2．1向量的概念及表示
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)理解、掌握向量的概念．(2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等的概念．
2．过程与方法
在理解向量等有关概念的基础上，充分联系实际，培养学生解决生活实际问题的能力．
3．情感、态度与价值观
(1)通过对向量的学习，使学生对现实生活中的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生对现实生活中的真善美的识别能力．
(2)对学生进行辩证思维的教育.
●重点难点
重点：向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示．
难点：向量的概念和共线向量的概念．
(教师用书独具)
●教学建议
1．关于向量概念的教学
教学时，建议教师从向量的物理背景出发，借助物理学中的位移、速度、力等矢量引出向量的概念，并指出向量具有“数”和“形”的双重特征．
2．关于零向量、单位向量、相等向量和共线向量的教学
教学时，建议教师类比数及向量的概念给出零向量、单位向量的概念；结合向量的两要素给出相等向量的定义；强调指出共线向量未必是在同一直线上的向量．由于零向量、单位向量、相等向量和共线向量是研究向量的基础，为增加学生对上述概念的感性认识，学习时建议教师对该知识点进行适当训练．
●教学流程
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课标解读
1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念．
2.理解零向量、单位向量、相等向量、共线(平行)向量、相反向量的含义．(重点、难点)
3.理解向量的几何表示.
向量及其有关概念
【问题导思】
(1)火车向正南方向行驶了50 km，行驶速度的大小为120 km/h，方向是正南．
(2)起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用．
1．上述两个实例中涉及的物理量的特点是什么？
【提示】 它们的大小和方向都是确定的．
2．上述实例中的速度和力，如何表示？
【提示】 可以用有向线段表示，也可以用字母表示．
1．向量的概念
向量：既有大小，又有方向的量叫向量．
2．向量的表示
(1)用有向线段表示向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．以A为起点、B为终点的向量记作.
向量的大小称为向量的长度(或称为模)，记作||.
(2)用字母表示向量
通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c…表示向量，在手写时用带箭头的小写字母， ， …表示向量．
也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如，.
3．与向量有关的概念
(1)零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0.
(2)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．
(3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．
(4)相反向量：长度相等且方向相反的向量叫相反向量．
(5)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量平行.
向量的有关概念
判断下列各说法是否正确：
(1)单位向量一定相等；
(2)若a＝b，b＝c，则a＝c；
(3)若＝，则点A与点C重合，点B与点D重合；
(4)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
(5)若向量a＝b，则a∥b；
(6)若a∥b，b∥c，则a∥c.
【思路探究】 从概念的理解出发，结合具体实例进行判断．
【自主解答】 (1)不正确．向量有大小和方向两个要素，单位向量的模一定是1，但方向不一定相同，所以单位向量不一定相等．
(2)正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；又∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
(3)不正确．这是因为＝时，应有||＝||及由A到B与由C到D的方向相同，但不一定有A与C重合，B与D重合．
(4)不正确．“大于”、“小于”对于向量来说是没有意义的．
(5)正确．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．
(6)不正确．对于非零向量命题正确，但当b＝0时，满足a∥b，b∥c，但a与c不一定共线．
1．在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数(即模的大小)，又要考虑其形(即方向性)．
2．涉及共线向量或平行向量的问题，一定要明确所给向量是否为非零向量．
3．对于判断命题的正误，应该熟记有关概念，理解各命题，逐一进行判断，对于错误命题，只要举一反例即可．
下列说法：①方向相同或相反的向量是平行向量；②零向量的长度是0；③长度相等的向量叫相等向量；④共线向量是在一条直线上的向量．其中正确的命题是________．(填序号)
【解析】 方向相同或相反的非零向量才是平行向量，所以①不正确；长度相等，方向相同的向量才叫相等向量，所以③不正确；共线向量也叫平行向量，它们不一定在一条直线上，也可能在平行直线上，所以④不正确；零向量的长度为0，所以②正确．
【答案】 ②
向量的表示
一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达点B，然后又改变方向向西偏北50°行驶了200千米到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D.
(1)作出向量，，；
(2)求||.
【思路探究】 解答本题应首先确定指向标，然后再根据行驶方向确定有关向量，进而求解．
【自主解答】 (1)如图．
(2) 由题意，易知与方向相反，故与共线，即AB∥CD.
又∵||＝||，
∴在四边形ABCD中，AB綊CD.
∴四边形ABCD为平行四边形．
∴||＝||＝200(千米)．
用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向或长度(模)，选择合适的比例关系作出向量．
在如图2－1－1的方格纸中，画出下列向量．
图2－1－1
(1)||＝3，点A在点O正西方向；
(2)||＝3，点B在点O北偏西45°方向．
【解】 取每个方格的单位长为1，依题意，结合向量的表示可知，相应的向量如图所示：
相等向量与共线向量
图2－1－2
如图2－1－2所示，在△ABC中，三边长均不相等，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，在以A，B，C，D，E，F这6点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：
(1)与共线的向量；
(2)与长度相等的向量；
(3)与相等的向量．
【思路探究】 (1)与共线的向量即与之方向相同或相反的向量；(2)与长度相等即表示向量的线段与EF长度相等；(3)与相等的向量即与之共线且长度相等的向量．
【自主解答】 (1)∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF∥BC，
∴与共线的向量为，，，，，，.
(2)∵D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，∴BD＝DC＝BC，EF＝BC.
∵AB，BC，AC均不相等，∴与长度相等的向量为，，，，.
(3)与相等的向量为，.
1．寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．
2．寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
图2－1－3
如图2－1－3，D，E，F分别是△ABC各边上的中点，四边形BCMF是平行四边形，请分别写出：
(1)与模相等且共线的向量；
(2)与相等的向量；
(3)与相反的向量．
【解】 (1)，，，，，，.
(2)，，.
(3)，，，.
对向量的有关概念理解不透彻致误
判断下列说法是否正确：
(1)向量就是有向线段；
(2)＝；
(3)若向量与向量平行，则线段AB与CD平行；
(4)若|a|＝|b|，则a＝±b；
(5)若＝，则ABCD是平行四边形．
【错解】 以上说法都正确．
【错因分析】 (1)向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．因此，有向线段是向量的一种表示方法，不能说向量就是有向线段．
(2)与的长度相等，但方向相反，故当是非零向量时，与不相等．
(3)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，故若与平行，则线段AB与CD可能平行，也可能共线．
(4)由|a|＝|b|，仅能说明两向量的模相等，但方向却不能确定，故(4)不正确．而(5)中，A，B，C，D可能落在同一条直线上，故(5)不正确．
【防范措施】 首先，要清楚向量的两要素：大小和方向；其次，要对共线向量、单位向量、相等向量、零向量有深入的理解，考虑问题要全面，注意零向量的特殊性．
【正解】 以上说法都不正确．
1．如果有向线段AB表示一个向量，通常我们就说向量，但有向线段只是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．
2．共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义．
1．下列说法正确的是________．
①若|a|＝0，则a＝0；
②若|a|＝|b|，则a＝b；
③向量与向量是相反向量；
④若a∥b，则a＝b.
【解析】 ①不正确，若|a|＝0，则a＝0；由于相等向量的长度相等且方向相同，故②④不正确；③显然正确．
【答案】 ③
图2－1－4
2．如图2－1－4所示，E，F分别为△ABC的边AB，AC的中点，则与向量共线的向量有________(将图中适合条件的向量全写出来)．
【解析】 ∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，
∴适合条件的向量为，，.
【答案】 ，，
3．(2013·江油高一检测)若四边形ABCD是矩形，则下列命题中不正确的是________．
①与共线；②与相等；
③与是相反向量；④与的模相等．
【解析】 ∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，故①，④正确；
AC＝BD，但与的方向不同，故②不正确；
AD＝CB且AD∥CB，与的方向相反，故③正确．
【答案】 ②
4．在直角坐标系中，画出下列向量，使它们的起点都是原点O.
(1)|a|＝2，a的方向与x轴正方向成60°，与y轴正方向成30°；
(2)|a|＝4，a的方向与x轴正方向成30°，与y轴正方向成120°.
【解】 所求向量及其向量的终点坐标如图所示：
一、填空题
1．若a为任一非零向量，b为单位向量，下列各式：
①|a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1；⑤＝b.其中正确的是________．(填序号)
【解析】 |a|不一定大于1，|b|＝1，∴①④不正确；
a和b不一定平行.是与a方向相同的单位向量，所以②⑤不正确；
a为非零向量，显然有|a|＞0.
只有③正确．
【答案】 ③
2．若a＝b，且|a|＝0，则b＝________.
【解析】 ∵a＝b，且|a|＝0，∴a＝b＝0.
【答案】 0
图2－1－5
3．如图2－1－5所示，四边形ABCE为等腰梯形，D为CE的中点，且EC＝2AB，则与相等的向量有________．
【解析】 易知四边形ABDE为平行四边形，则＝，
又∵D是CE的中点，则＝.
【答案】 ，
4．某人向正东方向行进100米后，再向正南方向行进100米，则此人位移的方向是________．
【解析】 如图所示，此人从点A出发，经点B，到达点C，则tan∠BAC＝＝，∴∠BAC＝60°，即位移的方向是东偏南60°，即南偏东30°.
【答案】 南偏东30°
5．给出以下4个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0，其中能使a与b共线成立的是________．
【解析】 两向量共线只需两向量方向相同或相反．
①a＝b，两向量方向相同；②|a|＝|b|两向量方向不确定；④|a|＝0或|b|＝0即为a＝0或b＝0 ，因为零向量与任一向量平行，所以④成立．
综上所述，答案应为①③④.
【答案】 ①③④
图2－1－6
6．(2013·常州高一检测)如图2－1－6，已知正方形ABCD边长为2，O为其中心，则||＝________.
【解析】 正方形的对角线长为2，
∴||＝.
【答案】
7．四边形ABCD满足＝且||＝||，则四边形ABCD的形状是________．
【解析】 由四边形ABCD满足＝可知，四边形ABCD为平行四边形．
又||＝||，即平行四边形ABCD对角线相等，从而可知四边形ABCD为矩形．
【答案】 矩形
8．设O是正方形ABCD的中心，则①＝；②∥；③与共线；④＝.其中，所有表示正确的序号为________．
【解析】 如图，正方形的对角线互相平分，∴＝，①正确；与的方向相同，所以∥，②正确；与的方向相反，所以与共线，③正确；尽管||＝||，然而与的方向不相同，所以≠，④不正确．
【答案】 ①②③
二、解答题
图2－1－7
9．设在平面上给定了一个四边形ABCD，如图2－1－7所示，点K，L，M，N分别是边AB，BC，CD，DA的中点，求证：＝.
【证明】 ∵N，M分别是AD，DC的中点，则＝，同理＝，故＝.
图2－1－8
10．如图2－1－8所示菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，∠DAB＝60°，分别以A，B，C，D，O中的不同两点为起点与终点的向量中，
(1)写出与平行的向量；
(2)写出与模相等的向量．
【解】 由题意可知，(1)与平行的向量有：，，；
(2)与模相等的向量有：，，，，，，，，.
11．一架飞机从A点向西北飞行200 km到达B点，再从B点向东飞行100 km到达C点，最后从C点向南偏东60°飞行50 km到达D点，求飞机从D点飞回A点的位移．
【解】 如图所示，由||＝200 km，||＝100 km，
知C在A的正北100 km处．
又由||＝50 km，∠ACD＝60°，知∠CDA＝90°，所以∠DAC＝30°，所以||＝50 km.
故的方向为南偏西30°，长度为50 km.
(教师用书独具)
如图，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又＝.求证：CN綊MA.
【思路探究】 要证CN∥MA且CN＝MA，只需证四边形AMCN是平行四边形，而四边形AMCN是平行四边形，可以通过＝得证．
【自主解答】 由条件＝可知AB＝DC且AB∥DC，从而四边形ABCD为平行四边形，从而＝.
又M，N分别是BC，AD的中点，于是＝，所以AN＝MC且AN∥MC，所以四边形AMCN是平行四边形，从而CN＝MA且CN∥MA，即CN綊MA.
1．若＝，且四点A，B，C，D不共线，则四边形ABCD为平行四边形，反之，若四边形ABCD为平行四边形，则＝.
2．利用向量相等或共线证明平行、相等问题：
(1)证明线段相等，只需证明相应向量的长度(模)相等．
(2)证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不共线．
在四边形ABCD中，＝，N、M分别是AD，BC上的点，且＝，证明：四边形DNBM是平行四边形．
【证明】 ∵＝，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AD，BC平行且相等．
又∵＝，
∴四边形CNAM为平行四边形，
∴AN，MC平行且相等，
∴DN，MB平行且相等，
∴四边形DNBM是平行四边形．
2．2向量的线性运算
2．2.1 向量的加法
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)掌握向量加法的概念；能熟练运用三角形法则和平行四边形法则作几个向量的和向量；能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行向量计算．
(2)通过实例，掌握向量加法的运算，并理解其几何意义．
(3)初步体会数形结合在向量解题中的应用．
2．过程与方法
教材利用学生熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法．最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力．
3．情感、态度与价值观
通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神．
●重点难点
重点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则．
难点：向量加法的交换律与结合律的推导．
(教师用书独具)
●教学建议
1．关于向量加法的教学
教学时，建议教师从教材实例出发，结合物理学中的位移概念给出向量加法的背景进行教学，在此基础上给出向量加法的三角形法则和平行四边形法则，让学生理解向量的加法的同时领悟数形结合的思想．
2．关于向量加法的运算律的教学
教学时，建议教师类比数的运算律结合向量加法的三角形法则和平行四边形法则给出向量加法的运算律，由于向量加法的运算律是研究向量线性运算的前提和基础，为增强学生对该知识点的印象，建议教学过程中最好让学生自己完成对该问题的证明．
●教学流程
?引导学生利用物理知识，通过类比、比较分析的方法，发现并理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则.?? 通过例1及其变式训练，使学生掌握利用三角形法则、平行四边形法则及向量加法的运算律进行向量的化简与运算的方法.????
课标解读
1.了解向量加法在物理学中的背景知识．
2.掌握向量加法的运算(三角形法则和平行四边形法则)，理解向量加法的几何意义．(重点、难点)
3.会推导向量加法的交换律与结合律.
向量加法的定义
【问题导思】
(1)飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的．
(2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F1＝3 000 N，F2＝2 000 N，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果．
上面实例中，体现了向量的什么运算？
【提示】 体现了向量的加法运算．
向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
向量加法的运算法则
【问题导思】
上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用什么法则？
【提示】 三角形法则和平行四边形法则．
(1)三角形法则：如图2－2－1，已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.
图2－2－1
(2)平行四边形法则：
图2－2－2
向量加法的运算律
【问题导思】
向量的加法既然是一种运算，它是否也和实数加法的运算律有相似的运算律？
【提示】 有．
(1)交换律：a＋b＝b＋a.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
向量加法的化简与运算
图2－2－3
化简或运算：
(1)(＋)＋(＋)＋.
(2)如图2－2－3所示，梯形ABCD中，||＝8，||＝10，试求|＋|.
【思路探究】 (1)根据向量字母的排列顺序，运用运算律适当组合后运算．
(2)利用三角形法则，先求和向量，再求模．
【自主解答】 (1)原式＝＋＋＋＋＝.
(2)如图所示，作＝，
则＋＝＋＝，
结合图形可知|＋|＝||
＝||－||
＝||－||＝10－8＝2.
求向量的和要考虑用向量加法的运算律和运算法则．求和的关键是利用向量加法的三角形法则，在运用此法则时，要注意“首尾相接”，即求两个向量的和是以第一个向量的终点为第二个向量的起点，和向量是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．此类题要利用运算律将“首尾相接”的两个向量分在一组，多个向量求和也要注意首尾相连．
(1)下列各式中结果为0的个数是________．
①＋＋；②＋＋＋；③＋＋＋.
(2)已知O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：
①＋；
②＋；
③＋.
【解】 (1)①原式＝＋＝0；
②原式＝(＋)＋(＋)＝＋0＝；
③原式＝(＋)＋(＋)＝＋＝0.
故①③符合．
【答案】 2
(2)①由图知，OAFE为平行四边形．
∴＋＝；
②由图知，OABC为平行四边形，
∴＋＝；
③由图知，AEDB为平行四边形，
∴＋＝.
向量加法在平面几何中的应用
图2－2－4
如图2－2－4，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且＝，＝.
求证：四边形ABCD是平行四边形．
【思路探究】 要证明四边形ABCD是平行四边形，只需证明＝，且A，B，C，D不在一条直线上即可．
【自主解答】 由向量的加法法则，知：
＝＋，＝＋.
∵＝，∴＝.
又＝，∴＝.
∵A，B，C，D不在一条直线上，
∴AD綊BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
利用向量的加法可以得到线段的平行和相等，用向量法解几何问题的关键是把几何问题转化为向量问题，通过向量的运算得到结论，然后再把向量问题还原成几何问题．
图2－2－5
如图2－2－5所示，四边形ABCD是平行四边形，且BE＝DF，求证四边形AECF是平行四边形．
【证明】 ∵BE＝DF，
且，方向相同，
∴＝.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴＝，∴＋＝＋，
∴＝，即AE与CF平行且相等，
∴四边形AECF是平行四边形.
向量加法的实际应用
一艘船从A点出发以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h，求船实际航行速度的大小与方向(用与水流速度间的夹角表示)．
【思路探究】 因为速度既有大小又有方向是向量，所以速度的和即为向量，使向量与实际问题建立联系，从而顺利解决问题．
【自主解答】 如图，设表示船垂直于对岸行驶的速度，表示水流的速度，以，为邻边作平行四边形ABCD，则就是船实际航行的速度，在Rt△ABC中，||＝2，||＝2，所以||＝＝＝4，
因为tan∠CAB＝＝，所以∠CAB＝60°.
故船实际航行速度的方向与水流速度成60°角，大小为4 km/h.
1．借助物理知识和生活常识，把实际问题抽象为向量的加法运算．依据三角形法则或平行四边形法则正确作出向量图，再利用三角形的有关知识，求解相应问题．
2．所求向量的方向一般要借助相对某一指定方向形成的角体现．
图2－2－6
如图2－2－6，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．
【解】 如图，设，分别表示A，B处所受的力，10 N的重力用表示，
则＋＝.
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°.
∴||＝||cos 30°＝10×＝5，
||＝||cos 60°＝10×＝5.
∴A处所受的力的大小为5 N，B处所受的力的大小为5 N.
忽视零向量与数0的区别致误
化简＋＋.
【错解】 ＋＋＝＋＝0.
【错因分析】 错解的原因是混淆了数0和零向量这两个不同的概念，结果应为零向量．
【防范措施】 向量相加或相减，其结果仍然是向量，注意0与0的不同．
【正解】 ＋＋＝＋＝0.
准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则
(1)两个法则的使用条件不同
三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．
(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．
(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．
1．在四边形ABCD中，＋＋等于________．
【解析】 ＋＋＝＋＝.
【答案】
2．在矩形ABCD中，若||＝4，||＝3，则|＋|＝________.
【解析】 如图，根据平行四边形法则得＋＝，而矩形ABCD中，||＝4，||＝3，则||＝5，故|＋|＝5.
【答案】 5
3．下列说法：
(1)如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同；
(2)在△ABC中，必有＋＋＝0；
(3)＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；
(4)若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．
其中正确说法的个数为________．
【解析】 (1)当a＋b＝0时，命题不成立，(1)错；(2)正确；(3)当A，B，C三点共线时，也可以有＋＋＝0，(3)错；(4)当a，b共线时，若a，b同向，则|a＋b|＝|a|＋|b|；若a，b反向，则|a＋b|＝||a|－|b||；当a，b不共线时|a＋b|＜|a|＋|b|，(4)错．
【答案】 1
4．一条渔船距对岸4 km，以2 km/h垂直于对岸的速度向对岸划去，到达对岸时，船的实际航程为8 km，求河水的流速．
【解】 如图所示，设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度．
则由＋＝知就是渔船实际航行的速度，航行时间为4÷2＝2(h)．在Rt△ABC中，||＝2，
||＝8÷2＝4.∴||＝2.
故河水的流速是2 km/h.
一、填空题
1．化简：＋＋＋＋＝________.
【解析】 ＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝0.
【答案】 0
图2－2－7
2．如图2－2－7，在平行四边形ABCD中，
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋＝________.
【解析】 (1)＋＝.
(2)＋＋＝.
(3)＋＋＝＋＝.
【答案】 (1) (2) (3)
3．已知a表示“向北走5 km”，b表示“向西走5 km”，则a＋b的方向是________，|a＋b|＝________.
【解析】 如图可知a＋b的方向是北偏西45°，|a＋b|＝5.
【答案】 北偏西45° 5
图2－2－8
4．如图2－2－8，已知△ABC是直角三角形且∠A＝90°，则在下列结论中正确的是________．
①|＋|＝||；
②|＋|＝||；
③|＋|＝||；
④||2＋||2＝||2.
【解析】 ①正确．以AB，AC为邻边作?ABDC，又∠A＝90°，
∴?ABDC为矩形，
∴AD＝BC，
∴|＋|＝||＝||.
②正确．|＋|＝||＝||.
③正确．|＋|＝||＝||.
④正确．由勾股定理知||2＋||2＝||2.
【答案】 ①②③④
图2－2－9
5．(2013·天津高一检测)如图2－2－9，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则＋＋＝________.
【解析】 ＋＋＝＋＋＝＋＝.
【答案】
图2－2－10
6．(2013·肇庆高一检测)如图2－2－10，已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中不正确的是________．
①＋＝；
②＋＋＝0；
③＋＝；
④＋＝.
【解析】 根据三角形法则可知①②正确．
∵D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，
∴四边形ADEF和四边形DECF都是平行四边形，
∴＋＝，＝，
∴＋＝，故③正确，④不正确．
【答案】 ④
7．若P为△ABC的外心，且＋＝，则∠ACB＝________.
【解析】 如图，∵＋＝，∴四边形APBC组成平行四边形，又P为△ABC的外心，
∴||＝||＝||，因此∠ACB＝120°.
【答案】 120°
8．在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为________．
【解析】 如图，渡船速度，水流速度，船实际垂直过江的速度，依题意，||＝12.5，||＝25，由于四边形OADB为平行四边形，则||＝||，又OD⊥BD，∴在直角三角形OBD中，∠BOD＝30°，
∴航向为北偏西30°.
【答案】 北偏西30°
二、解答题
图2－2－11
9．如图2－2－11所示，已知向量a，b，c，试用三角形法则作a＋b＋c.
【解】 如图所示，作＝a，＝b，则＝a＋b.作＝c，则＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c，即为a＋b＋c.
图2－2－12
10．如图2－2－12，已知P，Q为△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：＋＝＋.
【解】 法一 (＋)－(＋)＝(－)＋(－)＝＋.
因为BP＝QC，且与方向相反，故＋＝0，
即(＋)－(＋)＝0，因此＋＝＋.
法二 如图所示，取BC中点D，连结AD.
在△ABC中，因为D为BC中点，所以＋＝2.
又BP＝QC，所以在△APQ中，PD＝QD，所以＋＝2.故＋＝＋.
11．轮船从A港沿北偏东60°方向行驶了40 km到达B处，再由B处沿正北方向行驶40 km到达C处，求此时轮船到A港的相对位置．
【解】 如图，设，分别是轮船两次位移，则表示两次位移的合位移，即＝＋.
在Rt△ABD中，||＝20 km，||＝20 km，则||＝||＋||＝60 km.
在Rt△ACD中，||＝＝40(km)，所以∠CAD＝60°.
即此时轮船位于A港北偏东30°，且距离A港40 km处．
(教师用书独具)
如图所示，在正六边形OABCDE中，若＝a，＝b，试用向量a，b，将，，表示出来．
【思路探究】 用向量a，b表示，，，要利用正六边形的性质，用平行向量、相等向量的知识和向量加法的运算法则求解，结合图形，适当地选取法则是解决此类问题的关键．
【自主解答】 设正六边形的中心为P，
则四边形ABPO，AOEP均为平行四边形．
由向量加法的平行四边形法则，知
＝＋＝a＋b.∵＝，∴＝a＋b.
在△AOB中，根据向量的三角形法则，＝＋＝a＋(a＋b)＝2a＋b，
∴＝＋＝2a＋b＋b＝2a＋2b，
＝＋＝＋＝b＋a＋b＝a＋2b.
用三角形法则求两个向量和的步骤是：
第一步：将其中一个向量平移，使两个向量中的一个向量的起点与另一个向量的终点重合；
第二步：将剩下的起点与终点相连，并指向终点，则该向量即为两向量的和．
若正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c.试作出向量a＋b＋c，并求出其模的大小．
【解】 根据平行四边形法则可知，a＋b＝＋＝.
根据三角形法则，延长AC，在AC的延长线上作＝，则a＋b＋c＝＋＝＋＝(如图所示 )．
∴|a＋b＋c|＝||
＝2＝2.
2．2.2 向量的减法
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)能熟练运用三角形法则和平行四边形法则，作出几个向量的和、差向量．
(2)能结合图形进行向量计算．
2．过程与方法
由概念的形成过程和解题的思维过程，体验数形结合思想．
3．情感、态度与价值观
通过阐述向量的减法运算可以转化为向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想．
●重点难点
重点：相反向量的概念及向量的加法与减法之间的关系．
难点：掌握向量减法运算，并理解其几何意义．
(教师用书独具)
●教学建议
1．关于相反向量的教学
教学时，建议教师类比相反数的定义，结合向量的特征，由学生自主给出“相反向量的概念”，并会画出某具体向量的相反向量．
2．关于向量减法的教学
教学时，建议教师结合相反向量的表示及向量加法的几何意义，师生共同完成向量的减法及其几何意义的推导，并让学生会用向量减法的几何意义作图、化简、求值．
●教学流程
?引导学生结合向量加法的几何意义，探究向量减法的几何意义，并强调用向量减法的几何意义作图时注意问题.?????
课标解读
1.了解相反向量的概念．
2.了解差向量的概念和向量加法与减法间的关系．(重点)
3.掌握向量减法运算，并理解其几何意义．(难点)
向量的减法
【问题导思】
若a＋b＝0，则a与b有何关系？
【提示】 由a＋b＝0，得a＝－b，
∴a是b的相反向量．
若b＋x＝a，则向量x叫做a与b的差，记为a－b.求两个向量差的运算，叫做向量的减法.
已知向量作和(差)向量
图2－2－13
如图2－2－13，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
【思路探究】 先将a，b首尾相连，作出a＋b，然后根据向量减法的定义作a＋b与c的差向量．
【自主解答】 作法一 如图(1)所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
作法二 如图(2)所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，过点B作＝c，则＝a＋b－c.
1．求作向量的和与差就是三角形法则或平行四边形法则的运用．
2．求作向量的差可以转化为两个向量的和进行，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的始点重合，则差向量就是连结两个向量的终点，并指向被减向量．
3．作图时一定要注意箭头的方向．
用本例所示的向量，作出向量a－b＋c.
【解】 如图，在平面上任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，再过A作＝c，则＝a－b＋c.
向量加减法的基本运算
化简：(－)－(－)．
【思路探究】 思路一：相反向量法，即把向量的减法转化成向量的加法求解；思路二：利用减法的几何意义，即利用向量减法的三角形法则求解；思路三：向量分解法，即把向量转化成从一点出发的两向量的差向量，如＝－等．
【自主解答】 法一 (利用相反向量)
(－)－(－)＝－－＋
＝＋＋＋＝＋＋＋＝0.
法二 (利用向量减法的几何意义)
(－)－(－)＝－－＋＝(－)－＋
＝－＋＝＋＝0.
法三 (利用＝－)
设O是平面内任意一点，则
(－)－(－)＝－－＋
＝(－)－(－)－(－)＋(－)
＝－－＋－＋＋－＝0.
1．向量减法运算的常用方法：
2．注意满足下列两种形式可以化简：
(1)首尾相连且为和；
(2)起点相同且为差．
做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．
(1)化简：(－)－(－)＝________.
(2)化简：(＋＋)－(－－)＝________.
【解析】 (1)(－)－(－)＝－＝.
(2)(＋＋)－(－－)＝＋－＋(＋)＝＋－＋＝－＋＝＋＋＝＋＝0.
【答案】 (1) (2)0
用已知向量表示其他向量
图2－2－14
如图2－2－14，解答下列各题：
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用d，c表示.
【思路探究】 根据图形特点，正确运用向量加法、减法的几何意义即可将要求的向量表示出来．
【自主解答】 由题意知，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e.
(1)＝＋＋＝d＋e＋a.
(2)＝－＝－－＝－b－c.
(3)＝＋＋＝e＋a＋b.
(4)＝－＝－－＝－c－d.
用已知向量表示某向量的四个步骤：
第一步：观察各向量的位置；
第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形；
第三步：运用法则找关系；
第四步：化简结果．
图2－2－15
如图2－2－15，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量：
(1)；
(2)；
(3)－；
(4)＋；
(5)－.
【解】 (1)＝－＝c－a.
(2)＝＋＝－＋＝－a＋d.
(3)－＝＝－＝d－b.
(4)＋＝－－＋＝b－a－c＋f.
(5)－＝＝－＝f－d.
向量减法运算法则运用出错致误
图2－2－16
如图2－2－16所示，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别为r1，r2，r3，求.
【错解】 因为＝＋，
且＝＝－，
所以＝＋－＝r3＋r2－r1.
【错因分析】 错误使用了向量的减法法则．
【防范措施】 注意运用三角形法则时，两向量的差等于以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量，即＝－，防止出现＝－的错误．
【正解】 ＝＋＝r1＋＝r1＋－＝r1＋r3－r2.
向量减法的运算法则
(1)向量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算，可以灵活转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．
(2)两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得：用平行四边形法则时，两个向量也是共起点，和向量是起点与它们的起点重合的那条对角线()，而差向量是另一条对角线()，方向是从减向量指向被减向量；用三角形法则时，把减向量与被减向量的起点相重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.
1．△ABC中，＝a，＝b，则＝________.
【解析】 ＝－＝－－＝－a－b.
【答案】 －a－b
2．下列各式：①＋＋＋；②－＋；③(＋)＋＋，
其中结果为0的有________．
【解析】 ①＋＋＋＝＋＋＋＝；
②－＋＝＋＝0；
③(＋)＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
【答案】 ②
3．下列四式中，不能化简为的是________．
①－＋；②＋(＋)；③(＋)＋(－)；④＋－.
【解析】 －＋＝＋＝；
＋(＋)＝＋＋＝＋＝；
(＋)＋(－)＝－＝；
＋－＝－≠，故填④.
【答案】 ④
图2－2－17
4．已知不共线的两个非零向量a，b(如图2－2－17所示)，求作向量－a－b.
【解】 法一 如图①，作＝－a，＝b，则＝－a－b.
法二 如图②，作＝a，＝b，再以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
则＝－a－b.
一、填空题
1．下列命题中，正确的个数是________．
①在平行四边形中，＋－＝＋；
②a＋b＝a?b＝0；
③a－b＝b－a；
④－＋－的模为0.
【解析】 由向量的加法与减法法则知①④正确．由a＋b＝a?a＋b－a＝0?(a－a)＋b＝0?b＝0知，②正确．
由a－b＝a＋(－b)＝－(b－a)知，③是不正确的．
【答案】 3
2．已知六边形ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中a＝，b＝，c＝，则等于________．
【解析】 由正六边形性质知：＝＝＝b＝a＋c.
【答案】 a＋c
3．已知O是四边形ABCD所在平面内的一点，且满足＋＝＋，则四边形ABCD的形状是________．
【解析】 ∵＋＝＋，
∴－＝－.
∴＝，∴BA綊CD.
∴四边形ABCD为平行四边形．
【答案】 平行四边形
4．化简(＋－)＋(－＋)－＝________.
【解析】 原式＝(＋)＋(＋)＋＋(＋)＝＋＋＋＝0.
【答案】 0
图2－2－18
5．如图2－2－18，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，则＝________.
【解析】 因为＝a，＝b，＝c，所以＝－＝c－b，又＝，所以＝＋＝a＋c－b.
【答案】 a＋c－b
6．给出以下五个说法：
①若|a|＝|b|，则a＝b；
②任一非零向量的方向都是惟一的；
③|a|－|b|＜|a＋b|；
④若|a|－|b|＝|a|＋|b|，则b＝0；
⑤已知A，B，C是平面上任意三点，则＋＋＝0.
其中正确的说法有________．
【解析】 由|a|＝|b|，得不到a＝b，因为两个向量相等需要模相等，方向相同，故①不正确；当b＝0时，|a|－|b|＝|a＋b|，故③不正确．
【答案】 ②④⑤
7．已知＝a，＝b，若||＝5，||＝12，且∠AOB＝90°，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.
【解析】 如图，在矩形OACB中，＋＝，即|a＋b|＝||＝＝＝13.同理|a－b|＝13.
【答案】 13 13
8．如图2－2－19，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－－＋＝________.
图2－2－19
【解析】 法一 －－＋
＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)
＝＋＝.
法二 －－＋＝(－)－(－)
＝－＝＋＝.
【答案】
二、解答题
9．已知菱形ABCD边长都是2，求向量－＋的模．
【解】 ∵－＋＝＋＋＝，
∴|－＋|＝||＝2.
10．如图2－2－20，在五边形ABCDE中，若＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，求作向量a－c＋b－d－e.
图2－2－20
【解】 a－c＋b－d－e＝(a＋b)－(c＋d＋e)＝(＋)－(＋＋)＝－＝＋.
连结AC，并延长至点F，使CF＝AC，则＝.
∴＝＋即为所求作的向量a－c＋b－d－e.如图．
11．已知△OAB中，＝a，＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|与△OAB的面积．
【解】 由已知得||＝||，以，为邻边作平行四边形OACB，则可知其为菱形，如图，且＝a＋b，＝a－b，
由于|a|＝|b|＝|a－b|，即OA＝OB＝BA，
∴△OAB为正三角形，
|a＋b|＝||＝2×＝2，
∴S△OAB＝×2×＝.
(教师用书独具)
已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，求|a＋b|的值．
【思路探究】 解答本题可先由|a|，|b|及|a－b|出发，找出三者之间的数量关系，从而进一步判断三角形的形状，再求|a＋b|的值.
【自主解答】 如图，＝a，＝b，则||＝|a－b|，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则||＝|a＋b|.由于(＋1)2＋(－1)2＝42.故||2＋||2＝||2，所以△AOB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以?OACB是矩形，根据矩形的对角线相等有||＝||＝4，即|a＋b|＝4.
向量在平面几何中的应用一般有两种题型：
(1)以平面几何为背景的向量计算、证明问题；
(2)利用向量运算证明平面几何问题，这是向量的主要应用．
解题的关键是应用向量加法、减法的几何意义，对相关向量进行合理转化．
已知＝a，＝b，且|a|＝|b|＝4，∠AOB＝60°，求|a＋b|，|a－b|.
【解】 以、为邻边作平行四边形OACB，
∵||＝|a|＝4，||＝|b|＝4，∴四边形OACB为菱形．∵a＋b＝＋＝，a－b＝－＝，
∠AOB＝60°，∴|a＋b|＝||＝4，|a－b|＝||＝4.
2．2.3 向量的数乘
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)理解并掌握实数与向量的积的意义．
(2)会利用实数与向量的积的运算律进行有关计算．
(3)掌握向量共线的条件．
2．过程与方法
由概念的形成过程体验分类讨论的数学思想的指导作用．
3．情感、态度与价值观
(1)通过对实数与向量的乘积一节的学习，培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力．
(2)实数与向量的积还是一个向量，它的长度和方向的变化由实数λ决定，向学生揭示事物是在不断地运动变化着．
(3)通过本节内容的学习，使学生掌握实数与向量的积．从形上看，就是图形的放大或缩小，从而揭示事物在不断地运动变化过程中“万变不改其性”的哲理．
●重点难点
重点：数乘向量的运算及其几何意义．
难点：两向量共线的含义及共线定理．
(教师用书独具)
●教学建议
1．关于数乘向量的概念的教学
教学时，建议教师结合学生熟悉的物理知识引出实数与向量的积，并着重强调数乘向量也是向量，也应该从“模”与“方向”两点学习该部分知识，进而得到数乘运算的几何意义．
2．关于向量共线的判定定理和性质定理的教学
教学时，建议教师从数乘向量的定义及共线向量的定义出发，先让学生由“a(a≠0)，b共线”导出“b＝λa”这一等量关系，在此基础上给出“b＝λa”让学生判断a(a≠0)，b是否共线．从而从正反两方面给出该定理的推导和证明，最后通过典例辅助学生理解并应用．
●教学流程
??????
课标解读
1.掌握向量数乘的运算及其几何意义．(重点)
2.理解两个向量共线的含义，掌握向量共线定理．(难点)
3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
向量数乘的定义
【问题导思】
我们知道a＋a＋a＝3a，那么a＋a＋a是否等于3a？(－a)＋(－a)＋(－a)呢？
【提示】 a＋a＋a＝3a，(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a.
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当a＝0时，λa＝0；当λ＝0时，λa＝0.
实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘.
向量数乘的运算律
【问题导思】
类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？
【提示】 结合律，分配律．
(1)λ(μa)＝(λμ)a；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
向量共线定理
【问题导思】
若b＝2a，b与a共线吗？
【提示】 根据共线向量及向量数乘的意义可知，b与a共线．
如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
向量数乘的基本运算
(1)化简[(4a－3b)＋b－(6a－7b)]；
(2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求(a－b)－(a－b)＋(2b－a)．
【思路探究】 去括号→合并共线向量→化简．
【自主解答】 (1)原式＝[4a－3b＋b－a＋b]
＝[(4－)a＋(－3＋＋)b]
＝(a－b)＝a－b.
(2)原式＝a－b－a＋b＋2b－a
＝(－1－1)a＋(－1＋＋2)b
＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j)
＝(－5＋)i＋(－－)j＝－i－5j.
向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
计算：
(1)(－7)×(6a)；
(2)(a＋b)－3(a－b)－8a；
(3)(a＋2b＋c)－2(b－3c)．
【解】 (1)(－7)×(6a)＝－42a.
(2)(a＋b)－3(a－b)－8a＝(a－3a)＋(b＋3b)－8a
＝－2a＋4b－8a＝－10a＋4b.
(3)(a＋2b＋c)－2(b－3c)＝a＋(2b－2b)＋(c＋6c)
＝a＋7c.
向量的表示
图2－2－21
如图2－2－21，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，＝3a，＝2b，求，.
【思路探究】 由D，E为边AB的两个三等分点可知A，B，D，E四点共线，从而向量，均可以由向量表示，而向量可由向量，表示，从而问题可解．
【自主解答】 ∵＝3a，＝2b，
∴＝－＝2b－3a，
又D，E为边AB的两个三等分点，
所以＝＝b－a，
所以＝＋＝3a＋b－a＝2a＋b，
＝＋＝3a＋
＝3a＋(2b－3a)＝a＋b.
用已知向量表示未知向量的求解思路：
(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中；
(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量；
(3)求解过程体现了数学上的化归思想．
若本例条件不变，如何求？
【解】 ＝＝－(2b－3a)＝2a－b，或＝＋＝－2b＋2a＋b＝2a－b.
共线问题
已知非零向量e1，e2不共线.
(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线．
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
【思路探究】 对于(1)，欲证A，B，D共线，只需证存在实数λ，使＝λ即可；对于(2)，若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则一定存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)．
【自主解答】 (1)证明：∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5.
∴，共线，且有公共点B，∴A，B，D三点共线．
(2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，
∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，
由于e1与e2不共线，只能有∴k＝±1.
1．证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其中两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据．
2．若A，B，C三点共线，则向量，，在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系．而向量共线定理是实现线性关系的依据．
设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值．
【解】 ＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2.
因为A，B，D三点共线，故存在实数λ，使得＝λ，
即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2.
由向量相等的条件得所以k＝－8.
对向量共线定理理解不透致误
图2－2－22
如图2－2－22所示，在△ABC中，已知D，E分别为BC，AC的中点，若＝m，＝a，试用a，m表示.
【错解】 由题意知＝＝a，
＝＋＝m＋a.
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AB，且DE＝AB，
∴＝＝m＋a.
【错因分析】 与共线，D为BC的中点，但与的方向相反，所以＝－＝－a.与平行且方向相反，故＝－.
【防范措施】 正确理解向量共线的充要条件：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.当b与a同向时，λ＞0，b与a反向时，λ＜0.
【正解】 ∵D为BC的中点，∴＝－＝－a，∴＝＋＝m－a.
又∵D，E分别为BC，AC的中点，
∴＝－＝－m＋a.
1．向量数乘的几何意义
由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩．
当|λ|＞1时，表示a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的|λ|倍；
当|λ|＜1时，表示a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩小为原来的|λ|倍．
2．准确理解共线向量定理
共线向量定理为运用向量判定直线平行或三点共线等几何问题提供了理论依据．理解时应注意以下几点：
(1)定理本身包含了正反两个方面：若存在一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，则a与b共线；反之，若a与b共线(a≠0)，则必存在一个实数λ，使b＝λa.
(2)定理中，之所以限定a≠0是由于若a＝b＝0，虽然λ仍然存在，可是λ不惟一，定理的正反两个方面不成立．
(3)若a，b不共线，且λa＝μb，则必有λ＝μ＝0.
1．化简5(3a－2b)－4(2b－3a)的结果为________．
【解析】 5(3a－2b)－4(2b－3a)＝15a－10b－8b＋12a＝27a－18b.
【答案】 27a－18b
2．在△ABC中，D是BC的中点，向量＝a，向量＝b，则向量＝________(用向量a，b表示)．
【解析】 延长AD到E，使AD＝DE，则四边形ABEC是平行四边形，
则＝＝(a＋b)．
【答案】 (a＋b)
3．平面向量a，b共线的等价条件是________．(填序号)
①a，b方向相同；
②a，b两向量中至少有一个为零向量；
③存在λ∈R，b＝λa；
④存在不全为0的实数λ1，λ2，λ1a＋λ2b＝0.
【解析】 由两个非零向量a，b共线的条件，即向量共线定理可知，①②③不是a，b共线的等价条件，④是．
【答案】 ④
4．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)．
求证：A，B，D三点共线．
【证明】 ∵＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝，
∴与共线．
又∵与有公共点B，∴A，B，D三点共线．
一、填空题
1．已知λ∈R，则下列说法错误的是________．
①|λa|＝λ|a|；②|λa|＝|λ|a；③|λa|＝|λ||a|；
④|λa|>0.
【解析】 当λ<0时，①式不成立；当λ＝0或a＝0时，④式不成立；又|λa|∈R，而λ|a|是数乘向量，故②必不成立．
【答案】 ①②④
2．(2013·滨海高一检测)将[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]化简成最简式为________．
【解析】 原式＝(2a＋8b)－(4a－2b)＝a＋b－a＋b＝－a＋2b＝2b－a.
【答案】 2b－a
3．若＝，则＝________.
【解析】 ∵＝，∴点A，B，C三点共线且与同向，||＝(如图)，
∴||＝，又与反向，
∴＝－.
【答案】 －
4．(2013·南昌高一检测)已知平行四边形ABCD中，＝a，＝b，其对角线的交点为O，则用a，b表示为________．
【解析】 ∵＋＝＋＝＝2，
∴＝(a＋b)．
【答案】 (a＋b)
5．点G是△ABC的重心，D是AB的中点，且＋－＝λ，则λ＝________.
【解析】 ∵＋－＝＋＋＝2＝4，
∴λ＝4.
【答案】 4
图2－2－23
6．如图2－2－23所示，与分别在由点O出发的两条射线上，则下列各项中向量的终点落在阴影区域的是________．
①＋2；②＋；③－；④－.
【解析】 作出四个向量可知，只有①②满足条件．
【答案】 ①②
7．已知向量a，b，若＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是________．
【解析】 通过观察，＝＋＝2a＋4b，与a＋2b有2倍关系，即2＝.符合向量共线定理，∴A，B，D三点共线．故填A，B，D.
【答案】 A，B，D
8．在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．
【解析】 法一 如图，
＝＋＋
＝－b－a＋
＝－b－a＋(a＋b)
＝(b－a)．
法二 设AC交BD于O，由于N为AC的分点，则有N为OC的中点，＝＝＝(b－a)．
【答案】 b－a
二、解答题
9．已知向量a，b是两个不共线的向量，且ma－3b与向量a＋(2－m)b共线，求实数m的值．
【解】 由ma－3b与向量a＋(2－m)b共线可知，
存在实数λ满足ma－3b＝λ[a＋(2－m)b]，
即(m－λ)a－[3＋λ(2－m)]b＝0，
又a与b不共线，
∴
解得m＝3或m＝－1.
10．在平行四边形ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示和.
【解】 如图，设＝a，＝b.
∵M，N分别是DC，BC的中点，∴＝b，＝a.
∵在△ADM和△ABN中，
即
①×2－②，得b＝(2c－d)．
②×2－①，得a＝(2d－c)．
∴＝d－c，＝c－d.
11．设a，b，c为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则b与a＋c是否共线？请证明你的结论．
【解】 b与a＋c共线．证明如下：
∵a＋b与c共线，
∴存在惟一实数λ，使得a＋b＝λc.①
∵b＋c与a共线，
∴存在惟一实数μ，使得b＋c＝μa.②
由①－②得，a－c＝λc－μa.∴(1＋μ)a＝(1＋λ)c.
又∵a与c不共线，∴1＋μ＝0,1＋λ＝0，
∴μ＝－1，λ＝－1，∴a＋b＝－c，
即a＋b＋c＝0.
∴a＋c＝－b.
故a＋c与b共线.
(教师用书独具)
如图所示，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM＝CD，延长BE到N使BE＝EN，求证：M，A，N三点共线．
【思路探究】 本题利用三角形法则转化到可证两向量共线，从而解决点共线的几何问题．
【自主解答】 在△AMC中，D为MC的中点，
∴2＝＋.
又∵D是AB的中点，∴2＝.
∴＝＋，∴＝－＝.
同理可证＝－＝.
∴＝－.∴，共线且有公共点A.
∴A，M，N三点共线．
1．用已知向量表示相关向量时，一般使用向量运算的三角形法则表示出相关向量，然后用相等向量、相反向量及数乘向量逐步替换为已知向量．
2．解答本类问题除使用向量的线性运算外，还要灵活运用平面几何中的相关性质和结论．
已知任意平面四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．
求证：＝(＋)．
【证明】 取以点A为起点的向量，应用三角形法则求证，如图．
∵E为AD的中点，
∴＝.
∵F是BC的中点，
∴＝(＋)．
又 ∵＝＋，
∴＝(＋＋)
＝(＋)＋.
∴＝－＝(＋)＋－
＝(＋)．
2.3向量的坐标表示
2．3.1 平面向量基本定理
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量或一个向量分解为两个向量．
(2)能用平面向量的基本定理解决一些简单的几何问题．
2．过程与方法
由概念的形成过程和在解题中的作用，进一步体验数形结合思想的指导作用．
3．情感、态度与价值观
(1)通过学习平面向量基本定理和向量的坐标表示，实现几何与代数的完美结合，使学生明白知识与知识、事物之间的相互联系和相互转化．
(2)通过例题及练习，体会向量语言及运算在解决数学问题和实际问题中的工具作用．
●重点难点
重点：平面向量基本定理及其意义．
难点：平面向量基本定理的应用.
(教师用书独具)
●教学建议
1．关于平面向量基本定理教学
教学时，建议教师从学生熟知的力学知识出发，结合教材实例中有关力及速度的合成与分解，先让学生从感性上认识向量可分解性，在此基础上结合向量的平行四边形法则由学生自主总结出平面向量基本定理的内容，教师就定理的有关注意事项做适当补充，不必要求学生会证明该定理．
2．关于应用平面向量基本定理的教学
教学时，建议教师结合实例，让学生明确平面向量基本定理在解决实际问题中的作用．通过实例进一步理解平面向量基本定理的实质，为下一节坐标系的建立奠定基础．
●教学流程
????通过例3及其变式训练，使学生掌握利用平面向量基本定理求参数的值及证明三点共线等问题的方法.??
课标解读
1.了解平面向量基本定理及其意义．(难点)
2.了解基底的含义．
3.会用任意一组基底表示指定的向量．
4.能应用平面向量基本定理解决一些实际问题．(重点)
平面向量基本定理
【问题导思】
已知?ABCD的对角线交点为O，＝a，＝b，如何用a，b表示？
【提示】 ＝＝(＋)＝(a＋b)＝a＋b.
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
平面向量的正交分解
【问题导思】
一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直作用于斜面的力F2.
类比力的分解，平面内任一向量能否用互相垂直的两向量表示？
【提示】 能，互相垂直的两向量可以作为一组基底．
一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量a的分解．当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解.
平面向量基本定理的理解
如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0；
(2)对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋λe2成立的实数λ，μ有无数对；
(3)线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；
(4)当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量．
【思路探究】 运用基底概念与平面向量基本定理进行判断．
【自主解答】 (1)正确．
若λ≠0，则e1＝－e2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0.
(2)不正确．
由平面向量基本定理可知λ，μ惟一确定．
(3)正确．
平面α内的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立．
(4)不正确．结合向量加法的平行四边形法则易知，只有当λ和μ确定后，其和向量λe1＋μe2才惟一确定．
1．对于平面内任何向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解为两个不共线的向量的和的形式．
2．向量的基底是指平面内不共线的向量，事实上若e1，e2是基底，则必有e1≠0，e2≠0，且e1与e2不共线，如0与e1，e1与2e1，e1＋e2与2(e1＋e2)等均不能构成基底．
下列两个命题
(1)若a e1＋b e2＝c e1＋d e2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d.
(2)若e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e1＋e2，e1－e2表示出来．
其中正确的是________．
【解析】 (1)错，当e1与e2共线时，结论不一定成立．
(2)正确，假设e1＋e2与e1－e2共线，则存在实数λ，使e1＋e2＝λ(e1－e2)，即(1－λ)e1＝－(1＋λ)e2.
因为1－λ与1＋λ不同时为0，所以e1与e2共线，这与e1与e2不共线矛盾．所以e1＋e2与e1－e2不共线，因而它们可以作为一组基底，该平面内的任一向量可以用e1＋e2，e1－e2表示出来．
【答案】 (2)
用基底表示向量
图2－3－1
如图2－3－1所示，以向量＝a，＝b为邻边作?AOBD，又＝，＝，用a，b表示，，.
【思路探究】 ＝＋，＝＋，＝－，再将各量转化为，.
【自主解答】 ＝－＝a－b.
∴＝＋＝＋
＝＋＝a＋b.
又＝a＋b，
＝＋＝＋
＝＝a＋b，
∴＝－
＝a＋b－a－b＝a－b.
1．若题目中已给出了基底，求解此类问题时，常利用向量加法三角形法则或平行四边形法则，结合数乘运算，找到所求向量与基底的关系．
2．若题目中没有给出基底，常结合已知条件先寻找一组从同一点出发的两不共线向量作为基底，而后用上述方法求解．
图2－3－2
(2013·南通高一检测)如图2－3－2，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，若＝a，＝b，试用a，b表示，，.
【解】 如图所示，连结CN，则四边形ANCD是平行四边形，即＝＝＝a，
＝－＝－＝b－a，
＝－＝－－
＝－－(－)＝a－b.
平面向量基本定理的应用
图2－3－3
如图2－3－3，已知在△OAB中，延长BA到C，使AB＝AC，D是将分成2∶1的一个分点(靠近B点)，DC和OA交于点E，设＝a，＝b，
(1)用a，b表示向量，；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
【思路探究】 (1)由题意可知A是BC的中点，利用平行四边形法则求，利用三角形法则求；
(2)利用C，D，E三点共线，结合共线向量定理求解．
【自主解答】 (1)∵A为BC中点，
∴＝(＋)，＝2a－b；
＝－＝－
＝2a－b－b＝2a－b.
(2)设＝λ，
则＝－＝λ－＝λa－2a＋b＝(λ－2)a＋b.
∵与共线，
∴存在实数m，使得＝m，即(λ－2)a＋b＝m(－2a＋b)，即(λ＋2m－2)a＋(1－m)b＝0.
∵a，b不共线且为非零向量，
∴解得λ＝.
1．此类问题要结合图形条件与所求证问题，寻求解题思路．本题充分利用三点共线，即共线向量定理，共面向量定理，建立方程组求解，同时要恰当选择基底简化运算．
2．应用平面向量基本定理来证明平面几何问题的一般方法是：先选取一组基底，再根据几何图形的特征应用向量的有关知识解题．
图2－3－4
如图2－3－4，已知?ABCD中M为AB的中点，N在BD上，3BN＝BD.求证：M，N，C三点共线．
【证明】 ∵M为AB的中点，N在BD上，3BN＝BD，
∴＝，＝，
∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
又＝＋＝＋＝3(＋)＝3，
∴∥，又M为公共点，
∴M，N，C三点共线.
用待定系数法确定向量的表示
图2－3－5
(14分)如图2－3－5，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值．
【思路点拨】 可先从已知图形中选出两个简单向量作为一组基底建立起数学模型，由图形特征可知选择与作为基向量较好．
【规范解答】 设＝e1，＝e2，
则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2. 4分
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝＋＝－
＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2. 8分
而＝＋＝2e1＋3e2，
由平面向量基本定理，
得
解得
∴＝，＝.
即AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2. 14分
基底建模是向量法解决几何图形有关证明和求解的重要方法，关键在于选取的基底是否合适，要注意与已知条件的联系．可用方程思想，利用待定系数法确定向量．
1．准确理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是惟一的．
(2)平面向量基本定理中，实数λ1、λ2的惟一性是相对于基底e1，e2而言的，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是惟一的．
2．对基底的理解
(1)基底的特征
基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不惟一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．
(2)关于基底的一个结论
设e1，e2是平面内的一组基底，当λ1e1＋λ2e2＝0时，恒有λ1＝λ2＝0.
(3)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．
1．下列关于基底的说法正确的是________．(填序号)
①平面内不共线的任意两个向量都可以作为一组基底；
②基底中的向量可以是零向量；
③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是惟一确定的．
【解析】 作为基底的两个向量不共线，故基底中的向量不能是零向量，②不正确，①③正确．
【答案】 ①③
2．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为________．
【解析】 ∵(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，且e1，e2不共线，
∴解得
∴x－y＝6－3＝3.
【答案】 3
图2－3－6
3．在如图2－3－6所示的平行四边形ABCD中，＝a，＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．
【解析】 ＝＋＝－＝b－(a＋b)＝－a＋b.
【答案】 －a＋b
4．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，求λ的值．
【解】 在△ABC中，已知D是AB边上一点，
若＝2，＝＋λ，
则＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋，∴λ＝.
一、填空题
1．若O是?ABCD的两对角线的交点，下列向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是________．
①与；②与；③与；④与.
【解析】 只要是平面上不共线的两个向量都可作为基底，与是有公共点的不共线向量，与也是有公共点的不共线向量．
【答案】 ①③
2．已知e1，e2是平面所有向量的一组基底，那么下列一组向量不能作为基底的是________．
①e1和e1＋e2；②e1－2e2和e2－2e1；③e1－2e2和4e2－2e1；④e1＋e2和e1－e2.
【解析】 因为4e1－2e1＝－2(e1－2e2)，
所以e1－2e2与4e2－2e1共线．
【答案】 ③
图2－3－7
3．如图2－3－7，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，M是DC的中点，以a，b为基底表示向量＝________.
【解析】 ＝＋＝＋＝＋＝b＋a.
【答案】 b＋a
4．设e1，e2是不共线向量，e1＋2e2与me1＋ne2共线，则＝________.
【解析】 由e1＋2e2＝λ(me1＋ne2)，得mλ＝1且nλ＝2，
∴＝2.
【答案】 2
5．设一直线上三点A，B，P满足＝m(m≠－1)，O是直线所在平面内一点，则用，表示为________．
【解析】 由＝m得－＝m(－)，
∴＋m＝＋m，∴＝.
【答案】 ＝
6．如图2－3－8，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，若＝r＋s，则r＋s＝________.
图2－3－8
【解析】 由E是AD的中点，则＝(＋)＝－＋＝－＋(－)＝－，则r＋s＝－.
【答案】 －
7．已知D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且＝，＝2，＝2，则2＋3＋3＝________.
【解析】 由＝，易知＝(＋)，所以2＝＋，再由＝2，＝2，可知3＝，3＝，所以2＋3＋3＝0.
【答案】 0
8．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
【解析】 设＝b，＝a，则＝b－a，
＝b－a，＝b－a，代入＝λ＋μ，
得b－a＝(λ＋)b－(＋μ)a，
即解得λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.
【答案】
二、解答题
9．(2013·保定高一检测)设e1，e2为两个不共线的向量，a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，试用b，c为基底表示向量a.
【解】 设a＝λ1b＋λ2c，λ1，λ2∈R则，
－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)，
即－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2，
∴∴∴a＝－b＋c.
10．平行四边形ABCD中，M为DC的中点，N为BC的中点，设＝b，＝d，＝m，＝n.
(1)以b，d为基底，表示；
(2)以m，n为基底，表示.
【解】 如图所示．
(1)＝－＝(＋)－(＋)＝(b＋d)－(d＋b)＝b－d.
(2)m＝＋＝d＋，①
n＝＋＝＋d，
所以2n＝2＋d，②
由①②消去d，得＝n－m.
图2－3－9
11．如图2－3－9所示，在△ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求证：＝4.
【证明】 记＝e1，＝e2，所以＝－3e2，＝－e1，
则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.因为A，P，M共线，且B，P，N共线，所以存在实数λ，μ，使＝λ＝－3λe2－λe1，＝μ＝2μe1＋μe2，
所以＝＋＝2μe1＋μe2＋3λe2＋λe1
＝(2μ＋λ)e1＋(μ＋3λ)e2，又＝＋＝2e1＋3e2，
所以解之得
所以＝，
所以AP∶PM＝4∶1，即＝4.
(教师用书独具)
用向量法证明三角形的三条中线交于同一点．
【思路探究】 令△ABC的中线AD与中线BE交于点G1，中线AD与CF交于点G2，利用向量说明G1与G2重合，证得三条中线交于一点．
【自主解答】 如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线．
令＝a，＝b，则＝－＝－＝a－b，＝＋＝a－b，＝＋＝－a＋b.
令AD与BE交于点G1，并假设＝λ，＝μ，则有＝λa－b，＝－a＋μb.
∴＝＋＝(1－)a＋(μ－1)b，
∴
由此可得λ＝μ＝，∴＝.
再令AD与CF相交于G2，同样的方法可得＝AD.
∴G1与G2重合，
即AD，BE，CF相交于同一点．
∴三角形三条中线交于一点．
向量方法证明三线共点的思路为：设三条直线l1，l2，l3中l1与l2的交点为G1，l2与l3的交点为G2，在图形中选择两个简单的不共线的向量作为基底，证明共起点的向量表示惟一，如证＝，则得G1，G2重合．
在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点.＝，＝a，＝b.求证：B，E，F三点共线．
【证明】 因为D是BC的中点，所以有＝(a＋b)．又因为＝＝(a＋b)，＝＝b，
所以＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，
＝－＝b－a＝(b－2a)．
所以＝.
又，有公共点B，
所以B，E，F三点共线．
2．3.2 平面向量的坐标运算
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)掌握平面向量的坐标运算，能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的坐标运算法则，并能进行相关运算．
(2)理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
2．过程与方法
(1)通过向量的正交分解及坐标运算，进一步体会向量的工具作用．
(2)通过学习平面向量共线的坐标表示及应用，提高分析问题、解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
培养学生学习数学的兴趣，勤于思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．
●重点难点
重点：平面向量的加、减、数乘的坐标运算．
难点：平面向量平行条件的理解．
(教师用书独具)
●教学建议
1．关于平面向量的坐标的概念教学
教学时，建议教师从学生熟悉的平面向量基本定理出发，结合物理知识中力的正交分解，自然引出向量的正交分解，并类比平面直角坐标系中“点与坐标”的关系，得出“平面向量的坐标”的概念，并强调指出平面直角坐标系中“点的坐标同以原点为起点的向量是一一对应的”．
2．关于平面向量的坐标的线性运算的教学
教学时，建议教师让学生结合向量加、减及数乘向量的定义和向量的坐标的概念自主推导出平面向量的坐标的线性运算，并就每种运算的特征加以概括；在此基础上要求学生通过练习熟练掌握平面向量的坐标的线性运算．
3．关于平面向量平行的坐标表示的教学
教学时，建议教师引导学生从向量共线定理出发，自主推导出向量共线时的坐标关系，并会应用向量的坐标关系解决与平行有关的平面几何证明问题．
●教学流程
??引导学生结合向量共线定理，推导出向量平行的坐标表示，并总结利用向量坐标关系判断向量平行的方法.?????
课标解读
1.理解平面向量的坐标的概念，会写给定向量的坐标．
2.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．
3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(难点)
4.会根据平面向量的坐标判断向量是否共线．(重点)
平面向量的坐标表示及坐标运算
【问题导思】
1．在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，任作一向量.根据平面向量基本定理，＝xi＋yj，那么(x，y)与A点的坐标相同吗？
【提示】 相同．
2．如果向量也用(x，y)表示，那么这种向量与实数对(x，y)之间是否一一对应？
【提示】 是一一对应．
(1)平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上的向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对有序实数x，y，使得a＝xi＋yj，则把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)．
(2)平面向量的坐标运算
①已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．
②已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标.
向量平行的坐标表示
【问题导思】
设a＝(1,3)，b＝(2,6)，向量b与a共线吗？
【提示】 b＝(2,6)＝2(1,3)＝2a，∴b与a共线．
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，如果a∥b，那么x1y2－x2y1＝0；反过来，如果x1y2－x2y1＝0，那么a∥b.
向量的坐标表示
图2－3－10
在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图2－3－10所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标．
【思路探究】 利用三角函数求出各向量在x轴、y轴上的分量的模的大小，以此确定向量的横、纵坐标．
【自主解答】 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)，则a1＝|a|cos 45°＝2×＝，
a2＝|a|sin 45°＝2×＝，
b1＝|b|cos 120°＝3×(－)＝－，
b2＝|b|sin 120°＝3×＝，
c1＝|c|cos(－30°)＝4×＝2，
c2＝|c|sin(－30°)＝4×(－)＝－2.
因此a＝(，)，b＝(－，)，c＝(2，－2)．
1．向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．
2．求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算．
图2－3－11
如图2－3－11，已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝2，∠xOA＝150°，求向量的坐标．
【解】 过点A作AB⊥x轴于点B，作AC⊥y轴于点C，设A(x，y)，则x＝||cos 150°＝－，y＝||sin 150°＝1.
所以的坐标为(－，1).
平面向量的坐标运算
(1)若a＝(1，－3) ，b＝(－2,4)，c＝(0,5)，则3a－b＋c＝________.
(2)已知三点A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，试求向量3＋，－2.
【思路探究】 (1)中分别给出了两向量的坐标，可根据向量的直角坐标运算法则进行．(2)中给出了点的坐标，可运用终点坐标减去起点坐标得到相应向量的坐标，然后再进行运算．
【自主解答】 (1)∵a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(0,5)，
∴3a－b＋c＝3(1，－3)－(－2,4)＋(0,5)
＝(3，－9)－(－2,4)＋(0,5)＝(3＋2＋0，－9－4＋5)
＝(5，－8)．
【答案】 (5，－8)
(2)∵A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)．
∴＝(3,4)－(2，－1)＝(1,5)，
＝(2，－1)－(－2,0)＝(4，－1)，
＝(－2,0)－(3,4)＝(－5，－4)，
∴3＋＝3(1,5)＋(4，－1)＝(5，)，
－2＝(－5，－4)－2(1,5)＝(－7，－14)．
平面向量坐标的线性运算的方法：
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
若题(2)中条件不变，如何求2－3＋呢？
【解】 ∵A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，
∴＝(3,4)－(2，－1)＝(1,5)，
＝(－2,0)－(3,4)＝(－5，－4)，
＝(2，－1)－(－2,0)＝(4，－1)，
∴2－3＋＝2(1,5)－3(－5，－4)＋(4，－1)＝(21,21).
向量平行的坐标表示
(1)已知四点坐标A(－1,1)，B(1,5)，C(－2，－1)，D(4，11)，请判断直线AB与CD是否平行？
(2)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)．当k为何值时，A，B，C三点共线？
【思路探究】 (1)判断∥→判断点A是否在直线CD上→结论．
(2)求A，B，C三点共线时k的值，则一定有＝λ成立．先求，，再列方程组求解k.
【自主解答】 (1)因为＝(2,4)，＝(4,11)－(－1，1)＝(5,10)，＝(－2，－1)－(－1,1)＝(－1，－2)，
所以＝－2，＝－5.
所以∥∥.
由于与，有共同的起点A，
所以A，B，C，D四点共线．
因此直线AB与CD重合．
(2)＝－＝(4－k，－7)，＝－＝
(10－k，k－12)，
若A，B，C三点共线，则∥，
∴(4－k)(k－12)＝－7×(10－k)，
解得k＝－2或11，
∴当k＝－2或11时，A，B，C三点共线．
1．对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路，一是利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．
2．利用x1y2－x2y1＝0求解，解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．
已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，求实数x的值．
【解】 因为a＝(1,1)，b＝(2，x)，
所以a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)，
由于a＋b与4b－2a平行，得6(x＋1)－3(4x－2)＝0，解得x＝2.
忽略平行四边形顶点顺序的讨论致误
已知A(2,1)，B(3,2)，C(－1,4)，若A，B，C是平行四边形的三个顶点，求第四个顶点D的坐标．
【错解】 设点D的坐标为(x，y)，则由＝，得x－2＝－1－3，y－1＝4－2，即x＝－2，y＝3，故所求点D的坐标为(－2,3)．
【错因分析】 错解中认为平行四边形的四个顶点的顺序是ABCD.事实上，本题没有给出是四边形ABCD，因此，需要分类讨论．
【防范措施】 在求平行四边形某一顶点的坐标时，常常需要对平行四边形顶点顺序进行讨论．
【正解】 设点D的坐标为(x，y)．当四边形为平行四边形ABCD时，则有＝，从而有x－2＝－1－3，y－1＝4－2，即x＝－2，y＝3，故点D的坐标为(－2,3)．
当四边形为平行四边形ADBC时，则有＝，从而有x－2＝3－(－1)，y－1＝2－4，即x＝6，y＝－1，故点D的坐标为(6，－1)．
当四边形为平行四边形ABDC时，则有＝，从而有x－3＝－1－2，y－2＝4－1，即x＝0，y＝5，故点D的坐标为(0,5)，
故第四个顶点D的坐标为(－2,3)或(6，－1)或(0,5)．
1．向量的坐标运算
(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标．
(2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．
2．两个向量共线条件的表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
(1)当b≠0时，a＝λb.
(2)x1y2－x2y1＝0.
(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的相应坐标成比例.
1．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝________.
【解析】 a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)．
【答案】 (7,3)
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，＝，则P点坐标为________．
【解析】 设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，＝(－8,1)．
∵＝，∴(2x－6,2y＋4)＝(－8,1)．
∴
∴
【答案】 (－1，－)
3．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，是k＝________.
【解析】 a－c＝(3－k，－6)，b＝(1,3)，
∵(a－c)∥b，∴＝.∴k＝5.
【答案】 5
4．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且＝，＝.
求证：∥.
【证明】 ∵＝(2,2)，＝(－2,3)，
∴＝＝(，)，
＝＝(－，1)
∴E(－，)，F(，0)．
∴＝(，－)．
又＝(4，－1)，
所以＝.
即∥.
一、填空题
1．下列说法正确的有________．
(1)向量的坐标即此向量终点的坐标；
(2)位置不同的向量其坐标可能相同；
(3)一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标；
(4)相等的向量坐标一定相同．
【解析】 我们所学的向量是自由向量，位置不同，可能是相同的向量，同时相等的向量坐标一定相同．故正确的说法是(2)(4)．
【答案】 (2)(4)
2．若向量a＝(3,2)，b＝(0，－1)，则向量2b＋a的坐标是________．
【解析】 2b＋a＝2(0，－1)＋(3,2)＝(0，－2)＋(3,2)＝(3,0)．
【答案】 (3,0)
3．已知a＝(－1，x)与b＝(－x,2)共线，且方向相同，则实数x＝________.
【解析】 设a＝λb，则(－1，x)＝(－λx,2λ)，所以有解得或
又a与b方向相同，则λ＞0，所以λ＝，x＝.
【答案】
4．(2013·连云港高一检测)已知点M(3，－2)，N(－6,1)，且＝2，点P的坐标为________．
【解析】 设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，
＝(－6－x,1－y)，
∴由＝2得
解得∴点P的坐标为(－3,0)．
【答案】 (－3,0)
5．设m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定两向量之间的一个运算为m?n＝(ac－bd，ad＋bc)，若已知p＝(1,2)，p?q＝(－4，－3)，则q＝________.
【解析】 设q＝(x，y)，则由题意可知
解得所以q＝(－2,1)．
【答案】 (－2,1)
6．已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则实数k＝________.
【解析】 由题意得＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(6，k－5)，∵与共线．
∴(4－k)×(k－5)－6×(－7)＝0，
解得k＝－2或11.
【答案】 －2或11
7．下列说法正确的有______________．
(1)存在向量a与任何向量都是平行向量；
(2)如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则＝；
(3)如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则x1y2－x2y1＝0；
(4)如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且＝，则a∥b.
【解析】 (1)当a是零向量时，零向量与任何向量都是平行向量；(2)不正确，当y1＝0或y2＝0时，显然不能用＝来表示；(3)(4)正确．
【答案】 (1)(3)(4)
8．已知向量m＝(2,3)，n＝(－1,2)，若am＋bn与m－2n共线，则等于________．
【解析】 am＋bn＝(2a,3a)＋(－b,2b)＝(2a－b,3a＋2b)，m－2n＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)，
∵am＋bn与m－2n共线，
∴b－2a－12a－8b＝0，∴＝－.
【答案】 －
二、解答题
9．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．
设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
【解】 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴解得
(3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，
∴M(0,20)．又∵＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2) ，
∴N(9,2)．∴＝(9，－18)．
10．已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5) 及＝＋t，求：
(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？
(2)四边形OABP能否为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
【解】 (1)设P(x，y)，＝(3,3)，
由＝＋t得(x，y)＝(1,2)＋t(3,3)，即
若P在x轴上，则yP＝0，即2＋3t＝0，
∴t＝－.
若P在y轴上，则xP＝0，即1＋3t＝0，
∴t＝－.
若P在第二象限，则
∴－＜t＜－.
(2)四边形OABP不能为平行四边形．
因为若四边形OABP能构成平行四边形，
则＝，即(1＋3t,2＋3t)＝(3,3)．
∴ t无解，故四边形OABP不能为平行四边形．
11．已知a＝(1,2)，b＝(－2,1)，x＝a＋(t2＋1)b，y＝－a＋b，是否存在正实数k，t使得x∥y？若存
在，求出取值范围；若不存在，请说明理由．
【解】 不存在．
理由：依题意，x＝a＋(t2＋1)b
＝(1,2)＋(t2＋1)(－2,1)
＝(－2t2－1，t2＋3)．
y＝－a＋b
＝－(1,2)＋(－2,1)
＝(－－，－＋)．
假设存在正实数k，t，使x∥y，
则(－2t2－1)(－＋)－(t2＋3)·(－－)＝0，
化简得＋＝0，
即t3＋t＋k＝0.
∵k，t为正实数，
∴满足上式的k，t不存在，
∴不存在这样的正实数k，t，使x∥y.
(教师用书独具)
已知△AOB中，O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，＝，＝，AD与BC交于点M，求点M的坐标．
【思路探究】 由已知条件易求得点C，D的坐标，再由点M是AD与BC的交点，即A，M，D三点共线与B，M，C三点共线可得到以点M的坐标为解的方程组，解方程组即可．
【自主解答】 ∵点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，
∴＝(0,5)，＝(4,3)，
＝＝(0，)，
∴点C的坐标为(0，)．同理可得D(2，)．
设点M(x，y)，则＝(x，y－5)，
∵A，M，D共线，∴与共线．
又＝(2－0，－5)＝(2，－)，
∴－x－2(y－5)＝0，
即7x＋4y＝20.①
∵＝(x，y－)，＝(4－0,3－)＝(4，)，
与共线，
∴x－4(y－)＝0，
即7x－16y＝－20.②
由①②得x＝，y＝2，
∴M的坐标为(，2)．
在求点或向量的坐标中充分利用两个向量共线，要注意方程思想的应用，在题目中充分利用向量共线、向量相等等条件作为列方程的依据．
如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB的交点P的坐标．
【解】 法一 设＝t＝t(4,4)＝(4t,4t)，
则＝－＝(4t,4t) －(4,0)＝(4t－4,4t)，
＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．
由，共线的条件知
(4t－4)×6－4t×(－2)＝0，解得t＝.
所以＝(4t,4t)＝(3,3)，所以P点的坐标为(3,3)．
法二 设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(4,4)．
因为，共线，所以4x－4y＝0.①
又＝(x－2，y－6)，＝(2，－6)，
且向量，共线，所以－6(x－2)＋2(6－y)＝0.②
解①②组成的方程组，得x＝3，y＝3，
所以P点的坐标为(3,3)．
2．4向量的数量积
第1课时 数量积的定义
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)掌握平面向量的数量积及其几何意义和应用．
(2)会用两个向量的数量积解决向量的垂直问题．
(3)理解两个向量的数量积的运算律．
2．过程与方法
经历平面向量数量积的形成过程，体会用数量积及其运算处理简单的物理问题、代数问题、几何问题的数学思想．
3．情感、态度与价值观
通过本节的学习，培养学生对事物的洞察能力和创新能力．
●重点难点
重点：平面向量数量积的含义及其几何意义．
难点：运用数量积解决长度、夹角平行、垂直的几何问题．
(教师用书独具)
●教学建议
1．关于向量夹角的教学
教学时，建议教师从向量的概念出发，结合非零向量的方向性，利用数形结合的思想，充分展示向量间的各种关系，最后给出向量夹角的概念，并就零向量的特殊情形作出补充．
2．关于向量数量积的教学
教学时，建议教师利用学生熟悉的物理知识——做功，得到向量的数量积的含义并就其物理意义、几何意义作出明确解释．让学生明确向量的数量积是数量而并非向量．通过对本节知识的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系，在让学生以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积的同时，激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神．
3．关于向量的数量积运算的教学
教学时，建议教师从学生熟悉的数量积的定义出发，类比实数的运算由学生自主推导出数量积的三种运算律：交换律、分配律、结合律；然后提出问题“向量数量积的有关性质”，让学生自主发现并给出证明．然后给出典例示范．最后教师点评并强调在实数乘法中适用的运算律和运算方法，有些是不能照搬到向量的数量积运算中的．整个教学过程培养学生的类比、归纳、探索能力，提高学生的数学素养．
●教学流程
?引导学生类比实数的运算，探究向量的数量积满足的运算律、交换律、分配律、结合律并给出证明.?????
课标解读
1.了解向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念．
2.理解平面向量数量积的含义及其几何意义．(重点)
3.能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题．(难点)
向量的数量积
【问题导思】
如果一个物体在力F的作用下产生位移s，且F与s的夹角为θ，那么力F所做的功W等于什么？
【提示】 W＝|F||s|cos θ.
(1)向量的数量积：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a和b的数量积(或内积)记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.规定零向量与任一向量的数量积为0.
(2)两个向量的夹角：对于两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角，其范围是0°≤θ≤180°，当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；当θ＝90°时，称向量a与b垂直，记作a⊥b.
向量的数量积的运算律
向量数量积的运算律：已知向量a，b，c和实数λ.
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
向量数量积的运算
已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求：
(1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)．
【思路探究】 利用向量数量积的定义和性质计算．
【自主解答】 (1)a·b＝|a||b|cos 120°＝2×3×(－)＝－3.
(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2
＝2|a|2＋5|a||b|cos 120°－3|b|2
＝8－15－27＝－34.
1．求平面向量数量积的步骤：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．
2．较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．
本例中条件不变，如何求(2a＋3a)·(3a－2b)?
【解】 (2a＋3b)·(3a－2b)＝6a2－4a·b＋9a·b－6b2
＝6×22＋5×2×3×(－)－6×32＝－45.
求向量的模
(1)若向量a，b满足|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则|a＋b|等于________．
(2)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，求|a－b|.
【思路探究】 (1)由(a－b)⊥a，求出a，b，再利用公式|a|＝求解．
(2)由|a＋b|＝4可求a·b的值，再利用公式|a|＝求解．
【自主解答】 (1)由于(a－b)⊥a，则(a－b)·a＝|a|2－a·b＝0，所以a·b＝2.
所以|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝10，
所以|a＋b|＝.
【答案】
(2)由已知，|a＋b|＝4，∴|a＋b|2＝42，
∴a2＋2a·b＋b2＝16，
∵|a|＝2，|b|＝3，
∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9，
∴4＋2a·b＋9＝16，即2a·b＝3.
又∵|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝4－3＋9＝10，
∴|a－b|＝.
求向量的模的常见思路及方法：
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，要灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
(3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．
在△ABC中，已知AB＝8，BC＝7，∠ABC＝150°，求AC的长．
【解】 由题意可知||＝8，||＝7，
，的夹角为150°.
而＝－，
||2＝(－)2
＝||2－2·＋||2
＝72－2×7×8cos 150°＋82
＝49＋56＋64
＝113＋56.
||＝.
所以AC的长为.
向量的夹角和垂直问题
已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
【思路探究】 解答本题可由已知两个条件中的垂直得到两个等式，从而得到a，b之间的关系，再由cos θ＝可求得夹角．
【自主解答】 由已知得(a＋3b)·(7a－5b)＝0，
即7a2＋16a·b－15b2＝0①
(a－4b)·(7a－2b)＝0，
即7a2－30a·b＋8b2＝0，②
①②两式相减得2a·b＝b2，
∴a·b＝b2，
代入①②中任一式得a2＝b2，
设a，b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
1．求向量a，b夹角的流程图：
→→→
2．由于|a|，|b|及a·b都是实数，因此在涉及有关|a|，|b|及a·b的相应等式中，可用方程的思想求解(或表示)未知量．
设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．
【解】 ∵m和n是两个单位向量，其夹角是60°，
∴m·n＝|m|×|n|×cos 60°＝，
设a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角为α，
∴cos α＝＝
＝＝－，
∵0°≤α≤180°，
∴a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角为120°.
对向量的夹角理解不正确致误
已知△ABC中，||＝5，||＝8，∠C＝60°，求·.
【错解】 如图，因为||＝5，||＝8，∠C＝60°，
所以·＝||·||cos 60°＝5×8×cos 60°＝20.
【错因分析】 错解中未正确理解向量夹角的含义，题干中两向量与的始点不相同，所以它们的夹角并非∠C.如图所示，其夹角应该是∠C的补角，即〈，〉＝120°.
【防范措施】 结合图形求两个向量的数量积时，注意依据图形特点，分析两个向量的夹角是相应线段所成的角还是该角的补角．
【正解】 因为||＝5，||＝8，〈，〉＝180°－∠C＝120°，
所以·＝||·||cos〈，〉＝5×8×cos 120°＝－20.
1．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆．
2．向量数量积的性质及作用
设a和b是非零向量，a与b的夹角为θ.
(1)a⊥b?a·b＝0，此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系．
(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|，当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，即当a与b共线时，|a·b|＝|a||b|，此性质可用来证明向量共线．
(3)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
(4)cos θ＝，此性质可求a与b的夹角或直线的夹角，也可利用夹角取值情况建立方程或不等式用于求参数的值或范围.
1．下列式子：
①＝；②(a·b)2＝a2·b2；③a·a·a＝a3；④(a·b)·c＝a·(b·c)
其中错误的序号为________．
【解析】 ①错，因为不存在这样的运算；②错，因为(a·b)2＝(|a|·|b|cos θ)2＝a2·b2cos2θ不一定与a2·b2相等；④错，因为a与c方向未必一致．
【答案】 ①②④
2．(2013·镇江高一检测)边长为 1的正方形ABCD中，·＝________.
【解析】 ∵四边形ABCD为正方形，∴与的夹角为45°，
且||＝1，||＝.
∴·＝||·||·cos 45°＝1××＝1.
【答案】 1
3．向量a·b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.
【解析】 因为a·b＝1×3×(－)＝－，
所以|5a－b|2＝(5a－b)2＝25a2＋b2－10a·b＝49.
因此|5a－b|＝7.
【答案】 7
4．已知a，b是两个非零向量，同时满足|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．
【解】 根据|a|＝|b|，有|a|2＝|b|2，
又|b|＝|a－b|，
得|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，
∴a·b＝|a|2.
而|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3|a|2，
∴|a＋b|＝|a|.
设a与a＋b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°.
一、填空题
1．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n＝________.
【解析】 m·n＝|m||n|cos 135°＝4×6×(－)＝－12.
【答案】 －12
2．(2013·安徽高考)若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．
【解析】 由|a|＝|a＋2b|，两边平方，得|a|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，所以a·b＝－|b|2.又|a|＝3|b|，所以cos〈a，b〉＝＝＝－.
【答案】 －
3．设a与b的模分别为4和3，夹角为60°，则|a＋b|＝________.
【解析】 |a＋b|＝＝
＝＝.
【答案】
4．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|c|2＝________.
【解析】 ∵a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)．
又∵a⊥b，∴a·b＝0.
∴|c|2＝c2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝5.
【答案】 5
5．(2013·江西高考)设e1，e2为单位向量， 且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e3，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________．
【解析】 由于a＝e1＋3e2，b＝2e1，
所以|b|＝2，a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e＋6e1·e2＝2＋6×＝5，
所以a在b方向上的射影为|a|·cos?a，b?＝＝.
【答案】
6．在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________.
【解析】 选，为基底，则＝－＋，
＝－＋，
∴·＝(－＋)·(－＋)＝－.
【答案】 －
7．已知非零向量a，b，若(a＋2b)⊥(a－2b)，则＝________.
【解析】 ∵(a＋2b)⊥(a－2b)，∴(a＋2b)·(a－2b)＝0，
∴a2＝4b2，∴|a|＝2|b|，∴＝2.
【答案】 2
8．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________.
【解析】 由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos ，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.
【答案】 －8或5
二、解答题
9．(2013·长春高一检测)已知向量a与b满足|a|＝4，|b|＝2，且|a＋b|＝2.
(1)求|3a－4b|；(2)(a－2b)·(a＋b)．
【解】 ∵|a＋b|＝2，
∴(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝42＋2a·b＋22＝(2)2，
∴a·b＝－4.
(1)∵|3a－4b|2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×42－24×
(－4)＋16×22＝16×19，
∴|3a－4b|＝4.
(2)(a－2b)·(a＋b)＝a2－a·b－2b2
＝42－(－4)－2×22＝12.
10．已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？
【解】 ∵(ka－b)⊥(a＋2b)，
∴(ka－b)·(a＋2b)＝0，ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，k×52＋(2k－1)×5×4×cos 60°－2×42＝0，
∴k＝，即k＝时，向量ka－b与向量a＋2b垂直．
11．已知|a|＝，|b|＝3，a和b的夹角为45°，求当向量a＋λb与a＋b的夹角为锐角时λ的取值范围．
【解】 因为向量a＋λb与a＋b的夹角为锐角，所以(a＋λb)·(a＋b)＝a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝12λ＋5＞0.
由此解得λ＞－.若向量a＋λb与a＋b同向，则存在惟一的正数k，使得a＋λb＝k(a＋b)成立，有k＝λ＝1.
要保证向量a＋λb与a＋b不同向，则必须λ≠1.
综上所述，当λ＞－且λ≠1时，向量a＋λb与a＋b的夹角为锐角．
(教师用书独具)
如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝________.
【思路探究】 结合向量的线性运算及已知条件对数量积·进行化简求值．
【自主解答】 因为＝－＝－，所以·＝(－)·＝·－·，又AD⊥AB，所以·＝0，所以·＝·，又＝－，所以·＝·＝(－)·＝||2－·＝.
解决几何图形中的数量积运算问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量．
如图，在△ABC中，∠BAC为直角，＝a，＝b，＝，||＝.
(1)用a，b表示；
(2)求·.
【解】 (1)＝＋＝＋
＝＋(－)
＝(1－)a＋b.
(2)∵a·b＝0，|b|＝||＝，
∴·＝(1－)a·b＋b·b
＝b2＝×5＝.
第2课时 数量积的坐标表示
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)掌握平面向量的数量积的坐标表示．
(2)掌握用数量积表示线段长及两向量垂直的条件．
(3)会用平面向量数量积的坐标表示解决具体问题．
2．过程与方法
通过学习数量积的坐标运算与度量公式，提高分析问题、解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
(1)用坐标表示向量，体现了代数与几何的完美结合，说明事物可以相互联系与转化．
(2)用向量的坐标反映向量的数量积，为研究数量积开创了一个新天地．通过学习本节，使学生感受到同一事物的不同表示形式不会改变其本质规律．说明事物的变化形式是丰富多彩的，激发学生热爱科学的高尚情怀．
●重点难点
重点：用向量的坐标求数量积、向量的模及两个向量的夹角，会判断两向量间的垂直关系．
难点：运用向量法与坐标法解决有关问题．
(教师用书独具)
●教学建议
1．关于向量数量积的坐标运算的教学
教学时，建议教师从向量的坐标概念出发，类比数的乘法运算，由学生自主推导出数量积的运算，并就数量积的坐标形式同向量加减及数乘运算的坐标加以比较，在熟悉的同时，记忆并熟练应用．
2．关于向量的模、夹角及垂直关系的教学
教学时，建议教师让学生结合数量积的定义及性质，完成对向量的模、夹角及垂直关系的坐标运算的推导，并通过题组训练，以便让学生熟练应用，为下节——向量的应用奠定基础．
●教学流程
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课标解读
1.理解平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积、向量的模及两个向量的夹角．(重点)
2.会用两个向量的坐标判断它们的垂直关系．
3.增强运用向量法与坐标法处理向量问题的意识．(难点)
平面向量数量积的坐标表示
【问题导思】
i，j分别是x轴、y轴上的单位向量，a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，如何求a·b?
【提示】 a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2.
若两个向量为a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
长度、夹角、垂直的坐标表示
(1)向量的模：设a＝(x，y)，则a2＝x2＋y2，即|a|＝.
(2)向量的夹角公式：设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，它们的夹角为θ，则
cos θ＝＝ .
特别地，若a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0，反之亦成立．
数量积的坐标运算
已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)·b，求|c|.
【思路探究】 由已知条件求出c的坐标，再根据公式|c|＝求解．
【自主解答】 ∵a＝(2,4)，b＝(－1,2)，
∴a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，
∴c＝a－(a·b)·b＝(2,4)－6(－1,2)
＝(2,4)－(－6,12)
＝(2＋6,4－12)＝(8，－8)，
∴|c|＝＝8.
1．进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：
|a|2＝a·a.
(a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2.
(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
2．利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程组来进行求解．
已知向量a＝(1,2)，b＝(3,4)，求a·b，(a－b)·(2a＋3b)．
【解】 法一 ∵a＝(1,2)，b＝(3,4)，
∴a·b＝(1,2)·(3,4)＝1×3＋2×4＝11，
(a－b)·(2a＋3b)＝2a2＋a·b－3b2＝2|a|2＋a·b－3|b|2＝2(12＋22)＋11－3(32＋42)＝－54.
法二 ∵a＝(1,2)，b＝(3,4)，∴a·b＝11，
∵a－b＝(1,2)－(3,4)＝(－2，－2)，
2a＋3b＝2(1,2)＋3(3,4)＝(2×1＋3×3,2×2＋3×4)＝(11,16)，
∴(a－b)·(2a＋3b)＝(－2，－2)·(11,16)＝－2×11＋(－2)×16＝－54.
向量垂直的坐标表示的应用
已知a＝(－，)，＝a－b，＝a＋b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b.
【思路探究】 题目中给出了向量a的坐标，而欲求的向量b满足：＝a－b，＝a＋b且三角形AOB且以O为直角顶点的等腰直角三角形，则可先设出b＝(x，y)，由⊥，列出方程组求出向量b.
【自主解答】 法一 设向量b＝(x，y)，
则＝a－b＝(－－x，－y)，
＝a＋b＝(－＋x，＋y)，
由题意可知，·＝0，||＝||，
从而有：
解得或
所以b＝(，)或b＝(－，－)．
法二 设向量b＝(x，y)，依题意，·＝0，
||＝||，
则(a－b)·(a＋b)＝0，
|a－b|＝|a＋b|，
所以|a|＝|b|＝1，a·b＝0.
所以向量b是与向量a相互垂直的单位向量，
即有
解得b＝(，)或b＝(－，－)．
1．向量的垂直问题主要借助于结论：a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0，把几何问题转化为代数问题．它对于解决向量以及平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握．
2．两个向量共线的坐标表示与两个向量垂直的坐标表示截然不同，不能混淆．
设a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，若(a＋b)⊥(a－b)，求实数m的值．
【解】 由题设，a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－m－2)．
∵(a＋b)⊥(a－b)，
∴(a＋b)·(a－b)＝0.
即(m＋2)m＋(m－4)(－m－2)＝0.
∴m2＋2m－m2＋2m＋8＝0，即4m＋8＝0，
∴m＝－2.
向量夹角问题
已知点A(2,2)，B(4,1)，O为坐标原点，P为x轴上一动点，当·取最小值时，求向量与的夹角的余弦值．
【思路探究】 设点P(x,0)，将·表示成x的函数，即可求得相应的最小值及x的值，再由夹角公式即得结论．
【自主解答】 设点P(x,0)，
则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)．
∴·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)
＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.
∴当x＝3时，·取最小值1.
此时，＝(2,2)－(3,0)＝(－1,2)．
＝(4,1)－(3,0)＝(1,1)，
∴||＝，||＝，
∴cos∠APB＝＝.
利用向量的坐标运算求出两向量的数量积和模的积，其比值就是这两个向量夹角的余弦值．利用函数思想处理最值问题，是一种常用方法，需切实掌握．
已知△ABC顶点的坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)．
(1)若c＝5，求cos A的值；
(2)若A为钝角，求c的取值范围．
【解】 (1)＝(－3，－4)，＝(c－3，－4)，
当c＝5时，＝(2，－4)．
∴cos A＝
＝＝＝.
(2)若A为钝角，则
·＝－3(c－3)＋16＝25－3c＜0，解得c＞.
显然此时有和不共线，故当A为钝角时，c的取值范围为(，＋∞).
由夹角范围求参数范围时
忽视向量共线情况致误
已知向量a＝(－2，－1)，b＝(t,1)，且a与b的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
【错解】 ∵a与b的夹角为钝角，
∴cos〈a，b〉＝＜0，
即a·b＝(－2，－1)·(t,1)＝－2t－1＜0，
∴t＞－，
∴t的取值范围为(－，＋∞) .
【错因分析】 错解忽视了a与b反向共线时，也有a·b＜0成立，应排除使a与b反向的t值．
【防范措施】 两非零向量夹角θ的范围满足0°≤θ≤180°，因此，仅依靠cos θ的正负不能判定θ为锐角或钝角．
cos θ＜0且cos θ≠－1时，θ为钝角，cos θ＞0且cos θ≠1时，θ为锐角．
【正解】 ∵a与b的夹角为钝角，
∴cos〈a，b〉＝＜0，
即a·b＝(－2，－1)·(t,1)＝－2t－1＜0，∴t＞－.
若a∥b，可设a＝λb，则(－2，－1)＝λ(t,1)，
∴解得此时a＝－b，a与b反向，所成角为180°，故t＝2不合题意．
∴t的取值范围是(－，2)∪(2，＋∞)．
1．向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来．本节主要应用有：
(1)求两点间的距离(求向量的模)．
(2)求两向量的夹角．
(3)证明两向量垂直．
2．利用数量积求两向量夹角的步骤
(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积．
(2)利用|a|＝计算出这两个向量的模．
(3)由公式cos θ＝直接求出cos θ的值．
(4)在0≤θ≤π内，由cos θ的值求角θ.
1．已知A(1,2)，B(2,1)，则||＝________.
【解析】 ∵＝(1，－1)，∴||＝＝.
【答案】
2．已知a＝(－5,5)，b＝(0，－3)，则a与b的夹角为________．
【解析】 ∵cos θ＝＝＝－，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
【答案】
3．已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则x的值等于________．
【解析】 由a⊥b得a·b＝0，即2(x－5)＋3x＝0，解得x＝2.
【答案】 2
4．已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)，B(4,1)，C(0，－1)，求·和∠ACB的大小，并判断△ABC的形状．
【解】 ∵＝(3，－1)，＝(－1，－3)，
∴·＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0.
∴⊥.
又∵tan∠ACB＝＝＝1.
∴∠ACB＝45°.
∴△ABC是等腰直角三角形，其中∠A＝90°.
一、填空题
1．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝________.
【解析】 ∵a＋2b＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝－15＋12＝－3.
【答案】 －3
2．已知a＝(1，)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.
【解析】 ∵a＋b＝(－1，)，
∴|a＋b|＝＝2.
【答案】 2
3．(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2,2)．若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．
【解析】 ∵∠ABO＝90°，∴⊥，∴·＝0.
又＝－＝(2,2)－(－1，t)＝(3,2－t)，
∴(2,2)·(3,2－t)＝6＋2(2－t)＝0.
∴t＝5.
【答案】 5
4．设向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，当向量a＋2b与2a－b平行时，a·b等于________．
【解析】 a＋2b＝(1＋2x,4)，2a－b＝(2－x,3)，∵a＋2b与2a－b平行，∴(1＋2x)×3－4×(2－x)＝0，∴x＝，a·b＝(1,2)·(，1)＝1×＋2×1＝.
【答案】
5．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角是________．
【解析】 设c＝(x，y)，则(a＋b)·c＝(－1，－2)·(x，y)＝－x－2y＝，∴x＋2y＝－.
又|a|＝|c|＝，且a·c＝x＋2y＝|a||c|·cos α，故cos α＝－，α∈[0，π]，α＝π.
【答案】 π
6．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，O为坐标原点，在x轴上取一点P使·有最小值，则点P的坐标是________．
【解析】 设点P坐标为(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，当x＝3时，·有最小值1.
∴点P的坐标为(3,0)．
【答案】 (3,0)
7．若平面向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝3，则b＝________.
【解析】 a与b共线且方向相反，∴b＝λa(λ＜0)，设b＝(x，y)，则(x，y)＝λ(1，－2)，
得
由|b|＝3，得x2＋y2＝45，即λ2＋4λ2＝45，
解得λ＝－3，∴b＝(－3,6)．
【答案】 (－3,6)
8．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝________.
【解析】 设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，因为(c＋a)∥b，
所以－3(1＋m)＝2(2＋n)．①
又c⊥(a＋b)，所以3m－n＝0.②
联立①②，解得m＝－，n＝－，
则c＝(－，－)．
【答案】 (－，－)
二、解答题
9．在?ABCD中，A点坐标为(1,0)，B点坐标为(3,2)，C点坐标为(4，－1)，求与夹角的余弦值．
【解】 ∵A点坐标为(1,0)，B点坐标为(3,2)，C点坐标为(4，－1)，
∴＝(2,2)，＝(3，－1)，
∴＝－＝(1，－3)．
又由题意可知＝，
∴＝－＝(1，－3)－(2,2)＝(－1，－5)．
设与的夹角为θ，则
cos θ＝＝＝－.
10．(2013·南昌高一检测)已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
【解】 (1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x2＋2x＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
则|a－b|＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
则|a－b|＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝2.
∴|a－b|＝2或2.
11．已知a＝(，－1)，b＝(，)，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求的最小值．
【解】 ∵a＝(，－1)，b＝(，)，
∴|a|＝＝2，
|b|＝＝1.
又∵a·b＝×＋(－1)×＝0，∴a⊥b.
由x⊥y得[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0，
即－ka2＋(t3－3t)b2＋(t－kt2＋3k)a·b＝0，
∴－k|a|2＋(t3－3t)|b|2＝0.
将|a|＝2，|b|＝1代入上式，得－4k＋t3－3t＝0，
解得k＝.
∴＝(t2＋4t－3)＝(t＋2)2－.
故当t＝－2时，取得最小值，为－.
(教师用书独具)
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
【思路探究】 (1)分别求出，的坐标，通过向量的坐标运算得到＋，－，代入向量长度公式即得对角线的长度；(2)利用向量数量积的坐标运算，建立关于t的方程，解方程即得．
【自主解答】 (1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，
则＋＝(2,6)，－＝(4,4)，
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线的长分别为2，4.
(2)由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．
由(－t)·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，即5t＝－11，解得t＝－.
1．熟练地运用向量的平行四边形法则，写出表示对角线的向量是关键．
2．涉及方程思想的应用，一般地，求参数的值时，通常根据题意列出方程进行求解．
已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值．
【解】 (1)∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)．
∴·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD.
(2)∵⊥，四边形ABCD为矩形，∴＝.
设点C坐标为(x，y)，则＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，
∴
解得
∴点C坐标为(0,5)．
从而＝(－2,4)，＝(－4,2)，
且||＝2，||＝2.·＝8＋8＝16.
设与的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝.
∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为.
2．5向量的应用
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
会用向量方法处理简单的物理和几何问题．
2．过程与方法
通过本节的学习，研究向量法和坐标法处理物理和几何问题的思想．
3．情感、态度与价值观
(1)培养分析事物间相互联系的能力，提高学科间相互渗透的学习方法．
(2)通过对实际问题的抽象思考，培养分析问题和应用知识解决问题的意识与能力．
(3)培养热爱生活、热爱自然的高尚情怀．
●重点难点
重点：用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．
难点：用向量方法解决实际问题的基本方法．
(教师用书独具)
●教学建议
关于向量方法在平面几何及物理中的教学
教学时，建议教师在引导学生回顾向量的线性运算、数量积运算及向量加减法的几何意义、向量共线定理、平面向量基本定理等知识的前提下，通过实例充分展示向量的工具性，突出其在生产实际中的应用，在巩固知识的同时，激发学生的学习兴趣，培养学生的创新和开拓能力．
●教学流程
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课标解读
1.会用向量方法解决简单的物理问题及其他的一些实际问题．
2.会用向量方法解决某些简单的几何问题．(重点、难点)
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
向量在物理中的应用
图2－5－1
如图2－5－1，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1，求：
(1)|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；
(2)当|F1|≤2|G|时，θ角的取值范围．
【思路探究】 由力的平衡原理知，重力G是绳子的拉力和水平拉力的合力，且G⊥F2，F1与G的夹角为π－θ，解三角形求得力的大小与θ的关系，再回答相关问题．
【自主解答】 (1)由力的平衡原理知，G＋F1＋F2＝0，作向量＝F1，＝F2，＝－G，则＋＝，∴四边形OACB为平行四边形，如图．
由已知∠AOC＝θ，∠BOC＝，
∴||＝，||＝||＝||tan θ.
即|F1|＝，
|F2|＝|G|tan θ，θ∈[0，)．
由此可知，当θ从0逐渐增大趋向于时，|F1|，|F2|都逐渐增大．
(2)当|F1|≤2|G|时，有≤2|G|，
∴cos θ≥，又θ∈[0，)．∴θ∈[0，]．
1．解力向量题时，依据题意对物体进行受力分析，通过向量加法的平行四边形法则对力进行分解和合成．
2．解题时要明确各个向量之间的关系及它们各自在题目中的地位，借助于图形，将物理量之间的关系抽象为数学模型．
图2－5－2
如图2－5－2，作用于同一点O的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，已知|F1|＝1，|F2|＝2，F1与F2的夹角为，求F3的大小．
【解】 ∵F1，F2，F3三个力处于平衡状态，
∴F1＋F2＋F3＝0，即F3＝－(F1＋F2)，
∴|F3|＝|F1＋F2|＝
＝＝＝.
向量在平面几何中的应用
图2－5－3
如图2－5－3所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF.
【思路探究】 以点D为原点建立直角坐标系，设正方形的边长为1，DP＝λ，求出向量与的坐标，分别求出它们的长度判断即可．
【自主解答】 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP＝λ(0＜λ＜)，则A(0,1)，P(λ，λ)，E(1，λ)，F(λ，0)．
∴＝(－λ，1－λ)，＝(λ－1，－λ)，
∴||＝＝，
||＝＝，
∴||＝||，∴PA＝EF.
用向量证明平面几何问题的方法，常见有两种思路：
(1)向量的线性运算法
→→
→
(2)向量的坐标运算法
→→
→
已知直角三角形的两直角边长分别为2和4，求两直角边上的中线所夹的锐角的余弦值．
【解】 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别是BC，AC边的中点．BC＝2，AC＝4.则CD＝1，CE＝2.
∴||＝＝，
||＝＝2.
·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝4×2＋0＋0＋1×2＝10.
设与的夹角为θ，则
cos θ＝＝＝.
故直线AD和BE所夹的锐角的余弦值为.
法二 如图所示建立直角坐标系，点C为原点，两直角边为坐标轴．其中点A(0,4)，B(2,0)，D(1,0)，E(0,2)．则＝(1，－4)，＝(2，－2)．
∴·＝1×2＋(－4)×(－2)＝10.
||＝＝，
||＝＝2.
设与的夹角为θ，则
cos θ＝＝＝.
故直线AD和BE所夹的锐角的余弦值为.
向量在解析几何中的应用
已知点P(－3,0)，点A在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线AQ上，满足·＝0，＝－，当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程．
【思路探究】 一般要先设出动点坐标即M(x，y)，再结合已知条件用动点坐标与已知点坐标表示，，找出坐标间的关系，从而求出动点的轨迹方程．
【自主解答】 设点M(x，y)为轨迹上的任意一点，设
A(0，b)，Q(a,0)(a＞0)，
则＝(x，y－b)，＝(a－x，－y)．
∵＝－，∴(x，y－b)＝－(a－x，－y)．
∴a＝，b＝－，
则A(0，－)，Q(，0)，＝(3，－)，＝(x，y)．
∵·＝0，∴(3，－)·(x，y)＝0.
∴3x－y2＝0，∴所求轨迹方程为y2＝4x(x＞0)．
利用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、夹角、距离等问题均可用向量表示或用向量解决，要先将线段看成向量，再利用向量法则进行坐标运算使问题得以解决．
已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－6，点R是直线l上的一点，若＝2，求点P的轨迹方程．
【解】 设P(x，y)，R(x0，y0)，
则＝(1,0)－(x0，y0)＝(1－x0，－y0)，
＝(x，y)－(1,0)＝(x－1，y)．
由＝2，得
又∵点R在直线l：y＝2x－6上，∴y0＝2x0－6，
∴
由①得x0＝3－2x，代入②得6－2(3－2x)＝2y，整理得y＝2x，
即为点P的轨迹方程.
应用问题的题意理解不清致误
在水流速度为4 km/h的河水中，一艘船以12 km/h的实际航行速度垂直于对岸行驶，求这艘船的航行速度的大小与方向．
【错解】 如图所示，设表示水流速度，表示船垂直于对岸行驶的速度，以，为邻边作?ABDC，则就是船的航行速度．
由||＝12，得||＝||＝12，
又∵||＝4，
∴||＝＝8(km/h)．
∵tan∠DAB＝＝，∴∠DAB＝60°，
∴船的航行速度的大小为8 km/h，方向与水流方向的夹角为60°.
【错因分析】 错解中错在没有正确理解题意，导致船的航行方向求解错误．
【防范措施】 准确理解题意，抽象出物理问题中的向量，建立为以向量为主体的数学模型，是解决此类问题的关键所在．
【正解】 如图所示，设表示水流速度，表示船垂直于对岸行驶的速度，以为一边，为一对角线作?ABCD，则就是船的航行速度．
∵||＝4，||＝12，
∴||＝||＝8，
∴tan∠ACB＝＝.
∴∠CAD＝∠ACB＝30°，∴∠BAD＝120°，
∴船的航行速度的大小为8 km/h，方向与水流方向的夹角为120°.
1．平面向量在几何表示下的应用
通常先选取一组基底，基底中的向量最好已知模及两者之间的夹角，然后将问题中出现的向量用基底表示，再利用向量的运算法则、运算律以及一些重要性质运算，最后把运算结果还原为几何关系．
2．平面向量在坐标表示下的应用
利用平面向量的坐标表示，可以将平面几何中长度、垂直、平行等问题很容易地转化为代数运算的问题，运用此种方法必须建立适当的坐标系．实现向量的坐标化，有时是最不容易做到的．
3．用向量理论讨论物理中相关问题的步骤
(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；
(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；
(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；
(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象.
1．若向量1＝(2,2)，2＝(－2,3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|＝________.
【解析】 ∵F1＋F2＝(2,2)＋(－2,3)＝(0,5)，∴|F1＋F2|＝＝5.
【答案】 5
2．在△ABC中，A(－1,2)，B(3,1)，C(2，－3)，则AC边上的高所在直线方程为________．
【解析】 ＝(3，－5)，设P(x，y)是所求直线上任意一点，＝(x－3，y－1)，所以AC边上的高所在的直线方程为·(x－3，y－1)＝0，即3x－5y－4＝0.
【答案】 3x－5y－4＝0
3．在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形的形状为________．
【解析】 ∵∥，
||＝||，且⊥，故四边形ABCD为矩形．
【答案】 矩形
图2－5－4
4．如图2－5－4所示，在平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
【解】 设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b.
∵||＝|a－b|＝
＝＝
＝，
∴||2＝5－2a·b＝4.
可得2a·b＝1.
∵||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2
＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝1＋4＋2a·b，
∴||2＝6，∴||＝，即AC＝.
一、填空题
1．点P在平面上做匀速直线运动，速度v＝(4，－3)，设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(速度单位：m/s，长度单位：m)________．
【解析】 5秒后点P的坐标为(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)．
【答案】 (10，－5)
2．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某一物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4等于________．
【解析】 由题意可知f4＝－(f1＋f2＋f3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝－(－1，－2)＝(1,2)．
【答案】 (1,2)
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于________．
【解析】 ∵∠C＝90°，∴·＝0，∴·＝(＋)·＝2＋·＝16.
【答案】 16
4．(2013·无锡高一检测)若四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形的形状一定是________．
【解析】 ∵＋＝0，∴＝，∴AB綊CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵(－)·＝0，∴·＝0，∴⊥，
∴四边形ABCD是菱形．
【答案】 菱形
5．(2013·重庆高考)在OA为边，OB为对角线的矩形中，＝(－3,1)，＝(－2，k)，则实数k＝________.
【解析】 如图所示，由于＝(－3,1)，＝(－2，k)，所以＝－＝(1，k－1)．在矩形中，由⊥得·＝0，所以(－3,1)·(1，k－1)＝0，即－3×1＋1×(k－1)＝0，解得k＝4.
【答案】 4
6．若·＝·＝·，则O是△ABC的________心．
【解析】 ∵·＝·?·(－)＝0，
∴·＝0，
∴⊥.
同理⊥，⊥，
故点O为△ABC的垂心．
【答案】 垂
7．已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，且AB＝，则·＝________.
【解析】 ∵||＝1，||＝1，||＝，
∴∠AOB＝120°，
∴·＝1×1×cos 120°＝－.
【答案】 －
8．已知船在静水中的速度大小为5 m/s，且船在静水中的速度大小大于水流速度大小，河宽为20 m，船垂直到达对岸用的时间为5 s，则水流速度大小为________m/s.
【解析】 设船在静水中的速度为v1，水流速度为v2，船的实际速度为v3，建立如图所示的平面直角坐标系．|v1|＝5 m/s，|v3|＝＝4 m/s，则v3＝(0,4)，v1＝(－3,4)，
v2＝v3－v1＝(0,4)－(－3,4)＝(3,0)．
∴|v2|＝3 m/s，即水流的速度大小为3 m/s.
【答案】 3
二、解答题
9．已知，四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线，求证AC⊥BD.
【证明】 ∵＝＋，
＝－，
∴·＝(＋)·(－)
＝||2－||2＝0，
∴⊥，即AC⊥BD.
10．一条小船以10 km/h的速度向垂直于对岸方向航行，小船实际行驶的方向与水流方向成60°角，求水流速度大小与船的实际速度大小．
【解】 如图所示，表示小船垂直于对岸行驶的速度，表示水流速度，表示船的实际速度．
则由题意知∠NOP＝60°，||＝10，
又∵四边形OMPN是矩形，
∴||＝||sin 60°＝10.
∴||＝＝.
∴||＝||cos 60°＝×＝.
∴水流速度为 km/h，
船的实际速度为 km/h.
11．已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M是圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且MA＝2AN，求点N的轨迹方程．
【解】 设M(x0，y0)，N(x，y)，则＝(1－x0,1－y0)，＝(x－1，y－1)，
由＝2，
得∴
又点M在圆C上，即(x0－3)2＋(y0－3)2＝4，
∴(－2x＋3－3)2＋(－2y＋3－3)2＝4，即x2＋y2＝1，
∴点N的轨迹方程为x2＋y2＝1.
(教师用书独具)
在△OAB的边OA、OB上分别有一点P、Q，已知OP∶PA＝1∶2，OQ∶QB＝3∶2，连结AQ、BP，设它们交于点R，若＝a，＝b.
(1)用a与b表示；
(2)若|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，过点R作RH⊥AB交AB于点H，用a与b表示.
【思路探究】 本题主要考查向量的线性运算、共线向量和向量的垂直，充分利用三点共线的隐含条件是解决本题的关键．
【自主解答】 (1)＝＝a，＝＝b，
由A、R、Q三点共线，可设＝m，
故＝＋＝a＋m＝a＋m(－)＝(1－m)a＋mb.
同理，由B、R、P三点共线，可设＝n，
故＝＋＝b＋n(－)＝a＋(1－n)b，
由于a与b不共线，则
解得
∴＝a＋b.
(2)由A、H、B共线，可设＝λ，则
＝λa＋(1－λ)b，
＝－＝(λ－)a＋(－λ)b.
又⊥，∴·＝0，
即[(λ－)a＋(－λ)b]·(b－a)＝0.
又a·b＝|a|·|b|cos θ＝1，θ＝60°，
∴λ＝，∴＝a＋b.
利用向量的方法很容易解决几何中的长度计算与角度计算问题，特别在证明一些垂直关系等问题中充分体现了向量的广泛应用．
(2013·太原高一检测)如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M是AD，DC的中点，BF＝BC，
(1)以a，b为基底表示向量与；
(2)若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求·.
【解】 (1)∵M为DC的中点，
∴＝，又＝，
∴＝＋＝＋＝a＋b，
∵H为AD的中点，BF＝BC，
∴＝，＝，
又＝，
∴＝＋＋
＝－＋＋
＝－＝a－b.
(2)由已知得a·b＝3×4×cos 120°＝－6，
·＝(a＋b)·(a－b)
＝a2＋(1－)a·b－b2
＝×32＋×(－6)－×42＝－.
向量的线性运算
1.向量的线性运算包括向量的加法、减法及数乘，其中向量的加法、减法的几何意义是向量进行线性运算的考查前提和基础，学习时务必掌握好三角形法则和平行四边形法则．
2．向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题．
图2－1
如图2－1所示，设△ABC的重心为M，O为平面上任意一点，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量.
【思路点拨】 由于＝＋，因此利用三角形的重心的性质，结合向量的三角形和平行四边形法则、向量的数乘的定义和运算律，将用a，b，c表示即可解决问题．
【规范解答】 连结AM，并延长交BC于点D，如图所示．
∵M是△ABC的重心，
∴D是BC的中点，且AM＝AD.
∴＝＝(＋)
＝＋＝＋×＝＋
＝(－)＋(－)
＝(b－a)＋(c－b)＝b－a＋c－b
＝－a＋b＋c.
∴＝＋＝a＋(－a＋b＋c)＝(a＋b＋c)．
图2－2
如图2－2，O是平行四边形ABCD外一点，用，，表示.
【解】 ∵四边形ABCD是平行四边形，设其对角线AC，BD相交于点E，由向量加法的平行四边形法则，可知＋＝2，＋＝2，
∴＋＝＋，
∴＝＋－.
向量的共线问题
证明向量平行(共线)问题常用的结论有：(1)向量a，b(a≠0)共线?存在惟一实数λ，使b＝λa；(2)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线?x1y2－x2y1＝0；(3)向量a与b共线?|a·b|＝|a||b|；(4)向量a与b共线?存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0.
判断两向量所在的基线共线时，除满足定理的要求外，还应说明两基线有公共点．
已知锐角△ABC三个内角为A，B，C，向量p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)与向量q＝(sin A－cos A,1＋sin A)是共线向量．求角A.
【思路点拨】 利用向量共线的条件，得到三角函数的关系式，解三角方程即可求角．
【规范解答】 ∵向量p，q共线，
∴(2－2sin A)(1＋sin A)－(sin A－cos A)(cos A＋sin A)＝0.
∴2－2sin2A＝sin2A－cos2A.
∴sin2A＝.
又∵A为锐角，∴sin A＝.∴A＝.
设两个非零向量e1和e2不共线．
(1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求证：A，C，D三点共线；
(2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝2e1－ke2，且A，C，D三点共线，求k的值．
【解】 (1)证明：∵＝e1－e2，＝3e1＋2e2，
＝－8e1－2e2，
∴＝＋＝4e1＋e2
＝－(－8e1－2e2)＝－，
∴与共线，
又∵与有公共点C，
∴A，C，D三点共线．
(2)＝＋
＝3e1－2e2，
∵A，C，D三点共线，
∴与共线，从而存在实数λ，使得＝λ，
即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，由平面向量基本定理，
得
解得λ＝，k＝.
数量积运算及应用
数量积的运算是向量运算的核心，利用向量的数量积可以解决以下问题：
1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
平行问题
a∥b?x1y2－x2y1＝0
垂直问题
a⊥b?x1x2＋y1y2＝0
2.求向量的模及夹角问题
(1)设a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝；
(2)两向量夹角的余弦(0≤θ≤π)
cos θ＝＝.
已知＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，设M是直线OP上一点(O为坐标原点)．
(1)求使·取最小值时的.
(2)对(1)中求出的点M，求∠AMB的余弦值．
【思路点拨】 根据M是直线OP上一点，可得＝λ，从而表示出的坐标，再计算出·，然后求最小值．
【规范解答】 (1)∵M是直线OP上一点，∴∥，
设＝λ＝(2λ，λ)，则＝－＝(1－2λ，7－λ)，
＝－＝(5－2λ，1－λ)，
∴·＝5λ2－20λ＋12＝5(λ－2)2－8，
∴当λ＝2时，取最小值，此时＝(4,2)．
(2)由(1)知，＝(－3,5)，＝(1，－1)，
∴cos∠AMB＝＝－.
设a＝(，－1)，b＝(，)，若存在不同时为零的实数k和t，使x＝a＋(t－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y.
(1)试求函数关系式k＝f(t)；
(2)求使f(t)＞0的t的取值范围．
【解】 (1)∵a·b＝0，x⊥y，|a|＝2，|b|＝1，
∴[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0.
即－ka2＋[t－k(t－3)]a·b＋t(t－3)b2＝0，
∴－4k＋t2－3t＝0.
∴k＝(t2－3t)．
∵k，t不同时为0，
∴函数定义域为{t|t∈R且t≠0}．
(2)由f(t)＞0，
即(t2－3t)＞0，
解得t＞3或t＜0.
即t的取值范围是(－∞，0)∪(3，＋∞).
向量的应用
平面向量的应用主要体现在两个方面：一是在平面几何中的应用，向量的加减运算、向量的相等、平行、数乘向量、距离、夹角和向量的数量积之间有密切的联系，因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题；二是在物理学中的应用，主要解决力、位移、速度等问题．
图2－3
已知梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是BD，AC的中点，如图2－3所示，求证：EF∥BC，EF∥AD.
【思路点拨】 设＝a，＝b，利用向量平行来进行证明．
【规范解答】 设＝a，＝b.
∵AD∥BC，∴＝λ.
＝－＝b－a.
∵E为BD的中点，∴＝＝(b－a)．
又∵F为AC的中点，∴＝(＋)＝(λb－a)．
∴＝－＝(λb－a)－(b－a)
＝(λ－)b.
又∵b＝，∴＝(λ－)·，
∴∥.
又∵，不在同一条直线上，∴EF∥BC.
又∵BC∥AD，∴EF∥AD.
△ABC中，AB＝AC，D为AB中点、E为△ACD的重心，F为△ABC的外心，用向量方法证明：EF⊥CD.
【证明】 依题意建立如图坐标系，设
A(0，b)，B(－a,0)，C(a,0)，由中点公式得D(－，)，则＝(－a，)．
易知△ABC的外心F在y轴上，坐标可记作(0，y)．由||＝||及两点间距离公式得y＝，即F(0，)．
又由重心坐标公式得E(，)，则＝(－，－)．
∵·＝－a×(－)＋×(－)＝0，
∴⊥，即CD⊥EF.
数形结合思想
平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、运算律的推导中都渗透了数形结合思想．引入向量的坐标表示，使向量运算代数化，将“数”和“形”紧密地结合起来．运用数形结合思想可解决共线、平行、垂直、夹角、距离、面积等问题．
已知向量a2＝b2＝1，且a·b＝－，求：
(1)|a＋b|；
(2)a与(b－a)的夹角．
【思路点拨】 →
【规范解答】 作＝a，＝b，以，为邻边作?ABCD，如图所示．
由a2＝b2＝1及a·b＝－得
||＝||＝1，
cos∠BAD＝＝－.
又∠BAD∈[0，π]，
∴∠BAD＝π.
所以四边形ABCD为边长为1且一个内角为π的菱形，易得
(1)|a＋b|＝||＝1.
(2)a与(b－a)的夹角为π.
已知点B(，0)，点O为坐标原点且点A在圆(x－)2＋(y－)2＝1上，则与的夹角θ的最大值与最小值分别是________．
【解析】 如图所示，当点A在圆C上运动时，过原点O可作圆的两条切线，两切线与x轴正向所夹的角即为所求．
当直线OA与圆C相切时，与夹角最小或最大．因为C(，)，所以∠BOC＝.又因为|OC|＝2，r＝1，所以∠AOC＝，因此与的夹角的最大值与最小值分别是＋＝π，－＝.
【答案】 ，
课件31张PPT。向量的线性运算 向量的共线问题 数量积运算及应用 向量的应用 数形结合思想 课件48张PPT。
教师用书独具演示演示结束 向量及其有关概念 方向 大小 起点 终点 0 等于1个单位长度 长度相等 方向相同 相等 相反 相同或相反 非零 向量的有关概念 向量的表示 相等向量与共线向量 课时作业（十二） (教师用书独具)课件47张PPT。
教师用书独具演示演示结束 向量加法的定义 和 向量加法的运算法则 和 a＋b a＋b 向量加法的运算律 b＋a a＋(b＋c) 向量加法的化简与运算 向量加法在平面几何中的应用 向量加法的实际应用 课时作业（十三） (教师用书独具)课件40张PPT。
教师用书独具演示演示结束 向量的减法 b＋x＝a a－b 差 已知向量作和(差)向量 向量加减法的基本运算 用已知向量表示其他向量 课时作业（十四） (教师用书独具)课件46张PPT。
教师用书独具演示演示结束 向量数乘的定义 一个向量 相同 相反 0 向量的数乘 0 向量数乘的运算律 向量共线定理 向量数乘的基本运算 向量的表示 共线问题 课时作业（十五） (教师用书独具)课件53张PPT。
教师用书独具演示演示结束 平面向量基本定理 不共线 任一 基底 不共线 平面向量的正交分解 分解 垂直 平面向量基本定理的理解 用基底表示向量 平面向量基本定理的应用 课时作业（十六） (教师用书独具)课件49张PPT。
教师用书独具演示演示结束 平面向量的坐标表示及坐标运算 相同 单位向量 有且只有 (x，y) (x1－x2，y1－y2) (x1＋x2，y1＋y2) (x2，y2)－(x1，y1) (x2－x1，y2－y1) 终点 起点 向量平行的坐标表示 x1y2－x2y1＝0 x1y2－x2y1＝0 向量的坐标表示 平面向量的坐标运算 向量平行的坐标表示 课时作业（十七） (教师用书独具)课件46张PPT。
教师用书独具演示演示结束 向量的数量积 |a||b|cos θ 内积 a·b 0 a·b＝|a||b|cos θ 夹角 0°≤θ≤180° 同向 反向 a⊥b 垂直 向量的数量积的运算律 向量数量积的运算 求向量的模 向量的夹角和垂直问题 课时作业（十八） (教师用书独具)课件48张PPT。
教师用书独具演示演示结束 平面向量数量积的坐标表示 x1x2＋y1y2 对应坐标的乘积的和 长度、夹角、垂直的坐标表示 x1x2＋y1y2＝0 数量积的坐标运算 向量垂直的坐标表示的应用 向量夹角问题 课时作业（十九） (教师用书独具)课件47张PPT。
教师用书独具演示演示结束 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” 向量在物理中的应用 向量在平面几何中的应用 向量在解析几何中的应用 课时作业（二十） (教师用书独具)综合检测(二)
第2章 平面向量
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填在题中的横线上)
1．化简(＋)＋(＋)＋的结果为________．
【解析】 原式＝＋＋＋＋＝.
【答案】
2．下列等式恒成立的是________．
(1)＋＝0；
(2)－＝；
(3)(a·b)·c＝a·(b·c)；
(4)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
【解析】 (1)等于0；(2)等于；(3)不满足结合律；(4)平面向量满足数量积的分配律．
【答案】 (4)
3．若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数m的值为________．
【解析】 由a·b＝0，得3×2＋m×(－1)＝0，∴m＝6.
【答案】 6
4．若a＝(2,3)，b＝(4，－1＋y)，且a∥b，则y等于________．
【解析】 ∵a∥b，∴2(－1＋y)－3×4＝0，∴y＝7.
【答案】 7
5．已知|a|＝4，|b|＝6，a与b的夹角为60°，则|3a－b|＝________.
【解析】 由|3a－b|2＝9a2－6a·b＋b2＝9×42－6×4×6×cos 60°＋62＝108，可求得|3a－b|＝6.
【答案】 6
6．在△ABC中，已知D为AB边上的一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝________.
【解析】 ∵＝2，∴＝，
∴＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋.
又＝＋λ且与不共线，
∴λ＝.
【答案】
7．已知点A(1，－2)，若向量与a＝(2,3)同向，||＝2，则点B的坐标为________．
【解析】 由题意可设＝λa＝(2λ，3λ)(λ＞0)，
∵||＝2，∴＝2.
解得λ＝2，∴＝(4,6)．
又∵A(1，－2)，∴B(5,4)．
【答案】 (5,4)
8．(2013·泰州高一检测)已知向量a与向量b的夹角为120°，若向量c＝a＋b，且a⊥c，则的值为________．
【解析】 c·a＝(a＋b)·a＝a2＋a·b
＝|a|2＋|a||b|cos 120°＝|a|2－|a||b|＝0，
∴＝.
【答案】
图1
9．如图1，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，D为BC边上的点，且·＝0，＝2，则·＝________.
【解析】 ∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，∴AD＝1.
∴·＝·(＋)＝·＋·＝1×2×＋0＝1.
【答案】 1
10．(2013·福建高考改编)在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为________．
【解析】 ∵·＝(1,2)·(－4,2)＝－4＋4＝0，∴⊥，∴S四边形ABCD＝||·||＝××2＝5.
【答案】 5
11．(2013·天津高考)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．
【解析】 设AB的长为a(a>0)，因为＝＋，＝＋＝－，于是·＝(＋)·(－)＝·－2＋2＝－a2＋a＋1，由已知可得－a2＋a＋1＝1.又a>0，
∴a＝，即AB的长为.
【答案】
12．设O，A，B，C为平面上四点，＝a，＝b，＝c，且a＋b＋c＝0，a，b，c两两数量积均为－2，则|a|＋|b|＋|c|＝________.
【解析】 a＝－b－c，∴a2＝－a·(b＋c)＝－a·b－a·c＝2＋2＝4，|a|＝2；b＝－a－c，∴b2＝－b·(a＋c)＝4，∴|b|＝2；c＝－a－b，∴c2＝－c·(a＋b)＝4.∴|c|＝2，
∴|a|＋|b|＋|c|＝6.
【答案】 6
13．关于平面向量a，b，c，有下列三个结论：
①若a·b＝a·c，则b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.
其中正确的为________．(写出所有正确命题的序号)
【解析】 当a＝0时，①不成立；对于②，若a∥b，则－2k＝6，∴k＝－3，②成立；对于③，由于|a|＝|b|＝|a－b|，则以|a|，|b|为邻边的平行四边形为菱形，如图．∠BAD＝60°，＝a＋b，由菱形的性质可知，a与a＋b的夹角为∠DAC＝30°，故③不正确．
【答案】 ②
14．O为△ABC中线AM上的一个动点，若AM＝2，则·(＋)的最小值是________．
【解析】 设||＝x,0≤x≤2，
则||＝2－x，如图．
由题意易得＝＋，＝＋.
又∵＝－，
∴·(＋)＝·2
＝2||||cos 180°＝－2||||
＝－2x(2－x)＝2(x2－2x)＝2(x－1)2－2.
当x＝1时有最小值－2，此时O为AM的中点．
【答案】 －2
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)已知A(－1,0)，B(0,2)，C(－3,1)，·＝5，2＝10.
(1)求D点坐标；
(2)若D点在第二象限，用，表示；
(3)＝(m,2)，若3＋与垂直，求坐标．
【解】 (1)设D(x，y)，＝(1,2)，＝(x＋1，y)．
由题得
即∴或
∴D点坐标为(－2,3)或(2,1)．
(2)∵D点在第二象限，∴D(－2,3)．
∴＝(－1,3)．∵＝(－2,1)，
设＝m＋n，
则(－2,1)＝m(1,2)＋n(－1,3)，
∴∴
∴＝－＋.
(3)∵3＋＝3(1,2)＋(－2,1)＝(1,7)，
＝(m,2)，
∴(3＋)·＝0.
∴m＋14＝0.∴m＝－14.
∴＝(－14,2)．
16．(本小题满分14分)已知＝(6,1)，＝(－2，－3)，设＝(x，y)
(1)若四边形ABCD为梯形，求x，y间的函数的关系式；
(2)若以上梯形的对角线互相垂直，求.
【解】 (1)＝＋＋＝(4＋x，－2＋y)，
∵与不共线，且四边形ABCD为梯形，
∴∥，
∴x(y－2)－y(4＋x)＝0，
∴y＝－x.
(2)＝＋＝(6＋x,1＋y)，
＝＋＝(x－2，y－3)．
∵⊥，∴·＝0，
(6＋x)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，
即x2＋y2＋4x－2y－15＝0，
又y＝－x代入上式，得
或，
∴＝(－6,3)或(2，－1)．
17．(本小题满分14分)已知A，B，C是平面直角坐标系内三点，其坐标分别为A(1,2)，B(4,1)，C(0，－1)．
(1)求，和∠ACB的大小，并判断△ABC的形状；
(2)若M为BC的中点，求||.
【解】 (1)∵A(1,2)，B(4,1)，C(0，－1)．
∴＝(4,1)－(1,2)＝(3，－1)，
＝(0，－1)－(1,2)＝(－1，－3)，
∴·＝0，∴∠BAC＝90°.
法一 又||＝||＝，
∴∠ACB＝45°，
△ABC是等腰直角三角形．
法二 ＝－＝(1,3)，
＝(4,1)－(0，－1)＝(4,2)，
∴cos∠ACB＝＝＝，
∴∠ACB＝45°，
△ABC是等腰直角三角形．
(2)∵M为BC的中点，
∴点M的坐标为(2,0)，
∴＝(2,0)－(4,1)＝(－2，－1)，
∴||＝＝.
18．(本小题满分16分)已知＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)．
(1)求使·取到最小值时的；
(2)对(1)中求出的点C，求cos∠ACB.
【解】 (1)∵点C是直线OP上的一点，
∴向量与共线，设＝t，
则＝t(2,1)＝(2t，t)．
＝－＝(1－2t,7－t)，
＝－＝(5－2t,1－t)，
·＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8，
当t＝2时，·取得最小值，
此时＝(4,2)．
(2)当t＝2时，
＝(－3,5)，＝(1，－1)．
∴||＝，||＝，
·＝－3－5＝－8.
cos∠ACB＝＝＝－.
19．(本小题满分16分)已知两恒力F1＝i＋2j，F2＝4i－5j(其中i，j分别是x轴，y轴上的单位向量)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)．
(1)由F1，F2分别对质点所做的功；
(2)求F1，F2的合力对质点所做的功．(力的单位：N，位移的单位：m)
【解】 (1)由已知得F1＝(1,2)，F2＝(4，－5)，
设F1，F2对质点所做的功分别为W1，W2.
∵＝(7－20,0－15)＝(－13，－15)，
∴W1＝F1·＝(1,2)·(－13，－15)＝1×(－13)＋2×(－15)＝－43(J)，
W2＝F2·＝(4，－5)·(－13，－15)＝4×(－13)＋(－5)×(－15)＝23(J)．
(2)法一 F1，F2的合力为F1＋F2＝(1,2)＋(4，－5)＝(5，－3)．
设F1，F2的合力对质点所做的功为W，
则W＝(F1＋F2)·＝(5，－3)·(－13，－15)＝5×(－13)＋(－3)×(－15)＝－20(J)．
法二 W＝(F1＋F2)·＝F1·＋F2·＝W1＋W2＝－43＋23＝－20(J)．
20．(本小题满分16分)
图2
如图2所示，在△OAB中，＝，＝，AD与BC交于点M，设＝a，＝b.
(1)用a、b表示；
(2)已知：在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p，＝q，求证：＋＝1.
【解】 (1)设＝ma＋nb，则
＝－＝(m－1)a＋nb，＝－
＝－＝－a＋b.
∵点A、M、D共线，∴与共线，
∴＝.∴m＋2n＝1.①
而＝－＝(m－)a＋nb，＝－＝－＝－a＋b.
∵点C、M、B共线，∴与共线，
∴＝，∴4m＋n＝1.②
联立①②可得m＝，n＝，∴＝a＋b.
(2)证明：＝－＝(－p)a＋b，＝－＝－pa＋qb，
∵与共线，
∴＝.
∴q－pq＝－p，即＋＝1.
一、填空题
1．若a为任一非零向量，b为单位向量，下列各式：
①|a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1；⑤＝b.其中正确的是________．(填序号)
【解析】 |a|不一定大于1，|b|＝1，∴①④不正确；
a和b不一定平行.是与a方向相同的单位向量，所以②⑤不正确；
a为非零向量，显然有|a|＞0.
只有③正确．
【答案】 ③
2．若a＝b，且|a|＝0，则b＝________.
【解析】 ∵a＝b，且|a|＝0，∴a＝b＝0.
【答案】 0
图2－1－5
3．如图2－1－5所示，四边形ABCE为等腰梯形，D为CE的中点，且EC＝2AB，则与相等的向量有________．
【解析】 易知四边形ABDE为平行四边形，则＝，
又∵D是CE的中点，则＝.
【答案】 ，
4．某人向正东方向行进100米后，再向正南方向行进100米，则此人位移的方向是________．
【解析】 如图所示，此人从点A出发，经点B，到达点C，则tan∠BAC＝＝，∴∠BAC＝60°，即位移的方向是东偏南60°，即南偏东30°.
【答案】 南偏东30°
5．给出以下4个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0，其中能使a与b共线成立的是________．
【解析】 两向量共线只需两向量方向相同或相反．
①a＝b，两向量方向相同；②|a|＝|b|两向量方向不确定；④|a|＝0或|b|＝0即为a＝0或b＝0 ，因为零向量与任一向量平行，所以④成立．
综上所述，答案应为①③④.
【答案】 ①③④
图2－1－6
6．(2013·常州高一检测)如图2－1－6，已知正方形ABCD边长为2，O为其中心，则||＝________.
【解析】 正方形的对角线长为2，
∴||＝.
【答案】
7．四边形ABCD满足＝且||＝||，则四边形ABCD的形状是________．
【解析】 由四边形ABCD满足＝可知，四边形ABCD为平行四边形．
又||＝||，即平行四边形ABCD对角线相等，从而可知四边形ABCD为矩形．
【答案】 矩形
8．设O是正方形ABCD的中心，则①＝；②∥；③与共线；④＝.其中，所有表示正确的序号为________．
【解析】 如图，正方形的对角线互相平分，∴＝，①正确；与的方向相同，所以∥，②正确；与的方向相反，所以与共线，③正确；尽管||＝||，然而与的方向不相同，所以≠，④不正确．
【答案】 ①②③
二、解答题
图2－1－7
9．设在平面上给定了一个四边形ABCD，如图2－1－7所示，点K，L，M，N分别是边AB，BC，CD，DA的中点，求证：＝.
【证明】 ∵N，M分别是AD，DC的中点，则＝，同理＝，故＝.
图2－1－8
10．如图2－1－8所示菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，∠DAB＝60°，分别以A，B，C，D，O中的不同两点为起点与终点的向量中，
(1)写出与平行的向量；
(2)写出与模相等的向量．
【解】 由题意可知，(1)与平行的向量有：，，；
(2)与模相等的向量有：，，，，，，，，.
11．一架飞机从A点向西北飞行200 km到达B点，再从B点向东飞行100 km到达C点，最后从C点向南偏东60°飞行50 km到达D点，求飞机从D点飞回A点的位移．
【解】 如图所示，由||＝200 km，||＝100 km，
知C在A的正北100 km处．
又由||＝50 km，∠ACD＝60°，知∠CDA＝90°，所以∠DAC＝30°，所以||＝50 km.
故的方向为南偏西30°，长度为50 km.
一、填空题
1．化简：＋＋＋＋＝________.
【解析】 ＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝0.
【答案】 0
图2－2－7
2．如图2－2－7，在平行四边形ABCD中，
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋＝________.
【解析】 (1)＋＝.
(2)＋＋＝.
(3)＋＋＝＋＝.
【答案】 (1) (2) (3)
3．已知a表示“向北走5 km”，b表示“向西走5 km”，则a＋b的方向是________，|a＋b|＝________.
【解析】 如图可知a＋b的方向是北偏西45°，|a＋b|＝5.
【答案】 北偏西45° 5
图2－2－8
4．如图2－2－8，已知△ABC是直角三角形且∠A＝90°，则在下列结论中正确的是________．
①|＋|＝||；
②|＋|＝||；
③|＋|＝||；
④||2＋||2＝||2.
【解析】 ①正确．以AB，AC为邻边作?ABDC，又∠A＝90°，
∴?ABDC为矩形，
∴AD＝BC，
∴|＋|＝||＝||.
②正确．|＋|＝||＝||.
③正确．|＋|＝||＝||.
④正确．由勾股定理知||2＋||2＝||2.
【答案】 ①②③④
图2－2－9
5．(2013·天津高一检测)如图2－2－9，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则＋＋＝________.
【解析】 ＋＋＝＋＋＝＋＝.
【答案】
图2－2－10
6．(2013·肇庆高一检测)如图2－2－10，已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中不正确的是________．
①＋＝；
②＋＋＝0；
③＋＝；
④＋＝.
【解析】 根据三角形法则可知①②正确．
∵D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，
∴四边形ADEF和四边形DECF都是平行四边形，
∴＋＝，＝，
∴＋＝，故③正确，④不正确．
【答案】 ④
7．若P为△ABC的外心，且＋＝，则∠ACB＝________.
【解析】 如图，∵＋＝，∴四边形APBC组成平行四边形，又P为△ABC的外心，
∴||＝||＝||，因此∠ACB＝120°.
【答案】 120°
8．在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为________．
【解析】 如图，渡船速度，水流速度，船实际垂直过江的速度，依题意，||＝12.5，||＝25，由于四边形OADB为平行四边形，则||＝||，又OD⊥BD，∴在直角三角形OBD中，∠BOD＝30°，
∴航向为北偏西30°.
【答案】 北偏西30°
二、解答题
图2－2－11
9．如图2－2－11所示，已知向量a，b，c，试用三角形法则作a＋b＋c.
【解】 如图所示，作＝a，＝b，则＝a＋b.作＝c，则＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c，即为a＋b＋c.
图2－2－12
10．如图2－2－12，已知P，Q为△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：＋＝＋.
【解】 法一 (＋)－(＋)＝(－)＋(－)＝＋.
因为BP＝QC，且与方向相反，故＋＝0，
即(＋)－(＋)＝0，因此＋＝＋.
法二 如图所示，取BC中点D，连结AD.
在△ABC中，因为D为BC中点，所以＋＝2.
又BP＝QC，所以在△APQ中，PD＝QD，所以＋＝2.故＋＝＋.
11．轮船从A港沿北偏东60°方向行驶了40 km到达B处，再由B处沿正北方向行驶40 km到达C处，求此时轮船到A港的相对位置．
【解】 如图，设，分别是轮船两次位移，则表示两次位移的合位移，即＝＋.
在Rt△ABD中，||＝20 km，||＝20 km，则||＝||＋||＝60 km.
在Rt△ACD中，||＝＝40(km)，所以∠CAD＝60°.
即此时轮船位于A港北偏东30°，且距离A港40 km处．
一、填空题
1．下列命题中，正确的个数是________．
①在平行四边形中，＋－＝＋；
②a＋b＝a?b＝0；
③a－b＝b－a；
④－＋－的模为0.
【解析】 由向量的加法与减法法则知①④正确．由a＋b＝a?a＋b－a＝0?(a－a)＋b＝0?b＝0知，②正确．
由a－b＝a＋(－b)＝－(b－a)知，③是不正确的．
【答案】 3
2．已知六边形ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中a＝，b＝，c＝，则等于________．
【解析】 由正六边形性质知：＝＝＝b＝a＋c.
【答案】 a＋c
3．已知O是四边形ABCD所在平面内的一点，且满足＋＝＋，则四边形ABCD的形状是________．
【解析】 ∵＋＝＋，
∴－＝－.
∴＝，∴BA綊CD.
∴四边形ABCD为平行四边形．
【答案】 平行四边形
4．化简(＋－)＋(－＋)－＝________.
【解析】 原式＝(＋)＋(＋)＋＋(＋)＝＋＋＋＝0.
【答案】 0
图2－2－18
5．如图2－2－18，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，则＝________.
【解析】 因为＝a，＝b，＝c，所以＝－＝c－b，又＝，所以＝＋＝a＋c－b.
【答案】 a＋c－b
6．给出以下五个说法：
①若|a|＝|b|，则a＝b；
②任一非零向量的方向都是惟一的；
③|a|－|b|＜|a＋b|；
④若|a|－|b|＝|a|＋|b|，则b＝0；
⑤已知A，B，C是平面上任意三点，则＋＋＝0.
其中正确的说法有________．
【解析】 由|a|＝|b|，得不到a＝b，因为两个向量相等需要模相等，方向相同，故①不正确；当b＝0时，|a|－|b|＝|a＋b|，故③不正确．
【答案】 ②④⑤
7．已知＝a，＝b，若||＝5，||＝12，且∠AOB＝90°，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.
【解析】 如图，在矩形OACB中，＋＝，即|a＋b|＝||＝＝＝13.同理|a－b|＝13.
【答案】 13 13
8．如图2－2－19，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－－＋＝________.
图2－2－19
【解析】 法一 －－＋
＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)
＝＋＝.
法二 －－＋＝(－)－(－)
＝－＝＋＝.
【答案】
二、解答题
9．已知菱形ABCD边长都是2，求向量－＋的模．
【解】 ∵－＋＝＋＋＝，
∴|－＋|＝||＝2.
10．如图2－2－20，在五边形ABCDE中，若＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，求作向量a－c＋b－d－e.
图2－2－20
【解】 a－c＋b－d－e＝(a＋b)－(c＋d＋e)＝(＋)－(＋＋)＝－＝＋.
连结AC，并延长至点F，使CF＝AC，则＝.
∴＝＋即为所求作的向量a－c＋b－d－e.如图．
11．已知△OAB中，＝a，＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|与△OAB的面积．
【解】 由已知得||＝||，以，为邻边作平行四边形OACB，则可知其为菱形，如图，且＝a＋b，＝a－b，
由于|a|＝|b|＝|a－b|，即OA＝OB＝BA，
∴△OAB为正三角形，
|a＋b|＝||＝2×＝2，
∴S△OAB＝×2×＝.
一、填空题
1．已知λ∈R，则下列说法错误的是________．
①|λa|＝λ|a|；②|λa|＝|λ|a；③|λa|＝|λ||a|；
④|λa|>0.
【解析】 当λ<0时，①式不成立；当λ＝0或a＝0时，④式不成立；又|λa|∈R，而λ|a|是数乘向量，故②必不成立．
【答案】 ①②④
2．(2013·滨海高一检测)将[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]化简成最简式为________．
【解析】 原式＝(2a＋8b)－(4a－2b)＝a＋b－a＋b＝－a＋2b＝2b－a.
【答案】 2b－a
3．若＝，则＝________.
【解析】 ∵＝，∴点A，B，C三点共线且与同向，||＝(如图)，
∴||＝，又与反向，
∴＝－.
【答案】 －
4．(2013·南昌高一检测)已知平行四边形ABCD中，＝a，＝b，其对角线的交点为O，则用a，b表示为________．
【解析】 ∵＋＝＋＝＝2，
∴＝(a＋b)．
【答案】 (a＋b)
5．点G是△ABC的重心，D是AB的中点，且＋－＝λ，则λ＝________.
【解析】 ∵＋－＝＋＋＝2＝4，
∴λ＝4.
【答案】 4
图2－2－23
6．如图2－2－23所示，与分别在由点O出发的两条射线上，则下列各项中向量的终点落在阴影区域的是________．
①＋2；②＋；③－；④－.
【解析】 作出四个向量可知，只有①②满足条件．
【答案】 ①②
7．已知向量a，b，若＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是________．
【解析】 通过观察，＝＋＝2a＋4b，与a＋2b有2倍关系，即2＝.符合向量共线定理，∴A，B，D三点共线．故填A，B，D.
【答案】 A，B，D
8．在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．
【解析】 法一 如图，
＝＋＋
＝－b－a＋
＝－b－a＋(a＋b)
＝(b－a)．
法二 设AC交BD于O，由于N为AC的分点，则有N为OC的中点，＝＝＝(b－a)．
【答案】 b－a
二、解答题
9．已知向量a，b是两个不共线的向量，且ma－3b与向量a＋(2－m)b共线，求实数m的值．
【解】 由ma－3b与向量a＋(2－m)b共线可知，
存在实数λ满足ma－3b＝λ[a＋(2－m)b]，
即(m－λ)a－[3＋λ(2－m)]b＝0，
又a与b不共线，
∴
解得m＝3或m＝－1.
10．在平行四边形ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示和.
【解】 如图，设＝a，＝b.
∵M，N分别是DC，BC的中点，∴＝b，＝a.
∵在△ADM和△ABN中，
即
①×2－②，得b＝(2c－d)．
②×2－①，得a＝(2d－c)．
∴＝d－c，＝c－d.
11．设a，b，c为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则b与a＋c是否共线？请证明你的结论．
【解】 b与a＋c共线．证明如下：
∵a＋b与c共线，
∴存在惟一实数λ，使得a＋b＝λc.①
∵b＋c与a共线，
∴存在惟一实数μ，使得b＋c＝μa.②
由①－②得，a－c＝λc－μa.∴(1＋μ)a＝(1＋λ)c.
又∵a与c不共线，∴1＋μ＝0,1＋λ＝0，
∴μ＝－1，λ＝－1，∴a＋b＝－c，
即a＋b＋c＝0.
∴a＋c＝－b.
故a＋c与b共线.
一、填空题
1．若O是?ABCD的两对角线的交点，下列向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是________．
①与；②与；③与；④与.
【解析】 只要是平面上不共线的两个向量都可作为基底，与是有公共点的不共线向量，与也是有公共点的不共线向量．
【答案】 ①③
2．已知e1，e2是平面所有向量的一组基底，那么下列一组向量不能作为基底的是________．
①e1和e1＋e2；②e1－2e2和e2－2e1；③e1－2e2和4e2－2e1；④e1＋e2和e1－e2.
【解析】 因为4e1－2e1＝－2(e1－2e2)，
所以e1－2e2与4e2－2e1共线．
【答案】 ③
图2－3－7
3．如图2－3－7，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，M是DC的中点，以a，b为基底表示向量＝________.
【解析】 ＝＋＝＋＝＋＝b＋a.
【答案】 b＋a
4．设e1，e2是不共线向量，e1＋2e2与me1＋ne2共线，则＝________.
【解析】 由e1＋2e2＝λ(me1＋ne2)，得mλ＝1且nλ＝2，
∴＝2.
【答案】 2
5．设一直线上三点A，B，P满足＝m(m≠－1)，O是直线所在平面内一点，则用，表示为________．
【解析】 由＝m得－＝m(－)，
∴＋m＝＋m，∴＝.
【答案】 ＝
6．如图2－3－8，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，若＝r＋s，则r＋s＝________.
图2－3－8
【解析】 由E是AD的中点，则＝(＋)＝－＋＝－＋(－)＝－，则r＋s＝－.
【答案】 －
7．已知D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且＝，＝2，＝2，则2＋3＋3＝________.
【解析】 由＝，易知＝(＋)，所以2＝＋，再由＝2，＝2，可知3＝，3＝，所以2＋3＋3＝0.
【答案】 0
8．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
【解析】 设＝b，＝a，则＝b－a，
＝b－a，＝b－a，代入＝λ＋μ，
得b－a＝(λ＋)b－(＋μ)a，
即解得λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.
【答案】
二、解答题
9．(2013·保定高一检测)设e1，e2为两个不共线的向量，a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，试用b，c为基底表示向量a.
【解】 设a＝λ1b＋λ2c，λ1，λ2∈R则，
－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)，
即－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2，
∴∴∴a＝－b＋c.
10．平行四边形ABCD中，M为DC的中点，N为BC的中点，设＝b，＝d，＝m，＝n.
(1)以b，d为基底，表示；
(2)以m，n为基底，表示.
【解】 如图所示．
(1)＝－＝(＋)－(＋)＝(b＋d)－(d＋b)＝b－d.
(2)m＝＋＝d＋，①
n＝＋＝＋d，
所以2n＝2＋d，②
由①②消去d，得＝n－m.
图2－3－9
11．如图2－3－9所示，在△ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求证：＝4.
【证明】 记＝e1，＝e2，所以＝－3e2，＝－e1，
则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.因为A，P，M共线，且B，P，N共线，所以存在实数λ，μ，使＝λ＝－3λe2－λe1，＝μ＝2μe1＋μe2，
所以＝＋＝2μe1＋μe2＋3λe2＋λe1
＝(2μ＋λ)e1＋(μ＋3λ)e2，又＝＋＝2e1＋3e2，
所以解之得
所以＝，
所以AP∶PM＝4∶1，即＝4.
一、填空题
1．下列说法正确的有________．
(1)向量的坐标即此向量终点的坐标；
(2)位置不同的向量其坐标可能相同；
(3)一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标；
(4)相等的向量坐标一定相同．
【解析】 我们所学的向量是自由向量，位置不同，可能是相同的向量，同时相等的向量坐标一定相同．故正确的说法是(2)(4)．
【答案】 (2)(4)
2．若向量a＝(3,2)，b＝(0，－1)，则向量2b＋a的坐标是________．
【解析】 2b＋a＝2(0，－1)＋(3,2)＝(0，－2)＋(3,2)＝(3,0)．
【答案】 (3,0)
3．已知a＝(－1，x)与b＝(－x,2)共线，且方向相同，则实数x＝________.
【解析】 设a＝λb，则(－1，x)＝(－λx,2λ)，所以有解得或
又a与b方向相同，则λ＞0，所以λ＝，x＝.
【答案】
4．(2013·连云港高一检测)已知点M(3，－2)，N(－6,1)，且＝2，点P的坐标为________．
【解析】 设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，
＝(－6－x,1－y)，
∴由＝2得
解得∴点P的坐标为(－3,0)．
【答案】 (－3,0)
5．设m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定两向量之间的一个运算为m?n＝(ac－bd，ad＋bc)，若已知p＝(1,2)，p?q＝(－4，－3)，则q＝________.
【解析】 设q＝(x，y)，则由题意可知
解得所以q＝(－2,1)．
【答案】 (－2,1)
6．已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则实数k＝________.
【解析】 由题意得＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(6，k－5)，∵与共线．
∴(4－k)×(k－5)－6×(－7)＝0，
解得k＝－2或11.
【答案】 －2或11
7．下列说法正确的有______________．
(1)存在向量a与任何向量都是平行向量；
(2)如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则＝；
(3)如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则x1y2－x2y1＝0；
(4)如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且＝，则a∥b.
【解析】 (1)当a是零向量时，零向量与任何向量都是平行向量；(2)不正确，当y1＝0或y2＝0时，显然不能用＝来表示；(3)(4)正确．
【答案】 (1)(3)(4)
8．已知向量m＝(2,3)，n＝(－1,2)，若am＋bn与m－2n共线，则等于________．
【解析】 am＋bn＝(2a,3a)＋(－b,2b)＝(2a－b,3a＋2b)，m－2n＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)，
∵am＋bn与m－2n共线，
∴b－2a－12a－8b＝0，∴＝－.
【答案】 －
二、解答题
9．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．
设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
【解】 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴解得
(3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，
∴M(0,20)．又∵＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2) ，
∴N(9,2)．∴＝(9，－18)．
10．已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5) 及＝＋t，求：
(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？
(2)四边形OABP能否为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
【解】 (1)设P(x，y)，＝(3,3)，
由＝＋t得(x，y)＝(1,2)＋t(3,3)，即
若P在x轴上，则yP＝0，即2＋3t＝0，
∴t＝－.
若P在y轴上，则xP＝0，即1＋3t＝0，
∴t＝－.
若P在第二象限，则
∴－＜t＜－.
(2)四边形OABP不能为平行四边形．
因为若四边形OABP能构成平行四边形，
则＝，即(1＋3t,2＋3t)＝(3,3)．
∴ t无解，故四边形OABP不能为平行四边形．
11．已知a＝(1,2)，b＝(－2,1)，x＝a＋(t2＋1)b，y＝－a＋b，是否存在正实数k，t使得x∥y？若存
在，求出取值范围；若不存在，请说明理由．
【解】 不存在．
理由：依题意，x＝a＋(t2＋1)b
＝(1,2)＋(t2＋1)(－2,1)
＝(－2t2－1，t2＋3)．
y＝－a＋b
＝－(1,2)＋(－2,1)
＝(－－，－＋)．
假设存在正实数k，t，使x∥y，
则(－2t2－1)(－＋)－(t2＋3)·(－－)＝0，
化简得＋＝0，
即t3＋t＋k＝0.
∵k，t为正实数，
∴满足上式的k，t不存在，
∴不存在这样的正实数k，t，使x∥y.
一、填空题
1．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n＝________.
【解析】 m·n＝|m||n|cos 135°＝4×6×(－)＝－12.
【答案】 －12
2．(2013·安徽高考)若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．
【解析】 由|a|＝|a＋2b|，两边平方，得|a|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，所以a·b＝－|b|2.又|a|＝3|b|，所以cos〈a，b〉＝＝＝－.
【答案】 －
3．设a与b的模分别为4和3，夹角为60°，则|a＋b|＝________.
【解析】 |a＋b|＝＝
＝＝.
【答案】
4．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|c|2＝________.
【解析】 ∵a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)．
又∵a⊥b，∴a·b＝0.
∴|c|2＝c2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝5.
【答案】 5
5．(2013·江西高考)设e1，e2为单位向量， 且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e3，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________．
【解析】 由于a＝e1＋3e2，b＝2e1，
所以|b|＝2，a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e＋6e1·e2＝2＋6×＝5，
所以a在b方向上的射影为|a|·cos?a，b?＝＝.
【答案】
6．在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________.
【解析】 选，为基底，则＝－＋，
＝－＋，
∴·＝(－＋)·(－＋)＝－.
【答案】 －
7．已知非零向量a，b，若(a＋2b)⊥(a－2b)，则＝________.
【解析】 ∵(a＋2b)⊥(a－2b)，∴(a＋2b)·(a－2b)＝0，
∴a2＝4b2，∴|a|＝2|b|，∴＝2.
【答案】 2
8．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________.
【解析】 由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos ，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.
【答案】 －8或5
二、解答题
9．(2013·长春高一检测)已知向量a与b满足|a|＝4，|b|＝2，且|a＋b|＝2.
(1)求|3a－4b|；(2)(a－2b)·(a＋b)．
【解】 ∵|a＋b|＝2，
∴(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝42＋2a·b＋22＝(2)2，
∴a·b＝－4.
(1)∵|3a－4b|2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×42－24×
(－4)＋16×22＝16×19，
∴|3a－4b|＝4.
(2)(a－2b)·(a＋b)＝a2－a·b－2b2
＝42－(－4)－2×22＝12.
10．已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？
【解】 ∵(ka－b)⊥(a＋2b)，
∴(ka－b)·(a＋2b)＝0，ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，k×52＋(2k－1)×5×4×cos 60°－2×42＝0，
∴k＝，即k＝时，向量ka－b与向量a＋2b垂直．
11．已知|a|＝，|b|＝3，a和b的夹角为45°，求当向量a＋λb与a＋b的夹角为锐角时λ的取值范围．
【解】 因为向量a＋λb与a＋b的夹角为锐角，所以(a＋λb)·(a＋b)＝a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝12λ＋5＞0.
由此解得λ＞－.若向量a＋λb与a＋b同向，则存在惟一的正数k，使得a＋λb＝k(a＋b)成立，有k＝λ＝1.
要保证向量a＋λb与a＋b不同向，则必须λ≠1.
综上所述，当λ＞－且λ≠1时，向量a＋λb与a＋b的夹角为锐角．
一、填空题
1．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝________.
【解析】 ∵a＋2b＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝－15＋12＝－3.
【答案】 －3
2．已知a＝(1，)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.
【解析】 ∵a＋b＝(－1，)，
∴|a＋b|＝＝2.
【答案】 2
3．(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2,2)．若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．
【解析】 ∵∠ABO＝90°，∴⊥，∴·＝0.
又＝－＝(2,2)－(－1，t)＝(3,2－t)，
∴(2,2)·(3,2－t)＝6＋2(2－t)＝0.
∴t＝5.
【答案】 5
4．设向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，当向量a＋2b与2a－b平行时，a·b等于________．
【解析】 a＋2b＝(1＋2x,4)，2a－b＝(2－x,3)，∵a＋2b与2a－b平行，∴(1＋2x)×3－4×(2－x)＝0，∴x＝，a·b＝(1,2)·(，1)＝1×＋2×1＝.
【答案】
5．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角是________．
【解析】 设c＝(x，y)，则(a＋b)·c＝(－1，－2)·(x，y)＝－x－2y＝，∴x＋2y＝－.
又|a|＝|c|＝，且a·c＝x＋2y＝|a||c|·cos α，故cos α＝－，α∈[0，π]，α＝π.
【答案】 π
6．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，O为坐标原点，在x轴上取一点P使·有最小值，则点P的坐标是________．
【解析】 设点P坐标为(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，当x＝3时，·有最小值1.
∴点P的坐标为(3,0)．
【答案】 (3,0)
7．若平面向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝3，则b＝________.
【解析】 a与b共线且方向相反，∴b＝λa(λ＜0)，设b＝(x，y)，则(x，y)＝λ(1，－2)，
得
由|b|＝3，得x2＋y2＝45，即λ2＋4λ2＝45，
解得λ＝－3，∴b＝(－3,6)．
【答案】 (－3,6)
8．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝________.
【解析】 设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，因为(c＋a)∥b，
所以－3(1＋m)＝2(2＋n)．①
又c⊥(a＋b)，所以3m－n＝0.②
联立①②，解得m＝－，n＝－，
则c＝(－，－)．
【答案】 (－，－)
二、解答题
9．在?ABCD中，A点坐标为(1,0)，B点坐标为(3,2)，C点坐标为(4，－1)，求与夹角的余弦值．
【解】 ∵A点坐标为(1,0)，B点坐标为(3,2)，C点坐标为(4，－1)，
∴＝(2,2)，＝(3，－1)，
∴＝－＝(1，－3)．
又由题意可知＝，
∴＝－＝(1，－3)－(2,2)＝(－1，－5)．
设与的夹角为θ，则
cos θ＝＝＝－.
10．(2013·南昌高一检测)已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
【解】 (1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x2＋2x＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
则|a－b|＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
则|a－b|＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝2.
∴|a－b|＝2或2.
11．已知a＝(，－1)，b＝(，)，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求的最小值．
【解】 ∵a＝(，－1)，b＝(，)，
∴|a|＝＝2，
|b|＝＝1.
又∵a·b＝×＋(－1)×＝0，∴a⊥b.
由x⊥y得[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0，
即－ka2＋(t3－3t)b2＋(t－kt2＋3k)a·b＝0，
∴－k|a|2＋(t3－3t)|b|2＝0.
将|a|＝2，|b|＝1代入上式，得－4k＋t3－3t＝0，
解得k＝.
∴＝(t2＋4t－3)＝(t＋2)2－.
故当t＝－2时，取得最小值，为－.
一、填空题
1．点P在平面上做匀速直线运动，速度v＝(4，－3)，设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(速度单位：m/s，长度单位：m)________．
【解析】 5秒后点P的坐标为(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)．
【答案】 (10，－5)
2．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某一物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4等于________．
【解析】 由题意可知f4＝－(f1＋f2＋f3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝－(－1，－2)＝(1,2)．
【答案】 (1,2)
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于________．
【解析】 ∵∠C＝90°，∴·＝0，∴·＝(＋)·＝2＋·＝16.
【答案】 16
4．(2013·无锡高一检测)若四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形的形状一定是________．
【解析】 ∵＋＝0，∴＝，∴AB綊CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵(－)·＝0，∴·＝0，∴⊥，
∴四边形ABCD是菱形．
【答案】 菱形
5．(2013·重庆高考)在OA为边，OB为对角线的矩形中，＝(－3,1)，＝(－2，k)，则实数k＝________.
【解析】 如图所示，由于＝(－3,1)，＝(－2，k)，所以＝－＝(1，k－1)．在矩形中，由⊥得·＝0，所以(－3,1)·(1，k－1)＝0，即－3×1＋1×(k－1)＝0，解得k＝4.
【答案】 4
6．若·＝·＝·，则O是△ABC的________心．
【解析】 ∵·＝·?·(－)＝0，
∴·＝0，
∴⊥.
同理⊥，⊥，
故点O为△ABC的垂心．
【答案】 垂
7．已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，且AB＝，则·＝________.
【解析】 ∵||＝1，||＝1，||＝，
∴∠AOB＝120°，
∴·＝1×1×cos 120°＝－.
【答案】 －
8．已知船在静水中的速度大小为5 m/s，且船在静水中的速度大小大于水流速度大小，河宽为20 m，船垂直到达对岸用的时间为5 s，则水流速度大小为________m/s.
【解析】 设船在静水中的速度为v1，水流速度为v2，船的实际速度为v3，建立如图所示的平面直角坐标系．|v1|＝5 m/s，|v3|＝＝4 m/s，则v3＝(0,4)，v1＝(－3,4)，
v2＝v3－v1＝(0,4)－(－3,4)＝(3,0)．
∴|v2|＝3 m/s，即水流的速度大小为3 m/s.
【答案】 3
二、解答题
9．已知，四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线，求证AC⊥BD.
【证明】 ∵＝＋，
＝－，
∴·＝(＋)·(－)
＝||2－||2＝0，
∴⊥，即AC⊥BD.
10．一条小船以10 km/h的速度向垂直于对岸方向航行，小船实际行驶的方向与水流方向成60°角，求水流速度大小与船的实际速度大小．
【解】 如图所示，表示小船垂直于对岸行驶的速度，表示水流速度，表示船的实际速度．
则由题意知∠NOP＝60°，||＝10，
又∵四边形OMPN是矩形，
∴||＝||sin 60°＝10.
∴||＝＝.
∴||＝||cos 60°＝×＝.
∴水流速度为 km/h，
船的实际速度为 km/h.
11．已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M是圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且MA＝2AN，求点N的轨迹方程．
【解】 设M(x0，y0)，N(x，y)，则＝(1－x0,1－y0)，＝(x－1，y－1)，
由＝2，
得∴
又点M在圆C上，即(x0－3)2＋(y0－3)2＝4，
∴(－2x＋3－3)2＋(－2y＋3－3)2＝4，即x2＋y2＝1，
∴点N的轨迹方程为x2＋y2＝1.
