【课堂新坐标】2013-2014学年高中数学（苏教版，必修4）第1章　三角函数（配套课件+课时训练+教师用书，36份）

SJ数 学必修4
1．1任意角、弧度
1．1.1　任意角
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；(2)理解象限角、坐标轴上的角的概念；(3)理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法；(4)能表示特殊位置(或给定区域内)的角的集合；(5)能进行简单的角的集合之间的运算．
2．过程与方法
以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，类比初中所学的角的概念，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系；引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习．
3．情感、态度与价值观
通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求．
●重点难点
1．重点：理解正角、负角和零角及象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断．
2．难点：把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来．
(教师用书独具)
●教学建议
1．任意角的概念：建议教师在教学过程中通过拨手表指针问题引导学生感受推广角的概念的必要性．教学时，可以先让学生自己描述“校准”手表的过程，然后引导学生体会仅用0°～360°之间的角已经无法解决当前的问题．
2．象限角的概念：建议教师在教学过程中强调角与平面直角坐标系的关系，引导学生发现象限角所在的范围可以用不等式表示，并注意讲解“终边落在坐标轴上的角，它不属于任何一个象限”．
3．终边相同的角的表示：建议教师在教学中应当让学生先通过自己的活动形成对“终边相同的角相差360°的整数倍”的直观感知，通过具体角寻找终边相同角的规律，归纳其一般表示形式．教学时，有条件的可以利用信息技术，利用动态的观点，旋转角的终边，观察角的变化规律，从而将数、形联系起来，使角的几何表示和集合表示相结合，从而达到对终边相同角的认知的统一．
●教学流程
??通过引导学生探究在直角坐标系中，按角的终边的位置不同定义不同的象限角，并理解终边相同的角的表示方法.?????
课标解读
1.了解任意角的概念．
2．理解象限角的概念及终边相同的角的含义．(重点)
3．掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．(难点)
任意角的概念
【问题导思】　
1．在初中时我们是如何定义角的？
【提示】　有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．
2．如果你的手表慢了10分钟，你是怎样校准的？
【提示】　校准方法很多，由于分针转一圈为360°，故10分钟分针需要转过60°，且要调快分针可顺时针转，故可让分针顺时针旋转60°.
　(1)一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．射线的端点称
为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边．
(2)按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角．如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫做零角．
象限角及终边相同的角
【问题导思】　
1．如果把一个角的顶点放在直角坐标系的原点，角的始边为x轴正半轴，那么角终边的位置在坐标系中有几种情况？
【提示】　在第一、二、三、四象限或与坐标轴重合．
2．0°角与360°角的终边相同吗？
【提示】　相同．
　(1)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．
(2)终边相同的角：一般地，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}.
角的概念及相关应用
　(1)下列各命题正确的有________．(填序号)
①终边相同的角一定相等；
②第一象限角都是锐角；
③锐角都是第一象限角；
④小于90°的角都是锐角．
(2)下列说法正确的是________．(填序号)
①一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大．
②在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转到x轴的正半轴形成的角为90°.
③将钟表调快一个小时，则分针转了360°.
④顺时针方向旋转形成的角一定小于逆时针方向旋转形成的角．
【思路探究】　根据各种角的含义进行判断．
【自主解答】　(1)对于①，－60°角和300°角是终边相同的角，但它们并不相等，∴应排除①.
对于②，390°角是第一象限角，但它不是锐角，∴应排除②.
对于④，－60°角是小于90°的角，但它不是锐角，∴应排除④.
∵锐角的集合是{α|0°＜α＜90°}，
第一象限角的集合是{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}，
∴锐角是第一象限角．∴③正确．
(2)如果一条射线绕端点顺时针方向旋转，则它形成负角，旋转的圈数越多，则这个角越小，故①不正确．在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点旋转到x轴的正半轴时，是按顺时针方向旋转，故它形成的角为－90°，故②不正确．将钟表调快一个小时，也是按顺时针转动，故分针转了－360°，③不正确．顺时针方向旋转形成的角为负角，它一定小于逆时针方向旋转形成的正角，故④正确．
【答案】　(1)③　(2)④
　解答概念辨析题，一是利用定义直接判断；二是利用反例排除错误答案，要说明一个命题不正确，只需举出一个反例即可．
　下列说法正确的是________．(填序号)
①三角形的内角必是第一、二象限角；
②第一象限角一定是正角；
③第二象限角一定比第一象限角大；
④与30°终边相同的角有无穷多个．
【解析】　90°可以是三角形的内角，但它既不是第一象限角，又不是第二象限角，故①错；－330°是第一象限角，但不是正角，故②错；120°是第二象限角，390°是第一象限角，但390°>120°，故③错；④正确．
【答案】　④
终边相同的角
　在0°～360°范围内，请指出与下列角的终边相同的角，并说出此角是第几象限角．
(1)430°　(2)909°　(3)－60°　(4)－1 550°
【思路探究】　将所给角α写成α＝k·360°＋β(0°≤β＜360°)的形式，则β即为所求．
【自主解答】　(1)430°＝1×360°＋70°，所以在0°～360°范围内与430°终边相同的角为70°，此角为第一象限角．
(2)909°＝2×360°＋189°，所以在0°～360°范围内与909°终边相同的角为189°，此角为第三象限角．
(3)－60°＝－1×360°＋300°，所以在0°～360°范围内与－60°终边相同的角为300°，此角为第四象限角．
(4)－1 550°＝－5×360°＋250°，所以在0°～360°范围内与－1 550°终边相同的角为250°，此角为第三象限角．
　将任意角写成α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式的关键是确定k.可用观察法(α绝对值较小时)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，余数是正数．
　如图1－1－1，分别写出终边落在所示直线上的角的集合．
图1－1－1
【解】　由于终边落在直线上的角都是180°的整数倍加上相应的角(0°到180°范围内)，因此相对应的角的集合为：
(1)S＝{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}；
(2)S＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}；
(3)S＝{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}；
(4)S＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋2k·90°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}．
象限角的表示及其应用
　已知α为第一象限角，求2α，，所在的象限．
【思路探究】　→→→
【自主解答】　∵α为第一象限角，
∴360°·k＜α＜360°·k＋90°，k∈Z，
∴360°·2k＜2α＜360°·2k＋180°，k∈Z，
∴2α是第一或者第二象限角，或是终边在y轴正半轴上的角．
∵180°·k＜＜180°·k＋45°，k∈Z，
当k为奇数时，是第三象限角；
当k为偶数时，是第一象限角．
∴为第一或第三象限角．
又∵120°·k＜＜120°·k＋30°，k∈Z，
当k＝3n(k∈Z)时，360°·n＜＜360°·n＋30°，n∈Z，
∴是第一象限角；
当k＝3n＋1(k∈Z)时，360°·n＋120°＜＜360°·n＋150°，n∈Z，∴是第二象限角；
当k＝3n＋2(k∈Z)时，360°·n＋240°＜＜360°·n＋270°，n∈Z，∴是第三象限角．
∴为第一、第二或第三象限角．
1．用不等式表示象限角的集合是解决这类问题的基本方法．
2．α，，2α终边位置关系：
α
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限

第一、三
象限
第一、三
象限
第二、四
象限
第二、四
象限
2α
第一、二象
限或y轴
的正半轴
第三、四象
限或y轴
的负半轴
第一、二象
限或y轴
的正半轴
第三、四象
限或y轴
的负半轴
　把本例中条件改为“若α是第三象限角”，求角2α，所在的象限．
【解】　由角α是第三象限角可知，k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z，
于是，2k·360°＋360°＜2α＜2k·360°＋540°，k∈Z，
即(2k＋1)·360°＜2α＜(2k＋1)·360°＋180°，k∈Z.
所以2α为第一、二象限角或终边在y轴的正半轴上的角．
因为k·180°＋90°＜＜k·180°＋135°，k∈Z，
当k为奇数时，设k＝2n＋1，n∈Z，则n·360°＋270°＜＜n·360°＋315°，n∈Z，此时为第四象限角；
当k为偶数时，设k＝2n，n∈Z，则n·360°＋90°＜＜n·360°＋135°，n∈Z，此时为第二象限角．
因此为第二象限角或第四象限角．
区间角表示错误
图1－1－2
　用角度表示顶点在原点上，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在图1－1－2所示的阴影区域内的角的集合(含边界)．
【错解】　因为区域起始、终边边界分别对应的角为300°和45°，所以它表示的角的集合为{α|k·360°＋300°≤α≤k·360°＋45°，k∈Z}．
【错因分析】　因为45°≤300°，所以上式是错误的，由于没有弄清角的大小而造成了错误，出现了矛盾不等式．
【防范措施】　表示区间角时，应先按逆时针方向，确定在(0°，360°)范围内区间的起始边界与终止边界所对应的角α，β(α＜β)，再在所得到的范围{x|α＜x＜β}两边加上k·360°，即得区域角的集合{x|k·360°＋α＜x＜k·360°＋β，k∈Z}．
【正解】　由题意可知300°角与－60°角的终边相同，
所以它表示的角的集合为{α|k·360°－60°≤α≤k·360°＋45°，k∈Z}．
1．对角的概念的理解关键是抓住“旋转”二字：
(1)要明确旋转的方向；
(2)要明确旋转的大小；
(3)要明确射线未作任何旋转时的位置．
2．在运用终边相同的角时，需注意以下几点：
(1)k是整数，这个条件不能漏掉；
(2)α是任意角；
(3)k·360°与α之间用“＋”连结，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z)；
(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．
1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是________．
【解析】　一条射线绕着端点按顺时针方向旋转所形成的角是负角，且旋转了240°，故填－240°.
【答案】　－240°
2．在148°，475°，－960°，－1 601°，－185°这五个角中，属于第二象限角的个数是________．
【解析】　148°显然是第二象限角．而475°＝360°＋115°，－960°＝－3×360°＋120°，－185°＝－360°＋175°，都是第二象限角，而－1 601°＝－5×360°＋199°，不是第二象限角．
【答案】　4
3．若角α＝2 008°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．
【解析】　∵2 008°＝5×360°＋208°，
∴与2 008°角终边相同的角的集合为{α|α＝208°＋k·360°，k∈Z}，
∴最小正角是208°，最大负角是－152°.
【答案】　208°　－152°
4．求0°～360°范围内与－30°终边相同的角．
【解】　与－30°角终边相同的角为k·360°－30°，k∈Z，取k＝1，得1×360°－30°＝330°，0°≤330°＜360°，因此所求角为330°.

一、填空题
1．(2013·泰安高一检测)钟表经过4小时，时针转过的度数为________，分针转过的度数为________．
【解析】　分针和时针均按顺时针方向旋转，其中分针连续转过4周，时针转过周．
【答案】　－120°　－1 440°
2．543°是第________象限角．
【解析】　543°＝183°＋360°，又183°是第三象限角，故543°也是第三象限角．
【答案】　三
3．与405°终边相同的角的集合为________．
【解析】　405°－360°＝45°，故与405°角终边相同的角可表示为k·360°＋45°，k∈Z.
【答案】　{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}
4．(2013·南京高一检测)已知角α＝－3 000°，则与α终边相同的最小正角是________．
【解析】　与α终边相同的角的集合为{θ|θ＝－3 000°＋k·360°，k∈Z}，与θ终边相同的最小正角是当k＝9时，θ＝－3 000°＋9×360°＝240°.所以与α终边相同的最小正角为240°.
【答案】　240°
5．若α是第二象限角，则180°－α是第________象限角．
【解析】　因为α是第二象限角，所以k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z，所以k·360°＜180°－α＜k·360°＋90°，k∈Z，所以180°－α是第一象限角．
【答案】　一
6．(2013·曲阜师大附中检测)在－720°～720°内与－1 050°角终边相同的角是________．
【解析】　与－1 050°终边相同的角可表示为k·360°－1 050°(k∈Z)，
k＝1时，1×360°－1 050°＝－690°，
k＝2时，2×360°－1 050°＝－330°，
k＝3时，3×360°－1 050°＝30°，
k＝4时，4×360°－1 050°＝390°.
【答案】　－690°或－330°或30°或390°
7．在360°～0°内与160°角终边相同的角是________．
【解析】　与160°角终边相同的角α＝k·360°＋160°，k∈Z.
∵－360°≤α＜0°，
∴取k＝－1，得α＝－360°＋160°＝－200°.
故在－360°～0°内与160°角终边相同的角是－200°.
【答案】　－200°
8．若角α和角β的终边关于x轴对称，则角α可以用角β表示为________．
【解析】　∵角α和角β的终边关于x轴对称，∴α＋β＝k·360°(k∈Z)．∴α＝k·360°－β(k∈Z)．
【答案】　k·360°－β(k∈Z)
二、解答题
9．写出终边在如图1－1－3所示阴影部分(包括边界)的角的集合．
图1－1－3
【解】　先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则
(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}；
(2){α|－210°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}．
10．写出与15°角终边相同的角的集合，并求该集合中满足不等式－1 080°≤β＜720°的元素β.
【解】　与15°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝15°＋k·360°，k∈Z}，其中，满足－1 080°≤β＜720°的元素有：k＝－3时，β＝－1 065°；k＝－2时，β＝－705°；k＝－1时，β＝－345°；k＝0时，β＝15°；k＝1时，β＝375°，∴集合中满足条件的元素β有－1 065°，－705°，－345°，15°，375°.
11．在角的集合{α|α＝k·90°＋45°(k∈Z)}中：
(1)有几种终边不相同的角？
(2)有几个大于－360°且小于360°的角？
(3)写出其中是第二象限的角的一般表示法．
【解】　(1)当k＝4n,4n＋1,4n＋2,4n＋3，n∈Z时，在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种．
(2)由－360°＜k·90°＋45°＜360°，得－＜k＜.
又k∈Z，故k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3.
∴在给定的角集合中大于－360°且小于360°的角共有8个．
(3)其中是第二象限的角可表示成k·360°＋135°，k∈Z.
(教师用书独具)
已知角α的终边在如图所示的阴影部分所表示的范围内，求角α的取值范围．
【思路探究】　先在－180°～180°范围内找出终边落在阴影内的角，然后写出角的集合(注意边界)．
【自主解答】　当角α的终边落在阴影的上半部分时，
α∈{α|k·360°＋30°＜α≤k·360°＋150°，k∈Z}，
当角α的终边落在阴影的下半部分时，
α∈{α|k·360°－150°＜α≤k·360°－30°，k∈Z}．
由此可知满足题意的角α为{α|k·180°＋30°＜α≤k·180°＋150°，k∈Z}．
1．角的终边为虚线，则不等式中应不带“＝”号．
2．本题实质上是求两个范围内角的并集，应注意化简为最简结果．
　如图所示，写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合为________．
【解析】　与－30°角终边在一条直线上的角的集合为
S1＝{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}＝{α|α＝150°＋k·180°，k∈Z}．
与45°＋90°＝135°角终边在同一直线上的角的集合为S2＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}，
从而图中阴影部分的角的取值集合为
{α|135°＋k·180°≤α≤150°＋k·180°，k∈Z}．
【答案】　{α|135°＋k·180°≤α≤150°＋k·180°，k∈Z}
1．1.2　弧度制
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)理解1弧度的角及弧度的定义；(2)掌握角度与弧度的换算公式；(3)熟练进行角度与弧度的换算；(4)理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系；(5)理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题．
2．过程与方法
通过类比角度制的概念引入弧度制的概念；比较两种度量角的方法探究角度制与弧度制之间的互化；应用在特殊角的角度制与弧度制的互化，帮助学生理解掌握；以针对性的例题和习题使学生掌握弧长公式和扇形的面积公式；通过自主学习和合作学习，树立学生正确的学习态度．
3．情感、态度与价值观
通过弧度制的学习，使学生认识到角度制与弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但却是相互联系、辩证统一的；在弧度制下，角的加、减运算可以像十进制一样进行，而不需要进行角度制与十进制之间的互化，化简了六十进制给角的加、减运算带来的诸多不便，体现了弧度制的简捷美；通过弧度制与角度制的比较，使学生认识到引入弧度制的优越性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，养成良好的学习品质．
●重点难点
重点：理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；弧长和面积公式及应用．
难点：弧度的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间的一一对应关系．
(教师用书独具)
●教学建议
1．弧度制的概念
关于弧度制的概念的教学，建议教师在教学过程中，首先讲清1弧度角的概念，它是建立弧度概念的关键，并且让学生具体操作验证，老师通过多媒体演示，在此直观印象基础上，引导学生证明以弧度为单位的角是一个与半径无关的定值．
2．角度制与弧度制的换算
关于角度制与弧度制的换算的教学，建议教师教学过程中，讲清“180°＝π”这个等式的意义，抓住这一关键，两种度量制的换算就迎刃而解了．
3．弧长公式
关于弧长公式的教学，建议教师在教学中让学生先通过自己的活动解决，明确角的度量单位是弧度，而且圆心角是在一定范围中，从而熟练用弧度制表示角，并能应用公式．
●教学流程
??引导学生探究弧度制下的扇形弧长和面积公式，并理解公式应用的前提是用弧度制表示扇形圆心角的大小.? 通过例1及其变式训练，使学生掌握弧度与角度的互化方法，使学生逐步养成用弧度表示角的习惯.?
? 通过例3及其互动探究，使学生掌握利用弧长和扇形面积公式解决有关问题的方法，总结求弧长及扇形面积的方法.
??
课标解读
1.了解弧度制．
2．会进行弧度与角度的互化．(重点、难点)
3．掌握弧度制下扇形的弧长公式和面积公式．(难点、易错点)
弧度制的概念
【问题导思】　
1．在初中学习角的运算采用十进制还是六十进制？
【提示】　六十进制．
2．我们平时常用运算大多都是六十进制吗？
【提示】　我们常用的是十进制．
(1)角度制：规定周角的为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．
(2)弧度制：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1_rad，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．
(3)角的弧度数求法：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么l，α，r之间存在的关系是：|α|＝.
角度与弧度的互化
【问题导思】　
根据弧度制的定义，周角360°所对应的弧度数是多少？
【提示】　由＝2π得，周角对应弧度数为2π.
(1)360°＝2π rad，
(2)1°＝ rad≈0.017_45 rad，
1 rad＝()°≈57.30°.
扇形的弧长及面积公式
【问题导思】　
1．已知扇形圆心角α，半径为r，如何求弧长l?
【提示】　由|α|＝可得：弧长l＝|α|r.
2．能否用扇形的弧长l与半径表示扇形的面积S?
【提示】　设扇形圆心角为α，则扇形面积S＝·πr2＝rl.
图1－1－4
(1)弧度制下的弧长公式
如图1－1－4，l是圆心角α所对的弧长，r是半径，则圆心角α的弧度数的绝对值是|α|＝，弧长l＝|α|r.特别地，当r＝1时，弧长l＝|α|.
(2)扇形面积公式
在弧度制中，若|α|≤2π，则半径为r，圆心角为α的扇形的面积为S＝·πr2＝|α|r2＝lr.
弧度和角度的互化
　设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝，β2＝－.
(1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；
(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们终边相同的所有的角．
【思路探究】　将角度化为弧度，可运用公式1°＝弧度；而将弧度化为角度，则可运用公式1弧度＝()°.
【自主解答】　(1)∵α1＝－570°＝－＝－，
而－＝－2×2π＋，
∴α1＝－2×2π＋，∴α1的终边在第二象限．
∵α2＝750°＝＝＝2×2π＋，∴α2的终边在第一象限．
(2)β1＝＝×180°＝108°，设θ＝k·360°＋108°(k∈Z)，
∵－720°≤θ＜0°，∴－720°≤k·360°＋108°＜0°，k∈Z，∴k＝－2或k＝－1.
∴－720°～0°之间与β1终边相同的角是－612°角和－252°角．
β2＝－＝－×180°＝－780°＝－2×360°－60°，设γ＝k·360°－60°(k∈Z)．
∵－720°≤γ＜0°，∴－720°≤k·360°－60°＜0°，k∈Z，∴k＝－1或k＝0.
∴－720°～0°之间与β2终边相同的角是－420°角和－60°角．
1．特殊角的弧度数与角度数的对应值应熟记，并逐步养成用弧度数表示角的习惯．
2．在进行角度制与弧度制换算时，关系式π rad＝180°是关键，由它得到：度数×＝弧度数，弧度数×()°＝度数．
　把－1 480°写成2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中0≤α＜2π，并判断它是第几象限角？
【解】　－1 480°＝－1 480×＝－＝－10π＋，其中0≤＜2π，因为是第四象限角，所以－1 480°是第四象限角．
用弧度表示区域角
　用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合，如图1－1－5所示(不包括边界)．
图1－1－5
【思路探究】　求出阴影部分边界角的弧度数，结合区域角的旋转方向及终边相同角的表示方法写出区域角的范围．
【自主解答】　(1)如图①，以OB为终边的角为330°，可看成是－30°，化为弧度，即－，而75°＝75×＝ rad，
∴所求集合为{θ|2kπ－＜θ＜2kπ＋，k∈Z}．
(2)如图②，以OB为终边的角225°，可看成是－135°，化成弧度，即－，而135°＝135×＝ rad，
∴所求集合为{θ|2kπ－＜θ＜2kπ＋，k∈Z}．
1．用弧度表示区域角，实质上是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时，需进行角度与弧度之间的换算，注意单位要统一．
2．在表示角的集合时，可以先写出一个周期的范围(如－π～π，0～2π)内的角，再加上2kπ，k∈Z.
3．在进行区间的合并时，注意归纳总结，一定要做到准确无误．一般地，若某角的终边落在某一直线上，则可用kπ(或k·180°)加上已知角来表示该角，其中k∈Z.
图1－1－6
　求出终边在图1－1－6中所示阴影区域(包括边界)的角的集合．
【解】　由于－π＋2π＝π，即角－π与角π的终边相同，因此图中所示阴影区域的角的集合为{α|＋2kπ≤α≤π＋2kπ，k∈Z}．
弧长与扇形面积公式的应用
　一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？
【思路探究】　→→→
【自主解答】　设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，
则l＝αr，
依题意l＋2r＝20，即αr＋2r＝20，
∴α＝.
由l＝20－2r>0及r>0得0∴S扇形＝αr2＝··r2＝(10－r)r
＝－(r－5)2＋25(0∴当r＝5时，S扇形max＝25.
此时l＝10，α＝2，
故当扇形半径r＝5，圆心角为2 rad时，
扇形面积最大．
　涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
　本例中条件不变，再增加一个条件：扇形面积S＝24，如何求这个扇形的弧长和圆心角？
【解】　(1)∵l＋2r＝20，
∴l＝20－2r且0∴S扇形＝lr＝(10－r)r＝24，
∴r2－10r＋24＝0，解得r＝4或r＝6.
∴当r＝4时，l＝20－2×4＝12，α＝＝3 rad，
当r＝6时，l＝20－2×6＝8，α＝＝ rad.
角度制与弧度制混用致误
　把角－690°化为2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式为________．
【错解1】　－690°＝－(690×)＝－π，
∴－690°＝－3π－π.
【答案】　－3π－π
【错解2】　－690°＝－2×360°＋30°，
∴－690°＝－4π＋30°.
【答案】　－4π＋30°
【错因分析】　错解1中－3π不是2kπ的形式，不符合题目要求．
错解2中不符合“在同一表达式中角度与弧度不能混用”这一原则．
【防范措施】　(1)在解题时要注意结果的规范要求．
(2)在解决角度制和弧度制的有关问题时，要遵循转换的原则，表达的形式要符合基本的原则和规范性．
【正解】　法一　－690°＝－(690×)＝－π，
∵－π＝－4π＋，
∴－690°＝－4π＋.
法二　－690°＝－2×360°＋30°，
∴－690°＝－4π＋.
【答案】　－4π＋
1．准确理解弧度制
(1)弧度制引入的必要性
把角的概念推广到任意角后，角的集合和实数集之间建立起一一对应关系．
(2)弧度制引入的合理性
当圆心角一定时，圆心角所对的弧长与半径成正比，与所取半径无关．
2．求扇形的弧长和面积的解题技巧
求扇形的面积关键是明确弧度制下扇形的面积公式S＝αr2＝lr(0＜α＜2π)，其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角，r是扇形的半径，三个量中知道任意两个量即可求解.
1．下列说法中，正确的序号是________．
①1弧度是长度为半径的弧；
②大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大；
③1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角；
④圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等；
⑤长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度．
【解析】　由弧度的概念知，①⑤错误，③正确；角的大小与圆的半径无关，∴②不正确；
∵弧长l＝α·r，∴当α＝1时，l扇＝r(半径)．
∴④不正确．
【答案】　③
2．下列结论不正确的是________．(只填序号)
① rad＝60°；②10°＝ rad；③36°＝ rad；④ rad＝115°.
【解析】　 rad＝×()°＝112.5°，所以④错．
【答案】　④
3．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．
【解析】　216°＝216×＝，
l＝30π＝α·r＝r，∴r＝25.
【答案】　25
4．已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？
【解】　设扇形的弧长为l，由题意得2πR＝2R＋l，所以l＝2(π－1)R，所以扇形的圆心角是＝2(π－1) rad，扇形的面积是Rl＝(π－1)R2.
一、填空题
1．将下列各角的弧度(角度)化为角度(弧度)：
(1)＝________；(2)－＝________；
(3)920°＝________；(4)－72°＝________.
【解析】　(1)＝×180°＝24°.
(2)－＝－×180°＝－216°.
(3)920°＝720°＋200°＝2π＋π＋20×＝3π＋＝π.
(4)－72°＝－72×＝－.
【答案】　(1)24°　(2)－216°　(3)π　(4)－
2．α＝－2 rad，则α的终边在________．
【解析】　－2 rad＝－2×()°≈－57.30°×2＝－114.60°，
∴α为第三象限角．
【答案】　第三象限
3．在单位圆(注：半径为1的圆)中，面积为1的扇形的圆心角的弧度数为________．
【解析】　由S＝αr2＝α×12＝＝1.
∴α＝2 (rad)．
【答案】　2
4．设集合M＝{α|α＝－，k∈Z}，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N＝________.
【解析】　分别取k＝－1,0,1,2，得α＝－，－，，.
【答案】　{－，－，，}
5．(2013·温州高一检测)集合{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中的角所表示的范围(图1－1－7阴影部分)是________．
图1－1－7
【解析】　当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z；
当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z.
因此，③正确．
【答案】　③
6．已知角α的终边与的终边相同，在[0,2π)内终边与角的终边相同的角为________．
【解析】　由题意得α＝2kπ＋(k∈Z)，故＝＋(k∈Z)，
又∵0≤<2π，所以当k＝0,1,2时，有＝，π，π满足．
【答案】　，π，π
7．已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段弧所对的圆心角的弧度数为________．
【解析】　设圆的半径为r，这段弧所对的圆心角为α，则正方形边长为r，则r＝r·α，即α＝.
【答案】　
8．(2013·泰州高一检测)已知角α，β的终边关于x＋y＝0对称，且α＝－，则β＝________.
【解析】　如图：
－角的终边关于y＝－x对称的射线的对应角为
－＋＝－，∴β＝－＋2kπ，k∈Z.
【答案】　2kπ－，k∈Z
二、解答题
9．已知扇形的周长是8 cm，圆心角为2 rad，求该扇形的弧长和面积．
【解】　设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，
则有解得
故S＝l·r＝4(cm2)．所以该扇形的弧长是4 cm，面积是4 cm2.
10．若角α与角－的终边垂直，试表示满足条件的角α的集合，并探究其终边有何位置关系？
【解】　在－π～π范围内，与角－的终边垂直的角为，－，与这两个角终边相同的角可分别表示为2kπ＋，2kπ－，k∈Z，即{α|α＝2kπ＋，或α＝2kπ－，k∈Z}＝{α|α＝kπ－，k∈Z}．
所以它们的终边在同一条直线上．
11．已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求：
(1)的长；
(2)扇形所含弓形的面积．
【解】　(1)∵120°＝π＝π，
∴l＝|α|·r＝6×π＝4π，
∴的长为4π.
(2)∵S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，
如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于D点，
于是有S△OAB＝×AB×OD＝×2×6cos 30°×3＝9.
∴弓形的面积为S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.
∴弓形的面积是12π－9.
(教师用书独具)
为什么要引入弧度制
为什么要引入弧度制，要考虑以下两个问题：
第一：建立弧度制的合理性，即建立弧度制的依据是什么？18世纪以前，人们一直用线段的长来定义三角函数，著名数学家欧拉1748年提出三角函数是对应的三角函数线与圆半径之比，欧拉在这篇著作的第八章中提出弧度制的思想，他认为如果把半径作为一个单位长度，那么半圆的长就是π，所对应的圆心角的弧度数也是π.这时可用平面上一条射线绕其顶点旋转时，射线上不同两点的旋转过程中所形成的两段弧的长度与其半径之比为常数来说明这个比值与半径的大小无关，仅与角的大小有关．因此，我们可用圆弧的长与半径的比值来度量这个圆弧所对的圆心角，即用等于半径的圆弧所对的圆心角作为度量角的单位，叫做1弧度的角，弧度制就是建立在上述基础上的．
第二：弧度制有什么优越性？①弧度数可以使角的大小用实数来表示，建立起角的集合与实数集合之间的一一对应关系，使三角函数可以看成是自变量为实数的函数，看成是实数与实数之间的映射关系，也就是说，三角函数也是数集与数集之间的映射，使三角函数也符合现代函数的定义，这就使三角函数脱离单独针对角的具体性、直观性和局限性，变得更抽象、更一般．因而可以给出更多的解释，使之应用研究更广泛．②引用弧度制以后，使得许多公式变得很简单．如弧长公式l＝α·r，扇形的面积公式S＝lr，并且在基础理论中采用弧度制可以得到很多简单的公式．③作三角函数图象，若用角度制，则横轴上的角是六十进制，而纵轴上的三角函数值是十进制，两者的进制不同，不便于取统一的单位，就会使画出的三角函数图象没有统一标准，采用弧度制，就解决了这个问题．
1．2任意角的三角函数
1．2.1　任意角的三角函数
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)初步理解任意角的三角函数的概念；
(2)初步学会判断三角函数在各象限中的符号；
(3)初步学会使用三角函数线表示三角函数值；
(4)能够推导同角三角函数的基本关系式；
(5)能够学会使用公式一和同角三角函数的基本关系解题．
2．过程与方法
(1)借助于单位圆，得出任意角的三角函数的概念；通过相似三角形法，理解在不同情景下的三角函数的定义的统一性；
(2)通过探究三角函数值在各象限的符号，发现三角函数值的分布规律；
(3)观察角的终边在各象限时，三角函数线的画法及所表示的含义，加深对三角函数定义的理解；
(4)学会使用定义法、公式法、数形结合法解题．
3．情感、态度与价值观
通过本节课的学习，树立数形结合的思想，养成逻辑推理的习惯，发现数学中所蕴含的哲学思想.
●重点难点
重点：三角函数的定义、三角函数线．
难点：用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．
(教师用书独具)
●教学建议
1．三角函数的定义
关于三角函数定义的教学，建议教师在教学过程中，注意引导学生由锐角三角函数推广到任意角的三角函数，这样讲很自然地把新旧知识连成线，又让学生体会到了由特殊到一般的思维方法．
2．三角函数定义域、函数值符号的判定
(1)关于三角函数定义域的教学，建议教师紧紧抓住任意角三角函数的定义，让学生自己观察、思考、总结，得出结论．
(2)关于函数值符号的判定的教学，建议教师让学生独立完成，最后以教师点评的方式进行，同时引导学生推导终边落在坐标轴上时正、余弦函数的取值情形．
3．三角函数线
关于三角函数线的教学，建议教师在教学过程中，利用多媒体予以呈现，让学生直观的感受三角函数线与三角函数线的关系，及在单位圆中的位置．结合图形，讲清三角函数线的位置、方向和大小．
●教学流程
????通过例2及其变式训练，使学生掌握利用三角函数在各象限的符号规律判断三角函数值符号的方法.?
通过例3及其变式训练，使学生掌握三角函数线的画法及利用三角函数线求角范围的方法.
??
课标解读
1.理解三角函数的定义，会使用定义求三角函数值．
2．会判断给定角的三角函数值的符号．(重点、难点)
3．会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围．(难点)
任意角的三角函数的定义
【问题导思】　
根据锐角三角函数的定义，完成下面的填空：
图形
定义
sin A＝________，
cos A＝________，
tan A＝________
【提示】　，，.
　在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)．并记|OP|＝r(此时r＝>0)，那么
名称
定义
定义域
正弦
sin α＝
R
余弦
cos α＝
R
正切
tan α＝
{α|α≠＋kπ，k∈Z}
sin α，cos α，tan α分别称为正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数．
三角函数在各象限符号
【问题导思】　
　如果角α的终边在x轴上方，那么能否判断sin α的符号？
　【提示】　∵sin α＝，y＞0，r＞0，
∴sin α＞0.
三角函数线
【问题导思】　
1．结合图形思考：在单位圆中，三角函数能否用图中的有向线段来表示？
【提示】　能．
2．若选取角α终边与单位圆的交点为P(x，y)，如何求sin α，cos α？
【提示】　∵r＝1，
∴sin α＝y，cos α＝x.
　(1)有向线段：规定了方向的线段．
(2)三角函数线
三角函数的定义及应用
　(2013·青岛高一检测)已知角θ的终边上有一点P(－，m)，且sin θ＝m，求cos θ与tan θ的值．
【思路探究】　先利用三角函数定义sin θ＝，求出m的值，再用公式cos θ＝，tan θ＝代入数据求解．
【自主解答】　由已知r＝＝，
∴m＝，解得m＝0，或m＝±，
(1)当m＝0时，cos θ＝－1，tan θ＝0；
(2)当m＝时，cos θ＝－，tan θ＝－；
(3)当m＝－时，cos θ＝－，tan θ＝.
1．利用三角函数的定义求一个角的三角函数值需明确三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.
2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
将本例中条件改为“已知角α的终边上有一点P(m，－)(m≠0)，且cos θ＝m”，如何求tan θ的值？
【解】　由已知得＝m，∵m≠0，∴m＝±，
当m＝时，tan θ＝＝－；
当m＝－时，tan θ＝＝.
三角函数值的符号
　判断下列各式的符号：
(1)α是第四象限角，sin α·tan α；
(2)sin 3·cos 4·tan(－)．
【思路探究】　先确定各角所在象限，再判定各个三角函数值符号，然后判定三角函数式的符号．
【自主解答】　(1)∵α是第四象限角，
∴sin α<0，tan α<0，
∴sin α·tan α>0.
(2) ∵<3<π，π<4<，
∴sin 3>0，cos 4<0.
又∵－＝－6π＋，
∴tan(－)>0，
∴sin 3·cos 4·tan(－)<0.
　三角函数值的符号取决于角的终边所在位置．三角函数值在各象限的符号可以用“一全正、二正弦、三正切、四余弦”(即第一象限角三角函数全是正值，第二象限角正弦函数是正值，第三象限角正切函数是正值，第四象限角余弦函数是正值)来判断．
　若sin θ·cos θ＞0，且cos θ·tan θ＜0，则角θ的终边落在第________象限．
【解析】　由sin θ·cos θ＞0可知θ为第一或第三象限角，
由cos θ·tan θ＜0可知θ为第三或第四象限角，则知θ为第三象限角．
【答案】　三
三角函数线的应用
　在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围，并由此写出角α的集合．
(1)sin α≥；(2)cos α≤－.
【思路探究】　根据三角函数线．在单位圆中首先作出满足sin α＝，cos α＝－的角的终边，然后由已知条件确定角α的终边范围．
【自主解答】　(1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图①阴影部分)即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}，
(2)作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(如图②阴影部分)即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
1．三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的工具，要注意利用其来解决问题．
2．三角函数线的主要作用是解三角不等式、比较大小及求函数的定义域，在求三角函数定义域时，一般转化为不等式(组)，因此必须牢固掌握三角函数线的画法及意义．
　作出角，－的正弦线、余弦线、正切线，并比较相应三角函数值的大小．
【解】　如图(1)所示，图中有向线段MP，OM，AT分别表示 角的正弦线、余弦线、正切线．
如图(2)所示，图中有向线段M′P′，OM′，A′T′分别表示－角的正弦线、余弦线、正切线．
由图可知MP＞0＞M′P′，所以sin ＞sin(－)，
OM＜0＜OM′，所以cos ＜cos(－)，
0＞AT＞A′T′，所以tan ＞tan(－).
忽视角所在象限的讨论致误
　已知角α的顶点在原点上，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标为(3a,4a)(a≠0)，求角α的正弦值和正切值．
【错解】　由题意得x＝3a，y＝4a，
所以r＝＝＝5a，
所以sin α＝＝＝，tan α＝＝＝.
【错因分析】　本题中点的坐标含参数，当a＞0时，该点在第一象限，即角α的终边在第一象限；当a＜0时，该点在第三象限，即角α的终边在第三象限．故应对a的取值范围进行分类讨论．
【防范措施】　根据角的终边上一点的坐标求三角函数值时，若坐标中含有字母，则应分类讨论．
【正解】　由题意得x＝3a，y＝4a，
所以r＝＝＝5|a|.
若a＞0，则r＝5a，
所以sin α＝＝＝，
tan α＝＝＝；
若a＜0，则r＝－5a，
所以sin α＝＝＝－，
tan α＝＝＝.
1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．
2．三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小，同时它也是以后学习三角函数的基础.
1．已知α的终边过点P(4，－3)，则下面各式中正确的是________．(只填序号)
①sin α＝；②cos α＝－；③tan α＝－；④tan α＝－.
【解析】　易知x＝4，y＝－3，r＝5，所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
【答案】　③
2．sin 105°cos 230°的符号为________．
【解析】　∵105°为第二象限角，230°为第三象限角，
∴sin 105°＞0，cos 230°＜0.
∴sin 105°·cos 230°＜0.
【答案】　负
3．有下列命题：①若sin α＞0，则α是第一或第二象限角；②若α是第一或第二象限角，则sin α＞0；③三角函数线不能取负值；④若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos α＝.其中正确命题的序号是________．
【解析】　∵sin ＝1＞0，但不是第一或第二象限角，∴①不正确；三角函数线是三角函数值的几何表示，其数量可正可负，也可为0，∴③不正确；④应是cos α＝(∵α是第二象限角，已有x＜0)，∴④不正确．
【答案】　②
4．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
(1)；(2)；(3)－.
【解】　作角的正弦线、余弦线、正切线的关键是画出单位圆和角的终边．如图所示，有向线段MP，OM，AT分别是题中三个角的正弦线、余弦线、正切线．
一、填空题
1．已知角α的终边经过点P(x，－6)，若sin α＝－，则x的值为________．
【解析】　由三角函数的定义得sin α＝＝＝－，∴x2＝，∴x＝±.
【答案】　±
2．(2013·巢湖高一检测)下列三角函数值的符号判断错误的是________．
①sin 165°＞0；②cos 280°＞0；③tan 170°＞0；
④tan 310°＜0.
【解析】　165°为第二象限角，280°为第四象限角，170°为第二象限角，310°为第四象限角，第二象限角的正切值的符号为负，故③不正确．
【答案】　③
3．(2013·广州高一检测)已知sin α＝，cos α＝－，则角α终边在第________象限．
【解析】　由sin α＝＞0得，角α的终边在第一或第二象限；由cos α＝－＜0得，角α的终边在第二或第三象限，故角α的终边在第二象限．
【答案】　二
4．角α的终边上有一点M(a，a)，a∈R且a≠0，则sin α的值为________．
【解析】　当a>0时，r＝＝a，sin α＝＝＝.
当a<0时，r＝＝－a，sin α＝＝＝－.
∴sin α＝或－.
【答案】　或－
5．如果cos x＝|cos x|，那么角x的取值范围是________．
【解析】　∵cos x＝|cos x|，∴cos x≥0，∴角x的终边落在y轴或其右侧，从而角x的取值范围是[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z.
【答案】　[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z
6．已知α终边过点(3a－9，a＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a的取值范围为________．
【解析】　∵sin α>0，cos α≤0，∴α终边在第二象限或y轴正半轴上，
∴3a－9≤0，a＋2>0，∴－2【答案】　(－2,3]
7．已知角α的终边与射线y＝－3x(x≥0)重合，则sin α·cos α－tan α的值为________．
【解析】　在角α终边上取一点P(1，－3)，此时x＝1，y＝－3.
∴r＝＝.
∴由三角函数定义得sin α＝＝－，
cos α＝＝，tan α＝＝－3.
∴sin α·cos α－tan α＝－×－(－3)＝3－＝.
【答案】　
8．使sin x≤cos x成立的x的一个变化区间是________．
①[－，]；②[－，]；③[－，]；④[0，π]．
【解析】　如图，画出三角函数线sin x＝MP，cos x＝OM，由于sin(－)＝cos(－)，sin ＝cos ，为使sin x≤cos x成立，由图可得－≤x≤.
【答案】　①
二、解答题
9．(2013·杭州高一检测)已知角α的终边过点(a,2a)(a≠0)，求α的三个三角函数值．
【解】　因为角α的终边过点(a,2a)(a≠0)，所以r＝|a|，x＝a，y＝2a.
当a＞0时，sin α＝＝＝＝，
cos α＝＝＝，tan α＝2；
当a＜0时，sin α＝＝＝＝－，
cos α＝＝＝－，tan α＝2.
10．已知角α的顶点在原点上，始边与x轴的非负半轴重合，且sin α＜0，tan α＞0.
(1)求角α的集合；
(2)判断为第几象限角；
(3)判断tan ，sin ·cos 的符号．
【解】　(1)因为sin α＜0，tan α＞0，
所以角α是第三象限角，
故角α的集合为{α|2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z}．
(2)由(1)知kπ＋＜＜kπ ＋(k∈Z)．
当k＝2m(m∈Z)时，2mπ＋＜＜2mπ＋(m∈Z)，所以是第二象限角；当k＝2m＋1(m∈Z)时，2mπ＋π＜＜2mπ＋π(m∈Z)，所以是第四象限角．
所以是第二或第四象限角．
(3)由(2)知是第二或第四象限角，
从而tan ＜0，sin ·cos ＜0.
11．利用单位圆写出符合下列条件的角x的范围．
(1)sin x<－；(2)|cos x|≤.
【解】　(1)作出单位圆如图所示．
在0～2π内，
∵sin ＝－，
sin＝－，
∴满足sin x<－的角x在(，)内．
故在任意角范围内满足sin x<－的角x的范围是＋2kπ(2)作出单位圆如图所示．在0～π内，|cos |＝，
|cos |＝.
在π～2π内，|cos |＝，|cos |＝.
根据余弦线的变化情况可知
满足|cos x|≤的角x的取值范围是＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z).
(教师用书独具)
求函数f(α)＝的定义域．
【思路探究】　要使函数f(α)有意义，则sin α≥.利用三角函数线可得x的范围，即为函数f(α)的定义域．
【自主解答】　要使函数f(α)有意义，必须使2sin α－1≥0，则sin α≥.如图，画出单位圆，作出x轴的平行直线y＝，交单位圆于两点P1，P2，连接OP1，OP2，分别过点P1，P2作x轴的垂线，画出如图的两条正弦线，易知这两条正弦线的值都等于.在[0,2π)内，sin ＝sin ＝.由于sin α≥，故满足条件的角α的终边在图中阴影部分，所以函数f(α)的定义域为{α|＋2kπ≤α≤＋2kπ，k∈Z}．
　利用三角函数线求三角函数的定义域时，一般转化为不等式(组)，其解题思路是：
(1)首先画出取边界值的角α1的终边并在0～2π(或－2π～0)范围内写出α1的值．
(2)根据三角函数线所在的范围，确定满足条件的角α终边所在范围．
(3)写出解集．
　求函数y＝＋lg(2sin x＋)的定义域．
【解】　要使函数y有意义，只需
即
如图所示，由单位圆知2kπ－＜x≤2kπ＋π，k∈Z.
故原函数的定义域为{x|2kπ－＜x≤2kπ＋π，k∈Z}．
1．2.2　同角三角函数关系
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)能根据三角函数的定义，导出同角三角函数的基本关系；(2)能正确运用同角三角函数关系进行三角函数式的求值运算；(3)能运用同角三角函数的基本关系求一些三角函数(式)的值，并从中了解一些三角运算的基本技巧；(4)运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数恒等式的证明．
2．过程与方法
回忆初中所学的几个三角函数之间的关系，用高中所学的同角三角函数之间的关系试着进行证明；掌握几种同角三角函数关系的应用；掌握在具体应用中的一定技巧和方法；理解并掌握同角三角关系的简单变形；提高学生恒等变形的能力，提高分析问题和解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
通过本节的学习，使学生加深理解基本关系在本章中的地位；认识事物间存在的内在联系，使学生养成面对问题勤于思考的习惯；培养学生良好的学习方法，进一步树立化归的数学思想方法．
●重点难点
重点：同角三角函数之间的基本关系、化简与证明．
难点：化简与证明中的符号，同角三角函数关系的灵活运用．
(教师用书独具)
●教学建议
1．同角三角函数的基本关系推导
关于同角三角函数的基本关系推导的教学，建议教师引导学生在回顾初中所学知识的基础上利用三角函数的定义和单位圆进行推导，以体现数形结合的思想．
2．同角三角函数的基本关系的应用
关于求一个角的三角函数值的教学，建议教师在教学中注意以下几点：
(1)理解“同角”的含义；
(2)已知某角的一个三角函数值，可求它的其余各三角函数值；
(3)角α所在象限不定时，对于三角函数值的讨论．
3．三角函数式的化简
关于三角函数式的化简的教学，建议教师在教学中讲清化简的基本要求：尽量减少角的种数、三角函数的种数、尽量化成同角、同名的三角函数等等，并在教学中及时地予以总结．
●教学流程
创设问题情境，根据三角函数定义，引导学生导出同角三角函数的基本关系，并推导出同角三角函数关系的简单变形.?????
课标解读
1.理解同角三角函数的基本关系式：
sin2α＋cos2α＝1，tan α＝.
2．能正确运用上述关系式进行化简、求值和证明．(重点、难点)
同角三角函数的基本关系式
【问题导思】　
　在初中我们已经知道，对于同一个锐角α，存在关系式：
sin2α＋cos2α＝1，＝tan α，　对于任意角α，以上关系还成立吗？试证明你的结论．
【提示】　设P(x，y)为角α终边上任一点．
①∵x2＋y2＝r2，且sin α＝，cos α＝，∴sin2α＋cos2α＝1.
②当α≠kπ＋(k∈Z)时，＝÷＝×＝＝tan α.
　(1)平方关系：sin2α＋cos2_α＝1.
(2)商数关系：tan α＝(α≠kπ＋，k∈Z).
求值问题
　(1)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
(2)已知tan α＝－，求下列各式的值．
①；②3sin2α＋2sin αcos α－cos2α.
【思路探究】　(1)先由cos α的符号判断α所在的象限，然后分别由平方关系和商数关系求sin α，tan α的值．
(2)利用同角三角函数的基本关系式tan α＝，将所求代数式转化为关于tan α的代数式，再将tan α的值代入即可．
【自主解答】　(1)∵cos α＝－＜0，∴α是第二、三象限角．
若α是第二象限，则sin α＝＝，tan α＝＝－；
若α是第三象限角，则sin α＝－＝－，tan α＝＝.
(2)①＝＝＝＝－1.
②3sin2α＋2sin αcos α－cos2α
＝
＝
＝
＝＝－.
1．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号由角α所在象限来决定；若不能确定时要进行分类讨论．
2．解决齐次式时，分子分母同除以某一量，其式子可以转化为关于tan α的式子，然后求值．
　将本例(1)中“cos α＝－”改为“cos α＝”，又如何求sin α，tan α的值呢？
【解】　∵cos α＝＞0，∴α是第一、四象限角．
若α是第一象限角，则sin α＝＝＝，tan α＝＝；
若α是第四象限角，则sin α＝－＝－＝－，tan α＝＝－.
三角函数式化简
　化简：
(1)(1＋tan2α)cos2α；(2)＋.
【思路探究】　 (1)的关键是“切化弦”；(2)利用平方关系去掉根号．
【自主解答】　(1)原式＝(1＋)cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.
(2)由题意得cos θ≠0，所以，
原式＝＋＝＋＝(k∈Z)．
1．利用同角的基本关系进行化简时常用的技巧是“sin2 α＋cos2 α＝1”的变形：如把常数“1”换成“sin2 α＋cos2 α”；以及(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α等，另外在化简过程中应注意函数名间的关系，如果有切有弦常把切化成弦来处理．
2．对于含有三角函数的二次根式化简问题，常把被开方数配成完全平方式，然后借助角的范围开方化简．若给出的范围不明确，对函数值产生影响时，应注意讨论．
　若sin α·tan α＜0，化简 ＋.
【解】　∵sin α·tan α＜0，∴sin α，tan α异号，
∴α是第二或第三象限角，∴cos α＜0.
∴＋＝＋＝＋
＝＝－.
三角恒等式的证明
　求证：(1)sin θ(1＋tan θ)＋cos θ·(1＋)＝＋；
(2)1＋＝－.
【思路探究】　(1)证明恒等式的原则是由繁到简，所以在该题中从左到右进行论证．因为右端无切函数，所以在变形、化简过程中应将切借助于商数关系化弦．
(2)由于等式两边的结构均较复杂，可考虑分别将等式左、右两边化简，利用“同一法”证明．
【自主解答】　(1)左式＝sin θ(1＋)＋cos θ(1＋)＝sin θ＋＋cos θ＋
＝(sin θ＋)＋(cos θ＋)
＝＋＝＋＝右式．
(2)左边＝
＝
＝
＝sin α＋cos α.
右边＝－
＝－
＝－
＝＝sin α＋cos α.
∴原等式成立．
　证明三角恒等式，实际上就是将左右两端表面看似存在较大差异的式子通过巧妙变形后消除差异，实现联通，使其左右两侧相等，为了达到这个目的，我们经常采用以下的策略和方法：
　(1)左推右(或右推左)法：从一边开始，证明它等于另一边；
(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；
(3)等价转化法：变更论证，采用左右相减，化除为乘等方法，转化成与原结论等价的命题形式．
　求证：＝.
【证明】　法一　左边＝＝
＝＝＝
＝＝＝左边，
∴原等式成立．
法二　右边＝＝
＝＝
＝＝
＝＝左边，
∴原等式成立.
利用同角三角函数的关系时忽视角的范围致误
　已知sin α＋cos α＝，其中0＜α＜π，求sin α－cos α的值．
【错解】　∵sin α＋cos α＝，
∴(sin α＋cos α)2＝，即1＋2sin αcos α＝，
可得sin αcos α＝－，
∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×(－)＝，∴sin α－cos α＝±.
【错因分析】　在求得sin αcos α＝－后没有结合0＜α＜π对α的范围进一步确定，从而导致sin α－cos α出现两个值的错误．
【防范措施】　利用平方关系由sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值求sin θcos θ的值时，注意要充分利用sin θcos θ的符号及题中的条件，判断出角θ的范围．
【正解】　∵sin α＋cos α＝，
∴(sin α＋cos α)2＝，可得sin αcos α＝－.
∵0＜α＜π，且sin αcos α＜0，①
∴sin α＞0，cos α＜0.
∴sin α－cos α＞0，②
又(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，
∴sin α－cos α＝.
　准确认识同角三角函数的基本关系式
(1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22α＋cos22α＝1，＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．
(2)在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式.
1．α是第四象限角，cos α＝，则sin α＝________.
【解析】　α是第四象限角，cos α＝，则sin α＝－＝－.
【答案】　－
2．下列说法中可能成立的有________．
①sin α＝1且cos α＝；
②sin α＝0且cos α＝－1；
③tan α＝1且cos α＝－1；
④tan α＝－(α是第二象限角)．
【解析】　对于①，显然不满足sin2α＋cos2α＝1，故①不成立；
对于②，由sin α＝0且cos α＝－1，得α＝2kπ＋π(k∈Z)，故②成立；
对于③，若tan α＝1且cos α＝－1，则sin α＝tan αcos α＝－1，显然不满足sin2α＋cos2α＝1，故③不成立；
对于④，无论α是第几象限角，只要α≠kπ＋(k∈Z)，总有tan α＝，故④不成立．
【答案】　②
3．已知sin α＝2cos α，则＝________.
【解析】　∵sin α＝2cos α，
∴tan α＝2，
∴＝＝＝－.
【答案】　－
4．求证：(sin α＋cos α)2＝1＋.
【证明】　左边＝(sin α＋cos α)2＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋2sin αcos α，
右边＝1＋＝1＋2sin2α·＝1＋2sin αcos α，
∴左边＝右边，即(sin α＋cos α)2＝1＋.
一、填空题
1．化简 ＝________.
【解析】　＝|sin |＝sin .
【答案】　sin 
2．(2013·泰安高一检测)若sin θ＝－，tan θ＞0，则cos θ＝________.
【解析】　由已知，θ在第三象限，
∴cos θ＝－＝－＝－.
【答案】　－
3．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值是________．
【解析】　sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1＝2×()2－1＝－.
【答案】　－
4．(2013·连云港高一检测)已知tan α＝5，则＝________.
【解析】　∵tan α＝5，∴＝5，
∴sin α＝5cos α，
∴＝＝.
【答案】　
5．化简sin4α＋cos4α＋2sin2α·cos2α＝________.
【解析】　sin4α＋cos4α＋2sin2α·cos2α＝(sin2α＋cos2α)2＝1.
【答案】　1
6．已知sin α＋cos α＝，则sin αcos α＝________.
【解析】　由sin α＋cos α＝，两边平方得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α＝，
∴sin αcos α＝－.
【答案】　－
7．使 ＝ 成立的α的集合是________．
【解析】　＝＝＝，即sin α＜0，
故2kπ－π＜α＜2kπ，k∈Z.
【答案】　{α|2kπ－π＜α＜2kπ，k∈Z}
8．已知cos α＝tan α，则sin α＝________.
【解析】　利用同角三角函数关系式求解．因为cos α＝tan α，所以cos α＝，即sin α＝cos2α≥0，可得sin α＝1－sin2α，即sin2α＋sin α－1＝0，解得sin α＝，舍去负值，得sin α＝.
【答案】　
二、解答题
9．若cos α＝－且tan α＞0，求的值．
【解】　＝
＝＝
＝＝sin α(1＋sin α)．
由tan α＝＞0，cos α＝－＜0，
∴sin α＜0.又sin2α＋cos2α＝1，
∴sin α＝－＝－，
∴原式＝sin α(1＋sin α)＝－·(1－)＝－.
10．化简：－.
【解】　原式＝－
＝－
＝＝sin x＋cos x.
11．证明：＝cos2x－sin2x.
【证明】　左边＝＝＝＝cos2x－sin2x＝右边．
原式得证.
(教师用书独具)
　已知关于x的方程8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两个实数根分别是sin θ，cos θ，求|sin θ－cos θ|的值．
【思路探究】　根据根与系数的关系可求出sin θ＋cos θ，sin θcos θ的值，再利用平方关系求得k的值，最后求出|sin θ－cos θ|的值．
【自主解答】　由题意得
∴sin2θ＋cos2θ＝(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝k2－＝1，
∴9k2－8k－20＝0，
∴k＝2或k＝－.
当k＝2时，Δ＜0，不符合题意，舍去．
当k＝－时，Δ＞0，∴k＝－，
此时sin θ＋cos θ＝，
∴|sin θ－cos θ|2＋(sin θ＋cos θ)2＝2(sin2θ＋cos2θ)＝2，
∴|sin θ－cos θ|2＝2－＝，
∴|sin θ－cos θ|＝.
1．解决本题易忽视“Δ＞0”这一隐含条件．
2．要学会利用方程的思想解三角函数题，对于sin α±cos α，sin αcos α这三个式子，已知其中一个式子的值，可求其余两式的值．求值时不要忘记讨论符号．
　已知sin α，cos α是关于x的二次方程2x2＋(＋1)x＋m＝0的两根，求2tan α·的值．
【解】　2tan α·＝·
＝.
由根与系数的关系可得sin α＋cos α＝－，
∴sin α·cos α＝＝＝.
故原式＝＝.
1．2.3　三角函数的诱导公式
第1课时　三角函数的诱导公式(一)
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)能够推导公式一～四．
(2)能够应用公式一～四解决一些三角函数求值、化简和证明问题．
2．过程与方法
(1)借助于单位圆，利用对称性，推导出公式一～四．
(2)观察公式一～四的结构特征，将它们统一成一句话：函数名不变，符号看象限．
(3)利用公式一～四的解题步骤为：负角→正角→0～2π角→锐角．
(4)特别注意公式的使用中，三角函数值的符号变化问题．
3．情感、态度与价值观
用联系的观点，发现并证明诱导公式，体会把未知问题化归为已知问题的数学思想方法．
●重点难点
重点：诱导公式的推导．
难点：应用诱导公式进行化简、求值和证明．
(教师用书独具)
●教学建议
(1)本课首先利用三角函数的定义及终边相同的角得出诱导公式一，然后利用单位圆推导出正弦、余弦函数中角α与角π±α，－α的终边的关系，进而推导出角α与角π±α，－α的正弦、余弦函数的关系，从而概括出诱导公式二、三、四．本课内容是后续推导诱导公式的理论依据，也是进一步学习三角函数的基础．
(2)关于诱导公式的教学，建议教师在教学过程中：①对于诱导公式一的推导要结合三角函数线，利用数形结合的数学思想得出结论．②对于诱导公式二、三、四，教师在引导学生发现角之间的关系时，紧密联系角的对称，推导过程让学生完成．③通过练习使学生明确诱导公式的作用：把求任意角的三角函数值问题转化为0°～90°角的三角函数值问题．
●教学流程
???完成例2及其互动探究，从而解决给值求值问题，并总结诱导公式在该类型问题应用中注意的事项.???

课标解读
1.能借助单位圆中的三角函数定义推导出诱导公式一～四．(难点)
2．掌握诱导公式一、二、三、四，会运用诱导公式化简、求值与证明．(重点)
诱导公式一～四
【问题导思】　
1．终边相同的角的三角函数值相等吗？
【提示】　根据三角函数的定义知：终边相同的角的三角函数值相等．
2．若点P与点P′分别为角α，β的终边与单位圆的交点，并且P与P′关于x轴对称，那么sin α与sin β，cos α与cos β有何关系？
【提示】　sin β＝－sin α，cos β＝cos α.
3．若角α的终边与角β的终边关于y轴对称，sin α与sin β，cos α与cos β有何关系？
【提示】　sin β＝sin α，cos β＝－cos α.
1．终边相同的角的诱导公式(公式一)
sin(α＋2kπ)＝sin_α(k∈Z)；
cos(α＋2kπ)＝cos_α(k∈Z)；
tan(α＋2kπ)＝tan_α(k∈Z)．
2．终边关于x轴对称的角的诱导公式(公式二)
sin(－α)＝－sin_α；
cos(－α)＝cos_α；
tan(－α)＝－tan_α.
3．终边关于y轴对称的角的诱导公式(公式三)
sin(π－α)＝sin_α；
cos(π－α)＝－cos_α；
tan(π－α)＝－tan_α.
4．终边关于原点对称的角的诱导公式(公式四)
sin(π＋α)＝－sin_α；
cos(π＋α)＝－cos_α；
tan(π＋α)＝tan_α.
给角求值
　计算：(1)sin(－)－cos(－)；
(2).
【思路探究】　利用诱导公式将负角、大角的三角函数转化为锐角的三角函数．
【自主解答】　(1)原式＝－sin(4π＋)－cos(2π＋)＝－sin(π＋)－cos(π＋)＝sin ＋cos ＝＋＝1.
(2)原式＝＝
＝＝
＝－1.
　利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤：
　
　求下列各式的值：
(1)sin·cos·tan；
(2)cos(－2 640°)＋sin 1 665°.
【解】　(1)原式＝sin·cos(2π＋)·tan(4π＋)
＝sin·cos·tan
＝sin(π＋)·cos(π＋)·tan(π＋)
＝(－sin)·(－cos)·tan
＝(－)·(－)·1
＝.
(2)原式＝cos[240°＋(－8)×360°]＋sin(225°＋4×360°)＝cos 240°＋sin 225°
＝cos(180°＋60°)＋sin(180°＋45°)
＝－cos 60°－sin 45°＝－.
给值求值
　(1)已知sin β＝，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)＝________.
(2)已知cos(α－55°)＝－，且α为第四象限角，求sin(α＋125°)的值．
【思路探究】　(1)先由cos(α＋β)＝－1，可求出α＋β，再代入sin(α＋β)中利用诱导公式求解．
(2)由于α＋125°＝180°＋(α－55°)，故求sin(α＋125°)可转化为求－sin(α－55°)，利用平方关系由cos(α－55°)可求得sin(α－55°)的值．
【自主解答】　(1)由cos(α＋β)＝－1得，
α＋β＝2kπ＋π(k∈Z)，
则α＋2β＝(α＋β)＋β＝2kπ＋π＋β(k∈Z)，
∴sin(α＋2β)＝sin(2kπ＋π＋β)
＝sin(π＋β)＝－sin β＝－.
【答案】　－
(2)∵cos(α－55°)＝－＜0，
且α为第四象限角，
∴α－55°是第三象限角．
sin(α－55°)＝－＝－.
∵α＋125°＝180°＋(α－55°)，
∴sin(α＋125°)＝sin[180°＋(α－55°)]＝－sin(α－55°)＝.
1．先找出所求角和已知角之间的关系，把所求角的三角函数化为已知角的三角函数求解．
2．该类问题需先用诱导公式转化，再用同角基本关系式求解，因此当用到平方关系时确定符号非常关键，符号不确定时还要分类讨论．
　本例(2)中条件不变，如何求cos(α＋125°)＋tan(α－55°)的值？
【解】　cos(α＋125°)＝cos[180°＋(α－55°)]
＝－cos(α－55°)＝，
tan(α－55°)＝＝2，
∴cos(α＋125°)＋tan(α－55°)
＝＋2.
利用诱导公式化简三角函数式
　化简：(1)；
(2)(n∈Z)．
【思路探究】　解答本类题的关键是熟练应用诱导公式，应注意含参数时有时需对参数加以讨论．
【自主解答】　(1)＝＝.
(2)当n为奇数时，
设n＝2k＋1，k∈Z，则
＝＝＝＝tan α，
当n为偶数时，设n＝2k，k∈Z，则＝＝＝tan α，
∴＝tan α.
1．三角函数式的化简方法：
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．
(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数．
2．含有kπ＋α的三角函数式的化简：
用诱导公式进行化简，碰到kπ＋α的形式时，常对k分奇数、偶数进行讨论，其目的在于将不符合条件的问题，通过分类使之符合条件，达到能利用公式的形式．
　化简：.
【解】　
＝
＝＝－＝＝－cos θ.
转化与化归思想
　(14分)设f(θ)＝
，求f()的值．
【思路点拨】　先将f(θ)的式子化简，再把θ＝代入求值．
【规范解答】　∵f(θ)＝
3分
＝6分
＝9分
＝
＝cos θ－1，12分
∴f()＝cos －1＝－.14分
　
1．本题先由诱导公式将函数式化简，将函数式的角度统一，然后利用sin2θ＋cos2θ＝1，统一函数名称，这样就可以避免因为公式交错使用导致混乱．
2．在计算、化简、证明三角函数式时，常采用化繁为简、化异为同、化切为弦、“1”的代换、整体代换等方法，这些都体现了三角函数问题中转化与化归的思想．
1．明确各诱导公式的作用
诱导公式
作用
公式一
将角转化为0～2π求值
公式二
将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值
公式三
将负角转化为正角求值
公式四
将角转化为0～求值
2.诱导公式的记忆
诱导公式一～四的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.
1．cos(－)＝________.
【解析】　cos(－)＝cos ＝.
【答案】　
2．已知sin(π＋θ)<0，cos(π－θ)<0，则角θ的终边在第________象限．
【解析】　∵sin(π＋θ)＝－sin θ<0，
∴sin θ>0，
∵cos(π－θ)＝－cos θ<0，∴cos θ>0，
∴θ为第一象限角．
【答案】　一
3．sin2150°＋sin2135°＋2sin 210°＋cos2225°的值等于________．
【解析】　原式＝()2＋()2＋2×(－)＋(－)2＝.
【答案】　
4．已知cos α＝，求的值．
【解】　＝
＝－cos α＝－.
一、填空题
1．已知sin(π＋α)＝且α是第四象限角，则cos(α－2π)＝________.
【解析】　sin(π＋α)＝－sin α＝，sin α＝－，cos(α－2π)＝cos α＝.
【答案】　
2．sin2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为________．
【解析】　原式＝sin2α＋cos2α＋1＝2.
【答案】　2
3．已知sin(45°＋α)＝，则sin(225°＋α)＝________.
【解析】　sin(225°＋α)＝sin(180°＋45°＋α)＝－sin(45°＋α)＝－.
【答案】　－
4．若cos 100°＝k，则tan 80°的值为________．
【解析】　cos 80°＝－cos 100°＝－k，且k＜0.于是sin 80°＝＝，从而tan 80°＝－.
【答案】　－
5．若f(sin x)＝cos 17x，则f()的值为________．
【解析】　由sin x＝得x＝＋2kπ，k∈Z或x＝＋2kπ，k∈Z.
当x＝＋2kπ时，f()＝cos[17×(＋2kπ)]＝cos ＝－；
当x＝＋2kπ时，f()＝cos[17×(＋2kπ)]＝cos ＝.
【答案】　－或
6．化简的结果为________．
【解析】　当n为偶数时，原式＝＝＝－sin α，当n为奇数时，原式＝＝sin α.
【答案】　(－1)n＋1sin α(n∈Z)
7．已知cos(α＋β)＝－1，且tan α＝2，则tan β＝________.
【解析】　由cos(α＋β)＝－1知α＋β＝2kπ＋π(k∈Z)，∴β＝2kπ＋π－α，k∈Z.∴tan β＝tan(2kπ＋π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝－2.
【答案】　－2
8．(2013·盐城高一检测)已知sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0，则sin αcos α的值为________．
【解析】　∵sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0，即
sin α－3cos α＝0，∴tan α＝3，
∴sin αcos α＝＝＝.
【答案】　
二、解答题
9．(2013·扬州高一检测)求值：sin2840°＋cos 540°＋tan 225°－cos2(－330°)＋sin(－210°)．
【解】　原式＝[sin(2×360°＋120°)]2＋cos(360°＋180°)＋tan(180°＋45°)－[cos(180°＋150°)]2－sin(180°＋30°)
＝sin2120°＋cos 180°＋tan 45°－cos2150°＋sin 30°
＝()2－1＋1－(－)2＋＝.
10．(1)已知cos(π＋α)＝－，且<α<2π，求sin(2π－α)的值；
(2)已知sin(α＋π)＝，且sin αcos α<0，求
的值．
【解】　(1)∵cos(π＋α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝.
∵<α<2π，
∴sin α＝－＝－.
∴sin(2π－α)＝－sin α＝.
(2)∵sin(α＋π)＝－sin α＝，
∴sin α＝－.
∵sin αcos α<0，
∴cos α>0，
∴cos α＝＝.
∵tan α＝＝－，
∴
＝＝
＝＝－.
11．化简：(k∈Z)．
【解】　当k为奇数时，不妨设k＝2n＋1，n∈Z，则原式＝
＝＝＝－1；
当k为偶数时，不妨设k＝2n，n∈N，则原式＝
＝＝＝－1.
总之，＝－1.

(教师用书独具)
　设tan(α＋π)＝a.
求证：＝.
【思路探究】　本题主要考查诱导公式，从已知角的关系入手，将所求各角用α＋π表示，然后用诱导公式和三角函数关系式求角．
【自主解答】　左边
＝
＝
＝＝＝右边．
∴等式成立．
　对于利用诱导公式证明三角恒等式的问题，解题的关键在于公式的灵活运用，思路在于如何配角，如何分配角之间的关系，其中要特别注意函数名称与正负号的正确判断．
　证明：＝tan θ.
【证明】　左边＝
＝＝tan θ＝右边．
∴原等式成立．
第2课时　三角函数的诱导公式(二)
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)能够推导公式五、六．
(2)能够应用公式五、六解决一些三角函数求值、化简和证明问题．
2．过程与方法
(1)借助于单位圆，利用对称性，推导公式五、六．
(2)观察公式五、六的结构特征，统一为“函数名改变，符号看象限”．
(3)特别注意公式的使用中，三角函数值的符号变化问题．
3．情感、态度与价值观
用联系的观点，发现并证明诱导公式，体会把未知问题化归为已知问题的数学思想方法．
●重点难点
重点：诱导公式五、六的推导．
难点：灵活运用诱导公式进行化简、求值、证明.
(教师用书独具)
●教学建议
关于诱导公式五、六的教学，建议教师注重公式的推导过程，特别突出关于直线y＝x对称的两点的坐标关系，这是理解和记忆公式的关键．另外要向学生讲清这组公式与诱导公式一、二、三、四的区别，利用适当的训练题加以巩固这几组诱导公式的关系及应用．
●教学流程
?引导学生探究诱导公式五、六的特征以及与诱导公式一～四的区别，并总结诱导公式五、六的记忆口诀“函数名改变，符号看象限”.?????
课标解读
1.能借助单位圆中的三角函数定义推导诱导公式五、六．(难点)
2．掌握六组诱导公式，能灵活运用诱导公式解决三角函数式的求值、化简、证明等问题．(重点)
诱导公式五
【问题导思】　
　若α为锐角，sin(－α)与cos α，cos(－α)与sin α有何关系？
【提示】　sin(－α)＝cos α，cos(－α)＝sin α.
　终边关于直线y＝x对称的角的诱导公式(公式五)
sin(－α)＝cos_α；
cos(－α)＝sin_α.
诱导公式六
【问题导思】　
　利用公式二和公式五，能否确定sin(＋α)与cos α，cos(＋α)与sin α的关系？
【提示】　sin(＋α)＝sin[－(－α)]＝cos(－α)＝cos α，cos(＋α)＝cos[－(－α)]＝sin(－α)＝－sin α.
　＋α型诱导公式(公式六)
sin(＋α)＝cos_α；
cos(＋α)＝－sin_α.
给值求值
　(1)已知sin(π＋A)＝－，则cos(π－A)的值是________．
(2)已知sin(－α)＝，则cos(＋α)的值是________．
【思路探究】　(1)先化简sin(π＋A)＝－得sin A＝，再利用诱导公式化简cos(－A)即可．
(2)探索已知角－α与＋α之间的关系，根据诱导公式将cos(＋α)化为－α的三角函数求解．
【自主解答】　(1)sin(π＋A)＝－sin A＝－，∴sin A＝，cos(－A)＝cos(π＋－A)＝－cos(－A)＝－sin A＝－.
(2)∵(－α)＋(＋α)＝，
∴＋α＝－(－α)，
∴cos(＋α)＝cos[－(－α)]＝sin(－α)＝.
【答案】　(1)－　(2)
1．给值求值型问题，若已知条件或待求式较复杂，有必要根据诱导公式化到最简，再确定相关的值．
2．巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有－α，＋α；＋α，－α；＋α，－α等．常见的互补关系有＋θ，－θ；＋θ，－θ等．
　若本例(2)中条件不变，如何求cos(π－α)的值？
【解】　∵(－α)－(－α)＝，
∴－α＝＋(－α)，
∵cos(－α)＝cos[＋(－α)]＝－sin(－α)＝－.
化简问题
　化简：
.
【思路探究】　解决本题的关键是熟练地应用三角函数诱导公式．
【自主解答】　原式
＝
＝
＝＝＝1.
　用诱导公式化简求值的方法：
(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．
(2)对于kπ±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名．
　化简：.
【解】　原式＝
＝
＝＝－sin θ.
证明三角恒等式
　求证：＝
.
【思路探究】　考虑到等式左、右两边形式都很复杂，可以使用左右归一法证明，即证明等式的左、右两边都等于同一个式子．
【自主解答】　左边＝
＝＝
＝＝＝.
右边＝＝＝.
∴左边＝右边，原式成立．
　三角恒等式的证明策略：
(1)遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则．
(2)常用的方法：定义法、化弦法、拆项拆角法、公式变形法、“1”的代换法．
　求证：＝－tan α.
【证明】　左边
＝
＝
＝＝－tan α＝右边．
∴原等式成立.
三角函数问题中的方程思想
　(14分)是否存在角α，β，α∈(－，)，β∈(0，π)，使同时成立？若存在，求出角α，β；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】　先利用三角函数的诱导公式化简已知条件，再利用方程思想和同角三角函数的基本关系式求解．
【规范解答】　将已知方程组化
为2分
①2＋②2得sin2α＋3cos2α＝2，∴cos2α＝.
4分
∵α∈(－，)，
∴cos α＝，∴α＝或－，
6分
将α＝代入②得cos β＝，8分
∵β∈(0，π)，∴β＝.
将α＝，β＝代入①，符合条件.10分
将α＝－代入②得cos β＝，
∵β∈(0，π)，∴β＝.12分
将α＝－，β＝代入①，不符合条件，舍去．
综上可知存在满足条件的角α，β，α＝，β＝.
14分
　
首先利用已知条件得出关于cos α的方程，再利用平方关系式sin2α＋cos2α＝1，求出cos α的值，进而求出相应的角．建立方程是解题的关键．
1.±α的正弦(余弦)函数值，等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．
2．利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．
3．k·＋α(k∈Z)的三角函数值，当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号．概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶是指k的取值是奇数还是偶数.
1．sin 95°＋cos 175°＝________.
【解析】　∵sin 95°＝sin(90°＋5°)＝cos 5°，cos 175°＝cos(180°－5°)＝－cos 5°，
∴sin 95°＋cos 175°＝0.
【答案】　0
2．化简sin(π＋α)cos(＋α)＋sin(＋α)cos(π＋α)＝________.
【解析】　原式＝－sin αsin α＋cos α(－cos α)
＝－sin2α－cos2α＝－1.
【答案】　－1
3．已知tan θ＝2，则＝________.
【解析】　原式＝＝＝＝＝－2.
【答案】　－2
4．求证：sin(α－π)cos(2π－α)＝－sin2α.
【证明】　∵左边＝－sin αcos(－α)＝－sin αcos α＝－sin2α＝右边，∴原等式成立.
一、填空题
1．sin 480°的值为________．
【解析】　sin 480°＝sin(360°＋120°)＝sin 120°＝sin(90°＋30°)＝cos 30°＝.
【答案】　
2．如果cos α＝，且α是第四象限角，那么cos(α＋)＝________.
【解析】　由已知得，sin α＝－＝－.
所以cos(α＋)＝－sin α＝－(－)＝.
【答案】　
3．若sin(θ＋)＞0，cos(－θ)＞0，则角θ的终边位于第________象限．
【解析】　sin(θ＋)＝－cos θ＞0，∴cos θ＜0，cos(－θ)＝sin θ＞0，∴θ为第二象限角．
【答案】　二
4．若f(sin x)＝3－cos 2x，则f(cos 30°)＝________.
【解析】　f(cos 30°)＝f(sin 60°)＝3－cos 120°＝3＋cos 60°＝或f(cos 30°)＝f(sin 120°)＝3－cos 240°＝3－cos 120°＝.
【答案】　
5．(2013·宁波高一检测)已知sin(α－)＝，则cos(＋α)＝________.
【解析】　∵(＋α)－(α－)＝，
∴cos(＋α)＝cos[＋(α－)]＝－sin(α－)＝－.
【答案】　－
6．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是________．
①cos(A＋B)＝cos C；②sin(A＋B)＝－sin C；
③cos(＋C)＝cos B；④sin ＝cos .
【解析】　∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴cos(A＋B)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin C，所以①②都不正确；同理B＋C＝π－A，所以sin ＝sin(－)＝cos ，所以④是正确的．
【答案】　④
7．(2013·徐州高一检测)已知cos(＋φ)＝，且|φ|＜，则tan φ＝________.
【解析】　cos(＋φ)＝－sin φ＝，sin φ＝－，
又∵|φ|＜，∴cos φ＝，故tan φ＝－.
【答案】　－
8．已知cos α＝，且－＜α＜0，
则＝________.
【解析】　原式＝＝tan α，∵cos α＝ ，－＜α＜0，
∴sin α＝－＝－，∴tan α＝＝－2.
【答案】　－2
二、解答题
9．已知cos(75°＋x)＝，其中x为第三象限角，求cos(105°－x)－cos(x－15°)的值．
【解】　由条件，得cos(105°－x)＝cos(180°－75°－x)＝－cos(75°＋x)＝－，
cos(x－15°)＝cos(－90°＋75°＋x)＝sin(75°＋x)．
又x为第三象限角，cos(75°＋x)＞0，
所以x＋75°为第四象限角．
所以sin(75°＋x)＝－.
于是原式＝－－×(－)＝1.
10．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，求的值．
【解】　由于方程5x2－7x－6＝0的两根为2和－，所以sin α＝－，再由sin2α＋cos2α＝1，得cos α＝±＝±，所以tan α＝±，所以原式＝＝tan α＝±.
11．已知角α的终边经过点P(，－)．
(1)求sin α的值；
(2)求的值．
【解】　(1)∵P(，－)，|OP|＝1，
∴sin α＝－.
(2)＝＝，由三角函数定义知cos α＝，故所求式子的值为.
(教师用书独具)
　已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且cos(α－)＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
【思路探究】　利用诱导公式化简，根据题中所给条件求值．
【自主解答】　(1)f(α)＝＝－cos α.
(2)∵cos(α－)＝－sin α＝，∴sin α＝－，
又α是第三象限角，∴cos α＝－＝－，
∴f(α)＝.
(3)∵－＝－5×2π－，
∴f(－)＝－cos(－)＝－cos(－5×2π－)＝－cos(－)＝－cos ＝－.
　此类题目是关于三角函数式的化简与求值．解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式变形求解．
　已知f(θ)＝.
(1)化简f(θ)；
(2)若f(θ)＝，求tan θ的值；
(3)若f(－θ)＝，求f(＋θ)的值．
【解】　(1)f(θ)＝＝＝cos θ.
(2)由题意得f(θ)＝cos θ＝＞0，故θ为第一或第四象限角．
当θ为第一象限角时，sin θ＝＝，tan θ＝＝2；
当θ为第四象限角时，sin θ＝－＝－，tan θ＝＝－2.
(3)由题意得f(－θ)＝cos(－θ)＝，
∴f(＋θ)＝cos(＋θ)＝cos[π－(－θ)]
＝－cos(－θ)＝－.
1.3三角函数的图象和性质
1．3.1　三角函数的周期性
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)了解周期现象在现实中是广泛存在的；(2)理解周期函数的概念；(3)能熟练地求正、余弦函数的周期；(4)能利用周期函数定义进行简单运用．
2．过程与方法
通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；发现并归纳出正弦函数、余弦函数的周期性及求法；根据周期性的定义，再在实践中加以应用．
3．情感、态度与价值观
通过本节的学习，使学生对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，树立学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物．
●重点难点
重点：求函数的周期、利用周期求函数值．
难点：对定义的理解及定义的简单应用．
(教师用书独具)
●教学建议
1．教材通过对正弦线变化规律的分析以及诱导公式(一)反映的函数值关系，给出周期函数的定义，并通过具体函数——正弦函数说明周期不止一个，且给出了正弦函数、余弦函数的最小正周期；通过“探究与发现”，引导学生推导出函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期公式．
2．关于周期函数定义的导入的教学
建议教师在教学过程中多举些具有周期变化规律的实例，提高学生的学习兴趣，增强数学的应用意识．
关于周期函数定义的教学，建议教师在教学过程中，讲清：
(1)T为不为零的常数．
(2)f(x＋T)＝f(x)是关于x的恒等式．
(3)不是所有的周期函数都有最小正周期．
3．关于函数y＝sin(ωx＋φ)和y＝cos(ωx＋φ)的周期的教学
建议教师在教学中重视公式T＝的推导过程，及时训练，加强学生对公式的理解和记忆．
●教学流程
创设问题情境，引入周期函数的定义，并探究如何用周期性定义证明一个函数是周期函数的方法.? 引导学生探究正、余弦函数的周期性，理解函数y＝Asin?ωx＋φ?和函数y＝Acos?ωx＋φ?的周期求法.?????
课标解读
1.理解周期函数的定义．(难点)
2．知道正弦函数、余弦函数的最小正周期．
3．会求函数y＝sin(ωx＋φ)和y＝cos(ωx＋φ)的周期．(重点)
周期函数的定义
【问题导思】　
　单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由．
【提示】　由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加(或减少)2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有sin(2π＋x)＝sin x，cos(2π＋x)＝cos x．故正弦函数和余弦函数也具有周期性．
　(1)周期函数的定义
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，
那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期.
正、余弦函数的周期
【问题导思】　
　4π是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期吗？
【提示】　是的．由sin(4π＋x)＝sin x恒成立，根据周期函数的定义，可知4π是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期．
　(1)正弦函数、余弦函数的周期
正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π.
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期
一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝.
求三角函数的周期
　求下列函数的周期：
(1)y＝3sin(x＋)；
(2)y＝2cos(－＋)；
(3)y＝|sin x|.
【思路探究】　利用公式法或定义法求解即可．若ω＜0，则先用诱导公式转化为正值，再用公式求周期．
【自主解答】　(1)T＝＝＝4.
(2)y＝2cos(－＋)＝2cos(－)，
∴T＝＝4π.
(3)由y＝sin x的周期为2π，可猜想y＝|sin x|的周期应为π.验证：∵|sin(x＋π)|＝|－sin x|＝|sin x|，
∴由周期函数的定义知y＝|sin x|的周期是π.

　求三角函数的周期，通常有三种方法：
(1)定义法．
(2)公式法．对y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，有T＝.
(3)观察法(图象法)．
　求下列函数的周期：
(1)y＝3cos(x－)；
(2)y＝2cos(2x－)＋sin(2x＋)．
【解】　(1)y＝3cos(x－)中ω＝，故T＝4π.
(2)y1＝2cos(2x－)中，ω＝2，故周期T＝π，y2＝sin(2x＋)中，ω＝2，故周期T＝π，故y＝2cos(2x－)＋sin(2x＋)的周期为π.
函数周期性的判断
　设函数y＝f(x)，x∈R，若函数y＝f(x)为偶函数并且图象关于直线x＝a(a≠0)对称，求证：函数y＝f(x)为周期函数．
【思路探究】　要证函数y＝f(x)是周期函数，就是要找到一个常数T(T≠0)，使得对于任意实数x，都有f(x＋T)＝f(x)，可根据y＝f(x)的奇偶性与对称性推导证明．
【自主解答】　由y＝f(x)的图象关于x＝a对称得f(2a－x)＝f(x)，∴f(2a＋x)＝f(－x)．
∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(2a＋x)＝f(x)，
∴f(x)是以2a为周期的函数．
1．判定或证明一个函数是周期函数，就是找出一个具体的非零常数T满足f(x＋T)＝f(x)对定义域中一切x都成立．
2．若函数f(x)对定义域内的一切实数x满足f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，则f(x)都是周期函数，且2a为它的一个周期，这里a为非零常数．
　将本例中的条件改为“若函数y＝f(x)为奇函数并且图象关于直线x＝a(a≠0)对称”，求证：f(x)为周期函数．
【证明】　若f(x)为奇函数，则图象关于原点对称，
∴f(－x)＝－f(x)．
由图象关于直线x＝a(a≠0)对称得
f(2a－x)＝f(x)，
∴f(2a＋x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴f(4a＋x)＝－f(2a＋x)＝f(x)，
∴函数f(x)是以4a为周期的函数．
函数周期性的综合应用
　设f(x)是以1为一个周期的函数，且当x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋1，求f()的值．
【思路探究】　→
→
→
【自主解答】　f(x)是以1为一个周期的函数，
∴k∈Z(k≠0)也是f(x)的周期．
∴f(x－k)＝f(x)，故f()＝f(－4)，
从而f()＝f(－)．
又当x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋1，
所以 f()＝f(－)＝2×(－)＋1＝0.
1．解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解便可．
2．如果一个函数是周期函数，倘若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数一个周期上的特征，再加以推广便可以得到函数在定义域内的有关性质．
　设函数f(x)(x∈R)是以2为周期的函数，且x∈[0,2]时，f(x)＝(x－1)2.
(1)求f(3)；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式.
【解】　(1)∵函数f(x)(x∈R)是以2为周期的函数，且x∈[ 0,2]时，f(x)＝(x－1)2，
∴f(3)＝f(3－2)＝f(1)＝(1－1)2＝0.
(2)∵f(x)的周期为2，
∴当x∈[2,4]时有f(x)＝f(x－2)，
又∵x－2∈[0,2]，
∴f(x－2)＝(x－2－1)2＝(x－3)2，
∴f(x)＝(x－3)2.
即x∈[2,4]时，f(x)＝(x－3)2.
函数周期性概念理解不透彻致误
　判断函数y＝cos 4x，x∈[－π，π]是否为最小正周期为的周期函数，若不是，请说明理由．
【错解】　记f(x)＝cos 4x，设T为f(x)的周期，则f(x＋T)＝f(x)，即cos 4x＝cos 4(x＋T)对任意实数x都成立，也就是cos(μ＋4T)＝cos μ对任意实数μ都成立，其中μ＝4x，由于y＝cos μ的最小正周期为2π，
令4T＝2π，得T＝，故函数y＝cos 4x，x∈[－π，π]是最小正周期为的周期函数．
【错因分析】　导致错误的原因在于没有注意条件x∈[－π，π]的限制，∵x＝π时，x＋T?[－π，π]，不符合周期函数的定义，即忽略了f(x)＝f(x＋T)对任意x都成立．
【防范措施】　要判断一个函数是否为周期函数，①要看定义域I，对任意x∈I，有x＋T∈I；②对任意x∈I，有f(x)＝f(x＋T)．要说明一个函数不是周期函数或者不是以T为周期的周期函数，只需要举一反例即可．
【正解】　由周期函数的定义可知，对定义域内的每一个x值，有f(x＋T)＝f(x)，故x＋T也应在定义域内，但是当x＝π时，x＋＝?[－π，π]，故函数y＝cos 4x，x∈[－π，π]不是周期函数．
1．函数周期性的理解：
(1)对于“f(x＋T)＝f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内任意一个x，x＋T仍在定义域内且等式成立．
(2)周期函数的周期不是惟一的，如果T是函数f(x)的周期，那么kT(k∈Z，k≠0)也一定是函数的周期．
(3)并不是所有周期函数都有最小正周期．如常数函数f(x)＝C没有最小正周期．
2．求三角函数的周期，通常有三种方法．
(1)定义法；
(2)公式法，对y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，T＝；
(3)观察法(图象法)．
三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角的三角函数，且函数的次数为1.
1．下列说法中，正确的是________
①因为sin(π－x)＝sin x，所以π是函数y＝sin x的一个周期；
②因为tan(2π＋x)＝tan x，所以2π是函数y＝tan x的最小正周期；
③因为当x＝时，等式sin(＋x)＝sin x成立，所以是函数y＝sin x的一个周期；
④因为cos(x＋)≠cos x，所以不是函数y＝cos x的一个周期．
【解析】　根据周期函数的定义容易知道①③均是错误的，同时④是正确的；对于②，我们只能得出2π是函数y＝tan x的一个周期，但不是最小正周期．
【答案】　④
2．函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω＞0)的周期为，则ω＝________.
【解析】　由＝，得ω＝8.
【答案】　8
3．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且当2＜x≤6时，f(x)＝3－x，则f(1)＝________.
【解析】　∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(1)＝f(1＋4)＝f(5)，又当2＜x≤6时，f(x)＝3－x，∴f(5)＝3－5＝－2，∴f(1)＝－2.
【答案】　－2
4．求下列函数的最小正周期：
(1)y＝－2cos(－x－1)；
(2)y＝sin(＋3x)；
(3)y＝4sin(ax＋)(a≠0)．
【解】　(1)原函数可化为y＝－2cos(x＋1)．
∵ω＝，∴T＝＝4π.
(2)∵ω＝3，∴T＝.
(3)当a>0时，T＝，
当a<0时，y＝－4sin(－ax－)，T＝.
综上可知T＝.
一、填空题
1．函数y＝3sin(－x)的周期是________．
【解析】　T＝＝.
【答案】　
2．下列各图形是定义在R上的四个函数的图象的一部分，其中是周期函数的有________．(填序号)
图1－3－1
【解析】　根据周期函数图象特征可知图①②③都是周期函数；图④为一个偶函数图象，不是周期函数．
【答案】　①②③
3．函数y＝2cos(－ωx)(ω＜0)的最小正周期为4π，则ω＝________.
【解析】　由周期公式可知4π＝?|ω|＝，由ω＜0，可知ω＝－.
【答案】　－
4．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f(x)＝sin x，则f()的值为________．
【解析】　f()＝f(－)＝f()＝sin ＝.
【答案】　
5．已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数，则方程f(x)＝0在[－2,2]上至少有________个实数根．
【解析】　∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0，又∵函数f(x)以2为周期，
∴f(2)＝f(－2)＝f(0)＝0，
且，
解得f(－1)＝f(1)＝0，故方程f(x)＝0在[－2,2]上至少有5个实数根．
【答案】　5
6．设f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x＋2)＝，当0≤x≤1时，f(x)＝2x，则f(7.5)＝________.
【解析】　∵f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝f(x)，
∴T＝4，∴f(7.5)＝f(4×2－0.5)
＝f(－0.5)＝f(0.5)＝1.
【答案】　1
7．已知函数f(x)＝2sin(kx＋)的最小正周期T∈(1,3)，则正整数k的取值集合是________．
【解析】　由题意得1＜＜3??即＜k＜2π.
∵k∈N*，∴k＝3,4,5,6.
【答案】　{3,4,5,6}
8．设函数f(x)(x∈R)是以π为最小正周期的周期函数，且当x∈[0，]时，f(x)＝sin x；当x∈[，π)时，f(x)＝cos x，则f(π)＝________.
【解析】　∵T＝π，x∈[，π)时，f(x)＝cos x.
∴f(π)＝f(3π＋)＝f()＝cos ＝cos(π－)＝－cos ＝－.
【答案】　－
二、解答题
9．已知函数y＝5sin(x＋)．
(1)若函数的周期为3π，求k的值；
(2)若函数的周期不大于1，求自然数k的最小值．
【解】　(1)∵函数y＝5sin(x＋)的周期T＝＝3π，∴|k|＝2，∴k＝±2.
(2)∵T≤1，∴≤1，
即|k|≥6π≈18.85，
又k为自然数，
∴k的最小值为19.
10．已知f(x)是周期为T(T＞0)的周期函数，则f(2x＋1)是否为周期函数，若是，请求出其周期．
【解】　∵f(x)＝f(x＋T)，
∴f(2x＋1)＝f(2x＋1＋T)＝f[2(x＋)＋1]．
∴周期为，
∴f(2x＋1)是周期为的周期函数．
11．设f(x)是定义在R上以6为周期的函数，f(x)在[0,3]内单调递增，且y＝f(x)的图象关于直线x＝3对称，试比较f(1.5)，f(3.5)，f(6.5)的大小．
【解】　如图，∵f(x)是定义在R上以6为周期的函数，
∴f(6.5)＝f(0.5)，又∵y＝f(x)的图象关于直线x＝3对称，∴f(3.5)＝f(2.5)，利用f(x)在[0,3]内单调递增可知，
f(0.5)＜f(1.5)＜f(2.5)，
即f(6.5)＜f(1.5)＜f(3.5)．
(教师用书独具)
　若函数f(n)＝sin (n∈Z)，求f(97)＋f(98)＋f(99)＋…＋f(102)的值．
【思路探究】　直接求和较难，可以判断f(n)的周期性，利用周期函数在一个周期内函数值的变化情况求解．
【自主解答】　由题意得sin ＝sin(＋2π)
＝sin[](n∈Z)，
∴f(n)＝f(n＋12)，
∵97＝12×8＋1,98＝12×8＋2，…，102＝12×8＋6，
∴f(97)＋f(98)＋f(99)＋…＋f(102)
＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)
＝sin ＋sin ＋sin ＋sin ＋sin ＋sin 
＝＋＋1＋＋＋0＝2＋.
　当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究函数在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值．
　已知f(n)＝sin ，n∈N*，则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)的值为________．
【解析】　∵f(n)＝sin ，n∈N*，∴T＝＝8，
又f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝sin ＋sin ＋…＋sin 2π＝0，且100＝12×8＋4，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝12[f(1)＋f(2)＋…＋f(8)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)
＝sin ＋sin ＋sin ＋sin π＝＋1.
【答案】　＋1
1．3.2　三角函数的图象与性质
第1课时　正弦、余弦函数的图象与性质
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象．
(2)弄清正弦、余弦函数的图象之间的关系，记住正、余弦函数的特征，会用五点法画正、余弦函数的图象．
(3)借助图象理解正、余弦函数的定义域、值域、周期性、单调性、对称性等性质．
(4)通过观察、猜想、归纳，培养学生的数学能力，掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的能力．
2．过程与方法
借助单位圆，利用三角函数线作出正弦函数图象；让学生通过类比，联系诱导公式，自主探究出余弦函数的图象，尝试用五点作图法作正、余弦函数图象，并能结合图象分析有关性质．充分发挥图象在认识和研究函数性质中的作用，渗透“数形结合”思想．
3．情感、态度与价值观
(1)通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责、一丝不苟的学习精神．
(2)通过正、余弦函数图象性质的理解，使学生体会从感性认识到理性认识，理解动与静的辨证关系，激发学生的学习积极性．
●重点难点
重点：正、余弦函数的图象、性质及“五点法”作图．
难点：正、余弦函数的性质及应用．
(教师用书独具)
●教学建议
1．作正弦曲线
关于作正弦曲线的教学，建议教师在教学过程中：
(1)给学生讲清作正弦曲线既是本课的重点，又是学好后面内容的关键，故要对这一点进行重点教学；
(2)引导学生明确正弦曲线的作法有两种，有条件的教师应利用多媒体演示两种方法，并指明两种方法的优缺点；
(3)要突出作图象的两个过程，明确意义．
2．正、余弦函数的性质
关于正、余弦函数性质的教学建议教师让学生利用定义从理论上简单总结正、余弦函数的性质，然后借助正、余弦函数的图象，通过对图象的深入分析，引导学生得出正、余弦函数的所有性质．在教学过程中，要重点强调处理函数问题时，我们经常从图象看性质，用性质画图象，在反复演练中逐步渗透给学生数形结合思想．
3．“五点法”作图
关于“五点法”作图的教学，建议教师在教学过程中：
(1)让学生观察函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，找出对图象形状起关键作用的五个点；
(2)重视“五点法”作图的作用，明确作图的步骤，通过适当的练习，让学生熟练掌握这种方法．
●教学流程
?引导学生结合诱导公式和正弦函数图象，自主探究余弦函数的图象，并分析正、余弦函数的有关性质.? 引导学生探究函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，找出对图象形状起关键作用的五个点，完成例1及其变式训练，从而解决利用“五点法”作简图的问题.?????

课标解读
1.了解正弦函数、余弦函数的图象．
2．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．(重点)
3．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质．(重点、难点)
正弦、余弦函数的图象与性质
【问题导思】　
1．你能说出正弦函数、余弦函数定义域、值域吗？
【提示】　定义域都是R，由三角函数的定义知，值域都是[－1,1]．
2．正、余弦函数的奇偶性如何？
【提示】　由sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x可知，正弦函数y＝sin x为奇函数，余弦函数y＝cos x为偶函数．
1．正弦、余弦函数的图象
(1)正弦函数的图象叫做正弦曲线，余弦函数的图象叫做余弦曲线．
(2)函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上起关键作用的五个点是：(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)，
(3)函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上起关键作用的五个点是：(0,1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)．
(4)正弦函数、余弦函数图象间的关系是：将正弦函数y＝sin x的图象向左平移个单位就得到余弦函数y＝cos x的图象，因此正弦曲线和余弦曲线的形状完全相同，只是在直角坐标系中的位置不同．
2．正弦函数、余弦函数的图象与性质
函数
正弦函数y＝sin x，x∈R
余弦函数y＝cos x，x∈R
图象
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
最值
当x＝2kπ＋(k∈Z)时，
ymax＝1；
当x＝2kπ－(k∈Z)时，
ymin＝－1
当x＝2kπ(k∈Z)时，
ymax＝1；
当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，
ymin＝－1
周期性
周期函数，T＝2π
周期函数，T＝2π
奇偶性
奇函数，图象关于原点对称
偶函数，图象关于y轴对称
单调性
在[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)上是增函数；
在[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)上是减函数
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增函数；
在[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上是减函数
利用“五点法”作简图
　用“五点法”作出下列函数的图象．
(1)y＝sin x－1，x∈[0,2π]；
(2)y＝2＋cos x，x∈[0,2π]．
【思路探究】　在[0,2π]上找出五个关键点，用光滑曲线连接即可．
【自主解答】　(1)列表如下：
x
0

π
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
sin x－1
－1
0
－1
－2
－1
描点连线，如图(1)所示．
图(1)
(2)列表如下：
x
0

π
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
2＋cos x
3
2
1
2
3
描点连线，如图(2)所示．
图(2)
1．“五点法”中的五点即y＝sin x或y＝cos x的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．
2．列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节．
　作出下列函数的简图．
(1)y＝－1－cos x，x∈[0,2π]；
(2)y＝sin 2x＋1，x∈[0，π]．
【解】　(1)列表：
x
0

π

2π
cos x
1
0
－1
0
1
－1－cos x
－2
－1
0
－1
－2
描点作图，如图所示：
(2)列表：
x
0



π
2x
0

π

2π
sin 2x
0
1
0
－1
0
sin 2x＋1
1
2
1
0
1
描点、连线，如图所示：
求三角函数的值域
　求下列函数的值域．
(1)y＝3－2cos x；
(2)y＝cos2 x＋2sin x－2.
【思路探究】　(1)由－1≤cos x≤1―→求3－2cos x的范围得值域．
(2)令t＝sin x，化成关于x的二次函数求解．
【自主解答】　(1)∵－1≤cos x≤1，
∴－1≤－cos x≤1，∴－2≤－2cos x≤2，
∴1≤3－2cos x≤5，即1≤y≤5.
故函数y＝3－2cos x的值域为[1,5]．
(2)令t＝sin x(x∈R)，则由－1≤sin x≤1，
知－1≤t≤1.
∴y＝cos2 x＋2sin x－2＝－sin2x＋2sin x－1
＝－t2＋2t－1
＝－(t－1)2(－1≤t≤1)，
∵－1≤t≤1，∴－2≤t－1≤0，
∴0≤(t－1)2≤4，
即－4≤y≤0.
故函数y＝cos2x＋2sin x－2的值域为[－4,0]．
1．求形如y＝Asin x＋B或y＝Acos x＋B型的三角函数的最值问题，一般运用三角函数的有界性求最值．求最值时要注意三角函数的定义域，尤其要注意题目中是否给定了区间．
2．求解形如y＝asin2x＋bsin x＋c(或y＝acos2x＋bcos x＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x(或cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sin x(或cos x)的有界性．
　本例函数解析式不变，定义域缩小为x∈[－，]，如何求解？
【解】　(1)∵－≤x≤，∴≤cos x≤1，
∴－1≤－cos x≤－，
∴－2≤－2cos x≤－，
∴1≤3－2cos x≤3－.
故函数y＝3－2cos x，x∈[－，]的值域为[1,3－]．
(2)y＝cos2 x＋2sin x－2＝－sin2 x＋2sin x－1
＝－(sin x－1)2.
∵－≤x≤，∴－≤sin x≤，
∴－－1≤sin x－1≤－1.
∴0≤(sin x－1)2≤＋.
∴－－≤y≤0，
故所求函数值域为[－－，0].
求三角函数的单调区间
　(1)求函数y＝cos(＋)的单调区间；
(2)求函数y＝2sin(－2x)的单调增区间．
【思路探究】　对于第(1)小题，可将角＋看成一个整体，运用余弦函数的单调性求出x的范围，得到所求的单调区间；对于第(2)小题，先用诱导公式把x的系数化为正，然后用解第(1)小题的方法求解．
【自主解答】　(1)令2kπ＋π≤＋≤2kπ＋2π，k∈Z，则4kπ＋≤x≤4kπ＋π，k∈Z，故函数的单调增区间是[4kπ＋，4kπ＋]，k∈Z.
令2kπ≤＋≤2kπ＋π，k∈Z，则4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z，故函数的单调减区间是[4kπ－，4kπ＋]，k∈Z.
(2)函数y＝2sin(－2x)＝－2sin(2x－)，因此要求函数y＝2sin(－2x)的单调增区间只需求函数y＝2sin(2x－)的单调减区间即可．
令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即原函数的单调增区间为[＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
　求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω≠0)的单调区间的一般步骤：
(1)当ω>0时，把“ωx＋φ”看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，即为函数递增区间；由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，即为函数递减区间．
(2)当ω<0时，可先用诱导公式转化为y＝－sin(－ωx－φ)，则y＝sin(－ωx－φ)的递增区间即为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间．
余弦函数y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω≠0)的单调性讨论同上．
　求函数y＝2sin(－x)的单调区间．
【解】　y＝2sin(－x)＝－2sin(x－)，
由2kπ－≤x－≤2kπ＋，得2kπ－≤x≤2kπ＋π，k∈Z.
由2kπ＋≤x－≤2kπ＋π，得2kπ＋π≤x≤2kπ＋π，k∈Z，故函数y＝2sin(－x)的递增区间为[2kπ＋π，2kπ＋π]，k∈Z；
递减区间为[2kπ－，2kπ＋π]，k∈Z.
利用三角函数的单调性比较大小
　比较下列各组数的大小：
(1)sin 1，sin 2，sin 3，sin 4；
(2)cos 217°，cos(－1 220°)．
【思路探究】　第(1)小题把自变量2,3都化到区间[0，]上，利用单调性比较大小，而sin 4＜0，从而可得四者的关系；第(2)小题只需把自变量化到0°～90°上即可比较大小．
【自主解答】　(1)因为sin 2＝sin(π－2)，sin 3＝sin(π－3)，且0＜π－3＜1＜π－2＜，π＜4＜，又函数y＝sin x在[0，]上单调递增，所以sin 2＞sin 1＞sin 3＞0，而sin 4＜0，故sin 2＞sin 1＞sin 3＞sin 4.
(2)因为cos 217°＝－cos 37°，cos(－1 220°)＝－cos 40°，又y＝cos x在0°～90°上是减函数，
所以cos 37°＞cos 40°，即－cos 37°＜－cos 40°，
即cos 217°＜cos(－1 220°)．
　比较三角函数值的大小时，若函数名不同，一般应先化为同名三角函数，再运用诱导公式把它们化到同一单调区间上，以便运用函数的单调性进行比较．
　比较下列各组数的大小．
(1)cos(－)与cos；(2)sin 194°与cos 160°.
【解】　(1)cos(－)＝cos，
cos＝cos(2π－)＝cos(－)＝cos.
0<<<，y＝cos x在(0，)上是减函数．
∴cos>cos，
即cos(－)>cos.
(2)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，
cos 160°＝cos(90°＋70°)＝－sin 70°，
∵sin 14°cos 160°.
判断函数奇偶性时忽略判断定义域是否关于原点对称
　判断f(x)＝的奇偶性．
【错解】　f(x)＝＝＝sin x，
∴f(－x)＝sin(－x)＝－sin x＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数.
【错因分析】　判断函数的奇偶性，必须先判断函数的定义域是否关于原点对称，上述解法错误的原因是没有考虑定义域，事实上，此函数的定义域不关于原点对称．
【防范措施】　定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的基本条件，因此在判断函数的奇偶性时要先判断定义域是否关于原点对称．
【正解】　由题意得1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，
∴x≠2kπ－(k∈Z)．
∴函数的定义域不关于原点对称，
∴函数f(x)＝是非奇非偶函数．
1．“五点法”作图
(1)利用“五点法”画正弦、余弦函数的图象时应注意图象的对称性和凸凹方向．
(2)利用“五点法”作出正弦、余弦函数在[0,2π]内图象后，再通过平移即可得到正弦、余弦曲线．
2．判断三角函数的奇偶性
判断函数奇偶性要按函数奇偶性的定义，定义域关于原点对称是正确判断奇偶性的前提．另外还要注意诱导公式在判断f(x)与f(－x)之间关系时的应用．
3．正、余弦曲线的对称性
正弦曲线和余弦曲线既是中心对称图形也是轴对称图形，并且有无数个对称中心和对称轴，其中正弦曲线对称中心坐标为(kπ，0)(k∈Z)，对称轴方程x＝kπ＋(k∈Z)，余弦曲线的对称中心坐标为(kπ＋，0)(k∈Z)，对称轴方程为x＝kπ(k∈Z)．
1．下列函数的图象相同的是________．(填序号)
①y＝cos x与y＝cos(π＋x)；
②y＝sin(x－)与y＝sin(－x)；
③y＝sin x与y＝sin(－x)；
④y＝sin(2π＋x)与y＝sin x.
【解析】　y＝cos(π＋x)＝－cos x，与y＝cos x的图象不同；
y＝sin(x－)＝－cos x，与y＝sin(－x)＝cos x图象不同；
y＝sin(－x)＝－sin x与y＝sin x的图象不同；
y＝sin(2π＋x)＝sin x与y＝sin x的图象相同．
【答案】　④
2．使cos x＝有意义的实数m的取值范围是________．
【解析】　由题设||≤1?|1＋m|≤|1－m|且m≠1，得m≤0.
【答案】　(－∞，0]
3．当φ取30°，60°，90°，180°中的________时，函数y＝sin(φ－x)是奇函数．
【解析】　要使此函数为奇函数，必须不改变函数名称，结合所给的角，当φ＝180°时，y＝sin(180°－x)＝sin x是奇函数．
【答案】　180°
4．不求值，比较各组中三角函数值的大小：
(1)sin(－)与sin(－)；
(2)cos(－)与cos .
【解】　(1)∵－＜－＜－＜0，y＝sin x在(－，0)上是单调增函数，
∴sin(－)＞sin(－)．
(2)cos(－)＝cos ＝cos(2π＋)＝cos，cos ＝cos(2π＋)＝cos .
∵0＜＜＜π，y＝cos x在[0，π]上是单调减函数，∴cos ＞cos ，
∴cos(－)＜cos .
一、填空题
1．下列所给的四个图象中，y＝－sin x，x∈[0,2π]的图象是________．
图1－3－2
【解析】　x＝时，y＝－sin ＝－1，排除①②③，利用“五点法”作图验证④正确．
【答案】　④
2．函数f(x)＝－1是________函数．(填“奇”或“偶”)
【解析】　定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称，且f(－x)＝－1＝－1＝f(x)．
【答案】　偶
3．函数y＝3＋3cos(2x＋)的值域是________．
【解析】　－1≤cos(2x＋)≤1，
∴0≤y≤6.
【答案】　[0,6]
4．函数y＝cos(2x－)的单调减区间是________．
【解析】　由2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，
解得kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z，
故单调递减区间是[kπ＋，kπ＋π]，k∈Z.
【答案】　[kπ＋，kπ＋π]，k∈Z
5．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大排列为________．
【解析】　cos 150°＜0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°＞0，cos 760°＝cos 40°＞0且cos 20°＞cos 40°，所以cos 150°＜cos 760°＜sin 470°.
【答案】　cos 150°＜cos 760°＜sin 470°
6．已知函数f(x)＝sin(x－)(x∈R)，下面结论错误的是________．(只填序号)
①函数f(x)的最小正周期为2π；②函数f(x)在区间[0，]上是增函数；③函数f(x)的图象关于直线x＝0对称；④函数f(x)是奇函数．
【解析】　∵y＝sin(x－)＝－cos x，∴T＝2π，即①正确．y＝cos x在[0，]上是减函数，则y＝－cos x在[0，]上是增函数，即②正确．由图象知y＝－cos x的图象关于x＝0对称，即③正确．y＝－cos x为偶函数，即④不正确．
【答案】　④
7．(2013·南京高一检测)函数y＝sin(x＋)在区间[0，]的最小值为________．
【解析】　∵0≤x≤，∴≤x＋≤，
∴≤sin(x＋)≤1.
【答案】　
8．函数f(x)＝lg(cos x－)＋的定义域是________．
【解析】　由题意得解得2kπ≤x＜2kπ＋，
∴定义域为{x|2kπ≤x＜2kπ＋，k∈Z}．
【答案】　{x|2kπ≤x＜2kπ＋，k∈Z}
二、解答题
9．用“五点法”画函数y＝2cos x＋1在[0,2π]上的图象．(要求：列表，描点)
【解】　列表如下：
x
0

π

2π
cos x
1
0
－1
0
1
y
3
1
－1
1
3
描点，连线得：
10．求函数y＝sin(x－)在[－，]上的单调递减区间．
【解】　由＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，
当k＝－1时，－≤x≤－.
又x∈[－，]，
所以单调递减区间为[－，－]．
11．求下列函数的值域：
(1)y＝|sin x|＋sin x；
(2)y＝2sin(2x＋)，x∈[－，]．
【解】　(1)y＝|sin x|＋sin x＝
又∵－1≤sin x≤1，∴y∈[0,2]，即值域为[0,2]．
(2)∵－≤x≤，∴0≤2x＋≤，
∴0≤sin(2x＋)≤1，
从而0≤2sin(2x＋)≤2，
∴0≤y≤2，即值域为[0,2].
(教师用书独具)
　求函数y＝2cos(2x－)的对称中心和对称轴方程．
【思路探究】　本题主要利用正、余弦函数的对称中心与对称轴坐标再结合整体代入的思想求解．
【自主解答】　y＝cos x的对称中心为(kπ＋，0)(k∈Z)，对称轴方程为x＝kπ(k∈Z)．
由2x－＝kπ＋，
得x＝＋π(k∈Z)；
2x－＝kπ，得x＝＋(k∈Z)．
故y＝2cos(2x－)的对称中心为(＋π，0)(k∈Z)，对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
1．正弦曲线y＝sin x，x∈R的对称轴方程为x＝kπ＋，k∈Z；对称中心为(kπ，0)，k∈Z.
2．余弦曲线y＝cos x，x∈R的对称轴方程为x＝kπ，k∈Z；对称中心为(kπ＋，0)，k∈Z.
　求函数y＝3sin(x－)的对称轴、对称中心．
【解】　令x－＝＋kπ，解得x＝＋2kπ，k∈Z，
即函数的对称轴是直线x＝＋2kπ(k∈Z)．
令x－＝kπ，解得x＝2kπ＋，k∈Z，
即对称中心为(＋2kπ，0)(k∈Z)．
第2课时　正切函数的图象与性质
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)能画出y＝tan x的图象，并能借助图象理解y＝tan x在(－，)上的性质．(2)会利用正切函数的单调性比较函数值大小．(3)理解正切函数的对称性．
2．过程与方法
通过图象变换的学习，培养运用数形结合思想分析、解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
通过本节的学习，培养学生掌握从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃．
●重点难点
重点：正切函数的图象与性质．
难点：理解正切函数在(－，)上的性质，并会运用性质解决简单问题．
(教师用书独具)
●教学建议
1．正切函数的性质
建议教师引导学生根据正、余弦函数的图象和性质研究正切函数的性质．
2．正切函数的图象
建议教师在教学中，让学生先画出在区间(－，)内的图象，体会正切函数图象的形态，并对图象进行平移，观察函数的性质，有条件的话，可以借助多媒体演示作图的过程和图象的变化趋势．提醒学生对正切函数图象的理解并记忆正切函数的性质．
●教学流程
?通过例1及其变式训练，使学生掌握正切函数定义域、值域的应用，并总结在求定义域、值域时注意的事项.????
课标解读
1.能画出y＝tan x的图象．
2.理解正切函数y＝tan x在(－，)上的性质．(重点)
3.能够熟练应用正切函数y＝tan x的性质．(难点)
正切函数的图象与性质
【问题导思】　
1．说出正切函数y＝tan x的定义域与值域．
【提示】　定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}，值域为R.
2．正切函数的奇偶性如何？
【提示】　正切函数的定义域关于原点对称，又由tan(－x)＝－tan x可知，正切函数y＝tan x为奇函数．
　正切函数的图象与性质
解析式
y＝tan x
图象
定义域
{x|x≠kπ＋，k∈Z}
值域
R
周期
π
奇偶性
奇函数
单调性
在开区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上都是增函数
正切函数的定义域、值域
　(1)函数y＝logtan(－x)的定义域是________．
(2)求函数y＝tan2(3x＋)＋tan(3x＋)＋1的定义域和值域．
【思路探究】　(1)列出使函数有意义的不等式，再求解即可．(2)求定义域可把3x＋看成一个整体，结合函数y＝tan x的定义域求解，利用换元法求值域．
【自主解答】　(1)由题意tan(－x)＞0，即tan(x－)＜0，∴kπ－＜x－＜kπ，∴kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z.
【答案】　(kπ－，kπ＋)(k∈Z)
(2)由3x＋≠kπ＋，得x≠＋(k∈Z)，∴函数的定义域为{x|x≠＋(k∈Z)}，设t＝tan(3x＋)，则t∈R，y＝t2＋t＋1＝(t＋)2＋≥，
∴原函数的值域是[，＋∞)．
1．求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠kπ＋(k∈Z)，而对于构建的三角函数不等式，常利用三角函数的图象求解．
2．求解与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围．
　(1)函数y＝(－＜x＜)的值域是________．
(2)求函数y＝的定义域．
【解】　(1)∵－＜x＜，
∴－1＜tan x＜1，
即∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
【答案】　(－∞，－1)∪(1，＋∞)
(2)要使y＝有意义，必须满足

即
∴函数y＝的定义域为(kπ，kπ＋)∪(＋kπ，＋kπ)(k∈Z).
正切函数的单调性及其应用
　(1)求函数y＝tan(－x＋)的单调区间；
(2)比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．
【思路探究】　(1)将函数转化为y＝－tan(x－)，然后把x－看成一个整体，利用y＝tan x单调区间求解．
(2)把各角化归到同一单调区间内，再利用函数的单调性进行比较．
【自主解答】　(1)y＝tan(－x＋)＝－tan(x－)．
由kπ－＜x－＜kπ＋(k∈Z)，
得2kπ－＜x＜2kπ＋π(k∈Z)．
∴函数y＝tan(－x＋)的单调递减区间是
(2kπ－，2kπ＋π)(k∈Z)．
(2)tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)．
又∵＜2＜π，
∴－＜2－π＜0，
∵＜3＜π，
∴－＜3－π＜0，
显然－＜2－π＜3－π＜1＜，
且y＝tan x在(－，)内是增函数，
∴tan(2－π)＜tan(3－π)＜tan 1，即tan 2＜tan 3＜tan 1.
1．求y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，由kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋求得x的范围即可．比较两个同名函数的大小，应保证自变量在同一单调区间内．
2．运用正切函数单调性比较大小时，先把各角转化到同一个单调区间内，再运用单调性比较大小．
　(1)比较大小：tan 1与tan 4.
(2)求函数y＝tan(x＋)的单调区间．
【解】　(1)∵tan 4＝tan[π＋(4－π)]＝tan(4－π)，－＜4－π＜1＜且y＝tan x在(－，)上是增函数，
∴tan(4－π)＜tan 1，即tan 1＞tan 4.
(2)由kπ－＜x＋＜kπ＋(k∈Z)，
得2k－＜x＜2k＋(k∈Z)．
∴函数y＝tan(x＋)的单调增区间是(2k－，2k＋)(k∈Z).
正切函数的图象及其应用
　画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．
【思路探究】　→→
【自主解答】　由y＝|tan x|得，
y＝
其图象如图．
由图象可知，函数y＝|tan x|是偶函数，
单调递增区间为[kπ，＋kπ)(k∈Z)，
单调递减区间为(－＋kπ，kπ)(k∈Z)，周期为π.
1．用图象法研究三角函数性质，体现了数形结合思想方法，其优点是直观、形象，但前提是必须正确作出相应函数图象，本题可采用对称的办法通过变换作出函数图象．
2．只有熟练掌握正切函数的图象和性质才能更好地研究与正切函数有关的一些函数的图象和性质．
　将本例中的函数y＝|tan x|改为y＝tan |x|解答同样的问题．
【解】　由y＝tan |x|得
y＝
根据y＝tan x的图象，作出y＝tan |x|的图象如图：
由图象可知，函数y＝tan |x|是偶函数，单调增区间为[0，)，(kπ＋，kπ＋π)(k＝0,1,2，…)；
单调减区间为(－，0]，(kπ－π，kπ－)(k＝0，－1，－2，…)，不具有周期性．

忽视正切函数的定义域致误
　求函数y＝ 的定义域．
【错解】　要使y＝有意义，必须满足即
∴函数y＝的定义域为{x|x≠kπ且x≠kπ＋，k∈Z}．
【错因分析】　忽略了保证正切函数有意义，即y＝tan x中x≠kπ＋，k∈Z.
【防范措施】　求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠＋kπ，k∈Z.
【正解】　要使y＝有意义，必须满足
解得
∴函数y＝的定义域为(－＋kπ，kπ)∪(kπ，kπ＋)∪(kπ＋，kπ＋)(k∈Z)．
1．正切函数的图象的作法
(1)几何法
就是利用单位圆中的正切线来作出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较繁．
(2)三点两线法
“三点”是指(－，－1)，(0,0)，(，1)；“两线”是指x＝－和x＝.
2．准确理解正切函数的性质
(1) 正切函数y＝tan x的定义域是{x|x≠kπ＋，k∈Z}，这与正弦、余弦函数不同．
(2)正切函数y＝tan x的最小正周期是π.一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的周期为T＝.
(3)正切函数y＝tan x无单调减区间，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间．
(4)正切函数y＝tan x是奇函数，正切函数的图象关于原点对称，并且有无穷多个对称中心，对称中心坐标是(，0)(k∈Z)，正切函数的图象无对称轴，正、余弦函数图象既中心对称又轴对称.
1．函数y＝tan(x＋)的定义域为________．
【解析】　x＋≠kπ＋，k∈Z，
∴x≠kπ＋，k∈Z.
【答案】　{x|x≠kπ＋，k∈Z}
2．函数y＝tan 的周期为________．
【解析】　由公式得T＝＝3π.
【答案】　3π
3．函数y＝3tan(x＋)的增区间为________．
【解析】　kπ－＜x＋＜kπ＋，k∈Z，∴kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z，
∴2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z.
【答案】　(2kπ－，2kπ＋)，k∈Z
4．求函数y＝tan 2x的定义域、值域和周期，并作出它在区间[－π，π]内的图象．
【解】　定义域为{x∈R|x≠＋，k∈Z}；值域为R；周期为.图象如下：
一、填空题
1．下列说法正确的有________．(填序号)
①y＝tan x是增函数；
②y＝tan x在第一象限是增函数；
③y＝tan x在每个区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上是增函数；
④y＝tan x在某一区间上是减函数．
【解析】　根据正切函数的单调性，可知③正确．
【答案】　③
2．(2013·南通高一检测)函数y＝lg(3tan x－)的定义域为________．
【解析】　由y＝lg(3tan x－)得3tan x－＞0，即tan x＞，
∴kπ＋＜x＜kπ＋，k∈Z，
∴y＝lg(3tan x－)的定义域为(kπ＋，kπ＋)(k∈Z)．
【答案】　(kπ＋，kπ＋)(k∈Z)
3．函数y＝tan(2x＋)的单调递增区间是________．
【解析】　由kπ－＜2x＋＜kπ＋(k∈Z)，得－＜x＜＋(k∈Z)．
【答案】　(－，＋)(k∈Z)
4．比较大小：tan ________tan .
【解析】　tan ＝tan(π＋)＝tan .
∵y＝tan x在(0，)上是增函数且0＜＜＜.
∴tan ＜tan ，即tan ＜tan .
【答案】　＜
5．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间(，)内的图象是图1－3－3中的________．
图1－3－3
【解析】　函数y＝tan x＋sin x－|tan x－ sin x|＝
【答案】　(4)
6．y＝tan 满足下列哪些条件________．(填序号)
①在(0，)上单调递增；
②为奇函数；
③以π为最小正周期；
④定义域为{x|x≠＋，k∈Z}．
【解析】　令x∈(0，)，则∈(0，)，所以y＝tan 在(0，)上单调递增正确；tan(－)＝－tan ，故y＝tan 为奇函数；T＝＝2π，所以③不正确；由≠＋kπ，k∈Z得，定义域为{x|x≠π＋2kπ，k∈Z}，所以④不正确．
【答案】　①②
7．函数y＝3tan(2x＋)的对称中心是________．
【解析】　2x＋＝，k∈Z，∴x＝－，k∈Z.
【答案】　(－，0)(k∈Z)
8．已知函数y＝tan ωx在(－，)内是减函数，则ω的取值范围是________．
【解析】　y＝tan ωx在(－，)是减函数，∴ω＜0且≥π?－1≤ω＜0.
【答案】　[－1,0)
二、解答题
9．求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝＋lg(1－tan x)．
【解】　(1)由－tan x≥0，
得tan x≤.
在(－，)内满足不等式的范围是(－，]．
又y＝tan x的周期为π，
故原函数的定义域为(kπ－，kπ＋)，k∈Z.
(2)函数y＝＋lg(1－tan x)有意义，等价于所以0≤tan x＜1.由正切曲线可得kπ≤x＜kπ＋，k∈Z.故原函数的定义域为{x|kπ≤x＜kπ＋，k∈Z}．
10. 已知≤x≤，f(x)＝tan2x＋2tan x＋2，求f(x)的最值及相应的x值．
【解】　∵－≤x≤，
∴－≤tan x≤1，
f(x)＝tan2x＋2tan x＋2
＝(tan x＋1)2＋1，
当tan x＝－1，即x＝－时，f(x)有最小值1，当tan x＝1即x＝时，f(x)有最大值5.
11．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝tan x＋；(2)f(x)＝lg|tan x|.
【解】　(1)要使函数有意义，需满足：tan x≠0，且tan x有意义，即x∈(kπ－，kπ)∪(kπ，kπ＋)，k∈Z，可知定义域关于原点对称．
又对于定义域内的任意x，都有
f(－x)＝－tan x－＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
(2)由得
∴函数f(x)的定义域为(－＋kπ，kπ)∪(kπ，＋kπ)，k∈Z，定义域关于原点对称．
又对任意x∈(－＋kπ，kπ)∪(kπ，＋kπ)，k∈Z，
都有f(－x)＝lg|tan(－x)|＝lg|－tan x|
＝lg|tan x|＝f(x)，
∴函数f(x)是偶函数.
(教师用书独具)
　观察正切函数图象，写出下列不等式的解集：
(1)tan x＞0；(2)|tan x|≤1.
【思路探究】　画出正切函数在(－，)内的图象，结合图象求解集．
【自主解答】　(1)设y＝tan x，则它在(－，)内的图象如图所示．
由图可知满足不等式tan x＞0的解集为
{x|kπ＜x＜kπ＋，k∈Z}．
(2)设y＝|tan x|，则它在(－，)内的图象如图所示．
由图可知满足不等式|tan x|≤1的解集为{x|kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z}．
　解决与正切函数的图象有关的问题，关键是正确画出正切函数的图象，然后根据正切函数图象的性质进行求解，求解过程中注意整体思想的应用．
　不等式tan(2x－)≥－1的解集为________．
【解析】　令u＝2x－，由tan u≥－1及相应图象可知：
kπ－≤u即kπ－≤2x－∴－≤x<＋(k∈Z)．
∴原不等式解集为{x|－≤x<＋，k∈Z}．
【答案】　{x|－≤x<＋，k∈Z}
1．3.3　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)了解φ，ω，A对函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响，并会由y＝sin x的图象得到f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象．(2)明确函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)中常数A，ω，φ的物理意义，理解振幅、频率、相位、初相的概念．
2．过程与方法
通过图象变换的学习，培养运用数形结合思想分析、解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
通过本节知识的学习，了解从特殊到一般，从一般到特殊的辩证思想方法和分析、探索、化归、类比的科学研究方法在解决数学问题中的应用．
●重点难点
重点：由函数y＝sin x的图象变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象．
难点：对图象变换过程的理解．
(教师用书独具)
●教学建议
关于函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的教学建议
(1)注重由特殊到一般的探究原则，让学生先画出函数y＝sin x的图象和课本给出的三个函数的图象，让学生观察、归纳参数φ，A，ω对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响，教师及时地引导、纠正、提高．
(2)注重现代化教学手段的应用，加强直观性教学，提高课堂效率．
●教学流程
创设问题情境，引导学生明确函数f?x?＝Asin?ωx＋φ?中常数A，ω，φ的物理意义，介绍振幅、频率、相位、初相的概念.??????
课标解读
1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的实际意义．
2.能画出y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象，并借助图象能观察出A，ω，φ对函数图象变化的影响．(重点、难点)
函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概
念及其图象变换
【问题导思】　
一个弹簧振子作简谐振动，如图所示，该弹簧振子离开平衡位置的位移随时间t变化的图象如下：
1．做简谐振动的物体离开平衡位置的位移s与时间t满足s＝2sin ，图象中纵坐标2和横坐标4各具有怎样的物理意义？
【提示】　2表示振幅，周期T＝＝4.
2．将上述实例中的函数记为y＝Asin(ωx＋φ)，则该函数的图象是由y＝sin x的图象如何变换得到？
　【提示】　y＝sin x的图象经过平移和伸缩变换可以得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
1．有关概念
设物体做简谐运动时，位移s与时间t的关系为s＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)．其中A是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；往复振动一次所需的时间T＝称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数f＝＝称为振动的频率；ωt＋φ称为相位，t＝0时的相位φ称为初相．
2．图象变换
(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)的图象的影响(相位变换)
y＝sin x图象y＝sin(x＋φ)图象．
(2)A对函数y＝Asin x图象的影响(振幅变换)
y＝sin x图象y＝Asin x图象．
(3)ω对函数y＝sin ωx的图象的影响(周期变换)
①y＝sin x图象横坐标变为原来的倍,(纵坐标不变)y＝sin ωx图象．
②y＝sin ωx的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0),平移||个单位长度y＝sin(ωx＋φ)的图象．

“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)
的简图
　作出函数y＝2sin(＋)在长度为一个周期的闭区间上的图象．
【思路探究】　将＋看成整体，确定一个周期内的五个关键点，然后描点，用光滑的曲线连结各点即可．
【自主解答】　列表
＋
0

π

2π
x
－




y
0
2
0
－2
0
描点作图如下：
1．用五点法作y＝Asin(ωx＋φ)的图象，应先令ωx＋φ分别为0，，π，π，2π，然后解出自变量x的对应值，作出一周期内的图象．
2．若在一个定区间内作图象，则要首先确定该区间端点处的相位，再确定两个端点之间的最值点、零点．
　作出函数y＝cos(x＋)在一个周期内的图象．
【解】　列表：
x＋
0

π

2π
x
－




y

0
－
0

描点，连线得函数y＝cos(x＋)在一个周期内的图象，如图．
三角函数的图象变换
　如何将函数y＝sin x的图象通过变换得到函数y＝2sin(x＋)的图象？
【思路探究】　方法一：先相位变换→周期变换→振幅变换．
方法二：先周期变换→相位变换→振幅变换．
【自主解答】　法一　y＝sin xy＝sin(x＋)y＝sin(x＋)
y＝2sin(x＋)的图象．
法二　y＝sin xy＝sin xy＝sin (x＋) y＝2sin(x＋)的图象．
1．由函数y＝sin x的图象到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的变换通常需要三个变换：相位变换、周期变换、振幅变换，并且也常是这个顺序．当然也可以先周期变换，再相位变换，最后振幅变换，只是平移的单位量不同罢了．
2．由y＝Asin ωx的图象变换成y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，可将y＝Asin(ωx＋φ)化为y＝Asin[ω(x＋)]，由x＋与x的关系确定左右平移的单位，此时>0时，向左平移个单位，<0时，向右平移||个单位．
　如何由函数y＝sin x的图象得到函数y＝3sin(2x－)的图象？
【解】　法一　y＝sin xy＝sin(x－)y＝sin(2x－)y＝3sin(2x－)．
法二　y＝sin xy＝sin 2xy＝sin[2(x－)]y＝3sin[2(x－)]＝3sin(2x－).
由图象求三角函数的解析式
图1－3－4
　(2013·吉林高一检测)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)，在一个周期内的图象如图1－3－4所示，求函数的解析式．
【思路探究】　由最值求A，由过点(0,1)求φ，由点(，0)求ω.
【自主解答】　显然A＝2，又图象过(0, 1)点，∴f(0)＝1，
∴sin φ＝，又∵|φ|＜，∴φ＝.
由图象结合“五点法”可知，(，0)对应五点中的点(2π，0)．
∴·ω＋＝2π，∴ω＝2.
所以所求函数解析式为f(x)＝2sin(2x＋)．
1．一般可由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.
2．因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω.
3．从寻找“五点法”中的第一个“零点”(－，0)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”的位置来确定φ.
图1－3－5
　函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)中，A＞0，ω＞0，|φ|＜且图象如图1－3－5，求其解析式．
【解】　法一　由图象知，振幅A＝3，T＝－(－)＝π，∴ω＝2.
又由点(－，0)，根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)，
所以－×2＋φ＝0，得φ＝，
∴f(x)＝3sin(2x＋)．
法二　由图象知，振幅A＝3，
T＝－(－)＝π，∴ω＝2.
又图象过点(－，0)，有f(－)＝3sin[2(－)＋φ]＝0，
∴sin(－＋φ)＝0，－＋φ＝kπ(k∈Z)．
又|φ|＜，所以k＝0，φ＝，
∴f(x)＝3sin(2x＋)．
数形结合思想在三角函数问题中的应用
设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是________．
①[－4，－2]；②[－2,0]；③[0,2]；④[2,4]
【思路点拨】　将f(x)的零点问题转化为函数g(x)＝4sin(2x＋1)与h(x)＝x图象的交点问题．由数形结合的思想，画出g(x)与h(x)的图象解决．
【规范解答】　在同一坐标系中画出函数g(x)＝4sin(2x＋1)与h(x)＝x的图象，如图，观察可知在[－4，－2]内无交点．
【答案】　①
　
解答此类题目的关键在于等价转化问题中的曲线，然后准确作图，在解答过程中充分利用数形结合思想及函数与方程的思想，即可解决问题．
1．准确理解“图象变换法”
(1)由y＝sin x到y＝sin(x＋φ)的图象变换称为相位变换；由y＝sin x到y＝sin ωx图象的变换称为周期变换；由y＝sin x到y＝Asin x图象的变换称为振幅变换．
(2)由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，其变换途径有两条：
①y＝sin xy＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．
②y＝sin xy＝sin ωxy＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．
注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：①是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．②是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．
2．确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一零点(－，0)作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
1．把y＝sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得________的图象．
【解析】　y＝sin xy＝sin 4x.
【答案】　y＝sin 4x
2．将y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到的曲线对应的解析式为________．
【解析】　将y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得y＝sin 2(x＋)＝sin(2x＋)．
【答案】　y＝sin(2x＋)
图1－3－6
3．(2013·大纲全国卷改编)若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图1－3－6，则ω＝________.
【解析】　设函数的最小正周期为T，由函数图象可知＝(x0
＋)－x0＝，所以T＝.又因为T＝，可解得ω＝4.
【答案】　4
4．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图1－3－7所示，求其解析式．
图1－3－7
【解】　由图象可知T＝－，得
T＝π，∴ω＝＝2.
又(，1)在图象上，∴2×＋φ＝＋2kπ.
又|φ|＜，∴φ＝－，
∴y＝sin(2x－)．

一、填空题
1．函数y＝3sin(x＋)的振幅是________，周期是________．
【解析】　由于函数y＝3sin(x＋)，∴振幅是3，周期是T＝＝4.
【答案】　3　4
2．(2013·长沙高一检测)将y＝sin 4x的图象向左平移个单位，得y＝sin(4x＋φ)(0<φ<)的图象，则φ等于________．
【解析】　将y＝sin 4x的图象向左平移个单位得到函数y＝sin 4(x＋)＝sin(4x＋)，
由sin(4x＋φ)＝sin(4x＋)及0＜φ＜，
知φ＝.
【答案】　
3．(2013·临沂高一检测)把函数y＝sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标扩大为原来的2倍，所得图象的函数解析式为________．
【解析】　将函数y＝sin(2x＋)图象右移个单位得函数y＝sin[2(x－)＋]的图象，再将纵坐标伸长到原来的2倍得到函数y＝2sin 2x的图象．
【答案】　y＝2sin 2x
4．(2013·沙市高一检测)要得到函数y＝－cos 2x的图象，可以将y＝sin 2x的图象向________平移个单位长度即可．
【解析】　y＝－cos 2x＝sin(2x＋)＝sin[2(x＋)]，所以将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度即可．
【答案】　左
5．下列表示函数y＝sin(2x－)在区间[－，π]上的简图正确的是________．
图1－3－8
【解析】　将y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，再将所有点向右平移个单位长度即得y＝sin(2x－)的图象，依据此变换过程可得到①中图象是正确的．也可以分别令2x－＝0，，π，，2π得到五个关键点，描点连线即得函数y＝sin(2x－)的图象．
【答案】　①
图1－3－9
6．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图1－3－9所示，f()＝－，则f(0)＝________.
【解析】　由图象可得最小正周期为π，于是f(0)＝f()，注意到π与关于对称，所以f()＝－f()＝.
【答案】　
7．设ω>0，函数y＝sin(ωx＋)＋2的图象向右平移π个单位后与原图象重合，则ω的最小值为________．
【解析】　由题意知是函数周期的整数倍，又ω>0，
∴·k＝π，∴ω＝k(k∈Z)，∴ω的最小值为.
【答案】　
8．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象如图1－3－10所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 013)的值等于________．
图1－3－10
【解析】　由图可知该函数的周期为8，得ω＝，A＝2，代入点(2,2)，得sin(×2＋φ)＝1，＋φ＝，得φ＝0，∴y＝2sin x.根据对称性有f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(8)＝0，从而f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)＝251×[f(1)＋f(2)＋…＋f(8)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝251×0＋2sin ＋2sin ＋2sin π＋2sin π＋2sin π＝2＋.
【答案】　2＋
二、解答题
9．已知函数y＝2sin(2x＋)．
(1)求它的振幅、频率和初相．
(2)说明y＝2sin(2x＋)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到？
【解】　(1)由题意可知，振幅是2，因为周期为＝π，所以频率是，初相是.
(2)把函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin(x＋)的图象；再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(2x＋)的图象；再将所得图象上每个点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，就得到函数y＝2sin(2x＋)的图象．
10．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的一段图象如图1－3－11所示．
图1－3－11
(1)求f(x)的解析式；
(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？
【解】　(1)A＝3，＝×(4π－)＝5π，故ω＝.
由f(x)＝3sin(x＋φ)过点(，0)，得sin(＋φ)＝0，又|φ|＜，故φ＝－，∴f(x)＝3sin(x－)．
(2)由f(x＋m)＝3sin[(x＋m)－]＝3sin(x＋－)为偶函数(m＞0)，知－＝kπ＋(k∈Z)，即m＝kπ＋(k∈Z)．∵m＞0，∴mmin＝.
故至少把f(x)的图象向左平移个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．
11．(2013·济南高一检测)已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为(，)，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点(π，0)(如图1－3－12)，若φ∈(－，)．
图1－3－12
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．
【解】　(1)∵曲线上的一个最高点的坐标为(，)，
∴A＝.
又此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点(，0)，
∴＝－，即T＝π，∴ω＝＝2.
取点(，)作为“五点法”中函数的第二个点．
∴2×＋φ＝，∴φ＝.
且∈(－，)．
故这条曲线的函数表达式为：
y＝sin(2x＋)．
(2)列出x，y的对应值表：
x
－

π
π
π
2x＋
0

π
π
2π
y
0

0
－
0
作图如下：
(教师用书独具)
函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)图象的对称性
1．对称轴
与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x轴．
y＝Asin(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)；
y＝Acos(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令cos(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)．
2．对称中心
与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称中心即函数图象与x轴的交点．
y＝Asin(ωx＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(，0)(k∈Z)成中心对称；
y＝Acos(ωx＋φ)对称中心的求法：令cos(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象关于点(，0)(k∈Z)成中心对称．

1．3.4　三角函数的应用
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
熟练掌握三角函数的性质，会用三角代换解决代数、几何、函数等综合问题．
2．过程与方法
利用三角形建立数学模型，解决实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
3．情感、态度与价值观
通过本节的学习，使学生感受到生活离不开数学，培养健康向上的高尚情操．
●重点难点
重点：通过三个实例增强学生的数学应用意识，体会数学来源于实际，又服务于实际的特性，提高学生分析问题、解决问题的能力．
难点：将某些实际问题抽象为三角函数模型并加以解决．
(教师用书独具)
●教学建议
在本课的教学中，建议教师
(1)注重培养学生在生产、生活中发现具有周期性变化现象的能力，并让学生举出具体的例子，体会周期性变化现象对我们的生产、生活的影响．
(2)培养学生用适当的方法搜集数据，并利用这些数据为一些简单的周期现象建立一个函数模型的能力．
(3)在选择实际问题时，不要过深、过难，要适度．
(4)引导学生体会函数建模思想、数形结合思想．
●教学流程
??引导学生完成例2及其变式训练，解决三角函数在日常生活中的应用问题，并总结解决此类问题的规律方法.? 通过例3及其变式训练，使学生掌握采取利用数据拟合，把实际问题三角函数模型化，从而解决实际问题的方法.??
课标解读
1.会用三角函数解决一些简单实际问题．(重点)
2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．(难点)
三角函数的应用
【问题导思】　
　现实生活中存在大量的周期现象，如简谐运动、气温变化规律、月圆与月缺、涨潮与退潮等，这些现象能否用相应的函数模型来刻画？
【提示】　能．
1．三角函数的实际应用
建立三角函数模型，解决实际问题的步骤：
2．三角函数的综合应用
(1)根据图象求出函数解析式，解答问题．
(2)根据函数解析式作出图象，分析出其性质解答问题．
(3)利用三角代换把其他数学问题转化为三角函数问题解答.
三角函数在物理学中的应用
图1－3－13
　已知，如图1－3－13所示为电流强度I与时间t的关系I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象．
(1)试根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)中t在任意一段秒的时间内电流强度I能同时取得最大值|A|与最小值－|A|，那么，正整数ω的最小值是多少？
【思路探究】　解答本题可先根据提供的数据求出T，进而得出ω，根据图象过(－，0)得出φ，从而得出函数解析式．
【自主解答】　(1)由图知：A＝300.
设t0＝－，t1＝，t2＝，
因为T＝t2－t0＝－(－)＝，
所以ω＝＝100π.
因为－＝－，所以φ＝＝，
所以I＝300sin(100πt＋)．
(2)问题等价于T≤，即≤，
所以ω≥200π，所以最小正整数ω＝629.
1．三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、电流强度、单摆、弹簧振子等随时间变化的问题，解决这类问题必须要清楚振幅、频率、周期、初相、相位的实际意义和表示方法．
2．将图形语言转化成符号语言，根据图形信息利用待定系数法，求函数模型y＝Asin(ωx＋φ)中的未知参数后，再由解析式及性质解决具体问题．
　已知弹簧上挂的小球做简谐运动时，小球离开平衡位置的距离s(cm)随时间t(s)的变化规律为：
s＝4sin(2t＋)，t∈[0，＋∞)．
用“五点法”作出这个函数在一个周期内的简图，并回答下列问题：
(1)小球在开始运动(t＝0)时，离开平衡位置的位移是多少？
(2)小球上升到最高点、下降到最低点时离开平衡位置的位移分别是多少？
(3)经过多少秒，小球往复运动一次？
【解】　列表如下：
t
－




2t＋
0

π

2π
s
0
4
0
－4
0
作出这个函数在一个周期内的简图如图．
(1)将t＝0代入s＝4sin(2t＋)，
得s＝4sin ＝2(cm)．
以竖直向上作为位移的正向，则小球开始运动时的位移是2 cm，方向为正向．
(2)由图可知，小球上升到最高点时离开平衡位置的位移是4 cm，下降到最低点时，离开平衡位置的位移是－4 cm，负号表示方向竖直向下．
(3)由于这个函数的周期T＝＝π，∴小球往复运动一次所需的时间约为3.14 s．反映在图象上，正弦曲线在每一个长度为π的区间上，都完整地重复变化一次.
三角函数在日常生活中的应用
图1－3－14
　如图1－3－14为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h.
(1)求h与θ间的函数关系式；
(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少？
【思路探究】　→→

【自主解答】　(1)以圆心O为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－，圆心距地面高度h′＝4.8＋0.8＝5.6，
∴h＝5.6＋4.8sin(θ－)．
(2)点A在圆上转动的角速度是ω＝ rad/s.
故t秒转过的弧度数为θ＝t，
∴h＝5.6＋4.8sin(t－)，t∈[0，＋∞)．
到达最高点时，h＝10.4 m.
由sin(t－)＝1得t－＝，∴t＝30(s)，
∴缆车第一次到达最高点时，用的最少时间为30秒．
1．本例运用三角函数线和三角函数定义建立了三角函数模型，其中第(1)小题是把高度h表示为以θ＝∠AOB为自变量的函数，而第(2)小题则是把高度h表示为以时间t为自变量的函数．
2．物体作匀速圆周运动时，每秒钟转过的弧度数称为角速度，用ω表示，显然t秒钟转过的角θ与t的关系是θ＝ωt.因此匀速圆周运动的三角函数模型通常为y＝Asin(ωt＋φ)＋b.
图1－3－15
　将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律．如图1－3－15所示，轮胎以角速度ω做圆周运动，P0为气针的初始位置，气针(看作一点)到原点O距离为r cm，求气针P的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求出P的运动周期，当φ＝，r＝ω＝1时，说明其图象与函数y＝sin t图象有什么关系？
【解】　过P作MP⊥x轴，则y＝rsin(ωt＋φ)，∴T＝，当φ＝，r＝ω＝1时，y＝sin(t＋)，其图象可由y＝sin t的图象向左平移个单位长度得到.
数据拟合
　某港口的水深y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是水深数据：
t/h
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/m
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
根据上述数据描出的曲线如图1－3－16所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y＝4sin ωt＋b的图象．
图1－3－16
(1)试根据以上数据，求出y＝Asin ωt＋b的表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5 m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略进出港所用的时间)
【思路探究】　(1)从拟合曲线可知：函数y＝Asin ωx＋b的周期；t＝0时的函数值；t＝3时取得的最大值，进而可求得ω，A，b的值，即得函数的表达式．
(2)根据(1)中求得的函数表达式，求出数值不小于4.5＋7＝11.5(m)的时段，从而可回答问题．
【自主解答】　(1)从拟合曲线可知：函数y＝Asin ωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12 h，因此＝12，ω＝.
又∵当t＝0时，y＝10；
当t＝3时，ymax＝13.
∴b＝10，A＝13－10＝3.
∴所求函数表达式为y＝3sin x＋10.
(2)由于船的吃水深度为7 m，船底与海底的距离不少于4.5 m，故在船舶航行时水深y应大于等于7＋4.5＝11.5(m)．
由拟合曲线可知，一天24 h，水深y变化两个周期．
令y＝3sin x＋10≥11.5,
可得sin x≥.
∴2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴12k＋1≤x≤12k＋5(k∈Z)．
取k＝0，则1≤x≤5；
取k＝1，则25≤x≤17；
取k＝2时，则13≤x≤29(不合题意)．
从而可知该船在1点到5点或者13点到17点两个时间段可安全进港；船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1点进港，而下午的17点前离港，在港内停留的时间最长为16小时．
　用三角函数解决实际问题的关键在于如何把实际问题三角函数模型化，而散点图起了关键的作用．解决这类题目的步骤如下：
(1)搜集实际问题的数据，作出“散点图”；
(2)观察散点图，用三角函数模型拟合散点图，得到函数模型；
(3)通过图象或解析式研究函数的性质；
(4)用得到的性质解决提出的实际问题．
　估计某一天的白昼时间的小时数D(t)的表达式为D(t)＝sin[(t－79)]＋12，其中t表示某天的序号，t＝0表示1月1日，以此类推，常数k与某地所处的纬度有关．
(1)如在波士顿，k＝6，试画出函数在0≤t≤365时的图象．
(2)在波士顿，哪一天白昼时间最长？哪一天最短？
(3)估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过10.5小时？
【解】　(1)k＝6时，D(t)＝3sin[(t－79)]＋12，先用“五点法”画出f(t)＝3sin[(t－79)]的简图，令(t－79)＝0，，π，π，2π可得下表.
t
79
170
262
353
444
f(t)
0
3
0
－3
0
令t＝0，则f(0)＝3sin(－1.36)≈－2.9，
∵T＝365，∴f(365)＝f(0)≈－2.9，
将y＝f(t)(t∈[0,365])的图象向上平移12个单位长度，得到y＝D(t)的图象，如图所示．
(2)∵k＝6，D(t)＝3sin[(t－79)]＋12，
∴白昼时间最长的一天即为D(t)取得最大值的一天，此时，t＝170对应的是6月20日(闰年除外)．
同理可得，当t＝353即12月20日时白昼最短．
(3)令D(t)＞10.5，即3sin[(t－79)]＋12＞10.5，
∴[(t－79)]＞－(t∈[0,365])，
∴49＜t＜292，∴292－49＝243，
即：约有243天的白昼时间超过10.5小时.
忽略实际问题的意义致误
图1－3－17
　2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形ABCD(如图1－3－17)．如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，记∠FAB＝θ，试求sin θ＋cos θ的值．
【错解】　由题设可知，Rt△ABF≌Rt△BCG≌Rt△CDH≌Rt△DAE，故AF＝BG＝CH＝DE.因为大正方形的面积与小正方形的面积分别为25和1，所以它们的边长分别为5和1，即AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1.
设AF＝x，则BF＝BG－GF＝x－1，
于是得sin θ＝＝，①
cos θ＝＝.②
在Rt△ABF中，AF2＋BF2＝AB2，即x2＋(x－1)2＝25，解得x＝4或x＝－3.
由①②知，当x＝4时，cos θ＝，sin θ＝；当x＝－3时，cos θ＝－，sin θ＝－.
综上所述，sin θ＋cos θ的值为±.
【错因分析】　错解中忽略了∠FAB＝θ为弦图中的Rt△ABF的一个内角，应为锐角，从而产生了增解．
【防范措施】　在求实际问题时不能完全按照数学方法解题，还要注意使实际问题有意义．
【正解】　同错解求得x＝4或x＝－3，又由已知条件可知，∠FAB＝θ为弦图中的Rt△ABF的一个内角，应为锐角，故x＝4，从而sin θ＋cos θ＝.
　解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、还原评价．
(1)审题
审题是解题的基础，它包括阅读理解、翻译、挖掘等，通过阅读，真正理解用普通文字语言表述的实际问题的类型、思想内涵、问题的实质，初步预测所属数学模型．有些问题中采用即时定义解释某些概念或专业术语，要仔细阅读，准确把握，同时，在阅读过程中，注意挖掘一些隐含条件．
(2)建模
在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将试题中的非数学语言转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系——建立三角函数模型．这时要注意三角函数的定义域应符合实际问题要求，这些便将实际问题转化成了纯数学问题．
(3)解模
运用三角函数的有关公式进行推理、运算，使问题得到解决．
(4)还原评价
应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学科学，又要符合实际背景，因此，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判．
1．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin(100πt＋)，则当t＝ s时，电流强度I为________A.
【解析】　当t＝ s时，I＝5sin(100π×＋)＝5cos ＝2.5(A)．
【答案】　2.5
2．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离y cm和时间t s的函数关系式为：y＝6sin(2πt＋)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为________．
【解析】　ω＝2π，∴T＝＝1.
∴单摆来回摆动一次所需时间为1 s.
【答案】　1 s
图1－3－18
3．如图1－3－18为一半径是3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则ω＝________，A＝________.
【解析】　由题意知半径即是振幅，A＝3，因为水轮每分钟旋转4圈，即周期为T＝＝15 s，所以ω＝＝.
【答案】　　3
图1－3－19
4．已知受噪声干扰的正弦波信号的相关信号图形如图1－3－19所示，此图可以视为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的图象的一部分，试求此函数解析式．
【解】　由已知信号最大、最小
的波动幅度为3和－3.
∴A＝3.由图象知，
＝－＝，
∴T＝π.∴ω＝＝＝2.
∴y＝3sin(2x＋φ)．
由图象知点(，0)是第三个关键点，
∴×2＋φ＝π.∴φ＝.
∴所求函数解析式为y＝3sin(2x＋).
一、填空题
1．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为________．
【解析】　由T＝＝＝，又f＝＝＝80，故每分钟心跳次数为80.
【答案】　80
2．已知简谐运动f(x)＝2sin(x＋φ)(|φ|<)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为________，________.
【解析】　T＝＝＝6，代入(0,1)点得sin φ＝.
∵－<φ<，∴φ＝.
【答案】　6　
3．(2013·巢湖高一检测)商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，元旦当天某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin (t≥0)，则人流量增加的时间段是________．
①[0,5]；②[5,10]；③[10,15]；④[15,20]．
【解析】　由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]?[3π，5π]，故填③.
【答案】　③
图1－3－20
4．如图1－3－20是游乐场中的摩天轮上的某个座舱在旋转过程中离地面高度情况的一部分，则下列判断中正确的有________．(填序号)
①该座舱的运动周期是π；
②该座舱的振幅是2；
③该座舱在 s时达到最高点；
④该座舱在 s时离地面最近．
【解析】　＝－＝，∴T＝π，①正确；该座舱的振幅是1，②错误；该座舱在 s时没有到达最高点，③错误；显然④正确．
【答案】　①④
5．如图1－3－21表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(米)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数关系式为________．
图1－3－21
【解析】　设h＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)，由图象知A＝6，T＝12＝，则ω＝＝.点(6,0)为“五点法”作图中的第一点，故×6＋φ＝0，
得φ＝－π，
∴h＝6sin(t－π)＝－6sin t(0≤t≤24)．
【答案】　h＝－6sin t(0≤t≤24)
6．有一种波，其波形为函数y＝sin x的图象，若在区间[0，t](t＞0)上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是________．
【解析】　∵y＝sin x的图象在[0，t]上至少有2个波峰，函数y＝sin x的周期T＝4，
∴t≥T＝5.
【答案】　5
图1－3－22
7．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图1－3－22所示，△EFG是边长为2的等边三角形，则f(1)的值为________．
【解析】　观察图象结合题意，A＝，周期为4，得ω＝，由奇函数过原点得，cos φ＝0，又0＜φ＜π，得φ＝，所以f(x)＝cos(x＋)，
故f(1)＝cos(＋)＝cos π＝－.
【答案】　－
图1－3－23
8．如图1－3－23，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P(x，y)．若初始位置为P0(，)，当秒针从P0(注：此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为________．
【解析】　不妨设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0)．
由于半径为r＝＝1，所以振幅A＝1，其周期为T＝60秒，又是顺时针方向旋转，所以ω＝－＝－，
再由sin(0＋φ)＝，
得φ＝，
所以y＝sin(－t＋)．
【答案】　y＝sin(－t＋)
二、解答题
9．交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E＝220sin(100πt＋)来表示，求：
(1)开始时的电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间．
【解】　(1)当t＝0时，E＝110(伏)，即开始时的电压为110伏．
(2)T＝＝(秒)，即时间间隔为0.02秒．
(3)电压的最大值为220伏．
当100πt＋＝，即t＝秒时第一次取得这个最大值．
10．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元.9月份价格最低为5千元，根据以上条件求f(x)的解析式．
【解】　作出函数简图如图：
由题意知：A＝2 000，B＝7 000，T＝2×(9－3)＝12，∴ω＝＝，将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有×3＋φ＝，∴φ＝0，
故f(x)＝2 000sin x＋7 000(1≤x≤12)，x∈N＋.
11．某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元，该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设商店每月购进这种商品m件，且当月销完，你估计哪个月份盈利最大？
【解】　设出厂价波动函数为y1＝6＋Asin(ω1x＋φ1)．
易知A＝2，T1＝8，ω1＝，＋φ1＝?φ1＝－，
∴y1＝6＋2sin(x－)．
设销售价波动函数为y2＝8＋Bsin(ω2x＋φ2)．
易知B＝2，T2＝8，ω2＝，＋φ2＝?φ2＝－，
∴y2＝8＋2sin(x－)．
每件盈利y＝y2－y1＝[8＋2sin(x－)]－[6＋2sin(x－)]＝2－2sin x，
当sin x＝－1?x＝2kπ－(k∈Z)?x＝8k－2时y取最大值．
当k＝1，即x＝6时，y最大．∴估计6月份盈利最大
.
(教师用书独具)
　如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，此矩形沿地面上一直线滚动，在滚动过程中矩形所在平面始终与地面垂直，设直线BC与地面所成角为θ，矩形周边上最高点离地面的距离为f(θ)．
求：(1)θ的取值范围；
(2)f(θ)的解析式；
(3)f(θ)的值域．
【思路探究】　矩形在滚动过程中具有周期性，应用三角函数模拟函数f(θ)．根据已知题目中的信息求相关参数．
【自主解答】　(1)BC与地面所成的角，就是直线与平面所成的角，∴角θ的范围是[0，]．
(2)连接BD，则∠DBC＝，DB＝2，过D作地面的垂线，垂足为E，在Rt△BDE中，∠DBE＝θ＋，
∴f(θ)＝2sin(θ＋)(0≤θ≤)．
(3)∵0≤θ≤，∴≤θ＋≤，
∴≤sin(θ＋)≤1，
即f(θ)的值域为[1,2]．
　解答本题的关键是利用平面几何知识，建立三角函数模型，再利用三角函数解决问题，三角函数是联系几何和代数的桥梁，它在几何和代数中都有广泛的应用．
　如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是以下四个图形中的________．
【解析】　设点P逆时针旋转的弧度为α，由l＝αR可知α＝，结合圆的几何性质可知＝R·sin ，
∴d＝2Rsin ＝2Rsin ，
又R＝1，∴d＝2sin ，故结合正弦函数图象可知函数f(l)的大致图象为③.
【答案】　③

任意角的三角函数概念
　三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：
(1)任意角和弧度制．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．
(2)任意角的三角函数．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．
　(1)已知角α的终边过点P(－4m,3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α的值是________．
(2)函数y＝＋的定义域是________．
【思路点拨】　(1)根据三角函数的定义求解，注意讨论m的正负．
(2)利用三角函数线求解．
【规范解答】　(1)r＝|OP|＝＝5|m|.
当m>0时，sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－.
∴2sin α＋cos α＝.
当m<0时，sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝.
∴2sin α＋cos α＝－.
故2sin α＋cos α的值是或－.
(2)由得
如图，结合三角函数线知：

解得：2kπ≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴函数的定义域为{x|2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
【答案】　(1)或－　(2){x|2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z}
　已知P(－，m)为角α的终边上的一点，且sin α＝，则m的值为________．
【解析】　r＝，∴sin α＝＝＝，平方解得m＝±，
∵sin α＝＞0，∴m＞0，∴m＝.
【答案】　
同角三角函数的基本关系式和
　 　诱导公式
1．在计算、化简或证明三角函数式时常用的三个技巧有：
(1)“1”的代换．为了解题的需要，有时可以将1用“sin2α＋cos2α”代替．
(2)切化弦．利用商数关系式把正切化为正弦和余弦函数．
(3)整体代替．将计算式适当变形使条件可以整体代入或将条件适当变形找出与算式之间的关系．
2．应用诱导公式需注意的五个问题：
(1)应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为：“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．
(2)在运用这六组诱导公式时，要仔细体会其中的数学思想——化归思想，并在学习过程中能自觉地运用．
(3)诱导公式起着变名、变号、变角等作用，在三角函数有关问题(特别是化简、求值、证明)中常使用．
(4)使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似kπ±α的形式时，需要对k的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负．
(5)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”．
3．方程思想的渗透
对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可以求出．
(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α；
(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α；
(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2.
　已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，求tan α的值．
【思路点拨】　要求tan α的值，只需求得sin α，cos α的值．而由已知条件sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，再利用sin2α＋cos2α＝1，求得2sin αcos α的值，进而求得sin α－cos α的值．
【规范解答】　∵sin α＋cos α＝，①
将其两边同时平方，
得1＋2sin αcos α＝，∴2sin αcos α＝－.
∵α∈(0，π)，∴cos α＜0＜sin α.
∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，
∴sin α－cos α＝.②
由①②得sin α＝，cos α＝.
∴tan α＝＝－.
化简：1＋cos(＋α)·sin(－α)·tan(π＋α)．
【解】　原式＝1－sin α·cos α·tan α
＝1－sin α·cos α·＝1－sin2α＝cos2α.
三角函数的图象与性质
1.三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，也是三角函数性质的具体表现，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，利用“五点法”作图或利用图象的伸缩和平移变换来作图．具体要求：
①用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，确定五个关键点的方法是分别令ωx＋φ＝0，，π，，2π；
②对于y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别；
③已知函数图象来求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法．
2．解决三角函数有关性质的问题时，常用到数形结合、分类讨论、化归转化等数学思想，主要体现在三角函数的奇偶性、单调性、周期性以及其图象的对称性等知识的考查．
　如图1－1所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的部分图象．
图1－1
(1)求此函数的解析式；
(2)分析一下该函数的图象是如何通过y＝sin x的图象变换得来的．
【思路点拨】　(1)根据函数图象与A，ω，φ的关系求出函数解析式；(2)根据函数图象变换的有关性质进行求解．
【规范解答】　(1)由图象知A＝＝，k＝＝－1，T＝2×(－)＝π，
∴ω＝＝2，∴y＝sin(2x＋φ)－1.
当x＝时，2×＋φ＝，∴φ＝，
∴所求函数的解析式为y＝sin(2x＋)－1.
(2)把y＝sin x的图象向左平移个单位，得到y＝sin(x＋)的图象，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的，得到y＝sin(2x＋)的图象，再保持横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到y＝sin(2x＋)的图象，最后把函数y＝sin(2x＋)的图象向下平移1个单位，得到y＝sin(2x＋)－1的图象．
　函数y＝2a＋bsin x的最大值是3，最小值是1，求函数y＝－4asin 的最大值和最小值，以及相应的x的值．
【解】　当b＝0时，y＝2a，此时ymax＝ymin，与题意不符，故b≠0.
若b＞0，由题意得解得
此时y＝－4asin ＝－4sin ，
当x＝4kπ－π(k∈Z)时，y有最大值4；
当x＝4kπ＋π(k∈Z)时，y有最小值－4.
若b＜0，由题意得解得
此时y＝－4asin ＝4sin ，
当x＝4kπ＋π(k∈Z)时，y有最大值4；
当x＝4kπ－π(k∈Z)时，y有最小值－4.
数形结合思想
1.对数形结合的认识
(1)数形结合是重要的数学思想，它能把代数关系与几何图形有机结合起来，将抽象的思维方式转化为直观的思维方式，从而使问题变得简单明了．
(2)数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、判断图象交点的个数、求参数范围等题目中．
2．数形结合在本章中的体现
本章中，常常利用单位圆中的三角函数线或三角函数的图象解答三角问题，是典型的“以形助数”的方法，而利用三角公式证明三角函数中的几何性质问题，又是典型的“以数助形”的解题策略．
　试判断方程sin x＝实数根的个数．
【思路点拨】　本题主要考查数形结合法求超越方程的根，在同一坐标系内作出函数y1＝sin x与y2＝的图象，由函数图象分析交点的个数．
【规范解答】　令y1＝sin x，y2＝，即求两个函数图象的交点数．
∵|sin x|≤1，∴||≤1，|x|≤100π，如图．
每一个最小正周期有两个交点，[0,100π]内共有50个最小正周期，所以有100个交点．又y1＝sin x，y2＝均为奇函数，所以在[－100π，0]内也有100个交点，而原点处的交点重复计算了一次，所以方程sin x＝实数根有199个．
　若集合M＝{θ|sin θ≥，0≤θ≤π}，N＝{θ|cos θ≤，0≤θ≤π}，求M∩N.
【解】　法一　首先作出正弦函数与余弦函数以及直线y＝的图象．如图①②，结合图象得集合M，N分别为
M＝{θ|≤θ≤}，N＝{θ|≤θ≤π}．
得M∩N＝{θ|≤θ≤π}．
法二　作出单位圆的正弦线和余弦线如图．
由单位圆三角函数线知
M＝{θ|≤θ≤}，N＝{θ|≤θ≤π}．
由此可得M∩N＝{θ|≤θ≤}．
综合检测(一)
第1章　三角函数
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填在题中横线上)
1．角α，β的终边关于x轴对称，若α＝30°，则β＝________.
【解析】　画出图形可知β的终边与－α的终边相同，故β＝－30°＋k·360°，k∈Z.
【答案】　－30°＋k·360°，k∈Z
2．(2013·福建高考)已知函数f(x)＝则f(f())＝________.
【解析】　∵∈[0，)，
∴f()＝－tan ＝－1，
∴f(f())＝f(－1)＝2×(－1)3＝－2.
【答案】　－2
3．函数y＝3cos(x－)的最小正周期是________．
【解析】　T＝＝5π.
【答案】　5π
4．已知角θ的终边经过点P(－4cos α，3cos α)(＜α＜)，则sin θ＋cos θ＝________.
【解析】　∵r＝＝5|cos α|＝－5cos α，
∴sin θ＝＝－，
cos α＝＝.
∴sin θ＋cos θ＝－＋＝.
【答案】　
5．如果sin(π＋A)＝－，则cos(π－A)＝________.
【解析】　sin(π＋A)＝－sin A＝－，∴sin A＝，
cos(π－A)＝cos[π＋(－A)]＝－cos(－A)＝－sin A＝－.
【答案】　－
6．已知tan θ＝2，则＝________.
【解析】　＝
＝＝＝.
【答案】　
7．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．
【解析】　设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，弧长为l，则解得或
∴α＝4或α＝1.
【答案】　1或4
8．函数y＝＋log3sin(π－x)的定义域为________．
【解析】　∵y＝＋log3sin(π－x)＝＋log3sin x，
∴要使函数有意义，则
∴
∴－5≤x<－π或0【答案】　[－5，－π)∪(0，π)
9．函数y＝2cos(x－)(≤x≤)的最大值和最小值之积为________．
【解析】　∵≤x≤π，∴－≤x－≤，
∴≤cos(x－)≤1，∴1≤2cos(x－)≤2，
故所求最大值和最小值之积1×2＝2.
【答案】　2
10．将函数y＝sin(3x＋)的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，则所得的函数解析式是________．
【解析】　y＝sin(3x＋)向右平移个单位得y＝sin[3(x－)＋]，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(x－)．
【答案】　y＝sin(x－)
11．(2013·扬州高一检测)设ω＞0，函数y＝sin(ωx＋)＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是________．
【解析】　由函数的图象向右平移π个单位后与原图象重合，得π是此函数周期的整数倍．又ω＞0，
∴·k＝π(k∈Z)，∴ω＝k(k∈Z)，∴ωmin＝.
【答案】　
图1
12．如图1为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(ω＞0，A＞0，|φ|＜)图象的一部分，则f(x)的解析式为________．
【解析】　A＝＝2，B＝＝1，由图可知2sin φ＝1，|φ|＜，所以φ＝，所以2sin(－πω＋)＋1＝－1，可得－πω＋＝－，所以ω＝，所以f(x)＝2sin(x＋)＋1.
【答案】　2sin(x＋)＋1
13．(2013·合肥高一检测)函数y＝2sin(2x＋)在[0，π]上的单调增区间为________．
【解析】　由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，解得－π＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，令k＝0,1得所求单调递增区间为[0，]，[π，π]．
【答案】　[0，]，[π，π]
14．关于函数f(x)＝4sin(2x＋)(x∈R)，有下列命题：
①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改为y＝4cos(2x－)；
③y＝f(x)的图象关于点(－，0)对称；
④y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称．
其中正确的命题是________．(把你认为正确的命题序号都填上)
【解析】　函数f(x)＝4sin(2x＋)的最小正周期T＝π，由相邻两个零点的横坐标间的距离是＝知①错．
利用诱导公式得f(x)＝4cos[－(2x＋)]＝4cos(－2x)＝4cos(2x－)，知②正确．
由于曲线f(x)与x轴的每个交点都是它的对称中心，将x＝－代入得f(x)＝4sin[2×(－)＋]＝4sin 0＝0，因此点(－，0)是f(x)图象的一个对称中心，故命题③正确．
曲线f(x)的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y轴平行，而x＝－时y＝0，点(－，0)不是最高点也不是最低点，故直线x＝－不是图象的对称轴，因此命题④不正确．
【答案】　②③
二、解答题(本大题共6小题，共计90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)求值sin2120°＋cos 180°＋tan 45°－cos2(－330°)＋sin(－210°)．
【解】　原式＝()2－1＋1－cos230°＋sin 30°
＝()2－1＋1－()2＋＝.
16．(本小题满分14分)已知α是第三象限角，且f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若cos(α－)＝，求f(α)的值．
【解】　(1)f(α)＝＝－cos α.
(2)∵cos(α－)＝cos(－3·＋α)＝－sin α＝，
∴sin α＝－，cos α＝－＝－，
∴f(α)＝.
17．(本小题满分14分)已知函数y＝asin(2x＋)＋b在x∈[0，]上的值域为[－5,1]，求a，b的值．
【解】　由题意知a≠0.∵x∈[0，]，
∴2x＋∈[，]，
∴sin(2x＋)∈[－，1]．
当a＞0时，解得
当a＜0时，解得
∴a，b的取值分别是 4，－3或－4，－1.
18．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝2sin(2x＋)＋a＋1(其中a为常数)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若x∈[0，]时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)求f(x)取最大值时x的取值集合．
【解】　(1)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴函数f(x)的单调增区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)，由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴函数f(x)的单调减区间为[＋kπ，＋kπ](k∈Z)．
(2)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，
∴－≤sin(2x＋)≤1，
∴f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，∴a＝1，
(3)当f(x)取最大值时，2x＋＝＋2kπ，∴2x＝＋2kπ，∴x＝＋kπ，k∈Z.∴当f(x)取最大值时，x的取值集合是{x|x＝＋kπ，k∈Z}．
19．(本小题满分16分)将函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标缩短到原来的倍，再将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，然后把整个曲线向左平移，得到函数y＝sin x的图象，求函数f(x)的解析式，并画出函数y＝f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图．
【解】　将正弦曲线y＝sin x向右平移个单位长度，得函数y＝sin(x－)的图象，再将曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得函数y＝sin(－)的图象，然后将曲线上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，得函数y＝3sin(－)的图象．∴f(x)＝3sin(－)．
令z＝－，则x＝2z＋.列表：
z
0

π

2π
x





y
0
3
0
－3
0
描点画图(如图) ：
20．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的一系列对应值如下表：
x
－






y
－1
1
3
1
－1
1
3
(1)根据表格提供的数据求出函数f(x)的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)的周期为，当x∈[0，]时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
【解】　(1)设f(x)的最小正周期为T，得T＝－(－)＝2π.由T＝得ω＝1.
又解得
令ω·＋φ＝＋2kπ，
即＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
又|φ|＜，解得φ＝－.
∴f(x)＝2sin(x－)＋1.
(2)∵函数y＝f(kx)＝2sin(kx－)＋1的周期为，又k＞0，∴k＝3.
令t＝3x－，∵x∈[0，]，∴t∈[－，]．
如图，sin t＝s在[－，]上有两个不同的解的条件是s∈[，1)，∴方程f(kx)＝m在x∈[0，]时恰有两个不同的解的条件是m∈[＋1,3)，即实数m的取值范围是[＋1,3)．
课件27张PPT。任意角的三角函数概念 同角三角函数的基本关系式和诱导公式三角函数的图象与性质 数形结合思想 课件52张PPT。
教师用书独具演示演示结束 任意角的概念 一条射线 端点 旋转 射线的端点 射线旋转 始边 终边 逆时针 顺时针 没有作 零角 象限角及终边相同的角 坐标原点 x轴正半轴 终边 第几象限角 角的概念及相关应用 终边相同的角 象限角的表示及其应用 课时作业（一） (教师用书独具)课件49张PPT。
教师用书独具演示演示结束 弧度制的概念 半径 1 rad 角度与弧度的互化 rad 0.017 45 1 扇形的弧长及面积公式 弧度和角度的互化 用弧度表示区域角 弧长与扇形面积公式的应用 课时作业（二） (教师用书独具)课件49张PPT。
教师用书独具演示演示结束 任意角的三角函数的定义 R R 三角函数在各象限符号 正正正正正正负负负负负负三角函数线 MPOMAT方向 三角函数的定义及应用 三角函数值的符号 三角函数线的应用 课时作业（三） (教师用书独具)课件48张PPT。
教师用书独具演示演示结束 同角三角函数的基本关系式 求值问题 三角函数式化简 三角恒等式的证明 课时作业（四） (教师用书独具)课件43张PPT。
教师用书独具演示演示结束 诱导公式一～四 给角求值 给值求值 利用诱导公式化简三角函数式 课时作业（五） (教师用书独具)课件46张PPT。教师用书独具演示演示结束 诱导公式五 诱导公式六 给值求值 化简问题 证明三角恒等式 课时作业（六） (教师用书独具)课件47张PPT。
教师用书独具演示演示结束 周期函数的定义 非零的常数 f(x＋T)＝f(x) 最小的正数 正、余弦函数的周期 求三角函数的周期 函数周期性的判断 函数周期性的综合应用 课时作业（七） (教师用书独具)课件60张PPT。
教师用书独具演示演示结束 正弦、余弦函数的图象与性质 正弦曲线 余弦曲线 (0,0) 左 形状 位置 利用“五点法”作简图 求三角函数的值域 求三角函数的单调区间 利用三角函数的单调性比较大小 课时作业（八） (教师用书独具)课件43张PPT。
教师用书独具演示演示结束 正切函数的图象与性质 正切函数的定义域、值域 正切函数的单调性及其应用 正切函数的图象及其应用 课时作业（九） (教师用书独具)课件49张PPT。
教师用书独具演示演示结束 函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念及
其图象变换 平衡 最大距离 时间 周期 次数 频率 相位 0 初相 左 右 |φ| 纵 A 横 横 纵 左 右 “五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ) 的简图 三角函数的图象变换 由图象求三角函数的解析式 课时作业（十） (教师用书独具)课件58张PPT。
教师用书独具演示演示结束 三角函数的应用 函数解析式 作出图象 三角函数问题 三角函数在物理学中的应用 三角函数在日常生活中的应用 数据拟合 课时作业（十一） (教师用书独具)综合检测(一)
第1章　三角函数
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填在题中横线上)
1．角α，β的终边关于x轴对称，若α＝30°，则β＝________.
【解析】　画出图形可知β的终边与－α的终边相同，故β＝－30°＋k·360°，k∈Z.
【答案】　－30°＋k·360°，k∈Z
2．(2013·福建高考)已知函数f(x)＝则f(f())＝________.
【解析】　∵∈[0，)，
∴f()＝－tan ＝－1，
∴f(f())＝f(－1)＝2×(－1)3＝－2.
【答案】　－2
3．函数y＝3cos(x－)的最小正周期是________．
【解析】　T＝＝5π.
【答案】　5π
4．已知角θ的终边经过点P(－4cos α，3cos α)(＜α＜)，则sin θ＋cos θ＝________.
【解析】　∵r＝＝5|cos α|＝－5cos α，
∴sin θ＝＝－，
cos α＝＝.
∴sin θ＋cos θ＝－＋＝.
【答案】　
5．如果sin(π＋A)＝－，则cos(π－A)＝________.
【解析】　sin(π＋A)＝－sin A＝－，∴sin A＝，
cos(π－A)＝cos[π＋(－A)]＝－cos(－A)＝－sin A＝－.
【答案】　－
6．已知tan θ＝2，则＝________.
【解析】　＝
＝＝＝.
【答案】　
7．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．
【解析】　设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，弧长为l，则解得或
∴α＝4或α＝1.
【答案】　1或4
8．函数y＝＋log3sin(π－x)的定义域为________．
【解析】　∵y＝＋log3sin(π－x)＝＋log3sin x，
∴要使函数有意义，则
∴
∴－5≤x<－π或0【答案】　[－5，－π)∪(0，π)
9．函数y＝2cos(x－)(≤x≤)的最大值和最小值之积为________．
【解析】　∵≤x≤π，∴－≤x－≤，
∴≤cos(x－)≤1，∴1≤2cos(x－)≤2，
故所求最大值和最小值之积1×2＝2.
【答案】　2
10．将函数y＝sin(3x＋)的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，则所得的函数解析式是________．
【解析】　y＝sin(3x＋)向右平移个单位得y＝sin[3(x－)＋]，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(x－)．
【答案】　y＝sin(x－)
11．(2013·扬州高一检测)设ω＞0，函数y＝sin(ωx＋)＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是________．
【解析】　由函数的图象向右平移π个单位后与原图象重合，得π是此函数周期的整数倍．又ω＞0，
∴·k＝π(k∈Z)，∴ω＝k(k∈Z)，∴ωmin＝.
【答案】　
图1
12．如图1为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(ω＞0，A＞0，|φ|＜)图象的一部分，则f(x)的解析式为________．
【解析】　A＝＝2，B＝＝1，由图可知2sin φ＝1，|φ|＜，所以φ＝，所以2sin(－πω＋)＋1＝－1，可得－πω＋＝－，所以ω＝，所以f(x)＝2sin(x＋)＋1.
【答案】　2sin(x＋)＋1
13．(2013·合肥高一检测)函数y＝2sin(2x＋)在[0，π]上的单调增区间为________．
【解析】　由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，解得－π＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，令k＝0,1得所求单调递增区间为[0，]，[π，π]．
【答案】　[0，]，[π，π]
14．关于函数f(x)＝4sin(2x＋)(x∈R)，有下列命题：
①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改为y＝4cos(2x－)；
③y＝f(x)的图象关于点(－，0)对称；
④y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称．
其中正确的命题是________．(把你认为正确的命题序号都填上)
【解析】　函数f(x)＝4sin(2x＋)的最小正周期T＝π，由相邻两个零点的横坐标间的距离是＝知①错．
利用诱导公式得f(x)＝4cos[－(2x＋)]＝4cos(－2x)＝4cos(2x－)，知②正确．
由于曲线f(x)与x轴的每个交点都是它的对称中心，将x＝－代入得f(x)＝4sin[2×(－)＋]＝4sin 0＝0，因此点(－，0)是f(x)图象的一个对称中心，故命题③正确．
曲线f(x)的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y轴平行，而x＝－时y＝0，点(－，0)不是最高点也不是最低点，故直线x＝－不是图象的对称轴，因此命题④不正确．
【答案】　②③
二、解答题(本大题共6小题，共计90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)求值sin2120°＋cos 180°＋tan 45°－cos2(－330°)＋sin(－210°)．
【解】　原式＝()2－1＋1－cos230°＋sin 30°
＝()2－1＋1－()2＋＝.
16．(本小题满分14分)已知α是第三象限角，且f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若cos(α－)＝，求f(α)的值．
【解】　(1)f(α)＝＝－cos α.
(2)∵cos(α－)＝cos(－3·＋α)＝－sin α＝，
∴sin α＝－，cos α＝－＝－，
∴f(α)＝.
17．(本小题满分14分)已知函数y＝asin(2x＋)＋b在x∈[0，]上的值域为[－5,1]，求a，b的值．
【解】　由题意知a≠0.∵x∈[0，]，
∴2x＋∈[，]，
∴sin(2x＋)∈[－，1]．
当a＞0时，解得
当a＜0时，解得
∴a，b的取值分别是 4，－3或－4，－1.
18．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝2sin(2x＋)＋a＋1(其中a为常数)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若x∈[0，]时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)求f(x)取最大值时x的取值集合．
【解】　(1)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴函数f(x)的单调增区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)，由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴函数f(x)的单调减区间为[＋kπ，＋kπ](k∈Z)．
(2)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，
∴－≤sin(2x＋)≤1，
∴f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，∴a＝1，
(3)当f(x)取最大值时，2x＋＝＋2kπ，∴2x＝＋2kπ，∴x＝＋kπ，k∈Z.∴当f(x)取最大值时，x的取值集合是{x|x＝＋kπ，k∈Z}．
19．(本小题满分16分)将函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标缩短到原来的倍，再将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，然后把整个曲线向左平移，得到函数y＝sin x的图象，求函数f(x)的解析式，并画出函数y＝f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图．
【解】　将正弦曲线y＝sin x向右平移个单位长度，得函数y＝sin(x－)的图象，再将曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得函数y＝sin(－)的图象，然后将曲线上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，得函数y＝3sin(－)的图象．∴f(x)＝3sin(－)．
令z＝－，则x＝2z＋.列表：
z
0

π

2π
x





y
0
3
0
－3
0
描点画图(如图) ：
20．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的一系列对应值如下表：
x
－






y
－1
1
3
1
－1
1
3
(1)根据表格提供的数据求出函数f(x)的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)的周期为，当x∈[0，]时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
【解】　(1)设f(x)的最小正周期为T，得T＝－(－)＝2π.由T＝得ω＝1.
又解得
令ω·＋φ＝＋2kπ，
即＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
又|φ|＜，解得φ＝－.
∴f(x)＝2sin(x－)＋1.
(2)∵函数y＝f(kx)＝2sin(kx－)＋1的周期为，又k＞0，∴k＝3.
令t＝3x－，∵x∈[0，]，∴t∈[－，]．
如图，sin t＝s在[－，]上有两个不同的解的条件是s∈[，1)，∴方程f(kx)＝m在x∈[0，]时恰有两个不同的解的条件是m∈[＋1,3)，即实数m的取值范围是[＋1,3)．

一、填空题
1．(2013·泰安高一检测)钟表经过4小时，时针转过的度数为________，分针转过的度数为________．
【解析】　分针和时针均按顺时针方向旋转，其中分针连续转过4周，时针转过周．
【答案】　－120°　－1 440°
2．543°是第________象限角．
【解析】　543°＝183°＋360°，又183°是第三象限角，故543°也是第三象限角．
【答案】　三
3．与405°终边相同的角的集合为________．
【解析】　405°－360°＝45°，故与405°角终边相同的角可表示为k·360°＋45°，k∈Z.
【答案】　{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}
4．(2013·南京高一检测)已知角α＝－3 000°，则与α终边相同的最小正角是________．
【解析】　与α终边相同的角的集合为{θ|θ＝－3 000°＋k·360°，k∈Z}，与θ终边相同的最小正角是当k＝9时，θ＝－3 000°＋9×360°＝240°.所以与α终边相同的最小正角为240°.
【答案】　240°
5．若α是第二象限角，则180°－α是第________象限角．
【解析】　因为α是第二象限角，所以k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z，所以k·360°＜180°－α＜k·360°＋90°，k∈Z，所以180°－α是第一象限角．
【答案】　一
6．(2013·曲阜师大附中检测)在－720°～720°内与－1 050°角终边相同的角是________．
【解析】　与－1 050°终边相同的角可表示为k·360°－1 050°(k∈Z)，
k＝1时，1×360°－1 050°＝－690°，
k＝2时，2×360°－1 050°＝－330°，
k＝3时，3×360°－1 050°＝30°，
k＝4时，4×360°－1 050°＝390°.
【答案】　－690°或－330°或30°或390°
7．在360°～0°内与160°角终边相同的角是________．
【解析】　与160°角终边相同的角α＝k·360°＋160°，k∈Z.
∵－360°≤α＜0°，
∴取k＝－1，得α＝－360°＋160°＝－200°.
故在－360°～0°内与160°角终边相同的角是－200°.
【答案】　－200°
8．若角α和角β的终边关于x轴对称，则角α可以用角β表示为________．
【解析】　∵角α和角β的终边关于x轴对称，∴α＋β＝k·360°(k∈Z)．∴α＝k·360°－β(k∈Z)．
【答案】　k·360°－β(k∈Z)
二、解答题
9．写出终边在如图1－1－3所示阴影部分(包括边界)的角的集合．
图1－1－3
【解】　先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则
(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}；
(2){α|－210°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}．
10．写出与15°角终边相同的角的集合，并求该集合中满足不等式－1 080°≤β＜720°的元素β.
【解】　与15°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝15°＋k·360°，k∈Z}，其中，满足－1 080°≤β＜720°的元素有：k＝－3时，β＝－1 065°；k＝－2时，β＝－705°；k＝－1时，β＝－345°；k＝0时，β＝15°；k＝1时，β＝375°，∴集合中满足条件的元素β有－1 065°，－705°，－345°，15°，375°.
11．在角的集合{α|α＝k·90°＋45°(k∈Z)}中：
(1)有几种终边不相同的角？
(2)有几个大于－360°且小于360°的角？
(3)写出其中是第二象限的角的一般表示法．
【解】　(1)当k＝4n,4n＋1,4n＋2,4n＋3，n∈Z时，在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种．
(2)由－360°＜k·90°＋45°＜360°，得－＜k＜.
又k∈Z，故k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3.
∴在给定的角集合中大于－360°且小于360°的角共有8个．
(3)其中是第二象限的角可表示成k·360°＋135°，k∈Z.

一、填空题
1．函数y＝3sin(x＋)的振幅是________，周期是________．
【解析】　由于函数y＝3sin(x＋)，∴振幅是3，周期是T＝＝4.
【答案】　3　4
2．(2013·长沙高一检测)将y＝sin 4x的图象向左平移个单位，得y＝sin(4x＋φ)(0<φ<)的图象，则φ等于________．
【解析】　将y＝sin 4x的图象向左平移个单位得到函数y＝sin 4(x＋)＝sin(4x＋)，
由sin(4x＋φ)＝sin(4x＋)及0＜φ＜，
知φ＝.
【答案】　
3．(2013·临沂高一检测)把函数y＝sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标扩大为原来的2倍，所得图象的函数解析式为________．
【解析】　将函数y＝sin(2x＋)图象右移个单位得函数y＝sin[2(x－)＋]的图象，再将纵坐标伸长到原来的2倍得到函数y＝2sin 2x的图象．
【答案】　y＝2sin 2x
4．(2013·沙市高一检测)要得到函数y＝－cos 2x的图象，可以将y＝sin 2x的图象向________平移个单位长度即可．
【解析】　y＝－cos 2x＝sin(2x＋)＝sin[2(x＋)]，所以将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度即可．
【答案】　左
5．下列表示函数y＝sin(2x－)在区间[－，π]上的简图正确的是________．
图1－3－8
【解析】　将y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，再将所有点向右平移个单位长度即得y＝sin(2x－)的图象，依据此变换过程可得到①中图象是正确的．也可以分别令2x－＝0，，π，，2π得到五个关键点，描点连线即得函数y＝sin(2x－)的图象．
【答案】　①
图1－3－9
6．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图1－3－9所示，f()＝－，则f(0)＝________.
【解析】　由图象可得最小正周期为π，于是f(0)＝f()，注意到π与关于对称，所以f()＝－f()＝.
【答案】　
7．设ω>0，函数y＝sin(ωx＋)＋2的图象向右平移π个单位后与原图象重合，则ω的最小值为________．
【解析】　由题意知是函数周期的整数倍，又ω>0，
∴·k＝π，∴ω＝k(k∈Z)，∴ω的最小值为.
【答案】　
8．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象如图1－3－10所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 013)的值等于________．
图1－3－10
【解析】　由图可知该函数的周期为8，得ω＝，A＝2，代入点(2,2)，得sin(×2＋φ)＝1，＋φ＝，得φ＝0，∴y＝2sin x.根据对称性有f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(8)＝0，从而f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)＝251×[f(1)＋f(2)＋…＋f(8)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝251×0＋2sin ＋2sin ＋2sin π＋2sin π＋2sin π＝2＋.
【答案】　2＋
二、解答题
9．已知函数y＝2sin(2x＋)．
(1)求它的振幅、频率和初相．
(2)说明y＝2sin(2x＋)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到？
【解】　(1)由题意可知，振幅是2，因为周期为＝π，所以频率是，初相是.
(2)把函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin(x＋)的图象；再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(2x＋)的图象；再将所得图象上每个点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，就得到函数y＝2sin(2x＋)的图象．
10．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的一段图象如图1－3－11所示．
图1－3－11
(1)求f(x)的解析式；
(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？
【解】　(1)A＝3，＝×(4π－)＝5π，故ω＝.
由f(x)＝3sin(x＋φ)过点(，0)，得sin(＋φ)＝0，又|φ|＜，故φ＝－，∴f(x)＝3sin(x－)．
(2)由f(x＋m)＝3sin[(x＋m)－]＝3sin(x＋－)为偶函数(m＞0)，知－＝kπ＋(k∈Z)，即m＝kπ＋(k∈Z)．∵m＞0，∴mmin＝.
故至少把f(x)的图象向左平移个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．
11．(2013·济南高一检测)已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为(，)，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点(π，0)(如图1－3－12)，若φ∈(－，)．
图1－3－12
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．
【解】　(1)∵曲线上的一个最高点的坐标为(，)，
∴A＝.
又此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点(，0)，
∴＝－，即T＝π，∴ω＝＝2.
取点(，)作为“五点法”中函数的第二个点．
∴2×＋φ＝，∴φ＝.
且∈(－，)．
故这条曲线的函数表达式为：
y＝sin(2x＋)．
(2)列出x，y的对应值表：
x
－

π
π
π
2x＋
0

π
π
2π
y
0

0
－
0
作图如下：

一、填空题
1．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为________．
【解析】　由T＝＝＝，又f＝＝＝80，故每分钟心跳次数为80.
【答案】　80
2．已知简谐运动f(x)＝2sin(x＋φ)(|φ|<)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为________，________.
【解析】　T＝＝＝6，代入(0,1)点得sin φ＝.
∵－<φ<，∴φ＝.
【答案】　6　
3．(2013·巢湖高一检测)商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，元旦当天某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin (t≥0)，则人流量增加的时间段是________．
①[0,5]；②[5,10]；③[10,15]；④[15,20]．
【解析】　由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]?[3π，5π]，故填③.
【答案】　③
图1－3－20
4．如图1－3－20是游乐场中的摩天轮上的某个座舱在旋转过程中离地面高度情况的一部分，则下列判断中正确的有________．(填序号)
①该座舱的运动周期是π；
②该座舱的振幅是2；
③该座舱在 s时达到最高点；
④该座舱在 s时离地面最近．
【解析】　＝－＝，∴T＝π，①正确；该座舱的振幅是1，②错误；该座舱在 s时没有到达最高点，③错误；显然④正确．
【答案】　①④
5．如图1－3－21表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(米)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数关系式为________．
图1－3－21
【解析】　设h＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)，由图象知A＝6，T＝12＝，则ω＝＝.点(6,0)为“五点法”作图中的第一点，故×6＋φ＝0，
得φ＝－π，
∴h＝6sin(t－π)＝－6sin t(0≤t≤24)．
【答案】　h＝－6sin t(0≤t≤24)
6．有一种波，其波形为函数y＝sin x的图象，若在区间[0，t](t＞0)上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是________．
【解析】　∵y＝sin x的图象在[0，t]上至少有2个波峰，函数y＝sin x的周期T＝4，
∴t≥T＝5.
【答案】　5
图1－3－22
7．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图1－3－22所示，△EFG是边长为2的等边三角形，则f(1)的值为________．
【解析】　观察图象结合题意，A＝，周期为4，得ω＝，由奇函数过原点得，cos φ＝0，又0＜φ＜π，得φ＝，所以f(x)＝cos(x＋)，
故f(1)＝cos(＋)＝cos π＝－.
【答案】　－
图1－3－23
8．如图1－3－23，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P(x，y)．若初始位置为P0(，)，当秒针从P0(注：此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为________．
【解析】　不妨设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0)．
由于半径为r＝＝1，所以振幅A＝1，其周期为T＝60秒，又是顺时针方向旋转，所以ω＝－＝－，
再由sin(0＋φ)＝，
得φ＝，
所以y＝sin(－t＋)．
【答案】　y＝sin(－t＋)
二、解答题
9．交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E＝220sin(100πt＋)来表示，求：
(1)开始时的电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间．
【解】　(1)当t＝0时，E＝110(伏)，即开始时的电压为110伏．
(2)T＝＝(秒)，即时间间隔为0.02秒．
(3)电压的最大值为220伏．
当100πt＋＝，即t＝秒时第一次取得这个最大值．
10．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元.9月份价格最低为5千元，根据以上条件求f(x)的解析式．
【解】　作出函数简图如图：
由题意知：A＝2 000，B＝7 000，T＝2×(9－3)＝12，∴ω＝＝，将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有×3＋φ＝，∴φ＝0，
故f(x)＝2 000sin x＋7 000(1≤x≤12)，x∈N＋.
11．某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元，该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设商店每月购进这种商品m件，且当月销完，你估计哪个月份盈利最大？
【解】　设出厂价波动函数为y1＝6＋Asin(ω1x＋φ1)．
易知A＝2，T1＝8，ω1＝，＋φ1＝?φ1＝－，
∴y1＝6＋2sin(x－)．
设销售价波动函数为y2＝8＋Bsin(ω2x＋φ2)．
易知B＝2，T2＝8，ω2＝，＋φ2＝?φ2＝－，
∴y2＝8＋2sin(x－)．
每件盈利y＝y2－y1＝[8＋2sin(x－)]－[6＋2sin(x－)]＝2－2sin x，
当sin x＝－1?x＝2kπ－(k∈Z)?x＝8k－2时y取最大值．
当k＝1，即x＝6时，y最大．∴估计6月份盈利最大.

一、填空题
1．将下列各角的弧度(角度)化为角度(弧度)：
(1)＝________；(2)－＝________；
(3)920°＝________；(4)－72°＝________.
【解析】　(1)＝×180°＝24°.
(2)－＝－×180°＝－216°.
(3)920°＝720°＋200°＝2π＋π＋20×＝3π＋＝π.
(4)－72°＝－72×＝－.
【答案】　(1)24°　(2)－216°　(3)π　(4)－
2．α＝－2 rad，则α的终边在________．
【解析】　－2 rad＝－2×()°≈－57.30°×2＝－114.60°，
∴α为第三象限角．
【答案】　第三象限
3．在单位圆(注：半径为1的圆)中，面积为1的扇形的圆心角的弧度数为________．
【解析】　由S＝αr2＝α×12＝＝1.
∴α＝2 (rad)．
【答案】　2
4．设集合M＝{α|α＝－，k∈Z}，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N＝________.
【解析】　分别取k＝－1,0,1,2，得α＝－，－，，.
【答案】　{－，－，，}
5．(2013·温州高一检测)集合{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中的角所表示的范围(图1－1－7阴影部分)是________．
图1－1－7
【解析】　当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z；
当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z.
因此，③正确．
【答案】　③
6．已知角α的终边与的终边相同，在[0,2π)内终边与角的终边相同的角为________．
【解析】　由题意得α＝2kπ＋(k∈Z)，故＝＋(k∈Z)，
又∵0≤<2π，所以当k＝0,1,2时，有＝，π，π满足．
【答案】　，π，π
7．已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段弧所对的圆心角的弧度数为________．
【解析】　设圆的半径为r，这段弧所对的圆心角为α，则正方形边长为r，则r＝r·α，即α＝.
【答案】　
8．(2013·泰州高一检测)已知角α，β的终边关于x＋y＝0对称，且α＝－，则β＝________.
【解析】　如图：
－角的终边关于y＝－x对称的射线的对应角为
－＋＝－，∴β＝－＋2kπ，k∈Z.
【答案】　2kπ－，k∈Z
二、解答题
9．已知扇形的周长是8 cm，圆心角为2 rad，求该扇形的弧长和面积．
【解】　设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，
则有解得
故S＝l·r＝4(cm2)．所以该扇形的弧长是4 cm，面积是4 cm2.
10．若角α与角－的终边垂直，试表示满足条件的角α的集合，并探究其终边有何位置关系？
【解】　在－π～π范围内，与角－的终边垂直的角为，－，与这两个角终边相同的角可分别表示为2kπ＋，2kπ－，k∈Z，即{α|α＝2kπ＋，或α＝2kπ－，k∈Z}＝{α|α＝kπ－，k∈Z}．
所以它们的终边在同一条直线上．
11．已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求：
(1)的长；
(2)扇形所含弓形的面积．
【解】　(1)∵120°＝π＝π，
∴l＝|α|·r＝6×π＝4π，
∴的长为4π.
(2)∵S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，
如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于D点，
于是有S△OAB＝×AB×OD＝×2×6cos 30°×3＝9.
∴弓形的面积为S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.
∴弓形的面积是12π－9.

一、填空题
1．已知角α的终边经过点P(x，－6)，若sin α＝－，则x的值为________．
【解析】　由三角函数的定义得sin α＝＝＝－，∴x2＝，∴x＝±.
【答案】　±
2．(2013·巢湖高一检测)下列三角函数值的符号判断错误的是________．
①sin 165°＞0；②cos 280°＞0；③tan 170°＞0；
④tan 310°＜0.
【解析】　165°为第二象限角，280°为第四象限角，170°为第二象限角，310°为第四象限角，第二象限角的正切值的符号为负，故③不正确．
【答案】　③
3．(2013·广州高一检测)已知sin α＝，cos α＝－，则角α终边在第________象限．
【解析】　由sin α＝＞0得，角α的终边在第一或第二象限；由cos α＝－＜0得，角α的终边在第二或第三象限，故角α的终边在第二象限．
【答案】　二
4．角α的终边上有一点M(a，a)，a∈R且a≠0，则sin α的值为________．
【解析】　当a>0时，r＝＝a，sin α＝＝＝.
当a<0时，r＝＝－a，sin α＝＝＝－.
∴sin α＝或－.
【答案】　或－
5．如果cos x＝|cos x|，那么角x的取值范围是________．
【解析】　∵cos x＝|cos x|，∴cos x≥0，∴角x的终边落在y轴或其右侧，从而角x的取值范围是[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z.
【答案】　[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z
6．已知α终边过点(3a－9，a＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a的取值范围为________．
【解析】　∵sin α>0，cos α≤0，∴α终边在第二象限或y轴正半轴上，
∴3a－9≤0，a＋2>0，∴－2【答案】　(－2,3]
7．已知角α的终边与射线y＝－3x(x≥0)重合，则sin α·cos α－tan α的值为________．
【解析】　在角α终边上取一点P(1，－3)，此时x＝1，y＝－3.
∴r＝＝.
∴由三角函数定义得sin α＝＝－，
cos α＝＝，tan α＝＝－3.
∴sin α·cos α－tan α＝－×－(－3)＝3－＝.
【答案】　
8．使sin x≤cos x成立的x的一个变化区间是________．
①[－，]；②[－，]；③[－，]；④[0，π]．
【解析】　如图，画出三角函数线sin x＝MP，cos x＝OM，由于sin(－)＝cos(－)，sin ＝cos ，为使sin x≤cos x成立，由图可得－≤x≤.
【答案】　①
二、解答题
9．(2013·杭州高一检测)已知角α的终边过点(a,2a)(a≠0)，求α的三个三角函数值．
【解】　因为角α的终边过点(a,2a)(a≠0)，所以r＝|a|，x＝a，y＝2a.
当a＞0时，sin α＝＝＝＝，
cos α＝＝＝，tan α＝2；
当a＜0时，sin α＝＝＝＝－，
cos α＝＝＝－，tan α＝2.
10．已知角α的顶点在原点上，始边与x轴的非负半轴重合，且sin α＜0，tan α＞0.
(1)求角α的集合；
(2)判断为第几象限角；
(3)判断tan ，sin ·cos 的符号．
【解】　(1)因为sin α＜0，tan α＞0，
所以角α是第三象限角，
故角α的集合为{α|2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z}．
(2)由(1)知kπ＋＜＜kπ ＋(k∈Z)．
当k＝2m(m∈Z)时，2mπ＋＜＜2mπ＋(m∈Z)，所以是第二象限角；当k＝2m＋1(m∈Z)时，2mπ＋π＜＜2mπ＋π(m∈Z)，所以是第四象限角．
所以是第二或第四象限角．
(3)由(2)知是第二或第四象限角，
从而tan ＜0，sin ·cos ＜0.
11．利用单位圆写出符合下列条件的角x的范围．
(1)sin x<－；(2)|cos x|≤.
【解】　(1)作出单位圆如图所示．
在0～2π内，
∵sin ＝－，
sin＝－，
∴满足sin x<－的角x在(，)内．
故在任意角范围内满足sin x<－的角x的范围是＋2kπ(2)作出单位圆如图所示．在0～π内，|cos |＝，
|cos |＝.
在π～2π内，|cos |＝，|cos |＝.
根据余弦线的变化情况可知
满足|cos x|≤的角x的取值范围是＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z).

一、填空题
1．化简 ＝________.
【解析】　＝|sin |＝sin .
【答案】　sin 
2．(2013·泰安高一检测)若sin θ＝－，tan θ＞0，则cos θ＝________.
【解析】　由已知，θ在第三象限，
∴cos θ＝－＝－＝－.
【答案】　－
3．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值是________．
【解析】　sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1＝2×()2－1＝－.
【答案】　－
4．(2013·连云港高一检测)已知tan α＝5，则＝________.
【解析】　∵tan α＝5，∴＝5，
∴sin α＝5cos α，
∴＝＝.
【答案】　
5．化简sin4α＋cos4α＋2sin2α·cos2α＝________.
【解析】　sin4α＋cos4α＋2sin2α·cos2α＝(sin2α＋cos2α)2＝1.
【答案】　1
6．已知sin α＋cos α＝，则sin αcos α＝________.
【解析】　由sin α＋cos α＝，两边平方得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α＝，
∴sin αcos α＝－.
【答案】　－
7．使 ＝ 成立的α的集合是________．
【解析】　＝＝＝，即sin α＜0，
故2kπ－π＜α＜2kπ，k∈Z.
【答案】　{α|2kπ－π＜α＜2kπ，k∈Z}
8．已知cos α＝tan α，则sin α＝________.
【解析】　利用同角三角函数关系式求解．因为cos α＝tan α，所以cos α＝，即sin α＝cos2α≥0，可得sin α＝1－sin2α，即sin2α＋sin α－1＝0，解得sin α＝，舍去负值，得sin α＝.
【答案】　
二、解答题
9．若cos α＝－且tan α＞0，求的值．
【解】　＝
＝＝
＝＝sin α(1＋sin α)．
由tan α＝＞0，cos α＝－＜0，
∴sin α＜0.又sin2α＋cos2α＝1，
∴sin α＝－＝－，
∴原式＝sin α(1＋sin α)＝－·(1－)＝－.
10．化简：－.
【解】　原式＝－
＝－
＝＝sin x＋cos x.
11．证明：＝cos2x－sin2x.
【证明】　左边＝＝＝＝cos2x－sin2x＝右边．
原式得证.

一、填空题
1．已知sin(π＋α)＝且α是第四象限角，则cos(α－2π)＝________.
【解析】　sin(π＋α)＝－sin α＝，sin α＝－，cos(α－2π)＝cos α＝.
【答案】　
2．sin2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为________．
【解析】　原式＝sin2α＋cos2α＋1＝2.
【答案】　2
3．已知sin(45°＋α)＝，则sin(225°＋α)＝________.
【解析】　sin(225°＋α)＝sin(180°＋45°＋α)＝－sin(45°＋α)＝－.
【答案】　－
4．若cos 100°＝k，则tan 80°的值为________．
【解析】　cos 80°＝－cos 100°＝－k，且k＜0.于是sin 80°＝＝，从而tan 80°＝－.
【答案】　－
5．若f(sin x)＝cos 17x，则f()的值为________．
【解析】　由sin x＝得x＝＋2kπ，k∈Z或x＝＋2kπ，k∈Z.
当x＝＋2kπ时，f()＝cos[17×(＋2kπ)]＝cos ＝－；
当x＝＋2kπ时，f()＝cos[17×(＋2kπ)]＝cos ＝.
【答案】　－或
6．化简的结果为________．
【解析】　当n为偶数时，原式＝＝＝－sin α，当n为奇数时，原式＝＝sin α.
【答案】　(－1)n＋1sin α(n∈Z)
7．已知cos(α＋β)＝－1，且tan α＝2，则tan β＝________.
【解析】　由cos(α＋β)＝－1知α＋β＝2kπ＋π(k∈Z)，∴β＝2kπ＋π－α，k∈Z.∴tan β＝tan(2kπ＋π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝－2.
【答案】　－2
8．(2013·盐城高一检测)已知sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0，则sin αcos α的值为________．
【解析】　∵sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0，即
sin α－3cos α＝0，∴tan α＝3，
∴sin αcos α＝＝＝.
【答案】　
二、解答题
9．(2013·扬州高一检测)求值：sin2840°＋cos 540°＋tan 225°－cos2(－330°)＋sin(－210°)．
【解】　原式＝[sin(2×360°＋120°)]2＋cos(360°＋180°)＋tan(180°＋45°)－[cos(180°＋150°)]2－sin(180°＋30°)
＝sin2120°＋cos 180°＋tan 45°－cos2150°＋sin 30°
＝()2－1＋1－(－)2＋＝.
10．(1)已知cos(π＋α)＝－，且<α<2π，求sin(2π－α)的值；
(2)已知sin(α＋π)＝，且sin αcos α<0，求
的值．
【解】　(1)∵cos(π＋α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝.
∵<α<2π，
∴sin α＝－＝－.
∴sin(2π－α)＝－sin α＝.
(2)∵sin(α＋π)＝－sin α＝，
∴sin α＝－.
∵sin αcos α<0，
∴cos α>0，
∴cos α＝＝.
∵tan α＝＝－，
∴
＝＝
＝＝－.
11．化简：(k∈Z)．
【解】　当k为奇数时，不妨设k＝2n＋1，n∈Z，则原式＝
＝＝＝－1；
当k为偶数时，不妨设k＝2n，n∈N，则原式＝
＝＝＝－1.
总之，＝－1.

一、填空题
1．sin 480°的值为________．
【解析】　sin 480°＝sin(360°＋120°)＝sin 120°＝sin(90°＋30°)＝cos 30°＝.
【答案】　
2．如果cos α＝，且α是第四象限角，那么cos(α＋)＝________.
【解析】　由已知得，sin α＝－＝－.
所以cos(α＋)＝－sin α＝－(－)＝.
【答案】　
3．若sin(θ＋)＞0，cos(－θ)＞0，则角θ的终边位于第________象限．
【解析】　sin(θ＋)＝－cos θ＞0，∴cos θ＜0，cos(－θ)＝sin θ＞0，∴θ为第二象限角．
【答案】　二
4．若f(sin x)＝3－cos 2x，则f(cos 30°)＝________.
【解析】　f(cos 30°)＝f(sin 60°)＝3－cos 120°＝3＋cos 60°＝或f(cos 30°)＝f(sin 120°)＝3－cos 240°＝3－cos 120°＝.
【答案】　
5．(2013·宁波高一检测)已知sin(α－)＝，则cos(＋α)＝________.
【解析】　∵(＋α)－(α－)＝，
∴cos(＋α)＝cos[＋(α－)]＝－sin(α－)＝－.
【答案】　－
6．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是________．
①cos(A＋B)＝cos C；②sin(A＋B)＝－sin C；
③cos(＋C)＝cos B；④sin ＝cos .
【解析】　∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴cos(A＋B)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin C，所以①②都不正确；同理B＋C＝π－A，所以sin ＝sin(－)＝cos ，所以④是正确的．
【答案】　④
7．(2013·徐州高一检测)已知cos(＋φ)＝，且|φ|＜，则tan φ＝________.
【解析】　cos(＋φ)＝－sin φ＝，sin φ＝－，
又∵|φ|＜，∴cos φ＝，故tan φ＝－.
【答案】　－
8．已知cos α＝，且－＜α＜0，
则＝________.
【解析】　原式＝＝tan α，∵cos α＝ ，－＜α＜0，
∴sin α＝－＝－，∴tan α＝＝－2.
【答案】　－2
二、解答题
9．已知cos(75°＋x)＝，其中x为第三象限角，求cos(105°－x)－cos(x－15°)的值．
【解】　由条件，得cos(105°－x)＝cos(180°－75°－x)＝－cos(75°＋x)＝－，
cos(x－15°)＝cos(－90°＋75°＋x)＝sin(75°＋x)．
又x为第三象限角，cos(75°＋x)＞0，
所以x＋75°为第四象限角．
所以sin(75°＋x)＝－.
于是原式＝－－×(－)＝1.
10．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，求的值．
【解】　由于方程5x2－7x－6＝0的两根为2和－，所以sin α＝－，再由sin2α＋cos2α＝1，得cos α＝±＝±，所以tan α＝±，所以原式＝＝tan α＝±.
11．已知角α的终边经过点P(，－)．
(1)求sin α的值；
(2)求的值．
【解】　(1)∵P(，－)，|OP|＝1，
∴sin α＝－.
(2)＝＝，由三角函数定义知cos α＝，故所求式子的值为.

一、填空题
1．函数y＝3sin(－x)的周期是________．
【解析】　T＝＝.
【答案】　
2．下列各图形是定义在R上的四个函数的图象的一部分，其中是周期函数的有________．(填序号)
图1－3－1
【解析】　根据周期函数图象特征可知图①②③都是周期函数；图④为一个偶函数图象，不是周期函数．
【答案】　①②③
3．函数y＝2cos(－ωx)(ω＜0)的最小正周期为4π，则ω＝________.
【解析】　由周期公式可知4π＝?|ω|＝，由ω＜0，可知ω＝－.
【答案】　－
4．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f(x)＝sin x，则f()的值为________．
【解析】　f()＝f(－)＝f()＝sin ＝.
【答案】　
5．已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数，则方程f(x)＝0在[－2,2]上至少有________个实数根．
【解析】　∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0，又∵函数f(x)以2为周期，
∴f(2)＝f(－2)＝f(0)＝0，
且，
解得f(－1)＝f(1)＝0，故方程f(x)＝0在[－2,2]上至少有5个实数根．
【答案】　5
6．设f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x＋2)＝，当0≤x≤1时，f(x)＝2x，则f(7.5)＝________.
【解析】　∵f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝f(x)，
∴T＝4，∴f(7.5)＝f(4×2－0.5)
＝f(－0.5)＝f(0.5)＝1.
【答案】　1
7．已知函数f(x)＝2sin(kx＋)的最小正周期T∈(1,3)，则正整数k的取值集合是________．
【解析】　由题意得1＜＜3??即＜k＜2π.
∵k∈N*，∴k＝3,4,5,6.
【答案】　{3,4,5,6}
8．设函数f(x)(x∈R)是以π为最小正周期的周期函数，且当x∈[0，]时，f(x)＝sin x；当x∈[，π)时，f(x)＝cos x，则f(π)＝________.
【解析】　∵T＝π，x∈[，π)时，f(x)＝cos x.
∴f(π)＝f(3π＋)＝f()＝cos ＝cos(π－)＝－cos ＝－.
【答案】　－
二、解答题
9．已知函数y＝5sin(x＋)．
(1)若函数的周期为3π，求k的值；
(2)若函数的周期不大于1，求自然数k的最小值．
【解】　(1)∵函数y＝5sin(x＋)的周期T＝＝3π，∴|k|＝2，∴k＝±2.
(2)∵T≤1，∴≤1，
即|k|≥6π≈18.85，
又k为自然数，
∴k的最小值为19.
10．已知f(x)是周期为T(T＞0)的周期函数，则f(2x＋1)是否为周期函数，若是，请求出其周期．
【解】　∵f(x)＝f(x＋T)，
∴f(2x＋1)＝f(2x＋1＋T)＝f[2(x＋)＋1]．
∴周期为，
∴f(2x＋1)是周期为的周期函数．
11．设f(x)是定义在R上以6为周期的函数，f(x)在[0,3]内单调递增，且y＝f(x)的图象关于直线x＝3对称，试比较f(1.5)，f(3.5)，f(6.5)的大小．
【解】　如图，∵f(x)是定义在R上以6为周期的函数，
∴f(6.5)＝f(0.5)，又∵y＝f(x)的图象关于直线x＝3对称，∴f(3.5)＝f(2.5)，利用f(x)在[0,3]内单调递增可知，
f(0.5)＜f(1.5)＜f(2.5)，
即f(6.5)＜f(1.5)＜f(3.5)．

一、填空题
1．下列所给的四个图象中，y＝－sin x，x∈[0,2π]的图象是________．
图1－3－2
【解析】　x＝时，y＝－sin ＝－1，排除①②③，利用“五点法”作图验证④正确．
【答案】　④
2．函数f(x)＝－1是________函数．(填“奇”或“偶”)
【解析】　定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称，且f(－x)＝－1＝－1＝f(x)．
【答案】　偶
3．函数y＝3＋3cos(2x＋)的值域是________．
【解析】　－1≤cos(2x＋)≤1，
∴0≤y≤6.
【答案】　[0,6]
4．函数y＝cos(2x－)的单调减区间是________．
【解析】　由2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，
解得kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z，
故单调递减区间是[kπ＋，kπ＋π]，k∈Z.
【答案】　[kπ＋，kπ＋π]，k∈Z
5．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大排列为________．
【解析】　cos 150°＜0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°＞0，cos 760°＝cos 40°＞0且cos 20°＞cos 40°，所以cos 150°＜cos 760°＜sin 470°.
【答案】　cos 150°＜cos 760°＜sin 470°
6．已知函数f(x)＝sin(x－)(x∈R)，下面结论错误的是________．(只填序号)
①函数f(x)的最小正周期为2π；②函数f(x)在区间[0，]上是增函数；③函数f(x)的图象关于直线x＝0对称；④函数f(x)是奇函数．
【解析】　∵y＝sin(x－)＝－cos x，∴T＝2π，即①正确．y＝cos x在[0，]上是减函数，则y＝－cos x在[0，]上是增函数，即②正确．由图象知y＝－cos x的图象关于x＝0对称，即③正确．y＝－cos x为偶函数，即④不正确．
【答案】　④
7．(2013·南京高一检测)函数y＝sin(x＋)在区间[0，]的最小值为________．
【解析】　∵0≤x≤，∴≤x＋≤，
∴≤sin(x＋)≤1.
【答案】　
8．函数f(x)＝lg(cos x－)＋的定义域是________．
【解析】　由题意得解得2kπ≤x＜2kπ＋，
∴定义域为{x|2kπ≤x＜2kπ＋，k∈Z}．
【答案】　{x|2kπ≤x＜2kπ＋，k∈Z}
二、解答题
9．用“五点法”画函数y＝2cos x＋1在[0,2π]上的图象．(要求：列表，描点)
【解】　列表如下：
x
0

π

2π
cos x
1
0
－1
0
1
y
3
1
－1
1
3
描点，连线得：
10．求函数y＝sin(x－)在[－，]上的单调递减区间．
【解】　由＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，
当k＝－1时，－≤x≤－.
又x∈[－，]，
所以单调递减区间为[－，－]．
11．求下列函数的值域：
(1)y＝|sin x|＋sin x；
(2)y＝2sin(2x＋)，x∈[－，]．
【解】　(1)y＝|sin x|＋sin x＝
又∵－1≤sin x≤1，∴y∈[0,2]，即值域为[0,2]．
(2)∵－≤x≤，∴0≤2x＋≤，
∴0≤sin(2x＋)≤1，
从而0≤2sin(2x＋)≤2，
∴0≤y≤2，即值域为[0,2].

一、填空题
1．下列说法正确的有________．(填序号)
①y＝tan x是增函数；
②y＝tan x在第一象限是增函数；
③y＝tan x在每个区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上是增函数；
④y＝tan x在某一区间上是减函数．
【解析】　根据正切函数的单调性，可知③正确．
【答案】　③
2．(2013·南通高一检测)函数y＝lg(3tan x－)的定义域为________．
【解析】　由y＝lg(3tan x－)得3tan x－＞0，即tan x＞，
∴kπ＋＜x＜kπ＋，k∈Z，
∴y＝lg(3tan x－)的定义域为(kπ＋，kπ＋)(k∈Z)．
【答案】　(kπ＋，kπ＋)(k∈Z)
3．函数y＝tan(2x＋)的单调递增区间是________．
【解析】　由kπ－＜2x＋＜kπ＋(k∈Z)，得－＜x＜＋(k∈Z)．
【答案】　(－，＋)(k∈Z)
4．比较大小：tan ________tan .
【解析】　tan ＝tan(π＋)＝tan .
∵y＝tan x在(0，)上是增函数且0＜＜＜.
∴tan ＜tan ，即tan ＜tan .
【答案】　＜
5．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间(，)内的图象是图1－3－3中的________．
图1－3－3
【解析】　函数y＝tan x＋sin x－|tan x－ sin x|＝
【答案】　(4)
6．y＝tan 满足下列哪些条件________．(填序号)
①在(0，)上单调递增；
②为奇函数；
③以π为最小正周期；
④定义域为{x|x≠＋，k∈Z}．
【解析】　令x∈(0，)，则∈(0，)，所以y＝tan 在(0，)上单调递增正确；tan(－)＝－tan ，故y＝tan 为奇函数；T＝＝2π，所以③不正确；由≠＋kπ，k∈Z得，定义域为{x|x≠π＋2kπ，k∈Z}，所以④不正确．
【答案】　①②
7．函数y＝3tan(2x＋)的对称中心是________．
【解析】　2x＋＝，k∈Z，∴x＝－，k∈Z.
【答案】　(－，0)(k∈Z)
8．已知函数y＝tan ωx在(－，)内是减函数，则ω的取值范围是________．
【解析】　y＝tan ωx在(－，)是减函数，∴ω＜0且≥π?－1≤ω＜0.
【答案】　[－1,0)
二、解答题
9．求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝＋lg(1－tan x)．
【解】　(1)由－tan x≥0，
得tan x≤.
在(－，)内满足不等式的范围是(－，]．
又y＝tan x的周期为π，
故原函数的定义域为(kπ－，kπ＋)，k∈Z.
(2)函数y＝＋lg(1－tan x)有意义，等价于所以0≤tan x＜1.由正切曲线可得kπ≤x＜kπ＋，k∈Z.故原函数的定义域为{x|kπ≤x＜kπ＋，k∈Z}．
10. 已知≤x≤，f(x)＝tan2x＋2tan x＋2，求f(x)的最值及相应的x值．
【解】　∵－≤x≤，
∴－≤tan x≤1，
f(x)＝tan2x＋2tan x＋2
＝(tan x＋1)2＋1，
当tan x＝－1，即x＝－时，f(x)有最小值1，当tan x＝1即x＝时，f(x)有最大值5.
11．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝tan x＋；(2)f(x)＝lg|tan x|.
【解】　(1)要使函数有意义，需满足：tan x≠0，且tan x有意义，即x∈(kπ－，kπ)∪(kπ，kπ＋)，k∈Z，可知定义域关于原点对称．
又对于定义域内的任意x，都有
f(－x)＝－tan x－＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
(2)由得
∴函数f(x)的定义域为(－＋kπ，kπ)∪(kπ，＋kπ)，k∈Z，定义域关于原点对称．
又对任意x∈(－＋kπ，kπ)∪(kπ，＋kπ)，k∈Z，
都有f(－x)＝lg|tan(－x)|＝lg|－tan x|
＝lg|tan x|＝f(x)，
∴函数f(x)是偶函数.