广东省揭阳市2013-2014学年高二下学期学业水平考试数学（文）试题 Word版含答案

高二下学期学业水平考试数学（文）试题
（测试时间120分钟，满分150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号，用钢笔或签字笔填写在答题卡密封线内.
2．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，则=
A.{1，2} B. {3，4，5} C. {3，4} D.{1，2，3，4，5}
2．复数
A. B. C. D.
3．已知与共线，则=
A． 8 B． C． D．
4．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图（1）示，则该几何体的正视图为
5．执行图（2）所示的程序框图，若输入的值为，则输出的的值为
A．1 B．-1 C． D．
6．“”是“方程表示圆”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7．下列函数是偶函数，且在上单调递增的是
A． B． C． D．
8．已知数列是等差数列，若，，则数列的公差等于
A．6 B． C．4 D．
9．已知，，则的值为
A． B． C． D．
10．已知不等式组表示的三角形区域为M，过该区域三顶点的圆内部记为N,在N中随机取一点，则该点取自区域M的概率为
A． B． C． D．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上.
11. 函数的最小正周期为 ，值域为 .
12．图（3）是甲，乙两名同学次综合测评成绩的茎叶图，
则乙的成绩的中位数是 ，甲乙两人中成绩较为稳定的
是 .
13．过椭圆的左焦点作垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A，B两点，为椭圆的右焦点，则△的周长为 .
14．已知函数，点P()在函数图象上，那么的最小值是 ．
三．解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.（本题满分12分）
在△中，角的对边分别为，且，．
（1）求角的大小；
（2）若， ，求边的长和△的面积.
16．（本题满分12分）
某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于公里和公里之间，将统计结果分成组：，，，， ，并绘制成如图（4）所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中的值；
（2）求续驶里程在的车辆数；
（3）若从续驶里程在的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程为 的概率.
17．（本题满分12分）
如图（5），已知四棱锥P-ABCD的底面是矩形，
侧面PAB是正三角形，且平面PAB平面ABCD，
E是PA的中点，AC与BD的交点为M.
（1）求证：PC//平面EBD；
（2）求证： BE平面AED.

图（5）
18.（本小题满分14分）
已知等差数列的前项和为，等比数列的各项均为正数，公比是，且满足：.
（1）求与；
（2）设求数列的前项和.
19.（本小题满分14分）
已知点,点关于y轴的对称点为，直线AM，BM相交于点M，且两直线的斜率、满足.
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）设轨迹C与y轴的交点为T，是否存在平行于AT的直线，使得直线与轨迹C有公共点，且直线AT与的距离等于？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由.
20．（本小题满分16分）
已知函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）求函数的单调区间；
（3）在（1）的条件下，设函数在处取得极值，记点
，证明：线段与曲线存在异于、的公共点.
揭阳市2013－2014学年度高中二年级学业水平考试
数学（文科）
参考答案及评分说明
二．填空题：11.、[-3，3]；12. 87、甲；13.20 ；14.4.
解析：14.因，且都是正数，所以，故，当且仅当时，“=”成立.
（2）∵，
由余弦定理得：--------------------------------------------8分
，--------------------------------------------------------9分
∴. --------------------------------------------------------------------10分
∴ ．-------------------------------------12分
包含的基本事件有共种情况，--------------10分
所以. -----------------------------------------------------------12分
17.（1）证明：连结，--------------------------------------------------------2分
∵四边形ABCD是矩形，
∴为的中点．----------------3分
∵E是的中点，
∴是三角形的中位线，-----4分
∴∥．---------------------5分
∵平面，平面，-------------------------------------------6分
∴ PC//平面EBD．---------------------------------------------------------------7分
（2）∵平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCD=AB
而,∴平面，-------------------------------------------------9分
∵平面PAB∴, -------------------------------------------------10分
又∵△PAB是等边三角形，且E是的中点，
∴, -----------------------------------------------------------------11分
又
∴平面AED, -------------------------------------------------------------12分
其它解法请参照给分.
(2)由（1）知，-------------------------------------------------------9分
∴------①----10分
①×3得----------②----------------11分
②-①得---------------------------------12分
，
∴.-------------------------------------------------------14分
19.解：（1）依题意可得点，-------------------------------------------------1分
设点，显然，
由得，----------------------------------------------3分
整理得，
即点M的轨迹C的方程为.()-------------------------------------6分
又由直线AT与的距离等于得，----------------------------------12分
解得或.------------------------------------------------------------13分
∵,而，
∴满足题意的直线存在，其方程为：.---------------------------------------14分
20.解：（1）当时，,
得，令得
解得,-------------------------------------------------------------2分
当变化时，与的变化情况如下表：
x
-5
-1
+
0
—
0
+
单调递增
单调递减
单调递增
--------------3分
因此，当时，有极大值，并且极大值为，---------------------4分
当时，有极小值，且极小值为.------------------------------5分
（2）因
令，得或-----------------------------------------------7分
①当时，
当变化时，与的变化情况如下表：
+
—
+
单调递增
单调递减
单调递增

---------8分
由此得，函数的单调增区间为和，
单调减区间为---------------------------------------------------------9分
②当时，，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为；----------------------------------------------------------10分
③当时，，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为；-------------------------------------------11分
综上得：
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；
当时，函数的单调增区间为；
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为--------------------------------------------------------------------12分
（3）解法一：由（1）知
∴直线的方程为------------------------------------------------13分
由消去y得：,----------------------14分
令
易得，--------------------------------------------15分
而的图象在内是一条连续不断的曲线，
故在内存在零点，
这表明线段与曲线有异于的公共点.-------------- ------------------16分
【解法二：由（1）知
所以直线的方程为----------------------------------------------13分
由消去y得：,--------------------------14分
解得或或，
即线段与曲线有异于的公共点.----------------------------16分】