2.1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义，明确其相互关系．
2．过程与方法
能够画出椭圆的图形，会利用椭圆的几何性质解决相关的简单问题．
3．情感、态度与价值观
从离心率大小变化对椭圆形状的影响，体现数形结合，体会数学的对称美、和谐美．
●重点、难点
重点：由标准方程分析出椭圆几何性质．
难点：椭圆离心率几何意义的导入和理解．
对重难点的处理：为了突出重点，突破难点，应做好①让学生自主探索新知，②重难点之处进行反复分析，③及时巩固
(教师用书独具)
●教学建议
根据教学内容并结合学生所具备的逻辑思维能力，为了体现学生的主体地位，遵循学生的认知规律，宜采用这样的教学方法：启发式讲解，互动式讨论，研究式探索，反馈式评价．
●教学流程
???????
(对应学生用书第22页)
课标解读
1.掌握椭圆的简单几何性质及应用．(难点)
2．掌握椭圆离心率的求法及a，b，c的几何意义．(难点)
3．理解长轴长、短轴长、焦距与长半轴长、短半轴长、半焦距的概念．(易混点)
椭圆的简单几何性质
【问题导思】
已知两椭圆C1、C2的标准方程：C1：＋＝1，C2：＋＝1.
1．椭圆C1的焦点在哪个坐标轴上，a、b、c分别是多少？椭圆C2呢？
【提示】 C1：焦点在x轴上，a＝5，b＝4，c＝3，
C2：焦点在y轴上，a＝5，b＝4，c＝3.
2．怎样求C1、C2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？
【提示】 对于方程C1：令x＝0，得y＝±4，即椭圆与y轴的交点为(0,4)与(0，－4)；令y＝0得x＝±5，即椭圆与x轴的交点为(5,0)与(－5,0)．同理得C2与y轴的交点(0,5)，(0，－5)，与x轴的交点(4,0)(－4,0).
焦点的
位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
续表
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
对称性
对称轴为坐标轴，对称中心为(0,0)
离心率
e＝
椭圆的离心率
【问题导思】
观察不同的椭圆，其扁平程度各不一样，如何刻画椭圆的扁平程度呢？
【提示】 利用椭圆的离心率．
1．定义
椭圆的焦距与长轴长的比e＝，叫做椭圆的离心率．
2．性质
离心率e的范围是(0,1)．当e越接近于1，椭圆越扁，当e越接近于0，椭圆就越接近于圆．
(对应学生用书第23页)
由椭圆方程研究几何性质
已知椭圆16x2＋9y2＝1，求椭圆的顶点坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长、焦距和离心率．
【思路探究】 (1)所给椭圆方程是标准形式吗？(2)怎样由椭圆的标准方程求得a、b、c的值进而写出其几何性质中的基本量？
【自主解答】 将椭圆方程化为＋＝1，则a2＝，b2＝，椭圆焦点在y轴上，c2＝a2－b2＝－＝，所以顶点坐标为(0，±)，(±，0)，焦点坐标为(0，±)，长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为.
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．
2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长，焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．
本例中，若把椭圆方程改为“25x2＋16y2＝400”，试求其长轴长、短轴长、离心率、焦点与顶点坐标．
【解】 将方程变形为＋＝1，
得a＝5，b＝4，所以c＝3.
故椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝10和2b＝8，离心率e＝＝，
焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)，
顶点坐标为A1(0，－5)，A2(0,5)，B1(－4,0)，B2(4,0).
由椭圆的几何性质求其标准方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；
(2)过(3,0)点，离心率e＝.
【思路探究】 (1)椭圆的焦点位置确定了吗？(2)你将怎样求得a2、b2并写出标准方程？
【自主解答】 (1)由题意知2a＝4b，∴a＝2b.
设椭圆标准方程为＋＝1或＋＝1，
代入点(2，－6)得，＋＝1或＋＝1，
将a＝2b代入得，a2＝148，b2＝37或a2＝52，b2＝13，
故所求的椭圆标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)当椭圆焦点在x轴上时，有a＝3，＝，
∴c＝，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3，
∴椭圆的标准方程为＋＝1；
当椭圆焦点在y轴上时，b＝3，＝，
∴＝，
∴a2＝27，∴椭圆的标准方程为＋＝1.
故所求椭圆标准方程为＋＝1或＋＝1.
求标准方程的常用方法是待定系数法，基本思路是“先定位、再定量”．
1．定位即确定椭圆焦点的位置，若不能确定，应分类讨论．
2．定量即通过已知条件构建关系式，用解方程(组)的方法求a2、b2.其中a2＝b2＋c2，e＝是重要关系式，应牢记．
分别求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长是6，离心率是；
(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
【解】 (1)设椭圆的方程为
＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)．
由已知得2a＝6，a＝3.e＝＝，∴c＝2.
∴b2＝a2－c2＝9－4＝5.
∴ 椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
如图所示，△B1FB2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|B1B2|＝2b，
∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
求椭圆的离心率
(1)已知椭圆的焦距与短轴长相等，求其离心率．
(2)若一个椭圆长轴长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率．
【思路探究】 (1)由焦距与短轴长相等，你能得出a、b、c的关系吗？可以用离心率公式求离心率吗？
(2)由题意得2b＝a＋c，如何使用这一关系式求e?
【自主解答】 (1)由题意得：b＝c，
∴e2＝＝＝＝.
∴e＝.
(2)∵椭圆的长轴长度、短轴长度与焦距成等差数列，
∴2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2.
又∵a2＝b2＋c2，∴4(a2－c2)＝a2＋2ac＋c2，
即3a2－2ac－5c2＝0，
∴(a＋c)(3a－5c)＝0.
∵a＋c≠0，∴3a－5c＝0，∴3a＝5c，
∴e＝＝.
求椭圆离心率的常用方法：
1．直接法：求出a、c后用公式e＝求解；或求出a、b后，用公式e＝ 求解．
2．转化法：将条件转化为关于a、b、c的关系式，用b2＝a2－c2消去b，构造关于的方程来求解．
(1)求椭圆＋＝1的离心率．
(2)已知椭圆的两个焦点F1、F2，点A为椭圆上一点，且·＝0，∠AF2F1＝60°，求椭圆的离心率．
【解】 (1)e＝ ＝ ＝＝.
(2)设F1F2＝2c，由题意知，△AF1F2中，∠A＝90°，∠AF2F1＝60°，∴|AF1|＝c，|AF2|＝c.
∵|AF1|＋|AF2|＝c＋c＝2a，
即(＋1)c＝2a，∴e＝＝＝－1.
(对应学生用书第25页)
混淆长轴长与长半轴长、短轴长与短半轴长的概念致误
求椭圆25x2＋y2＝25的长轴长和短轴长．
【错解】 将方程化为标准方程得：x2＋＝1，
∴a＝5，b＝1，
∴长轴长是5，短轴长是1.
【错因分析】 错解中将长半轴长、短半轴长与长轴长、短轴长混淆了，从而导致错误．
【防范措施】 根据定义，长轴长为2a，短轴长为2b，往往与长半轴长a、短半轴长b混淆，解题时要特别注意．
【正解】 将已知方程化成标准方程为x2＋＝1.
∴a＝5，b＝1，∴2a＝10,2b＝2.
故长轴长为10，短轴长为2.
1．通过椭圆方程可讨论椭圆的简单几何性质；反之，由椭圆的性质也可以通过待定系数法求椭圆的方程．
2．椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，离心率可以从关于a、b、c的一个方程求得，也可以用公式求得．
(对应学生用书第25页)
1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的顶点坐标是( )
A．(－1,0)、(1,0)
B．(－6,0)、(6,0)
C．(－，0)、(，0)
D．(0，－)、(0，)
【解析】 椭圆的标准方程为x2＋＝1，焦点在y轴上，其长轴的端点坐标为(0，±)．
【答案】 D
2．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为( )
A. B. C. D.
【解析】 椭圆方程可化为x2＋＝1，∴a2＝1，b2＝，∴c2＝，∴e2＝＝，∴e＝.
【答案】 A
3．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵椭圆焦点在x轴上，
∴0＜m＜2，a＝，c＝，
e＝＝＝.
故＝，∴m＝.
【答案】 B
4．已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为，一个焦点是(0,4)，求此椭圆的标准方程．
【解】 由题意：c＝4，e＝，∴a＝5，
∴b2＝a2－c2＝9.
又椭圆的焦点在y轴上，
∴其标准方程为＋＝1.
一、选择题
1．(2013·济南高二检测)若椭圆的长轴长为10，焦距为6，则椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1或＋＝1
D.＋＝1或＋＝1
【解析】 由题意2a＝10,2c＝6，∴a＝5，b2＝16，且焦点位置不确定，故应选D.
【答案】 D
2．椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有( )
A．相同短轴 B．相同长轴
C．相同离心率 D．以上都不对
【解析】 由于椭圆＋＝1中，焦点的位置不确定，故无法确定两椭圆的长轴、短轴、离心率的关系．
【答案】 D
3．曲线＋＝1与＋＝1(0A．有相等的焦距，相同的焦点
B．有相等的焦距，不同的焦点
C．有不等的焦距，不同的焦点
D．以上都不对
【解析】 曲线＋＝1焦距为2c＝8，而曲线＋(10＜k＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B.
【答案】 B
4．过椭圆＋＝1(a＞b＞0)左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 Rt△PF1F2中，|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝60°，
∴|PF1|＝，|PF2|＝，∴|PF1|＋|PF2|＝＝2a，a＝c.
∴e＝＝＝.
【答案】 B
5．设AB是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴，若把线段AB分为100等份，过每个分点作AB的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P99，F1为椭圆的左焦点，则|F1A|＋|F1P1|＋|F1P2|＋…＋|F1P99|＋|F1B|的值是( )
A．98a B．99a
C．100a D．101a
【解析】 由椭圆的定义及其对称性可知，|F1P1|＋|F1P99|＝|F1P2|＋|F1P99|＝…＝|F1F49|＋|F1P51|＝|F1A|＋|F1B|＝2a，F1P50＝a，故结果应为50×2a＋|F1P50|＝101a.
【答案】 D
二、填空题
6．(2013·兰州高二检测)若椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为________．
【解析】 若焦点在x轴上，则＝1－()2＝，k＝；若焦点在y轴上，则＝，∴k＝－3.
【答案】 或－3
7．椭圆的一个顶点和两个焦点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为________．
【解析】 如图所示，△AF1F2为等腰直角三角形．
∴OA＝OF1，即c＝b，
又∵a2＝b2＋c2＝2c2，∴＝.
【答案】
8．一个顶点为(0,2)，离心率e＝，坐标轴为对称轴的椭圆方程为________．
【解析】 (1)当椭圆焦点在x轴上时，
由已知得b＝2，e＝＝，
∴a2＝，b2＝4，∴方程为＋＝1.
(2)当椭圆焦点在y轴上时，
由已知得a＝2，e＝＝，
∴a2＝4，b2＝3，∴方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1或＋＝1
三、解答题
9．(1)求与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程；
(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程．
【解】 (1)∵c＝＝，
∴所求椭圆的焦点为(－，0)，(，0)．
设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵e＝＝，c＝，∴a＝5，b2＝a2－c2＝20.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因椭圆的焦点在x轴上，
设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵2c＝8，∴c＝4，
又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
10．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率．
【解】 如图，不妨设椭圆的焦点在x轴上，
∵AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，
∴在Rt△AF1F2中，∠AF2F1＝30°.
令|AF1|＝x，则|AF2|＝2x.
∴|F1F2|＝＝x＝2c.
由椭圆定义，可知|AF1|＋|AF2|＝2a.
∴e＝＝＝.
图2－1－2
11．如图2－1－2所示，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝，一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|＋|PB|的值不变．
(1)建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
(2)试判断该方程是否为椭圆方程，若是，请写出其长轴长、焦距、离心率．
【解】 (1)以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)，
由题设可得|PA|＋|PB|＝|CA|＋|CB|＝＋＝2.由椭圆定义知动点P的轨迹为椭圆．
不妨设动点P的轨迹方程为＋＝1(a＞b＞0)，
则a＝，c＝1，b＝＝1，
∴曲线E的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)的求解过程知曲线E的方程是椭圆方程，其长轴长为2，焦距为2，离心率为.
(教师用书独具)
已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在一点P使＝，求该椭圆的离心率的取值范围．
【解】 在△PF1F2中，由正弦定理得＝，则结合已知，得＝，即|PF1|＝|PF2|.由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，则|PF2|＋|PF2|＝2a，即|PF2|＝，由椭圆的几何性质和已知条件知|PF2|＜a＋c，则＜a＋c，即c2＋2ac－a2＞0，所以e2＋2e－1＞0，解得e＜－－1或e＞－1.又e∈(0,1)，故椭圆的离心率e∈(－1,1)．
椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点，且·的最大值的取值范围是[c2,3c2]，其中c＝，则椭圆M的离心率e的取值范围是( )
A．[，] B．[，]
C．(，1) D．[，1)
【解析】 设P(x，y)，F1(－c,0)，F2(c,0)，则＝(－c－x，－y)，＝(c－x，－y)，·＝x2＋y2－c2.又x2＋y2可看作P(x，y)到原点的距离的平方，所以(x2＋y2)max＝a2，所以(·)max＝b2，所以c2≤b2＝a2－c2≤3c2，即≤e2≤，∴≤e≤.
【答案】 B
第2课时 椭圆方程及性质的应用
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
掌握利用根的判别式判断直线与椭圆位置关系的方法，初步探寻弦长公式有关知识．
2．过程与方法
通过问题的提出与解决，培养学生探索问题、解决问题的能力．领悟数形结合和化归等思想．
3．情感、态度与价值观
培养学生自主参与意识，激发学生探索数学的兴趣．
●重点、难点
重点：掌握直线与椭圆位置关系的判断方法，注意数形结合思想的渗透．
难点：应用直线与椭圆位置关系的知识解决一些简单几何问题和实际问题．
教学内容是在熟练椭圆方程与性质的基础上的习题课，涉及直线与椭圆的位置关系、椭圆的实际应用问题，掌握好椭圆方程与性质，类比直线与圆的位置关系的研究方法是突破重点与难点的关键．
(教师用书独具)
●教学建议
由于学生已经学习了直线与圆位置关系及相关知识的推导及运用过程，但大部分还停留在经验基础上，主动迁移能力、整合能力较弱，所以本节课宜采用启发引导式教学；同时借助多媒体，充分发挥其形象、生动的作用．
●教学流程
???????
(对应学生用书第25页)
课标解读
1.掌握椭圆的方程及其性质的应用．
(重点)
2．掌握直线与椭圆位置关系的判断方法，初步探寻弦长公式．(难点)
点与椭圆的位置关系
【问题导思】
点与椭圆有几种位置关系？
【提示】 三种位置关系：点在椭圆上，点在椭圆内，点在椭圆外．
设点P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a＞b＞0)．
(1)点P在椭圆上?＋＝1；
(2)点P在椭圆内?＋＜1；
(3)点P在椭圆外?＋＞1.
直线与椭圆的位置关系
【问题导思】
1．直线与椭圆有几种位置关系？
【提示】 三种位置关系：相离、相切、相交．
2．我们知道，可以用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断直线与圆的位置关系，这种方法称为几何法，能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系？
【提示】 不能．
3．用什么方法判断直线与椭圆的位置关系？
【提示】 代数法．
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系联立消y得一个一元二次方程．
位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
两解
Δ＞0
相切
一解
Δ＝0
相离
无解
Δ＜0
(对应学生用书第26页)
直线与椭圆的位置关系的判定
当m为何值时，直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1相交、相切、相离？
【思路探究】 →→→
【自主解答】 联立方程组得
将①代入②得＋(x＋m)2＝1，
整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0 ③
Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．
当Δ＞0，即－＜m＜时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；当Δ＝0，即m＝－或m＝时，方程③有两个相等的实数根，代入①可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；当Δ＜0，即m＜－或m＞时，方程③没有实数根，直线与椭圆相离．
判断直线与椭圆位置关系的步骤：
试判断直线y＝x－与椭圆x2＋4y2＝2的位置关系．
【解】 联立方程组得
消去y，整理得5x2－4x－1＝0， (*)
Δ＝(－4)2－4×5×(－1)＝36＞0，
即方程(*)有两个实数根，所以方程组有两组解，即直线和椭圆相交．
直线与椭圆相交问题
已知椭圆＋＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点．
(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；
(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．
【思路探究】 (1)你能写出直线方程吗？怎样求此直线在椭圆上截得的弦长的长度？
(2)点P与A、B的坐标之间有怎样的关系？能否用根与系数的关系求得直线的斜率？
【自主解答】 (1)由已知可得直线l的方程为y－2＝(x－4)，即y＝x.
由
可得x2－18＝0，
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.
于是|AB|＝
＝
＝ ＝×6＝3.
所以线段AB的长度为3.
(2)法一：设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－4)．
联立
消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，
由于AB的中点恰好为P(4,2)，
所以＝＝4，解得k＝－.
这时直线l的方程为y－2＝－(x－4)，
即y＝－x＋4.
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有
两式相减得＋＝0.
由于P(4,2)是AB的中点，
∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
从而(x2－x1)＋2(y2－y1)＝0，kAB＝＝－，于是直线AB，即为l的方程为y－2＝－(x－4)，即y＝－x＋4.
1．求直线与椭圆相交所得弦长问题，通常解法是将直线方程与椭圆方程联立，然后消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，根据两点间的距离公式以及根与系数的关系求解．也可以直接代入弦长公式：|P1P2|＝＝求解．
2．解决直线与椭圆相交弦的中点有关的问题时，通常有两种方法：
法一：由直线的方程与椭圆的方程组成的方程组消去y后转化为关于x的一元二次方程，再利用根与系数的关系，运用中点坐标公式建立方程组求解．
法二：通过弦AB的端点的坐标是椭圆的方程的解，得到两个“对称方程”，然后将两个方程相减，再变形运算转化为直线的斜率公式，这种方法通常称为“点差法”．
过点P(－1,1)的直线与椭圆＋＝1交于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，求AB所在的直线方程及弦长|AB|.
【解】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由于A，B两点在椭圆上，
∴x＋2y＝4，x＋2y＝4.
两式相减，得
(x1－x2)(x1＋x2)＋2(y1－y2)(y1＋y2)＝0 ①
显然x1≠x2，
故由①得：kAB＝＝－. ②
又点P(－1,1)是弦AB的中点，
∴x1＋x2＝－2，y1＋y2＝2. ③
把③代入②得：kAB＝，
∴直线AB的方程为y－1＝(x＋1)，即x－2y＋3＝0
由消去y得3x2＋6x＋1＝0，
∴x1＋x2＝－2，x1x2＝，
|AB|＝·
＝·＝.
与椭圆相关的实际应用问题
图2－1－3
如图2－1－3，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
【思路探究】 →→→→
【自主解答】 如图建立直角坐标系，则点P(11,4.5)，椭圆方程为＋＝1.
∵P(11,4.5)在椭圆上，
∴＋＝1， ①
又b＝h＝6代入①式，得a＝.
此时l＝2a＝≈33.3(米)．
因此隧道的拱宽约为33.3米．
1．解答与椭圆相关的应用问题，事物的实际含义向椭圆的几何性质的转化是关键，其次要充分利用椭圆的方程对变量进行讨论，以解决实际问题．
2．实际问题中，最后的结论不可少，一定要结合实际问题中变量的含义做出结论．
有一椭圆形溜冰场，长轴长100 m，短轴长60 m，现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这个区域的面积最大，应把这个矩形的顶点定位在何处？这时矩形的周长是多少？
【解】 分别以椭圆的长轴、短轴各自所在的直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，
设矩形ABCD的各顶点都在椭圆上．因为矩形的各顶点都在椭圆上，而矩形是中心对称图形，
又是以过对称中心且垂直其一边的直线为对称轴的轴对称图形，
所以矩形ABCD关于原点O及x轴，y轴都对称．
已知椭圆的长轴长2a＝100 m，短轴长2b＝60 m，
则椭圆的方程为＋＝1.
考虑第一象限内的情况，设A(x0，y0)，
则有1＝＋≥2＝，
当且仅当＝＝，
即x0＝25，y0＝15时，等号成立，
此时矩形ABCD的面积S＝4x0y0取最大值3 000 m2.
这时矩形的周长为4(x0＋y0)＝4(25＋15)＝160 (m).
(对应学生用书第27页)
运用“设而不求”法研究直线和
椭圆位置关系问题
(12分)(2013·本溪高二检测)已知椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，过点A(－a,0)，B(0，b)的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率大于零的直线过D(－1,0)与椭圆分别交于点E，F，若＝2，求直线EF的方程；
(3)对于D(－1,0)，是否存在实数k，使得直线y＝kx＋2分别交椭圆于点P，Q，且|DP|＝|DQ|，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
【规范解答】 (1)由＝，ab＝××，得a＝，b＝1，所以椭圆的方程是＋y2＝1. 2分
(2)设EF：x＝my－1(m＞0)代入＋y2＝1，得(m2＋3)y2－2my－2＝0.
设E(x1，y1)，F(x2，y2)．由＝2，得y1＝－2y2，4分
由y1＋y2＝－y2＝，y1y2＝－2y＝得
(－)2＝，∴m＝1，m＝－1(舍去)，
直线EF的方程为x＝y－1，即x－y＋1＝0. 7分
(3)记P(x′1，y′1)，Q(x′2，y′2)．将y＝kx＋2代入＋y2＝1，得(3k2＋1)x2＋12kx＋9＝0(*)，
x′1，x′2是此方程的两个相异实根．
设PQ的中点为M，则xM＝＝－，yM＝kxM＋2＝.由|DP|＝|DQ|，得DM⊥PQ，
∴kDM＝＝＝－，
∴3k2－4k＋1＝0，得k＝1或k＝. 10分
但k＝1，k＝均不能使方程(*)有两相异实根，
∴满足条件的k不存在. 12分
1．直线和椭圆位置关系问题中设而不求、整体代换是常用的运算技巧，在解题中要注意运用．
2．直线和椭圆相交时要切记Δ＞0是求参数范围的前提条件，不要因忘记造成不必要的失分．
1．直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的判别式Δ来判定．
直线与椭圆相交的弦长公式：
|P1P2|＝或|P1P2|＝.
2．直线和椭圆相交时的弦的中点坐标或弦中点的轨迹方程常由韦达定理来解决，设点而不求点是解析几何中重要的解题方法．
3．解决与椭圆有关的实际问题时首先要仔细审题，弄懂题意，再把实际问题中的量化归为椭圆的性质，从而得以解决.
(对应学生用书第28页)
1．下列在椭圆＋＝1内部的点为( )
A．(，1) B．(－，1)
C．(2,1) D．(1,1)
【解析】 点(，1)，(－，1)满足椭圆方程，故在椭圆上；把点(1,1)代入＋得：＋＝＜1，故点(1,1)在椭圆内．
【答案】 D
2．已知椭圆＋＝1有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则此椭圆的焦点坐标是( )
A．(±，0) B．(0，±)
C．(±，0) D．(0，±)
【解析】 ∵直线x＋2y＝2过(2,0)和(0,1)点，
∴a＝2，b＝1，∴c＝，
椭圆焦点坐标为(±，0)．
【答案】 A
3．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得线段的中点的坐标是( )
A．(，) B．(，)
C．(－，) D．(－，－)
【解析】 联立方程消去y得
3x2＋4x－2＝0.
设交点A(x1，y1)、B(x2，y2)，中点M(x0，y0)．
∴x1＋x2＝－，x0＝＝－，y0＝x0＋1＝，∴中点坐标为(－，)．
【答案】 C
4．直线2x－y－2＝0与椭圆＋＝1交于A、B两点，求弦长|AB|.
【解】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程消去y得3x2－5x＝0，
则x1＋x2＝，x1·x2＝0，
∴|AB|＝·＝·＝.
一、选择题
1．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是( )
A．－＜a＜ B．a＜－或a＞
C．－2＜a＜2 D．－1＜a＜1
【解析】 ∵点A(a,1)在椭圆＋＝1内部，
∴＋＜1.∴＜.
则a2＜2，∴－＜a＜.
【答案】 A
2．已知直线y＝kx＋1和椭圆x2＋2y2＝1有公共点，则k的取值范围是( )
A．k＜－或k＞ B．－＜k＜
C．k≤－或k≥ D．－≤k≤
【解析】 由得(2k2＋1)x2＋4kx＋1＝0.
∵直线与椭圆有公共点．
∴Δ＝16k2－4(2k2＋1)≥0，则k≥或k≤－.
【答案】 C
3．直线l交椭圆＋＝1于A，B两点，AB的中点为M(2,1)，则l的方程为( )
A．2x－3y－1＝0 B．3x－2y－4＝0
C．2x＋3y－7＝0 D．3x＋2y－8＝0
【解析】 根据点差法求出kAB＝－，
∴l的方程为：y－1＝(x－2)．
化简得3x＋2y－8＝0.
【答案】 D
4．若直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为( )
A．2个 B．至多一个
C．1个 D．0个
【解析】 若直线与圆没有交点，则d＝ ＞2，
∴m2＋n2＜4，即＜1.∴＋＜1，∴点(m，n)在椭圆的内部，故直线与椭圆有2个交点．
【答案】 A
5．椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A，B是它的两个焦点，其长轴长为2a，焦距为2c(a＞c＞0)，静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是( )
A．2(a－c) B．2(a＋c)
C．4a D．以上答案均有可能
【解析】 如图，本题应分三种情况讨论：
当小球沿着x轴负方向从点A出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a－c)；
当小球沿着x轴正方向从点A出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a＋c)；
当是其他情况时，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a.
【答案】 D
二、填空题
6．(2013·济宁高二检测)已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________．
【解析】 设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)与直线方程联立消去x得(a2＋3b2)y2＋8b2y＋16b2－a2b2＝0，由Δ＝0及c＝2得a2＝7，∴2a＝2.
【答案】 2
7．(2013·合肥高二检测)以等腰直角三角形ABC的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________．
【解析】 当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有b＝c，此时可求得离心率e＝＝＝＝；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时，设直角边长为m，故有2c＝m,2a＝(1＋)m，所以离心率e＝＝＝＝－1.
【答案】 －1或
8．(2013·石家庄高二检测)过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为原点，则△OAB的面积为________．
【解析】 直线方程为y＝2x－2，与椭圆方程＋＝1联立，可以解得A(0，－2)，B(，)，
∴S△＝|OF|·|yA－yB|＝(也可以用设而不求的方法求弦长|AB|，再求出点O到AB的距离，进而求出△AOB的面积)．
【答案】
三、解答题
9．已知椭圆的短轴长为2，焦点坐标分别是(－1,0)和(1,0)．
(1)求这个椭圆的标准方程；
(2)如果直线y＝x＋m与这个椭圆交于不同的两点，求m的取值范围．
【解】 (1)∵2b＝2，c＝1，∴b＝，a2＝b2＋c2＝4.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)联立方程组
消去y并整理得7x2＋8mx＋4m2－12＝0.
若直线y＝x＋m与椭圆＋＝1有两个不同的交点，则有Δ＝(8m)2－28(4m2－12)＞0，
即m2＜7，解得－＜m＜.
即m的取值范围是(－，)．
10．椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．
【解】 由得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
则|AB|＝
＝·.
∵|AB|＝2，∴＝1.①
设C(x，y)，则x＝＝，y＝1－x＝，
∵OC的斜率为，∴＝.
代入①，得a＝，b＝.
∴椭圆方程为＋y2＝1.
图2－1－4
11．(2013·亳州高二检测)如图2－1－4所示，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)过点(1，)，离心率为，左、右焦点分别为F1、F2.点P为直线l：x＋y＝2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分
别为A、B和C、D，O为坐标原点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2.
证明：－＝2.
【解】 因为椭圆过点(1，)，e＝，
所以＋＝1，＝，
又a2＝b2＋c2，所以a＝，b＝1，c＝1，
故所求椭圆方程为＋y2＝1.
(2)证明：设点P(x0，y0)，则k1＝，k2＝，
因为点P不在x轴上，所以y0≠0，
又x0＋y0＝2，
所以－＝－＝＝＝2.
(教师用书独具)
(2012·北京高考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
【解】 (1)由题意得
解得b＝.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
x1＋x2＝，x1x2＝.
所以|MN|＝
＝
＝.
又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离
d＝，
所以△AMN的面积为
S＝|MN|·d＝.
由＝，解得k＝±1.
(2013·济南高二检测)设F1、F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2.
(1)求椭圆C的焦距；
(2)如果＝2，求椭圆C的方程．
【解】 (1)设焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离c＝2，故c＝2.所以椭圆C的焦距为4.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y1＜0，y2＞0.
直线l的方程为y＝(x－2)．
联立得(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b4＝0.
解得y1＝，y2＝.
因为＝2，所以－y1＝2y2.
则＝2·.
解得a＝3.又b2＝a2－c2＝9－4＝5.
∴b＝.
故椭圆C的方程为＋＝1.
2.2.2 双曲线的简单几何性质
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
(1)使学生理解和掌握双曲线的范围、对称性、顶点等性质．
(2)理解渐近线的证明方法．
(3)理解离心率和双曲线形状间的变化关系．
2．过程与方法
培养学生的观察能力、想象能力、数形结合能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法．
3．情感、态度与价值观
培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的、变化的观点分析理解事物．
●重点、难点
重点：由方程导出性质及其应用．
难点：渐近线的理解．
从学生的认知水平来看，对渐近线分析方法的理解和掌握有一定的困难．同时渐进线概念如何顺应学生思维的自然呈现，是教法中的一个困惑．因此，将渐近线的呈现与分析设置为本课时的难点．
为突破该难点，从“如何画双曲线草图”入手，分析作草图必须的条件，以“双曲线的走向”为切入口，通过复习反比例函数图象，以旧引新，使双曲线的概念自然呈现．并通过学生讨论与交流，充分暴露思维过程，完成分析和证明过程．
(教师用书独具)
●教学建议
本节课宜采用的教学方法和手段：类比、启发、探索相结合的教学方法，体现学生的主体地位．
●教学流程
???????
(对应学生用书第32页)
课标解读
1.掌握双曲线的简单几何性质．(重点)
2．能利用双曲线的简单几何性质解题．(难点)
双曲线的简单几何性质
【问题导思】
类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的哪些几何性质？
【提示】 范围、对称性、顶点、离心率、渐近线．
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
续表
标准方程
－＝1
(a＞0，b＞0)
－＝1
(a＞0，b＞0)
性质
顶点
(－a,0)，(a,0)
(0，－a)，(0，a)
轴长
实轴长＝2a，虚轴长＝2b
离心率
e＝且e＞1
渐近线
y＝±x
y＝±x
【问题导思】
椭圆中，离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，离心率描述怎样的特征？
【提示】 双曲线的离心率描述双曲线“开口”的大小，离心率越大，双曲线的“开口”越大.
双曲线的相关概念
1.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．
2．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e＝.
(对应学生用书第32页)
由双曲线的方程研究几何性质
求双曲线25y2－4x2＋100＝0的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程．
【思路探究】
【自主解答】 双曲线的方程25y2－4x2＋100＝0可化为－＝1.
∴实半轴长a＝5，虚半轴长b＝2，顶点坐标为(－5,0)，(5,0)．
由c＝＝，焦点坐标为(，0)，(－，0)．
离心率e＝＝，渐近线方程y＝±x.
1．已知双曲线的方程求其几何性质时，若不是标准形式的先化为标准方程，确定方程中a、b的对应值，利用c2＝a2＋b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．
2．写渐近线方程时要特别注意焦点在x轴上还是在y轴上，以免写错．
求双曲线16x2－9y2＝－144的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
【解】 把方程16x2－9y2＝－144化为标准方程得－＝1，由此可知，实轴长2a＝8，
虚轴长2b＝6，c＝＝5.
焦点坐标为(0，－5)，(0,5)．
离心率e＝＝.
顶点坐标为(0，－4)，(0,4)．
渐近线方程为：y＝±x.
由双曲线的几何性质求
双曲线的方程
分别求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；
(3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．
【思路探究】 (1)双曲线的焦点位置确定了吗？如果不确定该怎么办？(2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线的双曲线有什么特点？如何设出方程？
【自主解答】 (1)设双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)．
由题意知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8，
∴双曲线标准方程为－＝1或－＝1.
(2)当焦点在x轴上时，由＝且a＝3得b＝.
∴所求双曲线标准方程为－＝1.
当焦点在y轴上时，由＝且a＝3得b＝2.
∴所求双曲线标准方程为－＝1.
(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k，将点(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2，
∴双曲线标准方程为－＝1.
1．利用待定系数法求双曲线方程应先“定形”(确定标准方程的形式)，再“定量”(求出a，b的值)．由于双曲线的标准方程有两种形式，因此，根据相关几何特征确定焦点的位置是很重要的，其次，在解题过程中应熟悉a，b，c，e等元素的几何意义及它们之间的联系，并注意方程思想的应用．
2．若已知双曲线的渐近线方程为Ax±By＝0，为避免讨论，可设双曲线方程为A2x2－B2y2＝λ(λ≠0)或－＝λ(λ≠0)的形式，从而使运算更简捷．
3．与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
已知双曲线的一条渐近线方程是x－2y＝0，且双曲线过点P(4,3)，求双曲线的标准方程．
【解】 法一 ∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，当x＝4时，y＝2＜yP＝3.
∴双曲线的焦点在y轴上．从而有＝，∴b＝2a.
设双曲线方程为－＝1，
由于点P(4,3)在此双曲线上，
∴－＝1，解得a2＝5.
∴双曲线方程为－＝1.
法二 ∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，
即－y＝0，∴双曲线的渐近线方程为－y2＝0.
设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
∵双曲线过点P(4,3)，∴－32＝λ，即λ＝－5.
∴所求双曲线方程为－y2＝－5，即－＝1.
求双曲线的离心率
分别求适合下列条件的双曲线的离心率．
(1)双曲线的渐近线方程为y＝±x；
(2)双曲线－＝1(0＜a＜b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c.
【思路探究】 (1)由渐近线方程能得到a、b、c的关系吗？利用这种关系能求出离心率吗？
(2)由题意你能得到关于a、b、c的什么关系式？
【自主解答】 (1)若焦点在x轴上，则＝，
∴e＝＝；
若焦点在y轴上，则＝，即＝，
∴e＝＝.
综上可知，双曲线的离心率为或.
(2)依题意，直线l：bx＋ay－ab＝0.
由原点到l的距离为c，得＝c，
即ab＝c2，∴16a2b2＝3(a2＋b2)2，
即3b4－10a2b2＋3a4＝0，
∴3()2－10×＋3＝0.
解得＝或＝3.
又∵0＜a＜b，∴＝3.
∴e＝＝2.
求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a，b，c的关系式，再根据c2＝a2＋b2，直接求a，c的值．而在解题时常把或视为整体，把关系式转化为关于或的方程，解方程求之，从而得到离心率的值．在本题的(2)中，要注意条件0＜a＜b对离心率的限制，以保证题目结果的准确性．
已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．
【解】 设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，那么y＝±.
∴|PF1|＝.
由双曲线对称性，|PF2|＝|QF2|且∠PF2Q＝90°.
知|F1F2|＝|PQ|＝|PF1|，
∴＝2c，则b2＝2ac.
∴c2－2ac－a2＝0，∴2－2×－1＝0.
即e2－2e－1＝0.∴e＝1＋或e＝1－(舍去)．
∴所求双曲线的离心率为1＋.
(对应学生用书第35页)
忽略点在双曲线上的位置致误
已知双曲线方程为x2－y2＝1，双曲线的左支上一点P(a，b)到直线y＝x的距离是，求a＋b的值．
【错解】 ∵P(a，b)到直线y＝x的距离是.
故＝，∴a－b＝±2.
又∵a2－b2＝1，∴(a＋b)(a－b)＝1，∴a＋b＝±.
【错因分析】 错解中忽略了点P在双曲线的左支上，此时，a－b＜0，∴a－b＝－2.
【防范措施】 由于双曲线有两支，解题时要特别留意所给点是在哪一支上，以防因判断不准导致增根产生．
【正解】 ∵点P(a，b)到直线y＝x的距离为，
故＝，∴a－b＝±2.
又∵P在双曲线的左支上，故a－b＜0，则有a－b＝－2.
又∵a2－b2＝1，即(a－b)(a＋b)＝1，∴a＋b＝－.
1．通过双曲线的方程可以讨论双曲线的几何性质，由双曲线的几何性质也可以得到双曲线的方程．
2．双曲线的渐近线和离心率都可以描述其“张口”的大小、渐近线是双曲线特有的性质，应注意以下三点：
(1)当焦点在x轴上时，渐近线为y＝±x；当焦点在y轴上时，渐近线为y＝±x.
(2)当渐近线为y＝x时，可设双曲线标准方程为－＝λ(λ≠0)．
(3)与双曲线－＝1共渐近线的双曲线标准方程可设为－＝λ(λ≠0)．
(对应学生用书第35页)
1．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( )
A.－＝1
B.－＝1或－＝1
C.－＝1
D.－＝1或－＝1
【解析】 由题意：a＝5，b＝3，且焦点不确定，应选B.
【答案】 B
2．双曲线－＝1的渐近线方程是( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
【解析】 由题意，焦点在x轴上，且a＝2，b＝3，故渐近线方程为y＝±x.
【答案】 C
3．下列曲线中离心率为的是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【解析】 选项B双曲线中a＝2，b＝，∴c＝，e＝.
【答案】 B
4．若双曲线的顶点在x轴上，两顶点的距离为8，离心率是，求双曲线的标准方程．
【解】 由题设，设双曲线的标准方程为－＝1
(a＞0，b＞0)．
∵2a＝8，∴a＝4，
由e＝＝，得c＝5，
∴b2＝c2－a2＝52－42＝9.
因此所求双曲线标准方程为－＝1.
一、选择题
1．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6,0)，则它的标准方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【解析】 设等轴双曲线方程为－＝1(a＞0)．
∴a2＋a2＝62，∴a2＝18.
故双曲线方程为－＝1.
【答案】 B
2．(2012·湖南高考)已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【解析】 由2c＝10得c＝5，∵点P(2,1)在直线y＝x上，∴＝1，又∵a2＋b2＝25，∴a2＝20，b2＝5，故双曲线的方程为－＝1.
【答案】 A
3．(2013·泰安高二检测)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵双曲线的焦点在x轴上，
∴设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
又其一条渐近线过点(4，－2)，
∴＝，∴a＝2b.
因此c＝＝b.
∴离心率e＝＝.
【答案】 D
4．(2013·天门高二检测)双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r＝( )
A. B．2
C．3 D．6
【解析】 双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆心坐标为(3,0)，由点到直线的距离公式与渐近线与圆相切得，圆心到渐近线的距离为r，且r＝＝.
【答案】 A
5．(2013·临沂高二检测)双曲线－＝1和椭圆＋＝1(a＞0，m＞b＞0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
【解析】 双曲线的离心率e1＝，椭圆的离心率e2＝，由e1e2＝1得(a2＋b2)(m2－b2)＝a2m2，故a2＋b2＝m2，因此三角形为直角三角形．
【答案】 B
二、填空题
6．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________.
【解析】 ∵2a＝2,2b＝2，∴ ＝2，
∴m＝－.
【答案】 －
7．已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________，渐近线方程为________．
【解析】 双曲线的焦点为(－4,0)，(4,0)，∴c＝4，
离心率e＝＝2，∴a＝2，∴b＝＝2.
∴双曲线方程为－＝1.令－＝0，得渐近线方程为x±y＝0.
【答案】 (±4,0) x±y＝0
8．(2013·北京高二检测)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的取值范围为________．
【解析】 由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a，
又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝a.
容易知道|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，
即a≥2c，∴e≤，又e＞1，故e∈(1，]．
【答案】 (1，]
三、解答题
9．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)与双曲线－＝1有共同渐近线，且过点(－3,2)；
(2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)．
【解】 (1)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
则由题意可知－＝λ，解得λ＝.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设所求双曲线方程为－＝1(16－k＞0,4＋k＞0)，
∵双曲线过点(3，2)，∴－＝1，解得k＝4或k＝－14(舍)．
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
10．双曲线－＝1(a＞1，b＞0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线离心率的取值范围．
【解】 ∵l的方程为：bx＋ay－ab＝0.
由点到直线距离公式且a＞1，得
点(1,0)到直线l的距离d1＝，
点(－1,0)到直线l的距离d2＝.
s＝d1＋d2＝≥c.
即5a≥2c2，即5≥2e2，
∴4e4－25e2＋25≤0，解得≤e2≤5，
∵e＞1，∴≤e≤.
即e的取值范围为[，]．
11．若原点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a＞0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，求·的取值范围．
【解】 由双曲线方程－y2＝1(a＞0)知b＝1.
又F(－2,0)，∴c＝2.
∴a2＋1＝c2＝4，∴a2＝3，
∴双曲线方程为－y2＝1.
设双曲线右支上点P(x，y)，且x≥.
·＝(x，y)·(x＋2，y)＝x2＋2x＋y2
＝x2＋2x－1＝2－.
∵x≥，∴当x＝时，上式有最小值3＋2.
故·的取值范围为[3＋2，＋∞).
(教师用书独具)
已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试讨论实数k的取值范围，使直线l与双曲线有两个公共点；直线l与双曲线有且只有一个公共点；直线l与双曲线没有公共点．
【解】 由消去y，
得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0. (*)
(1)当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程化为2x＝5，故此时方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点，交点在双曲线右支上．
(2)当1－k2≠0，即k≠±1时，
Δ＝(2k2)2－4(1－k2)·(－k2－4)＝4(4－3k2)．
①即－＜k＜，且k≠±1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点．
②即k＝±时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线相交于一个公共点．
综上所述：当－＜k＜，且k≠±1时，直线l与双曲线有两个公共点，当k＝±1或k＝±时，直线l与双曲线有且只有一个公共点，当k＜－或k＞时，直线l与双曲线没有公共点．
已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A、B两点，试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．
【解】 双曲线3x2－y2＝3化为x2－＝1，
则a＝1，b＝，c＝2.
∵直线l过点F2且倾斜角为45°，
∴直线l的方程为y＝x－2，
代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0.
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
∵x1·x2＝－＜0，
∴A、B两点分别位于双曲线的左、右两支上．
∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－，
∴|AB|＝|x1－x2|＝·
＝·＝6.
因此弦AB的长为6.
2.3.2 抛物线的简单几何性质
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
(1)理解抛物线的几何性质．
(2)与抛物线有关的轨迹的求法，直线与抛物线的位置关系．
2．过程与方法
(1)灵活运用抛物线的性质．
(2)培养学生对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
(1)训练学生分析问题、解决问题的能力．
(2)培养学生数形结合思想、化归思想及方程的思想，提高学生的综合能力．
●重点、难点
重点：(1)掌握抛物线的几何性质．
(2)根据给出的条件求出抛物线的标准方程．
难点：抛物线各个几何性质的灵活应用．
(教师用书独具)
●教学建议
本节课以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习法等教学方法．先通过多媒体动画演示，创设问题情境，在抛物线简单几何性质的教学过程中，通过多媒体演示，有指导的发现问题，然后进行讨论、探究、总结、运用，最后通过练习加以巩固提高．
学法上，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，结合教法和学生的实际，在多媒体辅助教学的基础上，主要采用“复习——类比——探索——应用”的探究式学习方法，增加学生参与的机会，使学生在掌握知识形成技能的同时，培养逻辑推理、理性思维的能力及科学的学习方法，增强自信心．学法指导包括：联想法、观察分析法、练习巩固法．
这样，本节课的重点与难点就迎刃而解了．
●教学流程
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(对应学生用书第39页)
课标解读
1.掌握抛物线的几何性质及抛物线性质的应用．(重点)
2．掌握直线与抛物线的位置关系．(难点)
抛物线的几何性质
【问题导思】
类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，你能说出抛物线y2＝2px(p＞0)的范围、对称性、顶点坐标吗？
【提示】 范围x≥0，关于x轴对称，顶点坐标(0,0)．
标准方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px
(p＞0)
x2＝2py
(p＞0)
x2＝－2py
(p＞0)
图形
续表
标准方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px
(p＞0)
x2＝2py
(p＞0)
x2＝－2py
(p＞0)
性质
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
O(0,0)
离心率
e＝1
直线与抛物线的位置关系
【问题导思】
1．直线与抛物线有哪几种位置关系？
【提示】 三种：相离、相切、相交．
2．若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相切吗？
【提示】 不一定，当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交时，也只有一个交点．
直线与抛物线的位置关系与公共点
位置关系
公共点个数
相交
有两个或一个公共点
相切
有且只有一个公共点
相离
无公共点
(对应学生用书第40页)
抛物线简单几何性质的应用
如图2－3－3所示，已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A
图2－3－3
是抛物线上的一点，其横坐标为4，且在x轴的上方，点A到抛物线的准线的距离等于5，过A作AB⊥y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求直线MN的方程．
【思路探究】 (1)根据题意你能求出p的值吗？
(2)M点的坐标是多少？直线MN的斜率呢？
【自主解答】 (1)抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－，
于是4＋＝5，p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x.
(2)由题意知A(4,4)，B(0,4)，M(0,2)，F(1,0)，
∴kFA＝.
又MN⊥FA，∴kMN＝－，
则直线FA的方程为y＝(x－1)，
直线MN的方程为y－2＝－x，即3x＋4y－8＝0.
研究抛物线的性质时要注意它们之间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线始终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，离心率不变总为1.
已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．
【解】 由题意，抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，焦点F，直线l：x＝，
∴A、B两点坐标为，，
∴|AB|＝2|p|.
∵△OAB的面积为4，
∴··2|p|＝4，∴p＝±2.
∴抛物线标准方程为y2＝±4x.
直线与抛物线的位置关系问题
已知：直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C有：(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点？
【思路探究】 (1)联立直线l与抛物线C的方程，得到的关于x的方程是什么形式？(2)能直接用判别式法判断公共点的情况吗？
【自主解答】 由得
k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)
当k＝0时，方程变为－4x＋1＝0，x＝，此时y＝1.
∴直线l与C只有一个公共点(，1)，
此时直线l平行于x轴．
当k≠0时，方程(*)是一个一元二次方程：
Δ＝(2k－4)2－4k2×1＝16－16k
①当Δ＞0，即k＜1，且k≠0时，l与C有两个公共点，此时l与C相交；
②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时l与C相切；
③当Δ＜0，即k＞1时，l与C没有公共点，此时l与C相离．
综上所述，(1)当k＝1或k＝0时，直线l与C有一个公共点；
(2)当k＜1，且k≠0时，直线l与C有两个公共点；
(3)当k＞1时，直线l与C没有公共点．
1．直线与抛物线的位置关系判断方法．
通常使用代数法：将直线的方程与抛物线的方程联立，整理成关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，利用判别式解决．
Δ＞0?相交；Δ＝0?相切；Δ＜0?相离．
(2)当a＝0时，方程只有一解x＝－，这时直线与抛物线的对称轴平行或重合．
2．直线与抛物线相切和直线与抛物线公共点的个数的关系：直线与抛物线相切时，只有一个公共点，但是不能把直线与抛物线有且只有一个公共点统称为相切，这是因为平行于抛物线的对称轴的直线与抛物线只有一个公共点，而这时抛物线与直线是相交的．
若过点(－3,2)的直线与抛物线y2＝4x有两个公共点，求直线的斜率k的取值范围．
【解】 设直线方程为y－2＝k(x＋3)．
由消去x，整理得
ky2－4y＋8＋12k＝0.①
(1)当k＝0时，方程①化为y＝2，
直线y＝2与抛物线y2＝4x相交，有一个公共点，不合要求；
(2)当k≠0时，Δ＝16－4k(8＋12k)＞0.
∴－1＜k＜，因此－1＜k＜且k≠0.
综上可知，斜率k的取值范围为{k|－1＜k＜且k≠0}.
抛物线的焦点弦问题
已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线l被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线方程．
【思路探究】 (1)焦点在x轴上的抛物线方程如何设？
(2)过焦点且倾斜角为的直线方程怎么求？它被抛物线截得的弦长问题能联系抛物线的定义吗？
【自主解答】 当抛物线焦点在x轴正半轴上时，
可设抛物线标准方程是y2＝2px(p＞0)，
则焦点F(，0)，直线l为y＝x－.
设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过A、B分别向抛物线的准线作垂线AA1、BB1，垂足分别为A1、B1.
则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|
＝(x1＋)＋(x2＋)＝x1＋x2＋p＝6，
∴x1＋x2＝6－p.①
由消去y，得(x－)2＝2px，
即x2－3px＋＝0.
∴x1＋x2＝3p，代入①式得3p＝6－p，∴p＝.
∴所求抛物线标准方程是y2＝3x.
当抛物线焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y2＝－3x.
1．本题是通过抛物线的性质求其方程的典型例题，抛物线的方程有两种形式，解答时切勿漏掉．
2．过焦点F和抛物线相交的弦叫做抛物线的焦点弦，在解决与焦点弦有关的问题时，一是注意用焦点弦所在的直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数关系解题，二是注意抛物线定义的灵活运用，特别应注意整体代入的方法．
本例中，若把直线的倾斜角改为135°，被抛物线截得的弦长改为8，其他条件不变，试求抛物线的方程．
【解】 如图，依题意当抛物线方程设为y2＝2px(p＞0)时，
抛物线的准线为l，则直线方程为y＝－x＋p.
设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋＋x2＋，
即x1＋＋x2＋＝8.①
又A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，
由消去y得x2－3px＋＝0.
于是x1＋x2＝3p.将其代入①得p＝2.
故所求抛物线方程为y2＝4x.
当抛物线方程设为y2＝－2px(p＞0)时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.
综上所述，抛物线的方程为y2＝4x或y2＝－4x.
(对应学生用书第41页)
忽略特殊直线致误
求过定点P(0,1)，且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．
【错解】 设直线方程为y＝kx＋1，
由得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.
当k＝0时，解得y＝1，
即直线y＝1与抛物线只有一个公共点；
当k≠0时，Δ＝4(k－1)2－4k2＝0，解得k＝，
即直线y＝x＋1与抛物线只有一个公共点．
综上所述，所求的直线方程为y＝1或y＝x＋1.
【错因分析】 本题直接设出了直线的点斜式方程，而忽视了斜率不存在的情况，从而导致漏解．
【防范措施】 在解直线与抛物线的位置关系时，往往直接把直线方程设成点斜式方程，这样就把范围缩小了，而应先看斜率不存在的情况是否符合要求，直线斜率为0的情况也容易被忽略，所以解决这类问题时特殊情况要优先考虑，画出草图是行之有效的方法．
【正解】 如图所示，若直线的斜率不存在，
则过点P(0,1)的直线方程为x＝0，
由得
即直线x＝0与抛物线只有一个公共点．
若直线的斜率存在，
则由错解可知，y＝1或y＝x＋1为所求的直线方程．
故所求的直线方程为x＝0或y＝1或y＝x＋1.
1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以求出抛物线的方程．
2．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，求焦点弦长，一般不用弦长公式．
3．直线和抛物线的位置关系问题的通法与椭圆、双曲线一样，即联立方程消未知数，产生一元二次方程，用判别式Δ、根与系数关系解决问题．
(对应学生用书第42页)
1．抛物线y2＝ax(a≠0)的对称轴为( )
A．y轴 B．x轴
C．x＝－ D．x＝－
【解析】 形如y2＝±2px(p＞0)的抛物线的对称轴为x轴．
【答案】 B
2．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程( )
A．x2＝±3y B．y2＝±6x
C．x2＝±12y D．x2＝±6y
【解析】 依题意，＝3，∴p＝6.
∴抛物线的标准方程为x2＝±12y.
【答案】 C
3．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝－，则a＝________.
【解析】 抛物线方程可化为x2＝y，由题意＝，∴a＝.
【答案】
4．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，求点P的坐标．
【解】 根据题意可知：|PF|＝|PO|，其中O为原点，F为焦点，∴xP＝＝，
∴yP＝±＝±＝±，∴P(，±).
(对应学生用书第101页)
一、选择题
1．(2013·泰安高二检测)已知抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，焦点为F，过F且垂直于x轴的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝8，则抛物线的标准方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝±8x D．x2＝±8y
【解析】 由抛物线的定义知，|AB|＝|AF|＋|BF|＝2p＝8，∴p＝4，故标准方程为y2＝±8x.
【答案】 C
2．抛物线y＝ax2＋1与直线y＝x相切，则a等于( )
A. B.
C. D．1
【解析】 由消y得ax2－x＋1＝0.
∵直线y＝x与抛物线y＝ax2＋1相切，
∴方程ax2－x＋1＝0有两相等实根．
∴判别式Δ＝(－1)2－4a＝0，∴a＝.
【答案】 B
3．(2013·长沙高二检测)过点M(2,4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线共有( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 由于M(2,4)在抛物线上，故满足条件的直线共有2条，一条是与x轴平行的线，另一条是过M的切线，如果点M不在抛物线上，则有3条直线．
【答案】 B
4．探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，灯口直径为60 cm，灯深40 cm，则光源到反射镜顶点的距离是( )
A．11.25 cm B．5.625 cm
C．20 cm D．10 cm
【解析】 如图建立直角坐标系，则A(40,30)，设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，将点(40,30)代入得p＝，所以＝5.625即光源到顶点的距离．
【答案】 B
5．若点P在y2＝x上，点Q在(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为( )
A.－1 B.－1
C．2 D.－1
【解析】 设圆(x－3)2＋y2＝1的圆心为Q′(3,0)，要求|PQ|的最小值，只需求|PQ′|的最小值．
设P点坐标为(y，y0)，则|PQ′|＝
＝＝.
∴|PQ′|的最小值为，
从而|PQ|的最小值为－1.
【答案】 D
二、填空题
6．(2013·台州高二检测)设抛物线y2＝16x上一点P到对称轴的距离为12，则点P与焦点F的距离|PF|＝______.
【解析】 设P(x,12)，代入到y2＝16x得x＝9，
∴|PF|＝x＋＝9＋4＝13.
【答案】 13
7．设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(0,2)，若线段FA的中点B在抛物线上，则点B到该抛物线准线的距离为________．
【解析】 由已知得点B的纵坐标为1，横坐标为，即B(，1)将其代入y2＝2px得p＝，则点B到准线的距离为＋＝p＝.
【答案】
8．(2012·北京高考)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点．其中点A在x轴上方，若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．
【解析】 ∵y2＝4x的焦点为F(1,0)，又直线l过焦点F且倾斜角为60°，故直线l的方程为y＝(x－1)，
将其代入y2＝4x得3x2－6x＋3－4x＝0，
即3x2－10x＋3＝0.
∴x＝或x＝3.
又点A在x轴上方，∴xA＝3.∴yA＝2.
∴S△OAF＝×1×2＝.
【答案】
三、解答题
9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．
【解】 设所求抛物线的标准方程为
x2＝2py(p＞0)，A(x0，y0)，由题知
M(0，－)．
∵|AF|＝3，∴y0＋＝3，
∵|AM|＝，
∴x＋(y0＋)2＝17，
∴x＝8，代入方程x＝2py0得，
8＝2p(3－)，解得p＝2或p＝4.
∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
10．已知A，B两点在抛物线C：x2＝4y上，点M(0,4)满足＝λ(λ≠0)，求证：⊥.
【证明】 设A(x1，y1)、B(x2，y2)．
∵＝λ，∴M、A、B三点共线，即直线AB过点M.
设lAB∶y＝kx＋4(易知斜率存在)，与x2＝4y联立得，
x2－4kx－16＝0，
Δ＝(－4k)2－4×(－16)
＝16k2＋64＞0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝4k，x1x2＝－16，
∴·＝x1x2＋y1y2
＝x1x2＋(kx1＋4)(kx2＋4)
＝(1＋k2)x1x2＋4k(x1＋x2)＋16
＝(1＋k2)·(－16)＋4k·(4k)＋16＝0，
∴⊥.
11．(2013·泰州高二检测)已知抛物线x2＝ay(a＞0)，点O为坐标原点，斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点．
(1)若直线l过点D(0,2)且a＝4，求△AOB的面积；
(2)若直线l过抛物线的焦点且·＝－3，求抛物线的方程．
【解】 (1)依题意，直线l的方程为y＝x＋2，抛物线方程x2＝4y，
由消去y，得x2－4x－8＝0.
则Δ＝16－4×(－8)＝48＞0恒成立．
设l与抛物线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＜x2.
∴x1＝2－2，x2＝2＋2.
则|x2－x1|＝4.
∴S△AOB＝·|OD|·|x2－x1|＝×2×4＝4.
(2)依题意，直线l的方程为y＝x＋.
?x2－ax－＝0，
∵Δ＞0，设直线l与抛物线交点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∴x1＋x2＝a，x1x2＝－.
又已知·＝－3，
即x1x2＋y1y2＝－3，
∴x1x2＋(x1＋)(x2＋)＝－3，
∴2x1x2＋(x1＋x2)＋＝－3，
∵a＞0，∴a＝4.
∴所求抛物线方程为x2＝4y.
(教师用书独具)
已知抛物线y2＝2x，
(1)设点A的坐标为(，0)，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；
(2)在抛物线上求一点P，使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．
【解】 (1)设抛物线上任一点P的坐标为(x，y)，
则|PA|2＝(x－)2＋y2＝(x－)2＋2x
＝(x＋)2＋.
∵x≥0，且在此区间上函数单调递增，
∴当x＝0时，|PA|min＝，
距点A最近的点的坐标为(0,0)．
(2)法一 设点P(x0，y0)是y2＝2x上任一点，
则P到直线x－y＋3＝0的距离为
d＝＝＝，
当y0＝1时，dmin＝＝，
∴点P的坐标为(，1)．
法二 设与直线x－y＋3＝0平行的抛物线的切线为x－y＋t＝0，与y2＝2x联立，消去x得y2－2y＋2t＝0，
由Δ＝0得t＝，此时y＝1，x＝，
∴点P坐标为(，1)，
两平行线间的距离就是点P到直线的最小距离，
即dmin＝.
已知抛物线y2＝4x与直线x＋y－2＝0的交点为A、B，抛物线的顶点为O，在上求一点C，使△ABC的面积最大，并求出这个最大面积．
【解】 设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为x＋y－b＝0，将它与抛物线方程y2＝4x联立，
消去x得方程y2＝4(b－y)，即y2＋4y－4b＝0.
由Δ＝42－4(－4b)＝0得b＝－1，故切线为x＋y＋1＝0.
求得切点C(1，－2)．
因直线x＋y＋1＝0与x＋y－2＝0的距离d＝＝.
由
解得交点坐标为A(4＋2，－2－2)、B(4－2，－2＋2)．
∴|AB|＝4.
于是S△ABC＝|AB|·d＝×4×＝6.
所以当C点为(1，－2)时，S△ABC的最大值为6.
选修1－1
第二章 圆锥曲线与方程
2．1椭圆
2．1.1 椭圆及其标准方程
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
(1)了解椭圆的实际背景，经历从具体情景中抽象出椭圆模型的过程；
(2)使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导过程．
2．过程与方法
(1)让学生亲身经历椭圆定义和标准方程的获取过程，掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想；
(2)学会用运动变化的观点研究问题，提高运用坐标法解决几何问题的能力．
3．情感、态度与价值观
(1)通过主动探究、合作学习，感受探索的乐趣与成功的喜悦；培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索创新的科学精神；
(2)通过椭圆知识的学习，进一步体会到数学知识的和谐美、几何图形的对称美，提高学生的审美情趣．
●重点、难点
重点：椭圆定义及其标准方程．
难点：椭圆标准方程的推导过程．
椭圆定义是通过它的形成过程进行定义的，揭示了椭圆的本质属性，也是椭圆方程建立的基石．这给学生提供动手操作、合作学习的机会，通过实例使学生去探究椭圆的形成过程，进而顺理成章的可以推导出椭圆标准方程，以实现重、难点的化解与突破．
(教师用书独具)
●教学建议
本节课宜采取的教学方法是“问题诱导—启发讨论—探索结果”以及“直观观察—归纳抽象—总结规律”的一种探究式教学方法，注重“引、思、探、练”的结合．引导学生学习方式发生转变，采用“激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究”的学习方式，形成师生互动的教学氛围．
学法方面，通过利用圆的定义及圆的方程的推导过程，从而启发椭圆的定义及椭圆的标准方程的推导，让学生体会到类比思想的应用；通过利用椭圆定义探索椭圆方程的过程，指导学生进一步理解数形结合思想，产生主动运用的意识；通过揭示因椭圆位置的不确定性所引起的分类讨论，进行分类讨论思想运用的指导．
●教学流程
???????
(对应学生用书第19页)
课标解读
1.掌握椭圆的定义会用待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)
2．了解椭圆标准方程的推导、坐标法的应用．(难点)
椭圆的定义
【问题导思】
1．取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时能在图板上画出一个圆．
如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处(如图)套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出什么样的一个图形？
【提示】 椭圆．
2．在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖(动点)满足的几何条件吗？
【提示】 笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长．
把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
椭圆的标准方程
【问题导思】
观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使椭圆的方程简单？
【提示】 以椭圆两焦点F1、F2的直线为x(y)轴，线段F1F2的垂直平分线为y(x)轴建系．
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准
方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
焦点
(－c,0)与(c,0)
(0，－c)与(0，c)
a，b，c
的关系
c2＝a2－b2
(对应学生用书第20页)
椭圆定义的理解及简单应用
(1)已知F1(－4,0)，F2(4,0)，则到F1、F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是________；
(2)椭圆＋＝1的两焦点分别为F1、F2，过F2的直线交椭圆于A、B两点，则△ABF1的周长为________．
【思路探究】 (1)动点的轨迹是椭圆吗？(2)怎样用椭圆的定义求△ABF1的周长？
【自主解答】 (1)由于动点到F1、F2的距离之和恰巧等于F1F2的长度，故此动点的轨迹是线段F1F2.
(2)由椭圆的定义，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF1|＝2a，
∴|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＝20，
∴△ABF1的周长为20.
【答案】 (1)线段F1F2 (2)20
1．定义是判断点的轨迹是否为椭圆的重要依据，根据椭圆的定义可知，集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，a＞0，c＞0，且a、c为常数．
当a＞c时，集合P为椭圆上点的集合；
当a＝c时，集合P为线段上点的集合；
当a＜c时，集合P为空集．
因此，只有|F1F2|＜2a时，动点M的轨迹才是椭圆．
2．注意定义的双向运用，即若|PF1|＋|PF2|＝2a(a＞|F1F2|)，则点P的轨迹为椭圆；反之，椭圆上任意点到两焦点的距离之和必为2a.
椭圆＋＝1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于( )
A．2 B．4
C．8 D.
【解析】 如图，F2为椭圆右焦点，连MF2，则ON是△F1MF2的中位线，∴|ON|＝|MF2|，
又|MF1|＝2，|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，
∴|MF2|＝8，∴|ON|＝4.
【答案】 B
求椭圆的标准方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)两焦点坐标分别为(－4,0)和(4,0)且过点(5,0)；
(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)和(0,1)两点．
【思路探究】 (1)焦点的位置确定了吗？怎样求出标准方程？(2)焦点位置不确定时该怎么办？有没有简便的求解方法？
【自主解答】 (1)∵椭圆的焦点在x轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∴2a＝＋ ＝10，
∴a＝5.又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)法一 当椭圆的焦点在x轴上时，
设所求椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，
∴则
∴所求椭圆的方程为：＋y2＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，
设方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，
∴则与a＞b矛盾，故舍去．
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
法二 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点，
∴∴
综上可知，所求椭圆方程为＋y2＝1.
1．求椭圆的标准方程的常用方法是待定系数法，即先由条件确定焦点位置，设出方程，再设法求出a2、b2代入所设方程，也可以简记为：先定位，再定量．
2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．因为它包括焦点在x轴上(m＜n)和焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的．
本例(2)若改为“经过(－2，1)和(，－2)两点”，其他条件不变，试求椭圆的标准方程．
【解】 设椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1
(m＞0，n＞0，m≠n)，
将点(－2，1)，(，－2)代入上述方程得
解得故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
求与椭圆有关的轨迹方程
已知圆x2＋y2＝9，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′，垂足为P′，点M在PP′上，并且＝2，求点M的轨迹．
【思路探究】 →→→→
【自主解答】 设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x0＝x，y0＝3y.
∵P(x0，y0)在圆x2＋y2＝9上，
∴x＋y＝9.
将x0＝x，y0＝3y代入得x2＋9y2＝9，即＋y2＝1.
∴点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆＋y2＝1.
1．转代法(即相关点法)求轨迹方程：
有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称作“转代法”．
2．用转代法求轨迹方程大致步骤是：
(1)设所求轨迹上的动点P(x，y)，再设具有某种运动规律f(x，y)＝0上的动点Q(x′，y′)；
(2)找出P、Q之间坐标的关系，并表示为
(3)将x′，y′代入f(x，y)＝0，即得所求轨迹方程．
设A、B是椭圆＋＝1与x轴的左、右两个交点，P是椭圆上一个动点，试求AP中点M的轨迹方程．
【解】 设P(x0，y0)，AP的中点M(x，y)，则即代入椭圆方程＋＝1，
得＋＝1，
所以AP中点M的轨迹方程是＋＝1.
已知B、C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长为18，求这个三角形顶点A的轨迹方程．
【思路探究】 (1)解答本题时如何建系更简单？(2)由△ABC的周长为18能否得到A到B、C的距离之和为定值？这满足椭圆的定义吗？
【自主解答】 以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的中点为原点，建立平面直角坐标系．
由|BC|＝8，可知点B(－4,0)，C(4,0)．
由|AB|＋|BC|＋|AC|＝18，
得|AB|＋|AC|＝10＞|BC|＝8.
因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两个焦点的距离之和为2a＝10，即a＝5，且点A不能在x轴上．
由a＝5，c＝4，得b2＝9.
所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
1．本题紧扣椭圆的定义求得了顶点A的轨迹方程，解答时不要漏掉y≠0这一条件．
2．用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．
已知A(－，0)，B是圆F：(x－)2＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P点，则动点P的轨迹方程为________．
【解析】 如图，依题意知|PA|＝|PB|，所以|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝|BF|＝2，所以点P的轨迹为以A(－，0)，F(，0)为焦点的椭圆，其方程可设为x2＋＝1，又因为c＝，a＝1，所以b2＝a2－c2＝，从而所求的动点P的轨迹方程为x2＋y2＝1.
【答案】 x2＋y2＝1
(对应学生用书第21页)
忽略椭圆标准方程中a＞b＞0的条件致误
方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围．
【错解】 方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m2＜(m－1)2，解得m＜，所以实数m的取值范围是(－∞，)．
【错因分析】 错解只注意了焦点在y轴上，而没有考虑m2＞0且(m－1)2＞0，这是经常出现的一种错误，解题时要注意．
【防范措施】 椭圆的焦点在x轴上时，其方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦点在y轴上时，其方程为＋＝1(a＞b＞0)，应用时一定要注意条件a＞b＞0，否则极易将焦点位置弄错．
【正解】 方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则解得故实数m的取值范围是(－∞，0)∪(0，)．
1．熟悉椭圆定义、标准方程，熟练掌握常用基本方法的同时，要注意揣摩解题过程所运用的数学思想方法，以达到优化解题思路、简化解题过程的目的，但切忌只想不算，形成解题思路后，一定要动手计算，没有形成结论就不应该停手．
2．在运用椭圆的定义解题时，一定要注意隐含条件a＞c.
3．注意焦点分别在x轴和y轴上对应的椭圆方程的区别和联系．
4．求椭圆的标准方程常用的方法是定义法和待定系数法．
(对应学生用书第22页)
1．设P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．10 B．8 C．5 D．4
【解析】 由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10.
【答案】 A
2．椭圆＋＝1的焦点坐标是( )
A．(±4,0) B．(0，±4)
C．(±3,0) D．(0，±3)
【解析】 ∵a2＝25，b2＝16且焦点在y轴上，∴c＝3，焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)．
【答案】 D
3．一椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
【解析】 由题意c＝8，a＝10且焦点在y轴上，∴b2＝a2－c2＝100－64＝36，∴方程为＋＝1.
【答案】 C
4．已知一椭圆标准方程中b＝3，c＝4，求此椭圆的标准方程．
【解】 ∵b2＝9，c2＝16，∴a2＝b2＋c2＝25.
∵此椭圆的焦点不确定，
∴标准方程为＋＝1或＋＝1.
(对应学生用书第89页)
一、选择题
1．已知平面内两定点A，B及动点P，设命题甲是：“|PA|＋|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆”，那么甲是乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 由椭圆定义知甲?/ 乙，但乙?甲，故甲是乙的必要不充分条件．
【答案】 B
2．设椭圆＋＝1(m＞1)上一点P到其左、右焦点的距离分别为3和1，则m＝( )
A．6 B．3 C．2 D．4
【解析】 由题意椭圆焦点在x轴上，则2m＝3＋1＝4，∴m＝2.
【答案】 C
3．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【解析】 由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，不妨设|PF1|＞|PF2|，∵|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3，又∵|F1F2|＝2c＝4，∴△PF1F2为直角三角形．
【答案】 B
4．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．a＞3 B．a＜－2
C．a＞3或a＜－2 D．a＞3或－6＜a＜－2
【解析】 ∵椭圆的焦点在x轴上，∴
∴a＞3或－6＜a＜－2.
【答案】 D
5．(2013·天水高二检测)设集合A＝{1,2,3,4}，m、n∈A，则方程＋＝1表示焦点在x轴上椭圆的个数是( )
A．6 B．8 C．12 D．16
【解析】 ∵椭圆焦点在x轴上，∴m＞n，因此，当m＝4时，n＝1,2,3；当m＝3时，n＝1,2；当m＝2时，n＝1，共6种情况．
【答案】 A
二、填空题
6．若方程＋ay2＝1表示椭圆，则实数a应满足的条件是________．
【解析】 将方程化为＋＝1，此方程表示椭圆须满足：解得a＞0且a≠1.
【答案】 a＞0且a≠1
7．已知椭圆＋＝1的焦点在y轴上，且焦距为4，则实数m＝________.
【解析】 由题意，焦点在y轴上，焦距为4，则有m－2－(10－m)＝()2，解得m＝8.
【答案】 8
图2－1－1
8．(2013·临沂高二检测)如图2－1－1所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是________．
【解析】 ∵折叠后的M与F重合，∴|PM|＝|PF|，又∵|PM|＋|PO|＝r，∴|PF|＋|PO|＝r＞|OF|，故点P的轨迹是以O、F为焦点的椭圆．
【答案】 椭圆
三、解答题
9．求符合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)过点A(，)和B(，1)的椭圆．
(2)过点(－3,2)且与＋＝1有相同焦点的椭圆．
【解】 (1)设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
∵椭圆过点A(，)和B(，1)，
∴
解得m＝1，n＝.
∴所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.
(2)∵已知椭圆＋＝1中a＝3，b＝2，且焦点在x轴上，∴c2＝9－4＝5.
∴设所求椭圆方程为＋＝1.
∵点(－3,2)在所求椭圆上，
∴＋＝1.
∴a2＝15.
∴所求椭圆方程为＋＝1.
10．已知椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，P是该椭圆上一点，且|PF1|＝4，求：
(1)|PF2|的值；
(2)∠F1PF2的大小．
【解】 由题意知：a＝3，b2＝2，∴c＝＝.
(1)由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6.
∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2.
(2)∵|F1F2|＝2c＝2，由余弦定理：
cos∠F1PF2＝＝－，
∴∠F1PF2＝120°.
11．已知点M在椭圆＋＝1上，MP′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P′，并且M为线段PP′的中点，求P点的轨迹方程．
【解】 设P点的坐标为(x，y)，M点的坐标为(x0，y0)．
∵点M在椭圆＋＝1上，∴＋＝1.
∵M是线段PP′的中点，
∴x0＝x且y0＝.
把代入＋＝1中，得＋＝1，
即x2＋y2＝36.
∴P点的轨迹方程为x2＋y2＝36.
(教师用书独具)
(2013·北京高二检测)如图所示，点M是椭圆＋＝1上的一点，F1、F2是左、右焦点，∠F1MF2＝60°，求△F1MF2的面积．
图
【解】 由椭圆的方程得a2＝64，b2＝36，
∴2a＝16，c2＝a2－b2＝28，
∴2c＝4.
由椭圆定义得：|MF1|＋|MF2|＝16， ①
又△MF1F2中，由余弦定理得：
|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|cos 60°. ②
①2－②得：
3|MF1|·|MF2|＝162－|F1F2|2＝162－(4)2.
∴|MF1|·|MF2|＝48.
∴S△F1MF2＝|MF1|·|MF2|sin 60°＝12.
椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝________；∠F1PF2的大小为________．
【解析】 由于a2＝9，b2＝2，所以c＝＝，故焦距|F1F2|＝2，又由椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，且|PF1|＝4，
得|PF2|＝2，再结合余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝－，所以∠F1PF2＝120°.
【答案】 2 120°
2.2双曲线
2．2.1 双曲线及其标准方程
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
(1)理解双曲线的定义并能独立推导标准方程．
(2)会利用双曲线的定义标准方程解决简单的问题．
2．过程与方法
通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力．
3．情感、态度与价值观
通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题．
●重点、难点
重点：理解和掌握双曲线的定义及其标准方程．
难点：双曲线标准方程的推导．
由于双曲线的定义和标准方程与椭圆很类似，学生已经有了一些学习椭圆的经验，所以本节课用“启发探究”式的教学方式，重点突出以下两点：①以类比思维作为教学的主线；②以自主探究作为学生的学习方式，并结合多媒体辅助教学，进而实现重点、难点的突破．
(教师用书独具)
●教学建议
在教法上，宜采用探究性教学法和启发式教学法．
让学生根据教学目标的要求和题目中的已知条件，自觉主动地创造性地去分析问题、讨论问题、解决问题．
以启发、引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习．通过创设情境，充分调动学生已有的学习经验，让学生经历“观察——猜想——证明——应用”的过程，发现新的知识，把学生的潜意识状态的好奇心变为自觉求知的创新意识．又通过实际操作，使刚产生的数学知识得到完善，提高学生动手动脑的能力和增强研究探索的综合素质．
●教学流程
???????
(对应学生用书第29页)
课标解读
1.了解双曲线的定义及焦距的概念．(重点)
2．了解双曲线的几何图形、标准方程．(难点)
双曲线的定义
【问题导思】
取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1、F2处，把笔尖放于点M，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？
【提示】 如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线．
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
【问题导思】
双曲线定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？
【提示】 双曲线的一支.
双曲线的标准方程
【问题导思】
1．能否用推导椭圆标准方程的方法推出双曲线的方程？怎样推导？
【提示】 能．(1)建系：以直线F1F2为x轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系．
(2)设点：设M(x，y)是双曲线上任一点，且双曲线的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a，
可得 －＝±2a.
(4)化简：移项，平方后可得
(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．
令c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为
－＝1(a＞0，b＞0)．
2．双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？
【提示】 双曲线标准方程中x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴：当x2系数为正时，焦点在x轴上；当y2的系数为正时，焦点在y轴上，而与分母的大小无关．
双曲线的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准
方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c，c2＝a2＋b2
(对应学生用书第29页)
双曲线标准方程的理解
(2013·泰安高二检测)方程＋＝1表示的曲线为C，给出下列四个命题：
①曲线C不可能是圆；
②若1＜k＜4，则曲线C为椭圆；
③若曲线C为双曲线，则k＜1或k＞4；
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜.
其中正确命题的序号是________．
【思路探究】 方程＋＝1表示什么曲线？此时k的取值范围是多少？
【自主解答】 当4－k＝k－1＞0时，即k＝时，曲线C是圆，∴命题①是假命题．对于②，当1＜k＜4且k≠时，曲线C是椭圆，则②是假命题．
根据双曲线和椭圆定义及其标准方程，③④是真命题．
【答案】 ③④
1．双曲线焦点在x轴上?标准方程中x2项的系数为正；双曲线焦点在y轴上?标准方程中y2项的系数为正．
2．在曲线方程＋＝1中，若m＝n＞0，则曲线表示一个圆；若m＞0，n＞0，且m≠n，则曲线表示一个椭圆；若mn＜0，则曲线表示双曲线．
若k∈R，则“k＞3”是“方程－＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 方程－＝1表示双曲线的充要条件是(k－3)(k＋3)＞0，即k＜－3或k＞3；当k＞3时，一定有(k－3)(k＋3)＞0，但反之不成立．∴k＞3是方程表示双曲线的充分不必要条件．
【答案】 A
求双曲线的标准方程
已知双曲线上两点P1、P2的坐标分别为(3，－4)、(，5)，求双曲线的标准方程．
【思路探究】 (1)当双曲线的焦点位置不确定时，应怎样求双曲线的方程？
(2)已知双曲线上两点的坐标，可将双曲线的方程设为怎样的形式，以便于计算？
【自主解答】 法一 若双曲线的焦点在x轴上，
设其方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
根据题意得
该方程组无解；
若双曲线的焦点在y轴上，
设其方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
根据题意得
解得a2＝16，b2＝9.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
法二 设所求双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．
根据题意得
解得m＝－，n＝.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
1．求双曲线标准方程一般有两种方法：一是定义法，二是待定系数法．
2．用待定系数法求双曲线标准方程的步骤：
(1)定位：确定双曲线的焦点位置，如果题目没有建立坐标系，一般把焦点放在x轴上；
(2)设方程：根据焦点的位置设相应的双曲线标准方程(当焦点在两个坐标轴上都有可能时，一般设为Ax2＋By2＝1(AB＜0))；
(3)定值：根据题目的条件确定相关的系数的方程，解出系数，代入所设方程．
求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)a＝，c＝3，焦点在y轴上；
(2)双曲线过P1(－2，)和P2(，4)两点．
【解】 (1)由a＝，c＝3得b2＝c2－a2＝4.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，因为P1、P2在双曲线上，所以有
解得
所以所求双曲线的方程为－＋＝1，即－＝1.
双曲线定义的应用
如图2－2－1所示，已知双曲线－＝1，F1，F2是其两个焦点，点M在双曲线上．
图2－2－1
(1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积；
(2)若∠F1MF2＝120°，△F1MF2的面积是多少？若∠F1MF2＝60°，△F1MF2的面积又是多少？
【思路探究】 (1)求三角形的面积该联想到哪些方法？
(2)如何运用双曲线的定义解决问题？
【自主解答】 (1)由双曲线方程知，
a＝2，b＝3，c＝，设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(r1＞r2)．
由双曲线定义知，有r1－r2＝2a＝4，两边平方得
r＋r－2r1·r2＝16，
即|F1F2|2－4S△F1MF2＝16，
也即52－16＝4S△F1MF2，
求得S△F1MF2＝9.
(2)若∠F1MF2＝120°，
在△MF1F2中，由余弦定理得，
|F1F2|2＝r＋r－2r1r2cos 120°，
|F1F2|2＝(r1－r2)2＋3r1r2＝(2c)2，r1r2＝12，
求得S△F1MF2＝r1r2sin 120°＝3.
同理可求得若∠F1MF2＝60°，S△F1MF2＝9.
双曲线的定义是用双曲线上任意一点到两焦点的距离来描述的．定义中||PF1|－|PF2||＝2a＜|F1F2|，包含|PF1|－|PF2|＝2a和|PF1|－|PF2|＝－2a，即要看到点离定点的距离的“远”与“近”．涉及双曲线上点到焦点的距离问题，或符合双曲线定义的轨迹问题可用双曲线的定义求解．常见题目类型为：
(1)双曲线的焦点三角形问题；
(2)判断点的轨迹或求轨迹方程．
已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
【解】
如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的条件，得
|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|.
∵|MA|＝|MB|，
∴|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
∴|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2.
这表明动点M与两定点C2，C1的距离的差是常数2.
根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支，
则2a＝2，a＝1，c＝3，
∴b2＝c2－a2＝8.
因此所求动点M的轨迹方程为x2－＝1(x＜0)．
(对应学生用书第31页)
记不清a、b、c的关系致误
双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，则k＝
( )
A．1 B．－1 C. D．－
【错解】 将双曲线化为标准方程为－＝1，∵焦点在y轴上，且c＝3，∴a2＝－，b2＝－，∴－－(－)＝－＝32，∴k＝－.
【答案】 D
【错因分析】 双曲线中a、b、c的关系不是a2－b2＝c2.
【防范措施】 要区别椭圆与双曲线中a、b、c的关系．在椭圆中a2－b2＝c2，在双曲线中a2＋b2＝c2，二者一定不要混淆．
【正解】 将双曲线化为标准方程为－＝1，
∵焦点在y轴上，且c＝3，∴a2＝－，b2＝－.
∴－－＝9，∴k＝－1.
【答案】 B
1．理解双曲线的定义应特别注意以下两点：
(1)距离的差要加绝对值，否则表示双曲线的一支．
(2)距离差的绝对值必须小于焦距，否则不是双曲线．
2．求双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两个过程．“定位”指确定焦点在哪个坐标轴上，“定量”是指确定a2，b2的大小.
(对应学生用书第31页)
1．到两定点F1(－3,0)、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．线段
C．双曲线 D．两条射线
【解析】 由题意|F1F2|＝＝6.
∴点M的轨迹是两条射线．
【答案】 D
2．双曲线＋＝1的焦距为( )
A．16 B．8 C．4 D．2
【解析】 ∵25－k＞9－k且25－k＞0,9－k＜0，
即a2＝25－k，b2＝k－9，
∴c2＝16，c＝4.
焦距为2c＝8.
【答案】 B
3．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A. B.
C. D.
【解析】 将双曲线方程化为标准形式x2－＝1，
所以a2＝1，b2＝，
∴c＝＝，
∴右焦点坐标为.
【答案】 C
4．双曲线的一个焦点为(0，－6)，且经过点(－5,6)，求此双曲线的标准方程．
【解】 由题意知c＝6，且焦点在y轴上，另一焦点为(0,6)，所以由双曲线的定义有：
2a＝|－|＝8，
∴a＝4，∴b2＝62－42＝20，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
一、选择题
1．(2013·台州高二检测)设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1(x≤－3)
D.－＝1(x≥3)
【解析】 由题意动点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支，且a＝3，b＝4，故应选D.
【答案】 D
2．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是( )
A. B．1或－2
C．1或 D．1
【解析】 由于a＞0,0＜a2＜4且4－a2＝a＋2，∴a＝1.
【答案】 D
3．(2013·泰安高二检测)已知双曲线方程为－＝1，点A、B在双曲线的右支上，线段AB经过右焦点F2，|AB|＝m，F1为左焦点，则△ABF1的周长为( )
A．2a＋2m B．4a＋2m
C．a＋m D．2a＋4m
【解析】 根据双曲线的定义：|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，而三角形的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝(|AF1|－|AF2|)＋(|BF1|－|BF2|)＋2|AB|＝4a＋2m.
【答案】 B
4．已知平面内有一线段AB，其长度为4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB中点，则|PO|的最小值是( )
A．1 B.
C．2 D．4
【解析】 ∵|PA|－|PB|＝3＜|AB|＝4，
∴点P在以A、B为焦点的双曲线的一支上，
其中2a＝3,2c＝4，
∴|PO|min＝a＝.
【答案】 B
5．(2013·临沂高二检测)已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且·＝0，||·||＝2，则该双曲线的方程是( )
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【解析】 由双曲线定义||MF1|－|MF2||＝2a，两边平方得：|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|＝4a2，因为·＝0，故△MF1F2为直角三角形，有|MF1|2＋|MF2|2＝(2c)2＝40，而|MF1|·|MF2|＝2，∴40－2×2＝4a2，∴a2＝9，∴b2＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1.
【答案】 A
二、填空题
6．设m为常数，若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________.
【解析】 由题意c＝5，且m＋9＝25，∴m＝16.
【答案】 16
7．(2013·莱芜高二检测)若方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．
【解析】 方程表示双曲线需满足(5－k)(k＋2)＞0，解得：－2＜k＜5，即k的取值范围为(－2,5)．
【答案】 (－2,5)
8．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为______．
【解析】 设右焦点为F′，由题意知F′(4,0)，根据双曲线的定义，|PF|－|PF′|＝4，∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF′|＋|PA|，∴要使|PF|＋|PA|最小，只需|PF′|＋|PA|最小即可，即需满足P、F′、A三点共线，最小值为4＋|F′A|＝4＋＝9.
【答案】 9
三、解答题
9．求与椭圆＋＝1有相同焦点，并且经过点(2，－)的双曲线的标准方程．
【解】 由＋＝1知焦点F1(－，0)，F2(，0)．
依题意，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
∴a2＋b2＝5，①
又点(2，－)在双曲线－＝1上，
∴－＝1.②
联立①②得a2＝2，b2＝3，
因此所求双曲线的方程为－＝1.
10．(2013·杭州高二检测)已知A(－7,0)，B(7,0)，C(2，－12)，椭圆过A、B两点且以C为其一个焦点，求椭圆另一个焦点的轨迹方程．
【解】 设椭圆的另一个焦点为P(x，y)，
则由题意知|AC|＋|AP|＝|BC|＋|BP|，
∴|BP|－|AP|＝|AC|－|BC|
＝2＜|AB|＝14，
所以点P的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，且c＝7，a＝1，
∴b2＝c2－a2＝48.
∴所求的轨迹方程为x2－＝1.
11．A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东，相距6 km，C在B的北偏西30°方向上，相距4 km，P为敌炮阵地，某时刻A发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4秒后，B、C才同时发现这一信号(该信号的传播速度为每秒1 km)．A若炮击P地，求炮击的方位角．
【解】 以AB的中点为原点，BA所在的直线为x轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2)．
∵|PB|－|PA|＝4，∴点P在以A、B为焦点的双曲线的右支上，该双曲线右支的方程是
－＝1(x≥2)．①
又∵|PB|＝|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上，该直线的方程为x－y＋7＝0.②
将②代入①得11x2－56x－256＝0，得x＝8或x＝－(舍)．于是可得P(8,5)．
设α为PA所在直线的倾斜角，
又kPA＝tan α＝，∴α＝60°，故点P在点A的北偏东30°方向上，即A炮击P地的方位角是北偏东30°.
(教师用书独具)
已知B(－5,0)，C(5,0)是△ABC的两个顶点，且sin B－sin C＝sin A，求顶点A的轨迹方程．
【解】 ∵sin B－sin C＝sin A，
∴由正弦定理得|AC|－|AB|＝|BC|＝×10＝6.
又∵|AC|＞|AB|,6＜|BC|，
∴点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的左支(且除去左顶点)，
由2a＝6,2c＝10，得a＝3，c＝5，b2＝c2－a2＝16，
∴顶点A的轨迹方程为－＝1(x＜－3)．
已知定点A(3,0)和定圆C：(x＋3)2＋y2＝16，动圆和圆C相外切，并且过点A，求动圆圆心P的轨迹方程．
【解】 设动圆半径为r，圆心为P(x，y)，定圆C的圆心为C(－3,0)，半径为4，
由平面几何知识有|PC|＝r＋4，|PA|＝r，
∴|PC|－|PA|＝4，
∴动点P的轨迹为双曲线右支．
c＝3，a＝2，b2＝c2－a2＝5，
∴圆心P的轨迹方程为－＝1(x＞0)．
2.3抛物线
2．3.1 抛物线及其标准方程
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
掌握抛物线的定义，掌握抛物线的四种标准方程形式，及其对应的焦点、准线．
2．过程与方法
掌握对抛物线标准方程的推导，进一步理解求曲线方程的方法——坐标法．通过本节课的学习，提高学生观察、类比、分析和概括的能力．
3．情感、态度与价值观
通过本节的学习，体验研究解析几何的基本思想，感受圆锥曲线在刻画现实和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想．
●重点、难点
重点：(1)抛物线的定义及焦点、准线；(2)抛物线的四种标准方程和p的几何意义．
难点：在推导抛物线标准方程的过程中，如何选择适当的坐标系．
以多媒体课件为依托，课件可增强课堂教学的直观性、趣味性，促进学生积极思维，能够在动态演示过程中突出教学重点，化解教学难点．
(教师用书独具)
●教学建议
本节课主要采用启发引导法．在整个教学过程中，引导学生观察、分析、归纳，使学生思维紧紧围绕“问题”层层展开，培养学生学习的兴趣，也充分体现了以教师为主导，学生为主体的教学理念．同时，采用多媒体辅助教学，借助多媒体快捷、形象、生动的辅助作用，突出知识的形成过程，符合学生的认识规律，也可以增加趣味．
本节课从引入课题开始， 尽可能让学生参与知识的产生及形成过程，充分发挥学生的主体作用，使学生全方位地参与问题结论的得出，教师只起到点拨作用．这样做增加了学生的参与机会，提高了参与意识，教给了学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为教学的主体．
●教学流程
???????
(对应学生用书第36页)
课标解读
1.掌握抛物线的定义及其标准方程．(重点)
2．了解抛物线的实际应用．(难点)
3．能区分抛物线标准方程的四种形式．(易混点)
抛物线的定义
【问题导思】
我们知道，二次函数的图象是抛物线，那么抛物线上的点应满足什么条件呢？
【提示】 抛物线上的点满足到定点的距离等于它到定直线的距离．
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
【问题导思】
抛物线的定义中，l能经过点F吗？为什么？
【提示】 不能，若l经过点F，满足条件的点的轨迹不是抛物线，而是过点F且垂直于l的一条直线.
抛物线的标准方程
【问题导思】
1．比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为应如何选择坐标系，建立的抛物线方程才能更简单？
【提示】 根据抛物线的几何特征，可以取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，以F到l的垂线段的中垂线为y轴建系．
2．抛物线的标准方程只有一种形式吗？
【提示】 有四种形式．
四种不同标准形式的抛物线方程
图形
标准
方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px
(p＞0)
x2＝2py
(p＞0)
x2＝－2py
(p＞0)
焦点
坐标
(，0)
(－，0)
(0，)
(0，－)
准线
方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
(对应学生用书第36页)
抛物线概念的理解与应用
(1)抛物线y2＝2px(p＞0)上一点A(6，y0)，且点A到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离是( )
A．4 B．8 C．13 D．16
(2)若点P到定点F(4,0)的距离比它到定直线x＋5＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是( )
A．y2＝－16x B．y2＝－32x
C．y2＝16x D．y2＝16x或y＝0(x＜0)
【思路探究】 (1)由抛物线的定义，点A到焦点的距离与什么相等？(2)点P到F的距离比它到定直线x＋5＝0的距离小1，那么点P到F的距离与它到哪条直线的距离相等？
【自主解答】 (1)由题意6＋＝10，∴p＝8.
(2)因为点F(4,0)在直线x＋5＝0的右侧，且P点到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，所以点P到F(4,0)的距离与到直线x＋4＝0的距离相等．故点P的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p＝8，故P点的轨迹方程为y2＝16x.
【答案】 (1)B (2)C
1．根据抛物线的定义，抛物线上的任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，抛物线定义的功能是可以把点点距转化为点线距，从而使有关的运算问题变得简单、快捷．
2．抛物线标准方程中的p的几何意义是：焦点到准线的距离．
3．对于动点到定点的距离比此动点到定直线的距离大多少或小多少的问题，实际上也是抛物线问题．
(1)抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则A点到抛物线焦点的距离为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
(2)若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
【解析】 (1)由抛物线的定义，点A到焦点的距离等于它到准线的距离，而A到准线的距离为4＋＝4＋1＝5.(2)由题意，动圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线x＋1＝0的距离大1，故动圆圆心的轨迹是以(2,0)为焦点，x＝－2为准线的抛物线，其方程为y2＝8x.
【答案】 (1)D (2)A
求抛物线的标准方程
分别求适合下列条件的抛物线的标准方程．
(1)过点M(－6,6)．
(2)焦点在直线l：3x－2y－6＝0上．
【思路探究】 (1)过点M(－6,6)的抛物线的开口方向有几种情况？(2)直线l：3x－2y－6＝0上有无数个点，哪些点是抛物线的焦点？
【自主解答】 (1)由于点M(－6,6)在第二象限，
∴过M的抛物线开口向左或开口向上．
若抛物线开口向左，焦点在x轴上，
设其方程为y2＝－2px(p＞0)，
将点M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)，
∴p＝3.
∴抛物线的方程为y2＝－6x；
若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0)，
将点M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3，
∴抛物线的方程为x2＝6y.
综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y.
(2)①∵直线l与x轴的交点为(2,0)，
∴抛物线的焦点是F(2,0)，
∴＝2，∴p＝4，
∴抛物线的标准方程是y2＝8x.
②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，
即抛物线的焦点是F(0，－3)，
∴＝3，∴p＝6，
∴抛物线的标准方程是x2＝－12y.
综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y.
1．只有当抛物线的顶点在原点，焦点在x轴或y轴上时，其方程才是标准形式，抛物线的标准方程有四种情况．
2．尽管抛物线的标准方程有四种，但方程中都只有一个待定系数，求标准方程时仍遵循先定位后定量的原则，同时要运用好参数p的几何意义．
3．有时可以设标准方程的统一形式，以避免讨论，如焦点在x轴上，开口不确定的抛物线可设方程为y2＝2ax(a≠0)，解出a值的正负后，开口方向也自然确定了．
若把本例题目改为：
(1)过点(1,2)．
(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．
试求抛物线的标准方程．
【解】 (1)点(1,2)在第一象限，分两种情形：
当抛物线焦点在x轴上时，设其方程为y2＝2px(p>0)，
则22＝2p·1，解得p＝2，
抛物线标准方程为y2＝4x；
当抛物线焦点在y轴上时，设其方程为x2＝2py(p>0)，
则12＝2p·2，解得p＝，抛物线标准方程为x2＝y.
(2)令方程x－2y－4＝0的x＝0得y＝－2，令y＝0得x＝4.
∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)，
当焦点为(4,0)时，＝4，∴p＝8，
这时抛物线标准方程为y2＝16x；
当焦点为(0，－2)时，＝2，∴p＝4，
这时抛物线标准方程为x2＝－8y.
抛物线的实际应用问题
如图2－3－1所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．
图2－3－1
(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；
(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?
【思路探究】 (1)如图所示数据，你能求出抛物线的方程吗？
(2)车辆限制高度是什么意思？由题意该求哪些量？
【自主解答】 如图所示
(1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，
因为点C(5，－5)在抛物线上，
所以该抛物线的方程为x2＝－5y.
(2)设车辆高h，则|DB|＝h＋0.5，故D(3.5，h－6.5)，
代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，
所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米．
1．解答抛物线的实际应用问题的关键是“建模”，即通过题意分析，把实际问题转化为数学模型解决．
2．解决抛物线实际应用题的步骤：
(1)建：建立适当的坐标系；
(2)设：设出合适的抛物线标准方程；
(3)算：通过计算求出抛物线标准方程；
(4)求：求出所要求出的量；
(5)还：还原到实际问题中，从而解决实际问题．
某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4 m，高2 m，载货后木船露在水面上的部分高为 m，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？
【解】 以拱桥拱顶为坐标原点，拱高所在直线为y轴，建立如下图所示的直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．由题意知，点A(4，－5)在抛物线x2＝－2py(p＞0)上．
所以16＝－2p×(－5)，2p＝.
所以抛物线方程为x2＝－y(－4≤x≤4)．
设水面上涨船面两侧与抛物线拱桥接触于B、B′时，船开始不能通航．
设B(2，y)，由于22＝－×y，所以y＝－.
所以水面与抛物线拱顶相距|y|＋＝2(m)．
答：水面上涨到与抛物线拱顶相距2 m时，船开始不能通航.
(对应学生用书第39页)
忽略对抛物线方程中系数的讨论致误
设抛物线y2＝ax的准线与直线x－2＝0的距离为5，求抛物线的方程．
【错解】 由抛物线方程y2＝ax得准线方程为x＝－.
又准线与直线x－2＝0的距离为5，
∴准线方程为x＝－3，∴－＝－3，∴a＝12.
∴抛物线的方程为y2＝12x.
【错因分析】 产生错解的原因是对抛物线方程y2＝ax中的系数a的理解不全面，只认为a＞0，而忽视了a＜0的情况．
【防范措施】 求解抛物线方程中涉及系数问题时，要充分考虑各种情况，以免因遗漏致误．
【正解】 由抛物线方程y2＝ax，得准线方程为x＝－，
∵准线与直线x－2＝0的距离为5，∴准线方程为x＝－3或x＝7，
∵当a＞0时，有x＝－＝－3，解得a＝12，∴抛物线方程为y2＝12x；
∵当a＜0时，有x＝－＝7，解得a＝－28，∴抛物线方程为y2＝－28x.
综上所述，所求抛物线的方程为y2＝12x或y2＝－28x.
1．利用抛物线定义可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，这一相互转化关系在解题时，若能灵活运用，会带来很大的方便．
2．求抛物线的标准方程时，由于其标准形式有四种且极易混淆，解题时一定要做到数形结合，再按照“先定形”再“定量”的程序求解.
(对应学生用书第39页)
1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是( )
A．(2,0) B．(－2,0)
C．(4,0) D．(－4,0)
【解析】 由y2＝－8x，得2p＝8，∴＝2.
从而抛物线的焦点为(－2,0)．
【答案】 B
2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是( )
A．y2＝－8x B．y2＝8x
C．y2＝－4x D．y2＝4x
【解析】 由准线x＝－2及顶点在原点，
∴焦点F(2,0)，p＝4.
∴抛物线的方程为y2＝8x.
【答案】 B
3．若动点P到定点F(－4,0)的距离与到直线x＝4的距离相等，则P点的轨迹是( )
A．抛物线 B．线段
C．直线 D．射线
【解析】 由抛物线的定义可知，点P的轨迹是抛物线．
【答案】 A
4．抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标．
【解】 设焦点为F，M点到准线的距离为d.
则d＝|MF|＝10，即9＋＝10.
∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝－4x，
将M(－9，y)代入抛物线的方程，得y＝±6.
∴M点坐标为(－9,6)或(－9，－6).
(对应学生用书第99页)
一、选择题
1．(2013·济南高二检测)若动点P与定点F(1,1)和直线3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．直线
【解析】 由于点F(1,1)在直线3x＋y－4＝0上，故满足条件的动点P的轨迹是一条直线．
【答案】 D
2．(2013·新乡高二检测)设动点C到点M(0,3)的距离比点C到直线y＝0的距离大1，则动点C的轨迹是( )
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
【解析】 由题意，点C到M(0,3)的距离等于点C到直线y＝－1的距离，所以点C的轨迹是抛物线．
【答案】 A
3．抛物线y2＝4px(p＞0)上一点M到焦点的距离为a，则M到y轴的距离为( )
A．a－p B．a＋p
C．a－ D．a＋2p
【解析】 y2＝4px的准线方程为x＝－p，
设M点坐标为(x1，y1)，则x1＋p＝a，
∴x1＝a－p.
【答案】 A
4．(2013·东营高二检测)若抛物线的焦点恰巧是椭圆＋＝1的右焦点，则抛物线的标准方程为( )
A．y2＝－4x B．y2＝4x
C．y2＝－8x D．y2＝8x
【解析】 椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，故抛物线的焦点为(2,0)，∴＝2，∴p＝4，∴抛物线标准方程为y2＝8x.
【答案】 D
5．(2013·洛阳高二检测)已知点M是抛物线y2＝4x上的一动点，F为焦点，定点P(3,1)，则|MP|＋|MF|的最小值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
【解析】 如图所示，过点P作PN垂直于准线x＝－1于点N，交抛物线于点M，∴|MN|＝|MF|，此时|MP|＋|MF|取得最小值，最小值为xp＋＝3＋1＝4.
【答案】 B
二、填空题
6．抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是________．
【解析】 由y2＝4x知焦点F(1,0)，准线为x＝－1，
∴焦点到准线的距离为2.
【答案】 2
7．(2013·三明高二检测)以双曲线－＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程为________．
【解析】 由－＝1知a2＝4，b2＝5，
∴c2＝a2＋b2＝9，双曲线右焦点为(3,0)，
依题意，抛物线的焦点F(3,0)，＝3，∴p＝6，
∴抛物线方程为y2＝12x.
【答案】 y2＝12x
8．(2012·陕西高考)如图2－3－2所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________m.
图2－3－2
【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则A(2，－2)，将其坐标代入x2＝－2py得p＝1.∴x2＝－2y.
当水面下降1 m，得D(x0，－3)(x0>0)，将其坐标代入x2＝－2y得x＝6，
∴x0＝.∴水面宽|CD|＝2 m.
【答案】 2
三、解答题
9．根据下列条件，分别求抛物线的标准方程．
(1)准线方程为y＝－1；
(2)焦点到准线的距离是4.
【解】 (1)准线为y＝－1，所以＝1，即p＝2，所以抛物线标准方程为x2＝4y.
(2)p＝4，所以抛物线标准方程有四种形式：y2＝8x，y2＝－8x，x2＝8y，x2＝－8y.
10．抛物线的焦点F在x轴上，点A(m，－3)在抛物线上，且|AF|＝5，求抛物线的标准方程．
【解】 因为抛物线的焦点F在x轴上，且点A(m，－3)在抛物线上，
所以当m＞0时，点A在第四象限，抛物线的方程可设为y2＝2px(p＞0)，
设点A到准线的距离为d，
则d＝|AF|＝＋m，
所以
解得或
所以抛物线的方程为y2＝2x或y2＝18x，
当m＜0时，点A在第三象限，抛物线方程可设为y2＝－2px(p＞0)，
设A到准线的距离为d，
则d＝|AF|＝－m，所以
解得或
所以抛物线的方程为y2＝－2x或y2＝－18x.
综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－2x或y2＝－18x或y2＝2x或y2＝18x.
11．已知抛物线x2＝4y，点P是此抛物线上一动点，点A坐标为(12,6)，求点P到点A的距离与到x轴距离之和的最小值．
【解】 将x＝12代入x2＝4y，得y＝36＞6，所以A点在抛物线外部．
抛物线焦点F(0,1)，准线l：y＝－1.过P作PB⊥l于点B，交x轴于点C，则|PA|＋|PC|＝|PA|＋|PB|－1|＝|PA|＋|PF|－1，由图可知，当A、P、F三点共线时，|PA|＋|PF|最小．∴|PA|＋|PF|的最小值为|FA|＝13.故|PA|＋|PC|的最小值为12.
(教师用书独具)
如图所示，动圆P与定圆C：(x－1)2＋y2＝1外切且与y轴相切，求圆心P的轨迹．
【解】 设P(x，y)，动圆P的半径为r.
∵两圆外切，∴PC＝r＋1.
又圆P与y轴相切，∴r＝|x|(x≠0)，
即＝|x|＋1，
整理得y2＝2(|x|＋x)．
当x＞0时，得y2＝4x；当x＜0时，得y＝0.
∴点P的轨迹方程是y2＝4x(x＞0)或y＝0(x＜0)，表示一条抛物线(除去顶点)或x轴的负半轴．
已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝2，且点P与圆心A的距离等于点P到直线l的距离，求点P的轨迹方程．
【解】 依题意可知，P到圆心A(－2,0)的距离和到定直线x＝2的距离相等，
∴点P的轨迹为抛物线且p＝4，∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.
圆锥曲线的定义与性质
圆锥曲线的定义、性质在解题中有着重要作用，要注意灵活运用，可以优化解题过程．圆锥曲线的定义是相对应标准方程和几何性质的“源”，“回归定义”是一种重要的解题策略．
一动圆与两圆：x2＋y2＝1和x2＋y2－6x＋5＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )
A．抛物线 B．双曲线
C．双曲线的一支 D．椭圆
【思路点拨】 分析题意，看满足哪种曲线的定义．
【解析】 x2＋y2＝1是圆心为原点，半径为1的圆，x2＋y2－6x＋5＝0化为标准方程为(x－3)2＋y2＝4，是圆心为A(3,0)，半径为2的圆．设所求动圆圆心为P，动圆半径为r，如图，则?|PA|－|PO|＝1＜|AO|＝3，符合双曲线的定义，结合图形可知，动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．
【答案】 C
过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，如果x1＋x2＝6，则|AB|的值为( )
A．10 B．8 C．6 D．4
【解析】 ∵y2＝4x，
∴2p＝4，p＝2.
∴由抛物线定义知(如图)
|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，
|AB|＝|AF|＋|BF|.
又x1＋x2＝6，
故|AB|＝x1＋x2＋2＝8.
【答案】 B
求圆锥曲线方程
圆锥曲线的轨迹与方程是本章命题的重点，解决此类问题，一要理解好圆锥曲线的定义，掌握标准方程的特征；二要熟练掌握求曲线方程的常用方法——定义法与待定系数法．
求曲线方程的一般步骤是“先定位、后定量”，“定位”是指确定焦点的位置及对称轴，“定量”是指确定参数的大小．
已知点P(3，－4)是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)渐近线上的一点，E，F是左、右两个焦点，若·＝0，则双曲线方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【思路点拨】 紧扣已知条件，可以选择排除法．
【解析】 不妨设E(－c,0)，F(c,0)，则＝(3＋c，－4)，＝(3－c，－4)，·＝25－c2＝0，所以c2＝25.可排除A、B.又由D中双曲线的渐近线方程为y＝±x，点P不在其上，排除D，故选C.
【答案】 C
以椭圆＋＝1的短轴两个端点为焦点，且过A(4，－5)的双曲线方程为________．
【解析】 由椭圆方程知，
椭圆两个短轴端点分别为(0,3)和(0，－3)，
∴双曲线焦点在y轴上，c＝3，
焦点F1(0，－3)，F2(0,3)．
又∵双曲线过A(4，－5)，
∴||AF1|－|AF2||＝2a，
|AF1|＝＝2，
|AF2|＝＝4，
∴2a＝2，∴a＝，
∴b2＝c2－a2＝9－5＝4，
∴双曲线方程为－＝1.
【答案】 －＝1
直线与圆锥曲线的位置关系
近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择、填空也有涉及．有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等．分析这类问题，往往运用数形结合的思想和“设而不求”的方法、对称的方法及根与系数的关系等．
(2013·徐州高二检测)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是.直线y＝t与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标．
【思路点拨】 本题主要考查了直线、椭圆的标准方程和几何性质，求解的关键在于联立方程组，利用方程思想确定待定参数．
【规范解答】 ∵椭圆的左、右焦点为(－，0)(，0)，且e＝.
∴＝且c＝.
则a＝，b＝＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由题意知P(0，t)(－1＜t＜1)．
由
得x＝±.
所以圆P的半径为.
当圆P与x轴相切时，
|t|＝，
解得t＝±.
所以点P的坐标是.
图2－1
如图2－1所示，过点P(2,0)且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点．
(1)写出直线l的方程；
(2)求x1x2与y1y2的值；
(3)求证：OM⊥ON.
【解】 (1)过点P(2,0)且斜率为k的直线方程为：
y＝k(x－2)．
(2)把y＝k(x－2)代入y2＝2x，消去y得
k2x2－(4k2＋2)x＋4k2＝0.
由于直线与抛物线交于不同两点，
故k2≠0且Δ＝(4k2＋2)2－16k4＝16k2＋4＞0.
x1·x2＝4，x1＋x2＝4＋，
∵M、N两点在抛物线上，
∴y·y＝4x1·x2＝16.
而y1·y2＜0，∴y1·y2＝－4.
(3)∵＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，
∴·＝x1·x2＋y1·y2＝4－4＝0.
因此⊥，故OM⊥ON.
分类讨论的思想
在解题时，如果解到某一步后，不能再以统一的方法，统一的式子继续进行了，这时被研究的问题包含了多种情况，那么就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干子区域，然后分别在多个子区域内进行解题，这就是分类讨论的思想．
分类讨论思想是在这一章中运用非常广泛的数学思想，分类讨论的关键是逻辑划分标准恰当、准确，从而对问题分类逐项求解．如曲线方程中含有的参数取值不同，对应的
曲线也不同，这时要讨论字母的取值范围，有时焦点位置不同也要讨论．
已知双曲线的渐近线方程是y＝±，焦点在坐标轴上且焦距是10，求此双曲线的方程．
【思路点拨】 由于双曲线的焦点位置不确定，故应分类讨论．
【规范解答】 设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)，
当λ＞0时，x2－4y2＝λ可化为－＝1，
∴2 ＝10，∴λ＝20；
当λ＜0时，x2－4y2＝λ可化为－＝1，
∴2 ＝10，∴λ＝－20.
综上，双曲线的方程为－＝1或－＝1.
已知抛物线顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线2x＋y－2＝0上，求抛物线方程．
【解】 由题意可知，抛物线焦点即直线2x＋y－2＝0与坐标轴的交点，
令x＝0得y＝2，令y＝0得x＝1，故2x＋y－2＝0交坐标轴于点(0,2)，(1,0)．
当抛物线焦点为(0,2)时，＝2，p＝4，抛物线方程为x2＝8y；
当抛物线焦点为(1,0)时，＝1，p＝2，抛物线方程为y2＝4x.
综上，抛物线方程为x2＝8y或y2＝4x.
