模块学习评价
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．(2012·湖北高考)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是
( )
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
【解析】 特称命题的否定应为全称命题，且应否定结论．
【答案】 B
2．下列曲线中离心率为的是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
【解析】 ∵e＝，∴e2＝＝，故只有B选项正确．
【答案】 B
3．给出下列四个命题：
①若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2；
②若－2≤x＜3，则(x＋2)(x－3)≤0；
③若x＝y＝0，则x2＋y2＝0；
④若x，y∈N＋，x＋y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数，那么( )
A．①的逆命题为真 B．②的否命题为真
C．③的逆否命题为假 D．④的逆命题为假
【解析】 ①的逆命题为：“若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0”是真命题，其他说法都不对．
【答案】 A
4．(2011·江西高考)曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为( )
A．1 B．2 C．e D.
【解析】 由y′＝ex，得在点A(0,1)处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝e0＝1.
【答案】 A
5．(2012·福建高考)下列命题中，真命题是( )
A．
B．?x∈R,2x＞x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件
【解析】
选项
具体分析
结论
A
?x∈R，ex＞0
不正确
B
当时，2x＝x2
不正确
C
a＋b＝0中b可取0，而＝－1中b不可取0，因此，两者不等价
不正确
D
a＞1，b＞1?ab＞1，反之不能成立
正确
【答案】 D
6．(2013·长沙高二期中)已知双曲线的离心率e＝2，且与椭圆＋＝1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
【解析】 双曲线的焦点为F(±4,0)，e＝＝2，∴a＝2，b＝＝2，∴渐近线方程为y＝±x＝±x.
【答案】 C
7．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝处有极值，则ac＋2b的值为( )
A．3 B．－3 C．0 D．1
【解析】 ∵f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，函数f(x)在x＝处有极值，∴f′＝0，即＋＋c＝0，
∴ac＋2b＝－3.
【答案】 B
8．已知命题p：存在x∈R，使tan x＝1；命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}．下列结论：
①命题“p且q”是真命题；
②命题“p且綈p”是假命题；
③命题“綈p或q”是真命题；
④命题“綈p或綈q”是假命题，其中正确的是( )
A．②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④
【解析】 ∵p真，q真，∴p且q真，p且綈q假，綈p或q真，綈p或綈q假，D正确．
【答案】 D
9．已知a＞0，函数f(x)＝－x3＋ax在[1，＋∞)上是单调减函数，则a的最大值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 ∵f′(x)＝－3x2＋a，
依题意，当x≥1时，f′(x)≤0恒成立，
∴a≤3x2，又3x2≥3，∴a≤3.
【答案】 C
10．(2013·临沂高二期末)一动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点( )
A．(0,2) B．(0，－2)
C．(2,0) D．(4,0)
【解析】 由抛物线的方程为y2＝8x得焦点F(2,0)，准线方程为x＝－2，由题意知圆心到直线x＝－2的距离就是圆的半径，由抛物线的定义知圆心(在抛物线上)到准线的距离等于它到焦点的距离，即满足条件的圆都过点F(2,0)．
【答案】 C
11．对于抛物线C：y2＝4x，我们称满足y＜4x0的点M(x0，y0)在抛物线内部，若点M(x0，y0)在抛物线内部，则直线l：y0y＝2(x＋x0)与C( )
A．恰有一个公共点
B．恰有两个公共点
C．可能有一个公共点也可能有两个公共点
D．没有公共点
【解析】 抛物线C：y2＝4x与直线l：y0y＝2(x＋x0)联立得：y0y＝2(＋x0)，即y2－2y0y＋4x0＝0，∴Δ＝4y－16x0，因为y＜4x0，∴Δ＜0，无公共点．
【答案】 D
12．(2012·山东高考)设函数f(x)＝，g(x)＝－x2＋bx，若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则下列判断正确的是( )
A．x1＋x2＞0，y1＋y2＞0
B．x1＋x2＞0，y1＋y2＜0
C．x1＋x2＜0，y1＋y2＞0
D．x1＋x2＜0，y1＋y2＜0
【解析】 设F(x)＝x3－bx2＋1，则方程F(x)＝0与f(x)＝g(x)同解，故其有且仅有两个不同零点x1，x2，由F′(x)＝0得x＝0或x＝b.
这样，必须且只需F(0)＝0或F(b)＝0.
因为F(0)＝1，故必有F(b)＝0，由此得b＝.
不妨设x1＜x2，则x2＝b＝.
所以F(x)＝(x－x1)(x－)2，比较系数得－x1＝1，故x1＝－，x1＋x2＝＞0，由此知y1＋y2＝＋＝＜0，故答案为B.
【答案】 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．)
13．(2012·天津高考)已知双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a＝________，b＝________.
【解析】 由题意得解之得a＝1，b＝2
【答案】 1,2
14．若p：|x|＞1，q：x＜－2，则“綈p”是“綈q”的________条件．
(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要)
【解析】 綈p：|x|≤1，綈q：x≥－2，故綈p?綈q，但綈q 綈p，所以“綈p”是“綈q”的充分不必要条件．
【答案】 充分不必要
15．(2012·普宁高二检测)已知函数f(x)的导函数f′(x)＝4x3－4x，x∈R，当f(x)取得极小值时，x的值应为________．
【解析】 令f′(x)＝0，则x＝0或±1，则f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
0
＋
f(x)
↓
极小
↑
极大
↓
极小
↑
故当x＝±1时，f(x)取极小值．
【答案】 1或－1
16．(2012·江西高考)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别是A、B，左右焦点分别是F1，F2，若|AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________．
【解析】 ∵A、B为左右顶点，F1，F2为左右焦点，所以|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|BF1|＝a＋c，又因为|AF1|，|F1F2|，|BF1|成等比数列，所以(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2，所以离心率e＝＝.
【答案】
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)已知命题p：方程x2＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：方程x2－mx＋1＝0有两个不相等的实根，若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数m的取值范围．
【解】 命题p：m＞1；
命题q：Δ＝m2－4＞0，即m＞2或m＜－2.
若“p∧q”为假，“p∨q”为真，则p、q中有一个为真一个为假．
若p为真，q为假，则p∧(綈q)为真，
即，∴1＜m≤2.
若p为假，q为真，则(綈p)∧q为真，
即，∴m＜－2.
综上，m的取值范围为m＜－2或1＜m≤2.
18．(本小题满分12分)求过(3，－4)且焦点在直线x＋y＋m＝0(m＞0)上的抛物线的标准方程，并求m的值．
【解】 对于直线方程x＋y＋m＝0.令x＝0，
得y＝－m，令y＝0，得x＝－m，
∴抛物线的焦点为(0，－m)或(－m,0)，
∵点(3，－4)在第四象限，
∴抛物线开口向下或向右．
又∵m＞0，∴－m＜0，
∴抛物线的开口只能向下，设其方程为x2＝－2py(p＞0)，
把(3，－4)代入其中得p＝，∴＝，
∴实数m＝，抛物线的标准方程为x2＝－y.
19．(本小题满分12分)(2012·安徽高考)设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋＋b(a＞0)．
(1)求f(x)的最小值；
(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x，求a，b的值．
【解】 (1)f(x)＝ax＋＋b≥ 2＋b＝b＋2
当且仅当ax＝1(x＝)时，f(x)的最小值为b＋2
(2)由题意得：f(1)＝?a＋＋b＝ ①
f′(x)＝a－?f′(1)＝a－＝ ②
由①②得：a＝2，b＝－1
20．(本小题满分12分)已知关于x的一元二次方程①mx2－4x＝4＝0.(m∈Z)，②x2－4mx＋4m2－4m－5＝0.(m∈Z)，求方程 ①和②的根都是整数的充要条件．
【解】 方程①有实数根的充要条件是Δ＝16－16m≥0，解得m≤1；方程②有实数根的充要条件是Δ＝16m2－4(4m2－4m－5)≥0，解得m≥－，所以－≤m≤1.而m∈Z，故m＝－1，或m＝0，或m＝1.
当m＝－1时，方程①为mx2－4x＋4＝0，无整数根；
当m＝0时，方程②为x2－5＝0，无整数根；
当m＝1时，方程①②均有整数根．反之，成立．
综上得方程①和②均有整数根的充要条件是m＝1.
21．(本小题满分12分)已知函数F(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)，且F′(－1)＝0.
(1)若F(x)在x＝1处取得极小值－2，求函数F(x)的单调区间；
(2)令f(x)＝F′(x)，若f′(x)＞0的解集为A，且满足A∪(0,1)＝(0，＋∞)，求的取值范围．
【解】 (1)∵F′(x)＝ax2＋2bx＋c，且F′(－1)＝0，
∴a－2b＋c＝0. ①
又由在x＝1处取得极小值－2可知
F′(1)＝a＋2b＋c＝0， ②
且F(1)＝a＋b＋c＝－2， ③
将①，②，③式联立，解得a＝3，b＝0，c＝－3.
∴F(x)＝x3－3x，F′(x)＝3x2－3.
由F′(x)＝3x2－3≥0解得x≤－1或x≥1.
同理，由F′(x)＝3x2－3≤0解得－1≤x≤1.
∴F(x)的单调递减区间为[－1,1]，
单调递增区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)．
(2)由(1)知f(x)＝F′(x)＝ax2＋2bx＋c，
∴f′(x)＝2ax＋2b.
又∵F′(－1)＝0，∴a－2b＋c＝0.
∴2b＝a＋c，∴f′(x)＝2ax＋a＋c.
∵f′(x)＞0，
∴2ax＋a＋c＞0，∴2ax＞－a－c.
∴当a＜0时，f′(x)＞0的解集为(－∞，－)，
显然A∪(0,1)＝(0，＋∞)不成立，不满足题意；
当a＞0时，f′(x)＞0的解集为(－，＋∞)．
又由A∪(0,1)＝(0，＋∞)知0≤－＜1.
解得－3＜≤－1.
22．(本小题满分12分)如图1，已知椭圆C：6x2＋10y2＝15m2(m＞0)，经过椭圆C的右焦点F且斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点．
图1
(1)是否存在k，使对任意m＞0，总有＋＝成立？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由；
(2)若·＝－(m3＋4m)，求实数k的取值范围．
【解】 (1)椭圆C：＋＝1，c2＝－＝m2，c＝m，∴F(m,0)，
直线y＝k(x－m)，联立，
得(10k2＋6)x2－20k2mx＋10k2m2－15m2＝0.
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则
x1＋x2＝，x1x2＝，
则xM＝＝，yM＝k(xM－m)＝，
若存在k，使＋＝成立，∵M为ON的中点，
∴＋＝2，
∴＋＝(2xM,2yM)＝(，)，
即N点坐标为(，)．
由N点在椭圆上，则6()2＋10()2＝15m2，
即5k4－2k2－3＝0，∴k2＝1或k2＝－(舍)．
故存在k＝±1使＋＝.
(2)·＝x1x2＋y1y2
＝x1x2＋k2(x1－m)(x2－m)
＝(1＋k2)x1x2－k2m(x1＋x2)＋k2m2
＝(1＋k2)·－k2m·＋k2m2
＝，
由＝－(m3＋4m)，得
＝－(m＋)≤－2，
即k2－15≤－20k2－12，∴k2≤，
∴－≤k≤且k≠0.
选修1－1
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第一章 常用逻辑用语
充分、必要条件
(教材第12页习题1.2，A组第3题)
下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：x＝1，q：x－1＝
(2)p：|x－2|≤3，q：－1≤x≤5；
(3)p：x＝2，q：x－3＝
(4)p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形．
1．(2012·山东高考)设a＞0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【命题意图】 本题主要考查充分、必要条件与指数函数、幂函数的单调性问题．
【解析】 因为函数f(x)＝ax在R上是减函数，所以0＜a＜1，由函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数可得：2－a＞0，即a＜2，所以若0＜a＜1则a＜2，而若a＜2推不出0＜a＜1.所以“函数f(x)＝ax在R上是减函数”，是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件．
【答案】 A
2．(2012·浙江高考)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行的”( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【命题意图】 本题主要考查充分、必要条件及判断两直线平行的方法．
【解析】 由＝≠－解得a＝1，故a＝1是两直线l1、l2平行的充要条件．
【答案】 C
1．(2012·天津高考)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 当φ＝0时，f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)是偶函数，而f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)是偶函数不一定得出φ＝0，故A正确．
【答案】 A
2．(2013·烟台检测)“m＜”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的( )
A．充分非必要条件 B．充分必要条件
C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件
【解析】 若一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解．
则Δ＝1－4m≥0，因此m≤.
故m＜是方程x2＋x＋m＝0有实数解的充分非必要条件．
【答案】 A
全称命题、特称命题及其否定
(教材第26页习题1.4，A组第3题)
写出下列命题的否定：
(1)?x∈N，x3＞x2.
(2)所有可以被5整除的整数，末位数字都是0.
(3)?x0∈R，x－x0＋1≤0.
(4)存在一个四边形，它的对角线互相垂直．
1．(2012·湖北高考)命题“?x0∈?RQ，x∈Q ”的否定是( )
A．?x0??RQ，x∈Q B．?x0∈?RQ，x?Q
C．?x??RQ，x3∈Q D．?x∈?RQ，x3?Q
【命题意图】 本题考查对特称命题的否定．
【解析】 特称命题的否定是全称命题的形式，D正确．
【答案】 D
2．(2012·辽宁高考)已知命题p：?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则綈p是( )
A．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0
D．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0
【命题意图】 本题考查对全称命题的否定．
【解析】 全称命题p：?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0的否定为綈p：?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0.
【答案】 C
1．(2012·安徽高考)命题“存在实数x，使x＞1”的否定是( )
A．对任意实数x，都有x＞1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
【解析】 “x＞1”的否定为“x≤1”，“存在”要变为“任意”．
【答案】 C
2．(2013·东莞高二检测)下列命题的非为真命题的是( )
A．π是无理数
B．?x∈R，x2＞－1
C．?x0∈R，使4x0－2＞5x0
D．?x0∈R，使x＋1＝0
【解析】 A、B均为真命题，其非为假命题，C为真命题，其非命题为假；只有D为假命题，故其非为真．
【答案】 D
第二章 圆锥曲线与方程
椭圆
(教材第42页习题2.1，A组第5题)
求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)经过点P(－2，0)，Q(0，)．
(2)长轴长是短轴的3倍，且过点P(3,0)．
(3)焦距是8，离心率为0.8.
1．(2012·江西高考)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2，若|AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.－2
【命题意图】 本题考查椭圆的几何性质及求离心率的方法．
【解析】 因为A、B为左右顶点，F1，F2为左右焦点，所以|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|BF1|＝a＋c，又因为|AF1|，|F1F2|，|BF1|成等比数列，所以(a＋c)(a－c)＝4c2，即a2＝5c2，所以离心率e＝.
【答案】 B
2．(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－1,0)，且点P(0,1)在C1.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．
【命题意图】 本题考查求椭圆的标准方程及直线与圆锥曲线的位置关系问题．
【解】 (1)由题意得c＝1，b＝1，a＝＝.
椭圆C1的方程为＋y2＝1
(2)由题意得直线的斜率一定存在且不为0，设直线l方程y＝kx＋m
因为椭圆C的方程为＋y2＝1
∴消去y得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0
直线l与椭圆C1相切，∴Δ1＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＝0.
即2k2－m2＋1＝0(1)
直线l与抛物线C2：y2＝4x相切，
则消去y得
k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0，
∴Δ2＝(2km－4)－4k2m2＝0，
即km＝1(2)
由(1)(2)解得k＝，m＝；k＝－，m＝－.
所以直线l的方程y＝x＋；y＝－x－.
1．(2012·课标全国卷)设F1、F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
A. B. C. D.
【解析】 设直线x＝与x轴交于点M，则∠PF2M＝60°.在Rt△PF2M中，PF2＝F1F2＝2c，F2M＝－c，故cos 60°＝＝＝，解得＝，故离心率e＝.
【答案】 C
2．(2012·陕西高考)已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．
【解】 (1)由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a＞2)其离心率为，
故＝，则a＝4.
故椭圆C2的方程为＋＝1.
(2)A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由＝2及(1)知，O、A、B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入椭圆方程＋y2＝1得(1＋4k2)x2＝4，所以x＝，
将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，
所以x＝，
又由＝2得x＝4x，
即＝，解得k＝±1.
故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
双曲线
(教材第53页练习第4题)
等轴双曲线的一个焦点是F1(－6,0)，求它的标准方程和渐近线方程．
1．(2012·湖南高考)已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【命题意图】 本题考查双曲线的标准方程与几何性质．
【解析】 由题设知c＝5，将P(2,1)代入y＝x得：
a＝2b，又a2＋b2＝c2，∴5b2＝25，b2＝5，a2＝4b2＝20.
所以双曲线的方程为－＝1.
【答案】 A
2．(2012·江苏高考)平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m＝________.
【命题意图】 本题考查双曲线的方程与离心率的概念．
【解析】 由题意知，双曲线的焦点在x轴上，所以其离心率e＝＝，∴m＝2.
【答案】 2
1．(2012·福建高考)已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )
A. B. C. D.
【解析】 由题意知a2＋5＝9，∴a＝2，e＝＝.
【答案】 C
2．(2012·课标全国卷)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为( )
A. B．2 C．4 D．8
【解析】 设双曲线的方程为－＝1，抛物线的准线为x＝－4，且|AB|＝4，故可得A(－4,2)、B(－4，－2)，将点A坐标代入双曲线方程得a2＝4，故a＝2，故实轴长为4.
【答案】 C
抛物线
(教材第68页复习参考题A组第7题)
正三角形的一个顶点位于抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，另外两顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长．
1．(2012·重庆高考)过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|＜|BF|，则|AF|＝________.
【命题意图】 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线中焦半径公式的应用，也考查了思维能力．
【解析】 由于y2＝2x的焦点坐标为(，0)，设AB所在直线的方程为y＝k(x－)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＜x2，将y＝k(x－)代入y2＝2x，得k2(x－)2＝2x，∴k2x2－(k2＋2)x＋＝0.
∴x1x2＝.
而x1＋x2＋p＝x1＋x2＋1＝，∴x1＋x2＝.
∴x1＝，x2＝.∴|AF|＝x1＋＝＋＝.
【答案】
2．(2012·四川高考)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝( )
A．2 B．2
C．4 D．2
【命题意图】 本题考查了抛物线定义的简单应用．
【解析】 由题意设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则M到焦点的距离为xM＋＝2＋＝3，∴p＝2，∴y2＝4x.∴y＝4×2，∴y0＝±2，∴|OM|＝＝＝2.
【答案】 B
1．(2012·山东高考)已知双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，若抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )
A．x2＝y B．x2＝y
C．x2＝8y D．x2＝16y
【解析】 因为双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，所以e＝＝2，所以c＝2a，所以c2＝a2＋b2＝(2a)2，b＝a.所以双曲线的渐近线为y＝±x，即y＝x.所以抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点(0，)到双曲线C1的渐近线y＝x的距离为：d＝＝2，所以p＝8，所以抛物线C2的方程为x2＝16y.
【答案】 D
2．(2012·北京高考)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A、B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．
【解析】 抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，直线l：y＝(x－1)．
由，解得A(3,2)，B(，－)．
所以S△OAF＝×1×2＝.
【答案】
第三章 导数及其应用
导数的几何意义
(教材第85页习题3.2，A组第6题)
已知函数y＝ln x；
(1)求这个函数的导数．
(2)求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
1．(2012·课标全国卷)曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．
【命题意图】 本题考查导数的几何意义与求直线方程的方法．
【解析】 y′＝3ln x＋4，故y′|x＝1＝4，所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝4(x－1)，化为一般式方程为4x－y－3＝0.
【答案】 4x－y－3＝0
2．(2012·辽宁高考)已知P、Q为抛物线x2＝2y上两点，点P、Q的横坐标分别为4，－2，过P、Q分别作抛物线切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．
【命题意图】 本题考查导数的几何意义，渗透方程的思想．
【解析】 由于P，Q为抛物线x2＝2y(即y＝x2)上的点，且横坐标分别为4，－2.
则P(4,8)，Q(－2,2)，从而在点P处的切线斜率k1＝y′|x＝4＝4，据点斜式，得曲线在点P处的切线方程为y－8＝4(x－4)；同理，曲线在点Q处的切线方程为y－2＝－2(x＋2)；上述两方程联立，解得交点A的纵坐标－4.
【答案】 －4
1．(2012·广东高考)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．
【解析】 y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝2，故切线方程为：y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.
【答案】 2x－y＋1＝0
2．(2011·湖南高考)曲线y＝－在点M处的切线的斜率为( )
A．－ B.
C．－ D.
【解析】 y′＝＝，
故y′|x＝＝.
∴曲线在点M处的切线的斜率为.
【答案】 B
用导数求函数的单调区间、
极值或最值
(教材第98页习题3.3A组第1题)
1．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．
(1)f(x)＝－2x＋1；
(2)f(x)＝x＋cos x，x∈(0，)．
(3)f(x)＝2x－4；
(4)f(x)＝2x3＋4x
2．(教材第96页练习第1题)求下列函数的极值：
(1)f(x)＝6＋12x－x3；(2)f(x)＝x3－27x.
1．(2012·辽宁高考)函数y＝x2－ln x的单调递减区间为( )
A．(－1,1] B．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
【命题意图】 本题主要考查导数的应用以及运算求解能力．
【解析】 由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y′＝x－≤0，解得0【答案】 B
2．(2012·陕西高考)设函数f(x)＝xex，则( )
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
【命题意图】 本题考查利用导数确定极值点，同时又考查运算求解能力和分析问题能力，难度中等．
【解析】 ∵f(x)＝xex，∴f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)．
∴当f′(x)≥0时，即ex(1＋x)≥0，即x≥－1，∴x≥－1时函数y＝f(x)为增函数．同理可求，x<－1时函数f(x)为减函数．
∴x＝－1时，函数f(x)取得极小值．
【答案】 D
1．(2012·陕西高考)设函数f(x)＝＋ln x，则( )
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
【解析】 ∵f(x)＝＋ln x，∴f′(x)＝－＋，令f′(x)＝0，即－＋＝＝0，解得x＝2，当x＜2时，f′(x)＜0，当x＞2时，f′(x)＞0，所以x＝2为f(x)的极小值点．
【答案】 D
2．(2011·陕西高考改编)设f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋f′(x)，求g(x)的单调区间和最小值．
【解】 由题意知f(x)＝ln x，g(x)＝ln x＋，
∴g′(x)＝.令g′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，故(0,1)是g(x)的单调减区间．
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间．
因此，x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点．
所以g(x)的最小值为g(1)＝1.
课件65张PPT。
