课件33张PPT。四种命题及其关系 充要条件及其应用 简单的逻辑联结词 全称命题与存在性命题 等价转化思想
一、填空题
1．下列语句是命题的是________．
①若a＞b>0，则a2＞b2；
②a2＞b2；
③方程x2－x－1＝0的近似根；
④方程x2－x－1＝0有根吗？
【解析】 ②③无法判断真假，④是疑问句，故均不是命题．
【答案】 ①
2．下列命题：
①若xy＝1，则x、y互为倒数；
②四条边相等的四边形是正方形；
③平行四边形是梯形；
④实数的平方是非负数；
其中真命题的序号是________．
【解析】 四条边相等的四边形可能是菱形，故②错，③显然错误，①④正确．
【答案】 ①④
3．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是________．
①“若一个数是负数，则它的平方不是正数”；
②“若一个数的平方是正数，则它是负数”；
③“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”；
④“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”．
【解析】 条件与结论互换．
【答案】 ②
4．(2013·镇江高二检测)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________．
①若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3
②若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3
③若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
④若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
【解析】 由于一个命题的否命题既否定题设又否定结论，因此原命题的否命题为“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3”．
【答案】 ①
5．(2012·湖南高考改编)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是________．
【解析】 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．
【答案】 若tan α≠1，则α≠
6．命题“对于正数a，若a＞1，则lg a＞0”及其逆命题、否命题、逆否命题四个命题中真命题的个数为________．
【解析】 原命题“对于正数a，若a＞1，则lg a＞0”是真命题；逆命题“对于正数a，若lg a＞0，则a＞1”是真命题；否命题“对于正数a，若a≤1，则lg a≤0”是真命题；逆否命题“对于正数a，若lg a≤0，则a≤1”是真命题．
【答案】 4
7．给出下列命题：
①命题“若b2－4ac＜0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题．
②命题“△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；
③命题“若a＞b＞0，则＞＞0”的逆否命题；
④“若m＞1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)＞0的解集为R”的逆命题．
其中真命题的序号为________．
【解析】 ①否命题：若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，真命题．
②逆命题：若△ABC为等边三角形，则AB＝BC＝CA，真命题．
③逆否命题：若≤≤0，则a≤b≤0.真命题．
④逆命题：若mx2－2(m＋1)x＋(m－3)＞0的解集为R，则m＞1，假命题．
【答案】 ①②③
8．设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线．有下列四个命题：
①(a·b)c＝(c·a)b；②|a|－|b|<|a－b|；
③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中真命题是________．
【解析】 ①平面向量的数量积不满足结合律，故①假；
②由向量的减法运算可知|a|、|b|、|a－b|恰为一个三角形的三条边长，“两边之差小于第三边”，故②真；
③因为[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)a·c－(c·a)b·c＝0.所以垂直，故③假；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9a·a－4b·b＝9|a|2－4|b|2成立，故④真．
【答案】 ②④
二、解答题
9．写出下列原命题的其他三种命题，并分别判断真假．
(1)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B；
(2)正偶数不是质数；
(3)若x2－3x＋2＝0，则x＝2；
(4)若x∈A则x∈(A∪B)．
【解】 (1)原命题：在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B，真命题；
逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题；
否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题；
逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题．
(2)原命题：若一个数是正偶数，则它一定不是质数，假命题，例如2；
逆命题：若一个数不是质数，则它一定是正偶数，假命题，例如9；
否命题：若一个数不是正偶数，则它一定是质数，假命题，例如9；
逆否命题：若一个数是质数，则它一定不是正偶数，假命题，例如2.
(3)原命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2，假命题；
逆命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0，真命题；
否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2，真命题；
逆否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0，假命题．
(4)原命题：若x∈A，则x∈(A∪B)，真命题；
逆命题：若x∈(A∪B)，则x∈A，假命题；
否命题：若x?A，则x?(A∪B)，假命题；
逆否命题：若x?(A∪B)，则x?A，真命题．
10．(2013·扬州高二检测)已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B＝?是真命题，求实数m的取值范围．
【解】 当Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)<0，即－1
所以解得m≥.
所以m的取值范围是(－1，＋∞)．
11．a，b，c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c的年龄不是最小，那么a的年龄最大”都是真命题，则a，b，c的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由．
【解】 显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此我们应该从它的逆否命题来看．
由命题A可知，b不是最大时，则a是最小，∴c最大，即c>b>a；而它的逆否命题也为真，即“a不是最小，则b是最大”为真，即b>a>c.同理由命题B为真可得：a>c>b或b>a>c，故由A与B均为真可知b>a>c.∴a，b，c三人的年龄的大小顺序是：b最大，a次之，c最小．
课件60张PPT。教师用书独具演示演示结束命题 判断真假 若p则q q 四种命题 若q则p 互逆命题 互否命题 若非q则非p 互为逆否命题 命题的概念及真假判断 四种命题及其关系 逆否命题的应用 课时作业（一）
一、填空题
1．下列命题中，p是q的充分条件的是________．
①p：a＝0，q：ab＝0；
②p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0；
③p：x2＞1，q：x＞1；
④p：a＞b，q：＞.
【解析】 由a＝0，得ab＝0，
∴“a＝0”，是“ab＝0”的充分条件．
【答案】 ①
2．已知a，x∈R，条件a＞0是ax2＞0的________条件．
【解析】 ax2＞0 a＞0，a＞0 ax2＞0.
【答案】 必要不充分
3．(2012·浙江高考改编)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的________．
【解析】 若直线l1与l2平行，则a(a＋1)－2×1＝0，即a＝－2或a＝1，所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．
【答案】 充分不必要条件
4．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的________条件．
【解析】 l⊥αl⊥m且l⊥n，但l⊥m且l⊥n l⊥α，如m∥n时，结论不一定成立．
【答案】 充分不必要
5．(2013·扬州高二检测)若“x2－2x－3>0”是“x【解析】 因x2－2x－3>0得x<－1或x>3，又“x2－2x－3>0”是“x0”，反之不成立，则a的最大值为－1.
【答案】 －1
6．(2012·山东高考改编)设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的________．
【解析】 由题意知函数f(x)＝ax在R上是减函数等价于0∴“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件．
【答案】 充分不必要条件
7．已知不等式m－1【解析】 依题意知，(，)?(m－1，m＋1)，
∴，解得－≤m≤.
【答案】 [－，]
8．方程x2＋mx＋1＝0的两根，一根大于2，另一根小于2的充要条件是________．
【解析】 令f(x)＝x2＋mx＋1，∵一根大于2，另一根小于2.
∴f(2)<0，即4＋2m＋1<0，解得m<－.
【答案】 m<－
二、解答题
9．指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)?
(1)p：△ABC中，b2>a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形；
(2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
(4)p：△ABC中，A≠30°，q：sin A≠.
【解】 (1)△ABC中，∵b2>a2＋c2，
∴cos B＝<0，
∴B为钝角，即△ABC为钝角三角形，反之若△ABC为钝角三角形，B可能为锐角，这时b2∴pq，qp，故p是q的充分不必要条件．
(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，
∴pq，qp，故p是q的必要不充分条件．
(3)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故pq；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q?p，所以p是q的充要条件．
(4)转化为△ABC中sin A＝是A＝30°的什么条件．
∵A＝30°sin A＝，但是sin A＝ A＝30°，
∴△ABC中sin A＝是A＝30°的必要不充分条件．
即p是q的必要不充分条件．
10．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－mx＋2＝0}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数m的范围．
【解】 集合A＝{1，2}．
∵x∈A是x∈B的必要不充分条件，∴BA.
根据集合中元素个数对集合B分类讨论：B＝，B＝{1}或{2}．
当B＝时，Δ＝m2－8<0.
∴－2当B＝{1}或{2}时，，此方程组无解．
综上所述，－211．已知M＝{x|(x＋3)(x－5)>0}，P＝{|x|x2＋(a－8)x－8a≤0}．
(1)求a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5(2)求a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5【解】 M＝{x|x<－3，或x>5}，P＝{x|(x＋a)(x－8)≤0}．
(1)显然，当－3≤－a≤5，即－5≤a≤3时，M∩P＝{x|5(2)当M∩P＝{x|5课件51张PPT。教师用书独具演示演示结束符号“?”与“D ”的含义 充分条件、必要条件、充要条件的含义 充分条件、必要条件的判断 充要条件的探求 充分、必要条件的应用 课时作业（二）
一、填空题
1．分别用“p或q”“p且q”“非p”填空．
(1)命题“的值不超过2”是“________”的形式；
(2)命题“x＝2或x＝3是方程(x－2)(x－3)＝0的解”是“________”的形式；
(3)命题“函数y＝cos x既是偶函数，又是周期函数”是“________”的形式．
【解析】 (1)是命题“的值超过2”的否定，(2)是两个命题用“或”连接，(3)是两个命题用“且”连接．
【答案】 非p p或q p且q
2．命题p：方向相同的两个向量共线，q：方向相反的两个向量共线，则命题“p∨q”为________．
【解析】 方向相同的两个向量共线或方向相反的两个向量共线，即“方向相同或相反的两个向量共线”．
【答案】 方向相同或相反的两个向量共线
3．若命题“綈p∨綈q”为假，则命题“p∧q”是________命题(用真、假填空)．
【解析】 命题“綈p∨綈q”为假，其否定为“p∧q”，是真命题．
【答案】 真
4．已知命题p：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，命题q：若m＞－2，则x2＋2x－m＝0有实根，则p∧q为________(填真、假)
【解析】 p真；若m＞－2，Δ＝4＋4m＝4(1＋m)符号不定，故q假．∴p∧q为假．
【答案】 假
5．命题“若a＜b，则2a＜2b”的否命题为________，命题的否定为________．
【解析】 否命题是条件、结论都否定，若a≥b，则2a≥2b.命题的否定只否定结论，若a＜b，则2a≥2b.
【答案】 若a≥b，则2a≥2b 若a＜b，则2a≥2b
6．“p∨q为假命题”是“綈p为真命题”的________条件．
【解析】 p∨q假p、q均假綈p为真．
【答案】 充分不必要
7．若命题p：不等式ax＋b＞0的解集为{x|x＞－}，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)＜0的解集为{x|a＜x＜b}，则“p且q”“p或q”及“綈p”形式的新命题中是真命题的是________．
【解析】 命题p是假命题，因为当a＜0或a＝0时解集与已知不同，命题q也是假命题，因为不知道a，b的大小关系，所以只有非p是真命题．
【答案】 綈p
8．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，
p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，
在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是________．
【解析】 因为y＝2x为增函数，y＝2－x为减函数，易知p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数是真命题，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数是假命题，故q1，q4为真命题．
【答案】 q1，q4
二、解答题
9．写出由下列命题组成的p∧q，p∨q，綈p形式的命题，并判断该命题的真假．
(1)p：3是6的约数，q：3是33的约数；
(2)p：正弦函数y＝sin x是奇函数，q：正弦函数y＝sin x是增函数．
【解】 (1)p∧q：3是6的约数且是33的约数，因p真q真，则p∧q真，所以该命题是真命题．
p∨q：3是6的约数或是33的约数，因p真q真，则p∨q真，所以该命题是真命题．
綈p：3不是6的约数，为假命题．
(2)p∧q：正弦函数y＝sin x是奇函数且是增函数．因p真q假，则p∧q假，所以该命题是假命题；
p∨q：正弦函数y＝sin x是奇函数或是增函数．因p真q假，则p∨q真，所以该命题是真命题；
綈p：正弦函数y＝sin x不是奇函数，为假命题．
10．(2013·福州高二检测)若p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，写出綈p，若綈p是假命题，则a的取值范围是什么？
【解】 綈p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上不是减函数．
∵綈p为假，则p为真，
即函数在(－∞，4]上为减函数，
∴－(a－1)≥4，即a≤－3，
∴a的取值范围是(－∞，－3]．
11．(2013·苏州高二检测)已知命题p：c2＜c和命题q：对任意x∈R，x2＋4cx＋1＞0，且p∨q为真，p∧q为假，求实数c的取值范围．
【解】 p：c2＜c0＜c＜1，
q：?x∈R，x2＋4cx＋1＞0Δ＝(4c)2－4＜0?－＜c＜.
∵p∨q为真，p∧q为假，
∴p，q一真一假．
(1)若p真q假，则，∴≤c＜1.
(2)若p假q真，则，∴－＜c≤0.
∴c的取值范围是(－，0]∪[，1)．
课件51张PPT。教师用书独具演示演示结束逻辑联结词及命题的构成形式 “或”、“且”、“非” p或 q p且 q p∨q p∧q 綈p 非 p p的否定 含有逻辑联结词的命题的真假判断 真 真 真 真 含有逻辑联结词的命题的构成 含有逻辑联结词的命题的真假判断 逻辑联结词的应用 课时作业（三）
一、填空题
1．下列命题：
①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立；
②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；
③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；
④存在x，使x2＋2x＋1＝0成立．
其中是全称命题的有________个．
【解析】 ①中的量词“至少有一个”和④中的量词“存在”都不是全称量词，故这两个命题不是全称命题．②、③中的量词“任意的”是全称量词，所以这两个命题是全称命题，故有2个．
【答案】 2
2．有下列命题：
①x∈R，x2＋x＋1＜0；
②x∈R，x2＋x＋1＞0；
③x∈Z，x2＝2；
④x∈R，x2＝2.
其中它的否定为假命题的是________．
【解析】 ②④为真命题，故其否定为假命题．
【答案】 ②④
3．命题“存在x∈R，使得x2＋x＋2≤0”是________命题(用真或假填空)．
【解析】 ∵Δ＝1－8＜0，∴x2＋x＋2＞0恒成立，
∴不存在x∈R，使x2＋x＋2≤0.
【答案】 假
4．关于x的函数f(x)＝sin(ωx＋φ)有以下命题：
①φ∈R，f(x＋2π)＝f(x)；
②ω∈R，f(x＋1)＝f(x)；
③φ∈R，f(x)都不是偶函数；
④φ∈R，使f(x)是奇函数．其中假命题的序号是________．
【解析】 命题①显然错误；命题②当ω＝2π时，即合题意，所以该命题正确；命题③当φ＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)是偶函数，所以该命题为假命题；当φ＝kπ(k∈Z)时，f(x)是奇函数，所以命题④是真命题．
【答案】 ①③
5．(2013·苏州高二检测)已知命题p：?n∈N，2n>1 000，则綈p为________．
【解析】 命题为存在性命题，它的否定为全称命题．
【答案】 n∈N，2n≤1 000
6．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是________．
【解析】 命题是全称命题，它的否定是存在性命题．
【答案】 存在一个能被2整除的整数不是偶数
7．(2013·常熟高二检测)命题“x∈R，－x2＋2x－a>0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
【解析】 x∈R，使a<－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1.
【答案】 a<1
8．(2013·泰州高二检测)已知命题p：“任意x∈[0，1]，a≥ex”，命题q：“存在x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题p为真命题，q是假命题，则实数a的取值范围是________．
【解析】 当x∈[0，1]时，ex∈[1，e]，∴a≥e；又q为假命题，∴Δ＝16－4a＜0，即a＞4.综上，当p为真命题，q为假命题时，a的取值范围是(4，＋∞)．
【答案】 (4，＋∞)
二、解答题
9．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是存在性命题，并判断真假：
(1)若a＞0，且a≠1，则对任意实数x，ax＞0；
(2)对任意实数x1，x2，若x1＜x2，则tan x1＜tan x2；
(3) T∈R，使sin(x＋T)＝|sin x|；
(4) x∈R，使x2＋1＜0.
【解】 (1)全称命题，真；(2)全称命题，假；(3)存在性命题，假；(4)存在性命题，假．
10．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)q：存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0；
(3)r：等圆的面积相等，周长相等；
(4)s：对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.
【解】 (1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是綈p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”，当Δ＝1＋4m＜0时，即m＜－时，一元二次方程没有实数根，所以綈p是真命题．
(2)这一命题的否定形式是綈q：对所有实数x，都有x2＋x＋1＞0.利用配方法可以验证綈q是一个真命题．
(3)这一命题的否定形式是綈r：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等，由平面几何知识知綈r是一个假命题．
(4)这一命题的否定形式是綈s：存在a∈R，使sin2α＋cos2α≠1.由于命题s是真命题，所以綈s是假命题．
11．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；
(2)若存在一个实数x，使不等式m－f(x)＞0成立，求实数m的取值范围．
【解】 (1)不等式m＋f(x)＞0可化为m＞－f(x)，即m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m＞－4即可．
故存在实数m使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，此时需m＞－4.
(2)不等式m－f(x)＞0可化为m＞f(x)，若存在一个实数x使不等式m＞f(x)成立，只需m＞f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，
∴m＞4.∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．
课件57张PPT。教师用书独具演示演示结束全称量词、存在量词与全称命题、
存在性命题 全称量词 存在量词 全称命题与存在性命题的否定 用量词表示命题 含有量词的命题的真假判断 含有一个量词的命题的否定 课时作业（四）综合检测(一)
第1章 常用逻辑用语
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上)
1．命题“不等式x2＋x－6＞0的解是x＜－3或x＞2”的逆否命题是________________________．
【解析】 “若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”．
【答案】 若x≥－3且x≤2，则不等式x2＋x－6≤0
2．(2013·无锡高二检测)“lg a＝lg b”是“a＝b”的________条件．(填“充分不必要、必要不充分或充要”)
【解析】 “lg a＝lg b”时有“a＝b>0”，但“a＝b”时，可能a、b都小于0，lg a、lg b无意义．
【答案】 充分不必要
3．“x∈R，x2＋1＜0”的否定是________(要求用数学符号表示)．
【解析】 存在性命题的否定是全称命题．
【答案】 x∈R，x2＋1≥0
4．若命题“p∧q”为假，且“綈p”为假，则p________，q________(填真、假)．
【解析】 ∵p∧q为假，∴p、q至少一假，∵綈p为假，∴p真q假．
【答案】 真 假
5．(2012·福建高考改编)已知向量a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，则a⊥b的充要条件是________．
【解析】 ∵a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，∴a·b＝2(x－1)＋2×1＝2x.又a⊥b?a·b＝0，∴2x＝0，∴x＝0.
【答案】 x＝0
6．(2013·连云港高二检测)已知命题p：“所有的平行四边形都不是矩形”，则綈p：________．
【解析】 命题的否命题为“有的平行四边形是矩形”．
【答案】 有的平行四边形是矩形
7．(2012·辽宁高考改编)已知命题p：x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则綈p是________．
【解析】 綈p：x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0.
【答案】 x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
8．(2012·安徽高考改编)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的________条件．
【解析】 当α⊥β时，由于α∩β＝m，bβ，b⊥m，由面面垂直的性质定理知，b⊥α.又∵aα，∴b⊥a.∴“α⊥β”是“a⊥b”的充分条件．
而当aα且a∥m时，∵b⊥m，∴b⊥a.而此时平面α与平面β不一定垂直，∴“α⊥β”不是“a⊥b”的必要条件。
【答案】 充分不必要
9．已知A和B两个命题，如果A是B的充分不必要条件，那么“綈A”是“綈B”________条件．
【解析】 “AB，BA”?“綈B綈A，綈A綈B”．
【答案】 必要不充分
10．(2013·淮安高二检测)已知命题：“x∈[1，2]，x2＋2x＋a>0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
【解析】 a>－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，
∵x∈[1，2]，且对任意x都成立，
∴a>－3.
【答案】 a>－3
11．平面α∥平面β的一个充分条件是________．
①存在一条直线a，a∥α，a∥β
②存在一条直线a，a?α，a∥β
③存在两条平行直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α
④存在两条异面直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α
【解析】 由①可知α与β有可能相交，①错．由②知α与β也有可能相交，②错．由③知α与β也有可能相交③错．④正确．
【答案】 ④
12．已知A＝{x|(x－1)(x＋2)≤0}，B＝{x|x≤a}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
【解析】 A＝{x|－2≤x≤1}由图知，a≥1.
【答案】 a≥1
13．(2013·盐城高二检测)已知命题p：关于x的函数y＝x2－2ax＋4在[1，＋∞)上是增函数，命题q：函数y＝(3a－1)x为减函数，若綈p∨綈q为假，则实数a的取值范围是________．
【解析】 ∵y＝(x－a)2＋(4－a2)，轴为x＝a，∴p：a≤1，又∵q：＜a＜，∵綈p∨綈q假，∴綈p，綈q均假，∴p、q均真，∴∴＜a＜.
【答案】 (，)
14．下列命题：
①?x∈R，不等式x2＋2x＞4x－3恒成立；
②若log2x＋logx2≥2，则x＞1；
③命题“若a＞b＞0且c＜0，则＞”的逆否命题；
④若命题p：?x∈R，x2＋1≥1.命题q：?x∈R，x2－2x－1≤0，则命题p∧綈q是真命题．
其中真命题有________个．
【解析】 ∵x2＋2x＞4x－3?x2－2x＋3＞0?(x－1)2＋2＞0，∴①正确．
∵log2x＋logx2≥2，即log2x＋≥2.
∴log2x＞0，∴x＞1，∴②正确．
∵a＞b＞0，∴＜，又c＜0，∴＞.原命题正确，从而其逆否命题正确，∴③正确．
∵x2＋1≥1恒成立，∴p真．
当x＝0∈R时，x2－2x－1≤0成立．
∴q真，∴綈q为假．
∴p∧綈q为假，∴④不正确．
【答案】 3
二、解答题 (本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)把下列各命题作为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)若α＝β，则sin α＝sin β；
(2)若对角线相等，则梯形为等腰梯形；
(3)已知a，b，c，d都是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.
【解】 (1)逆命题：若sin α＝sin β，则α＝β；
否命题：若α≠β，则sin α≠sin β；
逆否命题：若sin α≠sin β，则α≠β.
(2)逆命题：若梯形为等腰梯形，则它的对角线相等；
否命题：若梯形的对角线不相等，则梯形不是等腰梯形；
逆否命题：若梯形不是等腰梯形，则它的对角线不相等；
(3)逆命题：已知a，b，c，d都是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d；
否命题：已知a，b，c，d都是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d.
逆否命题：已知a，b，c，d都是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d.
16．(本小题满分14分)在下列各题中，判断A是B的什么条件，并说明理由．
(1)A：|p|≥2，p∈R，B：方程x2＋px＋p＋3＝0有实根；
(2)A：α＋β＝2kπ，k∈Z，B：sin(α＋β )＝sin α＋sin β；
(3)A：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，B：c2＝(a2＋b2)r2.
【解】 (1)当p≥2，取p＝4，则方程x2＋4x＋7＝0无实根；
若方程x2＋px＋p＋3＝0有实根，则由Δ≥0推出p2－4(p＋3)≥0?p≤－2或p≥6，由此可推出|p|≥2.
所以A是B的必要非充分条件．
(2)若α＋β＝2kπ，则sin α＋sin β＝sin α＋sin(2kπ－α)＝sin α－sin α＝0，又sin(α＋β)＝sin 2kπ＝0，
所以sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．
若sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立，取α＝0，β＝π，知α＋β＝2kπ不一定成立，故A是B的充分不必要条件．
(3)直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝r2相切?圆心(0，0)到直线的距离d＝r，
即＝rc2＝(a2＋b2)r2.所以A是B的充要条件．
17．(本小题满分14分)(2013·洛阳高二检测)已知p：|1－|≤2，q：x2＋(1－m2)－2x≤0.若“綈p”是“綈q”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．
【解】 由p：|1－|≤2，解得P＝{x|－2≤x≤10}，由q：x2－2x＋1－m2≤0，解得Q＝{x|1－|m|≤x≤1＋|m|}，由“綈p”是“綈q”的必要而不充分条件可知綈q綈ppq，即PQ，1－|m|≤－2<10≤1＋|m|(等号不同时成立)，解得|m|≥9，∴满足条件的m的取值范围为(－∞，－9]∪[9，＋∞)．
18．(本小题满分16分)(2013·张家港高二检测)设命题p：函数f(x)＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R；命题q：不等式<1＋ax对一切正实数x均成立．如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．
【解】 命题p为真命题函数f(x)＝lg(ax2－x＋a)的定义域为Rax2－x＋a>0对任意实数x均成立当a＝0时，－x>0解集为R；或者?a>2.
∴命题p为真命题a>2.
命题q为真命题?－1＝＝对一切正实数x均成立．
∵x>0，∴>1.∴＋1>2.
∴<1.
∴命题q为真命题a≥1.
根据题意知，命题p与q有且只有一个为真命题，当命题p为真命题且命题q为假命题时，a不存在；当命题p为假命题且命题q为真命题时，a的取值范围是[1，2]．
综上所述，命题p或q为真命题，命题p且q为假命题时，实数a的取值范围是[1，2]．
19．(本小题满分16分)已知命题p：若不等式(m－1)x2＋(m－1)x＋2＞0的解集是R，命题q：sin x＋cos x＞m，如果对于任意的x∈R，命题p是真命题且命题q为假命题，求m的范围．
【解】 对于命题p：
(1)当m－1＝0时，原不等式化为2＞0
恒成立，满足题意．
(2)当m－1≠0时，只需
，
得1＜m＜9，所以，m∈[1，9)．
对于命题q：
sin x＋cos x＝sin(x＋)∈[－，]，若对于任意的x∈R，命题q：sin x＋cos x＞m是假命题，则m≥；综上，m的取值范围是[，9)．
20．(本小题满分16分)已知M＝{x|x2－3x＋2>0}，若对于?x∈M，关于x的不等式<1恒成立，求实数a的取值范围．
【解】 由于M＝{x|x2－3x＋2>0}＝{x|x<1或x>2}，
要对于一切x∈M，关于x的不等式<1恒成立，则
当x>2时，即<1a<1－恒成立，由于y＝1－在x>2上是增函数，y>，∴a≤.
当01－恒成立，由于y＝1－在0当x<0时，即<1a<1－恒成立，由于y＝1－在x<0上是增函数，y>1，∴a≤1.
要使对于一切x<1或x>2，关于x的不等式<1恒成立，则实数a的取值范围是?0≤a≤.所以实数a的取值范围是[0，]．
