3.2一元二次不等式
第1课时 一元二次不等式的解法
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
(1)通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；
(2)掌握利用因式分解和讨论来求解一元二次不等式的方法及这种方法的推广运用；
(3)会解含参数的一元二次不等式和可化为一元二次不等式的不等式；
(4)培养数形结合、分类讨论、等价转化的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；通过看图象找解集，培养学生“从形到数”的转化力，“由具体到抽象”、“从特殊到一般”的归纳概括能力．
2.过程与方法
经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法．
3．情感、态度与价值观
(1)激发学生学习数学的热情，培养勇于探索的精神，培养学生的合作意识和创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想；通过等与不等的对立统一关系的认识，对学生进行辨证唯物主义教育；
(2)创设问题情景，激发学生观察、分析、探求的学习激情、强化学生参与意识及主体作用.
●重点、难点
重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，学会解一元二次不等式，突出体现数形结合的思想．
难点：含参数的一元二次不等式解法．
对于本节内容而言，学生学习不会感到太大的困难，但要理解掌握本节内容所涉及的数学知识和方法，则要经历观察、思考、归纳、比较、探究的过程．含参数的一元二次不等式的解法是学生学习本节课的难点，为突破此难点学习时应采取由易到难，由浅入深的方法，先从简单的讨论开始，再进行复杂的讨论．
(教师用书独具)
●教学建议
一元二次不等式解集的求法对学生而言并不会感到困难，但理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的关系，则需要经历观察、思考、探究的过程，教学中要遵循人们认识事物的一般规律——从特殊到一般，从具体的二次函数与一元二次方程的关系出发，利用二次函数图象的直观性，借助方程的根是二次函数的两个零点，引导学生观察二次函数图象上任意一点P(x，y)在图象上移动，随着点P的横坐标x变化，点P的纵坐标y的变化情况，在获得感性认识的前提下，归纳出一般的一元二次不等式解集的求法．
本节课需要给学生的思维活动留足够的时间和空间，帮助学生了解知识形成的过程，加深对知识的理解，领悟隐藏在知识发生过程中的数学思想方法．
●教学流程
??????
(对应学生用书第46页)
课标解读
1.能从实际情境中抽象出一元二次不等式．
2.了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．(难点)
3.掌握一元二次不等式的解法．重点)
一元二次不等式
【问题导思】
观察下列不等式：
(1)x2＞0；(2)－x2＋3x≤0；(3)x2－3x＋2＞0.
上述不等式各有几个未知数，并且未知数的最高次数是多少？
【提示】 各有一个未知数，未知数的最高次数为2.
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式．
一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系
【问题导思】
1．二次函数y＝x2－2x的图象与二次方程x2－2x＝0的根有何内在联系？
【提示】 零点的横坐标是方程的根．
2．当x满足什么条件时，函数y＝x2－2x的图象在x轴上方？
【提示】 x＞2或x＜0.
3．能否根据问题2得出不等式x2－2x＞0的解集？
【提示】 能，解集为{x|x＞2或x＜0}．
4．不等式x2－2x＜0的解集呢？
【提示】 {x|0＜x＜2}．
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2且x1＜x2
有两个相等的
实数根x1，x2
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
{x|x＞x2或x＜x1}
{x|x≠－}
R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
?
?
(对应学生用书第47页)
一元二次不等式的基本解法
解下列不等式：
(1)2x2－3x－2＞0；(2)x2－3x＋5＞0；
(3)－6x2－x＋2≥0；(4)－4x2≥1－4x；
(5)2x2－4x＋7＜0；(6)x2－6x＋9＞0.
【思路探究】 化一边为0→二次项系数化为正→求对应方程的根→二次函数图象与解集
【自主解答】 (1)∵Δ＝(－3)2－4×2×(－2)＝25＞0，
∴方程2x2－3x－2＝0的两根是－，2.
∴原不等式的解集为.
(2)∵Δ＝(－3)2－4×5＝9－20＜0，
∴不等式x2－3x＋5＞0的解集为R.
(3)原不等式可化为6x2＋x－2≤0，
∵Δ＝12－4×6×(－2)＞0，
∴方程6x2＋x－2＝0的两根是－，.
∴原不等式的解集为.
(4)原不等式可化为4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0.
∴原不等式的解集是.
(5)∵Δ＝(－4)2－4×2×7＜0，
∴不等式2x2－4x＋7＜0的解集为?.
(6)∵原不等式可化为(x－3)2＞0.
∴原不等式的解集是{x|x∈R，且x≠3}．
1．本题给出了解一元二次不等式的各种常见类型，要认真体会．
2．一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式，尤其要注意“>”与“≥”，“<”与“≤”符号的区分．
解下列不等式．
(1)x2＞14＋5x；
(2)－x2＋7x＞6；
(3)x2＋x＞－.
【解】 (1)先将不等式化为x2－5x－14＞0，
∵方程x2－5x－14＝0?(x－7)(x＋2)＝0，其根为x1＝－2，x2＝7.
结合二次函数y＝x2－5x－14的图象易得不等式的解集为{x|x＜－2或x＞7}．
(2)先将不等式化为x2－7x＋6＜0，即(x－1)(x－6)＜0，∴1＜x＜6，
故不等式的解集为{x|1＜x＜6}．
(3)原不等式化为x2＋x＋＞0，
∵方程x2＋x＋＝0的判别式Δ＝0，∴方程有两相等实根，为x1＝x2＝－，
∴原不等式的解集为.
含参数的一元二次不等式的解法
解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R)．
【思路探究】 当a＝0时，不等式的解集→
a＜0时，不等式的解集→a＞0时不等式的解集
【自主解答】 若a＝0，原不等式可化为－x＋1＜0，
即x＞1.
若a＜0，原不等式可化为(x－)(x－1)＞0，
即x＜或x＞1.
若a＞0，原不等式可化为(x－)(x－1)＜0.(*)
其解的情况应由与1的大小关系决定，故
(1)当a＝1时，由(*)式可得x∈?；
(2)当a＞1时，由(*)式可得＜x＜1；
(3)当0＜a＜1时，由(*)式可得1＜x＜.
综上所述：当a＜0时，解集为{x|x＜或x＞1}；
当a＝0时，解集为{x|x＞1}；
当0＜a＜1时，解集为{x|1＜x＜}；
当a＝1时，解集为?；
当a＞1时，解集为{x|＜x＜1}．
1．含参数的一元二次不等式中，若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．
2．其次对方程的根比较大小，由根的大小确定参数的范围，然后根据范围对参数分类讨论．
若把题目中的条件“a∈R”改为“a＜1”解集又怎样？
【解】 (1)若a＝0，则原不等式可化为－x＋1<0，
即x>1；
(2)若a<0，则原不等式化为(x－)(x－1)>0，
即x<或x>1；
(3)若0
综上所述：当a<0时，解集为{x|x<或x>1}；
当a＝0时，解集为{x|x>1}；
当0可化为一元二次不等式的不等式
解下列不等式：
(1)2x2－3x＋1≤；
(2)≤2.
【思路探究】 (1)化为同底→利用y＝2x单调递增→转化为一元二次不等式
(2)移项→通分→等价转化为一元二次不等式
【自主解答】 (1)原不等式可转化为2x2－3x＋1≤2－1，
∴x2－3x＋1≤－1，即x2－3x＋2≤0，
∴不等式的解集为{x|1≤x≤2}．
(2)移项，得－2≤0，
左边通分并化简，得≤0，即≥0，
它的同解不等式为∴x<2或x≥5.
∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}．
1．通过本例可以看出：指对数不等式和分式不等式都可以转化为一元二次不等式进行求解．
2．分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进行限制，转化为不等式组．
解下列不等式：
(1)log2(x2－5x－4)＞1；(2)＜0.
【解】 (1)原不等可转化为：log2(x2－5x－4)＞log22.
∴x2－5x－4＞2，x2－5x－6＞0，
∴(x＋1)(x－6)＞0，
∴原不等式的解集为{x|x＜－1或x＞6}．
(2)原不等式可化为：＞0.
它的同解不等式为
∴x＜－2或x＞1，
∴原不等式的解集为{x|x＜－2或x＞1}.
(对应学生用书第48页)
忽略二次项系数的符号导致错误
解不等式－6x2－x＋2≥0.
【错解】 ∵方程－6x2－x＋2＝0的两个根为x1＝－，x2＝，
∴不等式的解集为.
【错因分析】 没有注意到二次项系数小于0这个情况，此时应先把二次项系数化为正数，再进行求解．
【防范措施】 解一元二次不等式时应先看二次项系数，当二次项系数为正时，可以按照“当不等式＞0，解在两根之外，当不等式＜0，解在两根之间”这一规律写出解集．当二次项系数为负时要先化成正数，再进行求解．
【正解】 不等式可转化为6x2＋x－2≤0.
∵方程6x2＋x－2＝0的两个根为x1＝－，x2＝，
∴不等式的解集为.
1．基础知识：
(1)一元二次不等式；
(2)一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系．
2．基本技能：
(1)一元二次不等式的基本解法；
(2)含参数的一元二次不等式的解法；
(3)可化为一元二次不等式的不等式的解法．
3．思想方法：
(1)分类讨论思想；
(2)转化与化归思想；
(3)函数与方程思想.
(对应学生用书第48页)
1．下列不等式：①x2＞0；②－x2－x≤5；③ax2＞2；④x3＋5x－6＞0；⑤mx2－5y＜0；⑥ax2＋bx＋c＞0.其中是一元二次不等式的有________．(填序号)
【解析】 由一元二次不等式的定义判断：③、⑥中最高次项是二次项但其系数为参数a，当a＝0时就不是一元二次不等式；④的最高次项为三次项不符合；⑤中含有x，y两个未知数也不符合．故只有①②是一元二次不等式．
【答案】 ①②
2．不等式2x2－x－1＞0的解集是________．
【解析】 不等式对应方程2x2－x－1＝0可化为
(x－1)(2x＋1)＝0，故两根为x1＝－，x2＝1，
∴原不等式解集为{x|x＜－或x＞1}．
【答案】 {x|x＜－或x＞1}
3．不等式(x＋1)(2－x)≤0的解集是________．
【解析】 不等式左边是两个一次式联乘积，而第二个一次式中x项系数为负，所以展开后二次项系数为负，故应先化为(x＋1)(x－2)≥0再求解集．
【答案】 (－∞，－1]∪[2，＋∞)
4．(原创题)若0＜a＜1，求不等式x2－(a＋)x＋1≥0的解集．
【解】 原不等式可化为(x－a)(x－)≥0，
∴对应方程(x－a)(x－)＝0两根分别为：x1＝a，x2＝.
又∵0＜a＜1，∴＞a，
∴原不等式解集为(－∞，a]∪[，＋∞).
(对应学生用书第93页)
一、填空题
1．(2013·如皋高二检测)不等式(x－1)(x－3)＞0的解集为________．
【解析】 不等式对应方程(x－1)(x－3)＝0两根为x1＝1，x2＝3，故不等式解集为{x|x＜1或x＞3}．
【答案】 (－∞，1)∪(3，＋∞)
2．(2013·济宁高二模拟)不等式－x2＋4x＋5＜0的解集为________．
【解析】 二次项系数为负，故两边同乘－1化为x2－4x－5＞0，即(x＋1)(x－5)＞0.
对应方程两根分别为x1＝－1，x2＝5，
故不等式解集为{x|x＜－1或x＞5}．
【答案】 (－∞，－1)∪(5，＋∞)
3．已知集合M＝{x|x2＜4}，N＝{x|x2－2x－3＜0}，则集合M∩N＝________.
【解析】 由x2＜4，∴－2＜x＜2；由x2－2x－3＜0，
即(x＋1)(x－3)＜0，∴－1＜x＜3.
∴M＝{x|－2＜x＜2}，N＝{x|－1＜x＜3}，
∴M∩N＝{x|－1＜x＜2}．
【答案】 (－1,2)
4．(2013·盐城高二检测)下列不等式中，解集是?的是________．(填序号)
①2x2－3x＋2>0；②x2＋4x＋4≤0；
③4－4x－x2<0；④－2＋3x－2x2>0.
【解析】 计算Δ，结合二次函数图象知④的解集是?.
【答案】 ④
5．不等式＞1的解集是________．
【解析】 原不等式可化为－1＞0，
∴＞0，
即＞0，∴＜0，
等价于∴－2＜x＜－.
【答案】 (－2，－)
6．不等式2x2－2x－3＜()3(x－1)的解集为________．
【解析】 ∵2x2－2x－3＜()3(x－1)，
∴2x2－2x－3＜23(1－x)，∴x2－2x－3＜3－3x，
即x2＋x－6＜0，解得－3＜x＜2.
【答案】 (－3,2)
7．不等式log2(x2－1)＜2的解集为________．
【解析】 ∵log2(x2－1)＜2，∴log2(x2－1)＜log24，
∴∴
∴1＜x＜或－＜x＜－1。
【答案】 (－，－1)∪(1，)
8．一元二次不等式x2－7x＋12＜0，－2x2＋x－5＞0，x2＋2＞－2x的解集分别为M，N，P，则P，M，N之间的关系是________．
【解析】 ∵x2－7x＋12＜0，∴(x－3)(x－4)＜0，
∴3＜x＜4，∴M＝{x|3＜x＜4}，
同理可得N＝?，P＝R，故N?M?P.
【答案】 N?M?P
二、解答题
9．求不等式2x2－3|x|－35＞0的解集．
【解】 法一 ∵2x2－3|x|－35＞0，
∴2|x|2－3|x|－35＞0，
∴(|x|－5)(2|x|＋7)＞0，∴|x|＞5或|x|＜－(舍去)，
∴x＞5或x＜－5.
∴原不等式的解集为(－∞，－5)∪(5，＋∞)．
法二 ∵2x2－3|x|－35＞0，
∴当x≥0时，2x2－3x－35＞0，即(x－5)(2x＋7)＞0，
∴x＜－(舍去)或x＞5；
当x＜0时，2x2＋3x－35＞0，即(x＋5)(2x－7)＞0，
∴x＜－5或x＞(舍去)．
∴原不等式解集为(－∞，－5)∪(5，＋∞)．
10．若不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1＜0的解集为R.求m的取值范围．
【解】 当m2－2m－3＝0时，m＝3或m＝－1.
若m＝3，原不等式化为－1＜0，恒成立，
原不等式的解集为R；若m＝－1，原不等式化为4x－1＜0，得x＜，
原不等式解集为{x|x＜}，不合题意，舍去．
当m2－2m－3≠0时，依题意有
∴∴－＜m＜3.
综上所述，当－＜m≤3时，不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1＜0的解集为R.
11．(2013·德州高二检测)解关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0.
【解】 原不等式可化为(x－1)(x－a)＜0，
对应方程(x－1)(x－a)＝0两根为x1＝1，x2＝a.
∴(1)当a＞1时，原不等式解集为{x|1＜x＜a}；
(2)当a＝1时，原不等式解集为?；
(3)当a＜1时原不等式解集为{x|a＜x＜1}．
综上：当a＞1时解集为(1，a)；当a＝1时无解；
当a＜1时解集为(a,1).
(教师用书独具)
设a＜1，解关于x的不等式＞0.
【思路探究】 解含参数的不等式时，一般要利用转化思想和分类讨论思想，在转化时一定要注意等价性原则．
【解】 原不等式可化为＞0，
①当a＝0时，化为＞0.
∴－2＜x＜0.
②当0＜a＜1时，化为＞0，
此时－2＜－a＜，∴－2＜x＜－a或x＞.
③当a＜0时，化为＜0.
当a＜－时，有x＜－2或＜x＜－a.
当a＝－时，有x＜且x≠－2.
当－＜a＜0时，有x＜或－2＜x＜－a.
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|－2＜x＜0}；
当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|－2＜x＜－a或x＞}；
当a＜－时，不等式的解集为{x|x＜－2或＜x＜－a}；
当a＝－时，不等式的解集为{x|x＜且x≠－2}；
当－＜a＜0时，不等式的解集为{x|x＜或－2＜x＜－a}．
解分式不等式的主要方法是移项、通分、因式分解、右边化为0，利用实数运算的符号法则等价转化为整式不等式(组)求解，本题是含有参数的分式不等式，解含参数的不等式要注意以下基本策略：
1．分清主变量与参变量，正确实施等价转化；
2．在转化过程中，考虑参数在取值范围内对运算结果是否有影响，从哪一步开始对结果有影响，就从哪一步展开对参数的讨论；
3．对不同的参数取值范围所得的结果，不能取交集，也不能取并集(因为不是对主变量x的讨论)，而应按参数分类的方法依次列出．
解关于x的不等式：≤0(a∈R)．
【解】 原不等式等价于
①当a＝0时，a＝a2＝0，不等式组化为
解集为?；
②当a＝1时，a＝a2＝1，不等式组化为
解集为?；
③当0＜a＜1时，a2＜a，
∴a2＜x≤a，故不等式的解集为{x|a2＜x≤a}；
④当a＜0或a＞1时，a2＞a，
∴a≤x＜a2，故不等式的解集为{x|a≤x＜a2}．
综上所述，当a＝0或a＝1时，不等式的解集为?；
当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|a2＜x≤a}；
当a＜0或a＞1时，不等式的解集为{x|a≤x＜a2}．
拓展
可化为一元一次不等式组来求解的不等式
我们熟悉了利用“三个二次”间的关系求解一元二次不等式的方法，虽然对任意一元二次不等式都适用，但具体操作起来还是让我们感到有点麻烦．故在求解形如(x－a)(x－b)＞0(或＜0)的一元二次不等式时，可根据有理数乘除运算的“符号法则”化为同学们更加熟悉的一元一次不等式组来求解．
解不等式(x＋4)(x－1)＞0.
【解】 原不等式等价于①或②
由①得x＞1；由②得x＜－4，
所以原不等式的解集是{x|x＜－4或x＞1}．
请问：原不等式的解集为什么是两个一次不等式组解集的并集？
(因为满足不等式组①或②中的x都能使原不等式(x＋4)(x－1)＞0成立，且反过来也是对的，故原不等式的解集是两个一元二次不等式组解集的并集．这也说明了原不等式的解集A与两个一次不等式组解集的并集B是互为子集的关系，故它们必相等．)
解不等式＜0.
【解】 原不等式等价于(x－3)(x＋7)＜0，
也等价于③或④
由③得无解，由④得－7＜x＜3，
所以原不等式的解集为{x|－7＜x＜3}．
第2课时 一元二次不等式的应用
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
(1)理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系；
(2)理解一元二次不等式的恒成立问题；
(3)让学生充分体会数学知识、数学思想方法在问题解决中的重要作用，进—步提高学习数学的兴趣；
(4)培养学生通过日常生活中的例子，找到数学认知规律，从而体会实际生活问题中数形结合的应用以及计算机在数学中的应用.
2.过程与方法
(1)通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系；
(2)经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，从中体会由实际问题建立数学模型的方法．
3．情感、态度与价值观
(1)激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，培养学生的合作意识和创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想；通过等与不等的对立统一关系的认识，对学生进行辨证唯物主义教育；
(2)创设问题情景，激发学生观察、分析、探求的学习激情，强化学生参与意识及主体作用．
●重点、难点
重点：理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系；理解一元二次不等式的恒成立问题；从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．
难点：理解二次函数图象、一元二次方程的根与一元二次不等式解集的之间的关系．
为了突出重点突破难点，可在复习二次函数的图象基础上，利用二次函数的图象结合一元二次方程让学生自主归纳一元二次不等式的解，从中使学生能够理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系．这里的关键是对特殊的一元二次不等式与二次函数和一元二次方程之间的联系进行深刻的分析，由此再推广到一般情况，这样学生理解起来就比较顺利．
(教师用书独具)
●教学建议
1．在复习二次函数的图象与一元二次方程的根的基础上，使学生理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数三者之间的关系，进而利用这三个“二次”的关系解题．在解题过程中应提醒学生关注三者之间的共同点、联系处．
2．对于不等式恒成立问题的教学，应提醒学生使用数形结合的思想方法思考问题、分析问题．注意最高次项的系数是否含有字母参数，含有字母参数时要讨论字母参数的取值(一般分正、负、零三种情况)．
3．在一元二次不等式的实际应用的教学中，建议多关注利用不等式解应用题的四个环节：①阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；②引进数学符号，用不等式表示不等关系；③解不等式；④回扣实际问题．另外，还要提醒学生注意实际问题的实际意义．
●教学流程
????
(对应学生用书第49页)
课标解读
1.能从实际情境中抽象出一元二次不等式．
2.掌握一元二次不等式的解法．(重点)
3.了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，并能利用三个“二次”的关系解题．(难点)
利用三个“二次”的关系解题
若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－3＜x＜4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b＜0的解集．
【思路探究】 由不等式
的解集→方程的解→利用韦达定理求
a、b、c关系→解所求不等式
【自主解答】 ∵ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－3＜x＜4}，
∴a＜0且－3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．
由韦达定理，得
即
∵不等式bx2＋2ax－c－3b＜0，
∴－ax2＋2ax＋15a＜0，即x2－2x －15＜0.
故所求的不等式的解集为{x|－3＜x＜5}．
1．一元二次不等式解集的区间端点值就是相应方程的实根，也是相应二次函数的零点，三者之间的相互转化是本题求解的关键．
2．由一元二次不等式解集的情况，还可判断出二次项系数的正负，解题时也要注意到．
本例中，若已知不等式解集改为“{x|－＜x＜2}”，如何求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集？
【解】 ∵ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－＜x＜2}，
∴a＜0，且－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两根．
∴－＝－＋2＝，＝－×2＝－＜0，
∴c＞0，b＝－a，c＝－a.
∴不等式cx2＋bx＋a＜0可变为(－a)x2＋(－a)x＋a＜0，即2ax2＋5ax－3a＞0.
∵a＜0，
∴2x2＋5x－3＜0，
∴所求不等式的解集为{x|－3＜x＜}.
恒成立问题
若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)＜0对任何实数x恒成立，求实数m的取值范围．
【思路探究】 对任何实数x恒成立?
不等式解集为实数集R→讨论m＋1的取值情况
【自主解答】 由题意可知当m＋1＝0，即m＝－1时，
原不等式可化为2x－6＜0，
解得x＜3，不符合题意，应舍去；
当m＋1≠0时，由(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)＜0对任何实数x恒成立，
则有
解得m＜－.
综上所述，实数m的取值范围是(－∞，－)．
1．不等式ax2＋bx＋c>0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c>0；
当a≠0时，
2．不等式ax2＋bx＋c<0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c<0；
当a≠0时，
类似地，还有f(x)≤a恒成立?[f(x)]max≤a；f(x)≥a恒成立?[f(x)]min≥a.
已知f(x)＝，对任意的x∈[1，＋∞)，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．
【解】 ∵x≥1，∴f(x)＝≥0恒成立等价于φ(x)＝x2＋2x＋a≥0(x≥1)恒成立．又等价于当x≥1时，φ(x)的最小值大于等于0恒成立．∵φ(x)＝(x＋1)2＋a－1在x≥1上是增函数，∴φ(x)min＝φ(1)＝a＋3，∴a＋3≥0，∴a≥－3.
一元二次不等式的实际应用
某摩托车生产企业，上年度生产车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆，本年度为适应市场需要，计划提高产品档次，适度增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x之间的关系式；
(2)为使本年度的利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
【思路探究】 先利用已知条件列出年利润y关于投入成本增加比例x之间的函数关系式，再利用一元二次不等式求解．
【自主解答】 (1)每辆车投入成本增加的比例为x，
则每辆车投入成本为1×(1＋x)万元，出厂价为1.2×(1＋0.75x)万元，年销量为1000×(1＋0.6x)辆．
∴y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1000×(1＋0.6x)，
即y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1)．
(2)欲保证本年度的利润比上年度有所增加，
则∴
解得0＜x＜.
答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足0＜x＜.
1．本题解题关键是利用题目给出的等量关系，即年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量，转化为函数形式．
2．利用不等式解应用题可按以下四步进行：
(1)阅读理解、认真审题、把握问题中的关键量、找准不等关系；
(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)；
(3)解不等式(或求函数最值)；
(4)回扣实际问题．
某种商品，现在定价每件p元，每月卖出n件，因而现在每月售货总金额是np元．设定价上涨x成，卖出数量减少y成，售货总金额变成现在的z倍．
(1)用x和y表示z；
(2)若y＝x，求使售货金额有所增加的x值的范围．
【解】 (1)按现在的定价上涨x成时，上涨后的定价为p(1＋)元，卖出数量为n(1－)件，售货总金额是npz元，因而npz＝p(1＋)·n(1－)，
所以z＝(0＜x，y＜10)．
(2)当y＝x时，z＝，
要使售货总金额有所增加，
即z＞1，
应有(10＋x)(10－x)＞100，
即x(x－5)＜0，
所以0＜x＜5.
所以所求x的范围是(0,5).
(对应学生用书第50页)
忽略二次项系数的讨论而致误
关于x的方程ax2－x－a－1＝0仅有一个实数根，求实数a的值．
【错解】 由于关于x的方程ax2－x－a－1＝0仅有一个实数根，则实数a满足Δ＝1－4a(－a－1)＝0，解得a＝－.
【错因分析】 二次项的系数a可能为0，当a＝0时，关于x的方程ax2－x－a－1＝0不是一元二次方程，此时不存在判别式Δ.
【防范措施】 当二次项的系数不确定时，需要对二次项的系数是否为0进行分类讨论．
【正解】 当a＝0时，关于x的方程ax2－x－a－1＝0为－x－1＝0，解得x＝－1，即a＝0满足题意．
当a≠0时，关于x的方程ax2－x－a－1＝0是一元二次方程，则实数a满足Δ＝1－4a(－a－1)＝0，解得a＝－.
综上所得，a＝0或－.
1．基本技能：
(1)利用三个“二次”的转化解题；
(2)不等式恒成立问题的解法；
(3)运用一元二次不等式解决实际问题．
2．思想方法：
(1)函数思想；
(2)转化思想；
(3)分类讨论思想；
(4)方程思想.
(对应学生用书第50页)
1．不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为{x|＜x＜}，则a，c的值为________．
【解析】 由题意，与是方程ax2＋5x＋c＝0两根且a＜0.由根与系数的关系＝＋＝，
∴a＝－6.又＝×＝，∴c＝－1.
【答案】 a＝－6，c＝－1
2．函数y＝的定义域为________．
【解析】 由已知
∴0＜x2－3≤1，
∴3＜x2≤4，∴－2≤x＜－或＜x≤2.
∴定义域为[－2，－)∪(，2]．
【答案】 [－2，－]∪[，2]
3．设集合A＝{x|(x－1)2＜3x＋7，x∈R}，则集合A∩Z中有________个元素．
【解析】 不等式(x－1)2＜3x＋7可化为x2－5x－6＜0解之得－1＜x＜6，即A＝{x|－1＜x＜6}，
∴集合A∩Z＝{0,1,2,3,4,5}．
【答案】 6
4．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0，对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．
【解】 当a＝2时不等式可化为－4＜0对一切实数x恒成立；
当a≠2时，由题意得
∴
∴－2＜a＜2.
∴a的取值范围是(－2,2].
(对应学生用书第94页)
一、填空题
1．(2013·临沂高二检测)下列不等式中解集为实数集R的是________．(填序号)
①x2＋4x＋4＞0；②＞0；③x2－x＋1≥0；④－1＜.
【解析】 ①不等式可化为(x＋2)2＞0，∴解集为{x|x≠－2}；②不等式解集为{x|x≠0}；③由Δ＝1－4＜0，∴不等式解集为R；④由定义域要求x≠0，∴解集为{x|x≠0}．
【答案】 ③
2．函数f(x)＝lg(x2－3x－4)的定义域是________．
【解析】 由已知x2－3x－4＞0，
解得x＞4或x＜－1，
即函数f(x)的定义域为{x|x＞4或x＜－1}．
【答案】 {x|x＞4或x＜－1}
3．若不等式x2－x≤0的解集为M，函数f(x)＝ln(1－|x|)的定义域为N，则M∩N为________．
【解析】 由x2－x＝x(x－1)≤0，∴0≤x≤1，∴M＝{x|0≤x≤1}，
由1－|x|＞0，∴|x|＜1，∴－1＜x＜1，∴N＝{x|－1＜x＜1}．
∴M∩N＝{x|0≤x＜1}．
【答案】 [0,1)
4．已知x＝1是不等式k2x－6kx＋8≥0(k≠0)的解，则k的取值范围是________．
【解析】 将x＝1代入得k2－6k＋8≥0(k≠0)，
∴k≤2或k≥4.
【答案】 (－∞，2]∪[4，＋∞)
5．(2013·扬州高二检测)设关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为(－1，)，则a－b＝________.
【解析】 由不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为(－1，)，
∴a＜0且－1与是方程ax2＋bx＋1＝0两根．
∴即
∴a－b＝－3＋2＝－1.
【答案】 －1
6．(2013·石家庄高二检测)若函数y＝的定义域是R，则实数k的取值范围为________．
【解析】 ①当k＝0时，kx2－6kx＋k＋8＝8满足条件；
②当k>0时，必有Δ＝(－6k)2－4k(k＋8)≤0，
解得0＜k≤1.综上， 0≤k≤1.
【答案】 [0,1]
7．(2013·无锡高二检测)不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(－3，－1)，则a∶b∶c＝________.
【解析】 由不等式ax2＋bx＋c＜0解集为(－3，－1)
∴a＞0且－3与－1是方程ax2＋bx＋c＝0两根
∴－＝－3－1＝－4，b＝4a；
＝(－3)×(－1)＝3，c＝3a.
∴a∶b∶c＝a∶4a∶3a＝1∶4∶3.
【答案】 1∶4∶3
8．当x∈(1,2]时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
【解析】 构造函数，设f(x)＝x2＋mx＋4，x∈(1,2]．由于x∈(1,2]时f(x)<0恒成立，则??m≤－5.
【答案】 m≤－5
二、解答题
9．已知A＝，B＝{x|x2－(a＋1)·x＋a≤0}．
(1)若a＝，求A∪B；
(2)A?B，求a的取值范围．
【解】 (1)由≤1得≤0，∴1＜x≤2，∴A＝{x|1＜x≤2}．当a＝时，x2－(a＋1)x＋a≤0化为x2－x＋≤0，解得≤x≤1，∴B＝{x|≤x≤1}，∴A∪B＝{x|≤x≤2}
(2)∵A＝{x|1＜x≤2}，又x2－(a＋1)x＋a≤0化为(x－1)(x－a)≤0，∴要使A?B，必须有a≥2，∴a的取值范围是{a|a≥2}．
10．国家原计划以2 400元/t的价格收购某种农产品m t，按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策，根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
【解】 设税率调低后的税收总收入为y元，则：
y＝2 400m(1＋2x%)·(8－x)%＝－m(x2＋42x－400)(0＜x≤8)，
由题意知y≥2 400m×8%×78%，
即－m(x2＋42x－400)≥2 400m×8%×78%，
∴x2＋42x－88≤0，即－44≤x≤2.
∵0＜x≤8，∴0＜x≤2.
11．已知不等式ax2－3x＋2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．
(1)求a、b的值；
(2)解关于x的不等式x2－b(a＋c)x＋4c＞0.
【解】 (1)由题意知a＞0且1，b是方程ax2－3x＋2＝0的两根．
∴a＝1，又1×b＝＝2，∴b＝2.
(2)由(1)不等式可化为
x2－2(c＋1)x＋4c＞0，即(x－2c)(x－2)＞0.
∴当2c＞2即c＞1时不等式的解集为{x|x＜2或x＞2c}；
当2c＝2即c＝1时不等式的解集为{x|x≠2}；
当2c＜2即c＜1时不等式的解集为{x|x＜2或x＞2}．
综上：当c＞1时不等式的解集为{x|x＜2或x＞2c}；当c＝1时不等式的解集为{x|x≠2}；当c＜1时不等式的解集为{x|x＜2或x＞2}.
(教师用书独具)
设函数f(x)＝mx2－mx－6＋m.
(1)若对于m∈[－2,2]，f(x)＜0恒成立，求实数x的取值范围；
(2)若对于x∈[1,3]，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围．
【思路探究】 本题考查恒成立问题中字母的范围．虽然给出的是关于x的函数f(x)，但在第(1)问中已知m的范围求x的取值范围，需要我们将函数转化为关于m的一次函数(即把x看作参数)来求解．
【自主解答】 (1)设g(m)＝mx2－mx－6＋m＝(x2－x＋1)m－6，
则g(m)是关于m的一次函数，
且一次项系数为x2－x＋1.
∵x2－x＋1＝(x－)2＋＞0，
∴g(m)在[－2,2]上单调递增．
∴g(m)＜0等价于g(2)＝2(x2－x＋1)－6＜0.
∴x的取值范围为{x|－1＜x＜2}．
(2)法一 ∵f(x)＝m(x－)2＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立，
∴
或或
解得m＜，即m的取值范围为{m|m＜}．
法二 要使f(x)＝m(x2－x＋1)－6＜0在x∈[1,3]上恒成立，则有m＜在x∈[1,3]上恒成立．
而当x∈[1,3]时，
＝≥＝，
∴m＜.
即m的取值范围为{m|m＜}
1．本题第(1)问运用了“变更主元法”(由x→m)，变更主元法就是根据实际解题的需要确定合适的主元，以突出主要矛盾，使问题得以顺利解决．
2．本题第(2)问的法一，把不等式恒成立问题转化为二次函数在闭区间上的最值来解决；法二，利用了分离参数的方法，若m＜f(x)在x∈[a，b]上恒成立，则只须m＜[f(x)]min即可；若m＞f(x)在x∈[a，b]恒成立，则只须m＞[f(x)]max即可．
已知不等式2x－1＞m(x2－1)．
(1)若对于所有实数x，不等式恒成立，求m的取值范围；
(2)若对于m∈[－2,2]，不等式恒成立，求x的取值范围．
【解】 (1)原不等式等价于mx2－2x＋(1－m)＜0，若对x∈R成立，
则当且仅当m无解．
(2)设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，
由于m∈[－2,2]时，f(m)＜0恒成立．
故?
解①得＜x＜，
解②得x＜或x＞.
∴＜x＜，因此，x的取值范围是{x|＜x＜}．
拓展
简单高次不等式的解法
对于形如(ax＋b)(cx＋d)(px＋q)＞0(＜0)的不等式，其中a，b，c，d，p，q是常数，且acp＞0，可以通过分析函数f(x)＝(ax＋b)(cx＋d)(px＋q)的图象求解．一般地，函数f(x)＝(ax＋b)(cx＋d)(px＋q)的图象(一条不间断的曲线)与x轴有三个交点，把这三交点看成“针眼”，函数f(x)的图象看成“线”，则x轴上方的“线”所示函数值为“＋”，x轴下方的“线”所示函数值为“－”，可得不等式(ax＋b)(cx＋d)(px＋q)＞0(＜0)的解集，此法称为“穿针引线法”．
步骤为：(1)求出方程(ax＋b)(cx＋d)(px＋q)＝0的根，并在数轴上标出；
(2)用曲线从右上方至左蛇形穿过各根；
(3)记数轴上方为正，下方为负，根据不等号写出解集．
若不等式(ax＋b)(cx＋d)(px＋q)＞0(＜0)中，acp＜0，则不等式两边应先同时乘以－1，改变不等号的方向，再运用上述方法求解．
解不等式(x＋1)(2－x)(x－3)＞0.
【解】 原不等式可化为(x＋1)(x－2)(x－3)＜0，且方程(x＋1)(x－2)(x－3)＝0的根为x1＝－1，x2＝2，x3＝3，
则由穿针引线法(如图)可得原不等式的解集为{x|x＜－1或2＜x＜3}．
不等式＞0的解集是________．
【解析】 不等式＞0可化为＞0，
即(x＋1)(x＋2)(x－2)＞0，
则由穿针引线法可得原不等式的解集为{x|－2＜x＜－1或x＞2}．
【答案】 {x|－2＜x＜－1或x＞2}.
3.3.2 二元一次不等式组表示的平面区域
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
(1)从实际情境中抽象出二元一次不等式组；
(2)了解二元一次不等式组的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．
2.过程与方法
(1)本节课是在学习了相关内容后的第二节课，学生已经学会了如何画出一元二次不等式所表示的平面区域．这节课主要是通过实际生活中的例子提供给学生应用数学的实践机会．教师要善于引导学生思维，调动学习兴趣，让他们乐学并巧学，真切体会到数学在生活中的妙用．针对本堂课的特点，采用多媒体教学可更好地促进教学双赢；
(2)经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力；经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想．
3．情感、态度与价值观
(1)通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣，培养学生数形结合、化归、集合的数学思想；
(2)结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新；
(3)培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力，加强学生之间的合作互助精神，并从数形结合中得到辩证唯物主义的思想教育．
●重点、难点
重点：理解二元一次不等式组表示平面区域并能把不等式(组)所表示的平面区域画出来．
难点：把实际问题抽象化，用二元一次不等式(组)表示平面区域．
为了突出重点，化解难点，在教学中要注意启发学生观察图象，循序渐进地理解掌握相关概念．以学生探究为主，老师点拨为辅，学生之间分组讨论，交流心得，分享成果，进行思维碰撞．同时可借助计算机等多媒体工具来进行演示．
(教师用书独具)
●教学建议
首先把本节所要学习的知识设计成问题的形式，通过分组讨论，促使学生在上节所学“二元一次不等式表示的平面区域”的基础上自己探究二元一次不等式组表示的平面区域，让学生在活动中学会沟通和合作，提高分析和处理信息能力．
然后通过例题与练习，让学生巩固掌握二元一次不等式组表示的平面区域及其作法．在这个过程中，也要充分尊重学生的自主性，以学生探究为主，教师点拨为辅，重在培养创新．
●教学流程
?????
(对应学生用书第54页)
课标解读
1.能从实际情境中抽象出二元一次不等式组．(难点)
2.能用平面区域表示二元一次不等式组．(重点)
二元一次不等式组表示的平面区域
二元一次不等式组表示的平面区域，是构成不等式组的各个不等式所表示平面区域的公共部分.
作平面区域的方法
作平面区域的方法：
(1)根据各不等式，得出边界所在直线的方程；
(2)画出边界所在直线；
(3)根据不等号，确定平面区域．
(对应学生用书第54页)
画二元一次不等式组表示的平面区域
画出不等式组表示的平面区域．
【思路探究】 分别画出三个不等式表示的区域→找出公共区域
【自主解答】 原不等式组等价于
将(1,0)分别代入①②③的左边知不等式①表示的平面区域在直线x－y＝0的下方；
不等式②表示的平面区域在直线x＋2y－4＝0的下方；
不等式③表示的平面区域在直线y＋2＝0的上方．
故不等式组表示的平面区域为图所示中的三角形阴影部分．
1．本例中，应先对每一个不等式所表示的平面区域作出正确的判断，保证不因某一个不等式所表示的平面区域产生错误，其次应注意不等式所表示的平面区域是否包括边界．
2．画二元一次不等式组表示的平面区域的步骤：画线→定侧→求“交”→表示．
画出不等式组表示的平面区域．
【解】 不等式x＜3表示直线x＝3左侧的点的集合；
不等式2y≥x，即x－2y≤0，表示直线x－2y＝0上及其上方的点的集合；
不等式3x＋2y≥6，即3x＋2y－6≥0，表示直线3x＋2y－6＝0上及其上方的点的集合；
不等式3y＜x＋9，即x－3y＋9＞0，表示直线x－3y＋9＝0下方的点的集合．
综上可得不等式组表示的平面区域如图所示.
由平面区域求二元一次不等式组
已知点A(3，－1)，点B(－1,1)，点C(1,3)，写出△ABC的内部区域所对应的二元一次不等式组．
【思路探究】 先求出边界所在直线的方程，再根据区域与边界的位置关系确定不等号是“＞”还是“＜”．
【自主解答】
如图所示，直线AB的方程为＝，即x＋2y－1＝0，区域在直线AB的上方，故x＋2y－1＞0.
直线AC的方程为＝，即2x＋y－5＝0，
区域在直线AC的下方，故2x＋y－5＜0.
直线BC的方程为＝，即x－y＋2＝0，
区域在直线BC的下方，故x－y＋2＞0.
所以△ABC的内部区域所对应的二元一次不等式组为
1．本例中，要求写出的是△ABC的“内部区域”所对应的二元一次不等式组，不包括边界，故不等式组中的各个不等式均不带等号．
2．由平面区域求不等式组的步骤：
(1)在平面区域内取一点P(x0，y0)；
(2)设一边界所在直线方程为Ax＋By＋C＝0，得P(x0，y0)，代入到Ax＋By＋C中，比较Ax0＋By0＋C与0的关系，确定不等号；
(3)依次同理确定其它不等式；
(4)得不等式组．
用不等式组表示图3－3－4中的阴影区域．
图3－3－4
【解】 利用两点式求得直线方程为
AB：x＋y＋15＝0，
BC：x－2y－4＝0，
CD：3x＋2y－12＝0，
DA：3x－17y＋45＝0.
取特殊点(0,0)代入x＋y＋15，得0＋0＋15＞0，所以阴影部分在不等式x＋y＋15≥0所示平面区域内．同理可知它分别在不等式x－2y－4≤0,3x＋2y－12≤0,3x－17y＋45≥0所表示的平面区域内．
故所求的不等式组为
平面区域中的整点问题
利用平面区域求不等式组的整数解．
【思路探究】 由不等
式组→画可
行域→得x的取
值范围→求出整
数解
【自主解答】 设l1：2x－y－3＝0，l2：2x＋3y－6＝0，l3：3x－5y－15＝0，l1∩l2＝A，l1∩l3＝B，l2∩l3＝C.
则A(，)，B(0，－3)，C(，－)．
作出不等式组表示的平面区域，如图所示，可以看出区域内点的横坐标在区间(0，)内，
取x＝1,2,3，当x＝1时，代入原不等式组，有
得－＜y＜－1，∴y＝－2.
区域内有整点(1，－2)．
同理可求得另外三个整点(2,0)，(2，－1)，(3，－1)．
∴不等式组的整数解的集合为{(1，－2)，(2,0)，(2，－1)，(3，－1)}．
1．本例中，先由所给不等式组画出平面区域，再找出其中的整点．
2．求不等式组的整数解即求不等式组所表示的平面区域内的整点坐标，常有两种处理方法：一种是通过打出网格求整点，关键是作图要准确，另一种是本题解答中所采用的先确定区域内点的横坐标的范围，确定x的所有整数值，再代回原不等式组，得出y的一元一次不等式组，再确定y的相应的整数值，即先固定x，再用x制约y.
求不等式组表示的平面区域的面积及平面区域内的整点坐标．
【解】 画出不等式组表示的平面区域如图所示，区域图形为直角三角形(不包括x轴和y轴)，
∴面积S＝×4×3＝6，∴x的整数值只有1,2.
当x＝1时，代入4x＋3y≤12，得y≤，∴整点坐标为(1,2)，(1,1)．
当x＝2时，代入4x＋3y≤12，得y≤，∴整点坐标为(2,1)．
综上所述，平面区域内的整点坐标为(1,1)，(1,2)和(2,1).
(对应学生用书第55页)
由不等式组画平面区域时忽视不等式的符号致误
画出不等式组表示的平面区域．
【错解】 先画直线x－y－1＝0和直线2x－y－3＝0，x－y－1＜0表示直线x－y－1＝0及其下方的平面区域，2x－y－3≥0表示直线2x－y－3＝0及其上方的平面区域，所以不等式组表示的平面区域如图所示．
【错因分析】 本题的错解中误认为Ax＋By＋C＜0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的下方，Ax＋By＋C＞0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方，而且虚、实线弄错．
【防范措施】 在解决此类问题时，要严格按照步骤去做，不要想当然．
【正解】 先画直线x－y－1＝0(虚线)，不等式x－y－1＜0表示直线x－y－1＝0及其上方的平面区域．画出
直线2x－y－3＝0(实线)，不等式2x－y－3≥0表示直线2x－y－3＝0及其下方的平面区域．所以不等式组表示的平面区域如图所示．
1．基础知识：
(1)二元一次不等式组表示的平面区域；
(2)作平面区域的方法．
2．基本技能：
(1)画出二元一次不等式组表示的平面区域；
(2)由平面区域求二元一次不等式组；
(3)求平面区域中的整点．
3．思想方法：
(1)数形结合思想；
(2)正难则反思想．
(对应学生用书第56页)
1．点A(0,0)，B(0,2)，C(－3,2)，D(－2,0)在平面区域内的有________．
【解析】 代入检验，两个不等式都满足才可以．
【答案】 B(0,2)
2．图3－3－5中阴影部分对应的二元一次不等式组是________．(填序号)
图3－3－5
① ②
③ ④
【解析】 由阴影为三角形排除①②，取特殊点(如(0,1))代入易知选③.
【答案】 ③
3．如图3－3－6所示，图中阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示，此二元一次不等式组是________．
图3－3－6
【解析】 取点(0,0)代入验证，即可求出．
【答案】
4．画出不等式组表示的平面区域．
【解】 不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0及其下方的平面区域，x＋y≥0表示直线x＋y＝0及其上方的平面区域，x≤3表示直线x＝3及其左方的平面区域，
所以不等式组表示的平面区域如图所示．
(对应学生用书第96页)
一、填空题
1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)＜0表示的平面区域是图中的________．(填序号)
【解析】 原不等式可化为：
或
分别作出两不等式组表示的平面区域，合在一起即可．
【答案】 (1)
2．(思维拓展题)点P是不等式2x＋y＋1≤0表示的区域内一点，则原点O到点P的最小距离为________．
【解析】 数形结合，dmin＝＝.
【答案】
3．由直线x＋y＋2＝0，x＋2y＋1＝0和2x＋y＋1＝0围成的三角形区域(含有边界)，用不等式组表示为________．
【解析】 在平面直角坐标系中画出三条已知直线，如图所示，显然点(－1，－)在区域内，代入检验知，所求不等式组为
【答案】
4．(2013·扬州检测)不等式组表示的平面区域的面积为________．
【解析】 先画出不等式组表示的平面区域(如图)由图知平面区域为Rt△ABC，由得A(－3,3)，
由得B(3,9)，
由得C(3，－3)．
∴|AB|＝6，|AC|＝6，∴S△ABC＝36.
【答案】 36
5．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．
【解析】 作出不等式组表示的平面区域如图所示，由图形知5≤a＜7时平面区域是一个三角形．
【答案】 [5,7)
6．不等式组表示的平面区域内的整点个数是________．
【解析】 将不等式组所表示的平面区域画出来，如图所示．
当x＝0时，y可取0,1,2,3,4,5，共6个整点；
当x＝1时，y可取－1,0,1,2,3,4,5,6，共8个整点；
当x＝2时，y可取－2，－1,0,1,2,3,4,5,6,7，共10个整点；
当x＝3时，y可取12个整点．因此共有36个整点．
【答案】 36
7．小明要买8角和2元的邮票若干张，并要求每种邮票都至少要买2张，如果小明有10元钱，他可以有________种不同的买法．
【解析】 设8角的邮票买x张，2元的邮票买y张，根据题意可知x，y应满足不等式组所表示的平面区域如图所示，
而x，y在该区域内都不小于2的整数点的个数有11个，所以小明有11种购买方法，分别是(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(5,3)，(6,2)，(7,2)．
【答案】 11
8．不等式|x－2|＋|y－2|≤2所表示的平面区域的面积为________．
【解析】 原不等式等价于作出该不等式组所表示的平面区域，如图所示，它是边长为2的正方形，面积等于8.
【答案】 8
二、解答题
9．画出不等式组表示的平面区域．
【解】 不等式x＋y－1≥0表示的平面区域为直线x＋y－1＝0的右上方(包
括直线)区域；不等式x－y≥0表示的平面区域为直线x－y＝0右下方(包括直线)区域；不等式x≤2表示的平面区域为直线x＝2左方(包括直线)区域．所以原不等式组表示的平面区域如图所示．
10．△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0,4)，B(－2,0)，C(2,0)，求△ABC内任一点(x，y)所满足的条件．
【解】 △ABC三边所在直线方程分别为：lAB：2x－y＋4＝0；lAC：2x＋y－4＝0；lBC：y＝0.△ABC内任意一点(x，y)都在直线AB，AC的下方，且在直线BC的上方．故满足的条件为
11．求不等式组表示的平面区域中共有多少个整点．
【解】 不等式组表示的平面区域如图所示，显然，平面区域中的整点坐标为(1，－1)，(2，－2)，(0,0)和(0，－1)，共有4个整点．
(教师用书独具)
画出不等式|x|＋|y|≤1所表示的平面区域．
【思路探究】 可先将绝对值符号去掉，再画出表示的平面区域，最后由对称性作出其他的符合题意的平面区域．
【自主解答】 先作出所表示的平面区域，即为Rt△OAB边界及其内部，由关系式的特征知不等式|x|＋|y|≤1所表示的平面区域如图所示．
求含绝对值的不等式表示的平面区域的方法：
(1)去绝对值符号，从而把含绝对值的不等式转化为普通的二元一次不等式．
(2)一般采用分象限讨论去绝对值符号．
(3)利用对称性可避免对绝对值的讨论．
(4)在方程f(x·y)＝0或不等式f(x·y)＞0中，若将x(y)换成－x(－y)，方程或不等式不变，则这个方程或不等式所表示的图形就关于y(x)轴对称．
画出不等式|3x＋4y－1|≤5所表示的平面区域．
【解】 |3x＋4y－1|≤5，即－5≤3x＋4y－1≤5，
得不等式组
故点(x，y)在如图所示的条形区域内(含边界)．
拓展
直线划分平面区域的应用
在平面直角坐标系中，直线Ax＋By＋C＝0(不妨设A＞0，B＞0为直线l；A＞0，B＜0为直线l′)上方的点P(x0，y0)使得Ax0＋By0＋C＞0(A＞0，B＞0)或Ax0＋By0＋C＜0(A＞0，B＜0)；直线下方的点P(x0，y0)使得Ax0＋By0＋C＜0(A＞0，B＞0)或Ax0＋By0＋C＞0(A＞0，B＜0)．下面就其在解题中的应用给出几个范例．
用解析法证明：等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于定值．
【证明】 建立直角坐标系，如图，设边长为2a，则A(0，a)，B(－a,0)，C(a,0)，直线AB的方程为x－y＋a＝0，直线AC的方程为x＋y－a＝0，直线BC的方程为y＝0.
设P(x0，y0)是△ABC内任意一点，则
|PD|＋|PE|＋|PF|＝＋y0＋.
∵点P在直线AB，AC的下方，
∴|PD|＋|PE|＋|PF|＝＋y0＋＝a(定值)．
已知三角形的三边AB、AC、BC所在的直线方程分别为3x＋4y＋2＝0、3x－4y＋12＝0、4x－3y＝0，求其内切圆的圆心坐标和半径．
【解】 设P(x0，y0)为△ABC的内心，则P在AC的下方，在BC、AB的上方，于是有
解得
∴内切圆圆心的坐标为(－，)，半径r＝＝.
3.4.2 基本不等式的应用
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
(1)能够运用基本不等式解决生活中的应用问题；
(2)进一步掌握用基本不等式求函数的最值问题；
(3)审清题意，综合运用函数关系、不等式知识解决一些实际问题．
2.过程与方法
整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心来进行．
3．情感、态度与价值观
(1)引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德；
(2)进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性．
●重点、难点
重点：对由基本不等式推导出的命题的理解以及利用此命题求某些函数的最值．突破重点的关键是对基本不等式的理解．
难点：理解利用基本不等式求最值时的三个条件“一正，二定，三相等”.
(教师用书独具)
●教学建议
本节课是基本不等式应用举例，是上节基本不等式的证明的延伸．整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心来进行，列出函数关系式是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一．要对学生强调，解实际问题时首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．
对例题的处理可先由学生思考，然后师生共同对解题思路进行概括总结，使学生更深刻地领会和掌握解应用题的方法和步骤．提醒学生注意：(1)使用基本不等式的条件是一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小；(2)求最值常用的不等式：a＋b≥2，ab≤()2，a2＋b2≥2ab.
●教学流程
??????
(对应学生用书第65页)
课标解读
1.掌握基本不等式≤(a≥0，b≥0)．(重点)
2.能用基本不等式求解简单的最大(小)值问题(指只用一次基本不等式即可解决的问题)．(难点)
基本不等式与最值
已知a≥0，b≥0，在运用基本不等式时，要注意：
(1)和a＋b一定时，积ab有最大值；
(2)积ab一定时，和a＋b有最小值；
(3)取等号的条件(当且仅当a＝b时，＝)．
基本不等式的常见变形
【问题导思】
若a＞0，b＞0，则ab、()2、的大小关系如何？
【提示】 由基本不等式≤，
∴ab≤()2(两边平方)，由2ab≤a2＋b2，
∴()2＝≤＝，
∴ab≤()2≤.
1．若a∈R，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立．
2．若a>0，b>0则ab≤()2≤，当且仅当a＝b时等号成立．
3．若a>0，b>0，则≤ ≤ ，当且仅当a＝b时等号成立.
(对应学生用书第65页)
基本不等式的变形应用
求y＝＋的最大值．
【思路探究】 由()2＋()2＝2(定值)，利用基本不等式的变形：≤≤ ，可求．
【自主解答】 由知定义域为x∈[－1,1]．
又()2＋()2＝1－x＋1＋x＝2(定值)，
∴y＝＋≤＝＝2，
当且仅当1－x＝1＋x即x＝0时，等号成立．
∴ymax＝2.
1．本例中，由于()2＋()2＝2(定值)，因而不宜使用基本不等式，应该使用不等式的变式≤ .
2．对于基本不等式及其变式，在利用这些不等式求最值时，要保证一侧为定值，并保证等号成立，要根据已知条件和所求，灵活地选取公式．
长为50米的钢丝，截开后分别围成两个正方形，设两个正方形的边长分别为x m，y m，当x，y分别为多少时，面积和最小？最小值为多少？
【解】 由题意，x＋y＝＝，设面积和为S，则S＝x2＋y2≥2()2＝2()2＝，当且仅当x＝y＝时等号成立．∴当x＝y＝m时，Smin＝m2.
求字母参数的取值范围
已知正数a、b满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围．
【思路探究】 思路一：将b＝代入消元；
思路二：利用基本不等式≤得关于ab的不等式．
【自主解答】 法一 由ab＝a＋b＋3，得b＝.
由b＞0，得＞0.∵a＞0，∴a＞1.
∴ab＝a·＝
＝
＝(a－1)＋＋5≥2＋5＝9.
当且仅当a－1＝，即a＝3时，取等号，此时b＝3.
∴ab的取值范围是[9，＋∞)．
法二 由于a、b为正数，∴a＋b≥2.
∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，即()2－2－3≥0.
∴≥3，故ab≥9，当且仅当a＝b＝3时，取等号．
∴ab的取值范围是[9，＋∞)．
1．本题中，要求ab的取值范围，在使用已知条件等式的方法上灵活多样，但最终都归结为基本不等式的应用．
2．利用基本不等式，求字母参数的取值范围，关键是怎样由等式通过放缩得出不等式．
若题中条件不变，如何求a＋b的取值范围．
【解】 法一 ∵ab＝a＋b＋3，∴b＝(a＞1)，
∴a＋b＝a＋＝a＋＝(a－1)＋＋2≥2×2＋2＝6，当a＝b＝3时等号成立．
∴a＋b的取值范围是[6，＋∞)
法二 ∵ab≤()2，∴a＋b＋3≤()2即－(a＋b)－3≥0，解之得a＋b≥6或a＋b≤－2(舍去)，∴a＋b的取值范围是[6，＋∞).
利用基本不等式解实际应用题
某商场预计全年分批购入每台价值2 000元的电视机共3 600台，每批都购入x台(x∈N*)，且每批均需运费400元，贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入的电视机的总价值(不包括运费)成正比，若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元．现在全年只有24 000元资金可以用于支付这笔费用，能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？
【思路探究】 首先建立总费用y与每批进货量x之间的函数关系，再由基本不等式求总费用y的最小值，与所给24 000元比较．
【自主解答】 设每批购买x台电视机，共需运输和保管的总费用为y元．由题意可得保管费为k·2 000x(k＞0)元，总运输费为400·元．
由题意得43 600－400×9＝k×400×2 000，
所以k＝，所以y＝×2 000x＋400×＝100(x＋)≥100×2＝24 000.
当且仅当x＝，即x＝120时，等号成立．
所以安排每批购买120台电视机，可以使资金够用．
1．本题中的函数模型属于“y＝ax＋”型．一般地，y＝ax＋(x≠0，a，b为常数且a＞0，b＞0)的最值(或值域)可分以下几种情况：
(1)若x∈(0，＋∞)，则由基本不等式，可知当x＝时，y取得最小值2；若x∈(－∞，0)，则由基本不等式，可知当x＝－时，y取得最大值－2；若x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则函数的值域为(－∞，－2)∪[2，＋∞)；
(2)若±不在函数定义域内，则需要根据函数的单调性求最值及值域．
2．在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案．
某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元．且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元．
(1)写出4辆车运营的总利润y(万元)与运营年数x(x∈N*)的函数关系式；
(2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？
【解】 (1)依题意，每辆车x年总收入为100x万元，
总支出为200＋x(x＋1)·16万元．
∴y＝4[100x－200－x(x＋1)·16]
＝16(－2x2＋23x－50)(x∈N*)．
(2)年平均利润为＝16(23－2x－)
＝16[23－2(x＋)]．
又x∈N*，
∴x＋≥2＝10，
当且仅当x＝5时等号成立，
此时≤16×(23－20)＝48.
∴运营5年可使年平均运营利润最大.
(对应学生用书第67页)
多次使用基本不等式时，等号不同时成立致误
已知实数a，b，x，y满足a2＋b2＝1，x2＋y2＝3，则ax＋by的最大值是多少？
【错解】 ∵a2＋b2＝1，x2＋y2＝3，
∴ax＋by≤＋＝＝＝2.
【错因分析】 在解题的过程中，两次应用了基本不等式，若最大值要取到2，则必须满足两个不等式同时取到等号，即a＝x，b＝y同时成立，由条件知显然不能同时成立，所以最大值取不到2.
【防范措施】 在同一个题目中，若需要多次使用基本不等式，则必须使等号成立的条件相同．
【正解】 设a＝sin θ，b＝cos θ，x＝sin β，y＝cos β，
∴ax＋by＝sin θ·sin β＋cos θ·cos β＝cos(θ－β)≤.当且仅当cos(θ－β)＝1时取等号，此时ax＋by的最大值为.
1．基础知识：
(1)基本不等式与最值；
(2)基本不等式的常见变形．
2．基本技能：
(1)基本不等式的变形应用；
(2)求字母参数的取值范围；
(3)利用基本不等式解实际应用题．
3．思想方法：
(1)函数思想；
(2)转化与化归思想．
(对应学生用书第67页)
1．下列各式：①lg(x2＋1)≥lg 2x；②x2＋1＞2x；③≤1；④x＋≥2.其中对任意实数x都成立的是________．(填序号)
【解析】 ①x不能取0和负数；②x＝1时不成立；③∵x2＋1≥1，∴≤1，∴对任意实数x都成立；④x不能取0.
【答案】 ③
2．已知x，y都是正数，且＋＝1，则x＋y的最小值等于________．
【解析】 x＋y＝(x＋y)(＋)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当x＝2＋时，等号成立．
【答案】 3＋2
3．若点(a，b)在直线x＋3y－1＝0上，则2a＋8b的最小值为________．
【解析】 ∵(a，b)在直线x＋3y－1＝0上，∴a＋3b＝1.∴2a＋8b＝2a＋23b≥2＝2＝2.
【答案】 2
4．用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，则这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
【解】 设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则2(x＋y)＝36，x＋y＝18，矩形菜园的面积为xy m2.
由≤＝＝9，可得xy≤81，
当且仅当x＝y，即x＝y＝9时，等号成立．
因此，当这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积是81 m2.
(对应学生用书第100页)
一、填空题
1．若x、y∈R＋，x＋9y＝12，则xy有最大值为________．
【解析】 ∵9xy≤()2＝36，
∴xy≤4，当且仅当x＝9y＝6，即x＝6，y＝时等号成立．
【答案】 4
2．(2013·无锡检测)设lg x＋lg y＝2，则＋的最小值是________．
【解析】 由lg x＋lg y＝2，知x＞0，y＞0，xy＝100.
＋≥2＝2＝，等号可取．
所以＋的最小值为.
【答案】
3．若正实数x，y满足x＋y＝1，且t＝2＋x－，则当t取最大值时x的值为________．
【解析】 t＝2＋x－＝3－(1－x)－
＝3－[(1－x)＋]≤3－2×＝2.
当且仅当1－x＝，即x＝时等号成立．
【答案】
4．(2013·德州高二检测)设点(m，n)在直线x＋y＝1位于第一象限内的图象上运动，则log2m＋log2n的最大值为________．
【解析】 由题意知m＋n＝1且m＞0，n＞0，则log2m＋log2n＝log2mn≤log2()2＝log2＝－2.当且仅当m＝n＝时等号成立．
【答案】 －2
5．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．
【解析】 每年购买次数为次，
所以总费用＝·4＋4x≥2＝160，
当且仅当＝4x，即x＝20时等号成立．故x＝20.
【答案】 20
6．设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为________．
【解析】 ∵是3a与3b的等比中项，∴3＝3a·3b，
∴a＋b＝1.
∵a＞0，b＞0，∴＋＝＋＝2＋(＋)≥4.
【答案】 4
7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
【解析】 设仓库离车站的距离为x千米，则y1＝，y2＝k2x.当x＝10时，由y1＝2，y2＝8，可得y1＝，y2＝x.则总费用y＝y1＋y2＝＋x≥8，当且仅当＝x，即x＝5时取等号．
【答案】 5
8．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，P是AB上的点，则点P到AC，BC的距离的乘积的最大值是________．
【解析】 设点P到AC，BC的距离分别为x，y，则由题意得＝，所以4x＋3y＝12，而4x＋3y≥2，所以xy≤3，当且仅当4x＝3y，且4x＋3y＝12，即x＝，y＝2时取“＝”．
【答案】 3
二、解答题
9．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，
(1)求＋的最小值；
(2)求＋的最大值．
【解】 (1)＋＝(＋)(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，
当且仅当＝，即x＝，y＝时有最小值18.
(2)＋≤＝2，
当且仅当2x＋1＝2y＋1，即x＝y＝时取最大值2.
10.
图3－4－1
某单位用木料制作如图3－4－1所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：米)的矩形，上部是斜边长为x的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米．
(1)求x，y的关系式，并求x的取值范围；
(2)问x，y分别为多少时用料最省？
【解】 (1)由题意得x·y＋x·＝8(x＞0，y＞0)，
∴y＝－＞0,0＜x＜4.
(2)设框架用料长度为l，
则l＝2x＋2y＋x＝(＋)x＋
≥4＝8＋4.
当且仅当(＋)x＝，即x＝8－4，
满足0＜x＜4时，取得最小值，此时y＝2.
11．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系为：y＝(v＞0)．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/小时)
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
【解】 (1)依题意，y＝≤＝，当且仅当v＝，即v＝40时，上式等号成立，
所以ymax＝≈11.1(千辆/小时)．
(2)由条件得＞10，整理得v2－89v＋1 600＜0，
即(v－25)(v－64)＜0，
解得25＜v＜64.
答：当v＝40千米/小时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/小时．如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时．
(教师用书独具)
已知函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，＝2i＋2j(i，j分别是与x轴、y轴正半轴同方向的单位向量)，函数g(x)＝x2－x－6.
(1)求k，b的值；
(2)当x满足f(x)＞g(x)时，求函数的最小值．
【思路探究】 (1)写出点A，B的坐标，由向量相等求出k和b的值．(2)对于已知的两个函数f(x)，g(x)，解不等式f(x)＞g(x)，把f(x)，g(x)代入，用基本不等式求最值．
【自主解答】 (1)由已知得点A(－，0)，点B(0，b)，
则＝(，b)，∴∴
(2)由f(x)＞g(x)，得x＋2＞x2－x－6，
即(x＋2)(x－4)＜0，解得－2＜x＜4，∴x＋2＞0.
∴＝＝x＋2＋－5≥－3.
当且仅当x＋2＝1，即x＝－1时等号成立，
∴函数的最小值是－3.
1．基本不等式主要用于求最值问题和证明不等式，所以要把基本不等式和函数结合起来，同时在解析几何、平面几何、数列等很多知识中都要用到基本不等式，所以要全面地掌握基本不等式的性质，理解并掌握其蕴涵着的思想方法．
2．本题将向量、函数以及不等式有机结合在一起，题目新颖但求解并不困难，考查基础知识和基本方法，同时考查灵活应用知识的能力．
若一个直角三角形的周长为定值l(l＞0)，求该三角形面积的最大值．
【解】 设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，则a＋b＋＝l.∵a＋b≥2，a2＋b2≥2ab.∴l＝a＋b＋≥2＋2.当且仅当a＝b时等号成立．∴≤，∴S＝ab≤()2＝l2.∴Smax＝l2，此时三角形为等腰直角三角形．
拓展
等与不等关系是中学数学中最基本的关系．
数学中的等与不等关系
等的关系体现了数学的对称美和统一美，不等关系则如同仙苑奇葩呈现出了数学的奇异美．
不等关系起源于实数的性质，产生了实数的大小关系、简单不等式、不等式的基本性质．如果把简单不等式中的实数抽象为用各种数学符号集成的数学式，不等式将发展为一个人丁兴旺的大家族，由简到繁，形式各异．如果赋予不等式中变量以特定的值、特定的关系，又产生了重要不等式、均值不等式等．
不等式是永恒的吗？显然不是，由此又产生了解不等式与证明不等式两个极为重要的问题．解不等式即寻求不等式成立时变量应满足的范围或条件，不同类型的不等式又有不同的解法；不等式证明则是推理性问题或探索性问题．推理性问题即在特定条件下，阐述论证过程，揭示内在规律，基本方法有比较法、综合法、分析法；探索性问题大多是与自然数n有关的证明问题，常采用观察—归纳—猜想—证明的思路，多以数学归纳法完成证明．另外，不等式的证明方法还有换元法、放缩法、反证法、构造法等.
数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正是在于各个部分之间的联系．不等式的知识渗透在数学中的各个分支，相互之间有着千丝万缕的联系，因此不等式又可作为一个工具来解决数学中的其他问题，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题无一不与不等式有着密切的联系．许多问题最终归结为不等式的求解或证明；不等式还可以解决现实世界中反映出来的数学问题．不等式中常见的基本思想方法有等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程．总之，不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性．
等与不等形影不离，存在着概念上的亲缘关系，是中学数学中最广泛、最普遍的关系．数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是其深刻而生动的体现．不等虽没有等的温柔，没有等的和谐，没有等的恰到好处，没有等的天衣无缝，但它如山之挺拔，峰之隽秀，海之宽阔，天之高远，怎能不让人心旷神怡，魂牵梦绕呢？
3．1不等关系
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
(1)通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；
(2)掌握作差比较法判断两实数或代数式大小________．
2.过程与方法
(1)经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法；
(2)以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等关系；
(3)通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力．
3．情感、态度与价值观
(1)通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯；
(2)通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量．
●重点、难点
重点：用不等式(组)表示实际问题中的不等关系，并用不等式(组)研究含有不等关系的问题，理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值．
难点：是用不等式(组)正确表示出不等关系．
考虑到学生实际应用能力上的欠缺，欲让学生用不等式或不等式组准确地表示出不等关系，教师要引导学生结合生活、学习实际由简到繁，由易到难，逐步深入，注意发挥学生学习的积极主动性，激发学生的学习兴趣．
(教师用书独具)
●教学建议
本节的主要内容是通过一系列的具体问题情境，使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式(组)产生的实际背景的前提下，学习不等式的有关内容．
由于本节的教学要着眼于与实际问题的联系，故建议在教学中建立“教师引导、自主探究、合作学习”的教学模式，在引导学生经历观察、思考、探究的过程中，重视让学生从问题中尝试、提炼、总结、运用，从而培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力，而且在鼓励学生主动参与的同时，也不忽视教师的主导作用，主要教会学生清晰的思维和严谨的推理．
●教学流程
????????
(对应学生用书第43页)
课标解读
1.了解现实世界和日常生活中的一些不等关系．
2．了解不等式(组)的实际背景．
3．了解不等式的一些基本性质，会比较数或式的大小．(重点)
不等式与不等式
常见的文字语言与数学符号之间的转换
文字语言
数学符号
大于
>
小于
＜
大于或等于
≥
续表
文字语言
数学符号
小于或等于
≤
至多
≤
至少
≥
不少于
≥
不多于
≤
比较实数a，b大小的依据
a－b＞0?a＞b；
a－b＝0?a＝b；
a－b＜0?a＜b.
(对应学生用书第43页)
用不等式表示不等关系
糖水是日常生活中很普通的东西，下列关于糖水浓度的问题，同学们能分别提炼出怎样的不等式？
(1)如果向一杯糖水里添上点儿糖，“糖水加糖变甜了”；
(2)把原来的糖水与加糖后的糖水合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡．
【思路探究】 由生活中的经验、结合化学中浓度的知识可以求解．
【自主解答】 (1)“糖水加糖变甜了”，这是同学们都知道的生活现象．
设糖水有b克，含糖a克，浓度为，添入m克糖后的浓度为，则提炼出的不等式模型为：
若b＞a＞0，m＞0，则＜.
(2)设淡糖水有b1克，含糖a1克，浓度为，
浓糖水有b2克，含糖a2克，浓度为.
则混合后的浓度为，所提炼出的不等式模型为：
若b1＞a1＞0，b2＞a2＞0，且＜，
则＜＜.
1．用不等式表示不等关系，要审清题意，恰当选取符号，尤其要注意“>”与“≥”，“＜”与“≤”的区别．
2．用不等式表示不等关系，必要时还要设立变量，以便于写出不等式．
下列标志各表示什么意思？请用不等式表示其中的不等关系．
图3－1－1
【解】 图中的标志的意思及不等式表示为：
①最低限速 限制行驶时速v不得低于50公里，即v≥50；
②限制质量 装载总质量G不得超过10 t，即G≤10；
③限制高度 装载高度h不得超过3.5米，即h≤3.5；
④限制宽度 装载宽度a不得超过3米，即a≤3；
⑤时间范围 7：30≤t≤10：00.
用不等式组表示多个不等关系
某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员，此车队每天至少要运360 t矿石到冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．
【思路探究】 由题中所给信息，应有如下不等关系：(1)甲型卡车和乙型卡车的总辆数不能超过驾驶员人数；(2)车队每天至少要运360 t矿石；(3)甲型卡车不能超过4辆，乙型卡车不能超过7辆．用关于x，y的不等式表示上述不等关系即可．
【自主解答】 设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，
则即
1．本题用驾驶员人数限制了车辆数，即甲型卡车和乙型卡车的总辆数不能超过驾驶员人数，这个不等关系易被忽略．
2．用不等式组表示实际问题中的不等关系时，要做到：
(1)阅读要用心，读懂题意，寻找不等关系的根源，这是解决实际问题最基本的一步．
(2)对题中关键字、关键句要留心，多加注意．
(3)要将所有不等关系都表示为不等式．
2012年某高校录取新生对语、数、英三科的高考分数的要求是：语文不低于90分；数学应高于80分；语、数、英三科的成绩之和不少于330分．若小明被录取到该校，设该生的语、数、英的成绩分别为x，y，z，则x，y，z应满足的条件是________．
【解析】 把题意中的三个条件写成不等式组即可．
【答案】
比较数(或式)的大小
已知x＞1，比较x3＋6x与x2＋6的大小．
【思路探究】 作差→因式分解变形→判断符号→结论
【自主解答】 (x3＋6x)－(x26)＝x3－x2＋6x－6＝x2(x－1)＋6(x－1)＝(x－1)(x2＋6)．
∵x＞1，∴(x－1)(x2＋6)＞0，∴x3＋6x＞x2＋6.
1．本例中，在比较两式大小时，应注意x＞1这个条件，条件的改变，可能改变不等号的方向．
2．比差法是比较两数(或式)大小的最常用方法，比差时最关键的步骤是变形．变形的主要目的是为了判断差式的符号，变形越彻底就越易判断符号．变形的手段主要有：配方、平方差公式、立方差公式、立方和公式、通分、因式分解、分子(或分母)有理化等．
将题目中“x＞1”改为“x∈R”，比较x3＋6x与x2＋6的大小．
【解】 (x3＋6x)－(x2＋6)＝x3－x2＋6x－6＝x2(x－1)＋6(x－1)＝(x－1)(x2＋6)．
∵x2＋6＞0，
∴当x＞1时，(x－1)(x2＋6)＞0，
即x3＋6x＞x2＋6；
当x＝1时，(x－1)(x2＋6)＝0，
即x3＋6x＝x2＋6；
当x＜1时，(x－1)(x2＋6)＜0，
即x3＋6x＜x2＋6.
(对应学生用书第45页)
忽略题目的隐含条件导致错误
一报刊亭摊主从报社买进某种报纸的价格是每份0.2元，卖出的价格是每份0.3元，卖不掉的报纸以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(按30天计算)里，有20天每天可卖出400份报纸，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进的份数必须相同．试计算他应该每天从报社买进多少份报纸，才能使一个月所得利润超过600元？试用不等式表示这一问题，不需解答．
【错解】 设每天从报社买进x份报纸，
则每月销量为(20x＋10×250)份，退回报社[10(x－250)]份．
卖出的报纸每份可得0.1元，退回的报纸每份损失0.12元．
每月获得的利润为0.1×(20x＋10×250)－0.12×10×(x－250)＝0.8x＋550，
∴0.8x＋550＞600.
【错因分析】 本题的解题过程似乎很全面，但是却忽略了题中隐含的自变量x的取值范围是250≤x≤400.
【防范措施】 利用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，一定要注意题目中是否有隐含条件．
【正解】 设每天从报社买进x份报纸(250≤x≤400)，
则每月销量为(20x＋10×250)份，退回报社[10(x－250)]份．
卖出的报纸每份可得0.1元，退回的报纸每份损失0.12元．
每月获得的利润为0.1×(20x＋10×250)－0.12×10×(x－250)＝0.8x＋550，
∴0.8x＋550＞600(250≤x≤400)．
1．基础知识：
(1)不等关系与不等式；
(2)比较实数a，b大小的依据．
2．基本技能：
(1)会用不等式表示不等关系；
(2)会用不等式表示多个不等关系；
(3)比较两个数(或式)的大小．
3．思想方法：
(1)函数思想；
(2)转化思想.
(对应学生用书第45页)
1．人类能听到的声音频率x不低于80 Hz且不高于2 000 Hz，用不等式表示为________．
【解析】 “不低于80 Hz”即“≥80 Hz”；“不高于2 000 Hz”即“≤2 000 Hz”．
【答案】 80 Hz≤x≤2 000 Hz
2．某高速公路对行驶的各种车辆的速度v的最大限速为120 km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为________．
【解析】 v的最大限速为120 km/h，即v≤120 km/h；d不得小于10 m，即d≥10 m.
【答案】 v≤120 km/h且d≥10 m
3．若x≠2且y≠－1，M＝x2＋y2－4x＋2y，N＝－5，则M与N的大小关系是________．
【解析】 M－N＝x2＋y2－4x＋2y－(－5)＝(x－2)2＋(y＋1)2.
∵x≠2且y≠－1，∴x－2≠0且y＋1≠0，∴(x－2)2＋(y＋1)2＞0，∴M＞N.
【答案】 M＞N
4．比较x3与x2－x＋1的大小
【解】 ∵x3－(x2－x＋1)＝x3－x2＋x－1
＝x2(x－1)＋(x－1)
＝(x－1)(x2＋1)，
∴当x＝1时，(x－1)(x2＋1)＝0，∴x3＝x2－x＋1；
当x＞1时，(x－1)(x2＋1)＞0，∴x3＞x2－x＋1；
当x＜1时，(x－1)(x2＋1)＜0，∴x3＜x2－x＋1.
(对应学生用书第92页)
一、填空题
1．某果汁盒上标明果汁含量P不低于50%，则关于P的一个不等式为__________．
【解析】 不低于50%，即大于等于50%，又最大百分比为1，故50%≤P≤1.
【答案】 50%≤P≤1
2．如图3－1－2所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b(a≠b)的不等式表示出来________．
(1) (2)
图3－1－2
【解析】 (1)中面积显然比(2)大，又(1)的面积S1＝a2＋b2＝(a2＋b2)，(2)的面积S2＝ab，所以有(a2＋b2)＞ab.
【答案】 (a2＋b2)＞ab
3．一根长为30 m的钢筋，要分别截成80 cm和120 cm两种规格的短钢筋x根和y根，则x，y必须满足的不等式是________．
【解析】 所截钢筋总长度0.8x＋1.2y不能超过30 m，且x，y均为正整数．
【答案】 0.8x＋1.2y≤30(x，y∈N*)
4．一个工程队原计划在10天内挖土600 m3，在前两天一共挖了120 m3.由于整个工程调整工期，要求至少提前两天完成任务．设以后6天内，平均每天挖土x m3，则可列不等式为________．
【解析】 8天内共挖土方数6x＋120不能低于600.
【答案】 6x＋120≥600
5．已知实数a、b满足“a＞b”，则下列不等式中正确的是________．(只填序号)
①|a|＞|b|；②a2＞b2；③a3＞b3；④＞1.
【解析】 可采取特殊值代入法：令a＝1，b＝－1排除①、②、④，故正确的只有③.
【答案】 ③
6．已知m∈R，则2m2＋3m－1与m2＋4m－2的大小关系为________．
【解析】 (2m2＋3m－1)－(m2＋4m－2)＝m2－m＋1＝(m－)2＋＞0，
∴2m2＋3m－1＞m2＋4m－2.
【答案】 2m2＋3m－1＞m2＋4m－2
7．已知x，y∈R，M＝x2＋y2＋1，N＝x＋y＋xy，则M与N的大小关系是________．
【解析】 2M－2N＝2x2＋2y2＋2－2x－2y－2xy＝(x－y)2＋(x－1)2＋(y－1)2≥0，
∴2M≥2N，∴M≥N.
【答案】 M≥N
8．若规定＝ad－bc，则与的大小关系为________．(a、b∈R，a≠b)
【解析】 －＝[a·a－(－b)·b]－[a·b－(－a)·b]＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2＞0(a≠b)，
∴＞.
【答案】 ＞
二、解答题
9．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，用不等式组表示上述不等关系．
【解】 设1枝玫瑰的价格是x元，1枝康乃馨的价格为y元，则
10．比较x2－2ax与2a－2a2－3的大小(a，x∈R)．
【解】 (x2－2ax)－(2a－2a2－3)
＝(x2－2ax＋a2)＋(a2－2a＋1)＋2
＝(x－a)2＋(a－1)2＋2.
∵(x－a)2≥0，(a－1)2≥0，
∴(x－a)2＋(a－1)2＋2＞0，
∴(x2－2ax)－(2a－2a2－3)＞0，
∴x2－2ax＞2a－2a2－3.
11．16列货车运送一批货物从甲地以V千米/时的速度匀速到达乙地．已知两地的铁路长400千米，为了安全，每相邻两列货车间的距离为()2千米，如果这批货物全部运到乙地的时间不超过9小时，试列出不等式．(车身长忽略不计)
【解】 从第一列驶离甲地的货车到最后一列到达乙地的货车，之间有15个间隔．
∴t＝＋＝＋，
∴＋≤9.
(教师用书独具)
设实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，试确定a，b，c的大小关系；
【思路探究】 对三个数逐一作差比较．
【自主解答】 因为c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，所以c≥b.
又因为b＝[(b＋c)－(c－b)]＝[(6－4a＋3a2)－(4－4a＋a2)]＝a2＋1，所以b－a＝a2－a＋1＝(a－)2＋＞0，所以b＞a，综上可得c≥b＞a.
要比较多个数的大小，应分别作差比较．
若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．
【解析】 首先比较a，b的大小，∵3ln 2＝ln 8＜ln 9＝2ln 3，∴a＜b，同理可得c＜a，∴c＜a＜b.
【答案】 c＜a＜b
拓展
不等式的基本性质
不等式的基本性质是深入研究不等式的基础，具体如下：
性质1 如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.
性质2 如果a＞b，b＞c，那么a＞c.
性质3 如果a＞b，那么a＋c＞b＋c.
性质4 如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc.
性质5 如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d.
性质6 如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.
性质7 如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，n≥2)．
性质8 如果a＞b＞0，那么＞(n∈N，n≥2.)
3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题
3．3.1 二元一次不等式表示的平面区域
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
(1)从实际情境中抽象出二元一次不等式；
(2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式；
(3)会用“选点法”确定二元一次不等式表示的平面区域．
2.过程与方法
经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力．
3．情感、态度与价值观
(1)通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣；
(2)培养学生数形结合、化归、集合的数学思想．
●重点、难点
重点：用二元一次不等式表示平面区域．
难点：二元一次不等式表示的平面区域的确定， 即如何确定不等式Ax＋By＋C>0(或<0)表示Ax＋By＋C＝0的哪一侧区域．
注意启发学生观察图象，循序渐进地理解掌握相关概念；以学生探究为主，老师点拨为辅，学生之间分组讨论，交流心得，分享成果，进行思维碰撞，同时可借助计算机等多媒体工具来进行演示.
(教师用书独具)
●教学建议
首先借助一个实例提出二元一次不等式的相关概念，通过例子说明如何用二元一次不等式来表示平面区域．始终渗透“直线定界，特殊点定域”的思想，帮助学生用集合的观点和语言来分析和描述结合图形的问题，使问题更清晰和准确．教学中还应特别提醒学生注意Ax＋By＋C＞0(或＜0)表示区域时不包括边界，而Ax＋By＋C≥0(或x≤0)则包括边界．
●教学流程
?????
(对应学生用书第51页)
课标解读
1.了解二元一次不等式的几何意义．
2.会画二元一次不等式表示的平面区域．(重点)
二元一次不等式表示的平面区域
【问题导思】
已知直线l：x－y－1＝0.
1．点A(1,0)，B(1,1)，C(1,2)，D(0，－2)，E(1，－2)与直线l有何位置关系？
【提示】 点A在直线l上，点B、C、D、E均不在直线l上．
2．通过作图可以发现，点B、C、D、E分别在直线l的哪个方向的区域内？
【提示】 点B、C在直线的左上方；点D、E在直线的右下方．
3．点B、C、D、E的坐标分别满足下列哪个不等式？
(1)x－y－1＜0；(2)x－y－1＞0.
【提示】 点B、C的坐标满足(1)，点D、E的坐标满足(2)．
1．一般地，直线y＝kx＋b把平面分成两个区域：y＞kx＋b表示直线上方的平面区域；y＜kx＋b表示直线下方的平面区域．
2．任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式．若满足，则该点所在的一侧为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为不等式所表示的平面区域．
3．若直线不过原点，一般选原点检验．
(对应学生用书第52页)
画二元一次不等式表示的平面区域
画出下列不等式表示的平面区域．
(1)2x＋y－6＜0；(2)y≤－2x＋3.
【思路探究】
【自主解答】 (1)画出直线2x＋y－6＝0(画成虚线)，
取原点(0,0)，代入2x＋y－6.
∵2×0＋0－6＝－6＜0，
∴原点在2x＋y－6＜0表示的平面区域内，
∴不等式2x＋y－6＜0表示的平面区域如图(1)所示．
图(1) 图(2)
(2)将y≤－2x＋3变形为2x＋y－3≤0，
画出直线2x＋y－3＝0(画成实线)，
取原点(0,0)，代入2x＋y－3，
∵2×0＋0－3＜0，
∴原点在2x＋y－3≤0表示的平面区域内，
∴不等式y≤－2x＋3表示的平面区域如图(2)所示．
1．画二元一次不等式表示的平面区域时，一定要注意不等号是否含有相等的情形，若含，边界画为实线，若不含，画为虚线．
2．画二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0，≥0，≤0)表示平面区域的步骤：
(1)画直线Ax＋By＋C＝0；
(2)进行选点法检验，若直线不过原点，一般选原点进行检验；
(3)画出所求区域，若包括边界用实线，若不包括边界用虚线．
画出不等式2x＋y－10＜0表示的平面区域．
【解】 先画出直线2x＋y－10＝0(画成虚线)．取原点(0,0)，代入2x＋y－10，因为2×0＋0－10＜0，所以原点在2x＋y－10＜0表示的平面区域内，所以不等式2x＋y－10＜0表示的平面区域如图所示．
由平面区域求不等式
将图3－3－1中阴影部分表示的平面区域，用不等式表示出来．
(1) (2) (3)
图3－3－1
【思路探究】 求直线方程→选点代入定符号→检查边界虚实→得不等式
【自主解答】 由图(1)可知，其边界所在的直线在x轴和y轴上的截距均为1，故边界所在的直线方程为x＋y－1＝0，
将原点(0,0)代入直线方程x＋y－1＝0的左边，得0＋0－1＜0，
故所求的不等式为x＋y－1≤0；
由图(2)知，其边界所在的直线方程为＋＝1，
即x－2y＋2＝0，
将原点(0,0)代入直线方程x－2y＋2＝0的左边，得0－2×0＋2＞0，
故所求的不等式为x－2y＋2≤0；
由图(3)知，可设其边界所在的直线方程为y＝kx，将(2，－1)代入，得－1＝2k，即k＝－，
所以边界所在的直线方程为y＝－x，即x＋2y＝0.
将(1,0)代入直线方程x＋2y＝0的左边，得1＋2×0＞0，故所求的不等式为x＋2y≥0.
1．本题中写不等式一定要注意边界的虚实，若边界为实线，则有相等情形；若边界为虚线，则无相等情形．
2．由平面区域写二元一次不等式的步骤如下：
(1)求边界直线方程；
(2)在区域内选点代入方程，确定不等号；
(3)根据边界虚实，确定等号是否保留．
将图3－3－2中阴影部分表示的平面区域用不等式表示出来．
(1) (2)
图3－3－2
【解】 (1)阴影部分在直线y＝2下方，故阴影部分可用不等式表示为y≤2.
(2)阴影部分在直线y＝x＋3上方，故阴影部分可用不等式表示为y＞x＋3.
二元一次不等式表示的平面区域与点的关系
已知点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，求a的取值范围．
【思路探究】 两点在直线的两侧，把点代入3x－2y＋a结果符号相反．
【自主解答】 将(3,1)和(－4,6)分别代入3x－2y＋a，使其结果的符号相反，即(9－2＋a)×(－12－12＋a)＜0，解得a的取值范围是(－7,24)．
1．本题中，由不等式表示平面区域的特点，利用符号法则转化成不等式求出结果．
2．如果两点在直线的同侧，那么把两点坐标代入直线所对应的整式，所得结果的符号相同．如果两点在直线的两侧，那么把两点坐标代入直线所对应的整式，所得结果的符号相反．
本例中两点若在直线同侧，a的取值范围又是多少？
【解】 由(9－2＋a)×(－12－12＋a)＞0，
∴(a＋7)(a－24)＞0
∴a＜－7或a＞24，即a∈(－∞，－7)∪(24，＋∞)．
(对应学生用书第53页)
忽略虚线与实线的区别致误
图3－3－3中阴影部分表示的平面区域满足的不等式是________．
图3－3－3
【错解】 ∵边界直线过(1,0)和(0,1)两点，
∴边界直线为x＋y＝1.
又将(0,0)代入得0＋0＜1，
∴满足的不等式为x＋y≥1.
【错因分析】 没注意边界为虚线，将“＞”写成“≥”．
【防范措施】 由平面区域写不等式，一定要注意边界的虚实，在写出不等式后，一定要根据边界的虚实再核对不等号．
【正解】 ∵边界直线过(1,0)，(0,1)两点，
∴边界直线方程为x＋y＝1，
将(0,0)代入得0＋0＜1，
∴阴影满足的不等式为x＋y＞1.
【答案】 x＋y＞1
1．基础知识：
(1)二元一次不等式表示的平面区域；
(2)二元一次不等式表示的平面区域的确定．
2．基本技能：
(1)画二元一次不等式表示的平面区域；
(2)由平面区域求不等式；
(3)二元一次不等式表示的平面区域与点的关系．
3．思想方法：
(1)数形结合思想；
(2)函数与方程思想．
(对应学生用书第53页)
1．直线x＋2y－1＝0上方的区域可用不等式________表示．
【解析】 作图知，原点(0,0)在直线下方，所以直线上方区域不包括原点(0,0)，把(0,0)代入得0＋0－1＝－1＜0，所以直线上方的区域应用不等式x＋2y－1＞0表示．
【答案】 x＋2y－1＞0
2．点A(0,0)，B(2,1)，C(3,0)，D(0,4)在不等式x＋2y－3＞0表示的平面区域内的有________．
【解析】 把各点坐标逐一代入不等式检验知B、D点符合不等式．
【答案】 B、D
3．点(1,2)与点(－3,4)在直线x＋y＋a＝0的两侧，则实数a的取值范围是________．
【解析】 由已知得(1＋2＋a)(－3＋4＋a)＜0，
即(a＋3)(a＋1)＜0，∴－3＜a＜－1.
【答案】 (－3，－1)
4．画出不等式x＋2y－4＞0表示的平面区域．
【解】 先画出直线x＋2y－4＝0，∵这条直线上的点都不满足x＋2y－4＞0，∴画成虚线．取原点(0,0)，代入x＋2y－4，得0＋2×0－4＝－4＜0，∴原点(0,0)不在x＋2y－4＞0表示的平面区域内，则不等式x＋2y－4＞0表示的平面区域如图所示．
(对应学生用书第95页)
一、填空题
1．不等式3x＋2y－6＞0表示的平面区域是下面四个图中的________．
(1) (2) (3) (4)
【解析】 先作直线3x＋2y－6＝0(虚线)，再取点(0,0)检验知平面区域在直线上方．
【答案】 (3)
2．不等式2x＋y＋1<0表示的平面区域在直线2x＋y＋1＝0的________．
【解析】 将(0,0)代入，2×0＋0＋1>0，
∴不等式表示的平面区域为直线2x＋y＋1＝0的左下方．
【答案】 左下方
3．若点(2，m2)在不等式x－3y＋2＜0表示的平面区域内，则实数m的取值范围是________．
【解析】 ∵点(2，m2)在不等式x－3y＋2＜0表示的平面区域内，∴2－3m2＋2＜0，解得m＞或m＜－.
【答案】 (－∞，－)∪(，＋∞)
4．(2013·如皋检测)已知点A(3，－1)和B(－1,2)在直线ax＋2y－1＝0的同侧，则实数a的取值范围是________．
【解析】 由已知(3a－2－1)(－a＋4－1)＞0，
∴(3a－3)(－a＋3)＞0，即(a－1)(a－3)＜0，
∴1＜a＜3.
【答案】 (1,3)
5．已知x，y为非负整数，则满足x＋y≤2的点(x，y)共有________个．
【解析】 满足条件的点依次为(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)，(0,2)，(2,0)，共6个．
【答案】 6
6．点P(a,4)到直线x－2y＋2＝0的距离等于2，且在不等式3x＋y－3＞0表示的平面区域内，则a的值为________．
【解析】 由点到直线的距离公式，得＝2，即|a－6|＝10，解得a＝16或a＝－4.若a＝16，则3×16＋4－3＝49＞0；若a＝－4，则3×(－4)＋4－3＝－11＜0.∴a＝16满足题意．
【答案】 16
7．若mx＋ny－6>0(mn≠0)所表示的区域不含第三象限的点，则点(m，n)在第________象限．
【解析】 由题意知，直线mx＋ny－6＝0在两轴上的截距均大于0，∴m>0，n>0，∴(m，n)在第一象限．
【答案】 一
8．直线x＋2y＋3＝0上的点P在直线x－y＝1的上方，且点P到直线2x＋y－6＝0的距离为3，则点P的坐标是________．
【解析】 设点P的坐标为(x0，y0)，则由题意知
解得∴P点的坐标是(－5,1)．
【答案】 (－5,1)
二、解答题
9．画出不等式3x－y＋3＞0表示的平面区域．
【解】 ①画出直线3x－y＋3＝0，
∵这条直线上的点不满足3x－y＋3＞0，∴画成虚线．
②取原点(0,0)，代入3x－y＋3.
∵3×0－0＋3＝3＞0，∴原点在不等式3x－y＋3＞0表
示的区域内，则不等式3x－y＋3＞0表示的区域如图所示．
10．已知点P(1，－2)及其关于原点对称点均在不等式2x＋by＋1>0表示的平面区域内，求b的取值范围．
【解】 点P(1，－2)关于原点对称点P′(－1,2)．
由题意知
解得故满足条件的b的取值范围为(，)．
11．设线段AB的两个端点分别为A(1,2)，B(4,1)．过点(－1，－2)作直线l，若l与线段AB有公共点，试求直线l斜率的范围．
【解】 设直线l：y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0.
令F(x，y)＝kx－y＋k－2.
∵A、B在直线l的两侧或其上，
∴F(1,2)·F(4,1)≤0，
即(k－2＋k－2)(4k－1＋k－2)≤0.
∴(2k－4)(5k－3)≤0，
∴≤k≤2，
∴k∈[，2]．
(教师用书独具)
画出不等式x－2y＋6≥0表示的平面区域．
【思路探究】 先画出直线x－2y＋6＝0，再取点确定具体是直线的哪一侧为x－2y＋6≥0表示的平面区域．
【自主解答】 在平面直角坐标系中画出直线x－2y＋6＝0，由于所求区域包含直线，故画成实线．取点(0,0)代入x－2y＋6，由0－2×0＋6＞0知原点(0,0)在不等式x－2y＋6≥0表示的平面区域内，如图所示．
1．利用“原点定域”法简单易行．
2．由于二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)表示的区域一定是直线Ax＋By＋C＝0的某一侧，要判断究竟是哪一侧，可以取直线Ax＋By＋C＝0的一侧内的一点，将它的坐标代入不等式．如果不等式成立，那么这一侧就是该不等式表示的区域；如果不等式不成立，那么直线的另一侧是该不等式表示的区域．
画出不等式3x－y＞0表示的平面区域．
【解】 画出直线3x－y＝0(画虚线)，
将点(1,0)代入3x－y得3×1－0＞0，
∴不等式3x－y＞0表示的平面区域与点(1,0)位于直线3x－y＝0的同侧，如图所示．
拓展
特殊化思想
画二元一次不等式表示的平面区域的方法“线定界，点定域”蕴涵着解决数学问题的一种思想——特殊化思想．在解决选择题时，我们都使用过特殊化思维方法：特殊值法、考查特例、检验特例、举反例等等，就是把这个题目用特殊的情况进行分析检验．在解决一个一般性问题时，我们往往是先考虑一种特殊的简单情形，从中获得启示．特殊化思想在解决问题中是非常有用的，在数学学习中应不断地体会这种思想方法的应用.
3．3.3 简单的线性规划问题
第1课时 简单的线性规划问题
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
(1)从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；
(2)了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念，会根据条件建立线性目标函数；
(3)了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大(小)值；
(4)培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合、等价转化的数学思想．
2.过程与方法
(1)本节课是以二元一次不等式(组)表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决；
(2)考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性，同时，借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性．
3．情感、态度与价值观
(1)结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新；
(2)渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识，激发学生的学习兴趣.
●重点、难点
重点：线性规划问题的图解法，寻求线性规划问题的最优解．
难点：利用图解法求最优解．
为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法，将实际问题数学化，代数问题几何化．解决难点的方法是精确作图，利用数形结合的思想将代数问题几何化．
(教师用书独具)
●教学建议
从内容上看，简单的线性规划问题是在学习了不等式、直线方程的基础上展开的，它是对二元一次不等式的深化和再认识、再理解．它是用数学知识解决实际问题，属于数学建模，是初等数学中较抽象的，对学生要求较高，又是必须予以掌握的内容．考虑到学生的认知水平和理解能力，建议教师可以通过激励学生探究入手，讲练结合，培养学生对本节内容的学习兴趣，培养学生数形结合的意识，让学生体味数学的工具性作用．另外，教师还可借助计算机直观演示利用图解法求最优解的过程，增强教学的趣味性和生动性．
●教学流程
??????
(对应学生用书第56页)
课标解读
1.了解目标函数、约束条件、可行域、最优解等基本概念．
2.掌握线性规划问题的求解过程，特别是确定最优解的方法．(重点、难点)
可行域
约束条件所表示的平面区域，称为可行域.
线性规划
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题，上述只含两个变量的简单线性规划问题可用图解法解决.
(对应学生用书第56页)
线性规划问题
设z＝3x＋5y，式中变量x、y满足条件求z的最小值．
【思路探究】
【自主解答】 画出约束条件表示的点(x，y)的可行域，
如图所示的阴影部分(包括边界直线)．
把z＝3x＋5y变形为y＝－x＋，得到斜率为－，在y轴上的截距为，随z变化的一族平行直线．
作直线l：3x＋5y＝0，把直线向右上方平行移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，
此时l1：3x＋5y－z＝0的纵截距最小，同时z＝3x＋5y取最小值．
解方程组得M(1,1)．
故当x＝1，y＝1时，zmin＝8.
1．由本例可以看出，解线性规划问题时，一定要注意最优解的对应点是最大值点，还是最小值点．对于目标函数z＝ax＋by，当b>0时，直线截距最大时，z有最大值，截距最小时，z有最小值；当b<0时，则相反．
2．图解法是解决线性规划问题的有效方法，其关键是利用z的几何意义求解．平移直线ax＋by＝0时，看它经过哪个点(哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，最优解一般是在可行域的边界取得．
设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值分别为多少．
【解】 作可行域如图所示，解得
∴A(3,5)．
解得∴B(5,3)．
平移直线3x－4y＝z可知，直线过A点时，z取最小值，过B点时，z取最大值．
∴zmin＝3×3－4×5＝－11，
zmax＝3×5－4×3＝3.
利用线性规划求字母参数的值(或范围)
已知x，y满足设z＝ax＋y(a＞0)，若当z取最大值时，对应的点有无数多个，求a的值．
【思路探究】
【自主解答】 作出可行域如图所示．
由得
∴点A的坐标为(5,2)．
由得
∴点C的坐标为C(1,4.4)．
当直线z＝ax＋y(a＞0)平行于直线AC，且直线经过线段AC上任意一点时，z均取得最大值，此时有无数多点使z取得最大值，而kAC＝－，
∴－a＝－，即a＝.
1．本题中，z取最值时对应的点有无数多个，故这无数多个对应点构成平面区域的一段边界．
2．解线性规划问题时一般要结合图形(平面区域)及目标函数的几何意义解题．
若x，y满足约束条件目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是________．
【解析】 作出可行域，让目标函数所表示的直线过定点，观察斜率的范围，构建不等式求参数范围．如图所示，约束条件所表示的平面区域为三角形，目标函数z＝ax＋2y，即y＝－x＋仅在点(1,0)处取得最小值，故其斜率应满足－1＜－＜2，即－4＜a＜2.故填(－4,2)．
【答案】 (－4,2)
求非线性目标函数的最值
已知x，y满足条件
(1)求u＝x2＋y2的最大值和最小值；
(2)求z＝的最大值和最小值．
【思路探究】
【自主解答】 画出不等式组所表示的平面区域，如图所示．
(1)∵u＝x2＋y2，∴为点(x，y)到原点(0,0)的距离，结合不等式组所表示的平面区域可知，点B到原点的距离最大，而当(x，y)在原点时，距离为0.
由得点B的坐标为(－1，－6)，
∴(x2＋y2)max＝(－1)2＋(－6)2＝37，(x2＋y2)min＝0.
(2)z＝＝，所以求z的最大值和最小值，即是求可行域内的点(x，y)与点(－5,0)连线斜率的最大值和最小值．设点M的坐标为(－5,0)，
由得点C的坐标为(－3,2)，由(1)知点B的坐标为(－1，－6)，
∴kmax＝kMC＝＝1，
kmin＝kMB＝＝－，
∴的最大值是1，最小值是－.
1．本题中，(1)x2＋y2是平面区域内的点(x，y)到原点的距离的平方；(2)＝可看成平面区域内的点(x，y)与点(－5,0)连线的斜率．
2．解决此类问题，应先准确作出线性约束条件表示的平面区域，然后弄清非线性目标函数的几何意义．
已知x，y满足
(1)求z＝x2＋y2＋2x－2y＋2的最小值；
(2)求z＝|x＋2y－4|的最大值．
【解】 (1)作出可行域，如图所示，
∵z＝()2，
∴z可看作是可行域内任意一点(x，y)到点M(－1,1)的距离的平方．
由图可知zmin等于原点到直线x＋y－4＝0的距离的平方，
∴zmin＝()2＝8.
(2)∵z＝|x＋2y－4|＝·，
∴z可看作是可行域内任意一点(x，y)到直线x＋2y－4＝0的距离的倍．
由图可知点C到直线x＋2y－4＝0的距离最大．
由得点C(7,9)，
∴zmax＝×＝21.
(对应学生用书第58页)
直线的倾斜程度判断不准致误
已知求z＝x＋y的最大值．
【错解】 作出可行域，如图所示．作出直线l0：x＋y＝0，将它移至点B，则点B的坐标是可行域中的最优解，它使z达到最大值．
解方程组得点B的坐标为(，)．
所以zmax＝＋＝.
【错因分析】 将直线l0向上移动时，最后离开可行域的点不是点B而是点A，这是由于直线倾斜程度不准确引起的，由于三条边界直线的斜率依次是－，－，－，而目标函数z＝x＋y的斜率为－1，它夹在－与－之间，故经过点B时，直线x＋y＝z必在点A的下方，即点B不是向上平移直线时最后离开可行域的点，而是点A.
【防范措施】 解决线性规划问题时，可行域一定要准确，关键点的位置不能画错，若数据比较大，不易画图，也可用斜率分析法确定关键点或取得最值点．
【正解】 作出二元一次不等式组所表示的平面区域如上图．作出直线l′0：x＋y＝0，将它向上平移，当它经过点A时，z取得最大值．
解方程组得
故zmax＝＋＝
1．基础知识：
(1)可行域；
(2)线性规划．
2．基本技能：
(1)解线性规划问题；
(2)利用线性规划求字母参数的值(或范围)；
(3)求非线性目标函数的最值．
3．思想方法：
(1)数形结合思想；
(2)函数思想；
(3)转化思想．
(对应学生用书第58页)
1．已知实数x，y满足则目标函数z＝x＋2y的最小值为________．
【解析】 画出不等式组表示的平面区域，由图可知目标函数在点(3，－3)处取得最小值－3.
【答案】 －3
图3－3－7
2．给出平面区域(包含边界)如图3－3－7所示，若使目标函数z＝ax＋y(a＞0)取得最大值的最优解有无数多个，则a的值为________．
【解析】 由题意知－a＝kAC＝－，∴a＝.
【答案】
3．已知变量x，y满足约束条件则的取值范围是________．
【解析】 目标函数是可行域上的动点(x，y)与原点连线的斜率，最小值是kOC＝，最大值是kAO＝6，又可行域边界取不到，∴＜＜6.
【答案】 (，6)
4．已知x、y满足条件求z＝4x－3y的最值．
【解】 原不等式组表示的平面区域如图所示：
其中A(4,1)、B(－1，－6)、C(－3,2)．
作与4x－3y＝0平行的直线l：4x－3y＝t，
即y＝x－，
则当l过C点时，t最小；
当l过B点时，t最大．
∴zmax＝4×(－1)－3×(－6)＝14，zmin＝4×(－3)－3×2＝－18.
(对应学生用书第97页)
一、填空题
1．(2013·微山高二检测)设x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最大值为________．
【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：
把z＝3x＋y变形为y＝－3x＋z得到斜率为－3，在y轴截距为z的一族平行直线，由图当直线l：y＝－3x＋z过可行域内一点M时，在y轴截距最大，z也最大．
由∴即M(3，－2)．
∴当x＝3，y＝－2时，zmax＝3×3＋(－2)＝7.
【答案】 7
2．(2013·苏州高二检测)变量x，y满足则使得z＝3x＋2y的值最小的(x，y)是________．
【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：
把z＝3x＋2y变形为y＝－x＋，作与直线l0：y＝－x平行的直线l，显然当l经过可行域内点M时在y轴上截距最小，z也最小．
由∴
即M(3,6)时，z＝3x＋2y的值最小．
【答案】 (3,6)
3．设z＝2y－2x＋4，式中的x，y满足条件则z的取值范围是________．
【解析】 作出满足不等式组的可行域(如图所示)，
作直线2y－2x＝0，并将其平移，
由图象可知当直线经过点A(0,2)时，zmax＝2×2－2×0＋4＝8；
当直线经过点B(1,1)时，zmin＝2×1－2×1＋4＝4.
所以z的取值范围是[4,8]．
【答案】 [4,8]
4．(2013·连云港检测)设实数x，y满足
则的最大值是________．
【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：
又＝表示过平面区域内一点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，由图知(x，y)在平面区域内A点处时直线斜率最大．
由得
∴A(1，)，∴的最大值为.
【答案】
5．(2013·无锡检测)二元一次方程组表示的平面区域内，使得x＋2y取得最小值的整点坐标为________．
【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：
∵平面区域不包括边界，
∴平面区域内的整点共有(－1，－1)，(－1，－2)，(－2，－1)三个．
代入检验知，整点为(－1，－2)时x＋2y取得最小值．
【答案】 (－1，－2)
6．已知且u＝x2＋y2－4x－4y＋8，则u的最小值为________．
【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示，由已知得(x－2)2＋(y－2)2＝()2，则()min＝＝，umin＝.
【答案】
7．已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2.若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为________．
【解析】 由题设知可行域为如图所示的矩形，要使目标函数z＝ax＋y在点(3,1)处取得最大值，结合图形可知a＞1.
【答案】 (1，＋∞)
8．如果点P在平面区域内，点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ|的最小值为________．
【解析】 首先作出不等式组表示的平面区域和曲线x2＋(y＋2)2＝1，如图所示，从而可知点P到Q的距离最小值是可行域上的点到(0，－2)的最小值减去圆的半径1，由图可知|PQ|min＝－1＝－1。
【答案】 －1
二、解答题
9．设x，y，z满足x＋y＋z＝1及不等式组求F＝2x＋6y＋4z的最大值和最小值．
【解】 因为x＋y＋z＝1，所以z＝1－x－y，
所以题设中的不等式组可化为
并且F＝2x＋6y＋4(1－x－y)＝－2x＋2y＋4.
画出可行域如图所示，将目标函数变形为y＝x＋，所以直线l：y＝x＋的纵截距越大，F越大．
由图可知，当直线l经过点A(0,2)时，Fmax＝2×2＋4＝8；当直线l经过点C(1,1)时，Fmin＝4.
10．已知变量x，y满足
(1)设y＝－2x＋p，求p的最大值和最小值；
(2)求的取值范围；
(3)求x2＋y2的取值范围．
【解】 作出不等式组表示的平面区域，如图所示．
(1)p的几何意义为直线y＝－2x＋p在y轴上的截距，由图可知直线y＝－2x＋p经过(1,1)时，pmin＝3；经过(5,2)时，pmax＝12.
(2)的几何意义为平面区域内的点与原点连线的斜率，由图可知≤≤.
(3)x2＋y2的几何意义为平面区域内的点与原点距离的平方，由图可知2≤x2＋y2≤29.
11．已知实数x，y满足若目标函数z＝x－y的最小值的取值范围是[－2，－1]，求目标函数的最大值的取值范围．
【解】 不等式组表示的可行域如图所示，目标函数变形为y＝x－z，当z最小时就是直线y＝x－z在y轴上的截距最大．当z的最小值为－1，即直线y＝x＋1时，由可得此时点A的坐标是(2,3)，此时m＝2＋3＝5；当z的最小值为－2，即直线y＝x＋2时，由可得此时点A的坐标是(3,5)，此时m＝3＋5＝8.故m的取值范围是[5,8]．
而目标函数取最大值时，y＝x－z在y轴上截距最小，此时目标函数过B(m－1,1)，
于是zmax＝m－1－1＝m－2.
因为m的取值范围是[5,8]，
所以目标函数最大值的取值范围是[3,6]．
(教师用书独具)
已知x、y满足不等式组求使z＝160x＋252y取得最小值的非负整数点．
【思路探究】 先找出可行域中的所有整点，再寻求其中符合题意的整点．
【自主解答】 不等式组表示的平面区域如图所示．
其可行域为四边形ABCD及其内部，
它的顶点坐标是A(，4)，B(7，)，C(7,2)，D(5,4)．
结合图形可知，在四边形区域内，横坐标与纵坐标都是非负整数的点有(3,4)，(4,3)，(4,4)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(6,2)，(6,3)，(7,1)，(7,2)．
作直线l：160x＋252y＝0，将l向右上方平行移动，可发现它与上述点中最先接触到的整点是(5,2)，所以在点(5,2)处得到的z的值最小，
此时zmin＝160×5＋252×2＝1 304.
寻找整点最优解的方法：
(1)平移找解法：先打网格，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优整点，这种方法应充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行．当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解．
(2)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．
(3)由于作图有误差，有时仅由图形不一定就能准确而迅速地找到最优解，此时可将数个可能解逐一检验即可得出整点最优解．
已知x，y满足不等式组
求使x＋y取得最大值的整数x，y.
【解】 如图所示，不等式组表示的平面区域为三条直线l1：2x－y－3＝0，l2：2x＋3y－6＝0，l3：3x－5y－15＝0所围成的三角形内部．
设l1与l2，l1与l3，l2与l3的交点分别为A，B，C，则点，A，B，C的坐标分别为A(，)，B(0，－3)，C(，－)．
作一组平行线l：x＋y＝t平行于l0：x＋y＝0，
当l往l0右上方移动时，t随之增大，
所以当l过点C时，x＋y取得最大值，最大值为 ，
但x，y都不是整数．
由0＜x＜，可知x取1,2,3.
当x＝1时，y＝－2，所以x＋y＝－1.
当x＝2时，y＝0或－1，所以x＋y＝2或x＋y＝1.
当x＝3时，y＝－1，所以x＋y＝2.
故使x＋y取得最大值的整数解为或
第2课时 简单的线性规划的应用
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
(1)巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；
(2)会用画网格的方法求解整数线性规划问题；
(3)能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能给出解答；
(4)培养学生的数学应用意识和解决问题的能力，培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力．
2.过程与方法
(1)引导学生学会如何使用网格法；
(2)通过讲解实例，让学生感受线性规划中的建模问题，培养学生应用数学的能力．
3．情感、态度与价值观
(1)培养学生学数学、用数学的意识，并进一步提高解决问题的能力；
(2)结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新．
●重点、难点
重点：将实际问题转化为线性规划问题，并通过最优解的判断予以解决．
难点：如何把实际问题转化为简单的线性规划问题，并准确给出解答．
解决重点、难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．为突出重点，突破难点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、数学问题几何化．
(教师用书独具)
●教学建议
1．为了激发学生学习的主体意识，应面向全体学生，使学生在获取知识的同时，各方面的能力得到进一步的培养．根据本节课的内容特点，建议采用启发引导、讲练结合的教学方法，着重于培养学生分析、解决实际问题的能力以及良好的学习品质．
2．学生在建立数学模型时，应主要分清已知条件中，哪些属于约束条件，哪些与目标函数有关，列出正确的不等式组．可采用分组讨论、各组竞争、自主总结、部分同学示范画图等方式，让学生更切身地在活动中探索出建模的一般规律，并在交流中找到自己的思维漏洞．
●教学流程
???????
(对应学生用书第59页)
课标解读
1.能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．(重点)
2.培养应用线性规划的知识，解决实际问题的能力．(难点)
实际应用问题的最优解
对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．
用线性规划解决实际问题的一般步骤
线性规划解决实际问题的一般步骤：
整数线性规划
要求变量取整数的线性规划称为整数线性规划.
(对应学生用书第59页)
收益最大问题
某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需消耗一级子棉2吨、二级子棉1吨，生产乙种棉纱需消耗一级子棉1吨，二级子棉2吨．每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少吨，才能使利润总额最大？
【思路探究】 由已知数据可列表如下：
产品
消耗量
资源
甲种棉纱(1吨)
乙种棉纱(1吨)
资源限额(吨)
一级子棉(吨)
2
1
300
二级子棉(吨)
1
2
250
利润(元)
600
900
从而列出线性约束条件和目标函数．
【自主解答】 设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，
那么利润总额z＝600x＋900y元，
线性约束条件为
作出其可行域如图所示．
把z＝600x＋900y变形为平行直线系l：y＝－x＋.
由图可知当直线l经过可行域上的点M时，截距最大，即z取最大值．
解方程组得交点M(，)．
所以应生产甲种棉纱吨，乙种棉纱吨．
1．利用线性规划求最大值，主要是收益最大、效率最高、利润最大等问题，要将求最值的变量设为z，将z表示成其它变量的函数，求其最大值．
2．对于线性规划问题，由于题干太长，数据太多，为便于理清数据间的关系，不妨用列表法．
某公司计划在今年内同时出售某种多功能电子琴和一种智能型洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力等)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大，已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查得到关于这两种产品的有关数据如下表：
资金
单位产品所需资金(102元)
月资金供应量(102元)
电子琴
洗衣机
成本
30
20
300
劳动力(工资)
5
10
110
单位利润
6
8
怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大？最大总利润是多少？
【解】 设月供应电子琴x架、洗衣机y台，
依题意得：
目标函数为z＝6x＋8y，
不等式组表示的平面区域如图所示．
作直线l：6x＋8y＝0，即作直线l：3x＋4y＝0.
把直线l向右上方平移，当直线l经过可行域中的点M时，z取得最大值．
解方程组
得点M的坐标为(4,9)，
将M(4,9)代入z＝6x＋8y，得z＝6×4＋8×9＝96.
所以当月供应量为电子琴4架、洗衣机9台时，才能使总利润最大，最大总利润为9600元.
耗费最小问题
营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白质，0.06 kg的脂肪.1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg蛋白质，0.14 kg脂肪，且食物A的价格为28元/kg；而1 kg食物B含有0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07 kg脂肪，且食物B的价格为21元/kg.为了满足营养专家指出的日常饮食要求．同时使花费最低，需要同时食用多少食物A和食物B?
【思路探究】 将已知数据列成下表：
食物/kg
碳水化合物/kg
蛋白质/kg
脂肪/kg
A
0.105
0.07
0.14
B
0.105
0.14
0.07
根据表中数据分析题目中隐含的线性关系．
【自主解答】 设每天食用x kg食物A，y kg食物B，总成本为z元，则①
目标函数为z＝28x＋21y.
二元一次不等式组①等价于
②
作出二元一次不等式组②所表示的平面区域(如图所示)，即为可行域．
考虑z＝28x＋21y，将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－且随z变化的一族平行直线，是直线在y轴上的截距，当取最小值时，z的值最小．当然直线要与可行域相交，即求在满足约束条件时目标函数z＝28x＋21y的最小值．
由图可知当直线z＝28x＋21y经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小．由得M(，)．所以为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用kg食物A和kg食物B.
1．利用线性规划求最小值，可以用来解决许多实际问题，诸如省钱，省工，省材料等问题．
2．利用线性规划解决实际问题，建立约束条件往往是关键的一步，设出未知数后，应特别注意文字语言与符号语言的转换，以免因审题不细或表达不当而出现错误．
医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？
【解】 设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，总费用为z，
那么
目标函数为z＝3x＋2y，作出可行域如图．
把z＝3x＋2y变形为y＝－x＋，得到斜率为－，在y轴上的截距为，随z变化的一族平行直线．
由图可知，当直线y＝－x＋经过可行域上的点A时，截距最小，即z最小．
由得A(，3)，
∴zmin＝3×＋2×3＝14.4.
∴甲种原料×10＝28(g)，乙种原料3×10＝30(g)，费用最省.
简单的整数线性规划问题
要将两种大小不同的钢板截成A，B，C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
规格类型
钢板类型
A规格
B规格
C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3
今需要A，B，C三种规格的成品分别为15,18,27块，则各截这两种钢板多少张可得所需的三种规格的成品，且使所用钢板的张数最少？
【思路探究】 设截第一种钢板x张，第二种钢板y张．
【自主解答】 设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，共使用钢板z张，
则且x，y都是整数，
求使目标函数z＝x＋y取最小值时的x，y.
作可行域如图所示，平移直线z＝x＋y，
可知直线经过点(，)时z取最小值，
此时x＋y＝，但与都不是整数，
所以可行域内的点(，)不是最优解．
因为非整点最优解为(，)，z＝，所以z≥12.
令x＋y＝12，则y＝12－x，代入约束条件整理得3≤x≤，
所以x＝3或x＝4，这时最优整点为(3,9)和(4,8)．
故有以下两种截法：
第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；
第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张．
最少要截两种钢板共12张．
1．当变量为车辆、产品个数、钢板块数等数量时，应为整数，利用线性规划求最值，最优解也应为整数．
2．若按常规方法求出的不是整数解，可按以下方法调整：
(1)平移直线法：先在可行域中画网格，再描整点，平移直线l0，最先经过或最后经过的整点坐标就是最优解．
(2)调整优值法：先求非整点最优解，再借助于不定方程知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．
预计用2 000元购买单价为50元的桌子和单价为20元的椅子，希望使桌子、椅子的总数尽可能多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，则买桌子、椅子各多少才行？
【解】 设买桌子x张、买椅子y把．
由题意得
目标函数为z＝x＋y，
满足以上不等式组的可行域如图所示．
由得
∴点B的坐标为(25，)．
作直线l：x＋y＝0，将直线向右上方平移，
当直线l经过可行域中的点B时，z取得最大值．
∵x，y∈N，∴y＝37.
∴应买桌子25张、椅子37把.
(对应学生用书第61页)
可行域内整点寻找错误
有一批钢管，长度都是4000 mm，要截成500 mm和600 mm两种毛坯，且这两种毛坯数量比大于，要使钢管截得的毛坯最多，怎样截最合理？
【错解】 设每根钢管截500 mm的毛坯x根，600 mm的毛坯y根，
则x，y满足的约束条件为
即
其中x，y均为正整数．
作出可行域，如图所示．
目标函数为z＝x＋y.作一族平行线y＝－x＋z，经过可行域内的点且和原点距离最大的直线为过A点的直线，求出A点的坐标．
由得
所以A(1，5)
由于x，y均为正整数，故调整为x＝2，y＝5.
所以x＋y＝7.
经检验，满足条件，所以每根钢管截500 mm的毛坯两根，600 mm的毛坯五根最合理．
【错因分析】 本题错误的原因是：①没能准确作出一族平行直线y＝－x＋z；②可行域内的整点寻找不准确．
【防范措施】 准确作图，充分考虑实际问题的特殊性．当图上的整点不好分辨时，应将几个有可能符合题意的整点的坐标都求出来然后逐一检验，而不能采取“四舍五入”的办法．
【正解】 设每根钢管截500 mm的毛坯x根，600 mm的毛坯y根．
根据题意，得
且x，y均为正整数．
作出可行域，如图3－3－62所示．
目标函数为z＝x＋y，作一族平行直线y＝－x＋z，经过可行域内的点且和原点距离最大的直线必为过点B(8,0)的直线，这时x＋y＝8.
因为x，y均为正整数，所以(8,0)不是最优解．
在可行域内找整点，使x＋y＝7.
经验证，可知点(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)均为最优解．
答：每根钢管截500 mm的毛坯两根，600 mm的毛坯五根，或截500 mm的毛坯三根，600 mm的毛坯四根，或截500 mm的毛坯四根，600 mm的毛坯三根，或截500 mm的毛坯五根，600 mm的毛坯两根，或截500 mm的毛坯六根，600 mm的毛坯一根最合理．
1．基础知识：
(1)实际应用问题的最优解；
(2)整数线性规划；
(2)用线性规划解决实际问题的一般步骤．
2．基本技能：
(1)收益最大问题；
(2)耗费最小问题；
(3)简单的整数线性规划问题．
3．思想方法：
(1)数形结合思想；
(2)转化与化归思想；
(3)函数思想.
(对应学生用书第62页)
1．有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为________．
【解析】 设6吨的有x辆，4吨的有y辆，运送货物吨数为z，则z＝6x＋4y.
【答案】 z＝6x＋4y
2．某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为a1 kg，b1 kg，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为a2 kg，b2 kg，甲、乙产品每千克可获得的利润分别为d1元，d2元，月初一次性购进原料A，B各c1 kg，c2 kg，本月要生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x kg，y kg，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润最大的数学模型中，约束条件为________．
【解析】 对原料A的限制：a1x＋a2y≤c1，对原料B的限制：b1x＋b2y≤c2，另外甲、乙两种产品产量x≥0，y≥0.
【答案】
3．某著名品牌汽车零件生产企业生产甲、乙两种汽车配件，已知生产每万件甲种配件要用A原料3吨，B原料2吨，生产每万件乙种配件要用A原料1吨，B原料3吨，销售每件甲种配件可获得利润5元，每件乙种配件可获得利润3元．已知该企业在一年内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业在一年内可获得的最大利润是________．
【解析】 设生产甲种配件x万件，生产乙种配件y万件，利润为z万元．
则根据题意有目标函数为z＝5x＋3y.
作出可行域如图所示，则可知A(，0)，B(0,6)，C(3,4)．由图形可知，目标函数在点C(3,4)处取得最大值，最大值为5×3＋3×4＝27.
【答案】 27万
4．甲、乙两个居民小区的居委会组织本小区的中学生利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动，两个小区都有同学参加．已知甲区的每位同学往返车费是3元，每人可为5位老人服务，乙区的每位同学在返车费是5元，每人可为3位老人服务，如果要求乙区参与活动的同学比甲区的同学多，且去敬老院的往返总车费不超过37元，怎样安排甲、乙两区参与活动同学的人数，才能使受到服务的老人最多？受到服务的老人最多是多少？
【解】 设甲、乙两区参与活动的人数分别为x，y，受到服务的老人的人数为z，
则z＝5x＋3y，应满足的约束条件是
根据上述不等式组，作出表示可行域的平面区域中的整点，如图所示阴影部分中的点所示．
画直线l0：5x＋3y＝0，平行移动l0到直线l的位置，使l过可行域内的点M，该点到直线l0的距离最大，则这一点的坐标使目标函数取得最大值，
解方程得点M(4,5)．
因此当x＝4，y＝5时，z取得最大值，并且zmax＝5×4＋3×5＝35.
答：甲、乙两区参与活动的同学人数分别为4人和5人时，受到服务的老人最多，受到服务的老人最多是35人.
(对应学生用书第98页)
一、填空题
1．车间有男工25人，女工20人，要组织甲、乙两种工作小组，甲组有5名男工，3名女工，乙组有4名男工，5名女工，并且要求甲种组数不少于乙种，乙种组数不少于1，求各自最多组成的工作小组数．要建立的数学模型中，约束条件为________．
【解析】 设组成甲种组x组，乙种组y组，则对男工人数的限制为5x＋4y≤25，对女工人数的限制为3x＋5y≤20，组数限制x≥y≥1，故约束条件为.
【答案】
2．某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种至少买两套，共有________种买法．
【解析】 设票面8角的买x套，票面2元的买y套．由题意得：
即
画出如右图平面区域得
y＝2时，x＝2,3,4,5,6,7,8；
y＝3时，x＝2,3,4,5,6；
y＝4时，x＝2,3,4；
y＝5时，x＝2.
共有7＋5＋3＋1＝16.
【答案】 16
3．实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元，在满足需要的条件下，最少要花费________．
【解析】 设购买每袋35千克的x袋，购买每袋24千克的y袋，则求z＝140x＋120y的最小值，作出可行域知，当x＝1，y＝3时费用最少．此时要花费：z＝140×1＋120×3＝500元．
【答案】 500元
4．一批长400 cm的条形钢材，需要将其截成518 mm与698 mm的两种毛坯，则钢材的最大利用率为________．
【解析】 设518 mm和698 mm的毛坯个数分别为x，y，最大利用率为z，则z＝。
又∵
∴为最优解，此时z＝＝99.65%.
【答案】 99.65%
5．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为________．
【解析】 设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，由题意可知甲、乙两车间每天总获利为z＝7×40x＋4×50y＝280x＋200y.画出可行域如图所示．点M(15,55)为直线x＋y＝70和直线10x＋6y＝480的交点，由图象知在点M(15,55)处z取得最大值．故填甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱．
【答案】 甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
6．某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资是由每份金融投资20万元，房地产投资30万元组成；进取型组合投资是由每份金融投资40万元，房地产投资30万元组成．已知每份稳健型组合投资每年可获得10万元，每份进取型组合投资每年可获利15万元．若可作投资用的资金中，金融投资不超过160万元，房地产投资不超过180万元，为使一年获利总额最多，稳健型、进取型组合投资应分别注入________份、________份．
【解析】 设稳健型、进取型组合投资应分别注入x、y份，
由题意知一年获利总额z＝10x＋15y，
画可行域如图所示．由目标函数z＝10x＋15y可变为l：y＝－x＋.
由图显示当l过可行域内点M时在y轴上截距最大，z也有最大值．
由得.
【答案】 4 2
7．某校食堂以面食和米食为主，面食每百克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元；米食每百克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元．学校要给学生配制成盒饭，每盒至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，则每份盒饭中面食为________百克，米食为________百克，才既科学又使费用最少．
【解析】 设每份盒饭中面食为x百克，米食y百克，费用z元，则z＝0.5x＋0.4y，且
作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分，
解方程组得A(，)．
由图可知，当且仅当直线y＝－x＋z过点A时，纵截距z最小，即z最小．故当每份盒饭中面食为百克，米食为百克时，既科学费用又少．
【答案】
8．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
a
b(万吨)
c(百万元)
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁，若要求CO2的排放量不超过2万吨，则购买铁矿石的最少费用为________百万元．
【解析】 设购买了铁矿石A x万吨，购买了铁矿石B y万吨，购买铁矿石的费用为z百万元，则由题设知，本题即求实数x，y满足约束条件，
即(*)时，z＝3x＋6y的最小值．
作出不等式组(*)表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示．
把z＝3x＋6y变形为y＝－x＋z，得到斜率为－，在y轴上的截距为z，随z变化的一族平行直线．
由图可知，当直线y＝－x＋z经过点A时，z取得最小值，
解方程组得A点坐标为(1,2)．
故zmin＝3×1＋6×2＝15.
【答案】 15
二、解答题
9．某家具厂有方木料90 m3，木工板600 m3，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3、木工板2 m3；生产每个书橱需要方木料0.2 m3，木工板1 m3，出售一张书桌可以获利80元，出售一张书橱可以获利120元．问：怎样安排生产可以获利最大？
【解】 设生产书桌x张，书橱y张，利润为z元，则约束条件为
利润z＝80x＋120y.作出不等式表示的平面区域如图所示，将直线z＝80x＋120y平移可知：当生产100张书桌，400张书橱时，利润最大为z＝80×100＋120×400＝56 000(元)．
10．(2013·扬州检测)下表给出了X、Y、Z三种食物的维生素含量及成本：
维生素A
(单位/kg)
维生素B
(单位/kg)
成本
(元/kg)
X
300
700
5
Y
500
100
4
Z
300
300
2
某人欲将这三种食物混合成100 kg的食品，要使混合食品中至少含35000单位的维生素A及40000单位的维生素B，那么X、Y、Z这三种食物各取多少kg时，才能使成本最低？最低成本是多少元？
【解】 设X、Y这两种食品各取x kg、y kg，则Z取(100－x－y)kg.
根据题意得到约束条件为：
化简得
设成本为z，则目标函数为z＝5x＋4y＋2(100－x－y)＝3x＋2y＋200，
作出可行域图(略)，由
解得
所以，当x＝37.5，y＝25时，zmin＝3×37.5＋2×25＋200＝362.5.
答：X、Y、Z这三种食物各取37.5 kg,25 kg,37.5 kg时，成本最低，最低362.5元．
11．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，试比较2枝玫瑰与3枝康乃馨的价格哪一个更高．
【解】 设1枝玫瑰的价格为x元，1枝康乃馨的价格为y元，
则
设z＝2x－3y，作出二元一次不等式组
所表示的平面区域(如图所示)，即可行域．
考虑z＝2x－3y，将它变形为y＝x－z，这是斜率为，且随z变化的一族平行直线，－z是直线在y轴上的截距，当直线的纵截距最大时，z的值最小．
由图可知，当直线z＝2x－3y经过边界上的点A时，截距最大，即z最小．
解方程组得点A的坐标为(3,2)．
所以zmin＝2×3－3×2＝0(最小值取不到)．所以2x－3y＞0，即2x＞3y.
故2枝玫瑰比3枝康乃馨的价格高.
(教师用书独具)
某工厂投资生产A产品时，每生产一百吨需要资金200万元，需场地200 m2，可获利润300万元；投资生产B产品时，每生产一百米需要资金300万元，需场地100 m2，可获利润200万元．现该工厂可使用资金1 400万元，场地900 m2.问：应怎样投资可使获利最大？
【思路探究】 题中关系较多，可先将数据整理成表格，然后根据表格设未知数，列出约束条件和目标函数，最后作图求解．
【自主解答】 根据题意，整理表格如下：
资金(百万元)
场地(百平方米)
利润(百万元)
A产品(百万吨)
2
2
3
B产品(百米)
3
1
2
限制
14
9
设生产A产品x百吨，生产B产品y百米，利润为z百万元，
则约束条件为，目标函数为z＝3x＋2y.
作出可行域如图中阴影部分所示，
将z＝3x＋2y变形为y＝－＋，得到斜率为－，在y轴上的截距为，随z变化的一族平行直线．
由图可知，当直线y＝－＋经过点A时，最大，即z最大．
解方程组得A点坐标为(3.25,2.5)，
所以zmax＝3×3.25＋2×2.5＝14.75.
所以生产A产品325 t，生产B产品250 m时，获利最大，且最大利润为14.75百万元，即1 475万元．
对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．
某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180吨物资的任务．该公司有8辆载重为6吨的A型卡车与4辆载重为10吨的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数是：A型卡车4次，B型卡车3次．每辆卡车往返的成本费是：A型卡车320元，B型卡车504元．请你为该公司调配车辆，使公司所花成本费最低．
【解】 设每天从该公司调出A型卡车x辆、B型卡车y辆，公司每天所花成本费为z元，则目标函数z＝320x＋504y，其中x，y满足约束条件
即
这个不等式组表示的平面区域如图所示，即为可行域．作直线l′：320x＋504y＝0，作一组与l′平行的直线l：320x＋504y＝z(z∈R)．由题设知x，y是如图所示的阴影部分内的整点的横、纵坐标，在可行域内的整点中，点(8,0)使z取最小值，即当l经过点(8,0)时，z最小，即zmin＝8×320＝2 560.
答：每天从公司调A型卡车8辆，就能完成任务，且公司所花成本费最低．
拓展
怎样少了30元呢
古尔邦节快到了，天山南北充满了节日气氛．集镇上，车水马龙，热闹异常．店铺里、道路旁、地摊上，到处都摆满了货物，琳琅满目，应有尽有．水果商们把贮藏保鲜的苹果、葡萄、雪梨、石榴、哈蜜瓜一起搬了出来，希望卖个好价钱．
这天晌午，阿凡提忙完了半天的活，也骑着毛驴赶集来了．阿凡提以聪明能干、正直仗义闻名遐迩，谁人不认识．一路上，他不停地和熟人、朋友打着招呼，忽然，听见有人高喊他的名字，阿凡提回头一看，原来是水果店老板艾山，此人奸诈贪婪，不仅常用假冒伪劣商品坑害顾客，还专门放高利贷剥削百姓，是个人人痛恨的坏蛋．阿凡提早就想教训这家伙，可就是没遇上机会．这时艾山正拿着秤坐在两大筐葡萄跟前发愣．一筐是紫色葡萄，标价是二元一斤，一筐是青葡萄，标价为一元二斤，只是问的人多，买的人少．
“阿凡提大哥，如今做点生意真不容易呀，您看，我在这呆了一上午，还没卖出几斤葡萄，现在紫葡萄、青葡萄都还剩下60斤，不知要卖到何时呢！”艾山其实想央求阿凡提帮他出个推销葡萄的点子，又不好意思说，阿凡提听出了弦外之音，心想：这家伙正好送上门来，使个办法让他亏点钱吧，也让大伙出口气．就来到水果摊前对艾山说：“啊！艾山老弟，你真笨！紫葡萄虽甜，但价格贵，青葡萄虽便宜，却味道酸，何不把两种葡萄掺在一起，按三元三斤出卖，也就是每斤一元，这样不是既好卖又省事吗？”艾山一听顿时眉开颜笑，连忙竖起大拇指称赞道：“阿凡提大哥真是聪明，名不虚传、名不虚传呀！”
于是艾山按阿凡提的办法出售葡萄，果然买的人多了起来，不多时，120斤葡萄卖光了．可是当艾山清点卖得的钱数时，不由得皱起了眉头：若按原来的价格卖，紫葡萄应卖2×60＝120(元)，青葡萄应卖1×(60÷2)＝30(元)，一共应卖120＋30＝150(元)，可现在卖得的钱却只有120元，怎么少了30元呢？他猫腰瞪眼在葡萄摊前转来转去，找遍了每个角落，也不见“丢失”的30元，最后才悟到是阿凡提把他捉弄了，当他想追上阿凡提问个明白时，阿凡提早己骑着毛驴走得无影无踪了.
3．4基本不等式 ≤(a≥0，b≥0)
3．4.1 基本不等式的证明
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
(1)探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法；
(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题；
(3)学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
(4)理解“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”的证明以及它的几何解释.
2.过程与方法
(1)通过实例探究抽象基本不等式；
(2)通过几个例题的研究，掌握基本不等式≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值；
(3)运用拆项、凑项和换元的方法，创造使用基本不等式的条件．
3．情感、态度与价值观
(1)通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣；
(2)培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力；
(3)引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.
●重点、难点
重点：理解掌握基本不等式，并能借助几何图形说明基本不等式的意义．
难点：理解基本不等式等号成立的条件．
为了突出重点、化解难点，可在引导学生完成所提问题的基础上，从数和形等多个角度探索不等式≤的证明过程．每一步证明过程都要给学生留出思考的空间，让他们自主探究．
(教师用书独具)
●教学建议
本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃．要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点．算术平均数和几何平均数是本节的第一基础概念，可结合教材中的物理问题进行理解．从生活中实际问题还原出数学本质，可积极地调动学生的学习热情．基本不等式的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案；要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质．
用基本不等式求最值时注意强调必须具备三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”，当给出的函数式不具备条件时，往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑、变形来创造利用基本不等式的条件进行求解．
●教学流程
??????
(对应学生用书第62页)
课标解读
1.掌握基本不等式≤(a≥0，b≥0)．(重点)
2.能用基本不等式证明简单不等式(指只用一次基本不等式即可解决的问题)．(重点、难点)
3.能用基本不等式求解简单的最大(小)值问题(指只用一次基本不等式即可解决的问题)．(重点)
算术平均数与几何平均数
对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数.
基本不等式
【问题导思】
1．若a，b∈R，则代数式a2＋b2与2ab有何大小关系？
【提示】 因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥2ab.
2．上述结论中，等号何时成立？
【提示】 当且仅当a＝b时等号成立．
3．若以、分别代替问题1中的a、b，可得出什么结论？等号何时成立？
【提示】 a＋b≥2(a、b是正数)，当且仅当a＝b时等号成立．
如果a，b是正数，那么≤(当且仅当a＝b时取“＝”)，我们把不等式≤(a≥0，b≥0)称为基本不等式．
(对应学生用书第63页)
利用基本不等式比较大小
设a、b∈(0，＋∞)，试比较，， ，的大小．
【思路探究】 先利用特殊值探究四个式子的大小，再用基本不等式证明．
【自主解答】 ∵a、b∈(0，＋∞)，∴＋≥2，
即≤，当且仅当＝，即a＝b时等号成立．
又∵≥ ＝＝，
∴≤ ，当且仅当a＝b时等号成立．
而≤，于是≤≤≤ .
当且仅当a＝b时等号成立．
1．本题中对基本不等式的使用，根据条件不同采用了多种不同形式．
2．在利用a＋b≥2时，一定要注意是否满足条件a>0，b>0.
已知函数f(x)＝lg x(x∈R＋)，若x1，x2∈R＋，比较[f(x1)＋f(x2)]与f()的大小，并加以证明．
【解】 ∵f(x1)＋f(x2)＝lg x1＋lg x2＝lg(x1x2)，f()＝lg，
又∵x1，x2∈R＋，∴x1x2≤()2.
∴lg(x1x2)≤lg()2.
∴lg(x1x2)≤lg，
即(lg x1＋lg x2)≤lg.
∴[f(x1)＋f(x2)]≤f()，
当且仅当x1＝x2时，等号成立.
利用基本不等式证明不等式
已知a，b，c为不全相等的正实数．
求证：a＋b＋c＞＋＋.
【思路探究】 分析不等式结构→利用基本不等式→同向不等式相加→分析等号是否成立
【自主解答】 ∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴a＋b≥2，
b＋c≥2，
c＋a≥2.
∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)，
即a＋b＋c≥＋＋.
由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．
∴a＋b＋c＞＋＋.
1．本题中，由于三个不等式等号成立的条件不能同时具备，故最终不等式等号不成立．
2．由基本不等式≥可以引申出的常用结论：
(1)＋≥2(a，b同号)；
(2)＋≤－2(a，b异号)；
(3)≤ ≤≤ (a＞0，b＞0)；
(4)ab≤()2≤(a＞0，b＞0)．
若条件不变，结论改为a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac，怎样证明？
【证明】 ∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.
∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)．
即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．
∴a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca.
利用基本不等式求函数的最值
(1)已知x＞2，求y＝x＋的最小值；
(2)已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值．
【思路探究】 (1)将原式变形为y＝x－2＋＋2，再利用基本不等式；
(2)将原式变形为y＝·2x(1－2x)，再利用基本不等式．
【自主解答】 (1)∵x＞2，∴x－2＞0，
∴y＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，
当且仅当x－2＝(x＞2)，即x＝3时，ymin＝4.
(2)∵0＜x＜，∴1－2x＞0，
∴y＝x(1－2x)＝×2x(1－2x)
≤()2＝×＝，
当且仅当2x＝1－2x(0＜x＜)，
即x＝时，ymax＝.
1．本例中，对要求最值的函数式，通过适当的变形，使式子变为和为定值或积为定值的式子，然后运用基本不等式求最值．
2．利用基本不等式求解最值，应满足“一正、二定、三相等”三个条件．
(1)“一正”，所求最值的各项都是正值．
(2)“二定”，含变量的各项的和或者积必须是常数．
(3)“三相等”，具备不等式中等号成立的条件，使函数取得最大或最小值．
(1)若x＜0，求f(x)＝4x＋的最大值；
(2)求函数y＝(x＞0)的最小值．
【解】 (1)∵x＜0，∴－x＞0.
则－f(x)＝－4x＋
≥2＝12.
即f(x)≤－12，当且仅当－4x＝时，即x＝－时，f(x)取最大值－12.
(2)∵y＝＝＝1－，又x＞0，∴y＝1－.
∵x＋≥2，∴x＋＋2≥4，∴0＜≤，
∴y≥1－＝.当且仅当x＝，即x＝1时，取等号．故当x＝1时，函数取得最小值.
(对应学生用书第64页)
忽略定值条件导致错误
设a≥0，b≥0，a2＋＝1，求a的最大值．
【错解】 a＝·2a·≤·
＝[(a2＋)＋(a2＋)]
＝[(a2＋)＋1]≥(a＝0时，取等号)．
【错因分析】 在a＝·2a·≤·中，并非定值，这直接导致了解题的错误．
【防范措施】 a＋b是定值或a、b是定值是使用基本不等式的第二个条件，当条件不具备时应对解析式变形，创造定理条件．
【正解】 由a2＋＝1，得a2＋＝.
∴a＝·a·≤·＝×＝，
当即时，等号成立．
1．基础知识：
(1)算术平均数与几何平均数；
(2)基本不等式．
2．基本技能：
(1)利用基本不等式比较大小；
(2)利用基本不等式证明不等式；
(3)利用基本不等式求函数的最值．
3．思想方法：
(1)转化与化归思想；
(2)分类讨论思想；
(3)函数思想.
(对应学生用书第65页)
1．若0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，则a＋b,2，2ab，a2＋b2中最大的一个是________．
【解析】 因为0＜a＜1,0＜b＜1，a≠b，所以a＋b＞2，a2＋b2＞2ab，所以四个数中最大的数应从a＋b，a2＋b2中选择．而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)．又因为0＜a＜1,0＜b＜1，所以a(a－1)＜0，b(b－1)＜0，所以a2＋b2－(a＋b)＜0，即a2＋b2＜a＋b，所以a＋b最大．
【答案】 a＋b
2．若x＞0，则f(x)＝4x＋的最小值为________．
【解析】 ∵x＞0，由基本不等式，得f(x)＝4x＋≥2＝2＝12.
当且仅当4x＝时，即x＝时，f(x)取最小值12.
【答案】 12
3．已知x＞0，则y＝2－x－的最大值为________．
【解析】 ∵x＞0，∴x＋≥4，
∴y＝2－x－＝2－(x＋)≤2－4＝－2，
当且仅当x＝(x＞0)，
即x＝2时，ymax＝－2.
【答案】 －2
4．求证＋a≥7(其中a＞3)．
【证明】 因为a＞3，所以a－3＞0.
所以＋a＝＋a－3＋3≥2＋3＝2×＋3＝7.
当且仅当＝a－3，即当a＝5时取等号.
(对应学生用书第99页)
一、填空题
1．下列不等式的推导过程正确的是________．(填序号)
①若a，b∈R，则＋≥2＝2；
②若x＞0，则 cos x＋≥2＝2；
③若x＜0，则x＋≤2＝4；
④若a，b∈R，且ab＜0，则＋＝－[(－)＋(－)]≤－2＝－2.
【解析】 对于①，不能确定与均为正数，不能使用基本不等式．同理知②也不正确．对于③，x与均为负数，也不能使用基本不等式，所以③错误．对于④，将负数与分别转化为正数－，－，然后再利用基本不等式求解，所以正确．故填④.
【答案】 ④
2．(2013·南通检测)若a＞1，则y＝a＋的最小值为________．
【解析】 ∵a＞1，∴a－1＞0，＞0，
∴y＝a＋＝(a－1)＋＋1≥2＋1＝3，
当且仅当a－1＝，即a＝2时取等号，∴ymin＝3.
【答案】 3
3．已知m＝a＋(a＞2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是________．
【解析】 m＝a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a－2＝，即a＝3时，“＝”成立，故m∈[4，＋∞)，由b≠0，得b2≠0，
∴2－b2＜2，∴22－b2＜4，即n∈(0,4)，综上易得m＞n.
【答案】 m＞n
4．已知x＞1，则函数y＝x＋的值域为________．
【解析】 ∵x＞1，∴x－1＞0.∴y＝x＋＝x＋＝x＋9＋＝x－1＋＋10≥2＋10＝16，
当且仅当x－1＝，即x＝4时，y取最小值16，
∴函数y＝x＋的值域为[16，＋∞)．
【答案】 [16，＋∞)
5．(2013·无锡检测)已知a，b＞0且2a＋b＝4，则ab的最大值为________．
【解析】 由2a＋b＝4，∴4＝2a＋b≥2.
∴≤2，∴2ab≤4，∴ab≤2，即(ab)max＝2.
【答案】 2
6．若x＋2y＝2，则2x＋4y的最小值为________．
【解析】 2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2＝4，当且仅当x＝2y＝1，即x＝1，y＝时等号成立．
【答案】 4
7．(2013·郑州高二检测)若a＞b＞0，则代数式a2＋的最小值为________．
【解析】 依题意得a－b＞0，所以代数式a2＋≥a2＋＝a2＋≥2＝4，当且仅当即a＝，b＝时取等号，因此a2＋的最小值是4.
【答案】 4
8．(2013·衡阳六校联考)已知M是△ABC内的一点，且·＝2，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y，则＋的最小值为________．
【解析】 依题意得·＝||·||cos 30°＝2，则||·||＝4，故S△ABC＝||·||sin 30°＝1，即＋x＋y＝1，x＋y＝，所以＋＝2(x＋y)(＋)＝2[5＋(＋)]≥2(5＋2)＝18，当且仅当＝，即y＝2x＝时，等号成立，因此＋的最小值为18.
【答案】 18
二、解答题
9．求函数y＝(x＞1)的最小值．
【解】 y＝＝(x－1)＋＋2.
由题意知x－1＞0，∴y≥2＋2＝8.
当且仅当x－1＝，即x＝4时取“＝”，∴ymin＝8.
10．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证(－1)(－1)(－1)≥8.
【证明】 ∵a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝1，
∴－1＝＝≥.
同理，－1≥，－1≥.
上述三个不等式两边均为正，可分别相乘．
∴(－1)(－1)(－1)≥··＝8，
当且仅当a＝b＝c＝时取等号．
11．已知x，y为正数且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．
【解】 由2x＋8y－xy＝0，得x＝(y＞2)，令t＝x＋y，则t＝＋y
＝＋y＝8＋＋y＝(y－2)＋＋10≥2＋10＝2＋10＝18.
当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时，等号成立．
所以(x＋y)min＝18.
(教师用书独具)
已知a＞b，ab＝1，求证a2＋b2≥2(a－b)．
【思路探究】 因为a＞b，所以a－b＞0，所以若证a2＋b2≥2(a－b)，只需证≥2即可．
【证明】 因为a＞b，所以a－b＞0，又ab＝1，所以＝＝＝a－b＋≥2＝2，所以≥2，即a2＋b2≥2(a－b)．当且仅当a－b＝，即a－b＝时取等号．
在解题过程中，把数值或代数式拆成两项或多项，或是恒等地配凑成适当的数或式子是数学表达式变形过程中比较常用的方法，也是一种解题技巧．
已知a＞b＞c，求证：＋≥.
【证明】 ∵a＞b＞c，
∴a－b＞0，b－c＞0，a－c＝a－b＋b－c＞0，
∴所证不等式等价于(＋)(a－c)≥4.
又(＋)(a－c)
＝＋
＝＋
＝2＋＋
≥2＋2＝4.
∴＋≥.
拓展
证明不等式的基本方法——分析法.
分析法是从被证不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明这个不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么可以判定原不等式成立．
对于某些不等式(如含有根式、分式或两端较为复杂)有时由题设条件很难展开推理，这时可考虑运用分析法．用分析法证题时，要注意其语言“特色”．如用分析法论证“若A，则B” 这个命题的模式是：
欲证命题B为真，
只需证命题B1为真，从而又……
只需证命题B2为真，从而又……
……
只需证明A为真，
今已知A为真，故B为真．
可见，分析法总是执果索因，步步寻求上一步成立的充分条件．写成简要的形式就是：B←B1←B2←…←Bn←A.
不等式不等关系一元二次不
等式一元二次不
等式的解法一元二次不
等式的概念一元二次不
等式的应用基本不等式基本不等式的证明基本不等式
的应用比较大小、证明不等式求最值、解决实际
生活中的问题二元一次不等
式组与简单的
线性规划问题二元一次不等式(组)与平面区域简单的线性规划在实际生活中的应用简单的线性
规划问题
一元二次不等式的解法及应用
1.对于一元二次不等式的求解，要善于联想两方面的知识：(1)二次函数的图象，(2)一元二次方程的实根．切忌死记硬背，要从根本上理解求法的合理性．
2．对于含参数的一元二次不等式，要注意分类讨论，掌握分类讨论的层次，一般顺序如下：(1)二次项系数，(2)Δ判别式符号，(3)两根的大小．
3．对于一元二次不等式恒成立问题，一般转化成不等式的解集为R求解，若二次项系数含有字母，则要注意分类讨论．
已知不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}．
(1)求a，b的值；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0.
【思路点拨】 (1)转化为方程ax2－3x＋2＝0有两相异根1，b(b＞1)，求解．
(2)将a，b代入化简不等式，对c的值分类讨论，解不等式．
【规范解答】 (1)因为不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}．
所以x1＝1，x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b＞1.
由根与系数的关系得解得
(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0，
即x2－(2＋c)x＋2c＜0，即(x－2)(x－c)＜0.
①当c＞2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为{x|2＜x＜c}．
②当c＜2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为{x|c＜x＜2}．
③当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为?.
所以当c＞2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为{x|2＜x＜c}；
当c＜2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为{x|c＜x＜2}；
当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为?.
解关于x的不等式：x2－2ax－3a2＜0(a∈R)．
【解】 由x2－2ax－3a2＜0，得(x－3a)(x＋a)＜0.
又x2－2ax－3a2＝0的两根分别为3a，－a，
(1)当3a＞－a，即a＞0时，
原不等式的解集为{x|－a＜x＜3a}；
(2)当3a＝－a，即a＝0时，
原不等式的解集为?；
(3)当3a＜－a，即a＜0时，
原不等式的解集为{x|3a＜x＜－a}.
简单的线性规划问题
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题．其常见题型有以下三种：(1)求目标函数的最值或范围；(2)求目标函数取得最值时的点的坐标；(3)求目标函数取得最值时相关量的范围．
实数x，y满足不等式组求z＝的取值范围．
【思路点拨】 本题应用线性规划进行处理，目标函数z＝的几何意义是可行域内一点(x，y)与定点(－1,1)连线的斜率．
【规范解答】 y≥0表示x轴及其上方的区域，x－y≥0表示直线y＝x上及其右下方的区域，2x－y－2≥0表示直线2x－y－2＝0上及其右下方的区域．
所给不等式组表示的区域为如图所示的阴影部分，目标函数z＝表示阴影部分上的点与定点(－1,1)的连线的斜率，
由图可见点(－1,1)与点(1,0)连线的斜率为－，为最小值，连线斜率的最大值趋近于1，但永远达不到，故－≤z＜1.
制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
【解】 设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知：
目标函数z＝x＋0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．
作直线l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直线l0的一族直线x＋0.5y＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x＋0.5y＝0的距离最大，这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点，解方程组得x＝4，y＝6.
此时z＝1×4＋0.5×6＝7(万元)．
∵7＞0，
∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值．
答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.
基本不等式及其应用
基本不等式是高考的热点之一，利用基本不等式可以比较大小、求函数最值、求字母参数的取值范围、证明不等式等．利用基本不等式解题时，要注意满足“一正、二定、三相等”缺一不可，若不满足，可以通过拼凑、换元等手段进行代数变换，使其符合基本不等式应用条件．
设正数x，y，z满足(x＋y)(x＋z)＝2，求xyz(x＋y＋z)的最大值．
【思路点拨】 本题考查不等式ab≤()2及“整体思想”的应用．由(x＋y)(x＋z)＝2，得x2＋xy＋xz＝2－yz，整体代入所求式子，用不等式求最大值．
【规范解答】 ∵(x＋y)(x＋z)＝2，∴x2＋xy＋xz＝2－yz，
∴xyz(x＋y＋z)＝yz(x2＋xy＋xz)
＝yz(2－yz)≤()2＝1.
当且仅当yz＝2－yz，即yz＝1时取等号．
∴xyz(x＋y＋z)的最大值为1.
在交通拥挤地段，为了确保交通安全，规定机动车相互之间的距离d(米)与车速v(千米/时)需遵循的关系是d≥av2(其中a(米)是车身长，a为常量)，同时规定d≥.
(1)当d＝时，求机动车速度的变化范围；
(2)设机动车每小时流量Q＝，应规定怎样的车速，可以使每小时的机动车流量Q最大？
【解】 (1)由题意知≥av2，所以－25≤v≤25，
由题意知v＞0，所以当d＝时，0＜v≤25.
(2)当0＜v≤25时，Q＝，Q是v的正比例函数，所以v＝25时，Qmax＝；当v＞25时，
Q≤＝≤.当且仅当＝，即v＝50时，等号成立，Qmax＝.综上，由于＞，故当v＝50时，每小时的机动车流量Q最大，Qmax＝.
思想方法
函数与方程思想的实质是剔除问题中的非数学特征，用联系与变化的观点去观察问题、分析问题和解决问题．
函数与方程思想与不等式联系密切．如一元二次不等式的求解，主要就是结合二次函数的图象，借助一元二次方程的根进行求解，再如，证明不等式时，对于不等号两边结构相同的式子，可以考虑构造函数的方法，结合函数的单调性来证明．
m为何值时，方程x2＋(m－2)x＋(5－m)＝0的两个根都大于2?
【思路点拨】 构造一元二次函数，利用一元二次方程根的分布来解决．
【规范解答】 设f(x)＝x2＋(m－2)x＋(5－m)，由方程的两个根都大于2可知，函数f(x)的大致图象如图所示，
所以有
即
解得－5＜m≤－4.
对于适合0≤x≤1的任意x，不等式(x－1)(log5a)2－4xlog5a＋2x＋1＞0恒成立，求实数a的取值范围．
【解】 令f(x)＝(x－1)(log5a)2－4xlog5a＋2x＋1，
则f(x)＝[(log5a)2－4log5a＋2]x＋1－(log5a)2是一次函数，
有f(x)在[0,1]上是单调的，
因此f(x)＞0在[0,1]上恒成立等价于f(0)＞0且f(1)＞0，
即解得＜a＜，
所以a的取值范围是(，)．
综合检测(三)
第3章 不等式
(时间：120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)
1．(2013·南京检测)若＜＜0，则下列不等式：①a＋b＜ab，②|a|＞|b|，③a＜b，④＋＞2中，正确的是________．(填序号)
【解析】 ∵＜＜0，∴a＋b＜0，ab＞0，∴a＋b＜ab，①正确，由＜＜0，得0＞a＞b，∴|a|＜|b|，②错误，③错误，由题意知＞0，＞0，∴＋＞2，④正确．
【答案】 ①④
2．函数y＝的定义域为________．
【解析】 ∴
∴
【答案】 [－4,0)∪(0,1]
3．设M＝(x－1)(x－5)，N＝(x－3)2，则M与N的大小关系为________．
【解析】 ∵M＝(x－1)(x－5)＝x2－6x＋5，N＝(x－3)2＝x2－6x＋9，∴M－N＝(x2－6x＋5)－(x2－6x＋9)＝－4＜0，∴M＜N.
【答案】 M＜N
4．(2013·烟台高二检测)已知x＞0，函数y＝＋x的最小值是________．
【解析】 由x＞0，∴＞0，∴y＝＋x≥2＝4，
当且仅当＝x即x＝2时取等号．
【答案】 4
5．已知点A(3，－1)和B(－1,2)在直线ax＋2y－1＝0的同侧，则实数a的取值范围是________．
【解析】 因为A(3，－1)和B(－1,2)在直线的同侧，所以(3a－3)·(－a＋3)＞0，解得1＜a＜3.
【答案】 (1,3)
6．(2012·长沙高二检测)A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|x＜a}，若A∩B＝?，则实数a的取值范围是________．
【解析】 A＝{x|－1∵A∩B＝?，∴a≤－1.
【答案】 (－∞，－1]
7．已知x，y满足条件则2x＋4y的最小值为________．
【解析】 作出平面区域如图所示，令z＝2x＋4y，欲求z的最小值，即求y＝－x＋在y轴上截距的最小值，可以看出当直线过点A(3，－3)时，纵截距最小．所以zmin＝2×3＋4×(－3)＝－6.
【答案】 －6
8．设M＝，N＝()x＋y，P＝3(0＜x＜y)，则M、N、P的大小顺序是________．
【解析】 ∵≥＝()x＋y，∴M≥N，
又∵x≠y，∴M＞N；
∵≥，∴3≥3，∴N≥P，
又∵x≠y，∴N＞P，∴M＞N＞P.
【答案】 M＞N＞P
9．(2013·无锡检测)不等式x4－x2－2≤0的解集为________．
【解析】 原不等式可化为(x2＋1)(x2－2)≤0，
∵x2＋1＞0
∴x2－2≤0，∴x2≤2，∴－≤x≤.
【答案】 [－， ]
10．若不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a的取值范围是________．
【解析】 作出可行域如图所示，由题意可知当直线x＋y＝a经过(，)时，a＝，满足条件，当a＞时满足条件，当直线x＋y＝a经过点(1,0)时，a＝1，∴当0＜a≤1时满足条件，∴a的取值范围为0＜a≤1或a≥.
【答案】 (0,1]∪[，＋∞)
11．已知x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________．
【解析】 ∵x，y∈R＋，
∴x＋4y＝1≥2，∴xy≤.
【答案】
12．(2013·德州高二检测)已知x，y满足
则∈________.
【解析】 作可行域如图中△ABC区域．
又的几何意义是区域内点(x，y)与定点P(－4，－7)连线的斜率．
由∴ A(－1，－6)．
由∴B(－3,2)．
∴kPA＝，kPB＝9，
∴≤≤9.
【答案】 [，9]
13．设正数a，b满足ab＝a＋9b＋7，则ab的最小值为______．
【解析】 因为a，b都为正数，所以ab＝a＋9b＋7≥2＋7＝6＋7，当且仅当a＝9b时等号成立，因为ab≥6＋7，解得≥7，所以ab≥49，故ab的最小值为49.
【答案】 49
14．(2013·南通检测)不等式x2－ax＋b＜0的解集为{x|2＜x＜3}，则不等式bx2－ax－1＞0的解集为______．
【解析】 由题意方程x2－ax＋b＝0的两根为2,3.
∴a＝5，b＝6，∴不等式bx2－ax－1＞0可化为：6x2－5x－1＞0，即(x－1)(6x＋1)＞0，∴x＜－或x＞1.
【答案】 (－∞，－)∪(1，＋∞)
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)设x＞－1，求f(x)＝的最值．
【解】 ∵x＞－1，∴x＋1＞0，
∴f(x)＝＝
＝
＝(x＋1)＋＋5≥2＋5＝4＋5＝9.
当且仅当x＋1＝，
即x＝1(x＝－3舍去)时取等号．
故当x＝1时，f(x)有最小值9，f(x)无最大值．
16．(本小题满分14分)求z＝x＋6y＋7的最值，使(x，y)满足
【解】 作可行域如图所示，由图知z＝x＋6y＋7在A处取到最大值，在B处取到最小值．
由解得A(，)．
由解得B(3,0)．
所以zmax＝＋6×＋7＝35，
zmin＝3＋6×0＋7＝10.
17．(本小题满分14分)某公司计划2013年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元，则该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
【解】 设该公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得目标函数为z＝3 000x＋2 000y，二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示．作直线l：3 000x＋2 000y＝0，即3x＋2y＝0，平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．联立解得x＝100，y＝200.所以点M的坐标为(100,200)．所以zmax＝3 000x＋2 000y＝70 0000元，700 000元＝70万元，即在甲电视台做广告100分钟，在乙电视台做广告200分钟，才能使公司的收益最大，最大收益是70万元．
18．(本小题满分16分)(2013·扬州检测)已知f(x)＝ax2＋x－a，a∈R.
(1)若函数f(x)有最大值，求实数a的值；
(2)若不等式f(x)＞－2x2－3x＋1－2a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若a＜0，解不等式f(x)＞1.
【解】 (1)显然a＜0，且＝，解得：a＝－2或a＝－.
(2)由f(x)＞－2x2－3x＋1－2a得：(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0.
当a＝－2时，不合题意；
当a≠－2时，
所以a＞2.
(3)ax2＋x－a－1＞0，即(x－1)(ax＋a＋1)＞0
因为a＜0，所以(x－1)(x＋)＜0，
因为1－(－)＝，
所以当－＜a＜0时，1＜－，解集为{x|1＜x＜－}；
当a＝－时，(x－1)2＜0，解集为?；
当a＜－时，1＞－，解集为{x|－＜x＜1}．
19．(本小题满分16分)(2013·无锡检测)已知函数f(x)＝x2－ax(a∈R)．
(1)若不等式f(x)＞a－3的解集为R，求实数a的取值范围；
(2)设x＞y＞0，且xy＝2，若不等式f(x)＋f(y)＋2ay≥0恒成立，求实数a的取值范围．
【解】 (1)即不等式x2－ax－a＋3＞0的解集为R，
∴Δ＝a2＋4(a－3)＜0恒成立，
即a2＋4a－12＜0恒成立，
∴－6＜a＜2.
(2)即不等式x2－ax＋y2－ay＋2ay≥0恒成立，
∴不等式x2＋y2≥a(x－y)恒成立．
∵x＞y＞0，∴a≤.
∵＝＝(x－y)＋≥4
(当且仅当x－y＝即x＝1＋，y＝－1＋时取等号)，
∴实数a的取值范围(－∞，4]．
20．(本小题满分16分)已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞－2x的解集为(1,3)．
(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实根，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围．
【解】 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则不等式f(x)＞－2x化为ax2＋(b＋2)x＋c＞0.因为不等式的解集为(1,3)，所以a＜0，＝4，＝3，即a＜0，b＝－4a－2，c＝3a.因为方程ax2＋bx＋6a＋c＝0有两个相等的实根，所以Δ＝b2－4a(6a＋c)＝0.把b，c分别代入Δ中，化简得5a2－4a－1＝0，解得a＝－，a＝1(舍去)．所以b＝－，c＝－.所以f(x)的解析式为f(x)＝－x2－x－.
(2)由(1)知a＜0，所以当x＝－时，函数f(x)取得最大值，由题设，得a(－)2＋b·(－)＋c＞0.代入b，c并整理得a2＋4a＋1＞0.解得a＜－2－或a＞－2＋.又因为a＜0，所以a的取值范围为(－∞，－2－)∪(－2＋，0)．
课件28张PPT。一元二次不等式的解法及应用 简单的线性规划问题 基本不等式及其应用 思想方法 课件50张PPT。教师用书独具演示演示结束不等式与不等式 ≤≥≥≤比较实数a，b大小的依据 a＞b a＝b a＜b 用不等式表示不等关系 用不等式组表示多个不等关系 比较数(或式)的大小 课时作业（十四）课件56张PPT。教师用书独具演示演示结束一元二次不等式 一个 2 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系 {x|x＞x2或x＜x1}{x|x1＜x＜x2}??R一元二次不等式的基本解法 含参数的一元二次不等式的解法 可化为一元二次不等式的不等式 课时作业（十五）课件54张PPT。教师用书独具演示演示结束利用三个“二次”的关系解题 恒成立问题 一元二次不等式的实际应用 课时作业（十六）课件46张PPT。教师用书独具演示演示结束二元一次不等式表示的平面区域 上方 下方 不在直线上 坐标 该点所在的一侧 直线的另一侧 原点 画二元一次不等式表示的平面区域 由平面区域求不等式 二元一次不等式表示的平面区域与点的关系 课时作业（十七）课件56张PPT。教师用书独具演示演示结束二元一次不等式组表示的平面区域 公共 作平面区域的方法 方程 边界 画二元一次不等式组表示的平面区域 由平面区域求二元一次不等式组 平面区域中的整点问题 课时作业（十八）课件61张PPT。教师用书独具演示演示结束可行域 约束条件 线性规划 最大值或最小值 图解法 线性规划问题 利用线性规划求字母参数的值(或范围) 求非线性目标函数的最值 课时作业（十九）课件78张PPT。教师用书独具演示演示结束实际应用问题的最优解 凸 顶点 用线性规划解决实际问题的一般步骤 整数线性规划 整数 收益最大问题 耗费最小问题 简单的整数线性规划问题 课时作业（二十）课件50张PPT。教师用书独具演示演示结束算术平均数与几何平均数 基本不等式 ≤ 基本不等式 利用基本不等式比较大小 利用基本不等式证明不等式 利用基本不等式求函数的最值 课时作业（二十一）课件52张PPT。教师用书独具演示演示结束基本不等式与最值 a＋b ab a＝b 基本不等式的常见变形 ≥ a＝b ab 基本不等式的变形应用 求字母参数的取值范围 利用基本不等式解实际应用题 课时作业（二十二）综合检测(三)
第3章 不等式
(时间：120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)
1．(2013·南京检测)若＜＜0，则下列不等式：①a＋b＜ab，②|a|＞|b|，③a＜b，④＋＞2中，正确的是________．(填序号)
【解析】 ∵＜＜0，∴a＋b＜0，ab＞0，∴a＋b＜ab，①正确，由＜＜0，得0＞a＞b，∴|a|＜|b|，②错误，③错误，由题意知＞0，＞0，∴＋＞2，④正确．
【答案】 ①④
2．函数y＝的定义域为________．
【解析】 ∴
∴
【答案】 [－4,0)∪(0,1]
3．设M＝(x－1)(x－5)，N＝(x－3)2，则M与N的大小关系为________．
【解析】 ∵M＝(x－1)(x－5)＝x2－6x＋5，N＝(x－3)2＝x2－6x＋9，∴M－N＝(x2－6x＋5)－(x2－6x＋9)＝－4＜0，∴M＜N.
【答案】 M＜N
4．(2013·烟台高二检测)已知x＞0，函数y＝＋x的最小值是________．
【解析】 由x＞0，∴＞0，∴y＝＋x≥2＝4，
当且仅当＝x即x＝2时取等号．
【答案】 4
5．已知点A(3，－1)和B(－1,2)在直线ax＋2y－1＝0的同侧，则实数a的取值范围是________．
【解析】 因为A(3，－1)和B(－1,2)在直线的同侧，所以(3a－3)·(－a＋3)＞0，解得1＜a＜3.
【答案】 (1,3)
6．(2012·长沙高二检测)A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|x＜a}，若A∩B＝?，则实数a的取值范围是________．
【解析】 A＝{x|－1∵A∩B＝?，∴a≤－1.
【答案】 (－∞，－1]
7．已知x，y满足条件则2x＋4y的最小值为________．
【解析】 作出平面区域如图所示，令z＝2x＋4y，欲求z的最小值，即求y＝－x＋在y轴上截距的最小值，可以看出当直线过点A(3，－3)时，纵截距最小．所以zmin＝2×3＋4×(－3)＝－6.
【答案】 －6
8．设M＝，N＝()x＋y，P＝3(0＜x＜y)，则M、N、P的大小顺序是________．
【解析】 ∵≥＝()x＋y，∴M≥N，
又∵x≠y，∴M＞N；
又∵x≠y，∴N＞P，∴M＞N＞P.
【答案】 M＞N＞P
9．(2013·无锡检测)不等式x4－x2－2≤0的解集为________．
【解析】 原不等式可化为(x2＋1)(x2－2)≤0，
∵x2＋1＞0
∴x2－2≤0，∴x2≤2，∴－≤x≤.
【答案】 [－， ]
10．若不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a的取值范围是________．
【解析】 作出可行域如图所示，由题意可知当直线x＋y＝a经过(，)时，a＝，满足条件，当a＞时满足条件，当直线x＋y＝a经过点(1,0)时，a＝1，∴当0＜a≤1时满足条件，∴a的取值范围为0＜a≤1或a≥.
【答案】 (0,1]∪[，＋∞)
11．已知x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________．
【解析】 ∵x，y∈R＋，
∴x＋4y＝1≥2，∴xy≤.
【答案】
12．(2013·德州高二检测)已知x，y满足
则∈________.
【解析】 作可行域如图中△ABC区域．
又的几何意义是区域内点(x，y)与定点P(－4，－7)连线的斜率．
由∴ A(－1，－6)．
由∴B(－3,2)．
∴kPA＝，kPB＝9，
∴≤≤9.
【答案】 [，9]
13．设正数a，b满足ab＝a＋9b＋7，则ab的最小值为______．
【解析】 因为a，b都为正数，所以ab＝a＋9b＋7≥2＋7＝6＋7，当且仅当a＝9b时等号成立，因为ab≥6＋7，解得≥7，所以ab≥49，故ab的最小值为49.
【答案】 49
14．(2013·南通检测)不等式x2－ax＋b＜0的解集为{x|2＜x＜3}，则不等式bx2－ax－1＞0的解集为______．
【解析】 由题意方程x2－ax＋b＝0的两根为2,3.
∴a＝5，b＝6，∴不等式bx2－ax－1＞0可化为：6x2－5x－1＞0，即(x－1)(6x＋1)＞0，∴x＜－或x＞1.
【答案】 (－∞，－)∪(1，＋∞)
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)设x＞－1，求f(x)＝的最值．
【解】 ∵x＞－1，∴x＋1＞0，
∴f(x)＝＝
＝
＝(x＋1)＋＋5≥2＋5＝4＋5＝9.
当且仅当x＋1＝，
即x＝1(x＝－3舍去)时取等号．
故当x＝1时，f(x)有最小值9，f(x)无最大值．
16．(本小题满分14分)求z＝x＋6y＋7的最值，使(x，y)满足
【解】 作可行域如图所示，由图知z＝x＋6y＋7在A处取到最大值，在B处取到最小值．
由解得A(，)．
由解得B(3,0)．
所以zmax＝＋6×＋7＝35，
zmin＝3＋6×0＋7＝10.
17．(本小题满分14分)某公司计划2013年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元，则该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
【解】 设该公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得目标函数为z＝3 000x＋2 000y，二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示．作直线l：3 000x＋2 000y＝0，即3x＋2y＝0，平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．联立解得x＝100，y＝200.所以点M的坐标为(100,200)．所以zmax＝3 000x＋2 000y＝70 0000元，700 000元＝70万元，即在甲电视台做广告100分钟，在乙电视台做广告200分钟，才能使公司的收益最大，最大收益是70万元．
18．(本小题满分16分)(2013·扬州检测)已知f(x)＝ax2＋x－a，a∈R.
(1)若函数f(x)有最大值，求实数a的值；
(2)若不等式f(x)＞－2x2－3x＋1－2a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若a＜0，解不等式f(x)＞1.
【解】 (1)显然a＜0，且＝，解得：a＝－2或a＝－.
(2)由f(x)＞－2x2－3x＋1－2a得：(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0.
当a＝－2时，不合题意；
当a≠－2时，
所以a＞2.
(3)ax2＋x－a－1＞0，即(x－1)(ax＋a＋1)＞0
因为a＜0，所以(x－1)(x＋)＜0，
因为1－(－)＝，
所以当－＜a＜0时，1＜－，解集为{x|1＜x＜－}；
当a＝－时，(x－1)2＜0，解集为?；
当a＜－时，1＞－，解集为{x|－＜x＜1}．
19．(本小题满分16分)(2013·无锡检测)已知函数f(x)＝x2－ax(a∈R)．
(1)若不等式f(x)＞a－3的解集为R，求实数a的取值范围；
(2)设x＞y＞0，且xy＝2，若不等式f(x)＋f(y)＋2ay≥0恒成立，求实数a的取值范围．
【解】 (1)即不等式x2－ax－a＋3＞0的解集为R，
∴Δ＝a2＋4(a－3)＜0恒成立，
即a2＋4a－12＜0恒成立，
∴－6＜a＜2.
(2)即不等式x2－ax＋y2－ay＋2ay≥0恒成立，
∴不等式x2＋y2≥a(x－y)恒成立．
∵x＞y＞0，∴a≤.
∵＝＝(x－y)＋≥4
(当且仅当x－y＝即x＝1＋，y＝－1＋时取等号)，
∴实数a的取值范围(－∞，4]．
20．(本小题满分16分)已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞－2x的解集为(1,3)．
(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实根，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围．
【解】 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则不等式f(x)＞－2x化为ax2＋(b＋2)x＋c＞0.因为不等式的解集为(1,3)，所以a＜0，＝4，＝3，即a＜0，b＝－4a－2，c＝3a.因为方程ax2＋bx＋6a＋c＝0有两个相等的实根，所以Δ＝b2－4a(6a＋c)＝0.把b，c分别代入Δ中，化简得5a2－4a－1＝0，解得a＝－，a＝1(舍去)．所以b＝－，c＝－.所以f(x)的解析式为f(x)＝－x2－x－.
(2)由(1)知a＜0，所以当x＝－时，函数f(x)取得最大值，由题设，得a(－)2＋b·(－)＋c＞0.代入b，c并整理得a2＋4a＋1＞0.解得a＜－2－或a＞－2＋.又因为a＜0，所以a的取值范围为(－∞，－2－)∪(－2＋，0)．
一、填空题
1．某果汁盒上标明果汁含量P不低于50%，则关于P的一个不等式为__________．
【解析】 不低于50%，即大于等于50%，又最大百分比为1，故50%≤P≤1.
【答案】 50%≤P≤1
2．如图3－1－2所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b(a≠b)的不等式表示出来________．
(1) (2)
图3－1－2
【解析】 (1)中面积显然比(2)大，又(1)的面积S1＝a2＋b2＝(a2＋b2)，(2)的面积S2＝ab，所以有(a2＋b2)＞ab.
【答案】 (a2＋b2)＞ab
3．一根长为30 m的钢筋，要分别截成80 cm和120 cm两种规格的短钢筋x根和y根，则x，y必须满足的不等式是________．
【解析】 所截钢筋总长度0.8x＋1.2y不能超过30 m，且x，y均为正整数．
【答案】 0.8x＋1.2y≤30(x，y∈N*)
4．一个工程队原计划在10天内挖土600 m3，在前两天一共挖了120 m3.由于整个工程调整工期，要求至少提前两天完成任务．设以后6天内，平均每天挖土x m3，则可列不等式为________．
【解析】 8天内共挖土方数6x＋120不能低于600.
【答案】 6x＋120≥600
5．已知实数a、b满足“a＞b”，则下列不等式中正确的是________．(只填序号)
①|a|＞|b|；②a2＞b2；③a3＞b3；④＞1.
【解析】 可采取特殊值代入法：令a＝1，b＝－1排除①、②、④，故正确的只有③.
【答案】 ③
6．已知m∈R，则2m2＋3m－1与m2＋4m－2的大小关系为________．
【解析】 (2m2＋3m－1)－(m2＋4m－2)＝m2－m＋1＝(m－)2＋＞0，
∴2m2＋3m－1＞m2＋4m－2.
【答案】 2m2＋3m－1＞m2＋4m－2
7．已知x，y∈R，M＝x2＋y2＋1，N＝x＋y＋xy，则M与N的大小关系是________．
【解析】 2M－2N＝2x2＋2y2＋2－2x－2y－2xy＝(x－y)2＋(x－1)2＋(y－1)2≥0，
∴2M≥2N，∴M≥N.
【答案】 M≥N
8．若规定＝ad－bc，则与的大小关系为________．(a、b∈R，a≠b)
【解析】 －＝[a·a－(－b)·b]－[a·b－(－a)·b]＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2＞0(a≠b)，
∴＞.
【答案】 ＞
二、解答题
9．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，用不等式组表示上述不等关系．
【解】 设1枝玫瑰的价格是x元，1枝康乃馨的价格为y元，则
10．比较x2－2ax与2a－2a2－3的大小(a，x∈R)．
【解】 (x2－2ax)－(2a－2a2－3)
＝(x2－2ax＋a2)＋(a2－2a＋1)＋2
＝(x－a)2＋(a－1)2＋2.
∵(x－a)2≥0，(a－1)2≥0，
∴(x－a)2＋(a－1)2＋2＞0，
∴(x2－2ax)－(2a－2a2－3)＞0，
∴x2－2ax＞2a－2a2－3.
11．16列货车运送一批货物从甲地以V千米/时的速度匀速到达乙地．已知两地的铁路长400千米，为了安全，每相邻两列货车间的距离为()2千米，如果这批货物全部运到乙地的时间不超过9小时，试列出不等式．(车身长忽略不计)
【解】 从第一列驶离甲地的货车到最后一列到达乙地的货车，之间有15个间隔．
∴t＝＋＝＋，
∴＋≤9.
一、填空题
1．(2013·如皋高二检测)不等式(x－1)(x－3)＞0的解集为________．
【解析】 不等式对应方程(x－1)(x－3)＝0两根为x1＝1，x2＝3，故不等式解集为{x|x＜1或x＞3}．
【答案】 (－∞，1)∪(3，＋∞)
2．(2013·济宁高二模拟)不等式－x2＋4x＋5＜0的解集为________．
【解析】 二次项系数为负，故两边同乘－1化为x2－4x－5＞0，即(x＋1)(x－5)＞0.
对应方程两根分别为x1＝－1，x2＝5，
故不等式解集为{x|x＜－1或x＞5}．
【答案】 (－∞，－1)∪(5，＋∞)
3．已知集合M＝{x|x2＜4}，N＝{x|x2－2x－3＜0}，则集合M∩N＝________.
【解析】 由x2＜4，∴－2＜x＜2；由x2－2x－3＜0，
即(x＋1)(x－3)＜0，∴－1＜x＜3.
∴M＝{x|－2＜x＜2}，N＝{x|－1＜x＜3}，
∴M∩N＝{x|－1＜x＜2}．
【答案】 (－1,2)
4．(2013·盐城高二检测)下列不等式中，解集是?的是________．(填序号)
①2x2－3x＋2>0；②x2＋4x＋4≤0；
③4－4x－x2<0；④－2＋3x－2x2>0.
【解析】 计算Δ，结合二次函数图象知④的解集是?.
【答案】 ④
5．不等式＞1的解集是________．
【解析】 原不等式可化为－1＞0，
∴＞0，
即＞0，∴＜0，
等价于∴－2＜x＜－.
【答案】 (－2，－)
6．不等式2x2－2x－3＜()3(x－1)的解集为________．
【解析】 ∵2x2－2x－3＜()3(x－1)，
∴2x2－2x－3＜23(1－x)，∴x2－2x－3＜3－3x，
即x2＋x－6＜0，解得－3＜x＜2.
【答案】 (－3,2)
7．不等式log2(x2－1)＜2的解集为________．
【解析】 ∵log2(x2－1)＜2，∴log2(x2－1)＜log24，
∴∴
∴1＜x＜或－＜x＜－1。
【答案】 (－，－1)∪(1，)
8．一元二次不等式x2－7x＋12＜0，－2x2＋x－5＞0，x2＋2＞－2x的解集分别为M，N，P，则P，M，N之间的关系是________．
【解析】 ∵x2－7x＋12＜0，∴(x－3)(x－4)＜0，
∴3＜x＜4，∴M＝{x|3＜x＜4}，
同理可得N＝?，P＝R，故N?M?P.
【答案】 N?M?P
二、解答题
9．求不等式2x2－3|x|－35＞0的解集．
【解】 法一 ∵2x2－3|x|－35＞0，
∴2|x|2－3|x|－35＞0，
∴(|x|－5)(2|x|＋7)＞0，∴|x|＞5或|x|＜－(舍去)，
∴x＞5或x＜－5.
∴原不等式的解集为(－∞，－5)∪(5，＋∞)．
法二 ∵2x2－3|x|－35＞0，
∴当x≥0时，2x2－3x－35＞0，即(x－5)(2x＋7)＞0，
∴x＜－(舍去)或x＞5；
当x＜0时，2x2＋3x－35＞0，即(x＋5)(2x－7)＞0，
∴x＜－5或x＞(舍去)．
∴原不等式解集为(－∞，－5)∪(5，＋∞)．
10．若不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1＜0的解集为R.求m的取值范围．
【解】 当m2－2m－3＝0时，m＝3或m＝－1.
若m＝3，原不等式化为－1＜0，恒成立，
原不等式的解集为R；若m＝－1，原不等式化为4x－1＜0，得x＜，
原不等式解集为{x|x＜}，不合题意，舍去．
当m2－2m－3≠0时，依题意有
∴∴－＜m＜3.
综上所述，当－＜m≤3时，不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1＜0的解集为R.
11．(2013·德州高二检测)解关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0.
【解】 原不等式可化为(x－1)(x－a)＜0，
对应方程(x－1)(x－a)＝0两根为x1＝1，x2＝a.
∴(1)当a＞1时，原不等式解集为{x|1＜x＜a}；
(2)当a＝1时，原不等式解集为?；
(3)当a＜1时原不等式解集为{x|a＜x＜1}．
综上：当a＞1时解集为(1，a)；当a＝1时无解；
当a＜1时解集为(a,1).
一、填空题
1．(2013·临沂高二检测)下列不等式中解集为实数集R的是________．(填序号)
①x2＋4x＋4＞0；②＞0；③x2－x＋1≥0；④－1＜.
【解析】 ①不等式可化为(x＋2)2＞0，∴解集为{x|x≠－2}；②不等式解集为{x|x≠0}；③由Δ＝1－4＜0，∴不等式解集为R；④由定义域要求x≠0，∴解集为{x|x≠0}．
【答案】 ③
2．函数f(x)＝lg(x2－3x－4)的定义域是________．
【解析】 由已知x2－3x－4＞0，
解得x＞4或x＜－1，
即函数f(x)的定义域为{x|x＞4或x＜－1}．
【答案】 {x|x＞4或x＜－1}
3．若不等式x2－x≤0的解集为M，函数f(x)＝ln(1－|x|)的定义域为N，则M∩N为________．
【解析】 由x2－x＝x(x－1)≤0，∴0≤x≤1，∴M＝{x|0≤x≤1}，
由1－|x|＞0，∴|x|＜1，∴－1＜x＜1，∴N＝{x|－1＜x＜1}．
∴M∩N＝{x|0≤x＜1}．
【答案】 [0,1)
4．已知x＝1是不等式k2x－6kx＋8≥0(k≠0)的解，则k的取值范围是________．
【解析】 将x＝1代入得k2－6k＋8≥0(k≠0)，
∴k≤2或k≥4.
【答案】 (－∞，2]∪[4，＋∞)
5．(2013·扬州高二检测)设关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为(－1，)，则a－b＝________.
【解析】 由不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为(－1，)，
∴a＜0且－1与是方程ax2＋bx＋1＝0两根．
∴即
∴a－b＝－3＋2＝－1.
【答案】 －1
6．(2013·石家庄高二检测)若函数y＝的定义域是R，则实数k的取值范围为________．
【解析】 ①当k＝0时，kx2－6kx＋k＋8＝8满足条件；
②当k>0时，必有Δ＝(－6k)2－4k(k＋8)≤0，
解得0＜k≤1.综上， 0≤k≤1.
【答案】 [0,1]
7．(2013·无锡高二检测)不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(－3，－1)，则a∶b∶c＝________.
【解析】 由不等式ax2＋bx＋c＜0解集为(－3，－1)
∴a＞0且－3与－1是方程ax2＋bx＋c＝0两根
∴－＝－3－1＝－4，b＝4a；
＝(－3)×(－1)＝3，c＝3a.
∴a∶b∶c＝a∶4a∶3a＝1∶4∶3.
【答案】 1∶4∶3
8．当x∈(1,2]时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
【解析】 构造函数，设f(x)＝x2＋mx＋4，x∈(1,2]．由于x∈(1,2]时f(x)<0恒成立，则??m≤－5.
【答案】 m≤－5
二、解答题
9．已知A＝，B＝{x|x2－(a＋1)·x＋a≤0}．
(1)若a＝，求A∪B；
(2)A?B，求a的取值范围．
【解】 (1)由≤1得≤0，∴1＜x≤2，∴A＝{x|1＜x≤2}．当a＝时，x2－(a＋1)x＋a≤0化为x2－x＋≤0，解得≤x≤1，∴B＝{x|≤x≤1}，∴A∪B＝{x|≤x≤2}
(2)∵A＝{x|1＜x≤2}，又x2－(a＋1)x＋a≤0化为(x－1)(x－a)≤0，∴要使A?B，必须有a≥2，∴a的取值范围是{a|a≥2}．
10．国家原计划以2 400元/t的价格收购某种农产品m t，按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策，根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
【解】 设税率调低后的税收总收入为y元，则：
y＝2 400m(1＋2x%)·(8－x)%＝－m(x2＋42x－400)(0＜x≤8)，
由题意知y≥2 400m×8%×78%，
即－m(x2＋42x－400)≥2 400m×8%×78%，
∴x2＋42x－88≤0，即－44≤x≤2.
∵0＜x≤8，∴0＜x≤2.
11．已知不等式ax2－3x＋2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．
(1)求a、b的值；
(2)解关于x的不等式x2－b(a＋c)x＋4c＞0.
【解】 (1)由题意知a＞0且1，b是方程ax2－3x＋2＝0的两根．
∴a＝1，又1×b＝＝2，∴b＝2.
(2)由(1)不等式可化为
x2－2(c＋1)x＋4c＞0，即(x－2c)(x－2)＞0.
∴当2c＞2即c＞1时不等式的解集为{x|x＜2或x＞2c}；
当2c＝2即c＝1时不等式的解集为{x|x≠2}；
当2c＜2即c＜1时不等式的解集为{x|x＜2或x＞2}．
综上：当c＞1时不等式的解集为{x|x＜2或x＞2c}；当c＝1时不等式的解集为{x|x≠2}；当c＜1时不等式的解集为{x|x＜2或x＞2}.
一、填空题
1．不等式3x＋2y－6＞0表示的平面区域是下面四个图中的________．
(1) (2) (3) (4)
【解析】 先作直线3x＋2y－6＝0(虚线)，再取点(0,0)检验知平面区域在直线上方．
【答案】 (3)
2．不等式2x＋y＋1<0表示的平面区域在直线2x＋y＋1＝0的________．
【解析】 将(0,0)代入，2×0＋0＋1>0，
∴不等式表示的平面区域为直线2x＋y＋1＝0的左下方．
【答案】 左下方
3．若点(2，m2)在不等式x－3y＋2＜0表示的平面区域内，则实数m的取值范围是________．
【解析】 ∵点(2，m2)在不等式x－3y＋2＜0表示的平面区域内，∴2－3m2＋2＜0，解得m＞或m＜－.
【答案】 (－∞，－)∪(，＋∞)
4．(2013·如皋检测)已知点A(3，－1)和B(－1,2)在直线ax＋2y－1＝0的同侧，则实数a的取值范围是________．
【解析】 由已知(3a－2－1)(－a＋4－1)＞0，
∴(3a－3)(－a＋3)＞0，即(a－1)(a－3)＜0，
∴1＜a＜3.
【答案】 (1,3)
5．已知x，y为非负整数，则满足x＋y≤2的点(x，y)共有________个．
【解析】 满足条件的点依次为(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)，(0,2)，(2,0)，共6个．
【答案】 6
6．点P(a,4)到直线x－2y＋2＝0的距离等于2，且在不等式3x＋y－3＞0表示的平面区域内，则a的值为________．
【解析】 由点到直线的距离公式，得＝2，即|a－6|＝10，解得a＝16或a＝－4.若a＝16，则3×16＋4－3＝49＞0；若a＝－4，则3×(－4)＋4－3＝－11＜0.∴a＝16满足题意．
【答案】 16
7．若mx＋ny－6>0(mn≠0)所表示的区域不含第三象限的点，则点(m，n)在第________象限．
【解析】 由题意知，直线mx＋ny－6＝0在两轴上的截距均大于0，∴m>0，n>0，∴(m，n)在第一象限．
【答案】 一
8．直线x＋2y＋3＝0上的点P在直线x－y＝1的上方，且点P到直线2x＋y－6＝0的距离为3，则点P的坐标是________．
【解析】 设点P的坐标为(x0，y0)，则由题意知
解得∴P点的坐标是(－5,1)．
【答案】 (－5,1)
二、解答题
9．画出不等式3x－y＋3＞0表示的平面区域．
【解】 ①画出直线3x－y＋3＝0，
∵这条直线上的点不满足3x－y＋3＞0，∴画成虚线．
②取原点(0,0)，代入3x－y＋3.
∵3×0－0＋3＝3＞0，∴原点在不等式3x－y＋3＞0表
示的区域内，则不等式3x－y＋3＞0表示的区域如图所示．
10．已知点P(1，－2)及其关于原点对称点均在不等式2x＋by＋1>0表示的平面区域内，求b的取值范围．
【解】 点P(1，－2)关于原点对称点P′(－1,2)．
由题意知
解得故满足条件的b的取值范围为(，)．
11．设线段AB的两个端点分别为A(1,2)，B(4,1)．过点(－1，－2)作直线l，若l与线段AB有公共点，试求直线l斜率的范围．
【解】 设直线l：y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0.
令F(x，y)＝kx－y＋k－2.
∵A、B在直线l的两侧或其上，
∴F(1,2)·F(4,1)≤0，
即(k－2＋k－2)(4k－1＋k－2)≤0.
∴(2k－4)(5k－3)≤0，
∴≤k≤2，
∴k∈[，2]．
一、填空题
1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)＜0表示的平面区域是图中的________．(填序号)
【解析】 原不等式可化为：
或
分别作出两不等式组表示的平面区域，合在一起即可．
【答案】 (1)
2．(思维拓展题)点P是不等式2x＋y＋1≤0表示的区域内一点，则原点O到点P的最小距离为________．
【解析】 数形结合，dmin＝＝.
【答案】
3．由直线x＋y＋2＝0，x＋2y＋1＝0和2x＋y＋1＝0围成的三角形区域(含有边界)，用不等式组表示为________．
【解析】 在平面直角坐标系中画出三条已知直线，如图所示，显然点(－1，－)在区域内，代入检验知，所求不等式组为
【答案】
4．(2013·扬州检测)不等式组表示的平面区域的面积为________．
【解析】 先画出不等式组表示的平面区域(如图)由图知平面区域为Rt△ABC，由得A(－3,3)，
由得B(3,9)，
由得C(3，－3)．
∴|AB|＝6，|AC|＝6，∴S△ABC＝36.
【答案】 36
5．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．
【解析】 作出不等式组表示的平面区域如图所示，由图形知5≤a＜7时平面区域是一个三角形．
【答案】 [5,7)
6．不等式组表示的平面区域内的整点个数是________．
【解析】 将不等式组所表示的平面区域画出来，如图所示．
当x＝0时，y可取0,1,2,3,4,5，共6个整点；
当x＝1时，y可取－1,0,1,2,3,4,5,6，共8个整点；
当x＝2时，y可取－2，－1,0,1,2,3,4,5,6,7，共10个整点；
当x＝3时，y可取12个整点．因此共有36个整点．
【答案】 36
7．小明要买8角和2元的邮票若干张，并要求每种邮票都至少要买2张，如果小明有10元钱，他可以有________种不同的买法．
【解析】 设8角的邮票买x张，2元的邮票买y张，根据题意可知x，y应满足不等式组所表示的平面区域如图所示，
而x，y在该区域内都不小于2的整数点的个数有11个，所以小明有11种购买方法，分别是(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(5,3)，(6,2)，(7,2)．
【答案】 11
8．不等式|x－2|＋|y－2|≤2所表示的平面区域的面积为________．
【解析】 原不等式等价于作出该不等式组所表示的平面区域，如图所示，它是边长为2的正方形，面积等于8.
【答案】 8
二、解答题
9．画出不等式组表示的平面区域．
【解】 不等式x＋y－1≥0表示的平面区域为直线x＋y－1＝0的右上方(包
括直线)区域；不等式x－y≥0表示的平面区域为直线x－y＝0右下方(包括直线)区域；不等式x≤2表示的平面区域为直线x＝2左方(包括直线)区域．所以原不等式组表示的平面区域如图所示．
10．△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0,4)，B(－2,0)，C(2,0)，求△ABC内任一点(x，y)所满足的条件．
【解】 △ABC三边所在直线方程分别为：lAB：2x－y＋4＝0；lAC：2x＋y－4＝0；lBC：y＝0.△ABC内任意一点(x，y)都在直线AB，AC的下方，且在直线BC的上方．故满足的条件为
11．求不等式组表示的平面区域中共有多少个整点．
【解】 不等式组表示的平面区域如图所示，显然，平面区域中的整点坐标为(1，－1)，(2，－2)，(0,0)和(0，－1)，共有4个整点．
一、填空题
1．(2013·微山高二检测)设x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最大值为________．
【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：
把z＝3x＋y变形为y＝－3x＋z得到斜率为－3，在y轴截距为z的一族平行直线，由图当直线l：y＝－3x＋z过可行域内一点M时，在y轴截距最大，z也最大．
由∴即M(3，－2)．
∴当x＝3，y＝－2时，zmax＝3×3＋(－2)＝7.
【答案】 7
2．(2013·苏州高二检测)变量x，y满足则使得z＝3x＋2y的值最小的(x，y)是________．
【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：
把z＝3x＋2y变形为y＝－x＋，作与直线l0：y＝－x平行的直线l，显然当l经过可行域内点M时在y轴上截距最小，z也最小．
由∴
即M(3,6)时，z＝3x＋2y的值最小．
【答案】 (3,6)
3．设z＝2y－2x＋4，式中的x，y满足条件则z的取值范围是________．
【解析】 作出满足不等式组的可行域(如图所示)，
作直线2y－2x＝0，并将其平移，
由图象可知当直线经过点A(0,2)时，zmax＝2×2－2×0＋4＝8；
当直线经过点B(1,1)时，zmin＝2×1－2×1＋4＝4.
所以z的取值范围是[4,8]．
【答案】 [4,8]
4．(2013·连云港检测)设实数x，y满足
则的最大值是________．
【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：
又＝表示过平面区域内一点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，由图知(x，y)在平面区域内A点处时直线斜率最大．
由得
∴A(1，)，∴的最大值为.
【答案】
5．(2013·无锡检测)二元一次方程组表示的平面区域内，使得x＋2y取得最小值的整点坐标为________．
【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：
∵平面区域不包括边界，
∴平面区域内的整点共有(－1，－1)，(－1，－2)，(－2，－1)三个．
代入检验知，整点为(－1，－2)时x＋2y取得最小值．
【答案】 (－1，－2)
6．已知且u＝x2＋y2－4x－4y＋8，则u的最小值为________．
【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示，由已知得(x－2)2＋(y－2)2＝()2，则()min＝＝，umin＝.
【答案】
7．已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2.若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为________．
【解析】 由题设知可行域为如图所示的矩形，要使目标函数z＝ax＋y在点(3,1)处取得最大值，结合图形可知a＞1.
【答案】 (1，＋∞)
8．如果点P在平面区域内，点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ|的最小值为________．
【解析】 首先作出不等式组表示的平面区域和曲线x2＋(y＋2)2＝1，如图所示，从而可知点P到Q的距离最小值是可行域上的点到(0，－2)的最小值减去圆的半径1，由图可知|PQ|min＝－1＝－1。
【答案】 －1
二、解答题
9．设x，y，z满足x＋y＋z＝1及不等式组求F＝2x＋6y＋4z的最大值和最小值．
【解】 因为x＋y＋z＝1，所以z＝1－x－y，
所以题设中的不等式组可化为
并且F＝2x＋6y＋4(1－x－y)＝－2x＋2y＋4.
画出可行域如图所示，将目标函数变形为y＝x＋，所以直线l：y＝x＋的纵截距越大，F越大．
由图可知，当直线l经过点A(0,2)时，Fmax＝2×2＋4＝8；当直线l经过点C(1,1)时，Fmin＝4.
10．已知变量x，y满足
(1)设y＝－2x＋p，求p的最大值和最小值；
(2)求的取值范围；
(3)求x2＋y2的取值范围．
【解】 作出不等式组表示的平面区域，如图所示．
(1)p的几何意义为直线y＝－2x＋p在y轴上的截距，由图可知直线y＝－2x＋p经过(1,1)时，pmin＝3；经过(5,2)时，pmax＝12.
(2)的几何意义为平面区域内的点与原点连线的斜率，由图可知≤≤.
(3)x2＋y2的几何意义为平面区域内的点与原点距离的平方，由图可知2≤x2＋y2≤29.
11．已知实数x，y满足若目标函数z＝x－y的最小值的取值范围是[－2，－1]，求目标函数的最大值的取值范围．
【解】 不等式组表示的可行域如图所示，目标函数变形为y＝x－z，当z最小时就是直线y＝x－z在y轴上的截距最大．当z的最小值为－1，即直线y＝x＋1时，由可得此时点A的坐标是(2,3)，此时m＝2＋3＝5；当z的最小值为－2，即直线y＝x＋2时，由可得此时点A的坐标是(3,5)，此时m＝3＋5＝8.故m的取值范围是[5,8]．
而目标函数取最大值时，y＝x－z在y轴上截距最小，此时目标函数过B(m－1,1)，
于是zmax＝m－1－1＝m－2.
因为m的取值范围是[5,8]，
所以目标函数最大值的取值范围是[3,6]．
一、填空题
1．车间有男工25人，女工20人，要组织甲、乙两种工作小组，甲组有5名男工，3名女工，乙组有4名男工，5名女工，并且要求甲种组数不少于乙种，乙种组数不少于1，求各自最多组成的工作小组数．要建立的数学模型中，约束条件为________．
【解析】 设组成甲种组x组，乙种组y组，则对男工人数的限制为5x＋4y≤25，对女工人数的限制为3x＋5y≤20，组数限制x≥y≥1，故约束条件为.
【答案】
2．某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种至少买两套，共有________种买法．
【解析】 设票面8角的买x套，票面2元的买y套．由题意得：
即
画出如右图平面区域得
y＝2时，x＝2,3,4,5,6,7,8；
y＝3时，x＝2,3,4,5,6；
y＝4时，x＝2,3,4；
y＝5时，x＝2.
共有7＋5＋3＋1＝16.
【答案】 16
3．实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元，在满足需要的条件下，最少要花费________．
【解析】 设购买每袋35千克的x袋，购买每袋24千克的y袋，则求z＝140x＋120y的最小值，作出可行域知，当x＝1，y＝3时费用最少．此时要花费：z＝140×1＋120×3＝500元．
【答案】 500元
4．一批长400 cm的条形钢材，需要将其截成518 mm与698 mm的两种毛坯，则钢材的最大利用率为________．
【解析】 设518 mm和698 mm的毛坯个数分别为x，y，最大利用率为z，则z＝。
又∵
∴为最优解，此时z＝＝99.65%.
【答案】 99.65%
5．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为________．
【解析】 设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，由题意可知甲、乙两车间每天总获利为z＝7×40x＋4×50y＝280x＋200y.画出可行域如图所示．点M(15,55)为直线x＋y＝70和直线10x＋6y＝480的交点，由图象知在点M(15,55)处z取得最大值．故填甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱．
【答案】 甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
6．某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资是由每份金融投资20万元，房地产投资30万元组成；进取型组合投资是由每份金融投资40万元，房地产投资30万元组成．已知每份稳健型组合投资每年可获得10万元，每份进取型组合投资每年可获利15万元．若可作投资用的资金中，金融投资不超过160万元，房地产投资不超过180万元，为使一年获利总额最多，稳健型、进取型组合投资应分别注入________份、________份．
【解析】 设稳健型、进取型组合投资应分别注入x、y份，
由题意知一年获利总额z＝10x＋15y，
画可行域如图所示．由目标函数z＝10x＋15y可变为l：y＝－x＋.
由图显示当l过可行域内点M时在y轴上截距最大，z也有最大值．
由得.
【答案】 4 2
7．某校食堂以面食和米食为主，面食每百克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元；米食每百克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元．学校要给学生配制成盒饭，每盒至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，则每份盒饭中面食为________百克，米食为________百克，才既科学又使费用最少．
【解析】 设每份盒饭中面食为x百克，米食y百克，费用z元，则z＝0.5x＋0.4y，且
作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分，
解方程组得A(，)．
由图可知，当且仅当直线y＝－x＋z过点A时，纵截距z最小，即z最小．故当每份盒饭中面食为百克，米食为百克时，既科学费用又少．
【答案】
8．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
a
b(万吨)
c(百万元)
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁，若要求CO2的排放量不超过2万吨，则购买铁矿石的最少费用为________百万元．
【解析】 设购买了铁矿石A x万吨，购买了铁矿石B y万吨，购买铁矿石的费用为z百万元，则由题设知，本题即求实数x，y满足约束条件，
即(*)时，z＝3x＋6y的最小值．
作出不等式组(*)表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示．
把z＝3x＋6y变形为y＝－x＋z，得到斜率为－，在y轴上的截距为z，随z变化的一族平行直线．
由图可知，当直线y＝－x＋z经过点A时，z取得最小值，
解方程组得A点坐标为(1,2)．
故zmin＝3×1＋6×2＝15.
【答案】 15
二、解答题
9．某家具厂有方木料90 m3，木工板600 m3，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3、木工板2 m3；生产每个书橱需要方木料0.2 m3，木工板1 m3，出售一张书桌可以获利80元，出售一张书橱可以获利120元．问：怎样安排生产可以获利最大？
【解】 设生产书桌x张，书橱y张，利润为z元，则约束条件为
利润z＝80x＋120y.作出不等式表示的平面区域如图所示，将直线z＝80x＋120y平移可知：当生产100张书桌，400张书橱时，利润最大为z＝80×100＋120×400＝56 000(元)．
10．(2013·扬州检测)下表给出了X、Y、Z三种食物的维生素含量及成本：
维生素A(单位/kg)
维生素B(单位/kg)
成本(元/kg)
X
300
700
5
Y
500
100
4
Z
300
300
2
某人欲将这三种食物混合成100 kg的食品，要使混合食品中至少含35000单位的维生素A及40000单位的维生素B，那么X、Y、Z这三种食物各取多少kg时，才能使成本最低？最低成本是多少元？
【解】 设X、Y这两种食品各取x kg、y kg，则Z取(100－x－y)kg.
根据题意得到约束条件为：
化简得
设成本为z，则目标函数为z＝5x＋4y＋2(100－x－y)＝3x＋2y＋200，
作出可行域图(略)，由
解得
所以，当x＝37.5，y＝25时，zmin＝3×37.5＋2×25＋200＝362.5.
答：X、Y、Z这三种食物各取37.5 kg,25 kg,37.5 kg时，成本最低，最低362.5元．
11．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，试比较2枝玫瑰与3枝康乃馨的价格哪一个更高．
【解】 设1枝玫瑰的价格为x元，1枝康乃馨的价格为y元，
则
设z＝2x－3y，作出二元一次不等式组
所表示的平面区域(如图所示)，即可行域．
考虑z＝2x－3y，将它变形为y＝x－z，这是斜率为，且随z变化的一族平行直线，－z是直线在y轴上的截距，当直线的纵截距最大时，z的值最小．
由图可知，当直线z＝2x－3y经过边界上的点A时，截距最大，即z最小．
解方程组得点A的坐标为(3,2)．
所以zmin＝2×3－3×2＝0(最小值取不到)．所以2x－3y＞0，即2x＞3y.
故2枝玫瑰比3枝康乃馨的价格高.
一、填空题
1．下列不等式的推导过程正确的是________．(填序号)
①若a，b∈R，则＋≥2＝2；
②若x＞0，则 cos x＋≥2＝2；
③若x＜0，则x＋≤2＝4；
④若a，b∈R，且ab＜0，则＋＝－[(－)＋(－)]≤－2＝－2.
【解析】 对于①，不能确定与均为正数，不能使用基本不等式．同理知②也不正确．对于③，x与均为负数，也不能使用基本不等式，所以③错误．对于④，将负数与分别转化为正数－，－，然后再利用基本不等式求解，所以正确．故填④.
【答案】 ④
2．(2013·南通检测)若a＞1，则y＝a＋的最小值为________．
【解析】 ∵a＞1，∴a－1＞0，＞0，
∴y＝a＋＝(a－1)＋＋1≥2＋1＝3，
当且仅当a－1＝，即a＝2时取等号，∴ymin＝3.
【答案】 3
3．已知m＝a＋(a＞2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是________．
【解析】 m＝a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a－2＝，即a＝3时，“＝”成立，故m∈[4，＋∞)，由b≠0，得b2≠0，
∴2－b2＜2，∴22－b2＜4，即n∈(0,4)，综上易得m＞n.
【答案】 m＞n
4．已知x＞1，则函数y＝x＋的值域为________．
【解析】 ∵x＞1，∴x－1＞0.∴y＝x＋＝x＋＝x＋9＋＝x－1＋＋10≥2＋10＝16，
当且仅当x－1＝，即x＝4时，y取最小值16，
∴函数y＝x＋的值域为[16，＋∞)．
【答案】 [16，＋∞)
5．(2013·无锡检测)已知a，b＞0且2a＋b＝4，则ab的最大值为________．
【解析】 由2a＋b＝4，∴4＝2a＋b≥2.
∴≤2，∴2ab≤4，∴ab≤2，即(ab)max＝2.
【答案】 2
6．若x＋2y＝2，则2x＋4y的最小值为________．
【解析】 2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2＝4，当且仅当x＝2y＝1，即x＝1，y＝时等号成立．
【答案】 4
7．(2013·郑州高二检测)若a＞b＞0，则代数式a2＋的最小值为________．
【解析】 依题意得a－b＞0，所以代数式a2＋≥a2＋＝a2＋≥2＝4，当且仅当即a＝，b＝时取等号，因此a2＋的最小值是4.
【答案】 4
8．(2013·衡阳六校联考)已知M是△ABC内的一点，且·＝2，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y，则＋的最小值为________．
【解析】 依题意得·＝||·||cos 30°＝2，则||·||＝4，故S△ABC＝||·||sin 30°＝1，即＋x＋y＝1，x＋y＝，所以＋＝2(x＋y)(＋)＝2[5＋(＋)]≥2(5＋2)＝18，当且仅当＝，即y＝2x＝时，等号成立，因此＋的最小值为18.
【答案】 18
二、解答题
9．求函数y＝(x＞1)的最小值．
【解】 y＝＝(x－1)＋＋2.
由题意知x－1＞0，∴y≥2＋2＝8.
当且仅当x－1＝，即x＝4时取“＝”，∴ymin＝8.
10．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证(－1)(－1)(－1)≥8.
【证明】 ∵a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝1，
∴－1＝＝≥.
同理，－1≥，－1≥.
上述三个不等式两边均为正，可分别相乘．
∴(－1)(－1)(－1)≥··＝8，
当且仅当a＝b＝c＝时取等号．
11．已知x，y为正数且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．
【解】 由2x＋8y－xy＝0，得x＝(y＞2)，令t＝x＋y，则t＝＋y
＝＋y＝8＋＋y＝(y－2)＋＋10≥2＋10＝2＋10＝18.
当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时，等号成立．
所以(x＋y)min＝18.
一、填空题
1．若x、y∈R＋，x＋9y＝12，则xy有最大值为________．
【解析】 ∵9xy≤()2＝36，
∴xy≤4，当且仅当x＝9y＝6，即x＝6，y＝时等号成立．
【答案】 4
2．(2013·无锡检测)设lg x＋lg y＝2，则＋的最小值是________．
【解析】 由lg x＋lg y＝2，知x＞0，y＞0，xy＝100.
＋≥2＝2＝，等号可取．
所以＋的最小值为.
【答案】
3．若正实数x，y满足x＋y＝1，且t＝2＋x－，则当t取最大值时x的值为________．
【解析】 t＝2＋x－＝3－(1－x)－
＝3－[(1－x)＋]≤3－2×＝2.
当且仅当1－x＝，即x＝时等号成立．
【答案】
4．(2013·德州高二检测)设点(m，n)在直线x＋y＝1位于第一象限内的图象上运动，则log2m＋log2n的最大值为________．
【解析】 由题意知m＋n＝1且m＞0，n＞0，则log2m＋log2n＝log2mn≤log2()2＝log2＝－2.当且仅当m＝n＝时等号成立．
【答案】 －2
5．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．
【解析】 每年购买次数为次，
所以总费用＝·4＋4x≥2＝160，
当且仅当＝4x，即x＝20时等号成立．故x＝20.
【答案】 20
6．设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为________．
【解析】 ∵是3a与3b的等比中项，∴3＝3a·3b，
∴a＋b＝1.
∵a＞0，b＞0，∴＋＝＋＝2＋(＋)≥4.
【答案】 4
7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
【解析】 设仓库离车站的距离为x千米，则y1＝，y2＝k2x.当x＝10时，由y1＝2，y2＝8，可得y1＝，y2＝x.则总费用y＝y1＋y2＝＋x≥8，当且仅当＝x，即x＝5时取等号．
【答案】 5
8．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，P是AB上的点，则点P到AC，BC的距离的乘积的最大值是________．
【解析】 设点P到AC，BC的距离分别为x，y，则由题意得＝，所以4x＋3y＝12，而4x＋3y≥2，所以xy≤3，当且仅当4x＝3y，且4x＋3y＝12，即x＝，y＝2时取“＝”．
【答案】 3
二、解答题
9．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，
(1)求＋的最小值；
(2)求＋的最大值．
【解】 (1)＋＝(＋)(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，
当且仅当＝，即x＝，y＝时有最小值18.
(2)＋≤＝2，
当且仅当2x＋1＝2y＋1，即x＝y＝时取最大值2.
10.
图3－4－1
某单位用木料制作如图3－4－1所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：米)的矩形，上部是斜边长为x的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米．
(1)求x，y的关系式，并求x的取值范围；
(2)问x，y分别为多少时用料最省？
【解】 (1)由题意得x·y＋x·＝8(x＞0，y＞0)，
∴y＝－＞0,0＜x＜4.
(2)设框架用料长度为l，
则l＝2x＋2y＋x＝(＋)x＋
≥4＝8＋4.
当且仅当(＋)x＝，即x＝8－4，
满足0＜x＜4时，取得最小值，此时y＝2.
11．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系为：y＝(v＞0)．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/小时)
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
【解】 (1)依题意，y＝≤＝，当且仅当v＝，即v＝40时，上式等号成立，
所以ymax＝≈11.1(千辆/小时)．
(2)由条件得＞10，整理得v2－89v＋1 600＜0，
即(v－25)(v－64)＜0，
解得25＜v＜64.
答：当v＝40千米/小时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/小时．如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时．
