2023届中考数学二轮专题复习：《探究锐角三角函数的其他关系》教学设计

《探究锐角三角函数的其它关系》设计
学习目标:
1.理解并掌握锐角三角函数的概念；
2.理解锐角三角函数之间的关系，并能以此探究锐角三角函数之间的其它关系.
学习重点：掌握并理解锐角三角函数的概念和关系.
学习难点：探究锐角三角函数的其它关系.
学习过程：
一、问题背景
同学们已经学习了锐角三角函数的概念和特殊锐角的三角函数值，并已经发现了锐角三角函数之间的一些关系，如
思考：对于浙教版九下P9第3题“”关系式的得出，同学们是怎样验证的？
猜想：通过几组特殊锐角的三角函数值带入验算，可猜想结论是成立.
验证：如图1，在中，，
则有
基于以上思考，我们可以尝试继续探究锐角三角函数的其他关系.
二、问题解决
例1（浙教版九下P13探究活动改编）探究：对于锐角，关系式≤1是否成立.
思路探寻：同学们初步掌握了锐角三角函数关系的研究方法，能否以此继续探究锐角三角函数之间的关系呢？
思考1：尝试用特殊值带入验算，你发现了什么？
思考2：能通过推理的方法判断吗？
方法1：取，带入验算，得＞1.显然，该命题结论不成立.
方法2：如图2，在中，，，
则有
＞，＞1.即＞1.
则该关系式不成立.
方法归纳：数学问题的探究往往是运用特殊到一般的数学思想方法，由特殊情况对结论进行初判，该方法可作为假命题的反例；当多次特殊值带入验算，结论总是成立时，可由猜想到推理验证的方法进行探究。逻辑推理的依据是概念、基本事实、定理等数学依据进行逻辑推理，验证猜想的正确性.
三、生长拓学
生长1（类题演练）．探究：对于锐角，关系式是否成立，并说明理由.
方法1：取，则，，.
方法2：逻辑推理法.本题“”，那么“”是可以推理得出的，但涉及到的知识与技能需在高中继续学习和探究，有兴趣的同学可以在课余时间阅读有关资料.
生长2（思维生长）．探究：对于锐角，当＜＜＜时，＜＜＜1
是否成立，并说明理由.
思路探寻1：选择几组满足＜＜＜条件的特殊锐角带入验算，你发现了什么？
思路探寻2：猜想需要验证.如图3，在中，，，我们知道＜且＞0，＞0，0＜＜1，同理：0＜＜1.那么“＜”如何说理呢？
思路探寻3：直角三角形中，不同大小的两个锐角，你有方法比较正弦函数值的大小吗？
解：如图4，在半径为的⊙中，A，C是⊙上两点,且＜,＜＜＜,则
0＜＜＜1，＜＜＜1.
评析：解决此类问题的关键是理解并掌握锐角三角函数概念，在探究锐角三角函数关系的方法上，通过类比、数形结合等数学思想，运用特殊到一般的问题探究方法，判断锐角三角函数是否存在其他的关系，是一种行之有效的方法，能很好的体现数学的严密思维和培养学生严谨求实的科学态度.
四、反思悟学
本微课主要是解决“探究锐角三角函数之间是否存在其他的关系”，将此类问题的探究转化为在数形结合思想中，对锐角三角函数概念的理解、掌握和运用，为高中数学的继续学习奠定基础.
（图1）
（图2）
（图3）
（图4）
c
（图4）