6.4.3余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理 课件（共15张PPT）

(共15张PPT)
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 余弦定理
第六章 平面向量及其应用
问题引入
我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.这说明，给定两边及其
夹角的三角形是唯一确定的.也就是说，
三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示.那么，应该如何表示呢？
在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，
怎样用a，b和C表示c？
A
a
c
b
B
C
新知探索
余弦定理
A
a
c
b
B
C
设=a，=b，则c=a-b.
|c|2=(a-b)·(a-b)=a·a+b·b-2a·b
=a2+b2-2|a||b|cosC
∴c2=a2+b2-2abcosC
同理：
a2=b2+c2-2bccosA
b2=a2+c2-2accosB
已知钝角△ABC，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，试借助三角函数定义
用a，b，C表示边c.
新知探索
余弦定理
解　不妨设A为钝角.
如图，作BD⊥CA，交CA延长线于点D.
∴BD＝asin C，CD＝acos C.
∴AD＝CD－CA＝acos C－b.
∴c2＝BD2＋AD2
＝a2sin2C＋(acos C－b)2
＝a2sin2C＋a2cos2C＋b2－2abcos C
＝a2＋b2－2abcos C.
如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
则A(0,0)，B(c,0)，C(bcos A，bsin A)，
∴BC2＝b2cos2A－2bccos A＋c2＋b2sin2A，
即a2＝b2＋c2－2bccos A.
同理可证b2＝c2＋a2－2cacos B，
c2＝a2＋b2－2abcos C.
新知探索
余弦定理
新知探索
余弦定理的推论
a2=b2+c2-2bccosA
b2=a2+c2-2accosB
c2=a2+b2-2abcosC
cos A＝ ，
cos B＝ ，
cos C＝___________
已知两边及其夹角求第三边
由三角形三边
求三角形的三个角
典例精析
题型一：用余弦定理解三角形
解　根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C
例3 在△ABC中，a=，b=，A=30°，则c等于 (　　)
A.2 B.
C.2或 D.以上都不对
解 由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A，
又因为a=，b=，A=30°，
所以()2=()2+c2-2××c×cos30°
整理得c2-3c+10=0，解得c=或2.
典例精析
题型三：判断三角形的形状
跟踪练习
1.在△ABC中，bcos C+ccos B=2b，则 =
A. B. C. D.2
解 由已知，
b×+c×=2b，
化为a=2b，即=.
跟踪练习
∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，
跟踪练习
3.在△ABC中，若b(a-ccos B)=a(b-ccos A)，
判断△ABC的形状.
解 由余弦定理，
得b(a-c×)=a(b-c×)
整理得(a2+b2-c2)b2=(a2+b2-c2)a2，
即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0，
所以a2+b2-c2=0或a2=b2.
所以a2+b2=c2或a=b.
故△ABC为直角三角形或等腰三角形.
定理
形式
定理证明
定理应用
角为余弦、边为二次
向量法、转化为直角三角形、坐标法
边角互化
课堂小结
本节内容结束