选修4－1
第三讲 圆锥曲线性质的探讨
一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线
课标解读
1.了解平行射影的含义，体会平行射影．
2.会证明平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情况是圆)．
3.会用Dandlin双球证明定理1、定理2.
1．正射影
给定一个平面α，从一点A作平面α的垂线，垂足为点A′，称点A′为点A在平面α上的正射影．
一个图形上各点在平面α上的正射影所组成的图形，称为这个图形在平面α上的正射影．
2．平行射影
设直线l与平面α相交，称直线l的方向为投影方向，过点A作平行于l的直线(称为投影线)必交α于一点A′，称点A′ 为A沿l的方向在平面α上的平行射影．
一个图形上各点在平面α上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影．
3．椭圆的定义
平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．
4．两个定理
定理1：圆柱形物体的斜截口是椭圆．
定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)，则
(1)β>α，平面π与圆锥的交线为椭圆；
(2)β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；
(3)β<α，平面π与圆锥的交线为双曲线．
1．平行射影是指被投影面与投影面互相平行吗？
【提示】 不是．是指投影光线与投影方向平行．
2．几何图形的正射影与原图相比有什么变化？
【提示】 可能变，也可能不变．例如，一个圆所在平面β与平面α平行时，该圆在α上的正射影是与原来大小相同的圆；若β与α不平行时，圆在α上的正射影不再是圆，而是椭圆或线段(β与α垂直时)．
3．平行射影有哪些性质？
【提示】 (1)直线的平行射影是直线或一个点，线段的平行射影是线段或一个点；
(2)平行直线的平行射影是平行或重合的直线或两个点；
(3)平行于投射面的线段，它的平行射影与这条线段平行且等长；
(4)与投射面平行的平面图形，它的平行射影与这个图形全等．
平行射影
图3－1－1
如图3－1－1，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正射影可能是____________．(要求：把可能的图的序号都填上)
【思路探究】 找出四边形BFD1E的四个顶点在各个面上的正射影，然后连接各正射影即可．
【自主解答】 对四边形BFD1E在正方体的六个面上的正射影都要考虑到，并且对于图形要考虑所有点的正射影，又知线段由两端点唯一确定，故考察四边形BFD1E的射影，只需同时考察点B、F、D1、E在各个面上的正射影即可．
四边形BFD1E在平面ABB1A1，平面CDD1C1，平面ABCD和平面A1B1C1D1上的正射影均为(2)图，四边形BFD1E在平面ADD1A1和平面BCC1B1上的正射影均为(3)图．
【答案】 (2)(3)
1．解答本题的关键是找出阴影部分的各个顶点在投影面上的正射影．
2．判断平行射影的形状时，常常先确定图形中各顶点的射影，再依次连接各顶点的射影即可；同一图形在平行平面上的平行射影是相同的．
如图3－1－2，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是BB1、BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正射影为下列各图中的( )
图3－1－2
【解析】 求阴影部分在平面ADD1A1上的正射影，则投影光线与面ADD1A1垂直，显然点D的正射影为点D，点N的正射影为边AD的中点，点M的正射影为边A1A的中点．故选A.
【答案】 A
平面与圆柱面、圆锥面的截线性
质的应用
如图3－1－3所示，
图3－1－3
AB、CD是圆锥面的正截面(垂直于轴的截面)上互相垂直的两条直径，过CD和母线VB的中点E作一截面．已知圆锥侧面展开图扇形的中心角为π，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线是什么曲线．
【思路探究】 求圆锥顶角
求∠VOE结论：抛物线
【自主解答】 设⊙O的半径为R，母线VB＝l，
则圆锥侧面展开图的中心角为＝π，
∴＝，∴sin∠BVO＝.
∴圆锥的母线与轴的夹角α＝∠BVO＝.
如图，连接OE，
∵O、E分别是AB、VB的中点，
∴OE∥VA.
∴∠VOE＝∠AVO＝∠BVO＝，
∴∠VEO＝，即VE⊥OE.
又∵AB⊥CD，VO⊥CD，∴CD⊥平面VAB，
∵VE?平面VAB，∴VE⊥CD.
又∵OE∩CD＝O，OE?平面CDE，
CD?平面CDE，
∴∠VOE是截面与轴线的夹角，
∴截面与轴线夹角大小为.
由圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，知截面CDE与圆锥面的截线为一抛物线．
1．解答本题的关键是求出圆锥的母线与轴的夹角以及截面与轴的夹角．
2．判断平面与圆锥面的截线形状的方法
(1)求圆锥面的母线与轴线的夹角α，截面与轴的夹角β；
(2)判断α与β的大小关系；
(3)根据定理2判断交线是什么曲线．
图3－1－4
如图3－1－4所示，圆柱面的母线长为2 cm，点O，O′分别是上、下底面的圆心．
若OA⊥O′B′，OA＝1 cm.求：
(1)OO′与AB′所成的角的正切值；
(2)过AB′与OO′平行的截面面积；
(3)O到截面的距离．
【解】 (1)设过A的母线为AA′，连接AB′，则OO′∥AA′，OO′A′A是矩形．易知△O′B′A′是等腰直角三角形，∴A′B′＝.
又AA′＝2，OO′与AB′所成的角为∠B′AA′，
∴tan ∠B′AA′＝＝.
(2)所求截面为矩形AA′B′B，面积等于2 cm2.
(3)O到截面的距离即OO′到截面的距离，也是O′到截面的距离，也是O′到A′B′的距离．在等腰直角三角形O′A′B′中，O′A′＝O′B′＝1 cm，虽然O′到斜边A′B′的距离为 cm，所以O到截面的距离为 cm.
利用Dandlin双球研究圆锥曲
线问题
一个顶角为60°的圆锥面被一个平面π所截，如图3－1－5所示
图3－1－5
Dandlin双球均在顶点S的下方，且一个半径为1，另一个半径为5，则交线的形状是什么曲线？其离心率是多少？
【思路探究】 (1)根据Dandlin双球的位置可判断交线的形状．
(2)通过作辅助线求出椭圆的长半轴a与半焦距c，可求离心率．
【自主解答】 Dandlin双球均在顶点S的同侧，所以截线为椭圆．
设A、B分别是该椭圆的长轴的两个端点，F1、F2分别是其焦点，O1、O2分别为Dandlin双球中小、大球的球心，C、D分别为截面圆与母线的切点．
∵∠CSO1＝30°，O1C＝1，∴SC＝.
同理，SD＝5.则CD＝4.
又∵BF1＋BF2＝BC＋BD＝CD，
∴2a＝BF1＋BF2＝4.即a＝2.
再延长O1F1交O2D于点G.过O2作O2F⊥F1G交F1G于点F，则O1F＝r1＋r2＝6.
又∵CD＝4，∠DSO2＝30°，
∴O1O2＝8.
在Rt△O1O2F中，
FO2＝＝2.
即2c＝F1F2＝FO2＝2.故c＝.
所以，离心率e＝＝＝.
1．解答本题的关键通过作辅助线求出a、c的值．
2．解决此类问题可先把空间图形转化为平面图形，然后利用曲线的定义及性质来解决．
图3－1－6
如图3－1－6，在圆柱O1O2内嵌入双球，使它们与圆柱面相切，切线分别为⊙O1和⊙O2，并且和圆柱的斜截面相切，切点分别为F1、F2.
求证：斜截面与圆柱面的截线是以F1、F2为焦点的椭圆．
【证明】 如图，设点P为曲线上任一点，连接PF1、PF2，则PF1、PF2分别是两个球面的切线，切点为F1、F2，过P作母线，与
两球面分别相交于K1、K2，则PK1、PK2分别是两球面的切线，切点为K1、K2.
根据切线长定理的空间推广，
知PF1＝PK1，PF2＝PK2，
所以PF1＋PF2＝PK1＋PK2＝K1K2.
由于K1K2为定值，故点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆．
图3－1－7
(教材第51页习题3.3第2题)探究图3－1－7中双曲线的准线和离心率．
已知圆锥面的轴截面为等腰直角三角形，用一个与轴线成30°角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时，所截得的截线的离心率为( )
A. B.
C. D.
【命题意图】 本题主要考查平面与圆锥面的性质问题．
【解析】 ∵圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以母线
与轴线的夹角α＝45°；又截面与轴线的夹角β＝30°，即β＜α，
∴截线是双曲线，其离心率e＝＝＝＝.
【答案】 A
1．下列说法正确的是( )
A．平行射影是正射影
B．正射影是平行射影
C．同一个图形的平行射影和正射影相同
D．圆的平行射影不可能是圆
【解析】 正射影是平行射影的特例，A不正确；对于同一图形，当投影线垂直于投影面时，其平行射影就是正射影，否则不相同，故C不正确；当投影线垂直于投影面且圆面平行于投影面时，圆的平行射影是圆．D不正确；只有B正确．
【答案】 B
2．一图形的正射影是一条线段，这个图形不可能是( )
A．线段 B．圆 C．梯形 D．长方体
【解析】 由于长方体是空间几何体，其正射影不可能是一条线段，而其他选项都是平面图形，当投影线与图形所在平面平行时，其正射影是一条线段．
【答案】 D
3．在圆锥内部嵌入Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥均相切，若平面π与双球的切点不重合，则平面π与圆锥面的截线是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
【解析】 由于平面π与双球的切点不重合，则平面π与圆锥母线不平行，且只与圆锥的一半相交，则截线是椭圆．
【答案】 B
4．已知圆锥母线与轴夹角为60°，平面π与轴夹角为45°，则平面π与圆锥交线的离心率是________，该曲线的形状是________．
【解析】 ∵e＝＝>1，
∴曲线为双曲线．
【答案】 双曲线
一、选择题
1．下列说法不正确的是( )
A．圆柱面的母线与轴线平行
B．圆柱面的某一轴截面垂直于直截面
C．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜截面的夹角有关
D．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径
【解析】 显然A正确；由于任一轴截面过轴线，故轴截面与圆柱的直截面垂直，B正确；C显然正确，D中短轴长应为圆柱面的直径长，故不正确．
【答案】 D
2．如果一个三角形的平行射影仍是一个三角形，则下列结论正确的是( )
A．内心的平行射影还是内心
B．重心的平行射影还是重心
C．垂心的平行射影还是垂心
D．外心的平行射影还是外心
【解析】 三角形的平行射影仍是三角形，但三角形的形状通常会发生变化，此时三角形的各顶点、各边的位置也会发生变化，其中重心、垂心、外心这些由顶点和边确定的点通常随着发生变化，而内心则始终是原先角平分线的交点，射影前后相对的位置关系不变．
【答案】 A
3．圆锥的顶角为50°，圆锥的截面与轴线所成的角为30°，则截线是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
【解析】 由已知α＝＝25°，β＝30°，∴β>α.故截线是椭圆，故选B.
【答案】 B
4．设平面π与圆柱的轴的夹角为β(0°<β<90°)，现放入Dandlin双球使之与圆柱面和平面π都相切，若已知Dandlin双球与平面π的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径，则截线椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【解析】 Dandlin双球与平面π的切点恰好是椭圆的焦点，圆柱的底面直径恰好等于椭圆的短轴长，由题意知，2b＝2c.
∴e＝＝＝＝.
【答案】 B
二、填空题
5．已知圆锥面的母线与轴成44°角，用一个与轴线成44°角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时，所截得的交线是________．
【解析】 根据平面截圆锥面定理知，交线为抛物线．
【答案】 抛物线
6．一平面与圆柱面的母线成45°角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴长为6，则圆柱面内切球的半径为________．
【解析】 由2a＝6，得a＝3，又e＝cos 45°＝，
∴c＝e·a＝×3＝.
∴b＝＝＝.
∴圆柱面内切球的半径r＝.
【答案】
三、解答题
7．如图3－1－8，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、D1C1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，画出空间四边形AEFG在该正方体的面DCC1D1上的正投影．
图3－1－8
【解】 如图(1)，点A落在D点上，点G落在CC1的中点G′上，点F在面DCC1D1上的正射影仍为点F，点E落在DD1的中点E′上，擦去命名点，其图形如图(2)所示．
8．已知点A(1,2)在椭圆＋＝1内，F的坐标为(2,0)，在椭圆上求一点P，使|PA|＋2|PF|最小．
【解】 如图所示，
∵a2＝16，b2＝12，
∴c2＝4，c＝2.
∴F为椭圆的右焦点，并且离心率为＝.
设P到右准线的距离为d，
则|PF|＝d，d＝2|PF|.
∴|PA|＋2|PF|＝|PA|＋d.
由几何性质可知，当P点的纵坐标(横坐标大于零)与A点的纵坐标相同时，|PA|＋d最小．
把y＝2代入＋＝1，
得x＝(x＝－舍去)．
即点P(，2)为所求．
9．在空间中，取直线l为轴．直线l′与l相交于O点，夹角为α.l′绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．任取平面π，若它与轴l的交角为β.
试用Dandlin双球证明：当β＝α时，平面π与圆锥的交线为抛物线．
【证明】 如图：
设Dandlin球与圆锥面的交线为圆S.
记圆所在的平面为π′，π与π′的交线为m.
在平面π与圆锥面的交线上任取一点P，
设平面π与Dandlin球的切点为F，连PF.
在平面π中过P作m的垂线，垂足为A，过P作π′的垂线，垂足为B，连AB，则AB为PA在平面π′上的射影．显然，m⊥AB，故∠PAB是平面π与平面π′所成的二面角的平面角．
在Rt△APB中，∠APB＝β.
则PB＝PA·cos β ①
又设过点P的母线交圆S于点Q，
则PQ＝PF.
在Rt△PBQ中，PB＝PQ·cos α
∴PB＝PF·cos α ②
由①，②得＝×＝.
因为α＝β，所以＝1.
即曲线任一点P到定点F的距离恒等于P到定直线m的距离．故点P的轨迹为抛物线．
10．如图，圆柱被平面α所截．已知AC是圆柱口在平面α上最长投影线段，BD是最短的投影线段，EG＝FH，EF⊥AB，垂足在圆柱的轴上，EG和FH都是投影线，分别与平面α交于点G，H.
(1)比较EF，GH的大小；
(2)若圆柱的底面半径为r，平面α与母线的夹角为θ，求CD.
【解】 (1)∵EG和FH都是投影线
∴EG∥FH又EG＝FH
∴四边形EFHG是平行四边形
∴EF＝GH
(2)如图，过点D作DP⊥AC于点P
则在Rt△CDP中，有：
sin∠DCP＝
又∠DCP＝θ，DP＝2r
∴CD＝.
课件36张PPT。点A′ 各点在平面α上的正射影 直线l的方向 平行于l 点A′ 各点在平面α上的平行射影 到两个定点的距离之和等于定长的点 椭圆 椭圆 抛物线 双曲线 课时作业（十一）
一、选择题
1．下列说法不正确的是( )
A．圆柱面的母线与轴线平行
B.圆柱面的某一轴截面垂直于直截面
C．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜截面的夹角有关
D.平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径
【解析】 显然A正确；由于任一轴截面过轴线，故轴截面与圆柱的直截面垂直，B正确；C显然正确，D中短轴长应为圆柱面的直径长，故不正确．
【答案】 D
2．如果一个三角形的平行射影仍是一个三角形，则下列结论正确的是( )
A．内心的平行射影还是内心
B.重心的平行射影还是重心
C．垂心的平行射影还是垂心
D.外心的平行射影还是外心
【解析】 三角形的平行射影仍是三角形，但三角形的形状通常会发生变化，此时三角形的各顶点、各边的位置也会发生变化，其中重心、垂心、外心这些由顶点和边确定的点通常随着发生变化，而内心则始终是原先角平分线的交点，射影前后相对的位置关系不变．
【答案】 A
3．圆锥的顶角为50°，圆锥的截面与轴线所成的角为30°，则截线是( )
A．圆 B.椭圆
C．双曲线 D.抛物线
【解析】 由已知α＝＝25°，β＝30°，∴β>α.故截线是椭圆，故选 B.
【答案】 B
4．设平面π与圆柱的轴的夹角为β(0°<β<90°)，现放入Dandlin双球使之与圆柱面和平面π都相切，若已知Dandlin双球与平面π的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径，则截线椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 Dandlin双球与平面π的切点恰好是椭圆的焦点，圆柱的底面直径恰好等于椭圆的短轴长，由题意知，2b＝2c.
∴e＝＝＝＝.
【答案】 B
二、填空题
5．已知圆锥面的母线与轴成44°角，用一个与轴线成44°角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时，所截得的交线是________．
【解析】 根据平面截圆锥面定理知，交线为抛物线．
【答案】 抛物线
6．一平面与圆柱面的母线成45°角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴长为6，则圆柱面内切球的半径为________．
【解析】 由2a＝6，得a＝3，又e＝cos 45°＝，
∴c＝e·a＝×3＝.
∴b＝＝＝.
∴圆柱面内切球的半径r＝.
【答案】
三、解答题
7．如图3－1－8，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、D1C1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，画出空间四边形AEFG在该正方体的面DCC1D1上的正投影．
图3－1－8
【解】 如图(1)，点A落在D点上，点G落在CC1的中点G′上，点F在面DCC1D1上的正射影仍为点F，点E落在DD1的中点E′上，擦去命名点，其图形如图(2)所示．
8．已知点A(1,2)在椭圆＋＝1内，F的坐标为(2,0)，在椭圆上求一点P，使|PA|＋2|PF|最小．
【解】 如图所示，
∵a2＝16，b2＝12，
∴c2＝4，c＝2.
∴F为椭圆的右焦点，并且离心率为＝.
设P到右准线的距离为d，
则|PF|＝d，d＝2|PF|.
∴|PA|＋2|PF|＝|PA|＋D.
由几何性质可知，当P点的纵坐标(横坐标大于零)与A点的纵坐标相同时，|PA|＋d最小．
把y＝2代入＋＝1，
得x＝(x＝－舍去)．
即点P(，2)为所求．
9．在空间中，取直线l为轴．直线l′与l相交于O点，夹角为α.l′绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．任取平面π，若它与轴l的交角为β.
试用Dandlin双球证明：当β＝α时，平面π与圆锥的交线为抛物线．
【证明】 如图：
设Dandlin球与圆锥面的交线为圆S.
记圆所在的平面为π′，π与π′的交线为m.
在平面π与圆锥面的交线上任取一点P，
设平面π与Dandlin球的切点为F，连PF.
在平面π中过P作m的垂线，垂足为A，过P作π′的垂线，垂足为B，连AB，则AB为PA在平面π′上的射影．显然，m⊥AB，故∠PAB是平面π与平面π′所成的二面角的平面角．
在Rt△APB中，∠APB＝β.
则PB＝PA·cos β ①
又设过点P的母线交圆S于点Q，
则PQ＝PF.
在Rt△PBQ中，PB＝PQ·cos α
∴PB＝PF·cos α ②
由①，②得＝×＝.
因为α＝β，所以＝1.
即曲线任一点P到定点F的距离恒等于P到定直线m的距离．故点P的轨迹为抛物线．
10．如图，圆柱被平面α所截．已知AC是圆柱口在平面α上最长投影线段，BD是最短的投影线段，EG＝FH，EF⊥AB，垂足在圆柱的轴上，EG和FH都是投影线，分别与平面α交于点G，H.
(1)比较EF，GH的大小；
(2)若圆柱的底面半径为r，平面α与母线的夹角为θ，求CD.
【解】 (1)∵EG和FH都是投影线
∴EG∥FH又EG＝FH
∴四边形EFHG是平行四边形
∴EF＝GH
(2)如图，过点D作DP⊥AC于点P
则在Rt△CDP中，有：
sin∠DCP＝
又∠DCP＝θ，DP＝2r
∴CD＝.
