课件46张PPT。利用事件的独立与互斥求概率 离散型随机变量的概率分布、均值
与方差 利用离散型随机变量的均值和方差解决
实际应用题 分类讨论思想的应用 课件58张PPT。教师用书独具演示演示结束随机变量 变量 变量 概率分布列(表) 概率分布列 1 两点分布 两点分布 求随机变量的概率分布 两点分布 随机变量概率分布性质的应用 课时作业（九）课件63张PPT。教师用书独具演示演示结束超几何分布的概念 超几何分布的概率 超几何分布的辨析 超几何分布的概率计算 超几何分布的综合应用 课时作业（十）课件54张PPT。教师用书独具演示演示结束条件概率 事件B发生的条件下事件A 0 条件概率公式 条件概率的古典求法 条件概率的公式算法 条件概率的综合运用 课时作业（十一）课件67张PPT。教师用书独具演示演示结束事件的独立性 P(B|A)＝P(A) 事件独立性的性质 A A 相互独立事件的概率公式及推广 P(AB)＝P(A)P(B) 事件独立性判断 相互独立事件的概率求法 事件独立性的应用 课时作业（十二）课件67张PPT。教师用书独具演示演示结束n次独立重复试验(伯努利实验) 两种对立的状态 A和A 伯努利试验 二项分布 n次独立重复试验的概率计算 二项分布的概率 二项分布的综合应用 课时作业（十三）课件68张PPT。教师用书独具演示演示结束离散型随机变量的均值(或数学
期望) 超几何分布、二项分布的数学期望 数学期望的定义求法 超几何分布、二项分布的数学期望 数学期望的实际应用 课时作业（十四）课件63张PPT。教师用书独具演示演示结束离散型随机变量的方差和标准差 超几何分布和二项分布的方差 利用定义求方差 超几何分布、二项分布的方差 均值、方差的综合应用 课时作业（十五）课件64张PPT。教师用书独具演示演示结束正态密度曲线 均值 方差 上升 下降 x轴 x＝μ 扁平 尖陡 1 正态分布 面积 N(0，1) 中心极限定理 中心极限定理 正态密度函数与正态密度曲线
的特征 求给定区间内的概率 正态分布的实际应用 课时作业（十六）综合检测(二)
第2章 概率
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设离散型随机变量ξ的概率分布如下：
ξ
1
2
3
4
P
p
则p的值为________．
【解析】 根据分布列的性质知：＋＋＋p＝1，∴p＝.
【答案】
2．生产某种产品出现次品的概率为2%，生产这种产品4件，至多有1件次品的概率为________(只列式)．
【解析】 设次品数为ξ，显然ξ服从二项分布，由题知
P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝C(98%)4(2%)0＋C·(98%)3(2%)＝(98%)4＋C(98%)3·2%.
【答案】 (98%)4＋C(98%)3·2%
3．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝a()i，i＝1，2，3，则a的值为________．
【解析】 a[＋()2＋()3]＝1，即a＝1，∴a＝.
【答案】
4．已知ξ～B(n，p)，E(ξ)＝8，V(ξ)＝1.6，则n与p的值分别是________．
【解析】 ∴
【答案】 10，0.8
5．设ξ～N(1，22)，则P(－1
【解析】 P(－1【答案】 0.683
6．有甲、乙、丙3批饮料，每批100箱，其中各有1箱是不合格的，从3批饮料中各抽出1箱，那么恰有1箱不合格的概率为________．(保留到0.001)
【解析】 P＝C0.01×0.992＝0.029.
【答案】 0.029
7．设P(ξ＝±1)＝，则V(ξ)为________．
【解析】 因为P(ξ＝±1)＝，所以E(ξ)＝0.所以V(ξ)＝1.
【答案】 1
8．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是________．
方案
盈利
概率
A1
A2
A3
A4
0.25
50
70
－20
98
0.30
65
26
52
82
0.45
26
16
78
－10
【解析】 A1的均值：
E(A1)＝0.25×50＋0.30×65＋0.45×26＝43.7；
A2的均值：
E(A2)＝0.25×70＋0.30×26＋0.45×16＝32.5；
A3的均值：
E(A3)＝0.25×(－20)＋0.30×52＋0.45×78＝45.7；
A4的均值：
E(A4)＝0.25×98＋0.30×82＋0.45×(－10)＝44.6.
故A3的均值最大，应选择方案A3.
【答案】 A3
9．设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(3，p)，若P(ξ≥1)＝，则P(η≥1)＝________．
【解析】 ＝P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)2，解得p＝，∴P(η≥1)＝1－P(η＝0)＝1－(1－p)3＝.
【答案】
10．一次单元测试由50个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中只有1个是正确答案．每题选择正确得2分，不选或错选得0分，满分是100分．学生甲选对任一题的概率为0.8，他在这次测试中成绩的期望为________分，标准差为________分．
【解析】 答对题数ξ～B(50，0.8)，所以成绩η的期望为E(η)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝2×50×0.8＝80(分)．成绩的标准差为σ(η)＝＝＝＝2＝4≈5.7(分)．
【答案】 80 5.7
11．生产工艺工程中产品的尺寸偏差X(单位：mm)～N(0，22)，如果产品的尺寸与现实的尺寸偏差的绝对值不超过4 mm为合格品，则生产5件产品的合格率不小于80%的概率为________．(精确到0.001)．
【解析】 由X～N(0，22)，求得P(|X|≤4)＝P(－4≤X≤4)＝0.954 4.设Y表示5件产品中合格品个数，则Y～B(5，0.954 4)．∴P(Y≥5×0.8)＝P(Y≥4)＝C·(0.954 4)4×0.045 6＋C·(0.954 4)5≈0.189 2＋0.791 9≈0.981.故生产的5件产品的合格率不小于80%的概率为0.981.
【答案】 0.981
12．由于电脑故障，使得随机变量X的分布表中部分数据丢失(以□代替)，其表如下：
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
0.□5
0.10
0.1□
0.20
请你找出丢失的数据后，求得均值为________．
【解析】 由0.20＋0.10＋0.□5＋0.10＋0.1□＋0.20＝1知，两个方框内数字分别为2，5，故E(X)＝3.5.
【答案】 3.5
13．设l为平面上过点(0，1)的直线，l的斜率等可能地取－2，－，－，0，，，2，用ξ表示坐标原点到l的距离，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________.
【解析】 设l的方程为y＝kx＋1，则原点到直线l的距离为，
∴ξ的取值分别为，，，1，，，.
又P(ξ)＝，
∴E(ξ)＝(＋＋＋1＋＋＋)×＝.
【答案】
14．某个游戏中，一个珠子从如图1所示的通道自上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中出口者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为________．
图1
【解析】 由于珠子在每个叉口处有“向左”和“向右”两种走法，因而基本事件个数为25，而从出口3出来的每条线路中有2个“向右”和3个“向左”，即共C条路线，故所求的概率为＝.
【答案】
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)甲、乙两人独立解某一道数学题，已知甲独立解出的概率为0.6，且两人中至少有一人解出的概率为0.92.
(1)求该题被乙独立解出的概率；
(2)求解出该题的人数X的概率分布．
【解】 (1)设甲、乙分别解出此题的事件为A，B，
则P(A)＝0.6，
P＝1－P(A·B)＝1－0.4·P(B)＝0.92，
解得P(B)＝0.2，∴P(B)＝0.8.
(2)P(X＝0)＝P(A)·P(B)＝0.4×0.2＝0.08，
P(X＝1)＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＝0.44，
P(X＝2)＝P(A)·P(B)＝0.6×0.8＝0.48，
∴X的概率分布为：
X
0
1
2
P
0.08
0.44
0.48
16.(本小题满分14分)甲、乙两人参加一次考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中6题，乙能答对其中8题．若规定这次考试从这10题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题算合格．
(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率；
(2)求甲、乙两人至少有一人合格的概率．
【解】 (1)设甲、乙考试合格分别为事件A，B，甲考试合格的概率为P(A)＝＝，乙考试合格的概率为P(B)＝＝.
(2)A与B相互独立，且P(A)＝，P(B)＝，则甲、乙两人至少有一人合格的概率为P(AB＋AB＋AB)＝×＋×＋×＝.
17．(本小题满分14分)设离散型随机变量X的概率分布为：
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
(1)求2X＋1的概率分布；
(2)求|X－1|的概率分布．
【解】 由概率分布的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.列表为：
X
0
1
2
3
4
2X＋1
1
3
5
7
9
|X－1|
1
0
1
2
3
从而由上表得：
(1)2X＋1的概率分布为：
2X＋1
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
(2)|X－1|的概率分布为：
|X－1|
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3
18.(本小题满分16分)某校校运会期间，来自甲、乙两个班级共计6名学生志愿者随机平均分配到后勤组、保洁组、检录组，并且后勤组至少有一名甲班志愿者的概率为.
(1)求6名志愿者中来自甲、乙两个班级的学生各有几人；
(2)设在后勤组的甲班志愿者人数为X，求随机变量X的概率分布及数学期望E(X)．
【解】 (1)记“至少一名甲班志愿者被分到后勤组”为事件A，设甲班志愿者有x人，1≤x<6.
则P(A)＝1－＝，解得x＝3或x＝8(舍去)．
∴来自甲班的志愿者有3人，来自乙班的志愿者有3人．
(2)X的所有可能值为0，1，2.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.
∴随机变量X的概率分布为：
X
0
1
2
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
19．(本小题满分16分)某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品可获利6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．
(1)记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的概率分布；
(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．
【解】 (1)由题设知，X的可能取值为10，5，2，－3.
P(X＝10)＝0.8×0.9＝0.72，P(X＝5)＝0.2×0.9＝0.18，
P(X＝2)＝0.8×0.1＝0.08，P(X＝－3)＝0.2×0.1＝0.02.
由此得X的概率分布为：
X
－3
2
5
10
P
0.02
0.08
0.18
0.72
(2)设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有(4－n)件．
由题意，得4n－(4－n)≥10，解得n≥.
又n∈N，得n＝3或n＝4.
所以P＝C×0.83×0.2＋C×0.84＝0.819 2.
故所求概率为0.819 2.
20．(本小题满分16分)如图2，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落到A或B或C.已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A、B、C，则分别设为1，2，3等奖．
图2
(1)已知获得1，2，3等奖的折扣率分别为50%，70%，90%.记随变量ξ为获得k(k＝1，2，3)等奖的折扣率．求随机变量ξ的概率分布及期望E(ξ)；
(2)若有3人次(投入1球为1人次)参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求P(η＝2)．
【解】 (1)由题意，得ξ的概率分布为：
ξ
50%
70%
90%
P
则E(ξ)＝×50%＋×70%＋×90%＝.
(2)由(1)可知，获得1等奖和2等奖的概率为＋＝.
由题意，得η～B(3，)，
则P(η＝2)＝C()2(1－)＝.
一、填空题
1．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是________．
①将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数为X；
②从7男3女的10名学生干部中选出5名优秀学生干部，女生的人数为X；
③某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X；
④盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时摸球的总次数．
【解析】 ①③均为重复试验，不符合超几体分布总体的分类要求；②④总体分为明确的两类，但④中的随机变量X不是抽取样本中一类元素的个数．
【答案】 ②
2．在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布H(________，________，________________________________________________________________________)．
【解析】 由题意，n＝10，M＝7，N＝15，故X～H(10，7，15)
【答案】 10 7 15
3．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的概率分布为________．
X
0
1
2
P
______
______
______
【解析】 P(X＝0)＝＝＝0.1，
P(X＝1)＝＝0.6，
P(X＝2)＝＝0.3.
【答案】 0.1 0.6 0.3
4．12人的兴趣小组中有5人是“三好学生”，现从中任选6人参加竞赛，若随机变量X表示参加竞赛的“三好学生”的人数，则P(X＝________)＝.
【解析】 X～H(6，5，12)，
∴X＝3.
【答案】 3
5．从20名男同学、10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为________．
【解析】 P＝＝.
【答案】
6．一盒中有a个白球和2个黑球，从中任取3个球，则其中至少含有一个黑球的概率为0.9，那么a的值为______________________________________．
【解析】 设X为任取3球中黑球的个数，
则P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－＝0.9，
3a2－11a＋6＝0.
∴a＝或a＝3.
又∵a∈Z，∴a＝3.
【答案】 3
7．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为________．(结果用最简分数表示)
【解析】 从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A，则P(A)＝＋＝.
【答案】
8．某电视台在一次对收看新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了45名电视观众，其中20至40岁的有18人，大于40岁的有27人．用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，在这5名观众中再任取2名，则恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率为__________________________．
【解析】 由于是分层抽样，所以5名观众中，年龄为20至40岁的有×5＝2人．设随机变量X表示20至40岁的人数，则X服从超几何分布H(2，2，5)，故P(X＝1)＝＝.
【答案】
二、解答题
9．某食品厂生产的40件产品中，重量超过505克的产品有12件，现从这40件产品中任取2件．
(1)设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的概率分布；
(2)求至多含有一件重量超过505克的产品的概率．
【解】 (1)由题意Y的可能取值为0，1，2.
P(Y＝0)＝＝，
P(Y＝1)＝＝，
P(Y＝2)＝＝.
∴Y的概率分布为：
Y
0
1
2
P
(2)由(1)知至多含有一件重量超过505克的产品的概率为
P＝P(Y＝0)＋P(Y＝1)＝＋＝.
10．有5支不同标价的圆珠笔，分别标有10元、20元、30元、40元、50元，从中任取3支，若以ξ表示取到的圆珠笔中的最高标价，试求ξ的概率分布．
【解】 ξ的可能取值为30，40，50.P(ξ＝30)＝＝，P(ξ＝40)＝＝，P(ξ＝50)＝＝，故ξ的概率分布如下表所示：
ξ
30
40
50
P
11.学校文娱队中的每位队员唱歌跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人，设X为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P(X>0)＝.
(1)求文娱队的人数；
(2)写出X的概率分布．
【解】 (1)设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有(7－x)人，那么只会一项的人数是(7－2x)人．
因为P(X>0)＝1－P(X＝0)＝，所以P(X＝0)＝，即＝，所以＝.所以x＝2.故文娱队共有5人．
(2)P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.
故X的概率分布为：
X
0
1
2
P
一、填空题
1．有下列说法
①P(B|A)＝P(AB)；
②P(B|A)＝是可能的；
③0④P(A|A)＝0.
其中正确的说法有________．(填序号)
【解析】 ∵P(B|A)＝，
而0∴≥1，∴P(B|A)≥P(AB)，
∴①不正确．
当P(A)＝1时，P(AB)＝P(B)，
P(B|A)＝＝，
故②正确．
又∵0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，
∴③④不正确．
【答案】 ②
2．由“0”“1”组成的三位数码组中，若用A表示“第二位数字为0”的事件，用B表示“第一位数字为0”的事件，则P(A|B)＝________．
【解析】 P(A|B)＝＝＝.
【答案】
3．(2013·盐城高二检测)连续3次抛掷一枚质地均匀的硬币，在至少有一次出现正面向上的条件下，恰有一次出现反面向上的概率为________．
【解析】 设“至少一次正面向上”为事件A，“恰有一次反面向上”为事件B，则nA＝7，nAB＝3，
∴P(B|A)＝＝.
【答案】
4．一个家庭中有两个小孩．假定生男、女孩是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，则这时另一个小孩是男孩的概率是________．
【解析】 有一个是女孩时，共有3种结果(女，男)，(女，女)，(男，女)，此时另一个小孩是男孩的结果有(女，男)，(男，女)2种．
∴P＝.
【答案】
5．某班学生的考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是________．
【解析】 设“数学不及格”为事件A，“语文不及格”为事件B，“两门均不及格”则为事件AB，所以P(B|A)＝＝＝.
【答案】
6．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝________．
【解析】 P(A)＝＝，P(AB)＝＝，P(B|A)＝＝.
【答案】
7．用集合A＝{2，4，6，7，8，11，12，13}中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数，已知取出的一个数是12，则取出的数构成可约分数的概率是________．
【解析】 A＝{取出的两个数中有一个数为12}，
B＝{取出的两个数构成可约分数}．
则n(A)＝7，n(AB)＝4，
所以P(B|A)＝＝.
【答案】
8．如图2－3－1所示，EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则
图2－3－1
(1)P(A)＝________；
(2)P(B|A)＝________．
【解析】 用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，∴P(A)＝＝.
B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，
P(AB)＝×＝.
∴P(B|A)＝＝＝.
【答案】
二、解答题
9．口袋中有5张扑克牌，其中有3张红色，2张黑色．若不放回地依次抽出2张牌，求：
(1)第一次抽到红色牌的概率；
(2)第一次抽到红色牌的前提下，第二次抽到红色牌的概率；
(3)第一次抽到不是红色牌的条件下，第二次抽到的是红色牌的概率．
【解】 (1)P(A)＝，
(2)P(B|A)＝＝＝，
(3)P(B|A)＝＝＝.
10．坛子里放着5个相同大小、相同形状的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：
(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；
(2)第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率；
(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．
【解】 设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B，则“第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋”为事件AB.
(1)从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个鸭蛋的基本事件数为n(Ω)＝A＝20.又n(A)＝A×A＝12.于是P(A)＝＝＝.
(2)因为n(AB)＝A＝6，所以P(AB)＝＝＝.
(3)由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P(B|A)＝＝＝.
11．在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，考生能答对其中的4道题即可通过；能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．
【解】 设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，而另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B.
由古典概型的概率公式及加法公式可知
P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋＝，
P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，
P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)
＝＋＝＝＝.
故所求的概率为.
一、填空题
1．(2013·黄冈高二检测)两个人通过某项专业测试的概率分别为，，他们同是参加测试，其中至多有一人通过的概率为________．
【解析】 二人均通过的概率为×＝，
∴至多有一人通过的概率为1－＝.
【答案】
2．在一条马路上的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆汽车在这条马路上行驶，那么在这三处都不停车的概率是________．
【解析】 设A，B，C处绿灯依次为事件A，B，C，则P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.
【答案】
3．一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立．则两根保险丝都熔断的概率为________．
【解析】 事件“两根保险丝都熔断”即事件“甲保险丝熔断”“乙保险丝熔断”同时发生，依题意得事件“两根保险丝都熔断”的概率为0.85×0.74＝0.629.
【答案】 0.629
4．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为，，，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．
【解析】 加工出来的零件的正品率是(1－)×(1－)×(1－)＝，因此加工出来的零件的次品率为1－＝.
【答案】
5．如图2－3－2，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的概率为________．
图2－3－2
【解析】 可知K，A1，A2三类元件是否正常工作相互独立，所以A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－(1－0.8)2＝0.96，
所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.
【答案】 0.864
6．两人同时向一敌机射击，甲的命中率为，乙的命中率为，则两人中恰有一人击中敌机的概率为________．
【解析】 P＝×＋×＝.
【答案】
7．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为________________________________________．
【解析】 若第一局甲赢，其概率p1＝；
若第一局甲负，第二局甲赢，其概率p2＝×＝.
故甲队获得冠军的概率为p1＋p2＝.
【答案】
8．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．
【解析】 记“该选手回答对第i个问题”为事件Ai(i＝1，2，3，4，5)，且P(Ai)＝0.8.
选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮则该选手第二个问题必回答错，第三、第四个问题必回答对，∴所求事件概率P＝P(A2·A3·A4)
＝P(A2)·P(A3)·P(A4)
＝(1－0.8)×0.8×0.8＝0.128.
【答案】 0.128
二、解答题
9．(2013·大纲全国卷)甲、乙、丙三人进行羽毛球赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．
(1)求第4局甲当裁判的概率；
(2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率．
【解】 (1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，
A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，
A表示事件“第4局甲当裁判”．
则A＝A1·A2.
P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝.
(2)记B1表示事件“第1局比赛结果为乙胜”，
B2表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”，
B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”，
B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”，
则B＝B1·B3＋B1·B2·B3＋B1·B2.
P(B)＝P(B1·B3＋B1·B2·B3＋B1·B2)
＝P(B1·B3)＋P(B1·B2·B3)＋P(B1·B2)
＝P(B1)P(B3)＋P(B1)P(B2)P(B3)＋P(B1)P(B2)＝＋＋＝.
10．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位游客游览这3个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且游客是否游览哪个景点互不影响，用ξ表示该游客离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．求ξ的概率分布．
【解】 设游客游览甲、乙、丙景点分别记为事件A1，A2，A3.已知A1，A2，A3相互独立，且P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.6.游客游览的景点数可能取值为0，1，2，3，相应的游客没有游览的景点数可能取值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3.
则P(ξ＝3)＝P(A1·A2·A3)＋P(A1·A2·A3)
＝P(A1)·P(A2)·P(A3)＋P(A1)·P(A2)·P(A3)
＝2×0.4×0.5×0.6＝0.24.
P(ξ＝1)＝1－0.24＝0.76.
所以概率分布为：
ξ
1
3
P
0.76
0.24
11.某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(p>q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其概率分布为
ξ
0
1
2
3
P
a
b
(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
(2)求p，q的值；
(3)求a，b的值．
【解】 事件Ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i＝1，2，3.
由题意知P(A1)＝，P(A2)＝p，P(A3)＝q.
(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ξ＝0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是
1－P(ξ＝0)＝1－＝.
(2)由题意知P(ξ＝0)＝P()＝(1－p)(1－q)＝，
P(ξ＝3)＝P(A1A2A3)＝pq＝，
整理得pq＝，p＋q＝1.由p>q，可得p＝，q＝.
(3)由题意知a＝P(ξ＝1)＝P(A1)＋P(A1A2A3)＋P( A3)＝(1－p)(1－q)＋p(1－q)＋(1－p)q＝，
b＝P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝.
一、填空题
1．(2013·抚州高二检测)有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p(0①(1－p)n；②1－pn；③pn；④1－(1－p)n.
【解析】 每位同学不能通过测试的概率为1－p，所以n位同学都不能通过测试的概率为(1－p)n，则至少有一位同学能通过测试的概率为1－(1－p)n.
【答案】 ④
2．(2013·盐城高二检测)一种报警器的可靠性为90%，那么将这两只这样的报警器并联后能将可靠性提高到________．
【解析】 1－C(1－90%)2＝1－＝.
【答案】 99%
3．(2013·镇江高二检测)一次测量中出现正误差和负误差的概率分别是，，在5次测量中恰好2次出现正误差的概率是________(用分数作答)．
【解析】 P(X＝2)＝C()2()3＝.
【答案】
4．(2013·宿迁高二检测)已知将一枚质地不均匀的硬币抛掷四次，正面均朝上的概率为.若将这枚硬币抛掷三次，则恰有两次正面朝上的概率是________(用分数作答)．
【解析】 设抛掷一次正面朝上的概率为p，则P(X＝4)＝Cp4＝，∴p＝，
∴P(X＝2)＝C()2()＝.
【答案】
5．(2013·盐城高二检测)某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为________．
【解析】 P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝Cp0(1－p)2＋Cp(1－p)＝.
∴p＝.
【答案】
6．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为________．
【解析】 由题意可知第四次取到的球一定是白球，而前三次取到的球全为黑球．故所求事件的概率P＝()3×＝.
【答案】
7．购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1－0.999104.则一投保人在一年度内出险的概率p为 ________．
【解析】 各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的10 000人中出险的人数为X，则X～B(104，p)．
记A表示事件“保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金”，则A发生当且仅当X＝0，P(A)＝1－P(A)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)104，又P(A)＝1－0.999104，故p＝0.001.
【答案】 0.001
8．假设某种型号的每架飞机的各引擎在飞行中出现故障的概率均为1－p(0【解析】 若4引擎飞机安全飞行，则至少2个引擎无故障，其概率P4＝Cp2(1－p)2＋Cp3(1－p)＋Cp4.同理，2引擎飞机安全飞行的概率P2＝Cp(1－p)＋Cp2.若4引擎飞机更安全，则有P4>P2，解得【答案】 (，1)
二、解答题
9．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？(结果保留两位有效数字)
【解】 1小时内5台机床需要照管相当于5次独立重复试验．
1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率P5(0)＝(1－)5＝()5，1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率P5(1)＝C××(1－)4，
所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为P＝1－[P5(0)＋P5(1)]≈0.37.
答：1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率约为0.37.
10．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.求：
(1)甲恰好击中目标2次的概率；
(2)乙至少击中目标2次的概率；
(3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率．
【解】 (1)甲恰好击中目标2次的概率为
C()3＝.
(2)乙至少击中目标2次的概率为
C()2·＋C()3＝.
(3)记“乙恰好比甲多击中目标2次”为事件A，“乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次”为事件B1，“乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次”为事件B2，则A＝B1＋B2，B1，B2为互斥事件．
P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝C()2··C·()3＋C()3·C()3＝＋＝，
所以乙恰好比甲多击中目标2次的概率为.
11．(2013·辽宁高考)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．
(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；
(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列．
【解】 (1)设事件A＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．
因为P(A)＝＝，所以P(A)＝1－P(A)＝.
(2)X所有的可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝C···＝；
P(X＝1)＝C···＋C··＝；
P(X＝2)＝C···＋C··＝；
P(X＝3)＝C···＝.
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
一、填空题
1．(2013·镇江高二检测)随机变量X的概率分布如下：
X
1
2
3
4
P
0.2
0.3
p
0.3
则E(X)＝________．
【解析】 p＝1－(0.2＋0.3＋0.3)＝0.2，
∴E(X)＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.3＝2.6.
【答案】 2.6
2．(2013·无锡高二检测)某人每次射击命中目标的概率均为0.5，现连续射击3次，则击中目标次数X的数学期望为________．
【解析】 ∵X～B(3，0.5)，∴E(X)＝3×0.5＝1.5.
【答案】 1.5
3．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球的命中率是0.7，则他罚球6次的总得分X的均值是________．
【解析】 E(X)＝6×0.7＝4.2.
【答案】 4.2
4．已知E(Y)＝6，Y＝4X－2，则E(X)＝________．
【解析】 ∵Y＝4X－2，E(Y)＝4E(X)－2，
∴6＝4E(X)－2，∴E(X)＝2.
【答案】 2
5．现有10张奖券，8张2元的、2张5元的，某人从中随机抽取3张，则此人得奖金额的数学期望是________．
【解析】 设此人的得奖金额为X，则X的所有可能取值为12，9，6.P(X＝12)＝＝，P(X＝9)＝＝，P(X＝6)＝＝，故E(X)＝7.8.
【答案】 7.8
6．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布如下表：
ξ
1
2
3
P
？
！
？
请小牛同学计算ξ的均值．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________．
【解析】 设P(ξ＝1)＝P(ξ＝3)＝a，P(ξ＝2)＝b，则2a＋b＝1，E(ξ)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2.
【答案】 2
7．某人有资金10万元，准备用于投资经营甲、乙两种商品，根据统计资料：
投资甲获利(万元)
2
3
－1
概率
0.4
0.3
0.3
投资乙获利(万元)
1
4
－2
概率
0.6
0.2
0.2
那么，他应该选择经营________种商品．
【解析】 设甲、乙两种商品经营获利分别为X，Y，则E(X)＝2×0.4＋3×0.3＋(－1)×0.3＝1.4，E(Y)＝1×0.6＋4×0.2＋(－2)×0.2＝1，从而E(X)>E(Y)，即甲的平均获利更多．
【答案】 甲
8．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的均值E(X)＝________．
【解析】 ∵P(X＝0)＝＝(1－p)2×，∴p＝，易知随机变量X的可能取值为0，1，2，3，∴P(X＝0)＝，P(X＝1)＝×()2＋2××()2＝，P(X＝2)＝×()2×2＋×()2＝，P(X＝3)＝×()2＝，∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
【答案】
二、解答题
9．(2013·常州高二测试)某班从4名男同学和2名女同学中任选3人参加全校举行的“中国龙中国梦”教育演讲赛．如果设随机变量ξ表示所选3人中女同学的人数．(1)若ξ≤1，求共有不同选法的种数；(2)求ξ的概率分布和数学期望；(3)求“ξ≥1”的概率．
【解】 (1)CC＋C＝16，所以共有不同选法的种数为16.
(2)易知ξ可能取的值为0，1，2.P(ξ＝k)＝，k＝0，1，2.所以，ξ的概率分布为：
ξ
0
1
2
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.
另解：ξ～H(3，2，6)，∴E(ξ)＝3×＝1.
(3)P(ξ≥1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝＋＝.
10．(2013·盐城高二检测)口袋中有n(n∈N*)个白球和3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X.若P(X＝2)＝，求：
(1)n的值；
(2)X的概率分布与数学期望．
【解】 (1)由题知P(X＝2)＝＝＝，
即7n2－55n＋42＝0，
即(7n－6)(n－7)＝0.
因为n∈N*，所以n＝7.
(2)由题知，X的可能取值为1，2，3，4，所以
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝1－－－＝，
所以，X的概率分布表为：
X
1
2
3
4
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
答：X的数学期望是.
11．(2013·课标全国卷Ⅱ)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图2－5－2所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
图2－5－2
(1)将T表示为X的函数；
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；
(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100，110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100，110)的频率)．求T的数学期望．
【解】 (1)当X∈[100，130)时，
T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000.
当X∈[130，150]时，
T＝500×130＝65 000.
所以T＝
(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X∈[120, 150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.
(3)依题意可得T的分布列为
T
45 000
53 000
61 000
65 000
P
0.1
0.2
0.3
0.4
所以ET＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.
一、填空题
1．下面说法中正确的有________(填题号)．
(1)离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的概率；
(2)离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的平均水平；
(3)离散型随机变量X的方差V(X)反映了X取值概率的平均值；
(4)离散型随机变量X的方差V(X)反映了X取值的平均水平．
【解析】 由随机变量X的期望与方差的意义可知只有(2)正确．
【答案】 (2)
2．已知随机变量X的概率分布是( )
X
1
2
3
P
0.2
0.3
0.5
则E(X)＝________，V(X)＝________．
【解析】 由题意，得：
E(X)＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.5＝2.3.
V(X)＝(1－2.3)2×0.2＋(2－2.3)2×0.3＋(3－2.3)2×0.5＝0.61.
所以随机变量X的期望、方差分别为2.3，0.61.
【答案】 2.3 0.61
3．一牧场有10头奶牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ，则V(ξ)＝________．
【解析】 由题设可得ξ服从二项分布B(10，0.02)，所以V(ξ)＝10×0.02×0.98＝0.196.
【答案】 0.196
4．若ξ～B(n，p)，且均值E(ξ)＝3，标准差σ＝，则p＝________，n＝________．
【解析】 由E(ξ)＝np＝3，σ2＝np(1－p)＝，得1－p＝，从而p＝，n＝6.
【答案】 6
5．我国第一个天空运行目标器“天宫一号”是由长征2号F运载火箭发射的，它发射成功的概率现在已经为0.97.令X＝(1表示发射成功，0表示发射不成功)，则随机变量X的方差为 ________．
【解析】 ∵X服从0～1分布，∴V(X)＝0.97(1－0.97)＝0.029 1.
【答案】 0.029 1
6．已知X的分布列为
X
－1
0
1
P
则①E(X)＝－，②V(X)＝，③P(X＝0)＝，其中正确的个数为________．
【解析】 E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－；
V(X)＝(－1＋)2×＋(0＋)2×＋(1＋)2×＝；
P(X＝0)＝.∴①③正确．
【答案】 2
7．设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．
【解析】 成功次数ξ～B(100，p)，所以V(ξ)＝100p(1－p)≤100×()2＝25，V(ξ)的值最大为25.此时p＝1－p即p＝，σ＝的最大值为5.
【答案】 5
8．有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺年卡的人数为X，则X的方差是________．
【解析】 由条件，得X的分布列为：
X
0
1
2
4
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1，
V(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＋(4－1)2×＝1.
【答案】 1
二、解答题
9．在某地举办的射击比赛中，规定每位射手射击10次，每次一发．记分的规则为：击中目标一次得3分，未击中目标得0分．并且凡参赛的射手一律加2分．已知射手小李击中目标的概率为0.8，求小李在比赛中得分的数学期望与方差．
【解】 设ξ表示击中的次数，y表示小李的得分，则y＝3ξ＋2，
∵ξ～B(10，0.8)，
∴E(ξ)＝10×0.8＝8，V(ξ)＝10×0.8×0.2＝1.6.
∴E(y)＝E(3ξ＋2)＝3E(ξ)＋2＝26，V(y)＝V(3ξ＋2)＝9V(ξ)＝14.4.
10．设在15个同类型的零件中有2个是次品，每次任取1个，共取3次，设ξ表示取出次品的个数．
(1)若取后不放回，求ξ的均值E(ξ)和方差V(ξ)；
(2)若取后再放回，求ξ的均值E(ξ)和方差V(ξ)．
【解】 (1)由题意，得ξ～H(3，2，15)，
E(ξ)＝＝＝，
V(ξ)＝＝＝.
(2)由题意ξ～B(3，)，E(ξ)＝np＝3×＝，
V(ξ)＝np(1－p)＝3××(1－)＝.
11．(2013·北京高考)如图2－5－3是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
图2－5－3
(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；
(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)
【解】 设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1，2，…，13)．根据题意，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝?(i≠j)．
(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8.所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝.
(2)由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，且
P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝，
P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝，
P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝.
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P
故X的数学期望EX＝0×＋1×＋2×＝.
(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
一、填空题
1．若P(x)＝e－(x∈R)，则下列判断正确的是________．
①有最大值，也有最小值；
②有最大值，无最小值；
③无最大值，有最小值；
④无最大值，也无最小值．
【解析】 这是当μ＝1，σ＝1时的正态分布密度函数，所以其在x＝1时取得最大值，无最小值．
【答案】 ②
2．如图2－6－3所示的是当ξ取三个不同值ξ1，ξ2，ξ3时的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3按从小到大的顺序排列是________．
图2－6－3
【解析】 图象越陡峭的，概率分布越集中，σ越小，故σ1<σ2<σ3.
【答案】 σ1<σ2<σ3
3．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________．
【解析】 由对称性，P(X≤μ)＝.
【答案】
4．已知随机变量X～N(2.5，0.12)，则X落在区间(2.4，2.6)中的概率是________．
【解析】 P(2.4【答案】 0.683
5．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若ξ 在(0，1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0，2)内取值的概率为________．
【解析】 由对称性知，P(1<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＝0.4，
∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2)＝0.8.
【答案】 0.8
6．若随机变量ξ～N(10，σ2)，P(9≤ξ≤11)＝0.4，则P(ξ≥11)＝________．
【解析】 由P(9≤ξ≤11)＝0.4且正态曲线以x＝μ＝10为对称轴知，
P(9≤ξ≤11)＝2P(10≤ξ≤11)＝0.4，
即P(10≤ξ≤11)＝0.2，
又P(ξ≥10)＝0.5，
∴P(ξ≥11)＝0.5－0.2＝0.3.
【答案】 0.3
7．若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是(10，)，则该随机变量的方差等于________．
【解析】 ∵最高点为(10，)，∴＝，∴σ2＝，即V(X)＝.
【答案】
8．(2013·山东潍坊检测)某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩X服从正态分布．已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占10%，则数学成绩在90分至120分之间的人数所占的百分比约为________．
【解析】 根据正态分布参数的意义，可知正态密度曲线关于直线x＝90对称，由60分以下的人数占10%可知120分以上的人数占10%，所以60分至120分之间的人数占80%，故90分至120分之间的人数占40%.
【答案】 40%
二、解答题
9．若随机变量ξ～N(0，1)，查标准正态分布表，求：
(1)P(ξ≤1.24)；(2)P(ξ>2.35)；
(3)P(ξ<－1.24)；(4)P(|ξ|<1.54)．
【解】 (1)P(ξ≤1.24)＝0.892 5；
(2)P(ξ>2.35)＝1－P(ξ≤2.35)＝1－0.990 6＝0.009 4；
(3)P(ξ<－1.24)＝P(ξ>1.24)＝1－P(ξ≤1.24)＝1－0.892 5＝0.107 5；
(4)P(|ξ|＜1.54)＝P(－1.54<ξ<1.54)＝P(ξ<1.54)－P(ξ≤－1.54)＝2P(ξ<1.54)－1＝2×0.938 2－1＝0.876 4.
10．一建桥工地所需要的钢筋的长度服从正态分布，其中μ＝8，σ＝0.2.质检员在检查一大批钢筋的质量时发现有的钢筋长度不到7 m．这时，他应该让钢筋工继续用钢筋切割机切割钢筋，还是让钢筋工停止加工，检查钢筋切割机？
【解】 设这批钢筋的长度为X m，则X～N(8，0.22)，所以钢筋长度在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内，即在区间(7.4，8.6)内的概率为0.997，而质检员在检查时发现有的钢筋长度不到7 m，即出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为钢筋切割机出现了问题，应停工检查．
11．若某省2014年高考考生成绩ξ服从正态分布N(500，1002)，现有考生75 000名，计划招生30 000名，试估计录取分数线．
【解】 设录取分数线为μ，则分数超过μ的概率为录取率．
即P(ξ≥μ)＝＝0.4.
∵ξ～N(500，1002)，
∴P(ξ≥μ)＝P(≥)
＝1－P(<)
＝0.4.
∴P(<)＝0.6.
查标准正态分布表可得≈0.25.
∴μ＝525.
∴可以估计录取分数线为525分．
一、填空题
1.有以下四个随机变量：
①某无线寻呼台1 min内接到呼叫次数ξ；
②森林里树木的高度在(0，38](单位：m)这一范围内变化，测得一棵树的高度ξ；
③一个沿数轴进行随机运动的质点，它在数轴上的位置的坐标ξ；
④某人射击一次中靶的环数ξ.
其中是离散型随机变量的是________．(填序号)
【解析】 ①④为离散型，②③为连续型．
【答案】 ①④
2．(2013·常州高二检测)设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝m()i，i＝1，2，3，4，则m的值为________．
【解析】 ∵m(＋＋＋)＝1，∴m＝.
【答案】
3．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，任意抽取2个球，设2个球的号码之和为ξ，则ξ所有可能的值是________．
【解析】 ξ的取值最小为1＋2＝3，最大为4＋5＝9.
【答案】 3，4，5，6，7，8，9
4．若随机变量X～0－1分布，P(X＝0)＝a，P(X＝1)＝a，则a＝________．
【解析】 ∵
解得a＝.
【答案】
5．某射击选手射击一次所得环数ξ的概率分布如下：
ξ
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
则此射击选手“射击一次命中的环数ξ≥7”的概率为________．
【解析】 “射击一次命中的环数ξ≥7”是指{ξ＝7}或{ξ＝8}或{ξ＝9}或{ξ＝10}，根据ξ的概率分布可得P(ξ≥7)＝P(ξ＝7)＋P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88.
【答案】 0.88
6．某一随机变量ξ的概率分布如表，且m＋2n＝1.2，则m－的值为________.
ξ
0
1
2
3
P
0.1
m
n
0.1
【解析】 由概率分布的性质得m＋n＋0.2＝1，
∴m＋n＝0.8.又m＋2n＝1.2，∴m＝0.4，n＝0.4，
∴m－＝0.2.
【答案】 0.2
7．某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X为任意抽取一件产品得到的结果，则X的分布表为________．
【解析】 P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2.
【答案】
X
0
1
P
0.2
0.8
8.(2013·广州高二检测)随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝n)＝，n＝1，2，3，4，其中a是常数，则P(<ξ<)的值为________．
【解析】 ∵P(ξ＝n)＝＝(－)a，
∴(ξ＝i)＝(－)a＋(－)a＋(－)a＋(－)a＝(1－)a＝a＝1，∴a＝.
∴P(<ξ<)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝.
【答案】
二、解答题
9．一批零件中有9个合格品与3个废品，安装机器时，从这批零件中随机抽取，取出废品不放回，求在第一次取到合格品之前已取出的废品数的概率分布．
【解】 设在第一次取到合格品之前已取出的废品数为X，则X的可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝＝；
P(X＝1)＝×＝；
P(X＝2)＝××＝；
P(X＝3)＝××＝.
所以所求的概率分布为：
X
0
1
2
3
P
10.盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球．已知红球个数是绿球的两倍，黄球个数是绿球的一半．从盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中随机取出一个球所得分数ξ的概率分布．
【解】 设黄球的个数为n，则绿球个数为2n，红球个数为4n，球的总数为7n.
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝－1)＝＝.
ξ的概率分布为：
ξ
－1
0
1
P
11.(2013·江西高考)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图2－2－1)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．
图2－1－1
(1)求小波参加学校合唱团的概率；
(2)求X的分布列．
【解】 (1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C＝28种，当X＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X＝0)＝＝.
(2)两向量数量积X的所有可能取值为－2，－1，0，1，X＝－2时，有2种情形；X＝1时，有8种情形；X＝－1时，有10种情形．所以X的分布列为
X
－2
－1
0
1
P
