模块学习评价
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2013·辽宁高考)复数z＝的模为( )
A. B.
C. D．2
【解析】 因为z＝＝－－i，所以|z|＝|－－i|＝.
【答案】 B
2．下面4个散点图中，不适合用线性回归模型拟合的两个变量是( )
【解析】 A、C、D的散点图大致分布在一条直线左右两侧，故可以用线性回归模型来拟合，B中点分布在一条曲线两侧可以用非线性回归模型拟合．
【答案】 B
3．(2013·大连高二检测)有一段演绎推理：直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b?平面α，直线a?平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a.这个结论显然是错误的，这是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
【解析】 大前提错误，直线平行于平面，未必有直线平行于平面内的所有直线．
【答案】 A
4．(2013·南阳高二检测)已知i为虚数单位，则复平面内表示复数z＝的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 因为＝＝＝＋i，所以复平面内表示复数的点的坐标是(，)，该点位于第一象限，选A.
【答案】 A
5．(2012·江西高考)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28 B．76
C．123 D．199
【解析】 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.
【答案】 C
6．(2013·辽宁高考)执行如图1所示的程序框图，若输入n＝8，则输出S＝
( )
图1
A. B．
C. D．
【解析】 运行一次后，S＝0＋＝，i＝4；运行两次后S＝＋＝，i＝6；运行三次后S＝＋＝，i＝8；运行四次后S＝＋＝，i＝10,10>8，不再循环，输出S.
【答案】 A
7．关于分类变量x与y的随机变量K2的观测值k，下列说法正确的是( )
A．k的值越大，“X和Y有关系”可信程度越小
B．k的值越小，“X和Y有关系”可信程度越小
C．k的值越接近于0，“X和Y无关”程度越小
D．k的值越大，“X和Y无关”程度越大
【解析】 k的值越大，X和Y有关系的可能性就越大，也就意味着X和Y无关系的可能性就越小．
【答案】 B
8．(2012·课标全国卷)在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )
A．－1 B．0
C. D．1
【解析】 样本点都在直线上时，其数据的估计值与真实值是相等的，即yi＝i，代入相关系数公式r＝＝1.
【答案】 D
图2
9．如图2所示的流程图，输出d的含义是( )
A．点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离
B．点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的平方
C．点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的倒数
D．两条平行线间的距离
【解析】 结合流程图可知d＝，其表示点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离．
【答案】 A
10．设a，b，c大于0，a＋b＋c＝3，则3个数：a＋，b＋，c＋的值
( )
A．都大于2 B．至少有一个不大于2
C．都小于2 D．至少有一个不小于2
【解析】 假设a＋＞2，b＋＞2，c＋＞2，
∵a＋＋b＋＋c＋
＝(a＋)＋(b＋)＋(c＋)
≥2＋2＋2＝6.
“＝”成立的条件为a＝b＝c＝1，
这与a＋＋b＋＋c＋＞6相矛盾，
故a＋，b＋，c＋至少有一个不大于2.
【答案】 B
11．(2013·湖南高考)复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于
( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 ∵z＝i·(1＋i)＝－1＋i，∴复数z对应复平面上的点是(－1,1)，该点位于第二象限．
【答案】 B
12．下列推理合理的是( )
A．f(x)是增函数，则f′(x)＞0
B．因为a＞b(a、b∈R)，则a＋2i＞b＋2i(i是虚数单位)
C．α、β是锐角△ABC的两个内角，则sin α＞cos β
D．A是三角形ABC的内角，若cos A＞0，则此三角形为锐角三角形
【解析】 A不正确，若f(x)是增函数，则f′(x)≥0；B不正确，复数一般不比较大小；C正确，∵α＋β＞，
∴α＞－β，∴sin α＞cos β；D不正确，只有cos A＞0，cos B＞0，cos C＞0，才能说明此三角形为锐角三角形．
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．(2013·承德高二检测)已知x、y的取值如下表：
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为＝0.95x＋a，则a＝________.
【解析】 ∵(，)必在直线＝0.95x＋a上，
又＝＝2，＝＝，
∴＝0.95×2＋a，
∴a＝2.6.
【答案】 2.6
14．现有一个关于平面图形的命题：如图3，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心．则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．
图3
【解析】 可取特殊情况研究，当将一正方体的一项点垂直放在另一正方体中心时，易知两正方体重叠部分为正方体的部分，故其体积为.
【答案】
15．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，….根据上述规律，第五个等式为________．
【解析】 13＋23＝(1＋2)2＝32，
13＋23＋33＝(1＋2＋3)2＝62，
13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2＝102，
…
∴猜想13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2＝152，
13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.
【答案】 13＋23＋33＋43＋53＋63＝212
16．已知函数y＝如图4表示的是给定x的值，求其对应的函数值y的程序框图．①处应填写________；②处应填写________．
图4
【解析】 框图中的①就是分段函数解析式两种形式的判断条件，故填写“x＜2？”，②就是函数的另一段表达式y＝log2x.
【答案】 x＜2？ y＝log2x
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(1)计算()2＋；
(2)复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足z＋2i＝3＋i，求复数z的对应点Z所在的象限．
【解】 (1)原式＝＋
＝i＋＝＋i.
(2)由z＋2i＝3＋i得
(x＋2y)＋(y＋2x)i＝3＋i，
∴
解得x＝－，y＝，
∴z＝－＋i，
∴复数z对应点Z的坐标为(－，)，即在第二象限．
18．(本小题满分12分)为了调查胃病是否与生活规律有关，对某地540名40岁以上的人进行了调查，结果如下：
患胃病
不患胃病
总计
生活无规律
60
260
320
生活有规律
20
200
220
总计
80
460
540
根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为40岁以上的人患胃病与生活规律有关系？
【解】 根据公式得K2的观测值
k＝≈9.638>6.635，
因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为40岁以上的人患胃病与生活规律有关．
19．(本小题满分12分)(2012·中山高二检测)已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：＋＋＞3.
【证明】 法一(分析法) 要证＋＋＞3，
只需证明＋－1＋＋－1＋＋－1＞3，
即证＋＋＋＋＋＞6，
而事实上，由a，b，c是全不相等的正实数，
∴＋＞2，＋＞2，＋＞2，
∴＋＋＋＋＋＞6，
∴＋＋＞3得证．
法二(综合法) ∵a，b，c全不相等，
∴与，与，与全不相等，
∴＋＞2，＋＞2，＋＞2，
三式相加得＋＋＋＋＋＞6，
∴(＋－1)＋(＋－1)＋(＋－1)＞3，
即＋＋＞3.
20．(本小题满分12分)某产品的广告支出x(单位：万元)与销售收入y(单位：万元)之间有下表所对应的数据.
广告支出x(单位：万元)
1
2
3
4
销售收入y(单位：万元)
12
28
42
56
(1)画出表中数据的散点图；
(2)求出y对x的线性回归方程；
(3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？
【解】 (1)散点图如图：
(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下列表格，以备计算、.
i
xi
yi
x
xiyi
1
1
12
1
12
2
2
28
4
56
3
3
42
9
126
4
4
56
16
224
于是＝，＝，
代入公式得：
＝
＝＝，
＝－＝－×＝－2.
故y与x的线性回归方程为＝x－2，其中回归系数为，它的意义是：广告支出每增加1万元，销售收入y平均增加万元．
(3)当x＝9万元时，y＝×9－2＝129.4(万元)．
所以当广告费为9万元时，可预测销售收入约为129.4万元．
21．(本小题满分12分)某市环境保护局信访工作流程如下：
(1)信访办受理来访，一般信访填单转办，重大信访报局长批示后转办．
(2)及时转送有关部门办理、督办，如特殊情况未能按期办理完毕，批准后可延办，办理完毕后反馈．
(3)信访办理情况反馈后，归档备查，定期通报．
据上画出该局信访工作流程图．
【解】 如图所示：
22．(本小题满分12分)(2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
【解】 法一 (1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°
＝1－sin 30°＝1－＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝.
法二 (1)同法一．
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α
＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)
＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.
选修1－2
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第一章 统计案例
【命题趋势】 从近几年的高考试题来看，高考对本章内容的考查有加强的趋势，主要以考查回归分析、独立性检验为主，并借助解决一些简单的实际问题来考查一些基本的统计思想．同时在该部分的高考试题中，还渗透了数形结合、转化与化归等数学思想，考查了学生利用统计方法解决实际问题的能力．题型多为选择题、填空题，也有解答题出现．
回归分析
(教材第2页例1)
从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示．
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高/cm
165
165
157
170
175
165
155
170
体重/kg
48
57
50
54
64
61
43
59
求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为172 cm的女大学生的体重．
1．(2011·江西高考)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
父亲身高x(cm)
174
176
176
176
178
儿子身高y(cm)
175
175
176
177
177
则y对x的线性回归方程为( )
A．y＝x－1 B．y＝x＋1
C．y＝88＋x D．y＝176
【命题意图】 本题考查线性回归方程的有关知识，考查学生的计算能力及分析解决问题的能力．
【解析】 由题意
＝＝176，
＝＝176，
由于(， )一定满足线性回归方程，经验证知选C.
【答案】 C
2．(2011·山东高考)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元
【命题意图】 本题主要考查回归方程的应用，考查回归分析思想的应用能力及运算能力．
【解析】 ∵＝＝，
＝＝42，
又＝x＋必过(，)，∴42＝×9.4＋，∴＝9.1.
∴线性回归方程为＝9.4x＋9.1.
∴当x＝6时，＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．
【答案】 B
1．若施肥量x(kg)与小麦产量y(kg)之间的回归直线方程为＝250＋4x，当施肥量为50 kg时，预计小麦产量为________．
【解析】 把x＝50代入＝250＋4x，可求得＝450.
【答案】 450 kg
2．某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量(mg/L)与消光系数的结果如下：
尿汞含量x
2
4
6
8
10
消光系数y
64
138
205
285
360
若y与x具有线性相关关系，则回归直线方程是________．
【解析】 由已知表格中的数据，利用科学计算器进行计算得＝6，＝210.4，＝220，
iyi＝7 790，
所以＝＝36.95，＝－＝－11.3.
所以回归直线方程为＝－11.3＋36.95x.
【答案】 ＝－11.3＋36.95x
独立性检验
(教材第16页习题1.2第2题)
通过随机询问72名不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下列联表：
性别与读营养说明列联表
女
男
总计
读营养说明
16
28
44
不读营养说明
20
8
28
总计
36
36
72
能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为性别与是否看营养说明之间有关系？
1．(2011·湖南高考)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由K2＝算得，K2＝≈7.8.
附表：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是( )
A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
【命题意图】 本题考查统计与独立性检验的相关知识，考查用统计思想解决实际问题的能力．
【解析】 根据独立性检验的基本思想方法可知，
因为K2≈7.8＞6.635，
所以可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”．也就说，有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．
【答案】 A
2．(2012·辽宁高考)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
图1
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷
体育迷
合计
男
女
合计
(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．
附：χ2＝
P(χ2≥k)
0.05
0.01
k
3.841
6.635
【命题意图】 本题主要考查独立性检验、古典概型等知识以及运算能力．考查统计方法的应用能力．
【解】 (1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：
非体育迷
体育迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
χ2＝＝＝≈3.030.因为3.030<3.841，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．
(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，其中ai表示男性，i＝1,2,3，bj表示女性，j＝1,2.
Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“任选2 人中，至少有1人是女性”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，事件A由7个基本事件组成，因而P(A)＝.
1．某运动队研制了一种有助于运动员在大运动量的训练后快速恢复的口服制剂，为了试验新药的效果，抽取若干名运动员来试验，所得资料如下：
性别
药
恢复效果
男运动员
女运动员
未用
用
未用
用
有效(恢复得好)
60
120
45
180
无效(恢复得差)
45
45
60
255
总计
105
165
105
435
区分该种药剂对男、女运动员产生的效果的强弱．
【解】 对男运动员：
k1＝≈7.013>6.635，
在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为药剂有效．
对女运动员：
k2＝≈0.076<2.706，
没有充足的证据显示有关系．
综上所述，该药剂对男运动员有效果，对女运动员无效果．
2．(2013·福建高考)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]分别加以统计，得到如图2所示的频率分布直方图．
25周岁以上组
25周岁以下组
图2
(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
附：χ2＝
P(χ2≥k)
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
(注：此公式也可以写成
K2＝)
【解】 (1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名，所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2.
从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．
其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．故所求的概率P＝.
(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：
生产能手
非生产能手
合计
25 周岁以上组
15
45
60
25周岁以下组
15
25
40
合计
30
70
100
所以得K2＝
＝＝≈1.79.
因为1.79<2.706，
所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．
第二章 推理与证明
【命题趋势】 1.从近年来的新课标高考看，新课标高考对本部分的考查直接涉及的多为小题，主要考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论，而其他主要是渗透到数学问题的求解之中．
2．直接证明与间接证明是解决数学证明问题的两种重要的思想与方法，是数学证明题的核心，也是数学学习的重要内容．从近年的新课标高考看，高考对本部分考查的难度多为中档题，也有高档题，其相关知识常常涉及数学的各个方面，主要是不等式、数列、三角函数、向量、函数、解析几何、立体几何等.
合情推理
(教材第30页练习第2题)
观察下面的“三角阵”：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
……
1 10 45 …… 45 10 1
图3
试找出相邻两行数之间的关系．
1．(2013·陕西高考)观察下列等式：
12＝1，
12－22＝－3，
12－22＋32＝6，
12－22＋32－42＝－10，
…，
照此规律，第n个等式可为________
【命题意图】 本题考查归纳推理、数列的概念和等差数列求和．观察式子特点考查归纳总结能力，综合应用知识的能力．
【解析】 分析式子的特点归纳出式子，利用等差数列的求和公式进行化简．
12＝1，
12－22＝－(1＋2)，
12－22＋32＝1＋2＋3，
12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)，
…，
12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1(1＋2＋…＋n)
＝(－1)n＋1.
【答案】 12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝
(－1)n＋1
2．(2012·上海高考)若Sn＝sin ＋sin ＋…＋sin (n∈N*)，则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是( )
A．16 B．72 C．86 D．100
【命题意图】 本题考查三角函数值的符号、三角函数的诱导公式，考查考生的数据处理能力、推理论证能力及转化与化归能力．
【解析】 易知S1＞0，S2＞0，S3＞0，S4＞0，S5＞0，S6＞0，S7＞0.
S8＝sin ＋sin ＋…＋sin ＋sin
＝sin ＋sin ＋…＋sin ＞0，
S9＝sin ＋sin ＋…＋sin ＞0，
S10＝sin ＋…＋sin ＞0，
S11＝sin ＋sin ＋sin ＞0，
S12＝sin ＋sin ＞0，
S13＝sin ＝0，
S14＝sin ＋sin ＝0，
∴S1，S2，…，S100中，S13＝0，S14＝0，S27＝0，S28＝0，S41＝0，S42＝0，S55＝0，S56＝0，S69＝0，S70＝0，S83＝0，S84＝0，S97＝0，S98＝0，共14个．
∴在S1，S2，…，S100中，正数的个数是100－14＝86(个)．
【答案】 C
1．(2011·陕西高考)观察下列等式：
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
照此规律，第五个等式应为________．
【解析】 本题考查数列中的不完全归纳法，由前四个等式得，第n个等式的左边为：以n为首项，公差为1的等差数列的前2n－1项的和，右边为(2n－1)2，则推算第5个等式为：5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.
【答案】 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81
2．数一数图4中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E，然后用归纳推理得出它们之间的关系．
图4
【解】 正方体：F＝6 V＝8 E＝12
三棱柱：F＝5 V＝6 E＝9
五棱柱：F＝7 V＝10 E＝15
四棱锥：F＝5 V＝5 E＝8
两个同底面的四棱锥组成的组合体：
F＝8 V＝6 E＝12
……
通过以上观察发现F、V、E满足以下关系：
F＋V－E＝2.
所以归纳得：在凸多面体中，面数F、顶点数V和棱数E满足以下关系：
F＋V－E＝2.
演绎推理
(教材第33页练习第2题)
证明：通项公式为an＝cqn(cq≠0)的数列{an}是等比数列．并分析证明过程中的三段论．
(2013·陕西高考)设Sn表示数列{an}的前n项和．
(1)若{an}是等差数列，推导Sn的计算公式；
(2)若a1＝1，q≠0，且对所有正整数n，有Sn＝，
判断{an}是否为等比数列，并证明你的结论．
【命题意图】 本题考查等比数列与等差数列的性质，考查演绎推理能力．
【解】 (1)法一：设{an}的公差为d，则
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋(a1＋d)＋…＋[a1＋(n－1)d]．
又Sn＝an＋(an－d)＋…＋[an－(n－1)d]，
∴2Sn＝n(a1＋an)，∴Sn＝.
法二：设{an}的公差为d，则
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋(a1＋d)＋…＋[a1＋(n－1)d]．
又Sn＝an＋an－1＋…＋a1
＝[a1＋(n－1)d]＋[a1＋(n－2)d]＋…＋a1，
∴2Sn＝[2a1＋(n－1)d]＋[2a1＋(n－1)d]＋…＋[2a1＋(n－1)d]＝2na1＋n(n－1)d，
∴Sn＝na1＋d.
(2){an}是等比数列．证明如下：
∵Sn＝，
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝－＝＝qn.
∵a1＝1，q≠0，
∴当n≥1时，有＝＝q.
因此，{an}是首项为1且公比为q(q≠0)的等比数列．
(2013·课标全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.
【解】 (1)设{an}的公差为d，由题意得a＝a1a13，
即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)．
于是d(2a1＋25d)＝0.
又a1＝25，所以d＝0(舍去)，d＝－2.
故an＝－2n＋27.
(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.
由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的 等差数列．
从而Sn＝(a1＋a3n－2)＝(－6n＋56)＝－3n2＋28n.
直接证明与间接证明
(教材第44页习题2.2A组第2题)
如图5，PD⊥平面ABC，AC＝BC，D为AB的中点，求证AB⊥PC.
图5
1．(2013·山东高考)如图6，四棱锥P—ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．
图6
(1)求证：CE∥平面PAD；
(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.
【命题意图】 本题主要考查空间直线与平面、平面与平面间的位置关系，考查推理论能力和空间想象能力．
(1)
【证明】 (1)法一 如图(1)，取PA的中点H，连接EH，DH.
因为E为PB的中点，
所以EH∥AB，EH＝AB.
又AB∥CD，CD＝AB，
所以EH∥CD，EH＝CD.
所以四边形DCEH是平行四边形．
所以CE∥DH.
又DH?平面PAD，CE?平面PAD，
所以CE∥平面PAD.
(2)
法二 如图(2)，连接CF.
因为F为AB的中点，
所以AF＝AB.
又CD＝AB，所以AF＝CD.
又AF∥CD，
所以四边形AFCD为平行四边形．所以CF∥AD.
又CF?平面PAD，所以CF∥平面PAD.
因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.
又EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD.
因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.
又CE?平面CEF，所以CE∥平面PAD.
(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，
所以EF∥PA.
又AB⊥PA，所以AB⊥EF.
同理可证AB⊥FG.
又EF∩FG＝F，EF?平面EFG，FG?平面EFG，
因此AB⊥平面EFG.
又M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥DC.
又AB∥DC，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.
又MN?平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.
(2013·课标全国卷Ⅱ)如图7，直三棱柱ABC—A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．
图7
(1)证明：BC1∥平面A1CD；
(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2，求三棱锥C—A1DE的体积．
【解】 (1)证明 连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．
又D是AB中点，连接DF，则BC1∥DF.
因为DF?平面A1CD，BC1?平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.
(2)因为ABC—A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.
由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.
又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.
由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2得
∠ACB＝90°，CD＝，A1D＝，DE＝，A1E＝3，
故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.
所以V三棱锥C—A1DE＝××××＝1.
第三章 数系的扩充与复数的引入
【命题趋势】 复数是高考必考的内容之一，几乎每年都要涉及一道选择或填空题，难度不大，以考查复数的概念和代数运算为主，有时还考查复数的模和复数加减法的几何意义．通过对近年高考的分析，发现有以下命题规律：
一是对复数的概念和四则运算的考查应准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念，对复数四则运算的考查可能性较大，要加以重视，其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数．最后整理成a＋bi(a，b∈R)的结构形式．
二是对复数几何意义的考查．在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义.
复数的有关概念
(教材第52页练习第1题)
说出下列复数的实部和虚部：－2＋i，＋i，，－i，i,0.
1．(2013·课标全国卷Ⅱ)||＝( )
A．2 B．2 C. D．1
【命题意图】 本题主要考查复数的运算以及求复数的模．
【解析】 由＝＝＝1－i，
∴＝|1－i|＝.故选C.
【答案】 C
2．(2012·重庆高考)若(1＋i)(2＋i)＝a＋bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a＋b＝________.
【命题意图】 本题考查复数乘积运算和复数相等的条件，同时考查了运算能力．
【解析】 a＋bi＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i，
∴a＝1，b＝3，∴a＋b＝4.
【答案】 4
1．(2013·山东高考)复数z＝(i为虚数单位)，则|z|＝( )
A．25 B.
C．5 D．
【解析】 z＝＝＝＝－4－3i，
∴|z|＝＝＝5.
【答案】 C
2．(2013·天津高考)已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.
【解析】 由(a＋i)(1＋i)＝bi可得(a－1)＋(a＋1)i＝bi，因此a－1＝0，a＋1＝b，解得a＝1，b＝2，故a＋bi＝1＋2i.
【答案】 1＋2i
复数的运算
(教材第61页习题3.2A组第5题)
计算：(1)；(2)；
(3)；(4).
1．(2013·课标全国卷Ⅰ)＝( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1＋i D．1－i
【命题意图】 本小题结合复数的四则运算考查运算求解能力．
【解析】 ＝＝＝＝－1＋i.
【答案】 B
2．(2013·浙江高考)已知i是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝
( )
A．5－5i B．7－5i
C．5＋5i D．7＋5i
【命题意图】 本小题考查复数的乘法运算．
【解析】 (2＋i)(3＋i)＝6＋5i＋i2＝5＋5i.
【答案】 C
1．(2012·辽宁高考)复数＝( )
A.－i B．＋i
C．1－i D．1＋i
【解析】 ＝＝＝－.
【答案】 A
2．(2013·天津高考)i是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝________.
【解析】 (3＋i)(1－2i)＝3－5i－2i2＝5－5i.
【答案】 5－5i
复数的几何意义
(教材第61页习题3.2A组第3题)
ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，求点D对应的复数．
(2013·北京高考)在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【命题意图】 本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，考查运算求解能力．
【解析】 ∵z＝i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i，∴复数z在复平面内的对应点为(1,2)，在第一象限．
【答案】 A
(2013·江西高考)复数z＝i(－2－i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 因为z＝i(－2－i)＝1－2i，所以复数z对应的点在第四象限．
【答案】 D
共轭复数
(教材第63页复习参考题A组第1(2)题)
复数的共轭复数是( )
A．i＋2 B．i－2
C．－2－i D．2－i
(2013·山东高考)复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为( )
A．2＋i B．2－i
C．5＋i D．5－i
【命题意图】 本题考查复数除法和共轭复数概念同时考查运算能力．
【解析】 由(z－3)(2－i)＝5，得z＝＋3＝＋3＝＋3＝5＋i，∴＝5－i.故选D.
【答案】 D
(2012·课标全国卷)复数z＝的共轭复数是( )
A．2＋i B．2－i
C．－1＋i D．－1－i
【解析】 z＝＝＝
＝－1＋i
∴＝－1－i.
【答案】 D
第四章 框 图
【命题趋势】 从近几年的高考试题来看，本章考查重点是程序框图，几乎每年必考．以选择题、填空题的形式出现，分值5分左右，属于容易题．主要考查读图、识图、利用框图解决简单的算法问题的能力．在今后的高考中，估计仍会对此考点进行重点考查.
流程图
(教材第72页练习第1题)
用自然语言写出计算1－2＋3－4＋…＋99－100的值的算法步骤，再用程序框图表示．
(2013·安徽高考)如图8所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为( )
图8
A.
B.
C.
D．
【命题意图】 本题主要考查对程序框图的视图能力，考查利用程序框图解决算法问题的能力．
【解析】 s＝0，n＝2,2＜8，s＝0＋＝；
n＝2＋2＝4,4＜8，s＝＋＝；
n＝4＋2＝6,6＜8，s＝＋＝；
n＝6＋2＝8,8＜8不成立，输出s的值为.
【答案】 C
(2013·课标全国卷Ⅰ)执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )
图9
A．[－3,4]
B．[－5,2]
C．[－4,3]
D．[－2,5]
【解析】 先识别程序框图的功能，即求分段函数的值域，再分别求出．
因为t∈[－1,3]，当t∈[－1,1)时，s＝3t∈[－3,3)；当t∈[1,3]时，s＝4t－t2＝－(t2－4t)＝－(t－2)2＋4∈[3,4]，所以s∈[－3,4]．
【答案】 A
课件86张PPT。
