1.1.2 四种命题
1．1.3 四种命题间的相互关系
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
初步理解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式；初步理解四种命题间的相互关系并能判断命题的真假．
2．过程与方法
培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．
3．情感、态度与价值观
激发学生学习数学的兴趣和积极性，优化学生的思维品质，培养学生勤于思考，勇于探索的创新意识，感受探索的乐趣．
●重点、难点
重点：四种命题之间相互的关系．
难点：正确区分命题的否定形式及否命题．
通过一个生活中的场景引出逻辑在生活中必不可少的重要地位，从而引发学生学习四种命题的兴趣，然后主要通过对概念的讲解和分析，并配以适量的课堂练习，让学生掌握四种命题的概念，会写四种命题，并掌握四种命题之间的关系以及通过逆否命题来判断命题的真假；最后运用所学命题知识解决实际生活中的问题，让学生学会用理性的逻辑推理能力思考问题，从而突破重难点．
(教师用书独具)
●教学建议
这节内容是以概念的理解和关系的思辨为主的，因此采用以讲解和练习强化为主要方法，并在讲解过程中引导和启发学生的思维，让学生充分地思考和动手演练．宜采取的教学方法：(1)启发式教学．这能充分调动学生的主动性和积极性，有利于学生对知识进行主动建构，从而发现数学规律；(2)讲练结合法．这样更能突出重点、解决难点，让学生的分析问题和解决问题的能力得到进一步的提高．
学习方法：(1)由特殊到一般的化归方法：学习中学生在教师的引导下，通过具体的实例，让学生去观察、讨论、探索、分析、发现、归纳、概括；(2)讲练结合法：让学生知道数学重生在运用，从而检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其差距并及时加以补救．
通过本节的学习，了解命题的四种形式及其关系，利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题之间的等价性解决有关问题，渗透由特殊到一般的化归数学思想．
●教学流程
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(对应学生用书第4页)
课标解读
1.了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．(重点)
2．认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系．(难点)
3．利用命题真假的等价性解决简单问题．(难点，易错点)
四种命题的概念
【问题导思】
给出以下四个命题：
(1)对顶角相等；
(2)相等的两个角是对顶角；
(3)不是对顶角的两个角不相等；
(4)不相等的两个角不是对顶角；
1．你能说出命题(1)与(2)的条件与结论有什么关系吗？
【提示】 它们的条件和结论恰好互换了．
2．命题(1)与(3)的条件与结论有什么关系？命题(1)与(4)呢？
【提示】 命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定．命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定．
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这两个命题叫做互逆命题，如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把两个命题叫做互否命题．如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题．把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．
四种命题的关系
【问题导思】
1．为了书写方便常把p与q的否定分别记作“綈p”和“綈q”，如果原命题是“若p，则q”，那么它的逆命题，否命题，逆否命题该如何表示？
【提示】 逆命题：若q，则p.
否命题：若綈p，则綈q.
逆否命题：若綈q，则綈p.
2．原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？
【提示】 互逆、互否、互为逆否．
四种命题的相互关系
四种命题的真假关系
【问题导思】
1．知识1的“问题导思”中四个命题的真假性是怎样的？
【提示】 (1)真命题，(2)假命题，(3)假命题，(4)真命题．
2．如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的逆否命题呢？
【提示】 原命题为真，其逆命题不一定为真，但其逆否命题一定为真．
1．在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是逆否命题．
2．两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系.
(对应学生用书第5页)
四种命题的概念
把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)全等三角形的对应边相等；
(2)当x＝2时，x2－3x＋2＝0.
【思路探究】 (1)原命题的条件与结论分别是什么？
(2)把原命题的条件与结论作怎样的变化就能写出它的逆命题、否命题和逆否命题？
【自主解答】 (1)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等．
逆命题：若两个三角形三边对应相等，则两个三角形全等．
否命题：若两个三角形不全等，则两个三角形三边对应不相等．
逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等．
(2)原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0，
逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2，
否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0，
逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2.
1．给出一个命题，写出该命题的其他三种命题时，首先考虑弄清所给命题的条件与结论，若给出的命题不是“若p，则q”的形式，应改写成“若p，则q”的形式．
2．把原命题的结论作为条件，条件作为结论就得到逆命题；否定条件作为条件，否定结论作为结论便得到否命题；否命题的逆命题就是原命题的逆否命题．
分别写出下列命题的逆命题 、否命题和逆否命题．
(1)负数的平方是正数；
(2)若a＞b，则ac2＞bc2.
【解】 (1)原命题可以改写成：若一个数是负数，则它的平方是正数；
逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数；
否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数；
逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．
(2)逆命题：若ac2＞bc2，则a＞b；
否命题：若a≤b，则ac2≤bc2；
逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.
四种命题真假的判断
写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假．
(1)菱形的对角线互相垂直；
(2)等高的两个三角形是全等三角形；
(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．
【思路探究】 →→
【自主解答】 (1)逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直，则它是菱形，是假命题．
否命题：若一个四边形不是菱形，则它的对角线不互相垂直，是假命题．
逆否命题：若一个四边形的对角线不互相垂直，则这个四边形不是菱形，是真命题．
(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题．
否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题．
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题．
(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题．
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题．
逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题．
1．本例题目中命题的条件和结论不明显，为了不出错误，可以先改写成“若p，则q”的形式，再写另外三种命题，进而判断真假．
2．要判定四种命题的真假，首先，要正确理解四种命题间的相互关系；其次，正确利用相关知识进行判断推理．若由“p经逻辑推理得出q”，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明．
3．互为逆否命题等价．当一个命题的真假不易判断时，可通过判定其逆否命题的真假来判断．
下列命题中正确的是( )
①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；
②“正三角形都相似”的逆命题；
③“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．
A．①②③ B．①③
C．②③ D．①
【解析】 ①原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”．真命题．
②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形．”假命题．
③原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．
∵方程x2＋x－m＝0无实根，
∴判别式Δ＝1＋4m＜0，m＜－.
故m≤0，为真命题．
故正确的命题是①，③选B.
【答案】 B
等价命题的应用
若a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不可能都是奇数．
【思路探究】 (1)a，b，c不可能都是奇数包含几种情况？
(2)它的反面是什么？能否考虑证它的逆否命题？
【自主解答】 若a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数，所以a2＋b2为偶数，而c2为奇数，即a2＋b2≠c2.即原命题的逆否命题为真命题，故原命题为真，所以若a2＋b2＝c2，则a、b、c不可能都是奇数．
1．因为“a、b、c不可能都是奇数”这一结论包含多种情况，而其否定只有一种情况，即“a、b、c都是奇数，”故应选择证明它的逆否命题为真命题，以使问题简单化．
2．当判断一个命题的真假比较困难，或者在判断真假时涉及到分类讨论时，通常转化为判断它的逆否命题的真假，因为互为逆否命题的真假是等价的，也就是我们讲的“正难则反”的一种策略．
3．四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，原命题的否命题与其逆命题也是互为逆否命题，解题时不要忽视．
“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a＜2”，判断其逆否命题的真假．
【解】 ∵a，x∈R，且x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集．
∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＜0，
则4a－7＜0，解得a＜.
因此a＜2，原命题是真命题．
又互为逆否命题的命题等价，故逆否命题是真命题.
(对应学生用书第6页)
因否定错误致误
写出命题“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”的逆命题、否命题，并判断它们的真假．
【错解】 逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，是真命题；
否命题：若x2＋y2≠0，则x，y全不为零，是假命题．
【错因分析】 本题中的错解主要是对原命题中结论的否定错误．对“x，y全为零”的否定，应为“x，y不全为零”，而不是“x，y全不为零”．
【防范措施】 要写出一个命题的否命题，需要既否定条件，又否定结论，否定时一定要注意一些词语，如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”等等．
【正解】 逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，是真命题；否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，是真命题．
1．写出四种命题的方法：
(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．
2．四种命题的真假关系：
若原命题为真，它的逆命题、否命题不一定为真，它的逆否命题一定为真；互为逆否命题的两个命题的真假性相同．因此，若一个命题的真假不易判断时，我们可借助它的逆否命题进行判断.
(对应学生用书第7页)
1．(2013·福州高二检测)已知a，b∈R，命题“若a＋b＝1，则a2＋b2≥”的否命题是( )
A．若a2＋b2＜，则a＋b≠1
B．若a＋b＝1，则a2＋b2＜
C．若a＋b≠1，则a2＋b2＜
D．若a2＋b2≥，则a＋b＝1
【解析】 “a＋b＝1”，“a2＋b2≥”的否定分别是“a＋b≠1”，“a2＋b2＜”，故否命题为：“若a＋b≠1，则a2＋b2＜”．
【答案】 C
2．命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的( )
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．无关命题
【解析】 从两种命题的形式来看是条件与结论换位，因此为逆命题．
【答案】 A
3．命题“当x＝2时，x2＋x－6＝0”的逆否命题是____．
【解析】 原命题结论的否定作条件，条件的否定作结论，写出逆否命题即可．
【答案】 当x2＋x－6≠0时，x≠2.
4．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假．
(1)若mn＜0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根；
(2)若ab＝0，则a＝0或b＝0.
【解】 (1)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn＜0.假命题；
否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．假命题；
逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.真命题．
(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0.真命题；
否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0.真命题；
逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0.真命题．
一、选择题
1．命题“若綈p，则q”是真命题，则下列命题一定是真命题的是( )
A．若p，则綈q B．若q，则綈p
C．若綈q，则p D．若綈q，则綈p
【解析】 若“綈p，则q”的逆否命题是“若綈q，则p”，又互为逆否命题真假性相同．
∴“若綈q，则p”一定是真命题．
【答案】 C
2．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是( )
A．互逆命题 B．互否命题
C．互为逆否命题 D．以上都不正确
【解析】 设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”，故q与r为互逆命题．
【答案】 A
3．(2013·台州高二检测)已知命题p：若a＞0，则方程ax2＋2x＝0有解，则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
【解析】 易知原命题和逆否命题都是真命题，否命题和逆命题都是假命题．故选B.
【答案】 B
4．(2013·大庆高二检测)下列判断中不正确的是( )
A．命题“若A∩B＝B，则A∪B＝A”的逆否命题为真命题
B．“矩形的两条对角线相等”的逆否命题为真命题
C．“已知a，b，m∈R，若am2
D．“若x∈N*，则(x－1)2＞0”是假命题
【解析】 若A∩B＝B，则有B?A，从而有A∪B＝A，
∴A正确；
B中的逆否命题：“若一个四边形两条对角线不相等，则它不是矩形”为真命题∴B正确．
C中的逆命题为：“已知a，b，m∈R，若a＜b，则am2＜bm2为假命题，故C不正确．
D中x＝1时，(x－1)2＝0显然是假命题．故D正确．
【答案】 C
5．下列命题中，不是真命题的为( )
A．“若b2－4ac≥0，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”的逆否命题
B．“四边相等的四边形是正方形”的逆命题
C．“若x2＝9，则x＝3”的否命题
D．“对顶角相等”的逆命题
【解析】 A中命题为真命题，其逆否命题也为真命题；B中命题的逆命题为“正方形的四边相等”，为真命题；C中命题的否命题为“若x2≠9，则x≠3”为真命题；D中命题的逆命题为“相等的角为对顶角”是假命题．
【答案】 D
二、填空题
6．命题“若A∪B＝B，则A?B”的否命题是________．
【答案】 若A∪B≠B，则A?B.
7．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．
【解析】 由已知得，若1＜x＜2成立，则m－1＜x＜m＋1也成立．
∴，∴1≤m≤2.
【答案】 [1,2]
8．(2013·菏泽高二检测)给定下列命题：
①若a＞0，则方程ax2＋2x＝0有解．
②“等腰三角形都相似”的逆命题；
③“若x－是有理数，则x是无理数”的逆否命题；
④“若a＞1且b＞1，则a＋b＞2”的否命题．
其中真命题的序号是________．
【解析】 显然①为真，②为假．对于③中，原命题“若x－是有理数，则x是无理数”为假命题，∴逆否命题为假命题．
对于④中，“若a＞1且b＞1，则a＋b＞2”的否命题是“若a≤1或b≤1，则a＋b≤2”为假命题．
【答案】 ①
三、解答题
9．设原命题是“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．
【解】 原命题是真命题．
逆命题是“当c＞0时，若ac＞bc，则a＞b”，是真命题．
否命题是“当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc”，是真命题．
逆否命题是“当c＞0时，若ac≤bc，则a≤b”，是真命题．
10．已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．
(1)写出命题p的否命题；
(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．
【解】 (1)命题p的否命题为：“若ac＜0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．
(2)命题p的否命题是真命题，证明如下：∵ac＜0，
∴－ac＞0?Δ＝b2－4ac＞0?二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．
∴该命题是真命题．
11．已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0.
【证明】 假设a＋b＜0，则a＜－b.
∵f(x)在R上是增函数．
∴f(a)＜f(－b)，又∵f(x)为奇函数．
∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＜－f(b)．
即f(a)＋f(b)＜0.
∴原命题的逆否命题为真，故原命题为真.
(教师用书独具)
判断命题“若m＞0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．
【解】 ∵m＞0，∴12m＞0，∴12m＋4＞0.
∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝22－4×1×(－3m)＝4＋12m＞0，∴原命题“若m＞0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．
又∵原命题与它的逆否命题等价，
∴“若m＞0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题为真．
已知ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
【证明】 设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1，则2a2＋2b2＋2c2＋2d2＋2ab＋2bc＋2cd－2ad－2bc＋2ad＝2，
即(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋2ad－2bc＝2，
若(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＝0，则a＝b＝c＝d＝0，于是ad－bc＜1；
若(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋d)2＋(a－d)2≠0，
则(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋d)2＋(a－d)2为正数，所以必有ad－bc＜1.
综上，命题“若a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1，则ad－bc≠1”成立，由原命题与它的逆否命题等价，知原命题也成立，从而原命题得证.
1.2充分条件与必要条件
1．2.1 充分条件与必要条件
1．2.2 充要条件
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
(1)正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念；
(2)能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系；
(3)在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系．
2．过程与方法
(1)培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性；
(2)培养学生的归纳能力：“敢归纳”，敢于对一些事例，观察后进行归纳，总结出一般规律；
(3)培养学生的建构能力：“善建构”，通过反复的观察分析和类比，对归纳出的结论，建构于自己的知识体系中．
3．情感、态度与价值观
(1)通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受；
(2)通过对命题的四种形式及充分条件，必要条件的相对性，培养同学们的辩证唯物主义观点；
(3)通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神．
●重点、难点
重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义．
难点：必要条件的定义、充要条件的充分必要性．
重难点突破的关键：找出题目中的p、q，判断p?q是否成立，同时还需判断q?p是否成立，再弄清是问“p是q的什么条件”，还是问“q是p的什么条件”．
(教师用书独具)
●教学建议
基于教材内容和学生的年龄特征，根据“开放式”、“启发式”教学模式和新课程改革的理论认识，结合学生实际，主要突出以下几个方面：(1)创设与生活实践相结合的问题情景，在加强数学教学的实践性的同时充分调动学生求知欲，并以此来激发学生的探究心理；(2)教学方法上采用了“合作——探索”的教学模式，使课堂教学体现“参与式”、“生活化”、“探索性”，保证学生对数学知识的主动获取，以求获得最佳效果；
(3)注重渗透数学思考方法(联想法、类比法、归纳总结等一般科学方法)，让学生在探索学习知识的过程中，领会常见数学思想方法，培养学生的探索能力和创造性素质；(4)注意在探究问题时留给学生充分的时间，以利于开放学生的思维．
指导学生掌握“观察——猜想——归纳——应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对命题结构的探究．让学生在问题情景中学习，观察，类比，思考，探究，概括，动手尝试相结合，体现学生的主体地位，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神．
●教学流程
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(对应学生用书第7页)
课标解读
1.结合具体实例理解充分条件、必要条件的概念．(重点)
2．结合具体实例理解充要条件的概念．(重点)
3．会求或证明命题的充要条件．(难点，易错点)
充分条件与必要条件
【问题导思】
给出下列命题．
(1)若x＞a2＋b2，则x＞2ab.
(2)若ab＝0，则a＝0.
(3)若整数a是6的倍数，则整数a是2和3的倍数．
1．你能判断这三个命题的真假吗？
【提示】 (1)真命题 (2)假命题 (3)真命题
2．命题(1)中条件和结论有什么关系？命题(2)中呢？
【提示】 命题(1)中只要满足条件x＞a2＋b2，必有结论x＞2ab；命题(2)中满足条件ab＝0，不一定有结论a＝0，还可能b＝0.
命题真假
“若p，则q”为真命题
“若p，则q”为假命题
推出关系
p?q
p?/ q
条件关系
p是q的充分条件q是p的必要条件
p不是q的充分条件q不是p的必要条件
充要条件
【问题导思】
1．命题(3)中条件和结论有什么关系？它的逆命题成立吗？
【提示】 只要满足条件，必有结论成立，它的逆命题成立．
2．若设p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？
【提示】 因为p?q且q?p，所以p是q的充分条件也是必要条件；同理，q是p的充分条件，也是必要条件．
一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
【问题导思】
对于命题“若p，则q”，如果p?q，但q p，那么p是q的什么条件？如果q?p，但pq呢？如果pq，qp呢？
【提示】 充分不必要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件.
(对应学生用书第8页)
充分条件、必要条件、充要条件的判断
已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的是( )
①Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；
②Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件；
③Δ＝b2－4ac＞0是这个方程有实根的必要条件；
④Δ＝b2－4ac＜0是这个方程没有实根的充要条件．
A．③④ B．②③
C．①②③ D．①②④
【思路探究】 (1)当Δ＝0，Δ＞0，Δ＜0时，一元二次方程的根的情况是怎样的？(2)如何判断充分条件，必要条件和充要条件？
【自主解答】 ①对，Δ≥0?方程ax2＋bx＋c＝0有实根；
②对，Δ＝0?方程ax2＋bx＋c＝0有实根；
③错，Δ＞0?方程ax2＋bx＋c＝0有实根，但ax2＋bx＋c＝0有实根Δ＞0；
④对，Δ＜0?方程ax2＋bx＋c＝0无实根．故选D.
【答案】 D
充分条件、必要条件和充要条件反映了条件p与结论q之间的因果关系，在具体判断时，常用如下方法：
(1)定义法：
①若p?q，但qp，则p是q的充分不必要条件；
②若q?p，但pq，则p是q的必要不充分条件；
③若p?q，且q?p，则p是q的充分必要条件，简称充要条件；
④若pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．
(2)集合法：
如果p，q分别以集合A、集合B的形式出现，那么p，q之间的关系可以借助集合知识来判断．
①若A?B，则p是q的充分条件；
②若A?B，则p是q的必要条件；
③若A＝B，则p是q的充要条件；
④若，且，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件，即p是q的既不充分也不必要条件．
(3)等价法：
当某一命题不易直接判断条件与结论的充要关系时，可以利用原命题与其逆否命题的等价性来判断，即等价转化为判断其逆否命题是否成立．
(2012·山东高考)设a＞0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 当f(x)＝ax为R上的减函数时，0＜a＜1,2－a＞0，此时g(x)＝(2－a)x3在R上为增函数成立；当g(x)＝(2－a)x3为增函数时，2－a＞0即a＜2，但1＜a＜2时，f(x)＝ax为R上的减函数不成立，故选A.
【答案】 A
充分条件、必要条件、充要条件的应用
若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值是多少？
【思路探究】 (1)本例中谁是条件，谁是结论？(2)“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件的含义是什么？
【自主解答】 ∵x2＞1，∴x＜－1或x＞1.
又∵“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件．
∴x＜a?x2＞1但x2＞1x＜a.
∴a≤－1，
∴a的最大值为－1.
1．若条件是结论的充分条件，即由条件推出结论来；若条件是结论的必要条件，即由结论推出条件来，由此建立起逻辑关系解决问题．
2．本类题目常与集合知识联系，解题时要把满足条件的对象所构成的集合与满足结论的对象所构成的集合建立起包含关系，并借助数轴的直观性来处理，但要特别注意端点值的取舍．
本例中的“x＜a”改为“x＞a”，其他条件不变，则a的最小值为多少？
【解】 ∵x2＞1，∴x＜－1或x＞1，
∵“x2＞1”是“x＞a”的必要不充分条件，
∴x＞a?x2＞1，但x2＞1x＞a.
如图示：
∴a≥1，
∴a的最小值为1.
充要条件的证明
已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)．
求证：{an}为等比数列的充要条件是q＝－1.
【思路探究】 →→→
【自主解答】 充分性：当q＝－1时，Sn＝pn－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，
当n＝1时，也成立，
∴数列{an}的通项公式为an＝pn－1(p－1)．
又∵p≠0且p≠1，
∴＝＝p，
∴数列{an}为等比数列．
必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
∵p≠0且p≠1，
∴＝＝p.
又∵{an}为等比数列，∴＝＝p，
∴＝p，∴q＝－1.
综上可知，{an}是等比数列的充要条件是q＝－1.
1．在本题中，充分性是指：由q＝－1推出{an}为等比数列，必要性是指由{an}为等比数列推出q＝－1.
2．有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，谁是谁的什么条件，由“条件?结论”是证明命题的充分性，由“结论?条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：一是证充分性；二是证必要性．
求证：关于x的一元二次不等式ax2－ax＋1＞0对于一切实数x都成立的充要条件是0＜a＜4.
【证明】 ①必要性：若ax2－ax＋1＞0对于一切实数x都成立，
由二次函数性质有
即∴0＜a＜4.
②充分性：∵0＜a＜4，
∴0＜＜1，即0＜1－＜1，
∴ax2－ax＋1＝a(x－)2＋1－＞0，
∴若0＜a＜4，则ax2－ax＋1＞0对于一切实数x都成立．
由①②知，命题得证.
(对应学生用书第9页)
忽略隐含条件致误
已知关于x的方程x2－mx＋2m－3＝0，求使方程有两个大于1的实根的充要条件．
【错解】 由方程x2－mx＋2m－3＝0的根都大于1，可设方程的两根分别为x1，x2，
故有即解得m＞2，
即使方程有两个大于1的实根的充要条件为m＞2.
【错因分析】 忽略了条件Δ≥0，将两实根大于1的充要条件误认为是
【防范措施】 一元二次方程根的情况和充要条件合到一起的题目常常有隐含条件(二次项系数不为0)考虑，方程的根的情况又必须考虑根的判别式Δ，解题时一定要注意．
【正解】 设方程x2－mx＋2m－3＝0的两根分别为x1、x2.
由题意知??
??m≥6.
即使方程有两个大于1的实根的充要条件为m≥6.
1．对充分条件、必要条件、充要条件的判断最常用的方法是定义法，这种方法判断直观、简捷、出错率低．
2．利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值．
3．证明充要条件问题要分别证明充分性和必要性两个方面．即若证p是q的充要条件需证p?q和q?p两个方面，同时注意条件的充分性和必要性不要混淆.
(对应学生用书第9页)
1．(2013·成都高二检测)“x＝3”是“x2＝9”的( )
A．充分而不必要的条件
B．必要而不充分的条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要的条件
【解析】 当x＝3时，x2＝9；
但x2＝9，有x＝±3.
∴“x＝3”是“x2＝9”的充分不必要条件．
【答案】 A
2．“x＞－2”是 “x＞3”的必要条件中，条件是_____，结论是________．
【答案】 x＞－2 x＞3
3．“x＝1”是“方程x2－3x＋2＝0的根”的________条件(填“充分”“必要”)．
【解析】 x＝1是方程x2－3x＋2＝0的根，但方程x2－3x＋2＝0的根是x＝1或x＝2.
【答案】 充分
4．判断下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：tan x＝1，q：x＝2kπ＋(k∈Z)；
(2)(2011·湖南高考改编)设集合M＝{1,2}，N＝{a2}．p：a＝1，q：N?M.
【解】 (1)当x＝2kπ＋(k∈Z)时，tan x＝tan ＝1，
∴q?p.
但tan x＝1，有x＝kπ＋(k∈Z)，pq.
因此p是q的必要不充分条件．
(2)当a＝1时，N＝{1}，N?M.
但N?M时，有a2＝1或a2＝2，不一定有a＝1.
因此p?q，qp，
所以p是q的充分不必要条件．
一、选择题
1．(2012·浙江高考)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 若直线l1与l2平行，
则a(a＋1)－2×1＝0，
即a＝－2或a＝1，
所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．
【答案】 A
2．已知命题“若p，则q”，假设其逆命题为真，则p是q的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 原命题的逆命题：“若q，则p”，它是真命题，即q?p，所以p是q的必要条件．
【答案】 B
3．(2013·郑州高二检测)函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件的( )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
【解析】 由f(x)＝x2＋mx＋1＝(x＋)2＋1－，
∴f(x)的图象的对称轴为x＝－，由题意：－＝1，
∴m＝－2.
【答案】 A
4．设集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 ∵M?N，∴a∈N?a∈M，而a∈M?/a∈N.
故“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件．
【答案】 B
5．有下述说法：
①a＞b＞0是a2＞b2的充要条件；②a＞b＞0是＜的充要条件；③a＞b＞0是a3＞b3的充要条件．
其中正确的说法有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【解析】 a＞b＞0?a2＞b2，
a2＞b2?|a|＞|b|?/a＞b＞0，故①错．
a＞b＞0?＜，但＜?/a＞b＞0，故②错．
a＞b＞0?a3＞b3，但a3＞b3?/a＞b＞0，故③错．
【答案】 A
二、填空题
6．条件p：1－x＜0，条件q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
【解析】 p：x＞1，若p是q的充分不必要条件，则p?q，但q?/p，即p对应集合是q对应集合的子集，故a＜1.
【答案】 (－∞，1)
7．如图1－1－1所示的四个电路图，条件A：“开关S1闭合”，条件B：“灯泡L亮”，则A是B的充要条件的图为________．
图1－1－1
【答案】 乙
8．下列命题：
①“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充要条件；
②b2－4ac＜0是不等式ax2＋bx＋c＜0解集为R的充要条件；
③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；
④“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要而不充分条件．
其中真命题的序号为________．
【解析】 ①x＞2且y＞3时，x＋y＞5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6，所以“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充分不必要条件；
②不等式解集为R的充要条件是a＜0且b2－4ac＜0.故②为假命题；
③当a＝2时，两直线平行，反之，两直线平行，＝，∴a＝2，
因此，“a＝2”是“两直线平行”的充要条件；
④lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，∴xy＝1且x＞0，y＞0.
所以“lg x＋lg y＝0”成立，xy＝1必成立，反之不然．
因此“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要而不充分条件．
综上可知，真命题是④.
【答案】 ④
三、解答题
9．下列各题中，p是q的什么条件？(从充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件中选择一个)
(1)p：|a|≥2，a∈R，q：方程x2＋ax＋a＋3＝0有实根；
(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；
(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝.
【解】 (1)当|a|≥2，如a＝3时，方程可化为x2＋3x＋6＝0，无实根；而方程x2＋ax＋a＋3＝0有实根，则必有Δ＝a2－4(a＋3)≥0，即a≤－2或a≥6，从而可以推出|a|≥2.综上可知，q?p，p?/q.所以p是q的必要不充分条件．
(2)由a2＋b2＝0，可得a＝0且b＝0，故a＋b＝0，
而由a＋b＝0，可得a＝－b，当a＝1，b＝－1时，推出a2＋b2＝0，
从以p是q的充分不必要条件．
(3)由x－1＝可得x＝1或x＝2，
故p是q的充要条件．
10．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两异号实根的充要条件是ac＜0.
【证明】 ①必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0.
②充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)．
所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
11．(2013·徐州高二检测)已知p：－2≤1－≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【解】 由－2≤1－≤2，得－2≤x≤10.
∴p：－2≤x≤10.
又x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，
∴q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件．
故有或，解之得m≥9.
因此实数m的取值范围是[9，＋∞).
(教师用书独具)
对于非零实数x，y有x＞y，试探求＜的充要条件，并加以证明．
【解】 由＜知，＞0，
又x＞y，则x－y＞0，
因此xy＞0，
即x＞y，且＜xy＞0.
反过来，因为x＞y，所以y－x＜0.
因为xy＞0，所以＞0.
所以＜0，即＜.
综上，x＞y时，＜的充要条件是xy＞0.
探求一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件．
【解】 (1)∵f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，即－kx＋b＝－(kx＋b)，
∴b＝0，因此b＝0是f(x)为奇函数的必要条件．
(2)如果b＝0，那么f(x)＝kx(k≠0)，此时f(x)＝kx(k≠0)为奇函数．
结合(1)、(2)知f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.
1.3简单的逻辑联结词
1．3.1 且(and)
1．3.2 或(or)
1．3.3 非(not)
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
了解命题的概念，理解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义，掌握含有“或”，“且”，“非”的命题的构成．
2．过程与方法
(1)经历抽象的逻辑联结词的过程，培养学生观察，抽象，推理的思维能力．
(2)通过发现式的引导，培养学生发现问题，解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
培养学生积极参与，合作交流的主体意识，并在这过程中，培养学生对数学的兴趣和爱好．
●重点、难点
重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“或”、“且”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容．
难点：(1)正确理解命题“p∧q”“p∨q”“綈p”真假的规定和判定．
(2)简洁、准确地表述命题“p∧q”“p∨q”“綈p”．
为了突出重点，突破难点，在教学上宜采取了以下的措施：
①从学生已有的知识出发，精心设置一组例子，逐步引导学生观察，探讨，联想，归纳出逻辑联结词的含义，从是体会逻辑的思想．
②通过简单命题与复合命题的对比，明确它们存在的区别和联系，加深对复合命题构成的理解，抓住其本质特点．
(教师用书独具)
●教学建议
教法分析：依据现有学生的年龄特点和心理特征，结合他们的认识水平，在遵循启发式教学原则的基础上，在本节采用发现法为主，以谈话法，讲解法，练习法为辅的教学方法，意在通过老师的引导，调动学生学习知识的积极性，从而培养学生观察问题，发现问题和解决问题的能力．为此，依据新课程的改革要求，本节课采用师生互动的方式，既是以教师为主导，学生为主体的讨论式学习，真正实现新课标下的“以学生为主”的教学模式．
学法分析：现代教学理论认为，教师的“教”不仅要让学生“学会知识”，更重要的是让学生“会学知识”，而正确的学法指导是培养学生这种能力的关键，因此在本节的教学中，教师指导学生运用观察，分析讨论，模拟归纳等手段来进行本节课的学习，实现对知识的理解和应用．
●教学流程
???????
(对应学生用书第10页)
课标解读
1.会判断命题“p∧q”、“p∨q”、“綈p”的真假．(重点)
2.理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．(难点)
3.掌握命题的否定与否命题的区别．(易混点)
“且”、“或”、“非”
【问题导思】
1．观察下面三个命题：①12能被3整除，②12能被4整除，③12能被3整除且能被4整除，它们之间有什么关系？
【提示】 命题③是将命题①②用“且”联结得到的．
2．观察下面三个命题：①3＞2；②3＝2；③3≥2；它们之间有什么关系？
【提示】 命题③是将命题①②用“或”联结得到的．
3．观察下列两个命题：①35能被5整除；②35不能被5整除；它们之间有什么关系？
【提示】 命题②是对命题①的否定．
1．用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”．
2．用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”．
3．对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．
含有逻辑联结词的命题的真假
【问题导思】
1．你能判断1中问题(1)描述的三个命题的真假吗？p且q的真假与p、q的真假有关系吗？
【提示】 ①是真命题；②是真命题；③是真命题．若p、q都为真命题，则p∧q也为真命题．
2．你能判断1中问题(2)描述的三个命题的真假吗？p或q的真假与p、q的真假有关系吗？
【提示】 ①真命题；②假命题；③真命题．若p、q一真一假，则p∨q为真命题．
3．你能判断1中问题(3)所描述的两个命题的真假吗？非p的真假与p的真假有关系吗？
【提示】 ①真命题；②假命题．
若p为真命题，则綈p为假命题．
含有逻辑联结词的命题真假的判断方法：
(1)“p∧q”形式命题：当命题p、q都是真命题时，p∧q是真命题；当p、q中有一个命题是假命题，则p∧q是假命题．
(2)“p∨q”形式命题：当p、q至少有一个为真时，p∨q为真命题；当p、q均是假命题时，p∨q为假．
(3)“綈p”形式命题：若p是真命题，则綈p必是假命题；若p是假命题，则綈p必是真命题.
(对应学生用书第10页)
用逻辑联结词构造新命题
分别写出由下列命题构成的“p∧q”、“p∨q”、“綈p”的形式．
(1)p：函数y＝3x2是偶函数，q：函数y＝3x2是增函数．
(2)p：是无理数，q：是实数
(3)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角．
【思路探究】 →→
【自主解答】 (1)p∧q：函数y＝3x2是偶函数且是增函数；
p∨q：函数y＝3x2是偶函数或是增函数；
綈p：函数y＝3x2不是偶函数．
(2)p∧q：是无理数且是实数；
p∨q：是无理数或实数；
綈p：不是无理数．
(3)“p∧q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；
“p∨q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；
“綈p”：三角形的外角不等于与它不相邻的两个内角的和．
用“或”、“且”、“非”联结两个简单命题时，要正确理解这三个联结词的意义，通常情况下，可以直接使用逻辑联结词联结，有时为了通顺也可以适当添加词语或省略联结词．如甲是运动员兼教练员，就省略了“且”．
指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题：
(1)菱形的对角线互相垂直平分；
(2)方程2x2＋1＝0没有实数根；
(3)12能被3或4整除．
【解】 (1)是“p且q”形式．其中p为：菱形的对角线互相垂直；q: 菱形的对角线互相平分．
(2)是“綈p”形式，其中p：方程2x2＋1＝0有实根．
(3)是“p或q”形式．
其中p：12能被3整除；q：12能被4整除．
含有逻辑联结词的命题真假的判断
分别指出下列各组命题构成的“p∧q”、“p∨q”“綈p”形式的命题的真假．
(1)p：6＜6，q：6＝6；
(2)p：梯形的对角线相等，q：梯形的对角线互相平分；
(3)p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点，q：不等式x2＋x＋2＜0无解；
(4)p：函数y＝cos x是周期函数，q：函数y＝cos x是奇函数．
【思路探究】 (1)你能分别判断p、q的真假吗？
(2)判断出p、q的真假后如何判断“p∨q”，“p∧q”与“綈p”的真假？
【自主解答】 (1)∵p为假命题，q为真命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为真命题．
(2)∵p为假命题，q为假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为假命题，綈p为真命题．
(3)∵p为真命题，q为真命题，
∴p∧q为真命题，p∨q为真命题，綈p为假命题．
(4)∵p为真命题，q为假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题．
1．判断含逻辑联结词的命题的真假时，首先确定该命题的构成，再确定其中简单命题的真假，最后由真值表进行判断．
2．真值表
p
q
綈p
p∨p
p∧q
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
也可以概括为口诀：“p与綈p”一真一假，“p∨q”一真即真，“p∧q”一假就假．
判断下列命题的真假：
(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；
(2)x＝±1是方程x2＋3x＋2＝0的根；
(3)集合A不是A∪B的子集．
【解】 (1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真，q真，则“p∧q”真，所以该命题是真命题．
(2)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：1是方程x2＋3x＋2＝0的根，q：－1是方程x2＋3x＋2＝0的根，因为p假，q真，则“p∨q”真，所以该命题是真命题．
(3)这个命题是“綈p”的形式，其中p：A?(A∪B)，因为p真，则“綈p”假，所以该命题是假命题.
由含逻辑联结词的命题的真假
求参数的取值范围
已知a＞0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递增；命题q：不等式x2－ax＋1＞0对x∈R恒成立，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
【思路探究】 (1)若函数y＝ax在R上递增，则a的取值范围是什么？(2)不等式x2－ax＋1＞0对x∈R恒成立，则a的取值范围是什么？(3)由p∨q真，p∧q假可推得p、q的真假是怎样的？
【自主解答】 ∵y＝ax在R上为增函数
∴命题p：a＞1
∵不等式x2－ax＋1＞0在R上恒成立，
∴应满足Δ＝a2－4＜0，即0＜a＜2，
∴命题q：0＜a＜2.
由p∨q为真命题，p∧q为假命题得p、q一真一假．
①当p真、q假时，∴a≥2；
②当p假，q真时，∴0＜a≤1.
综上知，a的取值范围为{a|a≥2或0＜a≤1}．
命题“p∧q”“p∨q”“綈p”真假应用的两个过程：
(1)由命题“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假推出p和q的真假，其结论如下：
①若“p∧q”为真，则p和q均为真；若“p∧q”为假，则p和q至少有一个为假；
②若“p∨q”为真，则p和q至少有一个为真；若“p∨q”为假，则p和q都为假；
③命题p和命题綈p真假相反．
(2)由p和q真假转化为相应的数学问题，再结合正确的逻辑推理方法求得结论．
(2013·湛江高二检测)已知：p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．
【解】 p：解得m＞2.
q：Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0，
解得1＜m＜3.
∵p或q为真，p且q为假．
∴p为真，q为假，或p为假，q为真，
即或
所以m的取值范围为{m|m≥3或1＜m≤2}.
(对应学生用书第12页)
混淆命题的否定与否命题致误
写出命题：“若x2－x－2≠0，则x＝－1且x＝2”的否定．
【错解】 若x2－x－2＝0，则x≠－1或x≠2.
【错因分析】 本题误将命题的否定写成了命题的否命题．
【防范措施】 命题的否定是将命题的结论进行否定，而否命题则是将原命题的条件与结论都分别否定，书写时一定要区分开．
【正解】 若x2－x－2≠0，则x≠－1或x≠2
1．对逻辑联结词“且”、“或”、“非”的理解可以类比集合部分所学的“交集”“并集”“补集”；也可以联系电学中的“两个开关串联”“两个开关并联”“一个开关的开和关”．
2．判断含逻辑联结词的命题的真假步骤：
①分析命题的构成形式；
②判断每个简单命题的真假；
③根据真值表判断含逻辑联结词的命题的真假．
3．命题的“否定”和它的“否命题”是两个不同的概念．从结构上看，一个命题的否定只对结论一次性否定，而它的否命题要对条件和结论都否定，即两次否定；从真假关系上看，一个命题和它的否定命题的真假性一定相反，而一个命题和它的否命题之间的真假没有任何关系．
(对应学生用书第12页)
1．命题“2 013≥2 012”使用逻辑联结词的情况是( )
A．使用了逻辑联结词“或”
B．使用了逻辑联结词“且”
C．使用了逻辑联结词“非”
D．以上都不对
【解析】 符号“≥”读作大于或等于，使用了逻辑联结词“或”．
【答案】 A
2．已知命题p：5≤5，q：5＞6.则下列说法正确的是
( )
A．p∧q为真，p∨q为真，綈p为真
B．p∧q为假，p∨q为假，綈p为假
C．p∧q为假，p∨q为真，綈p为假
D．p∧q为真，p∨q为真，綈p为假
【解析】 易知p为真命题，q为假命题，由真值表可得：p∧q为假，p∨q为真，綈p为假．
【答案】 C
3．若命题p：矩形的四个角都是直角，则綈p为：______.
【答案】 矩形的四个角不都是直角
4．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z，若p∧q和綈q都是假命题，求x的取值集合．
【解】 ∵綈q是假命题，∴q为真命题．
又p∧q为假命题．∴p为假命题．
因此x2－x＜6且x∈Z.
解之得－2＜x＜3且x∈Z.
故x＝－1,0,1,2.所以x取值的集合是{－1,0,1,2}.
一、选择题
1．(2013·济南高二检测)若命题p：x∈A∩B，则“綈p”为( )
A．x∈A且x?B B．x?A或x?B
C．x?A且x?B D．x∈A∪B
【解析】 p：x∈A∩B即x∈A且x∈B.故綈p为：x?A或x?B.
【答案】 B
2．已知命题p，q，则命题“p或q为真”是命题“q且p为真”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 p或q为真命题?/p且q为真命题，而p且q为真命题?p或q为真命题．
【答案】 B
3．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是( )
A．(綈p)∨q B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)
【解析】 不难判断出命题p为真命题，而命题q是假命题，结合选项，只有“(綈p)∨(綈q)”为真命题．
【答案】 D
4．下列判断错误的是( )
A．命题“p且q”的否定是“綈p或綈q”
B．|a|＜1且|b|＜2是|a＋b|＜3的充要条件
C．x＝1是x2－3x＋2＝0的充分不必要条件
D．命题p：若M∪N＝M(M，N为两个集合)，则N?M，命题q：5?{2,3}，则命题“p且q”为真
【解析】 A正确；当a＝5，b＝－4时，有|a＋b|＜3?/|a|＜1且|b|＜2，故B错误，x＝1时，x2－3x＋2＝0，反之不成立，C正确；对于D：p为真命题，q也为真命题；故“p且q”为真，D对．
【答案】 B
5．(2013·临沂高二检测)p：点P在直线y＝2x－3上；q：点P在曲线y＝－x2上，则使“p∧q”为真命题的一个点P(x，y)是( )
A．(0，－3) B．(1,2)
C．(1，－1) D．(－1,1)
【解析】 要使“p∧q”为真命题，须满足p为真命题，q为真命题，即点p(x、y)即在直线上，也在曲线上，只有C满足．
【答案】 C
二、填空题
6．下列命题
①命题“－1是偶数或奇数”；
②命题“属于集合Q，也属于集合R”；
③命题“A?A∪B”．
其中，真命题为________．
【解析】 ①∵－1为奇数，∴为真命题；②为无理数，?Q，为假命题；③∵A?(A∪B)，∴为假命题．
【答案】 ①
7．设命题p：2x＋y＝3，q：x－y＝6，若p∧q为真命题，则x＝________，y＝________.
【解析】 由题意有解得
【答案】 3 －3
8．若“x∈[2,5]或x∈(－x,1)∪(4，＋∞)”是假命题，则x的取值范围是________．
【解析】 ∵x∈[2,5]或x∈(－∞，1)∪[4，＋∞)，故x∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于该命题为假命题，所以1≤x＜2，即x∈[1,2)．
【答案】 [1,2)
三、解答题
9．分别指出下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的命题的真假．
(1)命题p：正方形的两条对角线互相垂直，命题q：正方形的两条对角线相等；
(2)命题p：“x2－3x－4＝0”是“x＝4”的必要不充分条件；
命题q：若函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于y轴对称，则φ＝.
【解】 (1)因为p、q均为真命题，
∴p∧q，p∨q为真，綈p为假命题．
(2)由x2－3x－4＝0，得x＝4或x＝－1.
∴命题p是真命题，
又函数f(x)的图象关于y轴对称，
∴φ＝kπ＋(k∈Z)，则命题q是假命题．
由于p真，q假，
∴綈p、p∧q为假命题，p∨q为真命题．
10．已知a＞0且a≠1，设命题p：函数y＝loga(x－1)在(1，＋∞)上单调递减，命题q：曲线y＝x2＋(a－2)x＋4与x轴交于不同的两点．若“綈p且q”为真命题，求实数a的取值范围．
【解】 由函数y＝loga(x－1)在(1，＋∞)上单调递减，知0＜a＜1.
若曲线y＝x2＋(a－2)x＋4与x轴交于不同的两点，
则(a－2)2－16＞0，
即a＜－2或a＞6.
又a＞0且a≠1，∴a＞6.
又因为“綈p且q”为真命题，所以p为假命题，q为真命题，于是有所以a＞6.
因此，所求实数a的取值范围是(6，＋∞)．
11．已知m＞0，p：(x＋2)(x－6)≤0，q：2－m≤x≤2＋m.
(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
(2)若m＝5，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围．
【解】 p：－2≤x≤6，q：2－m≤x≤2＋m(m＞0)．
(1)∵p是q的充分条件
∴解之得m≥4.
故实数m的取值范围是[4，＋∞)．
(2)当m＝5时，q：－3≤x≤7.
∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，
∴p、q一真一假，
∴－3≤x＜－2或6＜x≤7.
因此，实数x的取值范围是[－3，－2)∪(6,7].
(教师用书独具)
给出下列三个不等式：①|x－1|＋|x＋4|＜a；②(a－3)x2＋(a－2)x－1＞0；③a＞x2＋.若其中至多有两个不等式的解集为空集，求实数a的取值范围．
【解】 对于 ①，因为|x－1|＋|x＋4|≥|(x－1)－(x＋4)|＝5，
所以当不等式|x－1|＋|x＋4|＜a的解集为空集时，实数a的取值范围是a≤5.
对于②，当a＝3时，不等式的解集为{x|x＞1}，不是空集；
当a≠3时，要使不等式(a－3)x2＋(a－2)x－1＞0的解集为空集，则解得－2≤a≤2.
对于③，因为x2＋≥2＝2，
当且仅当x2＝，即x＝±1时取等号，
所以不等式a＞x2＋的解集为空集时，a≤2.
因此，当三个不等式的解集都为空集时，－2≤a≤2.
所以要使三个不等式中至多有两个不等式的解集为空集，
则实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
已知方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，求a的取值范围．
【解】 假设三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0都没有实数根，
则
即
∴a≤－，或a≥－1.
1.4全称量词与存在量词
1．4.1 全称量词
1．4.2 存在量词
1．4.3 含有一个量词的命题的否定
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
①通过教学实例，理解全称量词和存在量词的含义；能够用全称量词符号表示全称命题，能用存在量词符号表述特称命题；会判断全称命题和特称命题的真假；
②通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．
2．过程与方法
通过观察命题、科学猜想以及通过参与过程的归纳和问题的演绎，培养学生的观察能力和概括能力；通过问题的辨析和探究，培养学生良好的学习习惯和反思意识．
3．情感、态度与价值观
通过引导学生观察、发现、合作与交流，让学生经历知识的形成过程，增加直接经验基础，增强学生学习的成功感，激发学生学习数学的兴趣．
●重点、难点
重点：理解全称量词与存在量词的意义，正确地对含有一个量词的命题进行否定．
难点：判断全称命题和特称命题的真假，正确地对含有一个量词的命题进行否定．
重、难点突破方法：通过设置大量丰富的例子，引导学生观察、发现、合作与交流，认识全称命题与存在性命题之间有可能转化，它们之间并不是对立的关系；对实例分析要恰当到位，务必理清各类型命题形式结构、性质关系，才能真正准确地完整地表达出命题的否定．
(教师用书独具)
●教学建议
结合本节课的特点，应通过实例层层深入、逐步推进，讲解时切忌急躁，真正做到让学生在观察、发现、合作与交流中感受知识，在教师的引导释疑下学得知识，并在训练中得以熟练．
●教学流程
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(对应学生用书第13页)
课标解读
1.理解全称量词与存在量词的含义，会判断全称命题和特称命题的真假．(重点)
2.能用数学符号准确表示含有一个量词的命题的否定(难点、易错点)
全称量词与全称命题
【问题导思】
命题“任意三角形的内角和为180°”中使用了什么量词？你还能举出几个含有这样量词的命题吗？
【提示】 使用了量词“任意”，能，任意的正方形都是平行四边形，对任意的x∈R，x2－2x＋2＞0恒成立等．
1．全称量词
短语：“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．
2．全称命题
含有全称量词的命题叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．
存在量词与特称命题
【问题导思】
命题“存在实数a，使关于x的方程x2＋x－a＝0有实根”中使用了什么量词？你还能举出几个含有此量词的命题吗？
【提示】 使用了量词“存在”，能，存在整数n使n能被13整除，存在实数x，使x2－2x－1＞0成立等．
1．存在量词
短语：“存在一个”“至少有一个”在逻辑中叫做存在量词．
2．特称命题
含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为?x0∈M，p(x0)读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”．
含有一个量词的命题的否定
【问题导思】
1．写出下列命题的否定：
①所有的矩形都是平行四边形
②有些平行四边形是菱形
【提示】 ①并非所有的矩形都是平行四边形．
②每一个平行四边形都不是菱形．
2．对①的否定能否写成：所有的矩形都不是平行四边形？
【提示】 不能．
3．对②的否定能否写成：有些平行四边形不是菱形？
【提示】 不能.
命题
命题的表述
全称命题p
?x∈M，p(x)
全称命题的否定綈p
?x0∈M，綈p(x0)
特称命题p
?x0∈M，p(x0)
特称命题的否定綈p
?x∈M，綈p(x)
(对应学生用书第14页)
全称命题与特称命题的判定
判断下列语句是全称命题，还是特称命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；
(3)对任意角a，b∈R，若a＞b，则＜.
(4)有一个函数，既是奇函数，又是偶函数．
【思路探究】 (1)以上语句都是命题吗？(2)每个语句中含有全称量词还是存在量词？(3)若没有这些量词，根据语句的含义，你能否把量词补上？
【自主解答】 (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，是全称命题．
(2)含有存在量词“有些”，故是特称命题．
(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．
(4)含有存在量词“有一个”，是特称命题．
1．判断一个命题是否为全称命题或特称命题，关键看命题中是否含有全称量词或存在量词．
2．要注意有些全称命题并不含全称量词(如命题(1))，这时要根据命题涉及的意义去添补量词再判断．对于同一个全称命题或特称命题的表述方法可能不同．
用量词符号“?”“?”表示下列命题．
(1)实数都能写成小数形式；
(2)有一个实数α，tan α无意义；
(3)指数函数都是单调函数．
【解】 (1)?x∈R，x能写成小数形式；
(2)?α∈R，tan α没有意义；
(3)?f(x)∈{f(x)|f(x)是指数函数}，f(x)是单调函数．
全称命题与特称命题的真假判断
判断下列命题的真假：
(1)任意两向量a，b，若a·b＞0，则a，b的夹角为锐角；
(2)?x，y为正实数，使x2＋y2＝0；
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(4)存在一个函数，既是奇函数又是偶函数．
【思路探究】 (1)以上命题是全称命题还是特称命题？(2)全称命题怎样判断真假？特称命题呢？
【自主解答】 (1)∵a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＞0，
∴cos〈a，b〉＞0.
又0≤〈a，b〉≤π，∴0≤〈a，b〉＜，即a，b的夹角为零或锐角．故它是假命题．
(2)∵x2＋y2＝0时，x＝y＝0，∴不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题．
(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．
(4)函数f(x)＝0既是奇函数又是偶函数，故它是真命题．
全称命题与特称命题真假的判断方法：
1．对于全称命题“?x∈M，p(x)”，要判断它为真，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断它为假，只需在M中找到一个x，使p(x)不成立，即“?x0∈M，p(x0)不成立”．
2．对于特称命题“?x0∈M，p(x0)”，要判断它为真，只需在M中找到x，使p(x)成立，要判断它为假，需要判断“?x∈M，p(x)不成立”．
判断下列命题的真假：
(1)?x∈R，x2＋2x＋1＞0；
(2)?x0∈R，|x0|≤0；
(3)?x∈N*，log2x＞0；
(4)?x0∈R，cos x0＝.
【解】 (1)∵当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，
∴原命题是假命题．
(2)∵当x0＝0时，|x0|≤0成立，
∴原命题是真命题．
(3)∵当x＝1时，log2x＝0，
∴原命题是假命题．
(4)∵当x∈R时，cos x∈[－1,1]，而＞1，
∴不存在x0∈R，
使cos x0＝，
∴原命题是假命题.
含有一个量词的命题的否定
写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)q: 存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0；
(3)r：等圆的面积相等，周长相等；
(4)s：对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.
【思路探究】 (1)这些命题是特称命题还是全称命题；(2)如何写出全称命题(或特称命题)的否定并判断真假？
【自主解答】 (1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是綈p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”．
注意到当Δ＝1＋4m＜0时，即m＜－时，一元二次方程没有实数根，所以綈p是真命题．
(2)这一命题的否定形式是綈q：对所有实数x，都有x2＋x＋1＞0.利用配方法可以证得綈q是一个真命题．(3)这一命题的否定形式是綈r：“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”. 由平面几何知识知綈r是一个假命题．
(4)这一命题的否定形式是綈s：“存在α∈R，使sin2α＋cos2α≠1”．由于命题s是真命题，所以綈s是假命题．
1．对含有一个量词的命题进行否定时要先弄清是全称命题还是特称命题，再写其否定：
(1)全称命题的形式是：“?x∈M，p(x)”，其否定的形式应该是既对全称量词否定，又对命题p(x)进行否定，即“?x∈M，綈p(x)”．所以全称命题的否定是特称命题．
(2)特称命题的形式是：“?x∈M，p(x)”，其否定形式是，对存在量词进行否定，变为全称量词，再对命题p(x)进行否定，即“?x∈M，綈p(x)”，所以特称命题的否定是全称命题．
2．对“含有一个量词的命题p的否定”的真假判断一般有两种思路：一是直接判断綈p的真假，二是用p与綈p的真假性相反来判断．
写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：?x∈R，x2－x＋≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)s：至少有一个实数x0，使x＋1＝0.
【解】 (1)綈p：?x0∈R，x－x0＋＜0，假命题．
因为?x∈R，x2－x＋＝(x－)2≥0恒成立．
所以p为真命题，綈p为假命题．
(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．
(3)綈s：?x∈R，x3＋1≠0，假命题．
因为x＝－1时，x3＋1＝0.
(对应学生用书第15页)
忽略隐含量词致误
写出下列命题的否定．
(1)p：若2x＞4，则x＞2；
(2)p：可以被5整除的数，末位是0；
(3)p：能被8整除的数能被4整除；
【错解】 (1)綈p：若2x＞4，则x≤2.
(2)綈p：可以被5整除的数，末位不是0.
(3)綈p：能被8整除的数不能被4整除．
【错因分析】 由于有些全称命题或特称命题隐含了量词，从而导致未变化量词而直接否定结论出现错误．
【防范措施】 由于全称量词表示主语的全部外延，往往可以省略不写，这几个命题都是缺省全称量词的全称命题，因此我们在写这类命题的否定时，必须找出其省略的全称量词，写成p：“?x∈M，p(x)”的形式，然后再把它的否定写成綈p：“?x0∈M，綈p(x0)”的形式，要避免忽略命题中隐含的量词，同时应把握每一个命题的含义，写出否定形式后最好结合它们的真假性(一真一假)进行验证．
【正解】 (1)綈p：至少存在一个x0，若2x0＞4，则x0≤2.
(2)綈p：有些可以被5整除的数，末位不是0.
(3)綈p: 有些能被8整除的数不能被4整除．
1．判断一个命题是否为全称命题或特称命题，就是判断这个命题中是否含有全称量词或存在量词，有些命题的量词可能隐含在命题之中，这时要根据语义判断形式，如大多数公理、定理的简述都是一般性结论，它们大多数省略了全称量词，但仍应看作全称命题．
2．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，在写命题的否定时，一要注意量词的改写，二要注意结论的否定．另外，要注意原命题中是否有省略的量词，如是这种情况，应将量词补充后再写它的否定.
(对应学生用书第16页)
1．下列命题为特称命题的是( )
A．偶函数的图象关于y轴对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在实数大于等于3
【解析】 D选项含有存在量词，是特称命题，其他不是．
【答案】 D
2．下列命题中全称命题的个数是( )
①任意一个自然数都是正整数；
②所有的素数都是奇数；
③有的等差数列也是等比数列；
④三角形的内角和是180°.
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】 命题①②含有全称量词，命题③含有存在量词，为特称命题，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有三个全称命题．
【答案】 D
3．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是( )
A．不存在x0∈R,2x0＞0
B．存在x0∈R,2x0≥0
C．对任意的x∈R,2x≤0
D．对任意的x∈R,2x＞0
【解析】 命题的否定是：对任意x∈R,2x＞0.
【答案】 D
4．判断下列命题的真假：
(1)?x0∈R，使3x0－4＝1
(2)?x∈R,2x＋1都为奇数．
【解】 (1)真命题，(2)假命题.
一、选择题
1．下列命题中，是真命题且是全称命题的是( )
A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0
B．菱形的两条对角线相等
C．?x∈R，＝x
D．对数函数在定义域上是单调函数
【解析】 C是特称命题，A、B都是全称命题，但为假命题，只有D既为全称命题又是真命题．
【答案】 D
2．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( )
A．存在一个α，使tan(90°－α)＝tan α
B．存在实数x0，使sin x0＝
C．对一切α，sin(180°－α)＝sin α
D．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
【解析】 C、D是全称命题，A、B是特称命题，由于|sin x|≤1，故sin x0＝＞1不成立，B为假命题，对于A，当α＝45°时，tan(90°－α)＝tan α成立．
【答案】 A
3．(2013·合肥高二检测)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
【解析】 原命题为全称命题，其否定应为特称命题，且结论否定．
【答案】 D
4．(2013·洋浦高二检测)下列命题中真命题为( )
A．若sin A＝sin B，则∠A＝∠B
B．?x∈R，都有x2＋1＞0
C．若lg x2＝0，则x＝1
D．?x∈Z，使1＜4x＜3
【解析】 若sin A＝sin B，不一定有∠A＝∠B，A不正确，B正确；若lg x2＝0，则x2＝1，x＝±1，C不正确，D不正确．
【答案】 B
5．(2012·福建高考)下列命题中，真命题是( )
A．?x0∈R，ex0≤0
B．?x∈R,2x>x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．a>1，b>1是ab>1的充分条件
【解析】 对于?x∈R，都有ex>0，故选项A是假命题；当x＝2时，2x＝x2，故选项B是假命题；当＝－1时，有a＋b＝0，但当a＋b＝0时，如a＝0，b＝0时，无意义，故选项C是假命题；当a>1，b>1时，必有ab>1，但当ab>1时，未必有a>1，b>1，如当a＝－1，b＝－2时，ab>1，但a不大于1，b不大于1，故a>1，b>1是ab>1的充分条件，选项D是真命题．
【答案】 D
二、填空题
6．给出下列四个命题：
①a⊥b?a·b＝0；②矩形都不是梯形；
③?x，y∈R，x2＋y2≤1；
④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.其中全称命题是________．
【解析】 在②、④中含有全称量词“都”“任意”，为全称命题．③为特称命题．又①中的实质是：对任意a，b有a·b＝0?a⊥b，故①②④为全称命题．
【答案】 ①②④
7．已知四个命题分别为：①?x∈R,2x－1＞0；②?x∈N*，(x－1)2＞0；③?x∈R，lg x＜1；④?x∈R，tan x＝2.
其中是假命题的是________．
【解析】 由函数的性质，显然①③④是真命题．
对于②，当x＝1时，(x－1)2＝0.
∴②是假命题．
【答案】 ②
8．(2013·青岛高二检测)已知命题：“?x0∈[1,2]，使x＋2x0＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是________．
【解析】 当1≤x≤2时，x2＋2x＝(x＋1)2－1是增函数．
∴3≤x2＋2x≤8，
如果“?x∈[1,2]，使x＋2x0＋a≥0”为真命题．
∴a＋8≥0，则a≥－8.
故实数a的取值范围是[－8，＋∞)．
【答案】 [－8，＋∞)
三、解答题
9．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
(1)三角形的内角和为180°；
(2)每个二次函数的图象都开口向下；
(3)存在一个四边形不是平行四边形．
【解】 (1)是全称命题且为真命题．
命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°.
(2)是全称命题且为假命题．
命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．
(3)是特称命题且为真命题．
命题的否定：所有的四边形都是平行四边形．
10．试判断下列命题的真假：
p1：?x∈R，sin2＋cos2＝；
p2：?x，y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin y；
p3：?x∈[0，π], ＝sin x；
p4：sin x＝cos y?x＋y＝.
【解】 因为sin2＋cos2＝1，故p1是假命题；当x＝y时，p2成立，故p2是真命题；＝＝|sin x|，因为x∈[0，π]，所以|sin x|＝sin x，p3是真命题；当x＝，y＝时，有sin x＝cos y，但x＋y＞，故p4是假命题，p2，p3是真命题，p1，p4是假命题．
11．已知f(x)＝3ax2＋6x－1(a∈R)．
(1)当a＝－3时，求证对任意x∈R，都有f(x)≤0；
(2)如果对任意x∈R，不等式f(x)≤4x恒成立，求实数a的取值范围．
【解】 (1)证明：当a＝－3时，f(x)＝－9x2＋6x－1，令－9x2＋6x－1＝0，则Δ＝36－36＝0，∴对任意x∈R，都有f(x)≤0.
(2)解：∵对任意x∈R，有f(x)≤4x，∴3ax2＋2x－1≤0.
∴∴a≤－，即a的取值范围是(－∞，－].
(教师用书独具)
已知函数f(x)对一切实数x，y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0.
(1)求f(0)的值；
(2)当f(x)＋2＞logax对于x∈(0，)恒成立时，求a的取值范围．
【解】 (1)由已知等式f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x，
令x＝1，y＝0，
得f(1)－f(0)＝2，又因为f(1)＝0，
所以f(0)＝－2.
(2)由(1)知f(0)＝－2，
所以f(x)＋2＝f(x)－f(0)＝f(x＋0)－f(0)＝(x＋1)·x.
因为x∈(0，)，所以[f(x)＋2]∈(0，)．
要使x∈(0，)时，f(x)＋2＜logax恒成立，显然当a＞1时不可能，
所以解得≤a＜1.
(2013·南通高二检测)已知f(x)＝x2，g(x)＝()x－m，若对?x1∈[－1,3]，?x2∈[0,2]，有f(x1)≥g(x2)，求实数m的取值范围．
【解】 根据题意知，f(x1)min≥g(x2)min，
当x1∈[－1,3]时，f(x1)min＝0.
当x2∈[0,2]，g(x2)＝()x2－m的最小值为g(2)＝－m.
因此0≥－m，解之得m≥.
故实数m的取值范围是[，＋∞).
新课标数 学选修1－1
第一章 常用逻辑用语
1．1命题及其关系
1．1.1 命题
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式．
2．过程与方法
多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣．
●重点、难点
重点：命题的概念、命题的构成．
难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假．
(教师用书独具)
●教学建议
命题的概念在初中已经学习过，可以通过回顾初中知识引入，讲清命题概念中的两个问题，判断是否为陈述句，能否判断真假；重点放在命题的形式和判断命题真假的教学中，基于教材内容简单且以前曾经接触过，可以采用提问式、讨论式的教学方法，让学生在讨论、回答问题的过程中学习知识，增长技能，进而突破重难点．
●教学流程
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(对应学生用书第1页)
课标解读
1.了解命题的概念及构成．(重点)
2．会判断命题的真假．(难点、易错点)
命题的概念
【问题导思】
观察下列实例：
①一条直线l，不是与平面α平行就是相交；
②4是集合{1,2,3,4}的元素；
③若x∈R，方程x2－x＋2＝0无实根；
④作△ABC∽△A′B′C′
上述语句中，哪些能判断真假？
【提示】 ①、②、③、④是祈使句不能判断真假．
1．定义
在数学中，把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
2．分类
①真命题：判断为真的语句叫做真命题；②假命题：判断为假的语句叫做假命题.
命题的形式
【问题导思】
1．“同位角相等”是命题吗？如果是命题，是真命题还是假命题？
【提示】 是命题，为假命题．
2．你能把“同位角相等”写成“若……，则……”的形式吗？
【提示】 若两个角为同位角，则这两个角相等．
命题的形式：“若p，则q”，其中命题的条件是p，结论是q.
(对应学生用书第1页)
命题的判断
判断下列语句是否为命题，并说明理由．
(1)x－2＞0；
(2)梯形是不是平面图形呢？
(3)若a与b是无理数，则ab是无理数；
(4)这盆花长得太好了！
(5)若x＜2，则x＜3.
【思路探究】 (1)这些语句是陈述句吗？(2)你能判断它们的真假吗？
【自主解答】 (1)不是命题，因为变量x的值没有给定，不能判断真假．
(2)不是命题，疑问句不是命题．
(3)是命题，因为此语句是陈述句且是假的．(反例a＝b＝)
(4)不是命题，感叹句不是命题．
(5)是命题，因为此语句是陈述句且是真的．
判断一个语句是否为命题的步骤：
(1)语句格式是否为陈述句，只有陈述句才有可能是命题．
(2)该语句能否判断真假，语句叙述的内容是否与客观实际相符，是否符合已学过的公理、定理，是明确的，不能模棱两可．
判断下列语句是否为命题，并说明理由．
(1)一条直线l，与平面α不是平行就是相交；
(2)若xy＝1，则x，y互为倒数；
(3)作△ABC∽△A′B′C′.
【解】 (1)是命题．直线l与平面α有相交、平行、l在平面α内三种关系，为假．
(2)是命题．因xy＝1时，x，y互为倒数，为真．
(3)不是命题，祈使句不是命题．
命题真假的判定
判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．
(1)函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；
(2)若x＝4，则2x＋1＜0；
(3)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；
(4)求证：x∈R时，方程x2－x＋2＝0无实根．
【思路探究】
【自主解答】 (1)(2)(3)是命题，(4)不是命题．
命题(1)中，y＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，显然其最小正周期为π，为真命题．
命题(2)中，当x＝4,2x＋1＞0，是假命题．
命题(3)中，当等比数列的首项a1＜0，公比q＞1时，该数列为递减数列，是假命题．
(4)是一个祈使句，没有作出判断，不是命题．
1．真假命题的判定方法：
(1)真命题的判定方法：
真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．
(2)假命题的判定方法：
通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．
2．解决本类问题的难点是对相关知识的理解与掌握．
在本例中，把不是命题的改为命题后，再把假命题改为真命题．
【解】 (2)是假命题，改为真命题为：若x＝4时，则2x＋1＞0.
(3)是假命题，改为真命题为：一个等比数列的公比大于1，首项大于零时，该数列为递增数列．
(4)不是命题，改为真命题为：若x∈R，则方程x2－x＋2＝0无实根.
命题的形式及改写
把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)两个周长相等的三角形面积相等；
(2)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；
(3)当m＞1时，x2－2x＋m＝0无实根；
(4)当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0.
【思路探究】 (1)这些命题的条件与结论分别是什么？
(2)第2小题中大前提“已知x、y为正整数”该怎样处理？
【自主解答】 (1)若两个三角形周长相等，则这两个三角形面积相等，假命题；
(2)已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，假命题；
(3)若m＞1，则x2－2x＋m＝0无实根，真命题；
(4)若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0，假命题．
1．解决本例问题的关键是找准命题的条件和结论，进而化成“若p，则q”的形式．
2．对于命题的大前提，应当写在前面，不要写在条件中；对于改写时语句不通顺的情况，要适当补充使语句顺畅．
把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)奇数不能被2整除；
(2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；
(3)两个相似三角形是全等三角形；
(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．
【解】 (1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题；
(2)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1，是真命题；
(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题．
(4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题．
(对应学生用书第4页)
因知识欠缺，导致对命题真假判断失误
判断下列命题的真假．
(1)若a＞b，则＜；
(2)x＝1是方程(x－1)(x－2)＝0的一个根．
【错解】 (1)真命题． (2)假命题．
【错因分析】 (1)误认为“两数比较大小时，大数的倒数反而小”，而忽视a、b的条件，当a＞0，b＜0时，a＞b但＞.
(2)因为方程的根为x＝1或x＝2，解题时误认为x＝1不全面，而没有分析清逻辑关系．
【防范措施】 平时学习时一定要对每一个基础知识理解透彻．
【正解】 (1)假命题 (2)真命题
1．判断一个语句是否是命题要注意两点：
(1)是不是陈述句；
(2)能否判断真假．
2．命题的真假判断要结合已有知识，进行严格的逻辑推理，对于描述较为简洁的命题可以分清条件和结论后改写成“若p，则q”的形式再加以判断.
(对应学生用书第4页)
1．下列语句中是命题的是( )
A.是无限不循环小数 B．3x≤5
C．什么是“温室效应” D．《非常学案》真好呀！
【解析】 疑问句和祈使句不是命题，C、D不是命题，对于B无法判断真假，只有A是命题．
【答案】 A
2．下列命题中是假命题的是( )
A．5是15的约数 B．对任意实数x，有x2＜0
C．对顶角相等 D．0不是奇数
【解析】 对任意实数x，有x2≥0，所以B为假命题．A、C、D均为真命题．
【答案】 B
3．把命题“垂直于同一平面的两条直线互相平行”改写成“若p，则q”的形式为________．
【答案】 若两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行
4．判断下列语句是否为命题，若是命题，判断其真假．
(1)求证：是无理数．
(2)若G2＝ab，则a、G、b成等比数列．
(3)末位数字是0的整数能被5整除．
(4)你是高二的学生吗？
【解】 (1)不是命题，(2)假命题，(3)真命题，(4)不是命题.
一、选择题
1．(2013·郑州高二检测)在空间，下列命题正确的是( )
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
【解析】 A中平行投影可能平行，A为假命题．B、C中的两个平面可以平行或相交，为假命题．由线面垂直的性质，D为真命题．
【答案】 D
2．命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是( )
A．这个数能被2整除
B．这个数能被3整除
C．这个数既能被2整除，也能被3整除
D．这个数是6的倍数
【解析】 “若p，则q”的形式：若一个数是6的倍数，则这个数既能被2整除，也能被3整除．
【答案】 C
3．下列命题中，是真命题的是( )
A．{x∈R|x2＋1＝0}不是空集
B．若x2＝1，则x＝1
C．空集是任何集合的真子集
D．若＝，则x＝y
【解析】 A中方程在实数范围内无解，故为假命题；B中，若x2＝1，则x＝±1，也为假命题；因为空集是任何非空集合的真子集，故C为假命题，D为真．
【答案】 D
4．给出命题：方程x2＋ax＋1＝0没有实数根，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )
A．4 B．2 C．0 D．－3
【解析】 方程无实根应满足Δ＝a2－4＜0即a2＜4，故当a＝0时适合条件．
【答案】 C
5．有下列命题：
①若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；②若a＞b，则a＋c＞b＋c；③矩形的对角线互相垂直．
其中真命题共有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解析】 ①由x·y＝0得到x＝0或y＝0，
所以|x|＋|y|＝0不正确，是假命题；
②当a＞b时，有a＋c＞b＋c成立，正确，所以是真命题；
③矩形的对角线不一定垂直，不正确．是假命题．
【答案】 B
二、填空题
6．把“正弦函数是周期函数”写成“若p，则q”的形式是________．
【答案】 若函数为正弦函数，则此函数是周期函数．
7．如果命题“若x∈A，则x＋≥2”为真命题，则集合A可以是________．(写出一个即可)
【解析】 当x＞0时，有x＋≥2，故A可以为{x|x＞0}．
【答案】 {x|x＞0}
8．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数，②平行四边形是梯形，③若a＞b，则ac2＞bc2，④若x、y互为相反数，则x＋y＝0，其中真命题为________．
【解析】 ①是真命题，②平行四边形不是梯形，假命题，③若a＞b，则ac2≥bc2，故为假命题，④为真命题．
【答案】 ①④
三、解答题
9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假：
(1)实数的平方是非负数；
(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；
(3)当ac＞bc时，a＞b；
(4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【解】 (1)若一个数是实数，则它的平方是非负数，真命题．
(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，假命题．
(3)若ac＞bc，则a＞b，假命题．
(4)若一个点是一个角的平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等，真命题．
10．判断下列命题的真假并说明理由．
(1)合数一定是偶数；
(2)若ab＞0，且a＋b＞0，则a＞0且b＞0；
(3)若m＞，则方程mx2－x＋1＝0无实根．
【解】 (1)假命题．例如9是合数，但不是偶数．
(2)真命题．因为ab＞0，则a、b同号．
又a＋b＞0故a、b不能同负，
故a、b只能同正，即a＞0且b＞0.
(3)真命题．因为当m＞时，Δ＝1－4m＜0；
∴方程无实根．
11．若命题“ax2－2ax－3＞0不成立”是真命题，求实数a的取值范围．
【解】 因为ax2－2ax－3＞0不成立，
所以ax2－2ax－3≤0恒成立．
(1)当a＝0时，－3≤0成立；
(2)当a≠0时，应满足
解之得－3≤a＜0.
由(1)(2)，得a的取值范围为[－3,0]．
(教师用书独具)
下列四个命题：
①若向量a，b满足a·b＜0，则a与b的夹角为钝角；
②已知集合A＝{正四棱柱}，B＝{长方体}，则A∩B＝B；
③在平面直角坐标系内，点M(|a|，|a－3|)与N(cos α，sin α)在直线x＋y－2＝0的异侧；
④规定下式对任意a，b，c，d都成立．
2＝·＝，则2＝.
其中真命题是________(将你认为正确的命题序号都填上)．
【解析】 当a与b的夹角为π时，有a·b＜0，但此时的夹角不为钝角，所以①是错误的；因为正四棱柱的底面是正方形，所以A∩B＝A，故②也是错误的；因为|a|＋|a－3|－2≥|a－a＋3|－2＝1＞0，cos α＋sin α－2＝sin－2＜0，所以点M，N在直线x＋y－2＝0的异侧，故③是真命题；根据题意有
2＝·
＝＝，
所以④是真命题，故填③④.
【答案】 ③④
把下面命题补充完整，使其成为一个真命题．
若函数f(x)＝3＋log2x(x＞0)的图象与g(x)的图象关于x轴对称，则g(x)＝________.
【解析】 设g(x)图象上任一点(x，y)，则它关于x轴的对称点为(x，－y)，此点在f(x)的图象上，故有：－y＝3＋log2x成立，即y＝－3－log2x(x＞0)．
【答案】 －3－log2x(x＞0)
命题关系及其真假判定
1.四种命题的写法
(1)对条件、结论不明显的命题，可以先将命题改写成“若p，则q”的形式后再进行转换．
(2)分清命题的条件和结论，然后进行互换和否定，即可得到原命题的逆命题、否命题和逆否命题．
2．四种命题真假的判断方法
因为互为逆否命题的真假等价，所以判断四个命题的真假，只需判断原命题与逆命题(或否命题)的真假即可．
已知下面四个命题：
①对于?x，若x－3＝0，则x－3≤0；
②“若a＜b，则ac2＜bc2”的否命题；
③命题“若非零向量a，b，a·b＝0，则a⊥b”的逆命题；
④已知p、q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“(綈p)∧(綈q)”为真命题．
其中所有真命题的序号是________．
【思路点拨】 对于②③注意四种命题及其关系，对于④涉及到含逻辑联结词的命题，要根据真值表与逻辑联结词的含义判断．
【解析】 ①∵x－3＝0?x－3≤0，∴为真命题．
②“若a＜b，则ac2＜bc2”的否命题是：
“若a≥b，则ac2≥bc2”，由不等式的性质知为真命题．
③逆命题：“若a⊥b，则a·b＝0”为真命题．
④由p∨q为假命题，∴p与q均为假命题．
∴綈p，綈q为真命题，一定有(綈p)∧(綈q)为真，故④为真命题．
综上知，命题①②③④均为真命题．
【答案】 ①②③④
已知命题p：?x0∈R，使sin x0＝，命题q：x2－2x＋3＜0的解集为?，下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是真命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是真命题．
其中正确的是( )
A．①③④ B．②③
C．③④ D．①②③④
【解析】 命题p：?x0∈R，使sin x0＝是假命题，命题q：x2－2x＋3＜0的解集是?是真命题，
则綈p为真命题，綈q为假命题．
∴“p∧q”是假命题，“p∧綈q”是假命题，“綈p∨q”与“綈p∨綈q”均为真命题．
因此③④正确．
【答案】 C
三种条件的判断及应用
1.充分条件与必要条件的判断方法
(1)直接利用定义判断：即若p?q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件. (条件与结论是相对的)
(2)利用等价命题的关系判断：p?q的等价命题是綈q?綈p，即若綈q?綈p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
2．充分条件、必要条件和充要条件的应用
此类问题是指属于已知条件是结论的充分不必要条件、必要不充分条件或者充要条件，来求某个字母的值或范围，涉及到的数学知识主要是不等式问题，根据相应知识列不等式(组)求解．
下列各小题中，p是q的充要条件的是( )
①p：m＜－2或m＞6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点；
②p：＝1；q：y＝f(x)为偶函数；
③p：cos α＝cos β；q：tan α＝tan β；
④p：A∩B＝A；q：?UB??UA；
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
【思路点拨】 把握充要条件的概念，会用反例来排除选项．
【解析】 对①，∵y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点，∴m2－4(m＋3)＞0，解得m＜－2或m＞6.
∴p是q的充要条件，排除选项B，C.
对于②，q：取f(x)＝x2在R上为偶函数，但在x＝0处没有意义，p是q的充分不必要条件，排除选项A.
【答案】 D
已知p：x2－8x－20＞0，q：x2－2x＋1－a2＞0，若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围．
【解】 A＝{x|x2－8x－20>0}＝{x|x<－2或x>10}，
B＝{x|x2－2x＋1－a2>0}＝{x|x<1－a或x>1＋a}．
由于p是q的充分而不必要条件，可知A?B.
从而或解得0故所求正实数a的取值范围为(0,3].
全称命题与特称命题
1.全称命题与特称命题真假的判断方法
(1)判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出反例．
(2)判断特称命题为真命题，需要举出正例，而判断特称命题为假命题时，要有严格的逻辑证明．
2．含有一个量词的命题否定的关注点
全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．否定时既要改写量词，又要否定结论．
判断下列命题是特称命题还是全称命题，用符号写出其否定并判断命题的否定的真假性．
(1)有一个实数α，sin2α＋cos2α≠1；
(2)任何一条直线都存在斜率；
(3)存在实数x，使得＝2.
【思路点拨】 首先找准量词判断是全称命题还是特称命题，写它们的否定时要注意量词的变化，真假判断可从原命题和原命题的否定两个角度择易处理．
【规范解答】 (1)特称命题，否定：?α∈R，sin2α＋cos2α＝1，真命题．
(2)全称命题，否定：?直线l，l没有斜率，真命题．
(3)特称命题，否定：?x∈R，≠2，真命题．
(2013·台州高二检测)下列命题中的假命题是( )
A．?x0∈R，lg x0＝0
B．?x0∈R，tan x0＝1
C．?x∈R，x3＞3
D．?x∈R,2x＞0
【解析】 ∵当x＝1时，lg 1＝0，∴A是真命题；
∵当x＝时，tan ＝1，∴B是真命题；
∵当x＜0时，x3＜0，∴C是假命题；
由指数函数的性质可知，对?x∈R,2x＞0成立，∴D是真命题．
【答案】 C
转化与化归思想
所谓转化与化归思想是指在研究和解决问题时，采用某种手段将问题通过变换、转化，进而使问题得到解决的一种解题策略．一般是将复杂的问题进行变换，转化为简单的问题，将较难的问题通过变换，转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题．
本章主要体现原命题与其逆否命题之间的转化、逻辑语言与一般数学语言的转化等．通过转化，使复杂问题简单化，抽象问题具体化．
设命题p：函数f(x)＝lg的定义域为R；命题q：不等式＜1＋ax对一切正实数均成立．如果命题“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．
【思路点拨】 由于“p或q”为真，“p且q”为假，可以得到p与q一真一假，再转化为集合间的关系求解结果．
【规范解答】 由ax2－x＋a＞0恒成立，得解得a＞2.
∵＜1＋ax对一切正实数均成立，令t＝＞1，则x＝，
∴2(t－1)＜a(t2－1)对一切t＞1均成立．
∴2＜a(t＋1)，∴a＞，∴a≥1.
∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p，q一真一假．若p真q假，则a＞2且a＜1，∴a值不存在．
若p假q真，则a≤2且a≥1，∴1≤a≤2.
故a的取值范围为1≤a≤2.
判断p：x≠2或y≠3是q：x＋y≠5的什么条件．
【解】 若p，则q的逆否命题是若綈q，则綈p.
由于綈q：x＋y＝5；綈p：x＝2且y＝3，
于是綈p?綈q，而綈q綈p.
故q?p，pq，即p是q成立的必要不充分条件．
课件24张PPT。命题关系及其真假判定 三种条件的判断及应用 全称命题与特称命题 转化与化归思想 课件46张PPT。教师用书独具演示演示结束命题的概念 判断真假 陈述句 判断为真 判断为假 命题的形式 p q 命题的判断 命题真假的判定 命题的形式及改写 课时作业（一）课件57张PPT。教师用书独具演示演示结束四种命题的概念 互逆命 题 互否命题 互为逆否命题 四种命题的关系 四种命题的真假关系 逆否命题 没有关系 四种命题的概念 四种命题真假的判断 等价命题的应用 课时作业（二）课件58张PPT。教师用书独具演示演示结束充分条件与必要条件 ? 充分 必要 充分 充要条件 p?q 充分必要条件 充分条件、必要条件、充要条件的判断 充分条件、必要条件、充要条件的应用 充要条件的证明 课时作业（三）课件58张PPT。教师用书独具演示演示结束“且”、“或”、“非” p∧q p且q p∨q p或q 綈p 非p p的否定 含有逻辑联结词的命题的真假 真命题 假命题 真命题 均是假命题 假命题 真命题 真 用逻辑联结词构造新命题 含有逻辑联结词的命题真假的判断 由含逻辑联结词的命题的真假求参数的取值范围课时作业（四）课件56张PPT。教师用书独具演示演示结束全称量词与全称命题 全称量词 全称量词 ?x∈M，p(x) 存在量词与特称命题 存在量 词 存在量词 ?x0∈M，p(x0) 存在 含有一个量词的命题的否定 全称命题与特称命题的判定 全称命题与特称命题的真假判断 含有一个量词的命题的否定 课时作业（五）综合检测(一)
第一章 常用逻辑用语
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列语句是命题的为( )
A．你到过北京吗？ B．对顶角相等
C．啊！我太高兴啦！ D．x2＋2x－1＞0
【解析】 A是疑问句，C是感叹句都不是命题，D不能判断真假，只有B是命题．
【答案】 B
2．下列说法正确的是( )
A．一个命题的逆命题为真，则它的否命题为假
B．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题为真
C．一个命题的逆否命题为真，则它的否命题为真
D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题为真
【解析】 一个命题的逆命题与否命题是互为逆否命题，它们同真同假，只有D正确．
【答案】 D
3．命题“?x0∈R，x－2x0＋1＜0”的否定是( )
A．?x0∈R，x－2x0＋1≥0
B．?x0∈R，x－2x0＋1＞0
C．?x∈R，x2－2x＋1≥0
D．?x∈R，x2－2x＋1＜0
【解析】 特称命题的否定是全称命题，“x－2x0＋1＜0”的否定是“x2－2x＋1≥0”．
【答案】 C
4．(2013·石家庄高二检测)若p是真命题，q是假命题，则( )
A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题
C．綈p是真命题 D．綈q是真命题
【解析】 由真值表知，若p真q假，则p∧q假，p∨q真，綈p假，綈q真，只有D正确．
【答案】 D
5．(2013·东营高二检测)若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是( )
A．ac2＜bc2 B．a2＞ab＞b2
C.＜ D.＞
【解析】 ∵a＜b＜0，
∴a2＞ab，
且ab＞b2，B正确．
【答案】 B
6．“若x2＝1，则x＝1或x＝－1”的否命题是( )
A．若x2≠1，则x＝1或x＝－1
B．若x2＝1，则x≠1且x≠－1
C．若x2≠1，则x≠1或x≠－1
D．若x2≠1，则x≠1且x≠－1
【解析】 否命题是命题的条件与结论分别是原命题条件的否定和结论的否定，“或”的否定是“且”．
【答案】 D
7．设p：log2x＜0，q：()x－1＞1，则p是q的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 由log2x＜0，得0＜x＜1，即p：0＜x＜1；
由()x－1＞1得x－1＜0，∴x＜1，即q：x＜1；
因此p?q但qp.
【答案】 B
8．下列命题的否定是真命题的是( )
A．有理数是实数
B．末位是零的实数能被2整除
C．?x0∈R,2x0＋3＝0
D．?x∈R，x2－2x＞0
【解析】 只有原命题为假命题时，它的否定才是真命题，A、B、C为真命题，D为假命题．
【答案】 D
9．下列有关命题说法正确的是( )
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．“1是偶数或奇数” 为假命题
D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题
【解析】 “若x2＝1，则x＝1”的否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故A错；
∵由x＝－1?x2－5x－6＝0，而x2－5x－6＝0时x＝－1或x＝6，
∴由x2－5x－6＝0x＝－1.
因此x＝－1是x2－5x－6＝0的充分不必要条件，故B错；
∵1是奇数，∴C错．
D中原命题为真，其逆否命题也为真，故D正确．
【答案】 D
10．下列命题：
①?x∈R，不等式x2＋2x＞4x－3成立；
②若log2x＋logx2≥2，则x＞1；
③命题“若a＞b＞0且c＜0，则＞”的逆否命题；
④若命题p：?x∈R，x2＋1≥1.命题q：?x0∈R，x－2x0－1≤0，则命题p∧綈q是真命题．
其中真命题有( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
【解析】 ①中，x2＋2x＞4x－3?(x－1)2＋2＞0恒成立，①真．
②中，由log2x＋logx2≥2，且log2x与logx2同号，
∴log2x＞0，∴x＞1，故②为真命题．
③中，易知“a＞b＞0且c＜0时，＞”．
∴原命题为真命题，故逆否命题为真命题，③真．
④中，p、q均为真命题，则命题p∧綈q为假命题．
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
11．“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是________．
【答案】 若x≥1或x≤－1，则x2≥1.
12．已知f(x)＝x2＋2x－m，如果f(1)＞0是假命题，f(2)＞0是真命题，则实数m的取值范围是________．
【解析】 依题意，，∴3≤m＜8.
【答案】 [3,8)
13．已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(3－x)＞0，若綈p是綈q的充分条件，则实数a的取值范围是________．
【解析】 p：a－4＜x＜a＋4，q：2＜x＜3，
∵由綈p是綈q的充分条件(即綈p?綈q)，∴q?p，
∴，∴－1≤a≤6.
【答案】 [－1,6]
14．在下列四个结论中，正确的序号是________．
①“x＝1”是“x2＝x”的充分不必要条件；
②“k＝1”是“函数y＝cos2kx－sin2kx的最小正周期为π”的充要条件；
③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件；
④“a＋c＞b＋d”是“a＞b且c＞d”的必要不充分条件．
【解析】 ①当x＝1时，x2＝x成立，反之，不一定，
所以“x＝1”是“x2＝x”的充分不必要条件，故①正确；
②函数y＝cos2kx－sin2kx＝cos 2kx，其最小正周期T＝＝，当k＝1时，T＝π；当＝π时，k＝±1，所以②不正确；
③转化为等价命题，即判断“x2＝1”是“x＝1”的充分不必要条件，由于x2＝1时，x＝±1，不一定x＝1，所以不充分，即③不正确；
④a＋c＞b＋d a＞b且c＞d，但a＞b且c＞d时，必有a＋c＞b＋d，所以④正确．
综上可知，正确结论为①④.
【答案】 ①④
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)π为圆周率，a、b、c、d∈Q，已知命题p：若aπ＋b＝cπ＋d，则a＝c且b＝d.
(1)写出p的否定并判断真假；
(2)写出p的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假．
【解】 (1)綈p：“若aπ＋b＝cπ＋d，则a≠c或b≠d”．
∵a、b、c、d∈Q，由aπ＋b＝cπ＋d，
∴π(a－c)＝d－b∈Q，则a＝c且b＝d.
故p是真命题，∴綈p是假命题．
(2)逆命题：“若a＝c且b＝d，则aπ＋b＝cπ＋d”．真命题；
否命题：“若aπ＋b≠cπ＋d，则a≠c或b≠d.”真命题；
逆否命题：“若a≠c或b≠d，则aπ＋b≠cπ＋d”．真命题．
16．(本小题满分12分)分别指出由下列各组命题构成的“p且q”“p或q”“非p”形式的命题的真假．
(1)p：x＝2是方程x2－6x＋8＝0的一个解，q：x＝4是方程x2－6x＋8＝0的一个解；
(2)p：不等式x2－4x＋4＞0的解集为R，q：不等式x2－2x＋2≤1的解集为?.
【解】 (1)p或q：x＝2是方程x2－6x＋8＝0的一个解或x＝4是方程x2－6x＋8＝0的一个解．(真) p且q：x＝2是方程x2－6x＋8＝0的一个解且x＝4是方程x2－6x＋8＝0的一个解．(真) 非p：x＝2不是方程x2－6x＋8＝0的一个解．(假) (2)p或q：不等式x2－4x＋4＞0的解集为R或不等式x2－2x＋2≤1的解集为?.(假) p且q：不等式x2－4x＋4＞0的解集为R且不等式x2－2x＋2≤1的解集为?.(假) 非p：不等式x2－4x＋4＞0的解集不为R.(真)
17．(本小题满分12分)(2013·抚州高二检测)p：x∈A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，q：x∈B＝{x|x2－2mx＋m2≤9，x∈R，m∈R}．
(1)若A∩B＝[2,3]，求实数m的值．
(2)若p是綈q的充分条件，求实数m的取值范围．
【解】 (1)A＝{x|－1≤x≤3，x∈R}，
B＝{x|m－3≤x≤m＋3，x∈R，m∈R}，
∵A∩B＝[2,3]，
∴m＝5.
(2)∵p是綈q的充分条件，
∴A??RB，
∴m－3＞3或m＋3＜－1，
∴m＞6或m＜－4.
18．(本小题满分14分)给出两个命题：
命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为?，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．
分别求出符合下列条件的实数a的范围．
(1)甲、乙至少有一个是真命题；
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．
【解】 甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2＜0，即a＞或a＜－1.
乙命题为真时，2a2－a＞1，
即a＞1或a＜－.
(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，∴a的取值范围是{a|a＜－或a＞}．
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题，有两种情况：
甲真乙假时，＜a≤1，甲假乙真时，－1≤a＜－，
∴甲、乙中有且只有一个真命题时，a的取值范围为{a|＜a≤1或－1≤a＜－}．
一、选择题
1．(2013·郑州高二检测)在空间，下列命题正确的是( )
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
【解析】 A中平行投影可能平行，A为假命题．B、C中的两个平面可以平行或相交，为假命题．由线面垂直的性质，D为真命题．
【答案】 D
2．命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是( )
A．这个数能被2整除
B．这个数能被3整除
C．这个数既能被2整除，也能被3整除
D．这个数是6的倍数
【解析】 “若p，则q”的形式：若一个数是6的倍数，则这个数既能被2整除，也能被3整除．
【答案】 C
3．下列命题中，是真命题的是( )
A．{x∈R|x2＋1＝0}不是空集
B．若x2＝1，则x＝1
C．空集是任何集合的真子集
D．若＝，则x＝y
【解析】 A中方程在实数范围内无解，故为假命题；B中，若x2＝1，则x＝±1，也为假命题；因为空集是任何非空集合的真子集，故C为假命题，D为真．
【答案】 D
4．给出命题：方程x2＋ax＋1＝0没有实数根，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )
A．4 B．2
C．0 D．－3
【解析】 方程无实根应满足Δ＝a2－4＜0即a2＜4，故当a＝0时适合条件．
【答案】 C
5．有下列命题：
①若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；②若a＞b，则a＋c＞b＋c；③矩形的对角线互相垂直．
其中真命题共有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【解析】 ①由x·y＝0得到x＝0或y＝0，
所以|x|＋|y|＝0不正确，是假命题；
②当a＞b时，有a＋c＞b＋c成立，正确，所以是真命题；
③矩形的对角线不一定垂直，不正确．是假命题．
【答案】 B
二、填空题
6．把“正弦函数是周期函数”写成“若p，则q”的形式是________．
【答案】 若函数为正弦函数，则此函数是周期函数．
7．如果命题“若x∈A，则x＋≥2”为真命题，则集合A可以是________．(写出一个即可)
【解析】 当x＞0时，有x＋≥2，故A可以为{x|x＞0}．
【答案】 {x|x＞0}
8．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数，②平行四边形是梯形，③若a＞b，则ac2＞bc2，④若x、y互为相反数，则x＋y＝0，其中真命题为________．
【解析】 ①是真命题，②平行四边形不是梯形，假命题，③若a＞b，则ac2≥bc2，故为假命题，④为真命题．
【答案】 ①④
三、解答题
9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假：
(1)实数的平方是非负数；
(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；
(3)当ac＞bc时，a＞b；
(4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【解】 (1)若一个数是实数，则它的平方是非负数，真命题．
(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，假命题．
(3)若ac＞bc，则a＞b，假命题．
(4)若一个点是一个角的平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等，真命题．
10．判断下列命题的真假并说明理由．
(1)合数一定是偶数；
(2)若ab＞0，且a＋b＞0，则a＞0且b＞0；
(3)若m＞，则方程mx2－x＋1＝0无实根．
【解】 (1)假命题．例如9是合数，但不是偶数．
(2)真命题．因为ab＞0，则a、b同号．
又a＋b＞0故a、b不能同负，
故a、b只能同正，即a＞0且b＞0.
(3)真命题．因为当m＞时，Δ＝1－4m＜0；
∴方程无实根．
11．若命题“ax2－2ax－3＞0不成立”是真命题，求实数a的取值范围．
【解】 因为ax2－2ax－3＞0不成立，
所以ax2－2ax－3≤0恒成立．
(1)当a＝0时，－3≤0成立；
(2)当a≠0时，应满足
解之得－3≤a＜0.
由(1)(2)，得a的取值范围为[－3,0]．
一、选择题
1．命题“若綈p，则q”是真命题，则下列命题一定是真命题的是( )
A．若p，则綈q B．若q，则綈p
C．若綈q，则p D．若綈q，则綈p
【解析】 若“綈p，则q”的逆否命题是“若綈q，则p”，又互为逆否命题真假性相同．
∴“若綈q，则p”一定是真命题．
【答案】 C
2．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是( )
A．互逆命题 B．互否命题
C．互为逆否命题 D．以上都不正确
【解析】 设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”，故q与r为互逆命题．
【答案】 A
3．(2013·台州高二检测)已知命题p：若a＞0，则方程ax2＋2x＝0有解，则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
【解析】 易知原命题和逆否命题都是真命题，否命题和逆命题都是假命题．故选B.
【答案】 B
4．(2013·大庆高二检测)下列判断中不正确的是( )
A．命题“若A∩B＝B，则A∪B＝A”的逆否命题为真命题
B．“矩形的两条对角线相等”的逆否命题为真命题
C．“已知a，b，m∈R，若am2D．“若x∈N*，则(x－1)2＞0”是假命题
【解析】 若A∩B＝B，则有B?A，从而有A∪B＝A，
∴A正确；
B中的逆否命题：“若一个四边形两条对角线不相等，则它不是矩形”为真命题∴B正确．
C中的逆命题为：“已知a，b，m∈R，若a＜b，则am2＜bm2为假命题，故C不正确．
D中x＝1时，(x－1)2＝0显然是假命题．故D正确．
【答案】 C
5．下列命题中，不是真命题的为( )
A．“若b2－4ac≥0，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”的逆否命题
B．“四边相等的四边形是正方形”的逆命题
C．“若x2＝9，则x＝3”的否命题
D．“对顶角相等”的逆命题
【解析】 A中命题为真命题，其逆否命题也为真命题；B中命题的逆命题为“正方形的四边相等”，为真命题；C中命题的否命题为“若x2≠9，则x≠3”为真命题；D中命题的逆命题为“相等的角为对顶角”是假命题．
【答案】 D
二、填空题
6．命题“若A∪B＝B，则A?B”的否命题是________．
【答案】 若A∪B≠B，则AB.
7．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．
【解析】 由已知得，若1＜x＜2成立，则m－1＜x＜m＋1也成立．
∴，∴1≤m≤2.
【答案】 [1,2]
8．(2013·菏泽高二检测)给定下列命题：
①若a＞0，则方程ax2＋2x＝0有解．
②“等腰三角形都相似”的逆命题；
③“若x－是有理数，则x是无理数”的逆否命题；
④“若a＞1且b＞1，则a＋b＞2”的否命题．
其中真命题的序号是________．
【解析】 显然①为真，②为假．对于③中，原命题“若x－是有理数，则x是无理数”为假命题，∴逆否命题为假命题．
对于④中，“若a＞1且b＞1，则a＋b＞2”的否命题是“若a≤1或b≤1，则a＋b≤2”为假命题．
【答案】 ①
三、解答题
9．设原命题是“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．
【解】 原命题是真命题．
逆命题是“当c＞0时，若ac＞bc，则a＞b”，是真命题．
否命题是“当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc”，是真命题．
逆否命题是“当c＞0时，若ac≤bc，则a≤b”，是真命题．
10．已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．
(1)写出命题p的否命题；
(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．
【解】 (1)命题p的否命题为：“若ac＜0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．
(2)命题p的否命题是真命题，证明如下：∵ac＜0，
∴－ac＞0?Δ＝b2－4ac＞0?二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．
∴该命题是真命题．
11．已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0.
【证明】 假设a＋b＜0，则a＜－b.
∵f(x)在R上是增函数．
∴f(a)＜f(－b)，又∵f(x)为奇函数．
∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＜－f(b)．
即f(a)＋f(b)＜0.
∴原命题的逆否命题为真，故原命题为真.
一、选择题
1．(2012·浙江高考)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 若直线l1与l2平行，
则a(a＋1)－2×1＝0，
即a＝－2或a＝1，
所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．
【答案】 A
2．已知命题“若p，则q”，假设其逆命题为真，则p是q的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 原命题的逆命题：“若q，则p”，它是真命题，即q?p，所以p是q的必要条件．
【答案】 B
3．(2013·郑州高二检测)函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件的( )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
【解析】 由f(x)＝x2＋mx＋1＝(x＋)2＋1－，
∴f(x)的图象的对称轴为x＝－，由题意：－＝1，
∴m＝－2.
【答案】 A
4．设集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的
( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 ∵M?N，∴a∈N?a∈M，而a∈Ma∈N.
故“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件．
【答案】 B
5．有下述说法：
①a＞b＞0是a2＞b2的充要条件；②a＞b＞0是＜的充要条件；③a＞b＞0是a3＞b3的充要条件．
其中正确的说法有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【解析】 a＞b＞0?a2＞b2，
a2＞b2?|a|＞|b|a＞b＞0，故①错．
a＞b＞0?＜，但＜a＞b＞0，故②错．
a＞b＞0?a3＞b3，但a3＞b3a＞b＞0，故③错．
【答案】 A
二、填空题
6．条件p：1－x＜0，条件q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
【解析】 p：x＞1，若p是q的充分不必要条件，则p?q，但qp，即p对应集合是q对应集合的子集，故a＜1.
【答案】 (－∞，1)
7．如图1－1－1所示的四个电路图，条件A：“开关S1闭合”，条件B：“灯泡L亮”，则A是B的充要条件的图为________．
图1－1－1
【答案】 乙
8．下列命题：
①“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充要条件；
②b2－4ac＜0是不等式ax2＋bx＋c＜0解集为R的充要条件；
③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；
④“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要而不充分条件．
其中真命题的序号为________．
【解析】 ①x＞2且y＞3时，x＋y＞5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6，所以“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充分不必要条件；
②不等式解集为R的充要条件是a＜0且b2－4ac＜0.故②为假命题；
③当a＝2时，两直线平行，反之，两直线平行，＝，∴a＝2，
因此，“a＝2”是“两直线平行”的充要条件；
④lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，∴xy＝1且x＞0，y＞0.
所以“lg x＋lg y＝0”成立，xy＝1必成立，反之不然．
因此“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要而不充分条件．
综上可知，真命题是④.
【答案】 ④
三、解答题
9．下列各题中，p是q的什么条件？(从充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件中选择一个)
(1)p：|a|≥2，a∈R，q：方程x2＋ax＋a＋3＝0有实根；
(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；
(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝.
【解】 (1)当|a|≥2，如a＝3时，方程可化为x2＋3x＋6＝0，无实根；而方程x2＋ax＋a＋3＝0有实根，则必有Δ＝a2－4(a＋3)≥0，即a≤－2或a≥6，从而可以推出|a|≥2.综上可知，q?p，pq.所以p是q的必要不充分条件．
(2)由a2＋b2＝0，可得a＝0且b＝0，故a＋b＝0，
而由a＋b＝0，可得a＝－b，当a＝1，b＝－1时，推出a2＋b2＝0，
从以p是q的充分不必要条件．
(3)由x－1＝可得x＝1或x＝2，
故p是q的充要条件．
10．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两异号实根的充要条件是ac＜0.
【证明】 ①必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0.
②充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)．
所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
11．(2013·徐州高二检测)已知p：－2≤1－≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【解】 由－2≤1－≤2，得－2≤x≤10.
∴p：－2≤x≤10.
又x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，
∴q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件．
故有或，解之得m≥9.
因此实数m的取值范围是[9，＋∞).
一、选择题
1．(2013·济南高二检测)若命题p：x∈A∩B，则“綈p”为( )
A．x∈A且x?B B．x?A或x?B
C．x?A且x?B D．x∈A∪B
【解析】 p：x∈A∩B即x∈A且x∈B.故綈p为：x?A或x?B.
【答案】 B
2．已知命题p，q，则命题“p或q为真”是命题“q且p为真”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 p或q为真命题p且q为真命题，而p且q为真命题?p或q为真命题．
【答案】 B
3．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是( )
A．(綈p)∨q B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)
【解析】 不难判断出命题p为真命题，而命题q是假命题，结合选项，只有“(綈p)∨(綈q)”为真命题．
【答案】 D
4．下列判断错误的是( )
A．命题“p且q”的否定是“綈p或綈q”
B．|a|＜1且|b|＜2是|a＋b|＜3的充要条件
C．x＝1是x2－3x＋2＝0的充分不必要条件
D．命题p：若M∪N＝M(M，N为两个集合)，则N?M，命题q：5?{2,3}，则命题“p且q”为真
【解析】 A正确；当a＝5，b＝－4时，有|a＋b|＜3|a|＜1且|b|＜2，故B错误，x＝1时，x2－3x＋2＝0，反之不成立，C正确；对于D：p为真命题，q也为真命题；故“p且q”为真，D对．
【答案】 B
5．(2013·临沂高二检测)p：点P在直线y＝2x－3上；q：点P在曲线y＝－x2上，则使“p∧q”为真命题的一个点P(x，y)是( )
A．(0，－3) B．(1,2)
C．(1，－1) D．(－1,1)
【解析】 要使“p∧q”为真命题，须满足p为真命题，q为真命题，即点p(x、y)即在直线上，也在曲线上，只有C满足．
【答案】 C
二、填空题
6．下列命题
①命题“－1是偶数或奇数”；
②命题“属于集合Q，也属于集合R”；
③命题“”．
其中，真命题为________．
【解析】 ①∵－1为奇数，∴为真命题；②为无理数，?Q，为假命题；③∵A?(A∪B)，∴为假命题．
【答案】 ①
7．设命题p：2x＋y＝3，q：x－y＝6，若p∧q为真命题，则x＝________，y＝________.
【解析】 由题意有解得
【答案】 3 －3
8．若“x∈[2,5]或x∈(－x,1)∪(4，＋∞)”是假命题，则x的取值范围是________．
【解析】 ∵x∈[2,5]或x∈(－∞，1)∪[4，＋∞)，故x∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于该命题为假命题，所以1≤x＜2，即x∈[1,2)．
【答案】 [1,2)
三、解答题
9．分别指出下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的命题的真假．
(1)命题p：正方形的两条对角线互相垂直，命题q：正方形的两条对角线相等；
(2)命题p：“x2－3x－4＝0”是“x＝4”的必要不充分条件；
命题q：若函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于y轴对称，则φ＝.
【解】 (1)因为p、q均为真命题，
∴p∧q，p∨q为真，綈p为假命题．
(2)由x2－3x－4＝0，得x＝4或x＝－1.
∴命题p是真命题，
又函数f(x)的图象关于y轴对称，
∴φ＝kπ＋(k∈Z)，则命题q是假命题．
由于p真，q假，
∴綈p、p∧q为假命题，p∨q为真命题．
10．已知a＞0且a≠1，设命题p：函数y＝loga(x－1)在(1，＋∞)上单调递减，命题q：曲线y＝x2＋(a－2)x＋4与x轴交于不同的两点．若“綈p且q”为真命题，求实数a的取值范围．
【解】 由函数y＝loga(x－1)在(1，＋∞)上单调递减，知0＜a＜1.
若曲线y＝x2＋(a－2)x＋4与x轴交于不同的两点，
则(a－2)2－16＞0，
即a＜－2或a＞6.
又a＞0且a≠1，∴a＞6.
又因为“綈p且q”为真命题，所以p为假命题，q为真命题，于是有所以a＞6.
因此，所求实数a的取值范围是(6，＋∞)．
11．已知m＞0，p：(x＋2)(x－6)≤0，q：2－m≤x≤2＋m.
(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
(2)若m＝5，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围．
【解】 p：－2≤x≤6，q：2－m≤x≤2＋m(m＞0)．
(1)∵p是q的充分条件
∴解之得m≥4.
故实数m的取值范围是[4，＋∞)．
(2)当m＝5时，q：－3≤x≤7.
∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，
∴p、q一真一假，
∴－3≤x＜－2或6＜x≤7.
因此，实数x的取值范围是[－3，－2)∪(6,7].
一、选择题
1．下列命题中，是真命题且是全称命题的是( )
A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0
B．菱形的两条对角线相等
C．?x∈R，＝x
D．对数函数在定义域上是单调函数
【解析】 C是特称命题，A、B都是全称命题，但为假命题，只有D既为全称命题又是真命题．
【答案】 D
2．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( )
A．存在一个α，使tan(90°－α)＝tan α
B．存在实数x0，使sin x0＝
C．对一切α，sin(180°－α)＝sin α
D．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
【解析】 C、D是全称命题，A、B是特称命题，由于|sin x|≤1，故sin x0＝＞1不成立，B为假命题，对于A，当α＝45°时，tan(90°－α)＝tan α成立．
【答案】 A
3．(2013·合肥高二检测)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是
( )
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
【解析】 原命题为全称命题，其否定应为特称命题，且结论否定．
【答案】 D
4．(2013·洋浦高二检测)下列命题中真命题为( )
A．若sin A＝sin B，则∠A＝∠B
B．?x∈R，都有x2＋1＞0
C．若lg x2＝0，则x＝1
D．?x∈Z，使1＜4x＜3
【解析】 若sin A＝sin B，不一定有∠A＝∠B，A不正确，B正确；若lg x2＝0，则x2＝1，x＝±1，C不正确，D不正确．
【答案】 B
5．(2012·福建高考)下列命题中，真命题是( )
A．?x0∈R，ex0≤0
B．?x∈R,2x>x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．a>1，b>1是ab>1的充分条件
【解析】 对于?x∈R，都有ex>0，故选项A是假命题；当x＝2时，2x＝x2，故选项B是假命题；当＝－1时，有a＋b＝0，但当a＋b＝0时，如a＝0，b＝0时，无意义，故选项C是假命题；当a>1，b>1时，必有ab>1，但当ab>1时，未必有a>1，b>1，如当a＝－1，b＝－2时，ab>1，但a不大于1，b不大于1，故a>1，b>1是ab>1的充分条件，选项D是真命题．
【答案】 D
二、填空题
6．给出下列四个命题：
①a⊥b?a·b＝0；②矩形都不是梯形；
③?x，y∈R，x2＋y2≤1；
④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.其中全称命题是_____．
【解析】 在②、④中含有全称量词“都”“任意”，为全称命题．③为特称命题．又①中的实质是：对任意a，b有a·b＝0?a⊥b，故①②④为全称命题．
【答案】 ①②④
7．已知四个命题分别为：①?x∈R,2x－1＞0；②?x∈N*，(x－1)2＞0；③?x∈R，lg x＜1；④?x∈R，tan x＝2.
其中是假命题的是________．
【解析】 由函数的性质，显然①③④是真命题．
对于②，当x＝1时，(x－1)2＝0.
∴②是假命题．
【答案】 ②
8．(2013·青岛高二检测)已知命题：“?x0∈[1,2]，使x＋2x0＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是________．
【解析】 当1≤x≤2时，x2＋2x＝(x＋1)2－1是增函数．
∴3≤x2＋2x≤8，
如果“?x∈[1,2]，使x＋2x0＋a≥0”为真命题．
∴a＋8≥0，则a≥－8.
故实数a的取值范围是[－8，＋∞)．
【答案】 [－8，＋∞)
三、解答题
9．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
(1)三角形的内角和为180°；
(2)每个二次函数的图象都开口向下；
(3)存在一个四边形不是平行四边形．
【解】 (1)是全称命题且为真命题．
命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°.
(2)是全称命题且为假命题．
命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．
(3)是特称命题且为真命题．
命题的否定：所有的四边形都是平行四边形．
10．试判断下列命题的真假：
p1：?x∈R，sin2＋cos2＝；
p2：?x，y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin y；
p3：?x∈[0，π], ＝sin x；
p4：sin x＝cos y?x＋y＝.
【解】 因为sin2＋cos2＝1，故p1是假命题；当x＝y时，p2成立，故p2是真命题；＝＝|sin x|，因为x∈[0，π]，所以|sin x|＝sin x，p3是真命题；当x＝，y＝时，有sin x＝cos y，但x＋y＞，故p4是假命题，p2，p3是真命题，p1，p4是假命题．
11．已知f(x)＝3ax2＋6x－1(a∈R)．
(1)当a＝－3时，求证对任意x∈R，都有f(x)≤0；
(2)如果对任意x∈R，不等式f(x)≤4x恒成立，求实数a的取值范围．
【解】 (1)证明：当a＝－3时，f(x)＝－9x2＋6x－1，令－9x2＋6x－1＝0，则Δ＝36－36＝0，∴对任意x∈R，都有f(x)≤0.
(2)解：∵对任意x∈R，有f(x)≤4x，∴3ax2＋2x－1≤0.
∴∴a≤－，即a的取值范围是(－∞，－].
