课件24张PPT。复数的有关概念 复数或复数加减法的几何意义 复数代数形式的四则运算 化归思想 课件45张PPT。教师用书独具演示演示结束复数的概念及代数表示 代数形式 实部 虚部 －1 两个复数相等的充要条件 a＝c且b＝d 复数的分类 b＝0 b≠0 a＝0 a≠0 复数的概念与分类 两个复数相等的充要条件 课时作业（十八）课件51张PPT。教师用书独具演示演示结束复平面 实轴 虚轴 原点 复数的几何意义 复数的模 z a＋bi 复数与复平面内的点一一对应 复数与平面向量的一一对应关系 复数模的计算 课时作业（十九）课件41张PPT。教师用书独具演示演示结束复数代数形式的加、减法 (a－c)＋(b－d)i z2＋z1 z1＋(z2＋z3) 复数加、减法的几何意义 复数的加、减法运算 复数加、减法的几何意义 课时作业（二十）课件50张PPT。教师用书独具演示演示结束加复数的乘法及其运算律 (ac－bd)＋(ad＋bc)i z2·z1z1·(z2·z3)z1·z2＋z1·z3共轭复数 相等 互为相反数 复数的除法法则 复数代数形式的乘法运算 复数代数形式的除法运算 in的周期性及应用 课时作业（二十一）综合检测(三)
第三章 数系的扩充与复数的引入
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2012·天津高考)i是虚数单位，复数＝( )
A．2＋i B．2－i
C．－2＋i D．－2－i
【解析】 ＝＝＝2－i.
【答案】 B
2．(2013·课标全国卷Ⅱ)＝( )
A．2 B．2
C. D．1
【解析】 由＝＝＝1－i，
∴＝|1－i|＝.故选C.
【答案】 C
3．(2013·哈尔滨高二检测)若复数(a＋i)2的对应点在y轴负半轴上，则实数a的值是( )
A．－1 B．1
C．－ D.
【解析】 因为(a＋i)2＝a2－1＋2ai，又复数(a＋i)2的对应点在y轴负半轴上，所以即a＝－1.
【答案】 A
4．已知＝2＋i，则复数z＝( )
A．－1＋3i B．1－3i
C．3＋i D．3－i
【解析】 ∵＝2＋i，
∴＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i，
∴z＝1－3i.
【答案】 B
5．设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则等于( )
A．i B．－i
C．±1 D．±i
【解析】 设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则＝x－yi，则z＋＝4，z·＝8得，
??
∴＝＝＝±i.
【答案】 D
6．(2013·武汉高二检测)i为虚数单位，则()2 013＝( )
A．－i B．－1
C．i D．1
【解析】 因为＝i，故()2 013＝i2 013＝(i2)506·i＝i，所以选C.
【答案】 C
7．(2013·杭州高二检测)若复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b＝( )
A. B.
C．－ D．2
【解析】 因为＝
＝－i，又复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数，所以＝，即b＝－.
【答案】 C
8．已知复数z1＝m＋2i，z2＝3－4i，若为实数，则实数m的值为( )
A. B.
C．－ D．－
【解析】 因为＝＝＝＋i，又为实数，所以＝0，即m＝－.
【答案】 D
9．(2012·陕西高考)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 ∵a＋＝a－bi为纯虚数，∴必有a＝0，b≠0，
而ab＝0时有a＝0或b＝0，
∴由a＝0，b≠0?ab＝0，反之不成立．
∴“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．
【答案】 B
10．(2013·陕西高考)设z是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若z2≥0，则z是实数
B．若z2<0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0
D．若z是纯虚数，则z2<0
【解析】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
选项A，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，则故b＝0或a，b都为0，即z为实数，正确．
选项B，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi<0，则则故z一定为虚数，正确．
选项C，若z为虚数，则b≠0，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，
由于a的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误．
选项D，若z为纯虚数，则则z2＝－b2<0，正确．
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
11．(2012·湖南高考)已知复数z＝(3＋i)2(i为虚数单位)，则|z|＝________.
【解析】 法一 ∵z＝(3＋i)2，∴|z|＝|(3＋i)2|＝|3＋i|2＝10.
法二 ∵z＝(3＋i)2＝9＋6i＋i2＝8＋6i，
∴|z|＝＝10.
【答案】 10
12．复数i2(1＋i)的实部是________．
【解析】 i2(1＋i)＝－1－i，实部为－1.
【答案】 －1
13．(2013·湖北高考)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.
【解析】 ∵(2，－3)关于原点的对称点是(－2,3)，
∴z2＝－2＋3i.
【答案】 －2＋3i
14．若关于x的方程x2＋(2－i)x＋(2m－4)i＝0有实数根，则纯虚数m＝________.
【解析】 设m＝bi(b∈R)，则x2＋(2－i)x＋(2bi－4)i＝0，化简得(x2＋2x－2b)＋(－x－4)i＝0，即
解得∴m＝4i.
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，z1·z2是实数，求z2.
【解】 (z1－2)(1＋i)＝1－i?z1＝2－i.
设z2＝a＋2i，a∈R，则z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i，
∵z1z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i.
16．(本小题满分12分)m为何实数时，复数z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)是
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
【解】 z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)
＝2m2＋m2i－3mi－3m－2＋2i
＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
(1)由m2－3m＋2＝0得m＝1或2，即m＝1或2时，z为实数．
(2)由m2－3m＋2≠0得m≠1且m≠2，
即m≠1且m≠2时，z为虚数．
(3)由
得m＝－，
即m＝－时，z为纯虚数．
17．(本小题满分12分)已知复数z＝(1－i)2＋1＋3i.
(1)求|z|；(2)若z2＋az＋b＝，求实数a，b的值．
【解】 z＝(1－i)2＋1＋3i＝－2i＋1＋3i＝1＋i.
(1)|z|＝＝.
(2)z2＋az＋b＝(1＋i)2＋a(1＋i)＋b
＝2i＋a＋ai＋b
＝a＋b＋(a＋2)i，
∵＝1－i，
∴a＋b＋(a＋2)i＝1－i，
∴∴a＝－3，b＝4.
18．(本小题满分14分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
【解】 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝1.
一、选择题
1．(2013·佛山高二检测)以2i－的虚部为实部，以i－2的实部为虚部的复数是( )
A．2＋i B．2－2i
C.＋i D．－＋i
【解析】 2i－的虚部为2，i－2的实部为－2，故所求复数为2－2i.
【答案】 B
2．(2013·威海高二检测)“a＝0”是“复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”的
( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【解析】 因为复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数?a＝0且b≠0，所以“a＝0”是“复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”的必要不充分条件．
【答案】 A
3．若复数z＝(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i为纯虚数，则实数m的值为( )
A．5 B．6
C．－1 D．4
【解析】 因为复数z＝(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i为纯虚数，所以
?所以m＝4.
【答案】 D
4．如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值为( )
A．x＝1，y＝－1 B．x＝0，y＝－1
C．x＝1，y＝0 D．x＝0，y＝0
【解析】 由题意知
∴x＝1，y＝－1，故选A.
【答案】 A
5．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z等于( )
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
【解析】 由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0.
∴解得
∴z＝3－i.
【答案】 B
二、填空题
6．(2013·扬州高二检测)若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i是虚数，则实数m满足________．
【解析】 ∵m2－3m－4＋(m2－5m－6)i是虚数，
∴m2－5m－6≠0，∴m≠－1且m≠6.
【答案】 m≠－1且m≠6
7．下列说法：
①若a∈R，则ai是纯虚数；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；
③若z＋z＝0，则z1＝z2＝0；
④两个虚数不能比较大小．
其中说法正确的序号是________．
【解析】 对于①，当a＝0时不是纯虚数，故①错；对于②，两个虚数不能比较大小，故②错；对于③，当z1＝1，z2＝i时，z＋z＝0，故③错；④显然正确．
【答案】 ④
8．若x－2＋(y－1)i>0(x，y∈R)，则x的取值范围是________．
【解析】 由题意知∴
【答案】 (2，＋∞)
三、解答题
9．若log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，求实数m的值．
【解析】 由纯虚数的定义知
解得m＝4.
10．实数x分别取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
【解】 (1)当x满足即x＝5时，z是实数．
(2)当x满足即x≠－3且x≠5时，z是虚数．
(3)当x满足即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．
11．(创新应用)如果log(m＋n)－(m2－3m)i>－1，求自然数m，n的值．
【解】 因为log(m＋n)－(m2－3m)i>－1，所以log(m＋n)－(m2－3m)i是实数，从而有
由①得m＝0或m＝3，
当m＝0时，代入②得n<2，又m＋n>0，所以n＝1；
当m＝3时，代入②得n<－1，与n是自然数矛盾．
综上可得m＝0，n＝1.
一、选择题
1．在复平面内，复数z＝i＋i2表示的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 ∵z＝i＋i2＝－1＋i，显然点(－1,1)在第二象限．
【答案】 B
2．复数z1＝1＋i和z2＝1－i在复平面内的对应点关于( )对称．
A．实轴 B．一、三象限的角平分线
C．虚轴 D．二、四象限的角平分线
【解析】 复数z1＝1＋i在复平面内的对应点为z1(1，)．
复数z2＝1－i在复平面内的对应点为z2(1，－)．
点z1与z2关于实轴对称，故选A.
【答案】 A
3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )
A．4＋8i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
【解析】 因为复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，所以A(6,5)，B(－2,3)，又C为线段AB的中点，所以C(2,4)，所以点C对应的复数是2＋4i.
【答案】 C
4．(2013·徐州高二检测)实部为5，模与复数4－3i的模相等的复数有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】 设z＝5＋bi(b∈R)，则|z|＝，
又|4－3i|＝＝5，
∴＝5，∴b＝0，故选A.
【答案】 A
5．(2013·石家庄高二检测)复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则( )
A．a≠2或a≠1 B．a≠2且a≠1
C．a＝0 D．a＝2或a＝0
【解析】 由复数z的对应点在虚轴上知a2－2a＝0，∴a＝0或a＝2，故选D.
【答案】 D
二、填空题
6．复数z＝(m＋1)＋(m－1)i对应的点在直线x＋y－4＝0上，则实数m的值为________．
【解析】 由题意知点(m＋1，m－1)在直线x＋y－4＝0上，
∴(m＋1)＋(m－1)－4＝0，∴m＝2.
【答案】 2
7．(2013·开封高二检测)已知△ABC中，，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则对应的复数为________．
【解析】 因为，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，所以＝(－1,2)，＝(－2，－3)，又＝－＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以对应的复数为－1－5i.
【答案】 －1－5i
8．已知3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，则|1－5i|，|x－yi|，|y＋2i|的大小关系为________．
【解析】 由3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，
得x＝3，y＝－4.
而|1－5i|＝＝，
|x－yi|＝|3＋4i|＝＝5，
|y＋2i|＝|－4＋2i|＝＝，
∵<5<，
∴|y＋2i|<|x－yi|<|1－5i|.
【答案】 |y＋2i|<|x－yi|<|1－5i|
三、解答题
9．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝2m＋(4－m2)i的点
(1)位于虚轴上；
(2)位于第三象限．
【解】 复数z＝2m＋(4－m2)i在复平面上对应点的坐标为(2m,4－m2)．
(1)若点(2m,4－m2)在虚轴上，则有2m＝0，即m＝0.
(2)若点(2m,4－m2)在第三象限，则有
∴m<－2.
10．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，求向量＋，对应的复数及A，B两点之间的距离．
【解】 因为复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，所以＝(－3，－1)，＝(5,1)，所以＋＝(－3，－1)＋(5,1)＝(2,0)，所以向量＋对应的复数是2，又＝－＝(－3，－1)－(5,1)＝(－8，－2)，所以对应的复数是－8－2i，A，B两点之间的距离为
||＝＝2.
11．求复数z＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模．
【解】 |z|＝＝＝2|cos |，因为π<α<2π，
所以<<π，
所以cos <0，所以|z|＝－2cos .
一、选择题
1．(2013·湛江高二检测)设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 z1－z2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i，
在复平面内z1－z2对应点坐标(5，－7)位于第四象限．
【答案】 D
2．已知z＝11－20i，则1－2i－z等于( )
A．z－1 B．z＋1
C．－10＋18i D．10－18i
【解析】 1－2i－z＝1－2i－(11－20i)＝－10＋18i.
【答案】 C
3．在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||等于( )
A. B．2
C. D．4
【解析】 ∵＝－
＝(1＋3i)－(1＋i)
＝2i.
∴||＝2.
【答案】 B
4．设f(z)＝z－2i，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)＝( )
A．－2－i B．5＋3i
C．－2＋9i D．1－5i
【解析】 ∵f(z)＝z－2i，
∴f(z1－z2)＝z1－z2－2i
＝3＋4i－(－2－i)－2i
＝5＋3i.
【答案】 B
5．设向量，，对应的复数分别为z1，z2，z3，那么( )
A．z1＋z2＋z3＝0
B．z1－z2－z3＝0
C．z1－z2＋z3＝0
D．z1＋z2－z3＝0
【解析】 ∵＋＝，
∴z1＋z2＝z3，
即z1＋z2－z3＝0.
【答案】 D
二、填空题
6．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.
【解析】 z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i＝(a2－a－2)＋(a2＋a－6)i(a∈R)为纯虚数，
∴解得a＝－1.
【答案】 －1
7．设复数z满足z＋|z|＝2＋i，则z＝________.
【解析】 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝.
∴x＋yi＋＝2＋i.
∴解得
∴z＝＋i.
【答案】 ＋i
8．复数z1＝cos θ＋i，z2＝sin θ－i，则复数z1－z2对应向量的模的最大值为________．
【解析】 ∵z1－z2＝(cos θ－sin θ)＋2i，
∴|z1－z2|＝＝.
∵5－sin 2θ≤6，
∴|z1－z2|的最大值为.
【答案】
三、解答题
9．计算下列各题．
(1)(3－2i)－(10－5i)＋(2＋17i)；
(2)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 011－2 012i)．
【解】 (1)原式＝(3－10＋2)＋(－2＋5＋17)i＝－5＋20i.
(2)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 009－2 010＋2 011)＋(－2＋3－4＋5－…－2 010＋2 011－2 012)i＝1 006－1 007i.
10．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.
【解】 ∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi，
∴z1＋z2＝x＋3＋(2－y)i＝5－6i，
∴
解得
∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，
∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
11．在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
(1)求向量，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状．
(3)求△ABC的面积．
【解】 (1)对应的复数为2＋i－1＝1＋i，
对应的复数为－1＋2i－(2＋i)＝－3＋i，
对应的复数为－1＋2i－1＝－2＋2i.
(2)∵||＝，||＝，||＝＝2，
∴||2＋||2＝||2，
∴△ABC为直角三角形．
(3)S△ABC＝××2＝2.
一、选择题
1．(2013·郑州高二检测)复数＝( )
A．－－i B．－＋i
C.－i D.＋i
【解析】 ∵i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，
∴＝＝＝－i.
【答案】 C
2．(2013·四川高考)如图3－2－2，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )
图3－2－2
A．A B．B
C．C D．D
【解析】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，且a<0，b>0，则z的共轭复数为a－bi，其中a<0，－b<0，故应为B点．
【答案】 B
3．(2013·大连高二检测)a为正实数，i为虚数单位，||＝2，则a＝( )
A．2 B. C. D．1
【解析】 ∵＝(a＋i)(－i)＝1－ai，
∴||＝|1－ai|＝＝2，
解得a＝或a＝－(舍)．
【答案】 B
4．(2012·课标全国卷)下面是关于复数z＝的四个命题：
p1：|z|＝2；
p2：z2＝2i；
p3：z的共轭复数为1＋i；
p4：z的虚部为－1.
其中的真命题为( )
A．p2，p3 B．p1，p2
C．p2，p4 D．p3，p4
【解析】 ∵z＝＝－1－i，
∴|z|＝＝，
∴p1是假命题；
∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴p2是真命题；
∵＝－1＋i，∴p3是假命题；
∵z的虚部为－1，∴p4是真命题．
其中的真命题共有2个：p2，p4.
【答案】 C
5．(2013·陕西高考)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
【解析】 A，|z1－z2|＝0?z1－z2＝0?z1＝z2?1＝2，真命题；
B，z1＝2?1＝2＝z2，真命题；
C，|z1|＝|z2|?|z1|2＝|z2|2?z1·1＝z2·2，真命题；
D，当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然z＝1，z＝－1，即z≠z，假命题．
【答案】 D
二、填空题
6．(2012·江苏高考)设a，b，∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．
【解析】 因为a＋bi＝
＝＝5＋3i，
所以a＝5，b＝3，∴a＋b＝8.
【答案】 8
7．设x，y为实数，且＋＝，则x＋y＝________.
【解析】 因为＝
＝＋i，
＝＝＋i，＝＋i，又＋＝，所以
所以所以x＋y＝4.
【答案】 4
8．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝________.
【解析】 ∵z＝＝＝＝＝，
∴＝－－，∴z·＝(－)2＋()2＝.
【答案】
三、解答题
9．计算
(1)(1－i)(－1＋i)＋(－1＋i)；
(2)(1＋i)(－i)(＋i)．
【解】 (1)原式＝－1＋i＋i－i2－1＋i＝－1＋3i.
(2)原式＝(1＋i)(＋)＝1＋i.
10．已知为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.
【解】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则＝a－bi(a，b∈R)，
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有
解得或
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
11．已知复数z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)·z为纯虚数．
(1)求复数z；
(2)若w＝，求复数w的模|w|.
【解】 (1)(1＋3i)·(3＋bi)＝(3－3b)＋(9＋b)i.
∵(1＋3i)·z是纯虚数，
∴3－3b＝0，且9＋b≠0，
∴b＝1，∴z＝3＋i.
(2)w＝＝＝＝－i，
∴|w|＝＝.
