证明等积线段或成比例线段
利用相似三角形的性质可以得到等积式或比例式，是解决这类问题的基本方法．解决这类问题一般可分为三步：
(1)把等积式化为比例式，从而确定相关的两个三角形相似．
(2)确定两个相关的三角形的方法是：把比例式横看或者竖看，将两条线段中的相同字母消去一个，由余下的字母组成三角形.
(3)设法找到证明这两个三角形相似的条件．
如图1－1，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC边的垂直平分线EM和AB、CA的延长线分别交于 D、E，连接AM.
图1－1
求证：AM2＝DM·EM.
【证明】 ∵∠BAC＝90°，
M是BC的中点，
∴AM＝CM，∠MAC＝∠C.
∵EM⊥BC，∴∠E＋∠C＝90°.
又∵∠BAM＋∠MAC＝90°，
∴∠E＝∠BAM.
∵∠EMA＝∠AMD，
∴△AMD∽△EMA.
∴＝.
∴AM2＝DM·EM.
利用相似三角形证明线段相等
证明两条线段相等，一般情况下，利用等角对等边或全等三角形的性质来解决．但有些证明两条线段相等的几何题利用前面的方法得不出来，或过程比较繁琐，此时可以借助于相似三角形的有关比例线段来解决．
如图1－2，AD、CF是△ABC的两条高线，在AB上取一点P，使AP＝AD，再从P点引BC的平行线与AC交于点Q.
图1－2
求证：PQ＝CF.
【证明】 ∵AD、CF是△ABC的两条高线，
∴∠ADB＝∠BFC.又∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBF，
∴＝.
又∵PQ∥BC，
∴∠APQ＝∠B，∠AQP＝∠ACB.
∴△APQ∽△ABC.
∴＝，即＝.
∴＝.
又∵AP＝AD，∴PQ＝CF.
射影定理
射影定理揭示了直角三角形中两直角边在斜边上的射影，斜边及两直角边之间的比例关系，此定理常作为计算与证明的依据，在运用射影定理时，要特别注意弄清射影与直角边的对应关系，分清比例中项，否则在做题中极易出错．
如图1－3所示，AD，BE是△ABC的高，DF⊥AB于F，DF交BE于G，FD的延长线交AC的延长线于H.求证：DF2＝FG·FH.
图1－3
【证明】 ∵BE⊥AC，
∴∠ABE＋∠BAE＝90°，
同理，∠H＋∠HAF＝90°，
∴∠ABE＝∠H，
又∠BFG＝∠HFA，
∴△BFG∽△HFA，
∴BF∶HF＝FG∶AF，
∴BF·AF＝FG·FH，
在Rt△ADB中，DF2＝BF·AF，
∴DF2＝FG·FH.
函数与方程思想
在相似三角形中，存在着多种比例相等的关系，利用这种相等关系，可以构建函数模型，利用函数的性质解决问题，也可以将相等关系转化为方程的形式，利用方程的思想解决问题.
如图1－4所示，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝240 mm，高AD＝160 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是多少？
图1－4
【解】 设正方形PQMN为加工成的正方形零件，边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，△ABC的高AD与正方形的边PN相交于点E，设正方形的边长为x mm.
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，∴＝，
∴＝，解得x＝96(mm)．
∴加工成的正方形零件的边长为96 mm.
转化思想
在证明一些等积式时，往往将其转化为比例式加以证明．当证明的比例式中的线段在同一条直线上时，常转化为用相等的线段、相等的比、相等的等积式来代换相应的量．证明比例式成立也常利用中间比来转化证明．
如图1－5，在锐角△ABC中，AD，CE分别是BC，AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，且DE＝2，求点B到直线AC的距离．
图1－5
【解】 ∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°.
又∵∠B＝∠B，∴△ADB∽△CEB.
∴＝，∴＝.
又∵∠B＝∠B，∴△BED∽△BCA.
∴＝＝ .
又∵ED＝2，∴AC＝6，
∴点B到AC的距离＝＝3.
综合检测(一)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
图1
1．如图1，已知DE∥BC，EF∥AB，现得到下列式子：
①＝；②＝；③＝；④＝.其中正确式子的个数有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
【解析】 由平行线分线段成比例定理知，①②④正确．故选B.
【答案】 B
图2
2．如图2，DE∥BC，S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8，则AD∶DB的值为( )
A．1∶4 B．1∶3
C．1∶2 D．1∶5
【解析】 由S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8得S△ADE∶S△ABC＝1∶9，
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∵()2＝＝，
∴＝，∴AD∶DB＝1∶2.
【答案】 C
3．△ABC和△DEF满足下列条件，其中不一定使△ABC与△DEF相似的是( )
A．∠A＝∠D＝45°38′，∠C＝26°22′，∠E＝108°
B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，
DE＝12，EF＝8，DF＝16
C．BC＝a，AC＝b，AB＝c，DE＝，EF＝，DF＝
D．AB＝AC，DE＝DF，∠A＝∠D＝40°
【解析】 A中∠A＝∠D，∠B＝∠E＝108°，
∴△ABC∽△DEF，
B中AB∶AC∶BC＝EF∶DE∶DF＝2∶3∶4，
∴△ABC∽△EFD，
D中AB∶AC＝DE∶DF，∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DEF.
而C中不能保证三边对应成比例．
【答案】 C
图3
4．如图3，在△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E在AC的延长线上，BD＝3CE，DE交BC于F，则DF∶FE等于( )
A．5∶2 B．2∶1
C．3∶1 D．4∶1
【解析】 过D作DG∥AC，交
BC于G，
则DG＝DB＝3CE，
即CE∶DG＝1∶3.
易知△DFG∽△EFC，
∴DF∶FE＝DG∶CE，
所以DF∶FE＝3∶1.
【答案】 C
图4
5．如图4所示，梯形ABCD的对角线交于点O，则下列四个结论：
①△AOB∽△COD；
②△AOD∽△ACB；
③S△DOC：S△AOD＝CD：AB；
④S△AOD＝S△BOC.
其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 ∵DC∥AB，∴△AOB∽△COD，①正确．由①知，＝.S△DOC：S△AOD＝OC：OA＝CD：AB，③正确．
∵S△ADC＝S△BCD，
∴S△ADC－S△COD＝S△BCD－S△COD，
∴S△AOD＝S△BOC，④正确．
故①③④正确．
【答案】 C
图5
6．如图5所示，铁道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m，当短臂端点下降0.5 m时，长臂端点升高( )
A．11.25 m B．6.6 m
C．8 m D．10.5 m
【解析】 本题是一个实际问题，可抽象为如下数学问题：如图，等腰△AOC∽等腰△BOD，OA＝1 m，OB＝16 m，高CE＝0.5 m，求高DF.由相似三角形的性质可得OA∶OB＝CE∶DF，即1∶16＝0.5∶DF，解得DF＝ 8 m.
【答案】 C
图6
7．如图6所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形＝40 cm2，S△ABE∶S△DBA＝1∶5，则AE的长为( )
A．4 cm B．5 cm
C．6 cm D．7 cm
【解析】 ∵∠BAD＝90°，AE⊥BD，
∴△ABE∽△DBA.
∴S△ABE∶S△DBA＝AB2∶DB2.
∵S△ABE∶S△DBA＝1∶5，
∴AB2∶DB2＝1∶5.
∴AB∶DB＝1∶.
设AB＝k，DB＝k，则AD＝2k.
∵S矩形＝40 cm2，∴k·2k＝40.
∴k＝2.
∴BD＝k＝10，AD＝4.
S△ABD＝BD·AE＝20，即×10·AE＝20.
∴AE＝4 cm.
【答案】 A
图7
8．如图7，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分(即图中的阴影部分)的面积是 △ABC的面积的一半，若AB＝，则此三角形移动的距离AA′是( )
A.－1 B.
C．1 D.
【解析】 由题意可知，阴影部分与△ABC相似，且等于△ABC面积的，∴A′B∶AB＝＝1∶.
又∵AB＝，∴A′B＝1，∴AA′＝－1.
【答案】 A
9．如果直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，且CD＝25，AD＝5，则AB的值为( )
A．75 B．100
C．125 D．130
【解析】 ∵CD＝25，AD＝5，CD2＝AD·BD.
∴BD＝＝＝125.
∴AB＝AD＋BD＝5＋125＝130.
【答案】 D
10．已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD>BD)，若CD＝6，则AD的长为( )
A．8 B．9
C．10 D．11
【解析】 如图，连接AC，CB.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
设AD＝x，∵CD⊥AB于D，
∴由射影定理得CD2＝AD·DB.
即62＝x(13－x)，∴x2－13x＋36＝0，
解得x1＝4，x2＝9.
∵AD>BD，∴AD＝9.
【答案】 B
11.
图8
某社区计划在一块上、下底边长分别是10米，20米的梯形空地上种植花木(如图8所示)，他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为10元/米2的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC地带种植同样的太阳花，还需资金( )元．
A．500 B．1 500
C．1 800 D．2 000
【解析】 梯形ABCD中，AD∥BC，∴△AMD∽△CMB.
AD＝10 m，BC＝20 m，
＝()2＝，
∵S△AMD＝500÷10＝50(m2)∴S△BMC＝200 m2，
则还需要资金200×10＝2 000(元)．
【答案】 D
图9
12．如图9，已知M是?ABCD的边AB的中点，CM交BD于E，图中阴影部分面积与?ABCD的面积之比为( )
A. B.
C. D.
【解析】 S△BMD＝S△ABD＝S?ABCD，
由BM∥CD，得△DCE∽△BME，
则DE∶BE＝CD∶BM＝2∶1，
所以S△DME∶S△BMD＝DE∶BD＝2∶3.
即S△DME＝S△BMD.
又 S△DME＝S△BCE，
∴S阴影＝2S△DME＝S△BMD
＝×S?ABCD＝S?ABCD，
即S阴影∶S?ABCD＝1∶3.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上)
图10
13．如图10，已知DE∥BC，且BF∶EF＝4∶3，则AC∶AE＝________.
【解析】 ∵DE∥BC，
∴＝，
同理，∵DE∥BC，
∴＝.
∴＝＝＝.
【答案】 4∶3
14．(2013·开封模拟)如图11，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于________米．
图11
【解析】 如图，GC⊥BC，AB⊥BC，∴GC∥AB.
∴△GCD∽△ABD，∴＝.
设BC＝x，则＝，同理，得＝.
∴＝，∴x＝3，∴＝，
∴AB＝6(米)．
【答案】 6
15．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AC＝12 cm，BC＝15 cm，则S△ACD∶S△BCD＝________.
【解析】 ∵∠ACB＝90°，CD是高，
∴AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，
∴AD∶BD＝AC2∶BC2.
又∵S△ACD＝·AD·CD.
S△BCD＝·BD·CD，
∴S△ACD∶S△BCD＝AD∶BD＝AC2∶BC2.
又∵AC＝12，BC＝15，
∴S△ACD∶S△BCD＝144∶225＝16∶25.
【答案】 16∶25
16．(2013·广东高考)如图12，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________.
图12
【解析】 法一 因为AB＝，BC＝3，所以AC＝＝2，tan ∠BAC＝＝，所以∠BAC＝.在Rt△BAE中，AE＝ABcos ＝，则CE＝2－＝.在△ECD中，DE2＝CE2＋CD2－2CE·CDcos ∠ECD＝()2＋()2－2×××＝，故DE＝.
法二 如图，作EM⊥AB交AB于点M，作EN⊥AD交AD于点N.因为AB＝，BC＝3，所以tan ∠BAC＝＝，则∠BAC＝，AE＝ABcos ＝，NE＝AM＝AEcos＝×＝，AN＝ME＝AEsin ＝×＝，ND＝3－＝.在Rt△DNE中，DE＝＝＝.
【答案】
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.
图13
(本小题满分10分)如图13所示，CD垂直平分AB，点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、G分别为垂足．
求证：AF·AC＝BG·BE.
【证明】 ∵CD垂直平分AB，
∴△ACD和△BDE均为直角三角形，且AD＝BD.
又∵DF⊥AC，DG⊥BE，
∴AF·AC＝AD2，
BG·BE＝DB2，
∵AD2＝DB2，
∴AF·AC＝BG·BE.
图14
18．(本小题满分12分)如图14，点E是四边形ABCD的对角线上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE.
(1)求证：BE·AD＝CD·AE；
(2)根据图形的特点，猜想可能等于哪两条线段的比(只写出图中一组比即可)？并证明你的猜想．
【证明】 (1)∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠DAC，
∵∠DAE＝∠BDC，∴∠AEB＝∠ADC，
∴△ABE∽△ACD，
∴＝，
即BE·AD＝CD·AE.
(2)猜想：＝()
证明：∵由(1)△ABE∽△ACD，
∴＝，
又∵∠BAC＝∠EAD，
∴△BAC∽△EAD，
∴＝()．
图15
19．(本小题满分12分)已知如图15，正方形ABCD的边长为4，P为AB上的一点，且AP∶PB＝1∶3，PQ⊥PC，试求PQ的长．
【解】 ∵PQ⊥PC，
∴∠APQ＋∠BPC＝90°，
∴∠APQ＝∠BCP.
∴Rt△APQ∽Rt△BCP，
∵AB＝4，AP∶PB＝1∶3，
∴PB＝3，AP＝1，
∴＝，
即AQ＝＝＝.
∴PQ＝＝ ＝.
20．(本小题满分12分)在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且AD2＝BD·DC，求∠BCA的度数？
【解】 (1)当AD在△ABC内部时，如图(1)，由AD2＝BD·DC，可得△ABD∽△CAD.
∴∠BCA＝∠BAD＝65°；
(2)当AD在△ABC外部时，如图(2)，
由AD2＝BD·DC，得△ABD∽△CAD，
∴∠B＝∠CAD＝25°，
∴∠BCA＝∠CAD＋∠ADC＝25°＋90°＝115°.
故∠BCA等于65°或115°.
图16
21．(本小题满分12分)如图16所示，CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线，CE⊥CD，CE＝，连接DE交BC于点F，AC＝4，BC＝3.求证：
(1)△ABC∽△EDC；
(2)DF＝EF.
【证明】 (1)在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，则AB＝5.
∵D为斜边AB的中点，
∴AD＝BD＝CD＝AB＝2.5.
∴＝＝＝.
∴△ABC∽△EDC.
(2)由(1)知，∠B＝∠CDF，
∵BD＝CD，∴∠B＝∠DCF，
∴∠CDF＝∠DCF.
∴DF＝CF.①
由(1)知，∠A＝∠CEF，∠ACD＋∠DCF＝90°，∠ECF＋∠DCF＝90°，
∴∠ACD＝∠ECF.由AD＝CD，得∠A＝∠ACD.
∴∠ECF＝∠CEF，
∴CF＝EF.②
由①②，知DF＝EF.
图17
22．(本小题满分12分)如图17，已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s.当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动．设运动时间为t(s)，解答下列问题：
(1)当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；
(2)设△BPQ的面积为S(cm2)，求S与t的函数关系式；
(3)作QR∥BA交AC于点R，连接PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ?
【解】 (1)△BPQ是等边三角形．
当t＝2时，AP＝2×1＝2，BQ＝2×2＝4.
∴BP＝AB－AP＝6－2＝4.∴BQ＝BP.
又∵∠B＝60°，∴△BPQ是等边三角形．
(2)过Q作QE⊥AB，垂足为E.
由QB＝2t，得QE＝2t·sin60°＝t.
由AP＝t，得PB＝6－t.
∴S＝S△BPQ＝×BP×QE
＝(6－t)×t＝－t2＋3t.
(3)∵QR∥BA，
∴∠QRC＝∠A＝60°.
又∵∠C＝60°，∴△QRC是等边三角形，
∴QR＝RC＝QC＝6－2t.
∵BE＝BQ·cos 60°＝×2t＝t，
∴EP＝AB－AP－BE＝6－t－t＝6－2t.
∴EP∥QR，EP＝QR.
∴四边形EPRQ是平行四边形．
∴PR＝EQ＝t.
又∵∠PEQ＝90°，∴∠APR＝∠PRQ＝90°.
∵△APR∽△PRQ，∴∠QPR＝∠A＝60°.
∴tan 60°＝，即＝，解得t＝，
∴当t＝时，△APR∽△PRQ.
课件19张PPT。新课标 数 学 选修4－1
第一讲 相似三角形的判定及有关性质
一平行线等分线段定理
课标解读
1.掌握平行线等分线段定理及其两个推论．
2.能运用平行线等分线段定理及其两个推论进行简单的证明或计算.
1．平行线等分线段定理
(1)文字语言：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．
(2)图形语言
图1－1－1
如图1－1－1，l1∥l2∥l3，l分别交l1，l2，l3于A，B，C，l′分别交l1，l2，l3于A1，B1，C1，若AB＝BC，则A1B1＝B1C1.
2．平行线等分线段定理的推论
(1)推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．
(2)推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．
1．平行线等分线段定理有哪些应用？
【提示】 定理既可证明同一直线上的线段相等，亦可等分已知线段．
2．平行线等分线段定理的逆命题是怎样的？它是正确的吗？
【提示】 平行线等分线段定理的逆命题是：如果一组直线截另一组直线成相等的线段，那么这组直线平行，这个命题是错误的．(如图所示)
3．如何证明平行线等分线段定理的推论1?
【提示】 如图①，在△ABC中，B′为AB的中点，过B′作B′C′∥BC交AC于点C′，求证：C′是AC的中点．
证明：如图②，过A作直线a∥BC，
∵BC∥B′C′，∴a∥BC∥B′C′.
又∵AB′＝BB′，∴AC′＝CC′，
即C′是AC的中点．
平行线等分线段定理
图1－1－2
如图1－1－2，已知AC⊥AB，DB⊥AB，O是CD的中点，求证：OA＝OB.
【思路探究】 由于线段OA和OB有共同端点，则转化为证明△OAB是等腰三角形即可．
【自主解答】 过O作AB的垂线，垂足为E，如图所示．
又∵AC⊥AB，DB⊥AB，
∴OE∥AC∥DB.
又∵O为CD的中点，
∴E为AB的中点，又OE⊥AB，
∴△OAB是等腰三角形，
∴OA＝OB.
1．本题中由AC⊥AB，DB⊥AB知AC∥DB，联想到作OE⊥AB，再根据平行线等分线段定理证明点E是AB的中点．
2．平行线等分线段定理应在有线段的中点时应用，在没有线段的中点时构造线段的中点来应用．
已知：如图1－1－3，?ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点A，B，C，D，O分别作直线a的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，D′，O′；求证：A′D′＝B′C′.
图1－1－3
【证明】 ∵?ABCD的对角线AC、BD交于点O，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵AA′⊥a，OO′⊥a，CC′⊥a，
∴AA′∥OO′∥CC′.
∴O′A′＝O′C′，
同理：O′D′＝O′B′，
∴A′D′＝B′C′.
平行线等分线段定理推论1的应用
如图1－1－4，在△ABC中，AD，BF为中线，AD，BF交于G，CE∥FB交AD的延长线于E.
求证：AG＝2DE.
图1－1－4
【思路探究】
AF＝FC，
GF∥EC→AG＝GE→△BDG≌△CDE→AG＝2DE
【自主解答】 在△AEC中，
∵AF＝FC，GF∥EC，
∴AG＝GE.
∵CE∥FB，
∴∠GBD＝∠ECD，∠BGD＝∠E.
又BD＝DC，
∴△BDG≌△CDE.
故DG＝DE，即GE＝2DE，
因此AG＝2DE.
1．如果已知条件中出现中点，往往运用三角形的中位线定理来解决问题．
2．本例在证明DG＝DE时也可以过D作EC的的平行线DH.
因为BG∥DH∥CE且BD＝CD得DG＝DE，使用平行线等分线段定理来证明．
如图1－1－5，已知AD是三角形ABC的中线，E为AD的中点，BE的延长线交AC于F.
图1－1－5
求证：AF＝AC.
【证明】 过D作DH∥BF，交AC于H.
∵BD＝CD，DH∥BF，
∴FH＝CH.
同理：AF＝FH.
∴AF＝FH＝CH，
∴AF＝AC.
平行线等分线段定理推论2的运用
如图1－1－6所示，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B＝60°，BC＝AB，E为AB的中点．
图1－1－6
求证：△ECD为等边三角形．
【思路探究】 过E作EF∥BC，先证明EC＝ED，再连接AC，证明∠BCE＝30°，从而∠ECD＝60°.
【自主解答】 过E作EF∥BC交DC于F，连接AC，如图所示．
∵AD∥BC，E为AB中点，
∴F是DC中点． ①
又∵DC⊥BC，EF∥BC，
∴EF⊥DC. ②
∴由①②知，EF是DC的垂直平分线，
∴△ECD为等腰三角形． ③
∵BC＝AB，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
又∵E是AB中点，
∴CE是∠ACB的平分线，
∴∠BCE＝30°，∴∠ECD＝60°. ④
由③④知，△ECD为等边三角形．
1．解答本题的关键是通过证明△ABC是等边三角形来证明∠BCE＝30°.
2．有梯形且存在线段中点时，常过该点作平行线，构造平行线等分线段定理的推论2的基本图形，进而进行几何证明或计算．
如图1－1－7，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，E，F分别是AB，CD的中点，EF交BD于G，交AC于H.求证：EG＝GH＝HF.
图1－1－7
【证明】 ∵E，F分别是AB，CD的中点，AD∥BC.
∴EF∥AD，EF∥BC.
∴G，H分别是BD，AC的中点．
∴EG綊AD，FH綊AD.∴EG＝FH.
∵BC＝2AD，EH＝BC，
∴EH＝AD，又EG＝AD.
∴GH＝EH－EG＝AD－AD＝AD.
∴EG＝GH.即EG＝GH＝HF.
(教材P5练习T2)
已知：如图1－1－8，M，N分别是?ABCD的AB，CD边的中点，CM交BD于点E，AN交BD于点F.
图1－1－8
请你探讨BE，EF，FD三条线段之间的关系，并给出证明．
(2013·高丘模拟)如图1－1－9，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC中点，且AE∥DC，AE交BD于点F，过点F的直线交AD的延长线于点M，交CB的延长线于点N，则FM与FN的关系为( )
A．FM>FN
B．FMC．FM＝FN
D．不能确定
【命题意图】 本题主要考查平行线等分线段定理及其推论的应用．
【解析】 ∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形.
∴AD＝EC＝BC，
即BE＝EC＝AD.
∴△ADF≌△EBF，
∴AF＝FE，∴△AFM≌△EFN，
∴FM＝FN.
【答案】 C
图1－1－10
1．如图1－1－10所示，DE是△ABC的中位线，F是BC上任一点，AF交DE于G，则有( )
A．AG>GF
B．AG＝GF
C．AGD．AG与GF的大小不确定
【解析】 ∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，AD＝DB，
∴AG＝GF.
【答案】 B
图1－1－11
2．已知：如图1－1－11，l1∥l2∥l3，那么下列结论中错误的是( )
A．由AB＝BC可得FG＝GH
B．由AB＝BC可得OB＝OG
C．由CE＝2CD可得CA＝2BC
D．由GH＝FH可得CD＝DE
【解析】 由平行线等分线段定理知，A、C、D均正确．
【答案】 B
3. 如图1－1－12，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＋BC＝10 cm，E为AB的中点，点F在DC上，且EF∥AD，则EF的长为( )
A．5 cm
B．10 cm
C．20 cm
D．不确定
图1－1－12
【解析】 由推论2知，EF是梯形ABCD的中位线，故EF＝(AD＋BC)＝×10＝5 cm.
【答案】 A
图1－1－13
4．如图1－1－13所示，AF＝FD＝BD，FG∥DE∥BC，若EP＝1，则BC＝________.
【解析】 由平行线等分线段定理知AG＝GE＝EC，则EP是△CFG的中位线，故FG＝2，又FG是△ADE的中位线，∴DE＝4，DP＝3，又DP是△FBC的中位线，
∴BC＝6.
【答案】 6
一、选择题
图1－1－14
1．如图1－1－14，已知l1∥l2∥l3，AB，CD相交于l2上一点O，且AO＝OB，则下列结论中错误的是( )
A．AC＝BD
B．AE＝ED
C．OC＝OD
D．OD＝OB
【解析】 由l1∥l2∥l3知AE＝ED，OC＝OD，
由△AOC≌△BOD知AC＝BD，
但OD与OB不能确定其大小关系．
故选D.
【答案】 D
图1－1－15
2．(2013·信阳模拟)已知如图1－1－15，AE⊥EC，CE平分∠ACB ，DE∥BC，则DE等于( )
A．BC－AC
B．AC－BF
C.(AB－AC)
D.(BC－AC)
【解析】 由已知得CE是线段AF的垂直平分线．
∴AC＝FC，AE＝EF，
∵DE∥BC，
∴DE是△ABF的中位线．
∴DE＝BF＝(BC－AC)．
【答案】 D
图1－1－16
3．如图1－1－16，AD是△ABC的高，E是AB的中点，EF⊥BC于F，若DC＝BD，则FC是BF的( )倍．
A. B.
C. D.
【解析】 ∵EF⊥BC，AD⊥BC，
∴EF∥AD，又∵E为AB的中点，
∴F是BD的中点，即BF＝DF.
又∵DC＝BD，∴DC＝BF.
∴FC＝FD＋DC＝BF＋DC＝BF.
【答案】 A
图1－1－17
4．如图1－1－17，在梯形ABCD中，E为AD的中点，EF∥AB，EF＝30 cm，AC交EF于G，若FG－EG＝10 cm，则AB＝( )
A．30 cm B．40 cm
C．50 cm D．60 cm
【解析】 由平行线等分线段定理及推论知，点G，F分别是线段AC，BC的中点，则
EG＝DC，FG＝AB.
∴，，
解得.
【答案】 B
二、填空题
图1－1－18
5．如图1－1－18所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝6，E，F分别为对角线BD、AC的中点，则EF＝________.
【解析】 如图所示，过E作GE∥BC交BA于G.
∵E是DB的中点，
∴G是AB的中点，又F是AC的中点，
∴GF∥BC，∴G，E，F三点共线，
∴GE＝AD＝1，GF＝BC＝3，
∴EF＝GF－GE＝3－1＝2.
【答案】 2
图1－1－19
6．如图1－1－19，在△ABC中，E是AB的中点，EF∥BD交AC于F，EG∥AC交BD于G，CD＝AD，若EG＝5 cm，则AC＝________；若BD＝20 cm，则EF＝________.
【解析】 ∵E为AB的中点，EF∥BD，
∴F为AD的中点．
∵E为AB的中点，EG∥AC，∴G为BD的中点，若EG＝5 cm，则AD＝10 cm，又CD＝AD＝5 cm，∴AC＝15 cm.若BD＝20 cm ，则EF＝BD＝10 cm.
【答案】 15 cm 10 cm
三、解答题
图1－1－20
7．如图1－1－20，已知以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边作?ACED，DC的延长线交BE于F.求证：EF＝BF.
【证明】 连接AE交DC于O，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴O是AE的中点(平行四边形的对角线互相平分)．
∵四边形ABCD是梯形，
∴DC∥AB.在△EAB中，OF∥AB，O是AE的中点，
∴F是EB的中点．∴EF＝BF.
8．如图1－1－21所示，已知线段AB，求作线段AB的五等分点，并证明．
图1－1－21
【解】 作法：(1)作射线AC；
(2)在射线AC上以任意取定的长度顺次截取AD1＝D1D2＝D2D3＝D3D4＝D4D5；
(3)连接D5B；
(4)分别过D1，D2，D3，D4作D5B的平行线D1A1，D2A2，D3A3，D4A4，分别交AB于点A1，A2，A3，A4，则点A1，A2，A3，A4将线段AB五等分．
证明：过点A作MN∥D5B.
则MN∥D4A4∥D3A3∥D2A2∥D1A1∥D5B，
∵AD1＝D1D2＝D2D3＝D3D4＝D4D5，
∴AA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4B.
∴点A1，A2，A3，A4就是所求的线段AB的五等分点．
9．用一张矩形纸，你能折出一个等边三角形吗？如图1－1－22(1)，先把矩形纸ABCD对折，设折痕为MN；再把B点叠在折痕线上，得到Rt△ABE，沿着EB线折叠，就能得到等边△EAF，如图(2)．想一想，为什么？
图1－1－22
【解】 利用平行线等分线段定理的推论2，
∵N是梯形ADCE的腰CD的中点，NP∥AD，
∴P为EA的中点．
∵在Rt△ABE中，PA＝PB(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，
∴∠1＝∠3.
又∵PB∥AD，∴∠3＝∠2.∴∠1＝∠2.
又∵∠1与和它重合的角相等，
∴∠1＝∠2＝30°.
在Rt△AEB中，∠AEB＝60°，∠1＋∠2＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
10.
如图所示，AE∥BF∥CG∥DH，AB＝BC＝CD，AE＝12，DH＝16，AH交BF于点M，求BM与CG的长．
【解】 如图，取BC的中点
P，作PQ∥DH交EH于点Q，则PQ是梯形ADHE的中位线．
∵AE∥BF∥CG∥DH，
AB＝BC＝CD，
AE＝12，DH＝16，∴＝，＝，
∴＝，∴BM＝4.
∵PQ为梯形的中位线，
∴PQ＝(AE＋DH)＝(12＋16)＝14.
同理，CG＝(PQ＋DH)＝(14＋16)＝15.
课件35张PPT。一条直线 其他直线 相等 A1B1＝B1C1 中点 平分 中点 平行 平分 课时作业（一）二平行线分线段成比例定理
课标解读
1.掌握平行线分线段成比例定理及其推论．2.能利用平行线分线段成比例定理及推论解决有关问题.
1．平行线分线段成比例定理
(1)文字语言：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
(2)图形语言：
如图1－2－1，l1∥l2∥l3，
则有：＝，
＝，＝.
2．平行线分线段成比例定理的推论
(1)文字语言：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．
(2)图形语言：如图1－2－2，l1∥l2∥l3，
图1－2－2
则有：＝，＝，＝.
1．平行线分线段成比例定理有哪些变式？
【提示】 变式有＝，＝，＝.
2．平行线分线段成比例定理的逆命题是什么？它是正确的吗？
【提示】 平行线分线段成比例定理的逆命题是：如果三条直线截两条直线所得的对应线段成比例，那么这三条直线平行，这个命题是错误的．
3．怎样理解平行线分线段成比例定理的推论？
【提示】 (1)这个推论也叫三角形一边平行线的性质定理．(2)它包括以下三种基本图形(其中DE为截线)．
习惯上称前两种为“A型”，第三种为“X型”．
(3)此推论的逆命题也正确，即如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
证明线段成比例
如图1－2－3，AD为△ABC的中线，在AB上取点E，AC上取点F，使AE＝AF，
图1－2－3
求证：＝.
【思路探究】 在这道题目中所证的比例组合都没有直接的联系，可以考虑把比例转移，过点C作CM∥EF，交AB于点M，交AD于点N，且BC的中点为D，可以考虑补一个平行四边形来求解．
【自主解答】 如图，过C作CM∥EF，交AB于点M，交AD于点N，
∵AE＝AF，∴AM＝AC.
∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD.
延长AD到G，使得DG＝AD，连接BG，CG，则四边形ABGC为平行四边形．
∴AB＝GC.
∵CM∥EF，∴＝＝，
∴＝.
又AB∥GC，AM＝AC，GC＝AB，
∴＝＝.
∴＝.
1．解答本题的关键是添加辅助线，构造平行四边形．
2．比例线段常由平行线产生，因而研究比例线段问题应注意平行线的应用，在没有平行线时，可以添加平行线来促成比例线段的产生．
3．利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的，如本题中，＝＝＝.
已知如图1－2－4，AD∥BE∥CF，EG∥FH，求证：＝.
图1－2－4
【证明】 ∵AD∥BE∥CF，
∴＝，
又∵EG∥FH，∴＝，
∴＝.
证明线段相等
已知，如图1－2－5在梯形ABCD中，AD∥BC，F为对角线AC上一点，FE∥BC交AB于E，DF的延长线交BC于H，DE的延长线交CB的延长线于G.
图1－2－5
求证：BC＝GH.
【思路探究】 从复杂的图形中找出基本图形△ABC和△DHG，而EF是它们的截线，再使用定理或推论即可．
【自主解答】 ∵FE∥BC，
∴＝，＝.
∵AD∥EF∥BH，
∴＝.
∵＝.
∴BC＝GH.
1．解答本题的关键是构造分子或分母相同的比例式．
2．应用平行线分线段成比例定理及推论应注意的问题
(1)作出图形，观察图形及已知条件，寻找合适的比例关系；
(2)如果题目中没有平行线，要注意添加辅助线，可添加的辅助线可能很多，要注意围绕待证式；
(3)要注意“中间量”的运用与转化．
(2013·信阳模拟)如图1－2－6所示，已知梯形ABCD的对角线AC与BD相交于点P，两腰BA、CD的延长线相交于点O，EF∥BC且EF过点P.
图1－2－6
求证：(1)EP＝PF；
(2)OP平分AD和BC.
【解】 (1)∵EP∥BC，∴＝.
又∵PF∥BC，∴＝.
∵AD∥EF∥BC，∴＝.
∴＝，
∴EP＝PF.
(2)在△OEP中，AD∥EP，∴＝.
在△OFP中，HD∥PF，∴＝.
∴＝.
又由(1)知EP＝PF，∴AH＝HD.
同理BG＝GC.
∴OP平分AD和BC.
平行线分线段成比例定理及推
论的综合应用
图1－2－7
如图1－2－7所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF∥AD.
(1)求＋的值；
(2)求证：＋＝.
【思路探究】 (1)利用比例线段转化所求；
(2)证出EF＝2OE，再利用(1)的结果证明．
【自主解答】 (1)∵OE∥AD，∴＝.
∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC，
∴＝，
∴＋＝＋＝＝1.
(2)证明：∵AD∥BC∥EF，
可得＝＝＝，
故OF＝OE，
即EF＝2OE.
由(1)知，
∵＋＝1，∴＋＝2.
∴＋＝2，∴＋＝.
1．本题要证明的结论较多，证明时要注意与图形的结合和对式子的合理变形．
2．运用平行线分线段成比例定理的推论来证明比例式或计算比值，应分清相关三角形中的平行线段及所截边，并注意在求解过程中运用等比性质、合比性质等．
如图1－2－8，M是?ABCD的边AB的中点，直线l过M分别交AD，AC于E，F，交CB延长线于N，若AE＝2，AD＝6.求AF∶AC的值．
图1－2－8
【解】 ∵AD∥BC，
∴＝，∴＝.
∵＝＝1，∴AE＝BN.
∴＝＝.
∵AE＝2，BC＝AD＝6，
∴＝＝，
即AF∶AC＝1∶5.
(教材第10页习题1.2第4题)
图1－2－9
如图1－2－9，梯形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，EF∥AD.假设EF作上下平行移动，
(1)如果＝，
求证：3EF＝BC＋2AD；
(2)如果＝，
求证：5EF＝2BC＋3AD；
(3)请你探究一般结论，即如果＝，那么可以得到什么结论．
(2011·广东高考)如图1－2－10所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2.E，F分别为AD，BC上点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为__________．
图1－2－10
【命题意图】 本题以梯形为载体，主要考查平行线分线段成比例定理及其推论的应用．
【解析】 如图，延长AD、BC交于点O，作OH⊥AB于点H.
∴＝，得x＝2h1，＝，得h1＝h2.
∴S梯形ABFE＝×(3＋4)×h2＝h1，
S梯形EFCD＝×(2＋3)×h1＝h1，
∴S梯形ABFE∶S梯形EFCD＝7∶5.
【答案】 7∶5
1．如图1－2－11，已知DE∥BC，则下列比例式成立的是( )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
【解析】 由平行线分线段成比例定理的推论知，＝.
【答案】 C
图1－2－12
2．如图1－2－12，已知＝，DE∥BC，则等于
( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵DE∥BC，＝.
∴＝，
∴＝，
又∵＝，
∴＝.
【答案】 C
3．如图1－2－13所示，AB∥CD，AC与BD相交于E，＝，则＝________.
图1－2－13
【解析】 ∵AB∥CD，∴＝，
∴＝＝.
【答案】
4．如图1－2－14所示，已知a∥b，＝，＝3，则AE∶EC＝________.
图1－2－14
【解析】 ∵a∥b，
∴＝，＝.
∵＝3，∴BC＝3CD，
∴BD＝4CD.
又∵＝，
∴＝＝，
∴＝，∴＝.
∴＝＝.
【答案】
一、选择题
图1－2－15
1．如图1－2－15，梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC延长线上一点，AE分别交BD于G，交BC于F.下列结论：①＝；②＝；③＝；④＝，其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 ∵BC∥AD，
∴＝，＝.故①④正确．
∵BF∥AD，
∴＝，故②正确．
【答案】 C
2．如图1－2－16，E是?ABCD的边AB延长线上的一点，且＝，则＝( )
图1－2－16
A. B. C. D.
【解析】 ∵CD∥AB，∴＝＝，
又AD∥BC，∴＝.
由＝得＝，即＝.
∴＝＝.故选C.
【答案】 C
图1－2－17
3．如图1－2－17，平行四边形ABCD中，N是AB延长线上一点，则－为( )
A. B．1
C. D.
【解析】 ∵AD∥BM，∴＝.
又∵DC∥AN，∴＝，
∴＝.
∴＝，
∴－＝－＝＝1.
【答案】 B
图1－2－18
4．如图1－2－18，已知△ABC中，AE∶EB＝1∶3，BD∶DC＝2∶1，AD与CE相交于F，则＋的值为( )
A. B．1
C. D．2
【解析】 过点D作DG∥AB交EC于点G，则＝＝＝.而＝，即＝，所以AE＝DG，从而有AF＝FD，EF＝FG＝CG，故＋＝＋＝＋1＝.
【答案】 C
二、填空题
图1－2－19
5．(2013·焦作模拟)如图1－2－19，已知B在AC上，D在BE上，且AB：BC＝2：1，ED：DB＝2：1，则AD：DF＝________.
【解析】 如图，过D作DG∥AC交FC于G.
则＝＝.
∴DG＝BC.
又BC＝AC，∴DG＝AC.
∵DG∥AC，∴＝＝.∴DF＝AF.
从而AD＝AF，∴AD：DF＝7：2.
【答案】 7∶2
图1－2－20
6．如图1－2－20，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于O，过O的直线分别交AB、CD于E、F，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，则EF＝________.
【解析】 ∵AD∥EF∥BC，∴＝＝＝，
∴EO＝FO，而＝＝，＝，BC＝20，AD＝12，
∴＝1－＝1－，
∴EO＝7.5，∴EF＝15.
【答案】 15
三、解答题
图1－2－21
7．如图1－2－21，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15 cm，AF＝4 cm，求BE和DE的长．
【解】 ∵DE∥AC，
∴∠3＝∠2.
又AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2.
∴∠1＝∠3，即AE＝ED.
∵DE∥AC，EF∥BC，
∴四边形EDCF是平行四边形．
∴ED＝FC，即AE＝ED＝FC.
设AE＝DE＝FC＝x.
由EF∥BC得＝.即＝，
解之得x1＝6，x2＝－10(舍去)．
所以DE＝6(cm)，BE＝15－6＝9(cm)．
图1－2－22
8．如图1－2－22所示，已知直线FD和△ABC的BC边交于D，与AC边交于E，与BA的延长线交于F，且BD＝DC，求证：AE·FB＝EC·FA.
【证明】 过A作AG∥BC，交DF于G点，如图所示．
∵AG∥BD，∴＝.
又∵BD＝DC，
∴＝.
∵AG∥DC，
∴＝.
∴＝，
即AE·FB＝EC·FA.
图1－2－23
9．如图1－2－23，AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，连接AD，BC交于点E，EF⊥BD于F，求证：＋＝.
【证明】 ∵AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，
∴AB∥EF∥CD，
∴＝，＝，
∴＋＝＋＝＝＝1，
∴＋＝.
10．某同学的身高为1.6米，由路灯下向前步行4米，发现自己的影子长为2米，求这个路灯的高．
【解】 如图所示，AB表示同学的身高，PB表示该同学的影长，CD表示路灯的高，则AB＝1.6 m，PB＝2 m，BD＝4 m.
∵AB∥CD
∴＝
∴CD＝＝＝4.8(m)
即路灯的高为4.8米．
课件38张PPT。成比例 对应线段 课时作业（二）三相似三角形的判定及性质
1 相似三角形的判定
课标解读
1.了解三角形相似的定义．
2.掌握相似三角形的判定定理，以及直角三角形相似的判定方法.
1．相似三角形的有关概念
(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．
(2)相似比：相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)．
2．预备定理
平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
3．相似三角形的判定
定理名称
定理内容
简述
判定
定理1
对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
两角对应相等，两三角形相似
判定
定理2
对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.
两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
判定
定理3
对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.
三边对应成比例，两三角形相似.
4.引理
如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
5．直角三角形相似的判定
(1)上述所有的任意三角形相似的判定适用于直角三角形．
(2)定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似．
(3)定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．
(4)定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
1．用符号表示相似三角形时，应注意哪些问题？
【提示】 (1)用符号表示相似三角形时，在两个相似三角形中，三边对应成比例，即＝＝，每个比的前项是同一个三角形的三条边，而比的后项分别是另一个三角形的对应边，它们的位置不能写错．
(2)用符号表示相似三角形时，对应顶点的字母写在对应的位置上，这样可以很快地找到相似三角形的对应角或对应边．如若△ABC∽△DEF，则∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F，＝＝.
2．三角形相似的判定定理一是最常用的判断方法，使用此判定方法解题的常用基本图形有哪几种？
【提示】 (1)平行线型：
(2)相交线型：
(3)旋转型：
3．直角三角形斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形是什么关系？
【提示】 分成的两个直角三角形与原三角形相似．
相似三角形的判定
如图1－3－1，已知＝＝，求证：△ABD∽△ACE.
图1－3－1
【思路探究】 由于已知＝，得＝，则要证明△ABD∽△ACE，只需证明∠DAB＝∠EAC即可．
【自主解答】 因为＝＝，所以△ABC∽△ADE.
所以∠BAC＝∠EAD，∠BAC－∠DAC＝∠EAD－∠DAC，即∠DAB＝∠EAC.
又＝，即＝，
所以△ABD∽△ACE.
1．本题中，∠DAB与∠EAC的相等关系不易直接找到，这里用∠BAC＝∠EAD，在∠BAC和∠EAD中分别减去同一个角∠DAC，间接证明．
2．判定两个三角形相似时，关键是分析已知哪些边对应成比例，哪些角对应相等，根据三角形相似的判定定理，还缺少什么条件就推导出这些条件．
图1－3－2
如图1－3－2，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是角平分线，证明：△ABC∽△BCD.
【证明】 ∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝72°.
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°
∴∠A＝∠CBD.
又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BCD.
证明线段成比例
如图1－3－3，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E是AC的中点，连接ED并延长与AB的延长线交于F.求证：＝.
图1－3－3
【思路探究】 由条件知：AB∶AC＝BD∶AD，转证BD∶AD＝DF∶AF，变为证△FAD∽△FDB.其中BD∶AD正是两对相似三角形的中间比．
【自主解答】 ∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠C＝∠BAD，Rt△ADB∽Rt△CDA.
∴AB∶AC＝BD∶AD.
又∵E是AC的中点，
∴AE＝DE＝EC，
∴∠DAE＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠BDF.
又∠F＝∠F，
∴△FDB∽△FAD.
∴BD∶AD＝DF∶AF，
即AB∶AC＝DF∶AF.
1．本题根据＝，把欲证明的问题转化为证明＝是解题的关键．
2．求证的成比例线段所在的三角形不相似时，应考虑用中间比过渡，也就是转证其他三角形相似，得到比例线段，最后得证结论．
(2013·郑洲模拟)已知如图1－3－4，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP.
图1－3－4
【证明】 在正方形ABCD中，
∵Q是CD的中点，∴＝2.
∵＝3，∴＝4.
又BC＝2DQ，∴＝2.
在△ADQ和△QCP中，
＝，∠C＝∠D＝90°，
∴△ADQ∽△QCP.
证明两直线平行
如图1－3－5，D为△ABC的边AB上一点，过D点作DE∥BC，DF∥AC，AF交DE于G，BE交DF于H，连接GH.
图1－3－5
求证：GH∥AB.
【思路探究】 结合图形的特点可以先证比例式＝成立，再证△EGH∽△EDB，由此得∠EHG＝∠EBD即可．
【自主解答】 ∵DE∥BC，
∴＝＝，即＝，
又∵DF∥AC，∴＝.
∵＝，∴＝，
又∠GEH＝∠DEB，
∴△EGH∽△EDB，
∴∠EHG＝∠EBD，
∴GH∥AB.
1．由平行线可以得到比例式，由比例式也可以确定两直线的平行关系．
2．证明平行关系时，可以由引理找到比例式得证，也可以使用平行线的其他判定方法．
图1－3－6
如图1－3－6，在平行四边形ABCD中，直线EF∥AB，在EF上任取两点E、F，连接AE、BF、DE、CF，分别交于G、H，连接GH.求证：GH∥BC.
【证明】 ∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
又∵EF∥AB，∴AB∥EF∥CD，
∴△BAG∽△FEG，△DCH∽△EFH，
∴＝，＝，∴＝，
∴GH∥BC.
(教材第19页习题1.3第7题)
如图1－3－7，△ABC是钝角三角形，AD、BE、CF分别是△ABC的三条高，求证：AD·BC＝BE·AC.
图1－3－7
(2011·陕西高考)如图1－3－8，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝________.
图1－3－8
【命题意图】 本题依托三角形求值问题，主要考查相似三角形的判定，同时考查了学生的计算能力．
【解析】 由∠B＝∠D，AE⊥BC及∠ACD＝90°可以推得：
Rt△ABE∽Rt△ADC，故＝∴AE＝＝2.
【答案】 2
图1－3－9
1．如图1－3－9所示，在△ABC中，FD∥GE∥BC，则与△AFD相似的三角形有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】 ∵FD∥GE∥BC，
∴△AFD∽△AGE∽△ABC.
【答案】 B
2．给出下列四个命题：
①三边对应成比例的两个三角形相似；
②一个角对应相等的两个直角三角形相似；
③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；
④一个角对应相等的两个等腰三角形相似．
其中正确的命题是( )
A．①③ B．①④
C．①②④ D．①③④
【解析】 ①③都是判定定理，显然正确，②中若相等的角是直角，则不一定相似，故不正确．④中，若相等的角在一个三角形中是顶角，在另一个三角形中是底角，则不一定相似，故不正确．
【答案】 A
3．如图1－3－10所示，DE与BC不平行，当＝________时，△ABC∽△AED.
图1－3－10
【解析】 △ABC与△AED有一个公共角∠A，当∠A的两夹边对应成比例，即＝时，这两个三角形相似．
【答案】
4．如图1－3－11所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝6，AD＝3，则AB＝________.
图1－3－11
【解析】 在△ACD和△ABC中，∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB＝90°.
∴△ACD∽△ABC，∴＝，
∴＝，∴AB＝12.
【答案】 12
一、选择题
1.
图1－3－12
如图1－3－12，每个大正方形均由边长为1的小正方形组成，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )
【解析】 △ABC中，AB＝，BC＝2，∠ABC＝135°.
选项A的三角形，有一个内角为135°，且该角的两边长分别为1和，根据相似三角形的判定定理2知，两三角形相似，故选A.
【答案】 A
图1－3－13
2．如图1－3－13，在△ABC中，M在BC上，N在AM上，CM＝CN，且＝，下列结论中正确的是( )
A．△ABM∽△ACB
B．△ANC∽△AMB
C．△ANC∽△ACM
D．△CMN∽△BCA
【解析】 ∵CM＝CN，∴∠CMN＝∠CNM，
∵∠AMB＝∠CNM＋∠MCN，
∠ANC＝∠CMN＋∠MCN，
∴∠AMB＝∠ANC.
又＝，∴△ANC∽△AMB.
【答案】 B
图1－3－14
3．如图1－3－14，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵AF⊥DE，
∴Rt△DAO∽Rt△DEA，
∴＝＝.
【答案】 D
图1－3－15
4．如图1－3－15所示，已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G，FG＝2，则CF的长为( )
A．4 B．4.5
C．5 D．6
【解析】 ∵E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，∴FE∥BC，由相似三角形的预备定理，得△FEG∽△CBG，
∴＝＝.
又FG＝2，∴GC＝4，∴CF＝6.
【答案】 D
二、填空题
图1－3－16
5．(2013·洛阳模拟)如图1－3－16，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝________.
【解析】 由于∠B＝∠D，∠AEB＝∠ACD，所以△AEB∽△ACD，从而得＝，所以AE＝＝2.
【答案】 2
图1－3－17
6．如图1－3－17，在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE∶EC＝1∶2，则BF∶BE＝________.
【解析】 ∵DE∶EC＝1∶2，
∴DC∶EC＝3∶2，∴AB∶EC＝3∶2.
∵AB∥EC，∴△ABF∽△CEF，
∴＝＝，∴＝.
【答案】 3∶5
图1－3－18
三、解答题
7．如图1－3－18所示，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.
求证：(1)△ABE∽△ADF；
(2)△EAF∽△ABC.
【证明】 (1)由题意可知，∠D＝∠B，∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴△ABE∽△ADF.
(2)由(1)知△ABE∽△ADF，
∴＝，∠BAE＝∠DAF，
又AD＝BC，∴＝.
∵AF⊥CD，CD∥AB，∴AB⊥AF.
∴∠BAE＋∠EAF＝90°.
又∵AE⊥BC，∴∠BAE＋∠B＝90°
∵∠EAF＝∠B，∴△ABC∽△EAF.
图1－3－19
8．已知如图1－3－19，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于点F.
求证：BP2＝PE·PF.
【证明】 连接PC.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∵AD是中线，∴AD垂直平分BC，
∴PB＝PC，
∴∠PBD＝∠PCD.
∴∠ABP＝∠ACP.
又∵CF∥AB，
∴∠ABP＝∠F＝∠ACP，
而∠CPE＝∠FPC.
∴△PCE∽△PFC.
∴＝，∴PC2＝PE·PF，
即BP2＝PE·PF.
图1－3－20
9．如图1－3－20，某市经济开发区建有B、C、D三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB＝CD＝900米，AD＝BC＝1700米．自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，B、C两厂之间的公路与自来水主管道交于E处，EC＝500米．若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负责修建，每米造价800元．
(1)要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图中画出该路线；
(2)求出各厂所修建的自来水管道的最低造价各是多少元？
【解】 (1)如图，过B，C，D分别作AN的垂线段BH，CF，DG交AN于H，F，G，BH，CF，DG即为所求的造价最低的管道路线．
(2)在Rt△ABE中，AB＝900米，
BE＝1 700－500＝1 200米，
∴AE＝＝1 500(米)，
由△ABE∽△CFE，得到＝，
即＝，
可得CF＝300(米)．由△BHE∽△CFE，
得＝，
即＝，可得BH＝720(米)．
由△ABE∽△DGA，得＝，
即＝，
可得DG＝1020(米)．
所以，B，C，D三厂所建自来水管道的最低造价分别是720×800＝576 000(元)，300×800＝240 000(元)，1 020×800＝816 000(元)．
10．如图，△ABC中，D是BC的中点，M是AD上一点，BM，CM的延长线分别交AC，AB于F，E两点．求证：EF∥BC.
【证明】 法一 延长AD至G，使DG
＝MD，
连接BG，CG，如右图所示．
∵BD＝DC，MD＝DG，
∴四边形BGCM为平行四边形．
∵EC∥BG，FB∥CG.
∴＝，＝.
∴＝，∵EF∥BC.
法二 过点A作BC的平行线，与BF，CE的延长线分别交于G，H两点，如图所示．
∵AH∥DC，AG∥BD，
∴＝，＝.∴＝.
∵BD＝DC，∴AH＝AG.
∵HG∥BC，∴＝，＝.
∵AH＝AG，∴＝.∴EF∥BC.
法三 过点M作BC的平行线，分别与AB，AC交于G，H两点，如右图所示．
则＝，＝.
∴＝.
∵BD＝DC，∴GM＝MH.
∵GH∥BC，∴＝，＝.
∵GM＝MH，∴＝.∴EF∥BC.
课件37张PPT。相等 成比例 比值 相似 对应相等 对应成比例 对应成比例 对应线段成比例 有一个锐角 两条直角边 斜边 一条直角边 斜边 一条直角边 课时作业（三）2 相似三角形的性质
课标解读
1.掌握相似三角形的性质．
2.能利用相似三角形的性质解决有关问题.
相似三角形的性质
(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
(2)相似三角形周长的比等于相似比．
(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
(4)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比．
(5)相似三角形外接圆的面积比等于相似比的平方．
1．怎样理解“对应线段的比等于相似比”？
【提示】 相似三角形中的“对应线段”不仅仅指对应边、对应中线、角平分线和高，应包括一切“对应点”连接的线段；同时也可推演到内切圆、外接圆的半径之比也等于相似比．
2．相似三角形与全等三角形的性质比较有何异同？
【提示】
全等三角形
相似三角形
对应高相等
对应高的比等于相似比
周长相等
周长比等于相似比
面积相等
面积比等于相似比的平方
外接(内切)圆的直径相等
外接(内切)圆的直径比等于相似比
外接(内切)圆的周长相等
外接(内切)圆的周长比等于相似比
外接(内切)圆的面积相等
外接(内切)圆的面积比等于相似比的平方
利用相似三角形性质计算
如图1－3－21所示，已知D是△ABC中AB边上一点，DE∥BC且交AC于E，EF∥AB且交BC于F，且S△ADE＝1，S△EFC＝4，则四边形BFED的面积等于多少？
图1－3－21
【思路探究】 利用S四边形BFED＝S△ABC－S△ADE－S△EFC得到四边形BFED的面积．
【自主解答】 ∵AB∥EF，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，
∴△ADE∽△ EFC.
又S△ADE∶S△EFC＝1∶4，
∴AE∶EC＝1∶2.∴AE∶AC＝1∶3.
∴S△ADE∶S△ABC＝1∶9.
∵S△ADE＝1，∴S△ABC＝9.
∴S四边形BFED＝S△ABC－S△ADE－S△EFC＝9－1－4＝4.
1．本题由题意显然△ADE∽△EFC，由面积比能得出相似比，再由相似比转化为面积比，求出整个△ABC的面积．
2．利用相似三角形的性质定理进行有关的计算是近几年高考的热点之一，在求解过程中往往要注意对应边的比，进行相关运算时，要善于联想，变换比例式，构造三角形的边或面积间的关系．
图1－3－22
如图1－3－22，在?ABCD中，AE∶EB＝2∶3.
(1)求△AEF与△CDF周长的比；
(2)若S△AEF＝8，求S△CDF.
【解】 (1)∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD且AB＝CD，∵＝，∴＝＝，
又由AB∥CD知△AEF∽△CDF，
∴△AEF的周长∶△CDF的周长＝2∶5.
(2)由(1)S△AEF∶S△CDF＝4∶25，又S△AEF＝8，
∴S△CDF＝50.
利用相似三角形性质进行证明
如图1－3－23所示，在△ABC中，DE∥BC，在AB边上取一点F，使S△BFC＝S△ADE，求证：AD2＝AB·BF.
图1－3－23
【思路探究】 本题条件是三角形面积之间的关系，可考虑使用相似三角形的面积比等于相似比的平方及把等底边的三角形面积比转化为边长之比．
【自主解答】 ∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝()2，
又∵＝且S△BFC＝S△ADE，
∴＝.
∴AD2＝AB·BF.
1．解答本题的关键是把△BFC与△ABC的面积比转化为边长之比．
2．要证明线段相等、角相等、比例式成立等结论，有时需化归到相似三角形中加以证明，若不存在相似三角形，可添加辅助线，构造相似三角形，最终得到结论．
如图1－3－24，在矩形ABCD中，E是DC的中点，BE⊥AC交AC于F，过F作FG∥AB交AE于G.
图1－3－24
求证：AG2＝AF·FC.
【证明】 ∵E为矩形ABCD的边DC的中点，
∴AE＝BE.
又∵GF∥AB，∴EG＝EF，∴AG＝BF.
∵BE⊥AC于F，
∴Rt△ABF∽Rt△BCF，
∴＝，∴BF2＝AF·FC，
∴AG2＝AF·FC.
相似三角形判定和性质定理的综
合应用
图1－3－25
如图1－3－25，一天早上，小张正向着教学楼AB走去，他发现教学楼后面有一水塔DC，可过了一会抬头一看：“怎么看不到水塔了？”心里很是纳闷．经过了解，教学楼、水塔的高分别是20米和30米，它们之间的距离为30米，小张身高为1.6米，小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有多少米？
【思路探究】 解答本题的关键是添加适当的辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的知识解题．
【自主解答】 如图，设小张与教学楼的距离至少应有x米，才能看到水塔．
连接FD，由题意知，点A在FD上，过F作FG⊥CD于G，交AB于H，则四边形FEBH，四边形BCGH都是矩形．
∵AB∥CD，∴△AFH∽△DFG.
∴AH∶DG＝FH∶FG.
即(20－1.6)∶(30－1.6)＝x∶(x＋30)．
解得x＝55.2.
经检验x＝55.2是所列方程的根．
故小张与教学楼的距离至少应有55.2米，才能看到水塔．
1．解答本题的关键是画出图形，添加辅助线构造相似三角形．
2．此类问题是利用数学模型解实际问题，关键在于认真分析题意转化成数学问题，构造相似三角形求解．
3．解决相似三角形的综合问题应注意以下两点
(1)结合相似三角形的判定定理和性质定理，寻求三角形中的数量关系．
(2)注意“辅助线”的添加和定理公式的选择．
如图1－3－26，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝200 mm，高AD＝300 mm，要把它加工成长是宽的2倍的矩形零件，使矩形较短的边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，求这个矩形零件的边长．
【解】 设矩形EFGH为加工成的矩形零件，边FG在BC上，则点E、H分别在AB、AC上，△ABC的高AD与边EH相交于点P，设矩形的边EH的长为x mm.
∵EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，
∴＝，∴＝，
解得：x＝ (mm)，
2x＝(mm)．
答：加工成的矩形零件的边长分别为mm和mm.
(教材第20页习题1.3第10题)如图1－3－27，平行四边形ABCD中，AE∶EB＝1∶2，求△AEF与△CDF的周长比．如果△AEF的面积等于6cm2，求△CDF的面积．
图1－3－27
(2013·陕西高考)如图1－3－28，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________.
图1－3－28
【命题意图】 本题主要考查相似三角形的判定与性质．
【解析】 因为PE∥BC，所以∠C＝∠PED.又因为∠C＝∠A，所以∠A＝∠PED.又∠P＝∠P，所以△PDE∽△PEA，则＝，即PE2＝PD·PA＝2×3＝6，故PE＝.
【答案】
1．已知△ABC∽△A′B′C′，且＝，BC＝2，则B′C′等于( )
A．2 B．4 C．8 D．16
【解析】 ∵＝()2＝，
∴＝，
又∵BC＝2，∴B′C′＝2BC＝4.
【答案】 B
2．已知△ABC∽△A′B′C′，＝，△ABC外接圆的直径为4，则△A′B′C′外接圆的直径等于( )
A．2 B．3 C．6 D．9
【解析】 设△A′B′C′和△ABC外接圆的直径分别是r′，r，则＝，∴＝，∴r′＝6.
【答案】 C
3．两个相似三角形对应边分别长6 cm和18 cm，若大三角形的面积是36 cm2，则较小三角形的面积是( )cm2.
A．6 B．4
C．18 D．不确定
【解析】 相似比等于＝，则＝()2＝，
∴S小＝S大＝×36＝4(cm2)．
【答案】 B
4．在比例尺为1∶500的地图上，测得一块三角形土地的周长是12 cm，则这块地的实际周长是________m.
【解析】 这块地的实际形状与在地图上的形状是两个相似三角形，其相似比为，则实际周长为：12×500＝6000 cm＝60 m.
【答案】 60
一、选择题
图1－3－28
1．如图1－3－28，D、E、F是△ABC的三边中点，设△DEF的面积为，△ABC的周长为9，则△DEF的周长与△ABC的面积分别是( )
A.，1 B．9,4
C.，8 D.，16
【解析】 ∵D、E、F分别为△ABC三边的中点，
∴EF綊BC，DE綊AC，
DF綊AB.
∴△DFE∽△ABC，且＝.
∴＝＝.
又∵l△ABC＝9，∴l△DEF＝.
又∵＝＝，S△DEF＝，
∴S△ABC＝1，故选A.
【答案】 A
图1－3－29
2．如图1－3－29，在?ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是( )
A．5 B．8.2
C．6.4 D．1.8
【解析】 由△CBF∽△CDE，得＝，
又点E是AD的中点，AB＝CD＝10，AD＝BC＝6，
∴DE＝3，即＝，
∴BF＝1.8.
【答案】 D
3．某同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图1－3－30所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30 cm，幻灯片到屏幕的距离是1.5 m，幻灯片上小树的高度是10 cm，则屏幕上小树的高度是( )
图1－3－30
A．50 cm B．500 cm
C．60 cm D．600 cm
【解析】 设屏幕上小树的高度为x cm，则＝，解得x＝60(cm)．
【答案】 C
图1－3－31
4．如图1－3－31，△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于D，E，S△ADE＝2S△DCE，则＝( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
由S△ADE＝2S△DCE得，＝，
∴＝.
【答案】 D
二、填空题
5．如图1－3－32，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝10，则AE的长为________．
图1－3－32
【解析】 ∵AE∥BC，∴△BGF∽△AGE，∴＝＝，
∵D为AC中点，∴＝＝1，∴AE＝CF，
∴BC∶AE＝2∶1，∵BC＝10，∴AE＝5.
【答案】 5
6．一条河的两岸是平行的，在河的这一岸每隔5 m有一棵树，在河的对岸每隔50 m有一根电线杆，在这岸离开岸边25 m处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有两棵树，则河的宽度为__________m.
【解析】
如图所示，A，B是相邻两电线杆的底部，F，G中间还有两棵树，则
AB＝50 m，FG＝3×5＝15 m，EC＝25 m，
CD⊥AB，AB∥FG，
则＝，设河的宽度为x m，
则＝，解得x＝.
【答案】
三、解答题
图1－3－33
7．如图1－3－33所示，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF.
(1)求证：EF∥BC；
(2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．
【解】 (1)证明：∵CF平分∠ACB，DC＝AC，
∴CF是△ACD的边AD上的中线．
∴点F是AD的中点，
又∵点E是AB的中点，
∴EF∥BD，即EF∥BC.
(2)∵EF∥BD，∴△AEF∽△ABD.
∴＝()2.
又∵AE＝AB，S△AEF＝S△ABD－S四边形BDFE＝S△ABD－6，
∴＝()2，∴S△ABD＝8.
图1－3－34
8．如图1－3－34，已知在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与 AB相交于点E，EC与AD相交于点F.
(1)求证：△ABC∽△FCD；
(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．
【解】 (1)证明：∵DE⊥BC，D是BC的中点，
∴EB＝EC，∴∠B＝∠1，
又∵AD＝AC，
∴∠2＝∠ACB.
∴△ABC∽△FCD.
(2)过点A作AM⊥BC，垂足为点M.
∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD，
∴＝()2＝4.
又∵S△FCD＝5，∴S△ABC＝20.
∵S△ABC＝BC·AM，BC＝10，
∴20＝×10×AM，∴AM＝4.
又∵DE∥AM，∴＝.
∵DM＝DC＝BC＝，
BM＝BD＋DM，
BD＝BC＝5，∴＝.
∴DE＝.
9．某生活小区的居民筹集资金1 600元，计划在一块上、下两底分别为10 cm、20 cm的梯形空地上种植花木．
(1)他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当△AMD地带种满花后(图1－3－35阴影部分)共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用；
图1－3－35
(2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择种哪种花木可以刚好用完所筹集的资金？
【解】 (1)∵四边形ABCD是梯形，
∴AD∥BC.
∴△AMD∽△CMB.∴＝()2＝.
∵种植△AMD地带花费160元，
∴＝20 (m2)．∴S△CMB＝80 (m2)．
∴△BMC地带的花费为80×8＝640(元)．
(2)设△AMD、△BMC的高分别为h1、h2，梯形ABCD的高为h，
∵S△AMD＝×10h1＝20，∴h1＝4(m)．
又∵＝，∴h2＝8(m)．
∴h＝h1＋h2＝12(m)．
∴S梯形ABCD＝(AD＋BC)h＝×30×12
＝180 (m2)，
∴S△AMB＋S△DMC＝180－20－80＝80 (m2)．
∴160＋640＋80×12＝1 760(元)，
160＋640＋80×10＝1 600(元)．
∴应种植茉莉花刚好用完所筹资金．
10．在△ABC中，如图所示，BC＝m，DE∥BC，DE分别交AB，AC于E，D两点，且S△ADE＝S四边形BCDE，则DE＝________.
【解析】 ∵DE∥BC∴△ADE∽△ACB
又∵S△ADE＋S四边形BCDE＝S△ABC；S△ADE＝S四边形BCDE，
∴S△ADE＝S△ABC，
∴()2＝，∴()2＝
∴DE＝m.
【答案】 m
课件31张PPT。对应高 对应中线 对应角平分线 周长 面积 直径比 周长比 面积比 课时作业（四）四直角三角形的射影定理
课标解读
1.了解射影定理的推导过程．
2.会用射影定理进行相关计算与证明.
1．射影
(1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影.
(2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段．
(3)射影：点和线段的正射影简称为射影．
2．射影定理
(1)文字语言
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．
(2)图形语言
如图1－4－1，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，
则有CD2＝AD·BD.
AC2＝AD·AB.
BC2＝BD·AB.
1．如何使用射影定理？
【提示】 运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图形去记忆定理，当所给条件中具备定理条件时，可
直接运用，有时也可通过作垂线使之满足定理的条件，在处理一些综合问题时，常常与三角形的相似相联系．
2．如何用射影定理证明勾股定理？
【提示】
如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥CB，CD⊥AB于D，则由射影定理可得AC2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，
则AC2＋BC2＝AD·AB＋BD·BA＝(AD＋BD)·AB＝AB2，
即AC2＋BC2＝AB2.
由此可见，利用射影定理可以证明勾股定理．过去我们是用面积割补的方法证明勾股定理的，现在我们又用射影定理证明勾股定理，而且这种方法简捷明快，比面积法要方便得多．
3．直角三角形射影定理的逆定理是什么？如何证明？
【提示】 直角三角形射影定理的逆定理：
如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形．
符号表示：如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若CD2＝AD·BD，则△ABC为直角三角形．
证明如下：
∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°，
又∵CD2＝AD·BD，即AD∶CD＝CD∶BD，
∴△ACD∽△CBD，∴∠CAD＝∠BCD.
又∵∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝∠ACD＋∠CAD＝90°，即△ABC为直角三角形．
与射影定理有关的计算
已知：CD是直角三角形ABC斜边AB上的高，如果两直角边AC，BC的长度比为AC∶BC＝3∶4.
求：(1)AD∶BD的值；
(2)若AB＝25 cm，求CD的长．
【思路探究】 先根据AC∶BC与AD∶BD之间的关系求出AD∶BD的值；再根据斜边AB的长及AD∶BD的值分别确定AD与BD的值．最后由射影定理CD2＝AD·BD，求得CD的长．
【自主解答】 (1)∵AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，
∴＝，
∴＝()2＝()2＝，
即AD∶BD＝9∶16.
(2)∵AB＝25 cm，AD∶BD＝9∶16，
∴AD＝×25＝9(cm)．
BD＝×25＝16(cm)，
∴CD＝＝＝12(cm)．
1．解答本题(1)时，关键是把转化为()2.
2．解此类题目的关键是反复利用射影定理求解直角 三角形中有关线段的长度．在解题时，要紧抓线段比 之间的关系及线段的平方与乘积相等这些条件，紧扣等式结构形式，达到最终目的．
图1－4－2
如图1－4－2，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，若AD＝2 cm，DB＝6 cm，求CD，AC，BC的长．
【解】 ∵CD2＝AD·DB＝2×6＝12，
∴CD＝＝2(cm)．
∵AC2＝AD·AB＝2×(2＋6)＝16，
∴AC＝＝4(cm)．
∵BC2＝BD·AB＝6×(2＋6)＝48，
∴BC＝＝4(cm)．
故CD、AC、BC的长分别为2 cm,4 cm,4 cm.
与射影定理有关的证明
图1－4－3
已知如图1－4－3，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F.
求证：CD3＝AE·BF·AB.
【思路探究】 ∠ACB＝90°，CD⊥AB→CD2＝AD·DB→CD3＝AE·BF·AB.
【自主解答】 ∵∠BCA＝90°，CD⊥BA，
∴CD2＝AD·BD.
又∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴AD2＝AE·AC，BD2＝BF·BC，
∴CD4＝AD2·BD2＝AE·AC·BF·BC＝AE·BF·AC·BC.
而S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，
∴CD4＝AE·BF·AB·CD.
即CD3＝AE·BF·AB.
1．解答本题的关键是利用S△ABC＝AC·BC＝AB·CD进行转化．
2．在证明与直角三角形有关的问题时，常用射影定理来构造比例线段，从而为证明三角形相似创造条件．
在本例条件不变的情况下，求证：＝.
【证明】 根据题意可得，DE＝CF，CE＝DF，
DE2＝AE·CE，
DF2＝BF·CF，
∴DE2·BF·CF＝DF2·AE·CE，
∴DE3·BF＝DF3·AE，
即＝.
(教材第22页习题1.4第1题)在△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，已知CD＝60，AD＝25，求BD，AB，AC，BC的长．
(2013·商丘模拟)如图1－4－4，已知Rt△ABC的两条直角边AC、BC的长分别为3 cm，4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝______cm.
图1－4－4
【命题意图】 本题主要考查直角三角形的射影定理及运算求解能力．
【解析】 连接CD，则CD⊥AB.
由AC＝3cm，BC＝4cm得AB＝5cm.
由射影定理得BC2＝BD·BA，
即42＝5BD.
所以BD＝cm.
【答案】
1. 如图1－4－5，在Rt△ABC中，AC⊥CB，CD⊥AB于D且CD＝4，则AD·DB＝( )
A．16
B．4
C．2
D．不确定
图1－4－5
【解析】 由射影定理AD·DB＝CD2＝42＝16.
【答案】 A
2．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，BC＝ cm，BD＝3 cm，则AD的长是( )
A．5 cm B．2 cm
C．6 cm D．24 cm
【解析】 ∵BC2＝BD·AB，
∴15＝3AB，即AB＝5，
∴AD＝AB－BD＝5－3＝2(cm)．
【答案】 B
3. 如图1－4－6所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝2，BD＝3，则AC＝________.
图1－4－6
【解析】 由CD2＝BD·AD得AD＝，
∴AB＝BD＋AD＝3＋＝，
∴AC2＝AD·AB＝×＝，
∴AC＝.
【答案】
4．一个直角三角形两条直角边的长分别为1 cm和 cm，则它们在斜边上的射影比为________．
【解析】 如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝1 cm，BC＝ cm，
∵AC2＝AD·AB＝1，BC2＝BD·AB＝5，
∴＝.
【答案】 1∶5
一、选择题
1．△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝3，BD＝2，则AC∶BC的值是( )
A．3∶2 B．9∶4
C.∶ D.∶
【解析】 如图，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理知AC2＝AD·AB，
BC2＝BD·AB，
又∵AD＝3，BD＝2，∴AB＝AD＋BD＝5，
∴AC2＝3×5＝15，BC2＝2×5＝10.
∴＝＝，即AC∶BC＝∶，
故选C.
【答案】 C
2.
图1－4－7
如图1－4－7所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，若CD＝6，AD∶DB＝1∶2，则AD的值是( )
A．6 B．3
C．18 D．3
【解析】 由题意知
∴AD2＝18，
∴AD＝3.
【答案】 B
3．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若＝，则等于( )
A. B. C. D.
【解析】 如图，由射影定理，得AC2＝CD·BC，AB2＝BD·BC，
∴＝＝()2，
即＝，∴＝.
【答案】 C
4．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若BD：AD＝1：4，则tan∠BCD的值是( )
A. B. C. D．2
【解析】 如图，由射影定理得CD2＝AD·BD，
又∵BD：AD＝1：4，
令BD＝x，则AD＝4x(x>0)．
∴CD2＝AD·BD＝4x2，∴CD＝2x，
在Rt△CDB中，tan∠BCD＝＝＝.
【答案】 C
二、填空题
图1－4－8
5．如图1－4－8，在矩形ABCD中，AE⊥BD，OF⊥AB.DE∶EB＝1∶3，OF＝a，则对角线BD的长为________．
【解析】 ∵OF＝a，
∴AD＝2a，
∵AE⊥BD，
∴AD2＝DE·BD.
∵DE∶EB＝1∶3，∴DE＝BD，
∴AD2＝BD·BD.
∴BD2＝4AD2＝4×4a2＝16a2，∴BD＝4a.
【答案】 4a
6．已知在梯形ABCD中，DC∥AB，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10 cm，AC＝6 cm，则此梯形的面积为________．
【解析】 如图，过C点作CE⊥AB于E.
在Rt△ACB中，
∵AB＝10 cm，AC＝6 cm，
∴BC＝8 cm，
∴BE＝6.4 cm，AE＝3.6 cm.
∴CE＝＝4.8(cm)，
∴AD＝4.8 cm.
又∵在梯形ABCD中，CE⊥AB，
∴DC＝AE＝3.6 cm.
∴S梯形ABCD＝＝32.64(cm2)．
【答案】 32.64 cm2
三、解答题
7．已知直角三角形周长为48 cm，一锐角平分线分对边为3∶5两部分.
(1)求直角三角形的三边长；
(2)求两直角边在斜边上的射影的长．
【解】 (1)如图，设CD＝3x，BD＝5x，则BC＝8x，过D作DE⊥AB，
由题意可得，
DE＝3x，BE＝4x，
∴AE＋AC＋12x＝48.
又AE＝AC，
∴AC＝24－6x，AB＝24－2x，
∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2，
解得：x1＝0(舍去)，x2＝2，
∴AB＝20，AC＝12，BC＝16，
∴三边长分别为：20 cm,12 cm,16 cm.
(2)作CF⊥AB于F，
∴AC2＝AF·AB，
∴AF＝＝＝(cm)；
同理：BF＝＝＝(cm)．
∴两直角边在斜边上的射影长分别为 cm， cm.
图1－4－9
8．如图1－4－9，Rt△ABC中有正方形DEFG，点D、G分别在AB、AC上 ，E、F在斜边BC上，求证：EF2＝BE·FC.
【证明】 如图，过点A作AH⊥BC于H.
∴DE∥AH∥GF.
∴＝，
＝.
∵＝.
又∵AH2＝BH·CH，∴DE·GF＝BE·FC.
而DE＝GF＝EF.∴EF2＝BE·FC.
图1－4－10
9．如图1－4－10，已知：BD，CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于G、H，交CE于F，且∠H＝∠BCF，求证：GD2＝GF·GH.
【证明】 ∵∠H＝∠BCE，∠EBC＝∠GBH，
∴△BCE∽△BHG，
∴∠BEC＝∠BGH＝90°，
∴HG⊥BC.
∵BD⊥AC，在Rt△BCD中，
由射影定理得，GD2＝BG·CG. ①
∵∠FGC＝∠BGH＝90°，∠GCF＝∠H，
∴△FCG∽△BHG，
∴＝，
∴BG·GC＝GH·FG. ②
由①②得，GD2＝GH·FG.
10.
如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的高，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足．求证：
(1)AE·AB＝AF·AC；
(2)△AEF∽△ACB.
【证明】 (1)∵AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，
在Rt△ABD中，由射影定理得AD2＝AE·AB，在Rt△ADC中，由射影定理得AD2＝AF·AC，
∴AE·AB＝AF·AC.
(2)∵AE·AB＝AF·AC，
∴＝.
又∵∠EAF＝∠CAB，
∴△AEF∽△ACB.
课件28张PPT。垂足 两个端点 正射影 正射影 两直角边 斜边 斜边 AD·BD AD·AB BD·AB 课时作业（五）综合检测(一)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图1，已知DE∥BC，EF∥AB，现得到下列式子：
图1
①＝；②＝；③＝；④＝.其中正确式子的个数有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
【解析】 由平行线分线段成比例定理知，①②④正确．故选B.
【答案】 B
图2
2．如图2，DE∥BC，S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8，则AD∶DB的值为( )
A．1∶4 B．1∶3
C．1∶2 D．1∶5
【解析】 由S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8得S△ADE∶S△ABC＝1∶9，
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∵()2＝＝，
∴＝，∴AD∶DB＝1∶2.
【答案】 C
3．△ABC和△DEF满足下列条件，其中不一定使△ABC与△DEF相似的是( )
A．∠A＝∠D＝45°38′，∠C＝26°22′，∠E＝108°
B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，
DE＝12，EF＝8，DF＝16
C．BC＝a，AC＝b，AB＝c，DE＝，EF＝，DF＝
D．AB＝AC，DE＝DF，∠A＝∠D＝40°
【解析】 A中∠A＝∠D，∠B＝∠E＝108°，
∴△ABC∽△DEF，
B中AB∶AC∶BC＝EF∶DE∶DF＝2∶3∶4，
∴△ABC∽△EFD，
D中AB∶AC＝DE∶DF，∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DEF.
而C中不能保证三边对应成比例．
【答案】 C
图3
4．如图3，在△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E在AC的延长线上，BD＝3CE，DE交BC于F，则DF∶FE等于( )
A．5∶2 B．2∶1
C．3∶1 D．4∶1
【解析】 过D作DG∥AC，交
BC于G，
则DG＝DB＝3CE，
即CE∶DG＝1∶3.
易知△DFG∽△EFC，
∴DF∶FE＝DG∶CE，
所以DF∶FE＝3∶1.
【答案】 C
图4
5．如图4所示，梯形ABCD的对角线交于点O，则下列四个结论：
①△AOB∽△COD；
②△AOD∽△ACB；
③S△DOC：S△AOD＝CD：AB；
④S△AOD＝S△BOC.
其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 ∵DC∥AB，∴△AOB∽△COD，①正确．由①知，＝.S△DOC：S△AOD＝OC：OA＝CD：AB，③正确．
∵S△ADC＝S△BCD，
∴S△ADC－S△COD＝S△BCD－S△COD，
∴S△AOD＝S△BOC，④正确．
故①③④正确．
【答案】 C
图5
6．如图5所示，铁道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m，当短臂端点下降0.5 m时，长臂端点升高( )
A．11.25 m B．6.6 m
C．8 m D．10.5 m
【解析】 本题是一个实际问题，可抽象为如下数学问题：如图，等腰△AOC∽等腰△BOD，OA＝1 m，OB＝16 m，高CE＝0.5 m，求高DF.由相似三角形的性质可得OA∶OB＝CE∶DF，即1∶16＝0.5∶DF，解得DF＝ 8 m.
【答案】 C
图6
7．如图6所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形＝40 cm2，S△ABE∶S△DBA＝1∶5，则AE的长为( )
A．4 cm B．5 cm
C．6 cm D．7 cm
【解析】 ∵∠BAD＝90°，AE⊥BD，
∴△ABE∽△DBA.
∴S△ABE∶S△DBA＝AB2∶DB2.
∵S△ABE∶S△DBA＝1∶5，
∴AB2∶DB2＝1∶5.
∴AB∶DB＝1∶.
设AB＝k，DB＝k，则AD＝2k.
∵S矩形＝40 cm2，∴k·2k＝40.
∴k＝2.
∴BD＝k＝10，AD＝4.
S△ABD＝BD·AE＝20，即×10·AE＝20.
∴AE＝4 cm.
【答案】 A
图7
8．如图7，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分(即图中的阴影部分)的面积是 △ABC的面积的一半，若AB＝，则此三角形移动的距离AA′是( )
A.－1 B.
C．1 D.
【解析】 由题意可知，阴影部分与△ABC相似，且等于△ABC面积的，∴A′B∶AB＝＝1∶.
又∵AB＝，∴A′B＝1，∴AA′＝－1.
【答案】 A
9．如果直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，且CD＝25，AD＝5，则AB的值为( )
A．75 B．100
C．125 D．130
【解析】 ∵CD＝25，AD＝5，CD2＝AD·BD.
∴BD＝＝＝125.
∴AB＝AD＋BD＝5＋125＝130.
【答案】 D
10．已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD>BD)，若CD＝6，则AD的长为( )
A．8 B．9
C．10 D．11
【解析】 如图，连接AC，CB.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
设AD＝x，∵CD⊥AB于D，
∴由射影定理得CD2＝AD·DB.
即62＝x(13－x)，∴x2－13x＋36＝0，
解得x1＝4，x2＝9.
∵AD>BD，∴AD＝9.
【答案】 B
11.
图8
某社区计划在一块上、下底边长分别是10米，20米的梯形空地上种植花木(如图8所示)，他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为10元/米2的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC地带种植同样的太阳花，还需资金( )元．
A．500 B．1 500
C．1 800 D．2 000
【解析】 梯形ABCD中，AD∥BC，∴△AMD∽△CMB.
AD＝10 m，BC＝20 m，
＝()2＝，
∵S△AMD＝500÷10＝50(m2)∴S△BMC＝200 m2，
则还需要资金200×10＝2 000(元)．
【答案】 D
图9
12．如图9，已知M是?ABCD的边AB的中点，CM交BD于E，图中阴影部分面积与?ABCD的面积之比为( )
A. B.
C. D.
【解析】 S△BMD＝S△ABD＝S?ABCD，
由BM∥CD，得△DCE∽△BME，
则DE∶BE＝CD∶BM＝2∶1，
所以S△DME∶S△BMD＝DE∶BD＝2∶3.
即S△DME＝S△BMD.
又 S△DME＝S△BCE，
∴S阴影＝2S△DME＝S△BMD
＝×S?ABCD＝S?ABCD，
即S阴影∶S?ABCD＝1∶3.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上)
图10
13．如图10，已知DE∥BC，且BF∶EF＝4∶3，则AC∶AE＝________.
【解析】 ∵DE∥BC，
∴＝，
同理，∵DE∥BC，
∴＝.
∴＝＝＝.
【答案】 4∶3
14．(2013·开封模拟)如图11，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于________米．
图11
【解析】 如图，GC⊥BC，AB⊥BC，∴GC∥AB.
∴△GCD∽△ABD，∴＝.
设BC＝x，则＝，同理，得＝.
∴＝，∴x＝3，∴＝，
∴AB＝6(米)．
【答案】 6
15．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AC＝12 cm，BC＝15 cm，则S△ACD∶S△BCD＝________.
【解析】 ∵∠ACB＝90°，CD是高，
∴AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，
∴AD∶BD＝AC2∶BC2.
又∵S△ACD＝·AD·CD.
S△BCD＝·BD·CD，
∴S△ACD∶S△BCD＝AD∶BD＝AC2∶BC2.
又∵AC＝12，BC＝15，
∴S△ACD∶S△BCD＝144∶225＝16∶25.
【答案】 16∶25
16．(2013·广东高考)如图12，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________.
图12
【解析】 法一 因为AB＝，BC＝3，所以AC＝＝2，tan ∠BAC＝＝，所以∠BAC＝.在Rt△BAE中，AE＝ABcos ＝，则CE＝2－＝.在△ECD中，DE2＝CE2＋CD2－2CE·CDcos ∠ECD＝()2＋()2－2×××＝，故DE＝.
法二 如图，作EM⊥AB交AB于点M，作EN⊥AD交AD于点N.因为AB＝，BC＝3，所以tan ∠BAC＝＝，则∠BAC＝，AE＝ABcos ＝，NE＝AM＝AEcos＝×＝，AN＝ME＝AEsin ＝×＝，ND＝3－＝.在Rt△DNE中，DE＝＝＝.
【答案】
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.
图13
(本小题满分10分)如图13所示，CD垂直平分AB，点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、G分别为垂足．
求证：AF·AC＝BG·BE.
【证明】 ∵CD垂直平分AB，
∴△ACD和△BDE均为直角三角形，且AD＝BD.
又∵DF⊥AC，DG⊥BE，
∴AF·AC＝AD2，
BG·BE＝DB2，
∵AD2＝DB2，
∴AF·AC＝BG·BE.
图14
18．(本小题满分12分)如图14，点E是四边形ABCD的对角线上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE.
(1)求证：BE·AD＝CD·AE；
(2)根据图形的特点，猜想可能等于哪两条线段的比(只写出图中一组比即可)？并证明你的猜想．
【证明】 (1)∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠DAC，
∵∠DAE＝∠BDC，∴∠AEB＝∠ADC，
∴△ABE∽△ACD，
∴＝，
即BE·AD＝CD·AE.
(2)猜想：＝()
证明：∵由(1)△ABE∽△ACD，
∴＝，
又∵∠BAC＝∠EAD，
∴△BAC∽△EAD，
∴＝()．
图15
19．(本小题满分12分)已知如图15，正方形ABCD的边长为4，P为AB上的一点，且AP∶PB＝1∶3，PQ⊥PC，试求PQ的长．
【解】 ∵PQ⊥PC，
∴∠APQ＋∠BPC＝90°，
∴∠APQ＝∠BCP.
∴Rt△APQ∽Rt△BCP，
∵AB＝4，AP∶PB＝1∶3，
∴PB＝3，AP＝1，
∴＝，
即AQ＝＝＝.
∴PQ＝＝ ＝.
20．(本小题满分12分)在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且AD2＝BD·DC，求∠BCA的度数？
【解】 (1)当AD在△ABC内部时，如图(1)，由AD2＝BD·DC，可得△ABD∽△CAD.
∴∠BCA＝∠BAD＝65°；
(2)当AD在△ABC外部时，如图(2)，
由AD2＝BD·DC，得△ABD∽△CAD，
∴∠B＝∠CAD＝25°，
∴∠BCA＝∠CAD＋∠ADC＝25°＋90°＝115°.
故∠BCA等于65°或115°.
图16
21．(本小题满分12分)如图16所示，CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线，CE⊥CD，CE＝，连接DE交BC于点F，AC＝4，BC＝3.求证：
(1)△ABC∽△EDC；
(2)DF＝EF.
【证明】 (1)在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，则AB＝5.
∵D为斜边AB的中点，
∴AD＝BD＝CD＝AB＝2.5.
∴＝＝＝.
∴△ABC∽△EDC.
(2)由(1)知，∠B＝∠CDF，
∵BD＝CD，∴∠B＝∠DCF，
∴∠CDF＝∠DCF.
∴DF＝CF.①
由(1)知，∠A＝∠CEF，∠ACD＋∠DCF＝90°，∠ECF＋∠DCF＝90°，
∴∠ACD＝∠ECF.由AD＝CD，得∠A＝∠ACD.
∴∠ECF＝∠CEF，
∴CF＝EF.②
由①②，知DF＝EF.
图17
22．(本小题满分12分)如图17，已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s.当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动．设运动时间为t(s)，解答下列问题：
(1)当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；
(2)设△BPQ的面积为S(cm2)，求S与t的函数关系式；
(3)作QR∥BA交AC于点R，连接PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ?
【解】 (1)△BPQ是等边三角形．
当t＝2时，AP＝2×1＝2，BQ＝2×2＝4.
∴BP＝AB－AP＝6－2＝4.∴BQ＝BP.
又∵∠B＝60°，∴△BPQ是等边三角形．
(2)过Q作QE⊥AB，垂足为E.
由QB＝2t，得QE＝2t·sin60°＝t.
由AP＝t，得PB＝6－t.
∴S＝S△BPQ＝×BP×QE
＝(6－t)×t＝－t2＋3t.
(3)∵QR∥BA，
∴∠QRC＝∠A＝60°.
又∵∠C＝60°，∴△QRC是等边三角形，
∴QR＝RC＝QC＝6－2t.
∵BE＝BQ·cos 60°＝×2t＝t，
∴EP＝AB－AP－BE＝6－t－t＝6－2t.
∴EP∥QR，EP＝QR.
∴四边形EPRQ是平行四边形．
∴PR＝EQ＝t.
又∵∠PEQ＝90°，∴∠APR＝∠PRQ＝90°.
∵△APR∽△PRQ，∴∠QPR＝∠A＝60°.
∴tan 60°＝，即＝，解得t＝，
∴当t＝时，△APR∽△PRQ.
一、选择题
1．如图1－1－14，已知l1∥l2∥l3，AB，CD相交于l2上一点O，且AO＝OB，则下列结论中错误的是( )
图1－1－14
A．AC＝BD
B．AE＝ED
C．OC＝OD
D．OD＝OB
【解析】 由l1∥l2∥l3知AE＝ED，OC＝OD，
由△AOC≌△BOD知AC＝BD，
但OD与OB不能确定其大小关系．
故选D.
【答案】 D
图1－1－15
2．(2013·信阳模拟)已知如图1－1－15，AE⊥EC，CE平分∠ACB ，DE∥BC，则DE等于( )
A．BC－AC
B．AC－BF
C.(AB－AC)
D.(BC－AC)
【解析】 由已知得CE是线段AF的垂直平分线．
∴AC＝FC，AE＝EF，
∵DE∥BC，
∴DE是△ABF的中位线．
∴DE＝BF＝(BC－AC)．
【答案】 D
图1－1－16
3．如图1－1－16，AD是△ABC的高，E是AB的中点，EF⊥BC于F，若DC＝BD，则FC是BF的( )倍．
A. B.
C. D.
【解析】 ∵EF⊥BC，AD⊥BC，
∴EF∥AD，又∵E为AB的中点，
∴F是BD的中点，即BF＝DF.
又∵DC＝BD，∴DC＝BF.
∴FC＝FD＋DC＝BF＋DC＝BF.
【答案】 A
图1－1－17
4．如图1－1－17，在梯形ABCD中，E为AD的中点，EF∥AB，EF＝30 cm，AC交EF于G，若FG－EG＝10 cm，则AB＝( )
A．30 cm B．40 cm
C．50 cm D．60 cm
【解析】 由平行线等分线段定理及推论知，点G，F分别是线段AC，BC的中点，则
EG＝DC，FG＝AB.
∴，，
解得.
【答案】 B
二、填空题
图1－1－18
5．如图1－1－18所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝6，E，F分别为对角线BD、AC的中点，则EF＝________.
【解析】 如图所示，过E作GE∥BC交BA于G.
∵E是DB的中点，
∴G是AB的中点，又F是AC的中点，
∴GF∥BC，∴G，E，F三点共线，
∴GE＝AD＝1，GF＝BC＝3，
∴EF＝GF－GE＝3－1＝2.
【答案】 2
图1－1－19
6．如图1－1－19，在△ABC中，E是AB的中点，EF∥BD交AC于F，EG∥AC交BD于G，CD＝AD，若EG＝5 cm，则AC＝________；若BD＝20 cm，则EF＝________.
【解析】 ∵E为AB的中点，EF∥BD，
∴F为AD的中点．
∵E为AB的中点，EG∥AC，∴G为BD的中点，若EG＝5 cm，则AD＝10 cm，又CD＝AD＝5 cm，∴AC＝15 cm.若BD＝20 cm ，则EF＝BD＝10 cm.
【答案】 15 cm 10 cm
三、解答题
图1－1－20
7．如图1－1－20，已知以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边作?ACED，DC的延长线交BE于F.求证：EF＝BF.
【证明】 连接AE交DC于O，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴O是AE的中点(平行四边形的对角线互相平分)．
∵四边形ABCD是梯形，
∴DC∥AB.在△EAB中，OF∥AB，O是AE的中点，
∴F是EB的中点．∴EF＝BF.
8．如图1－1－21所示，已知线段AB，求作线段AB的五等分点，并证明．
图1－1－21
【解】 作法：(1)作射线AC；
(2)在射线AC上以任意取定的长度顺次截取AD1＝D1D2＝D2D3＝D3D4＝D4D5；
(3)连接D5B；
(4)分别过D1，D2，D3，D4作D5B的平行线D1A1，D2A2，D3A3，D4A4，分别交AB于点A1，A2，A3，A4，则点A1，A2，A3，A4将线段AB五等分．
证明：过点A作MN∥D5B.
则MN∥D4A4∥D3A3∥D2A2∥D1A1∥D5B，
∵AD1＝D1D2＝D2D3＝D3D4＝D4D5，
∴AA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4B.
∴点A1，A2，A3，A4就是所求的线段AB的五等分点．
9．用一张矩形纸，你能折出一个等边三角形吗？如图1－1－22(1)，先把矩形纸ABCD对折，设折痕为MN；再把B点叠在折痕线上，得到Rt△ABE，沿着EB线折叠，就能得到等边△EAF，如图(2)．想一想，为什么？
图1－1－22
【解】 利用平行线等分线段定理的推论2，
∵N是梯形ADCE的腰CD的中点，NP∥AD，
∴P为EA的中点．
∵在Rt△ABE中，PA＝PB(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，
∴∠1＝∠3.
又∵PB∥AD，∴∠3＝∠2.∴∠1＝∠2.
又∵∠1与和它重合的角相等，
∴∠1＝∠2＝30°.
在Rt△AEB中，∠AEB＝60°，∠1＋∠2＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
10.
如图所示，AE∥BF∥CG∥DH，AB＝BC＝CD，AE＝12，DH＝16，AH交BF于点M，求BM与CG的长．
【解】 如图，取BC的中点
P，作PQ∥DH交EH于点Q，则PQ是梯形ADHE的中位线．
∵AE∥BF∥CG∥DH，
AB＝BC＝CD，
AE＝12，DH＝16，∴＝，＝，
∴＝，∴BM＝4.
∵PQ为梯形的中位线，
∴PQ＝(AE＋DH)＝(12＋16)＝14.
同理，CG＝(PQ＋DH)＝(14＋16)＝15.
一、选择题
1．如图1－2－15，梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC延长线上一点，AE分别交BD于G，交BC于F.下列结论：①＝；②＝；③＝；④＝，其中正确的个数是( )
图1－2－15
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 ∵BC∥AD，
∴＝，＝.故①④正确．
∵BF∥AD，
∴＝，故②正确．
【答案】 C
2．如图1－2－16，E是?ABCD的边AB延长线上的一点，且＝，则＝( )
图1－2－16
A. B. C. D.
【解析】 ∵CD∥AB，∴＝＝，
又AD∥BC，∴＝.
由＝得＝，即＝.
∴＝＝.故选C.
【答案】 C
图1－2－17
3．如图1－2－17，平行四边形ABCD中，N是AB延长线上一点，则－为( )
A. B．1
C. D.
【解析】 ∵AD∥BM，∴＝.
又∵DC∥AN，∴＝，
∴＝.
∴＝，
∴－＝－＝＝1.
【答案】 B
图1－2－18
4．如图1－2－18，已知△ABC中，AE∶EB＝1∶3，BD∶DC＝2∶1，AD与CE相交于F，则＋的值为( )
A. B．1
C. D．2
【解析】 过点D作DG∥AB交EC于点G，则＝＝＝.而＝，即＝，所以AE＝DG，从而有AF＝FD，EF＝FG＝CG，故＋＝＋＝＋1＝.
【答案】 C
二、填空题
图1－2－19
5．(2013·焦作模拟)如图1－2－19，已知B在AC上，D在BE上，且AB：BC＝2：1，ED：DB＝2：1，则AD：DF＝________.
【解析】 如图，过D作DG∥AC交FC于G.
则＝＝.
∴DG＝BC.
又BC＝AC，∴DG＝AC.
∵DG∥AC，∴＝＝.∴DF＝AF.
从而AD＝AF，∴AD：DF＝7：2.
【答案】 7∶2
图1－2－20
6．如图1－2－20，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于O，过O的直线分别交AB、CD于E、F，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，则EF＝________.
【解析】 ∵AD∥EF∥BC，∴＝＝＝，
∴EO＝FO，而＝＝，＝，BC＝20，AD＝12，
∴＝1－＝1－，
∴EO＝7.5，∴EF＝15.
【答案】 15
三、解答题
图1－2－21
7．如图1－2－21，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15 cm，AF＝4 cm，求BE和DE的长．
【解】 ∵DE∥AC，
∴∠3＝∠2.
又AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2.
∴∠1＝∠3，即AE＝ED.
∵DE∥AC，EF∥BC，
∴四边形EDCF是平行四边形．
∴ED＝FC，即AE＝ED＝FC.
设AE＝DE＝FC＝x.
由EF∥BC得＝.即＝，
解之得x1＝6，x2＝－10(舍去)．
所以DE＝6(cm)，BE＝15－6＝9(cm)．
图1－2－22
8．如图1－2－22所示，已知直线FD和△ABC的BC边交于D，与AC边交于E，与BA的延长线交于F，且BD＝DC，求证：AE·FB＝EC·FA.
【证明】 过A作AG∥BC，交DF于G点，如图所示．
∵AG∥BD，∴＝.
又∵BD＝DC，
∴＝.
∵AG∥DC，
∴＝.
∴＝，
即AE·FB＝EC·FA.
图1－2－23
9．如图1－2－23，AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，连接AD，BC交于点E，EF⊥BD于F，求证：＋＝.
【证明】 ∵AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，
∴AB∥EF∥CD，
∴＝，＝，
∴＋＝＋＝＝＝1，
∴＋＝.
10．某同学的身高为1.6米，由路灯下向前步行4米，发现自己的影子长为2米，求这个路灯的高．
【解】 如图所示，AB表示同学的身高，PB表示该同学的影长，CD表示路灯的高，则AB＝1.6 m，PB＝2 m，BD＝4 m.
∵AB∥CD
∴＝
∴CD＝＝＝4.8(m)
即路灯的高为4.8米．
一、选择题
1. 如图1－3－12，每个大正方形均由边长为1的小正方形组成，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )
图1－3－12
【解析】 △ABC中，AB＝，BC＝2，∠ABC＝135°.
选项A的三角形，有一个内角为135°，且该角的两边长分别为1和，根据相似三角形的判定定理2知，两三角形相似，故选A.
【答案】 A
图1－3－13
2．如图1－3－13，在△ABC中，M在BC上，N在AM上，CM＝CN，且＝，下列结论中正确的是( )
A．△ABM∽△ACB
B．△ANC∽△AMB
C．△ANC∽△ACM
D．△CMN∽△BCA
【解析】 ∵CM＝CN，∴∠CMN＝∠CNM，
∵∠AMB＝∠CNM＋∠MCN，
∠ANC＝∠CMN＋∠MCN，
∴∠AMB＝∠ANC.
又＝，∴△ANC∽△AMB.
【答案】 B
图1－3－14
3．如图1－3－14，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵AF⊥DE，
∴Rt△DAO∽Rt△DEA，
∴＝＝.
【答案】 D
图1－3－15
4．如图1－3－15所示，已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G，FG＝2，则CF的长为( )
A．4 B．4.5
C．5 D．6
【解析】 ∵E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，∴FE∥BC，由相似三角形的预备定理，得△FEG∽△CBG，
∴＝＝.
又FG＝2，∴GC＝4，∴CF＝6.
【答案】 D
二、填空题
图1－3－16
5．(2013·洛阳模拟)如图1－3－16，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝________.
【解析】 由于∠B＝∠D，∠AEB＝∠ACD，所以△AEB∽△ACD，从而得＝，所以AE＝＝2.
【答案】 2
图1－3－17
6．如图1－3－17，在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE∶EC＝1∶2，则BF∶BE＝________.
【解析】 ∵DE∶EC＝1∶2，
∴DC∶EC＝3∶2，∴AB∶EC＝3∶2.
∵AB∥EC，∴△ABF∽△CEF，
∴＝＝，∴＝.
【答案】 3∶5
图1－3－18
三、解答题
7．如图1－3－18所示，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.
求证：(1)△ABE∽△ADF；
(2)△EAF∽△ABC.
【证明】 (1)由题意可知，∠D＝∠B，∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴△ABE∽△ADF.
(2)由(1)知△ABE∽△ADF，
∴＝，∠BAE＝∠DAF，
又AD＝BC，∴＝.
∵AF⊥CD，CD∥AB，∴AB⊥AF.
∴∠BAE＋∠EAF＝90°.
又∵AE⊥BC，∴∠BAE＋∠B＝90°
∵∠EAF＝∠B，∴△ABC∽△EAF.
图1－3－19
8．已知如图1－3－19，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于点F.
求证：BP2＝PE·PF.
【证明】 连接PC.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∵AD是中线，∴AD垂直平分BC，
∴PB＝PC，
∴∠PBD＝∠PCD.
∴∠ABP＝∠ACP.
又∵CF∥AB，
∴∠ABP＝∠F＝∠ACP，
而∠CPE＝∠FPC.
∴△PCE∽△PFC.
∴＝，∴PC2＝PE·PF，
即BP2＝PE·PF.
图1－3－20
9．如图1－3－20，某市经济开发区建有B、C、D三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB＝CD＝900米，AD＝BC＝1700米．自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，B、C两厂之间的公路与自来水主管道交于E处，EC＝500米．若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负责修建，每米造价800元．
(1)要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图中画出该路线；
(2)求出各厂所修建的自来水管道的最低造价各是多少元？
【解】 (1)如图，过B，C，D分别作AN的垂线段BH，CF，DG交AN于H，F，G，BH，CF，DG即为所求的造价最低的管道路线．
(2)在Rt△ABE中，AB＝900米，
BE＝1 700－500＝1 200米，
∴AE＝＝1 500(米)，
由△ABE∽△CFE，得到＝，
即＝，
可得CF＝300(米)．由△BHE∽△CFE，
得＝，
即＝，可得BH＝720(米)．
由△ABE∽△DGA，得＝，
即＝，
可得DG＝1020(米)．
所以，B，C，D三厂所建自来水管道的最低造价分别是720×800＝576 000(元)，300×800＝240 000(元)，1 020×800＝816 000(元)．
10．如图，△ABC中，D是BC的中点，M是AD上一点，BM，CM的延长线分别交AC，AB于F，E两点．求证：EF∥BC.
【证明】 法一 延长AD至G，使DG
＝MD，
连接BG，CG，如右图所示．
∵BD＝DC，MD＝DG，
∴四边形BGCM为平行四边形．
∵EC∥BG，FB∥CG.
∴＝，＝.
∴＝，∵EF∥BC.
法二 过点A作BC的平行线，与BF，CE的延长线分别交于G，H两点，如图所示．
∵AH∥DC，AG∥BD，
∴＝，＝.∴＝.
∵BD＝DC，∴AH＝AG.
∵HG∥BC，∴＝，＝.
∵AH＝AG，∴＝.∴EF∥BC.
法三 过点M作BC的平行线，分别与AB，AC交于G，H两点，如右图所示．
则＝，＝.
∴＝.
∵BD＝DC，∴GM＝MH.
∵GH∥BC，∴＝，＝.
∵GM＝MH，∴＝.∴EF∥BC.
一、选择题
1．如图1－3－28，D、E、F是△ABC的三边中点，设△DEF的面积为，△ABC的周长为9，则△DEF的周长与△ABC的面积分别是( )
图1－3－28
A.，1 B．9,4
C.，8 D.，16
【解析】 ∵D、E、F分别为△ABC三边的中点，
∴EF綊BC，DE綊AC，
DF綊AB.
∴△DFE∽△ABC，且＝.
∴＝＝.
又∵l△ABC＝9，∴l△DEF＝.
又∵＝＝，S△DEF＝，
∴S△ABC＝1，故选A.
【答案】 A
图1－3－29
2．如图1－3－29，在?ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是( )
A．5 B．8.2
C．6.4 D．1.8
【解析】 由△CBF∽△CDE，得＝，
又点E是AD的中点，AB＝CD＝10，AD＝BC＝6，
∴DE＝3，即＝，
∴BF＝1.8.
【答案】 D
3．某同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图1－3－30所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30 cm，幻灯片到屏幕的距离是1.5 m，幻灯片上小树的高度是10 cm，则屏幕上小树的高度是( )
图1－3－30
A．50 cm B．500 cm
C．60 cm D．600 cm
【解析】 设屏幕上小树的高度为x cm，则＝，解得x＝60(cm)．
【答案】 C
图1－3－31
4．如图1－3－31，△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于D，E，S△ADE＝2S△DCE，则＝( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
由S△ADE＝2S△DCE得，＝，
∴＝.
【答案】 D
二、填空题
5．如图1－3－32，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝10，则AE的长为________．
图1－3－32
【解析】 ∵AE∥BC，∴△BGF∽△AGE，∴＝＝，
∵D为AC中点，∴＝＝1，∴AE＝CF，
∴BC∶AE＝2∶1，∵BC＝10，∴AE＝5.
【答案】 5
6．一条河的两岸是平行的，在河的这一岸每隔5 m有一棵树，在河的对岸每隔50 m有一根电线杆，在这岸离开岸边25 m处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有两棵树，则河的宽度为__________m.
【解析】
如图所示，A，B是相邻两电线杆的底部，F，G中间还有两棵树，则
AB＝50 m，FG＝3×5＝15 m，EC＝25 m，
CD⊥AB，AB∥FG，
则＝，设河的宽度为x m，
则＝，解得x＝.
【答案】
三、解答题
图1－3－33
7．如图1－3－33所示，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF.
(1)求证：EF∥BC；
(2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．
【解】 (1)证明：∵CF平分∠ACB，DC＝AC，
∴CF是△ACD的边AD上的中线．
∴点F是AD的中点，
又∵点E是AB的中点，
∴EF∥BD，即EF∥BC.
(2)∵EF∥BD，∴△AEF∽△ABD.
∴＝()2.
又∵AE＝AB，S△AEF＝S△ABD－S四边形BDFE＝S△ABD－6，
∴＝()2，∴S△ABD＝8.
图1－3－34
8．如图1－3－34，已知在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与 AB相交于点E，EC与AD相交于点F.
(1)求证：△ABC∽△FCD；
(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．
【解】 (1)证明：∵DE⊥BC，D是BC的中点，
∴EB＝EC，∴∠B＝∠1，
又∵AD＝AC，
∴∠2＝∠ACB.
∴△ABC∽△FCD.
(2)过点A作AM⊥BC，垂足为点M.
∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD，
∴＝()2＝4.
又∵S△FCD＝5，∴S△ABC＝20.
∵S△ABC＝BC·AM，BC＝10，
∴20＝×10×AM，∴AM＝4.
又∵DE∥AM，∴＝.
∵DM＝DC＝BC＝，
BM＝BD＋DM，
BD＝BC＝5，∴＝.
∴DE＝.
9．某生活小区的居民筹集资金1 600元，计划在一块上、下两底分别为10 cm、20 cm的梯形空地上种植花木．
(1)他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当△AMD地带种满花后(图1－3－35阴影部分)共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用；
图1－3－35
(2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择种哪种花木可以刚好用完所筹集的资金？
【解】 (1)∵四边形ABCD是梯形，
∴AD∥BC.
∴△AMD∽△CMB.∴＝()2＝.
∵种植△AMD地带花费160元，
∴＝20 (m2)．∴S△CMB＝80 (m2)．
∴△BMC地带的花费为80×8＝640(元)．
(2)设△AMD、△BMC的高分别为h1、h2，梯形ABCD的高为h，
∵S△AMD＝×10h1＝20，∴h1＝4(m)．
又∵＝，∴h2＝8(m)．
∴h＝h1＋h2＝12(m)．
∴S梯形ABCD＝(AD＋BC)h＝×30×12
＝180 (m2)，
∴S△AMB＋S△DMC＝180－20－80＝80 (m2)．
∴160＋640＋80×12＝1 760(元)，
160＋640＋80×10＝1 600(元)．
∴应种植茉莉花刚好用完所筹资金．
10．在△ABC中，如图所示，BC＝m，DE∥BC，DE分别交AB，AC于E，D两点，且S△ADE＝S四边形BCDE，则DE＝________.
【解析】 ∵DE∥BC∴△ADE∽△ACB
又∵S△ADE＋S四边形BCDE＝S△ABC；S△ADE＝S四边形BCDE，
∴S△ADE＝S△ABC，
∴()2＝，∴()2＝
∴DE＝m.
【答案】 m
一、选择题
1．△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝3，BD＝2，则AC∶BC的值是( )
A．3∶2 B．9∶4
C.∶ D.∶
【解析】 如图，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理知AC2＝AD·AB，
BC2＝BD·AB，
又∵AD＝3，BD＝2，∴AB＝AD＋BD＝5，
∴AC2＝3×5＝15，BC2＝2×5＝10.
∴＝＝，即AC∶BC＝∶，
故选C.
【答案】 C
2. 如图1－4－7所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，若CD＝6，AD∶DB＝1∶2，则AD的值是( )
图1－4－7
A．6 B．3
C．18 D．3
【解析】 由题意知
∴AD2＝18，
∴AD＝3.
【答案】 B
3．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若＝，则等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 如图，由射影定理，得AC2＝CD·BC，AB2＝BD·BC，
∴＝＝()2，
即＝，∴＝.
【答案】 C
4．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若BD：AD＝1：4，则tan∠BCD的值是( )
A. B.
C. D．2
【解析】 如图，由射影定理得CD2＝AD·BD，
又∵BD：AD＝1：4，
令BD＝x，则AD＝4x(x>0)．
∴CD2＝AD·BD＝4x2，∴CD＝2x，
在Rt△CDB中，tan∠BCD＝＝＝.
【答案】 C
二、填空题
图1－4－8
5．如图1－4－8，在矩形ABCD中，AE⊥BD，OF⊥AB.DE∶EB＝1∶3，OF＝a，则对角线BD的长为________．
【解析】 ∵OF＝a，
∴AD＝2a，
∵AE⊥BD，
∴AD2＝DE·BD.
∵DE∶EB＝1∶3，∴DE＝BD，
∴AD2＝BD·BD.
∴BD2＝4AD2＝4×4a2＝16a2，∴BD＝4a.
【答案】 4a
6．已知在梯形ABCD中，DC∥AB，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10 cm，AC＝6 cm，则此梯形的面积为________．
【解析】 如图，过C点作CE⊥AB于E.
在Rt△ACB中，
∵AB＝10 cm，AC＝6 cm，
∴BC＝8 cm，
∴BE＝6.4 cm，AE＝3.6 cm.
∴CE＝＝4.8(cm)，
∴AD＝4.8 cm.
又∵在梯形ABCD中，CE⊥AB，
∴DC＝AE＝3.6 cm.
∴S梯形ABCD＝＝32.64(cm2)．
【答案】 32.64 cm2
三、解答题
7．已知直角三角形周长为48 cm，一锐角平分线分对边为3∶5两部分.
(1)求直角三角形的三边长；
(2)求两直角边在斜边上的射影的长．
【解】 (1)如图，设CD＝3x，BD＝5x，则BC＝8x，过D作DE⊥AB，
由题意可得，
DE＝3x，BE＝4x，
∴AE＋AC＋12x＝48.
又AE＝AC，
∴AC＝24－6x，AB＝24－2x，
∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2，
解得：x1＝0(舍去)，x2＝2，
∴AB＝20，AC＝12，BC＝16，
∴三边长分别为：20 cm,12 cm,16 cm.
(2)作CF⊥AB于F，
∴AC2＝AF·AB，
∴AF＝＝＝(cm)；
同理：BF＝＝＝(cm)．
∴两直角边在斜边上的射影长分别为 cm， cm.
图1－4－9
8．如图1－4－9，Rt△ABC中有正方形DEFG，点D、G分别在AB、AC上 ，E、F在斜边BC上，求证：EF2＝BE·FC.
【证明】 如图，过点A作AH⊥BC于H.
∴DE∥AH∥GF.
∴＝，
＝.
∵＝.
又∵AH2＝BH·CH，∴DE·GF＝BE·FC.
而DE＝GF＝EF.∴EF2＝BE·FC.
图1－4－10
9．如图1－4－10，已知：BD，CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于G、H，交CE于F，且∠H＝∠BCF，求证：GD2＝GF·GH.
【证明】 ∵∠H＝∠BCE，∠EBC＝∠GBH，
∴△BCE∽△BHG，
∴∠BEC＝∠BGH＝90°，
∴HG⊥BC.
∵BD⊥AC，在Rt△BCD中，
由射影定理得，GD2＝BG·CG. ①
∵∠FGC＝∠BGH＝90°，∠GCF＝∠H，
∴△FCG∽△BHG，
∴＝，
∴BG·GC＝GH·FG. ②
由①②得，GD2＝GH·FG.
10.
如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的高，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足．求证：
(1)AE·AB＝AF·AC；
(2)△AEF∽△ACB.
【证明】 (1)∵AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，
在Rt△ABD中，由射影定理得AD2＝AE·AB，在Rt△ADC中，由射影定理得AD2＝AF·AC，
∴AE·AB＝AF·AC.
(2)∵AE·AB＝AF·AC，
∴＝.
又∵∠EAF＝∠CAB，
∴△AEF∽△ACB.
