要条件转化成关于x的方程组求解．
【自主解答】 ∵x∈R，∴∈R，
由复数相等的条件得：
解得x＝3.
1．复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等列方程组求实数x，y的值．
2．求解复数的有关问题时，务必注意参数x，y的范围．
求使等式(2x－1)＋i＝y－(3－y)i成立的实数x，y的值．
【解】 由解得
因忽视虚数不能比较大小而出错
求满足条件－2＋a－(b－a)i>－5＋(a＋2b－6)i的实数a，b的取值范围．
【错解】 由已知，得
解得a>－3，b<2.
【错因分析】 想当然的认为大的复数所对应的实部和虚部都大，忽视了只有实数才能比较大小的前提．两个复数，如果不全是实数，则不能比较大小．所以当两个复数能比较大小时，可以确定这两个复数必定都是实数．
【防范措施】 当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．细心审题，解题前明确每个参数的取值范围，牢记复数相等的充要条件，才能避免此类错误的出现．
【正解】 由－2＋a－(b－a)i>－5＋(a＋2b－6)i知，不等号左右两边均为实数，
所以
解得a＝b＝2.
1．对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况．
2．两个复数相等，要先确定两个复数实虚部，再利用两个复数相等的条件．
3．一般来说，两个复数不能比较大小．
1．(2012·北京高考)设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 “a＝”D?“a＋bi为纯虚数”，
“a＋bi为纯虚数”“?”“a＝0”，
∴选B.
【答案】 B
2．(1＋)i的实部与虚部分别是( )
A．1， B．1＋，0
C．0,1＋ D．0，(1＋)i
【解析】 根据复数的代数形式的定义可知(1＋)i＝0＋(1＋)i，
所以其实部为0，虚部为1＋，故选C.
【答案】 C
3．下列命题中的假命题是( )
A．自然数集是非负整数集
B．实数集与复数集的交集为实数集
C．实数集与虚数集的交集是{0}
D．纯虚数与实数集的交集为空集
【解析】 本题主要考查复数集合的构成，即复数的分类．复数可分为实数和虚数两大部分，虚数中含有纯虚数，因此，实数集与虚数集没有公共元素，故选项C中的命题是假命题．
【答案】 C
4．已知复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z<0，则m＝________.
【解析】 ∵z<0，∴∴m＝－1.
【答案】 －1
一、选择题
1．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为( )
A．－2 B. C．－ D．2
【解析】 2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，∴b＝2.
【答案】 D
2．i是虚数单位，1＋i3等于( )
A．i B．－i C．1＋i D．1－i
【解析】 由i是虚数单位可知：i2＝－1，所以1＋i3＝1＋i2×i＝1－i，故选D.
【答案】 D
3．(2012·陕西高考)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 ab＝0?a＝0或b＝0，当a≠0，b＝0时，a＋为实数，当a＋为纯虚数时?a＝0，b≠0?ab＝0，故“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．
【答案】 B
4．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．－1或1
【解析】 由题意可知，当即x＝－1时，复数z是纯虚数．
【答案】 A
5．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是( )
A．3－3i B．3＋i
C．－＋i D．＋i
【解析】 3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，则所求复数为3－3i.
【答案】 A
二、填空题
6．给出下列复数：2＋，0.618，i2,5i＋4，i，其中为实数的是________．
【解析】 2＋，0.618，i2为实数，5i＋4，i为虚数．
【答案】 2＋，0.618，i2
7．已知x－y＋2xi＝2i，则x＝________；y＝________.
【解析】 根据复数相等的充要条件得
解得
【答案】 1 1
8．给出下列几个命题：
①若x是实数，则x可能不是复数；
②若z是虚数，则z不是实数；
③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；
④－1没有平方根；
⑤两个虚数不能比较大小．
则其中正确命题的个数为________．
【解析】 因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i，故④错；⑤正确．故答案为2.
【答案】 2
三、解答题
9．实数m分别为何值时，复数z＝＋(m2－3m－18)i是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
【解】 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.
故若使z为实数，则，
解得m＝6.所以当m＝6时，z为实数．
(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.
故若使z为虚数，则m2－3m－18≠0，且m＋3≠0，
所以当m≠6且m≠－3时，z为虚数．
(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0.
故若使z为纯虚数，则，
解得m＝－或m＝1.
所以当m＝－或m＝1时，z为纯虚数．
10．若m为实数，z1＝m2＋1＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝4m＋2＋(m3－5m2＋4m)i，那么使z1>z2的m值的集合是什么？使z1【解】 当z1∈R时，m3＋3m2＋2m＝0，
m＝0，－1，－2，z1＝1或2或5.
当z2∈R时，m3－5m2＋4m＝0，
m＝0,1,4，z2＝2或6或18.
上面m的公共值为m＝0，
此时z1与z2同时为实数，
此时z1＝1，z2＝2.
所以z1>z2时m值的集合为空集，
z111．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根x0，求x0以及实数k的值．
【解】 x＝x0是方程的实根，代入方程并整理，得
(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.
由复数相等的充要条件，得
解得或
∴方程的实根为x0＝或x0＝－，相应的k值为k＝－2或k＝2.
(教师用书独具)
若z1＝m2－(m2－3m)i，z2＝(m2－4m＋3)i＋10(m∈R)，z1＜z2，求实数m的取值．
【思路探究】 由z1【自主解答】 ∵z1＜z2，∴z1，z2均为实数．
∴
∴
∴m＝3.
又z1＝m2＝9＜z2，故m＝3符合题意．
∴m＝3.
复数z＝a＋bi当且仅当其为实数时，才能比较大小，否则不能比较大小．若用“大于”或“小于”符号联系复数时，则只能是实数，故而本题需将复数问题转化到实数范围内研究讨论．
已知集合M＝{1,2，m2－3m－1＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，且M∩N＝{3}，求实数m的值．
【解】 ∵M∩N＝{3}，N＝{－1,3}，
∴3∈M，且－1?M.
必有m2－3m－1＋(m2－5m－6)i＝3.
由复数相等的定义，得
解得m＝－1.
3．2复数代数形式的四则运算
3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
掌握复数加减运算的法则及运算律，理解复数加减运算的几何意义．
2．过程与方法
在问题探究过程中，体会和学习类比、数形结合等数学思想方法，感悟运算形成的基本过程．
3．情感、态度与价值观
通过探究复数加减运算法则的过程，感悟由特殊到一般的思想，同时由向量的加减法与复数的类比，理解复数加减的运算法则，知道事物之间是普遍联系的哲学规律．
●重点难点
重点：理解和掌握复数加减运算的两种运算形式及加法运算律，准确进行加减运算，初步运用加减法的几何意义解决简单问题．
难点：复数加减法的几何意义及其应用．
(教师用书独具)
●教学建议
建议本节课采取自主探究式教学，这节课主要是复数的加减法运算，学生可以类比实数的加减法运算理解复数的加减法运算，让学生自主探讨例题1及变式训练的解法，总结规律方法．在讨论复数加法的几何意义时，引导学生联想向量的加法并运用平行四边形法则来进行运算，复数减法的几何意义，可联想向量的减法运用三角形法则来进行运算．教学中应让学生对复数的加法与向量的加法是怎样联系起来并得到统一的过程做出探究．对于一些简单的问题让学生动手去做，让学生起到主体作用，教师起到主导作用．
●教学流程
创设问题情境，引出问题，引导学生思考两个复数的和与差的运算．?让学生自主完成填一填，使学生进一步了解复数加减运算的方法，及其满足的运算律．?由学生自主分析例题1的运算方法并求解，教师只需指导完善解答疑惑．并要求学生独立完成变式训练．?学生分组探究例题2解法，通过引导学生画图，认识复数与向量的对应关系，联想向量运算的几何意义，求出z1＋z2，完成互动探究．
?
完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．?学生自主完成例题3变式训练，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导．?让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律.
课标解读
1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则．(重点)
2．理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．(难点)
复数代数形式的加减运算
【问题导思】
已知复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．
1．多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？
【提示】 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
2．复数的加法满足交换律和结合律吗？
【提示】 满足．
(1)运算法则：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)，则
①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，
②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
(2)加法运算律：
交换律
z1＋z2＝z2＋z1
结合律
(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)
复数加减法运算的几何意义
【问题导思】
如图，，分别与复数a＋bi，c＋di对应．
1．试写出，及＋，－的坐标．
【提示】 ＝(a，b)，＝(c，d)，
＋＝(a＋c，b＋d)，
－＝(a－c，b－d)．
2．向量＋，－对应的复数分别是什么？
【提示】 ＋对应的复数是a＋c＋(b＋d)i，
－对应的复数是a－c＋(b－d)i.
图3－2－1
(1)复数加法的几何意义
如图3－2－1：设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是.
(2)复数减法的几何意义
图3－2－2
如图3－2－2所示，设，分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应，且，不共线，则这两个复数的差z1－z2与向量－(即)对应，这就是复数减法的几何意义．
这表明两个复数的差z1－z2(即－)与连接两个终点Z1，Z2，且指向被减数的向量对应.
复数的加减运算
计算下列各题：
(1)(－i)＋(－＋i)＋1；
(2)(－－)－(－)＋i；
(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．
【思路探究】 解答本题可根据复数加减运算的法则进行．
【自主解答】 (1)原式＝(－)＋(－＋)i＋1＝1－i.
(2)原式＝(－＋)＋(－－＋1)i＝＋i.
(3)原式＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i＝－11i.
复数的加减法运算就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减．
已知复数z满足z＋1＋2i＝10－3i，求z.
【解】 z＋1＋2i＝10－3i，
∴z＝(10－3i)－(2i＋1)＝9－5i.
复数加减法的几何意义
设及分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，试计算z1＋z2，并在复平面内作出＋.
【思路探究】 利用加法法则求z1＋z2，利用复数的几何意义作出＋.
【自主解答】 ∵z1＝5＋3i，z2＝4＋i，
∴z1＋z2＝(5＋3i)＋(4＋i)＝9＋4i
∵＝(5,3)，＝(4,1)，
由复数的几何意义可知，＋与复数z1＋z2对应，
∴＋＝(5,3)＋(4,1)＝(9,4)．
作出向量＋＝如图所示．
1．根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算．
2．利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．
3．复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能．
在题设不变的情况下，计算z1－z2，并在复平面内作出－.
【解】 z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋2i.
－＝，
故－即为图中.
复数加减法的综合问题
已知|z＋1－i|＝1，求|z－3＋4i|的最大值和最小值．
【思路探究】 利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想解题．
【自主解答】 法一 设w＝z－3＋4i，
∴z＝w＋3－4i，
∴z＋1－i＝w＋4－5i.
又|z＋1－i|＝1，
∴|w＋4－5i|＝1.
可知w对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心，1为半径的圆．
如图(1)所示，∴|w|max＝＋1，|w|min＝－1.
(1) (2)
法二 由条件知复数z对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆，
而|z－3＋4i|＝|z－(3－4i)|表示复数z对应的点到点(3，－4)的距离，
在圆上与(3，－4)距离最大的点为A，距离最小的点为B，如图(2)所示，
所以|z－3＋4i|max＝＋1，|z－3＋4i|min＝－1.
|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解．
设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|.
【解】 法一 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．
由题意，知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1.
(a＋c)2＋(b＋d)2＝2，
∴2ac＋2bd＝0.
∴|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2
＝a2＋c2＋b2＋d2－2ac－2bd＝2.
∴|z1－z2|＝.
法二 设复数z1，z2，z1＋z2分别对应向量，，.
∵|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，
∴平行四边形OZ1ZZ2为正方形．
∴|z1－z2|＝||＝||＝.
数形结合思想在复数中的应用
复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作?ABCD，则||等于( )
A．5 B. C. D.
【思路点拨】 首先由A、C两点坐标求解出AC的中点坐标，然后再由点B的坐标求解出点D的坐标．
【规范解答】 如图，设D(x，y)，F为?ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为(2，)，
所以
即
所以点D对应的复数为z＝3＋3i，
所以＝－＝3＋3i－1＝2＋3i，
所以||＝.
【答案】 B
数与形是数学中两个最古老、也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化．数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思维方法．本章中有关复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．
解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解．
1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．
2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．
1．(2013·潍坊市高二检测)(2－2i)－(－3i＋5)等于( )
A．2－i B．－3＋i
C．5i－7 D．2＋3i
【解析】 (2－2i)－(－3i＋5)＝(2－5)＋(－2＋3)i＝－3＋i.
【答案】 B
2．在复平面内，点A对应的复数为2＋3i，向量对应的复数为－1＋2i，则向量对应的复数为( )
A．1＋5i B．3＋i
C．－3－i D．1＋i
【解析】 ∵＝－，
∴对应的复数为(2＋3i)－(－1＋2i)＝(2＋1)＋(3－2)i＝3＋i.故选B.
【答案】 B
3．实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，则xy的值是________．
【解析】 ∵(1＋i)x＋(1－i)y＝2，
∴解得
∴xy＝1.
【答案】 1
4．设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，求复数a＋bi.
【解】 ∵z1＋z2＝0，∴(2＋a)＋(b＋1)i＝0，
∴∴
复数a＋bi＝－2－i.
一、选择题
1．设复数z1＝－2＋i，z2＝1＋2i，则复数z1－z2在复平面内对应点所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 z1－z2＝(－2＋i)－(1＋2i)＝(－2－1)＋(i－2i)＝－3－i，故z1－z2对应点的坐标为(－3，－1)在第三象限．
【答案】 C
2．向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是( )
A．－10＋8i B．10－8i
C．0 D．10＋8i
【解析】 由题意可知＝(5，－4)，＝(－5,4)，
∴＋＝(5，－4)＋(－5,4)＝(5－5，－4＋4)＝(0,0)．
∴＋对应的复数是0.
【答案】 C
3．复数满足1－z＋2i－(3－i)＝2i，则z＝( )
A．1－i B．－2＋i
C．－2＋2i D．－2＋i
【解析】 z＝1＋2i－3＋i－2i＝－2＋i.
【答案】 B
4．已知复平面内的平面向量，表示的复数分别是－2＋i,3＋2i，则向量所表示的复数的模为( )
A. B. C. D.
【解析】 ＝＋，
∴向量对应的复数是(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i，且|1＋3i|＝＝.
【答案】 C
5．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为( )
A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4
C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4
【解析】 由题意可知z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i是实数，z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i是纯虚数，故
解得a＝－3，b＝－4.
【答案】 A
二、填空题
6．复数z1、z2分别对应复平面内的点M1、M2，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，线段M1M2的中点M对应的复数为4＋3i，则|z1|2＋|z2|2等于＝________.
【解析】 根据复数加减法的几何意义，由|z1＋z2|＝|z1－z2|知，以、为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等)，即∠M1OM2为直角，M是斜边M1M2的中点，
||＝＝5，
|M1M2|＝10.
|z1|2＋|z2|2＝|1|2＋||2＝||2＝100.
【答案】 100
图3－2－3
7．(2013·大连高二检测)在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，则实数a－b为________．
【解析】 因为＋＝，所以2＋i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，所以得a－b＝－4.
【答案】 －4
8．A、B分别是复数z1、z2在复平面上对应的两点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB的形状是________．
【解析】 由|z1＋z2|＝|z1－z2|知，以OA、OB为邻边的平行四边形是矩形，即OA⊥OB，故△AOB是直角三角形．
【答案】 直角三角形
三、解答题
9．计算：
(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a、b∈R)．
【解】 (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)
＝(1＋3－5)＋(2－4－6)i＝－1－8i.
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i
＝－a＋(4b－3)i.
10．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，设z＝z1－z2＝13－2i，求z1，z2.
【解】 z＝z1－z2
＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]
＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，
又∵z＝13－2i，且x，y∈R，
∴解得
∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.
11．设f(z)＝z－2i，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，求：
(1)f(z1－z2)的值；(2)f(z1＋z2)的值．
【解】 ∵z1＝3＋4i，z2＝－2－i，
∴z1－z2＝(3＋4i)－(－2－i)＝(3＋2)＋(4＋1)i＝5＋5i，
z1＋z2＝(3＋4i)＋(－2－i)＝(3－2)＋(4－1)i＝1＋3i.
∵f(z)＝z－2i，
∴(1)f(z1－z2)＝z1－z2－2i＝5＋5i－2i＝5＋3i；
(2)f(z1＋z2)＝z1＋z2－2i＝1＋3i－2i＝1＋i.
(教师用书独具)
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设复数z＝cos A＋isin A，且满足|z＋1|＝1.
(1)求复数z；
(2)求的值．
【思路探究】 本题主要考查复数的概念、代数运算及以复数为载体解三角形的知识．把复数z＋1的模转化为它对应的向量的模，从而求出A，第(2)问利用正弦定理把边转化为角，再进行三角恒等变换即可求解．
【自主解答】 (1)∵z＝cos A＋isin A，
∴z＋1＝1＋cos A＋isin A.
复数z＋1对应的向量＝(1＋cos A，sin A)，
∵||＝＝，
∴|z＋1|＝.
∴2＋2cos A＝1，
∴cos A＝－，∴A＝120°.
∴sin A＝，复数z＝－＋i.
(2)由正弦定理，得a＝2R·sin A，b＝2R·sin B，c＝2R·sin C(其中R为△ABC外接圆的半径)．
∴原式＝.
∵B＝180°－A－C＝60°－C，
∴原式＝
＝
＝
＝＝2.
即＝2.
复数的代数运算可以综合三角形、不等式及向量等知识，一般是以复数为载体，利用复数的概念和代数运算转化为其他知识，如不等式、三角函数等．
在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
(1)求向量，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状．
【解】 (1)由题意知，复平面内A，B，C三点的坐标分别为(1,0)，(2,1)，(－1,2)，
＝－＝(2,1)－(1,0)＝(1,1)，
＝－＝(－1,2)－(1,0)＝(－2,2)，
＝－＝(－1,2)－(2,1)＝(－3,1)，
所以，，对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.
(2)因为||2＝10，||2＝8，||2＝2，
所以有||2＝||2＋||2，
所以△ABC为直角三角形.
复数的概念及分类
复数是在实数的基础上扩充的，其虚数单位为i，满足i2＝－1，且i同实数间可以进行加、减、乘、除法的运算，结合复数的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)中，a、b的条件可把复数分为：
复数(z＝a＋bi，
a、b∈R)
其中纯虚数中“b≠0”这个条件易被忽略，学习中应引起足够的注意．
设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为( )
A．2 B．－2
C．－ D．
【思路点拨】 先将已知复数化为“a＋bi”的形式，再由纯虚数定义求a.
【规范解答】 法一 ＝＝
为纯虚数，所以2－a＝0，a＝2，故选A.
法二 ＝为纯虚数，所以a＝2，故选A.
【答案】 A
若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则
( )
A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1 D．a≠2
【解析】 a2－a－2≠0或，
a≠－1且a≠2或a＝2.
综上可知，a≠－1.
【答案】 C
复数的四则运算
复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分母有理化，要注意i2＝－1.在进行复数的运算时，要灵活利用i，ω的性质，或适当变形创造条件，从而转化为关于i，ω的计算问题，并注意以下结论的灵活应用：
(1)设ω＝－±i，则ω2＝，＝ω2，ω3n＝1，ω3n＋1＝ω(n∈N＋)等．
(2)(±i)3＝－1.
(3)作复数除法运算时，有如下技巧：＝＝＝i，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化．
已知复数z＝1－i，则＋＝( )
A．1－i B．－2i
C．1＋i D．－2
【思路点拨】 先计算z1＝，再计算z1＋.
【规范解答】 法一 ＝＝
＝＝－2i，
∴＋＝－2i＋1＋i＝1－i.故选A.
法二 ＝＝z－1－
＝(－i)－＝－i－＝－2i.
∴＋＝－2i＋1＋i＝1－i.故选A.
【答案】 A
计算：(1)；
(2)＋()2 006.
【解】 (1)＝
＝－
＝2(－＋i)
＝－1＋i.
(2)＋()2 006＝＋
＝－
＝i－
＝i－i＝0.
共轭复数与模
共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念，在解决有关复数问题时，除用共轭复数定义与模的计算公式解题外，也常用下列结论简化解题过程：
(1)|z|＝1?z＝；
(2)z∈R?＝z；
(3)z≠0，z为纯虚数?＝－z.
设z1、z2∈C，且|z1|＝1，|z2|≠1，求||的值．
【思路点拨】 利复数模的性质：z·＝|z|2进行化简．
【规范解答】 ∵|z1|＝1，
∴|z1|2＝z1·＝1.
从而||＝||＝||＝＝1.
已知z∈C，解方程z·－3i＝1＋3i.
【解】 ∵z·＝|z|2，把方程变形为
＝－1＋i，①
两边取模得||2＝|z|2＝1＋.
整理得|z|4－11|z|2＋10＝0.
解得|z|2＝1或|z|2＝10.
将其代入①得＝－1或＝－1－3i.
∴z＝－1或z＝－1＋3i.
复数的几何意义
1.复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．
2．任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内一点Z(a，b)对应，而任一 点(a，b)又可以与以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量对应，这些对应都是一一对应，由此得到复数的几何解法，特别注意|z|、|z－a|的几何意义——距离．
3．复数加减法几何意义的实质就是平行四边形法则和三角形法则．
由减法的几何意义知|z－z1|表示复平面上两点Z，Z1间的距离．
4．复数形式的基本轨迹
(1)当|z－z1|＝r时，表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆；单位圆|z|＝1.
(2)当|z－z1|＝|z－z2|时，表示以复数z1、z2的对应点为端点的线段的垂直平分线．
已知复数z1＝i(1－i)3，
(1)求|z1|；
(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．
【思路点拨】 (1)利用模的定义求解；
(2)可以利用三角代换，也可利用几何法数形结合．
【规范解答】 (1)z1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)＝2(1－i)，
∴|z1|＝＝2.
(2)法一 |z|＝1，∴设z＝cos θ＋isin θ，
|z－z1|＝|cos θ＋isin θ－2＋2i|
＝
＝.
当sin(θ－)＝1时，
|z－z1|取得最大值，
从而得到|z－z1|的最大值2＋1.
法二 |z|＝1可看成半径为1，圆心为(0,0)的圆，而z1对应坐标系中的点(2，－2)．
∴|z－z1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点距离最大，则|z－z1|max＝2＋1.
已知等腰梯形OABC的顶点A、B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.
【解】 设顶点C对应的复数z＝x＋yi，x，y∈R，
∵OA∥BC，|OC|＝|BA|，
∴kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，
即
解得或
∵|OA|≠|BC|，
∴x2＝－3，y2＝4(舍去)，故z＝－5.
复数问题实数化的思想
复数的代数形式z＝x－yi(x，y∈R)，从实部虚部来理解一个复数，把复数z满足的条件转化为实数x，y应该满足的条件，从而可以从实数的角度利用待定系数法和方程思想来处理复数问题．
已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.
【思路点拨】 由x，y为共轭复数设出x，y代入条件等式，利用复数相等转化为实数方程组．
【规范解答】 设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi.
又(x＋y)2－3xyi＝4－6i，
∴4a2－3(a2＋b2)i＝4－6i.
∴
∴或或或
∴或或
设存在复数z同时满足下列两个条件：
①复数z在复平面内的对应点位于第二象限；
②z·＋2iz＝8＋ai(a∈R)．
求a的取值范围．
【解】 设z＝x＋yi(x，y∈R)，由①得x<0，y>0.
由②得x2＋y2＋2i(x＋yi)＝8＋ai，
即x2＋y2－2y＋2xi＝8－ai，
由复数相等的充要条件，得
即
∵x2＋(y－1)2＝9表示以(0,1)为圆心，3为半径的圆，且x<0，∴－3≤x<0，
∴－6≤2x<0，即－6≤a<0，
∴a的取值范围是[－6,0)．
课件33张PPT。课件45张PPT。教师用书独具演示演示结束复数的有关概念 复数 i2＝－1 C a＋bi(a，b∈R) a b 复数相等 a＝c b＝d 复数分类 实数 a＝b＝0 虚数 纯虚数 复数的基本概念 复数的分类 复数相等 课时作业（八）课件46张PPT。教师用书独具演示演示结束复平面 实轴 虚轴 原点 复数的几何意义 复平面内的点Z(a，b) 同一个 复数的模 |z| |a＋bi| 复平面内的点同复数的对应关系 复数的模的求法 复数的模及其几何意义 课时作业（九）课件51张PPT。教师用书独具演示演示结束复数代数形式的加减运算 (a＋c)＋(b＋d)i (a－c)＋(b－d)i z2＋z1 z1＋(z2＋z3) 复数加减法运算的几何意义 被减数 复数的加减运算 复数加减法的几何意义 复数加减法的综合问题 课时作业（十）课件52张PPT。教师用书独具演示演示结束复数的乘法 (ac－bd)＋(ad＋bc)i z2·z1 z1·(z2·z3) z1z2＋z1z3 复数的除法与共轭复数 c－di 实部相等，虚部互为相反数 a－bi 复数代数形式的乘除法运算 虚数单位i的幂的周期性及其应用 共轭复数的应用 课时作业（十一）综合检测(三)
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．复数－i＋＝( )
A．－2i B.i
C．0 D．2i
【解析】 －i＋＝－i＋(－i)＝－2i，故选A.
【答案】 A
2．复数z满足(z－i)i＝2＋i，则z＝( )
A．－1－i B．1－i
C．－1＋3i D．1－2i
【解析】 z－i＝＝＝1－2i，z＝i＋1－2i＝1－i.
【答案】 B
3．复数＝( )
A．－－i B．－＋i
C.－i D．＋i
【解析】 依题意得＝＝＝＝＝－i，选C.
【答案】 C
4．(2013·福建高考)已知复数z的共轭复数＝1＋2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 ∵＝1＋2i，∴z＝1－2i，∴z在复平面内对应的点位于第四象限．
【答案】 D
5．a为正实数，i为虚数单位，||＝2，则a＝( )
A．2 B．
C. D．1
【解析】 ||＝|－1＋ai|＝2，
即＝2.
a2＋1＝4，
∴a2＝3.又a为正实数，
∴a＝.
【答案】 B
6．已知复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·2是实数，则实数t等于( )
A. B．
C．－ D．－
【解析】 z1·2＝(3＋4i)(t－i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i，依题意4t－3＝0，∴t＝.
【答案】 A
7．设z∈C，若z2为纯虚数，则z在复平面上的对应点落在( )
A．实轴上 B．虚轴上
C．直线y＝±x(x≠0)上 D．以上都不对
【解析】 设z＝a＋bi(a、b∈R)，
∵z2＝a2－b2＋2abi为纯虚数，
∴∴a＝±b，即z在直线y＝±x(x≠0)上．
【答案】 C
8．(2013·安徽高考)设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若z·i＋2＝2z，则z＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
【解析】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，由z·i＋2＝2z，得(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，即(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，由复数相等的条件得得
∴z＝1＋i.
【答案】 A
9．若i为虚数单位，图1中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是
( )
图1
A．E B．F
C．G D．H
【解析】 由题图知z＝3＋i，所以＝＝＝＝2－i，故对应点为H.
【答案】 D
10．(2013·深圳高二检测)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 3－4i＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i，
∴
得∴λ＋μ＝1.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
11．复数z＝的共轭复数是________．
【解析】 z＝＝＝－i，∴＝i.
【答案】 i
12.＝________.
【解析】 ＝
＝|－3－i|＝.
【答案】
13．(2013·泰安高二检测)设x，y为实数且＋＝，则x＋y＝________.
【解析】 ＋＝
?＋＝
?x(1＋i)＋y(1＋2i)＝(1＋3i)
?解得
所以x＋y＝4.
【答案】 4
14．(2013·太原高二检测)若复数z＝，则复数z的虚部为________．
【解析】 由z＝＝＝＝－i知，复数z＝的虚部是－1.
【答案】 －1
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)m为何实数时，复数z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)是
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？
【解】 z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)
＝2m2＋m2i－3mi－3m－2＋2i
＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
(1)由m2－3m＋2＝0得m＝1或m＝2，
即m＝1或2时，z为实数．
(2)由m2－3m＋2≠0得m≠1且m≠2，
即m≠1且m≠2时，z为虚数．
(3)由得m＝－，
即m＝－时，z为纯虚数．
16．(本小题满分12分)在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2＋i.
(1)如果点A关于实轴的对称点为B，求向量对应的复数；
(2)如果(1)中点B关于虚轴的对称点为C，求点C对应的复数．
【解】 (1)设所求向量对应的复数为z1＝a＋bi(a，b∈R)，则点B的坐标为(a，b)．
已知A(2,1)，由对称性可知a＝2，b＝－1.
所以对应的复数为z1＝2－i.
(2)设所求点C对应的复数为 z2＝c＋di(c，d∈R)，
则C(c，d)．由(1)，得B(2，－1)．
由对称性可知，c＝－2，d＝－1.
故点C对应的复数为z2＝－2－i.
17．(本小题满分12分)已知z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
【解】 设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则z＋2i＝x＋(y＋2)i，
由题意得y＝－2，
∴z＝x－2i.
＝＝(x－2i)(2＋i)
＝(2x＋2)＋(x－4)i，
由题意得x＝4，
∴z＝4－2i.
∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
根据条件，
可知
解得2＜a＜6.
∴实数a的取值范围是(2,6)．
18．(本小题满分14分)(2013·湛江高二检测)已知关于x的方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有实根b.
(1)求实数a，b的值；
(2)若复数z满足|－a－bi|－2|z|＝0，则z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值．
【解】 (1)因为b是方程的根，
所以(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，
故，
解得a＝b＝3.
(2)设z＝x＋yi(x，y是实数)，
由|－3－3i|＝2|z|，
得：(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，
即(x＋1)2＋(y－1)2＝8.
∴z的对应点Z的轨迹是以(－1,1)为圆心，2为半径的圆．
所以z＝1－i时，|z|最小值为.
一、选择题
1．设复数z1＝－2＋i，z2＝1＋2i，则复数z1－z2在复平面内对应点所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 z1－z2＝(－2＋i)－(1＋2i)＝(－2－1)＋(i－2i)＝－3－i，故z1－z2对应点的坐标为(－3，－1)在第三象限．
【答案】 C
2．向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是( )
A．－10＋8i B．10－8i
C．0 D．10＋8i
【解析】 由题意可知＝(5，－4)，＝(－5,4)，
∴＋＝(5，－4)＋(－5,4)＝(5－5，－4＋4)＝(0,0)．
∴＋对应的复数是0.
【答案】 C
3．复数满足1－z＋2i－(3－i)＝2i，则z＝( )
A．1－i B．－2＋i
C．－2＋2i D．－2＋i
【解析】 z＝1＋2i－3＋i－2i＝－2＋i.
【答案】 B
4．已知复平面内的平面向量，表示的复数分别是－2＋i,3＋2i，则向量所表示的复数的模为( )
A. B.
C. D.
【解析】 ＝＋，
∴向量对应的复数是(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i，且|1＋3i|＝＝.
【答案】 C
5．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为( )
A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4
C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4
【解析】 由题意可知z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i是实数，z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i是纯虚数，故
解得a＝－3，b＝－4.
【答案】 A
二、填空题
6．复数z1、z2分别对应复平面内的点M1、M2，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，线段M1M2的中点M对应的复数为4＋3i，则|z1|2＋|z2|2等于＝________.
【解析】 根据复数加减法的几何意义，由|z1＋z2|＝|z1－z2|知，以、为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等)，即∠M1OM2为直角，M是斜边M1M2的中点，
||＝＝5，
|M1M2|＝10.
|z1|2＋|z2|2＝|1|2＋||2＝||2＝100.
【答案】 100
图3－2－3
7．(2013·大连高二检测)在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，则实数a－b为________．
【解析】 因为＋＝，所以2＋i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，所以得a－b＝－4.
【答案】 －4
8．A、B分别是复数z1、z2在复平面上对应的两点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB的形状是________．
【解析】 由|z1＋z2|＝|z1－z2|知，以OA、OB为邻边的平行四边形是矩形，即OA⊥OB，故△AOB是直角三角形．
【答案】 直角三角形
三、解答题
9．计算：
(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a、b∈R)．
【解】 (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)
＝(1＋3－5)＋(2－4－6)i＝－1－8i.
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i
＝－a＋(4b－3)i.
10．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，设z＝z1－z2＝13－2i，求z1，z2.
【解】 z＝z1－z2
＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]
＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，
又∵z＝13－2i，且x，y∈R，
∴解得
∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.
11．设f(z)＝z－2i，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，求：
(1)f(z1－z2)的值；(2)f(z1＋z2)的值．
【解】 ∵z1＝3＋4i，z2＝－2－i，
∴z1－z2＝(3＋4i)－(－2－i)＝(3＋2)＋(4＋1)i＝5＋5i，
z1＋z2＝(3＋4i)＋(－2－i)＝(3－2)＋(4－1)i＝1＋3i.
∵f(z)＝z－2i，
∴(1)f(z1－z2)＝z1－z2－2i＝5＋5i－2i＝5＋3i；
(2)f(z1＋z2)＝z1＋z2－2i＝1＋3i－2i＝1＋i.
一、选择题
1．复数(2＋i)2等于( )
A．3＋4i B．5＋4i
C．3＋2i D．5＋2i
【解析】 (2＋i)2＝4＋4i＋i2＝4＋4i－1＝3＋4i.故选A.
【答案】 A
2．i是虚数单位，复数＝( )
A．1－i B．－1＋i
C．1＋i D．－1－i
【解析】 ＝＝＝1＋i.
【答案】 C
3．(2013·课标全国卷Ⅰ)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )
A．－4 B．－
C．4 D．
【解析】 ∵(3－4i)z＝|4＋3i|，∴z＝＝＝＝＋i，∴z的虚部为.
【答案】 D
4．若z＋＝6，z·＝10，则z＝( )
A．1±3i B．3±i
C．3＋i D．3－i
【解析】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
∴，解得a＝3，b＝±1，则z＝3±i.
【答案】 B
5．(2013·湖北高考)在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 z＝＝＝1＋i，所以＝1－i，故复数z的共轭复数对应的点位于第四象限．
【答案】 D
二、填空题
6．(2013·江苏高考)设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________．
【解析】 z＝(2－i)2＝3－4i，所以|z|＝|3－4i|＝＝5.
【答案】 5
7．若＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝________.
【解析】 ＝
＝[(3－b)＋(3＋b)i]＝＋i.
∴解得∴a＋b＝3.
【答案】 3
8．当z＝－时，z2 012＋z2 014＝________.
【解析】 z＝－，∴z2＝＝－i，
∴z2 012＝(－i)2 012＝1，
z2 014＝(－i)2 014＝－1，
∴z2 012＋z2 014＝1－1＝0.
【答案】 0
三、解答题
9．计算下列各题：
(1)＋－；
(2)(＋i)5＋()4＋()7；
(3)(－－i)12＋()8.
【解】 (1)原式＝[(1＋i)2]3＋[(1－i)2]3·－
＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－
＝8＋8－16－16i＝－16i.
(2)(＋i)5＋()4＋()7
＝－i·()5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋[]2＋i7
＝16(－1＋i)－－i
＝－(16＋)＋(16－1)i.
(3)(－－i)12＋()8
＝(－i)12·(－－i)12＋()8
＝(－＋i)12＋
＝[(－＋i)3]4＋(－8＋8i)
＝1－8＋8i＝－7＋8i.
10．复数z＝，若z2＋<0，求纯虚数a.
【解】 z＝＝1－i，
∵a为纯虚数，设a＝mi(m∈R，m≠0)，
则z2＋＝(1－i)2＋＝－2i＋
＝－＋(－2)i<0，
，∴m＝4，∴a＝4i.
11．定义运算＝ad－bc，则满足＝0的复数z所对应的点在第几象限？
【解】 结合＝ad－bc可知
＝z(1＋i)－(1－i)(1＋2i)＝0，
∴z＝＝＝2－i，
∴复数z所对应的点在第四象限.
一、选择题
1．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为( )
A．－2 B.
C．－ D．2
【解析】 2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，∴b＝2.
【答案】 D
2．i是虚数单位，1＋i3等于( )
A．i B．－i
C．1＋i D．1－i
【解析】 由i是虚数单位可知：i2＝－1，所以1＋i3＝1＋i2×i＝1－i，故选D.
【答案】 D
3．(2012·陕西高考)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 ab＝0?a＝0或b＝0，当a≠0，b＝0时，a＋为实数，当a＋为纯虚数时?a＝0，b≠0?ab＝0，故“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．
【答案】 B
4．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．－1或1
【解析】 由题意可知，当即x＝－1时，复数z是纯虚数．
【答案】 A
5．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是( )
A．3－3i B．3＋i
C．－＋i D．＋i
【解析】 3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，则所求复数为3－3i.
【答案】 A
二、填空题
6．给出下列复数：2＋，0.618，i2,5i＋4，i，其中为实数的是________．
【解析】 2＋，0.618，i2为实数，5i＋4，i为虚数．
【答案】 2＋，0.618，i2
7．已知x－y＋2xi＝2i，则x＝________；y＝________.
【解析】 根据复数相等的充要条件得
解得
【答案】 1 1
8．给出下列几个命题：
①若x是实数，则x可能不是复数；
②若z是虚数，则z不是实数；
③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；
④－1没有平方根；
⑤两个虚数不能比较大小．
则其中正确命题的个数为________．
【解析】 因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i，故④错；⑤正确．故答案为2.
【答案】 2
三、解答题
9．实数m分别为何值时，复数z＝＋(m2－3m－18)i是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
【解】 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.
故若使z为实数，则，
解得m＝6.所以当m＝6时，z为实数．
(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.
故若使z为虚数，则m2－3m－18≠0，且m＋3≠0，
所以当m≠6且m≠－3时，z为虚数．
(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0.
故若使z为纯虚数，则，
解得m＝－或m＝1.
所以当m＝－或m＝1时，z为纯虚数．
10．若m为实数，z1＝m2＋1＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝4m＋2＋(m3－5m2＋4m)i，那么使z1>z2的m值的集合是什么？使z1【解】 当z1∈R时，m3＋3m2＋2m＝0，
m＝0，－1，－2，z1＝1或2或5.
当z2∈R时，m3－5m2＋4m＝0，
m＝0,1,4，z2＝2或6或18.
上面m的公共值为m＝0，
此时z1与z2同时为实数，
此时z1＝1，z2＝2.
所以z1>z2时m值的集合为空集，
z111．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根x0，求x0以及实数k的值．
【解】 x＝x0是方程的实根，代入方程并整理，得
(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.
由复数相等的充要条件，得
解得或
∴方程的实根为x0＝或x0＝－，相应的k值为k＝－2或k＝2.
一、选择题
1．过原点和－i对应点的直线的倾斜角是( )
A. B．－
C. D．
【解析】 ∵－i在复平面上的对应点是(，－1)，
∴tan α＝＝－(0≤α<π)，∴α＝π.
【答案】 D
2．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则a的值为( )
A．a＝0或a＝2 B．a＝0
C．a≠1且a≠2 D．a≠1或a≠2
【解析】 ∵复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，∴a2－2a＝0，∴a＝0或a＝2.
【答案】 A
3．已知复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＝|z2|，则实数a＝( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．±1或0
【解析】 由题意得，＝?a2＝1?a＝±1.
【答案】 C
4．复数z与它的模相等的充要条件是( )
A．z为纯虚数 B．z是实数
C．z是正实数 D．z是非负实数
【解析】 设z＝a＋bi，则|z|＝，又z＝|z|，即＝a.
∴b＝0，a≥0，即z是非负实数．
【答案】 D
5．设复数z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是( )
A．复数z对应的点在第一象限
B．复数z一定不是纯虚数
C．复数z对应的点在实轴上方
D．复数z一定是实数
【解析】 ∵2t2＋5t－3＝0的Δ＝25＋24＝49>0，
∴方程有两根，2t2＋5t－3的值可正可负，∴A、B不正确．
又t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1>0，∴D不正确，
∴C正确．
【答案】 C
二、填空题
6．复数z＝log3＋ilog3对应的点位于复平面内的第________象限．
【解析】 ∵log3<0，log3<0，
∴z对应的点在第三象限．
【答案】 三
7．若复数z1＝3－5i，z2＝1－i，z3＝－2＋ai在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a＝________.
【解析】 设复数z1，z2，z3分别对应点P1(3，－5)，P2(1，－1)，P3(－2，a)，由已知可得＝，从而可得a＝5.
【答案】 5
8．已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于，则实数x的取值范围是________．
【解析】 由题意得<，
∴5x2－6x－8<0，∴(5x＋4)(x－2)<0，
∴－【答案】 (－，2)
三、解答题
9．在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的对应点，
(1)在虚轴上；
(2)在第二象限；
(3)在直线y＝x上．
试分别求实数m的取值范围．
【解】 复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.
(1)由题意，得m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1.
(2)由题意，得
∴
∴－1＜m＜1，
即m∈(－1,1)．
(3)由已知，得m2－m－2＝m2－3m＋2，
∴m＝2.
10．已知z1＝x2＋i，z2＝(x2＋a)i对任意的x∈R均有|z1|＞|z2|成立，试求实数a的取值范围．
【解】 ∵|z1|＝，|z2|＝|x2＋a|，且|z1|＞|z2|，
∴＞|x2＋a|对x∈R恒成立，等价于(1－2a)x2＋(1－a2)＞0恒成立．
不等式等价于①：解得a＝，
∴a＝时，0·x2＋(1－)＞0恒成立．
或②：
解得－1＜a＜.
∴a∈(－1，)．
综上，可得实数a的取值范围是{a|a∈R，且－1＜a≤}．
11．如图3－1－1，平行四边形OABC，顶点O、A、C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：
图3－1－1
(1)表示的复数，表示的复数；
(2)所表示的复数；
(3)设P为复平面上一点且满足||＝||，求P点的轨迹方程．
【解】 (1)＝－，而对应的复数为3＋2i，
∴表示的复数为－3－2i；
∵＝.∴表示的复数为－3－2i.
(2)＝－，
∴所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)设P(x，y)，∵||＝|5－2i|＝＝，
||＝，由||＝||，得x2＋y2＝29，即点P的轨迹方程为x2＋y2＝29.
