安徽省滁州市定远重点中学2023届高中毕业生5月调研考试数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 安徽省滁州市定远重点中学2023届高中毕业生5月调研考试数学试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 734.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-05-24 12:40:50 | ||
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文档简介
2023届高中毕业生5月调研考试数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合，集合，则
A. B.
C. D.
2. 设复数满足，则的虚部是( )
A. B. C. D.
3. 已知，则( )
A. B. C. D.
4. 正六边形中，用和表示，则( )
A. B. C. D.
5. 记为等差数列的前项和．若，，则数列的公差为( )
A. B. C. D.
6. 设抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上位于第一象限内的一点，过作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为，则( )
A. B. C. D.
7. 如图，洛书是一种关于天地空间变化脉络的图案，年正式入选国家级非物质文化遗产名录，其数字结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，形成图中的九宫格．将自然数，，，，放置在行列的正方形图表中，使其每行、每列、每条对角线上的数字之和简称“幻和”均相等，具有这种性质的图表称为“阶幻方”洛书就是一个阶幻方，其“幻和”为则阶幻方的“幻和”为
A. B. C. D.
8. 已知函数，直线，点在函数图像上，则以下说法正确的是( )
A. 若直线是曲线的切线，则
B. 若直线与曲线无公共点，则
C. 若，则点到直线的最短距离为
D. 若，当点到直线的距离最短时，
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、然料电池电动汽车、氢发动机汽车等我国的新能源汽车发展开始于世纪初，近年来发展迅速，连续年产销量位居世界第一下面两图分别是年至年我国新能源汽车年产量和占比占我国汽车年总产量的比例情况，则( )
A. 年我国新能源汽车年产量逐年增加
B. 年我国新能源汽车年产量的极差为万辆
C. 年我国汽车年总产量超过万辆
D. 年我国汽车年总产量低于年我国汽车年总产量
10. 椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率的可能取值有( )
A. B. C. D.
11. 已知函数，则函数的图象不可能是( )
A. B.
C. D.
12. 三棱锥中，，，，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，则下列说法中正确的有( )
A. 三棱锥体积的最小值为
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 直线与平面所成的角取到最小值时，二面角的平面角为锐角
D. 直线与平面所成的角取到最小值时，二面角的平面角为钝角
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知的展开式中各项的系数之和为，记展开式中的系数为，则 ．
14. 在日常生活中，石子是我们经常见到的材料，比如在各种建筑工地或者建材市场上常常能看到堆积如山的石子，它的主要成分是碳酸钙．某雕刻师计划在底面边长为，高为的正四棱柱形的石料中，雕出一个四棱锥和球的组合体，其中为正四棱柱的中心，当球的半径取最大值时，该雕刻师需去除的石料约重 其中，，石料的密度，质量
15. 直线和与轴围成的三角形是等腰三角形，写出满足条件的的两个可能取值： 和
16. 在同一平面直角坐标系中，，分别是函数和图象上的动点，若对任意，有恒成立，则实数的最大值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
记为数列的前项和．已知．
证明：是等差数列；
若成等比数列，求的最小值．
18. 本小题分
设的内角，，所对的边分别为，，，且有．
求角
若边上的高，求C.
19. 本小题分
如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，，分别为，的中点．
求证：平面
再从条件、条件中选择一个作为已知条件，求直线与平面所成角的正弦值．
条件
条件．
20. 本小题分
中学阶段，数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图象中，还体现在概率问题中例如，甲乙两人进行比赛，若甲每场比赛获胜概率均为，且每场比赛结果相互独立，则由对称性可知，在场比赛后，甲获胜次数不低于场的概率为现甲乙两人分别进行独立重复试验，每人抛掷一枚质地均匀的硬币．
若两人各抛掷次，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率
若甲抛掷次，乙抛掷次，，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率．
21. 本小题分
已知双曲线的离心率为，过点的直线与左右两支分别交于，两个不同的点异于顶点．
若点为线段的中点，求直线与直线斜率之积为坐标原点
若，为双曲线的左右顶点，且，试判断直线与直线的交点是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由．
22. 本小题分
已知函数．
试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数；
若为自然数，则当取哪些值时，方程在上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数的取值范围．
答案和解析
1.
【解析】，，故选C．
2.
【解析】由，得，
则复数的虚部为．
3.
【解析】
，故选：．
4.
【解析】设边长为，有，，
则
，选：
5.
【解析】设等差数列的公差为，
为等差数列的前项和，，，
解得，，
数列的公差为．
故选C．
6.
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的基本性质，属于基础题．
【解答】
解：依题意，，，，又，
，则为等边三角形，有，
故选：．
7.
【解析】由题意，阶幻方的幻和可以表示为，由类比推理，猜想阶幻方的幻和为．故选C．
8.
【解析】对于，因为，，
当直线是曲线的切线时，由得：，这时切点为，
因为切点在直线上，所以，，可见A错误；
对于，由，得：，
令，因为，
当时，，函数递增，
当时，，函数递减，
所以，
又当和时，都有，
可见当时，方程无解，直线曲线无公共点，B错误；
对于，由选项的判断可知，当时，，
直线：，与平行的切线的切点为，
它到直线的距离，
所以点到直线的最短距离为，C错误；
对于，由选项C的判断知，若，当点为时，点到直线的距离最短时，D正确．
9.
【解析】年的产量是万辆，年的产量是万辆，，故A错；
万辆，对；
万辆万辆，对；
年的总产量为万辆年的总产量为万辆，，对；故选BCD．
10.
【解析】圆的方程化为标准方程：，
当上顶点为，焦点为或，则或，
当焦点为，右顶点为，则，
故选：．
11.
【解析】因为，，
对于、且极大值点为，则，，故，在上递减，矛盾，故A错误；
对于、，则，当时，由，得，
易知可以有两个不同的极值点，且时，，有可能；
对于、，则，可知当，且时，，故C错误；
对于，，则，可知当，且时，，故D错误．
故本题选ACD．
12.
【解析】作平面，则．
设，，，
．
又有，，圆心，半径，
所以，则，
，A正确，B错误；
由
当最小时，有在外部，如图，此时，二面角为锐角，为钝角，D正确．
故选：．
13.
【解析】依题意，令，则有，则，
故的展开式的通项公式，
令，解得，故，即得．
14.
【解析】依题意知，正四棱柱的体积
四棱锥的底面为正方形，高，所以其体积
球的半径最大为，此时其体积
故该雕刻师需去除的石料的体积
又，
所以该雕刻师需去除的石料的质量为
故答案为．
15.答案不唯一
答案不唯一
【解析】根据等腰三角形对应的斜率关系可以直接令；
，根据腰长相等可得．
16.
【解析】
【分析】
本题考查两曲线上动点间的距离的最值问题，为难题．
【解答】
解：恒成立，可得：，
当且仅当时取，
如下图，的最小值点在上运动，
，
设，易得在上递减，
，使得，即．
在上递增在上递减，时，．
则问题可转化为求图象上的点到距离的最小值．
令．
与切于且与平行，，
为到的距离，，．
17.解：因为，即，
当时，，
得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
由可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时．
18.解：由，
则，
有，即，
又，所以．
由，则，所以
有，则，
又，则．
19.解：证明：取中点，连接D、，
在三棱柱中，，，
因为，，分别为，，的中点，
所以，，，，
所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面；
选条件
因为侧面为正方形，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面 ，又平面，
所以，
由得，又因为，所以，
因为，D、平面，
所以平面，又平面，
所以，
在三棱柱中，，，两两垂直，
故以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，
因为，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量，
由，，得
令，得，，则，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
选条件
因为侧面为正方形，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面 ，又平面，
所以，
取中点，连接，，
因为，，分别为，，的中点，，
所以，，
因为，所以，则，
又因为，所以，
在和中，，，，
所以，
所以，即，
所以，
在三棱柱中，，，两两垂直，
故以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，
因为，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量，
由，，得，令，得，，则，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
20.解：设甲正面朝上次数等于乙正面朝上次数的概率，
由对称性可知则甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率和甲正面朝上次数小于乙正面朝
上次数的概率相等，故．
可以先考虑甲乙各抛赛次的情形，
如果出现甲正面朝上次数等于乙正面朝上次数，将该情形概率设为，则第次甲必须
再抛掷出正面朝上，才能使得最终甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数
如果出现甲正面朝上次数小于乙正面朝上次数，则第次无论结果如何，甲正面朝上次
数仍然不大于乙正面朝上次数，将该情形概率设为
如果出现甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数，则第次无论结果如何，甲正面朝上次
数仍然大于乙正面朝上次数，将该情形概率设为，由对称性可知
故，而由
可得．
21.解：由题意得 ，所以 ，
设 ， ， ，则
作差得
又 的斜率 ， ，
所以 ；
，
设直线的方程为 ，， ， ，
联立 得 ，
所以 ，所以
设直线 ，
所以 ，
所以．
故直线 与直线 的交点 在定直线上
22.解：由 ，得 ，
令 ，解得 或 ，
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
所以函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
又函数 在 上为单调函数，所以 ；
由得函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
， ，
函数 的图像如图所示，
方程 在 上有三个不相等的实数根，
即函数 在 上有三个不同的交点，
又 ，又图像可知，当 或 时，至多有两个交点，不成立，
所以 ， ，
又 ， ，
所以若方程 在 上有三个不相等的实数根，则 ，即
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第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合，集合，则
A. B.
C. D.
2. 设复数满足，则的虚部是( )
A. B. C. D.
3. 已知，则( )
A. B. C. D.
4. 正六边形中，用和表示，则( )
A. B. C. D.
5. 记为等差数列的前项和．若，，则数列的公差为( )
A. B. C. D.
6. 设抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上位于第一象限内的一点，过作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为，则( )
A. B. C. D.
7. 如图，洛书是一种关于天地空间变化脉络的图案，年正式入选国家级非物质文化遗产名录，其数字结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，形成图中的九宫格．将自然数，，，，放置在行列的正方形图表中，使其每行、每列、每条对角线上的数字之和简称“幻和”均相等，具有这种性质的图表称为“阶幻方”洛书就是一个阶幻方，其“幻和”为则阶幻方的“幻和”为
A. B. C. D.
8. 已知函数，直线，点在函数图像上，则以下说法正确的是( )
A. 若直线是曲线的切线，则
B. 若直线与曲线无公共点，则
C. 若，则点到直线的最短距离为
D. 若，当点到直线的距离最短时，
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、然料电池电动汽车、氢发动机汽车等我国的新能源汽车发展开始于世纪初，近年来发展迅速，连续年产销量位居世界第一下面两图分别是年至年我国新能源汽车年产量和占比占我国汽车年总产量的比例情况，则( )
A. 年我国新能源汽车年产量逐年增加
B. 年我国新能源汽车年产量的极差为万辆
C. 年我国汽车年总产量超过万辆
D. 年我国汽车年总产量低于年我国汽车年总产量
10. 椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率的可能取值有( )
A. B. C. D.
11. 已知函数，则函数的图象不可能是( )
A. B.
C. D.
12. 三棱锥中，，，，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，则下列说法中正确的有( )
A. 三棱锥体积的最小值为
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 直线与平面所成的角取到最小值时，二面角的平面角为锐角
D. 直线与平面所成的角取到最小值时，二面角的平面角为钝角
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知的展开式中各项的系数之和为，记展开式中的系数为，则 ．
14. 在日常生活中，石子是我们经常见到的材料，比如在各种建筑工地或者建材市场上常常能看到堆积如山的石子，它的主要成分是碳酸钙．某雕刻师计划在底面边长为，高为的正四棱柱形的石料中，雕出一个四棱锥和球的组合体，其中为正四棱柱的中心，当球的半径取最大值时，该雕刻师需去除的石料约重 其中，，石料的密度，质量
15. 直线和与轴围成的三角形是等腰三角形，写出满足条件的的两个可能取值： 和
16. 在同一平面直角坐标系中，，分别是函数和图象上的动点，若对任意，有恒成立，则实数的最大值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
记为数列的前项和．已知．
证明：是等差数列；
若成等比数列，求的最小值．
18. 本小题分
设的内角，，所对的边分别为，，，且有．
求角
若边上的高，求C.
19. 本小题分
如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，，分别为，的中点．
求证：平面
再从条件、条件中选择一个作为已知条件，求直线与平面所成角的正弦值．
条件
条件．
20. 本小题分
中学阶段，数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图象中，还体现在概率问题中例如，甲乙两人进行比赛，若甲每场比赛获胜概率均为，且每场比赛结果相互独立，则由对称性可知，在场比赛后，甲获胜次数不低于场的概率为现甲乙两人分别进行独立重复试验，每人抛掷一枚质地均匀的硬币．
若两人各抛掷次，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率
若甲抛掷次，乙抛掷次，，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率．
21. 本小题分
已知双曲线的离心率为，过点的直线与左右两支分别交于，两个不同的点异于顶点．
若点为线段的中点，求直线与直线斜率之积为坐标原点
若，为双曲线的左右顶点，且，试判断直线与直线的交点是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由．
22. 本小题分
已知函数．
试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数；
若为自然数，则当取哪些值时，方程在上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数的取值范围．
答案和解析
1.
【解析】，，故选C．
2.
【解析】由，得，
则复数的虚部为．
3.
【解析】
，故选：．
4.
【解析】设边长为，有，，
则
，选：
5.
【解析】设等差数列的公差为，
为等差数列的前项和，，，
解得，，
数列的公差为．
故选C．
6.
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的基本性质，属于基础题．
【解答】
解：依题意，，，，又，
，则为等边三角形，有，
故选：．
7.
【解析】由题意，阶幻方的幻和可以表示为，由类比推理，猜想阶幻方的幻和为．故选C．
8.
【解析】对于，因为，，
当直线是曲线的切线时，由得：，这时切点为，
因为切点在直线上，所以，，可见A错误；
对于，由，得：，
令，因为，
当时，，函数递增，
当时，，函数递减，
所以，
又当和时，都有，
可见当时，方程无解，直线曲线无公共点，B错误；
对于，由选项的判断可知，当时，，
直线：，与平行的切线的切点为，
它到直线的距离，
所以点到直线的最短距离为，C错误；
对于，由选项C的判断知，若，当点为时，点到直线的距离最短时，D正确．
9.
【解析】年的产量是万辆，年的产量是万辆，，故A错；
万辆，对；
万辆万辆，对；
年的总产量为万辆年的总产量为万辆，，对；故选BCD．
10.
【解析】圆的方程化为标准方程：，
当上顶点为，焦点为或，则或，
当焦点为，右顶点为，则，
故选：．
11.
【解析】因为，，
对于、且极大值点为，则，，故，在上递减，矛盾，故A错误；
对于、，则，当时，由，得，
易知可以有两个不同的极值点，且时，，有可能；
对于、，则，可知当，且时，，故C错误；
对于，，则，可知当，且时，，故D错误．
故本题选ACD．
12.
【解析】作平面，则．
设，，，
．
又有，，圆心，半径，
所以，则，
，A正确，B错误；
由
当最小时，有在外部，如图，此时，二面角为锐角，为钝角，D正确．
故选：．
13.
【解析】依题意，令，则有，则，
故的展开式的通项公式，
令，解得，故，即得．
14.
【解析】依题意知，正四棱柱的体积
四棱锥的底面为正方形，高，所以其体积
球的半径最大为，此时其体积
故该雕刻师需去除的石料的体积
又，
所以该雕刻师需去除的石料的质量为
故答案为．
15.答案不唯一
答案不唯一
【解析】根据等腰三角形对应的斜率关系可以直接令；
，根据腰长相等可得．
16.
【解析】
【分析】
本题考查两曲线上动点间的距离的最值问题，为难题．
【解答】
解：恒成立，可得：，
当且仅当时取，
如下图，的最小值点在上运动，
，
设，易得在上递减，
，使得，即．
在上递增在上递减，时，．
则问题可转化为求图象上的点到距离的最小值．
令．
与切于且与平行，，
为到的距离，，．
17.解：因为，即，
当时，，
得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
由可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时．
18.解：由，
则，
有，即，
又，所以．
由，则，所以
有，则，
又，则．
19.解：证明：取中点，连接D、，
在三棱柱中，，，
因为，，分别为，，的中点，
所以，，，，
所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面；
选条件
因为侧面为正方形，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面 ，又平面，
所以，
由得，又因为，所以，
因为，D、平面，
所以平面，又平面，
所以，
在三棱柱中，，，两两垂直，
故以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，
因为，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量，
由，，得
令，得，，则，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
选条件
因为侧面为正方形，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面 ，又平面，
所以，
取中点，连接，，
因为，，分别为，，的中点，，
所以，，
因为，所以，则，
又因为，所以，
在和中，，，，
所以，
所以，即，
所以，
在三棱柱中，，，两两垂直，
故以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，
因为，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量，
由，，得，令，得，，则，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
20.解：设甲正面朝上次数等于乙正面朝上次数的概率，
由对称性可知则甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率和甲正面朝上次数小于乙正面朝
上次数的概率相等，故．
可以先考虑甲乙各抛赛次的情形，
如果出现甲正面朝上次数等于乙正面朝上次数，将该情形概率设为，则第次甲必须
再抛掷出正面朝上，才能使得最终甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数
如果出现甲正面朝上次数小于乙正面朝上次数，则第次无论结果如何，甲正面朝上次
数仍然不大于乙正面朝上次数，将该情形概率设为
如果出现甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数，则第次无论结果如何，甲正面朝上次
数仍然大于乙正面朝上次数，将该情形概率设为，由对称性可知
故，而由
可得．
21.解：由题意得 ，所以 ，
设 ， ， ，则
作差得
又 的斜率 ， ，
所以 ；
，
设直线的方程为 ，， ， ，
联立 得 ，
所以 ，所以
设直线 ，
所以 ，
所以．
故直线 与直线 的交点 在定直线上
22.解：由 ，得 ，
令 ，解得 或 ，
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
所以函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
又函数 在 上为单调函数，所以 ；
由得函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
， ，
函数 的图像如图所示，
方程 在 上有三个不相等的实数根，
即函数 在 上有三个不同的交点，
又 ，又图像可知，当 或 时，至多有两个交点，不成立，
所以 ， ，
又 ， ，
所以若方程 在 上有三个不相等的实数根，则 ，即
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