课件42张PPT。两个计数原理及应用 图1－2排列、组合应用题 二项式定理及其应用 方程思想的应用 课件56张PPT。教师用书独具演示演示结束分类计数原理 m1 ＋m2＋…＋mn 分步计数原理 m1×m2×…×mn 分类计数原理的应用 图1－1－1图1－1－2分步计数原理的应用 两个计数原理的综合应用 课时作业（一）课件59张PPT。教师用书独具演示演示结束排列 顺 序 排列数 所有排列 排列数公式 n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 全排列、阶乘 画树形图写排列 排列数的计算与证明 与排列数有关的方程或不等式的解法 课时作业（二）课件49张PPT。教师用书独具演示演示结束利用排列数公式解实际应用题 利用排列数公式解实际应用题 无限制条件的排列问题 有约束条件的排列问题 数字排列问题 课时作业（三）课件59张PPT。教师用书独具演示演示结束组合 并成一组 组合数 所有组合 组合数公式 组合的概念 组合数的计算和证明 组合数性质的应用 课时作业（四）课件57张PPT。教师用书独具演示演示结束无限制条件的组合问题 有条件限制的组合问题 分堆问题 抽取问题 几何体中的组合问题 分堆问题 分配问题 课时作业（五）课件54张PPT。教师用书独具演示演示结束计数问题 两个计数原理 排列数 组合数 类 步 步 类 选派问题 排队问题与排数问题 涂色问题 图1－4－1图1－4－2课时作业（六）课件59张PPT。教师用书独具演示演示结束二项式定理 二项展开式的通项 二项式系数 二项式定理的正用和逆用 利用二项式定理求展开式中的
特定项 二项式定理的综合应用 课时作业（七）课件59张PPT。教师用书独具演示演示结束杨辉三角 二项式系数的性质 求展开式中二项式系数、项的系数
的最值 有关二项式系数、项的系数的求
和问题 二项式定理的应用 课时作业（八）综合检测(一)
第1章 计数原理
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中的横线上)
1．(2013·大纲全国卷改编)(x＋2)8的展开式中x6的系数是________．
【解析】 该二项展开式的通项为Tr＋1＝Cx8－r2r＝2rCx8－r，令r＝2，得T3＝22Cx6＝112x6，所以x6的系数是112.
【答案】 112
2．某人的电子邮箱的密码由6位数字组成，为提高保密程度，他决定再插入两个英文字母a，b，原来的数字的顺序不变，则可构成新密码的个数为________．
【解析】 定序问题＝56(个)．
【答案】 56
3．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为________(仅列式，不必求结果)．
【解析】 第一步：从14人中选出12人，共有C种选法；
第二步：早班从12人中选4人，有C种选法；
第三步：中班从(12－4)人中选4人，有C＝C种选法；
第四步：剩余4人为晚班，有1种选法．
由分步计数原理，
总的排班种数为C·C·C·1＝C·C·C.
【答案】 C·C·C
4．(2013·四川高考改编)从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是________．
【解析】 从1，3，5，7，9这五个数中每次取出两个不同数的排列个数为A＝20，但lg 1－lg 3＝lg 3－lg 9，lg 3－lg 1＝lg 9－lg 3，所以不同值的个数为20－2＝18.
【答案】 18
5．(2013·昆明高二检测)五本不同的书在书架上排成一排，其中甲、乙两本必须连排，而丙、丁两本不能连排，则不同的排法共有 ________种．
【解析】 甲、乙捆绑，丙、丁最后插空，共有AAA＝24(种)．
【答案】 24
6．由数字0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数有________个．
【解析】 只考虑奇偶相间，有2AA种排法，0在首位有AA种排法，故共有2AA－AA＝60(种)．
【答案】 60
7．某次文艺汇演，要将A，B，C，D，E，F这六个不同节目编排成节目单，如下表：
序号
1
2
3
4
5
6
节目
如果A，B两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式有________种．
【解析】 A，B捆绑在一起，共有AA种排法，若A在3号，则有AA种排法，同理若B在3号，也有AA种排法，∴共有AA－2AA＝144(种)排法．
【答案】 144
8．现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有________种.
实
干
兴
邦
【解析】 (1)用四色，A＝4×3×2＝24(种)；
(2)用三色，CCA＝48(种)；
(3)用二色，A＝4×3＝12(种)．
∴共24＋48＋12＝84(种)．
【答案】 84
9．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是 ________．
【解析】 CC＋CC＋CC＝74(种)．
【答案】 74
10．(2013·课标全国卷Ⅰ改编)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝________.
【解析】 (x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为C，
∴a＝C.
同理，b＝C.
∵13a＝7b，∴13·C＝7·C.
∴13·＝7·.
∴m＝6.
【答案】 6
11．4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分．若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是________．
【解析】 分三种情况：
(1)0＝100＋(－100)＋90＋(－90)，有A＝24(种)；
(2)0＝100＋(－100)＋100＋(－100)，有C·C＝6(种)；
(3)0＝90＋(－90)＋90＋(－90)，有C·C＝6(种)．
综上，共有24＋6＋6＝36(种)．
【答案】 36
12．5名篮球运动员比赛前将外衣放在休息室，比赛后都回休息室取衣服．由于灯光暗淡，只有2人拿到自己的外衣，另外3人拿到别人外衣的情况有________种.
【解析】 从5人中选出拿到自己外衣的2人有C种拿法．对于每一种拿法，另外拿错衣服的方案2种，故有C×2＝20(种)．
【答案】 20
13．一条街上有8盏灯，为节约用电，晚上只开5盏灯，且规定相邻的灯不能都不亮，两头的灯都要亮，那么不同的亮灯方案有________种.
【解析】 在亮着的5盏灯间有4个空档，选3个空档放3个不亮的灯，有C种方法．
【答案】 4
14．在图1中，“构建和谐社会，创美好未来”，从上往下读(不能跳读)，共有不同的读法种数是________．
构
建 建
和 和 和
谐 谐 谐 谐
社 社 社 社 社
会 会 会 会 会 会
创 创 创 创 创
美 美 美 美
好 好 好
未 未
来
图1
【解析】 法一：解本题相当于在图1中先在始点标上1，再在上半部两腰的各点旁标上1，然后从上到下依次逐点累加，图中间每一点处的数等于它肩上两数的和，一直计算到下面最后一点．由此可见，共有252种不同读法．
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
6 15 20 15 6
21 35 35 21
56 70 56
126 126
252
法二：考虑到杨辉三角，第n行第k个数为C，252是第10行第6个数，所以应为C＝252种．
【答案】 252
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)某餐厅供应盒饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了6种不同的荤菜，若要保证每位顾客有100种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品多少种？
【解】 设还需准备不同的素菜x种，x是自然数，则C·C≥100，
即3x2－3x－40≥0，得x≥5且x∈N.
所以至少还需准备不同的素菜品种为5种．
16．(本小题满分14分)8个人按下列要求排成一纵队：
(1)A、B两人需排两头；
(2)A、B、C三人相邻；
(3)A、B、C三人两两互不相邻；
(4)A、B、C三人的前后顺序一定．
分别有多少种不同的排法？
【解】 (1)题中有特殊元素A、B和特殊位置“两头”．采用优先法，先排A、B，再排其余，有A·A＝1 440种不同的排法．
(2)题中有关键词“相邻”，采用视一法，先内排后外排，有A·A＝4 320种不同的排法．
(3)题中有关键词“互不相邻”，引导我们采用插空法，先排其余5人，然后在其空隙处插入A、B、C，有A·A＝14 400种不同的排法．
(4)法一：题中有关键词“前后顺序一定”，八人排队与“其中三人前后顺序一定”排队有何关系呢？我们这样来考虑，对八人排队分成两步完成：第一步，固定A、B、C前后顺序进行排队，设其排列数为N，第二步，再对A、B、C进行内部排队，有A种不同排法．由分步计数原理，A＝NA，
∴A、B、C三人前后顺序一定的排列数N＝＝6 720种．
法二：可理解为从8个位置中选5个进行排列A，A、B、C站剩余的位置．
∴A、B、C三人前后顺序一定的排列数为A＝6 720种．
17．(本小题满分14分)用0，1，2，…，9这10个数字，
(1)可以组成多少个五位数？
(2)可以组成多少个没有重复数字的五位数？
(3)可以组成多少个没有重复数字且能够被5整除的五位数？
【解】 (1)第1步 首位数字可以在1～9这9个数字中选择，有9种可能；
第2步 其他4个数位可以在0～9这10个数字中选择，有10×10×10×10＝104种可能．
根据分步计数原理知，用0，1，2，…，9这10个数字，一共可以组成9×104＝90 000个五位数．
(2)由于组成的五位数中不能有重复数字，所以除要考虑到首位不是0外，还要考虑到各个数位上的数字互不相同，因此，采用分步计数的方法，先确定首位数字再确定其他数位．
第1步 首位数字可以在1～9这9个数字中选择，有9种可能；
第2步 其他4个数位可以在剩下的9个数字中选择，有A种可能．
根据分步计数原理知，用0，1，2，…，9这10个数字，一共可以组成9·A＝27 216个没有重复数字的五位数．
(3)能够被5整除的数，末位有且仅有0或5两种可能，分2类进行计数．
第1类 末位是0，由于没有重复数字，所以其他4个数位共有A＝3 024种可能；
第2类 末位是5，对其他4个数位进行分步计数：
第1步 由于首位不能为0，首位有C种可能；
第2步 其他3个数位有A种可能．
所以，第2类共有C·A＝2 688种可能．
因此，用0，1，2，…，9这10个数字，一共可以组成3 024＋2 688＝5 712个没有重复数字且能够被5整除的五位数．
18．(本小题满分16分)有10件不同工厂生产的同类产品．
(1)在商品评选会上，有2件商品不能参加评选，要选出4件商品，并排定选出的4件商品的名次，有多少种不同的选法？
(2)若要选6件商品放在不同的位置上陈列，且必须将获金质奖章的两件商品放上，有多少种不同的布置方法？
【解】 (1)10件商品，除去不能参加评选的2件商品，剩下8件，从中选出4件进行排列，有A＝1 680(或C·A)(种)．
(2)分步完成．先将获金质奖章的两件商品布置在6个位置中的两个位置上，有A种方法，再从剩下的8件商品中选出4件，布置在剩下的4个位置上，有A种方法，故共有A·A＝50 400(或C·A)(种)．
19．(本小题满分16分)已知二项式(x＋)n的展开式中前三项的系数成等差数列．
(1)求n的值；
(2)设(x＋)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.
①求a5的值；②求a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan的值；③求ai(i＝0，1，2，…，n)的最大值．
【解】 (1)由题设，得C＋×C＝2××C，
即n2－9n＋8＝0，解得n＝8，n＝1(舍去)．
(2)①Tr＋1＝Cx8－r()r，令8－r＝5?r＝3，∴a5＝.
②在等式的两边取x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝.
③设第r＋1的系数最大，则
即解得r＝2或r＝3.
所以ai系数最大值为7.
20．(本小题满分16分)已知(＋ax2)2n的展开式记为R，(3x－1)n的展开式记为T.已知R的奇数项的二项式系数的和比T的偶数项的二项式系数的和大496.
(1)求R中二项式系数最大的项；
(2)求R中的有理项；
(3)确定实数a的值，使R与T中有相同的项．
【解】 由题意22n－1－2n－1＝496，解得n＝5.
(1)(＋ax2)10的展开式中第6项的二项式系数最大，结果为C()5·(ax2)5＝252a5x.
(2)R展开式的通项公式Tr＋1＝C()10－r(ax2)r＝Carx＋2r
由＋2r∈Z，且0≤r≤10，所以r＝1，4，7，10.
故R中的有理项为T2＝Ca2x5＝45a2x5，
T5＝Ca4x10＝210a4x10，
T8＝Ca7x15＝120a7x15，T11＝Ca10x20＝a10x20.
(3)T展开式的通项公式St＋1＝C(3x)5－t(－1)t＝C(－1)t35－tx5－t，
由＋2r＝5－t，即3t＝5(1－r)，
所以r＝1－t.又0≤r≤10，0≤－1≤5，所以t＝0.
当t＝0时，r＝1，此时Ca＝C35·(－1)0，a＝.
故当a＝时，R，T中有相同的项．
一、填空题
1．(2012·南京高二检测)高一年级三好学生中有男生6人，女生4人，从中选一人去领奖，共有________种不同的选法；从中选一名男生，一名女生去领奖，则共有________种不同的选法．
【解析】从中选一人去领奖有6＋4＝10种方法．
从中选一名男生一名女生去领奖有6×4＝24种选法．
【答案】1024
2．由1，2，3，4可以组________个自然数．(数字可以重复，最多只能是四位数字)
【解析】组成的自然数可以分为以下四类：
第一类：一位自然数，共有4个．
第二类：两位自然数，又可分两步来完成．先取出十位上的数字，再取出个位上的数字，共有4×4＝16(个)．
第三类：三位自然数，又可分三步来完成．每一步都可以从4个不同的数字中任取一个，共有4×4×4＝64(个)．
第四类：四位自然数，又可分四步来完成，每一步都可以从4个不同的数字中任取一个，共有4×4×4×4＝256(个)．
由分类计数原理知，可以组成的不同的自然数为4＋16＋64＋256＝340(个)．
【答案】340
3．商店里有适合女学生身材的女上衣3种，裙子3种，裤子2种．若一位女生要买一套服装，则共有________种不同选法．
【解析】3×(3＋2)＝15(种)．
【答案】15
4．有一排4个信号显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则这排信号显示窗所发出的信号种数是________．
【解析】3×3×3×3＝81(种)．
【答案】81
5．(2013·连云港高二检测)从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{6，7，8}中随机选取一个数为b，则组成数对(b，a)的数目为________．
【解析】完成数对(b，a)可分2步：
第一步从{6，7，8}中随机选取一个数为b，有3种方法；
第二步从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，有5种方法．
根据分步计数原理，组成数对(b，a)的数目为3×5＝15.
【答案】15
6．(2013·徐州高二检测)有5列火车停在某车站并排的5条轨道上，若火车A不能停在第3道上，则5列火车的停车方法共有________种．
【解析】第3道上有4种停车方法，其余各道按1，2，4，5停车，分别有4，3，2，1种不同方法，所以共有4×4×3×2×1＝96(种)．
【答案】96
7．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为________．
【解析】甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，由分步计数原理知，共有3×3＝9种不同的选法，即基本事件有9个，且每个基本事件等可能发生．
两位同学参加同一个兴趣小组包括3个基本事件，即“同时参加第一个兴趣小组”，“同时参加第二个兴趣小组”和“同时参加第三个兴趣小组”，
所以两位同学参加同一个兴趣小组的概率为＝.
【答案】
8．(2013·启东中学高二检测)用4种不同的颜色涂入如图1－1－3所示的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂色方法共有________种．
A
B
C
D
图1－1－3
【解析】按A，B，C，D顺序涂色，共有4×3×2×3＝72种方法．
【答案】72
二、解答题
9．已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)．
(1)P可表示平面上多少个不同的点？
(2)P可表示平面上多少个第二象限的点？
【解】(1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：
第一步，确定a的值，共有6种方法；
第二步，确定b的值，也有6种方法．
根据分步计数原理，知P可表示平面上6×6＝36个不同的点．
(2)确定第二象限的点，可分两步完成：
第一步，确定a，由于a<0，所以有3种方法；
第二步，确定b，由于b>0，所以有2种方法.
由分步计数原理，知P可表示平面上3×2＝6个第二象限的点．
10.一般地，一个程序模块由许多子模块组成．如图1－1－4所示，它是一个具有许多执行路径的程序模块．问：这个程序模块有多少条不同的执行路径？
图1－1－4
【解】由分类计数原理，子模块1、子模块2和子模块3中的执行路径共有18＋45＋28＝91条；子模块4和子模块5中的执行路径共有38＋43＝81条．
根据分步计数原理，整个模块的不同执行路径共有91×81＝7 371条．
11．用5张100元币，4张1元币，1张5角币，2张2角币，可以组成多少种不同的币值？(一张不取，即0元0角不计在内)．
【解】先分为三种币值：
百元：0百元，1百元，2百元，3百元，4百元，5百元；
元：0元，1元，2元，3元，4元；
角：0角，2角，4角，5角，7角，9角．
然后分3步进行：
第一步从百元中选取有6种取法；
第二步从元中选取有5种取法；
第三步从角中选取有6种取法．
根据分步计数原理，共有6×5×6＝180种取法．但应除去0元0角这1种情况，故可以组成179种不同的币值．
一、填空题
1．A＝________．
【解析】A＝15×14＝210.
【答案】210
2．下列关于排列的说法正确的是________．
①从n个数中取出m个排成一列就是一个排列；
②排好的一列数就是一个排列；
③不同元素才能形成不同排列；
④排列不同，但组成排列的元素可能相同．
【解析】由排列定义知：①②③都不正确．排列与顺序有关，当元素相同，顺序不同时为不同排列，所以④正确．
【答案】④
3．(2013·杭州高二检测)＝________．
【解析】＝＝.
【答案】
4．若A＝9×8，则m＝________．
【解析】A＝m(m－1)＝9×8，整理得m2－m－72＝0，解得m＝9或m＝－8(舍)．
【答案】9
5．(2013·盱眙高二检测)S＝1！＋2！＋3！＋…＋2 013！则S的个位数字是________．
【解析】∵1！＝1，2！＝2，3！＝6，4！＝24，
5！＝120，6！＝720，…，
∴S的个位数字为1＋2＋6＋24＝33的个位数字是3.
【答案】3
6．若A＝10A，则n＝________．
【解析】∵2n(2n－1)(2n－2)＝10n(n－1)(n－2)，n≥3，n∈N*，
∴n＝8.
【答案】8
7．计算：＝________．
【解析】原式＝＝1.
【答案】1
8．若2<≤42，则m的解集是________．
【解析】原不等式可化为2<≤42，即2<(m＋1)m≤42，解得－7≤m<－2或10且m∈N*，所以原不等式的解集为{2，3，4，5，6}．
【答案】{2，3，4，5，6}
二、解答题
9．用数字1，2，3，4能构成哪些各个数位上的数字不重复的三位数？
【解】画树形图如下：
故可组成以下三位数：123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432，共24个三位数．
10．解方程：A＝140A.
【解】原方程应满足解得x≥3，
由排列数公式，原方程化为(2x＋1)·2x·(2x－1)·(2x－2)＝140x·(x－1)·(x－2)．
∵x≥3，两边同除以4x(x－1)得(2x＋1)(2x－1)＝35(x－2)，即4x2－35x＋69＝0，解得：x＝3，或x＝5(舍去)，∴原方程的解为x＝3.
11．已知＝＋，求A.
【解】原方程可化为＝＋，
化简得：3x＝18，∴x＝6，
∴A＝6×5＝30.
一、填空题
1．(2013·连云港高二检测)有4种不同的蔬菜，从中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行实验，则不同的种植方法有________种．
【解析】A＝4×3×2＝24(种)．
【答案】24
2．(2013·南京高二检测)6人排成一排，则甲不站在排头的排法有________种．
【解析】AA＝600(种)．
【答案】600
3．(2013·无锡高二期末)用0，1，2，3，4这5个数字，可以组成没有重复数字的5位奇数的个数为________．
【解析】先排个位有A种，再排首位有A种，最后排中间三位数有A种，所以可组成AAA＝36个没有重复数字的5位奇数．
【答案】36
4．(2013·盱眙高二期末)若A，B，C，D，E，F六个不同元素排成一列，要求B、C相邻，则不同的排法共有_____________________________________
种(用数字作答)．
【解析】捆绑法：AA＝240.
【答案】240
5．(2013·常州一中高二检测)若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种．
【解析】“o，o”为重复元素，故共有＝12(种)排列顺序，所以出现错误的共有12－1＝11(种)．
【答案】11
6．(2013·海门中学高二检测)安排7位老师在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)
【解析】先排甲、乙有A种排法，再排其余有A种排法，故有AA＝2 400(种)排法．也可先排5月1日和2日有A种排法，再排其余5天有A种排法，故有AA＝2400(种)排法．
【答案】2400
7．(2013·淮州中学高二检测)5人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有________种．
【解析】甲不排在两端有A种排法，其余有A种排法，故有AA＝72(种)排法．
【答案】72
8．(2013·上海四区联考)有8本互不相同的书，其中数学书3本、外文书2本、其他书3本，若将这些书排成一排放在书架上，则数学书排在一起，外文书也排在一起的排法种数为________．
【解析】分别将数学书捆绑，外文书捆绑与其他书排列，共有AAA＝1 440种排法．
【答案】1 440
二、解答题
9．若{a，b，c}?{－3，－2，－1，0，1，2，3，4}．
(1)符合条件的二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式有多少种？
(2)能组成多少条对称轴是y轴的抛物线y＝ax2＋bx＋c?
【解】由题意{a，b，c}?{－3，－2，－1，0，1，2，3，4}，表示从－3，－2，－1，0，1，2，3，4这八个数字中任取三个不重复的数字．
(1)N＝A－A＝294.
(2)N＝A＝42.
10．4男3女排成一排，求满足下列排法的方法种数．
(1)女生互不相邻；
(2)男生都排在一起，女生也排在一起；
(3)男生中A、B不相邻，C、D要相邻．
【解】(1)AA＝1 440(先排男生再排女生)
(2)AAA＝288(男生“捆”在一起，女生“捆”在一起)．
(3)AAA＝960(C、D“捆”在一起，A、B“插空”)．
11．用0，1，2，3，4，5这6个数字组成没有重复数字的四位数，其中：
(1)奇数有多少个？
(2)偶数有多少个？
(3)能被5整除的有多少个？
【解】依次排个位、首位、其他位
(1)AAA＝144(个)．
(2)A＋AAA＝156(个)．
(3)A＋AA＝108(个)．
一、填空题
1．(2013·大连高二检测)若C＝28，则n的值为________．
【解析】＝28，n∈N*，∴n＝8.
【答案】8
2．C＋C＋C＝________．
【解析】C＋C＋C＝C＋C＝C＝＝120.
【答案】120
3．(2012·昆明高二检测)方程C＝C的解为________．
【解析】∵x＝3x－8或x＝28－(3x－8)，
∴x＝4或x＝9.
【答案】4或9
4．C＋C＋C＋…＋C＝________．
【解析】原式＝C＋C＋C＋…＋C
＝C＋C＋…＋C
＝…＝C＋C＝C＝＝165.
【答案】165
5．C＋2C＋C＝________．
【解析】原式＝(C＋C)＋(C＋C)
＝C＋C＝C＝C＝
＝166 650
【答案】166 650
6．若A＝120C，则n＝________．
【解析】∵2n(2n－1)(2n－2)(2n－3)
＝120×n×(n－1)×
∴(2n－1)(2n－3)＝5×3，
∴n＝3.
【答案】3
7．(易错题)已知C，C，C成等差数列，则C＝________.
【解析】∵C，C，C成等差数列，
∴2C＝C＋C，
∴2×
＝＋
整理得n2－21n＋98＝0，
解得n＝14，n ＝7(舍去)，
则C＝C＝91.
【答案】91
8．(能力创新题)对所有满足1≤m≤n≤5的自然数m，n，方程x2＋Cy2＝1所表示的不同椭圆的个数为________．
【解析】因为1≤m≤n≤5，所以C可能为C，C，C，C，C，C，C，C，C，C，其中C＝C，C＝C，C＝C，C＝C，所以x2＋Cy2＝1能表示的不同椭圆有6个．
【答案】6
二、解答题
9．如果C－C＝C＋C，求x.
【解】原方程可化为C＝5，
∴2x＝1或5－2x＝1时等式成立，
∴x＝或2.
10．解不等式：－<.
【解】由组合数公式，原不等式可化为
－
<，
不等式两边约去，得(n－3)·(n－4)－4(n－4)<2×5×4，即n2－11n－12<0，解得－1又∵n∈N*，且n≥5，∴n＝5，6，7，8，9，10，11.
11．规定C＝，其中x∈R，m是正整数，且C＝1，这是组合数C(n，m是正整数，且m≤n)的一种推广．
(1)求C的值；
(2)组合数的两个性质：①C＝C；
②C＋C＝C是否都能推广到C(x∈R，m是正整数)的情形；若能推广，则写出推广的形式并给出证明，若不能，则说明理由．
【解】(1)C
＝
＝－C＝－11 628.
(2)性质①不能推广，例如当x＝时，
C有意义，但C无意义；
性质②能推广，它的推广形式是
C＋C＝C，x∈R，m为正整数．
证明：当m＝1时，
有C＋C＝x＋1＝C；
当x≥2时，
C＋C
＝＋
＝(＋1)
＝＝C.
综上，性质②的推广得证．
一、填空题
1．有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是________(用数字作答)．
【解析】C＝10(种)．
【答案】10
2．(2013·宿迁高二检测)若从4台A型电视机和5台B型电视机中任选3台，要求A，B两种型号的电视机都要选，则不同的选法有________种(用数字作答)．
【解析】CC＋CC＝70(种)．
【答案】70
3．(2013·广州高二检测)从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法共有________种．
【解析】C－C＝100(种)．
【答案】100
4．(2013·海安高二检测)南非世界杯足球赛第一阶段是小组赛，采用小组内单循环比赛形式(即组内任何两队之间比赛1场)已知参赛的32支球队平均分成8个小组，则小组赛总共要进行________场比赛．
【解析】8C＝8×6＝48(场)．
【答案】48
5．(2013·常州高二检测)把4名男乒乓球选手和4名女乒乓球选手同时平均分成两组进行混合双打表演赛 ，不同的比赛分配方法有________种(混合双打是1男1女对1男1女，用数字作答)
【解析】每组两男两女有CC＝36种分法，每组4人各有两种配对方法，故分配方法有36×2＝72(种)．
【答案】72
6．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有________种(用数字作答)．
【解析】从6个面中任选3个面，有C＝20种选法，排除掉3个面都相邻的种数，即8个角上3个面相邻的特殊情形，共8种，故符合条件的选法共有20－8＝12种．
【答案】12
7．某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况有________种(用数字作答)．
【解析】法一分2类：第1类甲企业有1人发言，有CC＝12种情况．第2类甲企业没有人发言，有C＝4种情况．
由分类计数原理得，可能情况的种数为12＋4＝16.
法二只有“甲企业2人都发言”不满足题意，则由间接法得可能情况的种数为C－CC＝20－4＝16.
【答案】16
8．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为________．
【解析】与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括3类：
第1类与信息0110恰有两个对应位置上的数字相同，即从4个位置中选2个位置，使对应数字相同，其他2个不同，有C＝6个信息符合．
第2类与信息0110恰有一个对应位置上的数字相同，即从4个位置中选1个位置，使对应数字相同，其他3个不同，有C＝4个信息符合．
第3类与信息0110没有一个对应位置上的数字相同，即4个对应位置上的数字都不同，有C＝1个信息符合．
由分类计数原理知，与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为6＋4＋1＝11.
【答案】11
二、解答题
9．有两组平行线，第一组平行线有5条，第二组平行线有6条，第一组平行线与第二组平行线相交，问这两组平行线能构成多少个平行四边形？
【解】每一个平行四边形有两组对边平行，即两组对边平行的一个组合对应于一个平行四边形，而两组对边平行的组合数为CC＝150.因此能构成150个平行四边形．
10．(2013·海门中学高二检测)从5名女同学和4名男同学中选出4人组成数学学习小组，按下列要求，各有多少种不同选法？
(1)男、女同学各2名；
(2)男、女同学分别至少有1名；
(3)在(2)的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出．
【解】(1)C·C＝60，
男、女同学各2名有60种．
(2)C·C＋C·C＋C·C＝120，
男、女同学分别至少有1名有120种．
(3)120－(C＋C·C＋C)＝99，
在(2)的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出有99种．
11． (2013·唐山高二检测)现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)，现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？
【解】可以分为三类：
①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有CC；
②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有CC；
③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有CC，
所以一共有CC＋CC＋CC＝42(种)方法.
一、填空题
1．(2013·镇江高二检测)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有________种．
【解析】CA＝18(种)．
【答案】18
2．(2013·杭州高二检测)若从4名数学教师中任意选出2人，再把选出的2名教师任意分配到4个班级任教且每人任教2个班级，则不同的任课方案有________种(用数字作答)．
【解析】C·C＝36.
【答案】36
3．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是________(用数字作答)．
【解析】先将4个音乐节目，1个曲艺节目排列，有A＝120种排法，再将2个舞蹈节目插入其中的6个“空”，有A＝30种插入方法，即得不同排法的种数是120×30＝3 600.
【答案】3 600
4．(2013·无锡高二检测)A、B、C、D、E五人住进编号为1、2、3、4、5的五个房间，每个房间只住一人，则B不住2号房间，且B、C两人不住编号相邻房间的住法种数为________．
【解析】只考虑B、C不相邻，共有AA＝72种方法，再排除B住2号房间，B、C不相邻CA＝12种方法，故有AA－CA＝60(种)．
【答案】60
5．(2013·盐城高二检测)甲、乙等5名游客组团跟随旅游公司出去旅游，这5人被公司随机分配到某城市的A、B、C、D四个风景区观光，每个风景区至少有一名游客，则甲、乙两人不同在一个风景区观光的方案有________种(用数字作答)．
【解析】CA－CA＝216(种)．
【答案】216
6．(2013·浙江部分重点中学三模)由三个数字1，2，3组成的五位数中，1，2，3都至少出现一次，则这样的五位数的个数为________(用数字作答)．
【解析】在五位数中，若1出现1次，有C(C＋C＋C)＝70个；若1出现2次，有C(C＋C)＝60个；若1出现3次，有CC＝20个．因此这样的五位数的个数为70＋60＋20＝150.
【答案】150
7．若把英语单词“hello”的字母顺序写错了，则可能出现的错误的种数是________．
【解析】5个字母进行全排列共有A＝120种结果，字母中包含2个l，∴5个字母进行全排列的结果要除以2，共有60种结果，在这60种结果中只有一个是正确的，∴可能出现的错误的种数是60－1＝59.
【答案】59
8．将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，如图1－4－3是一种填法，则不同的填写方法共有________种．
图1－4－3
【解析】法一第一步确定第一行，有A种填法.
第二步确定第一列，有A种填法，这时剩下的空格就惟一确定了．
所以有A·A＝12种填法．
法二由图可知，只要A，B，C三个位置上的数字确定，其他位置上的数字就确定了，区域A有C种填法，而区域B，C的数字可能相同可能不同，分2类讨论，所以不同的填写方法有CC＋CC＝12种．
【答案】12
二、解答题
9．6个女同志(其中有一个领唱)和2个男同志，分成两排表演．
(1)每排4人，问共有多少种不同的排法？
(2)领唱站在前排，男同志站在后排，还是每排4人，问有多少种不同的排法？
【解】(1)要完成这件事，需分三步：
第一步，先从8人中选4人站在前面，另4人站在后面，这共有C·C＝70种不同方法；
第二步，前面4人进行排列，有A＝24种方法；
第三步，后面4人也进行排列，有A＝24种方法；
三步依次完成，才算这件事完成，故由分步计数原理有N＝C·A·A＝70×24×24＝40 320种不同的排法．
(2)也分三步：
第一步，领唱在前面，还有三人必须从5个女同志中产生，因此共有C＝5种方法．
第二步，第三步同(1)完全一样，所以共有C·A·A＝2 880种不同的方法．
10．标号为A、B、C的三个口袋，A袋装有4个红色小球，B袋装有5个白色小球，C袋装有6个黄色小球，每次取2个不同颜色的小球，共有多少种不同的取法？
【解】C·C＋C·C＋C·C＝74(种)
11．椭圆的长轴和短轴把椭圆分成4部分，现在用5种不同的颜料给这4部分涂色，要求共边两部分颜色互异，每部分只涂一色，问一共有多少种不同的涂色方法？
【解】法一如图所示，分别用A、B、C、D记这四块区域，A与C可同色，也可不同色，从而按照A、C涂色的异同将问题先分为两类，即A、C涂同色和A、C涂异色，再对每一类进行分步．
(1)给A、C涂同种颜色共有C种涂法，再给B涂色有4种涂法，最后给D涂色也有4种涂法，由分步计数原理，此时共有C×4×4种涂法．
(2)给A、C涂不同颜色共有A种涂法，再给B涂色有3种方法，最后给D涂色也有3种方法，此时共有A×3×3种涂法．
故由分类计数原理知，
共有C×4×4＋A×3×3＝260种涂法．
法二总体实施分步完成，可分三步：
第一步给A涂色；第二步给B涂色；第三步给C、D涂色．
(1)给A涂色有5种选择；
(2)给B涂色有4种选择；
(3)当C与A异色时，C有3种选择，D有3种选择，共9种选择；当C与A同色时，C有1种选择，D有4种选择，由分步计数原理知，共有5×4×(9＋4)＝260种涂色方法．
一、填空题
1．(2013·南京高二检测)(x－)8的展开式中，常数项为________．
【解析】Tr＋1＝Cx8－r(－)r＝(－1)rCx8－2r，
令8－2r＝0得r＝4，∴T4＋1＝(－1)4C＝70.
【答案】70
2．(2013·无锡高二检测)已知(x＋2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＋a2＋a3＋a4＝________．
【解析】令x＝0得a0＝24＝16，令x＝1得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝81，
∴a1＋a2＋a3＋a4＝81－16＝65.
【答案】65
3．(2013·辽宁高考改编)使(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为________．
【解析】Tr＋1＝C(3x)n－r＝C3n－rxn－r，当Tr＋1是常数项时，n－r＝0，当r＝2，n＝5时成立．
【答案】5
4．(2013·盐城高二检测)(1－x2)10的展开式中第4r项和第r＋2项的二次项系数相等，则r＝________．
【解析】∵C＝C，∴4r－1＝r＋1或4r－1＝10－(r＋1)，
解之得r＝2(r＝舍去)．
【答案】2
5．(2013·海门中学高二检测)若(x＋)n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________(用数字作答)．
【解析】(x＋)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋an＝2n＝64，
∴n＝6，∴Tr＋1＝Cx6－r()r＝Cx6－2r，
令6－2r＝0得r＝3，∴T3＋1＝C＝20.
【答案】20
6．(2013·安徽高考)若的展开式中，x4的系数为7，则实数a＝________．
【解析】含x4的项为Cx5＝Ca3x4，∴Ca3＝7，
∴a＝.
【答案】
7．(2013·陕西高考改编)设函数f(x)＝则当x>0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为________．
【解析】∵f(x)＝
∴当x>0时，f(x)＝－<0，
∴f[f(x)]＝f(－)＝＝，
∴展开式中常数项为C()3＝－C＝－20.
【答案】－20
8．(2013·启东中学高二检测)已知C＝C，设(3x－4)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋an(x－1)n，则a1＋a2＋…＋an＝________．
【解析】∵C＝C，∴n＝6＋4＝10.
令x＝1得a0＝(3－4)10＝1，
令x＝2得a0＋a1＋…＋a10＝210＝1 024.
∴a1＋a2＋…＋an＝1 023.
【答案】1 023
二、解答题
9．在(－)10的展开式中，求：
(1)第4项的二项式系数，以及第4项的系数；
(2)常数项，并指出它是展开式的第几项．
【解】(1)第4项的二项式系数为C＝120，第4项的系数为C(－)3＝－15.
(2)Tr＋1＝C()10－r(－)r＝(－)rCx.
令30－5r＝0得r＝6，T6＋1＝(－)6C＝为第7项．
10．已知(－)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，
(1)证明展开式中没有常数项；
(2)求展开式中所有的有理项．
【解】(1)证明：由题意2C·＝1＋C·()2，
即n2－9n＋8＝0，∴n＝8或n＝1(舍去)．
∴Tr＋1＝C()8－r·(－)r
＝(－)r·Cx·x－
＝(－1)r·x(0≤r≤8，r∈Z)．
若Tr＋1是常数项，则＝0，
即16－3r＝0，
∵r∈Z且0≤r≤8，r无解，
∴展开式中没有常数项．
(2)若Tr＋1是有理项，当且仅当为整数．
且0≤r≤8，r∈Z，得r＝0，4，8，
即展开式中有三项有理项，分别是：
T1＝x4，T5＝x，T9＝x－2.
11．(2013·南通高二检测)已知(1＋m)n(m∈R＋)展开式的二项式系数之和为256，展开式中含x项的系数为112.
(1)求，n的值；
(2)求(1＋m)n(1－)6展开式中含x2项的系数．
【解】(1)设含x项为第r＋1项，则Tr＋1＝C(m)r＝Cmrx，
令＝1，即r＝2，
则Cm2＝112，解得m＝±2.
∵ m∈R＋，∴m＝2.
(2)因为(1＋m)n(1－)6即(1＋2)8(1－)6展开式的通项为C(2)rC(－)s，
即C2rC(－1)sx＋(其中r＝0，1，2，…，8；s＝0，1，2，…，6)，
令＋＝2，则3r＋2s＝12，
∴x2的系数为C(－1)6＋C22C(－1)3＋C24(－1)0＝－1 119.
一、填空题
1．(a－b)7的展开式中，二项式系数最大的项是第________________________
项；系数最大的项是第________项．
【解析】展开式共8项，二项式系数最大的项是第4，第5项，系数最大的项为第5项．
【答案】4或55
2．(x＋2y)5的展开式中，各项的二项式系数之和为___________________；
各项的系数之和为________．
【解析】二项式系数之和为25＝32，各项系数之和为 (1＋2×1)5＝35＝243.
【答案】32243
3．(2013·黑龙江高二检测)在(x＋y)n的展开式中，若第七项系数最大，则n的值可能为________．
【解析】因第七项系数最大，所以展开式可能有12项，13项，14项，∴n＝11，12或13.
【答案】11，12或13
4．若(a＋b)n展开式中的第5项与第11项的二项式系数相等，则n＝________．
【解析】∵C＝C，∴4＝n－10，∴n＝14.
【答案】14
5．如图1－5－2，在杨辉三角中，斜线l的上方，从1开始按箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记此数列为{an}，则a21＝________．
图1－5－2
【解析】此数列依次为C；C，C；C，C；C，C；…；C，C；…；a21＝C＝＝66.
【答案】66
6．C＋C＋C＋…＋C除以9的余数是________．
【解析】∵C＋C＋…＋C＝233
∴原式＝233－1＝811－1＝(9－1)11－1
＝[C911(－1)0＋…＋C9(－1)10]＋C90(－1)11－1
＝(C910－C99＋C98－…＋C)×9－2
∴余数为9－2＝7.
【答案】7
7．(2013·宿迁高二检测)若(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋…＋a11的值为________．
【解析】令x＝－1得a0＋a1＋…＋a11＝－2.
【答案】－2
8．(2013·舟山高二检测)若多项式x＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a0＋a2＋…＋a8＝________．
【解析】令x＝0得0＝a0＋a1＋…＋a9＋a10； ①
令x＝－2得－2＋(－2)10＝a0－a1＋a2－…－a9＋a10. ②
①＋②得
210－2＝2a0＋2a2＋…＋2a10，
∴a0＋a2＋…＋a10＝29－1，
又由x10的系数为1知，a10＝1，
∴a0＋a2＋…＋a8＝29－1－1＝510.
【答案】510
二、解答题
9．(2013·宿迁高二检测)已知(1＋2x)n的二项展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，是它后一项系数的.
(1)求n的值；
(2)求(1＋2x)n的展开式中系数最大的项．
10．已知等式(x2＋2x＋2)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，其中ai＝(i＝0，1，2，…，10)为实常数．
11．(2013·镇江高二检测)(1)用二项式定理证明：2n＋2·3n＋5n－4(n∈N*)能被25整除；
(2)证明：()n－1<(n∈N*，且n≥3)．
【证明】(1)当n＝1时，左边＝25，显然成立；
当n≥2时，2n＋2·3n＋5n－4
＝4·6n＋5n－4＝4·(5＋1)n＋5n－4＝4·(C5n＋C5n－1＋…＋C52＋C5＋C)＋5n－4
＝4×25·(C5n－2＋C5n－3＋…＋C)＋4·C5＋4·C＋5n－4
＝4×25·(C5n－2＋C5n－3＋…＋C)＋25n，能被25整除．
(2)要证()n－1<成立，只需证()n－1>.
当n≥3时：
而()n－1＝(1＋)n－1＝C＋C·＋C·()2＋…＋C·()n－1
＝1＋＋C·()2＋…＋()n－1>，所以原不等式成立．
