参数方程—)
—圆锥曲线的
参数方程—)
—直线的参数方程—参数t的几何意义及应用
—渐开线与摆线—)))
圆锥曲线的参数方程及应用
对于椭圆的参数方程，要明确a，b的几何意义以及离心角φ的意义，要分清椭圆上一点的离心角φ和这点与坐标原点连线倾斜角θ的关系，双曲线和抛物线的参数方程中，要注意参数的取值范围，且它们的参数方程都有多种形式．
在平面直角坐标系xOy中，设P(x，y)是椭圆＋y2＝1上的一个动点，求S＝x＋y的最大值和最小值．
【解】 ∵椭圆＋y2＝1的参数方程为
(φ为参数)．
故设动点P(cos φ，sin φ)，其中φ∈[0,2π)．
因此S＝x＋y＝cos φ＋sin φ
＝2(sincos φ＋cossin φ)＝2sin(φ＋)．
∴当φ＝时，S取得最大值2.
当φ＝时，S取得最小值－2.
直线的参数方程及应用
直线参数方程的应用非常广泛，主要用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题．在解决这类问题时，应用直线的参数方程，利用直线参数方程中参数t的几何意义，可以避免通过解方程组求交点等繁琐运算，使问题得到简化，由于直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有明显的几何意义．
直线l过点P0(－4,0)，它的参数方程为(t为参数)与圆x2＋y2＝7相交于A，B两点，
(1)求弦长|AB|；
(2)过P0作圆的切线，求切线长．
【解】 将直线l的参数方程代入圆的方程，
得(－4＋t)2＋(t)2＝7，
整理得t2－4t＋9＝0.
(1)设A和B两点对应的参数分别为t1和t2，
由根与系数的关系得t1＋t2＝4，t1·t2＝9.
故|AB|＝|t2－t1|＝＝2.
(2)设圆过P0的切线为P0T，T在圆上，则
|P0T|2＝|P0A|·|P0B|＝|t1t2|＝9，
∴切线长|P0T|＝3.
参数法及应用
参数方法是一种重要的数学方法，尤其在运动变化型问题中，若能引入参数作桥梁，沟通变量之间的联系，既有利于揭示运动变化的本质规律，还能把多个变量统一体现在一个参变量上．但一定要注意，利用参数表示曲线的方程时，要充分考虑到参数的取值范围．
(2013·三门峡质检)如图2－1，已知直线l过点P(2，0)，斜率为，直线l和抛物线y2＝2x相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，求：
图2－1
(1)P、M两点间的距离|PM|；
(2)线段AB的长|AB|.
【解】 (1)∵直线l过点P(2,0)，斜率为，
设直线的倾斜角为α，tan α＝，sin α＝，cos α＝，∴直线l的参数方程为(t为参数)．
∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y2＝2x中，
整理得8t2－15t－50＝0，
则Δ＝(－15)2－4×8×(－50)>0.
设这个二次方程的两个根分别为t1、t2，
由根与系数的关系，得t1＋t2＝，
t1t2＝－，
由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得
|PM|＝||＝.
(2)|AB|＝|t2－t1|
＝＝.
因此线段AB的长为.
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ为参数，且0≤θ<2π)，点M是曲线C1上的动点．
(1)求线段OM的中点P的轨迹的直角坐标方程；
(2)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求点P到直线l距离的最大值．
【解】 (1)曲线C1上的动点M的坐标为(4cos θ，4sin θ)，坐标原点O(0,0)，
设P的坐标为(x，y)，则由中点坐标公式得
x＝(0＋4cos θ)＝2cos θ，
y＝(0＋4sin θ)＝2sin θ，
所以点P的坐标为(2cos θ，2sin θ)，
因此点P的轨迹的参数方程为(θ为参数，且0≤θ<2π)，
消去参数θ，得点P轨迹的直角坐标方程为x2＋y2＝4.
(2)由直角坐标与极坐标关系得
直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.
又由(1)，知点P的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，
因为原点(0,0)到直线x－y＋1＝0的距离为
＝＝，
所以点P到直线l距离的最大值为2＋.
曲线的参数方程与普通方程的互化
参数方程与普通方程的相互转化体现了函数与方程的紧密联系和实际应用．
求方程4x2＋y2＝16的参数方程 .
(1)设y＝4sin θ，θ为参数；
(2)以过点A(0,4)的直线的斜率k为参数．
【解】 (1)把y＝4sin θ代入方程，得到4x2＋16sin2θ＝16，
于是4x2＝16－16sin2θ＝16cos2θ.
∴x＝±2cos θ.由于参数θ的任意性，可取x＝2cos θ.
因此4x2＋y2＝16的参数方程是
(θ为参数)．
(2)设M(x，y)是曲线4x2＋y2＝16上异于A的任一点，则＝k(x≠0)，将y＝kx＋4代入方程，得x[(4＋k2)x＋8k]＝0.
∴易知A(0,4)也适合此方程．
另有一点
∴所求的参数方程为(k为参数)
和综合检测(二)
第二讲 参数方程
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2013·周口质检)下列点不在直线(t为参数)上的是( )
A．(－1,2) B．(2，－1)
C．(3，－2) D．(－3,2)
【解析】 直线l的普通方程为x＋y－1＝0，
因此点(－3,2)的坐标不适合方程x＋y－1＝0.
【答案】 D
2．圆的参数方程为，(θ为参数，0≤θ<2π)，若Q(－2,2)是圆上一点，则对应的参数θ的值是( )
A. B.π C.π D.π
【解析】 ∵点Q(－2,2)在圆上，
∴且0≤θ<2π，
∴θ＝π.
【答案】 B
3．直线(t为参数)的斜率为( )
A．2 B．－2 C. D．－
【解析】 直线的普通方程为2x＋y－8＝0，
∴斜率k＝－2.
【答案】 B
4．已知O为原点，当θ＝－时，参数方程(θ为参数)上的点为A，则直线OA的倾斜角为( )
A. B. C. D.
【解析】 当θ＝－时，x＝，y＝－，
∴kOA＝tan α＝＝－，且0≤α<π，
因此α＝π.
【答案】 C
5．已知A(4sin θ，6cos θ)，B(－4cos θ，6sin θ)，当θ为一切实数时，线段AB的中点轨迹为( )
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
【解析】 设线段AB的中点为M(x，y)，
则(θ为参数)，
∴
∴(3x＋2y)2＋(3x－2y)2＝144，
整理得＋＝1，表示椭圆．
【答案】 C
6．椭圆(θ为参数)的离心率是( )
A. B. C. D.
【解析】 椭圆的标准方程为＋＝1，
∴e＝.故选A.
【答案】 A
7．点P(4,0)到曲线(t∈R)上的点的最短距离为( )
A．0 B．4 C．4 D．8
【解析】 将参数方程化为普通方程y2＝16x，则点P(4,0)是其焦点．根据抛物线定义，曲线上任一点到焦点的距离最小的点是顶点(0,0)，故最小距离为4.
【答案】 B
8．若直线(t为参数)与圆(φ为参数)相切，那么直线的倾斜角为( )
A.或 B.或
C.或 D．－或－
【解析】 直线的普通方程为y＝tan α·x，圆的普通方程为(x－4)2＋y2＝4，由于直线与圆相切，则＝2，即|sin α|＝.
∴tan α＝±，∴α＝或.故选A.
【答案】 A
9．若直线y＝x－b与曲线θ∈[0,2π)有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是( )
A．(2－，1)
B．[2－，2＋]
C．(－∞，2－)∪(2＋，＋∞)
D．(2－，2＋)
【解析】 由消去θ，得
(x－2)2＋y2＝1.(*)
将y＝x－b代入(*)，化简得
2x2－(4＋2b)x＋b2＋3＝0，
依题意， Δ＝[－(4＋2b)]2－4×2(b2＋3)>0.
解之得2－【答案】 D
10．实数x，y满足3x2＋2y2＝6x，则x2＋y2的最大值是( )
A．2 B．4 C. D．5
【解析】 由3x2＋2y2＝6x，得3(x－1)2＋2y2＝3，
令x＝1＋cos θ，y＝sin θ，代入x2＋y2，得
x2＋y2＝(1＋cos θ)2＋sin2θ＝－(cos θ－2)2＋
∴当cos θ＝1时，(x2＋y2)max＝4.
【答案】 B
11．(2013·新乡模拟)参数方程(θ为参数，0≤θ＜2π)所表示的曲线是( )
A．椭圆的一部分
B．双曲线的一部分
C．抛物线的一部分，且过点(－1，)
D．抛物线的一部分，且过点(1，)
【解析】 由y＝cos2(－)
＝＝，
可得sin θ＝2y－1，
由x＝ 得x2－1＝sin θ，
∴参数方程可化为普通方程x2＝2y.
又x＝∈[0，]，故选D.
【答案】 D
12．已知直线l：(t为参数)，抛物线C的方程y2＝2x，l与C交于P1，P2，则点A(0,2)到P1，P2两点距离之和是( )
A．4＋ B．2(2＋)
C．4(2＋) D．8＋
【解析】 将直线l参数方程化为(t′为参数)，代入y2＝2x，得t′2＋4(2＋)t′＋16＝0，设其两根为t1′、t2′，则t1′＋t2′＝－4(2＋)，
t1′t2′＝16>0.
由此知在l上两点P1，P2都在A(0,2)的下方，则|AP1|＋|AP2|＝|t1′|＋|t2′|＝|t1′＋t2′|＝4(2＋)．
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．双曲线(φ是参数)的渐近线方程为________．
【解析】 化参数方程为普通方程，得y2－x2＝1.故其渐近线为y＝±x，即x±y＝0.
【答案】 x±y＝0
14．直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：，(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．
【解析】 消参数θ得曲线C1的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝1，将ρ＝1化为直角坐标方程为x2＋y2＝1，两圆的圆心距为5，故|AB|的最小值为5－1－1＝3.
【答案】 3
15．(2013·焦作调研)直线(t为参数，且0≤α≤π)，与圆(φ为参数)相切，则此直线的倾斜角α＝________.
【解析】
将参数方程化为普通方程，直线y＝x·tan α，
圆(x－4)2＋y2＝4，如右图所示，
sin α＝＝，则α＝或.
【答案】 或
16．(2013·湖北高考)在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(φ为参数，a>b>0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin(θ＋)＝m(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________．
【解析】 由已知可得椭圆标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由ρsin(θ＋)＝m可得ρsin θ＋ρcos θ＝m，即直线的普通方程为x＋y＝m.又圆的普通方程为x2＋y2＝b2，不妨设直线l经过椭圆C的右焦点(c,0)，则得c＝m.又因为直线l与圆O相切，所以＝b，因此c＝b，即c2＝2(a2－c2)．整理，得＝，故椭圆C的离心率为e＝.
【答案】
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知圆O的参数方程为(θ为参数，0≤θ<2π)．
(1)求圆心和半径；
(2)若圆O上点M对应的参数θ＝，求点M的坐标．
【解】 (1)由(0≤θ<2π)，
平方得x2＋y2＝4，
∴圆心O(0,0)，半径r＝2.
(2)当θ＝π时，x＝2cos θ＝1，y＝2sin θ＝－.
∴点M的坐标为(1，－)．
18．(本小题满分12分)已知曲线C：(φ为参数)．
(1)将C的方程化为普通方程；
(2)若点P(x，y)是曲线C上的动点，求2x＋y的取值范围．
【解】 (1)由C：得
∴()2＋()2＝1即＋＝1.
(2)2x＋y＝8cos φ＋3sin φ＝sin(φ＋θ)，(θ由tan θ＝确定)．
∴2x＋y∈[－，]．
∴2x＋y的取值范围是[－，]．
19．(本小题满分12分)已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长．
【解】 (1)由曲线C：得x2＋y2＝16.
∴曲线C的普通方程为x2＋y2＝16.
(2)将代入x2＋y2＝16，
整理，得t2＋3t－9＝0.
设A，B对应的参数为t1，t2，则
t1＋t2＝－3，t1t2＝－9.
|AB|＝|t1－t2|＝＝3.
20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，曲线C2的参数方程为(a＞b＞0，φ为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝时，这两个交点重合．
(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
(2)设当α＝时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α＝－时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2 B1的面积．
【解】 (1)C1是圆，C2是椭圆．
当α＝0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1,0)(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a＝3.
当α＝时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b＝1.
(2)C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和＋y2＝1.
当α＝时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝，与C2交点B1的横坐标为x′＝.
当α＝－时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形．
故四边形A1A2B2B1的面积为
＝.
21．(本小题满分12分)(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知动点P、Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．
(1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
【解】 (1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，
因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．
M的轨迹的参数方程为(α为参数，0＜α＜2π)．
(2)M点到坐标原点的距离
d＝＝(0＜α＜2π)．
当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．
22．(本小题满分12分)已知直线l的参数方程为(t为参数，α为倾斜角，且α≠)与曲线＋＝1交于A，B两点．
(1)写出直线l的一般方程及直线l通过的定点P的坐标；
(2)求|PA|·|PB|的最大值．
【解】 (1)∵，(t为参数，α为倾斜角，且α≠)，
∴＝＝tan α，
∴直线l的普通方程为xtan α－y－2tan α＝0.
直线l通过的定点P的坐标为(2,0)．
(2)∵l的参数方程为椭圆的方程为＋＝1，右焦点坐标为P(2,0)，
∴3(2＋tcos α)2＋4(tsin α)2－48＝0，
即(3＋sin2α)t2＋12cos α·t－36＝0.
∵直线l过椭圆的右焦点，
∴直线l恒与椭圆有两个交点，
∴t1·t2＝，
由直线参数方程t的几何意义，
∴|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝，
∵0≤α<π，且α≠，则0≤sin2α<1，
因此|PA|·|PB|的最大值为12.
课件21张PPT。圆锥曲线的参数方程及应用 直线的参数方程及应用 参数法及应用 曲线的参数方程与普通方程的互化
第二讲
参数方程
数学
一曲线的参数方程
第1课时 参数方程的概念、圆的参数方程
课标解读
1.了解曲线的参数方程的概念与特点．
2．理解圆的参数方程的形式和特点．
3．运用圆的参数方程解决最大值、最小值问题.
1．参数方程的概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数：①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出的点的坐标间的关系的方程叫做普通方程．
图2－1－1
2．圆的参数方程
(1)如图2－1－1所示，设圆O的半径为r，点M从初始位置M0开始出发，按逆时针方向在圆上运动，设M(x，y)，点M转过的角度是θ，
则(θ为参数)，这就是圆心在原点，半径为r的圆的参数方程．
(2)圆心为C(a，b)，半径为r的圆的普通方程与参数方程
普通方程
参数方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
(θ为参数)
曲线的参数方程中，参数是否一定具有某种实际意义？在圆的参数方程中，参数θ有什么实际意义？
【提示】 联系x、y的参数t(θ，φ，…)可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是无实际意义的任意实数．圆的参数方程中，其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度.
参数方程的概念
已知曲线C的参数方程是(t为参数，a∈R)，点M(－3,4)在曲线C上．
(1)求常数a的值；
(2)判断点P(1,0)、Q(3，－1)是否在曲线C上？
【思路探究】 (1)将点M的横坐标和纵坐标分别代入参数方程中的x，y，消去参数t，求a即可；
(2)要判断点是否在曲线上，只要将点的坐标代入曲线的普通方程检验即可，若点的坐标是方程的解，则点在曲线上，否则，点不在曲线上．
【自主解答】 (1)将M(－3,4)的坐标代入曲线C的参数方程得消去参数t，得a＝1.
(2)由上述可得，曲线C的参数方程是
把点P的坐标(1,0)代入方程组，解得t＝0，因此P在曲线C上，把点Q的坐标(3，－1)代入方程组，得到这个方程组无解，因此点Q不在曲线C上．
点与曲线的位置关系
满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上、点不在曲线上．
(1)对于曲线C的普通方程f(x，y)＝0，若点M(x1，y1)在曲线上，则点M(x1，y1)的坐标是方程f(x，y)＝0的解，即有f(x1，y1)＝0，若点N(x2，y2)不在曲线上，则点N(x2，y2)的坐标不是方程f(x，y)＝0的解，即有f(x2，y2)≠0.
(2)对于曲线C的参数方程(t为参数)，若点M(x1，y1)在曲线上，
则对应的参数t有解，否则参数t不存在．
(2013·周口质检)已知曲线C的参数方程为
(θ为参数，0≤θ<2π)．
判断点A(2,0)，B(－，)是否在曲线C上？
若在曲线上，求出点对应的参数的值．
【解】 把点A(2,0)的坐标代入
得cos θ＝1且sin θ＝0，
由于0≤θ<2π，解之得θ＝0，
因此点A(2,0)在曲线C上，对应参数θ＝0，同理，把B(－，)代入参数方程，得
∴
又0≤θ<2π，∴θ＝π，所以点B(－，)在曲线C上，对应θ＝π.
圆的参数方程及应用
设曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【思路探究】 化参数方程为普通方程，根据圆心到直线l的距离与半径大小作出判定．
【自主解答】 由
得(x－2)2＋(y＋1)2＝9.
曲线C表示以(2，－1)为圆心，以3为半径的圆，
则圆心C(2，－1)到直线l的距离d＝＝<3，
所以直线与圆相交．所以过圆心(2，－1)与l平行的直线与圆的2个交点满足题意，
又3－d<，故满足题意的点有2个．
【答案】 B
1．本题利用三角函数的平方关系，消去参数；数形结合，判定直线与圆的位置关系．
2．参数方程表示怎样的曲线，一般是通过消参，得到普通方程来判断．特别要注意变量的取值范围．
已知直线y＝x与曲线(α为参数)相交于两点A和B，求弦长|AB|.
【解】 由得
∴(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1,2)，半径r＝2，
则圆心(1,2)到直线y＝x的距离d＝＝.
∴|AB|＝2＝2 ＝.
如图2－1－2，已知点P是圆x2＋y2＝16上的一个动点，定点A(12,0)，当点P在圆上运动时，求线段PA的中点M的轨迹．
图2－1－2
【思路探究】 引入参数→化为参数方程→
设动点M(x，y)
求动点的参数方程→确定轨迹
【自主解答】 设动点M(x，y)，
∵圆x2＋y2＝16的参数方程为(θ为参数)，
∴设点P(4cos θ，4sin θ)，
由线段的中点坐标公式，得
x＝，且y＝，
∴点M的轨迹方程为
因此点M的轨迹是以点(6,0)为圆心，以2为半径的圆．
1．引入参数，把圆的普通方程化为参数方程，其实质就是三角换元，利用了三角恒等式sin2 θ＋cos2 θ＝1.
2．圆的参数方程(θ为参数)表示圆心为(x0，y0)，半径为r的圆．
已知点M(x，y)是圆x2＋y2＋2x＝0上的动点，若4x＋3y－a≤0恒成立，求实数a的取值范围．
【解】 由x2＋y2＋2x＝0，得(x＋1)2＋y2＝1，又点M在圆上，
∴x＝－1＋cos θ，且y＝sin θ，
因此4x＋3y＝4(－1＋cos θ)＋3sin θ
＝－4＋5sin(θ＋φ)≤－4＋5＝1.(φ由tan φ＝确定)
∴4x＋3y的最大值为1.
若4x＋3y－a≤0恒成立，则a≥(4x＋3y)max，
故实数a的取值范围是[1，＋∞).
求曲线的参数方程
已知边长为a的等边三角形ABC的顶点A在y轴的非负半轴上移动，顶点B在x轴的非负半轴上移动，求顶点C在第一象限内的轨迹的参数方程．
【思路探究】 先画出图形，选取角为参数，建立动点的坐标的三角函数即可．
【自主解答】 如图，设C点坐标为(x，y)，∠ABO＝θ，过点C作x轴的垂线段CM，垂足为M.
则∠CBM＝π－θ，
∴
即
(θ为参数，0≤θ≤)为所求．
求曲线的参数方程的方法步骤
(1)建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M的坐标；
(2)写出适合条件的点M的集合；
(3)用坐标表示集合，列出方程；
(4)化简方程为最简形式；
(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(此步骤可以省略，但一定要注意所求的方程中所表示的点是否都表示曲线上的点，要注意那些特殊的点)．
若本例中的等边三角形变化为等腰直角三角形，AC为斜边，腰为a，其余条件不变，如何求顶点C在第一象限内的轨迹的参数方程？
【解】 法一 如图，设C点坐标为(x，y)，∠ABO＝θ，过点C作x轴的垂线段CM，垂足为M.
则∠CBM＝－θ，
∴
即(θ为参数，0≤θ≤)为所求．
法二 如图，设C点坐标为(x，y)，|OB|＝t,0≤t≤a.
过点C作x轴的垂线段CM，垂足为M，则Rt△ABO≌Rt△BCM.
∴|OA|＝，|BM|＝，|MC|＝t，
∴(t为参数，0≤t≤a)为所求．
(教材第26页习题2.1第3题)
已知M是正三角形ABC的外接圆上的任意一点，求证：
|MA|2＋|MB|2＋|MC|2为定值．
(2013·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy中，动圆x2＋y2－8xcos θ－6ysin θ＋7cos2θ＋8＝0(θ∈R)的圆心为P(x，y)，求2x－y的取值范围．
【命题意图】 本题主要考查参数方程的概念及转化思想和分析解决问题的能力．
【解】 由题设得(θ为参数，θ∈R)．
于是2x－y＝8cos θ－3sin θ＝sin(θ＋φ)，(φ由tan φ＝－确定)所以－≤2x－y≤.
所以2x－y的取值范围是[－，].
1．下列方程：(1)(m为参数)(2)(m，n为参数)(3)(4)x＋y＝0中，参数方程的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 由参数方程的概念知是参数方程，故选A.
【答案】 A
2．曲线与x轴交点的直角坐标是( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,0) D．(±2,0)
【解析】 设与x轴交点的直角坐标为(x，y)，令y＝0得t＝1，代入x＝1＋t2，得x＝2，
∴曲线与x轴的交点的直角坐标为(2,0)．
【答案】 C
3．参数方程(t为参数)表示的曲线是( )
A．两条直线 B．一条射线
C．两条射线 D．双曲线
【解析】 当t>0时是一条射线；当t<0时，也是一条射线，故选C.
【答案】 C
4．已知(t为参数)，若y＝1，则x＝________.
【解析】 当y＝1时，t2＝1，∴t＝±1，
当t＝1时，x＝2；当t＝－1时，x＝0.
∴x的值为2或0.
【答案】 2或0
(时间40分钟，满分60分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．参数方程(t为参数)的曲线必过点( )
A．(1,2) B．(－2,1)
C．(2,3) D．(0,1)
【解析】 代入检验知曲线经过点(2,3)．
【答案】 C
2．已知O为原点，参数方程(θ为参数)上的任意一点为A，则OA＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 OA＝＝＝1，故选A.
【答案】 A
3．圆的圆心坐标是( )
A．(0,2) B．(2,0)
C．(0，－2) D．(－2,0)
【解析】 ∵x＝2cos θ，y－2＝2sin θ，∴x2＋(y－2)2＝4，
∴圆心坐标是(0,2)，故选A.
【答案】 A
4．圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为( )
A.(0≤θ<2π)
B.(0≤θ<2π)
C.(0≤θ<π)
D.(0≤θ<2π)
【解析】 圆心在点C(a，b)，半径为r的圆的参数方程为(θ∈[0,2π))．故圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为(0≤θ<2π)．
【答案】 D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若点(－3，－3)在参数方程(θ为参数)的曲线上，则θ＝________.
【解析】 将点(－3，－3)的坐标代入参数方程
(θ为参数)得
解得θ＝＋2kπ，k∈Z.
【答案】 ＋2kπ，k∈Z
6．(2013·陕西高考)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为________．
图2－1－3
【解析】 将x2＋y2－x＝0配方，得(x－)2＋y2＝，∴圆的直径为1.设P(x，y)，则x＝|OP|cos θ＝1×cos θ×cos θ＝cos2θ，
y＝|OP|sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ，
∴圆x2＋y2－x＝0的参数方程为
(θ为参数)．
【答案】 (θ为参数)
三、解答题(每小题10分，共30分)
7．已知曲线C的参数方程是(θ为参数，0≤θ<2π)，试判断点A(1,3)，B(0，)是否在曲线C上．
【解】 将A(1,3)的坐标代入
得即
由0≤θ<2π得θ＝π.
将B(0，)的坐标代入
得即这样的角θ不存在．
所以点A在曲线C上，点B不在曲线C上．
8．已知圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos(θ－)＋6＝0.
(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；
(2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．
【解】 (1)由ρ2－4ρcos(θ－)＋6＝0得
ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，
即x2＋y2－4x－4y＋6＝0为所求，
由圆的标准方程(x－2)2＋(y－2)2＝2，
令x－2＝cos α，y－2＝sin α，
得圆的参数方程为(α为参数)．
(2)由(1)知，
x＋y＝4＋(cos α＋sin α)
＝4＋2sin(α＋)，
又－1≤sin(α＋)≤1.
故x＋y的最大值为6，最小值为2.
9．已知圆系方程为x2＋y2－2axcos φ－2aysin φ＝0(a>0，且为已知常数，φ为参数)
(1)求圆心的轨迹方程；
(2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值．
【解】 (1)由已知圆的标准方程为：
(x－acos φ)2＋(y－asin φ)2＝a2(a>0)．
设圆心坐标为(x，y)，
则(φ为参数)，
消参数得圆心的轨迹方程为x2＋y2＝a2.
(2)由方程
得公共弦的方程：2axcos φ＋2aysin φ＝a2，即xcos φ＋y sin φ－＝0，
圆x2＋y2＝a2的圆心到公共弦的距离d＝为定值．
∴弦长l＝2＝a(定值)．
教师备选
10．已知矩形ABCD的顶点C(4,4)，点A在圆O：x2＋y2＝9(x≥0，y≥0)上移动，且AB，AD两边始终分别平行于x轴、y轴．求矩形ABCD面积S的最小值与最大值，以及相应的点A的坐标．
【解】 由于点A在圆O：x2＋y2＝9(x≥0，y≥0)上移动，
所以设点A(3cos θ，3sin θ)，且θ∈[0，]．
S＝|AB|·|AD|
＝(4－3cos θ)·(4－3sin θ)
＝16－12(sin θ＋cos θ)＋9sin θ·cos θ.
令t＝sin θ＋cos θ＝sin(θ＋)，
则sin θ·cos θ＝，且t∈[1，]．
∴S＝t2－12t＋
＝(t－)2＋(1≤t≤)．
∴当t＝sin θ＋cos θ＝时，Smin＝，
此时sin θ·cos θ＝，
所以sin θ、cos θ是方程z2－z＋＝0，
即18z2－24z＋7＝0的两根，
解得z＝±.
∴
或
当t＝sin θ＋cos θ＝1时，Smax＝4，
此时sin θ·cos θ＝0，
所以sin θ＝0，cos θ＝1
或sin θ＝1，cos θ＝0.
∴或
综上所述，Smin＝，此时点A的坐标为(2＋，2－)或(2－，2＋)；Smax＝4，此时点A的坐标为(3,0)或(0,3)．
课件38张PPT。参数方程 普通方程 a＋rcos θ b＋rsin θ 参数方程的概念 圆的参数方程及应用 求曲线的参数方程 课时作业（五）第2课时 参数方程和普通方程的互化
课标解读
1.了解参数方程化为普通方程的意义．
2．理解参数方程与普通方程的互相转化与应用．
3．掌握参数方程化为普通方程的方法.
参数方程与普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．
(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？
【提示】 不一定惟一．普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参数不同，那么所得的参数方程的形式也不同.
参数方程化为普通方程
在方程(a，b为正常数)中，
(1)当t为参数，θ为常数时，方程表示何种曲线？
(2)当t为常数，θ为参数时，方程表示何种曲线？
【思路探究】 (1)运用加减消元法，消t；(2)当t＝0时，方程表示一个点，当t为非零常数时，利用平方关系消参数θ，化成普通方程，进而判定曲线形状．
【自主解答】 方程(a，b是正常数)，
(1)①×sin θ－②×cos θ得
xsin θ－ycos θ－asin θ＋bcos θ＝0.
∵cos θ、sin θ不同时为零，
∴方程表示一条直线．
(2)(ⅰ)当t为非零常数时，
原方程组为
③2＋④2得＋＝1，
即(x－a)2＋(y－b)2＝t2，它表示一个圆．
(ⅱ)当t＝0时，表示点(a，b)．
1．消去参数的常用方法
将参数方程化为普通方程，关键是消去参数，如果参数方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、加减消元法．如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之前要做必要的变形．另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如sin2α＋cos2α＝1，(ex＋e－x)2－(ex－e－x)2＝4，()2＋()2＝1等．
2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线．
将下列参数方程分别化为普通方程，并判断方程所表示曲线的形状：
(1)(θ为参数，0≤θ≤π)；
(2)(θ为参数)；
(3)(a，b为大于零的常数，t为参数)．
【解】 (1)将两式平方相加，得x2＋y2＝4.
∵0≤θ≤π，∴－2≤x≤2,0≤y≤2.
所以方程的曲线表示圆心为(0,0)，半径为2的圆的上半部分．
(2)由得
即
∴x－y＝0.
∵0≤sin22θ≤1，
∴≤1－sin22θ≤1.
所以方程x－y＝0(≤x≤1)表示一条线段．
(3)∵x＝(t＋)，
∴t>0时，x∈[a，＋∞)，t<0时，x∈(－∞，－a]．
由x＝(t＋)，
两边平方可得x2＝(t2＋2＋)①
由y＝(t－)两边平方可得
y2＝(t2－2＋)②
①×－②×并化简，得－＝1(a，b为大于0的常数)，这就是所求的曲线方程，它表示的曲线是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线．
普通方程化为参数方程
曲线的普通方程为＋＝1，写出它的参数方程．
【思路探究】 联想sin2θ＋cos2θ＝1可得参数方程．
【自主解答】 设＝cos θ，＝sin θ，
则(θ为参数)，即为所求的参数方程．
1．将圆的普通方程化为参数方程
(1)圆x2＋y2＝r2的参数方程为
(θ为参数)；
(2)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为(θ为参数)．
2．普通方程化为参数方程关键是引入参数(例如x＝f(t)，再计算y＝g(t))，并且要保证等价性．若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过x＝f(t)，y＝g(t)，调整t的取值范围，使得在普通方程转化为参数方程的过程中，x，y的取值范围保持一致．
设y＝tx(t为参数)，则圆x2＋y2－4y＝0的参数方程是________．
【解析】 把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0得x＝，y＝，
∴参数方程为(t为参数)．
【答案】 (t为参数)
利用参数思想解题
已知x、y满足x2＋(y－1)2＝1，求：
(1)3x＋4y的最大值和最小值；
(2)(x－3)2＋(y＋3)2的最大值和最小值．
【思路探究】 设圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值和最小值问题来解决．
【自主解答】 由圆的普通方程x2＋(y－1)2＝1得圆的参数方程为(θ∈[0,2π))．
(1)3x＋4y＝3cos θ＋4sin θ＋4
＝4＋5sin(θ＋φ)，
其中tan φ＝，且φ的终边过点(4,3)．
∵－5≤5sin(θ＋φ)≤5，
∴－1≤4＋5sin(θ＋φ)≤9，
∴3x＋4y的最大值为9，最小值为－1.
(2)(x－3)2＋(y＋3)2
＝(cos θ－3)2＋(sin θ＋4)2
＝26＋8sin θ－6cos θ
＝26＋10sin(θ＋φ)．
其中tan φ＝－，
且φ的终边过点(4，－3)．
∵－10≤10sin(θ＋φ)≤10，
∴16≤26＋10sin(θ＋φ)≤36
所以(x－3)2＋(y＋3)2的最大值为36，最小值为16.
1．参数思想是解决数学问题的重要思想，在参数方程中，参数(参变量)起着媒介作用，它是联系曲线上任意一点的横坐标与纵坐标的桥梁．通过参数θ，间接建立曲线上任意一点的坐标间的联系，拓宽了解题思路，简化了思维过程．它是研究解析几何问题的重要工具．
2．运用参数思想解题的关键在于参数的选择．选择参数时，应注意所选择的参数易于与两个坐标产生联系．由于三角函数的巨大作用，常选择角为参数，若轨迹与运动有关，常选择时间为参数．
3．(1)解决与圆有关的最大值和最小值问题，常常设圆的参数方程，然后转化为求三角函数的最大值和最小值问题．
(2)注意运用三角恒等式求最值：
asin θ＋bcos θ＝sin(θ＋φ)．
其中tan φ＝(a≠0)，且φ的终边过点(a，b)．
若本例条件不变，如何求的取值范围？
【解】 由于(θ∈[0,2π))，
∴k＝＝.
∴sin θ－kcos θ＝k－3
即sin(θ＋φ)＝k－3.(φ由tan φ＝－k确定)
∴sin(θ＋φ)＝.
依题意，得||≤1，
∴()2≤1，解得k≥.
所以的取值范围是[，＋∞)．
(教材第26页习题2.1第4题)
把参数方程(φ为参数)化为普通方程，并说明它表示什么曲线．
(2013·广东高考)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________．
【命题意图】 本题考查了极坐标方程、普通方程和参数方程的互化．利用普通方程过渡，三种方程的互化体现了转化与化归思想的应用，同时也考查函数与方程思想的应用，这个过程用计算串联起来，考查考生的运算求解能力．
【解析】 ρ＝2cos θ化为普通方程为＝，即(x－1)2＋y2＝1，则其参数方程为(α为参数)，即(α为参数)．
【答案】 (α为参数)
1．将参数方程(θ为参数)化为普通方程为( )
A．y＝x－2 B．y＝x＋2
C．y＝x－2(2≤x≤3) D．y＝x＋2(0≤y≤1)
【解析】 消去sin2θ，得x＝2＋y，
又0≤sin2θ≤1，∴2≤x≤3.
【答案】 C
2．把方程xy＝1化为以t为参数的参数方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】 D
3．圆x2＋(y＋1)2＝2的参数方程为( )
A.(θ为参数)
B.(θ为参数)
C.(θ为参数)
D.(θ为参数)
【解析】 由x＝cos θ，y＋1＝sin θ知参数方程为
(θ为参数)．故选D.
【答案】 D
4．(2013·郑州模拟)在直角坐标系中，圆C的参数方程为(α为参数)，若以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的极坐标方程为________．
【解析】 消去α得圆的方程为x2＋(y－2)2＝4.
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入得(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，整理得ρ＝4sin θ.
【答案】 ρ＝4sin θ
(时间40分钟，满分60分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．曲线(θ为参数)的方程等价于( )
A．x＝ B．y＝
C．y＝± D．x2＋y2＝1
【解析】 由x＝|sin θ|得0≤x≤1；由y＝cos θ得－1≤y≤1.故选A.
【答案】 A
2．参数方程(0≤t≤5)表示的曲线是( )
A．线段 B．双曲线的一支
C．圆弧 D．射线
【解析】 消去t，得x－3y－5＝0.
∵0≤t≤5，
∴－1≤y≤24.
【答案】 A
3．能化为普通方程x2＋y－1＝0的参数方程为( )
A. B.
C. D.
【解析】 由x2＋y－1＝0，知x∈R，y≤1.
排除A、C、D，只有B符合．
【答案】 B
4．若x，y满足x2＋y2＝1，则x＋y的最大值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 由于圆x2＋y2＝1的参数方程为(θ为参数)，则x＋y＝sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋)，
故x＋y的最大值为2.故选B.
【答案】 B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．曲线(θ为参数)上的点到原点的最大距离为________．
【解析】 设M(x，y)是曲线上任意一点，
∴|OM|＝
＝
＝(φ由tan φ＝－确定)
当sin(θ＋φ)＝1时，|OM|取最大值6.
【答案】 6
6．(2013·重庆高考)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________.
【解析】 由ρcos θ＝4，知x＝4.
又∴x3＝y2(x≥0)．
由得或
∴|AB|＝＝16.
【答案】 16
三、解答题(每小题10分，共30分)
7．已知曲线C的参数方程为(t为参数，t>0)．求曲线C的普通方程．
【解】 由x＝－两边平方得x2＝t＋－2，
又y＝3(t＋)，则t＋＝(y≥6)．
代入x2＝t＋－2，得x2＝－2.
∴3x2－y＋6＝0(y≥6)．
故曲线C的普通方程为3x2－y＋6＝0(y≥6)．
8．已知P(x，y)是圆x2＋y2－2y＝0上的动点．
(1)求2x＋y的取值范围；
(2)若x＋y＋c≥0恒成立，求实数c的取值范围．
【解】 方程x2＋y2－2y＝0变形为x2＋(y－1)2＝1.
其参数方程为(θ为参数)．
(1)2x＋y＝2cos θ＋sin θ＋1＝sin(θ＋φ)＋1(其中φ由sin φ＝，cos φ＝确定)．
∴1－≤2x＋y≤1＋.
(2)若x＋y＋c≥0恒成立，即c≥－(cos θ＋sin θ＋1)对一切θ∈R恒成立．
∵－(cos θ＋sin θ＋1)的最大值是－1.
∴当且仅当c≥－1时，x＋y＋c≥0恒成立．
9．(2012·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，(，)，圆C的参数方程为(θ为参数)．
①设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
②判断直线l与圆C的位置关系．
【解】 ①由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，)．又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为(1，)，故直线OP的平面直角坐标方程为y＝x.
②因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，)，
所以直线l的平面直角坐标方程为x＋y－2＝0.
又圆C的圆心坐标为(2，－)，半径为r＝2，
圆心到直线l的距离d＝＝教师备选
10．已知某条曲线C的参数方程为(其中t是参数，a∈R)，点M(5,4)在该曲线上．
(1)求常数a；
(2)求曲线C的普通方程．
【解】 (1)由题意，可知故所以a＝1.
(2)由已知及(1)可得，曲线C的方程为由第一个方程，得t＝，代入第二个方程，得y＝()2，即(x－1)2＝4y为所求．
课件34张PPT。消去参数 y＝g(t) 取值范围 参数方程化为普通方程 普通方程化为参数方程 利用参数思想解题 课时作业（六）二圆锥曲线的参数方程
课标解读
1.了解双曲线、抛物线的参数方程．
2．理解椭圆的参数方程及其应用．
3．能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题.
1．椭圆的参数方程
普通方程
参数方程
＋＝1(a>b>0)
(φ为参数)
＋＝1(a>b>0)
(φ为参数)
2.双曲线的参数方程
普通方程
参数方程
－＝1(a>0，b>0)
(φ为参数)
3.抛物线的参数方程
(1)抛物线y2＝2px的参数方程是(t∈R，t为参数)．
(2)参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．
1．椭圆的参数方程中，参数φ是OM的旋转角吗？
【提示】 椭圆的参数方程(φ为参数)中的参数φ不是动点M(x，y)的旋转角，它是点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角，称为离心角，不是OM的旋转角．
2．双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数sec φ的意义是什么？
【提示】 sec φ＝，其中φ∈[0,2π)且φ≠，φ≠π.
3．类比y2＝2px(p>0)，你能得到x2＝2py(p>0)的参数方程吗？
【提示】 (p>0，t为参数，t∈R)
椭圆的参数方程及应用
将参数方程(θ为参数)化为普通方程，并判断方程表示曲线的焦点坐标．
【思路探究】 根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．
【自主解答】 由得
两式平方相加，得＋＝1.
∴a＝5，b＝3，c＝4.
因此方程表示焦点在x轴上的椭圆，焦点坐标为F1(4,0)和F2(－4,0)．
椭圆的参数方程(θ为参数，a，b为常数，且a>b>0)中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上．
若本例的参数方程为，(θ为参数)，则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标？
【解】 将，化为
两式平方相加，得＋＝1.
其中a＝5，b＝3，c＝4.
所以方程的曲线表示焦点在y轴上的椭圆，焦点坐标为F1(0，－4)与F2(0,4)．
已知曲线C1：，(t为参数)，曲线C2：＋＝1.
(1)化C1为普通方程，C2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？
(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：x－2y－7＝0距离的最小值．
【思路探究】 (1)参数方程与普通方程互化；(2)由中点坐标公式，用参数θ表示出点M的坐标，根据点到直线的距离公式得到关于θ的函数，转化为求函数的最值．
【自主解答】 (1)由
得
∴曲线C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，
C1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆．
曲线C2：＋＝1表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
其参数方程为(θ为参数)
(2)依题设，当t＝时，P(－4,4)；
且Q(8cos θ，3sin θ)，
故M(－2＋4cos θ，2＋sin θ)．
又C3为直线x－2y－7＝0，
M到C3的距离d＝|4cos θ－3sin θ－13|
＝|5cos(θ＋φ)－13|，
从而当cos θ＝，sin θ＝－时，(其中φ由sin φ＝，cos φ＝确定)cos(θ＋φ)＝1，d取得最小值.
1．从第(2)问可以看出椭圆的参数方程在解题中的优越性．
2．第(2)问设计十分新颖，题目的要求就是求动点M的轨迹上的点到直线C3距离的最小值，这个最小值归结为求关于参数θ的函数的最小值．
(2013·开封质检)已知点P是椭圆＋y2＝1上任意一点，求点P到直线l：x＋2y＝0的距离的最大值．
【解】 因为P为椭圆＋y2＝1上任意一点，
故可设P(2cos θ，sin θ)，其中θ∈[0,2π)．
又直线l：x＋2y＝0.
因此点P到直线l的距离
d＝＝.
所以，当sin(θ＋)＝1，即θ＝时，d取得最大值.
双曲线参数方程的应用
求证：双曲线－＝1(a>0，b>0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．
【思路探究】 设出双曲线上任一点的坐标，可利用双曲线的参数方程简化运算．
【自主解答】 由双曲线－＝1，得
两条渐近线的方程是：bx＋ay＝0，bx－ay＝0，
设双曲线上任一点的坐标为(asec φ，btan φ)，
它到两渐近线的距离分别是d1和d2，
则d1·d2＝·
＝＝(定值)．
在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec2 φ－tan2 φ＝1的应用．
如图2－2－1，设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1、F2是两个焦点，证明：|PF1|·|PF2|＝|OP|2.
图2－2－1
【证明】 设P(sec φ，tan φ)，
∵F1(－，0)，F2(，0)，
∴|PF1|＝
＝，
|PF2|＝
＝，
|PF1|·|PF2|＝
＝2sec2φ－1.
∵|OP|2＝sec2φ＋tan2φ＝2sec2φ－1，
∴|PF1|·|PF2|＝|OP|2.
抛物线的参数方程
设抛物线y2＝2px的准线为l，焦点为F，顶点为O，P为抛物线上任一点，PQ⊥l于Q，求QF与OP的交点M的轨迹方程．
【思路探究】 解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．
【自主解答】 设P点的坐标为(2pt2,2pt)(t为参数)，
当t≠0时，直线OP的方程为y＝x，
QF的方程为y＝－2t(x－)，
它们的交点M(x，y)由方程组
确定，
两式相乘，消去t，得y2＝－2x(x－)，
∴点M的轨迹方程为2x2－px＋y2＝0(x≠0)．
当t＝0时，M(0,0)满足题意，且适合方程2x2－px＋y2＝0.
故所求的轨迹方程为2x2－px＋y2＝0.
1．抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为(t为参数)，参数t为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．
2．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．
(2012·天津高考)已知抛物线的参数方程为(t为参数)，其中p>0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E，若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________.
【解析】 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y2＝2px，所以y＝6p，所以E(－，±)，F(，0)，所以＋3＝，所以p2＋4p－12＝0，解得p＝2(负值舍去)．
【答案】 2
(教材第34页习题2.2，第5题)
已知椭圆＋＝1上任意一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1，B2的连线分别与x轴交于P、Q两点，O为椭圆的中心．求证：|OP|·|OQ|为定值．
(2012·徐州模拟)如图2－2－2，已知椭圆＋y2＝1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1、B2的连线分别交x轴于P、Q两点．
图2－2－2
求证：|OP|·|OQ|为定值．
【命题意图】 本题主要考查椭圆的参数方程的简单应用，考查学生推理与数学计算能力．
【证明】 设M(2cos φ，sin φ)(φ为参数)，
B1(0，－1)，B2(0,1)．
则MB1的方程：y＋1＝·x，
令y＝0，则x＝，
即|OP|＝||.
MB2的方程：y－1＝x，
∴|OQ|＝||.
∴|OP|·|OQ|＝||·||＝4.
因此|OP|·|OQ|＝4(定值).
1．参数方程，(θ为参数)化为普通方程为( )
A．x2＋＝1 B．x2＋＝1
C．y2＋＝1 D．y2＋＝1
【解析】 易知cos θ＝x，sin θ＝，
∴x2＋＝1，故选A.
【答案】 A
2．方程(θ为参数，ab≠0)表示的曲线是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．双曲线的一部分
【解析】 由xcos θ＝a，∴cos θ＝，
代入y＝bcos θ，得xy＝ab，
又由y＝bcos θ知，y∈[－|b|，|b|]，
∴曲线应为双曲线的一部分．
【答案】 D
3．(2013·陕西高考)圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是________．
【解析】 将参数方程化为普通方程为y2＝4x，表示开口向右，焦点在x轴正半轴上的抛物线，由2p＝4?p＝2，则焦点坐标为(1,0)．
【答案】 (1,0)
4．(2012·湖南高考)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a>0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.
【解析】 将曲线C1与C2的方程化为普通方程求解．
∵消去参数t得2x＋y－3＝0.
又消去参数θ得＋＝1.
方程2x＋y－3＝0中，令y＝0得x＝，将(，0)代入＋＝1，得＝1.又a>0，∴a＝.
【答案】
(时间40分钟，满分60分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．曲线C：，(φ为参数)的离心率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 由题设，得＋＝1，
∴a2＝9，b2＝5，c2＝4，
因此e＝＝.
【答案】 A
2．参数方程，(α为参数)的普通方程是( )
A．y2－x2＝1
B．x2－y2＝1
C．y2－x2＝1(1≤y≤)
D．y2－x2＝1(|x|≤)
【解析】 因为x2＝1＋sin α，所以sin α＝x2－1.
又因为y2＝2＋sin α＝2＋(x2－1)，
所以y2－x2＝1.
∵－1≤sin α≤1，y＝，
∴1≤y≤.
∴普通方程为y2－x2＝1，y∈[1，]．
【答案】 C
3．点P(1,0)到曲线(参数t∈R)上的点的最短距离为( )
A．0 B．1
C. D．2
【解析】 d2＝(x－1)2＋y2＝(t2－1)2＋4t2＝(t2＋1)2，
由t2≥0得d2≥1，故dmin＝1.
【答案】 B
4．已知曲线，(θ为参数，0≤θ≤π)上的一点P，原点为O，直线PO的倾斜角为，则P点的坐标是( )
A．(3,4) B．(，2)
C．(－3，－4) D．(，)
【解析】 由题意知，3cos θ＝4sin θ，
∴tan θ＝，又0≤θ≤π，则sin θ＝，cos θ＝，
∴x＝3×cos θ＝3×＝，
y＝4sin θ＝4×＝，
因此点P的坐标为(，)．
【答案】 D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为________．
【解析】 由
得点M的坐标为(1,2)．
直线OM的斜率k＝＝2.
【答案】 2
6．(2013·江西高考)设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．
【解析】 化为普通方程为y＝x2，由于ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，所以化为极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos2θ，即ρcos2θ－sin θ＝0.
【答案】 ρcos2θ－sin θ＝0
三、解答题(每小题10分，共30分)
7．(2013·平顶山质检)如图2－2－3所示，连接原点O和抛物线y＝x2上的动点M，延长OM到点P，使|OM|＝|MP|，求P点的轨迹方程，并说明是什么曲线？
图2－2－3
【解】 抛物线标准方程为x2＝2y，其参数方程为得M(2t,2t2)．
设P(x，y)，则M是OP中点．
∴
∴(t为参数)，
消去t得y＝x2，是以y轴对称轴，焦点为(0,1)的抛物线．
8．(2012·龙岩模拟)已知直线l的极坐标方程是ρcos θ＋ρsin θ－1＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，椭圆C的参数方程是(θ为参数)，求直线l和椭圆C相交所成弦的弦长．
【解】 由题意知直线和椭圆方程可化为：
x＋y－1＝0，①
＋y2＝1，②
①②联立，消去y得：5x2－8x＝0，
解得x1＝0，x2＝.
设直线与椭圆交于A、B两点，
则A、B两点直角坐标分别为(0,1)，(，－)，
则|AB|＝＝.
故所求的弦长为.
9．(2013·漯河调研)在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)．
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为(4，)，判断点P与直线l的位置关系；
(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
【解】 (1)把极坐标系下的点P(4，)化为直角坐标，得点(0,4)．因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．
(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cos α，sin α)，从而点Q到直线l的距离为
d＝
＝
＝cos(α＋)＋2，由此得，当cos(α＋)＝－1时，d取得最小值，且最小值为.
教师备选
10．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，已知点P(0，)到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标．
【解】 设椭圆的参数方程是，其中，a>b>0,0≤θ<2π.
由e2＝＝＝1－()2可得＝＝即a＝2b.
设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d，
则d2＝x2＋(y－)2＝a2cos2θ＋(bsin θ－)2
＝a2－(a2－b2)sin2θ－3bsin θ＋
＝4b2－3b2sin2θ－3bsin θ＋
＝－3b2(sin θ＋)2＋4b2＋3，
如果>1即b<，即当sin θ＝－1时，d2有最大值，由题设得()2＝(b＋)2，由此得b＝－>，与b<矛盾．
因此必有≤1成立，
于是当sin θ＝－时，d2有最大值，
由题设得()2＝4b2＋3，
由此可得b＝1，a＝2.
所求椭圆的参数方程是
由sin θ＝－，cos θ＝±可得，椭圆上的点(－，－)，点(，－)到点P的距离都是.
课件39张PPT。连线的斜率 椭圆的参数方程及应用 双曲线参数方程的应用 抛物线的参数方程 课时作业（七）三直线的参数方程
课标解读
1.掌握直线的参数方程及参数的几何意义．
2.能用直线的参数方程解决简单问题.
直线的参数方程
经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α(α≠)的直线l的参数方程为(t为参数)，其中参数t的几何意义是：|t|是直线l上任一点M(x，y)到点M0(x0，y0)的距离，即|t|＝||.
1．若直线l的倾斜角α＝0，则直线l的参数方程是什么？
【提示】 参数方程为(t为参数)
2．如何理解直线参数方程中参数的几何意义？
【提示】 过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)，其中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x，y)为终点的有向线段的长度，即|t|＝||.
①当t＞0时，的方向向上；
②当t＜0时，的方向向下；
③当t＝0时，点M与点M0重合.
直线的参数方程
已知直线l：(t为参数)．
(1)求直线l的倾斜角；
(2)若点M(－3，0)在直线l上，求t，并说明t的几何意义．
【思路探究】 将直线l的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义求得t.
【自主解答】 (1)由于直线l：
(t为参数)表示过点M0(－，2)且斜率为tan 的直线，
故直线l的倾斜角α＝.
(2)由(1)知，直线l的单位方向向量
e＝(cos，sin)＝(，)．
∵M0(－，2)，M(－3，0)，
∴＝(－2，－2)＝－4(，)＝－4e，
∴点M对应的参数t＝－4，
几何意义为||＝4，且与e方向相反(即点M在直线l上点M0的左下方)．
1．一条直线可以由定点M0(x0，y0)，倾斜角α(0≤α＜π)惟一确定，直线上的动点M(x，y)的参数方程为(t为参数)，这是直线参数方程的标准形式．
2．直线参数方程的形式不同，参数t的几何意义也不同，过定点M0(x0，y0)，斜率为的直线的参数方程是(a、b为常数，t为参数)．
设直线l过点P(－3,3)，且倾斜角为.
(1)写出直线l的参数方程；
(2)设此直线与曲线C：(θ为参数)交于A，B两点，求|PA|·|PB|.
【解】 (1)直线l的参数方程为
(t为参数)
(2)把曲线C的参数方程中参数θ消去，得4x2＋y2－16＝0.
把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得
4(－3－t)2＋(3＋t)2－16＝0.
即13t2＋4(3＋12)t＋116＝0.
由t的几何意义，知
|PA|·|PB|＝|t1·t2|，
故|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝.
直线参数方程的简单应用
已知直线的参数方程为(t为参数)，则该直线被圆x2＋y2＝9截得的弦长是多少？
【思路探究】 考虑参数方程标准形式中参数t的几何意义，所以首先要把原参数方程转化为标准形式
再把此式代入圆的方程，整理得到一个关于t的一元二次方程，弦长即为方程两根之差的绝对值．
【自主解答】 将参数方程(t为参数)转化为直线参数方程的标准形式为
(t′为参数)
代入圆方程x2＋y2＝9，
得(1＋ t′)2＋(2＋ t′)2＝9，
整理，有t′2＋8t′－4＝0.
由根与系数的关系，t′1＋t′2＝－，
t′1·t′2＝－4.
根据参数t′的几何意义．
|t′1－t2′|＝＝.
故直线被圆截得的弦长为.
1．在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用|t1－t2|来求．本题易错的地方是：将题目所给参数方程直接代入圆的方程求解，忽视了参数t的几何意义．
2．根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：
(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长l＝|t1－t2|；
(2)定点M0是弦M1M2的中点?t1＋t2＝0；
(3)设弦M1M2中点为M，则点M对应的参数值tM＝(由此可求|M2M|及中点坐标)．
若将条件改为“直线l经过点A(1,2)，倾斜角为，圆x2＋y2＝9不变”，试求：
(1)直线l的参数方程；
(2)直线l和圆x2＋y2＝9的两个交点到点A的距离之积．
【解】 (1)直线l的参数方程为(t为参数)．
(2)将代入x2＋y2＝9，得
t2＋(1＋2)t－4＝0，∴t1t2＝－4.
由参数t的几何意义，得直线l和圆x2＋y2＝9的两个交点到点A的距离之积为|t1t2|＝4.
参数方程与极坐标的综合问题
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2sin θ.
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，)，求|PA|＋|PB|.
【思路探究】 (1)利用公式可求．
(2)可考虑将参数方程、极坐标方程化为普通方程，求交点A、B的坐标，也可考虑利用t的几何意义求解．
【自主解答】 (1)由ρ＝2sin θ，
得ρ2＝2ρsin θ.
∴x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－)2＝5.
(2)法一 直线l的普通方程为y＝－x＋3＋.
与圆C：x2＋(y－)2＝5联立，消去y，得x2－3x＋2＝0，
解之得或
不妨设A(1,2＋)，B(2,1＋)．
又点P的坐标为(3，)，
故|PA|＋|PB|＝＋＝3.
法二 将l的参数方程代入x2＋(y－)2＝5，得(3－t)2＋(t)2＝5，
即t2－3t＋4＝0，(*)
由于Δ＝(3)2－4×4＝2＞0.
故可设t1，t2是(*)式的两个实根．
∴t1＋t2＝3，且t1t2＝4.
∴t1>0，t2>0.
又直线l过点P(3，)，
∴由t的几何意义，得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝3.
1．第(2)问中，法二主要运用直线参数方程中参数t的几何意义，简化了计算．
2．本题将所给的方程化为考生所熟悉的普通方程，然后去解决问题，这是考生在解决参数方程和极坐标方程相互交织问题时的一个重要的思路．
(2012·课标全国卷)已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，)．
(1)求点A，B，C，D的直角坐标；
(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．
【解】 (1)由已知可得A(2cos ，2sin )，
B(2cos (＋)，2sin(＋))，
C(2cos (＋π)，2sin(＋π))，
D(2cos (＋)，2sin(＋))，
即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)．
(2)设P(2cos φ，3sin φ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则S＝(2cos φ－1)2＋(－3sin φ)2＋(－－2cos φ)2＋(1－3sin φ)2＋(－1－2cos φ)2＋(－－3sin φ)2＋(－2cos φ)2＋(－1－3sin φ)2＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.
∵0≤sin2φ≤1，∴S的取值范围是[32,52]．
(教材第39页习题2.3第1题)
设直线l经过点M0(1,5)、倾斜角为.
(1)求直线l的参数方程；
(2)求直线l和直线x－y－2＝0的交点到点M0的距离．
(2013·湖南高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：(s为参数)和直线l2：(t为参数)平行，则常数a的值为________．
【命题意图】 考查参数方程的理解、两直线的位置关系．将参数方程消去参数后得到平面直角坐标系下的方程是考查转化与化归的能力，由平面直角坐标系下的方程及两直线平行得到a的值是考查运算求解能力．
【解析】 由消去参数s，得x＝2y＋1.
由消去参数t，得2x＝ay＋a.
∵l1∥l2，
∴＝，∴a＝4.
【答案】 4
1．直线(t为参数)的倾斜角α等于( )
A．30° B．60°
C．－45° D．135°
【解析】 由直线的参数方程知倾斜角α等于60°，故选B.
【答案】 B
2．直线(α为参数，0≤a＜π)必过点( )
A．(1，－2) B．(－1,2)
C．(－2,1) D．(2，－1)
【解析】 直线表示过点(1，－2)的直线．
【答案】 A
3．已知直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的斜率为( )
A．1 B．－1
C. D．－
【解析】 消去参数t，得方程x＋y－1＝0，
∴直线l的斜率k＝－1.
【答案】 B
4．(2013·濮阳模拟)若直线(t为参数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝________.
【解析】 将化为y＝－x＋，
∴斜率k1＝－，
显然k＝0时，直线4x＋ky＝1与上述直线不垂直．
∴k≠0，从而直线4x＋ky＝1的斜率k2＝－.
依题意k1k2＝－1，即－×(－)＝－1，
∴k＝－6.
【答案】 －6
(时间40分钟，满分60分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列可以作为直线2x－y＋1＝0的参数方程的是( )
A.(t为参数)
B.(t为参数)
C.(t为参数)
D.(t为参数)
【解析】 题目所给的直线的斜率为2，选项A中直线斜率为1，选项D中直线斜率为，所以可排除选项A、D.而选项B中直线的普通方程为2x－y＋3＝0，故选C.
【答案】 C
2．(2013·许昌模拟)极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是( )
A．直线、直线 B．直线、圆
C．圆、圆 D．圆、直线
【解析】 ∵ρ＝cos θ，∴ρ2＝ρcos θ，
即x2＋y2＝x，即(x－)2＋y2＝，
∴ρ＝cos θ所表示的图形是圆．
由(t为参数)消参得：x＋y＝1，表示直线．
【答案】 D
3．原点到直线(t为参数)的距离为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 消去t，得3x－4y－15＝0，
∴原点到直线3x－4y－15＝0的距离
d＝＝3.
【答案】 C
4．直线，(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A、B两点，则AB的中点坐标为( )
A．(3，－3) B．(－，3)
C．(，－3) D．(3，－)
【解析】 将x＝1＋，y＝－3＋t代入圆方程，
得(1＋)2＋(－3＋t)2＝16，
∴t2－8t＋12＝0，则t1＝2，t2＝6，
因此AB的中点M对应参数t＝＝4，
∴x＝1＋×4＝3，y＝－3＋×4＝－，
故AB中点M的坐标为(3，－)．
【答案】 D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2013·湖南高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．
【解析】 直线l：消去参数t后得y＝x－a.
椭圆C：消去参数φ后得＋＝1.
又椭圆C的右顶点为(3,0)，代入y＝x－a得a＝3.
【答案】 3
6．(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(θ为参数，0≤θ≤)和(t为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．
【解析】 曲线C1和C2的普通方程分别为
(0≤x≤，0≤y≤)
联立①②解得
∴C1与C2的交点坐标为(2,1)．
【答案】 (2,1)
三、解答题(每小题10分，共30分)
7．化直线l的参数方程，(t为参数)为普通方程，并求倾斜角，说明|t|的几何意义．
【解】 由消去参数t，得
直线l的普通方程为x－y＋3＋1＝0.
故k＝＝tan α，即α＝.
因此直线l的倾斜角为.
又得(x＋3)2＋(y－1)2＝4t2，
∴|t|＝.
故|t|是t对应点M到定点M0(－3,1)的向量的模的一半．
8．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长．
【解】 由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ.
∴直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，
即(x－2)2＋y2＝4.
直线l的参数方程(t为参数)
化为普通方程为x－y－1＝0.
曲线C的圆心(2,0)到直线l的距离为＝，
所以直线l与曲线C相交所成的弦的弦长为2 ＝.
9．(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．
【解】 因为直线l的参数方程为(t为参数)，由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.
同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.
联立方程组解得公共点的坐标为(2,2)，(，－1)．
教师备选
10．(2012·沈阳模拟)已知直线l的参数方程为，(t为参数)，曲线C的极坐标方程是ρ＝，以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点M(－1,0)，直线l与曲线C交于A、B两点．
(1)求直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；
(2)线段MA，MB长度分别记为|MA|，|MB|，求|MA|·|MB|的值．
【解】 (1)直线l：，(t为参数)的直角坐标方程为x－y＋1＝0，所以极坐标方程为ρcos(θ＋)＝－1，
曲线C：ρ＝即(ρcos θ)2＝ρsin θ，
所以曲线的普通方程为y＝x2.
(2)将，(t为参数)
代入y＝x2得t2－3t＋2＝0，
∴t1t2＝2，∴|MA|·|MB|＝|t1t2|＝2.
课件34张PPT。x0＋tcos α y0＋tsin α 直线的参数方程 直线参数方程的简单应用 参数方程与极坐标的综合问题 课时作业（八）四渐开线与摆线
课标解读
1.借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线)，了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程．
2.通过阅读材料，了解其他摆线(变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程；了解摆线在实际应用中的实例.
1．渐开线及其参数方程
(1)把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头逐渐展开，保持线与圆相切，线头的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．
(2)设基圆的半径为r，圆的渐开线的参数方程是(φ为参数)．
2．摆线及其参数方程
(1)当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上的一个定点运动的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．
(2)设圆的半径为r，圆滚动的角为φ，那么摆线的参数方程是(φ是参数)．
1．圆的渐开线的参数方程中的参数φ的几何意义是什么？
【提示】 根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母r是指基圆的半径，而参数φ是指绳子
外端运动时绳子与基圆的切点B转过的角度，如图，其中的∠AOB即是角φ.显然点M由参数φ惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单．
2．圆的摆线的参数方程中的参数φ的几何意义是什么？
【提示】 同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度．参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程．当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况.
圆的渐开线的参数方程
已知圆的直径为2，其渐开线的参数方程对应的曲线上两点A、B对应的参数分别是和，求A、B两点的距离．
【思路探究】 先写出圆的渐开线的参数方程，再把A、B对应的参数代入参数方程可得对应的A、B两点的坐标，然后使用两点之间的距离公式可得A、B之间的距离．
【自主解答】 根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是(φ为参数)，
分别把φ＝和φ＝代入，
可得A、B两点的坐标分别为A(，)，B(，1)．
那么，根据两点之间的距离公式可得A、B两点的距离为
|AB|＝
＝.
即A、B两点之间的距离为
.
根据渐开线的定义和求解参数方程的过程可知其中的字母r是指基圆的半径，参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角．
当φ＝，时，求出渐开线上的对应点A，B，并求出A，B的距离．
【解】 将φ＝代入参数方程，得
把φ＝代入方程，得
∴A(－π，－1)，点B(，1)．
因此|AB|＝
＝2，
故点A、B间的距离为2.
圆的摆线的参数方程
已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．
【思路探究】 根据圆的摆线的参数方程(φ为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r的表达式，根据表达式求出r的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可．
【自主解答】 令y＝0，可得r(1－cos φ)＝0，由于r>0，即得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．
代入x＝r(φ－sin φ)，得x＝r(2kπ－sin 2kπ)．又因为x＝2，(1)将消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得
ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.
由解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为(，)，(2，)．所以r(2kπ－sin 2kπ)＝2，即得r＝(k∈Z)．
又由实际可知r>0，所以r＝(k∈N＋)．易知，当k＝1时，r取最大值为.
代入即可得圆的摆线的参数方程为
(φ为参数)
圆的渐开线的参数方程为(φ为参数)．
根据摆线的定义和求解参数方程的过程可知其中的参数φ是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度．
已知一个圆的摆线方程是，(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．
【解】 首先根据摆线的参数方程可知
圆的半径为4，所以面积为16π，
该圆对应的渐开线的参数方程是：
(φ为参数)．
(教材第42页习题2.4，第2题)
当φ＝，时，求出渐开线上的对应点A，B，并求出点A，B间的距离．
(2013·大连模拟)已知圆C的参数方程是(α为参数)和直线l对应的普通方程是x－y－6＝0.
(1)如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线有什么位置关系？
(2)写出平移后圆的渐开线方程．
【命题意图】 本题主要考查圆的参数方程和圆的渐开线的参数方程等基础知识，以及直线与圆的位置关系，考查考生的转化与化归能力．
【解】 (1)圆C平移后圆心为O(0,0)，它到直线x－y－6＝0的距离为d＝＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．
(2)由于圆的半径是6，所以可得渐开线方程是(φ为参数).
1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( )
A．只有圆才有渐开线
B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形
C．正方形也可以有渐开线
D．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同
【解析】 不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．故选C.
【答案】 C
2．当φ＝2π时，圆的渐开线上的点是( )
A．(6,0) B．(6,6π)
C．(6，－12π) D．(－π，12π)
【解析】 当φ＝2π时，代入圆的渐开线方程．
∴x＝6(cos 2π＋2π·sin 2π)＝6，
y＝6(sin 2π－2π·cos 2π)＝－12π.
【答案】 C
3．圆(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )
A．π B．3π
C．6π D．10π
【解析】 根据条件可知圆的平摆线的参数方程为(φ为参数)，把y＝0代入，得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．而x＝3φ－3sin φ＝6kπ(k∈Z)．
【答案】 C
4．半径为4的圆的渐开线的参数方程是________．
【解析】 由圆的渐开线的参数方程
得
【答案】 (φ为参数)
(时间40分钟，满分60分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知圆的渐开线的参数方程是(θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的周长是( )
A．π B．2π C．3π D．4π
【解析】 圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，所以基圆的周长为2π，故选B.
【答案】 B
2．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是惟一的交点．
其中正确的说法有( )
A．①③ B．②④ C．②③ D．①③④
【解析】 ①错，②正确，对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，故③正确，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．故④错误，故选C.
【答案】 C
3．已知一个圆的参数方程为(θ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝对应的点A与点B(，2)之间的距离为( )
A.－1 B.
C. D.
【解析】 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(φ为参数)，把φ＝代入参数方程中可得
即A(－3,3)，
∴|AB|＝＝.
【答案】 C
图2－4－1
4．如图2－4－1，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中、、、…的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是( )
A．3π B．4π
C．5π D．6π
【解析】 根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.
【答案】 C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知圆的方程为x2＋y2＝4，点P为其渐开线上一点，对应的参数φ＝，则点P的坐标为________．
【解析】 由题意，圆的半径r＝2，其渐开线的参数方程为
(φ为参数)．
当φ＝时，x＝π，y＝2，故点P的坐标为P(π，2)．
【答案】 (π，2)
6．渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的焦点坐标为________．
【解析】 根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r＝6，其方程为x2＋y2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为(x)2＋y2＝36，整理可得＋＝1，这是一个焦点在x轴上的椭圆．c＝＝＝6，故焦点坐标为(6，0)和(－6，0)．
【答案】 (6，0)和(－6，0)
三、解答题(每小题10分，共30分)
7．给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．
【解】 以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x轴，建立直角坐标系．又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是(φ为参数)．
以圆周上的某一定点为原点，以给定定直线所在的直线为x轴，建立直角坐标系，∴摆线的参数方程为(φ为参数)．
8．有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为22 mm，求齿廓线所在的渐开线的参数方程．
【解】 因为基圆的直径为22 mm，所以基圆的半径为11 mm，因此齿廓线所在的渐开线的参数方程为
(φ为参数)．
9．如图2－4－2，若点Q在半径AP上(或在半径AP的延长线上)，当车轮滚动时，点Q的轨迹称为变幅平摆线，取|AQ|＝或|AQ|＝，请推出Q的轨迹的参数方程．
图2－4－2
【解】 设Q(x，y)、P(x0，y0)，若A(rθ，r)，
则当|AQ|＝时，
有代入
∴点Q的轨迹的参数方程为(θ为参数)．
当AQ＝时，有
代入
∴点Q的轨迹方程为(θ为参数)．
教师备选
10．已知一个参数方程是如果把t当成参数，它表示的图形是直线l(设斜率存在)，如果把α当成参数(t>0)，它表示半径为t的圆．(1)请写出直线和圆的普通方程；(2)如果把圆平移到圆心在(0，t)，求出圆对应的摆线的参数方程．
【解】 (1)如果把t看成参数，可得直线的普通方程为：y－2＝tan α(x－2)，即y＝xtan α－2tan α＋2，
如果把α看成参数且t>0时，它表示半径为t的圆，其普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝t2.
(2)由于圆的圆心在(0，t)，圆的半径为t，所以对应的摆线的参数方程为(φ为参数).
课件28张PPT。线头 定圆 基圆 无滑动地 定点运动 平摆线 摆线 圆的渐开线的参数方程 圆的摆线的参数方程 课时作业（九）综合检测(二)
第二讲 参数方程
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2013·周口质检)下列点不在直线(t为参数)上的是( )
A．(－1,2) B．(2，－1)
C．(3，－2) D．(－3,2)
【解析】 直线l的普通方程为x＋y－1＝0，
因此点(－3,2)的坐标不适合方程x＋y－1＝0.
【答案】 D
2．圆的参数方程为，(θ为参数，0≤θ<2π)，若Q(－2,2)是圆上一点，则对应的参数θ的值是( )
A. B.π
C.π D.π
【解析】 ∵点Q(－2,2)在圆上，
∴且0≤θ<2π，
∴θ＝π.
【答案】 B
3．直线(t为参数)的斜率为( )
A．2 B．－2
C. D．－
【解析】 直线的普通方程为2x＋y－8＝0，
∴斜率k＝－2.
【答案】 B
4．已知O为原点，当θ＝－时，参数方程(θ为参数)上的点为A，则直线OA的倾斜角为( )
A. B.
C. D.
【解析】 当θ＝－时，x＝，y＝－，
∴kOA＝tan α＝＝－，且0≤α<π，
因此α＝π.
【答案】 C
5．已知A(4sin θ，6cos θ)，B(－4cos θ，6sin θ)，当θ为一切实数时，线段AB的中点轨迹为( )
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
【解析】 设线段AB的中点为M(x，y)，
则(θ为参数)，
∴
∴(3x＋2y)2＋(3x－2y)2＝144，
整理得＋＝1，表示椭圆．
【答案】 C
6．椭圆(θ为参数)的离心率是( )
A. B.
C. D.
【解析】 椭圆的标准方程为＋＝1，
∴e＝.故选A.
【答案】 A
7．点P(4,0)到曲线(t∈R)上的点的最短距离为( )
A．0 B．4
C．4 D．8
【解析】 将参数方程化为普通方程y2＝16x，则点P(4,0)是其焦点．根据抛物线定义，曲线上任一点到焦点的距离最小的点是顶点(0,0)，故最小距离为4.
【答案】 B
8．若直线(t为参数)与圆(φ为参数)相切，那么直线的倾斜角为( )
A.或 B.或
C.或 D．－或－
【解析】 直线的普通方程为y＝tan α·x，圆的普通方程为(x－4)2＋y2＝4，由于直线与圆相切，则＝2，即|sin α|＝.
∴tan α＝±，∴α＝或.故选A.
【答案】 A
9．若直线y＝x－b与曲线θ∈[0,2π)有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是( )
A．(2－，1)
B．[2－，2＋]
C．(－∞，2－)∪(2＋，＋∞)
D．(2－，2＋)
【解析】 由消去θ，得
(x－2)2＋y2＝1.(*)
将y＝x－b代入(*)，化简得
2x2－(4＋2b)x＋b2＋3＝0，
依题意， Δ＝[－(4＋2b)]2－4×2(b2＋3)>0.
解之得2－【答案】 D
10．实数x，y满足3x2＋2y2＝6x，则x2＋y2的最大值是( )
A．2 B．4
C. D．5
【解析】 由3x2＋2y2＝6x，得3(x－1)2＋2y2＝3，
令x＝1＋cos θ，y＝sin θ，代入x2＋y2，得
x2＋y2＝(1＋cos θ)2＋sin2θ＝－(cos θ－2)2＋
∴当cos θ＝1时，(x2＋y2)max＝4.
【答案】 B
11．(2013·新乡模拟)参数方程(θ为参数，0≤θ＜2π)所表示的曲线是( )
A．椭圆的一部分
B．双曲线的一部分
C．抛物线的一部分，且过点(－1，)
D．抛物线的一部分，且过点(1，)
【解析】 由y＝cos2(－)
＝＝，
可得sin θ＝2y－1，
由x＝ 得x2－1＝sin θ，
∴参数方程可化为普通方程x2＝2y.
又x＝∈[0，]，故选D.
【答案】 D
12．已知直线l：(t为参数)，抛物线C的方程y2＝2x，l与C交于P1，P2，则点A(0,2)到P1，P2两点距离之和是( )
A．4＋ B．2(2＋)
C．4(2＋) D．8＋
【解析】 将直线l参数方程化为(t′为参数)，代入y2＝2x，得t′2＋4(2＋)t′＋16＝0，设其两根为t1′、t2′，则t1′＋t2′＝－4(2＋)，
t1′t2′＝16>0.
由此知在l上两点P1，P2都在A(0,2)的下方，则|AP1|＋|AP2|＝|t1′|＋|t2′|＝|t1′＋t2′|＝4(2＋)．
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．双曲线(φ是参数)的渐近线方程为________．
【解析】 化参数方程为普通方程，得y2－x2＝1.故其渐近线为y＝±x，即x±y＝0.
【答案】 x±y＝0
14．直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：，(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．
【解析】 消参数θ得曲线C1的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝1，将ρ＝1化为直角坐标方程为x2＋y2＝1，两圆的圆心距为5，故|AB|的最小值为5－1－1＝3.
【答案】 3
15．(2013·焦作调研)直线(t为参数，且0≤α≤π)，与圆(φ为参数)相切，则此直线的倾斜角α＝________.
【解析】
将参数方程化为普通方程，直线y＝x·tan α，
圆(x－4)2＋y2＝4，如右图所示，
sin α＝＝，则α＝或.
【答案】 或
16．(2013·湖北高考)在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(φ为参数，a>b>0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin(θ＋)＝m(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________．
【解析】 由已知可得椭圆标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由ρsin(θ＋)＝m可得ρsin θ＋ρcos θ＝m，即直线的普通方程为x＋y＝m.又圆的普通方程为x2＋y2＝b2，不妨设直线l经过椭圆C的右焦点(c,0)，则得c＝m.又因为直线l与圆O相切，所以＝b，因此c＝b，即c2＝2(a2－c2)．整理，得＝，故椭圆C的离心率为e＝.
【答案】
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知圆O的参数方程为(θ为参数，0≤θ<2π)．
(1)求圆心和半径；
(2)若圆O上点M对应的参数θ＝，求点M的坐标．
【解】 (1)由(0≤θ<2π)，
平方得x2＋y2＝4，
∴圆心O(0,0)，半径r＝2.
(2)当θ＝π时，x＝2cos θ＝1，y＝2sin θ＝－.
∴点M的坐标为(1，－)．
18．(本小题满分12分)已知曲线C：(φ为参数)．
(1)将C的方程化为普通方程；
(2)若点P(x，y)是曲线C上的动点，求2x＋y的取值范围．
【解】 (1)由C：得
∴()2＋()2＝1即＋＝1.
(2)2x＋y＝8cos φ＋3sin φ＝sin(φ＋θ)，(θ由tan θ＝确定)．
∴2x＋y∈[－，]．
∴2x＋y的取值范围是[－，]．
19．(本小题满分12分)已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长．
【解】 (1)由曲线C：得x2＋y2＝16.
∴曲线C的普通方程为x2＋y2＝16.
(2)将代入x2＋y2＝16，
整理，得t2＋3t－9＝0.
设A，B对应的参数为t1，t2，则
t1＋t2＝－3，t1t2＝－9.
|AB|＝|t1－t2|＝＝3.
20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，曲线C2的参数方程为(a＞b＞0，φ为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝时，这两个交点重合．
(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
(2)设当α＝时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α＝－时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2 B1的面积．
【解】 (1)C1是圆，C2是椭圆．
当α＝0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1,0)(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a＝3.
当α＝时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b＝1.
(2)C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和＋y2＝1.
当α＝时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝，与C2交点B1的横坐标为x′＝.
当α＝－时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形．
故四边形A1A2B2B1的面积为
＝.
21．(本小题满分12分)(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知动点P、Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．
(1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
【解】 (1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，
因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．
M的轨迹的参数方程为(α为参数，0＜α＜2π)．
(2)M点到坐标原点的距离
d＝＝(0＜α＜2π)．
当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．
22．(本小题满分12分)已知直线l的参数方程为(t为参数，α为倾斜角，且α≠)与曲线＋＝1交于A，B两点．
(1)写出直线l的一般方程及直线l通过的定点P的坐标；
(2)求|PA|·|PB|的最大值．
【解】 (1)∵，(t为参数，α为倾斜角，且α≠)，
∴＝＝tan α，
∴直线l的普通方程为xtan α－y－2tan α＝0.
直线l通过的定点P的坐标为(2,0)．
(2)∵l的参数方程为椭圆的方程为＋＝1，右焦点坐标为P(2,0)，
∴3(2＋tcos α)2＋4(tsin α)2－48＝0，
即(3＋sin2α)t2＋12cos α·t－36＝0.
∵直线l过椭圆的右焦点，
∴直线l恒与椭圆有两个交点，
∴t1·t2＝，
由直线参数方程t的几何意义，
∴|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝，
∵0≤α<π，且α≠，则0≤sin2α<1，
因此|PA|·|PB|的最大值为12.
(时间40分钟，满分60分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．参数方程(t为参数)的曲线必过点( )
A．(1,2) B．(－2,1)
C．(2,3) D．(0,1)
【解析】 代入检验知曲线经过点(2,3)．
【答案】 C
2．已知O为原点，参数方程(θ为参数)上的任意一点为A，则OA＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 OA＝＝＝1，故选A.
【答案】 A
3．圆的圆心坐标是( )
A．(0,2) B．(2,0)
C．(0，－2) D．(－2,0)
【解析】 ∵x＝2cos θ，y－2＝2sin θ，∴x2＋(y－2)2＝4，
∴圆心坐标是(0,2)，故选A.
【答案】 A
4．圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为( )
A.(0≤θ<2π)
B.(0≤θ<2π)
C.(0≤θ<π)
D.(0≤θ<2π)
【解析】 圆心在点C(a，b)，半径为r的圆的参数方程为(θ∈[0,2π))．故圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为(0≤θ<2π)．
【答案】 D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若点(－3，－3)在参数方程(θ为参数)的曲线上，则θ＝________.
【解析】 将点(－3，－3)的坐标代入参数方程
(θ为参数)得
解得θ＝＋2kπ，k∈Z.
【答案】 ＋2kπ，k∈Z
6．(2013·陕西高考)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为________．
图2－1－3
【解析】 将x2＋y2－x＝0配方，得(x－)2＋y2＝，∴圆的直径为1.设P(x，y)，则x＝|OP|cos θ＝1×cos θ×cos θ＝cos2θ，
y＝|OP|sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ，
∴圆x2＋y2－x＝0的参数方程为
(θ为参数)．
【答案】 (θ为参数)
三、解答题(每小题10分，共30分)
7．已知曲线C的参数方程是(θ为参数，0≤θ<2π)，试判断点A(1,3)，B(0，)是否在曲线C上．
【解】 将A(1,3)的坐标代入
得即
由0≤θ<2π得θ＝π.
将B(0，)的坐标代入
得即这样的角θ不存在．
所以点A在曲线C上，点B不在曲线C上．
8．已知圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos(θ－)＋6＝0.
(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；
(2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．
【解】 (1)由ρ2－4ρcos(θ－)＋6＝0得
ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，
即x2＋y2－4x－4y＋6＝0为所求，
由圆的标准方程(x－2)2＋(y－2)2＝2，
令x－2＝cos α，y－2＝sin α，
得圆的参数方程为(α为参数)．
(2)由(1)知，
x＋y＝4＋(cos α＋sin α)
＝4＋2sin(α＋)，
又－1≤sin(α＋)≤1.
故x＋y的最大值为6，最小值为2.
9．已知圆系方程为x2＋y2－2axcos φ－2aysin φ＝0(a>0，且为已知常数，φ为参数)
(1)求圆心的轨迹方程；
(2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值．
【解】 (1)由已知圆的标准方程为：
(x－acos φ)2＋(y－asin φ)2＝a2(a>0)．
设圆心坐标为(x，y)，
则(φ为参数)，
消参数得圆心的轨迹方程为x2＋y2＝a2.
(2)由方程
得公共弦的方程：2axcos φ＋2aysin φ＝a2，即xcos φ＋y sin φ－＝0，
圆x2＋y2＝a2的圆心到公共弦的距离d＝为定值．
∴弦长l＝2＝a(定值)．
教师备选
10．已知矩形ABCD的顶点C(4,4)，点A在圆O：x2＋y2＝9(x≥0，y≥0)上移动，且AB，AD两边始终分别平行于x轴、y轴．求矩形ABCD面积S的最小值与最大值，以及相应的点A的坐标．
【解】 由于点A在圆O：x2＋y2＝9(x≥0，y≥0)上移动，
所以设点A(3cos θ，3sin θ)，且θ∈[0，]．
S＝|AB|·|AD|
＝(4－3cos θ)·(4－3sin θ)
＝16－12(sin θ＋cos θ)＋9sin θ·cos θ.
令t＝sin θ＋cos θ＝sin(θ＋)，
则sin θ·cos θ＝，且t∈[1，]．
∴S＝t2－12t＋
＝(t－)2＋(1≤t≤)．
∴当t＝sin θ＋cos θ＝时，Smin＝，
此时sin θ·cos θ＝，
所以sin θ、cos θ是方程z2－z＋＝0，
即18z2－24z＋7＝0的两根，
解得z＝±.
∴
或
当t＝sin θ＋cos θ＝1时，Smax＝4，
此时sin θ·cos θ＝0，
所以sin θ＝0，cos θ＝1
或sin θ＝1，cos θ＝0.
∴或
综上所述，Smin＝，此时点A的坐标为(2＋，2－)或(2－，2＋)；Smax＝4，此时点A的坐标为(3,0)或(0,3)．
(时间40分钟，满分60分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．曲线(θ为参数)的方程等价于( )
A．x＝ B．y＝
C．y＝± D．x2＋y2＝1
【解析】 由x＝|sin θ|得0≤x≤1；由y＝cos θ得－1≤y≤1.故选A.
【答案】 A
2．参数方程(0≤t≤5)表示的曲线是( )
A．线段 B．双曲线的一支
C．圆弧 D．射线
【解析】 消去t，得x－3y－5＝0.
∵0≤t≤5，
∴－1≤y≤24.
【答案】 A
3．能化为普通方程x2＋y－1＝0的参数方程为( )
A. B.
C. D.
【解析】 由x2＋y－1＝0，知x∈R，y≤1.
排除A、C、D，只有B符合．
【答案】 B
4．若x，y满足x2＋y2＝1，则x＋y的最大值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 由于圆x2＋y2＝1的参数方程为(θ为参数)，则x＋y＝sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋)，
故x＋y的最大值为2.故选B.
【答案】 B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．曲线(θ为参数)上的点到原点的最大距离为________．
【解析】 设M(x，y)是曲线上任意一点，
∴|OM|＝
＝
＝(φ由tan φ＝－确定)
当sin(θ＋φ)＝1时，|OM|取最大值6.
【答案】 6
6．(2013·重庆高考)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________.
【解析】 由ρcos θ＝4，知x＝4.
又∴x3＝y2(x≥0)．
由得或
∴|AB|＝＝16.
【答案】 16
三、解答题(每小题10分，共30分)
7．已知曲线C的参数方程为(t为参数，t>0)．求曲线C的普通方程．
【解】 由x＝－两边平方得x2＝t＋－2，
又y＝3(t＋)，则t＋＝(y≥6)．
代入x2＝t＋－2，得x2＝－2.
∴3x2－y＋6＝0(y≥6)．
故曲线C的普通方程为3x2－y＋6＝0(y≥6)．
8．已知P(x，y)是圆x2＋y2－2y＝0上的动点．
(1)求2x＋y的取值范围；
(2)若x＋y＋c≥0恒成立，求实数c的取值范围．
【解】 方程x2＋y2－2y＝0变形为x2＋(y－1)2＝1.
其参数方程为(θ为参数)．
(1)2x＋y＝2cos θ＋sin θ＋1＝sin(θ＋φ)＋1(其中φ由sin φ＝，cos φ＝确定)．
∴1－≤2x＋y≤1＋.
(2)若x＋y＋c≥0恒成立，即c≥－(cos θ＋sin θ＋1)对一切θ∈R恒成立．
∵－(cos θ＋sin θ＋1)的最大值是－1.
∴当且仅当c≥－1时，x＋y＋c≥0恒成立．
9．(2012·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，(，)，圆C的参数方程为(θ为参数)．
①设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
②判断直线l与圆C的位置关系．
【解】 ①由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，)．又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为(1，)，故直线OP的平面直角坐标方程为y＝x.
②因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，)，
所以直线l的平面直角坐标方程为x＋y－2＝0.
又圆C的圆心坐标为(2，－)，半径为r＝2，
圆心到直线l的距离d＝＝教师备选
10．已知某条曲线C的参数方程为(其中t是参数，a∈R)，点M(5,4)在该曲线上．
(1)求常数a；
(2)求曲线C的普通方程．
【解】 (1)由题意，可知故所以a＝1.
(2)由已知及(1)可得，曲线C的方程为由第一个方程，得t＝，代入第二个方程，得y＝()2，即(x－1)2＝4y为所求．
(时间40分钟，满分60分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．曲线C：，(φ为参数)的离心率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 由题设，得＋＝1，
∴a2＝9，b2＝5，c2＝4，
因此e＝＝.
【答案】 A
2．参数方程，(α为参数)的普通方程是( )
A．y2－x2＝1
B．x2－y2＝1
C．y2－x2＝1(1≤y≤)
D．y2－x2＝1(|x|≤)
【解析】 因为x2＝1＋sin α，所以sin α＝x2－1.
又因为y2＝2＋sin α＝2＋(x2－1)，
所以y2－x2＝1.
∵－1≤sin α≤1，y＝，
∴1≤y≤.
∴普通方程为y2－x2＝1，y∈[1，]．
【答案】 C
3．点P(1,0)到曲线(参数t∈R)上的点的最短距离为( )
A．0 B．1
C. D．2
【解析】 d2＝(x－1)2＋y2＝(t2－1)2＋4t2＝(t2＋1)2，
由t2≥0得d2≥1，故dmin＝1.
【答案】 B
4．已知曲线，(θ为参数，0≤θ≤π)上的一点P，原点为O，直线PO的倾斜角为，则P点的坐标是( )
A．(3,4) B．(，2)
C．(－3，－4) D．(，)
【解析】 由题意知，3cos θ＝4sin θ，
∴tan θ＝，又0≤θ≤π，则sin θ＝，cos θ＝，
∴x＝3×cos θ＝3×＝，
y＝4sin θ＝4×＝，
因此点P的坐标为(，)．
【答案】 D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为________．
【解析】 由
得点M的坐标为(1,2)．
直线OM的斜率k＝＝2.
【答案】 2
6．(2013·江西高考)设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．
【解析】 化为普通方程为y＝x2，由于ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，所以化为极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos2θ，即ρcos2θ－sin θ＝0.
【答案】 ρcos2θ－sin θ＝0
三、解答题(每小题10分，共30分)
7．(2013·平顶山质检)如图2－2－3所示，连接原点O和抛物线y＝x2上的动点M，延长OM到点P，使|OM|＝|MP|，求P点的轨迹方程，并说明是什么曲线？
图2－2－3
【解】 抛物线标准方程为x2＝2y，其参数方程为得M(2t,2t2)．
设P(x，y)，则M是OP中点．
∴
∴(t为参数)，
消去t得y＝x2，是以y轴对称轴，焦点为(0,1)的抛物线．
8．(2012·龙岩模拟)已知直线l的极坐标方程是ρcos θ＋ρsin θ－1＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，椭圆C的参数方程是(θ为参数)，求直线l和椭圆C相交所成弦的弦长．
【解】 由题意知直线和椭圆方程可化为：
x＋y－1＝0， ①
＋y2＝1， ②
①②联立，消去y得：5x2－8x＝0，
解得x1＝0，x2＝.
设直线与椭圆交于A、B两点，
则A、B两点直角坐标分别为(0,1)，(，－)，
则|AB|＝＝.
故所求的弦长为.
9．(2013·漯河调研)在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)．
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为(4，)，判断点P与直线l的位置关系；
(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
【解】 (1)把极坐标系下的点P(4，)化为直角坐标，得点(0,4)．因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．
(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cos α，sin α)，从而点Q到直线l的距离为
d＝
＝
＝cos(α＋)＋2，由此得，当cos(α＋)＝－1时，d取得最小值，且最小值为.
教师备选
10．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，已知点P(0，)到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标．
【解】 设椭圆的参数方程是，其中，a>b>0,0≤θ<2π.
由e2＝＝＝1－()2可得＝＝即a＝2b.
设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d，
则d2＝x2＋(y－)2＝a2cos2θ＋(bsin θ－)2
＝a2－(a2－b2)sin2θ－3bsin θ＋
＝4b2－3b2sin2θ－3bsin θ＋
＝－3b2(sin θ＋)2＋4b2＋3，
如果>1即b<，即当sin θ＝－1时，d2有最大值，由题设得()2＝(b＋)2，由此得b＝－>，与b<矛盾．
因此必有≤1成立，
于是当sin θ＝－时，d2有最大值，
由题设得()2＝4b2＋3，
由此可得b＝1，a＝2.
所求椭圆的参数方程是
由sin θ＝－，cos θ＝±可得，椭圆上的点(－，－)，点(，－)到点P的距离都是.
(时间40分钟，满分60分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列可以作为直线2x－y＋1＝0的参数方程的是( )
A.(t为参数)
B.(t为参数)
C.(t为参数)
D.(t为参数)
【解析】 题目所给的直线的斜率为2，选项A中直线斜率为1，选项D中直线斜率为，所以可排除选项A、D.而选项B中直线的普通方程为2x－y＋3＝0，故选C.
【答案】 C
2．(2013·许昌模拟)极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是( )
A．直线、直线 B．直线、圆
C．圆、圆 D．圆、直线
【解析】 ∵ρ＝cos θ，∴ρ2＝ρcos θ，
即x2＋y2＝x，即(x－)2＋y2＝，
∴ρ＝cos θ所表示的图形是圆．
由(t为参数)消参得：x＋y＝1，表示直线．
【答案】 D
3．原点到直线(t为参数)的距离为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 消去t，得3x－4y－15＝0，
∴原点到直线3x－4y－15＝0的距离
d＝＝3.
【答案】 C
4．直线，(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A、B两点，则AB的中点坐标为( )
A．(3，－3) B．(－，3)
C．(，－3) D．(3，－)
【解析】 将x＝1＋，y＝－3＋t代入圆方程，
得(1＋)2＋(－3＋t)2＝16，
∴t2－8t＋12＝0，则t1＝2，t2＝6，
因此AB的中点M对应参数t＝＝4，
∴x＝1＋×4＝3，y＝－3＋×4＝－，
故AB中点M的坐标为(3，－)．
【答案】 D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2013·湖南高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．
【解析】 直线l：消去参数t后得y＝x－a.
椭圆C：消去参数φ后得＋＝1.
又椭圆C的右顶点为(3,0)，代入y＝x－a得a＝3.
【答案】 3
6．(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(θ为参数，0≤θ≤)和(t为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．
【解析】 曲线C1和C2的普通方程分别为
(0≤x≤，0≤y≤)
联立①②解得
∴C1与C2的交点坐标为(2,1)．
【答案】 (2,1)
三、解答题(每小题10分，共30分)
7．化直线l的参数方程，(t为参数)为普通方程，并求倾斜角，说明|t|的几何意义．
【解】 由消去参数t，得
直线l的普通方程为x－y＋3＋1＝0.
故k＝＝tan α，即α＝.
因此直线l的倾斜角为.
又得(x＋3)2＋(y－1)2＝4t2，
∴|t|＝.
故|t|是t对应点M到定点M0(－3,1)的向量的模的一半．
8．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长．
【解】 由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ.
∴直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，
即(x－2)2＋y2＝4.
直线l的参数方程(t为参数)
化为普通方程为x－y－1＝0.
曲线C的圆心(2,0)到直线l的距离为＝，
所以直线l与曲线C相交所成的弦的弦长为2 ＝.
9．(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．
【解】 因为直线l的参数方程为(t为参数)，由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.
同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.
联立方程组解得公共点的坐标为(2,2)，(，－1)．
教师备选
10．(2012·沈阳模拟)已知直线l的参数方程为，(t为参数)，曲线C的极坐标方程是ρ＝，以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点M(－1,0)，直线l与曲线C交于A、B两点．
(1)求直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；
(2)线段MA，MB长度分别记为|MA|，|MB|，求|MA|·|MB|的值．
【解】 (1)直线l：，(t为参数)的直角坐标方程为x－y＋1＝0，所以极坐标方程为ρcos(θ＋)＝－1，
曲线C：ρ＝即(ρcos θ)2＝ρsin θ，
所以曲线的普通方程为y＝x2.
(2)将，(t为参数)
代入y＝x2得t2－3t＋2＝0，
∴t1t2＝2，∴|MA|·|MB|＝|t1t2|＝2
(时间40分钟，满分60分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知圆的渐开线的参数方程是(θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的周长是( )
A．π B．2π
C．3π D．4π
【解析】 圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，所以基圆的周长为2π，故选B.
【答案】 B
2．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是惟一的交点．
其中正确的说法有( )
A．①③ B．②④
C．②③ D．①③④
【解析】 ①错，②正确，对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，故③正确，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．故④错误，故选C.
【答案】 C
3．已知一个圆的参数方程为(θ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝对应的点A与点B(，2)之间的距离为( )
A.－1 B.
C. D.
【解析】 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(φ为参数)，把φ＝代入参数方程中可得
即A(－3,3)，
∴|AB|＝＝.
【答案】 C
图2－4－1
4．如图2－4－1，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中、、、…的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是( )
A．3π B．4π
C．5π D．6π
【解析】 根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.
【答案】 C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知圆的方程为x2＋y2＝4，点P为其渐开线上一点，对应的参数φ＝，则点P的坐标为________．
【解析】 由题意，圆的半径r＝2，其渐开线的参数方程为
(φ为参数)．
当φ＝时，x＝π，y＝2，故点P的坐标为P(π，2)．
【答案】 (π，2)
6．渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的焦点坐标为________．
【解析】 根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r＝6，其方程为x2＋y2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为(x)2＋y2＝36，整理可得＋＝1，这是一个焦点在x轴上的椭圆．c＝＝＝6，故焦点坐标为(6，0)和(－6，0)．
【答案】 (6，0)和(－6，0)
三、解答题(每小题10分，共30分)
7．给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．
【解】 以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x轴，建立直角坐标系．又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是(φ为参数)．
以圆周上的某一定点为原点，以给定定直线所在的直线为x轴，建立直角坐标系，∴摆线的参数方程为(φ为参数)．
8．有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为22 mm，求齿廓线所在的渐开线的参数方程．
【解】 因为基圆的直径为22 mm，所以基圆的半径为11 mm，因此齿廓线所在的渐开线的参数方程为
(φ为参数)．
9．如图2－4－2，若点Q在半径AP上(或在半径AP的延长线上)，当车轮滚动时，点Q的轨迹称为变幅平摆线，取|AQ|＝或|AQ|＝，请推出Q的轨迹的参数方程．
图2－4－2
【解】 设Q(x，y)、P(x0，y0)，若A(rθ，r)，
则当|AQ|＝时，
有代入
∴点Q的轨迹的参数方程为(θ为参数)．
当AQ＝时，有
代入
∴点Q的轨迹方程为(θ为参数)．
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10．已知一个参数方程是如果把t当成参数，它表示的图形是直线l(设斜率存在)，如果把α当成参数(t>0)，它表示半径为t的圆．(1)请写出直线和圆的普通方程；(2)如果把圆平移到圆心在(0，t)，求出圆对应的摆线的参数方程．
【解】 (1)如果把t看成参数，可得直线的普通方程为：y－2＝tan α(x－2)，即y＝xtan α－2tan α＋2，
如果把α看成参数且t>0时，它表示半径为t的圆，其普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝t2.
(2)由于圆的圆心在(0，t)，圆的半径为t，所以对应的摆线的参数方程为(φ为参数).
