3.1.3 导数的几何意义
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
理解导数的几何意义，初步体会“以直代曲”的辩证思想；掌握求曲线上一点出的切线的斜率的方法．
2．过程与方法
培养学生的观察、动手动脑、归纳总结的能力；培养学生合作学习、创新能力．
3．情感、态度与价值观
经过FLASH动画演示割线“逼近”成切线过程，让学生感受函数图象的切线“形成”过程，获得函数图象的切线的意义；增强学生问题应用意识教育，让学生获得学习数学的兴趣与信心．
●重点、难点
重点：导数的几何意义，求曲线上过一点处的切线方程．
难点：“以直代曲”的数学思想方法；以及切线定义的理解——在每处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解．
(教师用书独具)
●教学建议
为了更好的完成本节课的教学目标，帮助学生理解本节课内容，突出重点，突破难点，宜设计了如下的教法和学法：
(1)教学设计：探讨教学法，即教师通过问题→诱导→演示→讨论→探索结果→归纳总结．
(2)学法设计：自主思考，参与探究、合作交流、形成共识．
(3)教学手段：以“多媒体辅助教学手段”为辅，以“问题的探讨，学生发言、演板，老师黑板板书”为主．
●教学流程
???????
(对应学生用书第49页)
课标解读
1.理解导数的几何意义会求曲线上某点处的切线方程．(重点)
2．理解在某点处与过某点的切线方程的区别．(难点、易混点)
导数的几何意义
【问题导思】
1．我们知道，导数f′(x0)表示函数f(x)在x0处的瞬时变化率，反映了函数f(x)在x＝x0附近的变化情况，那么，导数f′(x0)是否有一定的几何意义呢？
【提示】 f′(x0)有几何意义．
2．如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)，沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？
【提示】 点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于过点P的切线PT.
3．第2题图中割线PPn的斜率kn＝，当点Pn无限趋近于点P时，此斜率与切线PT的斜率有何大小关系？
【提示】 kn无限趋近于切线PT的斜率．
1．设点P(x0，f(x0))，Pn(xn，f(xn))是曲线y＝f(x)上不同的点，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为过点P的切线，且PT的斜率k＝li ＝f′(x0)．
2．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率，在点P的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
导函数的概念
从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数；当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称为f(x)的导函数，即f′(x)＝y′＝ .
【问题导思】
导函数f(x)与函数在x＝x0处的导数f′(x0)相同吗？它们有什么区别与联系？
【提示】 不相同．(1)两者的区别：由导数的定义知，f′(x0)是一个具体的值，f′(x)是由于f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义在I上的一个新函数，所以两者的区别是：前者是数值，后者是函数．
(2)两者的联系：在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数.
(对应学生用书第49页)
导数几何意义的理解
若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
【思路探究】 (1)导数的几何意义是什么？(2)y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，说明y＝f(x)图象的切线有什么特点？
【自主解答】 因为函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，由导数的几何意义可知，在区间[a，b]上各点处的切线斜率是逐渐增大的，只有A选项符合．
【答案】 A
1．f′(x0)即为过曲线y＝f(x)上点P(x0，f(x0))切线的斜率．
2．若曲线y＝f(x)在(a，b)上任一点处的导数值都大于零，可以判断曲线y＝f(x)在(a，b)上图象呈上升趋势，则函数y＝f(x)在(a，b)上单调递增．而若y＝f(x)在(a，b)上任一点处的导数都小于零，则函数y＝f(x)的图象在(a，b)上呈下降趋势，y＝f(x)在(a，b)单调递减．当函数y＝f(x)在(a，b)上的导数值都等于零时，函数y＝f(x)的图象应为垂直于y轴的直线的一部分．
已知y＝f(x)的图象如图3－1－1所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
图3－1－1
A．f′(xA)＞f′(xB)
B．f′(xA)＝f′(xB)
C．f′(xA)＜f′(xB)
D．f′(xA)与f′(xB)大小不能确定
【解析】 由y＝f(x)的图象可知，kA＞kB，根据导数的几何意义有：f′(xA)＞f′(xB)．
【答案】 A
求曲线的切线方程
(1)求曲线y＝x2＋x＋1在点(1,3)处的切线方程．
(2)求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程．
【思路探究】 (1)所给点是切点吗？(2)若是切点，该如何求切线方程？若不是切点该怎么办？
【自主解答】 (1)y′＝
＝2x＋1，∵(1,3)在曲线上，
∴切线斜率k＝y′|x＝1＝2×1＋1＝3.
∴所求切线方程为y－3＝3(x－1)，即3x－y＝0.
(2)y′＝2x＋1，∵点(－1,0)不在曲线上，设切点坐标为(x0，y0)，
则切线斜率为k＝2x0＋1＝.
∵y0＝x＋x0＋1，
∴x0＝0或x0＝－2.
当x0＝0时，切线斜率k＝1，过(－1,0)的切线方程为y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0，
当x0＝－2时，切线斜率k＝－3，过(－1,0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0，
故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.
1．如果所给点P(x0，y0)就是切点，一般叙述为“在点P处的切线”，此时只要求函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)，即得切线的斜率k＝f′(x0)，再根据点斜式得出切线方程．
2．如果所给点P不是切点，应先设出切点M(x0，y0)，再求切线方程．要特别注意“过点P的切线”这一叙述，点P不一定是切点，也不一定在曲线上．
求曲线y＝在点A(，2)处的切线的斜率，并写出切线方程．
【解】 ∵Δy＝f(＋Δx)－f()
＝－2＝，
∴＝，
∴切线的斜率k＝y′|x＝＝ ＝－4.
∴切线方程为y－2＝－4(x－)，即4x＋y－4＝0.
导数几何意义的综合应用
抛物线y＝x2在点P处的切线与直线4x－y＋2＝0平行，求P点的坐标及切线方程．
【思路探究】 →→→→
【自主解答】 设P点坐标为(x0，y0)，
y′＝ ＝
＝
＝ (2x＋Δx)＝2x.
∴y′|x＝x0＝2x0，
又由切线与直线4x－y＋2＝0平行，
∴2x0＝4，∴x0＝2，
∵P(2，y0)在抛物线y＝x2上，∴y0＝4，
∴点P的坐标为(2,4)，
∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
1．导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点．
2．导数几何意义的综合应用题的解题关键是对函数进行求导，注意灵活利用题目提供的诸如斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围等关系求解相应问题．
已知曲线C：y＝x3.求：
(1)曲线C上横坐标为1的点处的切线方程；
(2)(1)中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
【解】 (1)将x＝1代入曲线C的方程，得y＝1，
∴切点为P(1,1)．
∵y′＝ ＝
＝
＝[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝3x2，
∴y′|x＝1＝3.
∴过P点的切线方程为y－1＝3(x－1)，
即3x－y－2＝0.
(2)由可得(x－1)2(x＋2)＝0，
解得x1＝1，x2＝－2.
从而求得公共点为P(1,1)或P(－2，－8)．
说明切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的点(－2，－8)．
(对应学生用书第51页)
错把所给点当作切点致误
已知曲线y＝2x2－7，求曲线过点P(3,9)的切线方程．
【错解】 f′(3)＝
＝
＝ (12＋2Δx)
＝12.
故切线斜率为12.
由直线的点斜式方程，得切线方程为y－9＝12(x－3)，
即12x－y－27＝0.
【错因分析】 点P不是切点，故切线斜率不是在x＝3处的导数．
【防范措施】 求曲线的切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，否则极易出错．
【正解】 f′(x0)＝
＝
＝ (4x0＋2Δx)＝4x0.
由于2×32－7＝11≠9，故点P(3,9)不在曲线上．
设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，
故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．
将P(3,9)及y0＝2x－7代入上式，得
9－(2x－7)＝4x0(3－x0)．
解得x0＝2，或x0＝4.所以切点为(2,1)或(4,25)．
从而所求切线方程为8x－y－15＝0，或16x－y－39＝0.
1．函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)，相应地，切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2．导数f′(x)，是针对某一区间内任意点x而言的，函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f′(x0)，根据函数的定义，在区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是函数f(x)的导函数f′(x)．
(对应学生用书第51页)
1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
【答案】 B
2．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么( )
A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＜0
C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
【解析】 由x＋2y－3＝0知斜率k＝－，
∴f′(x0)＝－＜0.
【答案】 B
3．抛物线y＝2x2在点P(1,2)处的切线l的斜率为____．
【解析】 k＝f′(1)＝4
【答案】 4
4．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝x＋2.求f(1)与f′(1)的值．
【解】 由题意f(1)＝×1＋2＝.
由导数的几何意义得f′(1)＝k＝.
(对应学生用书第105页)
一、选择题
1．(2013·临沂高二检测)设函数f(x)满足 ＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率是( )
A．2 B．－1 C. D．－2
【解析】 ∵ ＝f′(1)＝k＝－1，
∴y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率是－1.
【答案】 B
2．过点(－1,0)作抛物线y＝x2＋x＋1的切线，则其中一条切线为( )
A．2x＋y＋3＝0 B．3x－y＋5＝0
C．2x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
【解析】 ∵点(－1,0)不在抛物线y＝x2＋x＋1上，故点(－1,0)不是切点，但此点在切线上，应满足切线方程，经验证，只有D符合．
【答案】 D
3．函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图3－1－2所示，则在y＝f(x)的图象上A，B的对应点附近，有( )
图3－1－2
A．A处下降，B处上升
B．A处上升，B处下降
C．A处下降，B处下降
D．A处上升，B处上升
【解析】 ∵所给图象的导函数的图象，且A点处y＜0，B点处y＞0，故原函数图象上A处下降，B处上升．
【答案】 A
4．(2013·鹤壁高二检测)如图3－1－3所示，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝( )
图3－1－3
A. B．1 C．2 D．0
【解析】 由图象知f(5)＝－5＋8＝3.
由导数几何意义知f′(5)＝－1.
∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.
【答案】 C
5．(2013·黄冈高二检测)已知曲线y＝在点P(1,4)处的切线与直线l平行且距离为，则直线l的方程为( )
A．4x－y＋9＝0
B．4x－y＋9＝0或4x－y＋25＝0
C．4x＋y＋9＝0或4x＋y－25＝0
D．以上均不对
【解析】 y′＝ ＝－4，∴k＝－4，∴切线方程为y－4＝－4(x－1)，即4x＋y－8＝0，设l：4x＋y＋c＝0，由题意＝，∴c＝9或－25，应选C.
【答案】 C
二、填空题
6．已知y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则＝________.
【解析】 由题意 ＝ (aΔx＋2a)＝2a＝2，∴a＝1，又3＝a×12＋b，∴b＝2，∴＝2.
【答案】 2
7．(2013·杭州高二检测)曲线f(x)＝3x＋x2在点(1，f(1))处的切线方程为__________．
【解析】 k＝ ＝5.
∵f(1)＝4.
由点斜式得y－4＝5(x－1)，即y＝5x－1.
【答案】 y＝5x－1
8．y＝f(x)，y＝g(x)，y＝α(x)的图象如图3－1－4所示：
图3－1－4
而下图是其对应导数的图象：
则y＝f(x)对应________；y＝g(x)对应________；y＝α(x)对应________．
【解析】 由导数的几何意义，y＝f(x)上任一点处的切线斜率均小于零且保持不变，则y＝f(x)对应B.y＝g(x)上任一点处的切线斜率均小于零，且在起始部分斜率值趋近负无限，故y＝g(x)对应C.y＝α(x)图象上任一点处的切线斜率都大于零，且先小后大，故y＝α(x)对应A.
【答案】 B C A
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x2＋2.
(1)求f′(x)；(2)求f(x)在x＝2处的导数．
【解】 (1)∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
＝(x＋Δx)2＋2－(x2＋2)
＝(Δx)2＋2x·Δx，
∴＝2x＋Δx.
∴f′(x)＝ ＝2x.
(2)f′(2)＝f′(x)|x＝2＝2×2＝4.
10．已知曲线y＝x3上一点P(2，)，求：
(1)点P处的切线的斜率；
(2)点P处的切线方程．
【解】 (1)由y＝x3，
得y′＝
＝
＝
＝[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]
＝x2，
y′|x＝2＝22＝4.
所以点p处的切线的斜率等于4.
(2)在点p处的切线方程为y－＝4(x－2)，
即12x－3y－16＝0.
11．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3.
(1)求f′(x)，g′(x)，并判断f′(x)和g′(x)的奇偶性；
(2)若对于所有的实数x，f′(x)－2＜ag′(x)恒成立，试求实数a的取值范围．
【解】 (1)由导数的定义知，
f′(x)＝ ＝2x；
g′(x)＝ ＝[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.
f′(x)和g′(x)的定义域为R，故定义域关于原点对称，
∵f′(－x)＝－2x＝－f′(x)，
∴f′(x)为奇函数．
∵g′(－x)＝3(－x)2＝3x2＝g′(x)，
∴g′(x)为偶函数．
(2)由f′(x)－2＜ag′(x)，得3ax2－2x＋2＞0对任意实数x恒成立，
①当a＝0时，转化为－2x＋2＞0恒成立，即x＜1，不合题意；
②当a≠0时，由3ax2－2x＋2＞0对所有实数x都成立得，
解得a＞.综上，a的取值范围是(，＋∞).
(教师用书独具)
在曲线y＝x2上过哪一点的切线，
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)与x轴成135°的倾斜角．
【解】 f′(x)＝ ＝
＝2x，
设P(x0，y0)是满足条件的点．
(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，所以
2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)．
(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，
所以2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝，即P(－，)．
(3)因为切线与x轴成135°的倾斜角，所以其斜率为－1.
即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝，即P(－，)．
直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切．
(1)求a的值；
(2)求切点的坐标．
【解】 设直线l与曲线C相切于P(x0，y0)点．
f′(x)＝
＝
＝3x2－2x.
由题意知，k＝1，即3x－2x0＝1，解得x0＝－或x0＝1.
于是切点的坐标为(－，)或(1,1)．
当切点为(－，)时，＝－＋a，a＝.
当切点为(1,1)时，1＝1＋a，a＝0(舍去)．
所以a的值为，切点坐标为(－，)．
3.2导数的计算
3．2.1 几个常用函数的导数
3．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
(1)熟练掌握基本初等函数的导数公式；
(2)掌握导数的四则运算法则．
2．过程与方法
能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．
3．情感、态度与价值观
通过学习本节课，培养学生对问题的认知能力．由于利用定义求函数的导数非常复杂，本节课直接给出了几个基本初等函数的导数公式表和导数的运算法则．学生不用推导而直接去求一些简单函数的导数，认识事物之间的普遍联系，达到学有所用，在训练中也有加深了学生对学习数学的兴趣，激发学生将所学知识应用于实际的求知欲，培养浓厚的学习兴趣．
●重点、难点
重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则．
难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用．
(教师用书独具)
●教学建议
本节内容是应用导数公式和四则运算法则解决求导数问题，记住公式和法则是应用的前提，通过出示不同类型的例题与习题，进行反复的训练与强化是突破重点、难点的关键．
●教学流程
???????
(对应学生用书第52页)
课标解读
1.了解导数公式的推导过程、理解导数的四则运算法则．(难点)
2．掌握几种常见函数的导数公式．(重点)
3．能够运用导数公式和求导法则进行求导运算．(重点)
基本初等函数的导数公式
【问题导思】
1．用导数的定义求导数的步骤是怎样的？
【提示】 ①求函数值的变化量；
②求平均变化率；
③取极值，得导数．
2．我们发现，用导数的定义求导数很复杂，能不能总结出常用函数的求导公式呢？
【提示】 能．
基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝α·xα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
续表
原函数
导函数
f(x)＝ax
f′(x)＝axln_a(a>0且a≠1)
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax
f′(x)＝(a>0且a≠1)
f(x)＝ln x
f′(x)＝
导数的运算法则
【问题导思】
一个函数可以求其导数，那么两个函数加、减、乘、除能求导吗？
【提示】 能．
设两个函数f(x)，g(x)可导，则
和的
导数
[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)
差的
导数
[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)
积的
导数
[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
商的
导数
′＝(g(x)≠0)
(对应学生用书第53页)
用求导公式求函数的导数
求下列函数的导数
(1)y＝x8 (2)y＝ (3)y＝
(4)y＝2x (5)y＝log2x (6)y＝cos x
【思路探究】 (1)以上函数分别是什么类型的函数？
(2)这种函数的求导公式是怎样的？
【自主解答】 (1)y′＝(x8)′＝8x8－1＝8x7.
(2)y′＝()′＝(x－4)′＝－4x－5.
(3)y′＝()′＝(x)′＝x－1＝x－.
(4)y′＝(2x)′＝2xln 2.
(5)y′＝(log2x)′＝.
(6)y′＝(cos x)′＝－sin x.
1．基本初等函数的求导公式是求导数基本依据，一定要记清形式，学会使用公式求导．
2．对于形如y＝，y＝的函数一般先转化为幂函数的形式，再用幂函数的求导公式求导．
3．要区分指数函数、对数函数的求导公式，以免在运用时混淆．
求下列函数的导数；
(1)y＝10；(2)y＝x10；
(3)y＝；(4)y＝；
(5)y＝3x；(6)y＝log3x.
【解】 (1)y′＝(10)′＝0
(2)y′＝(x10)′＝10x10－1＝10x9.
(3)y′＝(x)′＝x－1＝x－＝ .
(4)y′＝(x－)′＝－x－－1＝－x－＝－ .
(5)y′＝(3x)′＝3xln 3.
(6)y′＝(log3x)′＝.
用求导公式和导数运算法则求导
求下列函数的导数：
(1)f(x)＝(x＋2)(x－3)；(2)f(x)＝lg x－3x；
(3)f(x)＝＋；(4)f(x)＝.
【思路探究】
【自主解答】 (1)∵f(x)＝x2－x－6，
∴f′(x)＝(x2－x－6)′＝2x－1.
(2)f′(x)＝(lg x)′－(3x)′＝－3xln 3.
(3)y＝＋＝＝，
∴y′＝()′＝＝.
(4)∵f(x)＝＝1－，
∴f′(x)＝1′－()′
＝－＝.
1．应用导数运算法则求函数的导数的技巧：
(1)求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后再求导，这样既减少了计算量，又可少出错．
(2)利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导．
(3)在函数中有两个以上的因式相乘时，要注意多次使用积的求导法则，能展开的先展开成多项式，再求导．
2．应用导数运算法则求函数的导数的原则：
结合函数解析式的特点先进行恒等变形，把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、乘、除运算，再套运算法则．
求下列函数的导数：
(1)y＝x5－3x3－5x2＋6； (2)y＝(2x2＋3)(3x－2)；
(3)y＝； (4)y＝－sin (1－2cos2)．
【解】 (1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′
＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′
＝5x4－9x2－10x.
(2)法一 y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′
＝4x(3x－2)＋3(2x2＋3)＝18x2－8x＋9.
法二 ∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，
∴y′＝18x2－8x＋9.
(3)法一 y′＝()′＝
＝＝.
法二 ∵y＝＝＝1－，
∴y′＝(1－)′＝(－)′
＝－＝.
(4)y＝－sin(1－2cos2)＝－sin(－cos)＝sin x，y′＝(sin x)′＝(sin x)′＝cos x.
导数的应用
在抛物线y＝－x2上求一点，使之到直线4x＋3y－8＝0的距离最小．
【思路探究】 (1)平行于直线4x＋3y－8＝0且与抛物线相切的直线与抛物线y＝－x2的切点是否满足题意？
(2)该切点的坐标如何求出？
【自主解答】 如图所示，由题意知作与4x＋3y－8＝0平行的直线l，当l与y＝－x2相切时，切点P到直线4x＋3y－8＝0的距离最小．
设切点为(x0，－x)，又y′＝(－x2)′＝－2x，
∴－2x0＝－，∴x0＝，y0＝－x＝－，
∴点P(，－)，
即抛物线y＝－x2上的点(，－)到直线的距离最小．
利用导数的四则运算法则和基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义，可以求解一些与距离、面积有关的几何问题，解题的关键是正确运用曲线的切线．
已知点P是曲线y＝x2－ln x上一点，求点P到直线y＝x－2的最小距离．
【解】 过p作y＝x－2的平行直线，且与曲线y＝x2－ln x相切，设P(x0，x－ln x0)，则k＝y′|x＝x0＝2x0－＝1，∴x0＝1或x0＝－(舍去)，∴p的坐标为(1,1)，∴dmin＝＝.
(对应学生用书第54页)
因公式记忆不准确致误
求函数y＝sin x－cos x的导数．
【错解】 y′＝(sin x)′－(cos x)′＝cos x－sin x
【错因分析】 (cos x)′＝－sin x，错解中因漏掉负号致误．
【防范措施】 应熟记基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，以防因记忆不牢而致误．
【正解】 y′＝(sin x)′－(cos x)′＝cos x＋sin x.
本堂课的主要内容是利用基本初等函数的求导公式和导数的运算法则求导数的运算．在运算中，熟记有关的求导公式是关键，但对运算法则更应熟练掌握，特别是对商的运算，应与积的运算予以区别记忆，同时也要注意它们之间的联系.
(对应学生用书第54页)
1．已知函数f(x)＝，则f′(－3)等于( )
A．4 B. C．－ D．－
【解析】 ∵()′＝－，∴f′(－3)＝－＝－.
【答案】 D
2．下列各式中正确的是( )
A．(ln x)′＝x B．(cos x)′＝sin x
C．(sin x)′＝cos x D．(x－5)′＝－x－6
【解析】 ∵(ln x)′＝，(cos x)′＝－sin x，(x－5)′＝－5x－5－1＝－，∴A、B、D均不正确；C正确．
【答案】 C
3．下列求导正确的是( )
A．(x＋)′＝1＋
B．(log2x)′＝
C．(3x＋ln 3)′＝3x·ln 3＋
D．(x2cos x)′＝－2xsin x
【解析】 ′＝1＋′＝1－，A不正确．
(3x＋ln 3)′＝(3x)′＋(ln 3)′＝3xln 3，C不正确．
(x2cos x)′＝2xcos x－x2sin x，D不正确．
【答案】 B
4．求曲线y＝在点(1，－1)处的切线方程．
【解】 y′＝()′＝.
∴k＝y′|x＝1＝－2
∴切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即2x＋y－1＝0.
(对应学生用书第107页)
一、选择题
1．(2013·普宁高二检测)设函数f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0＝( )
A．e2 B．e C. D．ln 2
【解析】 ∵f′(x)＝ln x＋1，∴f′(x0)＝ln x0＋1＝2.
∴lnx0＝1，x0＝e.
【答案】 B
2．(2013·广元高二检测)曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为( )
A．x＋3y－3＝0 B．3x－y＋1＝0
C．3x＋y－1＝0 D．x－3y＋3＝0
【解析】 y′＝ex＋xex＋2，∴y′|x＝0＝3＝k.
∴曲线在点(0,1)处的切线方程为y－1＝3x，即3x－y＋1＝0.
【答案】 B
3．设曲线y＝ax2在(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )
A．1 B. C．－ D．－1
【解析】 y′＝2ax，∴在点(1，a)处切线的斜率k＝y′|x＝1＝2a.
由题意可得2a＝2，∴a＝1.故选A.
【答案】 A
4．函数y＝的导数是( )
A. B.
C. D.
【解析】 y′＝＝.
【答案】 B
5．设函数f(x)＝x3＋x2＋tan θ，其中θ∈[0，]，则导数f′(1)的取值范围是( )
A．[－2,2] B．[，]
C．[，2] D．[，2]
【解析】 f′(x)＝x2sin θ＋xcos θ，
∴f′(1)＝sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋)，
∵θ∈[0，]，∴sin(θ＋)∈[，1]，
∴f′(1)∈[，2]．
【答案】 D
二、填空题
6．设函数f(x)＝x3－2x2＋x＋5，则f′(1)＝________.
【解析】 ∵f′(x)＝3x2－4x＋1，∴f′(1)＝3×12－4×1＋1＝0.
【答案】 0
7．(2013·张家港高二检测)设函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)，(a，b，c是两两不等的常数)，则＋＋＝________.
【解析】 ∵f′(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，代入即得
＋＋
＝＋＋
＝
＝＝0.
【答案】 0
8．(2013·重庆高二检测)设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．
【解析】 ∵f′(1)＝n＋1，∴y＝xn＋1在点(1,1)处的切线方程为y＝(n＋1)(x－1)＋1.令y＝0，得xn＝，
∴an＝lg n－lg(n＋1)，
∴a1＋a2＋…＋a99＝lg 1－lg 100＝－2.
【答案】 －2
三、解答题
9．求下列函数的导数．
(1)y＝x－sin ·cos ；
(2)y＝·cos x.
【解】 (1)∵y＝x－sin ·cos ＝x－sin x，
∴y′＝1－cos x.
(2)y′＝′＝′cos x＋(cos x)′
＝′cos x－sin x＝－x－cos x－sin x
＝－－sin x＝－.
10．已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，求a，b的值．
【解】 (1)f′(x)＝－.
由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，故即解得
所以a＝1，b＝1.
11．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求证曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
【解】 (1)7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.
当x＝2时，y＝.
又f′(x)＝a＋，于是解得
故f(x)＝x－.
(2)【证明】 设点P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋可知曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．
令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－)．令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为··|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
(教师用书独具)
设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 011(x)＝( )
A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x
【解析】 f1(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)，f6(x)＝f2(x)，…，fn＋4(x)＝fn(x)，可知周期为4.
∴f2 011(x)＝f3(x)＝－cos x.
【答案】 D
已知f1(x)＝sin x＋cos x，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N*，n≥2)，则f1()＋f2()＋…＋f2 011()＝________.
【解析】 f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，
f3(x)＝(cos x－sin x)′＝－sin x－cos x，
f4(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝sin x＋cos x，
以此类推，可得出fn(x)＝fn＋4(x)．
又∵f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0，
∴f1()＋f2()＋…＋f2 011()
＝f1()＋f2()＋f3()＝－f4()
＝cos －sin＝－1.
【答案】 －1
3.3.3 函数的最大(小)值与导数
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
了解函数在某点取得极值，会利用导数求函数的极大值和极小值，以及闭区间上函数的最大(小)值．
2．过程与方法
培养学生数形结合、化归的数学思想和运用基础理论研究解决具体问题的能力．
3．情感、态度与价值观
经历和体验数学活动的过程以及数学在现实生活中的作用，激发学生学习数学知识的积极性，树立学好数学的信心．
●重点、难点
重点：会求闭区间上连续函数可导的函数的最值．
难点：理解确定函数最值的方法．
本节课突破难点的关键是：理解方程f′(x)＝0的解，包含有指定区间内全部可能的极值点．
(教师用书独具)
●教学建议
本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后，引导学生通过观察闭区间内的连续函数的图象，自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置，进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤，并优化解题过程，让学生主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而不进行全部的灌输．为突出重点，突破难点，这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学．
对于求函数的最值，高中学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题？教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用．
在本堂课学习中，学生发挥主体作用，主动地思考探究求解最值的最优策略，并归纳出自己的解题方法，将知识主动纳入已建构好的知识体系，真正做到“学会学习”．
●教学流程
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(对应学生用书第61页)
课标解读
1.理解函数最大值与最小值的定义．(难点)
2．掌握求函数最大值最小值的方法．(重点)
3．能根据函数的最值求参数的值．(难点)
函数f(x)在区间[a，b]上的最值
【问题导思】
1．如图，观察区间[a，b]上函数f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？
【提示】 f(x1)、f(x3)、f(x5)是极小值，f(x2)、f(x4)是极大值．
2．在上图中，你能找出f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值吗？
【提示】 函数f(x)在[a，b]上的最小值是f(x3)，最大值是f(b)．
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得．
求函数y＝f(x)在[a，b]上的
最值的步骤
1．求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
2．将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
(对应学生用书第61页)
求函数在闭区间上的最值
求下列函数的最值：
(1)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]；
(2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a为正常数．
【思路探究】
【自主解答】 (1)f′(x)＝＋cos x，令f′(x)＝0，
解得x＝π或x＝π.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
0
π
π
2π
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
0
?
＋
?
π－
?
π
∴由上表可知，当x＝0时，f(x)有最小值，f(0)＝0；
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
(2)f′(x)＝′－(ex)′＝－－ex＝－.
当x∈[0，a]时，f′(x)＜0恒成立，
即f(x)在[0，a]上是减函数．
故当x＝a时，f(x)有最小值f(a)＝e－a－ea；
当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝e－0－e0＝0.
1．熟练掌握求函数在闭区间上最值的步骤，其中准确求出函数的极值是解题的关键．
2．求函数的最值应注意以下两点：
(1)注意定义域，要在定义域(给定区间)内列表；
(2)极值不一定是最值，一定要将极值与区间端点值比较，必要时需进行分类讨论．
求下列函数的最值．
(1)f(x)＝－x3＋3x(x∈[－，])
(2)f(x)＝－x3＋2x2＋3.(x∈[－3,2])．
【解】 (1)f′(x)＝－3x2＋3.
令f′(x)＝－3(x2－1)＝0，得x＝±1，
f(1)＝2，f(－1)＝－2，f(－)＝0，f()＝0.
故f(x)的最大值为2，最小值为－2.
(2)f′(x)＝－3x2＋4x，
由f′(x)＝x(4－3x)＝0，得x＝0，.
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
x
－3
(－3,0)
0
(0，)
(，2)
2
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
48
?
极小
值3
?
极大
值
?
3
故当x＝－3时，f(x)取最大值48，
当x＝0或x＝2时，f(x)取最小值3.
求含参数的函数的最值
已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数a、b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29，若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由．
【思路探究】 (1)f(x)在[－1,2]上的最大、最小值是怎样求得的？(2)在求解最值的过程中要不要对参数进行讨论？
【自主解答】 显然a≠0.
f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)．
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．
(1)当a＞0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
[－1,0)
0
(0,2]
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
最大值
?
所以当x＝0时，f(x)取得最大值，所以f(0)＝b＝3.
又f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(－1)＞f(2)．
所以当x＝2时，f(x)取得最小值，即－16a＋3＝－29，a＝2.
(2)当a＜0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
[－1,0)
0
(0,2]
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
最小值
?
所以当x＝0时，f(x)取得最小值，所以b＝－29.
又f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29，f(2)＞f(－1)．
所以当x＝2时，f(x)取得最大值，
即－16a－29＝3，a＝－2.
综上所述，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
本题运用求解函数最值的方法确定参数a，b的值，解题的关键在于对函数中参数a的讨论，确定函数的最值在哪一点处取得．
已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
【解】 (1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.
令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3，
∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．
(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，
f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，
∴f(2)＞f(－2)．
于是有22＋a＝20，解得a＝－2.
∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.
∵在(－1,3)上f′(x)＞0，
∴f(x)在[－1,2]上单调递增．
又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，
∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值．
∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，
即函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7.
函数最值的综合应用问题
已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1处都取得极值．
(1)求a、b的值及函数f(x)的单调区间；
(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)＜c2恒成立，求c的取值范围．
【思路探究】 (1)由已知条件如何求a、b的值并确定函数f(x)的单调区间？(2)对x∈[－1,2]，不等式f(x)＜c2恒成立应如何进行转化？
【自主解答】 (1)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
∵f′(1)＝3＋2a＋b＝0，
f′(－)＝－a＋b＝0，
解得a＝－，b＝－2，
∴f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
∴函数f(x)的递增区间为(－∞，－)和(1，＋∞)；
递减区间为(－，1)．
(2)由(1)知，f(x)＝x3－x2－2x＋c，x∈[－1,2]，
当x＝－时，f(－)＝＋c为极大值，
∵f(2)＝2＋c，∴f(2)＝2＋c为最大值．
要使f(x)＜c2，(x∈[－1,2])恒成立，
只须c2＞f(2)＝2＋c，解得c＜－1或c＞2.
利用函数的最值解决不等式恒成立问题是函数最值的重要应用．要使不等式f(x)＜h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m，n]上求出函数的最大值f(x)max，只要h＞f(x)max，则上面的不等式恒成立．同理，要使不等式f(x)＞h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m，n]上求出函数f(x)的最小值f(x)min，只要f(x)min＞h，则不等式f(x)＞h恒成立．
已知f(x)＝x3－x2－2x＋5，当x∈[－1,2]时，f(x)＜a恒成立，求实数a的取值范围．
【解】 ∵f(x)＝x3－x2－2x＋5，
∴f′(x)＝3x2－x－2.
令f′(x)＝0，即3x2－x－2＝0，
∴x＝1或x＝－.
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
x
(－1，－)
－
(－，1)
1
(1,2)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
?
?
∴当x＝－时，
f(x)取得极大值f(－)＝；
当x＝1时，f(x)取得极小值f(1)＝.
又f(－1)＝，f(2)＝7.
∴f(x)在x∈[－1,2]上的最大值为f(2)＝7.
∴要使f(x)＜a恒成立，需f(x)max＜a，即a＞7.
∴所求实数a的取值范围是(7，＋∞)．
(对应学生用书第63页)
因忽略区间导致所求最值错误
求函数y＝5－36x＋3x2＋4x3在区间(－2,2)上的最大值和最小值．
【错解】 y′＝－36＋6x＋12x2，
令y′＝0，即12x2＋6x－36＝0，解得x1＝－2，x2＝，
∴f(－2)＝57，f()＝－28，f(2)＝－23，
∴函数的最大值为57，最小值为－28.
【错因分析】 所求最大值57是在x＝－2时取得的，不在所给区间(－2,2)上，故求解错误．
【防范措施】 在求解函数的最值时，一定要弄清所给区间的范围，解题时，常会出现某些极值点不在所给区间中，而误把该极值充当了最值的错误．
【正解】 y′＝－36＋6x＋12x2，令y′＝0，即12x2＋6x－36＝0，解得x1＝，x2＝－2(舍去)．
当x∈(－2，)时，f′(x)＜0，函数单调递减；
当x∈(，2)时，f′(x)＞0，函数单调递增．
∴函数f(x)在x＝时取得极小值f()＝－28，无极大值，即在(－2,2)上函数f(x)的最小值为－28，无最大值．
1．函数f(x)在区间[a，b]上连续是f(x)在区间[a，b]上有最值的充分不必要条件；
如果f(x)在[a，b]上连续，那么f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值，但在(a，b)内不一定有最大值和最小值．
2．函数的最值是比较某个闭区间内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的；
函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有．
3．利用导数法求最值，实质是通过比较某些特殊的函数值得到最值，因此，我们可以在导数法求最值的思路的基础上进行变通．令f′(x)＝0得到方程的根x1，x2，…，直接求得函数值f(x1)，f(x2)…等，然后与端点的函数值比较就可以了，省略了判断极值的过程．当然把导数法与函数的单调性相结合，也可以求最值．
(对应学生用书第63页)
1．下列是函数f(x)在[a，b]上的图象，则f(x)在(a，b)上无最大值的是( )
【解析】 在开区间(a，b)上，只有D选项所示函数f(x)无最大值．
【答案】 D
2．给出下列四个命题：
①若函数f(x)在[a，b]上有最大值，则这个最大值一定是[a，b]上的极大值；
②若函数f(x)在[a，b]上有最小值，则这个最小值一定是[a，b]上的极小值；
③若函数f(x)在[a，b]上有最值，则最值一定在x＝a或x＝b处取得；
④若函数f(x)在(a，b)内连续，则f(x)在(a，b)内必有最大值与最小值．
其中真命题共有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解析】 当函数在闭区间上的最值在端点处取得时，其最值一定不是极值，①②不正确；函数在闭区间上的最值可以在端点处取得，也可以在内部取得，③不正确；单调函数在开区间(a，b)内无最值，④不正确．
【答案】 A
3．f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )
A．－2 B．0 C．2 D．4
【解析】 f′(x)＝3x2－6x.令f′(x)＝0得x＝0或x＝2(舍去)．
∴f(x)在[－1,0)上递增，在(0,1]上递减，f(0)既为极大值也是最大值，f(0)＝2.
【答案】 C
4．求函数y＝x3＋3x2－2，x∈[－2,3]的值域．
【解】 令y′＝3x2＋6x＝0得x＝0或x＝－2，
x＝0时，y＝－2；x＝－2时，y＝2；x＝3时，y＝52，
∴函数的值域为[－2,52].
(对应学生用书第113页)
一、选择题
1．(2013·郑州高二检测)函数f(x)＝ln x－x在(0，e)上的最大值为( )
A．1－e B．－1
C．－e D．0
【解析】 f′(x)＝－1，令f′(x)＞0，得0＜x＜1；令f′(x)＜0，得1＜x＜e，∴f(x)在(0,1)上递增，在(1，e)上递减，∴f(x)max＝f(1)＝－1.
【答案】 B
2．函数y＝( )
A．有最大值2，无最小值
B．无最大值，有最小值－2
C．最大值为2，最小值为－2
D．无最值
【解析】 y′＝＝.
令y′＝0，得x1＝1，x2＝－1，
∴当－1＜x＜1时，y′＞0；当x＜－1或x＞1时，y′＜0.
因此，y＝的最大值为f(1)＝2；最小值f(－1)＝－2.
【答案】 C
3．(2013·临沂高二检测)函数y＝x＋2cos x在[0，]上取最大值时，x的值为( )
A．0 B.
C. D.
【解析】 y′＝1－2sin x，令y′＞0得sin x＜，故0≤x＜，令y′＜0得sin x＞，故＜x≤，∴原函数在[0，)上递增，在(，]上递减，当x＝时，函数取得最大值．
【答案】 B
4．已知函数f(x)、g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)＜g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为( )
A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
【解析】 设F(x)＝f(x)－g(x)，F′(x)＝f′(x)－g′(x)＜0，∴F(x)在[a，b]上是减函数．
∴F(x)在[a，b]上的最大值为F(a)＝f(a)－g(a)．
【答案】 A
5．(2013·吉林高二检测)已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则m的取值范围是( )
A．m≥ B．m＞
C．m≤ D．m＜
【解析】 f′(x)＝2x3－6x，令f′(x)＝0得x＝0或x＝3，验证可知x＝3是函数的最小值点，故f＝f(3)＝3m－，由f(x)＋9≥0恒成立得f(x)≥－9恒成立，即：3m－≥－9，∴m≥.
【答案】 A
二、填空题
6．函数y＝x·e－x，x∈[0,4]的最小值为________．
【解析】 ∵y′＝e－x－xe－x＝e－x(1－x)，令y′＝0，得x＝1，而f(0)＝0，f(1)＝，f(4)＝，∴ymin＝0.
【答案】 0
7．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．
【解析】 f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0得x＝，由题设得：－2＜＜－1，故m∈(－4，－2)．
【答案】 (－4，－2)
8．对于定义在区间[a，b]上的函数f(x)，给出下列命题：
①若f(x)在多处取得极大值，那么f(x)的最大值一定是所有极大值中最大的一个值；
②若f(x)有极大值m，极小值n，那么m＞n；
③若x0∈(a，b)，在x0左侧附近f′(x)＞0，在x0右侧附近f′(x)＜0，且f′(x0)＝0，则x0是f(x)的极大值点；
④若f′(x)在[a，b]上恒为正，则f(x)在[a，b]上为增函数．其中正确命题的序号为________．
【答案】 ③④
三、解答题
9．已知函数f(x)＝(x2－4)(x－a)(常数a∈R)．
(1)求f′(x)；
(2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2,4]上的最大值．
【解】 (1)f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，
∴f′(x)＝3x2－2ax－4.
(2)由f′(－1)＝0，得3＋2a－4＝0，∴a＝.
则f(x)＝x3－x2－4x＋2，
∴f′(x)＝3x2－x－4＝3(x＋1).
当x∈[－2，－1)∪时，f′(x)＞0，
所以f(x)的单调递增区间是[－2，－1)与；
当x∈，f′(x)＜0，
所以f(x)的单调递减区间是.
又f(－1)＝，f(4)＝42，f(－2)＝0，f＝－.
∴f(x)在[－2,4]上的最大值f(x)max＝f(4)＝42.
10．设＜a＜1，函数f(x)＝x3－ax2＋b(－1≤x≤1)的最大值为1，最小值为－，求常数a，b的值．
【解】 令f′(x)＝3x2－3ax＝0，得x1＝0，x2＝a.
由题意可知当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0，a)
a
(a,1)
1
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－1－a＋b
?
b
?
－＋b
?
1－a＋b
从上表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，
而f(0)＞f(a)，f(1)＞f(－1)，故需比较f(0)与f(1)的大小．
因为f(0)－f(1)＝a－1＞0，
所以f(x)的最大值为f(0)＝b，所以b＝1，
又f(－1)－f(a)＝(a＋1)2(a－2)＜0，
所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－a＋b＝－a，
所以－a＝－，所以a＝.
综上，a＝，b＝1.
11．(2013·邢台高二检测)已知函数f(x)＝ax4ln x＋bx4－c(x＞0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．若对任意x＞0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范围．
【解】 f′(x)＝4ax3ln x＋ax4×＋4bx3
＝x3(4aln x＋a＋4b)．
∵在x＝1处取得极值－3－c，
∴即
解得a＝12，b＝－3.
∴f′(x)＝48x3ln x(x＞0)，
令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝1.
∵x＞0，∴x＝1.
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
－3－c
?
∴x＝1时，f(x)有极小值为－3－c，并且该极小值为函数的最小值．
∴要使对任意x＞0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，只需－3－c≥－2c2即可．
整理得2c2－c－3≥0.
解得c≥或c≤－1.
∴c的取值范围为(－∞，－1]∪[，＋∞)．
(教师用书独具)
已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．
(1)当f′(1)＝3时，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．
【解】 (1)f′(x)＝3x2－2ax.因为f′(1)＝3－2a＝3，所以a＝0.
当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0.
(2)令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.
当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上是增加的，从而[f(x)]max＝f(2)＝8－4a.
当≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上是减少的，从而[f(x)]max＝f(0)＝0.
当0＜＜2，即0＜a＜3时，f(x)在[0，]上是减少的，在[，2]上是增加的，从而[f(x)]max＝
综上所述，[f(x)]max＝
已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x.
(1)若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围；
(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)在[1，a]上的最小值和最大值．
【解】 (1)f′(x)＝3x2－2ax＋3，要使f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则有3x2－2ax＋3≥0在[1，＋∞)内恒成立，即a≤x＋在[1，＋∞)内恒成立．
又在[1，＋∞)上＋≥3(当且仅当x＝1时取等号)，所以a≤3.
(2)由题意知f′(x)＝3x2－2ax＋3＝0的一个根为x＝3，可得a＝5，所以f′(x)＝3x2－10x＋3＝0的根为x＝3或x＝(舍去)，又f(1)＝－1，f(3)＝－9，f(5)＝15，
所以f(x)在[1,5]上的最小值是f(3)＝－9，最大值是f(5)＝15.
3.4生活中的优化问题举例
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
通过用料最省，利润最高等优化问题，使学生体会导数在解决实际问题中的作用，并且会利用导数解决简单的实际生活优化问题．
2．过程与方法
让学生参与问题的分析，探究解决过程，体会数学建模，从而掌握用导数法解决优化问题的方法．
3．情感、态度与价值观
形成数学建模思想，培养学生应用数学意识，进一步体会导数作为解决函数问题的工具性．激发学生学习热情，培养学生解决问题的能力和创新能力．
●重点、难点
重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．
难点：优化问题的数学建模与求解方法的掌握．
(教师用书独具)
●教学建议
教学中，先给出一些有背景的问题，让学生从生活经验角度思考问题，在此基础上，逐步引入的数学问题，按照学生的思维过程，逐步展开问题、解决问题，然后再给出一些有思维价值的题目，让学生在分析问题、解决问题的过程中，体会数学建模的过程，培养应用数学的意识和能力，同时化解了本节的重点，突破了难点．
●教学流程
?引导学生分析用导数求最值问题，发现其为解决优化问题提供了思路．??????
(对应学生用书第64页)
课标解读
1.掌握应用导数解决实际问题的基本思路．(重点)
2．灵活用导数解决实际生活中的优化问题，提高分析问题，解决问题的能力．(难点)
导数在实际问题中的应用
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
【问题导思】
优化问题实际上就是寻求最佳方案或策略，而实际问题中的利润、用料、效率等问题常能用函数关系式表达，那么优化问题与函数的什么性质联系密切？
【提示】 函数的最大、最小值．
解决优化问题的基本思路
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．
(对应学生用书第64页)
面积体积的最值问题
用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器．先在四角分别截掉一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90°，再焊接而成．则该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
【思路探究】
设自变量
(高)为x―→―→
―→
【自主解答】 设容器的高为x cm，容器的容积为V(x)cm3，则
V(x)＝x(90－2x)(48－2x)
＝4x3－276x2＋4 320x(0＜x＜24)．
所以V′(x)＝12x2－552x＋4 320
＝12(x2－46x＋360)
＝12(x－10)(x－36)．
令V′(x)＝0，得x＝10或x＝36(舍去)．
当0＜x＜10时，V′(x)＞0，即V(x)是增加的；
当10＜x＜24时，V′(x)＜0，即V(x)是减少的．
因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为V(10)＝19 600(cm3)．
因此当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm3.
1．求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值．
2．实际问题中函数定义域确定的方法：
(1)根据图形确定定义域，如本例中长方体的长宽、高都大于零．
(2)根据问题的实际意义确定定义域．如人数必须为整数，销售单价大于成本价、销售量大于零等．
将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，则如何截可使正方形与圆的面积之和最小？
【解】 设弯成圆的一段铁丝长为x cm，则另一段长为(100－x) cm，正方形的边长为a＝cm，圆的半径r＝ cm.
记正方形与圆的面积之和为S，
∴S＝π()2＋()2＝x2－x＋625(0＜x＜100)．
又S′＝x－，
令S′＝0，则x＝.
∵S是关于x的二次函数，由其性质可知当x＝cm时，面积之和最小．
用料最省、费用最低问题
图3－4－1
某单位用木料制作如图3－4－1所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，问x、y分别为多少时用料最省？(精确到0.001 m)
【思路探究】 (1)根据题意，你能找出x、y之间的关系式吗？能把框架的周长表示成x的函数吗？(2)你能确定上函数的定义域并用导数求出最小值吗？
【自主解答】 依题意，有
xy＋·x·＝8，
所以y＝＝－(0＜x＜4)，
于是框架用料长度为
l＝2x＋2y＋2()＝(＋)x＋.
l′＝＋－.
令l′＝0，即＋－＝0，解得x1＝8－4，x2＝4－8(舍去)．
当0＜x＜8－4时，l′＜0；当8－4＜x＜4时，l′＞0，
所以当x＝8－4时，l取得最小值．
此时，x＝8－4≈2.343 m，y≈2.828 m.
即当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省．
1．本题是用料最省问题，此种类型也可以用不等式解决，但有时运算量较大，用导数解决较为合理．
2．用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量x的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围．
某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房，经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
【解】 设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则
f(x)＝(560＋48x)＋
＝560＋48x＋(x≥10，x∈N*)，
f′(x)＝48－，
令f′(x)＝0得x＝15，
当x＞15时，f′(x)＞0；
当0＜x＜15时，f′(x)＜0，
因此当x＝15时，f(x)取最小值f(15)＝2 000.
故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．
利润最大问题
某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q＝(x≥0)，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元．若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．
(1)试将利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数．如果年广告费收入100万元，企业是亏损还是盈利？
(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？
【思路探究】 (1)在本例中如何求企业的年利润？怎样判断企业是亏损还是盈利？(2)如何用导数法求最大利润？
【自主解答】 (1)由题意，每年产销Q万件，共计成本为(32Q＋3)万元．销售收入是(32Q＋3)·150%＋x·50%，
∴年利润y＝年收入－年成本－年广告费＝(32Q＋3－x)＝(32×＋3－x)＝(x≥0)，
∴所求的函数关系式为y＝(x≥0)．当x＝100时，y<0，即当年广告费投入100万元时，企业亏损．
(2)令f(x)＝y＝(x≥0)可得
f′(x)＝
＝.
令f′(x)＝0，则x2＋2x－63＝0.
∴x＝－9(舍去)或x＝7.
又∴x∈(0,7)时，f′(x)>0；x∈(7，＋∞)时，f′(x)<0，
∴f(x)极大值＝f(7)＝42.
又∵在(0，＋∞)上只有一个极值点，
∴f(x)max＝f(x)极大值＝f(7)＝42.
故当年广告费投入7万元时，企业年利润最大．
1．利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再用导数求最大值．商品的价格要高于生产商品的成本，否则会亏本．
2．解答此类问题时，要认真理解相应的概念，如：成本、利润、单价、销售量、广告费等等，以免因概念不清而导致解题错误．
已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系式为p＝25－q，求产量q为何值时，利润L最大？
【解】 收入R＝q·p＝q(25－q)＝25q－q2.
利润L＝R－C＝(25q－q2)－(100＋4q)＝－q2＋21q－100(0＜q＜200)，
所以L′＝－q＋21.令L′＝0，
即－q＋21＝0，解得q＝84.
因为当0＜q＜84时，L′＞0；
当84＜q＜200时，L′＜0，
所以当q＝84时，L取得最大值，最大值为782.
答：当产量为84时，利润取得最大值782.
(对应学生用书第66页)
分类讨论的思想在优化问题中的应用
(12分)工厂生产某种产品，次品率p与日产量x(万件)间的关系为
p＝(c为常数，且0＜c＜6)．
已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元．
(1)将日盈利额y(万元)表示为日产量x(万件)的函数；
(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率＝×100%)
【思路点拨】
【规范解答】 (1)当x＞c时，p＝，
y＝(1－)·x·3－·x·＝0；2分
当0＜x≤c时，p＝，
∴y＝(1－)·x·3－·x·＝.4分
∴日盈利额y(万元)与日产量x(万件)的函数关系为
y＝(c为常数，且0＜c＜6).5分
(2)由(1)知，当x＞c时，日盈利额为0.6分
当0＜x≤c时，
∵y＝，
∴y′＝·
＝，8分
令y′＝0，得x＝3或x＝9(舍去)．
∴①当0＜c＜3时，y′＞0，∴y在区间(0，c]上单调递增，
∴y最大值＝f(c)＝.9分
②当3≤c＜6时，在(0,3)上，y′＞0，在(3，c)上，y′＜0，
∴y在(0,3)上单调递增，在(3，c)上单调递减．
∴y最大值＝f(3)＝.11分
综上，若0＜c＜3，则当日产量为c万件时，日盈利额最大；若3≤c＜6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大.12分
解答本题时，要注意分类讨论思想的运用，同时对导数公式及运算法则要熟练、活用求最值的方法解决问题．
1．解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言．要先找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题，再化归为常规问题，最后选择合适的数学方法求解．
2．用导数解决生活中优化问题的一般步骤：
(1)函数建模：细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式y＝f(x)．
(2)确定定义域：一定要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围．
(3)求最值：此处尽量使用导数法求出函数的最值．
(4)下结论：紧扣题目，给出圆满的答案.
(对应学生用书第67页)
1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
【解析】 y′＝－x2＋81，令y′＝0，得x＝9或x＝－9(舍)．
当0＜x＜9时y′＞0；当x＞9时，y′＜0.
故当x＝9时函数有极大值，也是最大值．
【答案】 C
2．某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)＝x2·(0A．30 B．40 C．50 D．35
【解析】 V′(x)＝′＝60x－x2，x∈(0,60)．令V′(x)＝0，得x＝40.
∴当x＝40，箱子的容积有最大值．
【答案】 B
3．把长60 cm的铁丝围成矩形，当长为________cm，宽为________cm时，矩形面积最大．
【解析】 设长为x cm，则宽为(30－x)cm，所以面积S＝x(30－x)＝－x2＋30x，由S′＝－2x＋30＝0，得x＝15.
【答案】 15,15
4．做一个无盖的圆柱形水桶，若需其体积是27π，且用料最省，求此时圆柱的底面半径为多少？
【解】 设底面半径为r，则高h＝.
∴S＝2πr·h＋πr2＝2πr·＋πr2＝＋πr2
S′＝2πr－，令S′＝0，得r＝3.
经验证，当r＝3时，S最小．
答：圆柱的底面半径为3时用料最省.
(对应学生用书第115页)
一、选择题
1．甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图3－4－2所示．( )
图3－4－2
现有下列四种说法：
①前四年该产品产量增长速度越来越快；
②前四年该产品产量增长速度越来越慢；
③第四年后该产品停止生产；
④第四年后该产品年产量保持不变．
其中说法正确的有( )
A．①④ B．②④
C．①③ D．②③
【解析】 由图象可知，②④是正确的．
【答案】 B
2．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成一个铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )
A．6 cm B．8 cm
C．10 cm D．12 cm
【解析】 设截去小正方形的边长为x cm，铁盒的容积为V cm3.
所以V＝x(48－2x)2(0＜x＜24)，
V′＝12(x－8)(x－24)．令V′＝0，
则x＝8∈(0,24)．
【答案】 B
3．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为( )
A. B.
C. D．2
【解析】 设直棱柱的底面边长为a，高为h，
依题意a2·h＝V，∴ah＝.
因此表面积S＝3ah＋2·a2＝＋a2.
∴S′＝a－.
令S′＝0，则a＝.
易知当a＝时，表面积S取得最小值．
【答案】 C
4．某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽各为( )
A．16 m,16 m B．32 m,16 m
C．32 m,8 m D．16 m,8 m
【解析】 如图所示，设场地一边长为x m，
则另一边长为 m.
因此新墙总长度L＝2x＋(x＞0)，L′＝2－.
令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．
∵L在(0，＋∞)上只有一个极值点，∴它必是最小值点．
∵x＝16，∴＝32.
故当堆料场的宽为16 m，长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省．
【答案】 B
5．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k＞0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大效益，则x的取值为( )
A．0.016 2 B．0.032 4
C．0.024 3 D．0.048 6
【解析】 依题意，存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048 6kx2，其中x∈(0,0.048 6)．所以银行的收益是y＝0.048 6kx2－kx3(0＜x＜0.048 6)，
则y′＝0.097 2kx－3kx2.
令y′＝0，得x＝0.032 4或x＝0(舍去)．
当0＜x＜0.032 4时，y′＞0；
当0.032 4＜x＜0.048 6时，y′＜0.
所以当x＝0.032 4时，y取得最大值，即
当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．
【答案】 B
二、填空题
6．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能与下列________相对应．
【解析】 加速过程、路程对时间的导数逐渐变大，图象下凸，减速过程，路程对时间的导数逐渐变小，图象上凹，应与①相吻合．
【答案】 ①
7．轮船甲位于轮船乙的正东方向且距轮船乙75海里处，以每小时12海里的速度向西行驶，而轮船乙则以每小时6海里的速度向北行驶，如果两船同时起航，那么经过________小时两船相距最近．
【解析】 设经过x小时两船相距y海里，y2＝36x2＋(75－12x)2，(y2)′＝72x－24(75－12x)，令(y2)′＝0，得x＝5，易知当x＝5时，y2取得最小值．
【答案】 5
8．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
【解】 设仓库与车站相距x千米，依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数，于是由2＝得k1＝20；由8＝10k2得k2＝.
∴两项费用之和为y＝＋(x＞0)，
y′＝－＋，令y′＝0，
得x＝5或x＝－5(舍去)．
当0＜x＜5时，y′＜0；
当x＞5时，y′＞0.
∴当x＝5时，y取得极小值，也是最小值．
∴当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．
【答案】 5
三、解答题
9．某工厂有一段旧墙长14 m，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为126 m2的厂房，工程条件是：
(1)建1 m新墙的费用为a元；(2)修1 m旧墙的费用为元；(3)拆去1 m旧墙，用可得的建材建1 m新墙的费用为元，经讨论有两种方案：
①利用旧墙一段x m(0＜x＜14)为矩形一边；
②矩形厂房利用旧墙的一面边长x≥14，问如何利用旧墙建墙费用最省？试比较①，②两种方案哪个更好．
【解】 方案①：修旧墙费用x·，拆旧墙造新墙费用为(14－x)·，
其余新墙费用为(2x＋－14)a，
∴总费用y＝7a(＋－1)(0＜x＜14)，
∵＋≥2＝6，
当且仅当＝，即x＝12时取等号，∴ymin＝35a.
方案②：利用旧墙费用为14·＝(元)，
建新墙费用为(2x＋－14)a(元)，
总费用为y＝2a(x＋)－a(x≥14)
∵当x≥14时，(x＋)′＝1－＞0
∴函数x＋在[14，＋∞)上递增
∴当x＝14时，ymin＝35.5a
故采用方案①更好些．
10．请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥．试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？最大体积是多少？
【解】 如图，设OO1为x m，则1＜x＜4.
由题设可得正六棱锥底面边长为
＝.
于是底面正六边形的面积为
6··()2＝(8＋2x－x2)．
帐篷的体积为
V(x)＝(8＋2x－x2)[(x－1)＋1]
＝(16＋2x－x3)．
求导数，得V′(x)＝(12－3x2)．
令V′(x)＝0，解得x＝－2(不合题意，舍去)，x＝2.
当1＜x＜2时，V′(x)＞0，V(x)为增函数；
当2＜x＜4时，V′(x)＜0，V(x)为减函数，
所以当x＝2时，V(x)最大．
所以当OO1为2 m时，帐篷的体积最大，最大体积为16 m3.
11．某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率P与每日生产量x(x∈N*)件之间的关系为P＝，每生产一件正品盈利4 000元，每出现一件次品亏损2 000元．(注：正品率＝产品中的正品件数÷产品总件数×100%)
(1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数；
(2)求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值．
【解】 (1)∵y＝4 000×x－2 000(1－)x
＝3 600x－x3，
∴所求的函数关系式是
y＝－x3＋3 600x(x∈N*,1≤x≤40)．
(2)显然y′＝3 600－4x2.令y′＝0，解得x＝30.
∴当1≤x＜30时，y′＞0；当30＜x≤40时，y′＜0.
∴函数y＝－x3＋3 600(x∈N*,1≤x≤40)在[1,30)上是单调递增函数，在(30,40]上是单调递减函数．
∴当x＝30时，函数y＝－x3＋3 600x(x∈N*,1≤x≤40)取得最大值，最大值为－×303＋3 600×30＝72 000(元)．
∴该厂的日产量为30件时，日利润最大，其最大值为72 000元.
(教师用书独具)
经济学上规定，对于某经济函数y＝f(x)，称为该经济函数的弹性，它表示经济变量x变动1%时，经济变量y相应变动的百分比．现有一个企业生产一种商品，年产x件的总成本为c＋dx，年需求量g(p)是价格p的函数，即g(p)＝a－bp(a，b，c，d＞0)．求：
(1)利润最大时的产量及最大利润；
(2)需求对价格的弹性的绝对值为1时的价格；
(3)若企业将价格定为p＝，求此时需求对价格的弹性，并说明它的实际意义．
【解】 (1)由题意可知此时年利润l＝f(x)＝px－(c＋dx)＝x－(c＋dx)．
f′(x)＝－x＋－d，令f′(x)＝0，
得x＝(a－bd)．
当x＜(a－bd)时，f′(x)＞0；当x＞(a－bd)时，f′(x)＜0，所以x＝(a－bd)为极大值点，即最大值点．
故x＝(a－bd)时，l取得最大值(a－bd)2－c.
(2)g(p)＝a－bp，则需求对价格的弹性为：
＝＝－.
令|－|＝1，得p＝.
(3)若p＝，则－＝－.
它表示价格定为p＝时，价格上升1%时，需求量相应会减少0.333%.
张明准备购买一套住房，最初准备选择购房一年后一次性付清房款，且付款时需加付年利率为4.8%的利息．这时正好某商业银行推出一种年利率低于4.8%的一年定期贷款业务，贷款量与利率的平方成正比，比例系数为k(k＞0)，因此，他打算申请这种贷款在购房时付清房款．
(1)若贷款的利率为x，x∈(0,0.048)，写出贷款量g(x)及他应支付的利息h(x)；
(2)贷款利息为多少时，张明获利最大？
【解】 (1)由题意可知贷款量g(x)＝kx2，应支付利息h(x)＝x·g(x)＝kx3.
(2)张明的获利为两种付款方式之间应付的利息差，设张明获利为y，则
y＝0.048·kx2－kx3，
y′＝k·0.096x－3kx2，
令y′＝0，解得x＝0或x＝0.032.
当x∈(0,0.032)时，y′＞0，
当x∈(0.032,0.048)时，y′＜0.
故当x＝0.032时，y在x∈(0,0.048)内取得极大值，即最大值，故贷款利率为3.2%时，张明获利最大.
选修1－1
第三章 导数及其应用
3．1变化率与导数
3．1.1 变化率问题
3．1.2 导数的概念
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
通过大量的实例的分析，让学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数．
2．过程与方法
通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法．
3．情感、态度与价值观
学生在从平均变化率到瞬时变化率的探索过程中，通过动手算、动脑思和集体合作讨论，发展思维能力，树立敢于战胜困难的信息，养成主动获取知识和敢于探索求知的习惯，激发求知欲，增强合作交流意识．
●重点、难点
重点：了解导数概念的形成，理解导数有内涵．
难点：在平均变化率的基础上探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵．
通过列举大量实例增强学生对导数概念形成的理解，以化解重点；通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点．
(教师用书独具)
●教学建议
学生对平均变化率已有了很好的认识，同时在物理课程中已学习过瞬时速度，因此，学生已经具备了一定的认知基础，于是，在教学设计中，宜采用相互讨论、探究规律和引导发现的教学方法，本着为学生发展的原则，通过师生互动、共同探索，形成概念，并学以致用．在学生的认知基础上，为了让学生明确导数就是瞬时变化率，函数f(x)在x＝x0处的导数反映了函数f(x)在x＝x0处附近变化的快慢，从而更好地理解导数的概念．在学法指导上，应回避了学生较难理解的极限思想，而是通过让学生体验逼近的思想，让他们通过自主探究，发现导数的内涵．使学生在学习过程中探究能力，分析问题、解决问题的能力都得到了不同程度的提升．
●教学流程
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(对应学生用书第45页)
课标解读
1.理解函数在某点附近的平均变化率．(重点)
2．会求函数在某点处的导数．(难点)
3．了解平均变化率与瞬时变化率的关系．(易混点)
函数的变化率
【问题导思】
实例：(1)当你吹气球时会发现随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的会越来越慢．
(2)从高空放下一件物体，随着时间的变化，物体下降的速度会越来越快．
1．如何用数学的观点刻画物体运动的快慢？
【提示】 可以运用平均变化率来刻画．
2．实例(2)中，当t1≈t2时刻时，平均变化率有什么样的特点？
【提示】 平均变化率接近t1或t2时刻的速度．
1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
(1)定义式：＝.
(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．
(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．
2．函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
(1)定义式： ＝ .
(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值．
(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢．
函数f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li ＝li .
(对应学生用书第45页)
平均变化率的计算
求函数f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为，在哪一点附近平均变化率最大？
【思路探究】 (1)Δx、Δy分别为多少？(2)平均变化率怎么求？(3)哪一点附近的平均变化率大？
【自主解答】 在x＝1附近的平均变化率为
k1＝＝＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为
k2＝＝＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均变化率为
k3＝＝＝6＋Δx.
若Δx＝，
则k1＝2＋＝，k2＝4＋＝，k3＝6＋＝.
由于k1＜k2＜k3，
故在x＝3附近的平均变化率最大．
1．解答本题的关键是弄清在某点处自变量的增量Δx与函数值的增量Δy.
2．求函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率的三个步骤
(1)求自变量的增量：Δx＝x2－x1.
(2)求函数值的增量：Δy＝f(x2)－f(x1)．
(3)作商求函数的平均变化率：＝.
求函数y＝sin x在0到之间和到之间的平均变化率，并比较它们的大小．
【解】 函数y＝sin x在0到之间的平均变化率为＝，
在到之间的平均变化率为＝.
∵2－＜1，∴＞.
∴函数y＝sin x在0到之间的平均变化率为，在到之间的平均变化率为，且在0到之间的平均变化率较大．
求瞬时速度
若一物体运动方程如下：(位移s：m，时间t：s)
s＝
求(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度．
(2)物体的初速度v0.
【思路探究】 (1)求物体在[3,5]内的平均速度应选择哪一段函数的解析式？(2)物体的初速度v0的含义是什么？如何去求？
【自主解答】 (1)∵物体在t∈[3,5]内时，s＝3t2＋2，且时间增量Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3,5]内的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为
＝＝24(m/s)．
(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵物体在t＝0附近的平均变化率为
＝
＝＝3Δt－18，
∴物体在t＝0处的瞬时变化率为
li ＝li (3Δt－18)＝－18，
即物体的初速度为－18 m/s.
1．解答本例首先要弄清第(1)问是求平均变化率，而第(2)问实际上是求t＝0时的瞬时速度(即瞬时变化率)．
2．求瞬时速度应先求平均速度＝，再用公式v＝li ，求得瞬时速度．
3．如果物体的运动方程是s＝s(t)，那么函数s＝s(t)，在t＝t0处的导数，就是物体在t＝t0时的瞬时速度．
一辆汽车按规律s＝2t2＋3做直线运动，求这辆车在t＝2时的瞬时速度(时间单位：s，位移单位：m)．
【解】 设这辆车在t＝2附近的时间变化量为Δt，则位移的增量Δs＝[2(2＋Δt)2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt＋2(Δt)2，
＝8＋2Δt，当Δx趋于0时，平均变化率趋于8.
所以，这辆车在t＝2时的瞬时速度为8 m/s.
求函数在某点处的导数
求函数f(x)＝3x2＋ax＋b在x＝1处的导数．
【思路探究】 →→→
【自主解答】 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[3(1＋Δx)2＋a(1＋Δx)＋b]－(3＋a＋b)＝3(Δx)2＋(6＋a)Δx.
＝＝3Δx＋6＋a.
li ＝li (3Δx＋6＋a)＝6＋a.
∴f′(1)＝6＋a.
1．求函数f(x)在某点处导数的步骤与求瞬时变化率的步骤相同，简称：一差、二比、三极限．
2．利用定义求函数y＝f(x)在点x0处的导数的两个注意点
(1)在求平均变化率时，要注意对的变形与约分，变形不彻底可能导致li 不存在．
(2)当对取极限时，一定要把变形到当Δx→0时，分母是一个非零常数的形式．
已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a的值．
【解】 ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝a(1＋Δx)2＋c－(a＋c)
＝2a·Δx＋(Δx)2，
∴＝＝2a＋Δx.
因此f′(1)＝ ＝ (2a＋Δx)＝2a.
∴2a＝2，a＝1.
(对应学生用书第48页)
求物体的瞬时速度、初速度时要注意步骤的规范性
(12分)(2013·长沙高二检测)一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；
(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．
【思路点拨】 本题已知函数解析式，求初速度即t＝0时的瞬时速度，t＝2时的瞬时速度和t∈[0,2]时的平均速度，可以用一差、二比、三极限的方法．
【规范解答】 (1)当t＝0时的速度为初速度．
在0时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]，
∴Δs＝s(Δt)－s(0)
＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)
＝3Δt－(Δt)2，2分
＝＝3－Δt，3分
＝ (3－Δt)＝3.4分
∴物体的初速度为3.
(2)取一时间段[2,2＋Δt]，
∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2)
＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)
＝－Δt－(Δt)2，6分
＝＝－1－Δt，7分
＝ (－1－Δt)＝－1，8分
∴当t＝2时，物体的瞬时速度为－1.
(3)当t∈[0,2]时，Δt＝2－0＝2.
Δs＝s(2)－s(0)
＝(3×2－22)－(3×0－02)＝210分
＝＝＝1.
∴在0到2之间，物体的平均速度为1.12分
解答此类问题首先要理解概念与公式的内涵，其次在解题过程中要严格按规定步骤解答，切忌跨步，以免出错．
1．平均变化率＝，当Δx趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快．
2．函数在一点处的导数，就是在该点函数值的改变量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个定值，不是变数.
(对应学生用书第48页)
1．已知物体位移公式s＝s(t)，从t0到t0＋Δt这段时间内，下列说法错误的是( )
A．Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)叫做位移增量
B.＝叫做这段时间内物体的平均速度
C.不一定与Δt有关
D. 叫做这段时间内物体的平均速度
【解析】 D错误，应为t＝t0时的瞬时速度．
【答案】 D
2．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )
A．0.40 B．0.41
C．0.43 D．0.44
【解析】 ∵x＝2，Δx＝0.1，
∴Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41.
【答案】 B
3．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
【解析】 ＝＝a＋b·Δx，
f′(x0)＝ ＝ (a＋b·Δx)＝a.
【答案】 C
4．一物体运动的方程是s＝3＋t2，求物体在t＝2时的瞬时速度．
【解】 Δs＝(2＋Δt)2－4＝4Δt＋(Δt)2.
∴＝4＋Δt.
∴当Δt→0时，瞬时速度为4.
(对应学生用书第103页)
一、选择题
1．已知函数y＝x2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则等于( )
A．2 B．2x
C．2＋Δx D．2＋(Δx)2
【解析】 Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2.
∴＝＝2＋Δx.
【答案】 C
2．自由落体运动的公式为s＝s(t)＝gt2(g＝10 m/s2)，若v＝，则下列说法正确的是( )
A．v是在0～1 s这段时间内的速度
B．v是1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速度
C．5Δt＋10是物体在t＝1 s这一时刻的速度
D．5Δt＋10是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速度
【解析】 由平均速度的概念知：v＝＝5Δt＋10.故应选D.
【答案】 D
3．(2013·惠州高二检测)某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为( )
A.米/秒 B.米/秒
C．8米/秒 D.米/秒
【解析】 ∵＝
＝
＝Δt＋8－，∴ ＝8－＝.
【答案】 B
4．函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是( )
A．k1＜k2 B．k1＞k2
C．k1＝k2 D．无法确定
【解析】 k1＝＝2x0＋Δx，k2＝＝2x0－Δx，而Δx可正可负，故k1、k2大小关系不确定．
【答案】 D
5．已知点P(x0，y0)是抛物线y＝3x2＋6x＋1上一点，且f′(x0)＝0，则点P的坐标为( )
A．(1,10) B．(－1，－2)
C．(1，－2) D．(－1,10)
【解析】 Δy＝3(x0＋Δx)2＋6(x0＋Δx)－3x－6x0＝6x0·Δx＋3(Δx)2＋6Δx，
∴ ＝ (6x0＋3Δx＋6)＝6x0＋6＝0.
∴x0＝－1，y0＝－2.
【答案】 B
二、填空题
6．(2013·洛阳高二检测)一小球沿斜面自由滚下，其运动方程是s(t)＝t2, (s的单位：米，t的单位：秒)，则小球在t＝5时的瞬时速度为________．
【解析】 v′(5)＝
＝ (10＋Δt)＝10
【答案】 10米/秒
7．已知函数f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.
【解析】 f′(1)＝ ＝ ＝2，∴a＝2.
【答案】 2
8．若函数f(x)在x＝a处的导数为m，那么 ＝________.
【解析】 ∵ ＝m，
则 ＝m.
∴
＝
＝ ＋ ＝m＋m＝2m.
【答案】 2m
三、解答题
9．已知f(x)＝(x－1)2，求f′(x0)，f′(0)．
【解】 ∵Δf＝(x0＋Δx－1)2－(x0－1)2
＝2x0·Δx－2Δx＋(Δx)2 ，
∴＝＝2x0－2＋Δx，
f′(x0)＝ ＝ (2x0－2＋Δx)＝2x0－2，
把x0＝0代入上式，得f′(0)＝2×0－2＝＝－2.
10．设质点做直线运动，已知路程s是时间t的函数：
s＝3t2＋2t＋1.
(1)求从t＝2到t＝2＋Δt的平均速度，并求当Δt＝1，Δt＝0.1时的平均速度；
(2)求当t＝2时的瞬时速度．
【解】 (1)从t＝2到t＝2＋Δt内的平均速度为：
＝
＝
＝＝14＋3Δt.
当Δt＝1时，平均速度为14＋3×1＝17；
当Δt＝0.1时，平均速度为14＋3×0.1＝14.3.
(2)t＝2时的瞬时速度为：
v＝ ＝ (14＋3Δt)＝14.
11．(2013·黄冈高二检测)枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果枪弹的加速度是a＝5×105 m/s2，它从枪口射出所用的时间为t1＝1.6×10－3 s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．
【解】 ∵s(t)＝at2，
∴Δs＝s(t1＋Δt)－s(t1)
＝a(t1＋Δt)2－at
＝at1Δt＋a(Δt)2，
＝＝at1＋aΔt.
∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为
v＝ ＝ (at1＋aΔt)＝at1.
由题意a＝5×105 m/s2，
t1＝1.6×10－3s，
∴v＝at1＝5×105×1.6×10－3
＝800(m/s)，
即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.
(教师用书独具)
求函数y＝在x＝1时的瞬时变化率．
【解】 ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝－1＝
＝
＝，
∴＝.
∴Δx趋于0时，趋于－.
∴x＝1时的瞬时变化率为－.
求y＝在x＝1处的导数．
【解】 由题意知Δy＝－1，
∴＝＝
＝，
∴y′|x＝1＝ ＝.
3.3导数在研究函数中的应用
3．3.1 函数的单调性与导数
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
能探索并应用函数的单调性与导数的关系求函数的单调区间，能由导数信息绘制函数大致图象．
2．过程与方法
通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严密推理的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．
3．情感、态度与价值观
通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯．
●重点、难点
重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．
难点：利用导数信息绘制函数的大致图象．
采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，图、表并用，使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生的理解，以达到突破重点、难点的目的．
(教师用书独具)
●教学建议
为还课堂于学生，突出学生的主体地位，本节课宜运用“问题——解决”课堂教学模式，采用发现式、启发式的教学方法．通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神．
为使学生积极参与课堂学习，宜采取以下学习方法：
1．合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题；
2．自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动；
3．探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知．
●教学流程
??????
(对应学生用书第55页)
课标解读
1.理解在某区间上函数的单调性与导数的关系．(难点)
2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)
3．能够根据函数的单调性求参数．(难点)
函数的单调性与其导数的
正负的关系
【问题导思】
1．导数的几何意义是什么？
【提示】 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数等于y＝f(x)的图象，在x＝x0处切线的斜率．
2．若函数y＝f(x)在x∈[a，b]的图象上任一点的切线的斜率均为正值，则y＝f(x)在x∈[a，b]的单调性是怎样的？
【提示】 单调递增的．
1．一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上
(1)如果f′(x)＞0，则f(x)在该区间上单调递增．
(2)如果f′(x)＜0，则f(x)在该区间上单调递减．
2.
导数值
切线的斜率
倾斜角
曲线的变
化趋势
函数的
单调性
＞0
＞0
锐角
上升
递增
＜0
＜0
钝角
下降
递减
(对应学生用书第55页)
导数与函数图象的关系
设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图3－3－1所示，则导函数y＝f′(x)可能为( )
图3－3－1
【思路探究】 (1)y＝f(x)的图象在y轴左侧是上升的，对应的导数图象是怎样的？(2)函数在y轴右侧先增再减最后又增，对应的导数又该如何呢？
【自主解答】 由函数的图象知：当x＜0时，函数单调递增，导数应始终为正；当x＞0时，函数先增后减再增，导数应先正后负再正，对照选项，只有D正确．
【答案】 D
判断函数与导数图象间对应关系时，首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象，其次再注意以下两个方面：
(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)＜0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．
(2)导数与函数图象的关系
图3－3－2
已知函数y＝xf′(x)的图象如图3－3－2所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数，下列四个图象中，y＝f(x)的图象大致是( )
【解析】 由y＝xf′(x)的图象可知当x＞1时，x＞0且f′(x)＞0，所以当x＞1时，f(x)单调递增，只有C成立．故选C.
【答案】 C
求函数的单调区间
求下列函数的单调区间．
(1)y＝2x3－3x
(2)f(x)＝3x2－2ln x.
【思路探究】 →→
→
【自主解答】 (1)由题意得y′＝6x2－3.
令y′＝6x2－3＞0，解得x＜－或x＞，
当x∈(－∞，－)时，函数为增函数，当x∈(，＋∞)时，函数也为增函数．
令y′＝6x2－3＜0， 解得－＜x＜，
当x∈(－，)时，函数为减函数．
故函数的递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，递减区间为(－，)．
(2)函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝6x－＝2·.
令f′(x)＞0，即2·＞0.
且x＞0，可解得x＞；
令f′(x)＜0，即2·＜0，
由x＞0得，0＜x＜，
∴f(x)的增区间为(，＋∞)，减区间为(0，)．
1．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集R可以省略不写．
2．当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接，如(1)题中的增区间．
(1)求函数f(x)＝2x3－9x2＋12x－3的单调区间；
(2)求函数y＝x3－2x2＋x的单调区间．
【解】 (1)此函数的定义域为R，
f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．
令6(x－1)(x－2)＜0，解得1＜x＜2，
所以函数f(x)的单调递减区间是(1,2)．
令6(x－1)(x－2)＞0，解得x＞2或x＜1，
所以函数f(x)的单调递增区间是(2，＋∞)，(－∞，1)．
(2)此函数的定义域为R.
y′＝3x2－4x＋1，
令3x2－4x＋1＞0，解得x＞1或x＜.
因此y＝x3－2x2＋x的单调递增区间为(1，＋∞)，(－∞，)．
再令3x2－4x＋1＜0，解得＜x＜1.
因此y＝x3－2x2＋x的单调递减区间为(，1)．
判断含有字母参数的函数的单调性
讨论函数f(x)＝(－1＜x＜1，b≠0)的单调性．
【思路探究】 (1)函数的定义域是怎样的？函数是奇函数还是偶函数？(2)若先讨论x∈(0,1)上的单调性，能否判断f′(x)在(0,1)上的正负？b的取值对其有影响吗？
【自主解答】 f(x)的定义域为(－1,1)；函数f(x)是奇函数，
∴只需讨论函数在(0,1)上的单调性．
∵f′(x)＝b·
＝－，
当0＜x＜1时，x2＋1＞0，(x2－1)2＞0，
∴－＜0.
∴当b＞0时，f′(x)＜0.∴函数f(x)在(0,1)上是减函数；
当b＜0时，f′(x)＞0，∴函数f(x)在(0,1)上是增函数；
又函数f(x)是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，从而可知：
当b＞0时，f(x)在(－1,1)上是减函数；
当b＜0时，f(x)在(－1,1)上是增函数．
1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f′(x)＞0(f′(x)＜0)在给定区间上恒成立．一般步骤为：①求导数f′(x)；②判断f′(x)的符号；③给出单调性结论．
2．导数的正负决定了函数的增减，当导函数中含有参数时，应注意对参数进行分类讨论．
求函数y＝x＋(b≠0)的单调区间．
【解】 函数y＝x＋(b≠0)的定义域为{x|x≠0}，y′＝1－＝.
①当b＜0时，在函数定义域内y′＞0恒成立，所以函数的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；
②当b＞0时，令y′＞0，解得x＞或x＜－，所以函数的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)；令y′＜0，解得－＜x＜且x≠0，
所以函数的单调递减区间为(－，0)和(0，).
(对应学生用书第57页)
导数在解决单调性问题中的应用
(12分)设函数f(x)＝ax－－2ln x.
(1)若f′(2)＝0，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围．
【思路点拨】
【规范解答】 (1)∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(2)＝0，且f′(x)＝a＋－，
∴a＋－1＝0，∴a＝.3分
∴f′(x)＝＋－＝(2x2－5x＋2)，
由f′(x)＞0结合x＞0，得0＜x＜或x＞2，
∴f(x)的递增区间为(0，]和[2，＋∞)，
递减区间为(，2).6分
(2)若f(x)在定义域上是增函数，则
f′(x)≥0对x＞0恒成立，8分
∵f′(x)＝a＋－＝，
∴需x＞0时ax2－2x＋a≥0恒成立10分
化为a≥对x＞0恒成立，
∵＝≤1，当且仅当x＝1时取等号．
∴a≥1，即a∈[1，＋∞).12分
1．求函数的单调区间首先要确定函数的定义域，再求出使导数的值为正或负的x的范围，写单调区间时，要注意以上两范围求交集．
2．已知函数的单调性求参数的范围，是一类非常重要的题型，其基本解法是转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在给定区间上恒成立问题．
1．函数的单调性与其导函数的关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减；如果恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)在这个区间内为常函数．
2．用导数判断函数的单调性和求单调区间，实际上就是在函数的定义域范围内解决导数的正负问题，对于含有字母参数的函数，要注意对参数进行分类讨论.
(对应学生用书第57页)
1．f(x)在(a，b)内可导，若f′(x)＜0，则f(x)在(a，b)内是( )
A．增函数 B．减函数
C．奇函数 D．偶函数
【解析】 易知导函数f′(x)＜0时，f(x)单调递减．
【答案】 B
2．函数y＝4x2＋单调递增区间是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，1)
C. D．(1，＋∞)
【解析】 由y＝4x2＋，得y′＝8x－.
令8x－＞0，得x＞.
【答案】 C
3．函数y＝2－3x2在区间(－1,1)上的增减性为( )
A．增函数 B．减函数
C．先增后减 D．先减后增
【解析】 y′＝－6x，故当x∈(－1,0)时，y′＞0；当x∈(0,1)时，y′＜0，所以原函数在区间(－1,1)上先增后减．
【答案】 C
4．求函数y＝x2－ln x的单调递减区间．
【解】 函数的定义域为(0，＋∞)，
y′＝x－，令y′＝x－≤0得0＜x≤1，
∴函数的单调减区间为(0,1].
(对应学生用书第109页)
一、选择题
图3－3－3
1．函数y＝f(x)的图象如右图3－3－3所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )
【解析】 由函数的图象可知，在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上，函数f(x)均为减函数，故在这两个区间上，f′(x)均小于0.
【答案】 D
2．(2013·吉林高二检测)函数f(x)＝x3－3x＋1的单调递减区间为( )
A．(－1,1) B．(1,2)
C．(－∞，－1) D．(－∞，－1)，(1，＋∞)
【解析】 f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝3x2－3＜0得－1＜x＜1.
∴原函数的单调递减区间为(－1,1)．
【答案】 A
3．定义在R上的函数f(x)，若(x－1)·f′(x)＜0，则下列各项正确的是( )
A．f(0)＋f(2)＞2f(1)
B．f(0)＋f(2)＝2f(1)
C．f(0)＋f(2)＜2f(1)
D．f(0)＋f(2)与2f(1)大小不定
【解析】 当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)是减函数，
∴f(1)＞f(2)．
当x＜1时，f′(x)＞0，f(x)是增函数，
∴f(0)＜f(1)．因此f(0)＋f(2)＜2f(1)．
【答案】 C
4．(2013·天水高二检测)已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1,1)上单调递减，则a的取值范围为( )
A．a≥3 B．a＞3
C．a≤3 D．a＜3
【解析】 ∵f′(x)＝3x2－a，由题意f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立，即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴a≥3x2在(－1,1)上恒成立，又∵0≤3x2＜3，∴a≥3，经验证当a＝3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．
【答案】 A
图3－3－4
5．(2013·临沂高二检测)已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数如图3－3－4所示，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能为( )
【解析】 由图可以看出f′(x)和g′(x)均大于0，即f(x)和g(x)均为增函数．y＝f′(x)递减，则y＝f(x)的切线斜率随着x的增大而减小，即y＝f(x)的增速逐渐减慢；y＝g′(x)递增，则y＝g(x)的切线的斜率随着x的增大而增大，即y＝g(x)的增速不断加快．由f′(x0)＝g′(x0)可知y＝f(x)和y＝g(x)在x＝x0处的切线斜率相同，故选D.
【答案】 D
二、填空题
6．(2013·惠州高二检测)函数f(x)＝xln x的单调减区间为________．
【解析】 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1.
令f′(x)＜0得x＜，又x＞0，∴f(x)的减区间为(0，)．
【答案】 (0，)
7．已知函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1在R上不是单调函数，则实数m的取值范围是________．
【解析】 f′(x)＝3x2＋2x＋m，
∵f(x)在R上非单调，∴f′(x)有两个相异零点．
∴Δ＝4－12m＞0，
∴m＜.
【答案】
8．(2013·洛阳高二检测)若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递增区间为(－∞，－1)和(2，＋∞)，则b＝________，c＝________.
【解析】 ∵f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知x＜－1或x＞2是不等式3x2＋2bx＋c＞0的解集，∴－1,2是方程3x2＋2bx＋c＝0的两个根，∴－1＋2＝－，－1×2＝，∴b＝－，c＝－6.
【答案】 － －6
三、解答题
9．已知函数f(x)＝ax4＋bx2＋c的图象经过点(0,1)，且在x＝1处的切线方程是y＝x－2.
(1)求y＝f(x)的解析式；
(2)求y＝f(x)的单调递增区间．
【解】 (1)由题意得：f(0)＝1，f′(1)＝1，f(1)＝－1.
∴∴
∴f(x)＝x4－x2＋1
(2)f′(x)＝10x3－9x，由10x3－9x＞0得x＞或－＜x＜0，
∴f(x)的单调增区间为(－，0)，(，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1－，讨论函数f(x)的单调性．
【解】 由条件可知a≠0，
∴f′(x)＝3ax2－6x＝3ax(x－)．
∴当a＞0时，
f′(x)＞0?x＜0或x＞，
f′(x)＜0?0＜x＜.
f(x)在(－∞，0)，(，＋∞)上是增函数，在(0，)上是减函数；
当a＜0时，
f′(x)＜0?x＜或x＞0，
f′(x)＞0?＜x＜0.
f(x)在(－∞，)，(0，＋∞)上是减函数，在(，0)上是增函数．
综上，a＞0时，f(x)在(－∞，0)，(＋∞)上是增函数，在(0，)上是减函数；
a＜0时f(x)在(－∞，)，(0，＋∞)上是减函数，在(，0)上是增函数．
11．已知f(x)＝ex－ax－1.
(1)求f(x)的单调增区间；
(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．
【解】 (1)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.
令f′(x)≥0得ex≥a，
当a≤0时，有f′(x)＞0在R上恒成立；
当a＞0时，有x≥ln a.
综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；
当a＞0时，f(x)的单调增区间为[ln a，＋∞)．
(2)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.
∵f(x)在R上单调递增，
∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立，
即a≤ex，x∈R恒成立．
∵x∈R时，ex∈(0，＋∞)，∴a≤0.
因此实数a的取值范围是(－∞，0].
(教师用书独具)
已知x＞1，证明：ln x＋＞1.
【证明】 令f(x)＝ln x＋(x＞1)，
∴f′(x)＝－＝，
∵x＞1，∴f′(x)＞0，
∴f(x)＝ln x＋在(1，＋∞)上单调递增，
∴f(x)＞f(1)＝ln 1＋1＝1.
从而ln x＋＞1，
命题得证．
已知x＞0，证明：1＋2x＜e2x.
【证明】 设f(x)＝1＋2x－e2x，则f′(x)＝2－2e2x
＝2(1－e2x)，
当x＞0时，2x＞0，e2x＞e0＝1，∴f′(x)＝2(1－e2x)＜0，
∴函数f(x)＝1＋2x－e2x在(0，＋∞)上是减函数．
∵函数f(x)＝1＋2x－e2x是连续函数，
∴当x＞0时，f(x)＜f(0)＝0，
∴当x＞0时，1＋2x－e2x＜0，即1＋2x＜e2x.
3．3.2 函数的极值与导数
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与其导数的关系，并会灵活应用；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．
2．过程与方法
通过对具体问题的观察、分析来增强学生数形结合的思维意识，提高学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力，及灵活运用类比、归纳、化归等数学方法的能力．
3．情感、态度与价值观
通过设立问题情境，激发学生的学习动机和好奇心理，使其主动参与交流活动．通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立、自强的优良心理品质．通过教师对例题的讲解培养学生良好的学习习惯及科学的学习态度．
●重点、难点
重点：函数的极值的判断方法及求函数极值的步骤．
难点：函数在某点取得极值必要条件和充分条件．
观察图象特征、自主探究、小组合作总结归纳出求极值方法步骤，并了解极值存在的充分条件和必要条件，从而突破重点、难点．
(教师用书独具)
●教学建议
本节课力在突出“以学生为主体”的教学理念．以问题探究为主要形式，依照学生的认知规律，采用自主学习与合作探究相结合的模式．教师在整堂课中引导着学生探索出函数的极值与导数的关系．对于检验学生学习的效果，采用问题和练习的形式给予检查和纠正．
本着“学生是教学活动出发点，也是教学活动的落脚点”的教学思想，在整个教学活动中，不断激发学生的学习兴趣，让学生真正的参与到知识的成长过程．主要从以下几个方面对学生进行指导：(1)引导学生观察图象，产生认知冲突．极值好像是最值，又不是最值．(2)激发探究欲望．学生产生疑问之后，指导学生思考怎样解决问题，培养学生的分析和解决问题的能力．(3)指导学生合作探究，小组讨论并得出结论．
●教学流程
???????
(对应学生用书第58页)
课标解读
1.理解极值的定义．(难点)
2．掌握利用导数求函数极值的步骤，能熟练地求函数的极值．(重点)
3．会根据函数的极值求参数的值．(难点)
极值点与极值
【问题导思】
函数y＝f(x)的图象如图所示．
1．函数在x＝a点的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？
【提示】 函数在点x＝a的函数值比它在点x＝a附近的其他点的函数值都小 .
2．f′(a)为多少？在点x＝a附近，函数的导数的符号有什么规律？
【提示】 f′(a)＝0，在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.
3．函数在x＝b点处的情况呢？
【提示】 函数在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.
1．极小值点与极小值
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
2．极大值点与极大值
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
【问题导思】
函数的极大值一定大于极小值吗？
【提示】 不一定，极值刻画的是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况，极大值可能比极小值还小.
(对应学生用书第58页)
求函数的极值
求下列函数的极值点和极值．
(1)f(x)＝x3－x2－3x＋3；
(2)f(x)＝＋3ln x.
【思路探究】 ―→
【自主解答】 (1)f′(x)＝x2－2x－3.
令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝－1，如下表所示：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值－6
?
∴f(x)极大值＝，f(x)极小值＝－6.
(2)函数f(x)＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＋＝，
令f′(x)＝0得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值3
?
因此当x＝1时，f(x)有极小值，并且f(1)＝3.
1．求函数的极值首先要求函数的定义域，然后求f′(x)＝0的实数根，当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．
2．函数极值和极值点的求解步骤：
①确定函数的定义域；
②求方程f′(x)＝0的根；
③用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；
④由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．
求函数y＝2x＋的极值．
【解】 函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
y′＝2－，令y′＝0，得x＝±2.
当x变化时，y′、y的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,0)
(0,2)
2
(2，＋∞)
y′
＋
0
－
－
0
＋
y
?
－8
?
?
8
?
由表知：当x＝－2时，y极大值＝－8；
当x＝2时，y极小值＝8.
由函数的极值求参数
已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－时都取得极值，且f(－1)＝，求a、b、c的值．
【思路探究】 (1)函数在x＝1和x＝－时都取得极值，说明f′(1)与f′(－)的结果怎样？(2)你能由已知条件列出方程组求解a、b、c吗？
【自主解答】 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
令f′(x)＝0，由题设知x＝1与x＝－为f′(x)＝0的解．
∴
解得a＝－，b＝－2.
∴f′(x)＝3x2－x－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，1)
1
(1，＋∞)
f′＝(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
＋c
?
－＋c
?
由上表知，函数在x＝1与－处取得极值．
∴a＝－，b＝－2.
∴f(x)＝x3－x2－2x＋c，
由f(－1)＝－1－＋2＋c＝，
得c＝1.
已知函数的极值情况，逆向应用来确定参数或求解析式时应注意两点：
(1)常根据极值点处导数为0和极值两条件列出方程组，用待定系数法求解．
(2)因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证．
已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1和x＝3处有极值，求a、b的值．
【解】 由f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2，得f′(x)＝3x2＋6ax＋b.
又f(x)在x＝－1和x＝3处有极值，
∴f′(－1)＝3＋b－6a＝0，①
f′(3)＝27＋18a＋b＝0.②
联立①②，得
∴f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)．
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大
?
极小
?
∴f(x)在－1,3处取极值，
∴a＝－1，b＝－9符合题意.
函数极值的综合应用
已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
【思路探究】 (1)能否由已知条件求出a值，确定f(x)？(2)直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同交点的含义是什么？如何用数形结合求出m的范围？
【自主解答】 ∵f(x)在x＝－1处取得极值，
∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.
∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，
由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1.
当x＜－1时，f′(x)＞0；
当－1＜x＜1时，f′(x)＜0；
当x＞1时，f′(x)＞0.
∴由f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，
又f(－3)＝－19＜－3，f(3)＝17＞1，
结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(－3,1)．
1．解答本题的关键是运用数形结合的思想将函数的图象与其极值建立起关系．
2．极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用与逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用．在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．
已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.
(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；
(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根？
【解】 (1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，得f′(x)＝－3x2＋3，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
a－2
?
a＋2
?
由表可知函数f(x)的极小值为f(－1)＝a－2；
极大值为f(1)＝a＋2.
由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，
如图所示，这里，极大值a＋2大于极小值a－2.
(2)结合图象，当极大值a＋2＝0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰有两个实数根，所以a＝－2满足条件；
当极小值a－2＝0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＝2满足条件．
综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根．
(对应学生用书第60页)
因未验根而致误
已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a、b的值．
【错解】 因为f(x)在x＝－1时有极值0且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，
所以即
解得或
【错因分析】 解出a，b值后，未验证x＝－1两侧函数的单调性而导致产生增根致误．
【防范措施】 可导函数在x0处的导数为0是该函数在x0处取得极值的必要不充分条件，而并非充要条件，故由f′(x)＝0而求出的参数需要检验，以免出错．
【正解】 因为f(x)在x＝－1时有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b.
∴即
解得或
当a＝1，b＝3时，
f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，
f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
当x∈(－∞，－3)时，f(x)为增函数；
当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；
当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数．
所以f(x)在x＝－1时取得极小值，
因此a＝2，b＝9.
1．极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内是最大或最小．极值是不唯一的，极大值与极小值之间也无确定的大小关系．
2．极大值点可以看成是函数的单调递增区间与单调递减区间的分界点，极小值点可以看成是函数的单调递减区间与单调递增区间的分界点．
3．可导函数f(x)求极值的一般步骤：
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格；
(4)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.
(对应学生用书第60页)
1．下列说法正确的是( )
A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大
B．函数在闭区间上的极大值一定比极小值小
C．函数f(x)＝|x|只有一个极小值
D．函数y＝f(x)在区间(a，b)上一定存在极值
【解析】 函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系，单调函数在区间(a，b)上没有极值，故A、B、D错误，C正确，函数f(x)＝|x|只有一个极小值为0.
【答案】 C
2．函数f(x)的定义域为区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图3－3－5所示，则函数f(x)在(a，b)内的极小值的个数为( )
图3－3－5
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 在(a，b)内，f′(x)＝0的点有A、B、O、C.
要为函数的极小值点，则在该点处的左、右两侧导函数的符号满足左负右正，只有点B符合．
【答案】 A
3．函数y＝f(x)是定义在R上的可导函数，则f′(x0)＝0是x0为函数y＝f(x)的极值点的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 f′(x0)＝0?/ y＝f(x)在x0处有极值，但y＝f(x)在x0处有极值?f′(x0)＝0，应选B.
【答案】 B
4．求函数y＝x＋的极值．
【解】 y′＝1－＝，令y′＝0解得x＝±1，而原函数的定义域为{x|x≠0}，∴当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,0)
(0,1)
1
(1，＋∞)
y′
＋
0
－
－
0
＋
y
?
极大值
?
?
极小值
?
所以当x＝－1时，y极大值＝－2，当x＝1时，y极小值＝2.
(对应学生用书第111页)
一、选择题
1．已知函数f(x)，x∈R，有唯一极值，且当x＝1时，f(x)存在极小值，则( )
A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0
B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0
C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0
D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0
【解析】 f(x)在x＝1时存在极小值，则当x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0，应选C.
【答案】 C
图3－3－6
2．(2013·青岛高二检测)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图象如图3－3－6所示，则函数f(x)的极小值是( )
A．a＋b＋c B．3a＋4b＋c
C．3a＋2b D．c
【解析】 由f′(x)的图象可知，当x＝0时，函数取得极小值，f(x)极小值＝c.
【答案】 D
3．函数f(x)＝x3－3x2＋3x( )
A．x＝1时，取得极大值
B．x＝1时，取得极小值
C．x＝－1时，取得极大值
D．无极值点
【解析】 f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立．
∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，f(x)无极值．
【答案】 D
4．(2013·临沂高二检测)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x＋5在x＝－3时取得极值，则a＝( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】 f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意：f′(－3)＝27－6a＋3＝0
∴a＝5.应选D.
【答案】 D
5．如图3－3－7所示是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x＋x等于( )
图3－3－7
A. B. C. D.
【解析】 函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d图象过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，得d＝0，b＋c＋1＝0,4b＋2c＋8＝0，则b＝－3，c＝2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c＝3x2－6x＋2，且x1，x2是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的两个极值点，即x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的实根，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝.
【答案】 C
二、填空题
6．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于________．
【解析】 y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．
令y′＝0得x1＝0，x2＝4.
列表可知y极大＝f(4)＝32＋m＝13.
∴m＝－19.
【答案】 －19
7．若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是________．
【解析】 f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
由题意f′(x)＝0有两个不等的实根，
故Δ＝(6a)2－4×3×3(a＋2)＞0，解之得a＞2或a＜－1.
【答案】 (－∞，－1)∪(2，＋∞)
8．(2013·昆明高二检测)如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图3－3－8所示，给出下列判断：
图3－3－8
(1)函数y＝f(x)在区间(－3，－)内单调递增；
(2)函数y＝f(x)在区间(－，3)内单调递减；
(3)函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；
(4)当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；
(5)当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．
则上述判断中正确的是________．
【解析】 由导函数的图象知：
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当x∈(－2,2)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x∈(2,4)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当x∈(4，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
在x＝－2时，f(x)取极小值；
在x＝2时，f(x)取极大值；
在x＝4时，f(x)取极小值；
所以只有(3)正确．
【答案】 (3)
三、解答题
9．求下列函数的极值．
(1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝－2.
【解】 (1)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
f(－2)＝16
?
极小值
f(2)＝－16
?
所以当x＝－2时，函数有极大值，
且f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16；
当x＝2时，函数有极小值，
且f(2)＝23－12×2＝－16.
(2)函数的定义域为R.
f′(x)＝＝－.
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
极小值
－3
?
极大值
－1
?
所以当x＝－1时，函数有极小值，
且f(－1)＝－2＝－3；
当x＝1时，函数有极大值；
且f(1)＝－2＝－1.
10．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点．
(1)试确定常数a和b的值；
(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
【解】 (1)因为f(x)＝aln x＋bx2＋x，
所以f′(x)＝＋2bx＋1.
由极值点的必要条件可知：f′(1)＝f′(2)＝0，
即
解方程组得a＝－，b＝－.
(2)由(1)知f(x)＝－ln x－x2＋x(x＞0)．
f′(x)＝－x－1－x＋1.
当x∈(0,1)时，f′(x)＜0；
当x∈(1,2)时，f′(x)＞0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0.
故在x＝1处函数f(x)取得极小值，在x＝2处函数取得极大值－ln 2.
所以x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点．
11．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？
【解】 (1)f′(x)＝3x2－2x－1.
令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1.
当x变化时f′(x)、f(x)变化情况如下表：
x
－
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
所以f(x)的极大值是f＝＋a，
极小值是f(1)＝a－1.
(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，
由此可知x取足够大的正数时有f(x)＞0，x取足够小的负数时有f(x)＜0，所以曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．
因此若y＝f(x)与x轴仅有一个交点，应有＋a＜0或a－1＞0.
所以当a∈∪(1，＋∞)时曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点.
(教师用书独具)
已知函数f(x)＝ax2＋bln x，其中ab≠0，求证：当ab＞0时，函数f(x)没有极值点．
【证明】 ∵f(x)＝ax2＋bln x(ab≠0)
∴f(x)的定义域为(0，＋∞)
f′(x)＝2ax＋＝
当ab＞0时，若a＞0，b＞0，则f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的；若a＜0，b＜0，则f′(x)＜0，f(x)在(0，＋∞)上是单调递减的．
∴当ab＞0时，函数f(x)没有极值点．
已知函数f(x)＝ax2＋bln x，其中ab≠0，求函数有极值时a、b满足的条件．
【解】 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2ax＋＝.
若函数f(x)有极值，首先f′(x)＝0，即2ax2＋b＝0在(0，＋∞)上有根．
因为ab≠0，x2＝－，所以当ab＜0时，
2ax2＋b＝0在(0，＋∞)上有根x＝.
又当a＞0，b＜0时，f′(x)在x＝两侧的符号是左负右正，此时函数f(x)在x＝取得极小值；
当a＜0，b＞0时，f′(x)在x＝两侧的符号是左正右负，此时函数f(x)在x＝取得极大值．
综上，函数f(x)＝ax2＋bln x(ab≠0)有极值时，a，b所满足的条件是ab＜0.
导数及其应用
导数的运算与导数的几何意义
导数的运算，要熟练掌握基本导数公式和运算法则．由于函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．因此关于曲线的切线问题可尝试导数的方法解决．
设抛物线C1：y1＝x2－2x＋2与抛物线C2：y2＝－x2＋ax＋b在它们的一个公共点处的切线互相垂直．
(1)求a、b之间的关系；
(2)若a>0，b>0，求ab的最大值．
【思路点拨】 结合导数的几何意义求公共点处的导数即为斜率，由已知斜率互为负倒数进而推知a、b的关系式．
【规范解答】 (1)依题意y＝2x－2，y＝－2x＋a，设它们的公共点为P(x0，y0)，因为在P点切线互相垂直．
∴(2x0－2)(－2x0＋a)＝－1，
即4x－2(a＋2)x0＋2a－1＝0，①
则Δ＝4[(a－2)2＋4]＞0.
又∵y0＝x－2x0＋2，且y0＝－x＋ax0＋b，
相减得：2x－(a＋2)x0＋2－b＝0，②
由有①②消去x0得：2b＋2a＝5，
即a＋b＝.
(2)由(1)得ab≤2＝2＝，
当且仅当a＝b＝时上式取等号，
∴ab的最大值为.
已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
【解】 (1)点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．
∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.
∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，
即y＝13x－32.
(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为
f′(x0)＝3x＋1，∴直线l的方程为
y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，
又∵直线l过点(0,0)，
∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，
整理得，x＝－8，∴x0＝－2，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
k＝3×(－2)2＋1＝13，
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
利用导数研究函数的性质
把导数作为数学工具，求解单调区间，研究函数的极大(小)值，以及求在闭区间[a，b]的最大(小)值是本章的重点．
利用导数求函数的单调性是基础，求极值是关键，学习时一定要熟练它们的求解方法．
1．利用导数求可导函数的单调区间的一般步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求f′(x)；
(3)解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0；
(4)不等式的解集与定义域取交集；
(5)确定并写出函数的单调递增区间或单调递减区间．
2．应用导数求函数极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．
若左正右负，则f(x)的此根处取得极大值；
若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；
否则，此根不是f(x)的极值点．
已知a、b为常数且a＞0，f(x)＝x3＋(1－a)x2－3ax＋b.
(1)函数f(x)的极大值为2，求a、b间的关系式；
(2)函数f(x)的极大值为2，且在区间[0,3]上的最小值为－，求a、b的值．
【思路点拨】 利用导数求极值与最值的方法解参数的值．
【规范解答】 (1)f′(x)＝3x2＋3(1－a)x－3a＝3(x－a)(x＋1)，
令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝a，因为a＞0，所以x1＜x2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态见下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，a)
a
(a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
所以当x＝－1时，f(x)有极大值2，即3a＋2b＝3.
(2)当0＜a＜3时，由(1)知，f(x)在[0，a)上为减函数，在(a,3]上为增函数，
所以f(a)为最小值，f(a)＝－a3－a2＋b.
即－a3－a2＋b＝－，又由b＝.
于是有a3＋3a2＋3a－26＝0，即(a＋1)3＝27，a＝2，b＝－.
设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．
(1)求a，b的值；
(2)讨论函数的单调性．
【解】 (1)f′(x)＝3x2－6ax＋3b，
∵f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．
∴f(1)＝－11，f′(1)＝－12，
即
解之得a＝1，b＝－3.
(2)由(1)得，f′(x)＝3(x2－2x－3)
＝3(x＋1)(x－3)．
令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜－1.
令f′(x)＜0，解得－1＜x＜3.
∴当x∈(－∞，－1)或x∈(3，＋∞)时，f(x)是增函数；当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数．
利用导数求参数的取值范围
导数作为工具为研究函数的单调性、极值和最值提供了通性通法，某些求参数范围问题，常借助导数求最值转化为恒成立问题．
解决恒成立问题时，一般先分离参数，再利用f(x)≥a恒成立，即f(x)min≥a，或f(x)≤a恒成立，即f(x)max≤a恒成立的思想解决参数的范围问题．
(2011·北京高考)已知函数f(x)＝(x－k)2e.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤，求k的取值范围．
【思路点拨】 先对函数求导，用f′(x)的正负来判断f(x)的增减，用恒成立的思想解决k的取值范围，但要注意对k值的分类讨论．
【规范解答】 (1)f′(x)＝(x2－k2)e.
令f′(x)＝0，得x＝±k，由题意可知k≠0.
当k＞0时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：
x
(－∞ ，－k)
－k
(－k，k)
k
(k，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
4k2e－1
?
0
?
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k，＋∞)，单调递减区间是(－k，k)．
当k＜0时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：
x
(－∞，k)
k
(k，－k)
－k
(－k，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
0
?
4k2e－1
?
所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)，单调递增区间是(k，－k)．
(2)当k＞0时，因为f(k＋1)＝e＞，
所以不会有?x∈(0，＋∞)，f(x)≤.
当k＜0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝.
所以?x∈(0，＋∞)，f(x)≤等价于f(－k)＝≤，
解得－≤k＜0.
故当?x∈(0，＋∞)，f(x)≤时，k的取值范围是[－，0)．
设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．
(1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．
【解】 (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)，
∴当x＝－t时，
f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1.
即h(t)＝－t3＋t－1.
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．
当t变化时，g′(t)、g(t)的变化情况如下表：
t
(0,1)
1
(1,2)
g′(t)
＋
0
－
g(t)
?
极大值1－m
?
∴g(t)在(0,2)内有最大值g(1)＝1－m，
h(t)＜－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)＜0在(0,2)内恒成立，
即等价于1－m＜0，所以m的取值范围是m＞1.
数形结合思想
数形结合思想不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的数学思想，是高考解题常用的一种思想．一般来说，“形”具有形象、直观的特点，易于从整体上定性地分析问题，“数形对照”便于寻求思路，化难为易；“数”则具有严谨、准确的特点，能够严格论证和定量求解．“由数想形”可以弥补“形”难以精确的弊端，恰当地应用数形结合是提高解题速度、优化解题过程的一种重要方法，本章应用数形结合思想比较广泛，例如应用导函数的图象求极值点的个数，应用函数图象求函数的最值或值域，根据函数式研究图象的性质等．
求下列函数的单调区间并根据单调区间大致描绘出函数图象．
(1)f(x)＝x3＋3x；
(2)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1.
【思路点拨】 应用导函数的正负，求出单调区间，描绘函数的图象时，除应用单调性外，还应注意函数的某些特殊点．
【规范解答】 (1)因为f(x)＝x3＋3x，
所以f′(x)＝3x2＋3＝3(x2＋1)＞0，
所以函数f(x)＝x3＋3x在x∈R上单调递增，函数的大致图象如图(1)所示．
(1) (2)
(2)因为f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，
所以f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x2＋x－2)＝6(x－1)(x＋2)，
当f′(x)＞0，即x＞1或x＜－2时，函数f(x)单调递增；
当f′(x)＜0，即－2＜x＜1时，函数f(x)单调递减．
函数f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1的大致图象如图(2)所示．
设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图3－1所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( )
3－1
【解析】 由f(x)的图象可看出，y轴的左侧，f(x)单调递减，所以导函数f′(x)恒小于0，y轴的右侧，f(x)先增再减，最后再增，所以导函数f′(x)先大于0，再小于0，最后再大于0.故选D.
【答案】 D
课件34张PPT。导数的运算与导数的几何意义 利用导数研究函数的性质 利用导数求参数的取值范围 数形结合思想 课件51张PPT。教师用书独具演示演示结束函数的变化率 之比 平均变化率 函数f(x)在x＝x0处的导数 平均变化率的计算 求瞬时速度 求函数在某点处的导数 课时作业（十三）课件53张PPT。教师用书独具演示演示结束导数的几何意义 f′(x0) 切线 切线的斜率 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) 导函数的概念 确定的数 导数几何意义的理解 求曲线的切线方程 导数几何意义的综合应用 课时作业（十四）课件50张PPT。教师用书独具演示演示结束基本初等函数的导数公式 α·xα－1cos x－sin xex 导数的运算法则 f′(x)＋g′(x) f′(x)－g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) 用求导公式求函数的导数 用求导公式和导数运算法则求导 导数的应用 课时作业（十五）课件53张PPT。教师用书独具演示演示结束函数的单调性与其导数的正负的关系 单调递增 单调递减 锐钝＞0＜0上升下降递增递减导数与函数图象的关系 求函数的单调区间 判断含有字母参数的函数的单调性 课时作业（十六）课件60张PPT。教师用书独具演示演示结束极值点与极值 f′(x)＜0 f′(x)＞0 f′(x)＞0 f′(x)＜0 极大值点 极小值点 极大值 极小值 求函数的极值 由函数的极值求参数 函数极值的综合应用 课时作业（十七）课件59张PPT。教师用书独具演示演示结束函数f(x)在区间[a，b]上的最值 连续不断 最大值 最小值 极值点 求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤 极值 端点处 最大值 最小值 求函数在闭区间上的最值 求含参数的函数的最值 函数最值的综合应用问题 课时作业（十八）课件61张PPT。教师用书独具演示演示结束导数在实际问题中的应用 解决优化问题的基本思路 面积体积的最值问题 用料最省、费用最低问题 利润最大问题 课时作业（十九）综合检测(三)
第三章 导数及其应用
(时间：90分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设质点M按规律s＝3t2＋5做直线运动，则质点M( )
A．在t＝1时的瞬时速度为11
B．在t＝2时的瞬时速度为12
C．在t＝3时的瞬时速度为13
D．在t＝4时的瞬时速度为17
【解析】 瞬时速度v＝s′＝6t，当t＝2时，s′(2)＝12
【答案】 B
2．(2013·临沂高二检测)已知p：函数y＝f(x)的导函数是常函数；q：函数y＝f(x)是一次函数，则p是q的( )条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【解析】 p q，因为当f(x)是常函数时，其导函数也为常函数；q?p，故p是q的必要不充分条件．
【答案】 B
3．函数y＝x2cos x的导数为( )
A．y′＝2xcos x－x2sin x B．y′＝2xcos x＋x2sin x
C．y′＝x2cos x－2xsin x D．y′＝xcos x－x2sin x
【解析】 f′(x)＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x.
【答案】 A
4．函数y＝3x－x3的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－1,1) D．(1，＋∞)
【解析】 y′＝3－3x2，令y′＞0得x∈(－1,1)
【答案】 C
5．(2013·济宁高二检测)若曲线f(x)＝x4－x在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为( )
A．(1,3) B．(－1,3)
C．(1,0) D．(－1,0)
【解析】 f′(x)＝4x3－1，设P(x0，y0)，则f′(x0)＝4x－1＝3.
∴x0＝1，y0＝f(1)＝1－1＝0，∴点P的坐标为(1,0)．
【答案】 C
6．(2013·烟台高二检测)三次函数f(x)＝mx3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是( )
A．m＜0 B．m＜1
C．m≤0 D．m≤1
【解析】 f′(x)＝3mx2－1，由题意f′(x)≤0在R上恒成立，所以，∴m＜0.
【答案】 A
7．已知函数f(x)在定义域R上是增函数，且f(x)＜0，则g(x)＝x2f(x)的单调情况一定是( )
A．在(－∞，0)上递增 B．在(－∞，0)上递减
C．在R上递减 D．在R上递增
【解析】 g′(x)＝2x·f(x)＋x2f′(x)，
由于f(x)在R上是增函数，∴f′(x)＞0，
又f(x)＜0，∴当x＜0时，g′(x)＞0.
∴g(x)在(－∞，0)上递增．
【答案】 A
8．设函数f(x)＝2x＋－1(x＜0)，则f(x)( )
A．有最大值 B．有最小值
C．是增函数 D．是减函数
【解析】 f′(x)＝2－＝，方程f′(x)＝0在x＜0内有解，当x＝－时，f′(x)＝0，当x＜－时，f′(x)＞0；当－＜x＜0时，f′(x)＜0；故f(x)在x＝－时有极大值，也是最大值．
【答案】 A
9．(2013·天津高二检测)下列图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导数f′(x)的图象，则f(－1)的值为( )
(1) (2) (3)
图1
A. B．－
C. D．－或
【解析】 f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，其图象开口向上，故不是图(1)，在图(2)中，a＝0，f′(x)＝x2－1，但已知a≠0，故f′(x)的图象应为图(3)，∴f′(0)＝0，∴a＝±1，又其对称轴在y轴右侧，故a＝－1，∴f(x)＝x3－x2＋1，∴f(－1)＝－.
【答案】 B
10．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系Q＝8300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )
A．30元 B．60元
C．28000元 D．23000元
【解析】 设毛利润为L(p)，由题意知L(p)＝PQ－20Q＝Q(P－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或－130(舍)．此时L(30)＝23000，因为在p＝30附近的左侧L′(p)＞0，右侧L′(p)＜0.所以L(30)是极大值也是最大值．
【答案】 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
11．函数f(x)＝ex·cos x，x∈[0,2π]，若f′(x)＝0，则x＝________.
【解析】 f′(x)＝ex(－sin x)＋excos x＝ex(cos x－sin x)，
令f′(x)＝0得cos x－sin x＝0，∴cos x＝sin x.
∴x＝或π.
【答案】 或π
12．若函数f(x)＝x3－f′(1)x2＋2x－5，则f′(2)＝________.
【解析】 ∵f′(x)＝3x2－2f′(1)x＋2，
∴f′(1)＝3－2f′(1)＋2，∴f′(1)＝.
因此f′(2)＝12－4f′(1)＋2＝.
【答案】
13．函数f(x)＝x＋2cos x在区间[0，]上的最大值是________．
【解析】 由f(x)＝x＋2cos x，得f′(x)＝1－2sin x，
当0≤x≤时，0≤sin x＜，∴f′(x)＞0.
∴f(x)在[0，]上是增函数，
∴函数f(x)在区间上的最大值f(x)max＝f＝＋2cos.
【答案】 ＋2cos
14．(2013·济南高二检测)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时不等式f(x)＋xf′(x)＜0成立，若a＝30.3·f(30.3)，b＝logπ3·f(logπ3)，c＝log3·f(log3)，则a，b，c的大小关系是________．
【解析】 构造函数g(x)＝xf(x)，
则g(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上递减，a＝g(30.3)，b＝g(logπ3)，c＝g(log3)＝g(log39)，
∵log39＞30.3＞logπ3＞0，∴c＜a＜b.
【答案】 c＜a＜b
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)满足：
①在x＝1时有极值；
②图象过点(0，－3)，且在该点处的切线与2x＋y＝0平行．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函数g(x)＝f(x＋1)的单调递增区间．
【解】 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，
则f′(x)＝2ax＋b.
由题设可得即
解得
所以f(x)＝x2－2x－3.
(2)g(x)＝f(x＋1)＝(x＋1)2－2(x＋1)－3＝x2－4.
令g′(x)＝2x＞0，得x＞0.
故g(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
16．(本小题满分12分)若函数f(x)＝ax2＋2x＋bln x在x＝1和x＝2时取极值．
(1)求a，b的值；
(2)求在上的最大值和最小值．
【解】 (1)f′(x)＝2ax＋2＋，∴f′(1)＝f′(2)＝0.
即解得
(2)由(1)知，f(x)＝－x2＋2x－ln x，
∵f(x)在x＝1和x＝2时取极值，
且f(2)＝－ln 2，f(1)＝，
又f＝－＋1－ln ＝＋ln 2，
∴函数f(x)的最小值f(x)min＝f(1)＝，最大值f(x)max＝f＝＋ln 2.
17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋2x2＋x－4，g(x)＝ax2＋x－8.
(1)求函数f(x)的极值；
(2)若对任意x∈[0，＋∞)都有f(x)≥g(x)，求实数a的取值范围．
【解】 (1)f′(x)＝3x2＋4x＋1，
令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝－.
∵当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数；
当x∈(－1，－)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数；
当x∈(－，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数．
∴当x＝－1时，f(x)取得极大值－4，
当x＝－时，f(x)取得极小值－.
(2)设F(x)＝f(x)－g(x)＝x3＋(2－a)x2＋4，
∵F(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，
∴[F(x)]min≥0，x∈[0，＋∞)．
若2－a≥0，
显然[F(x)]min＝F(0)＝4＞0；
若2－a＜0，F′(x)＝3x2＋(4－2a)x，
令F′(x)＝0，解得x＝0或x＝.
当0＜x＜时，F′(x)＜0；
当x＞时，F′(x)＞0，
∴当x∈(0，＋∞)时，[F(x)]min＝F()≥0，即
()3＋(2－a)()2＋4≥0.
解不等式得a≤5，∴2＜a≤5.
当x＝0时，F(x)＝4满足题意．
综上所述a的取值范围为(－∞，5]．
18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ax＋ln x(a∈R)．
(1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的斜率；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)设g(x)＝x2－2x＋2，若对任意x1∈(0，＋∞)，均存在x2∈[0,1]，使得f(x1)＜g(x2)，求a的取值范围．
【解】 (1)由已知，当a＝2时，f(x)＝2x＋ln x，
f′(x)＝2＋(x＞0)，
f′(1)＝2＋1＝3.
故曲线y＝f(x)在x＝1处切线的斜率为3.
(2)f′(x)＝a＋＝(x＞0)．
①当a≥0时，由于x＞0，
故ax＋1＞0，f′(x)＞0
所以，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
②当a＜0时，由f′(x)＝0，
得x＝－.
在区间(0，－)上，f′(x)＞0，在区间(－，＋∞)上f′(x)＜0，
所以，函数f(x)的单调递增区间为(0，－)，单调递减区间为(－，＋∞)．
综上所述，当a≥0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当a＜0时，f(x)的单调递增区间为(0，－)，单调递减区间为(－，＋∞)．
(3)由已知，转化为f(x)max＜g(x)max.g(x)max＝2，
由(2)知，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，值域为R，故不符合题意．
(或者举出反例：存在f(e3)＝ae3＋3＞2，故不符合题意．)
当a＜0时，f(x)在(0，－)上单调递增，在(－，＋∞)上单调递减，
故f(x)的极大值即为最大值，
f(－)＝－1＋ln()
＝－1－ln(－a)，
所以2＞－1－ln(－a)，
解得a＜－.
综上，a的取值范围是a＜－.
一、选择题
1．已知函数y＝x2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则等于( )
A．2 B．2x
C．2＋Δx D．2＋(Δx)2
【解析】 Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2.
∴＝＝2＋Δx.
【答案】 C
2．自由落体运动的公式为s＝s(t)＝gt2(g＝10 m/s2)，若v＝，则下列说法正确的是( )
A．v是在0～1 s这段时间内的速度
B．v是1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速度
C．5Δt＋10是物体在t＝1 s这一时刻的速度
D．5Δt＋10是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速度
【解析】 由平均速度的概念知：v＝＝5Δt＋10.故应选D.
【答案】 D
3．(2013·惠州高二检测)某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为( )
A.米/秒 B.米/秒
C．8米/秒 D.米/秒
【解析】 ∵＝
＝
＝Δt＋8－，∴ ＝8－＝.
【答案】 B
4．函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是( )
A．k1＜k2 B．k1＞k2
C．k1＝k2 D．无法确定
【解析】 k1＝＝2x0＋Δx，k2＝＝2x0－Δx，而Δx可正可负，故k1、k2大小关系不确定．
【答案】 D
5．已知点P(x0，y0)是抛物线y＝3x2＋6x＋1上一点，且f′(x0)＝0，则点P的坐标为( )
A．(1,10) B．(－1，－2)
C．(1，－2) D．(－1,10)
【解析】 Δy＝3(x0＋Δx)2＋6(x0＋Δx)－3x－6x0＝6x0·Δx＋3(Δx)2＋6Δx，
∴ ＝ (6x0＋3Δx＋6)＝6x0＋6＝0.
∴x0＝－1，y0＝－2.
【答案】 B
二、填空题
6．(2013·洛阳高二检测)一小球沿斜面自由滚下，其运动方程是s(t)＝t2, (s的单位：米，t的单位：秒)，则小球在t＝5时的瞬时速度为________．
【解析】 v′(5)＝
＝ (10＋Δt)＝10
【答案】 10米/秒
7．已知函数f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.
【解析】 f′(1)＝ ＝ ＝2，∴a＝2.
【答案】 2
8．若函数f(x)在x＝a处的导数为m，那么 ＝________.
【解析】 ∵ ＝m，
则 ＝m.
∴
＝
＝ ＋ ＝m＋m＝2m.
【答案】 2m
三、解答题
9．已知f(x)＝(x－1)2，求f′(x0)，f′(0)．
【解】 ∵Δf＝(x0＋Δx－1)2－(x0－1)2
＝2x0·Δx－2Δx＋(Δx)2 ，
∴＝＝2x0－2＋Δx，
f′(x0)＝ ＝ (2x0－2＋Δx)＝2x0－2，
把x0＝0代入上式，得f′(0)＝2×0－2＝＝－2.
10．设质点做直线运动，已知路程s是时间t的函数：
s＝3t2＋2t＋1.
(1)求从t＝2到t＝2＋Δt的平均速度，并求当Δt＝1，Δt＝0.1时的平均速度；
(2)求当t＝2时的瞬时速度．
【解】 (1)从t＝2到t＝2＋Δt内的平均速度为：
＝
＝
＝＝14＋3Δt.
当Δt＝1时，平均速度为14＋3×1＝17；
当Δt＝0.1时，平均速度为14＋3×0.1＝14.3.
(2)t＝2时的瞬时速度为：
v＝ ＝ (14＋3Δt)＝14.
11．(2013·黄冈高二检测)枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果枪弹的加速度是a＝5×105 m/s2，它从枪口射出所用的时间为t1＝1.6×10－3 s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．
【解】 ∵s(t)＝at2，
∴Δs＝s(t1＋Δt)－s(t1)
＝a(t1＋Δt)2－at
＝at1Δt＋a(Δt)2，
＝＝at1＋aΔt.
∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为
v＝ ＝ (at1＋aΔt)＝at1.
由题意a＝5×105 m/s2，
t1＝1.6×10－3s，
∴v＝at1＝5×105×1.6×10－3
＝800(m/s)，
即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.
一、选择题
1．(2013·临沂高二检测)设函数f(x)满足 ＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率是( )
A．2 B．－1
C. D．－2
【解析】 ∵ ＝f′(1)＝k＝－1，
∴y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率是－1.
【答案】 B
2．过点(－1,0)作抛物线y＝x2＋x＋1的切线，则其中一条切线为( )
A．2x＋y＋3＝0 B．3x－y＋5＝0
C．2x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
【解析】 ∵点(－1,0)不在抛物线y＝x2＋x＋1上，故点(－1,0)不是切点，但此点在切线上，应满足切线方程，经验证，只有D符合．
【答案】 D
3．函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图3－1－2所示，则在y＝f(x)的图象上A，B的对应点附近，有( )
图3－1－2
A．A处下降，B处上升
B．A处上升，B处下降
C．A处下降，B处下降
D．A处上升，B处上升
【解析】 ∵所给图象的导函数的图象，且A点处y＜0，B点处y＞0，故原函数图象上A处下降，B处上升．
【答案】 A
4．(2013·鹤壁高二检测)如图3－1－3所示，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝( )
图3－1－3
A. B．1
C．2 D．0
【解析】 由图象知f(5)＝－5＋8＝3.
由导数几何意义知f′(5)＝－1.
∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.
【答案】 C
5．(2013·黄冈高二检测)已知曲线y＝在点P(1,4)处的切线与直线l平行且距离为，则直线l的方程为( )
A．4x－y＋9＝0
B．4x－y＋9＝0或4x－y＋25＝0
C．4x＋y＋9＝0或4x＋y－25＝0
D．以上均不对
【解析】 y′＝ ＝－4，∴k＝－4，∴切线方程为y－4＝－4(x－1)，即4x＋y－8＝0，设l：4x＋y＋c＝0，由题意＝，∴c＝9或－25，应选C.
【答案】 C
二、填空题
6．已知y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则＝________.
【解析】 由题意 ＝ (aΔx＋2a)＝2a＝2，∴a＝1，又3＝a×12＋b，∴b＝2，∴＝2.
【答案】 2
7．(2013·杭州高二检测)曲线f(x)＝3x＋x2在点(1，f(1))处的切线方程为__________．
【解析】 k＝ ＝5.
∵f(1)＝4.
由点斜式得y－4＝5(x－1)，即y＝5x－1.
【答案】 y＝5x－1
8．y＝f(x)，y＝g(x)，y＝α(x)的图象如图3－1－4所示：
图3－1－4
而下图是其对应导数的图象：
则y＝f(x)对应________；y＝g(x)对应________；y＝α(x)对应________．
【解析】 由导数的几何意义，y＝f(x)上任一点处的切线斜率均小于零且保持不变，则y＝f(x)对应B.y＝g(x)上任一点处的切线斜率均小于零，且在起始部分斜率值趋近负无限，故y＝g(x)对应C.y＝α(x)图象上任一点处的切线斜率都大于零，且先小后大，故y＝α(x)对应A.
【答案】 B C A
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x2＋2.
(1)求f′(x)；(2)求f(x)在x＝2处的导数．
【解】 (1)∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
＝(x＋Δx)2＋2－(x2＋2)
＝(Δx)2＋2x·Δx，
∴＝2x＋Δx.
∴f′(x)＝ ＝2x.
(2)f′(2)＝f′(x)|x＝2＝2×2＝4.
10．已知曲线y＝x3上一点P(2，)，求：
(1)点P处的切线的斜率；
(2)点P处的切线方程．
【解】 (1)由y＝x3，
得y′＝
＝
＝
＝[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]
＝x2，
y′|x＝2＝22＝4.
所以点p处的切线的斜率等于4.
(2)在点p处的切线方程为y－＝4(x－2)，
即12x－3y－16＝0.
11．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3.
(1)求f′(x)，g′(x)，并判断f′(x)和g′(x)的奇偶性；
(2)若对于所有的实数x，f′(x)－2＜ag′(x)恒成立，试求实数a的取值范围．
【解】 (1)由导数的定义知，
f′(x)＝ ＝2x；
g′(x)＝ ＝[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.
f′(x)和g′(x)的定义域为R，故定义域关于原点对称，
∵f′(－x)＝－2x＝－f′(x)，
∴f′(x)为奇函数．
∵g′(－x)＝3(－x)2＝3x2＝g′(x)，
∴g′(x)为偶函数．
(2)由f′(x)－2＜ag′(x)，得3ax2－2x＋2＞0对任意实数x恒成立，
①当a＝0时，转化为－2x＋2＞0恒成立，即x＜1，不合题意；
②当a≠0时，由3ax2－2x＋2＞0对所有实数x都成立得，
解得a＞.综上，a的取值范围是(，＋∞).
一、选择题
1．(2013·普宁高二检测)设函数f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0＝( )
A．e2 B．e
C. D．ln 2
【解析】 ∵f′(x)＝ln x＋1，∴f′(x0)＝ln x0＋1＝2.
∴lnx0＝1，x0＝e.
【答案】 B
2．(2013·广元高二检测)曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为( )
A．x＋3y－3＝0 B．3x－y＋1＝0
C．3x＋y－1＝0 D．x－3y＋3＝0
【解析】 y′＝ex＋xex＋2，∴y′|x＝0＝3＝k.
∴曲线在点(0,1)处的切线方程为y－1＝3x，即3x－y＋1＝0.
【答案】 B
3．设曲线y＝ax2在(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )
A．1 B.
C．－ D．－1
【解析】 y′＝2ax，∴在点(1，a)处切线的斜率k＝y′|x＝1＝2a.
由题意可得2a＝2，∴a＝1.故选A.
【答案】 A
4．函数y＝的导数是( )
A. B.
C. D.
【解析】 y′＝＝.
【答案】 B
5．设函数f(x)＝x3＋x2＋tan θ，其中θ∈[0，]，则导数f′(1)的取值范围是( )
A．[－2,2] B．[，]
C．[，2] D．[，2]
【解析】 f′(x)＝x2sin θ＋xcos θ，
∴f′(1)＝sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋)，
∵θ∈[0，]，∴sin(θ＋)∈[，1]，
∴f′(1)∈[，2]．
【答案】 D
二、填空题
6．设函数f(x)＝x3－2x2＋x＋5，则f′(1)＝________.
【解析】 ∵f′(x)＝3x2－4x＋1，∴f′(1)＝3×12－4×1＋1＝0.
【答案】 0
7．(2013·张家港高二检测)设函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)，(a，b，c是两两不等的常数)，则＋＋＝________.
【解析】 ∵f′(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，代入即得
＋＋
＝＋＋
＝
＝＝0.
【答案】 0
8．(2013·重庆高二检测)设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．
【解析】 ∵f′(1)＝n＋1，∴y＝xn＋1在点(1,1)处的切线方程为y＝(n＋1)(x－1)＋1.令y＝0，得xn＝，
∴an＝lg n－lg(n＋1)，
∴a1＋a2＋…＋a99＝lg 1－lg 100＝－2.
【答案】 －2
三、解答题
9．求下列函数的导数．
(1)y＝x－sin ·cos ；
(2)y＝·cos x.
【解】 (1)∵y＝x－sin ·cos ＝x－sin x，
∴y′＝1－cos x.
(2)y′＝′＝′cos x＋(cos x)′
＝－－sin x＝－.
10．已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，求a，b的值．
【解】 (1)f′(x)＝－.
由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，故即解得
所以a＝1，b＝1.
11．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求证曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
【解】 (1)7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.
当x＝2时，y＝.
又f′(x)＝a＋，于是解得
故f(x)＝x－.
(2)【证明】 设点P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋可知曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．
令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－)．令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为··|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
一、选择题
1．函数y＝f(x)的图象如右图3－3－3所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )
图3－3－3
【解析】 由函数的图象可知，在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上，函数f(x)均为减函数，故在这两个区间上，f′(x)均小于0.
【答案】 D
2．(2013·吉林高二检测)函数f(x)＝x3－3x＋1的单调递减区间为( )
A．(－1,1) B．(1,2)
C．(－∞，－1) D．(－∞，－1)，(1，＋∞)
【解析】 f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝3x2－3＜0得－1＜x＜1.
∴原函数的单调递减区间为(－1,1)．
【答案】 A
3．定义在R上的函数f(x)，若(x－1)·f′(x)＜0，则下列各项正确的是( )
A．f(0)＋f(2)＞2f(1)
B．f(0)＋f(2)＝2f(1)
C．f(0)＋f(2)＜2f(1)
D．f(0)＋f(2)与2f(1)大小不定
【解析】 当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)是减函数，
∴f(1)＞f(2)．
当x＜1时，f′(x)＞0，f(x)是增函数，
∴f(0)＜f(1)．因此f(0)＋f(2)＜2f(1)．
【答案】 C
4．(2013·天水高二检测)已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1,1)上单调递减，则a的取值范围为( )
A．a≥3 B．a＞3
C．a≤3 D．a＜3
【解析】 ∵f′(x)＝3x2－a，由题意f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立，即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴a≥3x2在(－1,1)上恒成立，又∵0≤3x2＜3，∴a≥3，经验证当a＝3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．
【答案】 A
5．(2013·临沂高二检测)已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数如图3－3－4所示，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能为( )
图3－3－4
【解析】 由图可以看出f′(x)和g′(x)均大于0，即f(x)和g(x)均为增函数．y＝f′(x)递减，则y＝f(x)的切线斜率随着x的增大而减小，即y＝f(x)的增速逐渐减慢；y＝g′(x)递增，则y＝g(x)的切线的斜率随着x的增大而增大，即y＝g(x)的增速不断加快．由f′(x0)＝g′(x0)可知y＝f(x)和y＝g(x)在x＝x0处的切线斜率相同，故选D.
【答案】 D
二、填空题
6．(2013·惠州高二检测)函数f(x)＝xln x的单调减区间为________．
【解析】 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1.
令f′(x)＜0得x＜，又x＞0，∴f(x)的减区间为(0，)．
【答案】 (0，)
7．已知函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1在R上不是单调函数，则实数m的取值范围是________．
【解析】 f′(x)＝3x2＋2x＋m，
∵f(x)在R上非单调，∴f′(x)有两个相异零点．
∴Δ＝4－12m＞0，
∴m＜.
【答案】
8．(2013·洛阳高二检测)若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递增区间为(－∞，－1)和(2，＋∞)，则b＝________，c＝________.
【解析】 ∵f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知x＜－1或x＞2是不等式3x2＋2bx＋c＞0的解集，∴－1,2是方程3x2＋2bx＋c＝0的两个根，∴－1＋2＝－，－1×2＝，∴b＝－，c＝－6.
【答案】 － －6
三、解答题
9．已知函数f(x)＝ax4＋bx2＋c的图象经过点(0,1)，且在x＝1处的切线方程是y＝x－2.
(1)求y＝f(x)的解析式；
(2)求y＝f(x)的单调递增区间．
【解】 (1)由题意得：f(0)＝1，f′(1)＝1，f(1)＝－1.
∴∴
∴f(x)＝x4－x2＋1
(2)f′(x)＝10x3－9x，由10x3－9x＞0得x＞或－＜x＜0，
∴f(x)的单调增区间为(－，0)，(，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1－，讨论函数f(x)的单调性．
【解】 由条件可知a≠0，
∴f′(x)＝3ax2－6x＝3ax(x－)．
∴当a＞0时，
f′(x)＞0?x＜0或x＞，
f′(x)＜0?0＜x＜.
f(x)在(－∞，0)，(，＋∞)上是增函数，在(0，)上是减函数；
当a＜0时，
f′(x)＜0?x＜或x＞0，
f′(x)＞0?＜x＜0.
f(x)在(－∞，)，(0，＋∞)上是减函数，在(，0)上是增函数．
综上，a＞0时，f(x)在(－∞，0)，(＋∞)上是增函数，在(0，)上是减函数；
a＜0时f(x)在(－∞，)，(0，＋∞)上是减函数，在(，0)上是增函数．
11．已知f(x)＝ex－ax－1.
(1)求f(x)的单调增区间；
(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．
【解】 (1)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.
令f′(x)≥0得ex≥a，
当a≤0时，有f′(x)＞0在R上恒成立；
当a＞0时，有x≥ln a.
综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；
当a＞0时，f(x)的单调增区间为[ln a，＋∞)．
(2)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.
∵f(x)在R上单调递增，
∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立，
即a≤ex，x∈R恒成立．
∵x∈R时，ex∈(0，＋∞)，∴a≤0.
因此实数a的取值范围是(－∞，0].
一、选择题
1．已知函数f(x)，x∈R，有唯一极值，且当x＝1时，f(x)存在极小值，则( )
A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0
B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0
C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0
D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0
【解析】 f(x)在x＝1时存在极小值，则当x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0，应选C.
【答案】 C
图3－3－6
2．(2013·青岛高二检测)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图象如图3－3－6所示，则函数f(x)的极小值是( )
A．a＋b＋c B．3a＋4b＋c
C．3a＋2b D．c
【解析】 由f′(x)的图象可知，当x＝0时，函数取得极小值，f(x)极小值＝c.
【答案】 D
3．函数f(x)＝x3－3x2＋3x( )
A．x＝1时，取得极大值
B．x＝1时，取得极小值
C．x＝－1时，取得极大值
D．无极值点
【解析】 f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立．
∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，f(x)无极值．
【答案】 D
4．(2013·临沂高二检测)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x＋5在x＝－3时取得极值，则a＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】 f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意：f′(－3)＝27－6a＋3＝0
∴a＝5.应选D.
【答案】 D
5．如图3－3－7所示是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x＋x等于( )
图3－3－7
A. B.
C. D.
【解析】 函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d图象过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，得d＝0，b＋c＋1＝0,4b＋2c＋8＝0，则b＝－3，c＝2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c＝3x2－6x＋2，且x1，x2是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的两个极值点，即x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的实根，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝.
【答案】 C
二、填空题
6．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于________．
【解析】 y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．
令y′＝0得x1＝0，x2＝4.
列表可知y极大＝f(4)＝32＋m＝13.
∴m＝－19.
【答案】 －19
7．若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是________．
【解析】 f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
由题意f′(x)＝0有两个不等的实根，
故Δ＝(6a)2－4×3×3(a＋2)＞0，解之得a＞2或a＜－1.
【答案】 (－∞，－1)∪(2，＋∞)
8．(2013·昆明高二检测)如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图3－3－8所示，给出下列判断：
图3－3－8
(1)函数y＝f(x)在区间(－3，－)内单调递增；
(2)函数y＝f(x)在区间(－，3)内单调递减；
(3)函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；
(4)当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；
(5)当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．
则上述判断中正确的是________．
【解析】 由导函数的图象知：
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当x∈(－2,2)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x∈(2,4)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当x∈(4，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
在x＝－2时，f(x)取极小值；
在x＝2时，f(x)取极大值；
在x＝4时，f(x)取极小值；
所以只有(3)正确．
【答案】 (3)
三、解答题
9．求下列函数的极值．
(1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝－2.
【解】 (1)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值f(－2)＝16
极小值f(2)＝－16
所以当x＝－2时，函数有极大值，
且f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16；
当x＝2时，函数有极小值，
且f(2)＝23－12×2＝－16.
(2)函数的定义域为R.
f′(x)＝＝－.
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
极小值－3
极大值
－1
所以当x＝－1时，函数有极小值，
且f(－1)＝－2＝－3；
当x＝1时，函数有极大值；
且f(1)＝－2＝－1.
10．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点．
(1)试确定常数a和b的值；
(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
【解】 (1)因为f(x)＝aln x＋bx2＋x，
所以f′(x)＝＋2bx＋1.
由极值点的必要条件可知：f′(1)＝f′(2)＝0，
即
解方程组得a＝－，b＝－.
(2)由(1)知f(x)＝－ln x－x2＋x(x＞0)．
f′(x)＝－x－1－x＋1.
当x∈(0,1)时，f′(x)＜0；
当x∈(1,2)时，f′(x)＞0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0.
故在x＝1处函数f(x)取得极小值，在x＝2处函数取得极大值－ln 2.
所以x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点．
11．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？
【解】 (1)f′(x)＝3x2－2x－1.
令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1.
当x变化时f′(x)、f(x)变化情况如下表：
x
－
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
所以f(x)的极大值是f＝＋a，
极小值是f(1)＝a－1.
(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，
由此可知x取足够大的正数时有f(x)＞0，x取足够小的负数时有f(x)＜0，所以曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．
因此若y＝f(x)与x轴仅有一个交点，应有＋a＜0或a－1＞0.
所以当a∈∪(1，＋∞)时曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点.
一、选择题
1．(2013·郑州高二检测)函数f(x)＝ln x－x在(0，e)上的最大值为( )
A．1－e B．－1
C．－e D．0
【解析】 f′(x)＝－1，令f′(x)＞0，得0＜x＜1；令f′(x)＜0，得1＜x＜e，∴f(x)在(0,1)上递增，在(1，e)上递减，∴f(x)max＝f(1)＝－1.
【答案】 B
2．函数y＝( )
A．有最大值2，无最小值
B．无最大值，有最小值－2
C．最大值为2，最小值为－2
D．无最值
【解析】 y′＝＝.
令y′＝0，得x1＝1，x2＝－1，
∴当－1＜x＜1时，y′＞0；当x＜－1或x＞1时，y′＜0.
因此，y＝的最大值为f(1)＝2；最小值f(－1)＝－2.
【答案】 C
3．(2013·临沂高二检测)函数y＝x＋2cos x在[0，]上取最大值时，x的值为
( )
A．0 B.
C. D.
【解析】 y′＝1－2sin x，令y′＞0得sin x＜，故0≤x＜，令y′＜0得sin x＞，故＜x≤，∴原函数在[0，)上递增，在(，]上递减，当x＝时，函数取得最大值．
【答案】 B
4．已知函数f(x)、g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)＜g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为( )
A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
【解析】 设F(x)＝f(x)－g(x)，F′(x)＝f′(x)－g′(x)＜0，∴F(x)在[a，b]上是减函数．
∴F(x)在[a，b]上的最大值为F(a)＝f(a)－g(a)．
【答案】 A
5．(2013·吉林高二检测)已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则m的取值范围是( )
A．m≥ B．m＞
C．m≤ D．m＜
【解析】 f′(x)＝2x3－6x，令f′(x)＝0得x＝0或x＝3，验证可知x＝3是函数的最小值点，故f＝f(3)＝3m－，由f(x)＋9≥0恒成立得f(x)≥－9恒成立，即：3m－≥－9，∴m≥.
【答案】 A
二、填空题
6．函数y＝x·e－x，x∈[0,4]的最小值为________．
【解析】 ∵y′＝e－x－xe－x＝e－x(1－x)，令y′＝0，得x＝1，而f(0)＝0，f(1)＝，f(4)＝，∴ymin＝0.
【答案】 0
7．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．
【解析】 f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0得x＝，由题设得：－2＜＜－1，故m∈(－4，－2)．
【答案】 (－4，－2)
8．对于定义在区间[a，b]上的函数f(x)，给出下列命题：
①若f(x)在多处取得极大值，那么f(x)的最大值一定是所有极大值中最大的一个值；
②若f(x)有极大值m，极小值n，那么m＞n；
③若x0∈(a，b)，在x0左侧附近f′(x)＞0，在x0右侧附近f′(x)＜0，且f′(x0)＝0，则x0是f(x)的极大值点；
④若f′(x)在[a，b]上恒为正，则f(x)在[a，b]上为增函数．其中正确命题的序号为________．
【答案】 ③④
三、解答题
9．已知函数f(x)＝(x2－4)(x－a)(常数a∈R)．
(1)求f′(x)；
(2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2,4]上的最大值．
【解】 (1)f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，
∴f′(x)＝3x2－2ax－4.
(2)由f′(－1)＝0，得3＋2a－4＝0，∴a＝.
则f(x)＝x3－x2－4x＋2，
∴f′(x)＝3x2－x－4＝3(x＋1).
当x∈[－2，－1)∪时，f′(x)＞0，
所以f(x)的单调递增区间是[－2，－1)与；
当x∈，f′(x)＜0，
所以f(x)的单调递减区间是.
又f(－1)＝，f(4)＝42，f(－2)＝0，f＝－.
∴f(x)在[－2,4]上的最大值f(x)max＝f(4)＝42.
10．设＜a＜1，函数f(x)＝x3－ax2＋b(－1≤x≤1)的最大值为1，最小值为－，求常数a，b的值．
【解】 令f′(x)＝3x2－3ax＝0，得x1＝0，x2＝a.
由题意可知当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0，a)
a
(a,1)
1
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－1－a＋b
?
b
?
－＋b
?
1－a＋b
从上表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，
而f(0)＞f(a)，f(1)＞f(－1)，故需比较f(0)与f(1)的大小．
因为f(0)－f(1)＝a－1＞0，
所以f(x)的最大值为f(0)＝b，所以b＝1，
又f(－1)－f(a)＝(a＋1)2(a－2)＜0，
所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－a＋b＝－a，
所以－a＝－，所以a＝.
综上，a＝，b＝1.
11．(2013·邢台高二检测)已知函数f(x)＝ax4ln x＋bx4－c(x＞0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．若对任意x＞0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范围．
【解】 f′(x)＝4ax3ln x＋ax4×＋4bx3
＝x3(4aln x＋a＋4b)．
∵在x＝1处取得极值－3－c，
∴即
解得a＝12，b＝－3.
∴f′(x)＝48x3ln x(x＞0)，
令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝1.
∵x＞0，∴x＝1.
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
－3－c
?
∴x＝1时，f(x)有极小值为－3－c，并且该极小值为函数的最小值．
∴要使对任意x＞0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，只需－3－c≥－2c2即可．
整理得2c2－c－3≥0.
解得c≥或c≤－1.
∴c的取值范围为(－∞，－1]∪[，＋∞)．
一、选择题
1．甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图3－4－2所示．( )
图3－4－2
现有下列四种说法：
①前四年该产品产量增长速度越来越快；
②前四年该产品产量增长速度越来越慢；
③第四年后该产品停止生产；
④第四年后该产品年产量保持不变．
其中说法正确的有( )
A．①④ B．②④
C．①③ D．②③
【解析】 由图象可知，②④是正确的．
【答案】 B
2．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成一个铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )
A．6 cm B．8 cm
C．10 cm D．12 cm
【解析】 设截去小正方形的边长为x cm，铁盒的容积为V cm3.
所以V＝x(48－2x)2(0＜x＜24)，
V′＝12(x－8)(x－24)．令V′＝0，
则x＝8∈(0,24)．
【答案】 B
3．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为( )
A. B.
C. D．2
【解析】 设直棱柱的底面边长为a，高为h，
依题意a2·h＝V，∴ah＝.
因此表面积S＝3ah＋2·a2＝＋a2.
∴S′＝a－.
令S′＝0，则a＝.
易知当a＝时，表面积S取得最小值．
【答案】 C
4．某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽各为( )
A．16 m,16 m B．32 m,16 m
C．32 m,8 m D．16 m,8 m
【解析】 如图所示，设场地一边长为x m，
则另一边长为 m.
因此新墙总长度L＝2x＋(x＞0)，L′＝2－.
令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．
∵L在(0，＋∞)上只有一个极值点，∴它必是最小值点．
∵x＝16，∴＝32.
故当堆料场的宽为16 m，长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省．
【答案】 B
5．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k＞0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大效益，则x的取值为( )
A．0.016 2 B．0.032 4
C．0.024 3 D．0.048 6
【解析】 依题意，存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048 6kx2，其中x∈(0,0.048 6)．所以银行的收益是y＝0.048 6kx2－kx3(0＜x＜0.048 6)，
则y′＝0.097 2kx－3kx2.
令y′＝0，得x＝0.032 4或x＝0(舍去)．
当0＜x＜0.032 4时，y′＞0；
当0.032 4＜x＜0.048 6时，y′＜0.
所以当x＝0.032 4时，y取得最大值，即
当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．
【答案】 B
二、填空题
6．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能与下列________相对应．
【解析】 加速过程、路程对时间的导数逐渐变大，图象下凸，减速过程，路程对时间的导数逐渐变小，图象上凹，应与①相吻合．
【答案】 ①
7．轮船甲位于轮船乙的正东方向且距轮船乙75海里处，以每小时12海里的速度向西行驶，而轮船乙则以每小时6海里的速度向北行驶，如果两船同时起航，那么经过________小时两船相距最近．
【解析】 设经过x小时两船相距y海里，y2＝36x2＋(75－12x)2，(y2)′＝72x－24(75－12x)，令(y2)′＝0，得x＝5，易知当x＝5时，y2取得最小值．
【答案】 5
8．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
【解】 设仓库与车站相距x千米，依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数，于是由2＝得k1＝20；由8＝10k2得k2＝.
∴两项费用之和为y＝＋(x＞0)，
y′＝－＋，令y′＝0，
得x＝5或x＝－5(舍去)．
当0＜x＜5时，y′＜0；
当x＞5时，y′＞0.
∴当x＝5时，y取得极小值，也是最小值．
∴当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．
【答案】 5
三、解答题
9．某工厂有一段旧墙长14 m，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为126 m2的厂房，工程条件是：
(1)建1 m新墙的费用为a元；(2)修1 m旧墙的费用为元；(3)拆去1 m旧墙，用可得的建材建1 m新墙的费用为元，经讨论有两种方案：
①利用旧墙一段x m(0＜x＜14)为矩形一边；
②矩形厂房利用旧墙的一面边长x≥14，问如何利用旧墙建墙费用最省？试比较①，②两种方案哪个更好．
【解】 方案①：修旧墙费用x·，拆旧墙造新墙费用为(14－x)·，
其余新墙费用为(2x＋－14)a，
∴总费用y＝7a(＋－1)(0＜x＜14)，
∵＋≥2＝6，
当且仅当＝，即x＝12时取等号，∴ymin＝35a.
方案②：利用旧墙费用为14·＝(元)，
建新墙费用为(2x＋－14)a(元)，
总费用为y＝2a(x＋)－a(x≥14)
∵当x≥14时，(x＋)′＝1－＞0
∴函数x＋在[14，＋∞)上递增
∴当x＝14时，ymin＝35.5a
故采用方案①更好些．
10．请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥．试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？最大体积是多少？
【解】 如图，设OO1为x m，则1＜x＜4.
由题设可得正六棱锥底面边长为
＝.
于是底面正六边形的面积为
6··()2＝(8＋2x－x2)．
帐篷的体积为
V(x)＝(8＋2x－x2)[(x－1)＋1]
＝(16＋2x－x3)．
求导数，得V′(x)＝(12－3x2)．
令V′(x)＝0，解得x＝－2(不合题意，舍去)，x＝2.
当1＜x＜2时，V′(x)＞0，V(x)为增函数；
当2＜x＜4时，V′(x)＜0，V(x)为减函数，
所以当x＝2时，V(x)最大．
所以当OO1为2 m时，帐篷的体积最大，最大体积为16 m3.
11．某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率P与每日生产量x(x∈N*)件之间的关系为P＝，每生产一件正品盈利4 000元，每出现一件次品亏损2 000元．(注：正品率＝产品中的正品件数÷产品总件数×100%)
(1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数；
(2)求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值．
【解】 (1)∵y＝4 000×x－2 000(1－)x
＝3 600x－x3，
∴所求的函数关系式是
y＝－x3＋3 600x(x∈N*,1≤x≤40)．
(2)显然y′＝3 600－4x2.令y′＝0，解得x＝30.
∴当1≤x＜30时，y′＞0；当30＜x≤40时，y′＜0.
∴函数y＝－x3＋3 600(x∈N*,1≤x≤40)在[1,30)上是单调递增函数，在(30,40]上是单调递减函数．
∴当x＝30时，函数y＝－x3＋3 600x(x∈N*,1≤x≤40)取得最大值，最大值为－×303＋3 600×30＝72 000(元)．
∴该厂的日产量为30件时，日利润最大，其最大值为72 000元.
