上海市罗南中学2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试题（含解析）

罗南中学2022学年第一学期期末在线练习
八年级数学
一、填空题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列关于的方程中一定没有实数根的是（ ）
A．； B．；
C．； D．．
3．下列函数中，函数值随的增大而增大的是（ ）
A．； B．； C．； D．．
4．已知三角形面积一定，则它的底边a上的高h和底边a之间的函数关系图像大致为（ ）
A． B． C． D．
5．下列四组数据为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．、、 B．、、 C．、、 D．、、（）
6．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ；
B．每个命题都有逆命题；
C．每个定理都有逆定理；
D．在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．化简：________．
8．方程的解是______．
9．二次根式的有理化因式可以是______．
10．化简：______．
11．在实数范围内因式分解：______．
12．已知正比例函数的图象经过点，那么正比例函数解析式是______．
13．某厂今年一月份的总产量为 500吨，三月份的总产量达到 720吨．若平均每月增长率是x，则可以列出关于 x的方程是_____．
14．平面内到点的距离等于的点的轨迹是__________．
15．已知点，，，且，则__________．
16．如图，垂直平分，垂直平分，若，则______．
17．如图，在中，，，，点P为边上一点，点P关于直线的对称点为点Q，联结、，与边交于点D．当时，则______．
18．在中，，，如果将折叠，使点与点重合，且折痕交边于点，交边于点，如果是直角三角形，那么的面积是______．
三、解答题（本大题共4题，第19~20题5分，第21~22题6分，满分22分）
19．计算：．
20．解方程：．
21．已知：，与成正比例，与成反比例．当时，；当时，．求与的函数解析式．
22．甲、乙两车从城出发匀速行驶至城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则：
(1)，两城相距______千米；
(2)乙车速度为______千米/小时；
(3)乙车出发后______小时追上甲车．
四、解答题（本大题共3题，第23题6分，第24题8分，第25题10分，满分24分）
23．如图是一块四边形绿地的示意图，其中，，，，．求此绿地的面积．
24．如图，在中，于点D，，点E、F分别是、的中点且，求证：．
25．在平面直角坐标系中，直线经过点，反比例函数的图像经过点和点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在轴上找一点，为等腰三角形，求点的坐标．
五、综合题（本大题第（1）小题2分，第（2）小题4分，第（3）小题6分，满分12分）
26．如图，已知，等边三角形的边长是，是边上的一个动点（与点、不重合），连接，作的垂直平分线分别与边、交于点、．
(1)和的周长之和为______；
(2)设为，的周长为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
(3)当是直角三角形时，求的长．
1．D
【分析】
现将选项中的二次根式化为最简二次根式，之后看哪个选项中根号下是2，即为正确答案
【详解】
解：A. 因为=2，所以与不是同类二次根式，A错误；
B. 因为是最简二次根式，所以与不是同类二次根式，B错误；
C. 因为，所以与不是同类二次根式，C错误；
D. 因为，所以与是同类二次根式，D正确；
故选：D.
【点睛】
本题考查同类二次根式，先把根式化成最简二次根式是解题关键
2．C
【分析】
根据根的判别式解答即可．
【详解】
解：A.∵=4-0=4>0，∴方程有2个不相等的实数根，故不符合题意；
B.∵=4-4=4=0，∴方程有2个相等的实数根，故不符合题意；
C.∵=4-8=-4<0，∴方程没有实数根，故符合题意；
D.∵=4+8=12>0，∴方程有2个不相等的实数根，故不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当<0时，一元二次方程没有实数根．
3．B
【分析】
根据函数增减性判断即可．
【详解】
A. ，比例系数小于0，随的增大而减小；
B. ，比例系数大于0，随的增大而增大；
C. ，不在同一象限，不能判断增减性；
D. ，不在同一象限，不能判断增减性；
故选：B．
【点睛】
本题考查了函数的增减性，解题关键是熟悉函数的增减性，准确进行判断．
4．D
【分析】
先写出三角形底边a上的高h与底边a之间的函数关系，再根据反比例函数的图象特点得出．
【详解】
解：已知三角形的面积s一定，
则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系为，即；
该函数是反比例函数，且，；
故其图象只在第一象限．
故选：D．
【点睛】
本题考查反比例函数的图象特点：反比例函数的图象是双曲线，与坐标轴无交点，当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
5．D
【分析】
根据勾股定理的逆定理：“如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形”判定即可．
【详解】
解：
A．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D．，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而做出判断．
6．C
【分析】
根据全等三角形的判定，命题与定理及角平分线的判定等知识一一判断即可．
【详解】
解：A．两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项是正确；
B、每个命题都有逆命题，所以B选项正确；
C、每个定理不一定有逆定理，所以C选项错误；
D、在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，正确．
故选C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，命题与定理以及角平分线的判定方法，熟练利用这些判定定理是解题关键．
7．
【分析】
根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】
解：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
8．，
【分析】
先移项，再根据因式分解法，可得答案．
【详解】
解：移项，得：
，
因式分解，得：
，
∴或，
解得：，．
故答案为：，．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程的关键是分解因式．
9．
【分析】
运用平方差公式可找到的有理化因式．
【详解】
解：∵，
∴的有理化因式为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查有理化因式，解题的关键是两个含有根号的代数式相乘，使它们的积不含有根式．
10．##
【分析】
根据二次根式的性质，即由此即可求解．
【详解】
解：根据二次根式的性质得，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式开根的方法是解题的关键．
11．
【分析】
运用求根公式解得对应方程的解，再分解因式．
【详解】
解：的根为
即，
．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了实数范围内分解因式，利用求根公式法得出方程的根再分解因式是解决问题的关键．
12．
【分析】
把点代入函数解析式，即可求解．
【详解】
解：把点代入函数解析式，得
，
解得，
故正比例函数解析式是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求正比例函数的解析式，熟练掌握和运用求解析式的方法是解决本题的关键．
13．
【分析】
用含的代数式依次表示出2月，3月的产量，利用3月产量为720吨列出方程即可．
【详解】
解：由1月产量为500吨，则2月产量为吨，3月产量为吨，3月产量又为720吨，所以．
故答案为．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，用含未知数的代数式表示需要的量，找相等关系列方程是关键．
14．以点为圆心，长为半径的圆
【分析】
利用圆的基本概念即可描述出轨迹．
【详解】
根据题意可知轨迹是：以A点为圆心，3cm长为半径的圆．
【点睛】
本题考查对圆的基本概念的理解．圆的概念即“在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆．”
15．7或
【分析】
过点A分别作x轴、y轴的垂线段，结合勾股定理解题即可．
【详解】
如图，过点A分别作x轴、y轴的垂线段，
根据题意得，
，且点B在y轴上，
在中，
即t=7；
在中，
即t=-1，
综上所述，t=7或，
故答案为：t=7或．
【点睛】
本题考查勾股定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
16．
【分析】
根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质计算，得到答案．
【详解】
解：∵，
∴，
∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴，，
∴，
∴。
故答案为：．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角等知识点，运用了整体代入的思想。掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
17．
【分析】
首先由勾股定理的逆定理可得出，由直角三角形的性质可得，再根据轴对称图形的性质及等腰三角形的性质，可求出，由直角三角形的性质得出，再由勾股定理可得出答案．
【详解】
解：，，，
，，
，
，
，，
，
，
点P关于直线的对称点为点Q，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，轴对称图形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
18．或
【分析】
分两种情况：当时，根据，，及将折叠，使点与点重合，可得，可得到的面积；当时，过作于，设，则，可得，，又，可得，，再利用勾股定理可得，可得到的面积．
【详解】
解：当时，如图：
∵，，，
∴，
∵将折叠，使点与点重合，
∴，
∴的面积是：；
当时，
如图，过作于，设，
∵，，
∴，
∴，
∵将折叠，使点与点重合，
∴，，
在中，，
在中，，
在中，，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
∴的面积是：．
综上所述，如果是直角三角形，那么的面积是或．
故答案为：或．
【点睛】
本题是等腰三角形的折叠问题，考查了折叠的性质，等腰三角形三线合一性质，勾股定理，三角形面积等知识．解题的关键是分类画出图形，求出边上的高．
19．．
【分析】
利用二次根式的乘除法则，再化为最简式并合并同类二次根式即可．
【详解】
原式，
，
，
．
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算．掌握二次根式的乘除法则是解答本题的关键．
20．，
【分析】
用公式法求解即可．
【详解】
解：∵，，，
∴，
∴．
所以原方程的解为，．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法---公式法，先求出 的值，然后根据求解即可．
21．y＝（x+1）+
【分析】
根据正比例与反比例的定义设出y与x之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式计算即可得解
【详解】
解：（1）设y1＝k1（x+1）（k1≠0），y2＝（k2≠0），
∴y＝k1（x+1）+ ．
∵当x＝1时，y＝7．当x＝3时，y＝4，
∴，
∴，
∴y关于x的函数解析式是：y＝（x+1）+；
【点睛】
此题主要考查了待定系数法求函数解析式，关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法，熟练准确计算．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）根据函数图像中的数据，可以解答本题；
（2）根据函数图像中的数据，可以求得乙车的速度；
（3）先求出甲车速度，再根据甲、乙两车行驶的路程相等列方程求解即可．
【详解】
（1）解：由图像可得，，两城两城相距千米．
故答案为：；
（2）由图像可得，乙车从城出发匀速行驶至城所需的时间为：（小时），
∴乙车的速度为：（千米/小时）．
故答案为：；
（3）由图像可得，甲车从城出发匀速行驶至城所需的时间为小时，
∴甲车的速度为：（千米/小时），
设乙车出发后小时追上甲车，
∴，
解得：，
即乙车出发后小时追上甲车．
故答案为：．
【点睛】
本题考查一次函数和一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．234
【分析】
连接，先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判定为直角三角形，则四边形的面积直角的面积直角的面积．
【详解】
解：连接如图所示：
，，，
；
在中，
，，，
，即，
是直角三角形．
；
即绿地的面积为234．
【点睛】
本题考查了勾股定理及其逆定理的相关知识，通过勾股定理的逆定理由边与边的关系可证明直角三角形，正确分割四边形的面积是解题关键．
24．见解析
【分析】
利用证明，即可解决问题．
【详解】
证明： ，
．
∵点E、F分别是、的中点，
，，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上中线的性质，正确证明三角形全等是解题的关键．
25．(1)
(2)或或或
【分析】
（1）先把点代入求出，再把点的坐标代入求出即可；
（2）先求出点的坐标，设，再根据两点间的距离公式分三种情况建立方程求出即可．
【详解】
（1）解：∵直线经过点，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数的图像经过点，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为．
（2）∵反比例函数的图像经过点，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点，
∴，，
，
当点满足以下三种情况时，为等腰三角形：
①当时，得： ，
解得：，
∴；
②当时，得： ，
解得：，，
当时，，即点此时在直线上，不符合题意，舍去，
∴；
③当时，得： ，
解得：，，
∴点的坐标为或．
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】
本题考查待定系数法求反比例函数解析式，一次函数解析式，反比例函数及一次函数图像上点的坐标特征，坐标与图形的性质，两点间的距离公式，等腰三角形的定义等知识．求出反比例函数解析式是解题的关键．
26．(1)
(2)
(3)或
【分析】
（1）由等边三角形的性质得，再由线段垂直平分线的性质得，，然后得出的周长＋的周长为，即可求解；
（2）求出的周长，得出，再由，且，得出定义域；
（3）两种情况，①时，由含角的直角三角形的性质得，则，再由，得，求解即可；
②时，由含角的直角三角形的性质得，则，再由，得，求解即可．
【详解】
（1）解：∵等边三角形的边长是，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，，
∴的周长＋的周长
．
故答案为：．
（2）∵是的垂直平分线，
∴，，
∴的周长，
设为，的周长为，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∴关于的函数解析式是，它的定义域是．
（3）∵等边三角形的边长是，
∴，
设为，分两种情况：
①当时，如图1所示：
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
即；
②当时，如图2所示：
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
即．
综上所述，当是直角三角形时，的长为或．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形两锐角互余以及三角形周长的计算等知识，运用了分类讨论和方程的思想．熟练掌握等边三角形的性质和垂直平分线的性质是解题的关键．