课件17张PPT。不等式的性质及其应用 基本不等式的应用 绝对值不等式的解法 转化与化归的数学思想 课件34张PPT。> a－b a>ca＋cac>bc ac
bd > > 比较大小 不等式的基本性质 利用不等式的性质求范围 利用性质证明简单不等式 课时作业（一）课件43张PPT。2ab a＝b a＝b 定值 x＝y 定值 基本不等式的理解与判定 利用基本不等式证明不等式 利用基本不等式求最值 基本不等式的实际应用 课时作业（二）课件29张PPT。≥ a＝b＝c ≥ a＝b＝c 不小于 不小于 ≥ a＝b＝c 最大 a＋b＋c 利用平均不等式求最值 证明简单的不等式 用平均不等式求解实际问题 课时作业（三）课件28张PPT。a 原点 距离 长度 |a|＋|b| ab≥0 三角形的两边之和大于第三边 |a－b| (a－b)(b－c)≥0 绝对值不等式的理解与应用 运用绝对值不等式求最值与范围 含绝对值不等式的证明 课时作业（四）课件33张PPT。|ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c型不等式的解法含两个绝对值的不等式的解法 含参数的绝对值不等式的综合问题 课时作业（五）综合检测(一)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知>，则下列不等式一定成立的是( )
A．a2>b2 B．lg a>lg b
C.> D．b>a
【解析】 由>，
得a>b(c≠0)
显然，当a，b异号或其中一个为0时， A、B、C不正确．
【答案】 D
2．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是( )
A．a＞b＋1 B．a＞b－1
C．a2＞b2 D．a3＞b3
【解析】 由a＞b＋1得a＞b＋1＞b，即a＞b，而由a＞b不能得出a＞b＋1，因此，使a＞b成立的充分不必要条件是a＞b＋1，选A.
【答案】 A
3．若a＞b，x＞y，下列不等式不正确的是( )
A．a＋x＞b＋y B．y－a＜x－b
C．|a|x＞|a|y D．(a－b)x＞(a－b)y
【解析】 对于A，两式相加可得a＋x＞b＋y，A正确；
对于B，a＞b?－a＜－b，与y＜x相加得y－a＜x－b，B正确；
对于D，
∵a－b＞0，
∴(a－b)x＞(a－b)y，D正确；
对于C，当a＝0时，
不等式不正确，故选C.
【答案】 C
4．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x<0)，则a与b的大小关系是( )
A．ab
C．a＝b D．a≤b
【解析】 ∵a＝lg 2＋lg 5＝1，b＝ex(x<0)，
故b<1，∴a>b.
【答案】 B
5．a，b为非零实数，那么不等式恒成立的是( )
A．|a＋b|>|a－b| B．≥
C.2≥ab D．＋≥2
【解析】 a，b为非零实数时，A，B，D均不一定成立．
而2－ab＝2≥0恒成立．
【答案】 C
6．在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是( )
A．y＝x＋
B．y＝lg x＋
C．y＝＋
D．y＝sin x＋(0【解析】 y＝x＋≥2＝4，A错；当0当＝时x＝0，
∴y＝＋≥2此时等号取不到，C错；
y＝sin x＋≥2，此时sin x＝1，D正确．
【答案】 D
7．不等式|2x－log2x|＜|2x|＋|log2x|的解为( )
A．1＜x＜2 B．0＜x＜1
C．x＞1 D．x＞2
【解析】 由题意知
∴log2x＞0，
解得x＞1，故选C.
【答案】 C
8．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( )
A．2 B．3
C．6 D．9
【解析】 f′(x)＝12x2－2ax－2b，
由f(x)在x＝1处有极值，
得f′(1)＝12－2a－2b＝0，
∴a＋b＝6，
又a＞0，b＞0，
∴ab≤()2＝()2＝9，
当且仅当a＝b＝3时取到等号，故选D.
【答案】 D
9．不等式|x＋1|－|x－3|≥0的解集是( )
A．? B．[1,3]
C．(3，＋∞) D．[1，＋∞)
【解析】 ∵|x＋1|－|x－3|≥0，
∴|x＋1|≥|x－3|
∴(x＋1)2≥(x－3)2，
解得x≥1.
故不等式解集为[1，＋∞)．故选D.
【答案】 D
10．若0A．最小值 B．最大值
C．最小值 D．最大值
【解析】 x2(1－2x)＝x·x(1－2x)
≤()3＝.
当且仅当x＝时，等号成立．
【答案】 B
11．关于x的不等式|x－1|＋|x－2|≤a2＋a＋1的解集是空集，则a的取值范围是( )
A．(0,1) B．(－1,0)
C．(1,2) D．(－∞，－1)
【解析】 |x－1|＋|x－2|的最小值为1，
故只需a2＋a＋1<1，
∴－1【答案】 B
12．已知a1>a2>a3>0，则使得(1－aix)2<1(i＝1,2,3)都成立的x取值范围是
( )
A．(0，) B．(0，)
C．(0，) D．(0，)
【解析】 由(1－aix)2<1，
得0又ai>0，
∴0则x小于的最小值．
又a1>a2>a3，
∴的最小值为，
则x<.
因此x的取值范围为(0，)，选B.
【答案】 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上)
13．(2012·山东高考)若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.
【解析】 ∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.
∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，
∴k＝2.
【答案】 2
14．若<<0，则下列不等式①a＋b|b|；③a2中，正确的不等式有________．
【解析】 由<<0，
得<0且a<0，b<0，
∴b因此a＋b<0|a|<|b|，＋>2.
∴①④正确，②③错误．
【答案】 ①④
15．已知x，y大于0，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．
【解析】 ∵x>0，y>0
且1＝＋≥2，∴xy≤3.
当且仅当＝
即x＝，y＝2时取等号．
【答案】 3
16．设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别为________．
【解析】 如图，先画出不等式|x|＋|y|≤1表示的平面区域，易知当直线x＋2y＝u经过点B，D时分别对应u的最大值和最小值，所以umax＝2，umin＝－2.
【答案】 2 －2
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)解不等式x＋|2x－1|＜3.
【解】 法一 原不等式可化为
或
解得≤x＜或－2＜x＜.
所以原不等式的解集是{x|－2＜x＜}．
法二 由于|2x－1|＜3－x，
∴x－3＜2x－1＜3－x，
解得x＞－2且x＜.
∴原不等式的解集是
{x|－2＜x＜}．
18．(本小题满分12分)若a>2，b>3，求a＋b＋的最小值．
【解】 ∵a>2，b>3，
∴a－2>0，b－3>0，
>0，
因此a＋b＋
＝(a－2)＋(b－3)＋＋5
≥3＋5＝8.
当且仅当a－2＝b－3＝时，即a＝3，b＝4时等号成立．
故a＋b＋的最小值为8.
19．(本小题满分12分)(2012·江苏高考)已知实数x，y满足：|x＋y|<，|2x－y|<，求证：|y|<.
【证明】 因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，
由题设知|x＋y|<，|2x－y|<，
从而3|y|<＋＝，所以|y|<.
20．(本小题满分12分)已知a和b是任意非零实数．
(1)求的最小值；
(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，求实数x的取值范围．
【解】 (1)∵|2a＋b|＋|2a－b|≥|2a＋b＋2a－b|＝4|a|对于任意非零实数a和b恒成立，
当且仅当(2a＋b)(2a－b)≥0时取等号，
∴的最小值等于4.
(2)∵|2＋x|＋|2－x|≤恒成立，
故|2＋x|＋|2－x|不大于
的最小值．
由(1)可知的最小值等于4.
实数x的取值范围即为不等式|2＋x|＋|2－x|≤4的解．
解不等式得－2≤x≤2，
∴x的取值范围是[－2,2]．
21．(本小题满分12分)(2013·课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.
(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；
(2)设a＞－1时，且当x∈[－，)时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．
【解】
(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.
设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，
则y＝
其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0，所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．
(2)当x∈[－，)时，f(x)＝1＋a，
不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3，
所以x≥a－2对x∈[－，)都成立，故－≥a－2，即a≤.
从而a的取值范围是(－1，]．
22．(本小题满分12分)某小区要建一座八边形的休闲小区，如图1所示，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4 200元，并在四周的四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个空角上铺草坪，造价为每平方米80元．
图1
(1)设总造价为S元，AD长为x米，试求S关于x的函数关系式；
(2)当x为何值时，S取得最小值？并求出这个最小值．
【解】 (1)设DQ＝y米，又AD＝x米，
故x2＋4xy＝200，
即y＝.
依题意，得S＝4 200x2＋210×4xy＋80×2y2
＝4 200x2＋210(200－x2)＋160()2
＝38 000＋4 000x2＋.
依题意x>0，且y＝>0，
∴0故所求函数为
S＝38 000＋4 000x2＋，x∈(0,10)．
(2)因为x>0，
所以S≥38 000＋2＝118 000，
当且仅当4 000x2＝，
即x＝时取等号．
∴当x＝∈(0,10)时，
Smin＝118 000元．
故AD＝米时，S有最小值118 000元．
一、选择题
1．设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论正确的是( )
A．a＋c>b＋d B．a－c>b－d
C．ac>bd D．>
【解析】 ∵a>b，c>d，∴a＋c>b＋d.
【答案】 A
2．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【解析】 当a>0且b>0时，一定有a＋b>0且ab>0.
反之，当a＋b>0，ab>0时，一定有a>0，b>0.
【答案】 C
3．(2013·开封检测)若aA.> B．2a>2b
C．|a|>|b|>0 D．()a>()b
【解析】 考查不等式的基本性质及其应用．取a＝－2，b＝－1验证即可求解．
【答案】 B
4．设a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 ∵0＜ab＜1
当a＜0且b＜0时可推得b＞，
所以“0＜ab＜1”不是“b＜”的充分条件， ①
反过来若b＜，
当b＜0且a＞0时，有ab＜0，推不出“0＜ab＜1”，
所以“0＜ab＜1”也不是“b＜”的必要条件， ②
由①②知，应选D.
【答案】 D
二、填空题
5．给出四个条件：
①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0.
能得出<成立的有________．
【解析】 <?－<0?<0，
∴①②④可推出<成立．
【答案】 ①②④
6．若a>1，b<1，则ab＋1与a＋b大小关系为ab＋1________a＋b.
【解析】 ab＋1－a－b＝a(b－1)－(b－1)
＝(a－1)(b－1)，
∵a>1，b<1，∴(a－1)(b－1)<0，
∴ab＋1－a－b<0，∴ab＋1【答案】 <
三、解答题
7．若a，b，c满足b＋c＝3a2－4a＋6，b－c＝a2－4a＋4，比较a，b，c的大小．
【解】 b－c＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0，∴b≥c.
由题意可得方程组
解得b＝2a2－4a＋5，c＝a2＋1.
∴c－a＝a2＋1－a＝(a－)2＋>0，
∴c>a，∴b≥c>a.
8．(1)已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：＜；
(2)若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，
求证：＞.
【证明】 (1)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
∴0＜－＜－，又a＞b＞0，
∴－＞－＞0.
∴ ＞，即－＞－.
两边同乘以－1，得＜.
(2)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
∵a＞b＞0.∴a－c＞b－d＞0.
∴(a－c)2＞(b－d)2＞0，∴＜，
又∵e＜0，
∴＞.
9．设x，y为实数，且3≤xy2≤8,4≤≤9，求的取值范围．
【解】 由4≤≤9，得16≤≤81. ①
又3≤xy2≤8，∴≤≤. ②
由①×②得×16≤·≤81×，
即2≤≤27，
因此的取值范围是[2,27]．
教师备选
10．若已知二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4.求f(－2)的范围．
【解】 ∵二次函数y＝f(x)的图象过原点，
∴可设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)．
∴
∴
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
∵1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，
∴6≤f(－2)≤10，
即f(－2)的范围是[6,10].
一、选择题
1．函数f(x)＝的最大值为( )
A. B．
C. D．1
【解析】 显然x≥0.当x＝0时，f(x)＝0；
当x>0时，x＋1≥2，∴f(x)≤.
当且仅当x＝1时，等号成立，
∴f(x)max＝.
【答案】 B
2．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是( )
A．a＜b＜＜ B．a＜＜＜b
C．a＜＜b＜ D．＜a＜＜b
【解析】 取特殊值法．取a＝2，b＝8，则＝4，＝5，所以a＜＜＜b.故选B.
【答案】 B
3．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
A．3 B．4
C. D．
【解析】 ∵a＞0，b＞0，a＋b＝2，
∴y＝＋＝(＋)·
＝(＋＋＋2)≥＋2＝.
当且仅当a＝，b＝时，等号成立．故选C.
【答案】 C
4．(2012·福建高考)下列不等式一定成立的是( )
A．lg(x2＋)>lg x(x>0)
B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
【解析】 当x>0时，x2＋≥2·x·＝x，所以lg(x2＋)≥lg x(x>0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x＝0时，有＝1，故选项D不正确．
【答案】 C
二、填空题
5．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．
【解析】 x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－＝(x＋y)2，∴(x＋y)2≤，∴|x＋y|≤.
x＋y的最大值为.
【答案】
6．(2013·陕西高考)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)·(bm＋an)的最小值为________．
【解析】 ∵a，b，m，n∈R＋，且a＋b＝1，mn＝2，
∴(am＋bn)(bm＋an)
＝abm2＋a2mn＋b2mn＋abn2
＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)
≥2ab·mn＋2(a2＋b2)
＝4ab＋2(a2＋b2)
＝2(a2＋b2＋2ab)
＝2(a＋b)2＝2，
当且仅当m＝n＝时，取“＝”．
∴所求最小值为2.
【答案】 2
三、解答题
7．已知a，b，x，y∈R＋，x，y为变量，a，b为常数，且a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b.
【解】 ∵x＋y＝(x＋y)(＋)
＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，
当且仅当＝时取等号．
又(x＋y)min＝(＋)2＝18，
即a＋b＋2＝18. ①
又a＋b＝10， ②
由①②可得或
8．已知a，b，c均是正数，求证：
(1)≤ ；
(2)＋＋≥(a＋b＋c)．
【证明】 (1)∵a2＋b2≥2ab，
∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2，
∴≥.
又a>0，b>0，∴≤ .
(2)由(1)得≥(a＋b)．
同理：≥(b＋c)，≥(a＋c)．
三式相加得：＋＋≥(a＋b＋c)，
当且仅当a＝b＝c时，取“＝”号．
9．若对任意x>0，≤a恒成立，求实数a的取值范围．
【解】 由x>0，知原不等式等价于
0<≤＝x＋＋3恒成立．
又x>0时，x＋≥2＝2，
∴x＋＋3≥5，当且仅当x＝1时，取等号．
因此min＝5，
从而0<≤5，解得a≥.
故实数a的取值范围为[，＋∞)．
教师备选
10．某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m)，如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.
该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度，若电视塔实际高度为125 m，问d为多少时，α－β最大？
【解】 由题设知d＝|AB|，得tan α＝.
由|AB|＝|AD|－|BD|＝－，得tan β＝，
所以tan(α－β)＝
＝≤，
当且仅当d＝，
即d＝＝＝55时，上式取等号．
∴当d＝55时，tan(α－β)最大．
因为0<β<α<，则0<α－β<，
∴当d＝55时，α－β最大．故所求的d是55 m.
一、选择题
1．已知正数x，y，z，且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是( )
A．(－∞，lg 6] B．(－∞，3lg 2]
C．[lg 6，＋∞) D．[3lg 2，＋∞)
【解析】 ∵6＝x＋y＋z≥3，
∴xyz≤8.
∴lg x＋lg y＋lg z
＝lg(xyz)≤lg 8＝3lg 2.
【答案】 B
2．已知x∈R＋，有不等式：x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，….启发我们可能推广结论为：x＋≥n＋1(n∈N*)，则a的值为( )
A．nn B．2n
C．n2 D．2n＋1
【解析】 ，要使和式的积为定值，则必须nn＝a，故选A.
【答案】 A
3．设0A. B．1
C. D．
【解析】 ∵0∴x(1－x)2＝·2x·(1－x)·(1－x)
≤[]3＝.
当且仅当x＝时，等号成立．
【答案】 D
4．已知a，b，c∈R＋，x＝，y＝，z＝，则
( )
A．x≤y≤z B．y≤x≤z
C．y≤z≤x D．z≤y≤x
【解析】 由a，b，c大于0，易知≥，即x≥y，又z2＝，x2＝，
且x2＝≤＝，
∴x2≤z2，则x≤z，
因此z≥x≥y.
【答案】 B
二、填空题
5．(2013·郑州模拟)若x＋y＋z＝1，且x，y，z∈R，则x2＋y2＋z2与的大小关系为________．
【解析】 ∵(x＋y＋z)2＝1，
∴x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)＝1，
又2(xy＋yz＋zx)≤2(x2＋y2＋z2)，
∴3(x2＋y2＋z2)≥1，则x2＋y2＋z2≥.
【答案】 x2＋y2＋z2≥
6．已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，对于下列不等式：①abc≤；②≥27；③a2＋b2＋c2≥.
其中正确的不等式序号是________．
【解析】 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴1＝a＋b＋c≥3，
0从而①正确，②也正确．
又a＋b＋c＝1，
∴a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝1，
因此1≤3(a2＋b2＋c2)，即a2＋b2＋c2≥，③正确．
【答案】 ①②③
三、解答题
7．(1)求函数y＝x2＋(x＞0)的最小值；
(2)求函数y＝x2(a－x)(x＞0，a为大于x的常数)的最大值．
【解】 (1)∵x＞0，＝＋＞0，
且x2··＝(定值)，
∴y＝x2＋＝x2＋＋
≥3＝3＝.
当且仅当x2＝，即x＝时，等号成立，
∴y最小值＝.
(2)∵x＞0，a＞x且＋＋(a－x)＝a(常数)，
∴y＝x2(a－x)
＝4·[··(a－x)]
≤4·[]3
＝4×＝a3，
当且仅当＝a－x，即x＝a时等号成立，
∴y最大值＝a3.
8．已知a，b，c均为正数，证明a2＋b2＋c2＋(＋＋)2≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．
【证明】 因为a，b，c均为正数，由算术－几何平均不等式，得a2＋b2＋c2≥3(abc)， ①
＋＋≥3(abc)－.
所以(＋＋)2≥9(abc)－. ②
故a2＋b2＋c2＋(＋＋)2
≥3(abc)＋9(abc)－.
又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6， ③
所以原不等式成立．
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．
当且仅当3(abc)＝9(abc)－时，③式等号成立．
即当且仅当a＝b＝c＝时，原式等号成立．
9．设三角形三边长为3,4,5，P是三角形内的一点，求点P到这个三角形三边距离乘积的最大值．
【解】 设P到三角形三边距离分别为h1、h2、h3，
又∵三角形为直角三角形，S＝·3·4＝6.
∴h1·3＋h2·4＋h3·5＝6.
∴3h1＋4h2＋5h3＝12≥3.
∴h1h2h3≤＝.
因此点P到这个三角形三边距离乘积的最大值为.
教师备选
10．如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值．
【解】 设正六棱柱容器底面边长为x(0＜x＜1)，高为h，
由图可有2h＋x＝，
∴h＝(1－x)，
V＝S底·h＝6×x2·h＝x2··(1－x)
＝9×××(1－x)≤9×()3＝.
当且仅当＝1－x，即x＝时，等号成立．
所以当底面边长为时，正六棱柱容器容积最大值为.
一、选择题
1．已知a、b、c∈R，且a＞b＞c，则有( )
A．|a|＞|b|＞|c| B．|ab|＞|bc|
C．|a＋b|＞|b＋c| D．|a－c|＞|a－b|
【解析】 当a，b，c均为负数时，则A、B、C均不成立，
如a＝－1，b＝－2，c＝－3时，有|a|＜|b|＜|c|，故A错；
|ab|＝2，而|bc|＝6此时|ab|＜|bc|，故B错；
|a＋b|＝3，|b＋c|＝5，与C中|a＋b|＞|b＋c|矛盾，故C错；只有D正确．故选D.
【答案】 D
2．不等式≤1成立的条件是( )
A．ab≠0 B．a2＋b2≠0
C．ab≥0 D．ab≤0
【解析】 ∵|a＋b|≤|a|＋|b|，
当|a|＋|b|≠0时，≤1 (*)
因此(*)成立的条件是a≠0或b≠0，
即a2＋b2≠0.
【答案】 B
3．已知a，b∈R，ab>0，则下列不等式中不正确的是( )
A．|a＋b|＞a－b B．2≤|a＋b|
C．|a＋b|<|a|＋|b| D．|＋|≥2
【解析】 当ab>0时，|a＋b|＝|a|＋|b|，C错．
【答案】 C
4．(2013·周口模拟)“|x－a|A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件
【解析】 当|x－a|∵|x－y|＝|(x－a)－(y－a)|
≤|x－a|＋|y－a|∴|x－a|取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，则有
|x－y|＝2<5＝2m，但|x－a|＝5，
不满足|x－a|故“|x－a|【答案】 A
二、填空题
5．(2013·陕西高考)设a，b∈R，|a－b|>2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|>2的解集是________．
【解析】 因为a，b∈R，则|a－b|>2，其几何意义是数轴上表示数a，b的两点间距离大于2，|x－a|＋|x－b|的几何意义为数轴上任意一点到a，b两点的距离之和，当x处于a，b之间时|x－a|＋|x－b|取最小值，距离恰为a，b两点间的距离，由题意知其恒大于2，故原不等式解集为R.
【答案】 (－∞，＋∞)
6．已知α，β是实数，给出三个论断：
①|α＋β|＝|α|＋|β|；
②|α＋β|>5；
③|α|>2，|β|>2.
以其中的两个论断为条件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题是________．
【解析】 ①、③成立时，则|α＋β|＝|α|＋|β|>4>5.
【答案】 ①③?②
三、解答题
7．f(x)＝|x－10|＋|x－20|(x∈R)，求f(x)的最小值，并求当f(x)有最小值时，实数x的取值范围．
【解】 ∵|x－10|＋|x－20|＝|x－10|＋|20－x|
≥|(x－10)＋(20－x)|＝10.
当且仅当(x－10)(20－x)≥0时取等号．
即10≤x≤20.
因此f(x)的最小值为10，此时实数x的取值范围是[10,20]．
8．设|a|≤1，函数f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)，证明|f(x)|≤.
【证明】 |f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x|
由|a|≤1，|x|≤1，以及绝对值不等式性质，得
|a(x2－1)|＋|x|
≤|x2－1|＋|x|＝1－x2＋|x|＝－(|x|－)2＋≤.
因此|f(x)|≤成立．
9．(2013·商丘检测)若f(x)＝x2－x＋c(为常数)，且|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．
【证明】 |f(x)－f(a)|
＝|(x2－x＋c)－(a2－a＋c)|
＝|x2－x－a2＋a|＝|(x－a)(x＋a－1)|
＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1|
＝|(x－a)＋(2a－1)|≤|x－a|＋|2a－1|.
又|x－a|<1，
∴|f(x)－f(a)|≤|x－a|＋|2a－1|
≤|x－a|＋|2a|＋1<1＋2|a|＋1
＝2(|a|＋1)．
教师备选
10．已知f(x)＝x2－x＋c定义在区间[0,1]上，x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2，证明：
(1)f(0)＝f(1)；
(2)|f(x2)－f(x1)|<|x1－x2|.
【证明】 (1)f(0)＝c，f(1)＝c，
故f(0)＝f(1)．
(2)|f(x2)－f(x1)|＝|x－x2＋c－x＋x1－c|
＝|x2－x1||x2＋x1－1|，
∵0≤x1≤1，
0≤x2≤1，
0∴－1∴|x2＋x1－1|<1，
∴|f(x2)－f(x1)|<|x1－x2|.
一、选择题
1．不等式1<|x＋1|<3的解集为( )
A．(0,2) B．(－2,0)∪(2,4)
C．(－4,0) D．(－4，－2)∪(0,2)
【解析】 由1<|x＋1|<3，得
1∴0∴不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)．
【答案】 D
2．不等式||>的解集是( )
A．(0,2) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，0)∪(2，＋∞)
【解析】 由绝对值的意义知，||>等价于<0，即x(x－2)<0，
解之得0【答案】 A
3．若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a的解集为R，则实数a的取值范围是( )
A．a≥3 B．a≤3
C．a＞3 D．a＜3
【解析】 令t＝|x＋1|＋|x－2|，由题意知
只要tmin≥a即可，
因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以tmin＝3，∴a≤3.
即实数a的取值范围是(－∞，3]，故应选B.
【答案】 B
4．设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x||x－b|>2，x∈R}，若A?B，则实数a，b必满足( )
A．|a＋b|≤3 B．|a＋b|≥3
C．|a－b|≤3 D．|a－b|≥3
【解析】 由|x－a|<1得a－1由|x－b|>2得xb＋2.
∵A?B，∴a－1≥b＋2或a＋1≤b－2，
即a－b≥3或a－b≤－3，∴|a－b|≥3.
【答案】 D
二、填空题
5．(2012·湖南高考)不等式|2x＋1|－2|x－1|>0的解集为________．
【解析】 当x≤－时，原不等式可化为－1－2x＋2(x－1)>0，整理得－3>0，无解．
当－0，整理得4x－1>0，即x>，∴当x>1时，原不等式可化为2x＋1－2(x－1)>0，整理得3>0.此时不等式的解集为x>1.
∴原不等式的解集为{x|1}＝{x|x>}．
【答案】 {x|x>}
6．已知集合A＝{x∈R||x＋3|＋|x－4|≤9}，B＝{x∈R|x＝4t＋－6，t∈(0，＋∞)}，则集合A∩B＝________.
【解析】 |x＋3|＋|x－4|≤9，
当x＜－3时，－x－3－(x－4)≤9，即－4≤x＜－3；
当－3≤x≤4时，x＋3－(x－4)＝7≤9恒成立；
当x＞4时，x＋3＋x－4≤9，即4＜x≤5.
综上所述，A＝{x|－4≤x≤5}．
又∵x＝4t＋－6，t∈(0，＋∞)，
∴x≥2 －6＝－2，当t＝时取等号．
∴B＝{x|x≥－2}，
∴A∩B＝{x|－2≤x≤5}．
【答案】 {x|－2≤x≤5}
三、解答题
7．设函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝x2－x.
(1)解不等式|f(x)－g(x)|≥2 012；
(2)若|f(x)－a|＜2恒成立的充分条件是1≤x≤2，求实数a的取值范围．
【解】 (1)由|f(x)－g(x)|≥2 012，得|－x＋3|≥2 012，即|x－3|≥2 012，所以x－3≥2 012或x－3≤－2 012，解得x≥2 015或x≤－2 009.
∴不等式的解集为(－∞，－2 009]∪[2 015，＋∞)．
(2)依题意知：当1≤x≤2时，
|f(x)－a|＜2恒成立，所以当1≤x≤2时，－2＜f(x)－a＜2恒成立，即f(x)－2＜a＜f(x)＋2恒成立．
由于当1≤x≤2时，f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2的最大值为3，最小值为2，因此3－2＜a＜2＋2，即1＜a＜4，所以实数a的取值范围为(1,4)．
8．(2012·浙江高考)已知a∈R，设关于x的不等式|2x－a|＋|x＋3|≥2x＋4的解集为A.
(1)若a＝1，求A；
(2)若A＝R，求a的取值范围．
【解】 (1)当x≤－3时，原不等式化为－3x－2≥2x＋4，得x≤－3.
当－3＜x≤时，原不等式化为4－x≥2x＋4，得－3＜x≤0.
当x＞时，原不等式化为3x＋2≥2x＋4，得x≥2.
综上，A＝{x|x≤0或x≥2}．
(2)当x≤－2时，|2x－a|＋|x＋3|≥0≥2x＋4成立．
当x＞－2时，|2x－a|＋x＋3＝|2x－a|＋|x＋3|≥2x＋4，
得x≥a＋1或x≤，
所以a＋1≤－2或a＋1≤，得a≤－2.
综上，a的取值范围为(－∞，－2]．
9．已知关于x的不等式|x|＞ax＋1的解集为{x|x≤0}的子集，求a的取值范围．
【解】 设y1＝|x|，y2＝ax＋1.
则y1＝
在同一直角坐标系中作出两函数图象，如图所示．
|x|＞ax＋1的x，只需考虑函数y1＝|x|的图象位于y2＝ax＋1的图象上方的部分，可知a≥1，即a的取值范围是[1，＋∞)．
教师备选
10．如图所示，O为数轴的原点，A、B、M为数轴上三点，C为线段OM上的动点．设x表示C与原点的距离，y表示C到A距离的4倍与C到B距离的6倍的和．
(1)将y表示为x的函数；
(2)要使y的值不超过70，x应该在什么范围内取值？
【解】 (1)依题意y＝4|x－10|＋6|x－20|，
0≤x≤30.
(2)由题意，x满足(*)
①当0≤x≤10时，不等式组(*)化为4(10－x)＋6(20－x)≤70，
解之得9≤x≤10；
②当10解之得10③当20≤x≤30时，不等式组(*)化为4(x－10)＋6(x－20)≤70，
解之得20≤x≤23.
综合①②③知，x的取值范围是[9,23].
