2023北京高考数学模拟考试试卷答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D A C D A C C A
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11.
12.
13. ；
14.
15.①②④
三、解答题（共6小题，共85分）
16. （本小题13分）
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．
【解析】
（Ⅰ）证明：由，
由正弦定理可得．
．
整理得，即，
由于，从而，．
（Ⅱ）解：，因此，，
由，，得，，
所以三角形的面积．
17.（本小题13分）
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．
【解析】
（Ⅰ）证明
由题意可知，
因为三棱柱，平面
所以侧面为矩形
面，平面
平面
又平面平面
且平面
（6分）
（Ⅱ）解：
若选择条件①，
平面，平面，平面，
，，
又
两两垂直；
若选择条件②，
平面，平面，平面，
，，
又，，
，
两两垂直；
以下条件①和条件②的计算过程相同，
因为两两垂直，所以如图建立空间直角坐直角坐标系．
可得，．
则，．
设，
则
．
设为平面的法向量，
则即
令，则，，可得．
则．
解得，则．
因为，
所以点到平面的距离为．（14分）
18．（本小题14分）
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）；（Ⅲ）8．
【解析】
（Ⅰ）由题意，理论或操作至少一项成绩为300分的学生共有人，则，得，又，得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从20位理论成绩为300分的学生中抽取1人，操作成绩也为300分的概率为，所以从全市理论成绩为300分的学生中，随机抽取2人，至少有一个人操作的成绩为300分的概率为．
（Ⅲ）．
19．（本小题15分）
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）由题意得，又，
，椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）设，，，，
则，，
又，可设，直线的方程为，
由消去可得，
由题可知判别式，
由韦达定理得，即，
分别代入，可得，，
，
同理可得．
故，，
三点共线，，
将点的坐标代入化简可得，即．
20. （本小题15分）
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）．
【解析】
（Ⅰ）
当时，
切点坐标为
切线斜率为
曲线在处切线方程为
（Ⅱ），
，
，
1）当时，成立
的单调递减区间为，无单调递增区间
2）当时，令
时，，在上单调递减
时，，在上单调递增
综上: 时，的单调递减区间为，无单调递增区间；
时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
（Ⅲ）
令，
由已知可得：
且
的单调区间是
，
时，恒成立
，
令，，即证，
成立
的单调递减区间为
恒成立
综上：的取值范围是
21．（本小题15分）
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ），．
【解析】
（Ⅰ）
（Ⅱ）若为等差数列
不妨设 ，且
中有个元素，
“为等差数列”是“集合中有个元素”充分条件
若集合中有个元素，则至少有如下有个元素
又有如下个元素
“为等差数列”是“集合中有个元素”必要条件
综上，“为等差数列”是“集合中有个元素”充要条件.
（Ⅲ）由题意，
又
，且此时，最小值为.2023年北京高考数学模拟考试试卷
高三数学 2023.05
本试卷共4页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合，，则
A. B. C. D.
2．若复数满足，则
A. B. C. D.
3. 若向量，，则与的夹角等于
A． B． C． D．
4．若直线与圆交于两点，且，则
A． B． C．1 D．
5. 要得到的图象，只要将的图象
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
6. 设是等比数列，则“”是“为递增数列”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7. 展开式中的系数是：
A. B. C. D.
8. 已知函数，若方程的实根在区间上，则k的最大值是
A. B. C. D.
9. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型.如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱面去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个牟合方盖（如图2）.已知这个牟合方盖与正方体外接球的体积之比为，则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为
A． B．
C． D．
10.已知数列满足，数列满足，其中，则数列的前项和为
A． B． C． D．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域是________.
12.已知双曲线的离心率为2，则的渐近线方程为________.
13.函数的最小正周期为________，若函数在区间上单调递增，则的最大值为________.
14.已知函数的图像上有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围是________.
15. 1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，结束了无理数被认为“无理”的时代．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是________．
①没有最大元素，有一个最小元素
②没有最大元素，也没有最小元素
③有一个最大元素，有一个最小元素
④有一个最大元素，没有最小元素
三、解答题：共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16. （本小题13分）
在中，角的对边分别为.已知，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求的面积.
17.（本小题13分）
如图，在三棱柱中，平面，，为线段上一点，平面交棱于点.
（Ⅰ）求证：;
（Ⅱ）若直线与平面所成角为，再从条件①和条件②这两个条件中选择一个作为已知，求点到平面的距离.
条件①：；
条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
18．（本小题14分）
2023世界人工智能大会拟定于七月初在我国召开，我国在人工智能芯片、医疗、自动驾驶等方面都取得了很多成就。为普及人工智能相关知识，红星中学组织学生参加“人工智能”知识竞赛，竞赛分为理论知识竞赛、实践能力竞赛两个部分，两部分的成绩分为三档，分别为基础、中等、优异．现从参加活动的学生中随机选择20位，统计其两部分成绩，成绩统计人数如表：
实践 理论 基础 中等 优异
基础
中等
优异
（Ⅰ）若从这20位参加竞赛的学生中随机抽取一位，抽到理论或实践至少一项成绩为优异的学生概率为．求，的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，用样本估计总体，从全市理论成绩为优异的学生中，随机抽取人，求至少有一个人实践能力的成绩为优异的概率；
（Ⅲ）若基础、中等和优异对应得分为分、分和分，要使参赛学生理论成绩的方差最小，写出的值．（直接写出答案）
19．（本小题15分）
已知椭圆的左焦点为，且．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，设点，直线，分别与椭圆交于不同的点，若和点共线，求的值．
20. （本小题15分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）设，讨论函数的单调性；
（Ⅲ）若对任意的，当时，恒成立，求实数的取值范围.
21．（本小题15分）
正整数集合，且，， 中所有元素和为，集合.
（Ⅰ）若，请直接写出集合；
（Ⅱ）若集合中有且只有两个元素，求证“为等差数列”的充分必要条件是“集合中有个元素”；
（Ⅲ）若，求的最小值，以及当取最小值时，最小值.
