2023年2月安徽省普通高中学业水平考试
数学模拟试题(三)
考试时间:90分钟 满分:100分
第Ⅰ卷(选择题54分)
一、选择题(本大题共18小题,每小题3分,满分54分,每小题4个选项中,只有一个选项符合题目要求)
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2.设复数满足,是虚数单位,则
A. B. C. D.
3.函数的最小正周期是( ).
A. B. C. D.
4.下列函数中,值域是的是( )
A. B. C. D.
5.已知角的终边上一点坐标为,则角的最小正值为( )
A. B. C. D.
6.化简的值为( )
A. B. C. D.
7.若,则下列不等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
8.函数在下列区间中存在零点的是( )
A. B. C. D.
9.如图,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,过BC的平面与平面PAD交于EF,E在线段PD上且异于P、D,则四边形EFBC是( )
A.空间四边形 B.矩形 C.梯形 D.平行四边形
10.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.从袋中随机抽取两个球,那么取出的球的编号之和不大于4的概率为( )
A. B. C. D.
11.已知,,,则,,的大小关系为( )
A. B. C. D.
12.已知平面向量的夹角为,且,则( )
A.4 B.2 C.1 D.
13.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,.则( )
A.1 B. C. D.
14.若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的体积为( )
A. B. C. D.
15.设为定义上奇函数,当时,(b为常数),则( )
A.3 B. C.-1 D.-3
16.甲、乙两人进行飞镖游戏,甲的10次成绩分别为8,6,7,7,8,10,10,9,7,8,乙的10次成绩的平均数为8,方差为0.4,则下列说法不正确的是( )
A.甲的10次成绩的极差为4 B.甲的10次成绩的分位数为8
C.甲和乙的20次成绩的平均数为8 D.乙比甲的成绩更稳定
17.已知函数的定义域为R,且满足,又为偶函数,若,则( )
A.0 B.1 C.2 D.
18.已知函数,若方程恰有三个不同的实数根,则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题46分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,满分16分,请把答案写在相应横线上)
19.设是虚数单位,复数,则对应的点位于第_____象限
20.在中,,点为边的中点,点在边上,则的最小值为________.
21.已知,,且,若恒成立,则实数的取值范围是_____________.
22.已知,,,则___________.
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,满分30分,解答题应写出文字说明及演算步骤)
23.已知函数.
(1)求关于的不等式的解集;
(2)若,求函数在上的最小值.
24.如图,在棱长为2的正方体中,点E,F分别为棱DC和的中点.
(1)求证:平面;
(2)求三棱锥的体积.
25.记△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且.
(1)求B的值;
(2)若△ABC的面积为,b=2,求△ABC周长.
答案
1.D
因为集合,,因此,.
故选:D.
2.A
,故选A.
3.D
由题意, ;
故选:D.
4.D
对于A:的值域为;
对于B:的值域为;
对于C:的值域为;
对于D:,,,
的值域为;
故选:D
5.C
因为角的终边上一点坐标为,
所以,
且的终边位于第四象限,
,.
当时,角取最小正值,
故选:C
6.D
原式
.
故选:D.
7.D
对于A,,,A错误;
对于B,当,时,,B错误;
对于C,当时,,C错误;
对于D,,,D正确.
故选:D.
8.B
因为显然单调递增,
又,,
由零点存在定理可得的零点所在区间为.
故选:B
9.C
因为∥,平面,平面,
所以∥平面,
因为平面,平面平面,
所以∥,
因为,,
所以,
所以四边形为梯形,
故选:C
10.C
从编号为1、2、3、4的4个球中随机抽取两个球,
其可能结果有,,,,,共6个,
其中满足编号之和不大于4的有,共2个,
所以取出的球的编号之和不大于4的概率
故选:
11.A
解:因为,,即,
,
所以.
故选:A
12.B
因为向量的夹角为,且,
所以,
故选:B
13.B
解:依题意
由正弦定理,即,解得;
故选:B
14.A
由题知,正方体的棱长为,且正方体的顶点都在同一球面上,
设正方体的外接球半径为,
所以,
所以该球的体积为,
故选:A
15.D
由于为定义上奇函数,所以,
所以当时,,
因此,
故选:D
16.B
解:对于A,甲的10次成绩分别为8,6,7,7,8,10,10,9,7,8,极差为,故A正确;
对于B,甲的10次成绩从小到大依次为6,7,7,7,8,8,8,9,10,10,
,甲的10次成绩的分位数为第8个数是9,故B错误;
对于C,甲的10次成绩的平均数为,乙的10次成绩的平均数为8,
甲和乙的20次成绩的平均数为,故C正确;
对于D,甲的方差为,乙的方差为0.4,,乙比甲的成绩更稳定,故D正确.
故选:B.
17.D
因为为偶函数,则,
即有,又,
因此,有,
于是得,
又,则有,
所以,
故选:D
18.A
若方程恰有三个不同的实数根,
则函数与有3个不同的交点
如图与的图像
由图可得函数与有3个不同的交点,则
故选:A.
19.二
因为,
所以对应的点位于第二象限,
故答案为:二
20.##
以为坐标原点,建立如图所示平面直角坐标系,如图所示
由题意可知,设,
所以,
所以,,
由二次函数的性质知,当时,取最小值为.
故答案为:.
21.
因为,,且,
所以,,
当且仅当时,等号成立,故的最小值为.
因为恒成立,所以,.
故答案为:.
22.##
因为,,故,
而,故,而,
故,
所以
.
故答案为:
23.(1)由,得,即,
当时,不等式,解得,不等式的解集为;
当即时,不等式的解集为或;
当即时,不等式的解集为或;
综上所述,当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为或;
当时,不等式的解集为或.
(2)由,得,解得,
所以.因为,所以,
,
当且仅当,即时,等号成立.
所以当时,函数在上的最小值为.
24.(1)
如图,连接,
在正方形中,因为为中点,故,,
而,,故,,
故四边形为平行四边形,故,
而平面,平面,故平面.
(2)连接,则,
因为平面,故到平面的距离为,
而,
故.
25.(1)由及正弦定理得,
所以,由余弦定理可得,
又,所以.
(2)因为,所以,
由余弦定理可得:
所以,
所以△ABC的周长为.