课件34张PPT。圆锥曲线定义的应用 圆锥曲线的方程与性质的应用 直线与圆锥曲线的位置关系 函数与方程思想
一、填空题
1．动点M到定点A(，0)、B(－，0)的距离之和是2，则动点M的轨迹是________．
【解析】 ∵MA＋MB＝2＞1＝AB，
∴M的轨迹是椭圆．
【答案】 椭圆
2．到直线x＝1与到定点M(1，0)的距离相等的点的轨迹是________．
【解析】 根据抛物线的定义正确地分析．虽然动点到定点和定直线的距离相等，但由于定点在定直线上，因此，动点的轨迹是过点M且与直线x＝1垂直的一条直线．
【答案】 一条直线
3．已知平面内有一条长度为4的定线段AB，动点P满足PA－PB＝3，则点P的轨迹是_____________________________________________________．
【解析】 ∵PA－PB＝3<4，∴动点P在以A，B为焦点的双曲线的一支(对应于焦点B)上．
【答案】 以A，B为焦点的双曲线的一支(对应于焦点B)
4．若点P(x，y)的坐标满足 ＋ ＝20，则点P的轨迹为________．
【解析】 ＋ ＝20表示点P(x，y)到点(6，0)与点(－6，0)的距离之和为20，且20大于两点(6，0)与(－6，0)间的距离，所以点P的轨迹是以点(6，0)，(－6，0)为焦点的椭圆．
【答案】 椭圆
5．(2013·扬州高二检测)如图2－1－3，已知椭圆的两个焦点为F1、F2，P是椭圆上任一点，且PF1＋PF2＝8，过F2的直线交椭圆于点A、B，若AB＝5，则AF1＋BF1等于________．
图2－1－3
【解析】 由题意及椭圆定义，得BF1＋BF2＋AF1＋AF2＝16，即AF1＋BF1＋AB＝16，∵AB＝5，∴AF1＋BF1＝11.
【答案】 11
6．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2，0)的距离小1，则点P的轨迹为________．
【解析】 设M(2，0)，由题设可知，把直线x＝－1向左平移一个单位即为直线x＝－2，则点P到直线x＝－2的距离等于PM，所以动点P的轨迹为以(2，0)为焦点，直线x＝－2为准线的抛物线．
【答案】 以(2，0)为焦点，直线x＝－2为准线的抛物线
7．(2013·常州高二检测)已知椭圆的两个焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若△AF1F2的周长为18，则△ABF2的周长为________．
【解析】 因为AF2＋AF1＋F1F2＝18，F1F2＝8，所以AF2＋AF1＝10，于是BF2＋BF1＝10，所以△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝AF1＋BF1＋AF2＋BF2＝20.
【答案】 20
8．如图2－1－4所示，AB是平面α上的斜线段，A为斜足．若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是________．
图2－1－4
【解析】 因为△ABP的面积为定值，底边AB的长一定，从而P到直线AB的距离为定值，可构造一立体图形，即设线段AB为一圆柱上下底面中心连线上的一条线段，过点A有一个平面斜截圆柱得到一个椭圆，椭圆上的点即为P点，点P到线段AB的距离即为这个圆柱的底面半径，故轨迹为椭圆．
【答案】 椭圆
二、解答题
9．A、B是两定点，且AB＝2，动点M到A的距离为4，线段MB的垂直平分线l交MA于P，求证：点P的轨迹为椭圆，并指明其焦点．
【解】 ∵线段MB的垂直平分线l交MA于P.
∴由垂直平分线的性质可知PM＝PB.
又∵MA＝MP＋PA＝4，
∴PB＋PA＝4＞AB＝2，
由椭圆的定义可知，动点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．
10．已知点B(4，0)，过y轴上的一点A作直线l⊥y轴，求l与线段AB的中垂线的交点P的轨迹．
【解】 如图所示，连结PB，由题意可知PA＝PB.
又PA表示点P到y轴的距离，
∴点P到点B的距离等于其到y轴的距离，
故交点P的轨迹是以B为焦点，以y轴为准线的抛物线．
11．如图2－1－5，某地区的居民生活用水来源于两处，一处是位于该地区内的一口深水井，另一处是位于该地区南端的一条河(河岸近似看成直线)．已知井C到河岸AB的距离为4千米，请为该区域划一条分界线，并指出应如何取水最合理．
图2－1－5
【解】 分界线上的点到深水井C和到河岸AB的距离应相等，依据抛物线定义可知，分界线是以C为焦点，河岸AB为准线的抛物线．所谓取水合理，即选择最近点取水，易知抛物线包含的区域应到深水井取水，抛物线上的区域到深水井或河中取水均可，其他区域则应到河中取水．
课件48张PPT。教师用书独具演示演示结束圆锥曲线 两条相交直线 圆 椭圆 双曲线 抛物线 距离的和 F1F2 两个定点F1，F2 距离 PF1＋PF2 ＞ 距离的差的绝对值 小于F1F2的正数 定点F1，F2 两焦点 F不在l上 相等 定点F 定直线l |PF1－PF2| PF＝d ＜ 椭圆的定义及应用 双曲线的定义及应用 抛物线的定义及应用 课时作业（五）
一、填空题
1．椭圆2x2＋3y2＝1的焦点坐标________．
【解析】 ＋＝1，∴c＝ ＝，
∴F(±，0)．
【答案】 (±，0)
2．(2012·上海高考改编)对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的________条件．
【解析】 ∵mn＞0，∴或当m＞0，n＞0时，方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆或圆，但m＜0，n＜0时，方程mx2＋ny2＝1不表示任何图形，所以条件不充分；反之，当方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆时有mn＞0，所以“mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．
【答案】 必要不充分
3．(2013·连云港高二检测)已知椭圆＋＝1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为________；
【解析】 由椭圆＋＝1，得a＝5，则2a＝10，且点P到椭圆一个焦点的距离为3，由定义得点P到另一个焦点的距离为2a－3＝10－3＝7.
【答案】 7
4．△ABC中，A(－4，0)，B(4，0)，△ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是________．
【解析】 ∵AB＝8，∴AC＋BC＝10，
∴顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．
∴c＝4，a＝5，∴B＝3，故椭圆方程为＋＝1(y≠0)．
【答案】 ＋＝1(y≠0)
5．(2013·南通高二检测)椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0，2)，那么k＝________．
【解析】 5x2＋ky2＝5，
∴x2＋＝1，∴－1＝4，∴＝5，∴k＝1.
【答案】 1
6．已知椭圆的方程为＋＝1，其焦点坐标为________．
【解析】 c＝＝，∴F(0，±)．
【答案】 (0，±)
7．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0【解析】 由椭圆定义知AF2＋AB＋BF2＝4，又2AB＝AF2＋BF2，故3AB＝4，解得AB＝.
【答案】
8．(2013·无锡高二检测)已知点P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，则PF1·PF2的最大值为________．
【解析】 ∵PF1＋PF2＝2a＝10，∴PF1·PF2≤()2＝25.
【答案】 25
二、解答题
9．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0)；
(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26.
【解】 (1)∵椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为：
＋＝1(a>B>0)．
∵2a＝＋＝10，
2c＝6.
∴a＝5，c＝3，∴B2＝a2－c2＝52－32＝16，
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>B>0)．
∴B2＝a2－c2＝144，
∴所求椭圆方程为：＋＝1.
10．求满足下列条件的参数的值或范围．
(1)若方程x2＋my2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，求m的取值范围；
(2)椭圆8k2x2－ky2＝8的一个焦点为(0，)，求k的值；
(3)若方程＋＝1表示椭圆，求k的取值范围．
【解】 (1)原方程化为＋＝1，
∵表示焦点在y轴上的椭圆，
∴
解得0∴m的取值范围是{m|0(2)原方程化为＋＝1，
∵一个焦点为(0，)，
∴
解得
∴k的值为－1或－.
(3)由椭圆标准方程，得
解得－3∴k的取值范围是{k|－311．已知椭圆＋＝1(a＞B＞0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0，1)，且3a2＝4B2.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点P在这个椭圆上，且PF1－PF2＝1，求∠F1PF2的余弦值．
【解】 (1)由题意知c＝1，∴a2＝B2＋1，①
又∵3a2＝4B2，②
联立①②，解得.
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)∵，
∴.
∴cos∠F1PF2＝＝.
课件53张PPT。教师用书独具演示演示结束椭圆的标准方程 (0，－c)，(0，c) a2＝b2＋c2 求椭圆的标准方程 椭圆定义及标准方程的应用 椭圆的轨迹问题 课时作业（六）
一、填空题
1．x2＋2y2＝2的上顶点坐标是________．
【解析】 将方程x2＋2y2＝2化为：＋y2＝1，
∴a2＝2，b2＝1，∴b＝1.
∴上顶点坐标为(0，1)．
【答案】 (0，1)
2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长为________、短轴长为________、离心率为________．
【解析】 方程可化为：＋＝1，
∴2a＝10，2b＝6，e＝＝.
【答案】 10 6
3．(2013·宿迁高二检测)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，则椭圆C的方程为________．
【解析】 因为＝，且c＝，所以a＝，b＝＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
【答案】 ＋y2＝1
4．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________．
【解析】 依题意，得b＝3，a－c＝1，又a2＝b2＋c2，解得a＝5，c＝4，∴椭圆的离心率为e＝＝.
【答案】
5．(2013·南京高二检测)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．
【解析】 设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，∵AB过F1且A、B在椭圆上，如图，则△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，∴a＝4.
又离心率e＝＝，
∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝8，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
6．设AB是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴，若把线段AB分为100等份，过每个分点作AB的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P99，F1为椭圆的左焦点，则|F1A|＋|F1P1|＋|F1P2|＋…＋|F1P99|＋|F1B|的值是________．
【解析】 由椭圆的定义及其对称性可知，|F1P1|＋|F1P99|＝|F1P2|＋|F1P99|＝…＝|F1F49|＋|F1P51|＝|F1A|＋|F1B|＝2a，F1P50＝a，故结果应为50×2a＋|F1P50|＝101a.
【答案】 101a
7．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
【解析】 设P(x0，y0)，则＋＝1即y＝3－，又因为F(－1，0)，
∴·＝x0·(x0＋1)＋y
＝x＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2，又x0∈[－2，2]，
∴·∈[2，6]．
∴(·)max＝6.
【答案】 6
8．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．
【解析】 由题意知以F1、F2为直径的圆在椭圆内部，
∴c＜b，即c＜.∴()2＜.
∴e＜.∴e∈(0，)．
【答案】 (0，)
二、解答题
9．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(2，0)；
(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA＝.
【解】 (1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意知＝2，即a＝2b，且c＝2，
由a2＝b2＋c2，解得
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)∵椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝，
∴点A是短轴的端点．
∴|OF|＝c，|AF|＝a＝3.∴＝.
∴c＝2，b2＝32－22＝5.
∴椭圆的方程是＋＝1或＋＝1.
10．(2013·徐州高二检测)若椭圆＋＝1(k∈R)的离心率为e＝，求k的值．
【解】 当焦点在x轴上时，a2＝k＋2，b2＝4，
∴c2＝k－2，∴e2＝＝＝，
∴k＝.
当焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝k＋2，c2＝2－k，
∴e2＝＝＝，
∴k＝.故k＝或.
11．过椭圆＋＝1内一点M(2，1)引一条弦，被M点平分，求此弦所在直线的方程．
【解】 法一 由题意，易知直线的斜率必存在．
设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得
(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0，
又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上面方程的两个根，
∴x1＋x2＝，
∵M为弦AB的中点，∴2＝＝，
解得k＝－，
∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
法二 设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(2，1)为AB的中点，
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A、B在椭圆上，
即
两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0，
则(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∴＝－＝－，
即kAB＝－.
∴所求直线方程为x＋2y－4＝0.
法三 设所求直线与椭圆的一交点为A(x，y)，由于中点为M(2，1)，则另一交点为B(4－x，2－y)．
∵A、B两点在椭圆上．
∴x2＋4y2＝16，①
(4－x)2＋4(2－y)2＝16.②
①－②，得x＋2y－4＝0.
由于过A、B的直线只有一条，
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
课件67张PPT。教师用书独具演示演示结束椭圆的简单几何性质 2a2b2c x轴、y轴 (0，0) 接近于1 接近于0 已知椭圆方程求其几何性质 由椭圆的几何性质求方程 求椭圆的离心率 课时作业（七）
一、填空题
1．双曲线－＝1的焦点坐标为________．
【解析】 ∵c2＝a2＋b2＝25，∴焦点坐标为(±5，0)．
【答案】 (±5，0)
2．k＜2是方程＋＝1表示双曲线的________条件．
【解析】 ∵k＜2?4－k＞0，k－2＜0?＋＝1表示双曲线，(4－k)(k－2)＜0?k＜2或k＞4，∴为充分不必要条件．
【答案】 充分不必要
3．(2013·无锡高二检测)双曲线的焦点在x轴上，且a＋c＝9，b＝3，则双曲线的标准方程为________．
【解析】 ∵a＋c＝9，b＝3，c2－a2＝9，
解得a＝4.
∵双曲线的焦点在x轴上，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
【答案】 －＝1
4．方程＋＝1表示曲线C，给出以下命题：
①曲线C不能为圆；
②若曲线C为椭圆，则1＜t＜4；
③若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞4；
④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜.
其中，真命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)
【解析】 ①若为圆，则4－t＝t－1＞0，∴t＝时为圆；②若为椭圆，则∴1＜t＜4且t≠；
③若为双曲线，则(4－t)(t－1)＜0，∴t＜1或t＞4；
④若为焦点在x轴上的椭圆，则4－t＞t－1＞0，∴1＜t＜.
【答案】 ③④
5．若点P到点(0，－3)与到点(0，3)的距离之差为2，则点P的轨迹方程为________．
【解析】 由题意结合双曲线的定义可知点P的轨迹方程为双曲线的上支，且c＝3，2a＝2，a＝1，b2＝9－1＝8，所以点P的轨迹方程为y2－＝1(y≥1)．
【答案】 y2－＝1(y≥1)
6．(2013·盐城高二检测)设F1、F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且·＝0，则PF1·PF2＝________．
【解析】 ·＝0?PF1⊥PF2，设PF1＝m，PF2＝n，则m2＋n2＝4c2＝20，
又|m－n|＝4?(m－n)2＝16，∴2mn＝20－16＝4，
∴mn＝2.
【答案】 2
7．(2013·张家港高二检测)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点F1的弦AB长为m，另一焦点为F2，则△ABF2的周长为________．
【解析】 根据双曲线的定义，设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，则AF2－AF1＝2a，BF2－BF1＝2a.
∴AF2＋BF2－(AF1＋BF1)＝4a,
∴AF2＋BF2－AB＝4a，
∴AF2＋BF2＋AB＝4a＋2AB＝4a＋2m.
∴△ABF2的周长为4a＋2m.
【答案】 4a＋2m
8．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则PF＋PA的最小值为________．
【解析】 如图所示，设双曲线的右焦点为E，则由双曲线的定义及标准方程得PF－PE＝4，则PF＋PA＝4＋PE＋PA.由图可得当A，P，E三点共线时，(PE＋PA)min＝AE＝5，从而PF＋PA的最小值为9.
【答案】 9
二、解答题
9．求以椭圆＋＝1短轴的两个顶点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程．
【解】 由＋＝1得，
短轴两顶点坐标为(0，±3)，并且为双曲线的焦点
又双曲线过A点，由双曲线定义得
2a＝－＝2，得a＝，又c＝3，从而b2＝c2－a2＝4.
又焦点在y轴上，所以双曲线标准方程为－＝1.
10．已知点P在双曲线－＝1上，它的横坐标与双曲线右焦点的横坐标相同，求点P到双曲线左焦点的距离．
【解】 所给的双曲线方程是标准方程，则可得a2＝16，b2＝12，从而c2＝a2＋b2＝28，所以c＝2，故左、右焦点坐标分别为F1(－2，0)，F2(2，0)．
由于点P的横坐标与双曲线右焦点的横坐标相同，故xP＝2，代入双曲线方程得－＝1，则yP＝±3，故P点坐标为(2，3)或(2，－3)．
从而PF1＝＝11或PF1＝＝11.
即点P与双曲线的左焦点的距离为11.
11．设双曲线－＝1，F1、F2是其两个焦点，点M在双曲线上．
(1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积；
(2)若∠F1MF2＝60°时，△F1MF2的面积是多少？
若∠F1MF2＝120°时，△F1MF2的面积又是多少？
【解】 (1)由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝.
由题意知在△F1MF2中，∠F1MF2＝90°.
设MF1＝r1，MF2＝r2(r1>r2)．
由双曲线定义得r1－r2＝2a＝4，
两边平方得r＋r－2r1r2＝16.
即F1F－4S△F1MF2＝16，即4S△F1MF2＝52－16＝36，
∴S△F1MF2＝9.
(2)若∠F1MF2＝60°，在△MF1F2中，
由余弦定理得F1F＝r＋r－2r1r2cos 60°，
F1F＝(r1－r2)2＋r1r2，∴r1r2＝36.
则S△F1MF2＝r1r2sin 60°＝9.
同理，若∠F1MF2＝120°，S△F1MF2＝3.
课件51张PPT。教师用书独具演示演示结束双曲线的标准方程 (a>0，b>0) (a>0，b>0) F1(－c，0)，F1(0，－c)，F2(c，0) F2(0，c) 双曲线标准方程的理解 求双曲线的标准方程 双曲线定义及标准方程的应用 课时作业（八）
一、填空题
1．双曲线4x2－＝1的渐近线方程为________．
【解析】 由4x2－＝0，得y＝±6x.
【答案】 y＝±6x
2．(2013·扬州高二检测)若双曲线x2－＝1的离心率为2，则m的值为________．
【解析】 x2－＝1的离心率为2，
∴＝4，解得m＝3.
【答案】 3
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝＝2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的标准方程为________．
【解析】 根据题中双曲线的焦点坐标和离心率确定a2、b2的值，从而求得双曲线方程．由于双曲线的焦点在x轴上，c＝4，离心率e＝＝2，所以a＝2，b2＝c2－a2＝12，故双曲线的标准方程为－＝1.
【答案】 －＝1
4．(2012·天津高考)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a＝________，b＝________．
【解析】 与双曲线－＝1有共同渐近线的双曲线的方程可设为－＝λ，即－＝1.由题意知c＝，则4λ＋16λ＝5?λ＝，则a2＝1，b2＝4.又a>0，b>0，故a＝1，b＝2.
【答案】 1；2
5．(2012·福建高考改编)已知双曲线－＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于________．
【解析】 由双曲线中a，b，c的关系c2＝a2＋b2，得32＝a2＋5，
∴a2＝4.∴e＝＝.
【答案】
6．(2013·无锡高二期末)离心率为，一个焦点为(0，2)的双曲线的标准方程为________．
【解析】 因为一个焦点为(0，2)，所以焦点在y轴上且c＝2，又＝，所以a＝，b＝，所以双曲线的标准方程为－＝1.
【答案】 －＝1
7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．
【解析】 把x＝3代入双曲线方程得y＝±，即M＝(3，±)
由两点间距离公式得MF＝＝4.
【答案】 4
8．(2013·天门高二检测)双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r＝________．
【解析】 双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆心坐标为(3，0)，由点到直线的距离公式与渐近线与圆相切得，圆心到渐近线的距离为r，且r＝＝.
【答案】
二、解答题
9．求一条渐近线方程是3x＋4y＝0，一个焦点是(4，0)的双曲线的标准方程，并求此双曲线的离心率．
【解】 设双曲线方程为：9x2－16y2＝λ(λ≠0)，
∵双曲线有一个焦点为(4，0)，∴λ>0，
∴双曲线方程化为－＝1，
∴＋＝16，∴λ＝，
∴双曲线方程为－＝1，
∴e＝＝.
10．求中心在原点，对称轴为坐标轴，且分别满足下列条件的双曲线方程：
(1)过点(3，9)，e＝；
(2)过点P(2，－1)，渐近线方程是y＝±3x.
【解】 (1)由e2＝，得＝，设a2＝9k(k＞0)，则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k.
于是，设所求双曲线方程为－＝1，①
或－＝1，②
把(3，9)代入①，得k＝－161，与k＞0矛盾，故方程①无解，把(3，9)代入②，得k＝9，故所求双曲线方程为－＝1.
(2)首先确定所求双曲线的标准类型，可在图中判断一下点P(2，－1)在渐近线y＝－3x的上方还是下方，如图所示，x＝2与y＝－3x交点为Q(2，－6)，P(2，－1)在Q(2，－6)的上方，所以焦点在x轴上，设双曲线方程为－＝1(a，b＞0)．依题意，得，
解得∴所求双曲线方程为－＝1.
11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e＝且过点(4，－)．
(1)求此双曲线的标准方程；
(2)若直线kx－y－3k＋m＝0(其中k为参数)所过的定点M恰在双曲线上，求证：F1M⊥F2M.
【解】 (1)设双曲线的实半轴，
虚半轴分别为a，b(a＞0，b＞0)．
由题意得：＝＝1，∴a＝b，
于是可设双曲线方程为：x2－y2＝λ(λ≠0)，
将点(4，－)代入可得：16－10＝λ，λ＝6.
∴该双曲线的方程为：－＝1.
(2)直线方程可化为：k(x－3)＝y－m，
则它所过定点M(3，m)代入双曲线方程：－＝1，得：m2＝3?m＝±，
∴M(3，±)，又由－＝1得
F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kF1M＝，kF2M＝或kF1M＝，kF2M＝，
∴kF1M·kF2M＝＝－1，
∴F1M⊥F2M.
课件59张PPT。教师用书独具演示演示结束双曲线的几何性质 等长 由双曲线的标准方程求几何性质 由双曲线的几何性质求标准方程 求双曲线的离心率 课时作业（九）
一、填空题
1．(2013·扬州高二检测)抛物线y2＝x的焦点坐标为________．
【解析】 抛物线y2＝x的焦点在x轴的正半轴上，且p＝，∴＝，故焦点坐标为(，0)．
【答案】 (，0)
2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是________．
【解析】 因为抛物线的准线方程为x＝－2，所以＝2，所以p＝4，所以抛物线的方程是y2＝8x.
【答案】 y2＝8x
3．已知点(－2，3)与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的距离是5，则p的值为________．
【解析】 ∵抛物线的焦点坐标为F(，0)，
∴(＋2)2＋9＝25，∴p＝4.
【答案】 4
4．(2013·苏州高二检测)抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则a＝________．
【解析】 由y＝ax2得x2＝y＝2·y，
由题意得－＝1，即－＝1，得a＝－.
【答案】 －
5．经过点(1，2)的抛物线的标准方程为________．
【解析】 设抛物线方程为y2＝mx或x2＝ny，将(1，2)代入，得m＝4或n＝，∴y2＝4x或x2＝y.
【答案】 y2＝4x或x2＝y
6．若抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线x＋y＋2＝0上，则此抛物线方程是________．
【解析】 易求焦点坐标为(0，－2)，(－2，0)，∴抛物线方程为x2＝－8y或y2＝－8x.
【答案】 x2＝－8y或y2＝－8x
7．双曲线－＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为________．
【解析】 双曲线离心率为e＝＝2，而抛物线焦点为(1，0)．
∴c＝1，解得m＝，n＝，∴mn＝.
【答案】
8．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么PF＝________．
【解析】 由直线AF的斜率为－，得∠AFH＝60°，∠FAH＝30°，∴∠PAF＝60°.
又由抛物线的定义知PA＝PF，
∴△PAF为等边三角形，由HF＝4得AF＝8，∴PF＝8.
【答案】 8
二、解答题
9．求适合下列条件的抛物线方程．
(1)准线x＝4；
(2)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点．
【解】 (1)∵准线为x＝4，∴＝4，p＝8，
∴抛物线的标准方程为y2＝－16x.
(2)双曲线方程可化为－＝1，∴双曲线左顶点为(－3，0)，∴＝3，∴p＝6，∴抛物线的标准方程为y2＝－12x.
10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．
【解】 法一 根据问题的已知条件，抛物线方程应设为y2＝－2px(p>0)，则焦点是F(－，0)．
∵点M(－3，m)在抛物线上，且MF＝5，
故
解得或
∴抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2.
法二 设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则准线方程为x＝.∵M(－3，m)是抛物线上的点，根据抛物线定义，M点到焦点的距离等于M点到准线的距离，
∴|－3|＋＝5，∴p＝4，抛物线方程为y2＝－8x.
又∵点M(－3，m)在抛物线上，故m2＝(－8)×(－3)，
∴m＝±2.
11．定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2＝x上移动，求AB的中点到y轴的距离的最小值，并求出此时AB中点的坐标．
【解】 如图，设F是y2＝x的焦点，M为AB中点，A、B两点到准线的垂线分别是AC、BD，且M到准线的垂线为MN，C、D和N是垂足，则MN＝(AC＋BD)＝(AF＋BF)≥AB＝.
设M点的横坐标为x，纵坐标为y，MN＝x＋，则x≥－＝.等式成立的条件是AB过点F.
设A、B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当x＝时，y1y2＝－p2＝－，故(y1＋y2)2＝y＋y＋2y1y2＝2x－＝2，
y1＋y2＝±，y＝±.所以M(，±)，
此时M到y轴的距离的最小值为.
课件51张PPT。教师用书独具演示演示结束抛物线的标准方程 求抛物线的标准方程 由抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程 抛物线定义及应用 课时作业（ 十）
一、填空题
1．对抛物线x2＝－3y，下列说法正确的是________．
①此抛物线关于y轴对称；
②焦点坐标为(0，)；
③此抛物线与抛物线x2＝3y关于x轴对称．
【解析】 抛物线x2＝－3y的焦点为(0，－)，故②错．
【答案】 ①③
2．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为________．
【解析】 由定义知PO＝PF，∴xP＝，yP＝±＝±.
【答案】 (，±)
3．(2013·连云港高二检测)若抛物线y2＝2px(p＞0)上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点横坐标为________．
【解析】 由题意知：y＝±6，∴2px＝y2＝36，∴x＝，∴－(－)＝10，∴p＝2或18.
∴x＝1或9.
【答案】 1或9
4．(2012·安徽高考)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________．
【解析】 由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1，0)，又|AF|＝3，由抛物线定义知，点A到准线x＝－1的距离为3，∴点A的横坐标为2.
将x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由图知，y＝2，
∴A(2，2)，∴直线AF的方程为y＝2(x－1)．
又解得或
由图知，点B的坐标为(，－)，
∴|BF|＝－(－1)＝.
【答案】
5．(2012·陕西高考)如图2－4－2所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________m.
图2－4－2
【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则A(2，－2)，将其坐标代入x2＝－2py得p＝1.
∴x2＝－2y.
当水面下降1 m，得D(x0，－3)(x0>0)，将其坐标代入x2＝－2y得x＝6，
∴x0＝.∴水面宽|CD|＝2 m.
【答案】 2
6．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为________．
【解析】 不妨设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，由于l垂直于对称轴且过焦点，
故直线l的方程为x＝.代入y2＝2px得y＝±p，
即|AB|＝2p，又|AB|＝12，故p＝6，所以抛物线的准线方程为x＝－3，
故S△ABF＝×6×12＝36.
【答案】 36
7．(2012·北京高考)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点．其中点A在x轴上方，若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．
【解析】 ∵y2＝4x的焦点为F(1，0)，又直线l过焦点F且倾斜角为60°，故直线l的方程为y＝(x－1)，
将其代入y2＝4x得3x2－6x＋3－4x＝0，即3x2－10x＋3＝0.
∴x＝或x＝3.
又点A在x轴上方，∴xA＝3.∴yA＝2.
∴S△OAF＝×1×2＝.
【答案】
8．已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A、B满足＝3，则弦AB的中点到准线的距离为________．
【解析】 F的坐标为(1，0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵＝3，
∴(1－x1，－y1)＝3(x2－1，y2)，
∴1－x1＝3x2－3，即x1＋3x2＝4，且－y1＝3y2，即y1＝－3y2.
设直线AB的方程为y＝k(x－1)，AB中点为P(x0，y0)，
由得ky2－4y－4k＝0，∴y1y2＝－4.
∴y＝12，y＝，∴x1＝3，x2＝，
∴x0＝＝，
∴中点P到准线x＝－1的距离d＝－(－1)＝.
【答案】
二、解答题
9．如图2－4－3，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2，2)，其焦点F在x轴上．
图2－4－3
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)求过点F且与直线OA垂直的直线的方程．
【解】 (1)由题意，可设抛物线C的标准方程为y2＝2px，因为点A(2，2)在抛物线C上，所以p＝1.因此，抛物线C的标准方程为y2＝2x.
(2)由(1)可得焦点F的坐标是(，0)，又直线OA的斜率为＝1，故与直线OA垂直的直线的斜率为－1.因此，所求直线的方程是x＋y－＝0.
10．(2013·银川高二检测)已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点．若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程．
【解】 由抛物线的性质知A，B关于x轴对称．
设A(x，y)，则B(x，－y)，焦点为F(，0)．
由题意知AF⊥OB，
则有·＝－1.
∴y2＝x(x－)，
2px＝x(x－)．
∴x≠0.∴x＝.∴直线AB的方程为x＝.
11．如图2－4－4，过抛物线y2＝x上一点A(4，2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC，交抛物线于B、C两点，求证：直线BC的斜率是定值．
图2－4－4
【证明】 设kAB＝k(k≠0)，
∵直线AB，AC的倾斜角互补，
∴kAC＝－k(k≠0)，
AB的方程是y＝k(x－4)＋2.
由方程组
消去y后，整理得
k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.
∵A(4，2)，B(xB，yB)的坐标是上述方程组的解，
∴4·xB＝，
即xB＝.
以－k代换xB中的k，得xC＝，
∴kBC＝
＝
＝＝
＝－.
所以直线BC的斜率为定值．
课件54张PPT。教师用书独具演示演示结束抛物线的几何性质 x≥0，
y∈R x≤0，
y∈R x∈R，
y≥0 x∈R，
y≤0 O(0，0) 向右 向左 向上 向下 由几何性质求标准方程 抛物线的焦点弦 抛物线中的应用题 课时作业（十一）
一、填空题
1．若椭圆＋＝1上的点P到左焦点的距离为6，则点P到右准线的距离为________．
【解析】 ∵，∴PF2＝4，∵＝e＝.∴d＝PF2×＝4×＝5.
【答案】 5
2．(2013·江门高二检测)如果双曲线－＝1上的一点P到左焦点的距离是10，那么P到左准线的距离为________．
【解析】 由双曲线方程知a2＝16，b2＝9，故c2＝25，所以e＝，由圆锥曲线的统一定义知，P到左准线的距离为10×＝8.
【答案】 8
3．已知动点P(x，y)满足10＝|3x＋4y|，则P点的轨迹是________．
【解析】 由10＝|3x＋4y|得
＝，即点P(x，y)到点(1，2)的距离与点P到直线3x＋4y＝0的距离的比值为.
【答案】 椭圆
4．已知如图2－5－2，椭圆中心在原点，F是焦点，A为顶点，准线l交x轴于点B，点P、Q在椭圆上且PD⊥l于D，QF⊥AO，则椭圆的离心率是①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是________个．
图2－5－2
【解析】 根据共同性质①②④均为离心率e，根据圆锥曲线的统一定义e＝＝，⑤对；又∵＝＝＝e，
∴③也对．∴①②③④⑤均为e.
【答案】 ①②③④⑤
5．(2013·南京高二检测)已知椭圆＋y2＝1(a＞0)的一条准线与抛物线y2＝－10x的准线重合，则椭圆的离心率为________．
【解析】 抛物线y2＝－10x的准线方程是x＝.由题意知椭圆＋y2＝1的一条准线方程为x＝，即右准线方程为x＝，故＝，∴a2＝c，∵b＝1，∴c2＋1＝c，解得c1＝2，c2＝.
当c＝2时，a2＝c＝5，a＝，∴e＝；
当c＝时，a2＝c＝，a＝，∴e＝.
【答案】 或
6．点P与定点A(2，0)的距离和它到定直线x＝8的距离的比是1∶2，则点P的轨迹方程为________．
【解析】 设P(x，y)，则＝.化简，得＋＝1.
∴P点的轨迹方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
7．(2013·无锡高二检测)若椭圆＋＝1内有一点P(1，－1)，F为右焦点，椭圆上有一点M，使|MP|＋2|MP|的值最小，则点M的坐标为________．
【解析】 把2|MF|转化为M到右准线的距离d，数形结合可知，使|MP|＋d取得最小值的点M即为直线y＝－1与椭圆在y轴右侧的交点．
【答案】 (，－1)
8．已知椭圆＋＝1内部的一点为A(1，)，F为右焦点，M为椭圆上一动点，则MA＋MF的最小值为________．
【解析】 设M到右准线的距离为d，由圆锥曲线的共同性质知＝，
∴d＝MF.
∴MA＋MF＝MA＋d.
由A向右准线作垂线，垂线段长MA＋d≥2－1，
即MA＋MF的最小值为2－1.
【答案】 2－1
二、解答题
9．已知椭圆的对称轴为坐标轴，对称中心为原点，离心率为，两条准线间的距离为4，求此椭圆的方程．
【解】 由题意得，解得a＝，c＝1，所以b＝＝1，所以椭圆的方程为＋y2＝1或＋x2＝1.
10．(2013·宿迁高二检测)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右准线l2与一条渐近线l交于点P，F是双曲线的右焦点．
(1)求证：PF⊥l；
(2)若|PF|＝3，且双曲线的离心率e＝，求该双曲线方程．
【证明】 (1)右准线为l2：x＝，由对称性不妨设渐近线l为y＝x，则P(，)，又F(c，0)，
∴kPF＝＝－.
又∵kl＝，∴kPF·kl＝－·＝－1.
∴PF⊥l.
(2)∵|PF|的长即F(c，0)到l：bx－ay＝0的距离，
∴＝3，即b＝3.又e＝＝，
∴＝，∴a＝4.
故双曲线方程为－＝1.
11．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A，B两点，若＝4，求C的离心率．
【解】 如图所示，设双曲线C：－＝1的右准线为l，过A，B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB的斜率为，知直线AB的倾斜角为60°，
∴∠BAD＝60°，AD＝AB.由圆锥曲线的统一定义得，AM－BN＝AD＝(||－||)＝AB＝(||＋||)．又＝4，∴·3||＝||，∴e＝.
课件60张PPT。教师用书独具演示演示结束圆锥曲线的共同性质 01 e＝1 离心率 焦点 准线 求焦点坐标及准线方程 由统一定义求距离 利用圆锥曲线的定义求最值 课时作业（ 十二）综合检测(二)
第2章 圆锥曲线与方程
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上)
1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是________．
【解析】 抛物线焦点位于x轴负半轴上，为(－2，0)．
【答案】 (－2，0)
2．(2013·南通高二检测)双曲线－＝1的渐近线方程是________．
【解析】 渐近线方程为－＝0即y＝±x.
【答案】 y＝±x
3．(2013·青岛高二检测)如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是________．
【解析】 椭圆的标准方程为：＋＝1，
∴0【答案】 04．在抛物线y2＝2px(p>0)上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为________．
【解析】 由抛物线定义可知，抛物线上一点到焦点的距离和它到准线的距离相等，由抛物线y2＝2px(p>0)，可知其准线为x＝－，该点到准线的距离等于5，即＋4＝5，解得p＝2.
【答案】 2
5．椭圆的焦点为(0，6)，中心到准线的距离等于10，则此椭圆的标准方程是________．
【解析】 由题意，得解得a2＝60.
∴b2＝a2－c2＝60－36＝24.
∵焦点在y轴上，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
6．(2012·湖南高考改编)已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为________．
【解析】 ∵－＝1的焦距为10，∴c＝5＝.①
又双曲线渐近线方程为y＝±x，且P(2，1)在渐近线上，
∴＝1，即a＝2b.②
由①②解得a＝2，b＝.
【答案】 －＝1
7．(2013·扬州高二检测)中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为，长轴长为8的椭圆方程为________．
【解析】 ∵，∴，∴b2＝a2－c2＝12，
∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
【答案】 ＋＝1或＋＝1
8．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为________．
【解析】 因为抛物线的焦点坐标为(4，0)，故在双曲线中c＝4.因为双曲线的渐近线方程是y＝±x，所以＝，即b＝a，由a2＋b2＝c2得a2＝4，进而求得b2＝12，故所求的双曲线方程是－＝1.
【答案】 －＝1
9．(2012·四川高考)椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．
【解析】 直线x＝m过右焦点(1，0)时，△FAB的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a＝8，此时，|AB|＝2×＝＝3，
∴S△FAB＝×2×3＝3.
【答案】 3
10．双曲线－＝1上有一点P，F1、F2是双曲线的焦点，且∠F1PF2＝，则△PF1F2面积为________．
【解析】 ∵，
∴PF1·PF2＝36，
∴S＝PF1·PF2·sin＝9.
【答案】 9
11．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为________．
【解析】 不妨设双曲线C为－＝1(a＞0，b＞0)，并设l过F2(c，0)且垂直于x轴，则易求得|AB|＝，
∴＝2×2a，b2＝2a2，
∴离心率e＝＝ ＝.
【答案】
12．(2013·天津高二检测)过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则该直线被抛物线截得的弦长为________．
【解析】 由抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，得直线的方程为y＝x－2，代入y2＝8x，得(x－2)2＝8x，
即x2－12x＋4＝0，
∴x1＋x2＝12，弦长＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.
【答案】 16
13．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是________．
【解析】 如图，设M(x0，y0)，过M作抛物线的准线y＝－2的垂线，垂足为N，并设y轴与y＝－2交于点A，由F(0，2)知d＝|FA|＝4，r＝|MF|＝|MN|＝y0＋2，由题意得，d＜r即4＜y0＋2，∴y0＞2.
【答案】 (2，＋∞)
14．以下关于圆锥曲线的命题中：
①设A，B为两个定点，k为非零常数，|||－|||＝k，则动点P的轨迹为双曲线；②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若＝(＋)，则动点P的轨迹为椭圆；③方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线－＝1与椭圆＋y2＝1有相同的焦点．
其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)
【解析】 对于①，其中的常数k与A，B间的距离大小关系不定，所以动点P的轨迹未必是双曲线；对于②，动点P为AB的中点，其轨迹为以AC为直径的圆；对于③④，显然成立．
【答案】 ③④
二、解答题 (本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1的一个焦点，并与双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为(，)，求抛物线与双曲线的方程．
【解】 ∵交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，
∴可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．
∵点(，)在抛物线上，
∴()2＝2p×.∴p＝2.∴y2＝4x.
∵y2＝4x的准线为x＝－1，且过双曲线的焦点，
∴－c＝－1，c＝1.∴a2＋b2＝1.①
又∵点(，)在双曲线上，
∴－＝1，②
联立①②可得，a2＝，b2＝.
∴双曲线的方程为4x2－y2＝1.
故所求抛物线与双曲线的方程分别为y2＝4x或4x2－y2＝1.
16．(本小题满分14分)(2013·石家庄高二检测)已知直线y＝x与椭圆在第一象限内交于M点，又MF2⊥x轴，F2是椭圆的右焦点，另一个焦点为F1，若·＝2，求椭圆的标准方程．
【解】 由已知设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，F1(－c，0)，F2(c，0)，
则M点的横坐标为c.
∴M点的坐标为(c，c)．
∴＝(－2c，－c)，
＝(0，－c)．
∴·＝c2.
由已知得c2＝2，∴c＝2.
又在Rt△MF1F2中，
|F1F2|＝4，|MF2|＝，
∴|MF1|＝＝3.
∴2a＝|MF1|＋|MF2|＝4.
∴a＝2.∴b2＝4.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
17．(本小题满分14分)已知抛物线C1的顶点在坐标原点，它的焦点为双曲线C2: －＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点F，若抛物线C1与双曲线C2的一个交点是M(，)．
(1)求抛物线C1的方程及其焦点F的坐标；
(2)求双曲线C2的方程及其离心率e.
【解】 (1)设y2＝2px，图象过M(，)，则有()2＝2p×，
p＝2，抛物线C1的方程为y2＝4x，焦点F(1，0)．
(2)由C2过点M(，)以及焦点F(1，0)可得：－＝1.
a2＋b2＝1.得a＝，b＝，
所以C2的方程为9x2－y2＝1，e＝3.
18．(本小题满分16分)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0，4)，离心率为.
(1)求C的方程；
(2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
【解】 (1)将(0，4)代入C的方程得＝1，∴b＝4，
又e＝＝，得＝，
即1－＝，∴a＝5，
∴C的方程为＋＝1.
(2)过点(3，0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，
得＋＝1，
即x2－3x－8＝0，
解得x1＝，x2＝，
设AB的中点坐标＝＝，
＝＝(x1＋x2－6)＝－，
即中点坐标为(，－)．
19．(本小题满分16分)(2012·安徽高考)如图1，F1、F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.
图1
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知△AF1B的面积为40，求a，b的值．
【解】 (1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c，
所以e＝.
(2)法一 a2＝4c2，b2＝3c2，直线AB的方程为y＝－(x－c)，
将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B(c，－c)，
所以S△AF1B＝|F1F2|(yA－yB)＝c2＝40
∴c＝5，故a＝10，b＝5.
法二 设|AB|＝t.因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a.
由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t，
再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos 60°可得，t＝a.
由S△AF1B＝a·a·＝a2＝40知，a＝10，b＝5.
20．(本小题满分16分)如图2，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)过点(1，)，离心率为，左、右焦点分别为F1、F2.点P为直线l：x＋y＝2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．
图2
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：－＝2.
【解】 (1)因为椭圆过点(1，)，e＝，所以＋＝1，＝.又a2＝b2＋c2，所以a＝，b＝1，c＝1.
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)法一 由于F1(－1，0)、F2(1，0)，PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，且点P不在x轴上，所以k1≠k2，k1≠0，k2≠0.
又直线PF1，PF2的方程分别为y＝k1(x＋1)，
y＝k2(x－1)，
联立两个方程，可解得，
所以P(，)，由于点P在直线x＋y＝2上，所以＝2.因此2k1k2＋3k1－k2＝0，即－＝2，结论成立．
法二 设P(x0，y0)，由于F1(－1，0)，F2(1，0)，则k1＝，k2＝.
因为点P不在x轴上，所以y0≠0.
又因为点P在直线x＋y＝2上，所以x0＋y0＝2，
所以－＝－＝＝＝2.
因此结论成立．
