优选法单因素单峰情形对分法0.618法分数法盲人爬山法分批试验法多峰情形多因素单峰
情形纵横对折法从好点出发法平行线法双因素盲人爬山法
优选法的概念及单峰函数
1.优选法
优选法是根据生产和科学研究中的不同问题，利用数学原理，合理安排试验，以最少的试验次数迅速找到最佳点的科学试验方法．
2．单峰函数
如果函数f(x)在区间[a，b]上只有唯一的最大值点(或最小值点)C，而在最大值点(或最小值点)C的左侧，函数单调增加(减少)；在点C的右侧，函数单调减少(增加)，则称这个函数为区间[a，b]上的单峰函数．
我们规定，区间[a，b]上的单调函数也是单峰函数．
下列函数中是单峰函数的有________．
(1)y＝()x；(2)y＝x3＋2x＋1；
(3)y＝ax2＋3(a≠0)．
【解析】 (1)∵y＝()x在R上单调递减，
故y＝()x是单峰函数．
(2)∵y′＝3x2＋2＞0对于x∈R恒成立，
故y＝x3＋2x＋1在R上是单调增函数，
所以y＝x3＋2x＋1是单峰函数．
(3)∵y＝ax2＋3(a≠0)是二次函数，无论其开口向上(下)，都只有一个最值(极值)，故该函数是单峰函数．
【答案】 (1)(2)(3)
黄金分割法——0.618法
1.黄金分割常数ω＝≈0.618.
2．利用0.618法选取试验点的原则及选取方法
(1)试验点的选取原则：①每次要进行比较的两个试验点，应关于相应试验区间的中心对称；
②每次舍去的区间占舍去前的区间长度的比例数应相同．
(2)试验点的选取方法：设xn表示第n个试验点，存优范围内相应的好点是xm，因素范围的两端分别记为小头和大头，则x1＝小＋0.618×(大－小)；x2＝小＋大－x1.
一般：xn＝小＋大－xm.
可概括为“加两头，减中间”．
3．0.618法是优选法的最常用方法之一，是高考考查的重点之一．
用0.618法对某一试验进行优选，因素范围是[2 000,8 000]，则第二个试点x2＝________.
【解析】 由0.618法知x1＝2 000＋0.618×(8 000－2 000)＝5 708，
x2＝2 000＋8 000－5 708＝4 292.
【答案】 4 292
分数法
1.分数法是用渐近分数近似代替ω确定试点的方法，其适用于[a，b]区间上的有限试点问题，此点是区别于0.618法的关键点．
2．分数法的最优性
2次试验可以最多处理2个试点问题
3次试验可以最多处理4个试点问题
4次试验可以最多处理7个试点问题
5次试验可以最多处理12个试点问题
6次试验可以最多处理20个试点问题
…
n次试验可以最多处理(Fn＋1－1)个试点问题，其中{Fn}是斐波那契数列．
在配置某种清洗液时，需要加入某种材料，经验表明，加入量小于50 mL或大于130 mL肯定不好．用150 mL的锥形量杯计量加入量，该量杯的量程分为15格，每格代表10 mL
(1)用分数法进行优选时，第一试点和第二试点分别是多少mL?
(2)最多几次便可找出试验的最佳点？
【解】 由题意可知，试验的最佳点处于50 mL～130 mL之间把区间[50,130]等分为8等份，如图所示：
(1)用＝代替0.618，得第一个试验点
x1＝50＋(130－50)＝100，
x2＝50＋130－100＝80，
即前两个试点分别处于100 mL和80 mL处．
(2)由Fn＝8可知n＝5，故最多经过n－1＝4次便可求出试验的最佳点.
其他几种常用的优选法
其他几种常用的优选法包括对分法、盲人爬山法和分批试验法，且每种优选法都有各自的优、缺点，学习过程中应明确这几种优选法的思想，并能借助他们解决相应的优选问题．
设有一优选问题，其因素范围为(2,4)，每批安排2个试验．若用均匀分批试验法优选，则第一批试验的两个试点是________和________；若用比例分批试验法优选，则第一批试验的两个试点是________和________．
【解析】 若用均匀分批试验法优选，则先把试验范围(2,4)三等分，如图所示：
显然第一批试验的两个试点分别是，.
若用比例分批试验法，每批安排2个试验，应首先把试验范围7等分，如图所示：
则第一批试验的两个试点分别是和.
【答案】
多因素优选法
解决多因素优选法常用降维法，即将多因素问题转化为一系列较少因素的问题，教材中主要讲述了纵横对折法，从好点出发法、平行线法和双因素盲人爬山法，其中前三种方法是处理多因素、优选问题的主要方法，由于每种优选方法均有各自的特点，学习中应注意各种优选法的区别和联系．
有一优选试验，主要需要两个因素，浓度a%～b%，流速2米/秒～6米/秒．试用平行线法优选．
【解】 设影响该试验结果的因素Ⅰ为流速，Ⅱ为浓度．因调整浓度比调整流速困难．所以首先把难以调整的因素Ⅱ固定在0.618处，用单因素方法对另一因素Ⅰ进行优选，确定一个最佳点，然后再把因素Ⅱ固定在0.382处，再用单因素法对另一因素Ⅱ进行优选，确定另一个最佳点，由两个最佳点，确定新的存优范围．在新的存优范围内继续使用平行线法，如此继续下去，直到找到满意的结果为止．
综合检测(一)
第一讲 优选法
(时间80分钟，满分100分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列函数在区间(－1,5)上是单峰函数的有( )
(1)y＝3x2＋2；(2)y＝－x2－3x；(3)y＝cos x；(4)y＝2x.
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【解析】 (1)在(－1,5)上先减后增是单峰函数；(2)在(－1,5)上单调递减，是单峰函数；(3)在(－1,5)上有最大值和最小值不是单峰函数；(4)在(－1,5)上是单调递增函数，是单峰函数．
【答案】 D
2．下列问题不属于优选问题的是( )
A．小明每天7：00到校上课
B．每天锻炼多长时间，选择在什么时间锻炼会使身体更健康
C．在军事上，炮弹的发射角多大时，才能使炮弹的射程最远
D．荤素搭配满足什么比例时，才能使我们的饮食更合理
【解析】 A选项只陈述了一个事实，并不涉及优选问题，而 B、C、D选项，均带有一定的试验性，且试验结果随因素的变化不同．
【答案】 A
3．若洗水壶要用1分钟、烧开水要用10分钟、洗茶杯要用2分钟、取茶叶要用1分钟、沏茶1分钟，那么较合理的安排至少也需要( )
A．10分钟 B．11分钟
C．12分钟 D．13分钟
【解析】 本题属于时间的优选问题，显然在烧开水的时间内，可以安排洗茶杯，取茶叶，故最少需要洗水壶(1分钟)＋烧开水(10分钟)＋沏茶(1分钟)共12分钟．
【答案】 C
4．(2012·张家界模拟)根据生产经验，混凝土预制体的强度是搅拌时间的单峰函数，为了确定搅拌的标准时间，拟用分数法从7个试验点中找出最佳点，则要做的试验次数至多为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
【解析】 由于7＝8－1＝F5－1，故只需做5－1＝4次试验就可以找到最佳试验点．
【答案】 B
5.
图1－1
如图，用平行线法处理双因素问题时，首先难以调整的因素Ⅱ固定在0.618处，得到最佳点在A1处，然后再把因素Ⅱ固定在0.382处，得到最佳点A2，若A2处的试验结果比A1处的好，则第三次试验时，将因素Ⅱ固定在( )
A．0.764 B．0.236
C．0.500 D．0.309
【解析】 因为A2处的试验结果比A1处的好，所以好点在因素Ⅱ的0～0.618之间，由0.618法，第三次试验时，将因素Ⅱ固定在0.618＋0－0.382＝0.236处．
【答案】 B
6．下列有关优选法的叙述正确的个数有( )
①在生产中仪器仪表的调试通常采用盲人爬山法；
②在单峰的目标函数中特别是有有限个试点的优选问题通常采用分数法；
③在优选试验中为了加快试验的进度，尽快找出最佳点，通常可采用分批试验法；
④在双因素优选试验中，对于某因素不宜调整的试验通常采用双因素平行线法．
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 由优选法的意义及适用范围知，①、②、③、④都正确，故选D.
【答案】 D
7. 下列结论中正确的是( )
A．运用0.618法寻找最佳点时，一定可以在有限次内准确找出最佳点
B．在目标函数为单峰的情形，运用分数法寻找最佳点时，一定可以在有限次内准确找出最佳点
C．运用对分法和分数法在确定下一个试点时，都需要比较前两个试点的试验结果
D．运用盲人爬山法寻找最佳点，在试验范围内取不同的点作起点，其效果快慢差别不大
【解析】 运用0.618法寻找最佳点时，随着试验次数的增加，最佳点被限定在越来越小的范围内，故A错；在目标函数为单峰的情形下，按照分数法安排试验，通过n次试验保证能从(Fn＋1－1)个试点中找出最佳点，故B正确；运用对分法在确定下一个试点时，只需要比较试验结果与已知标准(或要求)，故C错；爬山法的效果快慢与起点的关系很大，起点选得好可以省好多次试验，故D错．
【答案】 B
8．在调试某设备的线路设计中，要选一个电阻，调试者手中只有阻值分别为0.9 kΩ，1.1 kΩ，2.7 kΩ，3 kΩ，3.6 kΩ，4 kΩ，5 kΩ等七种阻值不等的定值电阻，他用分数法进行优选试验时，依次将电阻值从小到大安排序号，则第1个试点的阻值是( )
A．1.1 kΩ B．2.7 kΩ
C．3.6 kΩ D．5 kΩ
【解析】 把阻值由小到大排列并编号
阻值 0.9 1.1 2.7 3 3.6 4 5
排列 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
为方便使用分数法，可在两端增加虚点(0)、(8)使因素范围凑成8格，∴第1试点为位置即序号(5)的位置，3.6 kΩ.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)
9．(2012·株洲模拟)用分数法对[0,105]进行优选法试验，若将此区间段均分为21等份，则第一个试点为________．
【解析】 将区间[0,105]均分为21等分，则相应分点为5,10,15，…，100.
由分数法原理可知第一试点x1＝0＋(105－0)＝65或x1＝105－(105－0)＝40.
【答案】 65或40(填一个也正确)
10．采用纵横对折法，去掉两个坏点后所剩矩形区域面积是原矩形区域面积的________．
【解析】 如图所示，假设A1与A2是两个坏点，由纵横对称法知，先去掉A1所在的阴影区域，再去掉A2所在的阴影区域，显然所剩面积是原矩形面积的.
【答案】
11．(2012·湖南高考)某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选增养温度，试验范围定为29 ℃～63 ℃，精确度要求±1 ℃，用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要的最少试验次数为________．
【解析】 由题意知，存优范围长度为34，选择分数优选，利用分数法选取试点，最少试验7次．
【答案】 7
12．在配置某种清洗液时，需要加入某种材料，加入量大于130 mL或小于10 mL均不好，若利用均匀分批试验法在(10,130)内优选加入量，每批安排2个试验，则第1批试验加入的量为________mL和________mL.
【解析】 将试验范围分为3份，中间两个分点为50,90.
【答案】 50 90
三、解答题(本大题共3小题，满分40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
13．(本小题满分13分)卡那霉素发酵液生物测定，国内外通常规定培养温度为(37±1)℃，培养时间在16小时以上．某制药厂为缩短时间，决定优选培养温度，试验范围定为29 ℃～50 ℃，精确度要求±1 ℃，中间试验点共有20个，试用分数法进行优选．
【解】 用分数法安排试验，要将试验范围21等分，于是Fn＋1＝21所以n＝6，共需做6次试验．
第一个试验点选在第13个分点，即x1＝29＋(50－29)×＝42(℃)处；第二个试验点是其对称点，即x2＝50＋29－42＝37(℃)的地方，也就是第8个分点处：依次类推，6次试验的结果如图：
14．(本小题满分13分)某化学反应，温度和反应时间会影响最终化合物的生成量，根据以往经验，定出其试验范围为
温度：20 ℃～40 ℃；
时间：20 min～100 min；
请说明如何用纵横对折法安排试验．
【解】 先把温度固定在试验区间中点30 ℃，对时间进行优选(优选方法可以是0.618法)，例如找到点为A1；然后把时间固定在试验区间中点60 min，对温度进行优选(优选方法可以是0.618法)，例如找到点为B1；比较A1和B1，如果好点为B1，丢弃不包括好点B1的平面区域．然后在新范围的温度的中点，对因素时间进行重新优选．类似这样做下去，直到找出满意的点．
15．(本小题满分14分)
图1－2
如图1－2，一正三角形，边长为20 cm，在它的内部内接一矩形．问矩形的底边为多少时其面积最大？试用0.618法进行优选．
【解】 设内接矩形在底边到底角的距离为x，内接矩形的面积为S.则有S＝(20－2x)×x，
其中(20－2x)为矩形底边的长，x为矩形的宽．x的变化范围为0～10(cm)．
为使内接矩形面积为最大，用0.618法安排试验．
第一试验点x1，有
x1＝(10－0)×0.618＋0＝6.18，
Sx1＝(20－2×6.18)××6.18
≈81.78(cm2)．
第二试验点x2，
x2＝(10＋0)－6.18＝3.82，
Sx2＝(20－2×3.82)××3.82
≈81.78(cm2)．
在Sx1和Sx2相等时，可同时消去(0,3.82)和(6.18,10)这两个区间．第三试验点可在区间(3.82,6.18)区间中继续用0.618法安排试验．
x3＝3.82＋(6.18－3.82)×0.618≈5.28，
Sx3＝(20－2×5.28)××5.28
≈86.33(cm2)．
x4＝6.18＋3.82－5.28＝4.72，
Sx4＝(20－2×4.72)××4.72
≈86.33(cm2)．
Sx3＝Sx4，同样可同时消去(3.82,4.72)和(5.28,6.18)两个区间．在区间(4.72,5.28)中，再用0.618安排试验．
x5＝4.72＋(5.28－4.72)×0.618≈5.07，
Sx5＝(20－2×5.07)××5.07
≈86.58(cm2)．
x6＝4.72＋5.28－5.07＝4.93，
Sx6＝(20－2×4.93)××4.93
≈86.58(cm2)．
由于5.07－4.93＝0.14，两点相差小于0.2 cm，如果认为精度已达到要求，可终止试验．此时矩形底边长为20－2×5.07＝9.86(cm)，或为20－2×4.93＝10.14(cm)．如果认为精度还不够，可继续在区间(4.93,5.07)中用0.618法安排试验，直到达到精度要求为止．
课件18张PPT。
新课标 数 学 选修4－7
一什么叫优选法
二单峰函数
课标解读
1.通过丰富的生活、生产案例，感受现实生活中存在大量的优选问题．
2.理解单峰函数的概念，并能够判断函数在给定的区间上是否是单峰函数．
3.了解最佳点、试验点、好点及差点的有关概念.
1．优选法的有关概念
(1)优选问题
①最佳点的含义：在生产、生活和科学试验中，人们为了达到优质、高产、低消耗等目的，需要对有关因素的最佳组合(简称最佳点)进行选择．
②优选问题：关于最佳点的选择问题，称为优选问题．
(2)优选法
①定义：是根据生产和科学研究中的不同问题，利用数学原理，合理安排试验，以最少的试验次数迅速找到最佳点的科学试验方法．
②目的：优选法的目的在于减少试验的次数．
2．单峰函数的有关概念
(1)单峰函数：如果函数f(x)在区间[a，b]上只有唯一的最大值点(或最小值点)C，而在最大值点(或最小值点)C的左侧，函数单调增加(减少)；在点C的右侧，函数单调减少(增加)，则称这个函数为区间[a，b]上的单峰函数．
(2)规定：区间[a，b]上的单调函数也是单峰函数．
(3)因素的概念及分类
①因素：一般地，把影响试验目标的诸多原因称为因素．
②单因素问题：在一个试验过程中，只有(或主要有)一个因素在变化的问题，称为单因素问题．
③分类：按影响因素是否可控分为
(4)目标函数：在试验中能够表示目标与因素之间对应关系的函数，称为目标函数．
(5)好点与差点：设x1和x2是因素范围[a，b]内的任意两个试点，C点为最佳点，并把两个试点中效果较好的点称为好点，效果较差的点称为差点．
(6)存优范围：以差点为分界点，把因素范围分为两部分，称好点所在部分为存优范围．
1．优选法的核心问题是什么？
【提示】 如何安排试验，能以最少次数迅速找到最佳点，是优选法的核心问题．
2．利用优选法进行试验的步骤是什么？
【提示】 (1)在因素区间上做两次试验，得到好点、差点；
(2)以差点向好点一侧为存优区间，继续做试验，与原好点比较好坏；
(3)重复第2步，直到找到最佳点或得到满意的试点.
单峰函数的判断
判断下列函数在区间[1,3]上是否为单峰函数．
(1)y＝x－；(2)y＝sin x；
(3)y＝x3－5x2＋8x＋1.
【思路探究】 可先借助导数或基本函数图象分析相应函数在[1,3]上的单调性，再利用单峰函数的定义作出相应判断．
【自主解答】 (1)∵y＝x－，
∴y′＝1＋.
又当x∈[1,3]时，y′＞0，
∴函数y＝x－在[1,3]上是单调递增函数．
∴函数y＝x－在区间[1,3]上是单峰函数．
(2)∵y＝sin x在[0，π]上是先增后减的，又[1,3]?[0，π]，
∴y＝sin x在区间[1,3]上是单峰函数．
(3)∵y＝x3－5x2＋8x＋1，
∴y′＝3x2－10x＋8.
由y′＝0，得x＝2或.
又当x∈[1，)时，y′＞0；
当x∈(，2)时，y′＜0；
当x∈(2,3]时，y′＞0.
∴x＝和x＝2分别对应两个峰值．
∴函数y＝x3－5x2＋8x＋1在区间[1,3]上不是单峰函数．
1．单峰函数的判断可立足以下两点：
(1)f(x)在[a，b]上只有唯一的最大(小)值点．
(2)f(x)在[a，c]上递增(减)，在[c，b]上递减(增)．
2．注意单调函数是单峰函数．
判断本例(3)中的函数在区间[－1,1]上是否为单峰函数．
【解】 当x∈[－1,1]时，y′＞0，∴函数y＝x3－5x2＋8x＋1在[－1,1]上是单调递增的，故该函数在区间[－1,1]上是单峰函数．
好、差点的判断
某主要因素对应的目标函数如图1－1－1所示，若c是最佳点，则下列说法中正确的是( )
A．d，e都是好点
B．区间[a，d]是一个存优范围
C．d不是好点
D．a，b是分界点
【思路探究】 本题主要考查好点、差点及存优范围的有关概念，求解本题可依相关概念求解．
【自主解答】 c、d比较，d为差点，c为好点，所以以d为分界点，含有好点的部分为存优范围．所以区间[a，d]是一个存优范围，故选B.
【答案】 B
1．若目标函数为单峰函数，则好点比差点更接近最佳点，且最佳点与好点必在差点的同侧．
2．以差点为分界点，把因素分成两部分，并称好点所在部分为存优范围．
3．好、差点是相对于区间而言的，在一个范围内是好点，但在另一个范围内可能就是差点．
已知函数f(x)为区间[0,1]上的单峰函数，且f(x)在x＝a处取到最大值．若f(0.3)＜f(0.6)，则存优区间为________；若第3个试点为0.44，且相比0.6而言是好点，则存优区间缩小为________．
【解析】 由f(x)为[0,1]上的单峰函数，且f(x)在x＝a处取到最大值，又f(0.3)＜f(0.6)，故存优区间为[0.3,1]；由0.44是好点，从而存优区间缩小为[0.3,0.6]．
【答案】 [0,3,1] [0,3,0,6]
1．下列各试验中，与优选方法无关的是( )
A．营养师在调配饮料时，选取合适的“口感”
B．在学校举行的诗歌朗诵大赛中，文艺班长先从班级中选出一名优秀队员
C．景泰蓝生产过程中，寻找“合适”的操作和工艺条件
D．篮球比赛中，上下半场交换比赛场地
【解析】 A中“合适的口感”、B中“优秀队员”、C中“合适的操作和工艺条件”都需要通过试验得到最佳效果，有优选法的思想，D只是交换场地，是比赛规则，不需要试验．
【答案】 D
2．在试验中，使用优选法的目的是________．
【解析】 为了避免浪费大量的人力、物力、财力，在试验中，使用优选法的目的是尽量减少试验次数．
【答案】 减少试验次数
3．y＝sin x在[0，π]上________单峰函数(填“是”，“不是”)．
【解析】 y＝sin x在[0，π]上的图象如图所示：
结合单峰函数的定义可知，y＝sin x在[0，π]上是单峰函数．
【答案】 是
4．在炮弹发射中，影响试验目标的因素有：初速度、发射角、空气阻力等，其中可控因素是________．
【解析】 由可控因素的定义可知，发射角可以由人控制，而空气阻力和初速度不受人为控制，故发射角是可控因素．
【答案】 发射角
(时间40分钟，满分60分)
一、选择题(每题5分，共20分)
1．关于单峰函数，有下列说法：
①在区间[a，b]上的单峰函数就是只有一个极大值点的函数；
②在区间[a，b]上的单调函数不是单峰函数；
③区间[a，b]上的单峰函数可以是不连续函数．
其中正确的个数有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解析】 ①不正确，单峰函数未必有极大值点；②不正确，单调函数是单峰函数；③正确，单峰函数可以是不连续函数．
【答案】 B
2．下列问题是优选问题的有( )
①手工制作玻璃钢模型舰艇，采用何种型号环氧树脂、固化剂，才能使作品的硬度和韧性适宜；
②炸酱面如何配料使口感更好；
③膏豆腐的制作过程中，如何配制热石膏同豆浆的关系，才能使豆腐作出后不老不嫩．
A．①③ B．②③
C．①②③ D．①
【解析】 以上3个例子从不同的方面说明了优选问题的普遍性，均属于优选问题．
【答案】 C
3．在区间[1,5]上不是单峰函数的是( )
A．y＝tan x B．y＝x2
C．y＝ex D．y＝lg x
【解析】 结合基本函数的图象知函数y＝tan x在[1,5]上不是单调的．因此不满足单峰函数的定义．故选A.
【答案】 A
4．若因素的目标函数f(x)＝x2＋2x＋1，x∈[－2,3]，则下列说法正确的是( )
A．最佳点是3
B．最佳点是－2
C．－2是好点，3是差点
D．最佳点是－1
【解析】 由于f(x)在[－2,3]上是先减后增的函数，且在x＝－1时取得最小值，故x＝－1是最佳点．
【答案】 D
二、填空题(每题5分，共10分)
5．在粉笔加工设计中，每枝粉笔都要丢掉一段一定长的粉笔头，单就这一点来说，愈长愈好，但太长了，使用起来既不方便，也容易折断，每断一次，必然多浪费一个粉笔头，反而不合适，因而就出现了“粉笔多长最合适”的问题，技术员王工在长度为10 cm至15 cm范围内经过多次尝试，最后发现12 cm长的粉笔最合适．根据上述描述，请回答下列问题：
(1)这个问题的确定因素是________；
(2)这个问题的最佳点是________．
【解析】 (1)这个问题是优选问题．这个问题是寻找粉笔的合适长度，因此确定因素是粉笔的长度．
(2)本题是寻找粉笔的合适长度，因此最佳点就是最合适的粉笔长度，即12 cm.
【答案】 (1)粉笔的长度 (2)12 cm
6．中老年人如果每天空腹喝一杯蜂蜜水可以起到较好的保健作用，但蜂蜜同水的勾兑比例不好把握，如果某人按1∶a把蜂蜜同水勾兑，口感太甜，如果按1∶b(b＞a)把蜂蜜勾兑，口感太淡，则较适合该人的勾兑比例的存优范围是________．
【解析】 由题意可知，当勾兑的比例比大，比小时，较适合该人的口感．
【答案】 (，)
三、解答题(每题10分，共30分)
7．在军事训练中，经常要考虑发射角度多大时，炮弹的射程最远，这是一个优选问题．
图1－1－2
如图1－1－2，设炮弹的初速度为v，发射角为θ(0≤θ≤)，在时刻t，炮弹距发射点的水平距离为x，离地面的高度为y，如果忽略空气阻力，则有y＝xtan θ－x2，其中v＝|v|，g为重力加速度．
(1)求炮弹射程关于因素θ的函数f(θ)；
(2)判断该函数是否为单峰函数．
【解】 (1)令y＝0，得xtan θ－x2＝0.
∴x＝0或x＝sin 2θ.
∴炮弹射程关于因素θ的函数f(θ)＝sin 2θ，
θ∈[0，]．
(2)∵f′(θ)＝cos 2θ，
由f′(θ)＝0得cos 2θ＝0.
又θ∈[0，]，∴θ＝.
又当θ∈[0，]时，f′(θ)＞0；
当θ∈[，]时，f′(θ)＜0.
∴f(θ)在[0，]上有且只有一个最值点．
∴f(θ)在[0，]上是单峰函数．
8．一串钥匙中有外形类似的6片钥匙，分别对应编号为①、②、…⑥六把锁．为了给6片钥匙编号，需要用钥匙去试锁．
(1)为①号锁找到钥匙最少要试几次？最多要试几次？
(2)最少试几次可以区分这6片钥匙？最多呢？
【解】 如果试第一次就找到了，这是最少的次数，即为①号锁找到钥匙最少要试1次．如果试了5次还没打开①号锁，则剩下的那片就是①号锁的，故最多次数是5次．
(2)若第1次试，打开了①号锁；然后第2次试②号锁，也打开了②号锁；… …；第5次试，打开了⑤号锁，剩下那片钥匙就是⑥号锁的，即最少次数是5次．
最多次数的开锁情况是：找①号锁试了5次，然后从剩下5把锁中找②号锁，次数4次，… …，最后剩下⑤，⑥号锁时，只要试1次，即总次数是5＋4＋3＋2＋1＝15次．最多次数是试了15次．
创新应用
9．已知f(x)＝x3－2ax2＋3a2x＋2的定义域是[0,4]．
(1)若f(x)的最佳点是x＝3，求a的值；
(2)若f(x)是单峰函数，求a的取值范围．
【解】 (1)∵x＝3∈[0,4]是f(x)的最佳点，
∴f′(3)＝0.
又f′(x)＝x2－4ax＋3a2，
∴f′(3)＝9－12a＋3a2＝0，
∴a＝1或3.
(2)要使f(x)在[0,4]上是单峰函数，则f(x)在[0,4]上有一个极值点或f(x)在[0,4]上是单调函数．
∵f′(x)＝x2－4ax＋3a2，
由f′(x)＝0得x＝a或x＝3a.
①若f(x)在[0,4]上是单调函数，则a≤0或a≥4.
②若f(x)在[0,4]上只有一个极值点，
则f′(0)·f′(4)≤0，a∈[，4]．
结合①②可知所求a的范围是a≤0或a≥.
教师备选
10．在12个外表相同的小球中，11个球的质量都是10克，另一个要重一些(但仅凭手感无法分辨)，给定一个没有砝码的天平，请设计一个试验方案，把这个重一点的小球挑出来．
【解】 方案一 先把两个球放到天平两边的盘中，如果不平衡，则较重一边的小球就是要找的；如果平衡，就把其中一个球作为标准，用它来称量其它球，与它不同的就是我们要找的．
方案二 把12个球平均分成6组，把每组的2个球分放在天平两边，如果不平衡，则较重一边的小球就是要找的，这种方法最多要称量6次．
方案三 把12个球平均分成3组(每组4个)，先把其中两组分别放到天平的两边，如果平衡，则重一点的球一定在剩余一组中，如果不平衡，那么较重的一边的4个球中一定含有我们要找的球，这样最多3次就能完成任务．
课件24张PPT。最佳 组合 最佳点 最佳点 试验次数 最佳点 减少试验的次数 单调增加(减少) 单调减少(增加) 单调函数 可控因素 不可控因素 目标与因素之间 效果较好 分界点 好点 单峰函数的判断 好、差点的判断 课时作业（一）三黄金分割法——0.618法
1．黄金分割常数
2．黄金分割法——0.618法
课标解读
1.了解0.618法进行试验设计的原理．
2.掌握用0.618法解决不限定次数的优选问题，从而找到试验区间中的最佳点.
1．黄金分割常数
(1)在试验中为最快地达到或接近最佳点，在安排试点时，最好把握两个原则：
①使两个试点关于[a，b]的中心对称；
②保证每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相同．
(2)黄金分割常数常用ω表示，且ω＝≈0.618.
2．黄金分割法——0.618法
(1)定义：利用黄金分割常数ω确定试点的方法叫做黄金分割法，又叫做0.618法；它是最常用的单因素单峰目标函数的优选法之一．
(2)确定试点的方法
类别
第一试点
第二试点
…
第n试点
计算
方式
x1＝小＋0.618
×(大－小)
x2＝小＋大
－x1
…
xn＝小＋大
－xm
原理
用黄金分割
法确定x1
加两头减中间
…
加两头减中间
(3)精度
①定义：用存优范围与原始范围的比值来衡量一种试验方法的效率，这个比值叫做精度，即n次试验后的精度为δn＝.
②0.618法中，n次试验后的精度δn＝0.618n－1_.
1．如何通过缩小存优范围来寻找最佳点？
【提示】 先在因素范围[a，b]内任选两点各做一次试验，根据试验结果确定好点与差点，在差点处把区间[a，b]分成两段，截掉不含好点的一段，留下存优范围[a1，b1]，再在[a1，b1]内重复上述过程，从而达到可使存优范围逐步缩小的目的．
2．在黄金分割法——0.618法中，如果两个试点的结果一样，应如何舍去区间？
【提示】 当两个试点的结果一样时，可同时舍去两个试点外侧的区间．
3．在存优范围[a，x1]内取第三个试点x3，则x3与x2的相对位置如何？
【提示】 如图所示：
结合黄金分割常数原理可知x2，x3关于区间[a，x1]的中心对称且x3在x2的左侧.
用0.618法确定试点
为了提高某产品的质量，对影响质量的一个因素进行优选．已知此因素范围为[1 000，2 000]，用0.618法安排试验，第一个和第二个试点安排在何处？如果第一点效果比第二点好，第三个试点应选在何处？
【思路探究】 第一个试点确定在因素范围的0.618处，后续试点可以用“加两头，减中间”来确定．
【自主解答】 在因素范围[1 000,2 000]内，用0.618法安排试验，第一个试点x1，
满足x1＝1 000＋0.618(2 000－1 000)＝1 618.
第二个试点x2满足，
x2＝1 000＋2 000－1 618＝1 382.
试验结果，如果x1的效果比x2好，消去x2＝1 382以下部分，则第三个试点x3满足，x3＝2 000＋1 382－1 618＝1 764.
示意图如下：
0．618法满足的原则是：
(1)每次要进行比较的两个试验点，应关于相应试验区间的中点对称；
(2)每次舍去的区间长占舍去前的区间长的比例数应相同．
例题条件不变，如果第二点效果比第一点好，那么第三个试点应选在何处？
【解】 由于x2的效果比x1的效果好，
消去x1＝1 618以上部分，
此时的存优范围为[1 000,1 618]，
∴x3＝1 000＋1 618－1 382＝1 236.
∴第三个试点应选在1 236处.
0.618法的应用
调酒师为了调制一种鸡尾酒，每100 kg烈性酒中需要加入柠檬汁的量为1 000 g到2 000 g之间，现准备用黄金分割法找到它的最优加入量．
(1)写出这个试验的操作流程．
(2)达到精度0.001需要多少次试验？
【思路探究】
(1)利用0.618法确定第一个试点x1―→
利用对称性确定第二个试点x2―→
利用xn＝小＋大－xm来确定第n个试点
(2)确定精度―→求试验次数
【自主解答】 用一张纸条表示1 000～2 000 g，以1 000为起点标出刻度．
(1)试验可按以下步骤进行：
①做第一次试验：第一次试验的加入量为：
(2 000－1 000)×0.618＋1 000＝1 618(g)，即取1 618 g柠檬汁进行第一次试验．
②做第二次试验：取第一点的对称点做为第二次试验点，这一点的加入量可用下面公式计算(此后各次试验点的加入量也按下面公式计算)：加两头，减中间．即第二点的加入量为：
1 000＋2 000－1 618＝1 382(g)．
③比较两次试验结果，如果第二点比第一点好，则去掉1 618 g以上的部分：如果第一点较好，则去掉1 382 g以下部分．假定试验结果第一点较好，那么去掉1 382 g以下的部分，即存优范围为[1 382,2 000]，在此范围找出第一点(即1 618)的对称点做第三次试验．即第三次试验的加入量为：
2 000－1 618＋1 382＝1 764(g)．
④再将第三次试验结果与第一点比较，如果仍然是第一点好些，则去掉1 764 g以上部分，如果第三点好些，则去掉1 618 g以下部分．假设第三点好些，则在留下部分(即[1 618,2 000])找出第三点(即1 764)的对称点做第四次试验．第四点加入量为：2 000－1 764＋1 618＝1 854(g)．
⑤第四次试验后，再与第二点比较，并取舍．在留下部分用同样方法继续试验，直至找到最佳点为止．
(2)精度σ≤0.001.
所以0.618n－1≤0.001，得n≥lg 0.001/lg 0.618＋1，即n≥16.
故需要16次试验．
黄金分割法适用目标函数为单峰的情形，第1试验点确定在因素范围的0.618处，后续试点可以用“加两头、减中间”的方法来确定．
(2012·浏阳模拟)用0.618法寻找试验的最优加入量时，若当前存优范围是[2,3]，好点是2.382，则此时要做试验的加入量值是________．
【解析】 由题意可知，此时要做试验的加入量值为2＋3－2.382＝2.618.
【答案】 2.618
(教材第10页习题1.3第3题)
举出现实生活或学习过程中可应用0.618法寻找最佳点的例子．
已知一种材料的最佳加入量在100 g到200 g之间．若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是________g.
【命题意图】 本题主要考查了优选法中的黄金分割法(0.618法)及第一试点的取法，属基础题．
【解析】 用0.618法确定第一次试点的加入量由下面公式算出：
第一种方法为：(大－小)×0.618＋小＝(200－100)×0.618＋100＝161.8.
第二种方法为：大－(大－小)×0.618＝200－(200－100)×0.618＝138.2.
【答案】 161.8或138.2
1．假设因素区间为[1,2]，用0.618法选取的第一个试点是( )
A．1.618 B．1.5
C．1.382 D．1.618或1.382
【解析】 用0.618法选取的第一个试点为x1＝1＋0.618(2－1)＝1.618，或2－(2－1)×0.618＝1.382.
【答案】 D
2．假设因素区间为[0,1]，取两个试点0.1和0.2，则对峰值在(0,0.1)内的单峰函数，两次试验存优范围缩小到区间________上．( )
A．[0,0.1] B．[0.1,1]
C．[0,0.2] D．[0.2,1]
【解析】 如图所示：
∵峰值在(0,0.1)内，故应舍去区间[0.2,1]，两次试验后存优范围缩小到区间[0,0.2]上．
【答案】 C
3．对于上题中，舍去区间占舍去前的区间的比例数是________．
【解析】 上题中舍去区间为[0.2,1]其区间长度为0.8，占舍去前的区间的比例数为0.8.
【答案】 0.8
4．用0.618法确定试点时，经过4次试验后，存优范围缩小为原来的________．
【解析】 由n次试验后的精度δn＝0.618n－1可知，4次后的精度为0.6183，即存优范围缩小为原来的0.6183.
【答案】 0.6183
(时间40分钟，满分60分)
一、选择题(每题5分，共20分)
1．有一优选问题，存优范围为[10,20]，在安排试点时，第一个试点为16，则第二个试点最好为( )
A．12 B．13
C．14 D．15
【解析】 在优选过程中，安排试点时，最好使两个试点关于[10,20]的中点15对称．所以第二个试点为14.故选C.
【答案】 C
2．在配置一定量的某种清洗液时，需要加入某种溶剂，经验表明，加入量大于5 000 mL或小于3 000 mL时，效果肯定不好，用0.618法来确定这种溶剂的最佳加入量，则前两次试验加入的量分别为( )
A．4 500,3 500 B．4 382,3 618
C．4 236,3 764 D．4 618,3 618
【解析】 x1＝3 000＋0.618×(5 000－3 000)＝4 236，x2＝3 000＋5 000－4 236＝3 764.
【答案】 C
3．(2012·湖南师大附中模拟)配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10 ml到110 ml之间，用黄金分割法寻找最佳加入量时，若第1试点是差点，第2试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加入量是( )
A．35 ml B．40.9 ml
C．33.6 ml D．86.4 ml
【解析】 由黄金分割法可知，第一个试点为
x1＝10＋(110－10)×0.618＝71.8，
第二个试点为：
x2＝10＋110－71.8＝48.2，
由于x2是好点，故第三次试验时
葡萄糖的加入量为：10＋71.8－48.2＝33.6 ml.
【答案】 C
4．用0.618法寻找最佳点时，要达到精度0.01的要求需要做的试验次数是(lg 0.618＝－0.21)( )
A．8 B．9 C．10 D．11
【解析】 由题意得0.618n－1≤0.01，∴n－1≥≈9.52，∴n≥10.52.∴n＝11时就可以达到精度0.01的要求．
【答案】 D
二、填空题(每题5分，共10分)
5．(2012·长沙模拟)用0.618法选取试点过程中，如果试验区间为[2,4]，则第二试点x2应选在________处．
【解析】 第一试点x1＝2＋(4－2)×0.618＝3.236，
由对称性可知x2＝(2＋4)－3.236＝2.764.
【答案】 2.764
6．已知一种材料的最佳加入量在110到210之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是________g.
【解析】 第一种方法为：(大－小)×0.618＋小＝(210－110)×0.618＋110＝171.8(g)．
第二种方法为：大－(大－小)×0.618＝210－(210－110)×0.618＝148.2(g)．
【答案】 171.8或148.2
三、解答题(每题10分，共30分)
7．在炼钢过程中为了得到特定用途的钢，需要加入含有特定元素的材料．若每吨需要加入某元素的量在1 000 g到2 000 g之间，假设最佳点在1 400 g，如果用0.618法试验，求第三个试验点．
【解】 由0.618法知x1＝1 000＋0.618(2 000－1 000)＝1 618 g，x2＝1 000＋2 000－x1＝1 382 g.
由于1 382 g接近1 400 g，所以此时的存优范围为(1 000，1 618)，∴x3＝1 000＋1 618－1 382＝1 236 g.
8．农场主有2 400 m长的篱笆，想把一块沿着河的矩形土地围起来，沿河的一面不用围，已知矩形宽的边长为x m，其范围为500 m≤x≤700 m，要求所得值与最好值相差不超过10 m．怎样才能使所围的面积最大？
【解】 由题意设面积为S，则
S＝x(2 400－2x)＝2x(1 200－x)．
当x＝500时，S＝700 000，
x＝700时，S＝700 000.
x1＝623.6，x2＝576.4，
∴Sx1＝Sx2＝718 886.08.
∴x3在存优范围(576.4,623.6)中，
∴x3＝605.569 6，x4＝594.430 4，
∴Sx3＝Sx4＝719 937.959 1.
∴x5在存优范围(594.430 4,605.569 6)中，
∴x5＝601.314 425 6，
x6＝598.685 574 4，
∴Sx5＝Sx6＝719 996.544 6.
此时601.314 425 6－598.685 574 4
＝2.628 851 2＜10.
∴矩形的宽为(598.685 574 4,601.314 425 6)之间任一值时都符合题意，精确值为x＝600 m.
创新应用
9．膨胀珍珠岩是一种新型的建筑保温材料．由于产品质量低，成本高，目前尚不能在建筑部门广泛应用．为了解决这一薄弱环节，某厂决定首先在膨胀珍珠岩的焙烧上用优选法进行试验．在焙烧试验中，经过分析认为影响珍珠岩膨胀的主要因素是焙烧温度，而其他因素就根据平时的生产经验暂时控制，于是他们就在珍珠岩焙烧温度1 300℃～1 400℃范围内进行优选．(精确到10℃)
请完成以下填空：
(1)首先找出第一点：________℃，经试验，此时产品混合容重为50公斤/m3(每立方米50公斤)．
(2)又找出第二点：________℃，经试验，此时产品混合容重为65公斤/m3.两点比较，1 360℃时质量较好，故将________．
(3)再找出第三点：________℃，经试验，此时产品混合容重为55公斤/m3，并有少量粘炉．两点比较，1 360℃时质量较好．
根据优选结果，把________℃定为焙烧膨胀珍珠岩的较佳温度．用这个温度生产顺利，而且产品质量稳定．
【解析】 (1)1 300＋(1 400－1 300)×0.618≈1 360.
(2)1 300＋1 400－1 360＝1 340；结合0.618法的原理，可知最佳点落在区间[1 340,1 400]之间，故把1 340以下部分丢掉．
(3)1 340＋1 400－1 360＝1 380，又结合题意可知最佳点落在区间[1 340,1 380]之间，故把1 380以上部分丢掉．
从而由1 340＋1 380－1 360＝1 360可知，把1 360 ℃定为焙烧膨胀珍珠岩的较佳温度．
【答案】 (1)1 360 (2)1 340 1 340以下部分丢掉
(3)1 380 1 360
教师备选
10．若某实验的因素范围是[100,1 100]，现准备用黄金分割法进行试验找到最优加入量，分别以an表示第n次试验的加入量(结果都取整数)．
(1)a1＝________；
(2)若干次试验后的存优范围包含在区间[700,750]内，则a5＝________.
【解析】 (1)由黄金分割法知：第一次的加入量为a1＝100＋0.618×(1 100－100)＝718.
(2)易知a2＝100＋1 100－718＝482.
因为[700,750]包含存优范围，所以最优点在区间[700,750]上．由此可知前两次试验结果中，好点是718，所以此时存优区间为[482,1 100]，所以a3＝482＋1 100－718＝864，同理可知第三次试验后，好点仍是718，此时存优区间为[482,864]，所以a4＝482＋864－718＝628.
同理可求得a5＝628＋864－718＝774.
【答案】 (1)718 (2)774
课件27张PPT。对称 相同 0.618 黄金分割常数ω 0.618法 单因素单峰目标函数 小＋0.618 ×(大－小) 小＋大 －x1 小＋大 －xm 比值 0.618n－1 用0.618法确定试点 0.618法的应用 课时作业（二）四分数法
1．分数法
2．分数法的最优性
课标解读
1.了解连分数，斐波那契数列{Fn}及ω的渐近分数列的概念．
2.掌握分数法及适用范围，会用分数法解决一些实际问题.
1．连分数
将等式ω＝右边的ω反复用代替得到
ω＝＝＝＝….我们称它为连分数．
2．斐波那契数列{Fn}
(1)形式：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…
(2)特征：F0＝1，F1＝1，从第三项起每一项是其相邻的前两项的和，即Fn＝Fn－1＋Fn－2.
(3) 渐近分数列
数列称为ω的渐近分数列，称为ω的第n项渐近分数．
3．分数法
(1)定义：在优选法中，用渐近分数近似代替ω确定试点的方法叫做分数法．
(2)适用范围：①因素范围由一些不连续的间隔不等的点组成．
②试点只能取某些特定数．
4．用分数法安排试点时，可分为如下两种情形：
(1)可能的试点总数正好是某一个(Fn－1)．
(2)所有可能的试点总数大于某一(Fn－1)，而小于(Fn＋1－1)．
5．分数法的最优性
(1)在目标函数为单峰的情形，通过n次试验，最多能从(Fn＋1－1)个试点中保证找出最佳点，并且这个最佳点就是n次试验中的最优试验点．
(2)在目标函数为单峰的情形，只有按照分数法安排试验，才能通过n次试验保证从(Fn＋1－1)个试点中找出最佳点．
分数法和0.618法有何区别？
【提示】 分数法也是适合单因素单峰函数的方法，它与0.618法的本质是相同的，两者的区别只是用分数和代替0.618和0.382来确定试点，后续的步骤都是相同的.
分数法试点位置的确定
某一化工厂准备对某一化工产品进行技术改良，现决定优选加工温度，试验范围定为60～81 ℃，精确度要求±1 ℃，现在技术员准备用分数法进行优选，
(1)第一试点和第二试点分别选在何处？
(2)该试验共需多少次可以找出最佳点？
【思路探究】 (1)根据题意，将[60,81]等分．确定分数值，是分数法的关键．第一个试点用x1＝小＋(大－小)确定，第二个试点可用“加两头，减中间”的方法求解．
(2)结合斐波那契数列求解．
【自主解答】 (1)试验区间为[60,81]，等分为21段，分点为61,62，…，79,80，
因为60＋×(81－60)＝73(℃)，所以第一试点安排在73 ℃.
由“加两头，减中间”的方法得：
60＋81－73＝68(℃)，所以第二试点选在68 ℃.
(2)∵Fn＋1＝21，结合斐波那契数列可知n＝6，即共需做6次试验便可找出最佳点．
用分数法安排试点时，常按可能试点的总数分类求解．
(2012·湘潭模拟)用最小刻度为1的量筒取液体进行试验，试验范围为(0,21)，如果采用分数法，则第二个试点为________．
【解析】 由于试验范围为(0,21)分点为1,2,3，……19,20.所以用分数法，第一个试点为：0＋×(21－0)＝13，第二个试点为21＋0－13＝8.
【答案】 8
分数法的应用
某技术人员调试某种仪器，现手头上有电阻若干，阻值分别为0.5 kΩ，1 kΩ，1.5 kΩ，2 kΩ，2.5 kΩ，3 kΩ，3.5 kΩ，为了能够快速找到合适的电阻，应当如何优选这个阻值？
【思路探究】 因为所有的阻值是不连续的，所以用分数法进行优选，首先把阻值由小到大排列，就把阻值优选变为排列序号的优选．
【自主解答】 把阻值从小到大排列并编排序号．
阻值(kΩ) 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
排列 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
为了能够用分数法，可在两端增加虚点(0)，(8)，使因素范围凑成为8格，用来替代0.618.
第一个试点取序号(5)，即取2.5 kΩ；
第二个试点按“加两头，减中间”的方法得(0)＋(8)－(5)＝(3)，即取1.5 kΩ，
同理按照分数法可以确定其他试点，这样就可以较快地找到较好的点．
1．解答本题时要注意第一个试点的选取．
2．分数法一旦用确定了第一个试点，后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定．
如果阻值分别为0.5 kΩ，1 kΩ，1.5 kΩ，2 kΩ，2.5 kΩ，3 kΩ，3.5 kΩ，4 kΩ，其他条件不变，应当如何优选这个阻值？
【解】 把阻值从小到大排列并编排序号：
阻值(kΩ) 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
排列 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
由分数法得第一个试点取序号(5)，即取2.5 kΩ；以后以试点按“加两头，减中间”的方法得，第二个试点为(0)＋(8)－(5)＝(3)，即取1.5 kΩ.以下按分数法顺次确定试点，就可以较快地找到较好的点．
(教材第17页习题1.4第2题)
卡那霉素发酵液生物测定，一般都规定培养温度为(37±1) ℃，培养时间在16小时以上，某制药厂为了缩短时间，决定优选培养温度，试验范围定为29～50 ℃，精确度要求±1 ℃，能用分数法安排试验吗？如何安排？
已知某试验范围为[10,90]，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是________．
【命题意图】 本题主要考查优选法中——分数法的思想，可依据分数法安排试点的原则求解，属基础题目．
【解析】 以10个单位为一格进行等距离分段，可分为8段，则第一个试点为x1＝10＋(90－10)×＝60
或x1＝90＋(10－90)×＝40，
则x2＝(10＋90)－60＝40或x2＝(10＋90)－40＝60.
【答案】 40或60(只写出其中一个也正确).
1．在斐波那契数列{Fn}中，F0＝1，F1＝1，Fn＋2＝Fn＋1＋Fn(n∈N)，则F10＝( )
A．34 B．55 C．89 D．144
【解析】 ∵F0＝1，F1＝1，Fn＋2＝Fn＋1＋Fn，
∴F2＝F1＋F0＝1＋1＝2，
F3＝F2＋F1＝2＋1＝3，
同理可求F4＝5，F5＝8，F6＝13，F7＝21，F8＝34，F9＝55，F10＝89.
【答案】 C
2．连分数等于( )
A．3 B．1 C. D.
【解析】 ＝＝.
【答案】 C
3．设因素范围是[0,1]，如果只做2次试验，则由分数法，第一个试点选在________处．
【解析】 x1＝0＋(1－0)＝.
【答案】
4．用分数法安排试点时，已知共有7个试点，则最多需要作________次试验就可以把最佳点找出来．
【解析】 结合用分数法安排试点的规律可知，最多需要作4次试验便可找出最佳点．
【答案】 4
(时间40分钟，满分60分)
一、选择题(每题5分，共20分)
1．某主妇在学做用一定量的面粉蒸馒头时，按照邻居的建议放了13克碱后发现馒头发黄且有碱味，决定自己用分数法找出合适的放碱量，则她第1,2次试点的放碱量分别为( )
A．12克，11克 B．6克，7克
C．8克，5克 D．9克，4克
【解析】 放碱量1,2,3，…，12将试验范围分为13格，故第1试点为x1＝0＋(13－0)＝8，第2试点为x2＝0＋13－8＝5.
【答案】 C
2．设一优选问题，试验范围为0～130，现用分数法试验，假设最优点为70，则第三个试点为( )
A．50 B．60
C．80 D．100
【解析】 由分数法得x1＝0＋(130－0)＝80，x2＝0＋130－80＝50，∵最优点为70，∴存在范围为[50,130]，∴x3＝50＋130－80＝100.
【答案】 D
3．某实验因素对应的目标函数是单峰函数，若用分数法从20个试验点中找出最佳点，则需要做试验的次数至多是( )
A．6次 B．7次
C．10次 D．20次
【解析】 由Fn－1＝20得Fn＝21，又F7＝21，
∴n＝7，∴共需要做试验的次数至多为n－1＝6次．
【答案】 A
4．(2012·长沙模拟)在调试某设备的线路中，要选下列备用电阻之一，备用电阻由小到大已排好为0.5 kΩ，1 kΩ，1.3 kΩ，2 kΩ，3 kΩ，5 kΩ，5.5 kΩ.若用分数法试验，则第一试点是( )
A．1.3 kΩ B．2 kΩ
C．3 kΩ D．5 kΩ
【解析】 本题给了7个阻值不等的定值电阻，为了便于用分数法，可在两端加虚点(0)，(8)，使因素范围凑成8格，所以第一试点取序号×8＝5，即取3 kΩ的电阻．
【答案】 C
二、填空题(每题5分，共10分)
5．目标函数是单峰函数，若用分数法需要从12个试验点中找出最佳点，则前两个试验点放在因素范围的位置为________．
【解析】 由题意可知，12个试验点把因素、区间分成了13份．
又由Fn－1＝12，可知Fn＝13，
∴前两个试点的位置为和，
即和.
【答案】
6．(2012·益阳模拟)某试验对象的取值范围是区间(10,31)内的整数，现采用分数法优选，则第一个试点值可以是________．
【解析】 区间(10,31)内的整数为11,12,13，…，30共20个，把区间(10,31)分成21份，故第一个试点为x1＝10＋(31－10)＝23或21－(31－10)＝8.
【答案】 23或8(只写出一个便可以)
三、解答题(每题10分，共30分)
7．“ 椰子果汁”在加工过程中，有一道工序是将罐在沸水中进行杀菌，为了优化这道工序，技术员小刘准备用分数法进行优选试验，试验范围为5 min到39 min，如何安排前二次的试验？
【解】 因为试验数据范围是[5,39]，等分为34段，分点为6,7，…，37,38，
第一个试验点选在5＋21/34 ×(39－5)＝26 min，
第二个试验点选在5＋39－26＝18 min.
8．现有10层梯田需要灌溉，需要从山脚用水泵往上抽水，抽到某一层的水可以灌溉这层和其以下的所有层．如现有两台水泵，可以安置在10层梯田中的任一层，安置后不能移动．如何安置这两台水泵，才能使所有的梯田被灌溉而做功最少？你能用合适的优选法迅速找到其中的最佳点吗？
【解】 至少有一台水泵安排在第10层，考虑到另一台水泵的位置，用分数法进行优选．现有10个试点(第1,2，…，10层)，再虚设2个试点，共12＝F6－1个试点，将范围分为13段．第一个试点选在对应的第8层，第二个试点选在0＋13－8＝5层．
以下按分数法顺次确定试点，就可以较快地找到最佳点．
创新应用
9．金属切削加工中的可变因素很多．例如，切削用量中的转速n、走刀量S、吃刀深度t、加工材料、刀具的几何形状、加工性质等．这是一个多因素问题，而且转速n和走刀量S是断续变化而不是连续变化的，所以在这个试验中0.618法是不适宜的．某钢铁公司矿区机械厂把分数法运用于金属切削加工中，取得了一定的良好效果．他们的方法是在所有可变因素中，只留下一个，运用分数法进行优选，其余的因素都给予固定．这样就把一个多因素问题转化为单因素问题．试验过程如下：
根据过去的经验，所选用的切削用量如下：
n＝305转/分，S＝0.4～0.45 mm/转，
t＝3～4 mm.
试验时，首先固定吃刀深度t，转速n，用分数优选法走刀量S.他们取走刀量范围共13段(如图)，将各级由小到大顺序排列．
图1－4－1
请完成以下填空：
先做两个试验，第一点S1在________，即________处．第二点S2在________，即________处．试验结果，第一次机动时间为5.3分钟，第二次机动时间为6.5分钟，结果表明________比________好，因此，就把________不再考虑了．第三点S3选在处，即0.65 mm/转，试验结果机动时间为4.5分钟，________比________好．第四点S4选在，即0.71 mm/转处，试验结果S4比S3差．因此，就把走刀量S固定在________．
【解析】 由＝，＝可知，
S1在即0.55 mm/转处，S2在，
即0.45 mm/转处，显然S1比S2好，
因此就把0.45 mm/转以下部分不再考虑，
同理可得S3比S1好，又S4比S3差，
故把走刀量S固定在S3＝0.65 mm/转位置．
【答案】 0.55 mm/转 0.45 mm/转
S1 S2 S＝0.45 mm/转以下部分
S3 S1 S3＝0.65 mm/转
教师备选
10．在电影拍摄爆炸场面的过程中，为达到逼真的效果，在火药的添加物中需对某种化学药品的加入量进行反复试验，根据经验，试验效果是该化学药品加入量的单峰函数．为确定一个最好的效果，拟用分数法从33个试验点中找出最佳点，则需要做的试验次数至多是________．
【解析】 由Fn－1＝33＋1可知Fn＝34，∴n＝8，∴共需做试验的次数至多为8－1＝7次．
【答案】 7
课件23张PPT。Fn－1＋Fn－2 (Fn－1) 某一(Fn－1) (Fn＋1－1) (Fn＋1－1) n次试验中 分数法 (Fn＋1－1) 分数法试点位置的确定 分数法的应用 课时作业（三）五其他几种常用的优选法
1．对分法
2．盲人爬山法
3．分批试验法
4．多峰的情形
课标解读
1.通过一些具体的实例，理解对分法、爬山法、分批试验法．
2.了解目标函数为多峰情况的处理方法.
1．对分法
(1)定义：在试验中，每个试点都取在因素范围的中点，将因素范围对分为两半的方法，叫对分法．
(2)适用条件：
①对分法每次只有一个试验结果；
②要预知该因素对指标的影响规律．
(3)操作步骤：
首先根据经验确定因素范围，设因素范围为[a，b]．第一次试验在[a，b]的中点x1(x1＝)处做．然后根据试验结果判断下次试验的方向，如果试验结果表明x1取小了，那么存优范围是[，b]，就把此次试点(中点)以下的因素范围[a，)截去；如果试验结果表明x1取大了，那么存优范围是[a，]，就把此次试点(中点)以上的因素范围(，b]截去．重复上面的操作，直到找出一个满意的试点，或存优范围已变得足够小，再试下去结果无显著变化为止．
2．盲人爬山法
(1)定义：在有些试验中限制要求我们在原有生产条件的基础上逐步探索，逐步提高，就像盲人爬山一样，在立足处，对前后两个方向进行试探，寻找出最佳点的方法．
(2)影响盲人爬山法快慢的因素有起点和每步间隔的大小．
3．分批实验法
(1)定义：在有些试验中需要把全部试验分几批做，一批同时安排几个试验，同时进行比较，一批一批做下去，直到找出最佳点的试验方法．
(2)分批试验法可以分为均匀分批试验法和比例分割分批试验法两种．
4．多峰的情形
(1)先不管它是“单峰”还是“多峰”，用前面介绍的处理单峰的方法去做，找到一个“峰”后，如果达到预先要求，就先用于生产，以后再找其他更高的“峰”(即分区寻找)．
(2)先做一批分布得比较均匀的试验，看它是否有多峰现象．如果有，则分区寻找，在每个可能出现“高峰”的范围内做试验，把这些“峰”找出来．第一批分布均匀的试点最好以下述比例划分：α∶β＝0.618∶0.382，这样有峰值的范围总是成(α，β)或(β，α)形式．对每个留下的区域应用0.618法就可以用上已做过的试验结果，从而减少试验的次数．
1．利用对分法作n次试验后，可达到的精度是多少？
【提示】 由于对分法在每次试验后，都将因素范围缩小为原来的一半，故作n次试验后，其精度为.
2．如何理解“盲人爬山法”中“两头小，中间大”的思想？
【提示】 “两头小，中间大”的含义是为明确试验的方向，先在各个方向上用小步试探一下，找出有利于寻找目标的方向，当方向确定后，再根据具体情况跨大步，快接近最佳点时再改用小步，这样便可以找出因素的最佳点.
对分法的应用
有一条1 000 m长的输电线路出现了故障，在线路的开始端A处有电，在末端B处没电，现在用对分法检查故障所在位置，则第二次检查点在( )
A．500 m处 B．250 m处
C．750 m处 D．250 m或750 m处
【思路探究】 明确因素范围―→
第一次检查点(中点)―→
第二次检查点(存优范围的中点)
【自主解答】 如图所示：
第一次检查点的位置取在AB的中点C处即500 m处，若AC有电，则再取CB的中点即750 m处，检查是否有电；否则取AC的中点，即250 m处检测是否有电．
【答案】 D
1．对分法的思想相当于必修一中学习的二分法的原理．
2．使用对分法求最佳点，每次可以缩小因素区间长度的一半．
在本例中，最多试验几次便可把故障点固定在1 m之内．
【解】 假设试验n次后，因素区间的长度为，由题意可知＜1，解得n＞log21 000，故至多试验10次便可以把故障范围固定在1 m之内.
分批试验法及其应用
有一优选试验，试验范围是(0,60)．若用分批试验法中的均分法进行优选，要求每批安排2个试验，如何安排找到其中的最优点38呢？
【思路探究】 把(0,60)三等分―→
确定存优范围―→再均分并重复上述过程
【自主解答】 由题意得每批安排2个试验，所以首先把试验范围(0,60)均分为3份，其分点为20,40，分别在20,40处做2个试验．如下图：
将2个试点的试验结果进行比较，又38为最优点，则此时的存优范围为(20,60)．
然后将存优范围为(20,60)再均分为4份，如下图：
在未做过试验的2个点即30和50处做第2批试验．又38为最佳点，则此时的存优范围为(30,50)．
继续在(30,50)内重复第2批的做法，直到找出最佳点．
在均匀分批试验法中掌握每批做偶数个(2n)试验的作法：
(1)把试验范围分为2n＋1份；
(2)在其2n个均分点x1，x2，…，x2n－1，x2n上做试验，比较2n个试点上的试验结果，如果xi最好，则去掉小于xi－1和大于xi＋1部分，存优范围为(xi－1，xi＋1)；
(3)再把存优范围(xi－1，xi＋1)均分为2n＋2份，就是将2n个试验均匀地安排在xi的两旁，在未做过试验的2n个分点上再做试验，如此反复，就能找到最佳点．
在题设不变的情况下，用比例分割分批试验法求解本题．
【解】 首先把试验范围(0,60)均匀分为7份，其分点为，，，，，.
第一批试验在试点，上进行．如下图：
∵38为最佳点，
∴此时的存优范围为(，60)，如下图：
接着在 (，60)内进行第2批试验，试点为没有做过试验的分点，.
∵38为最佳点，∴此时的存优范围为(，)．继续在(，)内重复第2批的做法，直到找出最佳点．
(教材第23页习题1.5第2题)
用对分法求方程x2＋x－1＝0的一个正根，精确度为0.01.
(2012·衡阳模拟)某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)＜0，f(2)＞0；在以下过程中，他用“对分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断，方程的近似解x≈1.8，那么他取的x的4个值分别依次是________．
【命题意图】 本题以方程根的近似值的求法为载体，融优选法思想中的对分法知识于其中，重在考查对分法的思想，属基础题．
【解析】 ∵f(1)＜0，f(2)＞0，
∴方程的根x∈(1,2)．
取x1＝＝1.5，则f(1.5)＜0，故方程的根x∈(1.5,2)．
取x2＝＝1.75，则f(1.75)＜0，故方程的根x∈(1.75,2)．
取x3＝＝1.875，则f(1.875)＞0，故方程的根x∈(1.75,1.875)．
取x4＝＝1.812 5，则f(1.812 5)＞0，故方程的根x∈(1.75,1.812 5)．
又|1.812 5－1.75|＜0.1，故可把x≈1.8作为其近似值．
【答案】 1.5 1.75 1.875 1.812 5
1．当电视机画面有“雪花”时可以用遥控器进行频道微调，使画面达到最佳清晰状态，则其操作步骤与下面四种优选法相同的是( )
A．0.618法 B．对分法
C．盲人爬山法 D．分批试验法
【解析】 给合上述四种优选法的定义可知，盲人爬山法的操作与其相同．
【答案】 C
2．为求方程x2－5＝0在(2,3)上的根，最好采用( )
A．0.618法 B．对分法
C．分数法 D．盲人爬山法
【解析】 由于对分法每次可以去掉试验范围的一半，故用对分法可很快求得方程在(2,3)上的根．
【答案】 B
3．在比例分割分批试验中，要求每批做2个试验，则首先把试验范围________等分．
【解析】 结合比例分割分批试验的特征可知，如果每批做2个试验，则第一批试验应把试验范围7等分．
【答案】 7
4．下列关于分批试验法的说法正确的是________．
①分批试验法可以在同一时间内，安排多个试验；
②分批试验法分为均匀分批试验法和黄金分割法；
③在分批试验中，每批试验安排的多少可视情况而定；
④分批试验中，可能的试验总次数相对较多，但总时间可能较短．
【解析】 结合分批试验的定义及特征可知①③④正确；②不正确，分批试验法分为均匀分批试验法和比例分割分批试验法．
【答案】 ①③④
(时间40分钟，满分60分)
一、选择题(每题5分，共20分)
1．在10 m长的河道的上游点、下游点进行水质检测，发现下游点水质细菌超标，而上游点水质正常，决定采用优选法查找源头，则最适宜采取( )
A．爬山法 B．0.618法
C．分数法 D．对分法
【解析】 利用对分法可以以最快的速度找出源头所在的位置，故选D.
【答案】 D
2．小明家安装了太阳能热水器，水管水温最高时可达75 ℃.安装技术员小刘告诉小明，在使用过程中，先不要直接打开开关，站在淋浴头下洗，这容易烫伤，最好先根据个人的情况调试好开关(开关从右至左表示水温依次加高)至合适的水温，再去冲洗，这种寻找“合适”水温的方法是( )
A．0.618法 B．分数法
C．对分法 D．盲人爬山法
【解析】 从题设的操作过程分析，该方法采用的是盲人爬山法．
【答案】 D
3．利用均分分批试验法对一试验进行优选，每批安排2个试验．则第1批试验和第2批试验后的存优范围分别为原来的( )
A. B.
C. D.
【解析】 由均分分批试验法的含义知选A.
【答案】 A
4．以下关于优选法的说法正确的个数是( )
①对分法适用于每作一次试验，根据结果，可以决定下次试验的方向的试验；
②盲人爬山法适用于因素范围不允许大幅度调整的试验；
③分批试验法适用于每个试验的代价不大，又有足够的设备的试验．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】 由对分法、盲人爬山法、分批试验法的适用范围知①②③都正确．故选D.
【答案】 D
二、填空题(每题5分，共10分)
5．某一产品中需要添加某种贵重金属来保证质量，已知这种金属的含量在16%时的产品是合格的，为了降低成本，在保证质量的前提下，需要减少这种贵重金属的含量，为此我们可以用________安排优选试验．
【解析】 单因素问题优选法共有0.618法、分数法、对分法、盲人爬山法和分批实验法等5种，根据它们各自的特点，最好以16%为起点，以1%为步长，用盲人爬山法试验．
【答案】 盲人爬山法
6．在某一均匀分批试验中，已知因素区间为[20,80]，则首次安排的两个试点值是________．
【解析】 如图所示，在20到80之间插入2个点把试验范围平均分成三份，其中分点40,60就是首次安排的两个试点值．
【答案】 40,60
三、解答题(每题10分，共30分)
7．求方程3x＋＝0的近似解(精确到0.1)．
【解】 令f(x)＝3x＋.
∵f(0)＞0，f(－0.5)＜0，
∴f(0)·f(－0.5)＜0，
∴方程在(－0.5,0)有一实数根．
然后用对分法来安排试验点．
x1＝＝－0.25，∵f(－0.25)＞0，
∴存优范围为(－0.5，－0.25)．
x2＝＝－0.375.
∵f(－0.375)＞0，
∴存优范围为(－0.5，－0.375)．
x3＝＝－0.437 5.
∵f(－0.437 5)＜0，
∴存优范围为(－0.437 5，－0.375)．
∵(－0.375)－(－0.437 5)＝0.062 5＜0.1，
∴原方程的近似解为－0.4.
8．某试验的因素范围是(3,18)，用均分分批试验法寻找最佳点，每批安排4个试验．
(1)如何安排第一批试点；
(2)若第一批试点中从左到右的第二个试点是好点，如何安排第二批试点．
【解】 (1)一批做4个试验，则应将因素范围均分为5份，其分点分别在6,9,12,15处，如图所示：
(2)若9是好点，则去掉6以下和12以上的部分，即存优范围是(6,12)，
所以第二批试验点是7,8,10,11.
创新应用
9．程序设计中有一种折半查找检索算法，其原理与对分法类似，也有所不同，如查找范围[a，b]内某一值c(c∈[a，b]，b≥a)，且a，b，c都是正整数，先取m＝[](式子[x]表示不超过x的最大整数)为试验点，比较c与m的大小，如果相等，则查找成功；如果c＜m，则查找范围为[a，m－1]；
若c＞m，则查找范围为[m＋1，b]，按此下去，直至c＝m为止．
每比较一次称为查找一次，设找到c的查找总次数记为f(c)．
若查找范围为[1,7]，求f(4)，f(3)，f(7)的值．
【解】 ∵a＝1，b＝7，∴m＝[]＝4.
①若c＝4，则f(4)＝f(c)＝1.
②若c＝3，则由3＜4得c＜m，故查找范围为[1,3]．
又m＝[]＝2＜3，故查找范围为[3,7]．
又m＝[]＝5，则5＞3，则查找范围是[1,4]．
又m＝[]＝3＝c，∴f(3)＝4.
③若c＝7，则由7＞4得，c＞m，故查找范围为[5,7]．
又m＝[]＝6，则6＜7，故查找[7,7]．
又m＝[]＝7＝c，∴f(7)＝3.
教师备选
10．某一试验因素是单峰函数，因素范围是(4,35)，现在用比例分割分批试验法优选，每批试验的试验个数是6个，试验范围等分为31份，问如何安排第一批的试验点的值？
【解】 试验范围分为31等份，各等分点分别为5,6,7，…，34共30个，结合比例分割分批试验原理(如图)
6 ** 6 ** 6 ** 6
可知，这6个试验点在7,8,15,16,23,24分点上，(如上图中*处所示)．即对应6个试验点的值为
11,12,19,20,27,28.
课件27张PPT。中点 对分为两半 盲人爬山 起点 每步间隔 的大小 均匀分批试验法 比例分割分批试验法 多峰 分区寻找 α∶β＝0.618∶0.382 对分法的应用 分批试验法及其应用 课时作业（四）课件32张PPT。降维法 另一因素 固定第二个因素 第一个因素 纵横对折法 从好点出发法 平行线法 应用纵横对折法和从好点出发法解决优选问题 用平行线法解决双因素优选问题 用双因素盲人爬山法解决双因素优选问题 课时作业（五）综合检测(一)
第一讲 优选法
(时间80分钟，满分100分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列函数在区间(－1,5)上是单峰函数的有( )
(1)y＝3x2＋2；(2)y＝－x2－3x；(3)y＝cos x；(4)y＝2x.
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【解析】 (1)在(－1,5)上先减后增是单峰函数；(2)在(－1,5)上单调递减，是单峰函数；(3)在(－1,5)上有最大值和最小值不是单峰函数；(4)在(－1,5)上是单调递增函数，是单峰函数．
【答案】 D
2．下列问题不属于优选问题的是( )
A．小明每天7：00到校上课
B．每天锻炼多长时间，选择在什么时间锻炼会使身体更健康
C．在军事上，炮弹的发射角多大时，才能使炮弹的射程最远
D．荤素搭配满足什么比例时，才能使我们的饮食更合理
【解析】 A选项只陈述了一个事实，并不涉及优选问题，而 B、C、D选项，均带有一定的试验性，且试验结果随因素的变化不同．
【答案】 A
3．若洗水壶要用1分钟、烧开水要用10分钟、洗茶杯要用2分钟、取茶叶要用1分钟、沏茶1分钟，那么较合理的安排至少也需要( )
A．10分钟 B．11分钟
C．12分钟 D．13分钟
【解析】 本题属于时间的优选问题，显然在烧开水的时间内，可以安排洗茶杯，取茶叶，故最少需要洗水壶(1分钟)＋烧开水(10分钟)＋沏茶(1分钟)共12分钟．
【答案】 C
4．(2012·张家界模拟)根据生产经验，混凝土预制体的强度是搅拌时间的单峰函数，为了确定搅拌的标准时间，拟用分数法从7个试验点中找出最佳点，则要做的试验次数至多为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
【解析】 由于7＝8－1＝F5－1，故只需做5－1＝4次试验就可以找到最佳试验点．
【答案】 B
5. 如图，用平行线法处理双因素问题时，首先难以调整的因素Ⅱ固定在0.618处，得到最佳点在A1处，然后再把因素Ⅱ固定在0.382处，得到最佳点A2，若A2处的试验结果比A1处的好，则第三次试验时，将因素Ⅱ固定在( )
图1－1
A．0.764 B．0.236
C．0.500 D．0.309
【解析】 因为A2处的试验结果比A1处的好，所以好点在因素Ⅱ的0～0.618之间，由0.618法，第三次试验时，将因素Ⅱ固定在0.618＋0－0.382＝0.236处．
【答案】 B
6．下列有关优选法的叙述正确的个数有( )
①在生产中仪器仪表的调试通常采用盲人爬山法；
②在单峰的目标函数中特别是有有限个试点的优选问题通常采用分数法；
③在优选试验中为了加快试验的进度，尽快找出最佳点，通常可采用分批试验法；
④在双因素优选试验中，对于某因素不宜调整的试验通常采用双因素平行线法．
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 由优选法的意义及适用范围知，①、②、③、④都正确，故选D.
【答案】 D
7. 下列结论中正确的是( )
A．运用0.618法寻找最佳点时，一定可以在有限次内准确找出最佳点
B．在目标函数为单峰的情形，运用分数法寻找最佳点时，一定可以在有限次内准确找出最佳点
C．运用对分法和分数法在确定下一个试点时，都需要比较前两个试点的试验结果
D．运用盲人爬山法寻找最佳点，在试验范围内取不同的点作起点，其效果快慢差别不大
【解析】 运用0.618法寻找最佳点时，随着试验次数的增加，最佳点被限定在越来越小的范围内，故A错；在目标函数为单峰的情形下，按照分数法安排试验，通过n次试验保证能从(Fn＋1－1)个试点中找出最佳点，故B正确；运用对分法在确定下一个试点时，只需要比较试验结果与已知标准(或要求)，故C错；爬山法的效果快慢与起点的关系很大，起点选得好可以省好多次试验，故D错．
【答案】 B
8．在调试某设备的线路设计中，要选一个电阻，调试者手中只有阻值分别为0.9 kΩ，1.1 kΩ，2.7 kΩ，3 kΩ，3.6 kΩ，4 kΩ，5 kΩ等七种阻值不等的定值电阻，他用分数法进行优选试验时，依次将电阻值从小到大安排序号，则第1个试点的阻值是( )
A．1.1 kΩ B．2.7 kΩ
C．3.6 kΩ D．5 kΩ
【解析】 把阻值由小到大排列并编号
阻值 0.9 1.1 2.7 3 3.6 4 5
排列 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
为方便使用分数法，可在两端增加虚点(0)、(8)使因素范围凑成8格，∴第1试点为位置即序号(5)的位置，3.6 kΩ.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)
9．(2012·株洲模拟)用分数法对[0,105]进行优选法试验，若将此区间段均分为21等份，则第一个试点为________．
【解析】 将区间[0,105]均分为21等分，则相应分点为5,10,15，…，100.
由分数法原理可知第一试点x1＝0＋(105－0)＝65或x1＝105－(105－0)＝40.
【答案】 65或40(填一个也正确)
10．采用纵横对折法，去掉两个坏点后所剩矩形区域面积是原矩形区域面积的________．
【解析】 如图所示，假设A1与A2是两个坏点，由纵横对称法知，先去掉A1所在的阴影区域，再去掉A2所在的阴影区域，显然所剩面积是原矩形面积的.
【答案】
11．(2012·湖南高考)某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选增养温度，试验范围定为29 ℃～63 ℃，精确度要求±1 ℃，用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要的最少试验次数为________．
【解析】 由题意知，存优范围长度为34，选择分数优选，利用分数法选取试点，最少试验7次．
【答案】 7
12．在配置某种清洗液时，需要加入某种材料，加入量大于130 mL或小于10 mL均不好，若利用均匀分批试验法在(10,130)内优选加入量，每批安排2个试验，则第1批试验加入的量为________mL和________mL.
【解析】 将试验范围分为3份，中间两个分点为50,90.
【答案】 50 90
三、解答题(本大题共3小题，满分40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
13．(本小题满分13分)卡那霉素发酵液生物测定，国内外通常规定培养温度为(37±1)℃，培养时间在16小时以上．某制药厂为缩短时间，决定优选培养温度，试验范围定为29 ℃～50 ℃，精确度要求±1 ℃，中间试验点共有20个，试用分数法进行优选．
【解】 用分数法安排试验，要将试验范围21等分，于是Fn＋1＝21所以n＝6，共需做6次试验．
第一个试验点选在第13个分点，即x1＝29＋(50－29)×＝42(℃)处；第二个试验点是其对称点，即x2＝50＋29－42＝37(℃)的地方，也就是第8个分点处：依次类推，6次试验的结果如图：
14．(本小题满分13分)某化学反应，温度和反应时间会影响最终化合物的生成量，根据以往经验，定出其试验范围为
温度：20 ℃～40 ℃；
时间：20 min～100 min；
请说明如何用纵横对折法安排试验．
【解】 先把温度固定在试验区间中点30 ℃，对时间进行优选(优选方法可以是0.618法)，例如找到点为A1；然后把时间固定在试验区间中点60 min，对温度进行优选(优选方法可以是0.618法)，例如找到点为B1；比较A1和B1，如果好点为B1，丢弃不包括好点B1的平面区域．然后在新范围的温度的中点，对因素时间进行重新优选．类似这样做下去，直到找出满意的点．
15．(本小题满分14分) 如图1－2，一正三角形，边长为20 cm，在它的内部内接一矩形．问矩形的底边为多少时其面积最大？试用0.618法进行优选．
图1－2
【解】 设内接矩形在底边到底角的距离为x，内接矩形的面积为S.则有S＝(20－2x)×x，
其中(20－2x)为矩形底边的长，x为矩形的宽．x的变化范围为0～10(cm)．
为使内接矩形面积为最大，用0.618法安排试验．
第一试验点x1，有
x1＝(10－0)×0.618＋0＝6.18，
Sx1＝(20－2×6.18)××6.18
≈81.78(cm2)．
第二试验点x2，
x2＝(10＋0)－6.18＝3.82，
Sx2＝(20－2×3.82)××3.82
≈81.78(cm2)．
在Sx1和Sx2相等时，可同时消去(0,3.82)和(6.18,10)这两个区间．第三试验点可在区间(3.82,6.18)区间中继续用0.618法安排试验．
x3＝3.82＋(6.18－3.82)×0.618≈5.28，
Sx3＝(20－2×5.28)××5.28
≈86.33(cm2)．
x4＝6.18＋3.82－5.28＝4.72，
Sx4＝(20－2×4.72)××4.72
≈86.33(cm2)．
Sx3＝Sx4，同样可同时消去(3.82,4.72)和(5.28,6.18)两个区间．在区间(4.72,5.28)中，再用0.618安排试验．
x5＝4.72＋(5.28－4.72)×0.618≈5.07，
Sx5＝(20－2×5.07)××5.07
≈86.58(cm2)．
x6＝4.72＋5.28－5.07＝4.93，
Sx6＝(20－2×4.93)××4.93
≈86.58(cm2)．
由于5.07－4.93＝0.14，两点相差小于0.2 cm，如果认为精度已达到要求，可终止试验．此时矩形底边长为20－2×5.07＝9.86(cm)，或为20－2×4.93＝10.14(cm)．如果认为精度还不够，可继续在区间(4.93,5.07)中用0.618法安排试验，直到达到精度要求为止．
(时间40分钟，满分60分)
一、选择题(每题5分，共20分)
1．关于单峰函数，有下列说法：
①在区间[a，b]上的单峰函数就是只有一个极大值点的函数；
②在区间[a，b]上的单调函数不是单峰函数；
③区间[a，b]上的单峰函数可以是不连续函数．
其中正确的个数有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【解析】 ①不正确，单峰函数未必有极大值点；②不正确，单调函数是单峰函数；③正确，单峰函数可以是不连续函数．
【答案】 B
2．下列问题是优选问题的有( )
①手工制作玻璃钢模型舰艇，采用何种型号环氧树脂、固化剂，才能使作品的硬度和韧性适宜；
②炸酱面如何配料使口感更好；
③膏豆腐的制作过程中，如何配制热石膏同豆浆的关系，才能使豆腐作出后不老不嫩．
A．①③ B．②③
C．①②③ D．①
【解析】 以上3个例子从不同的方面说明了优选问题的普遍性，均属于优选问题．
【答案】 C
3．在区间[1,5]上不是单峰函数的是( )
A．y＝tan x B．y＝x2
C．y＝ex D．y＝lg x
【解析】 结合基本函数的图象知函数y＝tan x在[1,5]上不是单调的．因此不满足单峰函数的定义．故选A.
【答案】 A
4．若因素的目标函数f(x)＝x2＋2x＋1，x∈[－2,3]，则下列说法正确的是
( )
A．最佳点是3
B．最佳点是－2
C．－2是好点，3是差点
D．最佳点是－1
【解析】 由于f(x)在[－2,3]上是先减后增的函数，且在x＝－1时取得最小值，故x＝－1是最佳点．
【答案】 D
二、填空题(每题5分，共10分)
5．在粉笔加工设计中，每枝粉笔都要丢掉一段一定长的粉笔头，单就这一点来说，愈长愈好，但太长了，使用起来既不方便，也容易折断，每断一次，必然多浪费一个粉笔头，反而不合适，因而就出现了“粉笔多长最合适”的问题，技术员王工在长度为10 cm至15 cm范围内经过多次尝试，最后发现12 cm长的粉笔最合适．根据上述描述，请回答下列问题：
(1)这个问题的确定因素是________；
(2)这个问题的最佳点是________．
【解析】 (1)这个问题是优选问题．这个问题是寻找粉笔的合适长度，因此确定因素是粉笔的长度．
(2)本题是寻找粉笔的合适长度，因此最佳点就是最合适的粉笔长度，即12 cm.
【答案】 (1)粉笔的长度 (2)12 cm
6．中老年人如果每天空腹喝一杯蜂蜜水可以起到较好的保健作用，但蜂蜜同水的勾兑比例不好把握，如果某人按1∶a把蜂蜜同水勾兑，口感太甜，如果按1∶b(b＞a)把蜂蜜勾兑，口感太淡，则较适合该人的勾兑比例的存优范围是________．
【解析】 由题意可知，当勾兑的比例比大，比小时，较适合该人的口感．
【答案】 (，)
三、解答题(每题10分，共30分)
7．在军事训练中，经常要考虑发射角度多大时，炮弹的射程最远，这是一个优选问题．
图1－1－2
如图1－1－2，设炮弹的初速度为v，发射角为θ(0≤θ≤)，在时刻t，炮弹距发射点的水平距离为x，离地面的高度为y，如果忽略空气阻力，则有y＝xtan θ－x2，其中v＝|v|，g为重力加速度．
(1)求炮弹射程关于因素θ的函数f(θ)；
(2)判断该函数是否为单峰函数．
【解】 (1)令y＝0，得xtan θ－x2＝0.
∴x＝0或x＝sin 2θ.
∴炮弹射程关于因素θ的函数f(θ)＝sin 2θ，
θ∈[0，]．
(2)∵f′(θ)＝cos 2θ，
由f′(θ)＝0得cos 2θ＝0.
又θ∈[0，]，∴θ＝.
又当θ∈[0，]时，f′(θ)＞0；
当θ∈[，]时，f′(θ)＜0.
∴f(θ)在[0，]上有且只有一个最值点．
∴f(θ)在[0，]上是单峰函数．
8．一串钥匙中有外形类似的6片钥匙，分别对应编号为①、②、…⑥六把锁．为了给6片钥匙编号，需要用钥匙去试锁．
(1)为①号锁找到钥匙最少要试几次？最多要试几次？
(2)最少试几次可以区分这6片钥匙？最多呢？
【解】 如果试第一次就找到了，这是最少的次数，即为①号锁找到钥匙最少要试1次．如果试了5次还没打开①号锁，则剩下的那片就是①号锁的，故最多次数是5次．
(2)若第1次试，打开了①号锁；然后第2次试②号锁，也打开了②号锁；… …；第5次试，打开了⑤号锁，剩下那片钥匙就是⑥号锁的，即最少次数是5次．
最多次数的开锁情况是：找①号锁试了5次，然后从剩下5把锁中找②号锁，次数4次，… …，最后剩下⑤，⑥号锁时，只要试1次，即总次数是5＋4＋3＋2＋1＝15次．最多次数是试了15次．
创新应用
9．已知f(x)＝x3－2ax2＋3a2x＋2的定义域是[0,4]．
(1)若f(x)的最佳点是x＝3，求a的值；
(2)若f(x)是单峰函数，求a的取值范围．
【解】 (1)∵x＝3∈[0,4]是f(x)的最佳点，
∴f′(3)＝0.
又f′(x)＝x2－4ax＋3a2，
∴f′(3)＝9－12a＋3a2＝0，
∴a＝1或3.
(2)要使f(x)在[0,4]上是单峰函数，则f(x)在[0,4]上有一个极值点或f(x)在[0,4]上是单调函数．
∵f′(x)＝x2－4ax＋3a2，
由f′(x)＝0得x＝a或x＝3a.
①若f(x)在[0,4]上是单调函数，则a≤0或a≥4.
②若f(x)在[0,4]上只有一个极值点，
则f′(0)·f′(4)≤0，a∈[，4]．
结合①②可知所求a的范围是a≤0或a≥.
教师备选
10．在12个外表相同的小球中，11个球的质量都是10克，另一个要重一些(但仅凭手感无法分辨)，给定一个没有砝码的天平，请设计一个试验方案，把这个重一点的小球挑出来．
【解】 方案一 先把两个球放到天平两边的盘中，如果不平衡，则较重一边的小球就是要找的；如果平衡，就把其中一个球作为标准，用它来称量其它球，与它不同的就是我们要找的．
方案二 把12个球平均分成6组，把每组的2个球分放在天平两边，如果不平衡，则较重一边的小球就是要找的，这种方法最多要称量6次．
方案三 把12个球平均分成3组(每组4个)，先把其中两组分别放到天平的两边，如果平衡，则重一点的球一定在剩余一组中，如果不平衡，那么较重的一边的4个球中一定含有我们要找的球，这样最多3次就能完成任务．
(时间40分钟，满分60分)
一、选择题(每题5分，共20分)
1．有一优选问题，存优范围为[10,20]，在安排试点时，第一个试点为16，则第二个试点最好为( )
A．12 B．13
C．14 D．15
【解析】 在优选过程中，安排试点时，最好使两个试点关于[10,20]的中点15对称．所以第二个试点为14.故选C.
【答案】 C
2．在配置一定量的某种清洗液时，需要加入某种溶剂，经验表明，加入量大于5 000 mL或小于3 000 mL时，效果肯定不好，用0.618法来确定这种溶剂的最佳加入量，则前两次试验加入的量分别为( )
A．4 500,3 500 B．4 382,3 618
C．4 236,3 764 D．4 618,3 618
【解析】 x1＝3 000＋0.618×(5 000－3 000)＝4 236，x2＝3 000＋5 000－4 236＝3 764.
【答案】 C
3．(2012·湖南师大附中模拟)配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10 ml到110 ml之间，用黄金分割法寻找最佳加入量时，若第1试点是差点，第2试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加入量是( )
A．35 ml B．40.9 ml
C．33.6 ml D．86.4 ml
【解析】 由黄金分割法可知，第一个试点为
x1＝10＋(110－10)×0.618＝71.8，
第二个试点为：
x2＝10＋110－71.8＝48.2，
由于x2是好点，故第三次试验时
葡萄糖的加入量为：10＋71.8－48.2＝33.6 ml.
【答案】 C
4．用0.618法寻找最佳点时，要达到精度0.01的要求需要做的试验次数是(lg 0.618＝－0.21)( )
A．8 B．9
C．10 D．11
【解析】 由题意得0.618n－1≤0.01，∴n－1≥≈9.52，∴n≥10.52.∴n＝11时就可以达到精度0.01的要求．
【答案】 D
二、填空题(每题5分，共10分)
5．(2012·长沙模拟)用0.618法选取试点过程中，如果试验区间为[2,4]，则第二试点x2应选在________处．
【解析】 第一试点x1＝2＋(4－2)×0.618＝3.236，
由对称性可知x2＝(2＋4)－3.236＝2.764.
【答案】 2.764
6．已知一种材料的最佳加入量在110到210之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是________g.
【解析】 第一种方法为：(大－小)×0.618＋小＝(210－110)×0.618＋110＝171.8(g)．
第二种方法为：大－(大－小)×0.618＝210－(210－110)×0.618＝148.2(g)．
【答案】 171.8或148.2
三、解答题(每题10分，共30分)
7．在炼钢过程中为了得到特定用途的钢，需要加入含有特定元素的材料．若每吨需要加入某元素的量在1 000 g到2 000 g之间，假设最佳点在1 400 g，如果用0.618法试验，求第三个试验点．
【解】 由0.618法知x1＝1 000＋0.618(2 000－1 000)＝1 618 g，x2＝1 000＋2 000－x1＝1 382 g.
由于1 382 g接近1 400 g，所以此时的存优范围为(1 000，1 618)，∴x3＝1 000＋1 618－1 382＝1 236 g.
8．农场主有2 400 m长的篱笆，想把一块沿着河的矩形土地围起来，沿河的一面不用围，已知矩形宽的边长为x m，其范围为500 m≤x≤700 m，要求所得值与最好值相差不超过10 m．怎样才能使所围的面积最大？
【解】 由题意设面积为S，则
S＝x(2 400－2x)＝2x(1 200－x)．
当x＝500时，S＝700 000，
x＝700时，S＝700 000.
x1＝623.6，x2＝576.4，
∴Sx1＝Sx2＝718 886.08.
∴x3在存优范围(576.4,623.6)中，
∴x3＝605.569 6，x4＝594.430 4，
∴Sx3＝Sx4＝719 937.959 1.
∴x5在存优范围(594.430 4,605.569 6)中，
∴x5＝601.314 425 6，
x6＝598.685 574 4，
∴Sx5＝Sx6＝719 996.544 6.
此时601.314 425 6－598.685 574 4
＝2.628 851 2＜10.
∴矩形的宽为(598.685 574 4,601.314 425 6)之间任一值时都符合题意，精确值为x＝600 m.
创新应用
9．膨胀珍珠岩是一种新型的建筑保温材料．由于产品质量低，成本高，目前尚不能在建筑部门广泛应用．为了解决这一薄弱环节，某厂决定首先在膨胀珍珠岩的焙烧上用优选法进行试验．在焙烧试验中，经过分析认为影响珍珠岩膨胀的主要因素是焙烧温度，而其他因素就根据平时的生产经验暂时控制，于是他们就在珍珠岩焙烧温度1 300℃～1 400℃范围内进行优选．(精确到10℃)
请完成以下填空：
(1)首先找出第一点：________℃，经试验，此时产品混合容重为50公斤/m3(每立方米50公斤)．
(2)又找出第二点：________℃，经试验，此时产品混合容重为65公斤/m3.两点比较，1 360℃时质量较好，故将________．
(3)再找出第三点：________℃，经试验，此时产品混合容重为55公斤/m3，并有少量粘炉．两点比较，1 360℃时质量较好．
根据优选结果，把________℃定为焙烧膨胀珍珠岩的较佳温度．用这个温度生产顺利，而且产品质量稳定．
【解析】 (1)1 300＋(1 400－1 300)×0.618≈1 360.
(2)1 300＋1 400－1 360＝1 340；结合0.618法的原理，可知最佳点落在区间[1 340,1 400]之间，故把1 340以下部分丢掉．
(3)1 340＋1 400－1 360＝1 380，又结合题意可知最佳点落在区间[1 340,1 380]之间，故把1 380以上部分丢掉．
从而由1 340＋1 380－1 360＝1 360可知，把1 360 ℃定为焙烧膨胀珍珠岩的较佳温度．
【答案】 (1)1 360 (2)1 340 1 340以下部分丢掉
(3)1 380 1 360
教师备选
10．若某实验的因素范围是[100,1 100]，现准备用黄金分割法进行试验找到最优加入量，分别以an表示第n次试验的加入量(结果都取整数)．
(1)a1＝________；
(2)若干次试验后的存优范围包含在区间[700,750]内，则a5＝________.
【解析】 (1)由黄金分割法知：第一次的加入量为a1＝100＋0.618×(1 100－100)＝718.
(2)易知a2＝100＋1 100－718＝482.
因为[700,750]包含存优范围，所以最优点在区间[700,750]上．由此可知前两次试验结果中，好点是718，所以此时存优区间为[482,1 100]，所以a3＝482＋1 100－718＝864，同理可知第三次试验后，好点仍是718，此时存优区间为[482,864]，所以a4＝482＋864－718＝628.
同理可求得a5＝628＋864－718＝774.
【答案】 (1)718 (2)774
(时间40分钟，满分60分)
一、选择题(每题5分，共20分)
1．某主妇在学做用一定量的面粉蒸馒头时，按照邻居的建议放了13克碱后发现馒头发黄且有碱味，决定自己用分数法找出合适的放碱量，则她第1,2次试点的放碱量分别为( )
A．12克，11克 B．6克，7克
C．8克，5克 D．9克，4克
【解析】 放碱量1,2,3，…，12将试验范围分为13格，故第1试点为x1＝0＋(13－0)＝8，第2试点为x2＝0＋13－8＝5.
【答案】 C
2．设一优选问题，试验范围为0～130，现用分数法试验，假设最优点为70，则第三个试点为( )
A．50 B．60
C．80 D．100
【解析】 由分数法得x1＝0＋(130－0)＝80，x2＝0＋130－80＝50，∵最优点为70，∴存在范围为[50,130]，∴x3＝50＋130－80＝100.
【答案】 D
3．某实验因素对应的目标函数是单峰函数，若用分数法从20个试验点中找出最佳点，则需要做试验的次数至多是( )
A．6次 B．7次
C．10次 D．20次
【解析】 由Fn－1＝20得Fn＝21，又F7＝21，
∴n＝7，∴共需要做试验的次数至多为n－1＝6次．
【答案】 A
4．(2012·长沙模拟)在调试某设备的线路中，要选下列备用电阻之一，备用电阻由小到大已排好为0.5 kΩ，1 kΩ，1.3 kΩ，2 kΩ，3 kΩ，5 kΩ，5.5 kΩ.若用分数法试验，则第一试点是( )
A．1.3 kΩ B．2 kΩ
C．3 kΩ D．5 kΩ
【解析】 本题给了7个阻值不等的定值电阻，为了便于用分数法，可在两端加虚点(0)，(8)，使因素范围凑成8格，所以第一试点取序号×8＝5，即取3 kΩ的电阻．
【答案】 C
二、填空题(每题5分，共10分)
5．目标函数是单峰函数，若用分数法需要从12个试验点中找出最佳点，则前两个试验点放在因素范围的位置为________．
【解析】 由题意可知，12个试验点把因素、区间分成了13份．
又由Fn－1＝12，可知Fn＝13，
∴前两个试点的位置为和，
即和.
【答案】
6．(2012·益阳模拟)某试验对象的取值范围是区间(10,31)内的整数，现采用分数法优选，则第一个试点值可以是________．
【解析】 区间(10,31)内的整数为11,12,13，…，30共20个，把区间(10,31)分成21份，故第一个试点为x1＝10＋(31－10)＝23或21－(31－10)＝8.
【答案】 23或8(只写出一个便可以)
三、解答题(每题10分，共30分)
7．“ 椰子果汁”在加工过程中，有一道工序是将罐在沸水中进行杀菌，为了优化这道工序，技术员小刘准备用分数法进行优选试验，试验范围为5 min到39 min，如何安排前二次的试验？
【解】 因为试验数据范围是[5,39]，等分为34段，分点为6,7，…，37,38，
第一个试验点选在5＋21/34 ×(39－5)＝26 min，
第二个试验点选在5＋39－26＝18 min.
8．现有10层梯田需要灌溉，需要从山脚用水泵往上抽水，抽到某一层的水可以灌溉这层和其以下的所有层．如现有两台水泵，可以安置在10层梯田中的任一层，安置后不能移动．如何安置这两台水泵，才能使所有的梯田被灌溉而做功最少？你能用合适的优选法迅速找到其中的最佳点吗？
【解】 至少有一台水泵安排在第10层，考虑到另一台水泵的位置，用分数法进行优选．现有10个试点(第1,2，…，10层)，再虚设2个试点，共12＝F6－1个试点，将范围分为13段．第一个试点选在对应的第8层，第二个试点选在0＋13－8＝5层．
以下按分数法顺次确定试点，就可以较快地找到最佳点．
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9．金属切削加工中的可变因素很多．例如，切削用量中的转速n、走刀量S、吃刀深度t、加工材料、刀具的几何形状、加工性质等．这是一个多因素问题，而且转速n和走刀量S是断续变化而不是连续变化的，所以在这个试验中0.618法是不适宜的．某钢铁公司矿区机械厂把分数法运用于金属切削加工中，取得了一定的良好效果．他们的方法是在所有可变因素中，只留下一个，运用分数法进行优选，其余的因素都给予固定．这样就把一个多因素问题转化为单因素问题．试验过程如下：
根据过去的经验，所选用的切削用量如下：
n＝305转/分，S＝0.4～0.45 mm/转，
t＝3～4 mm.
试验时，首先固定吃刀深度t，转速n，用分数优选法走刀量S.他们取走刀量范围共13段(如图)，将各级由小到大顺序排列．
图1－4－1
请完成以下填空：
先做两个试验，第一点S1在________，即________处．第二点S2在________，即________处．试验结果，第一次机动时间为5.3分钟，第二次机动时间为6.5分钟，结果表明________比________好，因此，就把________不再考虑了．第三点S3选在处，即0.65 mm/转，试验结果机动时间为4.5分钟，________比________好．第四点S4选在，即0.71 mm/转处，试验结果S4比S3差．因此，就把走刀量S固定在________．
【解析】 由＝，＝可知，
S1在即0.55 mm/转处，S2在，
即0.45 mm/转处，显然S1比S2好，
因此就把0.45 mm/转以下部分不再考虑，
同理可得S3比S1好，又S4比S3差，
故把走刀量S固定在S3＝0.65 mm/转位置．
【答案】 0.55 mm/转 0.45 mm/转
S1 S2 S＝0.45 mm/转以下部分
S3 S1 S3＝0.65 mm/转
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10．在电影拍摄爆炸场面的过程中，为达到逼真的效果，在火药的添加物中需对某种化学药品的加入量进行反复试验，根据经验，试验效果是该化学药品加入量的单峰函数．为确定一个最好的效果，拟用分数法从33个试验点中找出最佳点，则需要做的试验次数至多是________．
【解析】 由Fn－1＝33＋1可知Fn＝34，∴n＝8，∴共需做试验的次数至多为8－1＝7次．
【答案】 7
(时间40分钟，满分60分)
一、选择题(每题5分，共20分)
1．在10 m长的河道的上游点、下游点进行水质检测，发现下游点水质细菌超标，而上游点水质正常，决定采用优选法查找源头，则最适宜采取( )
A．爬山法 B．0.618法
C．分数法 D．对分法
【解析】 利用对分法可以以最快的速度找出源头所在的位置，故选D.
【答案】 D
2．小明家安装了太阳能热水器，水管水温最高时可达75 ℃.安装技术员小刘告诉小明，在使用过程中，先不要直接打开开关，站在淋浴头下洗，这容易烫伤，最好先根据个人的情况调试好开关(开关从右至左表示水温依次加高)至合适的水温，再去冲洗，这种寻找“合适”水温的方法是( )
A．0.618法 B．分数法
C．对分法 D．盲人爬山法
【解析】 从题设的操作过程分析，该方法采用的是盲人爬山法．
【答案】 D
3．利用均分分批试验法对一试验进行优选，每批安排2个试验．则第1批试验和第2批试验后的存优范围分别为原来的( )
A. B.
C. D.
【解析】 由均分分批试验法的含义知选A.
【答案】 A
4．以下关于优选法的说法正确的个数是( )
①对分法适用于每作一次试验，根据结果，可以决定下次试验的方向的试验；
②盲人爬山法适用于因素范围不允许大幅度调整的试验；
③分批试验法适用于每个试验的代价不大，又有足够的设备的试验．
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 由对分法、盲人爬山法、分批试验法的适用范围知①②③都正确．故选D.
【答案】 D
二、填空题(每题5分，共10分)
5．某一产品中需要添加某种贵重金属来保证质量，已知这种金属的含量在16%时的产品是合格的，为了降低成本，在保证质量的前提下，需要减少这种贵重金属的含量，为此我们可以用________安排优选试验．
【解析】 单因素问题优选法共有0.618法、分数法、对分法、盲人爬山法和分批实验法等5种，根据它们各自的特点，最好以16%为起点，以1%为步长，用盲人爬山法试验．
【答案】 盲人爬山法
6．在某一均匀分批试验中，已知因素区间为[20,80]，则首次安排的两个试点值是________．
【解析】 如图所示，在20到80之间插入2个点把试验范围平均分成三份，其中分点40,60就是首次安排的两个试点值．
【答案】 40,60
三、解答题(每题10分，共30分)
7．求方程3x＋＝0的近似解(精确到0.1)．
【解】 令f(x)＝3x＋.
∵f(0)＞0，f(－0.5)＜0，
∴f(0)·f(－0.5)＜0，
∴方程在(－0.5,0)有一实数根．
然后用对分法来安排试验点．
x1＝＝－0.25，∵f(－0.25)＞0，
∴存优范围为(－0.5，－0.25)．
x2＝＝－0.375.
∵f(－0.375)＞0，
∴存优范围为(－0.5，－0.375)．
x3＝＝－0.437 5.
∵f(－0.437 5)＜0，
∴存优范围为(－0.437 5，－0.375)．
∵(－0.375)－(－0.437 5)＝0.062 5＜0.1，
∴原方程的近似解为－0.4.
8．某试验的因素范围是(3,18)，用均分分批试验法寻找最佳点，每批安排4个试验．
(1)如何安排第一批试点；
(2)若第一批试点中从左到右的第二个试点是好点，如何安排第二批试点．
【解】 (1)一批做4个试验，则应将因素范围均分为5份，其分点分别在6,9,12,15处，如图所示：
(2)若9是好点，则去掉6以下和12以上的部分，即存优范围是(6,12)，
所以第二批试验点是7,8,10,11.
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9．程序设计中有一种折半查找检索算法，其原理与对分法类似，也有所不同，如查找范围[a，b]内某一值c(c∈[a，b]，b≥a)，且a，b，c都是正整数，先取m＝[](式子[x]表示不超过x的最大整数)为试验点，比较c与m的大小，如果相等，则查找成功；如果c＜m，则查找范围为[a，m－1]；
若c＞m，则查找范围为[m＋1，b]，按此下去，直至c＝m为止．
每比较一次称为查找一次，设找到c的查找总次数记为f(c)．
若查找范围为[1,7]，求f(4)，f(3)，f(7)的值．
【解】 ∵a＝1，b＝7，∴m＝[]＝4.
①若c＝4，则f(4)＝f(c)＝1.
②若c＝3，则由3＜4得c＜m，故查找范围为[1,3]．
又m＝[]＝2＜3，故查找范围为[3,7]．
又m＝[]＝5，则5＞3，则查找范围是[1,4]．
又m＝[]＝3＝c，∴f(3)＝4.
③若c＝7，则由7＞4得，c＞m，故查找范围为[5,7]．
又m＝[]＝6，则6＜7，故查找[7,7]．
又m＝[]＝7＝c，∴f(7)＝3.
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10．某一试验因素是单峰函数，因素范围是(4,35)，现在用比例分割分批试验法优选，每批试验的试验个数是6个，试验范围等分为31份，问如何安排第一批的试验点的值？
【解】 试验范围分为31等份，各等分点分别为5,6,7，…，34共30个，结合比例分割分批试验原理(如图)
6 ** 6 ** 6 ** 6
可知，这6个试验点在7,8,15,16,23,24分点上，(如上图中*处所示)．即对应6个试验点的值为
11,12,19,20,27,28
(时间40分钟，满分60分)
一、选择题(每题5分，共20分)
1．关于从好点出发法的说法正确的是( )
A．从好点出发法，即每一次试验的位置均落在好点上
B．每次试验时，一定将试验的因素固定在其中好点位置
C．从好点出发法相对于纵横对折法而言效果较好
D．从好点出发法可以较好的解决所有双因素优选问题
【解析】 从好点出发法的特点是对某一因素进行优选试验时，另一因素固定在上次试验结果的好点上(除第一次外)，其效果要优于纵横对折法．
【答案】 C
2．物理学中的电感和电容可以构成震荡电路发射电磁波，为获取所需频率的电磁波，我们最好采用( )
A．平行线法 B．双因素盲人爬山法
C．对分法 D．从好点出发法
【解析】 由于电感不能够在短时间内大幅度的调节，且电容有一定的范围，因此为获得最佳频率的电磁波，我们最好采用双因素盲人爬山法．
【答案】 B
3．利用纵横对折法解决双因素问题时，先将因素Ⅰ固定在试验范围的中点C1处，对因素Ⅱ进行单因素优选得到最佳点A1，同样将因素Ⅱ固定在中点C2，对因素Ⅰ进行单因素优选得到最佳点A2，若A1处的试验结果比A2处的好，则下图中阴影部分能表示好点所在范围的是( )
【解析】 因为A1处的试验结果比A2处的好，所以存优范围包含点A1.
【答案】 D
4．用平行线法处理某双因素优选问题时，因素Ⅰ的范围为[0,30]，因素Ⅱ的范围为[0,60]，且因素Ⅰ难以控制，则首先固定的因素位置是( )
A．Ⅰ 18.54 B．Ⅰ 11.46
C．Ⅱ 37.08 D．Ⅱ 22.92
【解析】 平行线法处理优选问题的原理是，先固定难以控制的因素于0.618处，即先固定Ⅰ于30×0.618＝18.54处．
【答案】 A
二、填空题(每题5分，共10分)
5．在纵横对折法处理双因素优选问题中，分别针对因素Ⅰ和因素Ⅱ各进行了一次优选后，则新的存优范围的面积为原存优范围面积的________倍．
【解析】 由纵横对折法的思路知新的存优范围的面积为原存优范围面积的倍．
【答案】
6．在平行线法处理双因素优选问题中，把难以调整的因素Ⅱ固定在0.618处和0.382处，得到两个最佳点A1，A2，则新的存优范围的面积为原存优范围面积的________倍．
【解析】 由平行线法的思路知新的存优范围的面积为原存优范围面积的0.618倍．
【答案】 0.618
三、解答题(每题10分，共30分)
7．某炼油厂试制磺酸钡，其原料磺酸是磺化油经乙醇水溶液萃取出来的．试验目的是选择乙醇水溶液的合适浓度和用量，使分离出的白油最多．
根据经验，乙醇水溶液浓度变化范围为50%～90%(体积百分比)，用量变化范围为30%～70%(重量百分比)，精度要求为±5%.试用纵横对折法对工艺条件进行优选．
【解】 由题意设影响该试验结果的因素Ⅰ为浓度，试验范围为50%～90%，因素Ⅱ为用量，试验范围为30%～70%.
试验：(1)先固定浓度在中点＝70%处，对用量进行单因素优选，得最佳点A1.同样将用量固定在中点＝50%处．对浓度进行单因素优选，得最佳点B1.
比较A1和B1的试验结果，如果B1比A1好，则沿坏点A1所在的线，丢弃不包括好点B1所在的半个平面区域，即丢弃平面区域：50%≤Ⅰ≤70%,30%≤Ⅱ≤70%.
然后再在因素Ⅰ的新范围即(70%,90%]内取中点80，用单因素方法优选因素Ⅱ，得最佳点为A2.如此继续下去，不断地将试验范围缩小，直到找到满意的结果为止，如下图：
8．工业生产中，某种产品的产量由“加工温度”和“催化剂含量”两个因素决定，加工温度介于5 000 ℃～6 000 ℃之间，催化剂含量介于1 000 g～2 000 g之间．产量随温度、催化剂含量的变化呈单峰变化，试选择合适的优选法找出使产量最大时的温度和催化剂的含量．
【解】 由于在工业生产中，催化剂的含量较难调整，故可利用平行线法解决该优选问题．
设影响该试验结果的因素Ⅰ为温度，Ⅱ为催化剂的含量，因因素Ⅱ难以调整，所以先固定Ⅱ在0.618处，即1 000＋0.618×(2 000－1 000)＝1 618处，用单因素法对因素Ⅰ温度进行优选，例如图中A1处；再把因素Ⅱ固定在0.618的对称点0.382处：即1 000＋2 000－1 618＝1 382处，再利用单因素法对因素Ⅰ温度进行优选，例如最佳点在A2处，比较A1与A2两点上的试验结果，A1优于A2，所以去掉A2以下部分，再把因素Ⅱ固定在2 000＋1 382－1 618＝1 764处，再利用单因素法对Ⅰ温度进行优选，例如此时最佳点在A3处，比较A1与A3两点的试验结果，若A1优于A3则去掉A3以上部分，否则去掉A1以下部分，如此继续下去直到得到满意答案为止．
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9．有些金矿用浮选法回收黄金，在浮选工艺中使用的药剂种类较多，有捕收剂、起泡剂、活化剂等，其中起主要作用的药剂是捕收剂(一般为黄药)、起泡剂(多为2#油)，下面是对这两个因素进行的优选试验的过程 (其他因素固定)，请阅读并填写表格中的空白数据．
(1)先固定起泡剂(2#油)的用量(每吨矿石100 g)，由以往的实践可以知道捕收剂(黄药)的变化区间为每吨矿石50～500 g.
下面对黄药的用量进行选优试验，试验结果如下表：
序号
2#油(g/t)
黄药用量(g/t)
黄金回收率(%)
1
100
328.10
40.04
2
100
——
31.96
3
100
——
44.26
4
100
——
42.49
5
100
——
49.57
由上表结果可知：当黄药用量为368.60 g/t时，回收率达到最高．
(2)固定黄药为368.60 g/t，优选2#油的最佳用量，2#油的变化区间为0 g/t～200 g/t，试验结果见下表：
序号
黄药用量(g/t)
2#油(g/t)
黄金回收率(%)
1
368.60
123.60
46.58
2
368.60
——
39.30
3
368.60
——
53.23
4
368.60
——
49.52
由上表可知：当2#油用量为152.80 g/t时，回收率达到最高．
(3)固定2#油为最佳用量152.80 g/t，再次优选黄药用量(范围仍为50 g～500 g)．
见下表
序号
2#油(g/t)
黄药用量(g/t)
黄金回收率(%)
1
152.80
328.10
49.74
2
152.80
——
47.74
3
152.80
——
52.90
4
152.80
——
51.75
5
152.80
——
56.76
由上表数据说明，为使得黄金的回收率最高，药剂最佳用量为：
黄药368.60 g/t,2#油152.80 g/t.
【解析】 (1)∵第1个试点为328.10且328.10＝50＋0.618(500－50)，
故第二个试点x2＝500＋50－328.10＝221.90.
又∵31.96%＜40.04%，
故x3＝500＋221.90－328.10＝393.80.
又∵44.26%＞40.04%，
故x4＝500＋328.10－393.80＝434.30.
又∵42.49%＜44.26%，
故x5＝328.10＋434.30－393.80＝368.60.
(2)∵第1个试验点x1＝0＋0.618×200＝123.60，
∴x2＝0＋200－123.60＝76.40.
又39.3%＜46.58%，
∴x3＝200＋76.40－123.60＝152.80.
又53.23%＞46.58%，
∴x4＝200＋123.60－152.80＝170.80.
(3)类比(1)可知x1＝328.10，x2＝221.90，
x3＝393.80，x4＝434.30，x5＝368.60.
【答案】 (1)221.90 393.80 434.30 368.60
(2)76.40 152.80 170.80
(3)221.90 393.80 434.30 368.60
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10．在乙酰胺苯的磺化反应中，为了提高乙酰胺苯的产率，利用优选法选择合适的工艺，根据分析，主要因素为反应温度和硫酸浓度，已知其试验范围为：温度40 ℃～60 ℃；硫酸浓度60%～80%.某技术员用从好点出发法对工艺进行优选，过程如下：先固定温度为52 ℃，得最优浓度为68%，产率为38%；然后固定浓度为68%，得最优温度为47 ℃，产率为43%；再固定温度为47 ℃，得最优浓度为72%，产率为51%；又固定浓度为72%，得最优温度为47 ℃，则在实际生产采用的工艺条件中，温度和浓度分别为________℃和________%.
【解析】 按照从好点出发法，从第2次起，都是将一个因素固定在上次结果的好点上，然后对另一因素进行优选试验，当温度和浓度分别为47 ℃，72%时，无论固定温度和浓度，都不能再找到其他好点，试验到此就结束了．
【答案】 47 72
