上海市罗南中学2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题（含解析）

罗南中学2022学年第一学期期末在线练习
九年级数学
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．下列各组图形一定相似的是（ ）
A．两个菱形； B．两个矩形； C．两个直角梯形； D．两个正方形．
2．已知线段，如果，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知在平面直角坐标系xOy内有一点A（2，3），那么OA与x轴正半轴y的夹角α的余切值是（　　）
A． B． C． D．
4．已知为非零向量，，，那么下列结论中错误的是（ ）
A． B． C．与方向相同 D．与方向相反
5．已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：
0 1 3 4 5
根据表，下列判断正确的是（ ）A．该抛物线开口向上
B．该抛物线的对称轴是直线
C．该抛物线一定经过点
D．该抛物线在对称轴左侧部分是下降的
6．如图，在中，点，分别在和边上且，点为边上一点（不与点、重合），连接交于点，下列比例式一定成立的是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．已知，那么_______．
8．已知线段，点在线段上，且，那么线段的长___________．
9．如果两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为和，那么另一个三角形的最大角为________度．
10．小杰沿着坡度的斜坡向上行走了130米，那么他距离地面的垂直高度升高了______米．
11．在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为________．
12．如果函数是二次函数，那么m=____．
13．如果二次函数的图像在它的对称轴右侧部分是上升的，那么的取值范围是__________.
14．已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，AC＝12、A1C1＝8，△ABC的高AD为6，那么△A1B1C1的高A1D1长为_____．
15．如图，在梯形AEFB中，AB∥EF，AB＝6，EF＝10，点C、D分别在边AE、BF上且CD∥AB，如果AC＝3CE，那么CD＝_____．
16．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形面积是49，直角三角形中较小锐角θ的正切为，那么大正方形的面积是_____．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，点D为边AB上一动点，正方形DEFG的顶点E、F都在边BC上，联结BG，tan∠DGB＝_____．
18．如图，在△ABC中，AB=AC ，点D、E在边BC上，∠DAE=∠B=30°，且，那么的值是______．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．计算：
20．已知，如图，点E在平行四边形ABCD的边CD上，且＝，设．
（1）用表示（直接写出答案）．
（2）设，在答题卷中所给的图上画出的结果．
21．已知:如图，反比例函数的图象经过点、，点，点的横坐标是2．抛物线经过坐标原点，且与轴交于点，顶点为．
求:（1）反比例函数的解析式；（2）抛物线的表达式及点坐标．
22．水城门位于淀浦河和漕港河三叉口，是环城水系公园淀浦河梦蝶岛区域重要的标志性景观．在课外实践活动中，某校九年级数学兴趣小组决定测量该水城门的高．他们的操作方法如下：如图，先在D处测得点A的仰角为20°，再往水城门的方向前进13米至C处，测得点A的仰角为31°（点D、C、B在一直线上），求该水城门AB的高．（精确到0.1米）
（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
23．已知：如图，点D、F在△ABC边AC上，点E在边BC上，且DE∥AB，.
（1）求证：EF∥BD；
（2）如果，求证：.
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接交抛物线的对称轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接、，点是射线上的一点，如果，求点的坐标；
(3)点是线段上的一点，点是对称轴右侧抛物线上的一点，如果是以为腰的等腰直角三角形，求点的坐标．
25．如图，已知，点E在边上，且，过点A作的平行线，与射线交于点D，连结．
(1)求证：；
(2)如果．
①当，求的长；
②当时，求的正弦值．
1．D
【分析】
形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可．
【详解】
A．任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；
B．任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；
C．任意两个直角梯形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意；
D．任意两个正方形的对应角对应相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同．
2．C
【分析】
由，可设a=k，b=2k，c=3k，(k≠0)，即可得到答案.
【详解】
∵，
∴设a=k，b=2k，c=3k，(k≠0)，
∴=，
故选C.
【点睛】
本题主要考查分式求值，根据比值，设k值，是解题的关键.
3．B
【分析】
过点A作AB⊥x轴，构造直角三角形，由坐标得出OB=2，AB=3，再根据余切的意义求出结果即可．
【详解】
解：过点A作AB⊥x轴，垂足为B，则OB＝2，AB＝3，
在Rt△OAB中，cot∠AOB＝cotα＝，
故选：B．
【点睛】
考查直角三角形的边角关系，将坐标转化为线段的长是解答的前提，利用余切的意义是解决问题的关键．
4．C
【分析】
根据平面向量的性质一一判断即可．
【详解】
∵，
∴，
∴∥，
与方向相反，
∴A，B，D正确，C错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．C
【分析】
由表格中点，可求对称轴，再任意取两点可确定函数的解析式即可．
【详解】
解：由表格中点，，
可知函数的对称轴为，
设函数的解析式为，
将点，代入，
得到，，
函数解析式；
抛物线开口向下，抛物线在对称轴左侧部分是上升的；
将代入表达式中，，
该抛物线一定经过点，C正确，
故选：．
【点睛】
本题考查了二次函数抛物线的性质，包括对称轴，函数表达式，开口方向以及函数图像的增减性，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．B
【分析】
证明，根据相似三角形的性质即可得到答案．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，，故B符合题意，C、D不符合题意；
根据现有条件无法证明，故A不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．
7．##2.5
【分析】
根据比例的性质，设，代入即可求解．
【详解】
解：∵，
∴设，则，
故答案为：
【点睛】
本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
8．
【分析】
根据黄金分割的定义得到点C是线段AB的黄金分割点，根据黄金比值计算得到答案．
【详解】
∵，
∴点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，
∴AC＝AB=×8=
故答案为：.
【点睛】
本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为是解题的关键．
9．70
【分析】
根据相似三角形的性质以及三角形的内角和定理即可解决问题．
【详解】
∵三角形的两个内角分别为50°和60°，
∴这个三角形的第三个内角为180° 50° 60°＝70°，
根据相似三角形的性质可知，另一个三角形的最大角为70°．
故答案为70．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，相似三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．50
【分析】
如图，由坡度易得与的比为，设出相应未知数，利用勾股定理可得的长度．
【详解】
解：设他距离地面的垂直高度升高了米，
如图，在中，，坡度：，，
∴与的比为，
∴，，
∵，
∴，
解得：，（负值不符合题意，舍去），
∴他距离地面的垂直高度升高了米．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了解直角三角形及勾股定理，理解坡度的意义是解题的关键．
11．54
【分析】
根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．
【详解】
解：设这栋楼的高度为hm，
∵在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为60m，
∴，
解得h=54（m）．
故答案为54．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
12．2．
【分析】
直接利用二次函数的定义得出m的值．
【详解】
∵函数是二次函数，
∴m2 m＝2，（m 2）（m＋1）＝0，
解得：m1＝2，m2＝ 1，
∵m＋1≠0，
∴m≠ 1，
故m＝2．
故答案为：2．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的定义，正确得出m的方程是解题关键．
13．
【分析】
由题意得：二次函数的图像开口向上，进而，可得到答案.
【详解】
∵二次函数的图像在它的对称轴右侧部分是上升的，
∴二次函数的图像开口向上，
∴.
故答案是：
【点睛】
本题主要考查二次函数图象和二次函数的系数之间的关系，掌握二次函数的系数的几何意义，是解题的关键.
14．4．
【分析】
直接利用相似三角形的性质得出相似比等于对应高的比进而得出答案．
【详解】
解：∵△ABC∽△A1B1C1，AC＝12、A1C1＝8，
∴相似比为：，
∵△ABC的高AD为6，
∴△A1B1C1的高A1D1长为：6×＝4．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.
15．9．
【分析】
连接BE交CD于点M，由平行线分线段成比例定理先证，，再证△ECM∽△EAB，△BMD∽△BEF，由相似三角形的性质可分别求出CM，DM的长，可进一步求出CD的长．
【详解】
解：如图，连接BE交CD于点M，
∵AC＝3CE，
∴，
∵AB∥EF，CD∥AB，
∴AB∥CD∥EF，
∴，
∴，，
∵CM∥AB，
∴△ECM∽△EAB，
∴，
即，
∴CM＝，
∵MD∥EF，
∴△BMD∽△BEF，
∴，
即，
∴MD＝，
∴CD＝CM+MD＝，
故答案为：9．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质，比例的性质，掌握相似三角形的性质，比例的性质是解题的关键.
16．169．
【分析】
由题意知小正方形的边长为7．设直角三角形中较小边长为a，较长的边为b，运用正切函数定义求解．
【详解】
解：由题意知，小正方形的边长为7，
设直角三角形中较小边长为a，较长的边为b，则
tanθ＝短边：长边＝a：b＝5：12．
所以b＝a，①
又以为b＝a+7，②
联立①②，得a＝5，b＝12．
所以大正方形的面积是：a2+b2＝25+144＝169．
故答案是：169．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，掌握解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积是解题的关键.
17．
【分析】
设DE与BG交于点O，根据题意可得△BDE∽△ABC，可得，由正方形的性质可得GF＝DE＝EF，进而得出，再证明△DOG∽△EOB∽△FGB，可得；
【详解】
解：如图，DE与BG交于点O，
∵正方形DEFG，
∴∠DEB＝∠EDG＝∠GFB＝90，GF＝DE＝EF，
∴△BDE∽△ABC，
∴，
∴，
∵∠DOG＝∠EOB，
∴△DOG∽△EOB∽△FGB，
∴；
∴tan∠DGB＝；
故答案为：；
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.
18．．
【分析】
由已知可得，从而可知，，
设AB=3x，则BE=2x，再利用勾股定理和等腰三角形性质用x表示DE和BC，从而解答
【详解】
解：∵∠BAE=∠DAE+∠BAD，∠ADE=∠B+∠BAD，
又∵∠DAE=∠B=30°，
∴∠BAE=∠ADE，
∴，
∴，，
过A点作AH⊥BC，垂足为H，
设AB=3x，则BE=2x，
∵∠B=30°，
∴，，
∴，
在中，，
又∵，
∴，
∴，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴，
∴，
故答案为： .
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，利用三角形相似得到AB与BE的关系是解题的关键．
19．0
【分析】
原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【详解】
解：原式=
=．
【点睛】
此题考查了实数的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解本题的关键．
20．（1）；（2）见解析
【分析】
（1）根据平面向量的平行定理即可表示；
（2）由（1）中结论得到，延长AE交BC延长线于点G，通过平行四边形的性质得到，再根据对应边成比例得到，从而有，即可求解．
【详解】
解：（1）∵＝，即 ， ，
∴，
（2）由（1）知，
∴ ，
延长AE交BC延长线于点G，如图所示，
则．
理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
又∵（对顶角相等），
∴，
∴ ，
∵＝，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴，即．
【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算、平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握平面向量的线性运算、平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质．
21．(1) 反比例函数的解析式为：y=；(2) y=﹣（x﹣2）2+4，B点的坐标为：（4，0）．
【分析】
（1）设反比例函数的解析式为：y，把点A（6，）代入，得到关于k的一元一次方程，解之得到k的值，即可得到答案；
（2）把x=2代入（1）的解析式，得到点P的坐标，根据抛物线过坐标原点，利用待定系数法，求得抛物线的表达式，把y=0代入抛物线的表达式，解之即可得到答案．
【详解】
（1）设反比例函数的解析式为：y，把点A（6，）代入得：，解得：k=8，即反比例函数的解析式为：y；
（2）把x=2代入y得：y4，即点P的坐标为：（2，4），设抛物线的表达式为：y=a（x﹣2）2+4，把点O（0，0）代入得：4a+4=0，解得：a=﹣1，即抛物线的表达式为：y=﹣（x﹣2）2+4，把y=0代入得：﹣（x﹣2）2+4=0，解得：x1=0，x2=4，即B点的坐标为：（4，0）．
【点睛】
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点．解题的关键：（1）正确掌握待定系数法求反比例函数解析式；（2）正确掌握待定系数法求二次函数解析式，根据抛物线解析式，求抛物线与x轴的交点．
22．11.7米．
【分析】
根据正切的概念表示出BD、BC，根据题意列出方程，解方程即可.
【详解】
由题意，得∠ABD=90°，∠D=20°，∠ACB=31°，CD=13．
在Rt△ABD中，
∵，
∴．
在Rt△ABC中，
∵，
∴．
∵CD =BD -BC，
∴．
解得米．
答：水城门AB的高约为11.7米．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．
23．详见解析
【分析】
（1）由平行线分线段成比例可得，由，可得，可证EF∥BD；
（2）根据AC·CF=BC·CE可得△CEF∽△CAB，并可证得∠EDB＝∠DBA，则可证明△BAD∽△DBE，可得，即可得结论．
【详解】
证明（1）∵DE∥AB
∴
∵
∴
∴
∴EF∥BD
（2）∵AC·CF=BC·CE
∴，又∠C=∠C，
∴△CEF∽△CAB
∴∠CEF＝∠A
∵EF∥BD
∴∠CEF＝∠EBD
∴∠EBD＝∠A
∵ED∥AB
∴∠EDB＝∠DBA，且∠EBD＝∠A，
∴△ABD∽△BDE
∴
∴.
【点睛】
本题考查了相似三角形判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
24．(1)
(2)
(3)或
【分析】
（1）由抛物线，得抛物线过点，设抛物线解析式，将代入上述解析式，求得a的值，整理化简即可．
（2）由（1）中条件求得抛物线顶点坐标及C点坐标，再算得，设点P在射线DE上，连接PB，设DP交x轴于点F，设，则，令，解得关于p的方程即可得到点P的坐标．
（3）由直线BC解析式为，设，其中，同理，设，其中，分两种情况分别讨论，求解即可．
【详解】
（1）解：∵抛物线，
∴抛物线过点．
∵抛物线与轴交于点和点，
∴设抛物线，
∵抛物线过点，
∴将点代入中，
得 ，解得，
故抛物线解析式为，
∴抛物线解析式为．
（2）解：连接、，设点P在射线DE上，连接PB，设DP交x轴于点F，
∵抛物线解析式为，与轴交于点，顶点为，
∴，．
∵，，
∴直线BC为：，
∵交抛物线的对称轴于点，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴．
设，
∵，点P在射线DE上，
∴，
∵DP交x轴于点F，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，解得，
故P点坐标．
（3）解：∵直线BC为：，，
又∵点是线段上的一点，
∴设，其中，
又∵，点是对称轴右侧抛物线上的一点，
∴设，其中．
∵是以为腰的等腰直角三角形，
∴分两种情况进行讨论：
①如图1，当，时，过点N作NK⊥DE于点K，过点M作ML⊥DE于点L，
∵，
∴，
∵ML⊥DE，
∴，
∵，
∴．
∵NK⊥DE，ML⊥DE，
∴，
∵是以为腰的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，．
∵，，，
∴，
解得或，
∵，，
∴舍去，
∴M点坐标为．
②如图2，当，时，
∵是以为腰的等腰直角三角形，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴当，解得，
∵，
∴，即．
∵是以为腰的等腰直角三角形，
∴，
∵直线BC为：，，
又∵点是线段上的一点，
∴M点坐标为．
综上，满足题意的M点坐标为或．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数相关的综合运用，充分运用数形结合思想是解题的关键．
25．(1)见详解
(2)①CE=1；②∠BAC的正弦值为或．
【分析】
（1）由平行线的性质可得∠ADB=∠CBE，则有∠BAE=∠BDA，然后可证△ABE∽△DBA，进而问题可求证；
（2）①过点A作AF⊥BC于点F，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解；②由题意易知当AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，然后分类讨论当四边形ABCD是平行四边形时和当四边形ABCD是等腰梯形时，进而问题可求解．
【详解】
（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBE，
∵，
∴∠BAE=∠BDA，
∵∠ABE=∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴，
∴；
（2）解：①过点A作AF⊥BC于点F，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵AD∥BC，
∴当AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，
当四边形ABCD是平行四边形时，过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EN⊥BC于点N，如图所示：
∴EN∥AM，，，
∴，
∴，
∵在Rt△ABM中，，
∴，
∴根据勾股定理得：，
∴，
由（1）得：，
∵，
∴，
∴（负根舍去），
∴，
∴；
当四边形ABCD是等腰梯形时，过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EQ⊥BC于点Q，如图所示：
∴，
在△BAD和△CDA中，
，
∴，
∴，
∵AD∥BC，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
过点D作DP∥AB交AC于点P，则∠DPA=∠BAC，
∴，
∴，
∵DP∥AB，
∴，
∴，
∴，
∵AD∥BC，
∴，
∴，
∴，
∴BC=AB=4，
∴，
由以上可知：，
∴，
∵AH⊥BC，EQ⊥BC，
∴AH∥EQ，
∴，
∴，
∴，
在Rt△BEQ中，由勾股定理得：，
∴；
综上所述：∠BAC的正弦值为或．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质与判定及解直角三角形，熟练掌握相似三角形的性质与判定及解直角三角形是解题的关键．