课件19张PPT。归纳递推要用好归纳假设 不等式证明中的强化命题 从特殊到一般的数学思想方法 课件39张PPT。数学归纳法的概念 用数学归纳法证明等式 数学归纳法证明整除问题 证明几何命题 课时作业（十二）课件37张PPT。数学归纳法证明不等式 不等式中的探索、猜想、证明 课时作业（十三）综合检测(四)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N＋)能被31整除”，当n＝1时原式为( )
A．1 B．1＋2
C．1＋2＋3＋4 D．1＋2＋22＋23＋24
【解析】 左边＝1＋2＋22＋…＋25n－1，所以n＝1时，应为1＋2＋…＋25×1－1＝1＋2＋22＋23＋24.故选D.
【答案】 D
2．下列说法中正确的是( )
A．若一个命题当n＝1,2时为真，则此命题为真命题
B．若一个命题当n＝k时成立且推得n＝k＋1时也成立，则此命题为真命题
C．若一个命题当n＝1,2时为真，则当n＝3时此命题也为真
D．若一个命题当n＝1时为真，n＝k时为真能推得n＝k＋1时亦为真，则此命题为真命题
【解析】 由数学归纳法定义可知，只有当n的初始取值成立且由n＝k成立能推得n＝k＋1时也成立时，才可以证明结论正确，二者缺一不可．A，B，C项均不全面．
【答案】 D
3．设S(n)＝＋＋＋…＋，则( )
A．S(n)共有n项，当n＝2时，S(2)＝＋
B．S(n)共有n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋
C．S(n)共有n2－n项，当n＝2时，S(2)＝＋＋
D．S(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋
【解析】 S(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋.
【答案】 D
4．数列an中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是( )
A．3n－2 B．n2
C．3n－1 D．4n－3
【解析】 计算知a1＝1，a2＝4, a3＝9，a4＝16，
∴可猜想an＝n2.
【答案】 B
5．平面内原有k条直线，他们的交点个数记为f(k)，则增加一条直线l后，它们的交点个数最多为( )
A．f(k)＋1 B．f(k)＋k
C．f(k)＋k＋1 D．k·f(k)
【解析】 第k＋1条直线与前k条直线都有不同的交点，此时应比原先增加k个交点．
【答案】 B
6．下列代数式，n∈N*，能被13整除的是( )
A．n3＋5n B．34n＋1＋52n＋1
C．62n－1＋1 D．42n＋1＋3n＋2
【解析】 当n＝1时，n3＋5n＝6,34n＋1＋52n＋1＝368,62n－1＋1＝7,42n＋1＋3n＋2＝91，
只有91能被13整除．
【答案】 D
7．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，第二步正确的证明方法是( )
A．假设n＝k(k∈N＋)时成立，证明n＝k＋1时命题也成立
B．假设n＝k(k是正奇数)时成立，证明n＝k＋1时命题也成立
C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)时成立，证明n＝2k＋3时命题也成立
D．假设n＝2k－1(k∈N＋)时成立，证明n＝2k＋1时命题也成立
【解析】 假设n的取值必须取到初始值1，且后面的n的值比前面的值大2.A、B、C错．故选D.
【答案】 D
8．设0<θ<，已知a1＝2cos θ，an＋1＝，则猜想an为( )
A．2cos B．2cos
C．2cos D．2sin
【解析】 a1＝2cos θ，a2＝＝2cos ，a3＝＝2cos ，
猜想an＝2cos .
【答案】 B
9．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上( )
A．k2
B．(k＋1)2
C.
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
【解析】 当n＝k时，左端＝1＋1＋2＋3＋…＋k2，
当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.
故当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.
【答案】 D
10．用数学归纳法证明“42n－1＋3n＋1(n∈N＋)能被13整除”的第二步中，当n＝k＋1时为了使用归纳假设，对42k＋1＋3k＋2变形正确的是( )
A．16(42k－1＋3k＋1)－13×3k＋1
B．4×42k＋9×3k
C．(42k－1＋3k＋1)＋15×42k－1＋2×3k＋1
D．3(42k－1＋3k＋1)－13×42k－1
【解析】 42k＋1＋3k＋2＝16×42k－1＋3k＋2＝16(42k－1＋3k＋1)＋3k＋2－16×3k＋1＝16(42k－1＋3k＋1)－13×3k＋1.
【答案】 A
11．如果命题P(n)对于n＝k成立，则它对n＝k＋2亦成立，又若P(n)对n＝2成立，则下列结论正确的是( )
A．P(n)对所有自然数n成立
B．P(n)对所有偶自然数n成立
C．P(n)对所有正自然数n成立
D．P(n)对所有比1大的自然数n成立
【解析】 因为n＝2时，由n＝k＋2的“递推”关系，可得到n＝4成立，再得到n＝6成立，依次类推，因此，命题P(n)对所有的偶自然数n成立．
【答案】 B
12．在数列{an}中，a1＝且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为( )
A. B．
C. D．
【解析】 ∵a1＝，
由Sn＝n(2n－1)an得，
a1＋a2＝2(2×2－1)a2，
解得a2＝＝，
a1＋a2＋a3＝3×(2×3－1)a3，
解得a3＝＝，
a1＋a2＋a3＋a4＝4(2×4－1)a4，
解得a4＝＝，
所以猜想an＝.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上)
13．探索表达式A＝(n－1)(n－1)！＋(n－2)(n－2)！＋…＋2·！＋1·1！(n>1且n∈N＋)的结果时，第一步n＝________时，A＝________.
【解析】 第一步n＝2时，
A＝(2－1)(2－1)！＝1.
【答案】 2 1
14．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N＋都成立，那么a＝________，b＝________，c＝________.
【解析】 先分别取n＝1,2,3并联立方程组得
解得a＝，b＝，c＝.
然后可用数学归纳法证明．
【答案】
15．证明1＋＋＋＋…＋>(n∈N＋)，假设n＝k时成立，当n＝k＋1时，左边增加的项数是________．
【解析】 左边增加的项数为2k＋1－1－2k＋1＝2k.
【答案】 2k
16．假设凸k边形的对角线有f(k)条，则凸k＋1边形的对角线的条数f(k＋1)为________．
【解析】 凸k＋1边形的对角线的条数等于凸k边形的对角线的条线，加上多的那个点向其他点引的对角线的条数(k－2)条，再加上原来有一边成为对角线，共有f(k)＋k－1条对角线．
【答案】 f(k)＋k－1
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)用数学归纳法证明：
＋＋＋…＋＝(n∈N＋)．
【证明】 (1)当n＝1时，
左边＝＝，
右边＝＝，
左边＝右边．
∴当n＝1时，等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N＋)时等式成立，即有
＋＋＋…＋
＝，
则当n＝k＋1时，＋＋＋＋＝＋
＝＝
＝＝.
所以当n＝k＋1时，
等式也成立．
由(1)(2)可知，对于一切n∈N＋等式都成立．
18．(本小题满分12分)求证：对于整数n≥0时，11n＋2＋122n＋1能被133整除．
【证明】 (1)n＝0时，原式＝112＋12＝133能被133整除．
(2)假设n＝k(k≥0，k∈N)时，11k＋2＋122k＋1能被133整除，
n＝k＋1时，原式＝11k＋3＋122k＋3
＝11(11k＋2＋122k＋1)－11·122k＋1＋122k＋3
＝11(11k＋2＋122k＋1)＋122k＋1·133也能被133整除．
由(1)(2)可知：对于整数n≥0,11n＋2＋122n＋1能被133整除．
19．(本小题满分12分)平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证：这n个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分(n∈N＋)．
【证明】 (1)当n＝1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所以n＝1时命题成立．
(2)假设n＝k(k∈N＋，k≥1)时命题成立，即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分．
则n＝k＋1时，在k＋1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个交点将圆O分成2k段弧，每段弧将原平面一分为二，故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.
所以当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)(2)可知，对一切n∈N＋，命题成立，即这几个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分(n∈N＋)．
20．(本小题满分12分)求证：＋＋＋…＋>(n≥2)．
【证明】 (1)当n＝2时，>0，不等式成立．
(2)假设n＝k(k≥2)时，原不等式成立．
即＋＋＋＋…＋>.
则当n＝k＋1时，
左边＝＋＋＋…＋＋＋＋…＋
>＋＋＋…＋
>＋＋＋…＋(共2k－1个)
＝＋＝
＝.
∴当n＝k＋1时，原不等式成立．
由(1)(2)知，原不等式对n≥2的所有的自然数都成立．
21．(本小题满分12分)如果数列{an}满足条件：a1＝－4，an＋1＝(n＝1,2，…)，证明：对任何自然数n，都有an＋1>an且an<0.
【证明】 (1)由于a1＝－4，
a2＝＝＝>a1.
且a1<0，因此，当n＝1时不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1)时，ak＋1>ak且ak<0.
那么ak＋1＝<0.
当n＝k＋1时，
有ak＋2＝
∴ak＋2－ak＋1＝－
＝>0.
因此ak＋2>ak＋1且ak＋1<0，
这就是说，当n＝k＋1时不等式也成立，
根据(1)(2)，不等式对任何自然数n都成立．
因此，对任何自然数n，都有an＋1>an且an<0.
22．(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn，an的等差中项为1.
(1)写出a1，a2，a3；
(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明．
【解】 (1)由题意Sn＋an＝2，可得a1＝1，a2＝，
a3＝.
(2)猜想an＝()n－1.
下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝1，()n－1＝()0＝1，等式成立．
②假设当n＝k时，等式成立，即ak＝()k－1，
则当n＝k＋1时，由Sk＋1＋ak＋1＝2，Sk＋ak＝2，
得(Sk＋1－Sk)＋ak＋1－ak＝0，
即2ak＋1＝ak，
∴ak＋1＝ak＝()·()k－1＝()(k＋1)－1.
即当n＝k＋1时，等式成立．
由①②可知，对n∈N*，an＝()n－1.
一、选择题
1．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(n＋1)－f(n)等于( )
A. B．＋
C.＋ D．＋＋
【解析】 因为f(n)＝1＋＋＋…＋，所以f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋.所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋.故选D.
【答案】 D
2．(2013·新乡检测)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于( )
A．1 B．2
C．3 D．0
【解析】 边数最少的凸n边形是三角形．
【答案】 C
3．已知a1＝，an＋1＝，猜想an等于( )
A. B．
C. D．
【解析】 a2＝＝，
a3＝＝，
a4＝＝＝，
猜想an＝.
【答案】 D
4．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)等于f(k)加上
( )
A. B．π
C．2π D．π
【解析】 n＝k到n＝k＋1时，
内角和增加π.
【答案】 B
二、填空题
5．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到________．
【解析】 ∵n＝k时，命题为“1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1”，
∴n＝k＋1时为使用归纳假设，
应写成1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k，
又考虑到目的，
最终应为2k＋1－1.
【答案】 1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1
6．用数学归纳法证明“n∈N*，n(n＋1)(2n＋1)能被6整除”时，某同学证法如下：
(1)n＝1时1×2×3＝6能被6整除，
∴n＝1时命题成立．
(2)假设n＝k时成立，即k(k＋1)(2k＋1)能被6整除，那么n＝k＋1时，
(k＋1)(k＋2)(2k＋3)＝(k＋1)(k＋2)[k＋(k＋3)]
＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)(k＋3)．
∵k、k＋1、k＋2和k＋1、k＋2、k＋3分别是三个连续自然数．
∴其积能被6整除．故n＝k＋1时命题成立．
综合(1)、(2)，对一切n∈N*，n(n＋1)(2n＋1)能被6整除．
这种证明不是数学归纳法，主要原因是________．
【答案】 没用上归纳假设
三、解答题
7．用数学归纳法证明：
(1－)(1－)(1－)…(1－)＝(n≥2，n∈N*)．
【证明】 (1)当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝.
∴等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，等式成立，
即(1－)(1－)(1－)…(1－)＝(k≥2，k∈N*)．
当n＝k＋1时，
(1－)(1－)(1－)…(1－)[1－]
＝·＝
＝＝，
∴当n＝k＋1时，等式成立．
根据(1)和(2)知，对n≥2，n∈N*时，等式成立．
8．用数学归纳法证明：对于任意正整数n，整式an－bn都能被a－b整除．
【证明】 (1)当n＝1时，an－bn＝a－b能被a－b整除．
(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，ak－bk能被a－b整除，那么当n＝k＋1时，ak＋1－bk＋1＝ak＋1－akb＋akb－bk＋1＝ak(a－b)＋b(ak－bk)．因为(a－b)和ak－bk都能被a－b整除，所以上面的和ak(a－b)＋b(ak－bk)也能被a－b整除．这也就是说当n＝k＋1时，ak＋1－bk＋1能被a－b整除．
根据(1)(2)可知对一切正整数n，an－bn都能被a－b整除．
9．是否存在常数a，b，c使等式(n2－12)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝an4＋bn2＋c对一切正整数n成立？证明你的结论．
【解】 存在．分别用n＝1,2,3代入，解方程组
得
故原等式右边＝－.
下面用数学归纳法证明．
(1)当n＝1时，由上式可知等式成立；
(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时等式成立，即(k2－12)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＝k4－k2.
则当n＝k＋1时，
左边＝[(k＋1)2－12]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋k[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)·[(k＋1)2－(k＋1)2]＝(k2－12)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＋(2k＋1)＋2(2k＋1)＋…＋k(2k＋1)＝k4－k2＋(2k＋1)·＝(k＋1)4－(k＋1)2，故n＝k＋1时，等式成立．
由(1)(2)得等式对一切的n∈N＋均成立．
教师备选
10．用数学归纳法证明：任意凸n边形都可以变成一个和它等面积的三角形．
【证明】 (1)当n＝3时，命题显然成立．
(2)假设n＝k时，命题成立，即任意凸k边形可以变成和它等面积的三角形．对于凸(k＋1)边形A1A2…AkAk＋1，连结A1Ak，过Ak＋1作Ak＋1A′k∥A1Ak，交Ak－1Ak的延长线于A′k，连结A1A′k，如图，则△A1AkA′k和△A1AkAk＋1等面积，所以凸(k＋1)边形A1A2…AkAk＋1与凸k边形A1A2…Ak－1A′k等面积，根据归纳假设，这个凸k边形与一个三角形等面积，于是凸(k＋1)边形与这个三角形等面积．
即n＝k＋1时，命题也成立．
由(1)(2)知，命题正确．
一、选择题
1．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立．那么下列命题总成立的是( )
A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立
C．若f(7)＜49成立，则当k≥8时，均有f(k)＜k2成立
D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
【解析】 根据题中条件可知：由f(k)≥k2，必能推得
f(k＋1)≥(k＋1)2，但反之不成立，因为D中f(4)＝25＞42故可推得k≥4时，f(k)≥k2，故只有D正确．
【答案】 D
2．(2013·周口检测)利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋A．1项 B．k项
C．2k－1项 D．2k项
【解析】 1＋＋＋…＋－(1＋＋＋…＋)
＝＋＋＋…＋，
∴共增加2k项．
【答案】 D
3．若不等式＋＋…＋>对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为( )
A．12 B．13
C．14 D．不存在
【解析】 令f(n)＝＋＋…＋，
易知f(n)是单调递增的．
∴f(n)的最小值为f(2)＝＋＝.
依题意>，∴m<14.
因此取m＝13.
【答案】 B
4．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋＜(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边( )
A．增加了一项
B．增加了两项、
C．增加了B中两项但减少了一项
D．以上各种情况均不对
【解析】 ∵n＝k时，左边＝＋＋…＋，n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＋，
∴增加了两项、，
少了一项.
【答案】 C
二、填空题
5．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为________．
【解析】 当n＝1时，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立．
【答案】 21＋1≥12＋1＋2
6．在△ABC中，不等式＋＋≥成立；在四边形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立；在五边形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立．猜想在n边形A1A2…An中，类似成立的不等式为________．
【解析】 由题中已知不等式可猜想：
＋＋＋…＋
≥(n≥3且n∈N＋)．
【答案】 ＋＋＋…＋≥(n≥3且n∈N＋)
三、解答题
7．试证明1＋＋＋…＋<2(n∈N*)．
【证明】 (1)当n＝1时，不等式成立．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，即
1＋＋＋…＋<2.
那么n＝k＋1时，
＋
<2＋＝
< ＝2.
这就是说，n＝k＋1时，不等式也成立．
根据(1)(2)可知不等式对n∈N*成立．
8．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＋2SnSn－1＝0(n≥2)．
(1)判断{}是否为等差数列，并证明你的结论；
(2)证明S＋S＋…＋S≤－.
【解】 (1)S1＝a1＝，∴＝2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，即Sn－Sn－1＝－2SnSn－1.
∴－＝2.
故{}是以2为首项，2为公差的等差数列．
(2)证明：①当n＝1时，S＝＝－，不等式成立．
②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时，不等式成立，即S＋S＋…＋S≤－成立，
则当n＝k＋1时，S＋S＋…＋S＋S≤－＋＝－[－]
＝－·<－·＝－.
即当n＝k＋1时，不等式成立．
由①，②可知对任意n∈N*不等式成立．
9．已知函数f(x)＝x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，且an＋1≥f′(an＋1)，证明：an≥2n－1(n∈N*)．
【证明】 由f(x)＝x3－x，
得f′(x)＝x2－1.
因此an＋1≥f′(an＋1)＝(an＋1)2－1＝an(an＋2)
(1)当n＝1时，a1≥1＝21－1，不等式成立．
(2)假设当n＝k时，不等式成立，即ak≥2k－1
当n＝k＋1时，
ak＋1≥ak(ak＋2)≥(2k－1)(2k－1＋2)＝22k－1.
又k≥1，∴22k≥2k＋1，∴n＝k＋1时，ak＋1≥2k＋1－1，即不等式成立．
根据(1)和(2)知，对?n∈N*，an≥2n－1成立．
教师备选
10．(2012·苏州模拟)已知f(x)＝，对于n∈N＋，试比较f()与的大小并说明理由．
【解】 据题意f(x)＝＝＝1－，
∴f()＝1－，
又＝1－，∴要比较f()与的大小，只需比较2n与n2的大小即可，
当n＝1时，21＝2＞12＝1，
当n＝2时，22＝4＝22，
当n＝3时，23＝8＜32＝9，
当n＝4时，24＝16＝42，
当n＝5时，25＝32＞52＝25，
当n＝6时，26＝64＞62＝36.
故猜测当n≥5(n∈N＋)时，2n＞n2，
下面用数学归纳法加以证明．
(1)当n＝5时，不等式显然成立．
(2)假设n＝k(k≥5且k∈N＋)时，不等式成立，
即2k＞k2，
则当n＝k＋1时，
2k＋1＝2·2k＞2·k2＝k2＋k2＋2k＋1－2k－1
＝(k＋1)2＋(k－1)2－2＞(k＋1)2，
即n＝k＋1时，
不等式也成立．
由(1)(2)可知，
对一切n≥5，n∈N＋，2n＞n2成立．
综上所述，当n＝1或n≥5时，f()＞.
当n＝2或n＝4时，f()＝，
当n＝3时，f()＜.
