【课堂新坐标】2013-2014学年高中数学（人教A版，选修4-1）模块学习评价

模块学习评价
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 如图1，已知AB∥A′B′，BC∥B′C′，那么下列比例式成立的是(　　)
图1
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
【解析】　∵AB∥A′B′∴＝.同理＝.
∴＝，∴A不成立．
＝＝，∴＝，∴B成立
由于＝，∴AC∥A′C′
∴＝，∴C不成立．
＝＝，∴D不成立．
【答案】　B
2．PAB为过圆心O的割线，且PA＝OA＝4，PCD为⊙O的另一条割线，且PC＝CD，则PC长为(　　)
A．4　　　　　　　 B.
C．24 D.2
【解析】　由题意知PA·PB＝PC·PD，
设PC＝x，则PD＝2x，
∴2x·x＝4×12，
∴x＝2，即PC＝2.
【答案】　D
图2
3．如图2，在△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，D为垂足，若CD＝6 cm，AC∶BC＝1∶，则AD的值是(　　)
A．6 cm B.3 cm
C．18 cm D.3 cm
【解析】　∵AC∶BC＝1∶，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，
∴AD∶DB＝1∶2，∴可设AD＝t，DB＝2t，
又∵CD2＝AD·DB，∴36＝t·2t，
∴2t2＝36，∴t＝3(cm)，即AD＝3 cm.
【答案】　B
图3
4．如图3，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F.已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE、OF、DE、DF，那么∠EDF等于(　　)
A．40° B.55°
C．65° D.70°
【解析】　∵∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠A＝70°，
∴∠EOF＝110°，∴∠EDF＝55°.
【答案】　B
图4
5．如图4，平行四边形ABCD中，AE∶EB＝1∶2，若△AEF的面积等于2 cm2，则△CDF的面积等于(　　)
A．16 cm2 B.18 cm2
C．20 cm2 D.22 cm2
【解析】　∵＝，∴＝＝，
∵DC∥AE，∴△DCF∽△EAF，
∴＝()2＝()2，即＝9，
∴S△DCF＝18(cm2)．
【答案】　B
图5
6．(2013·郑州模拟)如图7，点C在以AB为直径的半圆上，连接AC、BC，AB＝10，tan∠BAC＝，则阴影部分的面积为(　　)
A.π B.π－24
C．24 D.＋24
【解析】　∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.
∵tan∠BAC＝，∴sin∠BAC＝.
又∵sin∠BAC＝，AB＝10，
∴BC＝×10＝6，
AC＝×BC＝×6＝8，
∴S阴影＝S半圆－S△ABC＝×π×52－×8×6＝π－24.
【答案】　B
图6
7．如图6，用与底面成30°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.非上述结论
【解析】　用平面截圆柱，椭圆截线的短轴长为圆柱截面圆的直径，且椭圆所在平面与底面成30°角，则离心率e＝sin 30°＝.
【答案】　A
8．(2012·北京高考)如图7所示，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则(　　)
图7
A．CE·CB＝AD·DB
B.CE·CB＝AD·AB
C．AD·AB＝CD2
D.CE·EB＝CD2
【解析】　根据CD是Rt△ABC的斜边AB上的高及CD是圆的切线求解．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴CD2＝AD·DB.又CD是圆的切线，故CD2＝CE·CB.∴CE·CB＝AD·DB.
【答案】　A
图8
9．如图8，AB、CD是圆O的两条弦，且AB是线段CD的中垂线，已知AB＝6，CD＝2，则线段AC的长度为(　　)
A．5　　　　　　　 B.
C. D.3
【解析】　连接BC，∵AB垂直平分CD，
∴CP2＝AP·P B.
设PB＝x，则AP＝6－x.
∴x(6－x)＝5，∴x1＝1，x2＝5(由题图可知，不合题意，舍去)．即AP＝5，
又CP＝＝，
∴AC＝＝.
【答案】　C
图9
10．如图9，E，C分别是∠A两边上的点，以CE为直径的⊙O交∠A的两边于点D，点B，若∠A＝45°，则△AEC与△ADB的面积比为(　　)
A．2∶1 B.1∶2
C.∶1 D.∶1
【解析】　连接BE，求△AEC与△ABD的面积比即求AE2∶AB2的值，设AB＝a，∵∠A＝45°，
又∵CE为⊙O的直径，∴∠CBE＝∠ABE＝90°，
∴BE＝AB＝a，∴AE＝a，
∴AE2∶AB2＝2a2∶a2，
即AE2∶AB2＝2∶1，∴S△AEC∶S△ABD＝2∶1.
【答案】　A
11.
图10
如图10所示，球O与圆柱的上、下底面以及侧面均相切，用一平面去截圆柱和球，得到的截面图有可能是(　　)
A．①②④ B.①②③
C．②③④ D.①②③④
【解析】　如图所示连接AB，AB为圆柱的轴，当平面与AB垂直且过AB中点时，截得图形是图①，当平面与AB垂直不过AB中点时，截得图形是两个同心圆，是图②，当平面经过轴AB时，截得的图形是图③，当平面与轴AB不垂直且平面与圆柱的侧面有交线时，截得的图形是图④，故有可能的图形是①②③④.
【答案】　D
12．如图11，已知△ABC中，＝，＝，AD、BE交于F，则·的值为(　　)
图11
A. B.
C. D.
【解析】　过D作DG∥BE交AC于G.
∵＝，∴＝.
∴＝＝.
∴DG＝BE.
又＝＝，
∴EG＝EC.
又＝，∴EC＝AE.
∴＝＝
＝＝.
∴FE＝DG＝×BE＝BE.
∴＝，＝＝.
∴·＝×＝.
【答案】　C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上)
图12
13．如图12，点E、F分别在AD、BC上，已知CD＝2，EF＝3，AB＝5，若EF∥CD∥AB, 则等于________．
【解析】　如图，过C作CH∥DA交EF于G，交AB于H，则EG＝AH＝DC＝2，GF＝1，BH＝3.
∵GF∥HB，∴＝＝，
∴＝.
【答案】　
图13
14．如图13，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点，且与直径CT交于点D.CD＝2，AD＝3，BD＝6，则PB＝________.
【解析】　∵AD·BD＝CD·DT，
∴DT＝9，
∴PT2＝(PB＋6)2－81.
又∵PT2＝PB·(PB＋9)，∴PB＝15.
【答案】　15
15．一平面与半径为4的圆柱面相截，截面的Dandelin双球的球心距离为12，则截线椭圆的离心率e＝________.
【解析】　依题意：Dandelin双球球心距离即为圆柱母线长．
∴2a＝12，∴a＝6.又b＝r＝4，
∴c＝＝＝2.
∴椭圆的离心率e＝＝＝.
【答案】　
图14
16．已知如图14，△ABC中，边AC上一点F分AC为＝，BF上一点G分BF为＝，AG的延长线与BC交于点E，则BE∶EC＝________.
【解析】　过F作FD∥AE交BC于D，如图所示，
则＝＝，＝＝，故CD＝DE，BE＝DE，EC＝CD＋DE＝DE＋DE＝DE，
从而＝.
【答案】　3∶5
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知如图15，DE∥BC，四边形DEFG是平行四边形．求证：AH∥DG.
图15
【证明】　∵DE∥BC，
∴＝.
∵GF∥DE，∴GF∥BC，
∴＝.
∵GF＝DE，∴＝，∴＝.
∴AH∥DG.
18．(本小题满分12分)如图16，AB为⊙O的直径，AD、BC是⊙O的切线，DC切⊙O于E，并与AD、BC分别交于D、C两点，BD与AC交于点F，求证：FE∥A D.
图16
【证明】　∵AB为⊙O的直径，AD、BC是⊙O的切线，
∴AD⊥AB，BC⊥AB.
∴AD∥BC，∴＝.
∵DC与⊙O切于E，并与AD、BC分别交于D、C两点，
∴AD＝DE，BC＝CE.
∴＝，∴FE∥AD.
19．(本小题满分12分)如图17，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1＞r2)．圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)．求证：AB∶AC为定值．
图17
【证明】　连接AO1，并延长分别交两圆于点E和点D.连接BD，CE.
因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上．故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径．
从而∠ABD＝∠ACE＝.所以BD∥CE，
于是＝＝＝.
所以AB∶AC为定值．
20．(本小题满分12分)如图18所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P.
(1)求证：AD∥EC；
(2)若AD是⊙O2的切线，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长．
图18
【解】　(1)证明：连接AB，
∵AC是⊙O1的切线，
∴∠BAC＝∠D，
又∵∠BAC＝∠E，∴∠D＝∠E.
∴AD∥EC.
(2)设BP＝x，PE＝y，
∵PA＝6，PC＝2，∴xy＝12，①
∵AD∥EC，∴＝?＝，②
由①②得，或(舍去)
∴DE＝9＋x＋y＝16，
∵AD是⊙O2的切线，
∴AD2＝DB·DE＝9×16，
∴AD＝12.
21．(本小题满分12分)(2013·洛阳模拟)如图19，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F，连接CE.
求证：(1)AG·EF＝CE·GD；
(2)＝.
图19
【证明】　(1)如图，连接AB，AC，
∵AD为⊙M的直径，∴∠ABD＝90°，
∴AC为⊙O的直径，∴∠CEF＝∠AGD.
∵∠DFG＝∠CFE，∴∠ECF＝∠GDF，
∵G为弧BD的中点，∴∠DAG＝∠GDF，
∴∠DAG＝∠ECF，∴△CEF∽△AGD，
∴＝，∴AG·EF＝CE·GD.
(2)由(1)知∠DAG＝∠GDF，∠G＝∠G，
∴△DFG∽△ADG，
∴DG2＝AG·GF，
由(1)知＝，∴＝.
22．(本小题满分12分)(2012·湖北联考)已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切与点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧AC相交于M，连接DC，AB＝10，AC＝12.
(1)求证：BA·DC＝GC·AD；
(2)求BM.
图20
【解】　(1)证明：因为AC⊥OB，所以∠AGB＝90°，
又AD是圆O的直径，所以∠DCA＝90°，
又因为∠BAG＝∠ADC(弦切角等于同弧所对圆周角)
所以△AGB∽△DCA，所以＝，
又因为OG⊥AC，所以GC＝AG，
所以＝，即BA·DC＝GC·AD.
(2)因为AC＝12，所以AG＝6，
因为AB＝10，所以BG＝＝8，
由(1)知：Rt△AGB∽Rt△DCA，所以＝，
所以AD＝15，即圆的直径2r＝15，
又因为AB2＝BM·(BM＋2r)，即BM2＋15BM－100＝0.
解得BM＝5.