课件14张PPT。比较法证明不等式 综合法、分析法证明不等式 反证法证明不等式 函数思想在不等式中的应用 课件35张PPT。a－b＞0 a－b＜0 a－b＞0 作差 判断符号 作差比较法证明不等式 作商比较法证明不等式 比较法的实际应用 课时作业（六）课件34张PPT。已知条件 综合法 顺推证法 由因导果法 结论 已知条件 分析法 用综合法证明不等式 用分析法证明不等式 综合法与分析法的综合应用 课时作业（七）课件32张PPT。要证的命题不成立 命题的条件 矛盾 假设 放大 缩小 利用反证法证明不等式 利用反证法证“至多”、“至少”、 “唯一”型命题利用放缩法证明不等式 课时作业（八）综合检测(二)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a、b、c、d都是正数，且bc＞ad，则，，，中最大的是( )
A. B．
C. D．
【解析】 因为a，b，c，d均是正数且bc＞ad，
所以有＞. ①
又－＝
＝＞0，
∴＞， ②
－＝
＝＞0，
∴＞. ③
由①②③知最大，故选D.
【答案】 D
2．(2013·商丘模拟)已知x＞y＞z，且x＋y＋z＝1，则下列不等式中恒成立的是( )
A．xy＞yz B．xz＞yz
C．x|y|＞z|y| D．xy＞xz
【解析】 法一 特殊化法：令x＝2，y＝0，z＝－1，可排除A、B、C，故选D.
法二 3z＜x＋y＋z＜3x，
∴x＞＞z，
由x＞0，y＞z得xy＞xz.
故D正确．
【答案】 D
3．对于x∈[0,1]的任意值，不等式ax＋2b＞0恒成立，则代数式a＋3b的值
( )
A．恒为正值 B．恒为非负值
C．恒为负值 D．不确定
【解析】 依题意2b＞0，∴b＞0
且a＋2b＞0，∴a＋2b＋b＞0，
即a＋3b恒为正值．
【答案】 A
4．已知数列{an}的通项公式an＝，其中a，b均为正数，那么an与an＋1的大小关系是( )
A．an＞an＋1 B．an＜an＋1
C．an＝an＋1 D．与n的取值有关
【解析】 an＋1－an＝－
＝
∵a＞0，b＞0，n＞0，n∈N*.
∴an＋1－an＞0，
因此an＋1＞an.
【答案】 B
5．否定“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”时，正确的反设为( )
A．a、b、c都是奇数
B．a、b、c都是偶数
C．a、b、c中至少有两个偶数
D．a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数
【解析】 因为自然数a，b，c中可能有：全为奇数、二奇一偶、一奇二偶、全为偶数，共4种情况，故应选D.
【答案】 D
6．设a＝lg 2－lg 5，b＝ex(x＜0)，则a与b的大小关系是( )
A．a＜b B．a＞b
C．a＝b D．a≤b
【解析】 a＝lg 2－lg 5＝lg ＜0.
又x＜0，知0＜ex＜1，
即0＜b＜1，
∴a＜b.
【答案】 A
7．(2012·山东高考改编)若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝( )
A. B．2
C．6 D．2或6
【解析】 ∵|kx－4|≤2，
∴－2≤kx－4≤2，
∴2≤kx≤6，
∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，
∴k＝2.
【答案】 B
8．设a＝x4＋y4，b＝x3y＋xy3，c＝2x2y2(x，y∈R＋)，则下列结论中不正确的是( )
A．a最大 B．b最小
C．c最小 D．a，b，c可以相等
【解析】 因为b＝x3y＋xy3≥2＝2x2y2＝c，
故B错，应选B.
【答案】 B
9．要使－＜成立，a、b应满足的条件是( )
A．ab＜0且a＞b
B．ab＞0且a＞b
C．ab＜0且a＜b
D．ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b
【解析】 －＜?(－)3＜a－b.
?3＜3?ab(a－b)＞0.
当ab＞0时，a＞b；当ab＜0时，a＜b.
【答案】 D
10．已知x＝a＋(a＞2)，y＝()b2－2(b＜0)，则x，y之间的大小关系是
( )
A．x＞y B．x＜y
C．x＝y D．不能确定
【解析】 因为x＝a－2＋＋2≥2＋2＝4(a＞2)．
又b2－2＞－2(b＜0)，
即y＝()b2－2＜()－2＝4，
所以x＞y.
【答案】 A
11．(2013·开封模拟)已知a、b为非零实数，则使不等式＋≤－2成立的一个充分而不必要条件是( )
A．ab＞0 B．ab＜0
C．a＜0，b＜0 D．a＞0，b＜0
【解析】 因ab＜0?＋≤－2，
∴a＞0，b＜0是＋≤－2的充分不必要条件．
【答案】 D
12．在△ABC中，A，B，C分别为a，b，c所对的角，且a，b，c成等差数列，则角B适合的条件是( )
A．0＜B≤ B．0＜B≤
C．0＜B≤ D．＜B＜π
【解析】 由a，b，c成等差数列，得2b＝a＋c.
∴cos B＝＝，
＝
＝－≥.
当且仅当a＝b＝c时，
等号成立．
∴cos B的最小值为.
又y＝cos B，在(0，)上是减函数，∴0＜B≤.
【答案】 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上)
13．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时的假设是________．
【解析】 “三角形中最多只有一个内角是钝角”的对立事件是“三角形中内角有2个钝角或3个全是钝角”故应填三角形中至少有两个内角是钝角．
【答案】 三角形中至少有两个内角是钝角
14．已知a，b∈R＋，则x＝abba，y＝aabb的大小关系是________．
【解析】 ＝＝ab－a·ba－b＝()b－a，
若a≥b，则≥1，而b－a≤0，∴≤1.
若a＜b，则＜1，而b－a＞0，∴＜1.
综上，y≥x.
【答案】 y≥x
15．用分析法证明：若a，b，m都是正数，且a＜b，则＞.完成下列证明过程．
∵b＋m＞0，b＞0，
∴要证原不等式成立，只需证明
b(a＋m)＞a(b＋m)，
即只需证明________．
∵m＞0，∴只需证明b＞a，
由已知显然成立．∴原不等式成立．
【解析】 b(a＋m)＞a(b＋m)与bm＞am等价，
因此欲证b(a＋m)＞a(b＋m)成立，
只需证明bm＞am即可．
【答案】 bm＞am
16．已知a，b，c，d∈R＋，且S＝＋＋＋，则S的取值范围是________．
【解析】 由放缩法，得＜＜；
＜＜；
＜＜；
＜＜.
以上四个不等式相加，
得1＜S＜2.
【答案】 (1,2)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)若q＞0且q≠1，m，n∈N*，比较1＋qm＋n与qm＋qn的大小．
【解】 1＋qm＋n－qm－qn＝qm(qn－1)－(qn－1)
＝(qn－1)(qm－1)，
①当0＜q＜1时，qn＜1，qm＜1.
②当q＞1时，qn＞1，qm＞1.
∴(qn－1)(qm－1)＞0，
故1＋qm＋n＞qm＋qn.
18．(本小题满分12分)已知a，b为正数，求证：＋≥.
【证明】 ∵a＞0，b＞0，
∴(＋)(a＋b)＝5＋＋
≥5＋2＝9.
由a＋b＞0，得＋≥.
19．(本小题满分12分)设a，b，c是不全相等的正实数．
求证：lg ＋lg ＋lg ＞lg a＋lg b＋lg c.
【证明】 法一 要证：lg ＋lg ＋lg ＞lg a＋lg b＋lg c
只需证：lg(··)＞lg(abc)
只需证：··＞abc
∵≥＞0，≥＞0，≥＞0，
∴··≥abc＞0成立．
∵a，b，c为不全相等的正数，∴上式中等号不成立．
∴原不等式成立．
法二 ∵a，b，c∈{正实数}，
∴≥＞0，≥＞0，
≥＞0，
又∵a，b，c为不全相等的实数，
∴··＞abc，
∴lg(··)＞lg(abc)，
即lg ＋lg ＋lg
＞lg a＋lg b＋lg c.
20．(本小题满分12分)若0＜a＜2,0＜b＜2,0＜c＜2，求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能同时大于1.
【证明】 假设三数能同时大于1，
即(2－a)b＞1，(2－b)c＞1，(2－c)a＞1.
那么≥＞1，
同理＞1，
＞1
三式相加＞3，
即3＞3.
上式显然是错误的，
∴该假设不成立．
∴(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能同时都大于1.
21．(本小题满分12分)求证：2(－1)＜1＋＋＋…＋＜2(n∈N＋)．
【证明】 ∵＝＞
＝2(－)，k∈N＋，
∴1＋＋＋…＋
＞2[(－1)＋(－)＋…＋(－)]
＝2(－1)．
又＝＜
＝2(－)，k∈N＋，
∴1＋＋＋…＋
＜1＋2[(－1)＋(－)＋…＋(－)]
＝1＋2(－1)＝2－1＜2.
∴2(－1)＜1＋＋＋…＋＜2(n∈N＋)．
22．(本小题满分12分)等差数列{an}各项均为正整数，a1＝3，前n项和为Sn.等比数列{bn}中，b1＝1，且b2S2＝64，{ban}是公比为64的等比数列．
(1)求an与bn；
(2)证明：＋＋…＋＜.
【解】 (1)设{an}的公差为d(d∈N)，{bn}的公比为q，则an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.
依题意
由①知，q＝64＝2 ③
由②知，q为正有理数．
所以d为6的因子1,2,3,6中之一
因此由②③知d＝2，q＝8
故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.
(2)证明：Sn＝3＋5＋7＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)
则＝＝(－)
∴＋＋＋…＋
＝(1－＋－＋－＋…＋－)
＝(1＋－－)＜×＝.
一、选择题
1．已知a＞2，b＞2，则( )
A．ab≥a＋b B．ab≤a＋b
C．ab＞a＋b D．ab＜a＋b
【解析】 ∵a＞2，b＞2，∴－1＞0，－1＞0，
则ab－(a＋b)＝a(b－1)＋b(a－1)＞0.
∴ab＞a＋b.
【答案】 C
2．已知a＞b＞－1，则与的大小关系为( )
A.＞ B．＜
C.≥ D．≤
【解析】 ∵a＞b＞－1，∴a＋1＞0，b＋1＞0，a－b＞0，则－＝＜0，∴＜.
【答案】 B
3．下列四个数中最大的是( )
A．lg 2 B．lg
C．(lg 2)2 D．lg(lg 2)
【解析】 ∵0＜lg 2＜1＜＜2
∴lg(lg 2)＜0＜lg ＜lg 2
且(lg 2)2＜lg 2，故应选A.
【答案】 A
4．已知函数f(x)＝()x，a，b是正实数，A＝f()，B＝f()，C＝f()，则A、B、C的大小关系是( )
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
【解析】 ∵≥≥，
又f(x)＝()x在R上是减函数．
∴f()≤f()≤f()．
【答案】 A
二、填空题
5．(2013·周口模拟)设P＝a2b2＋5，Q＝2ab－a2－4a，若P>Q，则实数a，b满足的条件为________．
【解析】 P－Q＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a)
＝a2b2＋5－2ab＋a2＋4a
＝a2b2－2ab＋1＋4＋a2＋4a
＝(ab－1)2＋(a＋2)2，
∵P>Q，
∴P－Q>0，
即(ab－1)2＋(a＋2)2>0，
∴ab≠1或a≠－2.
【答案】 ab≠1或a≠－2
6．已知a＞0,1＞b＞0，a－b＞ab，则与的大小关系是________．
【解析】 a＞0,1＞b＞0，a－b＞ab
∴(1＋a)(1－b)＝1＋a－b－ab＞1.
从而＝＞1，
∴＞.
【答案】 ＞
三、解答题
7．(2013·江苏高考)已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.
【证明】 2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)
＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．
因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0,
从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，
即2a3－b3≥2ab2－a2b.
8．已知a＞2，求证：loga(a－1)＜log(a＋1)a.
【证明】 ∵a＞2，
则a－1＞1
∴loga(a－1)＞0，log(a＋1)a＞0，
由于＝loga(a－1)·loga(a＋1)
＜[]2.
＝[]2.
∵a＞2，∴0＜loga(a2－1)＜logaa2＝2，
∴[]2＜[]2＝1，
因此＜1.
∵log(a＋1)a＞0，
∴loga(a－1)＜log(a＋1)a.
9．已知{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列．
(1)求q的值；
(2)设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由．
【解】 (1)由题设知2a3＝a1＋a2，
即2a1q2＝a1＋a1q.
又a1≠0，∴2q2－q－1＝0.
∴q＝1或－.
(2)若q＝1，则Sn＝2n＋＝＝.
当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝＞0，
故Sn＞bn.
若q＝－，则Sn＝2n＋·(－)＝＝.
当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝－，
故对于n∈N＋，当2≤n≤9时，Sn＞bn；
当n＝10时，Sn＝bn；
当n≥11时，Sn＜bn.
教师备选
10．若实数x、y、m满足|x－m|＜|y－m|，则称x比y接近m.
对任意两个不相等的正数a、b证明：a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab.
【证明】 ∵a＞0，b＞0，且a≠b，
∴a2b＋ab2＞2ab，
a3＋b3＞2ab.
∴a2b＋ab2－2ab＞0，
a3＋b3－2ab＞0.
∴|a2b＋ab2－2ab|－|a3＋b3－2ab|
＝a2b＋ab2－2ab－a3－b3＋2ab
＝a2b＋ab2－a3－b3＝a2(b－a)＋b2(a－b)
＝(a－b)(b2－a2)＝－(a－b)2(a＋b)＜0
∴|a2b＋ab2－2ab|＜|a3＋b3－2ab|，
∴a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab.
一、选择题
1．若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是( )
A.＜ B．a2＞b2
C.＞ D．a|c|＞b|c|
【解析】 ∵a＞b，c2＋1＞0，
∴＞，故选C.
【答案】 C
2．设＜()b＜()a＜1，则( )
A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab
C．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa
【解析】 ∵＜()b＜()a＜1，
∴0＜a＜b＜1，∴＝aa－b＞1，∴ab＜aa，
＝()a，∵0＜＜1，a＞0，
∴()a＜1，∴aa＜ba，∴ab＜aa＜ba.故选C.
【答案】 C
3．(2013·三门峡模拟)已知条件p：ab>0，q：＋≥2，则p与q的关系是
( )
A．p是q的充分而不必要条件
B．p是q的必要而不充分条件
C．p是q的充要条件
D．以上答案都不对
【解析】 当ab>0时，>0，>0，
∴＋≥2 ＝2.
当＋≥2时，
∴≥0，≥0，
(a－b)2≥0，∴ab>0，
综上ab>0是＋≥2的充要条件．
【答案】 C
4．已知a、b、c为三角形的三边且S＝a2＋b2＋c2，P＝ab＋bc＋ca，则
( )
A．S≥2P B．P＜S＜2P
C．S＞P D．P≤S＜2P
【解析】 ∵a2＋b2≥2ab，
b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
即S≥P.
又三角形中|a－b|＜c，
∴a2＋b2－2ab＜c2，
同理c2＋b2－2bc＜a2，
a2＋c2－2ac＜b2，
∴a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca)，
即S＜2P.故选D.
【答案】 D
二、填空题
5．有以下四个不等式：
①(x＋1)(x＋3)＞(x＋2)2；②ab－b2＜a2；③＞0；④a2＋b2≥2|ab|.
其中恒成立的为________(写出序号即可)．
【解析】 对于①，x2＋4x＋3＞x2＋4x＋4,3＞4不成立；对于②，当a＝b＝0时， 0＜0不成立，③④显然成立．
【答案】 ③④
6．已知a＞0，b＞0且a＋b＝1，则＋＋与8的大小关系是________．
【解析】 ∵a＞0，b＞0且a＋b＝1，
∴＋＋＝＝≥＝8.
当且仅当a＝b＝时等号成立．
【答案】 ＋＋≥8
三、解答题
7．设a＞0，b＞0，c＞0.证明：
(1)＋≥；
(2)＋＋≥＋＋.
【证明】 (1)∵a＞0，b＞0，
∴(a＋b)(＋)
≥2·2＝4.
∴＋≥.
(2)由(1)知＋≥.
同时，＋≥，＋≥，三式相加得：
2(＋＋)≥＋＋，
∴＋＋≥＋＋.
8．已知a≥1，求证：－＜－.
【证明】 要证原不等式成立，
只要证明＋＜2.
因为a≥1，＋＞0,2＞0，
所以只要证明2a＋2＜4a，
即证 ＜a.
所以只要证明a2－1＜a2，
即证－1＜0即可．
而－1＜0显然成立，
所以－＜－.
9．如果a＞b，ab＝1，求证：a2＋b2≥2(a－b)，并指明何时取“＝”号．
【证明】 因为a＞b，所以a－b＞0，
又ab＝1，
所以＝＝
＝(a－b)＋≥2＝2.
即≥2，
故a2＋b2≥2(a－b)．
当且仅当a－b＝，
ab＝1，即a＝，b＝或a＝，b＝时取“＝”号．
教师备选
10．若不等式＋＋＞0在条件a＞b＞c时恒成立，求实数λ的取值范围．
【解】 不等式可化为＋＞.
∵a＞b＞c.∴a－b＞0，
b－c＞0，a－c＞0，
∴λ＜＋恒成立．
∵＋＝＋
＝2＋＋≥2＋2＝4.
∴λ＜4.
故实数λ的取值范围是(－∞，4)．
一、选择题
1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( )
①结论相反的判断，即假设；
②原命题的条件；
③公理、定理、定义等；
④原结论．
A．①② B．①②④
C．①②③ D．②③
【解析】 由反证法的推理原理可知，反证法必须把结论的相反判断作为条件应用于推理，同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等．
【答案】 C
2．用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容是
( )
A.＝
B.＜
C.＝且＜
D.＝或＜
【解析】 应假设≤，
即＝或＜.
【答案】 D
3．设|a|＜1，P＝|a＋b|－|a－b|与2的大小关系为( )
A．P＞2 B．P＜2
C．P＝2 D．不确定
【解析】 ∵P＝|a＋b|－|a－b|＜|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|＜2，故选B.
【答案】 B
4．设x、y、z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a、b、c三个数
( )
A．至少有一个不大于2
B．都小于2
C．至少有一个不小于2
D．都大于2
【解析】 ∵a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z＝1时等号成立，
∴a、b、c三者中至少有一个不小于2.
【答案】 C
二、填空题
5．设M＝＋＋＋…＋，则M与1的大小关系为________．
【解析】 ∵210＋1＞210,210＋2＞210，…，211－1＞210，
∴M＝＋＋＋…＋
【答案】 M＜1
6．(2013·重庆模拟)若实数a、b、c满足2a＋2b＝2a＋b,2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c，则c的最大值是________．
【解析】 2a＋b＝2a＋2b≥2当且仅当a＝b时，2a＋b≥4取“＝”，
由2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c得2a＋b＋2c＝2a＋b·2c，
∴2c＝＝1＋≤1＋＝，
故c≤log2＝2－log23.
【答案】 2－log23
三、解答题
7．已知a＞0，b＞0，且a＋b＞2.求证：
，中至少有一个小于2.
【证明】 假设，都不小于2，
则≥2，≥2.
∵a＞0，b＞0.∴1＋b≥2a,1＋a≥2b.
∴2＋a＋b≥2(a＋b)，即2≥a＋b，
这与a＋b＞2矛盾．
故假设不成立．
即，中至少有一个小于2.
8．已知a＞0，b＞0，求证：＋＞.
【证明】 ∵a＞0，b＞0，
∴＞，＞，
∴＋＞.
9．已知0＜a＜3,0＜b＜3,0＜c＜3.
求证：a(3－b)、b(3－c)、c(3－a)不可能都大于.
【证明】 假设a(3－b)＞，b(3－c)＞，c(3－a)＞.∵a、b、c均为小于3的正数．
∴＞，＞，＞，
从而有＋＋＞ .①
但是＋＋
≤＋＋
＝＝. ②
显然②与①相矛盾，假设不成立，
故命题得证．
教师备选
10．设a1，a2，…，an是正数，求证：＋＋…＋＜.
【证明】 左边＜＋…＋＋…＋
(分母减小分式的值放大)
＝(－)＋(－)＋…＋(－)
＝－＜＝右边．
故＋＋…
＋＜.
