课件30张PPT。条件概率 求相互独立事件的概率 离散型随机变量的期望与方差 正态分布 分类讨论的思想方法 课件42张PPT。教师用书独具演示演示结束离散型随机变量 试验结果 确定的数字 数字 试验结果 试验结果 X Y ξ η 一一列出 随机变量的概念 离散型随机变量的判定 用随机变量表示随机试验的结果 课时作业（八）课件57张PPT。教师用书独具演示演示结束离散型随机变量的分布列 p1 p2 pi pn 概率分布列 分布列 P(X＝xi)＝pi 1 两个特殊分布 1－p p P(X＝1) 分布列的性质及应用 两点分布 超几何分布 课时作业（九）课件46张PPT。教师用书独具演示演示结束条件概率 A B A B [0,1] P(B|A)＋P(C|A) 利用定义求条件概率 利用基本事件个数求条件概率 条件概率的性质及应用 课时作业（十）课件54张PPT。教师用书独具演示演示结束相互独立事件的概念与性质 P(A)P(B) B 事件独立性的判断 相互独立事件发生的概率 相互独立事件的实际应用 课时作业（十一）课件50张PPT。教师用书独具演示演示结束独立重复试验 相同 二项分布 X～B(n，p) 成功概率 独立重复试验中的概率问题 二项分布 二项分布的综合应用 课时作业（十二）课件47张PPT。教师用书独具演示演示结束离散型随机变量的均值 x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 平均水平 P(Y＝axi＋b) E(aX＋b) aE(X)＋b p np 求离散型随机变量的期望 二项分布的均值 数学期望的实际应用 课时作业（十三）课件48张PPT。教师用书独具演示演示结束离散型随机变量的方差 (xi－E(X))2 均值 平均程度越小 a2D(X) p(1－p) np(1－p) 求离散型随机变量的方差、标准差 离散型随机变量的方差的性质及应用 方差的实际应用 课时作业（十四）课件47张PPT。教师用书独具演示演示结束正态分布 正态曲线 上方 不相交 直线x＝μ x＝μ 1 x轴 瘦高 集中 矮胖 分散 μ σ N(μ，σ2) X～N(μ，σ2) 0.682 6 0.954 4 0.997 4 正态曲线的图象的应用 正态分布下的概率计算 正态分布的应用 课时作业（十五）综合检测(二)
(时间：90分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．甲击中目标的概率是，如果击中赢10分，否则输11分，用X表示他的得分，计算X的均值为( )
A．0.5分 B．－0.5分
C．1分 D．5分
【解析】 E(X)＝10×＋(－11)×＝－.
【答案】 B
2．一枚硬币连续掷3次，至少有一次出现正面的概率是( )
A. B.
C. D.
【解析】 P(至少有一次出现正面)＝1－P(三次均为反面)＝1－()3＝.
【答案】 D
3．已知离散型随机变量X的分布列如下：
X
1
3
5
P
0.5
m
0.2
则其数学期望E(X)等于( )
A．1 B．0.6
C．2＋3m D．2.4
【解析】 由分布列的性质得m＝1－0.5－0.2＝0.3，所以E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.
【答案】 D
4．已知随机变量X～B(6，)，则D(2X＋1)等于( )
A．6 B．4
C．3 D．9
【解析】 D(2X＋1)＝D(X)×22＝4D(X)，
D(X)＝6××(1－)＝，∴D(2X＋1)＝4×＝6.
【答案】 A
5．(2012·石家庄高二检测)某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败，第二次成功的概率是( )
A. B.
C. D.
【解析】 电话号码的最后一个数可能是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的一个数，所以他第一次失败，第二次成功的概率为×＝.
【答案】 A
6．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A＝{两个点数互不相同}，B＝{出现一个5点}，则P(B|A)＝( )
A. B.
C. D.
【解析】 出现点数互不相同的共有6×5＝30种，
出现一个5点共有5×2＝10种，
∴P(B|A)＝＝.
【答案】 A
7．(2012·宜昌高二检测)设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤c)＝P(X>c)，则c＝( )
A．σ2 B．σ
C．μ D．－μ
【解析】 在N(μ，σ2)中，图象关于直线X＝μ对称，
∴P(X≤μ)＝P(X>μ)＝，∴c＝μ.
【答案】 C
8．正态分布密度函数为f(x)＝ ，x∈R，则其标准差为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
【解析】 根据f(x)＝ ，对比f(x)＝知σ＝2.
【答案】 B
9．(2012·枣阳高二检测)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是( )
A. B.
C. D.
【解析】 P(A)＝，P(B)＝，所以事件A，B中至少有一件发生的概率为P＝1－(1－)(1－)＝1－×＝.
【答案】 C
10．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从如表所示的分布列：
X
200
300
400
500
P
0.20
0.35
0.30
0.15
若进这种鲜花500束，则利润的均值为( )
A．706元 B．690元
C．754元 D．720元
【解析】 ∵E(X)＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3＋500×0.15＝340，
∴利润的均值为340×(5－2.5)－(500－340)×(2.5－1.6)＝706(元)．
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
11．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤6)＝________.
【解析】 P(X≤6)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝＝.
【答案】
12．(2013·宿州高二检测)某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p.若此人未能通过的科目数ξ的均值是2，则p＝________.
【解析】 因为通过各科考试的概率为p，所以不能通过考试的概率为1－p，易知ξ～B(6,1－p)，所以E(ξ)＝6(1－p)＝2，解得p＝.
【答案】
13．(2013·郑州高二检测)A、B、C相互独立，如果P(AB)＝，P(C)＝，P(AB )＝，则P(B)＝________.
【解析】 设P(A)＝a，P(B)＝b，P(C)＝c，
∴解得
∴P(B)＝(1－)×＝.
【答案】
14．(2013·福州八县高二联考)一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：
①从中任取3球，恰有一个白球的概率是；
②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为；
③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；
④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为.
其中所有正确结论的序号是________．
【解析】 ①恰有一个白球的概率P＝＝，故①正确；②每次任取一球，取到红球次数X～B(6，)，其方差为6××(1－)＝，故②正确；
③设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}．
则P(A)＝，P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝，故③错；
④每次取到红球的概率P＝，
所以至少有一次取到红球的概率为
1－(1－)3＝，
故④正确．
【答案】 ①②④
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)(2013·课标全国卷Ⅰ)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．
(1)求这批产品通过检验的概率；
(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单元：元)，求X的分布列及数学期望．
【解】 (1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝×＋×＝.
(2)X可能的取值为400,500,800，并且P(X＝400)＝1－－＝，P(X＝500)＝，P(X＝800)＝，
所以以X的分布列为
X
400
500
800
P
EX＝400×＋500×＋800×＝506.25.
16．(本小题满分12分)设甲、乙两家灯泡厂生产的灯泡寿命X(单位：小时)和Y的分布列分别为：
X
900
1 000
1 100
P
0.1
0.8
0.1
Y
950
1 000
1 050
P
0.3
0.4
0.3
试问哪家工厂生产的灯泡质量较好？
【解】 由期望的定义，得
E(X)＝900×0.1＋1 000×0.8＋1 100×0.1＝1 000，
E(Y)＝950×0.3＋1 000×0.4＋1 050×0.3＝1 000.
两家灯泡厂生产的灯泡寿命的期望值相等，需进一步考查哪家工厂灯泡的质量比较稳定，即比较其方差．
由方差的定义，得
D(X)＝(900－1 000)2×0.1＋(1 000－1 000)2×0.8＋(1 100－1 000)2×0.1＝2 000，
D(Y)＝(950－1 000)2×0.3＋(1 000－1 000)2×0.4＋(1 050－1 000)2×0.3＝1 500.
∵D(X)＞D(Y)，∴乙厂生产的灯泡质量比甲厂稳定，
即乙厂生产的灯泡质量较好．
17．(本小题满分12分)(2013·珠江高二检测)为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，数学期望E(X)＝3，标准差为.
(1)求n，p的值并写出X的分布列；
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需补种，求需要补种沙柳的概率．
【解】 因为X～B(n，p)，由E(X)＝np＝3，D(X)＝np(1－p)＝，得1－p＝，从而n＝6，p＝.
X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
6
P
(2)记“需要补种沙柳”为事件A，
则P(A)＝P(X≤3)，得P(A)＝＝(或P(A)＝1－P(X＞3)＝1－＝.
图1
18．(本小题满分14分)(2013·四川高考)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．
(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i＝1,2,3)；
(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计表(部分)
运行次数n
输出y的值为1的频数
输出y的值
为2的频数
输出y的值
为3的频数
30
14
6
10
…
…
…
…
2 100
1 027
376
697
乙的频数统计表(部分)
运行次数n
输出y的值为1的频数
输出y的值
为2的频数
输出y的值
为3的频数
30
12
11
7
…
…
…
…
2 100
1 051
696
353
当n＝2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；
(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．
【解】 (1)变量x是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．
当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1＝；
当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2＝；
当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3＝.
所以输出y的值为1的概率为，输出y的值为2的概率为，输出y的值为3的概率为.
(2)当n＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率如下：
输出y的值为1的频率
输出y的值
为2的频率
输出y的值
为3的频率
甲
乙
比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大．
(3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝C×0×3＝，
P(ξ＝1)＝C×1×2＝，
P(ξ＝2)＝C×2×1＝，
P(ξ＝3)＝C×3×0＝.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
所以Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.
即ξ的数学期望为1.
一、选择题
1．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 由P(B|A)＝得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝.
【答案】 C
2．下列说法正确的是( )
A．P(B|A)＜P(AB) B．P(B|A)＝是可能的
C．0＜P(B|A)＜1 D．P(A|A)＝0
【解析】 由条件概率公式P(B|A)＝及0＜P(A)≤1知P(B|A)≥P(AB)，故A选项错误；当事件A包含事件B时，有P(AB)＝P(B)，此时P(B|A)＝，故B选项正确，由于0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，故C，D选项错误．故选B.
【答案】 B
3．将三颗骰子各掷一次，记事件A表示“三个点数都不相同”，事件B表示“至少出现一个3点”，则概率P(A|B)等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 事件B发生的基本事件个数是n(B)＝6×6×6－5×5×5＝91，事件A，B同时发生的基本事件个数为n(AB)＝3×5×4＝60.
∴P(A|B)＝＝.
【答案】 C
4．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 把问题看成用10个不同的球排前两位，第一次为新球的基本事件数为6×9＝54，两次均为新球的基本事件数为A＝30，所以在第一次摸到新球条件下，第二次也摸到新球的概率为＝.
【答案】 C
5．(2013·泰安高二检测)一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是( )
A. B.
C. D.
【解析】 一个家庭中有两个小孩只有4种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．
记事件A为“其中一个是女孩”，事件B为“另一个是女孩”，则A＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，AB＝{(女，女)}．
于是可知P(A)＝，P(AB)＝.问题是求在事件A发生的情况下，事件B发生的概率，即求P(B|A)，由条件概率公式，得P(B|A)＝＝.
【答案】 D
二、填空题
6．设A，B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为，则事件A发生的概率为________．
【解析】 ∵P(AB)＝，P(B|A)＝，∴P(B|A)＝.
∴P(A)＝.
【答案】
7．(2012·泰州高二检测)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．
【解析】 设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为：P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9.
根据条件概率公式P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.
【答案】 0.72
8．从编号为1,2，……10的10个大小相同的球中任取4个，已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________．
【解析】 令事件A＝{选出的4个球中含4号球}，
B＝{选出的4个球中最大号码为6}．
依题意知n(A)＝C＝84，n(AB)＝C＝6，
∴P(B|A)＝＝＝.
【答案】
三、解答题
9．(2013·广州高二检测)甲、乙两个袋子中，各放有大小、形状和个数相同的小球若干．每个袋子中标号为0的小球为1个，标号为1的2个，标号为2的n个．从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是.
(1)求n的值；
(2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1的条件下，求另一个标号也是1的概率．
【解】 (1)由题意得：＝＝，解得n＝2.
(2)记“其中一个标号是1”为事件A，“另一个标号是1”为事件B，所以P(B|A)＝＝＝.
10．任意向x轴上(0,1)这一区间内掷一个点，问：
(1)该点落在区间(0，)内的概率是多少？
(2)在(1)的条件下，求该点落在(，1)内的概率．
【解】 由题意知，任意向(0,1)这一区间内掷一点，该点落在(0,1)内哪个位置是等可能的，令A＝{x|0＜x＜}，由几何概率的计算公式可知
(1)P(A)＝＝.
(2)令B＝{x|＜x＜1}，则AB＝{＜x＜}，P(AB)＝＝.
故在A的条件下B发生的概率为
P(B|A)＝＝＝.
11．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意拨号，假设拨过的号码不再重复，试求：
(1)不超过3次拨号就接通电话的概率；
(2)如果他记得号码的最后一位是奇数，拨号不超过3次就接通电话的概率．
【解】 设第i次接通电话为事件Ai(i＝1,2,3)，则A＝A1∪(1A2)∪(1 2A3)表示不超过3次就接通电话．
(1)因为事件A1与事件1A2，1 A3彼此互斥，所以P(A)＝＋×＋××＝.
(2)用B表示最后一位按奇数的事件，则P(A|B)＝P(A1|B)＋P(1A2|B)＋P(1 2A3|B)＝＋＋＝.
一、选择题
1．一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则事件A1与是( )
A．相互独立事件 B．不相互独立事件
C．互斥事件 D．对立事件
【解析】 由题意知表示“第二次摸到的不是白球”，即表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A1与是相互独立事件．
【答案】 A
2．(2012·鄂州高二检测)甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是，乙解决这个问题的概率是，那么其中至少有一人解决这个问题的概率是( )
A. B.
C. D.
【解析】 “甲解决问题”记为事件A，“乙解决问题”记为事件B，且A、B相互独立，
∴P＝1－P( )＝1－P()P()＝1－(1－)(1－)＝.
【答案】 D
3．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为
( )
A. B.
C. D.
【解析】 设“两个零件中恰有一个一等品”为事件A，因事件相互独立，所以P(A)＝×＋×＝.
【答案】 B
4．如图2－2－1所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
图2－2－1
A. B.
C. D.
【解析】 左边转盘指针落在奇数区域的概率为＝，右边转盘指针落在奇数区域的概率为，
∴两个指针同时落在奇数区域的概率为×＝.
【答案】 A
5．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为和，两人同时参加测试，其中有且只有一人通过的概率是( )
A. B.
C. D．1
【解析】 设事件A表示“甲通过听力测试”，事件B表示“乙通过听力测试”．依题意知事件A和B相互独立，且P(A)＝，P(B)＝.记“有且只有一个人通过听力测试”为事件C，则C＝A∪B，且A和B互斥，故P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×(1－)＋(1－)×＝.
【答案】 C
二、填空题
6．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________．
【解析】 设“从甲袋中取白球”为事件A，
则P(A)＝＝.
设“从乙袋中取白球”为事件B，则P(B)＝＝.
取得同色球为AB＋ .
P(AB＋ )＝P(AB)＋P( )＝P(A)·P(B)＋P()·P()＝×＋×＝.
【答案】
7．某机械零件加工由2道工序组成，第1道工序的废品率为a，第2道工序的废品率为b，假定这2道工序是否出废品彼此无关，那么产品的合格率是________．
【解析】 产品合格要求两道工序都成为正品，则产品合格率为(1－a)(1－b)＝ab－a－b＋1.
【答案】 ab－a－b＋1
8．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是________．
【解析】 法一：用间接法考虑，事件A、B一个都不发生的概率为P( )＝P()·P()＝×＝，
则事件A，B中至少有一件发生的概率＝1－P( )＝.
法二：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)＝＋－×＝，
或P(A＋B)＝1－P()＝1－(1－)(1－)＝.
【答案】
三、解答题
9．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为、、，且三个项目是否成功互相独立．
(1)求恰有两个项目成功的概率；
(2)求至少有一个项目成功的概率．
【解】 (1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为
××(1－)＝，
只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为
×(1－)×＝，
只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为
(1－)××＝，
∴恰有两个项目成功的概率为
＋＋＝.
(2)三个项目全部失败的概率为
(1－)×(1－)×(1－)＝，
∴至少有一个项目成功的概率为1－＝.
10．(2012·石家庄高二检测)某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案：
方案一：考三门课程至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为0.5,0.6,0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．
(1)求该应聘者用方案一通过的概率；
(2)求该应聘者用方案二通过的概率．
【解】 记“应聘者对三门考试及格的事件”分别为A，B，C.P(A)＝0.5，P(B)＝0.6，P(C)＝0.9.
(1)该应聘者用方案一通过的概率是P1＝P(AB )＋P(BC)＋P(A C)＋P(ABC)
＝0.5×0.6×0.1＋0.5×0.6×0.9＋0.5×0.4×0.9＋0.5×0.6×0.9
＝0.03＋0.27＋0.18＋0.27＝0.75.
(2)应聘者用方案二通过的概率P2＝P(AB)＋P(BC)＋P(AC)
＝(0.5×0.6＋0.6×0.9＋0.5×0.9)
＝×1.29＝0.43.
11．(2013·重庆高考)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：
奖级
摸出红、蓝球个数
获奖金额
一等奖
3红1蓝
200元
二等奖
3红0蓝
50元
三等奖
2红1蓝
10元
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．
(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；
(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列．
【解】 设Ai(i＝0,1,2,3)表示摸到i个红球，Bj(j＝0,1)表示摸到j个蓝球，则Ai与Bj独立．
(1)恰好摸到1个红球的概率为
P(A1)＝＝.
(2)X的所有可能值为：0,10,50,200，且
P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝·＝，
P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝·＝，
P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝·＝＝，
P(X＝0)＝1－－－＝.
综上可知，获奖金额X的分布列为
X
0
10
50
200
P
一、选择题
1．某学生通过英语听力测试的概率为，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( )
A. B.
C. D.
【解析】 记“恰有1次获得通过”为事件A，
则P(A)＝C()·(1－)2＝.
【答案】 A
2．将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现k＋1次正面的概率，那么k的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 C()k·()5－k＝C()k＋1·()5－k－1，即C＝C，k＋(k＋1)＝5，k＝2.
【答案】 C
3．设随机变量ξ服从二项分布ξ～B(6，)，则P(ξ≤3)等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 P(ξ≤3)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝C×()6＋C·()6＋C·()6＋C·()6＝.
【答案】 C
4．(2013·天水高二检测)一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为，则此射手每次射击命中的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 设此射手射击四次命中次数为ξ，
∴ξ～B(4，p)，依题意可知，P(ξ≥1)＝，
∴1－P(ξ＝0)＝1－C(1－p)4＝，
∴(1－p)4＝，p＝.
【答案】 B
5．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是( )
A．()5 B．C×()5
C．C×()3 D．C×C×()5
【解析】 如图，由题可知，质点P必须向右移动2次，向上移动3次才能位于点(2,3)，问题相当于5次独立重复试验向右恰好发生2次的概率．所以概率为
P＝C×()2×()3＝C()5.
故选B.
二、填空题
6．某处有水龙头5个，调查表明每个水龙头被打开的可能性是，随机变量X表示同时被打开的水龙头的个数，则P(X＝3)＝________.
【解析】 P(X＝3)＝C×()3(1－)2＝.
【答案】
7．(2013·广州高二检测)设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝，则P(η≥1)＝________.
【解析】 P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)2＝.
即(1－p)2＝，解得p＝，
故P(η≥1)＝1－P(η＝0)＝1－(1－p)4
＝1－()4＝.
【答案】
8．某射手射击1次，击中目标的概率为0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第三次击中目标的概率为0.9；②他恰好击中目标3次的概率为0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率为1－0.14.
其中正确结论的序号为________．(写出所有正确结论的序号)
【解析】 在n次试验中，事件每次发生的概率都相等，故①正确；②中恰好击中3次需要看哪3次击中，所以不正确；利用对立事件，③正确．
【答案】 ①③
三、解答题
9．在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的．若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中：
(1)恰有两道题答对的概率；
(2)至少答对一道题的概率．
【解】 视“选择每道题的答案”为一次试验，则这是4次独立重复的试验，且每次试验中“选择正确”这一事件发生的概率为.
由独立重复试验的概率计算公式得，
(1)恰有两道题答对的概率为
P4(2)＝C()2()2＝.
(2)法一：至少有一道题答对的概率为1－P4(0)＝1－C()0()4＝1－＝.
法二：至少有一道题答对的概率为
C()()3＋C()2()2＋C()3()＋C()4()0＝＋＋＋＝.
10．如果袋中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后放回，连续抽取4次，设X为取得红球的次数．求X的概率分布列．
【解】 采用有放回的取球，每次取得红球的概率都相等，均为，取得红球次数X可能取的值为0,1,2,3,4.
由以上分析，知随机变量X服从二项分布，
P(X＝k)＝C()k·(1－)4－k(k＝0,1,2,3,4)．
随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
11.(2013·山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是，假设各局比赛结果相互独立．
(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率．
(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X的分布列．
【解】 (1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3，
由题意，各局比赛结果相互独立，
故P(A1)＝3＝，
P(A2)＝C2×＝，
P(A3)＝C22×＝.
所以甲队以3∶0胜利，以3∶1胜利的概率都为，以3∶2胜利的概率为.
(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，
由题意，各局比赛结果相互独立，
所以P(A4)＝C22×＝.
由题意，随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3，
根据事件的互斥性得
P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝.
又P(X＝1)＝P(A3)＝，
P(X＝2)＝P(A4)＝，
P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝，
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
一、选择题
1．(2012·抚州高二检测)已知η＝2ξ＋3，且E(ξ)＝，则E(η)＝( )
A. B.
C. D.
【解析】 E(η)＝E(2ξ＋3)＝2E(ξ)＋3＝2×＋3＝.
【答案】 C
2．口袋中有5只球，编号1,2,3,4,5，从中任取3球，以X表示取出的球的最大号码，则E(X)等于( )
A．4 B．5
C．4.5 D．4.75
【解析】 X的分布列为
X
3
4
5
P
E(X)＝3×＋4×＋5×＝4.5.
【答案】 C
3．(2012·临沂高二检测)某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min，这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y的期望为( )
A. B．1
C. D.
【解析】 遇到红灯的次数X～B(4，)，∴E(X)＝.
∴E(Y)＝E(2X)＝2×＝.
【答案】 D
4．已知离散型随机变量ξ的概率分布如下：
ξ
0
1
2
P
0.3
3k
4k
随机变量η＝2ξ＋1，则η的数学期望为( )
A．1.1 B．3.2
C．11k D．22k＋1
【解析】 由0.3＋3k＋4k＝1得k＝0.1，
∴E(ξ)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.4＝1.1，
E(η)＝2E(ξ)＋1＝2×1.1＋1＝3.2.
【答案】 B
5．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4发子弹，则命中后剩余子弹数目的均值为( )
A．2.44 B．3.376
C．2.376 D．2.4
【解析】 记命中后剩余子弹数为ξ，则ξ可能取值为0,1,2,3，则P(ξ＝0)＝0.44＋0.43×0.6＝0.064，
P(ξ＝1)＝0.42×0.6＝0.096，
P(ξ＝2)＝0.4×0.6＝0.24，
P(ξ＝3)＝0.6.
∴E(ξ)＝0×0.064＋0.096×1＋0.24×2＋0.6×3＝2.376.
【答案】 C
二、填空题
6．设离散型随机变量X可能取的值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，又X的数学期望E(X)＝3，则a＋b＝________.
【解析】 由题意，得a(1＋2＋3＋4)＋4b＝1，
即10a＋4b＝1，
再由E(X)＝3，得a＋b＋2(2a＋b)＋3(3a＋b)＋4(4a＋b)＝3，
即30a＋10b＝3，
解得b＝0，a＝.
故a＋b＝.
【答案】
7．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：
x
1
2
3
P(ξ＝x)
？
！
？
请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.
【解析】 令“？”为a，“！”为b，则2a＋b＝1.
∴E(ξ)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2.
【答案】 2
8．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E(ξ)＝________(结果用最简分数表示)．
【解析】 由题意知，ξ的可能取值为0,1,2，则
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
∴ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＝.
【答案】
三、解答题
9．一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确．每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分．学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个，分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值．
【解】 设学生甲和学生乙在这次单元测验中选对的题数分别是X1和X2，则X1～B(20,0.9)，X2～B(20,0.25)，所以
E(X1)＝20×0.9＝18，E(X2)＝20×0.25＝5.
由于每题选对得5分，所以学生甲和学生乙在这项测验中的成绩分别是5X1和5X2.这样，他们在测验中的成绩的期望分别是
E(5X1)＝5E(X1)＝5×18＝90，E(5X2)＝5E(X2)＝5×5＝25.
10．(2013·大纲全国卷)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．
(1)求第4局甲当裁判的概率；
(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．
【解】 (1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，
A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，
A表示事件“第4局甲当裁判”，
则A＝A1·A2，
P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝.
(2)X的可能取值为0,1,2.
设A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．
则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)P(A3)＝，
P(X＝2)＝P(·B3)＝P()P(B3)＝，
P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－－＝，
故EX＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋2·P(X＝2)＝.
11．某人有10万元，准备用于投资房地产或购买股票，如果根据下面的盈利表进行决策，那么应选择哪一种决策方案？
盈利状况
方案
盈利(万元)
概率
购买股票
投资房地产
巨大成功
0.3
10
8
中等成功
0.5
3
4
失败
0.2
－5
－4
【解】 设购买股票的盈利为X，投资房地产的盈利为Y，
则购买股票的盈利的数学期望
E(X)＝10×0.3＋3×0.5＋(－5)×0.2＝3＋1.5－1＝3.5.
投资房地产的盈利的数学期望
E(Y)＝8×0.3＋4×0.5＋(－4)×0.2＝2.4＋2－0.8＝3.6.
因为E(Y)＞E(X)，
所以投资房地产的平均盈利高，故选择投资房地产.
一、选择题
1．已知随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，且E(X)＝7，D(X)＝6，则p等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 np＝7且np(1－p)＝6，解得1－p＝，
∴p＝.
【答案】 A
2．(2012·长春高二检测)若ξ的分布列如下表所示，且E(ξ)＝1.1，则( )
ξ
0
1
x
P
0.2
p
0.3
A.D(ξ)＝2 B．D(ξ)＝0.51
C．D(ξ)＝0.5 D．D(ξ)＝0.49
【解析】 0.2＋p＋0.3＝1，∴p＝0.5.
又E(ξ)＝0×0.2＋1×0.5＋0.3x＝1.1，∴x＝2，
∴D(ξ)＝(0－1.1)2×0.2＋(1－1.1)2×0.5＋(2－1.1)2×0.3＝0.49.
【答案】 D
3．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝C()k·()n－k，k＝0,1，2，…，n，且E(ξ)＝24，则D(ξ)的值为( )
A．8 B．12
C. D．16
【解析】 由题意可知ξ～B(n，)，∴n＝E(ξ)＝24，
∴n＝36，又D(ξ)＝n××(1－)＝×36＝8.
【答案】 A
4．(2013·石家庄高二检测)已知X的分布列为
X
－1
0
1
P
则①E(X)＝－，②D(X)＝，③P(X＝0)＝，其中正确的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 根据分布列知，P(X＝0)＝，E(X)＝(－1)×＋1×＝－，∴D(X)＝(－1＋)2×＋(0＋)2×＋(1＋)2×＝.只有①③正确．
【答案】 C
5．(2013·海口高二检测)若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2，又已知E(X)＝，D(X)＝，则x1＋x2的值为( )
A. B.
C．3 D.
【解析】 ∵E(X)＝x1＋x2＝.
∴x2＝4－2x1，D(X)＝(－x1)2×＋(－x2)2×＝.
∵x1＜x2，∴∴x1＋x2＝3.
【答案】 C
二、填空题
6．(2013·南京高二检测)有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量ξ1，ξ2，已知E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)，则自动包装机________的质量较好．
【解析】 均值仅体现了随机变量取值的平均大小，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值的周围变化，方差大说明随机变量取值较分散，方差小说明取值较集中．故乙的质量较好．
【答案】 乙
7．已知随机变量ξ～B(36，p)，且E(ξ)＝12，则D(ξ)＝________.
【解析】 由题意知E(ξ)＝np＝36p＝12，∴p＝.
∴D(ξ)＝np(1－p)＝36××＝8.
【答案】 8
8．变量ξ的分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝，则D(ξ)的值是________．
【解析】 由a，b，c成等差数列可知2b＝a＋c，
又a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝，a＋c＝.
又E(ξ)＝－a＋c＝，∴a＝，c＝，
故分布列为
ξ
－1
0
1
P
∴D(ξ)＝(－1－)2×＋(0－)2×＋(1－)2×＝.
【答案】
三、解答题
9．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．
(1)求X的分布列、期望和方差；
(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．
【解】 (1)X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.
D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.
(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，得a＝±2.
又∵E(Y)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；
当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
∴或即为所求．
10．有甲、乙两家单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资X1/元
1 200
1 400
1 600
1 800
获得相应职位的概率P1
0.4
0.3
0.2
0.1
乙单位不同职位月工资X2/元
1 000
1 400
1 800
2 200
获得相应职位的概率P2
0.4
0.3
0.2
0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
【解】 根据月工资的分布列，可得
E(X1)＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1＝1 400，
D(X1)＝(1 200－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 600－1 400)2×0.2＋(1 800－1 400)2×0.1＝40 000；
E(X2)＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1＝1 400，
D(X2)＝(1 000－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 800－1 400)2×0.2＋(2 200－1 400)2×0.1＝160 000.
因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)＜D(X2)，
所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，可选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，可选择乙单位．
11．(2013·北京高考)如图2－3－1是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
图2－3－1
(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；
(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)
【解】 设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1,2，…，13)．根据题意，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝?(i≠j)．
(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8.所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝.
(2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且
P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝，
P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝，
P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝.
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P
故X的数学期望EX＝0×＋1×＋2×＝.
(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.
一、选择题
1．关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是( )
A．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件
B．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件
C．随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件
D．随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件
【解析】 ∵P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9974，
∴P(X＞μ＋3σ或X＜μ－3σ)＝1－P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝1－0.9974＝0.0026.
∴随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．
【答案】 D
2．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.4，则ξ在(－∞，4)内取值的概率为( )
A．0.1 B．0.2
C．0.8 D．0.9
【解析】 ∵μ＝2，∴P(0<ξ<2)＝P(2<ξ<4)＝0.4，∴P(0<ξ<4)＝0.8.
∴P(ξ<0)＝(1－0.8)＝0.1，∴P(ξ<4)＝0.9.
【答案】 D
3．随机变量ξ～N(2,10)，若ξ落在区间(－∞，k)和(k，＋∞)的概率相等，则k等于( )
A．1 B．10
C．2 D.
【解析】 ∵区间(－∞，k)和(k，＋∞)关于x＝k对称．
∴x＝k为正态曲线的对称轴，∴k＝2.
【答案】 C
4．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1＞0)和N(μ2，σ)(σ2＞0)的密度函数图象如图2－4－4所示，则有( )
图2－4－4
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
【解析】 σ越小，曲线越“瘦高”，故σ1＜σ2，μ为对称轴的位置，由图易知μ1＜μ2.
【答案】 A
5．(2013·沈阳高二检测)设随机变量ξ～N(0,1)，若P(ξ＞1)＝p，则P(－1＜ξ＜0)＝( )
A.＋p B．1－p
C．1－2p D.－p
【解析】 如图，P(ξ＞1)表示x轴、x＞1与正态密度曲线围成区域的面积，由正态密度曲线的对称性知：x轴、x＜－1与正态密度曲线围成区域的面积也为p，所以P(－1＜ξ＜0)＝＝－p.
【答案】 D
二、填空题
6．(2013·黄冈高二检测)设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ＞c＋1)＝P(ξ＜c－1)，则c的值为________．
【解析】 c＋1与c－1关于ξ＝2对称，
＝2，∴c＝2.
【答案】 2
7．已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X＞2)＝________.
【解析】 P(X＞2)＝[1－2P(－2≤X≤0)]
＝0.5－0.4＝0.1.
【答案】 0.1
8．据抽样统计，在某市的公务员考试中，考生的综合评分X服从正态分布N(60,102)，考生共10 000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第________名．
【解析】 依题意，P(60－20＜x≤60＋20)＝0.9544，
P(X＞80)＝(1－0.9544)＝0.0228，
故成绩高于80分的考生人数为10000×0.0228＝228(人)．
所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名．
【答案】 229
三、解答题
9．设X～N(5,1)，求P(6＜X≤7)．
【解】 由已知得P(4＜X≤6)＝0.682 6，
P(3＜X≤7)＝0.954 4.
又∵正态曲线关于直线x＝u＝5对称
∴P(3＜X≤4)＋P(6＜X≤7)
＝0.954 4－0.682 6＝0.271 8.
由对称性知P(3＜X≤4)＝P(6＜X≤7)．
所以P(6＜X≤7)＝＝0.135 9.
10．(2012·天水高二检测)某年级的一次信息技术成绩近似服从正态分布N(70,100)，如果规定低于60分为不及格，不低于90分为优秀，那么成绩不及格的学生约占多少？成绩优秀的学生约占多少？(参考数据：P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4)．
【解析】 由题意得：μ＝70，σ＝10，
P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.9544.
(1)P(ξ＜60)＝－P(60＜ξ≤80)
＝－×0.682 6
＝0.158 7.
(2)P(ξ≥90)＝－P(50＜ξ≤90)
＝－×0.954 4
＝0.022 8.
答：成绩不及格的学生约占15.87%，成绩优秀的学生约占2.28%.
11．假设某省今年高考考生成绩ξ服从正态分布N(500,1002)，现有考生25 000名，计划招生10 000名，试估计录取分数线．
【解】 这是一个实际问题，由题知其本质就是一个“正态分布下求随机变量在某一范围内取值的概率”问题．
设分数线为a，那么分数超过a的概率应为录取率，即P(ξ≥a)＝＝0.4，
因为ξ～N(500,1002)，
所以P(ξ≥a)＝P(≥)
＝1－P(＜)＝1－Φ()．
于是有Φ()＝1－P(ξ≥a)＝1－0.4＝0.6.
从标准正态分布表中查得Φ(0.25)＝0.598 7≈0.6，故≈0.25，即a≈525.
由此可以估计录取分数线约为525分.
一、选择题
1．下列不是随机变量的是( )
A．从编号为1～10号的小球中随意取一个小球的编号
B．从早晨7∶00到中午12∶00某人上班的时间
C．A、B两地相距a km，以v km/h的速度从A到达B的时间
D．某十字路口一天中经过的轿车辆数
【解析】 选项C中“时间”为确定的值，故不是随机变量．
【答案】 C
2．下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数ξ是一个随机变量；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η是一个随机变量；③某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数ξ是一个随机变量；④1天内的温度η是一个随机变量．其中是离散型随机变量的为( )
A．①② B．③④
C．①③ D．②④
【解析】 ①中经过的车辆数和③中寻呼次数都能列举出来，而②④中都不能列举出来，所以①③中的ξ是一个离散型随机变量．
【答案】 C
3．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，不放回地从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为( )
A．1,2,3，…，6 B．1,2,3，…，7
C．0,1,2，…，5 D．1,2，…，5
【解析】 由于取到白球游戏结束，那么取球次数可以是1,2,3，…，7，故选B.
【答案】 B
4．下列变量不是随机变量的是( )
A．掷一枚骰子，所得的点数
B．一射手射击一次，击中的环数
C．某网站一天的点击量
D．标准状态下，水在100 ℃时会沸腾
【解析】 D对应的是必然事件，试验前便知是必然出现的结果，所以不是随机变量，故选D.
【答案】 D
5．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是( )
A．第5次击中目标
B．第5次未击中目标
C．前4次均未击中目标
D．第4次击中目标
【解析】 ξ＝5表示前4次均未击中目标．
【答案】 C
二、填空题
6．抛掷两颗骰子，所得点数之和记为X，则X＝4表示的随机试验的结果是________．
【解析】 两颗骰子的点数之和为4，则共有两种情况，1,3或2,2.
【答案】 一颗骰子是1点，另一颗是3点，或两颗骰子都是2点．
7．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量x描述1次试验的成功次数，则x的值可以是________．
【解析】 这里“成功率是失败率的2倍”是干扰条件，对1次试验的成功次数没有影响，故x可能取值有两种，即0,1.
【答案】 0,1
8．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________．
【解析】 因为答对的个数可以取0,1,2,3，所对应的得分为－300，－100,100,300，∴ξ可取－300，－100,100,300.
【答案】 －300，－100,100,300
三、解答题
9．盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为ξ.
(1)写出ξ的所有可能取值；
(2)写出{ξ＝1}个所表示的事件．
【解】 (1)ξ可能取的值为0,1,2,3.
(2){ξ＝1}表示的事件为：第一次取得次品，第二次取得正品．
10．设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，ξ表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写出ξ所有可能取值并说明这些值所表示的试验结果．
【解】 ξ可能取值为0,1,2,3,4,5.
“ξ＝0”表示第一盏信号灯就停下；
“ξ＝1”表示通过了一盏信号灯，在第2盏信号灯前停下；
“ξ＝2”表示通过了两盏信号灯，在第3盏信号灯前停下；
“ξ＝3”表示通过了三盏信号灯，在第4盏信号灯前停下；
“ξ＝4”表示通过了四盏信号灯，在第5盏信号灯前停下；
“ξ＝5”表示在途中没有停下，直达目的地．
11．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ，求
(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；
(2)若规定抽取的3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η的随机变量类型．
【解】 (1)
ξ
0
1
2
3
结果
取得3
个黑球
取得1个白球、
2个黑球
取得2个白球、1个黑球
取得3个白球
(2)由题意可得η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范围为{0,1,2,3}，∴η对应的各值是：5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.故η的可能取值为6,11,16,21，显然η为离散型随机变量.
一、选择题
1．设随机变量X的分布列如下，则下列各式中正确的是( )
X
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.1
0.2
0.4
A.P(X＝1)＝0.1 B．P(X＞－1)＝1
C．P(X＜3)＝1 D．P(X＜0)＝0
【解析】 根据分布列知只有A正确．
【答案】 A
2．设某项试验的成功概率是失败概率的2倍，用随机变量X描述一次试验成功与否(记X＝0为试验失败，记X＝1为试验成功)，则P(X＝0)等于( )
A．0 B.
C. D.
【解析】 设试验失败的概率为P，则2P＋P＝1，
∴P＝.
【答案】 C
3．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则p(X＝3)＝( )
A. B.
C. D.
【解析】 P(X＝3)＝＝.
【答案】 D
4．(2012·东营高二检测)已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1,2，…，则P(2<ξ≤4)等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 2<ξ≤4时，ξ＝3,4.
∴P(2<ξ≤4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝＋＝.
【答案】 A
5．一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取两个，其中白球的个数记为ξ，则下列概率中等于的是( )
A．P(0＜ξ≤2) B．P(ξ≤1)
C．P(ξ＝2) D．P(ξ＝1)
【解析】 由已知得ξ的可能取值为0,1,2.
P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝.
∴P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝.
【答案】 B
二、填空题
6．邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X(单位：克)，如果P(X＜10)＝0.3，P(10≤X≤30)＝0.4，那么P(X＞30)等于________．
【解析】 根据随机变量的概率分布的性质，可知P(X＜10)＋P(10≤X≤30)＋P(X＞30)＝1，故P(X＞30)＝1－0.3－0.4＝0.3.
【答案】 0.3
7．(2013·岳阳高二检测)设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X
－1
0
1
P
1－2q
q2
，则q等于________．
【解析】 由分布列的性质知
∴q＝1－.
【答案】 1－
8．由于电脑故障，随机变量X的分布列中部分数据丢失，以代替，其表如下：
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
0.5
0.10
0.1
0.20
根据该表可知X取奇数值时的概率为________．
【解析】 由概率和为1知，最后一位数字和必为零，
∴P(X＝5)＝0.15，从而P(X＝3)＝0.25.
∴P(X为奇数)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6.
【答案】 0.6
三、解答题
9．某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X为任意抽取一件产品得到的结果，求X的分布列．
【解】 由题意，结合两点分布可知随机变量X的分布列为：
X
1
0
P
0.8
0.2
10.在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X的分布列．
【解】 X的可能取值是1,2,3，
P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝.
故X的分布列为
X
1
2
3
P
11.(2013·日照高二检测)在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这4场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率相等．已知当这4场比赛结束后，该班胜场多于负场．
(1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和；
(2)若胜场次数为X，求X的分布列．
【解】 (1)若胜一场，则其余为平，共有C＝4种情况；若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有CC＋C＝18种情况；若胜三场，则其余一场为负或平，共有C×2＝8种情况；若胜四场，则只有一种情况．综上，共有31种情况．
(2)X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，所以X的分布列为
X
1
2
3
4
P
