模块学习评价
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)
1．(2013·课标全国卷Ⅱ)从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n＝________．
【解析】 由题意知n＞4，取出的两数之和等于5的有两种情况：1，4和2，3，所以P＝＝，即n2－n－56＝0，解得n＝－7(舍去)或n＝8.
【答案】 8
2．袋中有大小相同的3个红球，5个白球，从中不放回地依次摸取2球，在已知第一次取出白球的前提下，第二次取得红球的概率是________．
【解析】 设事件A为“第一次取白球”，事件B为“第二次取红球”，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，故P(B|A)＝＝.
【答案】
3．(2013·济南高二检测)二项式(x2＋)10的展开式中的常数项是第________ 项．
【解析】 展开式的通项公式Tr＋1＝2rCx20－r，令20－r＝0，得r＝8.展开式中常数项是第9项．
【答案】 9
4．(2013·赣州高二检测)已知随机变量Z服从正态分布N(0，σ2)，若P(Z>2)＝0.023，则P(－2≤Z≤2)＝________．
【解析】 ∵Z服从正态分布N(0，σ2)，且P(Z>2)＝0.023，∴P(－2≤Z≤2)＝1－0.023×2＝0.954.
【答案】 0.954
5．某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是________．
【解析】 按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有CC＝2 100(种)．
【答案】 2 100
6．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是________．
【解析】 抛掷一次，正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率为＝，则ξ～B(80，)，E(ξ)＝80×＝25.
【答案】 25
7．某射手射击1次，击中目标的概率为0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：
①他第三次射击时，击中目标的概率为0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1－0.14.
其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)
【解析】 连续射击4次可看作4次独立重复试验．第三次射击与另外3次射击相互独立，故①对；他恰好击中目标3次的概率是P4(3)＝C×0.93×0.11，故②错；他至少击中目标1次的概率是P＝1－P4(0)＝1－C×0.90×0.14＝1－0.14，故③对．
【答案】 ①③
8．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有________ 种．
【解析】 先安排后2个，再安排前3个，共有CCA＝36种不同的播放方式．
【答案】 36
9．某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯闪烁的概率是，两次闭合后都出现红灯闪烁的概率为，求在第一次闭合后出现红灯闪烁的条件下第二次出现红灯闪烁的概率是________．
【解析】 第一次闭合后出现红灯闪烁记为事件A，第二次闭合后出现红灯闪烁记为事件B，则P(A)＝，P(AB)＝，所以P(B|A)＝＝.
【答案】
10．某校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E(ξ)＝________．
【解析】 ξ的所有可能取值为0，1，2.P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
【答案】
11．设(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a2的值是________．
【解析】 对每项展开知：x2的系数为C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＝165.
【答案】 165
12．某校1 000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，其正态密度曲线如图1所示，则成绩X位于区间(52，68]内的学生大约有________名．
图1
【解析】 根据题意可知X～N(μ，σ2)，其中μ＝60，σ＝8，∴P(μ－σ【答案】 683
13．为了考察某种新药的副作用，给50位患者服用此新药，另外50位患者服用安慰剂(一种和新药外形完全相同，但无任何药效的东西)，得到如下观测数据.
药物
副作用
有
无
合计
新药
15
35
50
安慰剂
6
44
50
合计
21
79
100
由以上数据，你有________的把握认为服用新药会产生副作用．
【解析】 由公式得
χ2＝≈4.882.
∵4.882>3.841，
∴可以有95%的把握认为新药会产生副作用．
【答案】 95%
14．(2013·北京高二检测)荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图2所示．假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是________．
图2
【解析】 青蛙跳三次要回到A只有两条途径：
第一条：按A→B→C→A，
P1＝××＝；
第二条，按A→C→B→A，
P2＝××＝，
所以跳三次之后停在A叶上的概率为
P＝P1＋P2＝＋＝.
【答案】
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)(2013·泰州高二检测)已知(＋)n展开式中的倒数第三项的系数为45，求：
(1)含x3的项；
(2)系数最大的项．
【解】 (1)由题设知C＝45，即C＝45，
∴n＝10，
Tr＋1＝C(x－)10－r·(x)r＝Cx
令＝3得r＝6，
含x3的项为T7＝Cx3＝Cx3＝210x3.
(2)由通项知，展开式项的系数是二项式系数，
据二项式系数的性质：展开式中间项的二项式系数最大．
故系数最大的项为中间项，即T6＝Cx＝252x.
16．(本小题满分14分)某CBA篮球队12名队员(含2名外援)中有5名主力队员(含一名外援)，选5名队员首发上场，要求主力队员不少于4人且两名外援不能同时上场，则有多少种不同的选法．
【解】 分为两大类：
第一类：主力队员5名全部上场有C＝1种．
第二类：主力队员上4名，又分两类：①外援主力队员不上场：有C·C种；②外援主力队员上场：有CC＝24(种)；
由分类计数原理有1＋C·C＋C·C＝32(种)．
17．(本小题满分14分)随着人们经济收入的不断增长，购买家庭轿车已不再是一种时尚，车的使用费用，尤其是随着使用年限的增加，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题．某汽车销售公司为此进行了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限x与所支出的总费用y(万元)有如下的数据资料：
使用年限x
2
3
4
5
6
总费用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
已知y对x呈线性相关关系．
(1)求线性回归方程＝x＋的回归系数，；
(2)估计使用年限为10年时，车的使用总费用．
18．(本小题满分16分)甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92.
(1)求该题被乙独立解出的概率；
(2)求解出该题的人数ξ的数学期望和方差．
【解】 (1)记甲、乙分别解出此题的事件为A，B.设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2.则P(A)＝P1＝0.6，1－P( )＝1－(1－P1)(1－P2)＝P1＋P2－P1P2＝0.92，∴0.6＋P2－0.6P2＝0.92，则0.4P2＝0.32，即P2＝0.8.(2)P(ξ＝0)＝P(A)·P(B)＝0.4×0.2＝0.08，P(ξ＝1)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.6×0.2＋0.4×0.8＝0.44，P(ξ＝2)＝P(A)·P(B)＝0.6×0.8＝0.48.ξ的概率分布为：
ξ
0
1
2
P
0.08
0.44
0.48
E(ξ)＝0×0.08＋1×0.44＋2×0.48＝0.44＋0.96＝1.4，V(ξ)＝(0－1.4)2·0.08＋(1－1.4)2·0.44＋(2－1.4)2·0.48＝0.1568＋0.0704＋0.1728＝0.4.
19．(本小题满分16分)A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下表：
对阵队员
A队队员获胜的概率
A队队员负的概率
A1—B1
A2—B2
A3—B3
先按表中的对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队的最后得分分别为ξ，η.
(1)求ξ，η的分布列；
(2)求E(ξ)、E(η)．
【解】 (1)ξ，η的可能取值分别为3，2，1，0；
P(ξ＝3)＝××＝，
P(ξ＝2)＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝0)＝，
又ξ＋η＝3，
∴P(η＝0)＝P(ξ＝3)＝，
P(η＝1)＝P(ξ＝2)＝，
P(η＝2)＝P(ξ＝1)＝，
P(η＝3)＝P(ξ＝0)＝.
(2)E(ξ)＝3×＋2×＋1×＋0×＝，
E(η)＝3－E(ξ)＝.
20．(本小题满分16分)(2013·四川高考)某算法的程序框图如图3所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．
图3
(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i＝1，2，3)；
(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1，2，3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计表(部分)
运行次数n
输出y的值为1的频数
输出y的值为2的频数
输出y的值为3的频数
30
14
6
10
…
…
…
…
2 100
1 027
376
697
乙的频数统计表(部分)
运行次数n
输出y的值为1的频数
输出y的值为2的频数
输出y的值为3的频数
30
12
11
7
…
…
…
…
2 100
1 051
696
353
当n＝2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1，2，3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；
(2)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．
【解】 (1)变量x是在1，2，3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．
当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1＝；
当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2＝；
当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3＝.
所以输出y的值为1的概率为，输出y的值为2的概率为，输出y的值为3的概率为.
(2)当n＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1，2，3)的频率如下：
输出y的值为1的频率
输出y的值为2的频率
输出y的值为3的频率
甲
乙
比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大．
(3)随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3.
P(ξ＝0)＝C××＝，
P(ξ＝1)＝C××＝，
P(ξ＝2)＝C××＝，
P(ξ＝3)＝C××＝.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
所以Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.
即ξ的数学期望为1.
课件118张PPT。两个计数原理 排列 组合 二项式定理 定义法求分布列及数学期望 图2独立性及二项分布 超几何分布 正态分布 离散型随机变量的方差 独立性检验 线性回归分析
