3.2.2双曲线的简单几何性质 课件（共39张PPT）

(共39张PPT)
3.2.2双曲线的简单几何性质
Conic Section
第三章 圆锥曲线的方程
焦点在x轴的双曲线x2项系数为正.
焦点在y轴的椭圆y2项系数为正.
标准方程
相 同 点
焦点位置的判断
不 同 点
图 形
焦点坐标
定 义
a、b、c 的关系
c2-a2=b2
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹
x
F1
F2
y
O
M(x,y)
x
y
O
M(x,y)
F1
F2
上节回顾
C
I
N
O
C
曲线的简单几何性
类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线的哪些几何性质 如何研究这些性质
x
F1
F2
y
O
M(x,y)
F1
F2
O
x
y
A1
A2
B1
B2


目录
CONTENTS
1
2
3
4
探究双曲线的几何性质
双曲线的几何性质的应用
课堂练习
课后小结与预习
壹
第一部分
探究双曲线的几何性质
与利用椭圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用双曲线的标准方程研究双曲线的几何性质，包括双曲线的范围、形状、大小、对称性和特殊点等.
下面，我们用椭圆方程 来研究双曲线的几何性质.
1.范围
1. 范围
F1
F2
O
x
y
x=-a
x=a


类比研究椭圆范围的方法，观察双曲线，我们发现双曲线上点的横坐标的范围是x≤-a，或x≥a,纵坐标的范围是y∈R (图3.2-7).
图3.2-7
对称性
由图可知,椭圆是轴对称图形,也是中心对称图形.
F1
F2
O
x
y


A1(x,y)
A2(x,-y)
A3(-x,y)
A4(-x,-y)
F1
F2
O
x
y


A1(x,y)
A3(-x,y)
A2(x,-y)
A4(-x,-y)
类比研究椭圆 对称性的方法，容易得到，双曲线
关于x轴、y轴和原点都是对称的.这时，坐标轴是双曲
线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做观曲线的中心。
但我们也把 这两点画在y轴上(图3.2-8).
顶点
F1
F2
O
26
y


A1

说明它与x轴有两个交点, 坐标分别为
B1(0,-b),
B2(0,-b)
A1(－a,0),
A2(a,0).
说明它与y轴没有交点,
线段A1A2, B1B2分别叫做双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别等于2a,2b. a和b分别叫做椭圆的实半轴长和虚半轴长.
A2

B1

B2

图3.2-8
2a
2b
类比椭圆求顶点的方法，双曲线有多少个顶点
它们叫做双曲线的顶点.
渐近线
探究
利用信息技术画出双曲线 和两条直线 (图3.2-9).
在双曲线的右支上取一点M,测量点M的横坐标xM以及它到直线
的距离d,沿曲线向右上方拖动点M，观察xM与d的大小关系，你发现了什么
渐近线
可以发现，点M的横坐标xM越来越大，d越来越小，但是d始终不等于0.
实际上，经过两点A1, A2作y轴的平行线 ，经过两点B1，B2作x轴的平行线 ，四条直线围成一个矩形(图3.2-8)，矩形的两条对角线所在直线的方程是 . 可以发现，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，但永远不相交.
一般地，双曲线 的两支向外延伸时，与两条直线 逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线。实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.
在双曲线方程中，如果a=b,那么方程变为x2-y2=a2，此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于2a.这时，四条直线 围成正方形，渐近线方程为 ，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.
离心率
与椭圆类似，双曲线的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率，因为c>a>0，所以双曲线的离心率
椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征
用双曲线渐近线的斜率能刻画双曲线的“张口”大小吗 它与用离心率刻画“张口”大小有什么联系和区别
离心率
例3 求双曲线9y2 – 16x2 =144的实半轴与虚半轴长,焦点坐标,离心率及渐近线方程.
解：
把双曲线的方程9y2 – 16x2 =144化为标准方程
练习
1. 求下列双曲线的实轴与虚轴的长, 顶点和焦点的坐标, 离心率, 渐近线方程.
解：
练习
1. 求下列双曲线的实轴与虚轴的长, 顶点和焦点的坐标, 离心率, 渐近线方程.
解：
练习
解：
解：
练习
解：
练习
解：
贰
第二部分
双曲线的几何性质的应用
第二部分
例4.双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(图3.2-10).它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为55m.试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m).
A′
A
O
x
y
B′
B
C′
C
图3.2-10
解：根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3.2-10所示的直角坐标系Ozy,使小圆的直径AA'在x轴上，圆心与原点重合.
第二部分
A′
A
O
x
y
B′
B
C′
C
直角坐标系Oxy,使小圆的直径AA'在x轴上，圆心与原点重合.这时,上、下口的直径BB’ ,CC'都平行于x轴，且|CC′| =13×2 , BB′ =25×2.
设双曲线的方程为 ，点C的坐标为(13,y),则点B的坐标为(25, y-55).因为直径AA′是实轴，所以a=12.又B,C两点都在双曲线上,所以
第二部分
例5
解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，动点M的轨迹就是点的集合
将上式两边平方，并化简，得7x2-9y2=63,
所以，点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为 的双曲线(图3.2-11).
F
O
x
y
l
d
M
H

图3.2-11
第二部分
例6
解：由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0)因为直线AB的倾斜角是30 ，且经过右焦点F2,所以直线AB的方程为
F2
O
x
y
A
B
F1

图3.2-12



叁
第三部分
课堂练习
O
P
A
Q
x
A
B
y
O
P(x,y)
双曲线的第二定义：
F
O
x
y
l
d
M
H

肆
第四部分
课后小结与预习
焦点位置 x轴 y轴
方程
图形
范围
对称性
顶点
离心率
x
F1
F2
y
O
M(x,y)
x
y
O
M(x,y)
F1
F2
焦点位置 x轴 y轴
方程
第二定义
准线方程
通径
面积公式
弦长公式
与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数 ，即
过焦点且垂直于实轴的弦叫通径：
01
02
03
04
05
3.1.1椭圆及标准方程
3.1.2椭圆的简单几何性质
3.2.1双曲线及标准方程
3.2.2双曲线的简单几何性质
3.3.1抛物线及标准方程
06
3.2.2抛物线的简单几何性质
第四部分 预习
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