3.2二倍角的三角函数
第1课时 二倍角的三角函数
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.了解它们的内在联系,并能运用上述公式进行简单的恒等变换.
2.过程与方法
通过公式的推导过程,使学生认识整个公式体系的形成过程,领会体现出的数学基本思想和方法,从而提高数学素质.
3.情感、态度与价值观
通过公式推导,了解它们的内在联系和知识的发展过程,体会一般与特殊的关系与转化,培养学生辩证唯物主义观点.
●重点难点
重点:二倍角公式的推导及运用.
难点:二倍角公式的灵活运用.
(教师用书独具)
●教学建议
1.关于二倍角公式推导的教学
教学时,建议教师先复习和角公式T(α+β),S(α+β),C(α+β),然后令α=β,利用特殊化的推理方式,让学生自主推导出二倍角公式;在此基础上借助同角三角函数关系,引导学生得出C2α的其他两种形式.通过公式推导,让学生进一步体会公式间的密切联系,提高学生熟练应用公式解题的能力.
2.关于二倍角公式应用的教学
教学时,建议教师处理好以下两点:
(1)强调“倍角”的相对性,打破学生习惯认为只有α与2α才具有二倍角关系.
(2)通过例题教学让学生熟悉公式的正向、逆向和变形运用,特别是余弦公式的变式较多,教学中应适当通过题目强化训练.
●教学流程
??????
课标解读
1.能利用两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.
2.会借助同角三角函数的关系导出C2α的另两种表示形式.(难点)
3.能利用二倍角公式进行简单的化简、求值和证明.(重点)
倍角公式
【问题导思】
1.如何利用两角和的正弦和余弦公式推导出sin 2α,cos 2α?
【提示】 sin 2α=sin(α+α)=sin αcos α+cos αsin α=2sin αcos α,即sin 2α=2sin αcos α.
cos 2α=cos(α+α)=cos2α-sin2α,即cos 2α=cos2α-sin2α.
2.如何利用两角和的正切公式推导出tan 2α?
【提示】 tan 2α=tan(α+α)=,即tan 2α=.
(1)sin 2α=2sin_αcos_α(S2α);
(2)cos 2α=cos2α-sin2α(C2α);
(3)tan 2α=(T2α).
二倍角的余弦公式的变形
【问题导思】
你还能得到二倍角的余弦公式其他变形吗?
【提示】 利用sin2α+cos2α=1,公式C2α可变形为cos 2α=2cos2α-1或cos 2α=1-2sin2α.
cos 2α=2cos2α-1,cos 2α=1-2sin2α.
利用倍角公式求值
求下列各式的值.
(1)cos cos ;
(2)-cos2 ;
(3)tan -;
(4)cos 20°cos 40°cos 80°.
【思路探究】 (1)中两角互余,故可以转化为同角正余弦的积的形式.(2)中的角的倍角为特殊角,故可以用降幂公式解决.(3)式可化为正切倍角公式的形式.(4)中可用公式的变形:cos α=来解决.
【自主解答】 (1)cos cos =cos sin
=sin =.
(2)-cos2 =(1-2cos2)=-cos =-.
(3)tan -==-2·=-2×==-2.
(4)cos 20°cos 40°cos 80°=··=.
1.解答本类题关键是抓住公式及其变形式的特征,观察分析题目中具有的与公式相似的结构特征,从而找到解题的切入点.
2.对于倍角公式应做到灵活运用,即根据所给式子的特点构造出倍角形式,正用、逆用或变形用倍角公式进行化简和求值.
求下列各式的值:
(1);
(2)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.
【解】 (1)=tan 30°=.
(2)∵sin 10°sin 50°sin 70°
=
=
==
==,
∴sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°=.
给值求值
(1)已知sin α+cos α=,0<α<π,求sin 2α的值;
(2)已知cos α=-,α∈(,π),tan(π-β)=,求tan(α-2β)的值.
【思路探究】 (1)将已知等式两边平方,利用同角三角函数的基本关系求解;(2)已知α的余弦值和范围可求出tan α的值,利用诱导公式可求出tan β的值,然后利用倍角公式求出tan 2β的值,结合两角差的正切公式求解.
【自主解答】 (1)sin α+cos α=两边同时平方,得sin2α+2sin αcos α+cos2α=,因为sin2α+cos2=1,所以2sin αcos α=sin 2α=-.
(2)由已知条件得sin α===,tan α==-,
由tan β=-tan(π-β)=-得tan 2β===-,
所以tan(α-2β)=
==.
对于给值求值问题,注意寻找已知式与未知式的联系,有以下两种解题方向:
(1)有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化;
(2)寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.
已知sin(-x)=,0<x<,求的值.
【解】 原式=
==2sin(+x).
∵sin(-x)=cos(+x)=,且0<x<,
∴+x∈(,),
∴sin(+x)==,
∴原式=2×=.
三角函数式的化简
化简:.
【思路探究】 本题主要考查二倍角公式的应用.基本思路是能化简成使该分式的分子与分母有公因式进行约分,解法有两种:一是将sin 4α=2sin 2αcos 2α,cos 4α=2cos22α-1,cos 4α=1-2sin22α代入进行化简;二是将sin 4α=2sin 2αcos 2α,1+cos 4α=2cos22α,1-cos 4α=2sin22α代入进行化简.
【自主解答】 法一 原式
=
=
=tan 2α.
法二 原式=
=
==tan 2α.
1.三角函数的化简有四个方向,即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析,消除差异.
2.对三角函数式化简结果的一般要求:
(1)函数种类最少;
(2)项数最少;
(3)函数次数最低;
(4)能求值的求出值;
(5)尽量使分母不含三角函数;
(6)尽量使分母不含根式.
化简:
(1)-;
(2).
【解】 (1)原式==-=-tan 2θ.
(2)原式=
=
==
==1.
选择公式不恰当致误
已知cos α+sin α=(0<α<π),求cos 2α的值.
【错解】 ∵(cos α+sin α)2=1+2sin αcos α=,
∴sin 2α=-,
∴cos 2α=±=±.
【错因分析】 利用二倍角公式的变形形式cos 2α=±时,忽略了α角的取值范围,导致错解.
【防范措施】 在三角恒等变换中,运用不同的公式有不同的解题过程,若在解题过程中选择恰当的公式,则能使解题过程更严密,不容易出错.
【正解】 ∵(cos α+sin α)2+(sin α-cos α)2=2,
∴(cos α-sin α)2=2-=,
∴cos α-sin α=±.
∵cos α+sin α=,
∴(cos α+sin α)2=,sin αcos α=-.
∵0<α<π且sin αcos α=-<0,
∴sin α>0,cos α<0,
∴cos α-sin α=-.
∴cos 2α=(cos α-sin α)(cos α+sin α)
=-×=-.
对二倍角公式的理解及二倍角公式的应用形式
(1)对于“二倍角”应该有广义上的理解,如:8α是4α的二倍角;6α是3α的二倍角;4α是2α的二倍角;3α是α的二倍角;是的二倍角;是的二倍角;……
又如α=2·,=2·,….
(2)公式正用
从题设条件出发,顺着问题的线索,正用三角公式,通过对信息的感知、加工、转换,运用已知条件和推算手段逐步达到目的.
(3)公式逆用
异向转移,逆用公式,这种在原有基础上的变通是创新意识的体现.应用时要求对公式特点有一个整体感知.
主要形式有2sin αcos α=sin 2α,sin αcos α=sin 2α,cos α=,cos2α-sin2α=cos 2α,=tan 2α.
1.计算1-2sin2 22.5°的结果等于________.
【解析】 1-2sin2 22.5°=cos 45°=.
【答案】
2.(2012·济宁高一检测)已知x∈(-,0),cos x=,则tan 2x=________.
【解析】 ∵x∈(-,0),cos x=,
∴sin x=-,∴tan x=-,
∴tan 2x==-.
【答案】 -
3.计算:(1)2sin 37.5°·cos 37.5°=________;
(2)sin267.5°-cos267.5°=________;
(3)=________.
【解析】 (1)2sin 37.5°cos 37.5°=sin 75°=.
(2)sin267.5°-cos267.5°=-cos 135°=.
(3)=·=tan 15° =.
【答案】 (1) (2) (3)
4.已知sin -2cos =0.
(1)求tan x的值;
(2)求的值.
【解】 (1)由sin -2cos =0?tan =2,
∴tan x===-.
(2)原式=
==
=+1=(-)+1=.
一、填空题
1.cos2-sin2=________.
【解析】 原式=cos(2×)=cos =.
【答案】
2.计算sin 105°cos 75°的值为________.
【解析】 sin 105°cos 75°=sin(180°-75°)cos 75°=sin 75°cos 75°=sin 150°=sin 30°=.
【答案】
3.若sin α=,则cos 2α=________.
【解析】 cos 2α=1-2sin2α=1-2×()2=.
【答案】
4.若tan(α+)=3+2,则=________.
【解析】 由tan(α+)==3+2,得tan α=,
∴==tan α=.
【答案】
5.已知tan 2θ=-2,π<2θ<2π,则tan θ的值为________.
【解析】 由题意得=-2,
解得tan θ=-或tan θ=.
又π<2θ<2π,则<θ<π,
所以有tan θ=-.
【答案】 -
6.已知tan =3,则=________.
【解析】 ∵tan =3,∴原式====tan =3.
【答案】 3
7.θ是第三象限角,sin4θ+cos4θ=,则sin 2θ=________.
【解析】 sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-sin22θ=,
∴sin 22θ=,又θ为第三象限角,
∴sin θ<0,cos θ<0,
∴sin 2θ=2sin θcos θ>0,∴sin 2θ=.
【答案】
8.若sin 2α=,则tan2α+=________.
【解析】 tan2α+=+=
==
==.
【答案】
二、解答题
9.(2013·巢湖市质检)已知cos x=-,x∈(-π,0).
(1)求sin 2x的值;
(2)求tan(2x+)的值.
【解】 (1)∵cos x=-,x∈(-π,0),∴sin x=-,
∴sin 2x=2sin xcos x=.
(2)由(1)得,tan x==,∴tan 2x==,
∴tan(2x+)==-7.
10.已知sin22α+sin 2αcos α-cos 2α=1,α∈(0,),求sin α及tan α的值.
【解】 由题意得sin22α+sin 2αcos α=1+cos 2α=2cos2α,
∴2sin2αcos2α+sin αcos2α-cos2α=0.
∵α∈(0,),
∴cos α≠0,∴2sin2α+sin α-1=0,
即(2sin α-1)(sin α+1)=0.
∵sin α+1≠0,∴2sin α-1=0,∴sin α=.
∵0<α<,∴α=,∴tan α=.
11.已知函数f(x)=2sin(π-x)cos x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间[-,]上的最大值和最小值.
【解】 (1)∵f(x)=2sin(π-x)cos x
=2sin xcos x=sin 2x,
∴函数f(x)的最小正周期为π.
(2)由-≤x≤?-≤2x≤π,
∴-≤sin 2x≤1,
∴f(x)在区间[-,]上的最大值为1,最小值为-.
(教师用书独具)
求证:=tan4A.
【思路探究】 从左边入手,从角的构成看,化4A为2A,再化为A,从函数名称构成看,化弦为切.从左、右两边的结构看,将左边分式化简为右边的整式形式.
【自主解答】 ∵左边==()2=()2=(tan2A)2=tan4A=右边,
∴=tan4A.
证明恒等式问题的两个原则:
(1)观察式子两端的结构形式,一般是从复杂到简单,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.
(2)证明的一般步骤是:先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异,然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、变换式子结构‘变量集中’”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.
求证:=.
【证明】 要证=,
只需证=.
上式:左边=
=
==tan 2θ==右边.
∴原等式成立.
第2课时 二倍角的三角函数的应用
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
(1)能用倍角公式推导出半角公式.
(2)能运用三角函数的公式进行简单的恒等变换.
(3)会用三角函数解决一些简单的实际问题.
2.过程与方法
让学生由倍角公式导出半角公式,领会从一般化归为特殊的数学思想,体会公式所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣;通过例题讲解,总结方法,通过做练习,巩固所学知识.
3.情感、态度与价值观
通过本节的学习,使学生对三角函数各个公式之间有一个全新的认识;理解掌握三角函数各个公式的各种变形,增强学生灵活运用数学知识的能力、逻辑推理能力和综合分析能力,提高逆用思维的能力.
●重点难点
重点:角的和、差、倍公式的综合应用.
难点:运用所学公式解决简单的实际问题.
(教师用书独具)
●教学建议
关于半角公式的教学
教学时,建议教师从让学生回忆二倍角的三个余弦公式出发,提出问题“如何用角θ的三角函数值,表示角的三角函数值”.在此基础上,让学生自主归纳探究,并总结出半角公式,然后结合半角公式的特点,师生共同总结出公式记忆方法,最后通过典型例题及题组训练熟悉并掌握半角公式.整个教学立足于体现一种“以思导学”的知识生成过程.
●教学流程
?????
课标解读
1.能用二倍角公式导出半角公式.
2.能运用所学三角函数的公式进行简单的恒等变换.(重点)
3.会用三角函数解决一些简单的实际问题.(难点)
降幂公式与半角公式
【问题导思】
已知cos α的值,如何求sin 的值?
【提示】 由cos α=1-2sin2得sin2=,
∴sin =± .
(1)降幂公式
①sin2=;
②cos2=;
③tan2==.
(2)半角公式
①sin =± ;
②cos =± ;
③tan =± ==.
三角函数式的化简与证明
化简cos2(θ+15°)+cos2(θ-15°)-cos 2θ.
【思路探究】 此式中出现了θ+15°,θ-15°与2θ,要达到角的统一,需将角θ+15°,θ-15°向角2θ进行转化,因此,可考虑降幂公式.
【自主解答】 cos2(θ+15°)+cos2(θ-15°)-cos 2θ
=+-cos 2θ
=1+[cos(2θ+30°)+cos(2θ-30°)]-cos 2θ
=1+(cos 2θcos 30°-sin 2θsin 30°+cos 2θcos 30°+sin 2θsin 30°)-cos 2θ
=1+×2cos 2θcos 30°-cos 2θ
=1+cos 2θ-cos 2θ=1.
1.应用降幂公式可将“二次式”转化为“一次式”.
2.三角函数式的化简,一般从减少角的种类、减少函数的种类、改变函数运算的结构入手,常采用化弦法、化切法、异角化同角、异次化同次、异名化同名等方法,达到化简的目的.
如将本例改为“sin2(θ+15°)+sin2(θ-15°)+cos 2θ”,如何化简?
【解】 原式=++cos 2θ
=1-[cos(2θ+30°)+cos(2θ-30°)]+cos 2θ
=1-+cos 2θ
=1-cos 2θ+cos 2θ=1.
利用和、差、倍角公式研究函数
的性质
求函数f(x)=5cos2x+sin2x-4sin xcos x,x∈[,]的最小值,并求其单调减区间.
【思路探究】 →→→
【自主解答】 f(x)=5·+·-2sin 2x
=3+2cos 2x-2sin 2x
=3+4(cos 2x-sin 2x)
=3+4(sin cos 2x-cos sin 2x)
=3+4sin(-2x)
=3-4sin(2x-),
∵≤x≤,
∴≤2x-≤.
∴sin(2x-)∈[,].
∴当2x-=,即x=时,
f(x)取最小值为3-2.
∵y=sin(2x-)在[,]上单调递增,
∴f(x)在[,]上单调递减.
1.研究函数性质的一般步骤:
(1)对函数式化简;
(2)借用函数图象,运用数形结合法研究函数的性质.
2.对三角函数式化简的常用方法:
(1)降幂化倍角;
(2)升幂角减半;
(3)利用f(x)=asin x+bcos x=sin(x+φ)(其中tan φ=),化同名函数.
(2013·济宁高一检测)已知函数f(x)=2cos2x+2sin xcos x+3,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)在(0,]上的最小值与最大值.
【解】 (1)f(x)=2cos2x+2sin xcos x+3
=cos 2x+sin 2x+4=2sin(2x+)+4.
所以函数f(x)的最小正周期T==π.
(2)∵0<x≤,∴<2x+≤,
当x=时,2x+=,函数f(x)取得最小值为5.
当x=时,2x+=,函数f(x)取得最大值为6.
三角函数的实际应用
点P在直径AB=1的半圆上移动,过P作圆的切线PT,且PT=1,∠PAB=α,问α为何值时,四边形ABTP的面积最大?
【思路探究】 首先根据题意画出图形,然后根据圆的几何性质和四边形面积的求法,将四边形的面积表示为三角函数的形式,最后利用三角函数的性质解决.
【自主解答】 如图,∵AB为直径,∴∠APB=90°,
PA=cos α,PB=sin α.
又PT切圆于P点,
∴∠TPB=∠PAB=α,
∴S四边形ABTP=S△PAB+S△TPB=PA·PB+PT·PBsin α=sin αcos α+sin2α=sin 2α+
=(sin 2α-cos 2α)+=sin(2α-)+.
∵0<α<,∴-<2α-<.
∴当2α-=,即当α=时,四边形ABTP的面积最大,最大为.
解决实际问题时,应首先设定主变量角α以及相关的常量与变量,建立含有角α的三角函数的关系式,再利用三角变换、三角函数的性质等进行求解.一般地,求最值的问题需利用三角函数的有界性来解决.
某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面,若扇形的半径长为1 m,求割出的长方形桌面的最大面积为________.
【解析】 如图,连结OC,设∠COB=θ,则0°<θ<45°,OC=1,
∵AB=OB-OA=cos θ-AD=cos θ-BC=cos θ-sin θ,
∴S矩形ABCD=AB·BC=(cos θ-sin θ)sin θ
=-sin2θ+sin θcos θ
=-(1-cos 2θ)+sin 2θ
=(sin 2θ+cos 2θ)-
=cos(2θ-)-,
当2θ-=0,
即θ=时,
Smax=(m2),
∴割出的长方形桌面的最大面积为 m2.
【答案】 m2
三角函数式化简时忽视角的范围致误
已知<α<2π,
化简 .
【错解】
==
= =
= =cos .
【错因分析】 上述错解在于运用倍角公式从里到外去根号时,没有顾及角的范围而选择正、负号,只是机械地套用公式.
【防范措施】 应根据三角函数式的值的符号去掉绝对值,因此在去掉三角函数式的绝对值符号时,要注意角的范围问题.
【正解】
=
=
=.
因为<α<2π,
所以<<π,
所以cos <0,
所以原式==
==|sin |.
因为<α<2π,所以<<,
所以sin >0,所以原式=sin .
(1)二倍角余弦公式变形用来升幂降幂,应灵活掌握:sin2α=,cos2α=.
(2)解决有关的化简、求值、证明时注意二倍角公式的综合运用.
(3)对于三角函数在实际问题中的应用,其求解策略为引入恰当的辅助角,建立有关辅助角的三角函数表达式,并利用和、差、倍角公式进行化简整理.由于引入辅助角的恰当与否直接影响该题的计算量,故求解时多注意分析题设,恰当引入.
1.若cos α=,且α∈(0,π),则sin 的值为________.
【解析】 ∵α∈(0,π),∴∈(0,),
∴sin ===.
【答案】
2.已知cos α=-,且π<α<,则cos =________.
【解析】 ∵π<α<π,∴<<π,
∴cos =-=-=-.
【答案】 -
3.已知tan =3,则cos α=________.
【解析】 由tan = =3可得:
=9,则cos α=-.
【答案】 -
4.化简:(0<θ<π).
【解】 原式
=
==.
∵0<θ<π,∴0<<.
∴cos >0.
∴原式=-cos θ.
一、填空题
1.sin=________.
【解析】 sin= = =.
【答案】
2.+cos2 15°=________.
【解析】 原式=-+×
=-++cos 30°=.
【答案】
3.5π<θ<6π,cos=a,则sin=________.
【解析】 ∵5π<θ<6π,∴<<,∴sin<0.
sin =- =- .
【答案】 -
4.函数f(x)=2cos x(sin x+cos x)的最小正周期为________.
【解析】 f(x)=2cos x(sin x+cos x)=2cos xsin x+2cos2x=sin 2x+cos 2x+1=sin(2x+)+1.
故最小正周期为T==π.
【答案】 π
5.+2的化简结果是________.
【解析】 原式=2|cos 4|+2|sin 4-cos 4|.
∵π<4,∴cos 4<0,sin 4<cos 4.
∴原式=-2cos 4+2cos 4-2sin 4=-2sin 4.
【答案】 -2sin 4
6.在△ABC中,角A、B、C满足4sin2-cos 2B=,则角B的度数为________.
【解析】 在△ABC中,A+B+C=180°,由4sin2-cos 2B=,得4·-2cos2B+1=,
∴4cos2B-4cos B+1=0.∴cos B=,B=60°.
【答案】 60°
7.(2013·四川高考)设sin 2α=-sin α,α∈(,π),则tan 2α的值是________.
【解析】 ∵sin 2α=-sin α,∴2sin αcos α=-sin α.
∵α∈(,π),sin α≠0,
∴cos α=-.
又∵α∈(,π),∴α=π,
∴tan 2α=tan π=tan(π+)=tan =.
【答案】
8.设f(x)=+sin x+a2sin(x+)的最大值为+3,则常数a=________.
【解析】 f(x)=+sin x+a2sin(x+)
=cos x+sin x+a2sin(x+)
=sin(x+)+a2sin(x+)
=(+a2)sin(x+).
依题意有+a2=+3,∴a=±.
【答案】 ±
二、解答题
9.设π<θ<2π,cos =a,求
(1)sin θ的值;(2)cos θ的值;(3)sin2的值.
【解】 (1)∵π<θ<2π,∴<<π,
又cos =a,
∴sin ==,
∴sin θ=2sin cos =2a.
(2)cos θ=2cos2-1=2a2-1.
(3)sin2==.
10.若π<α<,化简+.
【解】 ∵π<α<,∴<<,
∴cos <0,sin >0.
∴原式=+
=+
=-+=-cos .
11.(2013·山东高考)设函数f(x)=-sin2ωx-sin ωxcos ωx(ω>0),且y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.
(1)求ω的值;
(2)求f(x)在区间[π,]上的最大值和最小值.
【解】 (1)f(x)=-sin2ωx-sin ωxcos ωx
=-·-sin 2ωx
=cos 2ωx-sin 2ωx
=-sin(2ωx-).
因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为,
又ω>0,所以=4×.
因此ω=1.
(2)由(1)知f(x)=-sin(2x-).
当π≤x≤时,≤2x-≤.
所以-≤sin(2x-)≤1.
因此-1≤f(x)≤.
故f(x)在区间[π,]上的最大值和最小值分别为,-1.
(教师用书独具)
已知sin θ+cos θ=2sin α,sin2β=sin θcos θ,求证:2cos 2α=cos 2β.
【思路探究】 观察问题的条件和结论,发现被证的等式中不含角θ,因此从已知条件中消去角θ,问题即得证.
【自主解答】 由题意,得
①2-②×2,得4sin2α-2sin2β=1.
变形为1-2sin2β=2-4sin2α,则有cos 2β=2cos 2α.
对于给定条件的三角恒等式的证明,常用的方法有直推法和代入法.将条件角转化为结论角后,由条件等式直接推到结论等式,就是直推法;有时从条件等式中解出关于某个角的某个三角函数值,代入结论等式便消去某个角,从而将问题转化为三角恒等式的证明问题,这就是代入法的基本思想方法.
已知cos θ=,求证:tan2=tan2tan2.
【证明】 ∵==tan2,同理有=tan2,
=tan2,
∴tan2==
=
=
=tan2tan2.
3.1两角和与差的三角函数
3.1.1 两角和与差的余弦
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
掌握用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作用.
2.过程与方法
通过公式的推导,领会其中的数学基本思想,掌握研究数学的基本方法,从而提高数学素质.
3.情感、态度与价值观
通过公式的推导,了解它们的内在联系和知识的发展过程,体会一般与特殊的关系与转化,培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力.
●重点难点
重点:灵活运用两角和与差的余弦公式.
难点:用向量推导两角差的余弦公式.
(教师用书独具)
●教学建议
1.关于探求公式C(α-β)的结果的教学
教学时,建议教师先让学生自己动手验证,从而明确cos(α-β)=cos α-cos β为什么错误,引导学生体会从特殊到一般的思考问题的方法,并应用这种方法通过特殊情境0<α<β<探求出cos(α-β)的结果.
2.关于公式C(α-β)证明的教学
教学时,建议教师:
(1)在回顾求角的余弦有哪些方法时,联系向量知识,体会向量方法的作用.
(2)结合有关图形,完成运用向量方法推导公式的必要准备.
(3)探索过程不应追求一步到位,应先不去理会其中的细节,抓住主要问题及其讨论线索进行探寻,然后再作反思,予以完善(这也是处理一般探索性问题应遵循的原则),其中完善的过程既要运用分类讨论的思想,又要运用诱导公式.
●教学流程
????通过例3及其互动探究,使学生掌握利用两角和与差的余弦公式求解给值求角问题的解题步骤及注意事项.??
课标解读
1.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作用.(难点)
2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式.
3.能用两角和与差的余弦公式化简、求值.(重点)
两角和与差的余弦公式
【问题导思】
1.单位圆中(如图),∠AOx=α,∠BOx=β,那么A,B的坐标是什么?与的夹角是多少?
【提示】 A(cos α,sin α),B(cos β,sin β).
与的夹角是α-β.
2.你能用哪几种方法计算·的数量积?
【提示】 ①·=||||cos(α-β)=cos(α-β),②·=cos αcos β+sin αsin β.
3.根据上面的计算可以得出什么结论?
【提示】 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.
4.把公式cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β中的β用-β代替,结果如何?
【提示】 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.
cos(α+β)=cos__αcos_β-sin_αsin_β;
cos(α-β)=cos_αcos_β+sin_αsin_β.
这两个公式分别记作C(α+β),C(α-β).
运用公式求值
求下列各式的值:
(1)cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α);
(2).
【思路探究】 (1)将α-35°,25°+α分别视为一个角,逆用公式可得解.
(2)由7°=15°-8°,可用两角差的余弦公式解决.
【自主解答】 (1)原式=cos[(α-35°)-(25°+α)]=cos(-60°)=cos 60°=.
(2)原式=
=
==cos 15°=cos(45°-30°)
=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°
=×+×=.
1.两角和与差的余弦公式中,α,β可以是单个角,也可以是两个角的和或差,在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体.
2.在两角和与差的余弦公式求值应用中,一般思路是:
(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差,正用公式直接求值.
(2)在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角和差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值.
求下列各式的值:
(1)cos 75°;(2)cos 75°cos 15°-sin 255°sin 15°.
【解】 (1)cos 75°=cos(45°+30°)=cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°
=×-×=.
(2)cos 75°cos 15°-sin 255°sin 15°
=cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15°
=cos(75°-15°)=cos 60°=.
给值求值
设cos(α-)=-,sin(-β)=,且<α<π,0<β<,求cos 的值.
【思路探究】 由已知可求得α-,-β的正弦、余弦.只须将用已知条件中的角α-,-β表示出来,注意α-和-β的范围.用两角和与差的三角函数公式展开即得结论.
【自主解答】 ∵<α<π,0<β<,
∴<α-<π,-<-β<.
又cos(α-)=-,sin(-β)=.
∴sin(α-)==,
cos(-β)==.
∴cos =cos[(α-)-(-β)]
=cos(α-)cos(-β)+sin(α-)sin(-β)
=-×+×=.
1.利用和(差)角的余弦公式求值时,不能机械地从表面去套公式,而要变通地从本质上使用公式,即把所求的角分解成某两个角的和(差),并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的,再代入公式即可求解.
2.在将所求角分解成某两角的和(差)时,应注意如下变换:
α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α=(2α-β)-(α-β),2α=[(α+β)+(α-β)],2α=[(β+α)-(β-α)]等.
α,β为锐角,cos(α+β)=,cos(2α+β)=,求cos α的值.
【解】 ∵α,β为锐角,∴0<α+β<π.
又∵cos(α+β)=,∴0<α+β<,
∴0<2α+β<π.
又∵cos(2α+β)=,∴0<2α+β<,
∴sin(α+β)=,sin(2α+β)=,
∴cos α=cos[(2α+β)-(α+β)]
=cos(2α+β)·cos(α+β)+sin(2α+β)·sin(α+β)
=×+×=.
给值求角
已知α,β均为锐角,cos α=,sin(α+β)=,求角β的值.
【思路探究】 解决本题的关键是根据已知条件,分别求出α的正弦值与α+β的余弦值.再由β=(α+β)-α求出cos α,从而可以根据β的范围求出β的值.
【自主解答】 ∵0<α<,cos α=.
∴sin α==.
又∵0<β<,∴0<α+β<π.
∵sin(α+β)=<sin α,∴<α+β<π,
∴cos(α+β)=-=-.
∴cos β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
=(-)×+×=.
又∵0<β<,
∴β=.
解答给值求角问题的步骤:
(1)求角的某一个三角函数值;
(2)确定角所在的范围;
(3)根据角的范围写出所求的角.
特别注意:根据题意选择求角的正弦值、余弦值还是正切值,同时要注意缩小所求角的范围,最好把角的范围缩小在某一三角函数的单调区间内.
将本题条件改为cos α=,cos(α-β)=,且0<β<α<,如何求β的值?
【解】 由cos α=,0<α<,得
sin α===.
由0<β<α<,得0<α-β<.
又∵cos(α-β)=,
∴sin(α-β)===.
由β=α-(α-β)得
cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×+×=.
∵0<β<,∴β=.
忽略角的范围限制的隐含条件致误
已知α,β均为锐角,且sin α=,cos β=,求α-β的值.
【错解】 ∵cos β=,sin α=,α,β为锐角,
∴sin β=,cos α=.
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=,
又∵α,β∈(0,),
∴-<α-β<,
∴α-β=或α-β=-.
【错因分析】 错解的原因在于忽视了利用三角函数值的大小判断α与β的大小关系.
【防范措施】 已知三角函数值求角的大小时,一定要注意判断角的范围,有时需利用三角函数值对角的范围进行精确化,以免产生增解.
【正解】 ∵cos β=,sin α=,α,β为锐角,
∴sin β=,cos α=.
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β
=×+×=.
又∵sin α<sin β,∴α<β.
∴-<α-β<0.
∴α-β=-.
对公式C(α-β)的理解:
(1)公式中的α,β为任意角
公式中的α,β不仅可以是任意具体的角,也可以是一个“团体”,比如cos(-)中的“”相当于角α,“”相当于角β,可用两角差的余弦公式展开.因此对公式的理解要注重结构形式,而不要局限于具体的角.
(2)公式C(α-β)的结构特点
①同名函数相乘:即两角余弦乘余弦,正弦乘正弦.
②把所得的积相加.
1.下列等式中,正确的个数为________.
①cos(α-β)=cos α-cos β;②cos(+α)=-sin α;
③cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β;④cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.
【解析】 由两角和与差的余弦公式可知②④正确.
【答案】 2
2.cos 105°=________.
【解析】 cos 105°=cos(45°+60°)=cos 45°cos 60°-sin 45°sin 60°=.
【答案】
3.计算:cos 75°cos 15°-sin 75°sin 195°=________.
【解析】 原式=cos 75°cos 15°-sin 75°sin(180°+15°)=cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15°=cos(75°-15°)=
cos 60°=.
【答案】
4.已知cos α=-,α∈(π,π),tan β=-,β∈(,π),求cos(α+β).
【解】 ∵α∈(π,π),cos α=-,∴sin α=-.
∵tan β=-,β∈(,π),
∴cos β=-,sin β=.
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
=(-)×(-)-(-)×=.
一、填空题
1.cos 45°cos 15°+sin 15°sin 45°的值为________.
【解析】 cos 45°cos 15°+sin 15°sin 45°=cos(45°-15°)=cos 30°=.
【答案】
2.若α∈(0,π),且cos(α+)=,则cos α等于________.
【解析】 ∵α∈(0,π)且cos(α+)=,
∴sin(α+)=.
cos α=cos[(α+)-]
=×+×=.
【答案】
3.已知:cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=-,且180°<α<270°,则tan α等于________
【解析】 由已知得cos[(α+β)-β]=-,即cos α=-.又180°<α<270°,所以sin α=-,所以tan α==.
【答案】
4.已知sin α=,α是锐角,则cos(α-)=________.
【解析】 cos(α-)=cos α·+sin α·=·+·=.
【答案】
5.若sin α-sin β=1-,cos α-cos β=,则cos(α-β)的值为________.
【解析】 ∵(sin α-sin β)2+(cos α-cos β)2=2-2cos(α-β)=(1-)2+()2,∴cos(α-β)=.
【答案】
6.化简:=________.
【解析】 =
==.
【答案】
7.(2013·成都高一检测)若cos θ=-,θ∈(π,),则cos(θ+)=________.
【解析】 ∵cos θ=-,θ∈(π,),
∴sin θ=-,
∴cos(θ+)=cos θcos -sin θsin =-×-(-)×=-.
【答案】 -
8.已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),α,β∈(0,π)且a⊥b,则α-β的值为________.
【解析】 ∵a⊥b,∴a·b=0,
即cos αcos β+sin αsin β=0,从而cos(α-β)=0.
∵α,β∈(0,π),∴-π<α-β<π,∴α-β=或-.
【答案】 ±
二、解答题
9.设α∈(,π),若sin α=,求cos(α+π)的值.
【解】 ∵α∈(,π),sin α=,∴cos α=-,
∴cos(α+π)=(cos αcos π-sin αsin π)=(-cos αcos -sin αsin )=-cos α-sin α=-=.
10.已知α,β为锐角,且cos α=,cos β=,求α+β的值.
【解】 ∵α,β为锐角,∴sin α=,sin β=,
∴cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β=·-·=-=-.
又0<α+β<π,∴α+β=.
11.已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),|a-b|=.
(1)求cos(α-β);
(2)若0<α<,-<β<0,且sin β=-,求sin α.
【解】 (1)∵a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),
∴a-b=(cos α-cos β,sin α-sin β).
∵|a-b|=,
∴=,
即2-2cos(α-β)=,∴cos(α-β)=.
(2)∵0<α<,-<β<0,∴0<α-β<π.
∵cos(α-β)=,∴sin(α-β)=.
∵sin β=-,∴cos β=.
∴cos α=cos[(α-β)+β]
=cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β
=×-×(-)=.
又0<α<,∴sin α==.
(教师用书独具)
在△ABC中,若tan A(sin C-sin B)=cos B-cos C,试判断△ABC的形状.
【思路探究】 将切化成弦,变形后应用差角公式就可得到角A,B,C之间的关系.
【自主解答】 ∵tan A(sin C-sin B)=cos B-cos C,
∴=,
∴sin Asin C-sin Asin B=cos Acos B-cos Acos C,
即cos Acos C+sin Asin C=cos Acos B+sin Asin B,
∴cos(A-C)=cos(A-B).
∵0°<A,B,C<180°,
∴-180°<A-C<180°,-180°<A-B<180°,
∴A-C=A-B或A-C=-(A-B),
即B=C或2A=B+C.
若B=C,则△ABC为等腰三角形;若2A=B+C,则2A=180°-A,A=60°.
综上所述,△ABC为等腰三角形或A=60°的三角形.
1.利用和、差角公式判断三角形的形状时,应考虑借助同名三角函数之间的关系判断三角形内角和的关系或者求出内角大小,进而判断三角形形状,注意三角形内角和A+B+C=180°这一隐含条件的运用.
2.记住常用结论:
sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,sin =cos ,cos =sin ,tan(A+B)=-tan C.
在△ABC中,已知tan Atan B<1,判断△ABC的形状.
【解】 ∵tan Atan B<1,∴<1,-1<0,<0,<0,
<0,∴cos A<0或cos B<0或cos C<0,
∴A、B、C中有一个钝角,∴△ABC为钝角三角形.
3.1.2 两角和与差的正弦
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
(1)能够利用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式.
(2)能够利用两角和与差的正弦公式进行化简、求值、证明.
(3)创设问题情景,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识.
2.过程与方法
通过诱导公式导出两角和与差的正弦公式,认识整个公式体系的推理和形成过程,领会其中体现出来的数学基本思想,掌握研究数学的基本方法,从而提高基本的数学素养.
3.情感、态度与价值观
通过本节的学习,使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识;理解掌握两角和与差的三角的各种变形,提高逆向思维的能力,培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力.
●重点难点
重点:两角和与差的正弦公式的推导及利用公式化简求值.
难点:灵活运用公式进行化简求值.
(教师用书独具)
●教学建议
1.关于由C(α±β)推导S(α±β)的教学
建议教师先引导学生回忆正弦、余弦函数之间相互转化的方法即诱导公式,再让学生思考具体的操作方法,特别注意用哪个公式、公式的结构特征如何,比如:
sin(α+β)=cos[-(α+β)]=cos[(-α)-β],
sin(α-β)=cos[-(α-β)]
=cos[(-α)+β]=cos[(+β)-α],
sin(α+β)=-cos[+(α+β)]=-cos[(+α)+β]等,方法很多,可借此培养学生的发散思维能力.
2.关于f(x)=asin x+bcos x的教学
建议教师一方面讲清变形原理——逆用两角和与差的正弦、余弦公式,说明提取的原因,另一方面讲清如何恰当选择公式以便于研究函数的性质.
●教学流程
创设问题情境,提出问题:如何利用诱导公式及两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式???????
课标解读
1.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式.(难点)
2.能利用公式解决简单的化简求值问题.(重点)
两角和与差的正弦公式
【问题导思】
1.如何利用两角和(差)的余弦公式推导出两角和的正弦公式?
【提示】 sin(α+β)=cos[-(α+β)]=cos[(-α) -β]=cos(-α)cos β+sin(-α)sin β=sin αcos β+cos αsin β.
即sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.
2.把公式sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β中的β用-β代替,结果如何?
【提示】 sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
(1)两角和的正弦公式:
sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β(α,β∈R).
(2)两角差的正弦公式:
sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β(α,β∈R).
给角求值
(1)求sin 157°cos 67°+cos 23°sin 67°的值;
(2)求sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-cos(θ+15°)的值.
【思路探究】 (1)的形式与公式有差异,应先由诱导公式化角,再逆用公式求值.
(2)所给角有差异,应先拆角,将角统一再用公式,θ+75°=(θ+15°)+60°,θ+45°=(θ+15°)+30°.
【自主解答】 (1)原式=sin(180°-23°)cos 67°+cos 23°sin 67°=sin 23°cos 67°+cos 23°sin 67°
=sin(23°+67°)=sin 90°=1.
(2)sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-cos(θ+15°)
=sin(θ+15°+60°)+cos(θ+15°+30°)-cos(θ+15°)
=sin(θ+15°)cos 60°+cos(θ+15°)sin 60°+cos(θ+15°)cos 30°-sin(θ+15°)sin 30°-cos(θ+15°)=sin(θ+15°)+cos(θ+15°)+cos(θ+15°)-sin(θ+15°)-cos(θ+15°)=0.
1.对于非特殊角的三角函数式,要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值,一般有以下三种途径
(1)化为特殊角的三角函数值;
(2)化为正负相消的项,消去,求值;
(3)化为分子、分母形式,进行约分再求值.
2.在进行求值过程的变换中,一定要本着先整体后局部的基本原则,先整体分析三角函数式的特点,如果整体符合三角公式,则整体变形,否则进行各局部的变换.
求下列各式的值:
(1)sin 165°;(2)sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°.
【解】 (1)法一 sin 165°=sin(90°+75°)=cos 75°=cos(45°+30°)
=cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°=.
法二 sin 165°=sin(180°-15°)=sin 15°
=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°=.
(2)法一 sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°=sin 14°cos 16°+cos 14°sin 16°=sin(14°+16°)
=sin 30°=.
法二 sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°=cos 76°cos 16°+sin 76°sin 16°
=cos(76°-16°)=cos 60°=.
给值求值
已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求sin 2α的值.
【思路探究】 观察出角的关系,即2α=(α-β)+(α+β),然后求出sin(α-β)和cos(α+β)的值,利用两角和的正弦公式求解结果.
【自主解答】 因为<β<α<,
所以0<α-β<,π<α+β<π.
又cos(α-β)=,sin(α+β)=-,
所以sin(α-β)=
= =,
cos(α+β)=-
=- =-.
所以sin 2α=sin[(α-β)+(α+β)]
=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)
=×(-)+×(-)=-.
解答此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来,一般注意以下几方面:
(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两“已知角”的和与差的形式.
(2)当“已知角”有一个时,应注意“所求角”与“已知角”的和与差的形式,“所求角”再用诱导公式变成“已知角”.
(3)角的拆分方法不惟一,应根据题目合理拆分.
(4)用同角三角函数的基本关系式求值时,一定要注意角的范围.
(2013·北京高一检测)已知cos α=,cos(α-β)=,且0<β<α<,则sin β=________.
【解析】 ∵0<β<α<,
∴0<α-β<,sin α==.
∴sin(α-β)==.
∴sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=.
【答案】
给值求角
已知0<α<,-<β<0,sin α=,cos β=,求α+β的值.
【思路探究】 解决本题的关键是根据已知条件,分别求出角α的余弦值与β的正弦值,再由和角的正弦公式求出sin(α+β),从而可根据α+β的范围求出α+β的值.
【自主解答】 ∵0<α<,sin α=,
∴cos α==.
又∵-<β<0,cos β=,
∴sin β=-=-,
∴sin(α+β)=×+×(-)=.
又∵0<α<,-<β<0,
∴-<α+β<.
∴α+β=.
已知三角函数值求角的步骤:
(1)界定角的范围,根据条件确定所求角的范围.
(2)求所求角的某种三角函数值,为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
已知cos(α-β)=-,cos(α+β)=,且α-β∈(,π),α+β∈(,2π),求角β的值.
【解】 由α-β∈(,π),且cos(α-β)=-,
得sin(α-β)=.
由α+β∈(,2π),且cos(α+β)=,
得sin(α+β)=-,
sin 2β=sin[(α+β)-(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)-cos(α+β)sin(α-β)
=(-)×(-)-×=0.
又∵α-β∈(,π),α+β∈(,2π),
∴2β∈(,π),
∴2β=π,则β=.
忽略限制角范围的条件致误
已知sin α=,sin β=,0<α<,0<β<,求α+β的值.
【错解】 ∵sin α=,sin β=,0<α<,0<β<,
∴cos α=,cos β=,
∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×+×=.
∵0<α<,0<β<,
∴0<α+β<π.∴α+β=或.
【错因分析】 错解原因在于没有利用三角函数值缩小角的范围,从而导致出现两个解的错误.
【防范措施】 对于已知三角函数值求角的大小问题,注意以下两个步骤缺一不可.
(1)根据题设条件求角的某一三角函数值;
(2)讨论角的范围,必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围,从而确定角的大小.
【正解】 ∵sin α=,sin β=,0<α<,0<β<,∴cos α=,cos β=.
又sin α=<,sin β=<,
∴0<α<,0<β<,0<α+β<.
∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
=×-×=.
∴α+β=.
1.公式记忆
(1)理顺公式间的逻辑关系
C(α+β)C(α-β)S(α+β)S(α-β).
(2)注意公式的结构特征和符号规律
对于公式C(α-β),C(α+β)可记为“同名相乘,符号反”;
对于公式S(α-β),S(α+β)可记为“异名相乘,符号同”.
2.应用公式需注意的两点
(1)要注意公式的正用、逆用,尤其是公式的逆用,要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同,并积极创造条件逆用公式.
(2)注意拆角、拼角的技巧,将未知角用已知角表示出来,使之能直接运用公式.
1.sin 75°=________.
【解析】 sin 75°=sin(30°+45°)
=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°
=×+×=.
【答案】
2.计算sin 43°cos 13°-cos 43°sin 13°的结果等于________.
【解析】 sin 43°cos 13°-cos 43°sin 13°=sin(43°-13°)=sin 30°=.
【答案】
3.若cos α=-,α是第三象限角,则sin(α+)=_______________________________.
【解析】 ∵cos α=-,α是第三象限角,
∴sin α=-,
∴sin(α+)=sin α+cos α,
=×(-)+×(-)=-.
【答案】 -
4.已知α∈(0,),β∈(-,0),且cos(α-β)=,sin β=-,求α.
【解】 ∵α∈(0,),β∈(-,0),
∴α∈(0,),-β∈(0,),
从而α-β∈(0,π).
∵cos(α-β)=,
∴sin(α-β)=.
∵β∈(-,0),sin β=-,
∴cos β=,
∴sin α=sin[(α-β)+β]
=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β
=×+×(-)=,
∵α∈(0,),
∴α=.
一、填空题
1.化简:sin 21°cos 81°-cos 21°sin 81°=________.
【解析】 sin 21°cos 81°-cos 21°sin 81°=sin(21°-81°)=-sin 60°=-.
【答案】 -
2.的值为________.
【解析】 原式
=
==2sin 30°=1.
【答案】 1
3.已知<β<,sin β=,则sin(β+)=________.
【解析】 ∵<β<,∴cos β===,
∴sin(β+)=sin β+cos β=×+×=.
【答案】
4.cos(-α)sin α+cos(+α)cos α=________.
【解析】 由于cos(+α)=sin(-α),
所以原式=sin(-α)cos α+cos(-α)sin α
=sin(-α+α)=sin =.
【答案】
5.在△ABC中,2cos Bsin A=sin C,则△ABC的形状一定是________.
【解析】 在△ABC中,C=π-(A+B),
∴2cos Bsin A=sin[π-(A+B)]
=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B.
∴-sin Acos B+cos Asin B=0.
即sin(B-A)=0.∴A=B.
【答案】 等腰三角形
6.若8sin α+5cos β=6,8cos α+5sin β=10,则sin(α+β)=________.
【解析】 由8sin α+5cos β=6,两边平方,
得64sin2α+80sin αcos β+25cos2β=36.①
由8cos α+5sin β=10,两边平方,
得64cos2α+80 cos α sin β+25sin2β=100.②
①+②,得64+25+80(sin αcos β+cos αsin β)=136.
∴sin(α+β)=.
【答案】
7.已知sin α=,sin(α-β)=-,α,β均为锐角,则β等于________.
【解析】 由条件知cos α=,cos(α-β)=(因为-<α-β<0),所以sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×(-)=,又β为锐角,所以β=.
【答案】
8.求值:=________.
【解析】
=
===-2.
【答案】 -2
二、解答题
9.设α∈(,π),β∈(,2π),若cos α=-,sin β=-,求sin(α+β)的值.
【解】 ∵α∈(,π),cos α=-,∴sin α=,
∵β∈(,2π),sin β=-,∴cos β=.
∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
=×+(-)×(-)=.
10.已知:<α<,且cos(α-)=,求cos α,sin α的值.
【解】 因为<α<,
所以0<α-<.
因为cos(α-)=,
所以sin(α-)==.
所以sin α=sin[(α-)+]
=sin(α-)cos +cos(α-)sin =,
cos α=cos[(α-)+]
=cos(α-)cos -sin(α-)sin =.
11.求证:-2cos(α+β)=.
【证明】 ∵左边=
=
=
===右边.
∴原等式得证.
(教师用书独具)
若函数f(x)=(1+tan x)cos x,0≤x<.
(1)把f(x)化成Asin(ωx+φ) 或Acos(ωx+φ)的形式;
(2)判断f(x)在[0,)上的单调性,并求f(x)的最大值.
【思路探究】 先用同角三角函数基本关系化简f(x),再把解析式f(x)用构造辅助角法化成Asin(ωx+φ)的形式,最后求单调性与最值.
【自主解答】 (1)f(x)=(1+tan x)·cos x
=cos x+··cos x=cos x+sin x
=2(cos x+sin x)
=2(sin cos x+cos sin x)
=2sin(x+)(0≤x<).
(2)∵0≤x<,∴f(x)在[0,]上是单调增函数,在(,)上是单调减函数.
∴当x=时,f(x)有最大值为2.
求函数y=sin(x+)+2sin(x-)的单调增区间.
【解】 y=sin xcos+cos xsin+2(sin xcos-cos xsin)
=sin x-cos x=(sin x-cos x)
=sin(x-).
由-+2kπ≤x-≤+2kπ,得-+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z).
所以函数y的单调增区间为[-+2kπ,+2kπ](k∈Z).
3.1.3 两角和与差的正切
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
(1)能够利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角与差的正切公式;
(2)能够运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明;
(3)揭示知识背景,引发学生学习兴趣;
(4)创设问题情景,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识.
2.过程与方法
借助两角和与差的正、余弦公式推导出两角的和与差的正切公式,让学生进一步体会各个公式之间的联系及结构特点;讲解例题,总结方法,巩固练习.
3.情感、态度与价值观
通过本节的学习,使学生对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识;理解掌握两角和与差的三角的各种变形,提高逆用思维的能力.
●重点难点
重点:两角和与差的正切公式的推导及应用.
难点:熟练地正用、逆用、变形应用两角和与差的正切公式.
(教师用书独具)
●教学建议
1.关于公式T(α±β)推导的教学
教学时,建议教师从回顾复习S(α±β),C(α±β)和同角三角函数关系式入手,结合S(α±β),C(α±β)的表达形式,提出问题:能否利用单角α,β的正切值表示复角α±β的正切值?在此基础上采用学生自主探究、互相讨论等方式推导出公式,通过推导公式的过程,让学生明确公式成立的条件和结构特点.
2.关于公式T(α±β)应用的教学
教学时,建议教师从公式T(α±β)的正用及其变形应用两个角度出发,通过例题及练习让学生熟练掌握与两角和与差的正切三角函数式相关的化简、求值和证明问题,切实树立解题中“tan α±tan β”与“tan αtan β”的整体意识,提高解题速度.
●教学流程
创设问题情境,结合S?α±β?,C?α±β?的表达形式,提出问题:能否利用单角α,β的正切值表示出角α±β的正切值???????
课标解读
1.能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两角和与差的正切公式.
2.掌握两角和与差的正切公式的变形使用,能利用公式进行简单的求值、化简等.(重点、难点)
两角和与差的正切公式
【问题导思】
已知tan α,tan β的值,能否利用公式S(α±β)和C(α±β)推导出tan(α±β)?
【提示】 tan(α+β)=
=
==,
tan(α-β)==.
T(α-β):tan(α-β)=.
T(α+β):tan(α+β)=.
化简求值
求下列各式的值:
(1)tan 15°;(2);(3)tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°.
【思路探究】 解决本题的关键是把非特殊角转化为特殊角(如(1))及公式的逆用(如(2))与活用(如(3)),通过适当的变形变为可以使用公式的形式,从而达到化简或求值的目的.
【自主解答】 (1)tan 15°=tan(45°-30°)==
==
=2-.
(2)==
=tan(30°-75°)=tan(-45°)=-tan 45°=-1.
(3)∵tan(23°+37°)=tan 60°==,
∴tan 23°+tan 37°=(1-tan 23°tan 37°),
∴原式=(1-tan 23°tan 37°)+tan 23°tan 37°=.
1.公式T(α+β),T(α-β)是变形较多的两个公式,公式中有tan α·tan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan(α+β)(或tan(α-β)).三者知二可表示或求出第三个.
2.一方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值代换.
求下列各式的值:
(1);
(2);
(3)tan 15°+tan 30°+tan 15°tan 30°.
【解】 (1)=
=tan(45°+75°)=tan 120°=-.
(2)=
=
=tan(45°-15°)=tan 30°=.
(3)∵公式tan(α+β)=可变形为tan α+tan β=tan(α+β)·(1-tan αtan β),
∴tan 15°+tan 30°+tan 15°tan 30°
=tan 45°(1-tan 15°tan 30°)+tan 15°tan 30°
=1-tan 15°tan 30°+tan 15°tan 30°=1.
条件求值(角)问题
图3-1-1
(2013·鹤壁高一检测)如图3-1-1,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为,.
(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.
【思路探究】 解决本题可先由任意角的三角函数定义求出cos α,cos β,再求sin α,sin β,从而求出tan α,tan β,然后利用T(α+β)求tan(α+β),最后利用α+2β=(α+β)+β,求tan(α+2β)进而得到α+2β的值.
【自主解答】 由条件得
cos α=,cos β=,
∵α,β为锐角.∴sin α=,sin β=.
∴tan α=7,tan β=.
(1)tan(α+β)===-3.
(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]
===-1,
∵α,β为锐角,∴0<α+2β<,
∴α+2β=.
1.通过先求角的某个三角函数值来求角.
2.选取函数时,应遵照以下原则
(1)已知正切函数值,选正切函数;
(2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是(0,),选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为(-,),选正弦较好.
3.给值求角的一般步骤:
(1)求角的某一三角函数值;
(2)确定角的范围;
(3)根据角的范围写出所求的角.
已知α,β均为锐角,且tan α=,tan β=,求α+2β的值.
【解】 tan(α+β)===,
tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]===1,∵α,β均为锐角,∴0<α+β<π.
又∵tan(α+β)=>0,∴0<α+β<,
又∵β为锐角,∴0<α+2β<π,∴α+2β=.
综合应用
已知△ABC中,tan B+tan C+tan Btan C=,且tan A+tan B+1=tan Atan B,判断△ABC的形状.
【思路探究】 →→
→.
【自主解答】 由tan A=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)===-.
而0<∠A<π,∴∠A=π.
由tan C=tan[π-(A+B)]=
==,
而0<∠A<π,∴∠C=,∴∠B=.
∴△ABC是顶角为π的等腰三角形.
利用和差角公式判断三角形形状时,应考虑借助同名三角函数之间关系判断三角形内角的关系或者求出内角大小,进而判断三角形形状,注意对三角形内角和A+B+C=π这一隐含条件的运用.
在非直角三角形ABC中,求证:tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.
【解】 在非直角三角形ABC中,有A+B+C=π,即A+B=π-C,且A,B,A+B都不等于.
∴有tan(A+B)=tan(π-C),∴=-tan C,
∴tan A+tan B=-tan C(1-tan Atan B)=-tan C+tan Atan Btan C.
∴tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.
忽视题目中的隐含条件致误
已知sin α-sin β=-①,cos α-cos β=②,且α,β∈(0,),试求tan(α-β)的值.
【错解】 由①2+②2,得cos(α-β)=.
∵α,β∈(0,),∴-<α-β<.
∴sin(α-β)=±=±.
∴tan(α-β)=±.
【错因分析】 以上解题过程似乎推理严谨,但只要仔细观察便可发现已知条件sin α-sin β=-中隐含了α<β这一条件,错解忽略了这一点.
【防范措施】 由于隐含条件在题目中没有明确给出,容易被忽略,稍不留心便会导致错误,所以在解题时应养成认真审题、周密思考的良好习惯,充分挖掘题中的隐含条件.
【正解】 ∵sin α-sin β=-<0,且α,β∈(0,),
∴sin α<sin β.∴-<α-β<0.
由①2+②2,得cos(α-β)=,∴sin(α-β)=-.
∴tan(α-β)=-.
1.公式T(α±β)的结构特征和符号规律
(1)公式T(α±β)的右侧为公式形式,其中分子为tan α与tan β的和或差,分母为1与tan αtan β的差或和.
(2)符号变化规律可简记为“分子同,分母反”.
2.公式T(α±β)应用时要注意的问题
(1)公式的适用范围
由正切函数的定义可知α,β,α+β(或α-β)的终边不能落在y轴上,即不为kπ+(k∈Z).
(2)公式的逆用
一方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值代换,如tan =1,tan =,tan =等.
特别要注意tan(+α)=,tan(-α)=.
(3)公式的变形用
只要见到tan α±tan β,tan α·tan β时,有灵活应用公式T(α±β)的意识,就不难想到解题思路.
1.(2013·沙市高一检测)已知tan α=2,则tan(α+)=________.
【解析】 tan(α+)===-3.
【答案】 -3
2.=________.
【解析】 原式=
=tan(45°+105°)
=tan 150°=-.
【答案】 -
3.在△ABC中,tan A=,tan B=,则角C的大小为________.
【解析】 ∵C=π-(A+B),∴tan C=-tan(A+B)=-=-1.又0<C<π,∴C=.
【答案】 π
4.(1)已知tan α=,tan(α-β)=-,求tan(β-2α)的值;
(2)已知tan α=(1+m),tan(-β)=(tan αtan β+m),求tan(α+β)的值.
【解】 (1)∵α+(α-β)=2α-β,∴tan(β-2α)=tan[-(2α-β)]=-tan(2α-β)=-tan[α+(α-β)]===-.
(2)两式作差得tan α+tan β=(1-tan αtan β),即=tan(α+β)=.
一、填空题
1.=________.
【解析】 原式=tan(75°-15°)=tan 60°=.
【答案】
2.已知tan α+tan β=2,tan(α+β)=4,则tan αtan β等于________.
【解析】 ∵4=tan(α+β)=
=,∴tan αtan β=.
【答案】
3.已知α+β=,则(1-tan α)(1-tan β)=________.
【解析】 tan(α+β)==tan =-1,所以tan α+tan β=-1+tan αtan β,从而(1-tan α)(1-tan β)=1-(tan α+tan β)+tan αtan β=1-(-1+tan αtan β)+tan αtan β=2.
【答案】 2
4.tan 18°+tan 42°+tan 18°tan 42°=________.
【解析】 tan 60°=tan(18°+42°)=,
所以tan 18°+tan 42°=tan 60°(1-tan 18°tan 42°),
tan 18°+tan 42°+tan 18°tan 42°
=tan 60°(1-tan 18°tan 42°)+tan 18°tan 42°=.
【答案】
5.已知tan α,tan β是关于x的一元二次方程x2+6x+2=0的两个实数根,则=________.
【解析】 ∵tan α,tan β是关于x的一元二次方程x2+6x+2=0的两个实数根,∴tan α+tan β=-6,tan α·tan β=2.
则=
===-2.
【答案】 -2
6.已知tan α,tan β是方程x2+6x+7=0的两个实根,则tan(α-β)的值等于________.
【解析】 由已知tan α=-3+,tan β=-3-或tan α=-3-,tan β=-3+,
∴tan(α-β)==±.
【答案】 ±
7.设tan(α+β)=,tan(β-)=,则tan(α+)的值是________.
【解析】 ∵α+=(α+β)-(β-).
∴tan(α+)===.
【答案】
8.已知tan(α+β)=7,tan α=,且β∈(0,π),则β的值为________.
【解析】 tan β=tan[(α+β)-α]===1,又β∈(0,π),所以β=.
【答案】
二、解答题
9.已知tan(+α)=,tan(β-)=2,
(1)求tan(α+β-)的值;
(2)求tan(α+β)的值.
【解】 (1)tan(α+β-)=tan[(+α)+(β-)]
===-.
(2)tan(α+β)=tan[(α+β-)+]
=
=
=2-3.
10.已知tan α,tan β是方程x2+3x+4=0的两个根,且α,β∈(-,),求α+β的值.
【解】 由题意,有,
tan α<0且tan β<0.
又因为α,β∈(-,),
所以α,β∈(-,0),α+β∈(-π,0).
又因为tan(α+β)===.
在(-π,0)内,正切值为的角只有-,
所以α+β=-.
11.是否存在锐角α和β,使得①α+2β=和②tan ·tan β=2-同时成立?若存在,求出α和β的值;若不存在,请说明理由.
【解】 由①得+β=,
∴tan(+β)==.
将②代入上式得tan +tan β=3-.
因此,tan 与tan β是一元二次方程x2-(3-)x+2-=0的两根.
解之,得x1=1,x2=2-.
若tan =1,由于0<<,
∴这样的α不存在.
故只能是tan =2-,tan β=1.
由于α,β均为锐角,∴α=,β=.
故存在锐角α=,β=使①②同时成立.
(教师用书独具)
已知tan α,tan β是方程x2-3x-3=0的两根,试求sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)的值.
【思路探究】 先利用两角和正切公式求tan(α+β)的值,然后把所求式化弦为切,代入求值.
【自主解答】 由已知有
∴tan(α+β)=
==.
∴sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)
=
=
==-3.
本题巧妙地利用了“1”的代换,解答本题并不需求sin(α+β),cos(α+β)的值,而是采用了整体思想.
已知tan α,tan β是x2+3x+4=0的两根,-<α<,-<β<,求α+β.
【解】 ∵tan α+tan β=-3<0,tan αtan β=4>0,
∴tan α<0,tan β<0.
∵-<α<,-<β<,
∴-<α<0,-<β<0.
∴-π<α+β<0,
∴tan(α+β)=
==,
∴α+β =-π.
3.3几个三角恒等式
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
(1)能够推导“和差化积”及“积化和差”公式,并对此有所了解.
(2)能较熟练地运用公式进行化简、求值、探索和证明一些恒等关系,进一步体会这些三角恒等变形公式的意义和作用,体会如何综合利用这些公式解决问题.
(3)揭示知识背景,培养学生的应用意识与建模意识.
2.过程与方法
让学生自己导出“和差化积”及“积化和差”公式,领会这些三角恒等变形公式的意义和作用,体会公式所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣;同时让学生初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题.通过例题讲解,总结方法.通过做练习,巩固所学知识.
3.情感、态度与价值观
通过本节的学习,使学生对三角恒等变形公式的意义和作用有一个初步的认识;理解并掌握三角函数各个公式的灵活变形,体会公式所蕴涵的和谐美,增强学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力,
●重点难点
重点:积化和差公式、和差化积公式、万能公式及半角公式的推导.
难点:综合运用公式进行三角恒等变换.
(教师用书独具)
●教学建议
1.关于积化和差公式的教学
建议教师首先让学生复习两角和与差的正、余弦公式,观察公式左边的结构形式,如:sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.引导学生自己导出三角函数的积化和差公式及sin αcos β=[sin(α-β)+sin(α+β)]等等.
2.关于和差化积问题的教学
建议教师要强调把两个三角函数式的和差化为积的形式,最后结果应是几个三角函数式的积的最简形式.
●教学流程
??通过例1及其变式训练,使学生掌握利用三角函数的积化和差与和差化积公式进行三角函数式的求值计算的方法.????
课标解读
1.能运用所学知识,推导积化和差与和差化积公式、万能公式.
2.能利用所学公式进行三角恒等变换.(重点、难点)
积化和差与和差化积公式
【问题导思】
利用两角和与差的正弦公式能否用sin(α+β)与sin(α-β)表示sin αcos β和cos α·sin β?
【提示】 ∵,
∴sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β,即sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)].
同理得cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)].
sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]
cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)]
cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]
sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]
sin α+sin β=2sin cos
sin α-sin β=2cos sin
cos α+cos β=2cos cos
cos α-cos β=-2sin sin
万能代换公式
【问题导思】
结合前面所学倍角公式,能否用tan 表示sin α?
【提示】 sin α=2sin cos ==
,即sin α=.
设tan =t,则sin α=,cos α=,tan α=.
三角函数式求值问题
求值:sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.
【思路探究】 首先将三角函数化为余弦形式,代入特殊值后进行积化和差.
【自主解答】 原式=cos 10°cos 30°cos 50° cos 70°
=cos 10°cos 50°cos 70°
=[(cos 60°+cos 40°)·cos 70°]
=cos 70°+cos 40°cos 70°
=cos 70°+(cos 110°+cos 30°)
=cos 70°+cos 110°+=.
1.三角函数的求值主要有三种类型,即给角求值、给值求值、给值求角.
(1)给角求值的关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三角函数相约或相消,从而化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的角运算及函数的差异,一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用.同时也要注意变换欲求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的.
(3)给值求角关键是先求出该角的某一三角函数式的值,其次判断该角在对应区间的单调性,从而达到解题的目的.
2.求值主要方法有:①消去法;②方程法;③比例性质法等.
求sin220°+cos250°+sin 20°·cos 50°的值.
【解】 法一 原式=++(sin 70°-sin 30°)
=1+(cos 100°-cos 40°)+sin 70°-
=+(-2sin 70°sin 30°)+sin 70°
=-sin 70°+sin 70°=.
法二 令x=sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°,
y=cos220°+sin250°+cos 20°sin 50°,
则x+y=2+sin 70°,①
x-y=-cos 40°+cos 100°+sin(-30°)
=-2sin 70°sin 30°-,
即x-y=--sin 70°,②
①+②得2x=2-=,
∴x=.
即sin2 20°+cos2 50°+sin 20°cos 50°=.
三角函数式化简问题
化简(-tan )(1+tan α·tan ).
【思路探究】 题目中有角,也有角α,利用正切的半角公式的有理表达式可以把的三角函数转化为α的三角函数,然后将角α的正切转化为α的正、余弦函数,化简即得.
【自主解答】 (-tan )(1+tan αtan )
=(-)(1+·)
=(1+)=·=.
1.三角恒等变换常用技巧:
(1)常值代换;
(2)切化弦,弦化切;
(3)降幂变倍角,升幂变半角;
(4)角的变换;
(5)公式的正用、逆用和变形用.
2.对于三角函数式的化简有下面的要求:
(1)能求出值的应求出值;
(2)使三角函数种数尽量少;
(3)使三角函数式中的项数尽量少;
(4)尽量使分母不含有三角函数;
(5)尽量使被开方数不含三角函数.
化简:cos2A+cos2(+A)+cos2(+A).
【解】 原式=++
=-[cos 2A+cos(+2A)+cos(+2A)]
=-[cos 2A+2cos(2π+2A)cos ]
=-[cos 2A-cos(2π+2A)]=.
三角恒等式的证明
求证:sin αsin(60°+α)sin(60°-α)=sin 3α.
【思路探究】 恒等式的左边是函数积的形式且各三角函数的角不一样,应根据积化和差公式对左边变形整理,进行角的统一.
【自主解答】 左边=sin α[-(cos 120°-cos 2α)]
=sin α+sin αcos 2α
=sin α+[sin 3α+sin(-α)]=sin 3α=右边,
∴原等式成立.
1.当对三个或三个以上的正弦或余弦函数因式的积通过积化和差公式进行化简时,选择因式的依据是使两因式的和或差是特殊角或与其他因式的角相同或相关.
2.证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法,使等式两端的“异”化为“同”,分式不好证时,可变形为整式来证.
在△ABC中,求证:sin A+sin B+sin C=4cos ·cos cos .
【证明】 由A+B+C=180°,
得C=180°-(A+B),
即=90°-.
∴cos =sin .
∴sin A+sin B+sin C
=2sin·cos+sin(A+B)
=2sin·cos+2sin·cos
=2sin(cos+cos )
=2cos ·2cos ·cos(-)
=4cos cos cos .
∴原等式成立.
进行三角恒等变换时忽略角的取值范围致误
已知α为第三象限角,且cos >0,tan α=3,求tan 的值.
【错解】 ∵tan α=3,
∴=3,
∴3tan2+2tan -3=0,
∴tan =-+或tan =--.
【错因分析】 本题由于忽略角的取值范围而导致错误,应对的范围进行讨论.
【防范措施】 在进行三角恒等变换时,忽略了角的取值范围,出现前、后取值范围不一致的情况.
【正解】 ∵tan α=3,
所以=3,
∴3tan2+2tan -3=0,
∴tan =-+或tan =--.
∵cos >0,α为第三象限角,
∴为第四象限角,
所以tan <0,
∴tan =--.
1.三角函数式化简结果的三大要求
(1)能求值的求值;
(2)不能求值的要保证三角函数的种类最少、项数最少、次数最低;
(3)分式的分母中尽量不含根号.
2.三角恒等式证明的常用方法
(1)执因索果法:证明的形式一般是化繁为简;
(2)左右归一法:证明左右两边都等于同一个式子;
(3)拼凑法:针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异,简言之,即化异求同;
(4)比较法:设法证明“左边-右边=0”或“=1”;
(5)分析法:从被证明的等式出发,逐步地探求使等式成立的条件,一直到探求出已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立.
1.sin 105°+sin 15°=________.
【解析】 原式=2sin ·cos =2sin 60°cos 45°=.
【答案】
2.sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°的值是________.
【解析】 原式=[sin 90°+sin(-50°)]-[cos 60°-cos(-40°)]
=-sin 50°-+cos 40°
=-sin 50°+sin 50°=.
【答案】
3.化简cos α+cos(120°-α)+cos(120°+α)=________.
【解析】 cos α+cos(120°-α)+cos(120°+α)
=cos α+2cos αcos 120°
=cos α-cos α=0.
【答案】 0
4.求证:(1)sin(α+β)·sin(α-β)=cos2β-cos2α;
(2)=tan .
【证明】 (1)∵左边=-[cos 2α-cos 2β]
=-[(2cos2α-1)-(2cos2β-1)]
=cos2β-cos2α=右边,
∴原等式成立.
(2)∵左边==-
=-tan =tan =右边,
∴原等式成立.
一、填空题
1.sin 37.5°cos 7.5°=________.
【解析】 原式=[sin(37.5°+7.5°)+sin(37.5°-7.5°)]=(sin 45°+sin 30°)=×(+)=.
【答案】
2.化简:=________.
【解析】 原式===tan 20°.
【答案】 tan 20°
3.函数f(x)=sin(2x-)cos(2x+)的周期是________.
【解析】 ∵f(x)=[sin 4x+sin(-)]
=sin 4x-,
∴T==.
【答案】
4.(2013·临沂高一检测)求值:sin 20°+sin 40°+sin 60°-sin 80 °=________.
【解析】 sin 20°+sin 40°+sin 60°-sin 80°
=2sin 30°cos(-10°)+sin 60°-sin 80°
=2××sin 80°+-sin 80°=.
【答案】
5.已知α-β=,且cos α+cos β=,则cos(α+β)等于________.
【解析】 ∵cos α+cos β=,∴2cos cos =,
∵α-β=π,
∴cos =.
∴cos =
则cos(α+β)=2cos2()-1=-.
【答案】 -
6.已知等腰三角形顶角的余弦值等于,则这个三角形底角的正弦值为________.
【解析】 设该等腰三角形顶角为α,底角为β,则有α+2β=π,β=-,
∴sin β=sin(-)=cos .
∵2cos2-1=cos α,
∴cos ==.
【答案】
7.直角三角形中两锐角为A和B,则sin Asin B的最大值为________.
【解析】 ∵A+B=,
sin Asin B=[cos(A-B)-cos(A+B)]
=cos(A-B),
又-<A-B<,∴0<cos(A-B)≤1,
∴sin Asin B有最大值.
【答案】
8.+=________.
【解析】 原式=
=
=
==2cos 30°=.
【答案】
二、解答题
9.已知θ∈(π,π)且sin =,求:
(1);(2)sin θ+2cos θ.
【解】 ∵sin =,θ∈(π,π),∴∈(,π).
∴cos =- =- =-.
设t=tan ===-.
(1)===t=-.
(2)sin θ+2cos θ=+2·=
==-.
10.求函数f(x)=sin x[sin x-sin(x+)]的最小正周期与最值.
【解】 f(x)=sin x[sin x-sin(x+)]
=sin x·2cos(x+)sin(-)
=-sin xcos(x+)
=-[sin(2x+)+sin(-)]
=-sin(2x+)+.
∴最小正周期为T==π.
∵sin(2x+)∈[-1,1],
∴f(x)max=,f(x)min=-.
11.已知3tan(α-)=tan(α+),求证:sin 2α=1.
【证明】 ∵3tan(α-)=tan(α+),
∴=.
∴3sin(α-)cos(α+)=sin(α+)cos(α-).
∴(sin 2α-sin )=(sin 2α+sin ).
∴3sin 2α-=sin 2α+,∴sin 2α=1.
(教师用书独具)
求函数f(x)=-的值域.
【思路探究】 先通分,再将sin x-sin 和差化积,约去分母sin ,再变形为只含一个三角函数符号的形式.然后在函数f(x)的定义域内求值域.
【自主解答】 f(x)=
=
==2cos cos
=cos(+)+cos(-)
=cos 2x+cos x=2cos2x+cos x-1
=2(cos x+)2-.
∵sin ≠0,∴≠kπ,即x≠2kπ(k∈Z).
∴-1≤cos x<1.
当cos x=-时,f(x)min=-,
当cos x趋于1时,f(x)趋于2.
故函数f(x)的值域是[-,2).
通过和差化积、积化和差等三角变换,改变函数式结构,并最终使函数解析式中只含一个三角函数符号,是上述变换过程的基本内容.一般对同名异角三角函数的和或差,可考虑和差化积;对异角正、余弦函数的积,可考虑积化和差.
已知函数f(x)=sin(2x-)+2sin2(x-)(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.
【解】 (1)f(x)=sin(2x-)+2sin2(x-)
=sin(2x-)+1-cos(2x-)
=sin(2x-)-sin[-(2x-)]+1
=sin(2x-)-sin(-2x+)+1
=2cos sin +1
=sin(2x-)+1,
∴f(x)的最小正周期T=π.
(2)由(1)知:当sin(2x-)=1时,f(x)max=+1,
此时,2x-=2kπ+,即x=kπ+(k∈Z),
∴当f(x)取最大值时,x的取值集合是:{x|x=kπ+,k∈Z}.
三角函数式的求值
三角函数式的求值包括三种类型:给角求值,给值求值,给值求角.
(1)给角求值
给角求值的解法规律是恰当地应用诱导公式,合理地进行角的变换,应用两角和差公式、二倍角公式、积化和差与和差化积公式、万能公式和半角公式,使其转化为特殊角的三角函数值的求解问题.给角求值中要注意当角较大时,应先利用诱导公式,这样能使角之间的关系更明确,这也是给角求值的技巧之一.技巧之二是进行角变换,将其中一个角用另两个角(已知角或特殊角)表示出来,减少未知角的个数.
(2)给值求值
给值求值这类问题的解法规律是将所给的一个或几个三角函数式根据问题的需要进行恒等变换,使其转化为所求函数式能够使用的条件,然后用代入法求出三角函数式的值.也可以将所求的函数式经过适当的变形后,再利用条件,即给值求值的方法是代入法或恒等变换法.
(3)给值求角
给值求角这类问题的解法规律是根据已知条件求出该角的某种三角函数值,并根据已知条件判断出所求角的范围,根据角的范围及三角函数值确定出角的大小,给值求角的难点是缩小角的范围,角的范围必须缩小到该三角函数的一个单调区间内,或在所确定的范围内,满足条件的角只有一个.有时仅根据已知有限的条件是不够的,还要根据三角函数值和函数的单调性缩小角的范围.
已知cos(α+)=,α∈[,),求cos(2α+).
【思路点拨】 本题主要考查二倍角公式及两角和与差的余弦公式,先由cos(α+)及α∈[,π)求出sin(α+),再进一步求得cos 2α,sin 2α,代入公式可求值.
【规范解答】 ∵α∈[,π),
∴α+∈[π,π).
又∵cos(α+)=>0,
∴α+∈(π,π).
∴sin(α+)=-=-.
∴cos 2α=sin 2(α+)=-,
sin 2α=-cos 2(α+)=.
∴cos(2α+)=×(--)=-.
试求tan 10°+4sin 10°的值.
【解】 原式=
==
=
====1.
三角函数式的化简与证明
1.三角函数式化简的原则
尽量使函数种类最少,次数相对较低,项数最少,尽量使分母不含三角函数,尽量去掉根号或减少根号的层次,能求出具体值的应求出其值.三角函数式化简的主要方法:从减少角的种类,减少三角函数的种类,改变函数式的结构入手,采用化弦法、化切法、异角化同角、高次化低次等转化运算形式,使其相消或相约.
2.三角恒等式的证明
主要有两种类型:绝对恒等式与条件恒等式.
证明绝对恒等式要根据等式两边的特征,采取化繁为简,左右归一,变更命题等方法,通过三角恒等变换,使等式的两边化异为同.
条件恒等式的证明则要认真观察、比较已知条件与求证等式之间的联系,选择适当途径.常用代入法、消去法、两头凑等方法.
求证:··=tan .
【思路点拨】 本题主要考查二倍角公式及变形应用,因等式右端为tan ,故可将左边的角4x,2x,x化为形式.
【规范解答】 左边=··
==
==tan =右边.∴原等式成立.
化简:,其中π<α<2π.
【解】 原式
=
=
==
∵π<α<2π,∴<<π,∴cos <0.
∴原式==cos α.
三角恒等变换的综合应用
与三角恒等变换有关的综合问题一般有以下两种类型
(1)以三角恒等变形为主要的化简手段,考查三角函数的性质.当给出的三角函数表达式较为复杂时,我们要先通过三角恒等变换,将三角函数的表达式变形化简,将函数表达式变为y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k等形式,然后再根据化简后的三角函数,讨论其图象和性质.
(2)以向量运算为载体,考查三角恒等变换.这类问题往往利用向量的知识和公式,通过向量的运算,将向量条件转化为三角条件,然后通过三角变换解决问题:有时还从三角与向量的关联点处设置问题,把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查.
(2013·辽宁高考)设向量a=(sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈[0,].
(1)若|a|=|b|,求x的值;
(2)设函数f(x)=a·b,求f(x)的最大值.
【思路点拨】 分别表示两向量的模,利用相等求解x的值;利用数量积运算及辅助角公式化为一个角的一种函数求解.
【规范解答】 (1)由|a|2=(sin x)2+sin2 x=4sin2x,
|b|2=cos2x+sin2x=1,及|a|=|b|,得4sin2x=1.
又x∈[0,],从而sin x=,所以x=.
(2)f(x)=a·b=sin x·cos x+sin2x
=sin 2x-cos 2x+=sin(2x-)+,
当x=∈[0,]时,sin(2x-)取最大值1.
所以f(x)的最大值为.
已知向量a=(2sin x,cos x),b=(cos x,2cos x),定函数f(x)=a·b-1.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)的单调递增区间.
【解】 (1)∵f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1
=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+),∴T=π.
(2)令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).
∴f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).
转化与化归思想
本章以两角差的余弦公式为基础,利用换元法,将两角和的余弦公式转化为两角差的余弦公式的形式,即α+β=α-(-β),从而推导出两角和的余弦公式,然后利用诱导公式推导出两角和与差的正弦和正切公式以及二倍角公式,这些公式的推导都体现了转化与化归思想.
在三角函数的化简、求值中,常常对条件和结论进行合理的变换,通过转化沟通已知与未知的关系,角的转化、函数的名称的转化、常数代换、幂的升降变换、结构变化等技巧在解题中经常用到,应熟练掌握.
已知<α<,0<β<,cos(-α)=,sin(+β)=,求sin(α+β)的值.
【思路点拨】 将α+β用已知角-α与+β表示出来,利用两角和的三角函数公式进行求解.
【规范解答】 ∵<α<,0<β<,
∴-<-α<0,<+β<π,
∴sin(-α)=-=-=-,cos(+β)=-=-,
∴sin(α+β)=-cos[+(α+β)]
=-cos[(+β)-(-α)]
=-[cos(+β)cos(-α)+sin(+β)·sin(-α)]=-[(-)×+×(-)]=.
设tan α,tan β是方程6x2-5x+1=0的两个根,且0<α<,π<β<π,求α+β的值.
【解】 ∵tan α,tan β是方程6x2-5x+1=0的两个根,
∴tan α+tan β=,tan α·tan β=.
∴tan(α+β)===1.
∵0<α<且π<β<π,
∴π<α+β<2π,∴α+β=π.
综合检测(三)
第3章 三角恒等变换
(时间120分钟,满分160分)
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填在题中的横线上)
1.(2013·淮安高一检测)已知函数f(x)=sin xcos x,则f(-1)+f(1)=________.
【解析】 ∵f(x)=sin xcos x=sin 2x,
∴此函数是奇函数,
故f(-1)+f(1)=0.
【答案】 0
2.=________.
【解析】 原式=×
=tan =.
【答案】
3.若sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=,则cos 2β=________.
【解析】 由已知得:sin[(α-β)-α]=,所以sin β=-,所以cos 2β=1-2sin2β=1-2×(-)2=-.
【答案】 -
4.(2013·雅安高一检测)化简=________.
【解析】 ===-1.
【答案】 -1
5.cos α=,α∈(0,),则cos(α-)=________.
【解析】 ∵cos α=,α∈(0,),
∴sin α==.
∴cos(α-)=cos αcos+sin αsin=×+×=.
【答案】
6.·等于________.
【解析】 原式=
==cos α.
【答案】 cos α
7.已知tan(α+β)=,tan(α+)=,那么tan(β-)=________.
【解析】 tan(β-)=tan[(α+β)-(α+)]=
==.
【答案】
8.(2013·课标全国卷Ⅱ改编)已知sin 2α=,则cos2(α+)=________.
【解析】 ∵sin 2α=,∴cos2(α+)====.
【答案】
9.(2013·余姚高一检测)在△ABC中,已知tan =sin C,则△ABC的形状为________三角形.
【解析】 在△ABC中,tan =sin C=sin(A+B)=2sin cos ,
∴2cos2=1,
∴cos(A+B)=0,从而A+B=,
△ABC为直角三角形.
【答案】 直角
10.求值:=________.
【解析】 原式===tan 15°=tan(45°-30°)==2-.
【答案】 2-
11.在△ABC中,若sin2B=sin Asin C,则cos 2B+cos B+cos(A-C)的值为________.
【解析】 cos 2B+cos B+cos(A-C)=cos 2B-cos(A+C)+cos(A-C)=1-2sin2B+2sin Asin C=1.
【答案】 1
12.已知α,β均为锐角,且tan β=,则tan(α+β)=________.
【解析】 tan β===tan(-α),
∵α,β为锐角,∴-α,β∈(-,),且y=tan x在(-,)上是单调增函数,
∴β=-α,∴α+β=,
∴tan(α+β)=tan =1.
【答案】 1
13.已知tan 2θ=(π<θ<π),则的值为________.
【解析】 ∵tan 2θ=,∴tan 2θ==,
又π<θ<,∴tan θ=.
∴===2.
【答案】 2
14.关于函数f(x)=cos(2x-)+cos(2x+),有下列说法:
①y=f(x)的最大值为;
②y=f(x)是以π为最小正周期的周期函数;
③y=f(x)在区间[,]上单调递减;
④将函数y=cos 2x的图象向左平移个单位后,将与已知函数图象重合.其中正确说法的序号是________.
【解析】 y=cos(2x-)+cos(2x+)
=cos(2x-)+cos(-+2x)
=cos(2x-)-sin(2x-)=cos(2x-),
其最大值为,是周期函数,周期为=π.
由2kπ≤2x-≤π+2kπ,得+kπ≤x≤+kπ,
f(x)的减区间为[+kπ,+kπ](k∈Z),
它在[,]上递减,
将y=cos 2x的图象向左平移个单位后,将变为
y=cos[2(x+)]=cos(2x+)的图象,
∴①②③正确,④错误.
【答案】 ①②③
二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分14分)已知cos 2θ=,θ∈(,π),求sin(θ+)-sin 2θ的值.
【解】 ∵cos 2θ=,θ∈(,π),
∴cos θ<0,∴cos 2θ=2cos2θ-1=,
∴cos2θ=,∴cos θ=-,sin θ=,
∴sin(θ+)-sin 2θ=sin θ·cos +cos θsin -2sin θcos θ=×-×+2××=-+=.
16.(本小题满分14分)化简:
.
【解】 原式
=
=
===2.
17.(本小题满分14分)(2013·湖南高考)已知函数f(x)=cos x·cos(x-).
(1)求f()的值;
(2)求使f(x)<成立的x的取值集合.
【解】 (1)f()=cos·cos
=-cos·cos
=-()2=-.
(2)f(x)=cos xcos(x-)
=cos x·(cos x+sin x)
=cos2 x+sin xcos x
=(1+cos 2x)+sin 2x
=cos(2x-)+.
f(x)<等价于cos(2x-)+<,
即cos(2x-)<0.
于是2kπ+<2x-<2kπ+,k∈Z.解得kπ+故使f(x)<成立的x的取值集合为
{x|kπ+18.(本小题满分16分)已知锐角α,β满足tan(α-β)=sin 2β,求证:2tan 2β=tan α+tan β.
【证明】 ∵tan(α-β)=sin 2β,tan(α-β)=,
sin 2β=2sin βcos β==,
∴=,
整理得:tan α=.
∴tan α+tan β===2tan 2β.
19.(本小题满分16分)(2013·潍坊高一检测)已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),|a-b|=.
(1)求cos(α-β)的值;
(2)若-<β<0<α<,且sin β=-,求sin α的值.
【解】 (1)∵|a-b|=,∴a2-2a·b+b2=,将向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β)代入上式得12-2(cos αcos β+sin αsin β)+12=,
∴cos(α-β)=.
(2)∵-<β<0<α<,∴0<α-β<π.
由cos(α-β)=,得sin(α-β)=.
又sin β=-,∴cos β=,
∴sin α=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cos β+cos(α-β)·sin β=.
20.(本小题满分16分)(2013·陕西高考)已知向量a=(cos x,-),b=(sin x,cos 2x),x∈R,设函数f(x)=a·b.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在[0,]上的最大值和最小值.
【解】 f(x)=(cos x,-)·(sin x,cos 2x)
=cos xsin x-cos 2x=sin 2x-cos 2x
=cos sin 2x-sin cos 2x=sin(2x-).
(1)f(x)的最小正周期为T===π,即函数f(x)的最小正周期为π.
(2)∵0≤x≤,
∴-≤2x-≤.
由正弦函数的性质,得
当2x-=,即x=时,f(x)取得最大值1;
当2x-=-,即x=0时,f(0)=-;
当2x-=π.即x=时,f()=,
∴f(x)的最小值为-.
因此,f(x)在[0,]上的最大值是1,最小值是-.
课件23张PPT。三角函数式的求值 三角函数式的化简与证明 三角恒等变换的综合应用 转化与化归思想 课件46张PPT。
教师用书独具演示演示结束 两角和与差的余弦公式 运用公式求值 给值求值 给值求角 课时作业(二十一) (教师用书独具)课件45张PPT。
教师用书独具演示演示结束 两角和与差的正弦公式 给角求值 给值求值 给值求角 课时作业(二十二) (教师用书独具)课件47张PPT。
教师用书独具演示演示结束 两角和与差的正切公式 化简求值 条件求值(角)问题 综合应用 课时作业(二十三) (教师用书独具)课件50张PPT。
教师用书独具演示演示结束 倍角公式 二倍角的余弦公式的变形 利用倍角公式求值 给值求值 三角函数式的化简 课时作业(二十四) (教师用书独具)课件46张PPT。
教师用书独具演示演示结束 降幂公式与半角公式 三角函数式的化简与证明 利用和、差、倍角公式研究函数的性质 三角函数的实际应用 课时作业(二十五) (教师用书独具)课件50张PPT。
教师用书独具演示演示结束 积化和差与和差化积公式 万能代换公式 三角函数式求值问题 三角函数式化简问题 三角恒等式的证明 课时作业(二十六) (教师用书独具)综合检测(三)
第3章 三角恒等变换
(时间120分钟,满分160分)
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填在题中的横线上)
1.(2013·淮安高一检测)已知函数f(x)=sin xcos x,则f(-1)+f(1)=________.
【解析】 ∵f(x)=sin xcos x=sin 2x,
∴此函数是奇函数,
故f(-1)+f(1)=0.
【答案】 0
2.=________.
【解析】 原式=×
=tan =.
【答案】
3.若sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=,则cos 2β=________.
【解析】 由已知得:sin[(α-β)-α]=,所以sin β=-,所以cos 2β=1-2sin2β=1-2×(-)2=-.
【答案】 -
4.(2013·雅安高一检测)化简=________.
【解析】 ===-1.
【答案】 -1
5.cos α=,α∈(0,),则cos(α-)=________.
【解析】 ∵cos α=,α∈(0,),
∴sin α==.
∴cos(α-)=cos αcos+sin αsin=×+×=.
【答案】
6.·等于________.
【解析】 原式=
==cos α.
【答案】 cos α
7.已知tan(α+β)=,tan(α+)=,那么tan(β-)=________.
【解析】 tan(β-)=tan[(α+β)-(α+)]=
==.
【答案】
8.(2013·课标全国卷Ⅱ改编)已知sin 2α=,则cos2(α+)=________.
【解析】 ∵sin 2α=,∴cos2(α+)====.
【答案】
9.(2013·余姚高一检测)在△ABC中,已知tan =sin C,则△ABC的形状为________三角形.
【解析】 在△ABC中,tan =sin C=sin(A+B)=2sin cos ,
∴2cos2=1,
∴cos(A+B)=0,从而A+B=,
△ABC为直角三角形.
【答案】 直角
10.求值:=________.
【解析】 原式===tan 15°=tan(45°-30°)==2-.
【答案】 2-
11.在△ABC中,若sin2B=sin Asin C,则cos 2B+cos B+cos(A-C)的值为________.
【解析】 cos 2B+cos B+cos(A-C)=cos 2B-cos(A+C)+cos(A-C)=1-2sin2B+2sin Asin C=1.
【答案】 1
12.已知α,β均为锐角,且tan β=,则tan(α+β)=________.
【解析】 tan β===tan(-α),
∵α,β为锐角,∴-α,β∈(-,),且y=tan x在(-,)上是单调增函数,
∴β=-α,∴α+β=,
∴tan(α+β)=tan =1.
【答案】 1
13.已知tan 2θ=(π<θ<π),则的值为________.
【解析】 ∵tan 2θ=,∴tan 2θ==,
又π<θ<,∴tan θ=.
∴===2.
【答案】 2
14.关于函数f(x)=cos(2x-)+cos(2x+),有下列说法:
①y=f(x)的最大值为;
②y=f(x)是以π为最小正周期的周期函数;
③y=f(x)在区间[,]上单调递减;
④将函数y=cos 2x的图象向左平移个单位后,将与已知函数图象重合.其中正确说法的序号是________.
【解析】 y=cos(2x-)+cos(2x+)
=cos(2x-)+cos(-+2x)
=cos(2x-)-sin(2x-)=cos(2x-),
其最大值为,是周期函数,周期为=π.
由2kπ≤2x-≤π+2kπ,得+kπ≤x≤+kπ,
f(x)的减区间为[+kπ,+kπ](k∈Z),
它在[,]上递减,
将y=cos 2x的图象向左平移个单位后,将变为
y=cos[2(x+)]=cos(2x+)的图象,
∴①②③正确,④错误.
【答案】 ①②③
二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分14分)已知cos 2θ=,θ∈(,π),求sin(θ+)-sin 2θ的值.
【解】 ∵cos 2θ=,θ∈(,π),
∴cos θ<0,∴cos 2θ=2cos2θ-1=,
∴cos2θ=,∴cos θ=-,sin θ=,
∴sin(θ+)-sin 2θ=sin θ·cos +cos θsin -2sin θcos θ=×-×+2××=-+=.
16.(本小题满分14分)化简:
.
【解】 原式
=
=
===2.
17.(本小题满分14分)(2013·湖南高考)已知函数f(x)=cos x·cos(x-).
(1)求f()的值;
(2)求使f(x)<成立的x的取值集合.
【解】 (1)f()=cos·cos
=-cos·cos
=-()2=-.
(2)f(x)=cos xcos(x-)
=cos x·(cos x+sin x)
=cos2 x+sin xcos x
=(1+cos 2x)+sin 2x
=cos(2x-)+.
f(x)<等价于cos(2x-)+<,
即cos(2x-)<0.
于是2kπ+<2x-<2kπ+,k∈Z.解得kπ+故使f(x)<成立的x的取值集合为
{x|kπ+18.(本小题满分16分)已知锐角α,β满足tan(α-β)=sin 2β,求证:2tan 2β=tan α+tan β.
【证明】 ∵tan(α-β)=sin 2β,tan(α-β)=,
sin 2β=2sin βcos β==,
∴=,
整理得:tan α=.
∴tan α+tan β===2tan 2β.
19.(本小题满分16分)(2013·潍坊高一检测)已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),|a-b|=.
(1)求cos(α-β)的值;
(2)若-<β<0<α<,且sin β=-,求sin α的值.
【解】 (1)∵|a-b|=,∴a2-2a·b+b2=,将向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β)代入上式得12-2(cos αcos β+sin αsin β)+12=,
∴cos(α-β)=.
(2)∵-<β<0<α<,∴0<α-β<π.
由cos(α-β)=,得sin(α-β)=.
又sin β=-,∴cos β=,
∴sin α=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cos β+cos(α-β)·sin β=.
20.(本小题满分16分)(2013·陕西高考)已知向量a=(cos x,-),b=(sin x,cos 2x),x∈R,设函数f(x)=a·b.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在[0,]上的最大值和最小值.
【解】 f(x)=(cos x,-)·(sin x,cos 2x)
=cos xsin x-cos 2x=sin 2x-cos 2x
=cos sin 2x-sin cos 2x=sin(2x-).
(1)f(x)的最小正周期为T===π,即函数f(x)的最小正周期为π.
(2)∵0≤x≤,
∴-≤2x-≤.
由正弦函数的性质,得
当2x-=,即x=时,f(x)取得最大值1;
当2x-=-,即x=0时,f(0)=-;
当2x-=π.即x=时,f()=,
∴f(x)的最小值为-.
因此,f(x)在[0,]上的最大值是1,最小值是-.
一、填空题
1.cos 45°cos 15°+sin 15°sin 45°的值为________.
【解析】 cos 45°cos 15°+sin 15°sin 45°=cos(45°-15°)=cos 30°=.
【答案】
2.若α∈(0,π),且cos(α+)=,则cos α等于________.
【解析】 ∵α∈(0,π)且cos(α+)=,
∴sin(α+)=.
cos α=cos[(α+)-]
=×+×=.
【答案】
3.已知:cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=-,且180°<α<270°,则tan α等于________
【解析】 由已知得cos[(α+β)-β]=-,即cos α=-.又180°<α<270°,所以sin α=-,所以tan α==.
【答案】
4.已知sin α=,α是锐角,则cos(α-)=________.
【解析】 cos(α-)=cos α·+sin α·=·+·=.
【答案】
5.若sin α-sin β=1-,cos α-cos β=,则cos(α-β)的值为________.
【解析】 ∵(sin α-sin β)2+(cos α-cos β)2=2-2cos(α-β)=(1-)2+()2,∴cos(α-β)=.
【答案】
6.化简:=________.
【解析】 =
==.
【答案】
7.(2013·成都高一检测)若cos θ=-,θ∈(π,),则cos(θ+)=________.
【解析】 ∵cos θ=-,θ∈(π,),
∴sin θ=-,
∴cos(θ+)=cos θcos -sin θsin =-×-(-)×=-.
【答案】 -
8.已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),α,β∈(0,π)且a⊥b,则α-β的值为________.
【解析】 ∵a⊥b,∴a·b=0,
即cos αcos β+sin αsin β=0,从而cos(α-β)=0.
∵α,β∈(0,π),∴-π<α-β<π,∴α-β=或-.
【答案】 ±
二、解答题
9.设α∈(,π),若sin α=,求cos(α+π)的值.
【解】 ∵α∈(,π),sin α=,∴cos α=-,
∴cos(α+π)=(cos αcos π-sin αsin π)=(-cos αcos -sin αsin )=-cos α-sin α=-=.
10.已知α,β为锐角,且cos α=,cos β=,求α+β的值.
【解】 ∵α,β为锐角,∴sin α=,sin β=,
∴cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β=·-·=-=-.
又0<α+β<π,∴α+β=.
11.已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),|a-b|=.
(1)求cos(α-β);
(2)若0<α<,-<β<0,且sin β=-,求sin α.
【解】 (1)∵a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),
∴a-b=(cos α-cos β,sin α-sin β).
∵|a-b|=,
∴=,
即2-2cos(α-β)=,∴cos(α-β)=.
(2)∵0<α<,-<β<0,∴0<α-β<π.
∵cos(α-β)=,∴sin(α-β)=.
∵sin β=-,∴cos β=.
∴cos α=cos[(α-β)+β]
=cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β
=×-×(-)=.
又0<α<,∴sin α==.
一、填空题
1.化简:sin 21°cos 81°-cos 21°sin 81°=________.
【解析】 sin 21°cos 81°-cos 21°sin 81°=sin(21°-81°)=-sin 60°=-.
【答案】 -
2.的值为________.
【解析】 原式
=
==2sin 30°=1.
【答案】 1
3.已知<β<,sin β=,则sin(β+)=________.
【解析】 ∵<β<,∴cos β===,
∴sin(β+)=sin β+cos β=×+×=.
【答案】
4.cos(-α)sin α+cos(+α)cos α=________.
【解析】 由于cos(+α)=sin(-α),
所以原式=sin(-α)cos α+cos(-α)sin α
=sin(-α+α)=sin =.
【答案】
5.在△ABC中,2cos Bsin A=sin C,则△ABC的形状一定是________.
【解析】 在△ABC中,C=π-(A+B),
∴2cos Bsin A=sin[π-(A+B)]
=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B.
∴-sin Acos B+cos Asin B=0.
即sin(B-A)=0.∴A=B.
【答案】 等腰三角形
6.若8sin α+5cos β=6,8cos α+5sin β=10,则sin(α+β)=________.
【解析】 由8sin α+5cos β=6,两边平方,
得64sin2α+80sin αcos β+25cos2β=36.①
由8cos α+5sin β=10,两边平方,
得64cos2α+80 cos α sin β+25sin2β=100.②
①+②,得64+25+80(sin αcos β+cos αsin β)=136.
∴sin(α+β)=.
【答案】
7.已知sin α=,sin(α-β)=-,α,β均为锐角,则β等于________.
【解析】 由条件知cos α=,cos(α-β)=(因为-<α-β<0),所以sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×(-)=,又β为锐角,所以β=.
【答案】
8.求值:=________.
【解析】
=
===-2.
【答案】 -2
二、解答题
9.设α∈(,π),β∈(,2π),若cos α=-,sin β=-,求sin(α+β)的值.
【解】 ∵α∈(,π),cos α=-,∴sin α=,
∵β∈(,2π),sin β=-,∴cos β=.
∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
=×+(-)×(-)=.
10.已知:<α<,且cos(α-)=,求cos α,sin α的值.
【解】 因为<α<,
所以0<α-<.
因为cos(α-)=,
所以sin(α-)==.
所以sin α=sin[(α-)+]
=sin(α-)cos +cos(α-)sin =,
cos α=cos[(α-)+]
=cos(α-)cos -sin(α-)sin =.
11.求证:-2cos(α+β)=.
【证明】 ∵左边=
=
=
===右边.
∴原等式得证.
一、填空题
1.=________.
【解析】 原式=tan(75°-15°)=tan 60°=.
【答案】
2.已知tan α+tan β=2,tan(α+β)=4,则tan αtan β等于________.
【解析】 ∵4=tan(α+β)=
=,∴tan αtan β=.
【答案】
3.已知α+β=,则(1-tan α)(1-tan β)=________.
【解析】 tan(α+β)==tan =-1,所以tan α+tan β=-1+tan αtan β,从而(1-tan α)(1-tan β)=1-(tan α+tan β)+tan αtan β=1-(-1+tan αtan β)+tan αtan β=2.
【答案】 2
4.tan 18°+tan 42°+tan 18°tan 42°=________.
【解析】 tan 60°=tan(18°+42°)=,
所以tan 18°+tan 42°=tan 60°(1-tan 18°tan 42°),
tan 18°+tan 42°+tan 18°tan 42°
=tan 60°(1-tan 18°tan 42°)+tan 18°tan 42°=.
【答案】
5.已知tan α,tan β是关于x的一元二次方程x2+6x+2=0的两个实数根,则=________.
【解析】 ∵tan α,tan β是关于x的一元二次方程x2+6x+2=0的两个实数根,∴tan α+tan β=-6,tan α·tan β=2.
则=
===-2.
【答案】 -2
6.已知tan α,tan β是方程x2+6x+7=0的两个实根,则tan(α-β)的值等于________.
【解析】 由已知tan α=-3+,tan β=-3-或tan α=-3-,tan β=-3+,
∴tan(α-β)==±.
【答案】 ±
7.设tan(α+β)=,tan(β-)=,则tan(α+)的值是________.
【解析】 ∵α+=(α+β)-(β-).
∴tan(α+)===.
【答案】
8.已知tan(α+β)=7,tan α=,且β∈(0,π),则β的值为________.
【解析】 tan β=tan[(α+β)-α]===1,又β∈(0,π),所以β=.
【答案】
二、解答题
9.已知tan(+α)=,tan(β-)=2,
(1)求tan(α+β-)的值;
(2)求tan(α+β)的值.
【解】 (1)tan(α+β-)=tan[(+α)+(β-)]
===-.
(2)tan(α+β)=tan[(α+β-)+]
=
=
=2-3.
10.已知tan α,tan β是方程x2+3x+4=0的两个根,且α,β∈(-,),求α+β的值.
【解】 由题意,有,
tan α<0且tan β<0.
又因为α,β∈(-,),
所以α,β∈(-,0),α+β∈(-π,0).
又因为tan(α+β)===.
在(-π,0)内,正切值为的角只有-,
所以α+β=-.
11.是否存在锐角α和β,使得①α+2β=和②tan ·tan β=2-同时成立?若存在,求出α和β的值;若不存在,请说明理由.
【解】 由①得+β=,
∴tan(+β)==.
将②代入上式得tan +tan β=3-.
因此,tan 与tan β是一元二次方程x2-(3-)x+2-=0的两根.
解之,得x1=1,x2=2-.
若tan =1,由于0<<,
∴这样的α不存在.
故只能是tan =2-,tan β=1.
由于α,β均为锐角,∴α=,β=.
故存在锐角α=,β=使①②同时成立.
一、填空题
1.cos2-sin2=________.
【解析】 原式=cos(2×)=cos =.
【答案】
2.计算sin 105°cos 75°的值为________.
【解析】 sin 105°cos 75°=sin(180°-75°)cos 75°=sin 75°cos 75°=sin 150°=sin 30°=.
【答案】
3.若sin α=,则cos 2α=________.
【解析】 cos 2α=1-2sin2α=1-2×()2=.
【答案】
4.若tan(α+)=3+2,则=________.
【解析】 由tan(α+)==3+2,得tan α=,
∴==tan α=.
【答案】
5.已知tan 2θ=-2,π<2θ<2π,则tan θ的值为________.
【解析】 由题意得=-2,
解得tan θ=-或tan θ=.
又π<2θ<2π,则<θ<π,
所以有tan θ=-.
【答案】 -
6.已知tan =3,则=________.
【解析】 ∵tan =3,∴原式====tan =3.
【答案】 3
7.θ是第三象限角,sin4θ+cos4θ=,则sin 2θ=________.
【解析】 sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-sin22θ=,
∴sin 22θ=,又θ为第三象限角,
∴sin θ<0,cos θ<0,
∴sin 2θ=2sin θcos θ>0,∴sin 2θ=.
【答案】
8.若sin 2α=,则tan2α+=________.
【解析】 tan2α+=+=
==
==.
【答案】
二、解答题
9.(2013·巢湖市质检)已知cos x=-,x∈(-π,0).
(1)求sin 2x的值;
(2)求tan(2x+)的值.
【解】 (1)∵cos x=-,x∈(-π,0),∴sin x=-,
∴sin 2x=2sin xcos x=.
(2)由(1)得,tan x==,∴tan 2x==,
∴tan(2x+)==-7.
10.已知sin22α+sin 2αcos α-cos 2α=1,α∈(0,),求sin α及tan α的值.
【解】 由题意得sin22α+sin 2αcos α=1+cos 2α=2cos2α,
∴2sin2αcos2α+sin αcos2α-cos2α=0.
∵α∈(0,),
∴cos α≠0,∴2sin2α+sin α-1=0,
即(2sin α-1)(sin α+1)=0.
∵sin α+1≠0,∴2sin α-1=0,∴sin α=.
∵0<α<,∴α=,∴tan α=.
11.已知函数f(x)=2sin(π-x)cos x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间[-,]上的最大值和最小值.
【解】 (1)∵f(x)=2sin(π-x)cos x
=2sin xcos x=sin 2x,
∴函数f(x)的最小正周期为π.
(2)由-≤x≤?-≤2x≤π,
∴-≤sin 2x≤1,
∴f(x)在区间[-,]上的最大值为1,最小值为-.
一、填空题
1.sin=________.
【解析】 sin= = =.
【答案】
2.+cos2 15°=________.
【解析】 原式=-+×
=-++cos 30°=.
【答案】
3.5π<θ<6π,cos=a,则sin=________.
【解析】 ∵5π<θ<6π,∴<<,∴sin<0.
sin =- =- .
【答案】 -
4.函数f(x)=2cos x(sin x+cos x)的最小正周期为________.
【解析】 f(x)=2cos x(sin x+cos x)=2cos xsin x+2cos2x=sin 2x+cos 2x+1=sin(2x+)+1.
故最小正周期为T==π.
【答案】 π
5.+2的化简结果是________.
【解析】 原式=2|cos 4|+2|sin 4-cos 4|.
∵π<4,∴cos 4<0,sin 4<cos 4.
∴原式=-2cos 4+2cos 4-2sin 4=-2sin 4.
【答案】 -2sin 4
6.在△ABC中,角A、B、C满足4sin2-cos 2B=,则角B的度数为________.
【解析】 在△ABC中,A+B+C=180°,由4sin2-cos 2B=,得4·-2cos2B+1=,
∴4cos2B-4cos B+1=0.∴cos B=,B=60°.
【答案】 60°
7.(2013·四川高考)设sin 2α=-sin α,α∈(,π),则tan 2α的值是________.
【解析】 ∵sin 2α=-sin α,∴2sin αcos α=-sin α.
∵α∈(,π),sin α≠0,
∴cos α=-.
又∵α∈(,π),∴α=π,
∴tan 2α=tan π=tan(π+)=tan =.
【答案】
8.设f(x)=+sin x+a2sin(x+)的最大值为+3,则常数a=________.
【解析】 f(x)=+sin x+a2sin(x+)
=cos x+sin x+a2sin(x+)
=sin(x+)+a2sin(x+)
=(+a2)sin(x+).
依题意有+a2=+3,∴a=±.
【答案】 ±
二、解答题
9.设π<θ<2π,cos =a,求
(1)sin θ的值;(2)cos θ的值;(3)sin2的值.
【解】 (1)∵π<θ<2π,∴<<π,
又cos =a,
∴sin ==,
∴sin θ=2sin cos =2a.
(2)cos θ=2cos2-1=2a2-1.
(3)sin2==.
10.若π<α<,化简+.
【解】 ∵π<α<,∴<<,
∴cos <0,sin >0.
∴原式=+
=+
=-+=-cos .
11.(2013·山东高考)设函数f(x)=-sin2ωx-sin ωxcos ωx(ω>0),且y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.
(1)求ω的值;
(2)求f(x)在区间[π,]上的最大值和最小值.
【解】 (1)f(x)=-sin2ωx-sin ωxcos ωx
=-·-sin 2ωx
=cos 2ωx-sin 2ωx
=-sin(2ωx-).
因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为,
又ω>0,所以=4×.
因此ω=1.
(2)由(1)知f(x)=-sin(2x-).
当π≤x≤时,≤2x-≤.
所以-≤sin(2x-)≤1.
因此-1≤f(x)≤.
故f(x)在区间[π,]上的最大值和最小值分别为,-1.
一、填空题
1.sin 37.5°cos 7.5°=________.
【解析】 原式=[sin(37.5°+7.5°)+sin(37.5°-7.5°)]=(sin 45°+sin 30°)=×(+)=.
【答案】
2.化简:=________.
【解析】 原式===tan 20°.
【答案】 tan 20°
3.函数f(x)=sin(2x-)cos(2x+)的周期是________.
【解析】 ∵f(x)=[sin 4x+sin(-)]
=sin 4x-,
∴T==.
【答案】
4.(2013·临沂高一检测)求值:sin 20°+sin 40°+sin 60°-sin 80 °=________.
【解析】 sin 20°+sin 40°+sin 60°-sin 80°
=2sin 30°cos(-10°)+sin 60°-sin 80°
=2××sin 80°+-sin 80°=.
【答案】
5.已知α-β=,且cos α+cos β=,则cos(α+β)等于________.
【解析】 ∵cos α+cos β=,∴2cos cos =,
∵α-β=π,
∴cos =.
∴cos =
则cos(α+β)=2cos2()-1=-.
【答案】 -
6.已知等腰三角形顶角的余弦值等于,则这个三角形底角的正弦值为________.
【解析】 设该等腰三角形顶角为α,底角为β,则有α+2β=π,β=-,
∴sin β=sin(-)=cos .
∵2cos2-1=cos α,
∴cos ==.
【答案】
7.直角三角形中两锐角为A和B,则sin Asin B的最大值为________.
【解析】 ∵A+B=,
sin Asin B=[cos(A-B)-cos(A+B)]
=cos(A-B),
又-<A-B<,∴0<cos(A-B)≤1,
∴sin Asin B有最大值.
【答案】
8.+=________.
【解析】 原式=
=
=
==2cos 30°=.
【答案】
二、解答题
9.已知θ∈(π,π)且sin =,求:
(1);(2)sin θ+2cos θ.
【解】 ∵sin =,θ∈(π,π),∴∈(,π).
∴cos =- =- =-.
设t=tan ===-.
(1)===t=-.
(2)sin θ+2cos θ=+2·=
==-.
10.求函数f(x)=sin x[sin x-sin(x+)]的最小正周期与最值.
【解】 f(x)=sin x[sin x-sin(x+)]
=sin x·2cos(x+)sin(-)
=-sin xcos(x+)
=-[sin(2x+)+sin(-)]
=-sin(2x+)+.
∴最小正周期为T==π.
∵sin(2x+)∈[-1,1],
∴f(x)max=,f(x)min=-.
11.已知3tan(α-)=tan(α+),求证:sin 2α=1.
【证明】 ∵3tan(α-)=tan(α+),
∴=.
∴3sin(α-)cos(α+)=sin(α+)cos(α-).
∴(sin 2α-sin )=(sin 2α+sin ).
∴3sin 2α-=sin 2α+,∴sin 2α=1.